RuukkilabraLukion fysiikka
FY9 · Luku 4.1

Värähtely, aallot ja ääni

Miksi uinninvalvojan pillin vihellys kuuluu myös veden alle, ja muuttuuko ääni matkalla ilmasta veteen?

Pohjatiedot

Pohdinta

Uimahallissa uinninvalvoja puhaltaa pilliin, jonka vihellyksen taajuus on $3{,}0\,\text{kHz}$. Yksi uimareista on juuri sukeltanut altaan pohjalle ja kuulee vihellyksen veden alla. Äänen nopeus on hallin lämpimässä ilmassa noin $350\,\text{m/s}$ ja vedessä noin $1500\,\text{m/s}$. Kokeessa tällainen tilanne voi olla tehtävän alku: luvut on annettu, mutta kaavaa ei.

Kuuleeko sukeltaja vihellyksen eri korkeudelta kuin pinnalla, ja kuinka pitkä äänen aallonpituus on ilmassa ja vedessä?

Ennusta

Tee ennusteet ennen tutkimista 6 kysymystä

Lähtötaso 1: raskaampi keinuja

Pihakeinussa istuu ensin $20\,\text{kg}$:n lapsi ja sitten $40\,\text{kg}$:n lapsi. Keinun ketjut ovat yhtä pitkät, ja heilahdukset ovat pieniä. Miten keinun jaksonaika muuttuu?

Lähtötaso 2: kaksinkertainen amplitudi

Jousen varassa värähtelevä punnus vedetään toisella kerralla kaksi kertaa niin kauas tasapainoasemasta ennen kuin se päästetään irti. Kitkaa ei ole. Miten jaksonaika ja värähtelyn energia muuttuvat?

Lähtötaso 3: ääni ilmasta veteen

Ääni siirtyy ilmasta veteen, jossa se etenee nopeammin. Mikä äänen suure säilyy samana?

Lähtötaso 4: kaksi kaiutinta

Kaksi kaiutinta soittaa samaa sävelaaltoa samassa vaiheessa. Kuulija seisoo kohdassa, joka on toisesta kaiuttimesta puolen aallonpituuden verran kauempana kuin toisesta. Mitä hän kuulee?

Lähtötaso 5: kaksi ruohonleikkuria

Yksi ruohonleikkuri antaa kuulijan kohdalla intensiteettitason $80\,\text{dB}$. Toinen samanlainen leikkuri käynnistetään yhtä kauas. Kuinka suuri on yhteinen taso?

Lähtötaso 6: ambulanssi ohittaa

Ambulanssi ajaa tasaisella nopeudella suoraan kohti kadunvarressa seisovaa kuulijaa, ohittaa hänet ja loittonee. Miten kuultu sireenin korkeus muuttuu?

Tutki

Kaksi pahviputkea

Keksitty esimerkkiaineisto · Keksitty esimerkki: taajuudet on laskettu putkien ominaistaajuuksista äänen nopeudella $343\,\text{m/s}$, ja niihin on lisätty mittausten kaltaista vaihtelua. Putken päätä ei ole korjattu.

Fysiikan tunnilla tutkittiin kahta samanlaista pahviputkea, joiden pituus on $0{,}600\,\text{m}$. Toinen putki seisoi toinen pää tiiviisti pöytää vasten, toista pidettiin ilmassa niin, että sen molemmat päät olivat auki. Kumpaakin putkea naputettiin, ja puhelimen taajuusanalyysisovellus näytti äänen spektrissä neljä selvää piikkiä. Luokan lämpötila oli $20\,{}^\circ\text{C}$.

Piikki A: $f\ (\text{Hz})$ B: $f\ (\text{Hz})$
1 $284$ $142$
2 $573$ $430$
3 $857$ $713$
4 $1146$ $1001$

Päättele taajuuksien suhteista, kumpi putki seisoi pöytää vasten, ja määritä kummankin putken mittauksista äänen nopeus. Vastaa alla putken B luvulla. Mallivastauksessa verrataan molempia putkia.

Kuinka suuri äänen nopeus saadaan putken B taajuuksista?

m/s
Vihje 1: ohjaava kysymys

Mitä taajuussuhteita putkessa B on? Jaa jokainen taajuus pienimmällä.

Vihje 2: mikä yhteys

Suhteet ovat noin $1 : 3 : 5 : 7$, joten putki on toisesta päästä suljettu: $f_n = n \cdot \tfrac{v}{4L}$, kun $n = 1, 3, 5, 7$.

Vihje 3: välivaihe

$v = 4L \cdot \tfrac{f_n}{n}$. Laske $\tfrac{f_n}{n}$ jokaisesta piikistä ja käytä niiden keskiarvoa.

Näytä ratkaisu

Annettu

putken pituus $L = 0{,}600\,\text{m}$; putken B piikit $142\,\text{Hz}$, $430\,\text{Hz}$, $713\,\text{Hz}$ ja $1001\,\text{Hz}$; putken A piikit $284\,\text{Hz}$, $573\,\text{Hz}$, $857\,\text{Hz}$ ja $1146\,\text{Hz}$

Kysytty

äänen nopeus $v$ putken B mittauksista yksikössä $\text{m/s}$

Periaate

Putken ilmaan syntyy seisova aalto vain ominaistaajuuksilla. Putken B taajuudet suhtautuvat kuin $1 : 3{,}0 : 5{,}0 : 7{,}0$, eli mukana ovat vain perustaajuuden parittomat monikerrat. Siksi putki B seisoi pöytää vasten: suljetussa päässä on siirtymän solmu ja avoimessa kupu, joten putken pituus on pariton määrä aallonpituuden neljänneksiä (luku Seisova aalto: solmut, kuvut ja ominaistaajuudet). Jokainen piikki antaa perustaajuuden arvion $\tfrac{f_n}{n}$, ja niiden keskiarvo pienentää lukemisen satunnaisvaihtelun vaikutusta.

Kaava

$f_n = n \cdot \dfrac{v}{4L}$, kun $n = 1, 3, 5, 7$, joten $v = 4L \cdot \dfrac{f_n}{n}$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$\tfrac{f_n}{n}$ on $142\,\text{Hz}$, $430\,\text{Hz} : 3 = 143{,}3\,\text{Hz}$, $713\,\text{Hz} : 5 = 142{,}6\,\text{Hz}$ ja $1001\,\text{Hz} : 7 = 143{,}0\,\text{Hz}$, keskiarvo $142{,}7\,\text{Hz}$. Siten

$v$$= 4 \cdot 0{,}600\,\text{m} \cdot 142{,}7\,\tfrac{1}{\text{s}}$
$= 342{,}6\,\text{m/s}$

Vastaus

$v \approx 343\,\text{m/s}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten putken pituus $0{,}600\,\text{m}$ ja taajuudet.

Järkevyys

Putken A taajuudet suhtautuvat kuin $1 : 2 : 3 : 4$, joten se oli avoin, ja $f_n = n \cdot \tfrac{v}{2L}$. Sen keskiarvo $\tfrac{f_n}{n} = 285{,}7\,\text{Hz}$ antaa

$v$$= 2 \cdot 0{,}600\,\text{m} \cdot 285{,}7\,\tfrac{1}{\text{s}}$
$\approx 343\,\text{m/s}$

sama tulos. Suljetun putken perustaajuus $142\,\text{Hz}$ on puolet avoimen putken $284\,\text{Hz}$:stä, kuten mallin mukaan pitää, ja $343\,\text{m/s}$ on äänen nopeus $20\,{}^\circ\text{C}$:n ilmassa.

Teoriatiivistelmä

Ydinajatus

Moduulin kaikki ilmiöt alkavat värähtelystä: kappale liikkuu edestakaisin tasapainoasemansa molemmin puolin, ja liikettä kuvaavat jaksonaika $T$, taajuus $f$ ja amplitudi $A$. Jousen ja heilurin jaksonaika määräytyy värähtelijästä itsestään. Aalto on värähtely, joka etenee väliaineessa: hiukkaset värähtelevät paikoillaan, ja aalto kuljettaa energiaa mutta ei ainetta. Ääni on pitkittäinen paineaalto. Sen korkeus määräytyy taajuudesta ja voimakkuus intensiteetistä.

$\text{jaksollinen liike}$
$T,\ f = 1/T,\ A$
$\textbf{värähtelijät}$
$\text{toistuva liike}$
$F = -kx$
$\text{jousen voima}$
$T = 2\pi\sqrt{m/k}$
$\text{jousi}$
$T = 2\pi\sqrt{l/g}$
$\text{heiluri}$
$\textbf{aallot}$
$\text{värähtely etenee}$
$v = f\lambda$
$\text{eteneminen}$
$\Delta s = n\lambda$
$\text{vahvistava}$
$f_n = n \cdot v/(2L)$
$\text{seisova aalto}$
$\textbf{ääni}$
$\text{aalto ilmassa}$
$f_\text{h} = |f_1 - f_2|$
$\text{huojunta}$
$f = f_0 \cdot v/(v \mp v_\text{s})$
$\text{Doppler}$
$L = 10\,\text{dB} \cdot \lg(I/I_0)$
$\text{taso}$

Kokeen aaltotehtävissä kannattaa ensin kysyä, mikä määrää minkin suureen. Taajuuden määrää lähde, nopeuden väliaine, ja aallonpituus seuraa niistä. Kun aalto kohtaa esteen, raon tai toisen aallon, se heijastuu, taipuu tai interferoi, ja kaikissa ratkaisee matkojen vertaaminen aallonpituuteen.

Tästä saadaan vastaus alun kysymykseen. Pilli värähtelee taajuudella $3{,}0\,\text{kHz}$, ja sama taajuus säilyy, kun ääni siirtyy veteen, joten sävel on sama. Äänen nopeus on hallin lämpimässä ilmassa noin $350\,\text{m/s}$ ja vedessä noin $1500\,\text{m/s}$, joten aallonpituus kasvaa $0{,}12\,\text{m}$:stä $0{,}50\,\text{m}$:iin. Valtaosa äänestä kuitenkin heijastuu vedenpinnasta, joten veden alla vihellys kuuluu heikkona.

$\text{paineaalto, sama taajuus } f = 3{,}0\,\text{kHz}$
$\text{ilma}$
$\lambda \approx 0{,}12\,\text{m}$
$\lambda$
$v \approx 350\,\text{m/s}$
$\text{vesi}$
$\lambda \approx 0{,}50\,\text{m}$
$\lambda$
$v \approx 1500\,\text{m/s}$
$\text{etenee}$
$1\,\text{m}$

Värähtely, aallot ja ääni

Värähtelijät

$$\begin{aligned} f &= \frac{1}{T} \\ F &= -kx \\ T &= 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \\ T &= 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \end{aligned}$$

missä $f$ on taajuus ($\text{Hz}$), $T$ jaksonaika ($\text{s}$), $F$ jousen voima ($\text{N}$), $k$ jousivakio ($\text{N/m}$), $x$ poikkeama tasapainoasemasta ($\text{m}$), $m$ massa ($\text{kg}$) ja $l$ heilurin pituus ($\text{m}$). Jousen voima pätee, kun jousta ei venytetä liikaa. Heilurin jaksonaika pätee pienillä heilahduksilla, eikä se riipu massasta. Jousen potentiaalienergia on $E_\text{p} = \tfrac12 kx^2$, ja ilman kitkaa värähtelyn energia $\tfrac12 kA^2$ säilyy.

Aallot

$$\begin{aligned} v &= f\lambda \\ \Delta s &= n\lambda \\ \Delta s &= \left(n + \tfrac12\right)\lambda \end{aligned}$$

missä $v$ on aallon nopeus ($\text{m/s}$), $\lambda$ aallonpituus ($\text{m}$) ja $\Delta s$ matkaero kahdesta samassa vaiheessa värähtelevästä lähteestä ($\text{m}$), $n = 0, 1, 2, \ldots$ Ensimmäinen ehto antaa vahvistavan ja toinen heikentävän interferenssin. Diffraktio on voimakasta, kun raon tai esteen leveys on aallonpituuden suuruinen tai pienempi. Heijastuksessa tulokulma on heijastuskulman suuruinen, kun kulmat mitataan pinnan normaalista.

Seisovassa aallossa vierekkäisten solmujen väli on $\tfrac{\lambda}{2}$. Kielellä ja avoimella putkella on ominaistaajuudet $f_n = n \cdot \tfrac{v}{2L}$, $n = 1, 2, 3, \ldots$, ja toisesta päästä suljetulla putkella $f_n = n \cdot \tfrac{v}{4L}$, $n = 1, 3, 5, \ldots$, missä $L$ on kielen tai putken pituus.

$\text{kieli}$
$L = \lambda/2$
$\text{S}$
$\text{K}$
$\text{K}$
$\text{avoin putki}$
$L = \lambda/2$
$\text{S}$
$\text{K}$
$\text{suljettu putki}$
$L = \lambda/4$
$L$
$\text{S solmu, K kupu}$

Ääni

$$\begin{aligned} f_\text{h} &= |f_1 - f_2| \\ f &= f_0 \cdot \frac{v}{v \mp v_\text{s}} \\ f &= f_0 \cdot \frac{v \pm v_\text{h}}{v} \\ I &= \frac{P}{4\pi r^2} \\ L &= 10\,\text{dB} \cdot \lg \frac{I}{I_0} \end{aligned}$$

missä $f_\text{h}$ on huojuntataajuus ($\text{Hz}$), $f_0$ lähteen ja $f$ kuultu taajuus ($\text{Hz}$), $v$ äänen nopeus, $v_\text{s}$ lähteen ja $v_\text{h}$ kuulijan nopeus ilman suhteen ($\text{m/s}$). Dopplerin kaavoissa ylempi merkki valitaan lähestyttäessä, ja ne pätevät, kun vain toinen liikkuu ja nopeus on äänen nopeutta pienempi. Intensiteetin lauseke pätee pistemäiselle lähteelle, jonka teho on $P$, etäisyydellä $r$ ilman heijastuksia. $L$ on intensiteettitaso ja $I_0 = 1{,}0 \cdot 10^{-12}\,\text{W/m}^2$. Kaiusta etäisyys on $d = \tfrac{vt}{2}$, koska pulssi kulkee matkan kahdesti.

Yleisiä virheitä

  • Amplitudi ääriasemasta toiseen. Amplitudi mitataan tasapainoasemasta, joten se on puolet ääriasemien välistä.
  • Puolikas jakso. Kaksi peräkkäistä tasapainoaseman ohitusta on vain $\tfrac{T}{2}$:n päässä toisistaan; jakso on kahden huipun väli.
  • Taajuus muuttuu väliaineessa. Taajuus säilyy, kun aalto siirtyy väliaineesta toiseen; nopeus ja aallonpituus muuttuvat.
  • Ajanhetken kuva ja yhden kohdan kuvaaja sekaisin. Lue ensin vaaka-akseli: $(x, y)$-kuvaajasta luetaan $\lambda$, $(t, y)$-kuvaajasta $T$.
  • Desibelit lasketaan yhteen. Kaksi yhtä voimakasta riippumatonta lähdettä nostaa tasoa noin $3\,\text{dB}$, koska intensiteetit lasketaan yhteen.
  • Kaiku ilman kahdella jakamista. Kaiku kulkee matkan edestakaisin, joten $d = \tfrac{vt}{2}$.
  • Dopplerin etumerkki. Tarkista lopuksi, että lähestyminen antaa $f > f_0$ ja loittoneminen $f < f_0$.

Kertaa tarvittaessa

Sovella

Etsi virhe: kaikuluotain

Kalastaja lukee veneen kaikuluotaimesta, että pohjasta palaava ultraäänipulssi saapuu takaisin $24\,\text{ms}$ lähettämisen jälkeen. Äänen nopeus järvivedessä on $1480\,\text{m/s}$. Opiskelija laski syvyyden: ”$d = vt = 1480\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 0{,}024\,\text{s} = 35{,}5\,\text{m}$.” Mikä ratkaisussa on väärin?

Lue kuvaaja: narun yksi kohta

Kuvaajassa on narussa etenevän aallon yhden kohdan poikkeama ajan funktiona. Aalto etenee narussa nopeudella $3{,}0\,\text{m/s}$. Mikä väite on oikein?
$-5$
$0$
$5$
$t\ (\text{s})$
$y\ (\text{cm})$
$0{,}4$
$0{,}8$
$1{,}2$
$1{,}6$
$2$

Perusteltu väite: musiikki kulman takaa

Naapurin pihajuhlista kuuluu talon kulman taakse lähinnä bassorummun jytke, vaikka musiikissa on myös korkeita ääniä. Äänen nopeus on $340\,\text{m/s}$. Mikä selitys on oikein?

Perusteltu väite: kaksi konetta

Työmaalla yksi kone antaa työntekijän korvalla tason $88\,\text{dB}$, ja sallittu päivittäinen altistusaika on silloin $4\,\text{h}$. Viereen käynnistetään toinen samanlainen kone yhtä kauas työntekijästä. Mikä väite on oikein?

Auton jousitus

Henkilöauton kori ($1200\,\text{kg}$) lepää neljän jousen varassa. Kun $90\,\text{kg}$:n kuljettaja istuu autoon, kori painuu $8{,}0\,\text{mm}$ alemmas. Testiä varten iskunvaimentimet irrotetaan, ja koria painetaan kerran alas. Oletetaan, että jousten voima on harmoninen ja että renkaat eivät jousta.

Millä taajuudella kori värähtelee, kun kuljettaja istuu kyydissä?

Hz
Vihje 1: ohjaava kysymys

Mistä saat jousten yhteisen jousivakion? Mikä lisävoima painoi koria $8{,}0\,\text{mm}$?

Vihje 2: mikä yhteys

Kuljettajan paino $mg$ puristaa jousia lisää, joten $k = \tfrac{mg}{x}$. Värähtelevä massa on kori ja kuljettaja yhdessä.

Vihje 3: välivaihe

$f = \tfrac{1}{T}$, missä $T = 2\pi\sqrt{\tfrac{m_\text{kori} + m}{k}}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

korin massa $m_\text{kori} = 1200\,\text{kg}$, kuljettajan massa $m = 90\,\text{kg}$, lisäpainuma $x = 8{,}0\,\text{mm}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

korin värähtelyn taajuus $f$ yksikössä $\text{Hz}$

Periaate

Neljä jousta kantaa koria yhdessä kuin yksi jousi, jonka jousivakio on $k$. Kun kori on taas levossa, kuljettajan paino on jousten lisävoima, ja harmonisessa jousessa lisävoima on verrannollinen lisäpainumaan (luku Jousivoima ja jousen energia). Kun koria painetaan ja se päästetään, koriin ja kuljettajaan vaikuttavat paino ja jousten harmoninen voima. Paino vain siirtää tasapainoasemaa, joten kori ja kuljettaja värähtelevät jaksonajalla $T = 2\pi\sqrt{\tfrac{m}{k}}$ (luku Jousivärähtelijä ja heiluri).

Kaava

$mg = kx$, joten $k = \dfrac{mg}{x}$, ja

$f$$= \dfrac{1}{T}$
$= \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m_\text{kori} + m}}$

Muunnokset

$8{,}0\,\text{mm}$$= 8{,}0 \cdot 0{,}001\,\text{m}$
$= 0{,}0080\,\text{m}$

Sijoitus

$k$$= \dfrac{90\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}{0{,}0080\,\text{m}}$
$= 110\,363\,\text{N/m}$

joten

$f$$= \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{110\,363\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}}{1290\,\text{kg}}}$
$= \dfrac{1}{2\pi} \cdot 9{,}249\,\tfrac{1}{\text{s}}$
$= 1{,}472\,\text{Hz}$

Vastaus

$f \approx 1{,}5\,\text{Hz}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten painuma $8{,}0\,\text{mm}$.

Järkevyys

Jaksonaika on

$T$$= \tfrac{1}{f}$
$\approx 0{,}68\,\text{s}$

: kori heilahtaa ylös ja alas vähän yli kerran sekunnissa, mikä vastaa auton keinumista kuopan jälkeen. Jos koko $1290\,\text{kg}$ painaisi jousia, painuma olisi

$\tfrac{1290 \cdot 9{,}81\,\text{N}}{110\,363\,\text{N/m}}$$\approx 0{,}11\,\text{m}$

mikä on autolle tavallinen jousen liike.

Moottoriveneen aallot

Moottoriveneen synnyttämät aallot saapuvat laiturin viereen ankkuroituun poijuun. Poiju nousee ja laskee niin, että $8$ täyttä värähdystä kestää $14{,}4\,\text{s}$. Laiturilta arvioidaan, että peräkkäisten aallonharjojen väli on $3{,}1\,\text{m}$.

Kuinka suurella nopeudella aallot etenevät?

m/s
Vihje 1: ohjaava kysymys

Mitä poijun värähtely kertoo aallosta: jaksonajan vai aallonpituuden?

Vihje 2: mikä yhteys

Poiju värähtelee aallon tahdissa, joten aallon jaksonaika on $T = \tfrac{14{,}4\,\text{s}}{8}$.

Vihje 3: välivaihe

Aalto etenee yhden aallonpituuden yhden jaksonajan aikana: $v = \tfrac{\lambda}{T}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

värähdysten määrä $n = 8$, niiden kesto $t_n = 14{,}4\,\text{s}$, harjojen väli eli aallonpituus $\lambda = 3{,}1\,\text{m}$

Kysytty

aaltojen etenemisnopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$

Periaate

Poiju on väliaineen kohta, joka värähtelee aallon tahdissa, joten sen jaksonaika on aallon jaksonaika (luku Värähtelyn suureet: jaksonaika, taajuus ja amplitudi). Jaksonaika saadaan tarkimmin usean värähdyksen kestosta. Yhden jaksonajan aikana aalto etenee yhden aallonpituuden, joten käytetään aaltoliikkeen perusyhtälöä (luku Aaltojen synty ja eteneminen).

Kaava

$T$$= \dfrac{t_n}{n}$
$v$$= \dfrac{\lambda}{T}$
$= \dfrac{n\lambda}{t_n}$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$T$$= \dfrac{14{,}4\,\text{s}}{8}$
$= 1{,}8\,\text{s}$

joten

$v$$= \dfrac{3{,}1\,\text{m}}{1{,}8\,\text{s}}$
$= 1{,}722\,\text{m/s}$

Vastaus

$v \approx 1{,}7\,\text{m/s}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten aallonpituus $3{,}1\,\text{m}$.

Järkevyys

Aalto etenee noin $6\,\text{km/h}$ eli reipasta kävelyvauhtia, mikä sopii muutaman metrin pituisille vesiaalloille. Taajuus on

$f$$= \tfrac{1}{1{,}8\,\text{s}}$
$\approx 0{,}56\,\text{Hz}$

ja

$f\lambda$$= 0{,}556\,\text{Hz} \cdot 3{,}1\,\text{m}$
$\approx 1{,}7\,\text{m/s}$

sama tulos.

Juna ohittaa laiturin

Laiturilla seisova matkustaja kuulee ohi ajavan junan äänimerkin taajuudella $562\,\text{Hz}$, kun juna lähestyy, ja taajuudella $478\,\text{Hz}$, kun juna on ohittanut hänet. Juna ajaa tasaisella nopeudella, ilma on tyyni, ja äänen nopeus on $340\,\text{m/s}$.

Kuinka suuri on junan nopeus?

m/s
Vihje 1: ohjaava kysymys

Kumpaankin kuultuun taajuuteen liittyy sama tuntematon äänimerkin taajuus $f_0$. Miten sen saa pois yhtälöistä?

Vihje 2: mikä yhteys

Lähestyessä $f_1 = f_0 \cdot \tfrac{v}{v - v_\text{s}}$ ja loitotessa $f_2 = f_0 \cdot \tfrac{v}{v + v_\text{s}}$. Jaa yhtälöt puolittain.

Vihje 3: välivaihe

$\tfrac{f_1}{f_2} = \tfrac{v + v_\text{s}}{v - v_\text{s}}$, josta $v_\text{s} = v \cdot \tfrac{f_1 - f_2}{f_1 + f_2}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

lähestyessä kuultu taajuus $f_1 = 562\,\text{Hz}$, loitotessa kuultu $f_2 = 478\,\text{Hz}$, äänen nopeus $v = 340\,\text{m/s}$; kuulija on paikallaan

Kysytty

junan nopeus $v_\text{s}$ yksikössä $\text{m/s}$

Periaate

Lähde liikkuu ja kuulija on paikallaan, joten lähteen edessä aallonpituus lyhenee ja takana pitenee: käytetään liikkuvan lähteen Dopplerin kaavaa, lähestyessä miinusmerkillä ja loitotessa plusmerkillä (luku Ääni aaltona: korkeus, sointiväri ja Dopplerin ilmiö). Äänimerkin omaa taajuutta $f_0$ ei tunneta, mutta se on molemmissa sama, joten se supistuu, kun yhtälöt jaetaan puolittain.

Kaava

$f_1$$= f_0 \cdot \dfrac{v}{v - v_\text{s}}$
$f_2$$= f_0 \cdot \dfrac{v}{v + v_\text{s}}$

joten

$\dfrac{f_1}{f_2}$$= \dfrac{v + v_\text{s}}{v - v_\text{s}}$

josta

$f_1 v - f_1 v_\text{s}$$= f_2 v + f_2 v_\text{s}$
$v_\text{s}$$= v \cdot \dfrac{f_1 - f_2}{f_1 + f_2}$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita; lopuksi verrataan nopeutta yksikössä $\text{km/h}$.

Sijoitus

$v_\text{s}$$= 340\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \dfrac{562\,\text{Hz} - 478\,\text{Hz}}{562\,\text{Hz} + 478\,\text{Hz}}$
$= 340\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \dfrac{84\,\text{Hz}}{1040\,\text{Hz}}$
$= 27{,}46\,\text{m/s}$

Vastaus

$v_\text{s} \approx 27\,\text{m/s}$

Kaksi merkitsevää numeroa, koska tulos riippuu taajuuksien erotuksesta $84\,\text{Hz}$.

Järkevyys

$27{,}46\,\text{m/s}$$= 27{,}46 \cdot \tfrac{3600\,\text{s/h}}{1000\,\text{m/km}}$
$\approx 99\,\text{km/h}$

tavallinen junan nopeus aseman lähellä. Äänimerkin oma taajuus on

$f_0$$= f_1 \cdot \tfrac{v - v_\text{s}}{v}$
$= 562\,\text{Hz} \cdot \tfrac{312{,}5}{340}$
$\approx 517\,\text{Hz}$

ja se on kuultujen taajuuksien välissä, kuten pitää.

Ulkoilmakonsertin kaiutin

Ulkoilmakonsertissa mitataan $20\,\text{m}$:n päässä kaiutintornista intensiteettitaso $104\,\text{dB}$. Oletetaan, että torni on pistemäinen lähde, joka säteilee tasaisesti joka suuntaan, eikä ääni heijastu tai vaimene ilmassa.

Kuinka kaukana tornista taso on laskenut $85\,\text{dB}$:iin?

m
Vihje 1: ohjaava kysymys

Kuinka moninkertainen intensiteetti on $20\,\text{m}$:n päässä kuin kysytyssä kohdassa?

Vihje 2: mikä yhteys

$L_1 - L_2 = 10\,\text{dB} \cdot \lg \tfrac{I_1}{I_2}$, joten $\tfrac{I_1}{I_2} = 10^{1{,}9}$.

Vihje 3: välivaihe

Pistemäiselle lähteelle $I = \tfrac{P}{4\pi r^2}$, joten $\tfrac{I_1}{I_2} = \tfrac{r_2^2}{r_1^2}$ ja $r_2 = r_1\sqrt{\tfrac{I_1}{I_2}}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

etäisyys $r_1 = 20\,\text{m}$, taso siellä $L_1 = 104\,\text{dB}$, kysytyssä kohdassa $L_2 = 85\,\text{dB}$; pistemäinen lähde ilman heijastuksia ja vaimenemista

Kysytty

etäisyys $r_2$ yksikössä $\text{m}$

Periaate

Tasojen erotus riippuu vain intensiteettien suhteesta, koska kuulokynnys $I_0$ supistuu pois (luku Intensiteetti ja desibeliasteikko). Pistemäisen lähteen teho jakautuu pallon pinnalle $4\pi r^2$, joten intensiteetti on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön.

Kaava

$L_1 - L_2$$= 10\,\text{dB} \cdot \lg \dfrac{I_1}{I_2}$
$\dfrac{I_1}{I_2}$$= \dfrac{r_2^2}{r_1^2}$

joten $r_2 = r_1 \sqrt{10^{\,(L_1 - L_2)/(10\,\text{dB})}}$

Muunnokset

Suureet ovat valmiiksi samoissa yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$\dfrac{L_1 - L_2}{10\,\text{dB}}$$= \dfrac{19\,\text{dB}}{10\,\text{dB}}$
$= 1{,}9$

joten

$\dfrac{I_1}{I_2}$$= 10^{1{,}9}$
$= 79{,}43$
$r_2$$= 20\,\text{m} \cdot \sqrt{79{,}43}$
$= 20\,\text{m} \cdot 8{,}913$
$= 178{,}3\,\text{m}$

Vastaus

$r_2 \approx 180\,\text{m}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten etäisyys $20\,\text{m}$.

Järkevyys

Etäisyyden kaksinkertaistuminen laskee tasoa noin $6\,\text{dB}$. Pudotus $19\,\text{dB}$ vastaa noin kolmea kaksinkertaistumista, $2^3 \cdot 20\,\text{m} = 160\,\text{m}$, ja hieman enemmän, joten $180\,\text{m}$ on oikeaa suuruusluokkaa. Todellisuudessa maa ja rakennukset heijastavat ja ilma vaimentaa ääntä, joten tulos on vain arvio.

Tarkista osaamisesi

Exit ticket

Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.

  1. Heilurin pituus nelinkertaistetaan. Kuinka moninkertaiseksi sen jaksonaika muuttuu, kun heilahdukset ovat pieniä?
    Vastaus

    $T = 2\pi\sqrt{\tfrac{l}{g}}$, joten jaksonaika on verrannollinen pituuden neliöjuureen. Kerroin on $\sqrt{4} = 2$: jaksonaika kaksinkertaistuu.

  2. Kuinka pitkä on $680\,\text{Hz}$:n äänen aallonpituus ilmassa, kun äänen nopeus on $340\,\text{m/s}$?
    Vastaus

    $\lambda = \tfrac{v}{f} = \tfrac{340\,\text{m/s}}{680\,\text{Hz}} = 0{,}50\,\text{m}$.

1. Käsite

Kaksi vierekkäistä kaiutinta soittaa samassa vaiheessa $200\,\text{Hz}$:n sävelaaltoa. Kuulijan etäisyys toisesta kaiuttimesta on $3{,}40\,\text{m}$ ja toisesta $4{,}25\,\text{m}$. Äänen nopeus on $340\,\text{m/s}$. Mikä väite on oikein?

Kertaa matkaero ja interferenssin ehdot luvussa Aaltojen yhteisvaikutus: superpositio ja interferenssi ja aallonpituus luvussa Aaltojen synty ja eteneminen.

2. Laskeminen

Pohjois-Suomen seismografiasema rekisteröi maanjäristyksen, jonka S-aalto saapuu $14{,}2\,\text{s}$ P-aallon jälkeen. P-aallon nopeus kallioperässä on $6{,}0\,\text{km/s}$ ja S-aallon $3{,}5\,\text{km/s}$. Kuinka kaukana asemasta järistys tapahtui?

km
Vihje 1: ohjaava kysymys

Aallot kulkevat saman matkan $d$ eri nopeuksilla. Mitä saapumisaikojen ero kertoo?

Vihje 2: mikä yhteys

$\Delta t = \tfrac{d}{v_\text{S}} - \tfrac{d}{v_\text{P}}$

Vihje 3: välivaihe
$d$$= \dfrac{v_\text{P} v_\text{S}}{v_\text{P} - v_\text{S}}\,\Delta t$
Näytä ratkaisu

Annettu

saapumisaikojen ero $\Delta t = 14{,}2\,\text{s}$, P-aallon nopeus $v_\text{P} = 6{,}0\,\text{km/s}$, S-aallon nopeus $v_\text{S} = 3{,}5\,\text{km/s}$

Kysytty

etäisyys $d$ järistyksen alkukohdasta yksikössä $\text{km}$

Periaate

P- ja S-aalto lähtevät samalla hetkellä ja kulkevat saman matkan tasaisilla nopeuksilla, oletettavasti samaa reittiä. Hitaampi S-aalto jää jälkeen sitä enemmän, mitä pidempi matka on, joten aikaero on kulkuaikojen erotus (luku Soveltava luku: ultraäänikuvaus ja maanjäristysaallot).

Kaava

$\Delta t$$= \dfrac{d}{v_\text{S}} - \dfrac{d}{v_\text{P}}$
$= d \cdot \dfrac{v_\text{P} - v_\text{S}}{v_\text{P} v_\text{S}}$

joten

$d$$= \dfrac{v_\text{P} v_\text{S}}{v_\text{P} - v_\text{S}}\,\Delta t$

Muunnokset

Nopeudet ovat yksikössä $\text{km/s}$ ja aika sekunteina, joten etäisyys saadaan suoraan kilometreinä.

Sijoitus

$d$$= \dfrac{6{,}0\,\tfrac{\text{km}}{\text{s}} \cdot 3{,}5\,\tfrac{\text{km}}{\text{s}}}{6{,}0\,\tfrac{\text{km}}{\text{s}} - 3{,}5\,\tfrac{\text{km}}{\text{s}}} \cdot 14{,}2\,\text{s}$
$= 8{,}4\,\tfrac{\text{km}}{\text{s}} \cdot 14{,}2\,\text{s}$
$= 119{,}3\,\text{km}$

Vastaus

$d \approx 120\,\text{km}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudet $6{,}0\,\text{km/s}$ ja $3{,}5\,\text{km/s}$.

Järkevyys

P-aalto kulkee matkan ajassa $119{,}3\,\text{km} : 6{,}0\,\text{km/s} \approx 19{,}9\,\text{s}$ ja S-aalto ajassa $119{,}3\,\text{km} : 3{,}5\,\text{km/s} \approx 34{,}1\,\text{s}$; ero on $14{,}2\,\text{s}$, kuten mitattiin. Jokainen sekunti aikaeroa vastaa noin $8\,\text{km}$:ä.

Kertaa maanjäristysaallot ja etäisyys aikaerosta luvussa Soveltava luku: ultraäänikuvaus ja maanjäristysaallot.

3. Selitä

Laboratoriossa on jousen varassa värähtelevä punnus ja langan varassa heiluva punnus. Kummassakin punnus vaihdetaan kaksi kertaa raskaampaan, ja heilahdukset pidetään pieninä. Toisen jaksonaika kasvaa, toisen ei muutu. Selitä voimien ja Newtonin toisen lain avulla, kumman jaksonaika kasvaa ja miksi.

Tehtävät

4.1-1 Kitaran kieli ja viritys 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Tilanne on keksitty esimerkki. Kielen pituus ja A- ja H-sävelten taajuudet vastaavat tavallista kitaraa.

Kitaran A-kielen värähtelevä osa satulasta tallaan on $648\,\text{mm}$, ja vapaana soitettuna kieli soi perustaajuudellaan $110{,}0\,\text{Hz}$. Kun kieltä painetaan nauhaa vasten, kielen värähtelevä osa ulottuu nauhasta tallaan. Kitaristi virittää kieltä kosketinsoittimen A-säveltä vasten, jonka taajuus on $110{,}0\,\text{Hz}$.

  • äänen nopeus huoneilmassa $343\,\text{m/s}$
  • kielen kireys pysyy samana a- ja b-kohdassa
  1. a) Kuinka suurella nopeudella aalto etenee kielessä? Kuinka pitkä on perustaajuuden aallonpituus kielessä ja kitarasta lähtevässä äänessä ilmassa? 4 p
  2. b) Kuinka pitkä kielen värähtelevän osan on oltava, jotta kieli soi H-säveltä $123{,}5\,\text{Hz}$? Kuinka kaukana satulasta nauha on? 4 p
  3. c) Kun kieli ja kosketinsoittimen ääni soivat yhtä aikaa, kitaristi kuulee $6$ huojahdusta $4{,}0$ sekunnissa. Hän kiristää kieltä hieman, ja huojunta hidastuu. Mikä oli kielen taajuus ennen kiristämistä? 4 p
  4. d) Kitaristi koskettaa vapaana soivaa kieltä kevyesti tarkalleen sen keskikohdasta, ja kieli jatkaa soimistaan oktaavia korkeammalta. Selitä, miksi näin käy. 3 p

Taidot luvuista: Seisova aalto: solmut, kuvut ja ominaistaajuudet, Aaltojen synty ja eteneminen, Ääni aaltona: korkeus, sointiväri ja Dopplerin ilmiö

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

kielen värähtelevän osan pituus $L = 648\,\text{mm}$, perustaajuus $f_1 = 110{,}0\,\text{Hz}$, äänen nopeus ilmassa $v_\text{ilma} = 343\,\text{m/s}$

Kysytty

aallon nopeus $v$ kielessä sekä perustaajuuden aallonpituus kielessä $\lambda_1$ ja ilmassa $\lambda_\text{ilma}$

Periaate

Kieli on kiinni satulassa ja tallassa, joten päissä on solmut. Perustaajuudella kielessä on yksi kupu, ja kielen pituus on puolet aallonpituudesta (luku Seisova aalto: solmut, kuvut ja ominaistaajuudet). Kieli saa ilman värähtelemään samalla taajuudella, mutta ääni etenee ilmassa eri nopeudella kuin aalto kielessä, joten aallonpituus on eri (luku Aaltojen synty ja eteneminen).

Kaava

$L = \dfrac{\lambda_1}{2}$, joten $\lambda_1 = 2L$ ja $v = f_1\lambda_1 = 2Lf_1$; ilmassa

$\lambda_\text{ilma}$$= \dfrac{v_\text{ilma}}{f_1}$

Muunnokset

$648\,\text{mm}$$= 648 \cdot 0{,}001\,\text{m}$
$= 0{,}648\,\text{m}$

Sijoitus

$\lambda_1$$= 2 \cdot 0{,}648\,\text{m}$
$= 1{,}296\,\text{m}$
$v$$= 110{,}0\,\tfrac{1}{\text{s}} \cdot 1{,}296\,\text{m}$
$= 142{,}56\,\text{m/s}$
$\lambda_\text{ilma}$$= \dfrac{343\,\text{m/s}}{110{,}0\,\text{Hz}}$
$= 3{,}118\,\text{m}$

Vastaus

Aalto etenee kielessä nopeudella $v \approx 143\,\text{m/s}$. Perustaajuuden aallonpituus on kielessä $1{,}30\,\text{m}$ ja ilmassa $3{,}12\,\text{m}$, kolme merkitsevää numeroa kuten äänen nopeus $343\,\text{m/s}$ ja pituus $648\,\text{mm}$.

Järkevyys

Taajuus on molemmissa sama, joten aallonpituuksien suhde on nopeuksien suhde:

$3{,}118 : 1{,}296$
$\approx 2{,}41$
$= 343 : 142{,}6$

Kielen aallonpituus on kaksi kielen pituutta, kuten perustaajuudella kuuluu.

b)

Annettu

aallon nopeus kielessä $v = 142{,}56\,\text{m/s}$ (a-kohta), haluttu taajuus $f' = 123{,}5\,\text{Hz}$, koko pituus $L = 648\,\text{mm}$

Kysytty

kielen värähtelevän osan pituus $L'$ ja nauhan etäisyys satulasta

Periaate

Kieli ja sen kireys pysyvät samoina, joten aallon nopeus kielessä ei muutu. Nauha on uusi solmu, joten perustaajuudella värähtelevä osa on puolet uudesta aallonpituudesta (luku Seisova aalto: solmut, kuvut ja ominaistaajuudet). Nauhan etäisyys satulasta on koko pituuden ja värähtelevän osan erotus.

Kaava

$f' = \dfrac{v}{2L'}$, joten $L' = \dfrac{v}{2f'}$, ja etäisyys satulasta on $L - L'$

Muunnokset

Lopuksi $1\,\text{m} = 1000\,\text{mm}$.

Sijoitus

$L'$$= \dfrac{142{,}56\,\text{m/s}}{2 \cdot 123{,}5\,\tfrac{1}{\text{s}}}$
$= 0{,}5772\,\text{m}$
$= 577{,}2\,\text{mm}$

ja $648\,\text{mm} - 577{,}2\,\text{mm} = 70{,}8\,\text{mm}$

Vastaus

Värähtelevän osan on oltava $L' \approx 577\,\text{mm}$, kolme merkitsevää numeroa kuten lähtötiedot, ja nauha on noin $71\,\text{mm}$:n päässä satulasta. Etäisyys on erotus, joten se tunnetaan millimetrin tarkkuudella.

Järkevyys

Taajuus kasvaa kertoimella $123{,}5 : 110{,}0 \approx 1{,}12$, joten pituuden on lyhennyttävä samalla kertoimella: $648\,\text{mm} : 1{,}123 \approx 577\,\text{mm}$. Kitarassa toinen nauha on noin $7\,\text{cm}$:n päässä satulasta, joten tulos sopii.

c)

Annettu

$6$ huojahdusta $4{,}0$ sekunnissa, vertailuääni $110{,}0\,\text{Hz}$; kiristäminen hidastaa huojuntaa

Kysytty

kielen taajuus $f_\text{kieli}$ ennen kiristämistä

Periaate

Kahden lähes samantaajuisen äänen huojuntataajuus on taajuuksien erotus (luku Ääni aaltona: korkeus, sointiväri ja Dopplerin ilmiö). Huojunta kertoo vain eron, ei sen suuntaa, joten suunta päätellään kiristämisestä: kireämmässä kielessä aalto etenee nopeammin, ja taajuus $f = \tfrac{v}{2L}$ nousee (luku Seisova aalto: solmut, kuvut ja ominaistaajuudet). Kun taajuus nousi ja huojunta hidastui, taajuusero pieneni, joten kielen taajuus oli alle $110{,}0\,\text{Hz}$.

Kaava

$f_\text{h} = \dfrac{N}{t}$ ja $f_\text{h} = |f_\text{kieli} - f_\text{vert}|$, joten $f_\text{kieli} = f_\text{vert} - f_\text{h}$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$f_\text{h}$$= \dfrac{6}{4{,}0\,\text{s}}$
$= 1{,}5\,\text{Hz}$

joten

$f_\text{kieli}$$= 110{,}0\,\text{Hz} - 1{,}5\,\text{Hz}$
$= 108{,}5\,\text{Hz}$

Vastaus

$f_\text{kieli} = 108{,}5\,\text{Hz}$

Tarkkuus on desimaalin kymmenesosa, koska vertailuääni tunnetaan $0{,}1\,\text{Hz}$:n tarkkuudella ja huojunta $1{,}5\,\text{Hz}$ kahden numeron tarkkuudella.

Järkevyys

Jos kieli olisi ollut $111{,}5\,\text{Hz}$, kiristäminen olisi kasvattanut eroa ja huojunta olisi nopeutunut. Taajuusero $1{,}5\,\text{Hz}$ on alle noin $10\,\text{Hz}$, joten huojunta todella kuuluu.

d)

Kysytty

miksi keskikohdasta kevyesti kosketettu kieli soi oktaavia korkeammalta

Periaate

Kahdesta päästä kiinnitetyn kielen ominaistaajuudet ovat $f_n = n f_1$, ja ominaistaajuudella $f_n$ kielessä on $n$ kupua. Kosketus estää kielen liikkeen siinä kohdassa, joten siihen tulee solmu (luku Seisova aalto: solmut, kuvut ja ominaistaajuudet).

Mallivastaus

Vapaasti soiva kieli värähtelee yhtä aikaa perustaajuudella ja yläsävelillä. Perustaajuudella keskikohta on kupu, joten sormi vaimentaa perustaajuuden ja kaikki parittomat ominaistaajuudet, joilla keskikohdassa on kupu. Jäljelle jäävät ominaistaajuudet $n = 2, 4, 6, \ldots$, joilla keskikohdassa on solmu, koska sormi ei estä niiden liikettä. Alin niistä on $f_2 = 2f_1 = 220\,\text{Hz}$: kieli värähtelee kahtena kupuna, ja kaksinkertainen taajuus kuulostaa oktaavia korkeammalta. Sormen voi nostaa, ja kieli soi edelleen samalla tavalla, koska seisova aalto jatkuu.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa aallonpituudeksi otetaan kielen pituus, jolloin $v = f_1 L \approx 71\,\text{m/s}$; perustaajuudella $L = \tfrac{\lambda}{2}$.
  • a-kohdassa ilman aallonpituudeksi annetaan kielen aallonpituus $1{,}30\,\text{m}$: taajuus säilyy, aallonpituus ei.
  • b-kohdassa oletetaan, että nopeus muuttuu, tai lasketaan pituus suoraan verrannollisena taajuuteen.
  • c-kohdassa huojuntataajuudeksi otetaan $6\,\text{Hz}$ tai annetaan molemmat vaihtoehdot ilman perustelua.

Hyväksytään myös

  • b-kohdassa suhteella: $L' = L \cdot \dfrac{f_1}{f'} = 648\,\text{mm} \cdot \dfrac{110{,}0}{123{,}5} \approx 577\,\text{mm}$, koska nopeus on sama.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Perustelee, että kielen päissä on solmut, joten perustaajuudella kielen pituus on puolet aallonpituudesta, ja että ilmassa ääni on samantaajuista mutta etenee eri nopeudella. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $\lambda_1 = 2L$, $v = f_1 \lambda_1 = 2Lf_1$ ja ilmassa $\lambda_\text{ilma} = \dfrac{v_\text{ilma}}{f_1}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\lambda_1 = 1{,}296\,\text{m}$, $v = 110{,}0\,\text{Hz} \cdot 1{,}296\,\text{m} \approx 142{,}6\,\text{m/s}$ ja $\lambda_\text{ilma} = \dfrac{343\,\text{m/s}}{110{,}0\,\text{Hz}} \approx 3{,}12\,\text{m}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. Kolme merkitsevää numeroa: $v \approx 143\,\text{m/s}$, $1{,}30\,\text{m}$ ja $3{,}12\,\text{m}$ 1 p

b)4 p

Perustelee, että aallon nopeus kielessä pysyy samana, koska kieli ja sen kireys eivät muutu; vain värähtelevä pituus lyhenee. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $f' = \dfrac{v}{2L'}$, joten $L' = \dfrac{v}{2f'}$, ja nauhan etäisyys satulasta on $L - L'$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $L' = \dfrac{142{,}6\,\text{m/s}}{2 \cdot 123{,}5\,\text{Hz}} \approx 0{,}577\,\text{m}$ ja $648\,\text{mm} - 577\,\text{mm} \approx 71\,\text{mm}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $L' \approx 577\,\text{mm}$ kolmella merkitsevällä numerolla; etäisyys $71\,\text{mm}$ erotuksena millimetrin tarkkuudella 1 p

c)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $f_\text{h} = |f_\text{kieli} - 110{,}0\,\text{Hz}|$ ja $f_\text{h} = \dfrac{6}{4{,}0\,\text{s}} = 1{,}5\,\text{Hz}$, joten kielen taajuus on $108{,}5\,\text{Hz}$ tai $111{,}5\,\text{Hz}$ 1 p
Perustelee valinnan: kiristäminen kasvattaa aallon nopeutta kielessä ja nostaa taajuutta. Huojunta hidastui, joten taajuusero pieneni, ja kielen taajuus oli alle $110{,}0\,\text{Hz}$. 2 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $f_\text{kieli} = 108{,}5\,\text{Hz}$ 1 p

d)3 p

Selittää, että sormi pakottaa kielen keskikohtaan solmun, joten kieleen jäävät vain ne ominaistaajuudet, joilla keskikohdassa on solmu: $n = 2, 4, 6, \ldots$ 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Alin jäljelle jäävä on $f_2 = 2f_1 = 220\,\text{Hz}$: kieli värähtelee kahtena kupuna, ja kaksinkertainen taajuus on oktaavi ylöspäin. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (13 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

4.1-2 Lepakko saalistaa 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Tilanne ja luvut ovat keksitty esimerkki. Pohjanlepakon kaikuluotausäänten taajuus on todellisen lajin suuruusluokkaa.

Pohjanlepakko saalistaa kesäyönä hyönteisiä järven rannalla. Se lähettää lyhyitä ultraäänipulsseja ja kuuntelee, mistä ja milloin niiden kaiut palaavat.

  • pulssin taajuus $30{,}0\,\text{kHz}$
  • äänen nopeus ilmassa $340\,\text{m/s}$, ilma tyyni
  • tavallisen hyttysen pituus noin $5\,\text{mm}$
  1. a) Kuinka pitkä on pulssin aallonpituus ilmassa? 3 p
  2. b) Lepakko kuulee hyönteisestä heijastuneen kaiun $12{,}0\,\text{ms}$ pulssin lähettämisen jälkeen. Kuinka kaukana hyönteinen on? Arvioi, kuinka paljon tulokseen vaikuttaa se, että lepakko lentää koko ajan nopeudella $6{,}0\,\text{m/s}$. 4 p
  3. c) Lepakko lentää nopeudella $6{,}0\,\text{m/s}$ suoraan kohti aitan seinää. Minkä taajuisena se kuulee seinästä heijastuneen kaiun? 5 p
  4. d) Selitä, miksi lepakko ei voisi havaita hyttystä, jos se käyttäisi kuuloalueen ääntä, jonka taajuus on $3\,\text{kHz}$. 3 p

Taidot luvuista: Soveltava luku: ultraäänikuvaus ja maanjäristysaallot, Ääni aaltona: korkeus, sointiväri ja Dopplerin ilmiö, Aalto kohtaa esteen tai raon

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

pulssin taajuus $f = 30{,}0\,\text{kHz}$, äänen nopeus ilmassa $v = 340\,\text{m/s}$

Kysytty

aallonpituus $\lambda$

Periaate

Ultraääni on ääntä, joten se etenee ilmassa äänen nopeudella, ja nopeus, taajuus ja aallonpituus liittyvät toisiinsa aaltoliikkeen perusyhtälöllä (luku Aaltojen synty ja eteneminen).

Kaava

$v = f\lambda$, joten $\lambda = \dfrac{v}{f}$

Muunnokset

$30{,}0\,\text{kHz}$$= 30{,}0 \cdot 1000\,\text{Hz}$
$= 30\,000\,\text{Hz}$

ja lopuksi $1\,\text{m} = 1000\,\text{mm}$

Sijoitus

$\lambda$$= \dfrac{340\,\text{m/s}}{30\,000\,\tfrac{1}{\text{s}}}$
$= 0{,}01133\,\text{m}$
$= 11{,}33\,\text{mm}$

Vastaus

$\lambda \approx 11{,}3\,\text{mm}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten taajuus $30{,}0\,\text{kHz}$.

Järkevyys

Kuuloalueen ylärajan $20\,\text{kHz}$ äänen aallonpituus on $17\,\text{mm}$, joten suurempi taajuus antaa lyhyemmän aallonpituuden, kuten pitää. Senttimetrin luokka on pienten hyönteisten kokoluokkaa.

b)

Annettu

kaiun kulkuaika $t = 12{,}0\,\text{ms}$, äänen nopeus $v = 340\,\text{m/s}$, lepakon nopeus $6{,}0\,\text{m/s}$

Kysytty

hyönteisen etäisyys $d$ ja lepakon liikkeen vaikutus siihen

Periaate

Pulssi kulkee lepakosta hyönteiseen ja kaikuna takaisin, joten se kulkee matkan $d$ kahdesti tasaisella nopeudella (luku Soveltava luku: ultraäänikuvaus ja maanjäristysaallot). Lepakon oma liike kaiun aikana arvioidaan erikseen.

Kaava

$2d = vt$, joten $d = \dfrac{vt}{2}$; lepakon siirtymä $s = v_\text{l} t$

Muunnokset

$12{,}0\,\text{ms}$$= 12{,}0 \cdot 0{,}001\,\text{s}$
$= 0{,}0120\,\text{s}$

Sijoitus

$d$$= \dfrac{340\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 0{,}0120\,\text{s}}{2}$
$= 2{,}04\,\text{m}$
$s$$= 6{,}0\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 0{,}0120\,\text{s}$
$= 0{,}072\,\text{m}$

Vastaus

Hyönteinen on noin $2{,}04\,\text{m}$:n päässä, kolme merkitsevää numeroa kuten kulkuaika $12{,}0\,\text{ms}$. Lepakko liikkuu kaiun aikana noin $7\,\text{cm}$ eli noin $3{,}5\,\%$ etäisyydestä, joten etäisyys tunnetaan oikeastaan vain noin $2{,}0\,\text{m}$:n tarkkuudella.

Järkevyys

Kahden metrin matka edestakaisin on $4\,\text{m}$, ja ääni kulkee sen noin sadasosasekunnissa, kuten mitattiin. Lepakon nopeus on alle $2\,\%$ äänen nopeudesta, joten sen liikkeen vaikutus on pieni.

c)

Annettu

pulssin taajuus $f_0 = 30{,}0\,\text{kHz}$, lepakon nopeus $v_\text{l} = 6{,}0\,\text{m/s}$ kohti seinää, äänen nopeus $v = 340\,\text{m/s}$, seinä paikallaan

Kysytty

lepakon kuuleman kaiun taajuus $f$

Periaate

Dopplerin ilmiö tapahtuu kahdesti (luku Ääni aaltona: korkeus, sointiväri ja Dopplerin ilmiö). Lepakko on ensin lähde ja sitten kuulija, ja sen nopeus on $v_\text{l}$. Ensin lepakko on liikkuva lähde ja seinä paikallaan oleva vastaanottaja: lähestyvän lähteen edessä aallonpituus lyhenee. Seinä heijastaa vastaanottamansa taajuuden paikallaan olevana lähteenä, ja lepakko on nyt kuulija, joka lähestyy sitä ja kohtaa rintamat useammin. Kummassakin vaiheessa lähestyminen nostaa taajuutta.

Kaava

$f_\text{s}$$= f_0 \cdot \dfrac{v}{v - v_\text{l}}$
$f$$= f_\text{s} \cdot \dfrac{v + v_\text{l}}{v}$

joten

$f$$= f_0 \cdot \dfrac{v + v_\text{l}}{v - v_\text{l}}$

Muunnokset

Taajuus pysyy yksikössä $\text{kHz}$, koska nopeuksien suhde on yksikötön.

Sijoitus

$f_\text{s}$$= 30{,}0\,\text{kHz} \cdot \dfrac{340\,\text{m/s}}{334\,\text{m/s}}$
$= 30{,}54\,\text{kHz}$
$f$$= 30{,}54\,\text{kHz} \cdot \dfrac{346\,\text{m/s}}{340\,\text{m/s}}$
$= 31{,}08\,\text{kHz}$

Vastaus

$f \approx 31{,}1\,\text{kHz}$

Eli noin $1{,}1\,\text{kHz}$ lähetettyä pulssia korkeampi, kolme merkitsevää numeroa kuten taajuus $30{,}0\,\text{kHz}$.

Järkevyys

Pienillä nopeuksilla kumpikin vaihe nostaa taajuutta noin osuudella

$\tfrac{v_\text{l}}{v}$$= \tfrac{6{,}0}{340}$
$\approx 1{,}8\,\%$

yhteensä noin $3{,}5\,\%$, ja $30{,}0\,\text{kHz} \cdot 1{,}035 \approx 31{,}1\,\text{kHz}$. Kuultu taajuus on suurempi kuin $f_0$, kuten lähestyttäessä kuuluu.

d)

Kysytty

miksi $3\,\text{kHz}$:n äänellä ei voisi havaita hyttystä

Periaate

Diffraktio on voimakasta, kun este on aallonpituuden suuruinen tai sitä pienempi: aalto taipuu esteen ympäri eikä jätä varjoa (luku Aalto kohtaa esteen tai raon). Aallonpituus on $\lambda = \tfrac{v}{f}$.

Mallivastaus

Taajuudella $3\,\text{kHz}$ aallonpituus olisi $\tfrac{340\,\text{m/s}}{3000\,\text{Hz}} \approx 11\,\text{cm}$, yli kaksikymmentä kertaa hyttysen pituus $5\,\text{mm}$. Niin pieni este ei juuri muuta pitkän aallon etenemistä: aalto taipuu sen ympäri, eikä hyttysestä palaa havaittavaa kaikua tai varjoa. Ultraäänen aallonpituus $11\,\text{mm}$ on hyttysen kokoluokkaa, joten hyttynen heijastaa siitä havaittavan kaiun, ja lepakko voi myös erottaa lähekkäisiä kohteita. Siksi lepakko käyttää ultraääntä: lyhyt aallonpituus on edellytys pienen saaliin havaitsemiselle.

Yleisiä virheitä

  • b-kohdassa etäisyys lasketaan $d = vt \approx 4{,}1\,\text{m}$ jakamatta kahdella.
  • c-kohdassa lasketaan vain toinen vaihe, jolloin tulos on $30{,}5\,\text{kHz}$, tai valitaan etumerkit niin, että lähestyvä lepakko kuulee matalamman taajuuden.
  • c-kohdassa lepakon nopeus lisätään äänen nopeuteen ilman Dopplerin kaavaa ja aallonpituus jätetään samaksi.
  • d-kohdassa vedotaan siihen, että matala ääni on heikompi; ratkaiseva on aallonpituuden ja kohteen koon suhde.

Hyväksytään myös

  • c-kohdassa suoraan yhdistetyllä kaavalla $f = f_0 \cdot \dfrac{v + v_\text{l}}{v - v_\text{l}}$, kun sen kaksi vaihetta on perusteltu.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $v = f\lambda$, joten $\lambda = \dfrac{v}{f}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\lambda = \dfrac{340\,\text{m/s}}{30\,000\,\text{Hz}}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\lambda \approx 11{,}3\,\text{mm}$ 1 p

b)4 p

Perustelee, että pulssi kulkee matkan hyönteiseen kahdesti, menossa ja kaikuna takaisin. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $d = \dfrac{vt}{2}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $d = \dfrac{340\,\text{m/s} \cdot 0{,}0120\,\text{s}}{2} \approx 2{,}04\,\text{m}$ 1 p
Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Lepakko liikkuu kaiun aikana $6{,}0\,\text{m/s} \cdot 0{,}0120\,\text{s} \approx 7\,\text{cm}$, joten etäisyys muuttuu vain muutaman prosentin; vaikutus on pieni mutta näkyy kolmannessa numerossa. 1 p

c)5 p

Perustelee kaksi vaihetta: paikallaan oleva seinä vastaanottaa liikkuvan lähteen äänen ja heijastaa sen paikallaan olevana lähteenä, jonka ääntä lepakko kuulee lähestyvänä kuulijana. 2 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $f_\text{s} = f_0 \cdot \dfrac{v}{v - v_\text{l}}$ ja $f = f_\text{s} \cdot \dfrac{v + v_\text{l}}{v}$, joten $f = f_0 \cdot \dfrac{v + v_\text{l}}{v - v_\text{l}}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $f_\text{s} \approx 30{,}54\,\text{kHz}$ ja $f = 30{,}0\,\text{kHz} \cdot \dfrac{346\,\text{m/s}}{334\,\text{m/s}} \approx 31{,}08\,\text{kHz}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $f \approx 31{,}1\,\text{kHz}$ eli noin $1{,}1\,\text{kHz}$ pulssia korkeampi 1 p

d)3 p

Laskee, että $3\,\text{kHz}$:n aallonpituus on noin $11\,\text{cm}$, yli kaksikymmentä kertaa hyttysen pituus, mutta $30\,\text{kHz}$:n noin $11\,\text{mm}$, hyttysen kokoluokkaa. 1 p
Selittää diffraktiolla, että aallonpituutta paljon pienempi este ei juuri heijasta eikä varjosta aaltoa, koska aalto taipuu sen ympäri. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Lyhyt aallonpituus on edellytys pienen saaliin havaitsemiselle; siksi lepakko käyttää ultraääntä. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (14 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

4.1-3 Heilurin jaksonaika ja putoamiskiihtyvyys 20 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Aineisto on keksitty esimerkki: luvut on laskettu heilurin mallista, kun $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ ja todellinen heilurin pituus on $1{,}5\,\text{cm}$ mitattua suurempi, ja niihin on lisätty käsiajanoton kaltaista vaihtelua.

Opiskelijaryhmä tutki heilurin jaksonaikaa. Pieni teräskuula ripustettiin ohueen lankaan, ja langan pituutta muutettiin. Pituus $l$ mitattiin mittanauhalla langan kiinnityskohdasta kuulan yläpintaan. Kuula vedettiin noin $5^\circ$:n kulmaan ja päästettiin irti, ja kymmenen heilahduksen aika $t_{10}$ mitattiin sekuntikellolla.

$l\ (\text{m})$ $t_{10}\ (\text{s})$
$0{,}200$ $9{,}36$
$0{,}350$ $12{,}07$
$0{,}500$ $14{,}44$
$0{,}650$ $16{,}29$
$0{,}800$ $18{,}14$
$0{,}950$ $19{,}76$
  1. a) Esitä heilurin jaksonaika langan pituuden funktiona kuvaajana. Onko jaksonaika suoraan verrannollinen pituuteen? Perustele kuvaajan avulla. 4 p
  2. b) Esitä aineisto niin, että pisteisiin sopii suora, kun heilahdukset ovat pieniä. Perustele valintasi ja sovita pisteisiin suora. 5 p
  3. c) Määritä kuvaajasta putoamiskiihtyvyys. Vertaa tulosta arvoon $9{,}81\,\text{m/s}^2$. 6 p
  4. d) Suora ei kulje origon kautta. Mitä se kertoo mittauksesta? Kuinka pitkäksi ryhmän tavalla mitattu pituus $l$ on säädettävä, jotta heilurin jaksonaika on $2{,}00\,\text{s}$? 5 p

Taidot luvuista: Jousivärähtelijä ja heiluri, Graafinen esitys ja suoran sovittaminen, Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

jaksonaika langan pituuden funktiona kuvaajana ja onko jaksonaika suoraan verrannollinen pituuteen

Kuvaaja

Jaksonaika on kymmenen heilahduksen aika jaettuna kymmenellä: $0{,}936\,\text{s}$, $1{,}207\,\text{s}$, $1{,}444\,\text{s}$, $1{,}629\,\text{s}$, $1{,}814\,\text{s}$ ja $1{,}976\,\text{s}$. Vaaka-akselilla on $l\ (\text{m})$ ja pystyakselilla $T\ (\text{s})$, ja akselit alkavat nollasta, jotta näkyy, kulkisiko suora origon kautta. Pisteitä ei yhdistetä murtoviivaksi.

$0{,}5$
$1{,}0$
$0{,}5$
$1{,}0$
$1{,}5$
$2{,}0$
$2{,}5$
$0$
$l\ (\text{m})$
$T\ (\text{s})$
$\text{loivenee}$

Mallivastaus

Jaksonaika ei ole suoraan verrannollinen pituuteen. Kuvaaja loivenee: pituuden kasvaessa jaksonaika kasvaa yhä hitaammin, eikä pisteisiin sovi origon kautta kulkeva suora. Esimerkiksi kun pituus nelinkertaistuu $0{,}200\,\text{m}$:stä $0{,}800\,\text{m}$:iin, jaksonaika kasvaa vain $1{,}814 : 0{,}936 \approx 1{,}9$-kertaiseksi. Tämä sopii heilurin malliin, jossa jaksonaika on verrannollinen pituuden neliöjuureen, ja $\sqrt{4} = 2$.

b)

Kysytty

aineiston esitys niin, että pisteisiin sopii suora, perustelu ja sovitettu suora

Kuvaaja

Pienillä heilahduksilla $T = 2\pi\sqrt{\tfrac{l}{g}}$. Kun yhtälö korotetaan toiseen, saadaan $T^2 = \tfrac{4\pi^2}{g}\,l$, joten $T^2$ on suoraan verrannollinen pituuteen. Lasketaan $T^2$: $0{,}876\,\text{s}^2$, $1{,}457\,\text{s}^2$, $2{,}085\,\text{s}^2$, $2{,}654\,\text{s}^2$, $3{,}291\,\text{s}^2$ ja $3{,}905\,\text{s}^2$. Vaaka-akselilla on $l\ (\text{m})$ ja pystyakselilla $T^2\ (\text{s}^2)$. Suora sovitetaan pisteiden lomitse eikä pakoteta origon kautta, jotta mahdollinen systemaattinen virhe näkyy.

$0{,}5$
$1{,}0$
$1$
$2$
$3$
$4$
$0$
$l\ (\text{m})$
$T^2\ (\text{s}^2)$
$b \approx 0{,}055\,\text{s}^2$
$k \approx 4{,}04\,\text{s}^2/\text{m}$

Mallivastaus

Pisteet asettuvat hyvin suoralle, joten heilurin malli kuvaa aineistoa. Suora ei kuitenkaan kulje aivan origon kautta, vaan leikkaa pystyakselin noin arvossa $0{,}055$–$0{,}056\,\text{s}^2$. Tätä tulkitaan d-kohdassa.

c)

Annettu

sovitettu suora kuvaajassa; suoralta luetut pisteet $(0{,}10\,\text{m}$; $0{,}46\,\text{s}^2)$ ja $(0{,}90\,\text{m}$; $3{,}69\,\text{s}^2)$; vertailuarvo $9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

putoamiskiihtyvyys $g$ ja sen vertailu arvoon $9{,}81\,\text{m/s}^2$

Periaate

Mallin $T^2 = \tfrac{4\pi^2}{g}\,l$ mukaan $(l, T^2)$-kuvaajan kulmakerroin on $k = \tfrac{4\pi^2}{g}$ (luku Jousivärähtelijä ja heiluri). Kulmakerroin luetaan kahdesta kaukana toisistaan olevasta sovitetun suoran pisteestä, ei mittauspisteistä (luku Graafinen esitys ja suoran sovittaminen). Mahdollinen systemaattinen virhe pituudessa siirtää suoraa mutta ei muuta sen kulmakerrointa.

Kuvaajan lukeminen

Suoralta luetaan pisteet kohdissa $l = 0{,}10\,\text{m}$ ja $l = 0{,}90\,\text{m}$: $T^2 \approx 0{,}46\,\text{s}^2$ ja $T^2 \approx 3{,}69\,\text{s}^2$.

Kaava

$k = \dfrac{\Delta (T^2)}{\Delta l}$ ja $k = \dfrac{4\pi^2}{g}$, joten $g = \dfrac{4\pi^2}{k}$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita; $\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ saadaan, kun jaetaan yksiköllä $\tfrac{\text{s}^2}{\text{m}}$.

Sijoitus

$k$$= \dfrac{3{,}69\,\text{s}^2 - 0{,}46\,\text{s}^2}{0{,}90\,\text{m} - 0{,}10\,\text{m}}$
$= \dfrac{3{,}23\,\text{s}^2}{0{,}80\,\text{m}}$
$= 4{,}0375\,\text{s}^2\text{/m}$

joten

$g$$= \dfrac{4\pi^2}{4{,}0375\,\text{s}^2\text{/m}}$
$= 9{,}778\,\text{m/s}^2$

Vastaus

$g \approx 9{,}8\,\text{m/s}^2$

Kaksi merkitsevää numeroa, koska kuvaajalta luetut arvot ovat noin sadasosan tarkkuudella ja käsiajanotto rajoittaa tarkkuutta.

Järkevyys

Ero arvoon $9{,}81\,\text{m/s}^2$ on noin $0{,}3\,\%$. Kymmenen heilahduksen käsiajanoton epävarmuus noin $0{,}1$–$0{,}2\,\text{s}$ on $1$–$2\,\%$ ajasta $t_{10}$ ja $2$–$4\,\%$ arvosta $T^2$, joten ero on mittaustarkkuuden rajoissa. Pienillä heilahduksilla $5^\circ$ jaksonaika poikkeaa mallista alle $0{,}1\,\%$.

d)

Annettu

sovitetun suoran kulmakerroin $k \approx 4{,}04\,\text{s}^2\text{/m}$ ja vakiotermi $b \approx 0{,}056\,\text{s}^2$ (c-kohdan luetuista pisteistä; kuvaajan leikkauskohta on noin $0{,}055\,\text{s}^2$, ja ero ei muuta tulosta), haluttu jaksonaika $T = 2{,}00\,\text{s}$

Kysytty

mitä vakiotermi kertoo mittauksesta, ja ryhmän tavalla mitattu pituus $l$, jolla $T = 2{,}00\,\text{s}$

Periaate

Jos heilurin todellinen pituus on $l + \Delta l$, malli antaa $T^2 = k(l + \Delta l) = kl + k\Delta l$, joten suora siirtyy ylöspäin ja leikkaa $l$-akselin kohdassa $-\Delta l$ (luku Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus). Heilurin pituus on kiinnityskohdan ja kuulan painopisteen etäisyys (luku Jousivärähtelijä ja heiluri). Haluttu pituus saadaan sovitetun suoran yhtälöstä, jolloin sama systemaattinen virhe on mukana.

Kuvaajan lukeminen

Suoran yhtälö on c-kohdan luetuista pisteistä $T^2 = 4{,}04\,\tfrac{\text{s}^2}{\text{m}} \cdot l + 0{,}056\,\text{s}^2$; se leikkaa $l$-akselin, kun $T^2 = 0$.

Kaava

$T^2 = kl + b$, joten $l = \dfrac{T^2 - b}{k}$ ja $l$-akselin leikkauskohta on $-\dfrac{b}{k}$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$-\dfrac{b}{k}$$= -\dfrac{0{,}0563\,\text{s}^2}{4{,}0375\,\text{s}^2\text{/m}}$
$= -0{,}014\,\text{m}$
$l$$= \dfrac{(2{,}00\,\text{s})^2 - 0{,}0563\,\text{s}^2}{4{,}0375\,\text{s}^2\text{/m}}$
$= \dfrac{3{,}944\,\text{s}^2}{4{,}0375\,\text{s}^2\text{/m}}$
$= 0{,}9768\,\text{m}$

Vastaus

Suora leikkaa $l$-akselin noin kohdassa $-1{,}4\,\text{cm}$: heilurin todellinen pituus on noin $1{,}4\,\text{cm}$ mitattua suurempi. Pituus mitattiin kuulan yläpintaan eikä keskipisteeseen, joten mittauksessa on systemaattinen virhe, joka on kuulan säteen suuruinen. Ryhmän tavalla mitatun pituuden on oltava noin $0{,}98\,\text{m}$, kaksi merkitsevää numeroa, koska tulos riippuu kuvaajalta luetusta vakiotermistä.

Järkevyys

Tunnetun mallin mukaan jaksonajan $2{,}00\,\text{s}$ heilurin pituus on

$\tfrac{9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot (2{,}00\,\text{s})^2}{4\pi^2}$
$\approx 0{,}994\,\text{m}$

kuulan keskipisteeseen. Kun siitä vähennetään noin $1{,}4\,\text{cm}$, saadaan $0{,}98\,\text{m}$, sama tulos. Pienen kuulan säde $1$–$2\,\text{cm}$ on uskottava.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa pisteet yhdistetään murtoviivaksi tai jaksonajaksi otetaan kymmenen heilahduksen aika.
  • b-kohdassa piirretään $T$ neliöjuuren funktiona tai $T^2$ ilman perustelua, tai suora pakotetaan origon kautta, jolloin $g$ saadaan noin $9{,}6\,\text{m/s}^2$.
  • c-kohdassa kulmakerroin lasketaan kahdesta mittauspisteestä tai tulkitaan suoraan putoamiskiihtyvyydeksi ilman kaavaa $k = \tfrac{4\pi^2}{g}$.
  • d-kohdassa vakiotermi selitetään satunnaisvirheellä; se siirtää kaikkia pisteitä samaan suuntaan.

Hyväksytään myös

  • b- ja c-kohdassa $(\sqrt{l}, T)$-kuvaaja, kun sen kulmakerroin on $\tfrac{2\pi}{\sqrt{g}}$ ja tulkinta on oikein.
  • d-kohdassa pituuden laskeminen mallista $l = \tfrac{gT^2}{4\pi^2} - 0{,}014\,\text{m}$.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. Vaaka-akselilla $l\ (\text{m})$, pystyakselilla $T\ (\text{s})$; akselit alkavat nollasta. 1 p
Jokainen mittaus on merkitty erillisenä pisteenä oikealle paikalleen. Jaksonajat $T = \dfrac{t_{10}}{10}$ jokaiselle pituudelle. 1 p
Perustelee kuvaajalla: pisteet eivät ole origon kautta kulkevalla suoralla, vaan kuvaaja loivenee; esimerkiksi nelinkertainen pituus $0{,}200\,\text{m} \to 0{,}800\,\text{m}$ antaa vain noin kaksinkertaisen jaksonajan. 2 p

b)5 p

Perustelee linearisoinnin: kun $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$ korotetaan toiseen, saadaan $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{g}\,l$, joten $T^2$ on suoraan verrannollinen pituuteen. 2 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $T^2$ jokaiselle mittaukselle yksikössä $\text{s}^2$, esimerkiksi $(0{,}936\,\text{s})^2 = 0{,}876\,\text{s}^2$. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii, eikä pisteitä ole yhdistetty murtoviivaksi. Yksi suora pisteiden lomitse; vaaka-akselilla $l\ (\text{m})$, pystyakselilla $T^2\ (\text{s}^2)$. Suoraa ei pakoteta origon kautta. 2 p

c)6 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Kulmakerroin kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä, esimerkiksi $(0{,}10\,\text{m}$; $0{,}46\,\text{s}^2)$ ja $(0{,}90\,\text{m}$; $3{,}69\,\text{s}^2)$: $k \approx 4{,}04\,\text{s}^2\text{/m}$. 2 p
Tulkitsee kulmakertoimen: $k = \dfrac{4\pi^2}{g}$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $g = \dfrac{4\pi^2}{k}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $g \approx 9{,}8\,\text{m/s}^2$; tulokset $9{,}6$–$10{,}0\,\text{m/s}^2$ hyväksytään. 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Ero arvoon $9{,}81\,\text{m/s}^2$ on alle $1\,\%$, mikä on käsiajanoton tarkkuuden rajoissa. 1 p

d)5 p

Tulkitsee vakiotermin: suora leikkaa $l$-akselin noin kohdassa $-0{,}014\,\text{m}$, joten heilurin todellinen pituus on noin $1{,}4\,\text{cm}$ mitattua suurempi. Pituus mitattiin kuulan yläpintaan eikä sen keskipisteeseen, joten kyse on systemaattisesta virheestä, joka on kuulan säteen suuruinen. 2 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $T^2 = kl + b$, joten $l = \dfrac{T^2 - b}{k}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $l = \dfrac{(2{,}00\,\text{s})^2 - 0{,}056\,\text{s}^2}{4{,}04\,\text{s}^2\text{/m}} \approx 0{,}976\,\text{m}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $l \approx 0{,}98\,\text{m}$; suoralta luetuilla arvoilla tulokset $0{,}97$–$0{,}98\,\text{m}$ hyväksytään. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 20 (15 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

4.1-4 Festivaali rantapuistossa 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Festivaali, etäisyydet ja mittaustulos ovat keksitty esimerkki.

Kunnan rantapuistossa järjestetään kesäfestivaali. Lähimmät asuintalot ovat $400\,\text{m}$:n päässä lavasta, ja festivaalialue on aidattu $2\,\text{m}$:n korkuisella puuaidalla. Järjestäjän mittauksessa kaiutintornin edessä $20\,\text{m}$:n päässä intensiteettitaso oli $106\,\text{dB}$. Asukasillassa esitettiin kolme väitettä.

  1. ”Kun etäisyys kaksinkertaistuu, desibelilukema puolittuu, joten jo $40\,\text{m}$:n päässä taso on $53\,\text{dB}$, eikä taloille kuulu juuri mitään.”
  2. ”Aidan taakse kuuluu lähinnä bassoja, koska bassoäänet ovat aina voimakkaampia kuin korkeat äänet.”
  3. ”Lavan edessä $100\,\text{dB}$:n tasolla voi olla koko neljän tunnin konsertin ilman kuulonsuojaimia, koska taso on vain $15\,\text{dB}$ yli $85\,\text{dB}$:n.”

Oletetaan, että kaiutintorni on pistemäinen lähde ja ääni etenee ilman heijastuksia ja vaimenemista. Äänen nopeus on $340\,\text{m/s}$.

  1. a) Arvioi väite 1. Kuinka suuri taso on mallin mukaan lähimpien talojen kohdalla? 5 p
  2. b) Arvioi väite 2. Selitä aaltojen avulla, miksi aidan takana kuuluu eniten matalia ääniä. 5 p
  3. c) Arvioi väite 3. Kuinka pitkä altistus on sallittu melun nyrkkisäännön mukaan, ja mitä muuttaisivat kuulonsuojaimet, joiden vaimennus on $20\,\text{dB}$? 5 p

Taidot luvuista: Intensiteetti ja desibeliasteikko, Melu, akustiikka ja äänentoisto, Aalto kohtaa esteen tai raon

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

pitääkö väite 1 paikkansa ja mikä on taso talojen kohdalla

Periaate

Pistemäisen lähteen teho jakautuu pallon pinnalle, joten $I = \tfrac{P}{4\pi r^2}$, ja tasojen erotus on $L_2 - L_1 = 10\,\text{dB} \cdot \lg \tfrac{I_2}{I_1}$ (luku Intensiteetti ja desibeliasteikko).

Mallivastaus

Väite on väärä. Kun etäisyys kaksinkertaistuu, intensiteetti putoaa neljäsosaan, ja taso pienenee $10\,\text{dB} \cdot \lg 4 \approx 6\,\text{dB}$, ei puoleen: $40\,\text{m}$:n päässä taso on noin $100\,\text{dB}$. Desibeliasteikko on logaritminen, joten desibelilukemaa ei voi jakaa kuin intensiteettiä. Talojen kohdalla etäisyys on $20$-kertainen, joten intensiteetti on $\tfrac{1}{400}$-osa ja taso on $106\,\text{dB} - 10\,\text{dB} \cdot \lg 400 \approx 106\,\text{dB} - 26\,\text{dB} = 80\,\text{dB}$, vilkkaan kadun tasoa. Malli on karkea arvio: ilma ja maasto vaimentavat ääntä, mutta myötätuuli ja järven pinnan heijastukset voivat nostaa tasoa. Musiikki kuuluu taloille joka tapauksessa selvästi.

b)

Kysytty

pitääkö väite 2 paikkansa ja miksi aidan taakse kuuluu eniten matalia ääniä

Periaate

Diffraktio on voimakasta, kun este on aallonpituuden suuruinen tai sitä pienempi (luku Aalto kohtaa esteen tai raon). Aallonpituus on $\lambda = \tfrac{v}{f}$.

Mallivastaus

Havainto pitää paikkansa, mutta perustelu on väärä. Aidan taakse kuuluu matalia ääniä, koska ne taipuvat aidan yli. Esimerkiksi $60\,\text{Hz}$:n bassoäänen aallonpituus on $\tfrac{340\,\text{m/s}}{60\,\text{Hz}} \approx 5{,}7\,\text{m}$, aitaa paljon pidempi, joten aalto taipuu aidan taakse lähes heikentymättä. Korkean $4\,\text{kHz}$:n äänen aallonpituus on vain noin $9\,\text{cm}$, joten $2\,\text{m}$:n aidan taakse jää sille äänivarjo. Bassot eivät välttämättä ole voimakkaampia: vaikka matalat ja korkeat äänet olisivat lähtiessään yhtä voimakkaita, aita vaimentaa korkeat. Siksi aita suojaa lähinnä korkeilta ääniltä, ja bassojen vähentäminen vaatii toimia lähteessä, esimerkiksi tason rajoittamista tai kaiuttimien suuntaamista pois taloista.

c)

Kysytty

pitääkö väite 3 paikkansa, sallittu altistusaika ja kuulonsuojainten vaikutus

Periaate

Melun nyrkkisäännössä ylempää toiminta-arvoa $85\,\text{dB}$ vastaa $8\,\text{h}$, ja jokainen $3\,\text{dB}$:n nousu puolittaa sallitun ajan: $t_\text{sall} = \tfrac{t_0}{2^{\,n}}$, $n = \tfrac{L - 85\,\text{dB}}{3\,\text{dB}}$ (luku Melu, akustiikka ja äänentoisto). Kuulonsuojain vähentää korvaan pääsevää tasoa vaimennuksensa verran.

Mallivastaus

Väite on väärä. Taso $100\,\text{dB}$ on $15\,\text{dB}$ eli viisi $3\,\text{dB}$:n askelta toiminta-arvon yläpuolella, joten sallittu aika on $8\,\text{h} : 2^5 = 8\,\text{h} : 32 = 0{,}25\,\text{h} = 15\,\text{min}$. ”Vain $15\,\text{dB}$” tarkoittaa intensiteettiä $10^{1{,}5} \approx 32$-kertaisena, joten kuulolle haitallinen annos kertyy noin $\tfrac{1}{32}$-osassa ajasta. Neljän tunnin konsertti ilman suojaimia on siis moninkertainen annos. Hyvin asetetuilla $20\,\text{dB}$:n suojaimilla taso korvalla on noin $80\,\text{dB}$, alle $85\,\text{dB}$:n, joten neljä tuntia on nyrkkisäännön rajoissa, kun suojaimia pidetään koko ajan. Nyrkkisääntö on arvio, ei takuu: kuulo kestää melua eri ihmisillä eri tavoin.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa taso lasketaan kääntäen verrannolliseksi etäisyyteen, jolloin pudotus on $3\,\text{dB}$ kaksinkertaistumista kohti, tai desibelit jaetaan kuin intensiteetit.
  • b-kohdassa selitetään, että matalat äänet etenevät nopeammin; ilmassa nopeus ei riipu taajuudesta.
  • c-kohdassa $15\,\text{dB}$ tulkitaan $15\,\%$:n lisäykseksi tai aika puolitetaan $15\,\text{dB}$:n välein.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Selittää, että pistemäisen lähteen intensiteetti $I = \dfrac{P}{4\pi r^2}$ putoaa kaksinkertaisella etäisyydellä neljäsosaan, joten taso laskee $10\,\text{dB} \cdot \lg 4 \approx 6\,\text{dB}$ eikä puoleen. 2 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $40\,\text{m}$:n päässä noin $100\,\text{dB}$; $400\,\text{m}$:n päässä $106\,\text{dB} - 10\,\text{dB} \cdot \lg 20^2 \approx 80\,\text{dB}$. 1 p
Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Malli on karkea arvio: ilma ja maasto vaimentavat ääntä, mutta myötätuuli ja heijastukset voivat nostaa tasoa. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite on väärä: desibeliasteikko on logaritminen, ja taloilla musiikki kuuluu selvästi. 1 p

b)5 p

Selittää diffraktion: aalto taipuu esteen taakse sitä voimakkaammin, mitä suurempi aallonpituus on esteen kokoon verrattuna. 2 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Esimerkiksi $60\,\text{Hz}$:n aallonpituus on $\tfrac{340\,\text{m/s}}{60\,\text{Hz}} \approx 5{,}7\,\text{m}$, aitaa korkeampi, mutta $4\,\text{kHz}$:n vain noin $9\,\text{cm}$, joten aidan taakse jää korkeille äänille varjo. 1 p
Päättelee, että aita suojaa lähinnä korkeilta ääniltä, joten bassojen vähentäminen vaatii toimia lähteessä, esimerkiksi tason rajoittamista tai kaiuttimien suuntaamista. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Havainto pitää paikkansa, mutta perustelu on väärä: bassot eivät ole aina voimakkaampia, vaan ne taipuvat aidan yli. 1 p

c)5 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $t_\text{sall} = \dfrac{t_0}{2^{\,n}}$, missä $n = \dfrac{L - 85\,\text{dB}}{3\,\text{dB}}$ ja $t_0 = 8\,\text{h}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $n = 5$, joten $t_\text{sall} = 8\,\text{h} : 32 = 0{,}25\,\text{h} = 15\,\text{min}$ 1 p
Selittää, että $15\,\text{dB}$ tarkoittaa intensiteettiä $10^{1{,}5} \approx 32$-kertaisena, joten sama kuulolle haitallinen annos kertyy noin $\tfrac{1}{32}$-osassa ajasta. 1 p
Päättelee, että hyvin asetetuilla suojaimilla taso korvalla on noin $80\,\text{dB}$, alle $85\,\text{dB}$:n, joten neljä tuntia on nyrkkisäännön rajoissa, kun suojaimia pidetään koko ajan. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite on väärä: ilman suojaimia sallittu aika on vain noin $15\,\text{min}$, ja nyrkkisääntökin on arvio eikä takuu. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (13 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

4.1-5 Äänen nopeus kaiusta 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Raportti ja mittaukset ovat keksitty esimerkki.

Opiskelijaryhmä mittasi äänen nopeuden koulun pihalla marraskuussa, kun ilman lämpötila oli $5\,{}^\circ\text{C}$ ja sää tyyni. Ryhmä seisoi $85{,}0\,\text{m}$:n päässä koulun tiiliseinästä; etäisyys mitattiin mittapyörällä. Yksi opiskelija löi kaksi lautaa yhteen, ja toinen käynnisti sekuntikellon nähdessään lyönnin ja pysäytti sen kuullessaan kaiun.

Mittaus $t\ (\text{s})$
1 $0{,}45$
2 $0{,}52$
3 $0{,}41$
4 $0{,}55$
5 $0{,}47$

Ryhmän johtopäätös: ”Äänen nopeus oli $354\,\text{m/s}$. Se on suurempi kuin kirjan arvo $343\,\text{m/s}$, joten ääni kulkee kylmässä ilmassa nopeammin kuin lämpimässä.”

  1. a) Laske äänen nopeus mittausten keskiarvosta ja arvioi tuloksen epävarmuus. 4 p
  2. b) Arvioi ryhmän johtopäätös. 5 p
  3. c) Suunnittele, miten mittausta parannetaan niin, että lämpötilan vaikutus äänen nopeuteen voidaan havaita. 6 p

Taidot luvuista: Ääni aaltona: korkeus, sointiväri ja Dopplerin ilmiö, Soveltava luku: ultraäänikuvaus ja maanjäristysaallot, Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus, Oma kokeellinen tutkimus: suunnittelu, toteutus ja raportointi

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

etäisyys seinään $d = 85{,}0\,\text{m}$, viisi kaiun aikaa $0{,}45\,\text{s}$, $0{,}52\,\text{s}$, $0{,}41\,\text{s}$, $0{,}55\,\text{s}$ ja $0{,}47\,\text{s}$

Kysytty

äänen nopeus $v$ keskiarvosta ja sen epävarmuus $\Delta v$

Periaate

Ääni kulkee seinään ja takaisin, matkan $2d$, tasaisella nopeudella (luku Soveltava luku: ultraäänikuvaus ja maanjäristysaallot). Toistettujen mittausten paras arvio on keskiarvo, ja vaihteluvälin puolikas on karkea arvio hajonnasta, joka valitaan tässä tuloksen epävarmuudeksi (luku Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus). Matkan epävarmuus on pieni, joten ajan suhteellinen epävarmuus on myös nopeuden suhteellinen epävarmuus.

Kaava

$\bar{t}$$= \dfrac{t_1 + \ldots + t_5}{5}$
$v$$= \dfrac{2d}{\bar{t}}$
$\Delta t$$= \dfrac{t_\text{max} - t_\text{min}}{2}$
$\Delta v$$= v \cdot \dfrac{\Delta t}{\bar{t}}$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$\bar{t}$$= \dfrac{2{,}40\,\text{s}}{5}$
$= 0{,}48\,\text{s}$
$v$$= \dfrac{2 \cdot 85{,}0\,\text{m}}{0{,}48\,\text{s}}$
$= 354{,}2\,\text{m/s}$
$\Delta t$$= \dfrac{0{,}55\,\text{s} - 0{,}41\,\text{s}}{2}$
$= 0{,}07\,\text{s}$
$\Delta v$$= 354{,}2\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \dfrac{0{,}07\,\text{s}}{0{,}48\,\text{s}}$
$= 51{,}6\,\text{m/s}$

Vastaus

$v = (350 \pm 50)\,\text{m/s}$

Epävarmuus pyöristetään yhteen merkitsevään numeroon ja tulos samaan tarkkuuteen; suhteellinen epävarmuus on noin $15\,\%$.

Järkevyys

Ääriarvoilla nopeus olisi $\tfrac{170\,\text{m}}{0{,}55\,\text{s}} \approx 309\,\text{m/s}$ ja $\tfrac{170\,\text{m}}{0{,}41\,\text{s}} \approx 415\,\text{m/s}$, joten epävarmuusarvio vastaa tulosten hajontaa. Tulos on oikeaa suuruusluokkaa, noin $340\,\text{m/s}$.

b)

Kysytty

onko ryhmän johtopäätös perusteltu

Periaate

Kaasussa äänen nopeus kasvaa lämpötilan noustessa, ilmassa noin $0{,}6\,\text{m/s}$ jokaista celsiusastetta kohti (luku Ääni aaltona: korkeus, sointiväri ja Dopplerin ilmiö). Kahden arvon eroa ei voi osoittaa, jos ero on epävarmuutta pienempi (luku Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus).

Mallivastaus

Johtopäätös ei ole perusteltu. Kirjan arvo $343\,\text{m/s}$ koskee $20\,{}^\circ\text{C}$:n ilmaa, ja $5\,{}^\circ\text{C}$:ssa äänen pitäisi kulkea hitaammin, noin $343\,\text{m/s} - 0{,}6\,\tfrac{\text{m/s}}{{}^\circ\text{C}} \cdot 15\,{}^\circ\text{C} \approx 334\,\text{m/s}$. Ryhmän tulos $(350 \pm 50)\,\text{m/s}$ kattaa sekä $334\,\text{m/s}$:n että $343\,\text{m/s}$:n, joten mittaus ei pysty erottamaan niitä eikä osoita mitään eroa, ei varsinkaan ryhmän väittämää. Tärkein virhelähde on käsiajanotto: reaktioaika käynnistettäessä ja pysäytettäessä on sekunnin kymmenesosien luokkaa, yhtä suuri kuin tulosten vaihtelu $0{,}14\,\text{s}$, eikä viive välttämättä ole sama molemmissa päissä. Kun kaiun kulkuaika on vain noin $0{,}5\,\text{s}$, jo $0{,}02\,\text{s}$:n systemaattinen viive muuttaa tulosta $4\,\%$. Matkan $85{,}0\,\text{m}$ epävarmuus on merkityksetön. Oikea johtopäätös on, että nopeus oli noin $350\,\text{m/s}$ suurella epävarmuudella, ja kylmässä ilmassa ääni kulkee hitaammin, ei nopeammin.

c)

Kysytty

suunnitelma mittaukselle, jolla lämpötilan vaikutus äänen nopeuteen havaitaan

Periaate

Lämpötilojen $5\,{}^\circ\text{C}$ ja $20\,{}^\circ\text{C}$ nopeudet $334\,\text{m/s}$ ja $343\,\text{m/s}$ eroavat noin $3\,\%$, joten mittauksen suhteellisen epävarmuuden on oltava selvästi pienempi, noin $1\,\%$ (luvut Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus ja Oma kokeellinen tutkimus: suunnittelu, toteutus ja raportointi).

Mallivastaus

Ajanotosta poistetaan reaktioaika. Puhelin tai tietokoneen mikrofoni tallentaa sekä lyönnin että kaiun, ja aikaero luetaan äänen $(t, p)$-kuvaajasta kahden piikin alkukohdista; ajan lukematarkkuus on silloin noin millisekunnin luokkaa. Toinen tapa on kaksi mikrofonia tunnetun matkan päässä toisistaan samassa tallentimessa. Mittaus tehdään useilla etäisyyksillä, esimerkiksi $40$–$120\,\text{m}$, ja kulkumatka $2d$ piirretään ajan funktiona: suoran kulmakerroin on äänen nopeus, ja laitteen mahdollinen vakioviive näkyy vakiotermissä eikä vääristä nopeutta. Tarkkuustavoite: $0{,}5\,\text{s}$:n kulkuajassa ajan epävarmuuden on oltava alle $5\,\text{ms}$, mikä onnistuu tallenteesta mutta ei sekuntikellolla. Lämpötila mitataan jokaisen mittaussarjan aikana, ja sarja toistetaan eri lämpötiloissa, esimerkiksi syksyllä ja keväällä, jotta lämpötila on ainoa muuttuva tekijä. Mitataan tyynellä säällä tai kumpaankin suuntaan, jotta tuuli ei muuta tulosta, toistetaan jokainen mittaus useita kertoja ja ilmoitetaan nopeudet epävarmuuksineen, jotta ero voidaan verrata epävarmuuteen.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa nopeus lasketaan $v = \tfrac{d}{\bar{t}} \approx 177\,\text{m/s}$ unohtaen, että kaiku kulkee matkan kahdesti.
  • a-kohdassa tulos ilmoitetaan muodossa $354{,}17\,\text{m/s}$ ilman epävarmuutta tai epävarmuus on liian tarkka.
  • b-kohdassa johtopäätöstä arvioidaan vain vertaamalla lukuja $354$ ja $343$ ilman epävarmuutta.
  • c-kohdassa ehdotetaan vain toistojen lisäämistä; toistot eivät poista reaktioajan systemaattista osaa.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $v = \dfrac{2d}{\bar{t}}$, missä $\bar{t}$ on keskiarvo; $\Delta t = \dfrac{t_\text{max} - t_\text{min}}{2}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\bar{t} = 0{,}48\,\text{s}$, joten $v = \dfrac{170\,\text{m}}{0{,}48\,\text{s}} \approx 354\,\text{m/s}$; $\Delta t = 0{,}07\,\text{s}$ 1 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Suhteellinen epävarmuus $\tfrac{0{,}07}{0{,}48} \approx 15\,\%$, joten $\Delta v \approx 50\,\text{m/s}$; ääriarvoilla $v$ on noin $310$–$415\,\text{m/s}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $v = (350 \pm 50)\,\text{m/s}$: epävarmuus yhdellä merkitsevällä numerolla ja tulos samaan tarkkuuteen. 1 p

b)5 p

Toteaa, että kirjan $343\,\text{m/s}$ koskee $20\,{}^\circ\text{C}$:n ilmaa ja että kaasussa äänen nopeus kasvaa lämpötilan noustessa, noin $0{,}6\,\text{m/s}$ astetta kohti, joten $5\,{}^\circ\text{C}$:ssa odotetaan noin $334\,\text{m/s}$. 1 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Epävarmuus noin $\pm 50\,\text{m/s}$ kattaa sekä $334\,\text{m/s}$:n että $343\,\text{m/s}$:n, joten mittaus ei pysty erottamaan niitä; aineisto ei osoita mitään eroa. 2 p
Tärkeimmät virhelähteet on nimetty ja kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. Käsiajanotossa reaktioaika käynnistettäessä ja pysäytettäessä on sekunnin kymmenesosien luokkaa, yhtä suuri kuin tulosten vaihtelu, eikä se välttämättä kumoudu; matkan epävarmuus on merkityksetön. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Johtopäätös ei ole perusteltu: kylmässä ilmassa ääni kulkee hitaammin, ja mittauksen tarkkuus ei riitä lämpötilan vaikutuksen havaitsemiseen. 1 p

c)6 p

Aika mitataan ilman reaktioaikaa: yksi mikrofoni, esimerkiksi puhelin, tallentaa sekä lyönnin että kaiun, ja aikaero luetaan äänen kuvaajasta; tai kaksi mikrofonia tunnetun matkan päässä toisistaan. 2 p
Mitataan useilla etäisyyksillä ja piirretään matka ajan funktiona: kulmakerroin antaa nopeuden, ja vakioviive näkyy vakiotermissä eikä vääristä tulosta. 1 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Arvioi tarvittavan tarkkuuden: $334\,\text{m/s}$ ja $343\,\text{m/s}$ eroavat noin $3\,\%$, joten ajan epävarmuuden on oltava alle noin $1\,\%$, esimerkiksi $0{,}5\,\text{s}$:n kulkuajassa alle $5\,\text{ms}$. 1 p
Mitataan ilman lämpötila jokaisen mittauksen aikana, toistetaan mittaukset, mitataan tyynellä säällä tai molempiin suuntiin tuulen vaikutuksen poistamiseksi ja ilmoitetaan tulos epävarmuuksineen. 2 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (12 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

4.1-6 Benjihyppy sillalta 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Hyppy ja nauhan luvut ovat keksitty esimerkki. Todellisen kuminauhan voima ei ole täsmälleen harmoninen.

Benjihypyssä hyppääjä putoaa sillalta joen yllä. Hänen nilkkoihinsa kiinnitetty kuminauha alkaa venyä, kun hyppääjä on pudonnut nauhan lepopituuden verran, ja pysäyttää hänet ennen vettä.

  • hyppääjän massa varusteineen $72{,}0\,\text{kg}$
  • nauhan lepopituus $18{,}0\,\text{m}$
  • valmistajan kokeessa nauha venyi kuin jousi, jonka jousivakio on $120\,\text{N/m}$
  • ilmanvastus ja nauhan massa jätetään huomiotta, ja hyppääjä käsitellään pistemäisenä kappaleena, joka lähtee levosta
  1. a) Kuinka suuri hyppääjän nopeus on, kun nauha alkaa venyä? 3 p
  2. b) Kuinka syvälle sillan alapuolelle hyppääjä putoaa? 5 p
  3. c) Kuinka suuri ja minkä suuntainen on hyppääjän kiihtyvyys alimmassa kohdassa? 4 p
  4. d) Lopulta hyppääjä jää roikkumaan nauhan varaan ja keinuu ylös ja alas pienin värähdyksin. Kuinka suuri on värähtelyn jaksonaika? 3 p

Taidot luvuista: Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate, Jousivoima ja jousen energia, Jousivärähtelijä ja heiluri, Newtonin toinen laki

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

nauhan lepopituus $L_0 = 18{,}0\,\text{m}$, alkunopeus $0$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; ilmanvastus jätetään huomiotta

Kysytty

nopeus $v$, kun nauha alkaa venyä

Periaate

Ennen kuin nauha kiristyy, hyppääjään vaikuttaa vain paino, joten mekaaninen energia säilyy (luku Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate). Nollataso valitaan kohtaan, jossa nauha alkaa venyä.

Kaava

$mgL_0 = \tfrac12 mv^2$, joten massa supistuu ja $v = \sqrt{2gL_0}$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$v$$= \sqrt{2 \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 18{,}0\,\text{m}}$
$= \sqrt{353{,}2\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}$
$= 18{,}79\,\text{m/s}$

Vastaus

$v \approx 18{,}8\,\text{m/s}$

Eli noin $68\,\text{km/h}$, kolme merkitsevää numeroa kuten lepopituus $18{,}0\,\text{m}$.

Järkevyys

Vapaassa pudotuksessa $18\,\text{m}$ kestää

$\sqrt{\tfrac{2 \cdot 18{,}0\,\text{m}}{9{,}81\,\text{m/s}^2}}$$\approx 1{,}9\,\text{s}$

ja nopeus $gt \approx 18{,}8\,\text{m/s}$, sama tulos. Todellisuudessa ilmanvastus pienentää nopeutta hieman.

b)

Annettu

$m = 72{,}0\,\text{kg}$, $L_0 = 18{,}0\,\text{m}$, jousivakio $k = 120\,\text{N/m}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

alimman kohdan syvyys sillan alapuolella $L_0 + x$, missä $x$ on nauhan suurin venymä

Periaate

Hyppääjään vaikuttavat paino ja nauhan voima, joka on harmoninen kuin jousen voima. Kumpikin on konservatiivinen, joten mekaaninen energia säilyy koko pudotuksen ajan (luvut Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate ja Jousivoima ja jousen energia). Alimmassa kohdassa nopeus on nolla, joten painon potentiaalienergian muutos koko matkalta $L_0 + x$ on muuttunut nauhan potentiaalienergiaksi. Nollataso valitaan alimpaan kohtaan.

Kaava

$mg(L_0 + x) = \tfrac12 kx^2$, eli $\tfrac12 kx^2 - mgx - mgL_0 = 0$, jonka positiivinen ratkaisu on

$x$$= \dfrac{mg + \sqrt{(mg)^2 + 2kmgL_0}}{k}$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$mg$$= 72{,}0\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$
$= 706{,}32\,\text{N}$
$(mg)^2$$= (706{,}32\,\text{N})^2$
$\approx 498\,888\,\text{N}^2$
$2kmgL_0$$= 2 \cdot 120\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}} \cdot 706{,}32\,\text{N} \cdot 18{,}0\,\text{m}$
$\approx 3\,051\,302\,\text{N}^2$

joten neliöjuuri on

$\sqrt{3\,550\,190\,\text{N}^2}$$\approx 1884{,}2\,\text{N}$
$x$$= \dfrac{706{,}32\,\text{N} + 1884{,}2\,\text{N}}{120\,\text{N/m}}$
$= 21{,}59\,\text{m}$

ja syvyys $18{,}0\,\text{m} + 21{,}59\,\text{m} = 39{,}59\,\text{m}$

Vastaus

Hyppääjä putoaa noin $39{,}6\,\text{m}$ sillan alapuolelle, kolme merkitsevää numeroa kuten lähtötiedot.

Järkevyys

Energiatase täsmää:

$mg(L_0 + x)$$= 706{,}32\,\text{N} \cdot 39{,}59\,\text{m}$
$\approx 27{,}96\,\text{kJ}$
$\tfrac12 kx^2$$= \tfrac12 \cdot 120\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}} \cdot (21{,}59\,\text{m})^2$
$\approx 27{,}96\,\text{kJ}$

Nauha venyy yli lepopituutensa, mikä on benjinauhalle tavallista; silta on oltava selvästi yli $40\,\text{m}$ korkea.

c)

Annettu

venymä $x = 21{,}59\,\text{m}$, $k = 120\,\text{N/m}$, $m = 72{,}0\,\text{kg}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

kiihtyvyys $a$ alimmassa kohdassa suuntineen

Periaate

Alimmassa kohdassa hyppääjään vaikuttavat paino alas ja nauhan voima $kx$ ylös. Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima antaa kiihtyvyyden (luku Newtonin toinen laki). Ylöspäin valitaan positiiviseksi suunnaksi.

Kaava

$kx - mg = ma$, joten $a = \dfrac{kx}{m} - g$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$kx$$= 120\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}} \cdot 21{,}59\,\text{m}$
$= 2590{,}5\,\text{N}$

joten

$a$$= \dfrac{2590{,}5\,\text{N}}{72{,}0\,\text{kg}} - 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$
$= 35{,}98\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} - 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$
$= 26{,}17\,\text{m/s}^2$

Vastaus

$a \approx 26{,}2\,\text{m/s}^2$

Ylöspäin, kolme merkitsevää numeroa kuten lähtötiedot.

Järkevyys

Kiihtyvyys on noin $2{,}7g$, ja nauhan voima on $2590\,\text{N} : 706\,\text{N} \approx 3{,}7$ kertaa paino. Se on voimakas mutta lyhytaikainen kuormitus, jonka valjaat jakavat nilkoille ja jaloille. Kiihtyvyys osoittaa ylös, vaikka hyppääjä on hetken levossa, kuten ääriasennossa kuuluu.

d)

Annettu

$m = 72{,}0\,\text{kg}$, $k = 120\,\text{N/m}$

Kysytty

pienten värähdysten jaksonaika $T$

Periaate

Roikkuvaan hyppääjään vaikuttavat paino ja nauhan harmoninen voima. Paino vain siirtää tasapainoaseman kohtaan, jossa nauha on venynyt $x_0 = \tfrac{mg}{k}$, ja poikkeama siitä noudattaa jousivärähtelijän lakia (luku Jousivärähtelijä ja heiluri).

Kaava

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$T$$= 2\pi\sqrt{\dfrac{72{,}0\,\text{kg}}{120\,\text{N/m}}}$
$= 2\pi \cdot 0{,}7746\,\text{s}$
$= 4{,}867\,\text{s}$

Vastaus

$T \approx 4{,}87\,\text{s}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten massa $72{,}0\,\text{kg}$. Tulos on arvio, koska kuminauhan voima ei ole täsmälleen harmoninen ja ilmanvastus vaimentaa värähtelyä.

Järkevyys

Tasapainoasemassa nauha on venynyt $\tfrac{706{,}32\,\text{N}}{120\,\text{N/m}} \approx 5{,}9\,\text{m}$. Pystysuoran jousen jaksonaika on myös

$2\pi\sqrt{\tfrac{x_0}{g}}$$= 2\pi\sqrt{\tfrac{5{,}886\,\text{m}}{9{,}81\,\text{m/s}^2}}$
$\approx 4{,}87\,\text{s}$

sama tulos. Hidas, noin viiden sekunnin keinunta sopii pitkään ja löysään nauhaan.

Yleisiä virheitä

  • b-kohdassa painon potentiaalienergiaksi otetaan vain $mgL_0$, jolloin venymäksi tulee $\sqrt{\tfrac{2mgL_0}{k}} \approx 14{,}6\,\text{m}$; myös venymän aikana paino tekee työtä.
  • b-kohdassa vastaukseksi annetaan venymä $21{,}6\,\text{m}$ eikä syvyyttä sillan alapuolella.
  • c-kohdassa kiihtyvyydeksi lasketaan $\tfrac{kx}{m} \approx 36\,\text{m/s}^2$ unohtaen paino, tai todetaan kiihtyvyyden olevan nolla, koska nopeus on nolla.
  • d-kohdassa käytetään heilurin kaavaa nauhan pituudella.

Hyväksytään myös

  • b-kohdassa nollataso sillan kohdalla, kun potentiaalienergian etumerkit ovat johdonmukaiset.
  • c-kohdassa vastaus muodossa $a \approx 2{,}7g$ ylöspäin.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Mekaaninen energia säilyy: $mgL_0 = \tfrac12 mv^2$, joten $v = \sqrt{2gL_0}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $v = \sqrt{2 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 18{,}0\,\text{m}}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $v \approx 18{,}8\,\text{m/s}$ kolmella merkitsevällä numerolla 1 p

b)5 p

Perustelee energian säilymisen koko pudotukselle: alimmassa kohdassa nopeus on nolla, ja painon potentiaalienergian muutos $mg(L_0 + x)$ on muuttunut nauhan potentiaalienergiaksi $\tfrac12 kx^2$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $mg(L_0 + x) = \tfrac12 kx^2$, toisen asteen yhtälö $\tfrac12 kx^2 - mgx - mgL_0 = 0$ ja sen positiivinen ratkaisu 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $60\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}} \cdot x^2 - 706{,}3\,\text{N} \cdot x - 12\,714\,\text{J} = 0$, joten $x \approx 21{,}6\,\text{m}$ 2 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. Syvyys $L_0 + x \approx 39{,}6\,\text{m}$ kolmella merkitsevällä numerolla 1 p

c)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Newtonin toinen laki ylöspäin positiivisena: $kx - mg = ma$, joten $a = \dfrac{kx}{m} - g$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $kx \approx 2590\,\text{N}$ ja $a = \dfrac{2590\,\text{N} - 706\,\text{N}}{72{,}0\,\text{kg}} \approx 26{,}2\,\text{m/s}^2$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $a \approx 26{,}2\,\text{m/s}^2$ ylöspäin 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Kiihtyvyys on noin $2{,}7g$ ja nauhan voima noin $3{,}7$ kertaa paino: voimakas mutta lyhytaikainen, ja valjaat jakavat voiman. 1 p

d)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$; paino vain siirtää tasapainoasemaa $x_0 = \dfrac{mg}{k}$ alemmas 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{72{,}0\,\text{kg}}{120\,\text{N/m}}} \approx 4{,}87\,\text{s}$ 1 p
Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Tulos on arvio: kuminauhan voima ei ole täsmälleen harmoninen, ja ilmanvastus vaimentaa värähtelyä. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (14 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.