Liikenneturvallisuus: jarrutus, turvavyö ja turvatyyny
Miksi auton pysähtymismatka on $100\,\text{km/h}$:n nopeudella lähes kolme kertaa niin pitkä kuin $50\,\text{km/h}$:n nopeudella? Ja miksi turvavyö suojaa, kun auto ei ehdi pysähtyä?
Pohjatiedot
- Siirtymä on $(t,v)$-kuvaajan ja aika-akselin väliin jäävä pinta-alaluku Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike
- Kitka vastustaa liukumista, ja se on enintään kitkakertoimen ja tukivoiman tuloluku Paino, kitka ja kalteva taso
- Liikemäärän muutos on impulssi: $\Delta\overline{p} = \overline{F}\,\Delta t$luku Liikemäärä ja impulssi
Ydinpolku: tee vaiheet järjestyksessä. Valinnainen-tehtävät ovat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä on 6.
Luvun tärkeät käsitteet Vapaaehtoinen
Tutustu luvun tärkeisiin käsitteisiin. Voit kirjoittaa niiden merkitykset sinulle vahvimmalla kielellä tai useammalla kielellä.
- Reaktioaika
- Aika, joka kuluu vaaran huomaamisesta siihen, että kuljettaja alkaa jarruttaa.
- Reaktiomatka
- Matka, jonka auto kulkee reaktioajan aikana ennen jarrutusta.
- Jarrutusmatka
- Matka, jonka auto kulkee jarrutuksen alusta pysähtymiseen.
- Pysähtymismatka
- Reaktiomatkan ja jarrutusmatkan summa.
- Törmäysaika
- Aika, jonka pysähtyminen törmäyksessä kestää. Pidempi aika tarkoittaa pienempää voimaa.
Pohdinta
Autokoulussa opetetaan kaksi asiaa. Pienikin nopeuden lisäys pidentää pysähtymismatkaa paljon. Turvavyö kiinnitetään myös lyhyellä matkalla. Onnettomuustietoinstituutin mukaan vuosina 2017–2021 tutkituissa kuolemaan johtaneissa onnettomuuksissa kuoli henkilö- ja pakettiautoissa $198$ ihmistä ilman turvavyötä. Tutkijalautakuntien arvion mukaan $114$ heistä olisi voinut selvitä, jos vyö olisi ollut kiinni.
Miksi pysähtymismatka kasvaa niin paljon, kun nopeus kasvaa? Miten turvavyö voi ratkaista, selviääkö ihminen törmäyksestä?
Valinnainen Kertaa: impulssi
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 3 kysymystä
Ennuste 1: kaksinkertainen nopeus
Ennuste 2: kymmenen kilometriä tunnissa nopeammin
Ennuste 3: miksi turvavyö suojaa?
Tutki
Simulaatiossa kuljettaja huomaa vaaran katkoviivan kohdalla, reagoi ja jarruttaa. Ylhäällä näkyvät tie ja matkat mittakaavassa. Alhaalla on $(t,v)$-kuvaaja, jonka värjätty pinta-ala on kuljettu matka.
Simulaatio
Käyttöohje
Valitse auton nopeus, reaktioaika ja tien kunto. Valitse myös, seisooko edessä pysähtynyt auto. Paina Käynnistä. Auto kulkee reaktioajan tasaisella nopeudella. Sitten se jarruttaa pysähdyksiin tai törmää edessä olevaan autoon. Tauko pysäyttää ja Jatka jatkaa. Kun ajo on päättynyt, lukemiin tulevat reaktiomatka $s_\text{r}$, jarrutusmatka $s_\text{j}$, pysähtymismatka $s_\text{p}$ ja pysähtymisaika $t_\text{p}$ tai törmäysnopeus. Säädön muuttaminen tai Alusta palauttaa auton katkoviivalle. Esityksen nopeus hidastaa tai nopeuttaa vain esitystä, ei lukemia.
Mallin oletukset
Arvot ovat simulaation laskemia mallin arvoja. Reaktioajan auto liikkuu tasaisella nopeudella. Sen jälkeen se hidastuu vakiohidastuvuudella, kunnes pysähtyy. Malli olettaa kolme asiaa: tie on vaakasuora, ilmanvastus jätetään huomiotta ja jarrut käyttävät koko pidon. Kuivan asfaltin hidastuvuus $9{,}0\,\text{m/s}^2$ ja reaktioaika $1{,}0\,\text{s}$ ovat Liikenneturvan törmäysnopeuslaskurin oletuksia. Märän asfaltin $6{,}0\,\text{m/s}^2$, lumisen tien $3{,}0\,\text{m/s}^2$ ja jäisen tien $1{,}5\,\text{m/s}^2$ ovat pyöristettyjä esimerkkiarvoja. Todellinen pito riippuu renkaista, lämpötilasta ja pinnasta. Tien matkat ovat mittakaavassa, autot eivät. Edessä olevan auton takapuskuri on $25\,\text{m}$:n tai $50\,\text{m}$:n päässä katkoviivasta.
Laskennan selitys
Nopeus muunnetaan: $v_0\,(\text{m/s}) = v_0\,(\text{km/h}) : 3{,}6$. Reaktiomatka on $s_\text{r} = v_0\,t_\text{r}$. Jarrutuksen alusta on kulunut aika $\tau$. Silloin nopeus on $v = v_0 - a\tau$, ja kuljettu matka on $(t,v)$-kuvaajan pinta-ala. Auto pysähtyy, kun $\tau = \dfrac{v_0}{a}$. Jarrutusmatka on $s_\text{j} = \dfrac{v_0^2}{2a}$. Edessä oleva auto voi olla lähempänä kuin pysähtymismatka. Silloin simulaatio laskee nopeuden sillä hetkellä, kun kuljettu matka on yhtä suuri kuin auton etäisyys.
Koe 1: nopeus ja pysähtymismatka
Testaa ennuste 1. Alkutilassa reaktioaika on $1{,}0\,\text{s}$, tie on kuiva eikä edessä ole estettä. Muuta vain auton nopeutta. Paina Käynnistä. Kirjaa mittaus, kun auto on pysähtynyt. Kokeile ainakin nopeuksia $50\,\text{km/h}$ ja $100\,\text{km/h}$. Kokeile myös esimerkiksi nopeuksia $30\,\text{km/h}$ ja $60\,\text{km/h}$.
Alkutila: auton nopeus $v_0$: $50\,\text{km/h}$, reaktioaika $t_\text{r}$: $1{,}0\,\text{s}$, tien kunto: kuiva tie, edessä: ei mitään. Vakiona: reaktioaika $t_\text{r}$, tien kunto, edessä. Muutetaan: auton nopeus $v_0$.
| auton nopeus $v_0$ | $s_\text{r}$ $(\text{m})$ | $s_\text{j}$ $(\text{m})$ | $s_\text{p}$ $(\text{m})$ |
|---|
Koe 2: pysähtyykö auto ajoissa?
Testaa ennuste 2. Alkutilassa reaktioaika on $1{,}0\,\text{s}$ ja tie on kuiva. Seisova auto on $25\,\text{m}$:n päässä. Muuta vain auton nopeutta. Aja ensin $50\,\text{km/h}$ ja sitten $60\,\text{km/h}$. Kirjaa kumpikin ajo. Kokeile myös nopeuksia $40\,\text{km/h}$ ja $80\,\text{km/h}$.
Alkutila: auton nopeus $v_0$: $50\,\text{km/h}$, reaktioaika $t_\text{r}$: $1{,}0\,\text{s}$, tien kunto: kuiva tie, edessä: seisova auto $25\,\text{m}$ edessä. Vakiona: reaktioaika $t_\text{r}$, tien kunto, edessä. Muutetaan: auton nopeus $v_0$.
| auton nopeus $v_0$ | törmäysnopeus $(\text{km/h})$ |
|---|
Valinnainen Koe 3: tien kunto
Tutki, miten tien kunto vaikuttaa. Alkutilassa nopeus on $80\,\text{km/h}$, reaktioaika on $1{,}0\,\text{s}$ eikä edessä ole estettä. Muuta vain tien kuntoa. Kirjaa jokainen ajo. Kuinka monta kertaa pidempi jarrutusmatka on jäisellä tiellä kuin kuivalla tiellä?
Alkutila: auton nopeus $v_0$: $80\,\text{km/h}$, reaktioaika $t_\text{r}$: $1{,}0\,\text{s}$, tien kunto: kuiva tie, edessä: ei mitään. Vakiona: auton nopeus $v_0$, reaktioaika $t_\text{r}$, edessä. Muutetaan: tien kunto.
| tien kunto | $a$ $(\text{m/s}^2)$ | $s_\text{j}$ $(\text{m})$ | $s_\text{p}$ $(\text{m})$ |
|---|
Törmäys vyön kanssa ja ilman
Keksitty esimerkkiaineisto
Taulukossa on pyöristetyt esimerkkiarvot $75\,\text{kg}$:n matkustajalle nokkakolarissa. Auto törmää $50\,\text{km/h}$:n nopeudella ja pysähtyy. Vyöhön kiinnitetty matkustaja hidastuu auton rypistyvän keulan mukana. Ilman vyötä matkustaja jatkaa liikettään, kunnes osuu kojelautaan, ja pysähtyy siihen. Taulukossa $\Delta t$ on aika, jossa matkustaja pysähtyy.
| Tilanne | $v$ ennen | $v$ jälkeen | $\Delta t$ |
|---|---|---|---|
| vyö ja turvatyyny | $50\,\text{km/h}$ | $0$ | $0{,}10\,\text{s}$ |
| ilman vyötä | $50\,\text{km/h}$ | $0$ | $0{,}010\,\text{s}$ |
Valinnainen Mitä tilastot kertovat turvavyöstä?
Tilastoaineisto · Onnettomuustietoinstituutti (OTI): OTI-Turvavyöraportti 2023, tieliikenneonnettomuuksien tutkijalautakuntien tutkimat kuolemaan johtaneet onnettomuudet 2017–2021; Liikenneturva: turvavyön käytön seuranta 2024 (Taloustaito 2025).
Tieliikenneonnettomuuksien tutkijalautakunnat tutkivat jokaisen kuolemaan johtaneen onnettomuuden. Taulukossa ovat henkilö- ja pakettiautoissa kuolleet vuosina 2017–2021. Luvut on jaettu sen mukaan, oliko turvavyö kiinni. Liikenneturvan seurannassa vuonna 2024 etupenkillä istuvista vyötä käytti taajamien ulkopuolella $98\,\%$ ja taajamissa $97\,\%$.
| Kuolleet 2017–2021 | Lukumäärä |
|---|---|
| turvavyö kiinni | $278$ |
| ilman turvavyötä | $198$ |
Johtopäätös
Käytä omia mittauksiasi. Selitä, miten pysähtymismatka riippuu nopeudesta. Selitä myös, miksi $10\,\text{km/h}$ suurempi nopeus voi muuttaa pysähtymisen törmäykseksi ja miksi törmäysnopeus on silloin yllättävän suuri.
Mallivastaus
Kokeessa 1 reaktiomatka kasvoi suoraan nopeuden mukana. Mallin arvoissa se kasvoi $13{,}9\,\text{m}$:stä $27{,}8\,\text{m}$:iin, kun nopeus kasvoi $50\,\text{km/h}$:sta $100\,\text{km/h}$:iin. Jarrutusmatka kasvoi $10{,}7\,\text{m}$:stä $42{,}9\,\text{m}$:iin eli nelinkertaiseksi. Kaksinkertaisen nopeuden poistaminen kestää nimittäin kaksi kertaa kauemmin, ja auto liikkuu sen ajan kaksi kertaa nopeammin. Pysähtymismatka kasvoi $24{,}6\,\text{m}$:stä $70{,}6\,\text{m}$:iin. Kokeessa 2 auto pysähtyi $50\,\text{km/h}$:n nopeudesta ennen $25\,\text{m}$:n päässä olevaa autoa. Nopeudesta $60\,\text{km/h}$ reaktiomatka oli jo $16{,}7\,\text{m}$, ja jarrutukseen jäi noin $8\,\text{m}$. Auto törmäsi noin $41\,\text{km/h}$:n nopeudella.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Pysähtyminen alkaa reaktiosta
Kun kuljettaja huomaa vaaran, auto ei hidasta heti. Kuljettajan täytyy ensin huomata vaara. Sitten hän päättää jarruttaa ja siirtää jalan jarrupolkimelle. Tähän kuluu reaktioaika $t_\text{r}$. Se on aika vaaran huomaamisesta jarrutuksen alkuun. Tavallisesti se on noin sekunti. Esimerkiksi Liikenneturvan törmäysnopeuslaskuri olettaa reaktioajaksi $1\,\text{s}$. Väsymys, alkoholi ja puhelimen vilkaisu pidentävät reaktioaikaa. Reaktioajan auto kulkee yhä samalla nopeudella kuin ennen. Matkaa, jonka auto kulkee tänä aikana, sanotaan reaktiomatkaksi $s_\text{r}$. Vasta sen jälkeen jarrut alkavat hidastaa autoa. Auto kulkee jarrutusmatkan $s_\text{j}$ ennen kuin se pysähtyy. Reaktiomatka ja jarrutusmatka ovat yhteensä pysähtymismatka $s_\text{p}$.
Tie pysäyttää auton kitkalla
Jarrut hidastavat pyörien pyörimistä, mutta autoa hidastaa tie. Vaakasuoralla tiellä renkaiden ja tien välinen kitka on ainoa vaakasuora voima, kun ilmanvastus jätetään huomiotta. Kitka osoittaa taaksepäin. Newtonin toisen lain mukaan myös kiihtyvyys osoittaa silloin taaksepäin, ja auto hidastuu. Jarrutuksessa kiihtyvyyden suuruutta sanotaan hidastuvuudeksi $a$.
Kitka voi kasvaa vain tiettyyn ylärajaan asti. Yläraja riippuu renkaista ja tien pinnasta. Kuivalla asfaltilla hidastuvuus voi olla noin $9\,\text{m/s}^2$, ja Liikenneturvan laskuri käyttää samaa arvoa. Märällä, lumisella ja jäisellä tiellä kitka on pienempi, joten myös hidastuvuus on pienempi. Jäällä hidastuvuus on vain pieni osa kuivan tien arvosta. Lukkiutumattomat jarrut (ABS) estävät pyöriä lukkiutumasta. Pyörivän renkaan pinta ei liu'u tien suhteen, joten renkaaseen vaikuttaa lepokitka. Lepokitka voi olla suurempi kuin liukuvan renkaan liikekitka, ja auto pysyy ohjattavana.
Nopeus kasvattaa jarrutusmatkaa jyrkästi
Reaktiomatka on suoraan verrannollinen nopeuteen. Kun nopeus on kaksinkertainen, auto kulkee reaktioajassa kaksinkertaisen matkan. Jarrutusmatka kasvaa jyrkemmin. Kun hidastuvuus on sama, kaksinkertaisen nopeuden pysäyttäminen kestää kaksi kertaa kauemmin. Koko tämän ajan auto liikkuu kaksi kertaa nopeammin. Jarrutusmatka on siksi neljä kertaa pidempi. Kuvassa reaktioaika on $1{,}0\,\text{s}$ ja hidastuvuus $9{,}0\,\text{m/s}^2$ kummallakin nopeudella.
Tästä saadaan vastaus alun kysymyksen ensimmäiseen osaan. Nopeus kaksinkertaistuu $50\,\text{km/h}$:sta $100\,\text{km/h}$:iin. Silloin reaktiomatka kaksinkertaistuu $13{,}9\,\text{m}$:stä $27{,}8\,\text{m}$:iin, mutta jarrutusmatka nelinkertaistuu $10{,}7\,\text{m}$:stä $42{,}9\,\text{m}$:iin. Pysähtymismatka kasvaa siksi $24{,}6\,\text{m}$:stä $70{,}6\,\text{m}$:iin, lähes kolminkertaiseksi.
Törmäyksessä liikemäärän muutos on aina sama
Jos este on lähempänä kuin pysähtymismatka, auto törmää. Nokkakolarissa auton keula rypistyy, ja auto pysähtyy noin sekunnin kymmenesosassa. Matkustajan liikemäärä $p = mv$ muuttuu silloin arvosta $mv$ nollaan. Näin käy, käyttääpä hän turvavyötä tai ei: törmäysnopeus määrää liikemäärän muutoksen. Vain törmäysaikaa $\Delta t$ voidaan muuttaa. Törmäysaika on aika, jossa matkustaja pysähtyy. Luvussa Liikemäärä ja impulssi opit, että liikemäärän muutos on yhtä suuri kuin impulssi $\overline{I} = \overline{F}\,\Delta t$. Mitä pidempi törmäysaika on, sitä pienempi voima riittää samaan liikemäärän muutokseen.
Ilman turvavyötä matkustaja jatkaa liikettään lähes samalla nopeudella, kun auto hidastuu hänen ympärillään. Newtonin ensimmäisen lain mukaan mikään voima ei vielä hidasta häntä. Hän osuu ohjauspyörään, kojelautaan tai tuulilasiin ja pysähtyy sekunnin sadasosissa. Turvavyö kiinnittää matkustajan autoon, joten hän hidastuu auton rypistyvän keulan mukana. Vyö myös venyy hieman. Se jakaa voiman lantion, rintakehän ja olkapään vahvoille luille. Turvatyyny täyttyy sekunnin sadasosissa ja ottaa vastaan pään ja ylävartalon. Se pidentää pysähtymisaikaa ja jakaa voiman suurelle alalle, joten paine kehoon on pienempi. Turvatyyny on tehty toimimaan yhdessä turvavyön kanssa, ei sen sijasta.
Tämä on vastaus alun kysymyksen toiseen osaan. Ero näkyy myös onnettomuustilastoissa. Onnettomuustietoinstituutti on koonnut tiedot kuolemaan johtaneista onnettomuuksista vuosina 2017–2021. Tutkijalautakunnat tutkivat nämä onnettomuudet. Henkilö- ja pakettiautoissa kuoli 278 ihmistä, joilla oli turvavyö, ja 198 ihmistä ilman turvavyötä. Lautakuntien arvion mukaan 114 vyötöntä olisi voinut selvitä, jos vyö olisi ollut kiinni. Liikenneturvan seurannan mukaan lähes kaikki etupenkillä istuvat käyttävät vyötä.
Pysähtymismatka ja törmäyksen voima
Reaktiomatka ja jarrutusmatka
Reaktioajan auto liikkuu tasaisella nopeudella $v_0$, joten reaktiomatka on
$$s_\text{r} = v_0\,t_\text{r}$$
missä $s_\text{r}$ on reaktiomatka ($\text{m}$), $v_0$ auton nopeus ennen jarrutusta ($\text{m/s}$) ja $t_\text{r}$ reaktioaika ($\text{s}$). Jarrutuksessa hidastuvuus oletetaan vakioksi. Silloin nopeus pienenee $(t,v)$-kuvaajassa suoraviivaisesti nollaan. Kuten luvussa Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike, kuljettu matka on kuvaajan ja aika-akselin väliin jäävä pinta-ala.
Nopeus pienenee arvosta $v_0$ nollaan, ja hidastuvuus on $a$. Jarrutusaika on siksi
$$t_\text{j} = \frac{v_0}{a}$$
missä $t_\text{j}$ on jarrutusaika ($\text{s}$) ja $a$ hidastuvuus eli kiihtyvyyden suuruus ($\text{m/s}^2$). Jarrutusmatka on kolmion pinta-ala $\tfrac{1}{2}\,v_0\,t_\text{j}$. Sijoitetaan siihen jarrutusaika. Saadaan
$$s_\text{j} = \frac{v_0^2}{2a}$$
missä $s_\text{j}$ on jarrutusmatka ($\text{m}$). Pysähtymismatka on näiden summa:
$$s_\text{p} = v_0\,t_\text{r} + \frac{v_0^2}{2a}$$
missä $s_\text{p}$ on pysähtymismatka ($\text{m}$). Malli olettaa kolme asiaa: tie on vaakasuora, hidastuvuus on jarrutuksen ajan vakio ja ilmanvastus jätetään huomiotta. Nopeus sijoitetaan yksikössä $\text{m/s}$.
Hidastuvuus kitkasta
Vaakasuoralla tiellä auto ei kiihdy pystysuunnassa, joten tukivoima on yhtä suuri kuin paino, $N = mg$. Kun jarrutetaan niin lujaa kuin pito sallii, kitka on $F_\mu = \mu N$. Tässä $\mu$ on renkaiden ja tien välinen kitkakerroin. Newtonin toisen lain mukaan $\mu mg = ma$, ja massa supistuu:
$$a = \mu g$$
missä $\mu$ on kitkakerroin (ei yksikköä) ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Kuivan asfaltin $9{,}0\,\text{m/s}^2$ vastaa kitkakerrointa $0{,}92$. Tässä mallissa jarrutusmatka ei riipu auton massasta. Raskaan kuorma-auton jarrutusmatka on silti usein pidempi. Sen jarrut ja renkaat eivät aina pysty käyttämään koko pitoa.
Törmäyksen keskimääräinen voima
Matkustajan nopeus muuttuu törmäyksessä määrän $\Delta v$ ajassa $\Delta t$. Impulssiperiaate on $\overline{F}_\text{ka}\,\Delta t = \Delta\overline{p}$. Siitä saadaan matkustajaan vaikuttavan keskimääräisen voiman suuruus:
$$F_\text{ka} = \frac{m\,\Delta v}{\Delta t}$$
missä $F_\text{ka}$ on keskimääräinen voima ($\text{N}$), $m$ matkustajan massa ($\text{kg}$), $\Delta v$ nopeuden muutoksen suuruus ($\text{m/s}$) ja $\Delta t$ törmäysaika ($\text{s}$). Esimerkiksi $75\,\text{kg}$:n matkustaja pysähtyy $50\,\text{km/h}$:n nopeudesta. Liikemäärän muutos on noin $1040\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$. Vyössä muutos kestää noin $0{,}10\,\text{s}$, ja keskimääräinen voima on noin $10\,\text{kN}$. Ilman vyötä aika on noin $0{,}010\,\text{s}$ ja voima kymmenkertainen.
Kuvaajan suorakulmioiden pinta-alat ovat yhtä suuret, koska kumpikin on sama liikemäärän muutos $m\,\Delta v$. Todellisuudessa voima vaihtelee törmäyksen aikana. Suurin voima on keskimääräistä suurempi.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että kaksinkertainen nopeus tarkoittaa kaksinkertaista pysähtymismatkaa. Reaktiomatka kaksinkertaistuu, mutta jarrutusmatka nelinkertaistuu, koska se riippuu nopeuden neliöstä. Toinen virhe on ajatella, että turvavyö pienentää liikemäärän muutosta. Liikemäärä muuttuu arvosta $mv$ nollaan joka tapauksessa. Vyö pidentää aikaa, jossa muutos tapahtuu, ja pienentää siksi voimaa. Kolmas virhe on uskoa, että hitaassa kolarissa voi ottaa vastaan käsillä. Jo $50\,\text{km/h}$:n törmäyksessä keskimääräinen voima on vyössäkin noin $10\,\text{kN}$. Se on yli kymmenkertainen ihmisen painoon verrattuna, eikä käsien lihasvoima riitä siihen.
Tiivistelmä
- Pysähtymismatka on reaktiomatka $s_\text{r} = v_0\,t_\text{r}$ plus jarrutusmatka $s_\text{j} = \tfrac{v_0^2}{2a}$. Tämä pätee, kun hidastuvuus on vakio.
- Reaktiomatka on verrannollinen nopeuteen ja jarrutusmatka nopeuden neliöön. Kaksinkertainen nopeus antaa nelinkertaisen jarrutusmatkan.
- Jarrutuksessa autoa hidastaa renkaiden ja tien välinen kitka. Vaakasuoralla tiellä $a = \mu g$. Liukkaalla tiellä jarrutusmatka on siksi monta kertaa pidempi.
- Törmäyksessä matkustajan liikemäärän muutos on sama vyön kanssa ja ilman. Turvavyö ja turvatyyny pidentävät törmäysaikaa. Siksi keskimääräinen voima $F_\text{ka} = \tfrac{m\,\Delta v}{\Delta t}$ pienenee.
- Turvatyyny jakaa voiman suurelle alalle. Se toimii yhdessä turvavyön kanssa, ei sen sijasta.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi mittauksiin ja teoriaan. Mikä yllätti eniten? Kirjoita omin sanoin kaksi asiaa. Miksi pieni nopeuden lisäys voi olla ratkaiseva? Miksi turvavyö pienentää voimaa, vaikka liikemäärän muutos on sama?
Haluaisitko muuttaa ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Auto ajaa kuivalla asfaltilla nopeudella $80\,\text{km/h}$. Kuljettaja vilkaisee puhelinta. Siksi hänen reaktioaikansa vaaratilanteessa on $2{,}0\,\text{s}$. Auton hidastuvuus jarrutuksessa on $9{,}0\,\text{m/s}^2$. Kuinka pitkä on auton pysähtymismatka?
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. $v_0 = 80\,\text{km/h}$, $t_\text{r} = 2{,}0\,\text{s}$ ja $a = 9{,}0\,\text{m/s}^2$. Kysytään pysähtymismatkaa $s_\text{p}$.
Vaihe 2/7
Periaate. Reaktioajan auto liikkuu tasaisella nopeudella, joten reaktiomatka on nopeus kertaa aika. Sen jälkeen auto hidastuu vakiohidastuvuudella, kun tie on vaakasuora ja ilmanvastus jätetään huomiotta. Silloin jarrutusmatka on $(t,v)$-kuvaajan kolmion pinta-ala. Pysähtymismatka on näiden summa.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. $$\begin{aligned} s_\text{p} &= s_\text{r} + s_\text{j} \\ s_\text{p} &= v_0\,t_\text{r} + \frac{v_0^2}{2a} \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Nopeus muunnetaan yksikköön $\text{m/s}$:
Vaihe 5/7
Sijoitus. Lasketaan ensin kumpikin osamatka ja sitten summa:
$$\begin{aligned} s_\text{r} &= v_0\,t_\text{r} \\ \phantom{s_\text{r}} &= 22{,}22\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 2{,}0\,\text{s} \\ \phantom{s_\text{r}} &= 44{,}44\,\text{m} \\ s_\text{j} &= \frac{(22{,}22\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 9{,}0\,\text{m/s}^2} \\ \phantom{s_\text{j}} &= 27{,}43\,\text{m} \\ s_\text{p} &= (44{,}44 + 27{,}43)\,\text{m} \\ \phantom{s_\text{p}} &\approx 72\,\text{m} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Pysähtymismatka on noin $72\,\text{m}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten reaktioajassa $2{,}0\,\text{s}$ ja hidastuvuudessa $9{,}0\,\text{m/s}^2$. Reaktiomatka $44\,\text{m}$ on siitä yli puolet.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Reaktioajalla $1{,}0\,\text{s}$ reaktiomatka olisi $22\,\text{m}$ ja pysähtymismatka noin $50\,\text{m}$. Puhelimen vilkaisu pidentää pysähtymismatkaa siis noin $22\,\text{m}$, eli noin viiden auton pituuden verran. Jarrutusmatka on silti sama. Nopeus $22\,\text{m/s}$ ja jarrutusaika $22\,\text{m/s} : 9\,\text{m/s}^2 \approx 2{,}5\,\text{s}$ antavat jarrutusmatkaksi noin
kuten laskussa.
Valinnainen Etsi virhe
Valinnainen Sovella uuteen tilanteeseen
On syysilta ja pimeää. Auto ajaa märällä tiellä nopeudella $80\,\text{km/h}$. Hirvi astuu tielle $45\,\text{m}$ auton eteen. Kuljettajan reaktioaika on $1{,}0\,\text{s}$. Auton hidastuvuus märällä tiellä on $6{,}0\,\text{m/s}^2$.
Millä nopeudella auto osuu hirveen? Vastaa yksikössä $\text{km/h}$.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Laske ensin reaktiomatka. Kuinka paljon matkaa jää jarrutukseen ennen hirveä?
Vihje 2: mikä yhteys
Oletetaan, että auton nopeus hirven kohdalla on $v$. Silloin pysähtyminen vaatisi vielä matkan $\dfrac{v^2}{2a}$. Koko jarrutusmatka $\dfrac{v_0^2}{2a}$ on siis hirveen asti jarrutettu matka plus $\dfrac{v^2}{2a}$.
Vihje 3: välivaihe
Reaktiomatka on $22{,}2\,\text{m}$. Jarrutukseen jää siis $22{,}8\,\text{m}$. Ratkaise $v^2 = v_0^2 - 2a \cdot 22{,}8\,\text{m}$. Muunna tulos yksikköön $\text{km/h}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
$v_0 = 80\,\text{km/h}$, reaktioaika $t_\text{r} = 1{,}0\,\text{s}$, hidastuvuus märällä tiellä $a = 6{,}0\,\text{m/s}^2$, hirven etäisyys $d = 45\,\text{m}$
Kysytty
auton nopeus $v$ hirven kohdalla yksikössä $\text{km/h}$
Periaate
Reaktioajan auto liikkuu tasaisella nopeudella. Reaktiomatka on siksi $v_0\,t_\text{r}$. Sen jälkeen hidastuvuus on vakio. Pysähtymismatka $22{,}2\,\text{m} + 41{,}2\,\text{m} \approx 63\,\text{m}$ on yli $45\,\text{m}$, joten auto ei pysähdy. Nopeudesta $v$ pysähtyminen vaatisi vielä jarrutusmatkan $\dfrac{v^2}{2a}$. Koko jarrutusmatka on siis hirveen asti jarrutettu matka plus tämä jäljelle jäävä matka.
Kaava
josta $v = \sqrt{v_0^2 - 2a\,(d - v_0\,t_\text{r})}$
Muunnokset
Vastaus muunnetaan lopuksi takaisin: $1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}$.
Sijoitus
joten
Vastaus
$53\,\text{km/h}$
Kaksi merkitsevää numeroa, kuten reaktioajassa $1{,}0\,\text{s}$, hidastuvuudessa $6{,}0\,\text{m/s}^2$ ja etäisyydessä $45\,\text{m}$.
Järkevyys
Nopeus on pienempi kuin $80\,\text{km/h}$ mutta yli puolet siitä. Auto ehtii jarruttaa vain noin $23\,\text{m}$, ja se on alle puolet tarvittavasta $41\,\text{m}$:n jarrutusmatkasta. Kuivalla tiellä ($9{,}0\,\text{m/s}^2$) auto olisi pysähtynyt $49{,}7\,\text{m}$:ssä ja törmännyt silti, mutta paljon hitaammin.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse. Avaa vastaus vasta sitten.
- Kuljettaja ajaa nopeudella $72\,\text{km/h}$. Hän katsoo puhelintaan $2{,}0\,\text{s}$. Kuinka pitkän matkan auto kulkee sinä aikana, kun kuljettaja ei katso tietä?
Vastaus
$72\,\text{km/h} = 20\,\text{m/s}$, joten auto kulkee $20\,\text{m/s} \cdot 2{,}0\,\text{s} = 40\,\text{m}$. Vaara voi tulla juuri sinä aikana. Silloin koko tämä matka tulee reaktiomatkan lisäksi, ennen kuin jarrutus voi alkaa.
- Takapenkillä on irrallinen laukku, jonka massa on $10\,\text{kg}$. Miksi laukku on vaarallinen nokkakolarissa?
Vastaus
Kun auto pysähtyy, mikään ei hidasta laukkua, joten se jatkaa liikettään Newtonin ensimmäisen lain mukaan. Se pysähtyy vasta osuessaan etupenkkiin tai matkustajaan hyvin lyhyessä ajassa. Laukun liikemäärä on suuri. Lyhyt pysähtymisaika tekee voimasta moninkertaisen laukun painoon verrattuna.
- Autoon vaihdetaan renkaat, jotka pitävät paremmin. Jarrutusmatka puolittuu. Miksi pysähtymismatka ei puolitu?
Vastaus
Paremmat renkaat kasvattavat hidastuvuutta. Siksi ne lyhentävät vain jarrutusmatkaa. Reaktiomatka $v_0\,t_\text{r}$ riippuu nopeudesta ja reaktioajasta, ei renkaista. Se pysyy samana.
1. Käsite
2. Laskeminen
Lumisella tiellä auton hidastuvuus jarrutuksessa on $3{,}0\,\text{m/s}^2$. Kuljettaja ajaa nopeudella $60\,\text{km/h}$. Hänen reaktioaikansa on $1{,}0\,\text{s}$. Kuinka pitkä on auton pysähtymismatka? Vastaa metreinä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Pysähtymismatka on kahden matkan summa. Mitkä nämä kaksi matkaa ovat?
Vihje 2: mikä yhteys
Muunna nopeus yksikköön $\text{m/s}$. Käytä kaavaa
Vihje 3: välivaihe
$v_0 \approx 16{,}67\,\text{m/s}$, joten reaktiomatka on $16{,}7\,\text{m}$. Laske sitten jarrutusmatka.
Näytä ratkaisu
Annettu
$v_0 = 60\,\text{km/h}$, reaktioaika $t_\text{r} = 1{,}0\,\text{s}$, hidastuvuus lumisella tiellä $a = 3{,}0\,\text{m/s}^2$
Kysytty
pysähtymismatka $s_\text{p}$ yksikössä $\text{m}$
Periaate
Reaktioajan auto liikkuu tasaisella nopeudella. Reaktiomatka on siksi nopeus kertaa aika. Sitten auto hidastuu vakiohidastuvuudella, kun tie on vaakasuora ja ilmanvastus jätetään huomiotta. Silloin jarrutusmatka on $(t,v)$-kuvaajan kolmion ala. Pysähtymismatka on niiden summa.
Kaava
$s_\text{p} = s_\text{r} + s_\text{j}$, joten
Muunnokset
Sijoitus
Vastaus
$63\,\text{m}$
Kaksi merkitsevää numeroa, kuten reaktioajassa $1{,}0\,\text{s}$ ja hidastuvuudessa $3{,}0\,\text{m/s}^2$.
Järkevyys
Kuivalla tiellä ($9{,}0\,\text{m/s}^2$) jarrutusmatka olisi kolmasosa, noin $15\,\text{m}$. Pysähtymismatka olisi noin $32\,\text{m}$. Lumella hidastuvuus on kolmasosa, joten jarrutusmatka on kolminkertainen. Tulos sopii tähän. Reaktiomatka ei riipu tien kunnosta.
Ehdotus: yksi vastaus ei kerro kaikkea osaamisestasi. Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
3. Selitä
Matkustaja pysähtyy nokkakolarissa samasta nopeudesta, oli hänellä turvavyö ja turvatyyny tai ei. Selitä impulssiperiaatteen avulla, miksi turvavyö ja turvatyyny silti pienentävät voimaa, joka kohdistuu matkustajaan. Kerro myös, miksi turvatyyny ei korvaa turvavyötä.
Mallivastaus
Matkustaja pysähtyy samasta nopeudesta, joten hänen liikemääränsä muuttuu arvosta $mv$ nollaan kummassakin tapauksessa. Impulssiperiaatteen mukaan $F_\text{ka}\,\Delta t = m\,\Delta v$. Sama liikemäärän muutos syntyy sitä pienemmällä keskimääräisellä voimalla, mitä pidempi törmäysaika on. Vyö kiinnittää matkustajan autoon, ja hän hidastuu auton rypistyvän keulan mukana noin sekunnin kymmenesosassa. Ilman vyötä hän jatkaa liikettään ja pysähtyy kojelautaan tai tuulilasiin noin sadasosasekunnissa. Silloin voima on noin kymmenkertainen. Turvatyyny pidentää pään ja ylävartalon pysähtymisaikaa ja jakaa voiman suurelle alalle, joten paine kehoon pienenee. Se on tehty vyöhön kiinnitetylle matkustajalle. Ilman vyötä keho liukuu eteenpäin, ja se voi osua täyttyvään tyynyyn liian aikaisin tai sen ohi. Mikään ei myöskään pidä matkustajaa autossa.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 15-1Ydintehtävä
Auto ajaa nopeudella $72{,}0\,\text{km/h}$. Kuljettajan reaktioaika on $1{,}20\,\text{s}$. Kuinka pitkän matkan auto kulkee reaktioajan aikana?
Vastaus
$24{,}0\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$v_0 = 72{,}0\,\text{km/h}$, reaktioaika $t_\text{r} = 1{,}20\,\text{s}$
Kysytty
reaktiomatka $s_\text{r}$ yksikössä $\text{m}$
Periaate
Reaktioajan kuljettaja ei vielä jarruta. Siksi auto liikkuu tasaisella nopeudella. Tasaisessa liikkeessä kuljettu matka on nopeus kertaa aika.
Kaava
$s_\text{r} = v_0\,t_\text{r}$
Muunnokset
$72{,}0\,\text{km/h}$$= \dfrac{72{,}0 \cdot 1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$$= 20{,}0\,\text{m/s}$Sijoitus
$s_\text{r}$$= 20{,}0\,\text{m/s} \cdot 1{,}20\,\text{s}$$= 24{,}0\,\text{m}$Vastaus
$24{,}0\,\text{m}$
Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten nopeudessa $72{,}0\,\text{km/h}$ ja reaktioajassa $1{,}20\,\text{s}$.
Järkevyys
Auto kulkee $20\,\text{m}$ joka sekunti, joten hieman yli sekunnissa matka on hieman yli $20\,\text{m}$. Se on noin viiden auton mitta, jonka auto kulkee ennen kuin jarrutus edes alkaa.
- Tehtävä 15-2Ydintehtävä
Kuljettaja alkaa jarruttaa, kun auton nopeus on $25{,}0\,\text{m/s}$. Hidastuvuus on $8{,}00\,\text{m/s}^2$. Kuinka pitkä on jarrutusmatka?
Vastaus
$39{,}1\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
nopeus jarrutuksen alussa $v_0 = 25{,}0\,\text{m/s}$, hidastuvuus $a = 8{,}00\,\text{m/s}^2$
Kysytty
jarrutusmatka $s_\text{j}$ yksikössä $\text{m}$
Periaate
Hidastuvuus on vakio. Siksi nopeus pienenee $(t,v)$-kuvaajassa suoraan viivaa pitkin nollaan. Jarrutusmatka on kuvaajan alle jäävän kolmion pinta-ala $\tfrac{1}{2}\,v_0\,t_\text{j}$, jossa jarrutusaika on $t_\text{j} = \tfrac{v_0}{a}$.
Kaava
$s_\text{j} = \tfrac{1}{2}\,v_0\,t_\text{j}$ ja $t_\text{j} = \dfrac{v_0}{a}$, joten $s_\text{j} = \dfrac{v_0^2}{2a}$
Muunnokset
Nopeus on jo yksikössä $\text{m/s}$. Muunnoksia ei siksi tarvita.
Sijoitus
$s_\text{j}$$= \dfrac{(25{,}0\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 8{,}00\,\text{m/s}^2}$$= \dfrac{625\,\text{m}^2/\text{s}^2}{16{,}0\,\text{m/s}^2}$$= 39{,}0625\,\text{m}$Vastaus
$39{,}1\,\text{m}$
Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten nopeudessa $25{,}0\,\text{m/s}$ ja hidastuvuudessa $8{,}00\,\text{m/s}^2$.
Järkevyys
Jarrutus kestää $25 : 8 \approx 3\,\text{s}$, ja keskinopeus on puolet alkunopeudesta, noin $12{,}5\,\text{m/s}$. Matka on noin $12{,}5\,\text{m/s} \cdot 3{,}1\,\text{s} \approx 39\,\text{m}$, kuten laskussa.
- Tehtävä 15-3
Pyöräilijä jarruttaa nopeudesta $20{,}0\,\text{m/s}$, kunnes hän pysähtyy. Hidastuvuus on $5{,}00\,\text{m/s}^2$. Kuinka kauan jarrutus kestää?
Vastaus
$4{,}00\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
nopeus jarrutuksen alussa $v_0 = 20{,}0\,\text{m/s}$, hidastuvuus $a = 5{,}00\,\text{m/s}^2$, loppunopeus $0$
Kysytty
jarrutusaika $t_\text{j}$ yksikössä $\text{s}$
Periaate
Hidastuvuus kertoo, kuinka paljon nopeus pienenee sekunnissa. Hidastuvuus on vakio. Silloin koko nopeuden poistamiseen kuluva aika on nopeus jaettuna hidastuvuudella.
Kaava
$a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$, ja nopeuden muutoksen suuruus on $v_0$, joten $t_\text{j} = \dfrac{v_0}{a}$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä. Muunnoksia ei siksi tarvita.
Sijoitus
$t_\text{j}$$= \dfrac{20{,}0\,\text{m/s}}{5{,}00\,\text{m/s}^2}$$= 4{,}00\,\text{s}$Vastaus
$4{,}00\,\text{s}$
Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten nopeudessa $20{,}0\,\text{m/s}$ ja hidastuvuudessa $5{,}00\,\text{m/s}^2$.
Järkevyys
Nopeus pienenee $5\,\text{m/s}$ joka sekunti: $20 \to 15 \to 10 \to 5 \to 0$, eli neljässä sekunnissa. Yksiköt: $\tfrac{\text{m/s}}{\text{m/s}^2} = \text{s}$.
- Tehtävä 15-4
Matkustajan massa on $70{,}0\,\text{kg}$. Kolarissa hänen nopeutensa muuttuu arvosta $15{,}0\,\text{m/s}$ nollaan ajassa $0{,}120\,\text{s}$. Kuinka suuri on keskimääräinen voima, joka kohdistuu matkustajaan?
Vastaus
$8750\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 70{,}0\,\text{kg}$, nopeus muuttuu arvosta $15{,}0\,\text{m/s}$ nollaan, $\Delta t = 0{,}120\,\text{s}$
Kysytty
keskimääräinen voima $F_\text{ka}$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Impulssiperiaatteen mukaan matkustajaan vaikuttavan voiman impulssi on yhtä suuri kuin hänen liikemääränsä muutos. Voima vaihtelee törmäyksen aikana. Periaate antaa silloin keskimääräisen voiman.
Kaava
$F_\text{ka}\,\Delta t = m\,\Delta v$, joten
$F_\text{ka}$$= \dfrac{m\,\Delta v}{\Delta t}$Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä. Muunnoksia ei siksi tarvita.
Sijoitus
$F_\text{ka}$$= \dfrac{70{,}0\,\text{kg} \cdot 15{,}0\,\text{m/s}}{0{,}120\,\text{s}}$$= \dfrac{1050\,\text{kg}\cdot\text{m/s}}{0{,}120\,\text{s}}$$= 8750\,\text{N}$Vastaus
$8750\,\text{N}$
Eli $8{,}75\,\text{kN}$. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten lähtötiedoissa.
Järkevyys
Matkustajan paino on noin $700\,\text{N}$, joten voima on noin $13$-kertainen painoon verrattuna. Vyössä tämä on tyypillinen suuruusluokka, eikä sitä voisi ottaa vastaan käsillä. Yksiköt:
$\tfrac{\text{kg}\cdot\text{m/s}}{\text{s}}$$= \text{kg}\cdot\text{m/s}^2$$= \text{N}$ - Tehtävä 15-5
Auto liikkuu nopeudella $15{,}0\,\text{m/s}$. Kuljettaja huomaa vaaran. Ennen kuin jarrut alkavat toimia, auto kulkee $18{,}0\,\text{m}$. Kuinka pitkä on kuljettajan reaktioaika?
Vastaus
$1{,}20\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
nopeus $v_0 = 15{,}0\,\text{m/s}$, reaktiomatka $s_\text{r} = 18{,}0\,\text{m}$
Kysytty
reaktioaika $t_\text{r}$ yksikössä $\text{s}$
Periaate
Ennen kuin jarrut alkavat toimia, auto liikkuu tasaisella nopeudella. Reaktiomatka on siksi nopeus kertaa reaktioaika. Aika ratkaistaan siitä.
Kaava
$s_\text{r} = v_0\,t_\text{r}$, joten $t_\text{r} = \dfrac{s_\text{r}}{v_0}$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä. Muunnoksia ei siksi tarvita.
Sijoitus
$t_\text{r}$$= \dfrac{18{,}0\,\text{m}}{15{,}0\,\text{m/s}}$$= 1{,}20\,\text{s}$Vastaus
$1{,}20\,\text{s}$
Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten nopeudessa $15{,}0\,\text{m/s}$ ja matkassa $18{,}0\,\text{m}$.
Järkevyys
Tavallinen reaktioaika on noin sekunti, joten $1{,}2\,\text{s}$ on uskottava. Sekunnissa auto kulkee $15\,\text{m}$, ja $18\,\text{m}$ on vähän enemmän, joten aika on vähän yli sekunnin.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 15-6Ydintehtävä
Auto ajaa nopeudella $90\,\text{km/h}$. Kuljettajan reaktioaika on $1{,}5\,\text{s}$. Auton hidastuvuus jarrutuksessa on $7{,}5\,\text{m/s}^2$. Kuinka pitkä on pysähtymismatka?
Vastaus
$79\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$v_0 = 90\,\text{km/h}$, reaktioaika $t_\text{r} = 1{,}5\,\text{s}$, hidastuvuus $a = 7{,}5\,\text{m/s}^2$
Kysytty
pysähtymismatka $s_\text{p}$ yksikössä $\text{m}$
Periaate
Reaktioajan auto liikkuu tasaisella nopeudella. Reaktiomatka on siksi nopeus kertaa aika. Sitten auto hidastuu vakiohidastuvuudella. Jarrutusmatka on $(t,v)$-kuvaajan kolmion ala. Pysähtymismatka on näiden summa.
Kaava
$s_\text{p} = s_\text{r} + s_\text{j}$, joten
$s_\text{p}$$= v_0\,t_\text{r} + \dfrac{v_0^2}{2a}$Muunnokset
$90\,\text{km/h}$$= \dfrac{90 \cdot 1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$$= 25\,\text{m/s}$Sijoitus
$s_\text{p}$$= 25\,\text{m/s} \cdot 1{,}5\,\text{s} + \dfrac{(25\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 7{,}5\,\text{m/s}^2}$$= 37{,}5\,\text{m} + 41{,}67\,\text{m}$$= 79{,}17\,\text{m}$Vastaus
$79\,\text{m}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten reaktioajassa $1{,}5\,\text{s}$ ja hidastuvuudessa $7{,}5\,\text{m/s}^2$.
Järkevyys
Reaktiomatka ja jarrutusmatka ovat samaa suuruusluokkaa, noin $40\,\text{m}$ kumpikin. Pysähtymismatka on lähes $80\,\text{m}$, kuten maantienopeudella voi odottaa. Pitkä reaktioaika lisää matkaa yhtä paljon kuin koko jarrutus.
- Tehtävä 15-7Ydintehtävä
Auto ajaa nopeudella $100\,\text{km/h}$ vaakasuoralla tiellä, jolla on lunta. Renkaiden ja lumen välinen kitkakerroin on $0{,}30$. Auto jarruttaa niin lujaa kuin pito sallii.
Kuinka pitkä on jarrutusmatka? Ilmanvastusta ei oteta huomioon.
Vastaus
$130\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$v_0 = 100\,\text{km/h}$, kitkakerroin $\mu = 0{,}30$, vaakasuora tie; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
jarrutusmatka $s_\text{j}$ yksikössä $\text{m}$
Periaate
Vaakasuoralla tiellä kitka on ainoa vaakasuora voima. Tukivoima on yhtä suuri kuin paino. Täysi pito antaa siksi hidastuvuuden $a = \mu g$. Hidastuvuus on vakio, joten jarrutusmatka on $(t,v)$-kuvaajan kolmion ala.
Kaava
$a = \mu g$ ja $s_\text{j} = \dfrac{v_0^2}{2a}$, joten $s_\text{j} = \dfrac{v_0^2}{2\mu g}$
Muunnokset
$100\,\text{km/h}$$= \dfrac{100 \cdot 1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$$\approx 27{,}78\,\text{m/s}$Sijoitus
$s_\text{j}$$= \dfrac{(27{,}78\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 0{,}30 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}$$= \dfrac{771{,}6\,\text{m}^2/\text{s}^2}{5{,}886\,\text{m/s}^2}$$= 131{,}1\,\text{m}$Vastaus
$130\,\text{m}$
(eli $1{,}3 \cdot 10^2\,\text{m}$). Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten kitkakertoimessa $0{,}30$.
Järkevyys
Kuivalla asfaltilla ($9{,}0\,\text{m/s}^2$) jarrutusmatka olisi noin $43\,\text{m}$. Lumella hidastuvuus on noin kolmasosa, joten jarrutusmatka on noin kolminkertainen, noin $130\,\text{m}$. Se on pidempi kuin jalkapallokenttä.
- Tehtävä 15-8
Auto törmää nopeudella $50{,}0\,\text{km/h}$ ja pysähtyy. Kuljettajan massa on $75{,}0\,\text{kg}$, ja hänellä on turvavyö. Turvatyyny ja vyö pysäyttävät hänet ajassa $0{,}100\,\text{s}$.
Kuinka suuri on keskimääräinen voima, joka kohdistuu kuljettajaan?
Vastaus
$10\,400\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 75{,}0\,\text{kg}$, nopeus muuttuu arvosta $50{,}0\,\text{km/h}$ nollaan, $\Delta t = 0{,}100\,\text{s}$
Kysytty
keskimääräinen voima $F_\text{ka}$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Impulssiperiaatteen mukaan kuljettajaan vaikuttavien voimien impulssi on yhtä suuri kuin hänen liikemääränsä muutos. Vyö ja turvatyyny pidentävät aikaa, jossa muutos tapahtuu. Periaate antaa keskimääräisen voiman.
Kaava
$F_\text{ka}\,\Delta t = m\,\Delta v$, joten
$F_\text{ka}$$= \dfrac{m\,\Delta v}{\Delta t}$Muunnokset
$50{,}0\,\text{km/h}$$= \dfrac{50{,}0 \cdot 1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$$\approx 13{,}89\,\text{m/s}$Sijoitus
$F_\text{ka}$$= \dfrac{75{,}0\,\text{kg} \cdot 13{,}89\,\text{m/s}}{0{,}100\,\text{s}}$$= \dfrac{1041{,}7\,\text{kg}\cdot\text{m/s}}{0{,}100\,\text{s}}$$= 10\,417\,\text{N}$Vastaus
$10\,400\,\text{N}$
Eli $10{,}4\,\text{kN}$. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten lähtötiedoissa.
Järkevyys
Kuljettajan paino on noin $740\,\text{N}$, joten voima on noin $14$-kertainen painoon verrattuna. Ilman vyötä aika olisi noin kymmenesosa ja voima kymmenkertainen, noin $100\,\text{kN}$.
- Tehtävä 15-9
Onnettomuuspaikalla poliisi mittaa auton jarrutusjäljen. Sen pituus on $32{,}0\,\text{m}$. Auto pysähtyi jäljen päähän. Auton hidastuvuudeksi arvioidaan $8{,}0\,\text{m/s}^2$. Kuinka suuri oli auton nopeus jarrutuksen alussa? Vastaa yksikössä $\text{km/h}$.
Vastaus
$81\,\text{km/h}$
Näytä ratkaisu
Annettu
jarrutusmatka $s_\text{j} = 32{,}0\,\text{m}$, hidastuvuus $a = 8{,}0\,\text{m/s}^2$, auto pysähtyi
Kysytty
nopeus jarrutuksen alussa $v_0$ yksikössä $\text{km/h}$
Periaate
Oletetaan, että hidastuvuus on vakio koko jäljen matkan. Silloin jarrutusmatkan kaava pätee. Alkunopeus ratkaistaan siitä.
Kaava
$s_\text{j} = \dfrac{v_0^2}{2a}$, joten $v_0^2 = 2a\,s_\text{j}$ ja $v_0 = \sqrt{2a\,s_\text{j}}$
Muunnokset
Lasketaan ensin yksikössä $\text{m/s}$ ja muunnetaan lopuksi: $1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}$.
Sijoitus
$v_0^2$$= 2 \cdot 8{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot 32{,}0\,\text{m}$$= 512\,\text{m}^2/\text{s}^2$joten
$v_0$$= \sqrt{512}\,\text{m/s}$$= 22{,}63\,\text{m/s}$$= 22{,}63 \cdot 3{,}6\,\text{km/h}$$= 81{,}46\,\text{km/h}$Vastaus
$81\,\text{km/h}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska hidastuvuus $8{,}0\,\text{m/s}^2$ on arvio kahden numeron tarkkuudella.
Järkevyys
Kuivalla tiellä $80\,\text{km/h}$:n nopeudesta jarrutusmatka on noin $27$–$31\,\text{m}$ hidastuvuudesta riippuen, joten $32\,\text{m}$:n jälki sopii noin $80\,\text{km/h}$:n nopeuteen. Todellinen nopeus voi olla suurempi, jos auto osui johonkin ennen pysähtymistä.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.
- Tehtävä 15-10
Koulun kohdalla nopeusrajoitus on $30\,\text{km/h}$. Lapsi juoksee tielle. Kuljettaja huomaa lapsen juuri sillä etäisyydellä, jolla hän ehtisi pysähtyä $30\,\text{km/h}$:n nopeudesta. Reaktioaika on $1{,}0\,\text{s}$ ja hidastuvuus $9{,}0\,\text{m/s}^2$. Kuljettaja ajaakin nopeudella $40\,\text{km/h}$.
Millä nopeudella auto silloin saavuttaa lapsen? Vastaa yksikössä $\text{km/h}$.
Vastaus
$37\,\text{km/h}$
Näytä ratkaisu
Annettu
rajoitus $30\,\text{km/h}$, todellinen nopeus $v_0 = 40\,\text{km/h}$, reaktioaika $t_\text{r} = 1{,}0\,\text{s}$, hidastuvuus $a = 9{,}0\,\text{m/s}^2$; lapsi on etäisyydellä $d$, joka on pysähtymismatka $30\,\text{km/h}$:n nopeudesta
Kysytty
auton nopeus $v$ lapsen kohdalla yksikössä $\text{km/h}$
Periaate
Ensin lasketaan etäisyys $d$ pysähtymismatkan kaavasta. Nopeudella $40\,\text{km/h}$ auto kulkee ensin reaktiomatkan tasaisella nopeudella. Loppumatkan se jarruttaa. Jos nopeus lapsen kohdalla on $v$, pysähtyminen vaatisi vielä matkan $\tfrac{v^2}{2a}$. Koko jarrutusmatka on siis lapseen asti jarrutettu matka plus tämä matka.
Kaava
$d = u\,t_\text{r} + \dfrac{u^2}{2a}$, jossa $u = 30\,\text{km/h}$, ja
$\dfrac{v_0^2}{2a}$$= (d - v_0\,t_\text{r}) + \dfrac{v^2}{2a}$joten $v = \sqrt{v_0^2 - 2a\,(d - v_0\,t_\text{r})}$
Muunnokset
$u$$= 30\,\text{km/h}$$\approx 8{,}333\,\text{m/s}$$v_0$$= 40\,\text{km/h}$$\approx 11{,}11\,\text{m/s}$vastaus kerrotaan lopuksi luvulla $3{,}6$.
Sijoitus
$d$$= 8{,}333\,\text{m/s} \cdot 1{,}0\,\text{s} + \dfrac{(8{,}333\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 9{,}0\,\text{m/s}^2}$$= 8{,}333\,\text{m} + 3{,}858\,\text{m}$$= 12{,}19\,\text{m}$$d - v_0\,t_\text{r}$$= 12{,}19\,\text{m} - 11{,}11\,\text{m}$$= 1{,}080\,\text{m}$$v^2$$= (11{,}11\,\text{m/s})^2 - 2 \cdot 9{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot 1{,}080\,\text{m}$$= 104{,}0\,\text{m}^2/\text{s}^2$joten
$v$$= \sqrt{104{,}0}\,\text{m/s}$$= 10{,}20\,\text{m/s}$$= 36{,}7\,\text{km/h}$Vastaus
$37\,\text{km/h}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten reaktioajassa $1{,}0\,\text{s}$ ja hidastuvuudessa $9{,}0\,\text{m/s}^2$.
Järkevyys
Nopeudella $40\,\text{km/h}$ jo reaktiomatka $11{,}1\,\text{m}$ vie lähes koko $12{,}2\,\text{m}$:n matkan, joten jarrutukseen jää vain noin metri, ja nopeus ehtii pienentyä vain vähän. Siksi auto osuisi lapseen lähes alkuperäisellä nopeudellaan, vaikka nopeus ylittää rajoituksen vain $10\,\text{km/h}$:lla.
- Tehtävä 15-11
Auto törmää nopeudella $50{,}0\,\text{km/h}$. Matkustajan massa on $70{,}0\,\text{kg}$, ja hänellä on turvavyö. Ennen kuin matkustaja pysähtyy, hän liikkuu yhteensä $0{,}600\,\text{m}$. Tähän matkaan kuuluu sekä auton liike että hänen liikkeensä auton suhteen. Oletetaan, että hänen hidastuvuutensa on vakio.
Kuinka suuri on keskimääräinen voima, joka kohdistuu matkustajaan?
Vastaus
$11\,300\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 70{,}0\,\text{kg}$, $v_0 = 50{,}0\,\text{km/h}$, pysähtymismatka $s = 0{,}600\,\text{m}$, hidastuvuus vakio
Kysytty
keskimääräinen voima $F_\text{ka}$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Voima saadaan impulssiperiaatteesta, kun tunnetaan pysähtymisaika. Aikaa ei anneta. Vakiohidastuvuudella keskinopeus on kuitenkin puolet alkunopeudesta, joten matka on $s = \tfrac{1}{2}\,v_0\,\Delta t$ ($(t,v)$-kuvaajan kolmion ala). Siitä ratkaistaan aika.
Kaava
$s = \tfrac{1}{2}\,v_0\,\Delta t$, joten $\Delta t = \dfrac{2s}{v_0}$, ja $F_\text{ka}\,\Delta t = m\,v_0$, joten
$F_\text{ka}$$= \dfrac{m\,v_0}{\Delta t}$Muunnokset
$50{,}0\,\text{km/h}$$= \dfrac{50{,}0 \cdot 1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$$\approx 13{,}89\,\text{m/s}$Sijoitus
$\Delta t$$= \dfrac{2 \cdot 0{,}600\,\text{m}}{13{,}89\,\text{m/s}}$$= 0{,}08640\,\text{s}$$F_\text{ka}$$= \dfrac{70{,}0\,\text{kg} \cdot 13{,}89\,\text{m/s}}{0{,}08640\,\text{s}}$$= 11\,253\,\text{N}$Vastaus
$11\,300\,\text{N}$
Eli $11{,}3\,\text{kN}$. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten lähtötiedoissa.
Järkevyys
Pysähtymisaika on noin $0{,}09\,\text{s}$, sama suuruusluokka kuin auton rypistymisaika, ja voima on noin $16$ kertaa matkustajan paino $687\,\text{N}$. Jos matkustaja pysähtyisi ilman vyötä muutaman senttimetrin matkalla, voima olisi kymmeniä kertoja suurempi.
- Tehtävä 15-12
Kaksi autoa ajaa peräkkäin nopeudella $80\,\text{km/h}$. Edellä ajava auto jarruttaa yllättäen hidastuvuudella $9{,}0\,\text{m/s}^2$. Takana ajavan kuljettajan reaktioaika on $1{,}0\,\text{s}$. Hänen autonsa renkaat ovat kuluneet, joten sen hidastuvuus on vain $6{,}0\,\text{m/s}^2$.
Kuinka suuri autojen välimatkan täytyy vähintään olla, jotta takana ajava auto pysähtyy ennen kuin se osuu edellä ajavaan?
Vastaus
$36\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
molempien nopeus $v_0 = 80\,\text{km/h}$, edellä ajavan hidastuvuus $a_1 = 9{,}0\,\text{m/s}^2$, takana ajavan hidastuvuus $a_2 = 6{,}0\,\text{m/s}^2$ ja reaktioaika $t_\text{r} = 1{,}0\,\text{s}$
Kysytty
pienin välimatka $d$ yksikössä $\text{m}$
Periaate
Edellä ajava auto alkaa jarruttaa heti ja pysähtyy jarrutusmatkansa päähän. Takana ajava kulkee ensin reaktiomatkan. Sen jälkeen hän kulkee pidemmän jarrutusmatkan, koska hänen autonsa hidastuvuus on pienempi. Edellä ajava liikkuu koko ajan hitaammin kuin takana ajava. Välimatka pienenee siksi, kunnes takana ajava pysähtyy. Törmäystä ei tapahdu, jos välimatka on vähintään yhtä suuri kuin autojen kulkemien matkojen erotus.
Kaava
$d + \dfrac{v_0^2}{2a_1}$$= v_0\,t_\text{r} + \dfrac{v_0^2}{2a_2}$joten
$d$$= v_0\,t_\text{r} + \dfrac{v_0^2}{2a_2} - \dfrac{v_0^2}{2a_1}$Muunnokset
$80\,\text{km/h}$$= \dfrac{80 \cdot 1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$$\approx 22{,}22\,\text{m/s}$Sijoitus
$d$$= 22{,}22\,\text{m/s} \cdot 1{,}0\,\text{s} + \dfrac{(22{,}22\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 6{,}0\,\text{m/s}^2} - \dfrac{(22{,}22\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 9{,}0\,\text{m/s}^2}$$= 22{,}22\,\text{m} + 41{,}15\,\text{m} - 27{,}43\,\text{m}$$= 35{,}94\,\text{m}$Vastaus
$36\,\text{m}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten reaktioajassa $1{,}0\,\text{s}$ ja hidastuvuuksissa.
Järkevyys
Jos autojen hidastuvuudet olisivat samat, välimatkaksi riittäisi reaktiomatka $22\,\text{m}$. Kuluneet renkaat lisäävät tarvittavaa väliä noin $14\,\text{m}$. Välimatka $36\,\text{m}$ vastaa noin $1{,}6\,\text{s}$:n ajoaikaa nopeudella $22\,\text{m/s}$.
Valokuvat
- V08465P006 (2014 Chevrolet Spark, side impact test). Medical College of Wisconsin / NHTSA. lähde, public domain (PD-USGov-DOT)
