RuukkilabraLukion fysiikka
FY9 · Luku 5.1

Tasavirtapiirit ja sähköenergia

Miksi mökin akku riittää pelkille LED-valoille yli viikoksi, mutta kylmälaukun kanssa vain vuorokaudeksi?

Pohjatiedot

Pohdinta

Mökin sähköt tulevat akusta, jonka jännite on $12\,\text{V}$ ja kapasiteetti $100\,\text{Ah}$. Aurinkopaneeli lataa akun päivällä täyteen. Illalla akkuun kytketään LED-valot, joiden teho on yhteensä $6{,}0\,\text{W}$, ja kylmälaukku, jonka teho on $48\,\text{W}$. Kokeessa tällainen tilanne voi olla tehtävän alku: luvut on annettu, mutta kaavaa ei.

Kuinka suuri virta akusta otetaan, ja kuinka monta tuntia täysi akku riittää, kun molemmat laitteet ovat päällä?

Ennusta

Tee ennusteet ennen tutkimista 6 kysymystä

Lähtötaso 1: virta lamppujen välissä

Paristoon on kytketty sarjaan kaksi samanlaista lamppua. Virtamittari pariston ja ensimmäisen lampun välissä näyttää $0{,}20\,\text{A}$. Mitä näyttää toinen virtamittari, joka on lamppujen välissä?

Lähtötaso 2: jännitemittari sarjassa

Opiskelija kytkee yleismittarin jännitealueella vahingossa sarjaan lampun kanssa $4{,}5\,\text{V}$:n paristoon. Mitä tapahtuu?

Lähtötaso 3: hehkulamppu puolella jännitteellä

Hehkulampun läpi kulkee $0{,}50\,\text{A}$, kun sen jännite on $6{,}0\,\text{V}$. Kuinka suuri virta lampun läpi kulkee jännitteellä $3{,}0\,\text{V}$?

Lähtötaso 4: kolmas vastus rinnan

Paristoon on kytketty rinnan kaksi vastusta. Niiden rinnalle kytketään kolmas vastus. Miten pariston antama virta muuttuu, kun napajännite pysyy lähes samana?

Lähtötaso 5: kumpi vastus lämpenee

Vastukset $10\,\Omega$ ja $20\,\Omega$ on kytketty rinnan $9{,}0\,\text{V}$:n jännitelähteeseen. Kummassa vastuksessa muuttuu enemmän sähköenergiaa sisäenergiaksi?

Lähtötaso 6: ajovalot himmenevät

Auton ajovalot palavat, kun moottoria käynnistetään. Käynnistysmoottori ottaa akusta hetken aikaa yli $100\,\text{A}$:n virran, ja ajovalot himmenevät. Miksi?

Tutki

Tunnistamaton lanka

Keksitty esimerkkiaineisto · Arvot on keksitty, ja niihin on lisätty mittausten kaltaista vaihtelua.

Fysiikan tunnilla mitattiin tunnistamattoman metallilangan resistanssi yleismittarilla eri pituuksilla. Langan halkaisija mitattiin mikrometriruuvilla, ja se oli $0{,}30\,\text{mm}$. Mittarin johdot kiinnitettiin lankaan hauenleuoilla, ja pituus $l$ mitattiin leukojen välistä.

$l\ (\text{m})$ $R\ (\Omega)$
$0{,}20$ $1{,}73$
$0{,}40$ $3{,}10$
$0{,}60$ $4{,}55$
$0{,}80$ $5{,}98$
$1{,}00$ $7{,}36$

Päättele aineistosta langan resistiivisyys ja tunnista aine resistiivisyystaulukon avulla. Pohdi myös, miksi resistanssi ei näytä lähestyvän nollaa, kun pituus lähestyy nollaa. Vastaa alla resistiivisyyden luvulla.

Kuinka suuri on langan resistiivisyys?

µΩ·m
Vihje 1: ohjaava kysymys

Mikä aineistossa on verrannollinen pituuteen: resistanssi itse vai sen muutos?

Vihje 2: mikä yhteys

Kun pituus kasvaa $0{,}20\,\text{m}$, resistanssi kasvaa noin $1{,}41\,\Omega$. Kulmakerroin $\tfrac{\Delta R}{\Delta l}$ on $\tfrac{\rho}{A}$.

Vihje 3: välivaihe

$\rho = A \cdot \tfrac{\Delta R}{\Delta l}$, missä $A = \pi r^2$ ja $r = 0{,}15\,\text{mm}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

langan halkaisija $d = 0{,}30\,\text{mm}$; pituudet $0{,}20$–$1{,}00\,\text{m}$ ja resistanssit $1{,}73$–$7{,}36\,\Omega$ taulukossa

Kysytty

langan resistiivisyys $\rho$ yksikössä $\mu\Omega\cdot\text{m}$

Periaate

Tasapaksun langan resistanssi on suoraan verrannollinen pituuteen, $R = \rho\,\tfrac{l}{A}$ (luku Resistanssi ja Ohmin laki). Mittarin johdot ja liitokset lisäävät jokaiseen lukemaan saman resistanssin, joten aineistoon sopii suora $R = \tfrac{\rho}{A}\,l + R_0$. Resistiivisyys saadaan suoran kulmakertoimesta, johon vakiotermi $R_0$ ei vaikuta.

Kaava

$\dfrac{\Delta R}{\Delta l}$$= \dfrac{\rho}{A}$

joten

$\rho$$= A \cdot \dfrac{\Delta R}{\Delta l}$

missä

$A$$= \pi r^2$
$= \pi \left(\dfrac{d}{2}\right)^2$

Muunnokset

$0{,}15\,\text{mm} = 0{,}15 \cdot 10^{-3}\,\text{m}$ ja lopuksi $1\,\Omega\cdot\text{m} = 10^{6}\,\mu\Omega\cdot\text{m}$

Sijoitus

Pisteisiin sovitetun suoran kulmakerroin on $7{,}07\,\Omega/\text{m}$, ja vakiotermi on $0{,}30\,\Omega$.

$A$$= \pi \cdot (0{,}15 \cdot 10^{-3}\,\text{m})^2$
$= 7{,}069 \cdot 10^{-8}\,\text{m}^2$

joten

$\rho$$= 7{,}069 \cdot 10^{-8}\,\text{m}^2 \cdot 7{,}07\,\tfrac{\Omega}{\text{m}}$
$= 4{,}998 \cdot 10^{-7}\,\Omega\cdot\text{m}$
$= 0{,}4998\,\mu\Omega\cdot\text{m}$

Vastaus

$\rho \approx 0{,}50\,\mu\Omega\cdot\text{m} = 5{,}0 \cdot 10^{-7}\,\Omega\cdot\text{m}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten halkaisija $0{,}30\,\text{mm}$. Lanka on konstantaania. Kun pituus lähestyy nollaa, resistanssi lähestyy arvoa $0{,}30\,\Omega$: se on mittausjohtojen ja hauenleukojen liitosten resistanssi, joka on mukana jokaisessa lukemassa.

Järkevyys

Ääripisteistä

$\tfrac{7{,}36\,\Omega - 1{,}73\,\Omega}{1{,}00\,\text{m} - 0{,}20\,\text{m}}$
$= 7{,}04\,\Omega/\text{m}$

mikä antaa saman tuloksen $0{,}50\,\mu\Omega\cdot\text{m}$. Rauta ($0{,}10\,\mu\Omega\cdot\text{m}$) ja kromnikkeli ($1{,}1\,\mu\Omega\cdot\text{m}$) ovat selvästi eri arvoja, joten tunnistus on luotettava. Jos resistiivisyys laskettaisiin yhdestä pisteestä ilman johtojen korjausta, tulos olisi lyhyellä langalla noin $22\,\%$ liian suuri.

Teoriatiivistelmä

Ydinajatus

Tasavirtapiirissä lähde pitää yllä jännitettä, ja jännite ajaa piirin läpi virran. Virran suuruuden määrää koko piirin resistanssi, joten sama paristo antaa eri kuormille eri virrat. Virta ei kulu komponentissa: komponentti muuttaa varausten kuljettamaa sähköenergiaa valoksi, liikkeeksi tai sisäenergiaksi. Teho kertoo, kuinka nopeasti energiaa muuttuu.

$\text{tasavirtapiiri}$
$U,\ I,\ R$
$\textbf{virta ja resistanssi}$
$\text{suureet}$
$I = Q/t$
$\text{virta}$
$U = RI$
$\text{Ohm}$
$R = \rho l/A$
$\text{johdin}$
$\textbf{kytkennät}$
$\text{Kirchhoff}$
$R = R_1 + R_2$
$\text{sarja}$
$1/R = 1/R_1 + 1/R_2$
$\text{rinnan}$
$\sum \Delta V = 0$
$\text{silmukka}$
$\textbf{teho ja energia}$
$\text{Joule}$
$P = UI$
$\text{teho}$
$P = RI^2 = U^2/R$
$\text{vastus}$
$E = Pt$
$\text{energia}$
$\textbf{lähde}$
$\text{paristo, akku}$
$U = E - R_\text{s} I$
$\text{napajännite}$
$I = E/(R + R_\text{s})$
$\text{virta}$
$Q = It$
$\text{kapasiteetti}$

Kokeen piiritehtävässä kannattaa ensin selvittää kytkentä. Sarjaan kytkettyjen komponenttien läpi kulkee sama virta, ja rinnan kytkettyjen yli on sama jännite. Sen jälkeen Kirchhoffin lait ja Ohmin laki antavat virrat ja jännitteet, ja teho ja energia seuraavat niistä.

Tästä saadaan vastaus alun kysymykseen. Mökin laitteet on kytketty akkuun rinnan, joten kummankin yli on $12\,\text{V}$. LED-valot ottavat virran $\tfrac{6{,}0\,\text{W}}{12\,\text{V}} = 0{,}50\,\text{A}$ ja kylmälaukku $\tfrac{48\,\text{W}}{12\,\text{V}} = 4{,}0\,\text{A}$, ja akusta lähtee niiden summa $4{,}5\,\text{A}$. Akun kapasiteetti $100\,\text{Ah}$ riittää pelkille valoille $200\,\text{h}$ eli yli kahdeksaksi vuorokaudeksi, mutta molemmille vain noin $22\,\text{h}$.

$+$
$12\,\text{V}$
$\text{LED}$
$6{,}0\,\text{W}$
$\text{kylmälaukku}$
$48\,\text{W}$
$4{,}5\,\text{A}$
$0{,}50\,\text{A}$
$4{,}0\,\text{A}$
$4{,}5\,\text{A}$

Tasavirtapiirit ja sähköenergia

Virta, jännite ja resistanssi

$$\begin{aligned} I &= \frac{Q}{t} \\ R &= \frac{U}{I} \\ R &= \rho\,\frac{l}{A} \end{aligned}$$

missä $I$ on virta ($\text{A}$), $Q$ poikkileikkauksen läpi kulkenut varaus ($\text{C}$), $t$ aika ($\text{s}$), $U$ komponentin jännite ($\text{V}$), $R$ resistanssi ($\Omega$), $\rho$ resistiivisyys ($\Omega\cdot\text{m}$), $l$ johtimen pituus ($\text{m}$) ja $A$ poikkipinta-ala ($\text{m}^2$). Ohmin lain mukaan metallijohtimen resistanssi on vakio, kun lämpötila pysyy samana. Hehkulampun resistanssi kasvaa langan kuumetessa. Virtamittari kytketään sarjaan ja jännitemittari rinnan.

Kytkennät ja Kirchhoffin lait

$$\begin{aligned} R &= R_1 + R_2 + \dots \\ \frac{1}{R} &= \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots \\ \sum I_\text{tulevat} &= \sum I_\text{lähtevät} \\ \sum \Delta V &= 0 \end{aligned}$$

Ensimmäinen on sarjaan ja toinen rinnan kytkettyjen vastusten kokonaisresistanssi $R$. Virtalaki pätee haarautumispisteelle, koska varaus säilyy. Jännitelaki pätee, kun silmukka kierretään kerran: potentiaali $V$ nousee lähteessä miinusnavalta plusnavalle ja laskee vastuksessa virran suuntaan $RI$:n verran. Siksi rinnakkaisten haarojen yli on sama jännite.

Teho ja energia

$$\begin{aligned} P &= UI \\ P &= RI^2 = \frac{U^2}{R} \\ E &= Pt \end{aligned}$$

missä $P$ on teho ($\text{W}$) ja $E$ ajassa $t$ muuttunut sähköenergia ($\text{J}$ tai $\text{kWh}$). Muoto $P = UI$ pätee kaikille komponenteille, Joulen lain muodot vain vastukselle. Sarjassa suurempi resistanssi saa suuremman tehon, rinnan pienempi. Energian yksiköt muunnetaan sijoittamalla: $1\,\text{kWh} = 1000\,\text{W} \cdot 3600\,\text{s} = 3{,}6\,\text{MJ}$. Kun samassa tehtävässä on myös lähdejännite $E$, energialle käytetään kirjainta $W$.

Paristo ja akku

$$\begin{aligned} U &= E - R_\text{s} I \\ I &= \frac{E}{R + R_\text{s}} \\ Q &= It \end{aligned}$$

missä $E$ on lähdejännite ($\text{V}$), $R_\text{s}$ sisäinen resistanssi ($\Omega$), $U$ napajännite ($\text{V}$), $R$ ulkoisen piirin resistanssi ($\Omega$) ja $Q$ akun kapasiteetti ($\text{Ah}$ tai $\text{C}$). Malli olettaa, että $E$ ja $R_\text{s}$ pysyvät vakioina. Akun energia on $W = UQ$, missä $U$ on nimellisjännite, ja latauksessa napajännite on $U = E + R_\text{s} I$.

Pariston $(I, U)$-kuvaaja on laskeva suora. Se leikkaa pystyakselin lähdejännitteen $E$ kohdalla ja vaaka-akselin oikosulkuvirran $I_\text{k} = \tfrac{E}{R_\text{s}}$ kohdalla, ja sen kulmakerroin on $-R_\text{s}$.

$0$
$I$
$U$
$E$
$I_\text{k}$
$\Delta I$
$\Delta U$
$\text{kulmakerroin } {-R_\text{s}}$

Yleisiä virheitä

  • Virta kuluu. Sama virta tulee komponenttiin ja lähtee siitä; komponentissa muuttuu energia, ei virta.
  • Lähteen jännite sarjavastukselle. Sarjaan kytketyn vastuksen yli on vain osa lähteen jännitteestä. Laske ensin virta, sitten $U_1 = R_1 I$.
  • Käänteisluku unohtuu. Rinnankytkennän laskussa saadaan ensin $\tfrac{1}{R}$, joka käännetään lopuksi. Kokonaisresistanssi on pienempi kuin pienin haaran resistanssi.
  • Hehkulamppu Ohmin lain mukaan. Kuuman langan resistanssi on suurempi, joten lampun resistanssi lasketaan suhteena $U : I$ kussakin kohdassa erikseen.
  • Napajännite on aina merkitty jännite. Kun paristosta otetaan virtaa, napajännite on $R_\text{s} I$:n verran lähdejännitettä pienempi.
  • Kilowattitunti tehona. $\text{kWh}$ on energian yksikkö: kilowatit kerrotaan tunneilla, ja minuutit muutetaan ensin tunneiksi.
  • Milliampeeritunnit energiana. $\text{mAh}$ on varauksen yksikkö, joten akkuja verrataan energialla $W = UQ$.

Kertaa tarvittaessa

Sovella

Etsi virhe: sarjavastuksen teho

Jännitelähteeseen $9{,}0\,\text{V}$ on kytketty sarjaan vastukset $R_1 = 15\,\Omega$ ja $R_2 = 30\,\Omega$. Opiskelija laski vastuksen $R_2$ tehon: ”$P_2 = \tfrac{U^2}{R_2} = \tfrac{(9{,}0\,\text{V})^2}{30\,\Omega} = 2{,}7\,\text{W}$.” Mikä ratkaisussa on väärin?

Lue kuvaaja: hehkulampun ominaiskäyrä

Kuvaajassa on hehkulampun jännite virran funktiona. Jännitteellä $3{,}0\,\text{V}$ virta on $0{,}25\,\text{A}$. Lue muut tarvitsemasi arvot kuvaajasta. Mikä väite on oikein?
$0{,}1$
$0{,}2$
$0{,}3$
$1$
$2$
$3$
$0$
$I\ (\text{A})$
$U\ (\text{V})$

Perusteltu väite: kummassa on enemmän energiaa

Kaupassa verrataan sähköpotkulaudan akkua ($36\,\text{V}$, $7{,}8\,\text{Ah}$) ja varavirtalähdettä ($3{,}7\,\text{V}$, $26\,800\,\text{mAh}$). Myyjä sanoo, että varavirtalähteessä on enemmän energiaa, koska sen milliampeeritunteja on yli kolme kertaa enemmän.Mikä arvio väitteestä on oikein?

Kumpi kytkentä lämmittää enemmän

Veneen $12\,\text{V}$:n akkuun kytketään kaksi samanlaista $6{,}0\,\Omega$:n lämmitysvastusta joko sarjaan tai rinnan. Akun napajännite pysyy lähes $12\,\text{V}$:ssa. Mikä väite kytkentöjen yhteistehosta on oikein?

Auton akku pakkasaamuna

Auton akun napajännite on $12{,}6\,\text{V}$, kun siitä ei oteta virtaa. Käynnistettäessä käynnistysmoottori ottaa akusta $150\,\text{A}$, ja akun napajännite laskee $10{,}2\,\text{V}$:iin. Kuinka suuri on akun sisäinen resistanssi?

mΩ
Vihje 1: ohjaava kysymys

Mitä napajännite kertoo silloin, kun akusta ei oteta virtaa?

Vihje 2: mikä yhteys

Ilman virtaa napajännite on lähdejännite $E$. Kuormitettuna $U = E - R_\text{s} I$.

Vihje 3: välivaihe

$R_\text{s} = \tfrac{E - U}{I}$. Muuta lopuksi ohmit milliohmeiksi.

Näytä ratkaisu

Annettu

napajännite ilman virtaa $12{,}6\,\text{V}$, napajännite käynnistettäessä $U = 10{,}2\,\text{V}$, virta $I = 150\,\text{A}$

Kysytty

akun sisäinen resistanssi $R_\text{s}$ yksikössä $\text{m}\Omega$

Periaate

Akkua kuvataan mallilla, jossa ideaalinen lähde on sarjassa sisäisen resistanssin kanssa (luku Lähdejännite ja sisäinen resistanssi). Ilman virtaa sisäisessä resistanssissa ei ole jännitehäviötä, joten napajännite on lähdejännite $E = 12{,}6\,\text{V}$. Kun akusta otetaan virtaa, potentiaali laskee sisäisessä resistanssissa $R_\text{s} I$:n verran, ja napajännite pienenee.

Kaava

$U = E - R_\text{s} I$, joten $R_\text{s} = \dfrac{E - U}{I}$

Muunnokset

Lopuksi $1\,\Omega = 1000\,\text{m}\Omega$.

Sijoitus

$R_\text{s}$$= \dfrac{12{,}6\,\text{V} - 10{,}2\,\text{V}}{150\,\text{A}}$
$= \dfrac{2{,}4\,\text{V}}{150\,\text{A}}$
$= 0{,}016\,\Omega$
$= 16\,\text{m}\Omega$

Vastaus

$R_\text{s} \approx 16\,\text{m}\Omega$

Kaksi merkitsevää numeroa, koska jännitteiden erotus $2{,}4\,\text{V}$ tunnetaan kahdella numerolla.

Järkevyys

Käynnistysmoottorin resistanssi on $\tfrac{10{,}2\,\text{V}}{150\,\text{A}} = 68\,\text{m}\Omega$, noin nelinkertainen, joten suurin osa jännitteestä jää moottorille, kuten pitää. Oikosulkuvirta olisi $\tfrac{12{,}6\,\text{V}}{0{,}016\,\Omega} \approx 790\,\text{A}$, mikä on autonakulle tavallinen suuruusluokka. Kylmä akku antaa vähemmän virtaa, koska sen sisäinen resistanssi kasvaa.

Sekakytkentä kytkentälevyllä

Kytkentälevyllä on $24\,\text{V}$:n jännitelähde. Sen plusnavasta virta kulkee ensin vastuksen $R_1 = 12\,\Omega$ läpi ja jakautuu sitten kahteen rinnakkaiseen haaraan, joissa ovat vastukset $R_2 = 30\,\Omega$ ja $R_3 = 20\,\Omega$. Haarat yhtyvät ja palaavat lähteen miinusnapaan.

Kuinka suuri virta kulkee vastuksen $R_2$ läpi?

A
Vihje 1: ohjaava kysymys

Korvaa ensin rinnakkaiset vastukset yhdellä vastuksella. Kuinka suuri on koko piirin resistanssi?

Vihje 2: mikä yhteys
$R_{23}$$= \tfrac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}$
$= 12\,\Omega$

$R = R_1 + R_{23} = 24\,\Omega$, joten lähteen virta on $1{,}0\,\text{A}$.

Vihje 3: välivaihe

Rinnakkaisosan jännite on $U_{23} = R_{23} I$, ja $I_2 = \tfrac{U_{23}}{R_2}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

lähteen jännite $U = 24\,\text{V}$, $R_1 = 12\,\Omega$ sarjassa rinnakkaisten vastusten $R_2 = 30\,\Omega$ ja $R_3 = 20\,\Omega$ kanssa

Kysytty

vastuksen $R_2$ läpi kulkeva virta $I_2$

Periaate

Sekakytkentä ratkaistaan sisältä ulospäin (luku Vastusten sarja- ja rinnankytkennät): rinnakkaiset vastukset korvataan yhdellä vastuksella, ja sen kanssa sarjassa oleva $R_1$ lisätään. Lähteen virta kulkee $R_1$:n ja rinnakkaisosan läpi. Jännitelain mukaan lähteen jännite jakautuu vastukselle $R_1$ ja rinnakkaisosalle, ja rinnakkaisten haarojen yli on sama jännite (luku Kirchhoffin lait ja potentiaali virtapiirissä).

Kaava

$R_{23} = \dfrac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}$, $I = \dfrac{U}{R_1 + R_{23}}$, $U_{23} = R_{23} I$ ja $I_2 = \dfrac{U_{23}}{R_2}$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$R_{23}$$= \dfrac{30\,\Omega \cdot 20\,\Omega}{30\,\Omega + 20\,\Omega}$
$= 12\,\Omega$
$I$$= \dfrac{24\,\text{V}}{12\,\Omega + 12\,\Omega}$
$= 1{,}0\,\text{A}$
$U_{23}$$= 12\,\Omega \cdot 1{,}0\,\text{A}$
$= 12\,\text{V}$
$I_2$$= \dfrac{12\,\text{V}}{30\,\Omega}$
$= 0{,}40\,\text{A}$

Vastaus

$I_2 = 0{,}40\,\text{A}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten resistanssit.

Järkevyys

Vastuksen $R_3$ virta on $\tfrac{12\,\text{V}}{20\,\Omega} = 0{,}60\,\text{A}$, ja $0{,}40\,\text{A} + 0{,}60\,\text{A} = 1{,}0\,\text{A}$ on lähteen virta, kuten virtalaki vaatii. Suurempi resistanssi saa pienemmän haaravirran, ja jännitteet $12\,\text{V} + 12\,\text{V}$ ovat yhteensä lähteen $24\,\text{V}$.

Leivänpaahtimen lämmityslanka

Leivänpaahtimen teho on $850\,\text{W}$ jännitteellä $230\,\text{V}$. Sen lämmityslanka on kromnikkeliä, jonka resistiivisyys on $1{,}1 \cdot 10^{-6}\,\Omega\cdot\text{m}$, ja langan halkaisija on $0{,}40\,\text{mm}$. Oletetaan, että resistiivisyys ei muutu langan kuumetessa.

Kuinka pitkä lanka on?

m
Vihje 1: ohjaava kysymys

Kuinka suuri on langan resistanssi, kun teho ja jännite tunnetaan?

Vihje 2: mikä yhteys

$P = \tfrac{U^2}{R}$, joten

$R$$= \tfrac{U^2}{P}$
$\approx 62{,}2\,\Omega$
Vihje 3: välivaihe

$R = \rho\,\tfrac{l}{A}$, joten $l = \tfrac{RA}{\rho}$, missä $A = \pi r^2$ ja $r = 0{,}20\,\text{mm}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

teho $P = 850\,\text{W}$, jännite $U = 230\,\text{V}$, resistiivisyys $\rho = 1{,}1 \cdot 10^{-6}\,\Omega\cdot\text{m}$, halkaisija $d = 0{,}40\,\text{mm}$

Kysytty

langan pituus $l$

Periaate

Paahtimen lanka on vastus, jossa sähköenergia muuttuu sisäenergiaksi teholla $P = \tfrac{U^2}{R}$ (luku Sähköteho ja vastuksen lämpeneminen), joten merkinnöistä saadaan langan resistanssi. Tasapaksun langan resistanssi riippuu pituudesta, poikkipinta-alasta ja aineesta (luku Resistanssi ja Ohmin laki).

Kaava

$R = \dfrac{U^2}{P}$ ja $R = \rho\,\dfrac{l}{A}$, joten

$l$$= \dfrac{RA}{\rho}$
$= \dfrac{U^2 \pi r^2}{P \rho}$

Muunnokset

$r$$= \tfrac{d}{2}$
$= 0{,}20\,\text{mm}$
$= 0{,}20 \cdot 10^{-3}\,\text{m}$

Sijoitus

$R$$= \dfrac{(230\,\text{V})^2}{850\,\text{W}}$
$= 62{,}24\,\Omega$
$A$$= \pi \cdot (0{,}20 \cdot 10^{-3}\,\text{m})^2$
$= 1{,}257 \cdot 10^{-7}\,\text{m}^2$
$l$$= \dfrac{62{,}24\,\Omega \cdot 1{,}257 \cdot 10^{-7}\,\text{m}^2}{1{,}1 \cdot 10^{-6}\,\Omega\cdot\text{m}}$
$= 7{,}11\,\text{m}$

Vastaus

$l \approx 7{,}1\,\text{m}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten resistiivisyys ja halkaisija.

Järkevyys

Seitsemän metrin lanka mahtuu paahtimeen, kun se on kierretty kiemuroiksi leipäaukkojen molemmille puolille. Kuuman kromnikkelin resistiivisyys on hieman suurempi kuin huoneenlämmössä, joten todellinen lanka on vähän lyhyempi. Kuparilangan pitäisi olla satoja metrejä, mikä selittää, miksi lämmityslangat tehdään kromnikkelistä.

Vedenkeitin sähkölaskussa

Perhe keittää vettä $2{,}2\,\text{kW}$:n vedenkeittimellä kolme kertaa päivässä, ja yksi keitto kestää $4{,}0\,\text{min}$. Sähköenergia ja siirto maksavat yhteensä $15{,}8\,\text{snt/kWh}$. Kuinka paljon vedenkeittimen käyttö maksaa $30$ vuorokauden aikana?

€
Vihje 1: ohjaava kysymys

Kuinka monta tuntia keitin on päällä $30$ vuorokaudessa?

Vihje 2: mikä yhteys

Keittoja on $90$, joten aika on

$90 \cdot 4{,}0\,\text{min}$$= 360\,\text{min}$
$= 6{,}0\,\text{h}$

Energia on $E = Pt$ kilowattitunteina.

Vihje 3: välivaihe

Hinta on $aE$, missä $a = 0{,}158\,\text{€/kWh}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

teho $P = 2{,}2\,\text{kW}$, $3$ keittoa päivässä, yksi keitto $4{,}0\,\text{min}$, $30$ vuorokautta, hinta $a = 15{,}8\,\text{snt/kWh}$

Kysytty

käytön hinta $K$ euroina

Periaate

Keittimen teho on vakio, joten sen käyttämä energia on teho kertaa käyttöaika (luku Sähköenergia kotona). Kun teho on kilowatteina ja aika tunteina, energia saadaan kilowattitunteina, joilla hinta lasketaan. Perusmaksut eivät riipu keittimen käytöstä, joten ne eivät kuulu laskuun.

Kaava

$E = Pt$ ja $K = aE$

Muunnokset

$t$$= 3 \cdot 30 \cdot 4{,}0\,\text{min}$
$= 360\,\text{min}$
$= 360 \cdot \tfrac{1}{60}\,\text{h}$
$= 6{,}0\,\text{h}$
$a$$= 15{,}8 \cdot 0{,}01\,\text{€/kWh}$
$= 0{,}158\,\text{€/kWh}$

Sijoitus

$E$$= 2{,}2\,\text{kW} \cdot 6{,}0\,\text{h}$
$= 13{,}2\,\text{kWh}$
$K$$= 0{,}158\,\tfrac{\text{€}}{\text{kWh}} \cdot 13{,}2\,\text{kWh}$
$= 2{,}09\,\text{€}$

Vastaus

$K \approx 2{,}1\,\text{€}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten teho $2{,}2\,\text{kW}$ ja keittoaika $4{,}0\,\text{min}$.

Järkevyys

Keitin on kodin suuritehoisimpia laitteita mutta ei suurimpia energian kuluttajia: kuukauden $13\,\text{kWh}$ on vain muutama prosentti tavallisen kerrostaloasunnon kulutuksesta, koska keitin on päällä vain $12\,\text{min}$ päivässä.

Tarkista osaamisesi

Exit ticket

Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.

  1. Kaksi $10\,\Omega$:n vastusta kytketään rinnan. Kuinka suuri on niiden kokonaisresistanssi?
    Vastaus

    $\tfrac{1}{R} = \tfrac{1}{10\,\Omega} + \tfrac{1}{10\,\Omega} = \tfrac{2}{10\,\Omega}$, joten $R = 5{,}0\,\Omega$: puolet yhden vastuksen resistanssista.

  2. Kuinka monta kilowattituntia $1500\,\text{W}$:n lämmitin käyttää $4{,}0$ tunnissa?
    Vastaus

    $E = Pt = 1{,}5\,\text{kW} \cdot 4{,}0\,\text{h} = 6{,}0\,\text{kWh}$.

1. Käsite

Jännitelähteen ($12\,\text{V}$) miinusnavan potentiaali on $0\,\text{V}$. Plusnavasta virta kulkee vastuksen $R_1 = 20\,\Omega$ ja sitten vastuksen $R_2 = 40\,\Omega$ kautta takaisin miinusnapaan. Mikä on vastusten välisen kohdan potentiaali?

Kertaa potentiaali ja jännitelaki luvussa Kirchhoffin lait ja potentiaali virtapiirissä ja sarjaankytkentä luvussa Vastusten sarja- ja rinnankytkennät.

2. Laskeminen

Taskulampun paristosta otetaan ensin $0{,}30\,\text{A}$, jolloin napajännite on $4{,}40\,\text{V}$, ja sitten $0{,}80\,\text{A}$, jolloin napajännite on $4{,}10\,\text{V}$. Kuinka suuri on pariston lähdejännite?

V
Vihje 1: ohjaava kysymys

Kumpikin mittaus toteuttaa saman yhtälön $U = E - R_\text{s} I$. Montako tuntematonta on?

Vihje 2: mikä yhteys

Kun yhtälöt vähennetään toisistaan, $E$ supistuu pois: $R_\text{s} = -\tfrac{\Delta U}{\Delta I}$.

Vihje 3: välivaihe
$R_\text{s}$$= \tfrac{4{,}40\,\text{V} - 4{,}10\,\text{V}}{0{,}80\,\text{A} - 0{,}30\,\text{A}}$
$= 0{,}60\,\Omega$

ja $E = U + R_\text{s} I$.

Näytä ratkaisu

Annettu

$I_1 = 0{,}30\,\text{A}$ ja $U_1 = 4{,}40\,\text{V}$, $I_2 = 0{,}80\,\text{A}$ ja $U_2 = 4{,}10\,\text{V}$

Kysytty

pariston lähdejännite $E$

Periaate

Paristoa kuvataan lähteellä, jonka lähdejännite $E$ ja sisäinen resistanssi $R_\text{s}$ pysyvät vakioina (luku Lähdejännite ja sisäinen resistanssi). Napajännite pienenee sisäisen resistanssin jännitehäviön verran, joten kumpikin mittaus antaa yhtälön, jossa on samat kaksi tuntematonta. Kun yhtälöt vähennetään toisistaan, saadaan ensin $R_\text{s}$ ja sitten $E$.

Kaava

$U_1 = E - R_\text{s} I_1$ ja $U_2 = E - R_\text{s} I_2$, joten

$R_\text{s}$$= \dfrac{U_1 - U_2}{I_2 - I_1}$

$E = U_1 + R_\text{s} I_1$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$R_\text{s}$$= \dfrac{4{,}40\,\text{V} - 4{,}10\,\text{V}}{0{,}80\,\text{A} - 0{,}30\,\text{A}}$
$= \dfrac{0{,}30\,\text{V}}{0{,}50\,\text{A}}$
$= 0{,}60\,\Omega$
$E$$= 4{,}40\,\text{V} + 0{,}60\,\Omega \cdot 0{,}30\,\text{A}$
$= 4{,}58\,\text{V}$

Vastaus

$E \approx 4{,}58\,\text{V}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten napajännitteet: korjaus $0{,}18\,\text{V}$ lisätään sadasosan tarkkuudella tunnettuun jännitteeseen.

Järkevyys

Toinen mittaus antaa saman: $4{,}10\,\text{V} + 0{,}60\,\Omega \cdot 0{,}80\,\text{A} = 4{,}58\,\text{V}$. Kolmen sarjaan kytketyn AA-pariston lähdejännite on noin $4{,}5$–$4{,}8\,\text{V}$, ja lähdejännite on suurempi kuin kumpikaan napajännite, kuten pitää.

Kertaa napajännite ja sisäinen resistanssi luvussa Lähdejännite ja sisäinen resistanssi.

3. Selitä

Kaksi hehkulamppua, joiden merkinnät ovat $230\,\text{V}$, $40\,\text{W}$ ja $230\,\text{V}$, $100\,\text{W}$, kytketään sarjaan $230\,\text{V}$:n jännitteeseen. Kumpi lamppu palaa kirkkaammin? Selitä resistanssien, virran ja tehon avulla.

Tehtävät

5.1-1 Takalasin lämmitin 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Lämmittimen mitat ja mittaukset on keksitty. Todellisen raidan resistanssi muuttuu hieman lämpötilan mukana.

Auton takalasissa on lämmitin, jossa on $10$ ohutta johdinraitaa vierekkäin. Lasin reunoilla on kaksi kiskoa, ja jokainen raita kulkee kiskosta toiseen. Raidan pituus on $1{,}10\,\text{m}$ ja leveys $3{,}0\,\text{mm}$, ja raitojen materiaalin resistiivisyys on $3{,}0 \cdot 10^{-7}\,\Omega\cdot\text{m}$. Kun moottori käy, kiskojen välinen jännite on $13{,}5\,\text{V}$, ja lämmittimen johtoon kytketty pihtivirtamittari näyttää $12{,}0\,\text{A}$. Oletetaan, että raitojen resistanssi ei riipu lämpötilasta.

  1. a) Kuinka suuri on lämmittimen teho, ja kuinka suuri on yhden raidan resistanssi? 4 p
  2. b) Kuinka paksu raita on? 4 p
  3. c) Yksi raita katkeaa naarmun vuoksi. Miten lämmittimen virta ja teho muuttuvat, ja lämpeneekö lasi ehjien raitojen kohdalta yhtä hyvin kuin ennen? 3 p
  4. d) Moottori sammutetaan, ja lämmitin jää pelkän akun varaan. Akun lähdejännite on $12{,}6\,\text{V}$ ja sisäinen resistanssi $0{,}020\,\Omega$. Kuinka suuri on lämmittimen teho nyt, kun kaikki raidat ovat ehjiä? 4 p

Taidot luvuista: Vastusten sarja- ja rinnankytkennät, Resistanssi ja Ohmin laki, Sähköteho ja vastuksen lämpeneminen, Lähdejännite ja sisäinen resistanssi

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

raitoja $10$, kiskojen välinen jännite $U = 13{,}5\,\text{V}$, lämmittimen virta $I = 12{,}0\,\text{A}$

Kysytty

lämmittimen teho $P$ ja yhden raidan resistanssi $R_1$

Periaate

Jokainen raita kulkee kiskosta toiseen, joten raidat ovat rinnan: kaikkien yli on sama jännite $13{,}5\,\text{V}$, ja samanlaiset raidat jakavat virran tasan (luku Vastusten sarja- ja rinnankytkennät). Lämmittimen teho on jännitteen ja virran tulo (luku Sähköteho ja vastuksen lämpeneminen), ja raidan resistanssi on sen jännitteen ja virran suhde (luku Resistanssi ja Ohmin laki).

Kaava

$P = UI$, $I_1 = \dfrac{I}{10}$ ja $R_1 = \dfrac{U}{I_1}$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$P$$= 13{,}5\,\text{V} \cdot 12{,}0\,\text{A}$
$= 162\,\text{W}$
$I_1$$= \dfrac{12{,}0\,\text{A}}{10}$
$= 1{,}20\,\text{A}$
$R_1$$= \dfrac{13{,}5\,\text{V}}{1{,}20\,\text{A}}$
$= 11{,}25\,\Omega$

Vastaus

Lämmittimen teho on $P \approx 162\,\text{W}$ ja yhden raidan resistanssi $R_1 \approx 11{,}3\,\Omega$, kolme merkitsevää numeroa kuten jännite ja virta.

Järkevyys

Koko lämmittimen resistanssi on $\tfrac{11{,}25\,\Omega}{10} = 1{,}125\,\Omega$, ja $\tfrac{13{,}5\,\text{V}}{1{,}125\,\Omega} = 12{,}0\,\text{A}$, kuten mitattiin. Muutaman sadan watin teho riittää sulattamaan ohuen huurteen lasista muutamassa minuutissa.

b)

Annettu

raidan resistanssi $R_1 = 11{,}25\,\Omega$ (a-kohta), pituus $l = 1{,}10\,\text{m}$, leveys $b = 3{,}0\,\text{mm}$, resistiivisyys $\rho = 3{,}0 \cdot 10^{-7}\,\Omega\cdot\text{m}$

Kysytty

raidan paksuus $h$

Periaate

Raita on tasapaksu johdin, jonka resistanssi on verrannollinen pituuteen ja kääntäen verrannollinen poikkipinta-alaan (luku Resistanssi ja Ohmin laki). Raidan poikkileikkaus on suorakulmio, jonka pinta-ala on leveys kertaa paksuus.

Kaava

$R_1 = \rho\,\dfrac{l}{A}$, joten $A = \dfrac{\rho l}{R_1}$, ja $A = bh$, joten

$h$$= \dfrac{A}{b}$
$= \dfrac{\rho l}{R_1 b}$

Muunnokset

$3{,}0\,\text{mm} = 3{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{m}$ ja lopuksi $1\,\text{m} = 10^{6}\,\mu\text{m}$

Sijoitus

$A$$= \dfrac{3{,}0 \cdot 10^{-7}\,\Omega\cdot\text{m} \cdot 1{,}10\,\text{m}}{11{,}25\,\Omega}$
$= 2{,}933 \cdot 10^{-8}\,\text{m}^2$
$h$$= \dfrac{2{,}933 \cdot 10^{-8}\,\text{m}^2}{3{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{m}}$
$= 9{,}78 \cdot 10^{-6}\,\text{m}$
$= 9{,}78\,\mu\text{m}$

Vastaus

Raidan paksuus on $h \approx 9{,}8\,\mu\text{m}$ eli noin sadasosamillimetri, kaksi merkitsevää numeroa kuten resistiivisyys ja leveys.

Järkevyys

Lasin pintaan painettu johdinraita on hyvin ohut kalvo, joten mikrometrien paksuus on uskottava. Jos raita olisi millimetrin paksuinen, sen resistanssi olisi sata kertaa pienempi, ja virta olisi liian suuri.

c)

Kysytty

miten virta ja teho muuttuvat, kun yksi raita katkeaa, ja lämpeneekö lasi ehjien raitojen kohdalta yhtä hyvin

Periaate

Rinnakkaisten haarojen yli on sama jännite, joten katkennut haara ei muuta muiden haarojen jännitettä eikä virtaa (luku Vastusten sarja- ja rinnankytkennät). Kiskoihin tuleva virta on haarojen virtojen summa (luku Kirchhoffin lait ja potentiaali virtapiirissä).

Mallivastaus

Katkenneen raidan läpi ei enää kulje virtaa, mutta yhdeksän ehjän raidan yli on edelleen $13{,}5\,\text{V}$. Jokaisen ehjän raidan virta on yhä $1{,}20\,\text{A}$ ja teho $13{,}5\,\text{V} \cdot 1{,}20\,\text{A} = 16{,}2\,\text{W}$, joten ne lämmittävät lasia kuten ennen. Lämmittimen virta pienenee arvoon $9 \cdot 1{,}20\,\text{A} = 10{,}8\,\text{A}$, ja teho arvoon $13{,}5\,\text{V} \cdot 10{,}8\,\text{A} \approx 146\,\text{W}$, eli kumpikin pienenee kymmenesosalla. Katkenneen raidan kohdalle jää kapea kaista, josta huurre sulaa vain viereisten raitojen lämmön avulla. Jos raidat olisivat sarjassa, yksi katkos sammuttaisi koko lämmittimen.

d)

Annettu

raidan resistanssi $R_1 = 11{,}25\,\Omega$ (a-kohta), $10$ raitaa rinnan, akun lähdejännite $E = 12{,}6\,\text{V}$ ja sisäinen resistanssi $R_\text{s} = 0{,}020\,\Omega$, lämmittimen teho moottorin käydessä $162\,\text{W}$ (a-kohta)

Kysytty

lämmittimen teho $P$ pelkän akun varassa

Periaate

Kymmenen samanlaista rinnakkaista raitaa vastaa yhtä vastusta, jonka resistanssi on kymmenesosa raidan resistanssista (luku Vastusten sarja- ja rinnankytkennät). Akun sisäinen resistanssi on lämmittimen kanssa sarjassa, joten virran määrää niiden yhteinen resistanssi (luku Lähdejännite ja sisäinen resistanssi). Lämmittimen teho saadaan sen virrasta Joulen lailla (luku Sähköteho ja vastuksen lämpeneminen).

Kaava

$R = \dfrac{R_1}{10}$, $I = \dfrac{E}{R + R_\text{s}}$ ja $P = RI^2$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$R$$= \dfrac{11{,}25\,\Omega}{10}$
$= 1{,}125\,\Omega$
$I$$= \dfrac{12{,}6\,\text{V}}{1{,}125\,\Omega + 0{,}020\,\Omega}$
$= 11{,}00\,\text{A}$
$P$$= 1{,}125\,\Omega \cdot (11{,}00\,\text{A})^2$
$= 136{,}2\,\text{W}$

Vastaus

Lämmittimen teho on $P \approx 136\,\text{W}$, kolme merkitsevää numeroa kuten lähdejännite $12{,}6\,\text{V}$.

Järkevyys

Napajännite on

$12{,}6\,\text{V} - 0{,}020\,\Omega \cdot 11{,}0\,\text{A}$
$= 12{,}38\,\text{V}$

ja $\tfrac{(12{,}38\,\text{V})^2}{1{,}125\,\Omega} \approx 136\,\text{W}$, sama tulos. Teho on noin $84\,\%$ moottorin käydessä saadusta, koska teho on verrannollinen jännitteen neliöön ja $\left(\tfrac{12{,}38}{13{,}5}\right)^2 \approx 0{,}84$. Moottorin käydessä laturi pitää jännitteen korkeampana.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa raidan resistanssiksi lasketaan koko lämmittimen resistanssi $\tfrac{13{,}5\,\text{V}}{12{,}0\,\text{A}} = 1{,}125\,\Omega$, tai raidat oletetaan sarjaan, jolloin resistanssi jaetaan kymmenellä väärään suuntaan.
  • b-kohdassa millimetrejä ei muuteta metreiksi, tai poikkipinta-alaksi otetaan $\pi r^2$, vaikka raita on litteä.
  • c-kohdassa oletetaan, että muiden raitojen virta kasvaa, koska kokonaisvirta "jakautuu" yhdeksälle.
  • d-kohdassa sisäinen resistanssi unohdetaan tai teho lasketaan lähdejännitteellä $\tfrac{(12{,}6\,\text{V})^2}{1{,}125\,\Omega} = 141\,\text{W}$.

Hyväksytään myös

  • d-kohdassa teho napajännitteestä $P = \tfrac{U^2}{R}$, kun $U = E - R_\text{s} I$ on laskettu.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Perustelee kytkennän: jokainen raita on kiskojen välissä, joten raidat ovat rinnan, kaikkien yli on sama jännite $13{,}5\,\text{V}$ ja virta jakautuu tasan. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $P = UI$, $I_1 = \dfrac{I}{10}$ ja $R_1 = \dfrac{U}{I_1}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $P = 13{,}5\,\text{V} \cdot 12{,}0\,\text{A} = 162\,\text{W}$, $I_1 = 1{,}20\,\text{A}$ ja $R_1 = 11{,}25\,\Omega$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $P \approx 162\,\text{W}$ ja $R_1 \approx 11{,}3\,\Omega$ kolmella merkitsevällä numerolla 1 p

b)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $R_1 = \rho\,\dfrac{l}{A}$, joten $A = \dfrac{\rho l}{R_1}$, ja paksuus on $h = \dfrac{A}{b}$, missä $b$ on raidan leveys 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $A = \dfrac{3{,}0 \cdot 10^{-7}\,\Omega\cdot\text{m} \cdot 1{,}10\,\text{m}}{11{,}25\,\Omega} = 2{,}93 \cdot 10^{-8}\,\text{m}^2$ ja $h = \dfrac{2{,}93 \cdot 10^{-8}\,\text{m}^2}{3{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{m}} = 9{,}8 \cdot 10^{-6}\,\text{m}$ 2 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $h \approx 9{,}8\,\mu\text{m}$ eli noin $0{,}01\,\text{mm}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten resistiivisyys ja leveys 1 p

c)3 p

Perustelee rinnankytkennällä: katkennut haara ei muuta muiden raitojen jännitettä, joten ehjien raitojen virta ja teho pysyvät ennallaan. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Virta $9 \cdot 1{,}20\,\text{A} = 10{,}8\,\text{A}$ ja teho $13{,}5\,\text{V} \cdot 10{,}8\,\text{A} \approx 146\,\text{W}$ 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Virta ja teho pienenevät kymmenesosalla, ehjät raidat lämmittävät kuten ennen, ja vain katkenneen raidan kohdalle jää kapea huurteinen kaista. 1 p

d)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Lämmittimen resistanssi $R = \dfrac{R_1}{10}$, $I = \dfrac{E}{R + R_\text{s}}$ ja $P = RI^2$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $R = 1{,}125\,\Omega$, $I = \dfrac{12{,}6\,\text{V}}{1{,}145\,\Omega} = 11{,}0\,\text{A}$ ja $P = 1{,}125\,\Omega \cdot (11{,}0\,\text{A})^2 \approx 136\,\text{W}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $P \approx 136\,\text{W}$ kolmella merkitsevällä numerolla 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Teho on noin $84\,\%$ moottorin käydessä saadusta, koska napajännite $12{,}4\,\text{V}$ on pienempi kuin $13{,}5\,\text{V}$ ja teho on verrannollinen jännitteen neliöön. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (14 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

5.1-2 Sähköpotkulaudan akku 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Akun, laturin ja ajon luvut on keksitty. Todellisen akun lähdejännite kasvaa latauksen aikana, joten latausvirta pienenee.

Sähköpotkulaudan akun tyyppikilvessä lukee $36\,\text{V}$ ja $10{,}4\,\text{Ah}$. Valmistajan laturin jännite on $42{,}0\,\text{V}$. Lisäksi tiedetään:

  • ajossa nopeudella $20\,\text{km/h}$ akusta otetaan keskimäärin $7{,}5\,\text{A}$
  • tyhjän akun lähdejännite on $34{,}5\,\text{V}$ ja sisäinen resistanssi $0{,}40\,\Omega$
  • laturin ja johtojen resistanssi on yhteensä $2{,}6\,\Omega$
  • sähkö maksaa siirtoineen $15\,\text{snt/kWh}$
  1. a) Kuinka paljon energiaa täyteen ladattuun akkuun on varastoitunut? Anna vastaus wattitunteina ja megajouleina. 3 p
  2. b) Kuinka pitkän matkan täydellä akulla voi ajaa nopeudella $20\,\text{km/h}$? 4 p
  3. c) Laturi kytketään tyhjään akkuun. Kuinka suuri on latausvirta latauksen alussa, ja kuinka suuri on silloin akun napajännite? 4 p
  4. d) Arvioi latauksen hyötysuhde, kun laturin jännite pysyy $42{,}0\,\text{V}$:ssa ja akun läpi kulkee latauksessa varaus $10{,}4\,\text{Ah}$. Kuinka paljon yksi täysi lataus maksaa? 4 p

Taidot luvuista: Akut ja latauspiiri, Lähdejännite ja sisäinen resistanssi, Sähköenergia kotona

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

nimellisjännite $U = 36\,\text{V}$, kapasiteetti $Q = 10{,}4\,\text{Ah}$

Kysytty

akkuun varastoitunut energia $W$ wattitunteina ja megajouleina

Periaate

Kapasiteetti kertoo varauksen, joka akun läpi voi kulkea, ja jokainen varausyksikkö luovuttaa energiaa jännitteen verran. Siksi akun energia on nimellisjännite kertaa kapasiteetti (luku Akut ja latauspiiri).

Kaava

$W = UQ$

Muunnokset

$1\,\text{V} \cdot 1\,\text{Ah}$$= 1\,\text{Wh}$
$1\,\text{Wh}$$= 1\,\text{W} \cdot 3600\,\text{s}$
$= 3600\,\text{J}$

Sijoitus

$W$$= 36\,\text{V} \cdot 10{,}4\,\text{Ah}$
$= 374{,}4\,\text{Wh}$
$= 374{,}4 \cdot 3600\,\text{J}$
$= 1{,}348 \cdot 10^{6}\,\text{J}$

Vastaus

$W \approx 374\,\text{Wh} \approx 1{,}35\,\text{MJ}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten kapasiteetti $10{,}4\,\text{Ah}$.

Järkevyys

Puhelimen akussa on noin $15\,\text{Wh}$ ja kannettavan tietokoneen akussa noin $50\,\text{Wh}$, joten potkulaudan akku on muutaman kannettavan akun suuruinen, mikä sopii ajoneuvolle.

b)

Annettu

kapasiteetti $Q = 10{,}4\,\text{Ah}$, keskimääräinen virta $I = 7{,}5\,\text{A}$, nopeus $v = 20\,\text{km/h}$

Kysytty

ajomatka $s$ täydellä akulla

Periaate

Vakiovirralla akun läpi kulkeva varaus on virta kertaa aika, joten kapasiteetti ja virta antavat ajoajan (luku Akut ja latauspiiri). Tasaisella nopeudella matka on nopeus kertaa aika. Oletetaan, että koko kapasiteetti on käytettävissä ja virta pysyy keskiarvossaan.

Kaava

$Q = It$, joten $t = \dfrac{Q}{I}$, ja $s = vt$

Muunnokset

Ampeeritunnit jaettuna ampeereilla antavat ajan suoraan tunteina.

Sijoitus

$t$$= \dfrac{10{,}4\,\text{Ah}}{7{,}5\,\text{A}}$
$= 1{,}387\,\text{h}$
$s$$= 20\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}} \cdot 1{,}387\,\text{h}$
$= 27{,}7\,\text{km}$

Vastaus

Akulla voi ajaa noin $s \approx 28\,\text{km}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten virta $7{,}5\,\text{A}$ ja nopeus $20\,\text{km/h}$.

Järkevyys

Ajoaika on noin $1\,\text{h}\ 23\,\text{min}$, ja keskimääräinen teho $36\,\text{V} \cdot 7{,}5\,\text{A} = 270\,\text{W}$, mikä on potkulaudan moottorille tavallinen. Todellinen matka on usein lyhyempi: mäet, vastatuuli ja kylmä sää kasvattavat virtaa, eikä akkua kannata purkaa aivan tyhjäksi.

c)

Annettu

laturin jännite $U_\text{lat} = 42{,}0\,\text{V}$, tyhjän akun lähdejännite $E = 34{,}5\,\text{V}$ ja sisäinen resistanssi $R_\text{s} = 0{,}40\,\Omega$, laturin ja johtojen resistanssi $R = 2{,}6\,\Omega$

Kysytty

latausvirta $I$ ja akun napajännite $U$ latauksen alussa

Periaate

Kierretään latauspiirin silmukka virran suuntaan (luku Kirchhoffin lait ja potentiaali virtapiirissä). Potentiaali nousee laturissa $U_\text{lat}$:n verran ja laskee resistansseissa $RI$ ja $R_\text{s} I$. Lisäksi se laskee akun lähdejännitteen verran, koska ladattaessa virta kulkee akun läpi plusnavalta miinusnavalle (luku Akut ja latauspiiri). Siksi latausvirtaa ajaa laturin jännitteen ja akun lähdejännitteen erotus.

Kaava

$U_\text{lat} - RI - R_\text{s} I - E = 0$, joten

$I$$= \dfrac{U_\text{lat} - E}{R + R_\text{s}}$

napajännite latauksessa $U = E + R_\text{s} I$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$I$$= \dfrac{42{,}0\,\text{V} - 34{,}5\,\text{V}}{2{,}6\,\Omega + 0{,}40\,\Omega}$
$= \dfrac{7{,}5\,\text{V}}{3{,}0\,\Omega}$
$= 2{,}50\,\text{A}$
$U$$= 34{,}5\,\text{V} + 0{,}40\,\Omega \cdot 2{,}50\,\text{A}$
$= 35{,}5\,\text{V}$

Vastaus

Latausvirta on $I \approx 2{,}5\,\text{A}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten jännitteiden erotus $7{,}5\,\text{V}$, ja napajännite $U \approx 35{,}5\,\text{V}$.

Järkevyys

Napajännite on latauksessa suurempi kuin lähdejännite, kuten pitää. Laturin ja johtojen yli jää $2{,}6\,\Omega \cdot 2{,}5\,\text{A} = 6{,}5\,\text{V}$, ja $35{,}5\,\text{V} + 6{,}5\,\text{V} = 42{,}0\,\text{V}$. Kun akku latautuu, sen lähdejännite kasvaa, joten virta pienenee ja lataus hidastuu lopussa.

d)

Annettu

laturin jännite $U_\text{lat} = 42{,}0\,\text{V}$, akun läpi kulkeva varaus $Q = 10{,}4\,\text{Ah}$, akkuun varastoitunut energia $W_\text{akku} = 374{,}4\,\text{Wh}$ (a-kohta), hinta $15\,\text{snt/kWh}$

Kysytty

latauksen hyötysuhde $\eta$ ja yhden latauksen hinta $K$

Periaate

Laturin teho on $U_\text{lat} I$ (luku Sähköteho ja vastuksen lämpeneminen), joten vakiojännitteinen laturi antaa energian $U_\text{lat} Q$, kun akun läpi kulkee varaus $Q$. Akkuun varastoituu kemiallisena energiana vain lähdejännitteen osuus, ja loput muuttuu resistanssien sisäenergiaksi (luku Akut ja latauspiiri). Mallissa akun lähdejännite on latauksen aikana keskimäärin nimellisjännitteen $36\,\text{V}$ suuruinen. Hinta lasketaan laturin antamasta energiasta (luku Sähköenergia kotona).

Kaava

$W_\text{lat}$$= U_\text{lat} Q$
$\eta$$= \dfrac{W_\text{akku}}{W_\text{lat}}$

$K = aW_\text{lat}$

Muunnokset

$437\,\text{Wh} = 0{,}437\,\text{kWh}$ ja $15\,\text{snt/kWh} = 0{,}15\,\text{€/kWh}$

Sijoitus

$W_\text{lat}$$= 42{,}0\,\text{V} \cdot 10{,}4\,\text{Ah}$
$= 436{,}8\,\text{Wh}$
$\eta$$= \dfrac{374{,}4\,\text{Wh}}{436{,}8\,\text{Wh}}$
$= 0{,}857$
$K$$= 0{,}15\,\tfrac{\text{€}}{\text{kWh}} \cdot 0{,}4368\,\text{kWh}$
$= 0{,}066\,\text{€}$

Vastaus

Hyötysuhde on $\eta \approx 86\,\%$, ja yksi täysi lataus maksaa noin $7\,\text{snt}$. Tarkkuus on kaksi merkitsevää numeroa, koska akun nimellisjännite $36\,\text{V}$ on vain kahden numeron tarkkuudella.

Järkevyys

Hyötysuhde on alle $100\,\%$, koska $436{,}8\,\text{Wh} - 374{,}4\,\text{Wh} \approx 62\,\text{Wh}$ muuttuu laturin, johtojen ja akun resistanssien sisäenergiaksi; siksi laturi ja akku lämpenevät latauksessa. Noin seitsemän senttiä noin $28\,\text{km}$:n matkasta on hyvin halpaa.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa milliampeeritunteja tai ampeeritunteja pidetään energiana, tai wattitunteja ei muuteta jouleiksi sijoittamalla.
  • b-kohdassa aika lasketaan energiasta ja virrasta, jolloin yksiköt eivät täsmää.
  • c-kohdassa latausvirta lasketaan laturin jännitteestä yksin, $\tfrac{42{,}0\,\text{V}}{3{,}0\,\Omega} = 14\,\text{A}$, tai napajännitteeksi annetaan $E - R_\text{s} I$, joka koskee purkautumista.
  • d-kohdassa hyötysuhteeksi saadaan yli $100\,\%$ vertaamalla väärin päin, tai hinta lasketaan akkuun varastoituneesta energiasta laturin energian sijaan.

Hyväksytään myös

  • d-kohdassa hyötysuhde suoraan jännitteiden suhteena $\eta = \tfrac{36\,\text{V}}{42{,}0\,\text{V}}$, kun on perusteltu, että sama varaus kulkee laturin ja akun läpi.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $W = UQ$ nimellisjännitteellä 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $W = 36\,\text{V} \cdot 10{,}4\,\text{Ah} = 374\,\text{Wh}$ ja $374{,}4 \cdot 3600\,\text{J} = 1{,}35\,\text{MJ}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $W \approx 374\,\text{Wh} \approx 1{,}35\,\text{MJ}$ 1 p

b)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $Q = It$, joten $t = \dfrac{Q}{I}$, ja matka $s = vt$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $t = \dfrac{10{,}4\,\text{Ah}}{7{,}5\,\text{A}} = 1{,}39\,\text{h}$ ja $s = 20\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}} \cdot 1{,}39\,\text{h} = 27{,}7\,\text{km}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $s \approx 28\,\text{km}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten virta ja nopeus 1 p
Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Oletus: koko kapasiteetti on käytettävissä ja virta pysyy keskiarvossaan. Mäet, tuuli, kylmyys ja kiihdytykset lyhentävät matkaa. 1 p

c)4 p

Perustelee jännitelailla: silmukassa potentiaali nousee laturissa ja laskee laturin ja johtojen resistanssissa, akun sisäisessä resistanssissa ja akun lähdejännitteen verran, koska virta kulkee akun läpi plusnavalta miinusnavalle. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $I = \dfrac{U_\text{lat} - E}{R + R_\text{s}}$ ja $U = E + R_\text{s} I$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $I = \dfrac{42{,}0\,\text{V} - 34{,}5\,\text{V}}{2{,}6\,\Omega + 0{,}40\,\Omega} = 2{,}5\,\text{A}$ ja $U = 34{,}5\,\text{V} + 0{,}40\,\Omega \cdot 2{,}5\,\text{A} = 35{,}5\,\text{V}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $I \approx 2{,}5\,\text{A}$ ja $U \approx 35{,}5\,\text{V}$ 1 p

d)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $W_\text{lat} = U_\text{lat} Q$ ja $\eta = \dfrac{W_\text{akku}}{W_\text{lat}}$, missä $W_\text{akku}$ on a-kohdan energia 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $W_\text{lat} = 42{,}0\,\text{V} \cdot 10{,}4\,\text{Ah} = 437\,\text{Wh}$ ja $\eta = \dfrac{374\,\text{Wh}}{437\,\text{Wh}} = 0{,}857$; hinta $0{,}437\,\text{kWh} \cdot 0{,}15\,\tfrac{\text{€}}{\text{kWh}} \approx 0{,}066\,\text{€}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\eta \approx 86\,\%$ ja hinta noin $7\,\text{snt}$ 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Hyötysuhde on alle $100\,\%$, koska noin $62\,\text{Wh}$ muuttuu resistanssien sisäenergiaksi; lataus on halpa verrattuna esimerkiksi bussilippuun. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (15 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

5.1-3 Taskulampun paristot kuormitettuna 20 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Luvut on laskettu mallista, ja niihin on lisätty mittausten kaltaista vaihtelua.

Opiskelijat tutkivat taskulampun paristokoteloa, jossa on kolme uutta AA-paristoa sarjassa. Kotelon napoihin kytkettiin säätövastus ja virtamittari sarjaan sekä jännitemittari kotelon napoihin. Säätövastusta muutettiin, ja jokaisella asetuksella luettiin virta $I$ ja napajännite $U$.

$I\ (\text{A})$ $U\ (\text{V})$
$0{,}10$ $4{,}56$
$0{,}25$ $4{,}43$
$0{,}40$ $4{,}34$
$0{,}60$ $4{,}18$
$0{,}80$ $4{,}06$
$1{,}00$ $3{,}89$
  1. a) Esitä napajännite virran funktiona kuvaajana ja sovita pisteisiin malli. Perustele mallin valinta. 5 p
  2. b) Määritä kuvaajasta paristoryhmän lähdejännite ja sisäinen resistanssi. Vertaa tuloksia uuden AA-pariston tyypillisiin arvoihin, joita ovat lähdejännite $1{,}5$–$1{,}6\,\text{V}$ ja sisäinen resistanssi $0{,}1$–$0{,}3\,\Omega$. 6 p
  3. c) Kuinka suuri virta kulkisi, jos kotelon navat oikosuljettaisiin? Miksi virtaa ei mitattu, ja kuinka luotettava tulos on? 4 p
  4. d) Taskulampun lampun resistanssi on palaessaan $3{,}6\,\Omega$. Kuinka suuri teho lamppuun siirtyy, ja kuinka suuri osa paristojen lähdetehosta $EI$ se on? 5 p

Taidot luvuista: Lähdejännite ja sisäinen resistanssi, Graafinen esitys ja suoran sovittaminen, Sähköteho ja vastuksen lämpeneminen

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

napajännite virran funktiona kuvaajana, sovitettu malli ja mallin perustelu

Kuvaaja

Vaaka-akselilla on $I\ (\text{A})$ ja pystyakselilla $U\ (\text{V})$. Jännitteet ovat välillä $3{,}89$–$4{,}56\,\text{V}$, joten pystyakseli katkaistaan, jotta pienet muutokset näkyvät; katkaisu merkitään akseliin. Vaaka-akseli alkaa nollasta, jotta suoraa voi jatkaa pystyakselille. Pisteitä ei yhdistetä murtoviivaksi, vaan niiden lomitse sovitetaan yksi suora.

$0{,}4$
$0{,}8$
$1{,}2$
$3{,}8$
$4{,}0$
$4{,}2$
$4{,}4$
$4{,}6$
$4{,}8$
$I\ (\text{A})$
$U\ (\text{V})$
$0$
$E \approx 4{,}63\,\text{V}$
$(1{,}20\,\text{A};\ 3{,}75\,\text{V})$

Mallivastaus

Paristoryhmää kuvataan mallilla, jossa lähde, jonka lähdejännite on $E$, on sarjassa sisäisen resistanssin $R_\text{s}$ kanssa. Kun ryhmästä otetaan virta $I$, napajännite pienenee sisäisen resistanssin jännitehäviön verran, $U = E - R_\text{s} I$. Jännitehäviö on verrannollinen virtaan, kun $E$ ja $R_\text{s}$ ovat vakioita, joten mallin kuvaaja on laskeva suora. Pisteet asettuvat hyvin suoralle, ja niiden poikkeamat suorasta ovat noin $0{,}01\,\text{V}$, lukemien tarkkuuden luokkaa. Malli sopii siis aineistoon.

b)

Annettu

sovitettu suora kuvaajassa; suoralta luetut pisteet $(0\,\text{A}$; $4{,}63\,\text{V})$ ja $(1{,}20\,\text{A}$; $3{,}75\,\text{V})$; uuden AA-pariston tyypilliset arvot $1{,}5$–$1{,}6\,\text{V}$ ja $0{,}1$–$0{,}3\,\Omega$

Kysytty

paristoryhmän lähdejännite $E$ ja sisäinen resistanssi $R_\text{s}$ sekä vertailu yhden pariston arvoihin

Periaate

Mallin $U = E - R_\text{s} I$ mukaan suora leikkaa pystyakselin kohdassa $U = E$, koska ilman virtaa sisäisessä resistanssissa ei ole jännitehäviötä, ja suoran kulmakerroin on $-R_\text{s}$ (luku Lähdejännite ja sisäinen resistanssi). Kulmakerroin luetaan kahdesta kaukana toisistaan olevasta sovitetun suoran pisteestä, ei mittauspisteistä (luku Graafinen esitys ja suoran sovittaminen). Sarjaan kytkettyjen paristojen lähdejännitteet ja sisäiset resistanssit summautuvat.

Kuvaajan lukeminen

Suora leikkaa pystyakselin kohdassa $4{,}63\,\text{V}$. Kohdassa $I = 1{,}20\,\text{A}$ suoran arvo on $3{,}75\,\text{V}$.

Kaava

$E$$= U(0)$
$R_\text{s}$$= -\dfrac{\Delta U}{\Delta I}$

yhtä paristoa kohti $\dfrac{E}{3}$ ja $\dfrac{R_\text{s}}{3}$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$E$$= 4{,}63\,\text{V}$
$R_\text{s}$$= -\dfrac{3{,}75\,\text{V} - 4{,}63\,\text{V}}{1{,}20\,\text{A} - 0\,\text{A}}$
$= \dfrac{0{,}88\,\text{V}}{1{,}20\,\text{A}}$
$= 0{,}733\,\Omega$

yhtä paristoa kohti

$\dfrac{4{,}63\,\text{V}}{3}$$= 1{,}54\,\text{V}$
$\dfrac{0{,}733\,\Omega}{3}$$= 0{,}244\,\Omega$

Vastaus

Lähdejännite on $E \approx 4{,}63\,\text{V}$ ja sisäinen resistanssi $R_\text{s} \approx 0{,}73\,\Omega$. Sisäinen resistanssi ilmoitetaan kahdella merkitsevällä numerolla, koska jännitteen muutos $0{,}88\,\text{V}$ luetaan kuvaajalta noin sadasosan tarkkuudella.

Järkevyys

Yhtä paristoa kohti $1{,}54\,\text{V}$ ja $0{,}24\,\Omega$ ovat uuden AA-pariston tyypillisiä arvoja. Pienimmällä virralla mitattu $4{,}56\,\text{V}$ on vähän alle lähdejännitteen, kuten pitää.

c)

Annettu

$E \approx 4{,}63\,\text{V}$ ja $R_\text{s} \approx 0{,}733\,\Omega$ (b-kohta), suurin mitattu virta $1{,}00\,\text{A}$

Kysytty

oikosulkuvirta $I_\text{k}$, miksi sitä ei mitattu ja kuinka luotettava tulos on

Periaate

Oikosulussa ulkoisen piirin resistanssi on nolla, joten virtaa rajoittaa vain sisäinen resistanssi (luku Lähdejännite ja sisäinen resistanssi). Kuvaajassa oikosulkuvirta on suoran ja vaaka-akselin leikkauskohta, jossa napajännite on nolla.

Kaava

$I_\text{k} = \dfrac{E}{R_\text{s}}$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$I_\text{k}$$= \dfrac{4{,}63\,\text{V}}{0{,}733\,\Omega}$
$= 6{,}31\,\text{A}$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$7$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$0$
$I\ (\text{A})$
$U\ (\text{V})$
$I_\text{k} \approx 6{,}3\,\text{A}$
$\text{mittausalue}$

Vastaus

Oikosulkuvirta olisi noin $I_\text{k} \approx 6{,}3\,\text{A}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten sisäinen resistanssi. Sitä ei mitattu, koska oikosulussa paristot kuumenisivat nopeasti ja voisivat vahingoittua. Tulos on vain arvio: se on ekstrapolaatio yli kuusinkertaiseen virtaan mittausalueen ulkopuolelle, ja se olettaa, että sisäinen resistanssi pysyy samana myös suurilla virroilla.

Järkevyys

Kuvaajasta jatketun suoran leikkauskohta on samassa kohdassa, noin $6{,}3\,\text{A}$. Uuden AA-pariston oikosulkuvirta on muutamia ampeereja, joten tulos on uskottava. Todellisuudessa paristojen kemia ei ehdi seurata suurta virtaa, ja jännite laskee enemmän kuin malli ennustaa, joten todellinen virta jäisi todennäköisesti pienemmäksi.

d)

Annettu

lampun resistanssi $R = 3{,}6\,\Omega$, $E \approx 4{,}63\,\text{V}$ ja $R_\text{s} \approx 0{,}733\,\Omega$ (b-kohta)

Kysytty

lamppuun siirtyvä teho $P$ ja sen osuus lähdetehosta $EI$

Periaate

Lamppu ja sisäinen resistanssi ovat samassa silmukassa sarjassa, joten virran määrää niiden resistanssien summa (luku Lähdejännite ja sisäinen resistanssi). Lampun teho saadaan sen resistanssista ja virrasta Joulen lailla, ja lähde tuottaa sähköenergiaa teholla $EI$ (luku Sähköteho ja vastuksen lämpeneminen).

Kaava

$I = \dfrac{E}{R + R_\text{s}}$, $P = RI^2$ ja osuus $\dfrac{P}{EI}$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$I$$= \dfrac{4{,}63\,\text{V}}{3{,}6\,\Omega + 0{,}733\,\Omega}$
$= 1{,}069\,\text{A}$
$P$$= 3{,}6\,\Omega \cdot (1{,}069\,\text{A})^2$
$= 4{,}11\,\text{W}$
$EI$$= 4{,}63\,\text{V} \cdot 1{,}069\,\text{A}$
$= 4{,}95\,\text{W}$
$\dfrac{4{,}11\,\text{W}}{4{,}95\,\text{W}}$$= 0{,}831$

Vastaus

Lamppuun siirtyy teho $P \approx 4{,}1\,\text{W}$, mikä on noin $83\,\%$ lähdetehosta. Tarkkuus on kaksi merkitsevää numeroa kuten lampun resistanssi $3{,}6\,\Omega$.

Järkevyys

Sisäiseen resistanssiin jää $0{,}733\,\Omega \cdot (1{,}069\,\text{A})^2 \approx 0{,}84\,\text{W}$, ja $4{,}11\,\text{W} + 0{,}84\,\text{W} = 4{,}95\,\text{W}$, kuten energian säilyminen vaatii. Osuus on myös

$\tfrac{R}{R + R_\text{s}}$$= \tfrac{3{,}6}{4{,}33}$
$\approx 0{,}83$

Virta $1{,}07\,\text{A}$ on hieman mittausalueen yläpuolella, joten malli pätee siihen todennäköisesti hyvin.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa pisteet yhdistetään murtoviivaksi, tai pystyakseli katkaistaan merkitsemättä katkaisua.
  • b-kohdassa lähdejännitteeksi annetaan pienimmän virran napajännite $4{,}56\,\text{V}$, tai kulmakerroin lasketaan kahdesta mittauspisteestä suoran sijaan.
  • b-kohdassa sisäinen resistanssi lasketaan yhden mittauksen suhteena $\tfrac{U}{I}$, joka on kuormitusvastuksen resistanssi.
  • c-kohdassa oikosulkuvirta lasketaan napajännitteestä, tai tulosta pidetään yhtä luotettavana kuin mitattuja arvoja.
  • d-kohdassa sisäinen resistanssi unohdetaan, jolloin $I = \tfrac{4{,}63\,\text{V}}{3{,}6\,\Omega} = 1{,}29\,\text{A}$ ja $P = 5{,}95\,\text{W}$.

Hyväksytään myös

  • b-kohdassa sovitetun suoran yhtälö laskimella: $U = 4{,}625\,\text{V} - 0{,}727\,\Omega \cdot I$, joten $E \approx 4{,}63\,\text{V}$ ja $R_\text{s} \approx 0{,}73\,\Omega$.
  • d-kohdassa teho napajännitteestä: $U = E - R_\text{s} I = 3{,}85\,\text{V}$ ja $P = UI \approx 4{,}1\,\text{W}$.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. Vaaka-akselilla $I\ (\text{A})$, pystyakselilla $U\ (\text{V})$; pystyakseli alkaa nollasta tai katkaisu on merkitty, ja akselia on tilaa jatkaa virtaan $0$. 1 p
Jokainen mittaus on merkitty erillisenä pisteenä oikealle paikalleen. Kuusi pistettä oikeissa kohdissa, ei yhdistetty murtoviivaksi. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii, eikä pisteitä ole yhdistetty murtoviivaksi. Yksi laskeva suora pisteiden lomitse, jatkettuna pystyakselille. 2 p
Perustelee suoran: napajännite pienenee sisäisen resistanssin jännitehäviön $R_\text{s} I$ verran, ja häviö on verrannollinen virtaan, kun $E$ ja $R_\text{s}$ ovat vakioita. 1 p

b)6 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. $E$ pystyakselin leikkauskohdasta, noin $4{,}63\,\text{V}$; kulmakerroin kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä, esimerkiksi $(0\,\text{A}$; $4{,}63\,\text{V})$ ja $(1{,}20\,\text{A}$; $3{,}75\,\text{V})$. 2 p
Tulkitsee: pystyakselin leikkauskohta on lähdejännite, koska ilman virtaa $U = E$, ja kulmakertoimen vastaluku on sisäinen resistanssi. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $R_\text{s} = -\dfrac{\Delta U}{\Delta I} = -\dfrac{3{,}75\,\text{V} - 4{,}63\,\text{V}}{1{,}20\,\text{A}} \approx 0{,}73\,\Omega$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $E \approx 4{,}63\,\text{V}$ ja $R_\text{s} \approx 0{,}73\,\Omega$; kuvaajalta luetut $4{,}60$–$4{,}66\,\text{V}$ ja $0{,}70$–$0{,}77\,\Omega$ hyväksytään. 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Sarjassa lähdejännitteet ja sisäiset resistanssit summautuvat, joten yhtä paristoa kohti $1{,}54\,\text{V}$ ja $0{,}24\,\Omega$, uusien AA-paristojen tyypilliset arvot. 1 p

c)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $I_\text{k} = \dfrac{E}{R_\text{s}}$ tai suoran ja vaaka-akselin leikkauskohta 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $I_\text{k} = \dfrac{4{,}63\,\text{V}}{0{,}733\,\Omega} \approx 6{,}3\,\text{A}$ 1 p
Perustelee, miksi oikosulkua ei mitata: suuri virta kuumentaisi paristot ja voisi vahingoittaa niitä. 1 p
Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Tulos on ekstrapolaatio yli kuusinkertaiseen virtaan mittausalueen ulkopuolelle; se olettaa, että $R_\text{s}$ pysyy samana suurilla virroilla, joten se on vain arvio. 1 p

d)5 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $I = \dfrac{E}{R + R_\text{s}}$, $P = RI^2$ ja osuus $\dfrac{RI^2}{EI}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $I = \dfrac{4{,}63\,\text{V}}{4{,}33\,\Omega} = 1{,}07\,\text{A}$, $P = 3{,}6\,\Omega \cdot (1{,}07\,\text{A})^2 = 4{,}11\,\text{W}$ ja $EI = 4{,}95\,\text{W}$, joten osuus on $83\,\%$ 2 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $P \approx 4{,}1\,\text{W}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten lampun resistanssi 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Loput noin $0{,}84\,\text{W}$ lämmittää paristoja. Virta $1{,}07\,\text{A}$ on hieman mittausalueen yläpuolella, joten malli pätee siihen todennäköisesti hyvin. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 20 (17 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

5.1-4 Kolme väitettä sähköturvallisuudesta 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Väitteet ja luvut on keksitty.

Taloyhtiön asukasillassa keskusteltiin sähköturvallisuudesta, ja illan aikana esitettiin kolme väitettä.

  1. ”Jatkojohto lämpenee, koska osa virrasta kuluu johdossa. Siksi ohut jatkojohto on vaarallinen vain, jos se on pitkä.”
  2. ”Kun samaan pistorasiaryhmään kytketään lisää laitteita, jokaisen laitteen virta pienenee, koska ryhmän virta jakautuu useammalle laitteelle.”
  3. ”Lintu voi istua paljaalla suurjännitejohdolla turvallisesti, mutta jos se koskettaa samalla siivellään maadoitettua pylvästä, se saa sähköiskun.”

Kodin pistorasioiden jännite on $230\,\text{V}$, ja lämmittävien laitteiden virtaa ja tehoa voi arvioida samoilla laeilla kuin tasavirtapiirissä. Kuparin resistiivisyys on $1{,}7 \cdot 10^{-8}\,\Omega\cdot\text{m}$ ja alumiinin $2{,}7 \cdot 10^{-8}\,\Omega\cdot\text{m}$.

  1. a) Arvioi väite 1. Arvioi esimerkkinä, kuinka suuri teho muuttuu sisäenergiaksi $15\,\text{m}$:n jatkojohdossa, jonka kummankin johtimen poikkipinta-ala on $0{,}75\,\text{mm}^2$, kun johdon läpi kulkee $10\,\text{A}$. 5 p
  2. b) Arvioi väite 2. Käytä esimerkkinä $2000\,\text{W}$:n vedenkeitintä ja $850\,\text{W}$:n leivänpaahdinta, jotka ovat samassa ryhmässä, jonka sulake on $10\,\text{A}$. 5 p
  3. c) Arvioi väite 3. Arvioi linnun jalkojen välinen jännite, kun jalat ovat $4{,}0\,\text{cm}$:n päässä toisistaan alumiinijohtimella, jonka poikkipinta-ala on $400\,\text{mm}^2$ ja jossa kulkee $600\,\text{A}$. 5 p

Taidot luvuista: Sähköteho ja vastuksen lämpeneminen, Vastusten sarja- ja rinnankytkennät, Kirchhoffin lait ja potentiaali virtapiirissä, Resistanssi ja Ohmin laki

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

pitääkö väite 1 paikkansa ja kuinka suuri teho muuttuu sisäenergiaksi $15\,\text{m}$:n jatkojohdossa

Periaate

Virta ei kulu: sama varaus kulkee johtoa pitkin laitteeseen ja palaa toista johdinta pitkin (luku Virtapiiri, sähkövirta ja jännite). Johtimilla on resistanssi $R = \rho\,\tfrac{l}{A}$ (luku Resistanssi ja Ohmin laki), ja resistanssissa sähköenergiaa muuttuu sisäenergiaksi teholla $P = RI^2$ (luku Sähköteho ja vastuksen lämpeneminen).

Mallivastaus

Väite on väärä. Johdossa ei kulu virtaa: laitteeseen menevä ja sieltä palaava virta on yhtä suuri. Johto lämpenee, koska sen resistanssissa muuttuu sähköenergiaa sisäenergiaksi teholla $P = RI^2$. Virta kulkee kahden johtimen kautta, joten matka on $2 \cdot 15\,\text{m} = 30\,\text{m}$, ja $R = 1{,}7 \cdot 10^{-8}\,\Omega\cdot\text{m} \cdot \tfrac{30\,\text{m}}{0{,}75 \cdot 10^{-6}\,\text{m}^2} = 0{,}68\,\Omega$. Virralla $10\,\text{A}$ teho on $0{,}68\,\Omega \cdot (10\,\text{A})^2 = 68\,\text{W}$, kuin pieni lämmitin johdon sisällä. Resistanssi on verrannollinen pituuteen ja kääntäen verrannollinen poikkipinta-alaan, joten ohut johto lämpenee pituusyksikköä kohti yhtä paljon, oli se lyhyt tai pitkä. Teho kasvaa virran neliönä, joten ratkaisevaa on suuri virta: ohut johto on vaarallinen suurella virralla myös lyhyenä, ja varsinkin kelalle kierrettynä, jolloin lämpö ei pääse pois. Paksumpi johto $1{,}5\,\text{mm}^2$ puolittaisi tehon $34\,\text{W}$:iin.

b)

Kysytty

pitääkö väite 2 paikkansa, kun samassa $10\,\text{A}$:n ryhmässä ovat $2000\,\text{W}$:n vedenkeitin ja $850\,\text{W}$:n leivänpaahdin

Periaate

Kodin pistorasiat on kytketty rinnan, joten jokaisen laitteen yli on verkon jännite (luku Vastusten sarja- ja rinnankytkennät). Lämmittävän laitteen virta on $I = \tfrac{P}{U}$ (luku Sähköenergia kotona). Ryhmän johdossa kulkee haarojen virtojen summa (luku Kirchhoffin lait ja potentiaali virtapiirissä).

Mallivastaus

Väite on väärä. Pistorasiat ovat rinnan, joten jokaisen laitteen yli on $230\,\text{V}$, ja laite ottaa oman virtansa $I = \tfrac{P}{U}$ muista laitteista riippumatta. Vedenkeitin ottaa $\tfrac{2000\,\text{W}}{230\,\text{V}} = 8{,}7\,\text{A}$ ja leivänpaahdin $\tfrac{850\,\text{W}}{230\,\text{V}} = 3{,}7\,\text{A}$ riippumatta siitä, onko toinen päällä. Ryhmän johdossa kulkee virtalain mukaan niiden summa $12{,}4\,\text{A}$, joka ylittää sulakkeen $10\,\text{A}$. Sulake katkaisee virran, koska liian suuri virta kuumentaisi ryhmän johtoja (teho $RI^2$). Uusi laite ei siis pienennä muiden virtaa, vaan kasvattaa ryhmän kokonaisvirtaa, ja juuri siksi ryhmää ei saa kuormittaa liikaa.

c)

Kysytty

pitääkö väite 3 paikkansa, ja kuinka suuri jännite on linnun jalkojen välillä

Periaate

Virtaa kehon kautta ajaa kehon kahden kosketuskohdan välinen potentiaaliero eli jännite (luku Kirchhoffin lait ja potentiaali virtapiirissä). Johtimessa potentiaali laskee virran suuntaan $RI$:n verran, ja lyhyen johtimen palan resistanssi on $R = \rho\,\tfrac{l}{A}$ (luku Resistanssi ja Ohmin laki).

Mallivastaus

Väite pitää paikkansa. Linnun jalkojen välinen johdon pala on $4{,}0\,\text{cm}$ pitkä, joten sen resistanssi on $2{,}7 \cdot 10^{-8}\,\Omega\cdot\text{m} \cdot \tfrac{0{,}040\,\text{m}}{400 \cdot 10^{-6}\,\text{m}^2} = 2{,}7 \cdot 10^{-6}\,\Omega$, ja jalkojen välinen jännite on $2{,}7 \cdot 10^{-6}\,\Omega \cdot 600\,\text{A} \approx 1{,}6\,\text{mV}$. Niin pieni jännite ei aja linnun kehon läpi juuri lainkaan virtaa, vaikka koko lintu on johdon kanssa korkeassa potentiaalissa maahan nähden. Pylväs on maan potentiaalissa. Jos lintu koskettaa sitä samalla, sen kehon yli on lähes koko johdon ja maan välinen jännite, kymmeniä tai satoja kilovoltteja, ja kehon kautta kulkee vaarallinen virta. Vaarallista ei siis ole korkea potentiaali vaan suuri potentiaaliero kehon kahden kohdan välillä.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa johdon pituudeksi otetaan $15\,\text{m}$, vaikka virta kulkee kahden johtimen kautta, tai neliömillimetrejä ei muuteta neliömetreiksi.
  • a-kohdassa teho lasketaan verkon jännitteellä $\tfrac{(230\,\text{V})^2}{0{,}68\,\Omega}$, vaikka johdon yli on vain $RI \approx 6{,}8\,\text{V}$.
  • b-kohdassa laitteet oletetaan sarjaan, jolloin uusi laite pienentäisi virtaa.
  • c-kohdassa vedotaan siihen, että linnun jalat eristävät, tai siihen, että johdon jännite on pieni.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Selittää, että virta ei kulu: sama virta kulkee johtoa pitkin laitteeseen ja takaisin. Johtimien resistanssissa sähköenergiaa muuttuu sisäenergiaksi teholla $P = RI^2$. 2 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Virta kulkee kahden $15\,\text{m}$:n johtimen kautta: $R = \rho\,\dfrac{2l}{A} = 0{,}68\,\Omega$ ja $P = 0{,}68\,\Omega \cdot (10\,\text{A})^2 = 68\,\text{W}$. 1 p
Selittää, että sekä pieni poikkipinta-ala että suuri pituus suurentavat resistanssia ja että teho kasvaa virran neliönä, joten suuri virta tekee ohuesta johdosta vaarallisen myös lyhyenä. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite on väärä: johto ei kuluta virtaa, ja ohut johto kuumenee suurella virralla pituudesta riippumatta. Kelalle kierretty johto ei pääse jäähtymään. 1 p

b)5 p

Selittää rinnankytkennän: jokaisen pistorasian ja laitteen yli on verkon jännite $230\,\text{V}$, joten laitteen virta $I = \tfrac{P}{U}$ ei riipu muista laitteista. 2 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\tfrac{2000\,\text{W}}{230\,\text{V}} = 8{,}7\,\text{A}$ ja $\tfrac{850\,\text{W}}{230\,\text{V}} = 3{,}7\,\text{A}$, yhteensä $12{,}4\,\text{A}$ 1 p
Päättelee virtalaista, että ryhmän johdossa kulkee haarojen virtojen summa, joka ylittää $10\,\text{A}$; sulake katkaisee virran ja suojaa ryhmän johtoja ylikuumenemiselta. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite on väärä: laitteiden virrat eivät pienene, vaan ryhmän kokonaisvirta kasvaa jokaisen laitteen myötä. 1 p

c)5 p

Selittää, että linnun kautta kulkevan virran määrää jalkojen välinen potentiaaliero eikä johdon potentiaali maahan nähden. 2 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Jalkojen välisen johdon resistanssi $R = \rho\,\dfrac{l}{A} = 2{,}7 \cdot 10^{-6}\,\Omega$ ja jännite $U = RI \approx 1{,}6\,\text{mV}$. 1 p
Selittää, että pylväs on maan potentiaalissa, joten kosketuksessa linnun kehon yli on lähes koko johdon ja maan välinen jännite, ja kehon kautta kulkee vaarallinen virta. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite pitää paikkansa: vaarallista ei ole johdon korkea potentiaali vaan suuri potentiaaliero kehon kahden kohdan välillä. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (12 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

5.1-5 Noudattaako vastus Ohmin lakia? 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Raportti ja mittaukset on keksitty. Mittarin virherajat ovat samaa muotoa kuin luvun Mittaukset virtapiirissä yleismittarissa.

Opiskelijaryhmä tutki, noudattaako hiilikalvovastus Ohmin lakia. Ryhmä kytki vastuksen säädettävään jännitelähteeseen, virtamittarin sarjaan ja jännitemittarin vastuksen rinnalle. Jännite mitattiin yleismittarin alueella $20\,\text{V}$ (resoluutio $0{,}01\,\text{V}$, virheraja $\pm(0{,}5\,\% + 2\ \text{numeroa})$) ja virta toisen yleismittarin alueella $200\,\text{mA}$ (resoluutio $0{,}1\,\text{mA}$, virheraja $\pm(1{,}0\,\% + 2\ \text{numeroa})$).

Mittaus $U\ (\text{V})$ $I\ (\text{mA})$
1 $0{,}51$ $5{,}3$
2 $1{,}50$ $15{,}0$
3 $3{,}02$ $29{,}6$

Ryhmän johtopäätös: ”Resistanssit ovat $96\,\Omega$, $100\,\Omega$ ja $102\,\Omega$. Resistanssi kasvaa jännitteen kasvaessa, joten vastus ei noudata Ohmin lakia.”

  1. a) Laske mittauksen 1 resistanssi ja sen virheraja mittarien virherajoista. 5 p
  2. b) Arvioi ryhmän johtopäätös. 5 p
  3. c) Suunnittele, miten mittausta parannetaan, jotta Ohmin lain voimassaolo voidaan todeta luotettavasti. 5 p

Taidot luvuista: Mittaukset virtapiirissä, Resistanssi ja Ohmin laki, Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus, Oma kokeellinen tutkimus: suunnittelu, toteutus ja raportointi

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

mittaus 1: $U = 0{,}51\,\text{V}$ alueella $20\,\text{V}$ (resoluutio $0{,}01\,\text{V}$, $\pm(0{,}5\,\% + 2\ \text{numeroa})$) ja $I = 5{,}3\,\text{mA}$ alueella $200\,\text{mA}$ (resoluutio $0{,}1\,\text{mA}$, $\pm(1{,}0\,\% + 2\ \text{numeroa})$)

Kysytty

mittauksen 1 resistanssi $R$ ja sen virheraja $\Delta R$

Periaate

Resistanssi on jännitteen ja virran suhde (luku Resistanssi ja Ohmin laki). Kummankin mittarin virheraja on prosenttiosuus lukemasta lisättynä numeroiden määrällä kertaa resoluutio (luku Mittaukset virtapiirissä). Resistanssin suurin mahdollinen arvo saadaan suurimmasta jännitteestä ja pienimmästä virrasta, ja pienin päinvastoin (luku Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus).

Kaava

$R = \dfrac{U}{I}$,

$\Delta x$$= p \cdot x + n \cdot r$
$R_\text{min}$$= \dfrac{U - \Delta U}{I + \Delta I}$
$R_\text{max}$$= \dfrac{U + \Delta U}{I - \Delta I}$

Muunnokset

$5{,}3\,\text{mA}$$= 5{,}3 \cdot 0{,}001\,\text{A}$
$= 0{,}0053\,\text{A}$

$0{,}1\,\text{mA} = 0{,}0001\,\text{A}$

Sijoitus

$\Delta U$$= 0{,}005 \cdot 0{,}51\,\text{V} + 2 \cdot 0{,}01\,\text{V}$
$= 0{,}0226\,\text{V}$
$\Delta I$$= 0{,}010 \cdot 5{,}3\,\text{mA} + 2 \cdot 0{,}1\,\text{mA}$
$= 0{,}253\,\text{mA}$
$R$$= \dfrac{0{,}51\,\text{V}}{0{,}0053\,\text{A}}$
$= 96{,}2\,\Omega$
$R_\text{min}$$= \dfrac{0{,}4874\,\text{V}}{0{,}005553\,\text{A}}$
$= 87{,}8\,\Omega$
$R_\text{max}$$= \dfrac{0{,}5326\,\text{V}}{0{,}005047\,\text{A}}$
$= 105{,}5\,\Omega$

Vastaus

Mittauksen 1 resistanssi on $R = (96 \pm 9)\,\Omega$, eli mittarien virherajojen mukaan todellinen arvo on todennäköisesti välillä noin $88$–$106\,\Omega$. Virheraja ilmoitetaan yhdellä merkitsevällä numerolla ja tulos samaan tarkkuuteen.

Järkevyys

Suhteelliset virherajat ovat $\tfrac{0{,}0226}{0{,}51} \approx 4{,}4\,\%$ ja $\tfrac{0{,}253}{5{,}3} \approx 4{,}8\,\%$, ja osamäärän suhteellinen virheraja on niiden summa noin $9{,}2\,\%$ eli $9\,\Omega$, sama tulos. Pienillä lukemilla numeroiden osuus $2 \cdot r$ on suuri, joten virheraja on suuri.

b)

Kysytty

onko ryhmän johtopäätös perusteltu

Periaate

Kahden tuloksen ero on todellinen vain, jos se on suurempi kuin tulosten virherajat (luku Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus). Mittarin virherajassa numeroiden osuus on sitä merkittävämpi, mitä pienempi lukema on alueeseen verrattuna (luku Mittaukset virtapiirissä). Metallin ja hiilikalvon resistanssi muuttuu lähinnä lämpötilan mukana (luku Resistanssi ja Ohmin laki).

Mallivastaus

Johtopäätös ei ole perusteltu. Samalla tavalla laskettuna mittauksen 2 resistanssi on $(100 \pm 4)\,\Omega$ ja mittauksen 3 $(102 \pm 3)\,\Omega$, ja mittauksen 1 tulos on $(96 \pm 9)\,\Omega$. Kaikki kolme väliä kattavat arvon $100\,\Omega$, joten resistanssit eivät eroa toisistaan mittaustarkkuuden rajoissa. Suurin poikkeama on mittauksessa 1, jossa lukemat $0{,}51\,\text{V}$ ja $5{,}3\,\text{mA}$ ovat pieniä alueisiin verrattuna, joten numeroiden osuus hallitsee virherajaa. Lämpeneminen voisi muuttaa resistanssia, mutta vastuksen teho on suurimmillaankin vain $3{,}02\,\text{V} \cdot 29{,}6\,\text{mA} \approx 0{,}09\,\text{W}$, joten vastus ei juuri lämpene. Aineisto sopii siis vakioresistanssiin noin $100\,\Omega$, eikä kolmesta epätarkasta pisteestä voi päätellä, että resistanssi riippuisi jännitteestä.

c)

Kysytty

miten mittausta parannetaan, jotta Ohmin lain voimassaolo voidaan todeta luotettavasti

Periaate

Riippuvuus todetaan luotettavimmin kuvaajasta, johon on sovitettu suora monesta pisteestä (luku Graafinen esitys ja suoran sovittaminen). Mittarin virheraja on pienin, kun käytetään pienintä aluetta, jolle lukema mahtuu (luku Mittaukset virtapiirissä). Ohmin laki koskee vakiolämpötilaa, joten lämpötila on pidettävä vakiona (luku Resistanssi ja Ohmin laki).

Mallivastaus

Mitataan vähintään kahdeksan pistettä laajalla jännitealueella, esimerkiksi $0{,}5$–$10\,\text{V}$, ja piirretään $(I, U)$-kuvaaja. Jos vastus noudattaa Ohmin lakia, pisteet ovat origon kautta kulkevalla suoralla, jonka kulmakerroin on $R$; poikkeama suorasta näkyy kuvaajasta paremmin kuin kolmesta suhteesta. Jokainen lukema luetaan pienimmältä alueelta, jolle se mahtuu: esimerkiksi $0{,}510\,\text{V}$ alueella $2\,\text{V}$ antaa virherajan $0{,}005 \cdot 0{,}510\,\text{V} + 2 \cdot 0{,}001\,\text{V} \approx 0{,}005\,\text{V}$ eli noin $0{,}9\,\%$. Lämpötila pidetään vakiona: vastuksen teho pidetään pienenä, lukemat otetaan nopeasti, ja jännitettä sekä kasvatetaan että pienennetään, jolloin lämpenemisen vaikutus näkyisi eroina. Virtamittari pidetään sarjassa ja jännitemittari vastuksen rinnalla, ja mittarien vaikutus arvioidaan: jännitemittarin resistanssi on megaohmien luokkaa eli paljon suurempi kuin $100\,\Omega$, joten sen kautta kulkee mitättömän pieni virta. Tulos ilmoitetaan virherajoineen.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa virheraja lasketaan pelkästä prosenttiosuudesta, jolloin numeroiden osuus $n \cdot r$ unohtuu ja virheraja jää liian pieneksi.
  • a-kohdassa milliampeereja ei muuteta ampeereiksi, jolloin resistanssi on tuhatkertaisesti väärin.
  • b-kohdassa johtopäätös hyväksytään, koska luvut kasvavat, vertaamatta eroa virherajoihin.
  • c-kohdassa ehdotetaan vain mittausten toistamista samalla tavalla, mikä ei pienennä mittarin virherajaa.

Hyväksytään myös

  • a-kohdassa virheraja suhteellisten virherajojen summana $\tfrac{\Delta R}{R} = \tfrac{\Delta U}{U} + \tfrac{\Delta I}{I} \approx 9\,\%$.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $R = \dfrac{U}{I}$; mittarin virheraja $\Delta x = p \cdot x + n \cdot r$; resistanssin rajat ääriarvoista $R_\text{min} = \dfrac{U - \Delta U}{I + \Delta I}$ ja $R_\text{max} = \dfrac{U + \Delta U}{I - \Delta I}$ tai suhteellisten virherajojen summasta 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\Delta U = 0{,}023\,\text{V}$ ja $\Delta I = 0{,}25\,\text{mA}$; $R = \dfrac{0{,}51\,\text{V}}{0{,}0053\,\text{A}} = 96{,}2\,\Omega$; rajat noin $88\,\Omega$ ja $106\,\Omega$ 2 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Suhteellinen virheraja on noin $4{,}4\,\% + 4{,}8\,\% \approx 9\,\%$, joten $\Delta R \approx 9\,\Omega$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $R = (96 \pm 9)\,\Omega$: virheraja yhdellä merkitsevällä numerolla ja tulos samaan tarkkuuteen 1 p

b)5 p

Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Mittausten 2 ja 3 virherajat ovat noin $\pm 4\,\Omega$ ja $\pm 3\,\Omega$; kaikki kolme väliä kattavat arvon $100\,\Omega$, joten resistanssit eivät eroa toisistaan mittaustarkkuuden rajoissa. 2 p
Tärkeimmät virhelähteet on nimetty ja kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. Pienillä lukemilla numeroiden osuus $n \cdot r$ hallitsee: $0{,}51\,\text{V}$ alueella $20\,\text{V}$ ja $5{,}3\,\text{mA}$ alueella $200\,\text{mA}$ ovat karkeita, joten mittaus 1 on epätarkin, ja juuri se poikkeaa eniten. 1 p
Toteaa, että lämpeneminen voisi muuttaa resistanssia, mutta vastuksen teho on enintään noin $0{,}09\,\text{W}$, joten vastus ei juuri lämpene. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Johtopäätös ei ole perusteltu: aineisto sopii vakioresistanssiin noin $100\,\Omega$, eikä kolmesta epätarkasta pisteestä voi päätellä riippuvuutta jännitteestä. 1 p

c)5 p

Mitataan useita pisteitä, esimerkiksi kahdeksan, laajalla jännitealueella, piirretään $(I, U)$-kuvaaja ja sovitetaan suora; Ohmin lain mukaan pisteet ovat origon kautta kulkevalla suoralla, jonka kulmakerroin on $R$. 2 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Käytetään pienintä aluetta, jolle lukema mahtuu: esimerkiksi $0{,}510\,\text{V}$ alueella $2\,\text{V}$ antaa virherajan $0{,}005\,\text{V}$ eli noin $0{,}9\,\%$. 1 p
Pidetään vastuksen lämpötila vakiona: pieni teho ja lyhyet mittausajat, ja mitataan sekä jännitettä kasvattaen että pienentäen, jolloin lämpenemisen vaikutus näkyisi eroina. 1 p
Pidetään virtamittari sarjassa ja jännitemittari vastuksen rinnalla ja arvioidaan mittarien vaikutus piiriin: jännitemittarin virta on mitättömän pieni, koska sen resistanssi on paljon suurempi kuin $100\,\Omega$. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (12 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

5.1-6 Lämminvesivaraaja 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Varaajan tiedot on keksitty, ja ne vastaavat omakotitalon tavallista varaajaa.

Omakotitalon lämminvesivaraajassa on $300\,\text{l}$ vettä ja sähkövastus, jonka teho on $3{,}0\,\text{kW}$ jännitteellä $230\,\text{V}$. Kun lämmin vesi on käytetty, varaaja täyttyy kylmällä vedellä, jonka lämpötila on $15\,{}^\circ\text{C}$, ja vastus lämmittää veden $70\,{}^\circ\text{C}$:een. Valmistaja ilmoittaa, että lämmin varaaja luovuttaa ympäristöön $1{,}6\,\text{kWh}$ energiaa vuorokaudessa. Sähkö maksaa siirtoineen $14\,\text{snt/kWh}$. Veden ominaislämpökapasiteetti on $4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$, ja yhden vesilitran massa on $1{,}0\,\text{kg}$.

  1. a) Kuinka kauan veden lämmittäminen kestää, kun lämpöhäviöt jätetään huomiotta? 5 p
  2. b) Kuinka suuri on varaajan lämpöhäviöiden keskimääräinen teho, ja kuinka paljon häviöt maksavat vuodessa? 4 p
  3. c) Illalla verkon jännite on $220\,\text{V}$. Kuinka suuri on vastuksen teho silloin, kun vastuksen resistanssi oletetaan samaksi? 3 p
  4. d) Suihkussa käytetään $10\,\text{min}$ ajan $40\,{}^\circ\text{C}$:n vettä $8{,}0\,\text{l}$ minuutissa. Kuinka paljon sähköenergiaa suihkun lämmin vesi vastaa, kun vesi on lämmitetty $15\,{}^\circ\text{C}$:sta? 3 p

Taidot luvuista: Aineen lämpeneminen ja jäähtyminen: $Q = cm\Delta T$, Sähköteho ja vastuksen lämpeneminen, Sähköenergia kotona

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

veden tilavuus $300\,\text{l}$, joten massa $m = 300\,\text{kg}$; lämpötilat $15\,{}^\circ\text{C}$ ja $70\,{}^\circ\text{C}$; teho $P = 3{,}0\,\text{kW}$; $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$

Kysytty

lämmitysaika $t$

Periaate

Vastuksessa sähköenergia muuttuu sisäenergiaksi (luku Sähköteho ja vastuksen lämpeneminen), ja vastuksesta se siirtyy lämpönä veteen. Vastuslämmittimen hyötysuhde on käytännössä $100\,\%$, ja kun lämpöhäviöt jätetään huomiotta, kaikki sähköenergia lämmittää vettä (luku Aineen lämpeneminen ja jäähtyminen). Teho on vakio, joten energia on teho kertaa aika.

Kaava

$Pt = cm\Delta T$, joten $t = \dfrac{cm\Delta T}{P}$

Muunnokset

$3{,}0\,\text{kW}$$= 3{,}0 \cdot 1000\,\text{W}$
$= 3000\,\text{W}$

lämpötilan muutos

$70\,{}^\circ\text{C} - 15\,{}^\circ\text{C}$$= 55\,{}^\circ\text{C}$
$= 55\,\text{K}$

lopuksi $1\,\text{h} = 3600\,\text{s}$

Sijoitus

$Q$$= 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 300\,\text{kg} \cdot 55\,\text{K}$
$= 6{,}914 \cdot 10^{7}\,\text{J}$
$t$$= \dfrac{6{,}914 \cdot 10^{7}\,\text{J}}{3000\,\text{W}}$
$= 23\,045\,\text{s}$
$= 6{,}40\,\text{h}$

Vastaus

Lämmitys kestää noin $t \approx 6{,}4\,\text{h}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten teho $3{,}0\,\text{kW}$.

Järkevyys

Veden saama energia on

$\tfrac{6{,}914 \cdot 10^{7}\,\text{J}}{3{,}6 \cdot 10^{6}\,\text{J/kWh}}$
$= 19{,}2\,\text{kWh}$

ja $3{,}0\,\text{kW} \cdot 6{,}4\,\text{h} = 19{,}2\,\text{kWh}$. Lämmitys mahtuu yön tunteihin, ja se maksaa noin

$19{,}2\,\text{kWh} \cdot 0{,}14\,\tfrac{\text{€}}{\text{kWh}}$
$\approx 2{,}7\,\text{€}$

Lämpöhäviöt pidentävät aikaa hieman.

b)

Annettu

lämpöhäviö $E = 1{,}6\,\text{kWh}$ vuorokaudessa, hinta $a = 14\,\text{snt/kWh}$

Kysytty

häviöiden keskimääräinen teho $P$ ja vuoden kustannus $K$

Periaate

Keskimääräinen teho on energia jaettuna ajalla (luku Sähköteho ja vastuksen lämpeneminen). Varaajan termostaatti korvaa häviöt sähköllä, joten häviöenergia maksaa saman kuin sähkö (luku Sähköenergia kotona).

Kaava

$P = \dfrac{E}{t}$ ja $K = a \cdot 365E$

Muunnokset

$1{,}6\,\text{kWh} = 1600\,\text{Wh}$, $1\,\text{vrk} = 24\,\text{h}$ ja $14\,\text{snt/kWh} = 0{,}14\,\text{€/kWh}$

Sijoitus

$P$$= \dfrac{1600\,\text{Wh}}{24\,\text{h}}$
$= 66{,}7\,\text{W}$

vuodessa

$365 \cdot 1{,}6\,\text{kWh}$$= 584\,\text{kWh}$
$K$$= 0{,}14\,\tfrac{\text{€}}{\text{kWh}} \cdot 584\,\text{kWh}$
$= 81{,}8\,\text{€}$

Vastaus

Häviöiden keskimääräinen teho on $P \approx 67\,\text{W}$, ja häviöt maksavat noin $82\,\text{€}$ vuodessa. Tarkkuus on kaksi merkitsevää numeroa kuten häviö $1{,}6\,\text{kWh}$ ja hinta $14\,\text{snt/kWh}$.

Järkevyys

Häviöteho on vain $2\,\%$ vastuksen tehosta, mutta se jatkuu vuorokauden ympäri, joten vuodessa kertyy kuukauden lämpimän veden verran energiaa. Talvella häviölämpö lämmittää taloa, joten se ei mene kokonaan hukkaan.

c)

Annettu

teho $P = 3{,}0\,\text{kW}$ jännitteellä $U = 230\,\text{V}$, uusi jännite $U' = 220\,\text{V}$, resistanssi oletetaan samaksi

Kysytty

vastuksen teho $P'$ jännitteellä $220\,\text{V}$

Periaate

Laitteeseen merkitty teho on teho nimellisjännitteellä, ja siitä saadaan vastuksen resistanssi. Kun resistanssi pysyy samana, vastuksen teho on verrannollinen jännitteen neliöön (luku Sähköteho ja vastuksen lämpeneminen).

Kaava

$R$$= \dfrac{U^2}{P}$
$P'$$= \dfrac{U'^2}{R}$
$= P\left(\dfrac{U'}{U}\right)^2$

Muunnokset

$3{,}0\,\text{kW} = 3000\,\text{W}$ ja lopuksi $1\,\text{kW} = 1000\,\text{W}$

Sijoitus

$R$$= \dfrac{(230\,\text{V})^2}{3000\,\text{W}}$
$= 17{,}63\,\Omega$
$P'$$= \dfrac{(220\,\text{V})^2}{17{,}63\,\Omega}$
$= 2745\,\text{W}$
$= 2{,}74\,\text{kW}$

Vastaus

Teho on noin $P' \approx 2{,}7\,\text{kW}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten teho $3{,}0\,\text{kW}$.

Järkevyys

Jännite pienenee $4{,}3\,\%$, ja teho noin kaksi kertaa niin paljon, $8{,}5\,\%$, kuten neliöriippuvuus antaa. Lämmitys kestäisi noin $\tfrac{19{,}2\,\text{kWh}}{2{,}74\,\text{kW}} \approx 7{,}0\,\text{h}$, mutta energiaa kuluu yhtä paljon.

d)

Annettu

suihkun kesto $10\,\text{min}$, vesivirta $8{,}0\,\text{l/min}$, suihkuveden lämpötila $40\,{}^\circ\text{C}$, kylmän veden lämpötila $15\,{}^\circ\text{C}$, $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$

Kysytty

suihkun lämpimän veden vaatima sähköenergia $E$

Periaate

Suihkuvesi on lämmitetty $15\,{}^\circ\text{C}$:sta $40\,{}^\circ\text{C}$:een, joten sen saama energia on $cm\Delta T$ (luku Aineen lämpeneminen ja jäähtyminen). Sama energia on tullut varaajan vastuksesta sähköenergiana, koska vastuksen hyötysuhde on käytännössä $100\,\%$; ei ole väliä, sekoitetaanko $70\,{}^\circ\text{C}$:n vettä kylmään, koska lopputulos on sama määrä $40\,{}^\circ\text{C}$:n vettä.

Kaava

$E = cm\Delta T$

Muunnokset

$m$$= 10 \cdot 8{,}0\,\text{kg}$
$= 80\,\text{kg}$
$\Delta T$$= 40\,{}^\circ\text{C} - 15\,{}^\circ\text{C}$
$= 25\,\text{K}$

ja lopuksi $1\,\text{kWh} = 3{,}6 \cdot 10^{6}\,\text{J}$

Sijoitus

$E$$= 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 80\,\text{kg} \cdot 25\,\text{K}$
$= 8{,}38 \cdot 10^{6}\,\text{J}$
$= \dfrac{8{,}38 \cdot 10^{6}\,\text{J}}{3{,}6 \cdot 10^{6}\,\text{J/kWh}}$
$= 2{,}33\,\text{kWh}$

Vastaus

Suihku vastaa noin $E \approx 2{,}3\,\text{kWh}$ sähköenergiaa, kaksi merkitsevää numeroa kuten vesivirta $8{,}0\,\text{l/min}$.

Järkevyys

Suihku maksaa noin

$2{,}33\,\text{kWh} \cdot 0{,}14\,\tfrac{\text{€}}{\text{kWh}}$
$\approx 33\,\text{snt}$

Täysi varaaja ($19{,}2\,\text{kWh}$) riittää noin $\tfrac{19{,}2}{2{,}33} \approx 8$ tällaiseen suihkuun; samaan tulokseen päästään, kun huomataan, että suihkuveteen tarvitaan $70\,{}^\circ\text{C}$:n vettä noin $36\,\text{l}$.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa teho jätetään kilowateiksi ja energia jouleiksi, jolloin aika on tuhatkertaisesti väärin, tai lämpötilan muutokseksi otetaan $70\,{}^\circ\text{C}$.
  • b-kohdassa häviöteho lasketaan jakamalla $1{,}6\,\text{kWh}$ vuorokauden sekunneilla ja jätetään yksiköt sekaisin.
  • c-kohdassa teho oletetaan suoraan verrannolliseksi jännitteeseen, jolloin saadaan $2{,}87\,\text{kW}$.
  • d-kohdassa lämpötilan muutokseksi otetaan $70\,{}^\circ\text{C} - 40\,{}^\circ\text{C}$, tai litroja ei muuteta kilogrammoiksi.

Hyväksytään myös

  • a-kohdassa energia kilowattitunteina: $19{,}2\,\text{kWh} : 3{,}0\,\text{kW} = 6{,}4\,\text{h}$.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Perustelee energiaperiaatteen: vastuksen sähköenergia muuttuu lähes kokonaan veden sisäenergiaksi, koska vastuslämmittimen hyötysuhde on käytännössä $100\,\%$, joten $Pt = cm\Delta T$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $Q = cm\Delta T$ ja $t = \dfrac{Q}{P}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $Q = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 300\,\text{kg} \cdot 55\,\text{K} = 69{,}1\,\text{MJ}$ ja $t = \dfrac{69{,}1 \cdot 10^6\,\text{J}}{3000\,\text{W}} = 23\,000\,\text{s}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $t \approx 6{,}4\,\text{h}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten teho $3{,}0\,\text{kW}$ 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Lämmitys mahtuu yön tunteihin, ja energia $19\,\text{kWh}$ maksaa noin $2{,}7\,\text{€}$. 1 p

b)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $P = \dfrac{E}{t}$ ja vuoden energia $365 \cdot 1{,}6\,\text{kWh}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $P = \dfrac{1600\,\text{Wh}}{24\,\text{h}} = 66{,}7\,\text{W}$; vuodessa $584\,\text{kWh}$ ja $584\,\text{kWh} \cdot 0{,}14\,\tfrac{\text{€}}{\text{kWh}} = 82\,\text{€}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $P \approx 67\,\text{W}$ ja noin $82\,\text{€}$ vuodessa 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Häviöteho on vähän alle sadan watin, joten varaaja lämmittää tilaansa jatkuvasti kuin pieni lämmitin; paksumpi eristys vähentäisi häviötä. 1 p

c)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $R = \dfrac{U^2}{P}$ ja $P' = \dfrac{U'^2}{R} = P \left(\dfrac{U'}{U}\right)^2$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $R = \dfrac{(230\,\text{V})^2}{3000\,\text{W}} = 17{,}6\,\Omega$ ja $P' = \dfrac{(220\,\text{V})^2}{17{,}6\,\Omega} = 2{,}74\,\text{kW}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $P' \approx 2{,}7\,\text{kW}$, noin $8{,}5\,\%$ vähemmän; lämmitys kestää noin $7{,}0\,\text{h}$ 1 p

d)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $E = cm\Delta T$, missä $m = 80\,\text{kg}$ ja $\Delta T = 25\,\text{K}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $E = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 80\,\text{kg} \cdot 25\,\text{K} = 8{,}38\,\text{MJ} = 2{,}33\,\text{kWh}$ 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Suihku maksaa noin $33\,\text{snt}$, ja täysi varaaja ($19\,\text{kWh}$) riittää noin kahdeksaan tällaiseen suihkuun. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (15 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.