RuukkilabraLukion fysiikka
FY9 · Luku 3.4

Tasapaino, ympyräliike ja gravitaatio

Miksi lautasantenni voidaan suunnata kerran ja jättää paikalleen, vaikka televisiosatelliitti kiertää Maata noin $3\,\text{km/s}$:n nopeudella?

Pohjatiedot

Pohdinta

Omakotitalon päätyseinään on kiinnitetty lautasantenni, joka on suunnattu matalalle etelän taivaalle kohti televisiosatelliittia. Asentaja suuntasi antennin kerran, eikä sitä ole sen jälkeen tarvinnut kääntää. Satelliitti kiertää kuitenkin Maata päiväntasaajan yläpuolella noin $3\,\text{km/s}$:n nopeudella. Kokeessa tällainen tilanne voi olla tehtävän alku: tilanne ja luvut annetaan, mutta lakia ei.

Miksi satelliitti näyttää antennista katsottuna pysyvän paikallaan? Mikä määrää, kuinka kaukana Maasta sen on kierrettävä?

Ennusta

Tee ennusteet ennen tutkimista 6 kysymystä

Lähtötaso 1: voiman varsi

Pyörän mutteria avataan kiintoavaimella. Käsi vetää vartta $0{,}30\,\text{m}$:n päässä mutterin keskeltä, mutta voima on vinossa varteen nähden. Mitä voiman momentin laskemiseen tarvitaan voiman suuruuden lisäksi?

Lähtötaso 2: kaksi tukea

Tasa-aineinen lankku on kahden maalauspukin päällä. Pukki 1 on $0{,}5\,\text{m}$:n ja pukki 2 $1{,}5\,\text{m}$:n päässä lankun keskikohdasta. Kumpi pukki kantaa suuremman osan lankun painosta?

Lähtötaso 3: kaksi kohtaa samalla levyllä

Levysoittimen levy pyörii tasaisesti. Levyllä on kaksi tarraa: A on $5\,\text{cm}$:n ja B $15\,\text{cm}$:n päässä keskiöstä. Miten tarrojen kierrosajat ja ratanopeudet vertautuvat?

Lähtötaso 4: auto kaarteessa

Auto ajaa vaakasuoran tien kaarteessa tasaisella vauhdilla. Ilmanvastusta ja vierimisvastusta ei oteta huomioon. Mikä vaakasuora voima autoon vaikuttaa?

Lähtötaso 5: gravitaatio kauempana

Luotaimen paino Maan pinnalla on $800\,\text{N}$. Luotain nousee $6371\,\text{km}$:n korkeudelle, jolloin sen etäisyys Maan keskipisteestä on kaksi Maan sädettä. Kuinka suuri Maan gravitaatiovoima luotaimeen silloin vaikuttaa?

Lähtötaso 6: painottomuus

Avaruusasema kiertää Maata noin $400\,\text{km}$:n korkeudella, ja astronautti leijuu sen sisällä. Mikä selitys on fysikaalisesti oikea?

Tutki

Kolme satelliittia samalla käyrällä

Mallin laskemia arvoja · Käyrä on luvun Satelliitit ja planeetat ympyräradalla kuvaaja: se on laskettu kaavasta $v = \sqrt{\tfrac{\gamma M}{r}}$, ja pisteet on laskettu satelliittien todellisista kiertoajoista.

Kuvaajassa on Maata ympyrärataa kiertävän satelliitin ratanopeus $v$ radan säteen $r$ funktiona. Säde on mitattu Maan keskipisteestä, ja vaaka-akselin yksikkö on $1000\,\text{km}$. Käyrälle on merkitty avaruusasema ISS, GPS-satelliitti ja geostationaarinen satelliitti. Mieti ensin, miksi käyrä laskee: miksi kauempana kiertävä satelliitti liikkuu hitaammin, vaikka sen rata on pidempi? Vastaa alla GPS-satelliitin kiertoajalla.

$10$
$20$
$30$
$40$
$2$
$4$
$6$
$8$
$0$
$r\ (1000\,\text{km})$
$v\ (\text{km/s})$
$\text{ISS}$
$\text{GPS}$
$\text{geostationaarinen}$
$v = \sqrt{\dfrac{\gamma M}{r}}$

Lue kuvaajasta GPS-satelliitin radan säde ja ratanopeus. Kuinka pitkä on GPS-satelliitin kiertoaika? Vastaa tunteina.

h
Vihje 1: ohjaava kysymys

Lue GPS-pisteen kohdalta vaaka-akselilta säde $r$ ja pystyakselilta ratanopeus $v$. Huomaa akselien yksiköt $1000\,\text{km}$ ja $\text{km/s}$.

Vihje 2: mikä yhteys

Yhdellä kierroksella satelliitti kulkee ympyrän kehän $2\pi r$ ratanopeudella $v$, joten $T = \tfrac{2\pi r}{v}$.

Vihje 3: välivaihe
$T$$= \dfrac{2\pi \cdot 26{,}6 \cdot 10^{6}\,\text{m}}{3{,}9 \cdot 10^{3}\,\text{m/s}}$

ja lopuksi $1\,\text{h} = 3600\,\text{s}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

kuvaajasta GPS-satelliitin radan säde $r \approx 26{,}6 \cdot 1000\,\text{km}$ ja ratanopeus $v \approx 3{,}87\,\text{km/s}$

Kysytty

kiertoaika $T$ tunteina

Periaate

Satelliitti on tasaisessa ympyräliikkeessä: Maan gravitaatio on ainoa voima, ja se kääntää nopeuden suuntaa muuttamatta vauhtia. Yhdellä kierroksella satelliitti kulkee ympyrän kehän $2\pi r$ vakiovauhdilla $v$ (luvut Ympyrärata: jaksonaika ja ratanopeus ja Satelliitit ja planeetat ympyräradalla).

Kuvaajan lukeminen

GPS-piste on vaaka-akselilla hieman lukeman $25$ oikealla puolella, noin $26{,}6$, ja pystyakselilla vähän alle $4$, noin $3{,}87$. Säde on siis noin $26\,600\,\text{km}$ ja ratanopeus noin $3{,}87\,\text{km/s}$.

Kaava

$v = \dfrac{2\pi r}{T}$, joten $T = \dfrac{2\pi r}{v}$

Muunnokset

$r$$= 26{,}6 \cdot 1000\,\text{km}$
$= 26{,}6 \cdot 10^{6}\,\text{m}$
$v$$= 3{,}87\,\text{km/s}$
$= 3{,}87 \cdot 1000\,\text{m/s}$
$= 3870\,\text{m/s}$

Lopuksi $1\,\text{h} = 3600\,\text{s}$.

Sijoitus

$T$$= \dfrac{2\pi \cdot 26{,}6 \cdot 10^{6}\,\text{m}}{3870\,\text{m/s}}$
$= 43\,190\,\text{s}$
$= \dfrac{43\,190}{3600}\,\text{h}$
$= 12{,}0\,\text{h}$

Vastaus

$T \approx 12\,\text{h}$

Kaksi merkitsevää numeroa, koska kuvaajasta luetut arvot ovat noin kahden numeron tarkkuudella.

Järkevyys

GPS-satelliitin todellinen kiertoaika on $11\,\text{h}\;58\,\text{min}$ eli noin puoli vuorokautta, joten lukema on oikea. Tulos on ISS:n noin puolentoista tunnin ja geostationaarisen satelliitin noin vuorokauden välissä, kuten säteiden perusteella kuuluu: kauempana rata on pidempi ja vauhti pienempi, joten kiertoaika kasvaa nopeasti.

Teoriatiivistelmä

Ydinajatus

Tämän tunnin tehtävät alkavat samoin kuin mekaniikan tehtävät yleensä: valitse kappale, piirrä voimakuvio ja kirjoita Newtonin toinen laki. Tilanne kertoo, mikä kiihtyvyys on. Tasapainossa kappale ei etene eikä kierry, joten sekä voimien summa että momenttien summa ovat nolla. Tasaisessa ympyräliikkeessä kiihtyvyys osoittaa radan keskipisteeseen, joten myös voimien summa osoittaa sinne. Satelliittiin vaikuttaa vain gravitaatio, joten gravitaatiovoima on itse kokonaisvoima.

$\text{voimakuvio ensin}$
$\Sigma\overline{F} = m\overline{a}$
$\textbf{tasapaino}$
$M = Fr$
$\text{momentti}$
$\Sigma\overline{F} = \overline{0}$
$\text{ei etene}$
$\Sigma M = 0$
$\text{ei kierry}$
$\textbf{ympyräliike}$
$v = 2\pi r/T$
$\text{ratanopeus}$
$a_\text{n} = v^2/r$
$\text{keskipisteeseen}$
$\Sigma F = mv^2/r$
$\text{liikeyhtälö}$
$\textbf{gravitaatio}$
$F = \gamma m_1 m_2/r^2$
$\text{vetovoima}$
$g = \gamma M/r^2$
$\text{kenttä}$
$v = \sqrt{\gamma M/r}$
$\text{satelliitti}$

Alun kysymys ratkeaa samalla tavalla. Satelliittiin vaikuttaa vain Maan gravitaatiovoima, ja se antaa satelliitille normaalikiihtyvyyden. Mitä kauempana satelliitti kiertää, sitä pidempi on sen kiertoaika. Geostationaarinen rata on päiväntasaajan yläpuolella juuri sillä etäisyydellä, jolla kiertoaika on sama kuin Maan pyörähdysaika $23\,\text{h}\;56\,\text{min}$. Kiertoajasta saadaan radan säteeksi $r \approx 42\,200\,\text{km}$ eli noin $35\,800\,\text{km}$ maanpinnan yläpuolella, ja ratanopeudeksi $v = \tfrac{2\pi r}{T} \approx 3{,}07\,\text{km/s}$. Satelliitti ja antenni kiertävät Maan akselin ympäri samassa ajassa ja samaan suuntaan, joten antennista katsottuna satelliitti pysyy paikallaan.

$\overline{v}$
$\overline{F}$
$\text{antenni}$
$\text{6 h myöhemmin}$
$r \approx 6{,}6\,R$
$T = 23\,\text{h}\;56\,\text{min}$
$\text{radan säde } r \approx 42\,200\,\text{km}$

Tasapaino, ympyräliike ja gravitaatio

Momentti ja tasapaino

$$\begin{aligned} M &= Fr \\ \Sigma\overline{F} &= \overline{0} \\ \Sigma M &= 0 \end{aligned}$$

missä $M$ on voiman momentti ($\text{Nm}$), $F$ voiman suuruus ($\text{N}$) ja $r$ voiman varsi ($\text{m}$) eli kiertoakselin kohtisuora etäisyys voiman vaikutussuorasta. Jos voima muodostaa kulman $\alpha$ akselista vaikutuskohtaan kulkevan suoran kanssa ja vaikutuskohta on etäisyydellä $d$, varsi on $r = d\sin\alpha$. Vastapäivään kiertävä momentti on positiivinen. Levossa olevan kappaleen momenttiehto pätee minkä tahansa pisteen suhteen, joten momenttipisteeksi kannattaa valita tuntemattoman voiman vaikutuspiste. Paino vaikuttaa painopisteessä.

$\text{lankku levossa: } \Sigma\overline{F} = \overline{0},\ \Sigma M = 0$
$\overline{G}$
$\overline{N}_{1}$
$\overline{N}_{2}$
$\text{nyppylän huippu: } G - N = m\dfrac{v^2}{r}$
$\overline{v}$
$\overline{a}$
$\overline{G}$
$\overline{N}$
$\text{satelliitti: } \gamma\dfrac{Mm}{r^2} = m\dfrac{v^2}{r}$
$\overline{v}$
$\overline{a}$
$\overline{F}$
$\text{Maa}$

Tasainen ympyräliike

$$\begin{aligned} v &= \frac{2\pi r}{T} = 2\pi r f \\ a_\text{n} &= \frac{v^2}{r} \\ \Sigma F &= m\frac{v^2}{r} \end{aligned}$$

missä $v$ on ratanopeus ($\text{m/s}$), $r$ radan säde ($\text{m}$), $T$ kierrosaika ($\text{s}$), $f = \tfrac{1}{T}$ pyörimistaajuus ($\tfrac{1}{\text{s}}$), $a_\text{n}$ normaalikiihtyvyys ($\text{m/s}^2$) ja $\Sigma F$ keskipisteeseen osoittava kokonaisvoima ($\text{N}$). Tasaisessa ympyräliikkeessä vauhti on vakio. Normaalikiihtyvyys $a_\text{n} = \tfrac{v^2}{r}$ pätee myös hetkellisesti, kun vauhti muuttuu: radan ylimmässä ja alimmassa kohdassa tangentin suuntaista voimaa ei ole, joten kokonaisvoima osoittaa keskipisteeseen. Nopeus on radan tangentin suuntainen. Liikeyhtälössä keskipisteeseen osoittavat voimat ovat positiivisia, ja kohtisuoraan ratatasoa vastaan voimien summa on nolla.

Gravitaatio ja satelliitit

$$\begin{aligned} F &= \gamma\frac{m_1 m_2}{r^2} \\ g &= \gamma\frac{M}{r^2} \\ v &= \sqrt{\frac{\gamma M}{r}} \end{aligned}$$

missä $\gamma = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$ on gravitaatiovakio, $m_1$ ja $m_2$ kappaleiden massat ($\text{kg}$), $M$ keskuskappaleen massa ($\text{kg}$) ja $r$ etäisyys keskipisteiden välillä ($\text{m}$). Laki pätee pistemäisille ja pallosymmetrisille kappaleille. Satelliitin ratanopeus saadaan ehdosta $\gamma\tfrac{Mm}{r^2} = m\tfrac{v^2}{r}$, ja se pätee ympyräradalle, kun keskuskappale on paljon satelliittia massiivisempi. Maan satelliitille $r = R + h$, missä $R = 6371\,\text{km}$, ja kiertoaika on $T = \tfrac{2\pi r}{v}$.

Yleisiä virheitä

  • Etäisyys varren paikalla. Vinon voiman momentti on $Fd\sin\alpha$, ei $Fd$.
  • Kauempi tuki kantaa enemmän. Asia on päinvastoin: painopistettä lähempänä oleva tuki kantaa enemmän.
  • Keskipakoisvoima voimakuvioon. Ulospäin vaikuttavaa voimaa ei ole. Keskeisvoima on todellisten voimien summa, eikä sitä piirretä omana nuolenaan.
  • Halkaisija ja kierrokset minuutissa. Kaavaan sijoitetaan säde, ja $\tfrac{1}{\text{min}}$ muunnetaan: $1\,\text{min} = 60\,\text{s}$.
  • Korkeus säteen paikalla. Radan säde mitataan Maan keskipisteestä: $r = R + h$.
  • Painottomuus on painovoiman puuttumista. Avaruusasemalla gravitaatio vaikuttaa, mutta asema ja astronautti putoavat vapaasti yhdessä, joten tukivoima on nolla.

Kertaa tarvittaessa

Sovella

Etsi virhe: arkun kansi

Puuarkun kansi kääntyy takareunan saranoiden ympäri, ja kannen syvyys saranoista etureunaan on $0{,}50\,\text{m}$. Kantta nostetaan etureunasta $30\,\text{N}$:n voimalla, joka on $40^\circ$:n kulmassa kanteen nähden. Opiskelija laski voiman momentin saranoiden suhteen näin: $M = Fd = 30\,\text{N} \cdot 0{,}50\,\text{m} = 15\,\text{Nm}$.Mikä ratkaisussa on väärin?

Lue kuvaaja: normaalikiihtyvyys

Kuvaajassa on normaalikiihtyvyys ratanopeuden funktiona kahdella radan säteellä, $50\,\text{m}$ ja $100\,\text{m}$. Mikä väite kuvaajan perusteella pitää paikkansa?
$5$
$10$
$15$
$20$
$25$
$30$
$3$
$6$
$9$
$12$
$15$
$18$
$0$
$v\ (\tfrac{\text{m}}{\text{s}})$
$a_\text{n}\ (\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2})$
$r = 50\,\text{m}$
$r = 100\,\text{m}$

Väite: maalari lankulla

Maalari kävelee kahden pukin varassa olevalla lankulla vasemman pukin kohdalta kohti oikeaa pukkia. Lankku pysyy levossa. Mikä väite pukkien tukivoimista pitää paikkansa maalarin kävellessä?

Mikä voimakuvio: satelliitti

Satelliitti kiertää Maata ympyrärataa. Mikä sanallinen kuvaus satelliitin voimakuviosta on oikein?

Polkimen momentti

Pyöräilijä seisoo polkimen päällä ja painaa sitä $520\,\text{N}$:n voimalla suoraan alaspäin. Kammen pituus keskiön akselista polkimen akseliin on $0{,}170\,\text{m}$, ja kampi osoittaa eteenpäin $35^\circ$ vaakatason yläpuolelle.

Kuinka suuri on voiman momentti keskiön akselin suhteen?

Nm
Vihje 1: ohjaava kysymys

Voiman varsi on keskiön akselin kohtisuora etäisyys voiman vaikutussuorasta. Piirrä kampi ja polkimen kautta kulkeva pystysuora.

Vihje 2: mikä yhteys

Pystysuoran vaikutussuoran etäisyys akselista on kammen vaakasuora ulottuma: $r = d\cos 35^\circ$.

Vihje 3: välivaihe

$M = 520\,\text{N} \cdot 0{,}170\,\text{m} \cdot \cos 35^\circ$

Näytä ratkaisu

Annettu

voima $F = 520\,\text{N}$ suoraan alas, kammen pituus $d = 0{,}170\,\text{m}$, kampi $35^\circ$ vaakatason yläpuolella

Kysytty

voiman momentti $M$ keskiön akselin suhteen

Periaate

Kampi voi vain kiertyä keskiön akselin ympäri, joten voiman vääntövaikutuksen kertoo momentti $M = Fr$. Varsi $r$ on akselin kohtisuora etäisyys voiman pystysuorasta vaikutussuorasta. Voiman ja varren jatkeen välinen kulma on $\alpha = 90^\circ + 35^\circ = 125^\circ$, joten $r = d\sin 125^\circ = d\cos 35^\circ$ (luku Momentti: voiman kiertävä vaikutus).

Kaava

$M = Fr$ ja $r = d\cos 35^\circ$, joten $M = Fd\cos 35^\circ$

Muunnokset

Ei tarvita: voima on newtoneina ja pituus metreinä, joten momentti saadaan newtonmetreinä.

Sijoitus

$M$$= 520\,\text{N} \cdot 0{,}170\,\text{m} \cdot \cos 35^\circ$
$= 88{,}4\,\text{Nm} \cdot 0{,}8192$
$= 72{,}41\,\text{Nm}$

Vastaus

$M \approx 72\,\text{Nm}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten kulmassa $35^\circ$.

Järkevyys

Kun kampi on vaakasuorassa, varsi on koko $0{,}170\,\text{m}$ ja momentti suurin, $88\,\text{Nm}$. Kammen ollessa pystyssä varsi on nolla. Tulos on näiden välissä, ja kulmalla $35^\circ$ varsi on vielä yli $80\,\%$ kammen pituudesta.

Lumilapio vaakasuorassa

Lumilapiolla nostetaan $4{,}0\,\text{kg}$ lunta, ja lapio pidetään hetken paikallaan vaakasuorassa. Takakäsi on varren päässä, ja etukäsi tukee vartta $0{,}45\,\text{m}$:n päässä takakädestä. Lumen painopiste on $1{,}30\,\text{m}$:n päässä takakädestä. Lapion massa on $1{,}5\,\text{kg}$, ja sen painopiste on $0{,}90\,\text{m}$:n päässä takakädestä. Kädet vaikuttavat lapioon pystysuoraan.

Kuinka suurella voimalla etukäsi tukee lapiota?

N
Vihje 1: ohjaava kysymys

Valitse momenttipisteeksi takakäsi. Silloin takakäden tuntematon voima ei esiinny momenttiehdossa.

Vihje 2: mikä yhteys

Etukäden voima kiertää lapiota yhteen suuntaan, lumen ja lapion painot toiseen:

$F_\text{e} \cdot 0{,}45\,\text{m}$$= m_\text{lumi} g \cdot 1{,}30\,\text{m} + m_\text{lapio} g \cdot 0{,}90\,\text{m}$
Vihje 3: välivaihe
$F_\text{e} \cdot 0{,}45\,\text{m}$$= (4{,}0\,\text{kg} \cdot 1{,}30\,\text{m} + 1{,}5\,\text{kg} \cdot 0{,}90\,\text{m}) \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

ja ratkaise siitä $F_\text{e}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

lumi $m_\text{lumi} = 4{,}0\,\text{kg}$ etäisyydellä $1{,}30\,\text{m}$, lapio $m_\text{lapio} = 1{,}5\,\text{kg}$ etäisyydellä $0{,}90\,\text{m}$ ja etukäsi etäisyydellä $0{,}45\,\text{m}$, kaikki takakädestä mitattuna; lapio vaakasuorassa levossa; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

etukäden voima $F_\text{e}$

Periaate

Lapio on levossa, joten se on tasapainossa: voimien summa ja momenttien summa ovat nolla. Momenttipisteeksi valitaan takakäsi, jolloin takakäden tuntematon voima ei esiinny momenttiehdossa. Voimat ovat pystysuoria ja varsi vaakasuora, joten varret ovat etäisyydet takakädestä (luku Kappaleen tasapaino: voimat ja momentit).

Kaava

$F_\text{e} \cdot 0{,}45\,\text{m} - m_\text{lumi} g \cdot 1{,}30\,\text{m} - m_\text{lapio} g \cdot 0{,}90\,\text{m}$
$= 0$

joten

$F_\text{e}$$= \dfrac{(m_\text{lumi} \cdot 1{,}30\,\text{m} + m_\text{lapio} \cdot 0{,}90\,\text{m})\,g}{0{,}45\,\text{m}}$

Muunnokset

Ei tarvita: massat ovat kilogrammoina ja etäisyydet metreinä.

Sijoitus

Painojen momenttien summa takakäden suhteen on

$(4{,}0\,\text{kg} \cdot 1{,}30\,\text{m} + 1{,}5\,\text{kg} \cdot 0{,}90\,\text{m}) \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$
$= 6{,}55\,\text{kg} \cdot \text{m} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$
$= 64{,}26\,\text{N} \cdot \text{m}$

joten

$F_\text{e}$$= \dfrac{64{,}26\,\text{N} \cdot \text{m}}{0{,}45\,\text{m}}$
$= 142{,}8\,\text{N}$

Vastaus

$F_\text{e} \approx 140\,\text{N}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $4{,}0\,\text{kg}$ ja etäisyydessä $0{,}45\,\text{m}$.

Järkevyys

Lumen ja lapion paino on vain $5{,}5\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 54\,\text{N}$. Etukäden varsi on lyhyt, joten sen voima on lähes kolminkertainen, ja takakäden on painettava alas voimalla $143\,\text{N} - 54\,\text{N} \approx 89\,\text{N}$. Siksi lapion pitäminen vaakasuorassa tuntuu raskaalta, ja käsien väli kannattaa pitää suurena.

Puhelin liikenneympyrässä

Puhelin on auton kojelaudalla liukuestematon päällä. Puhelimen ja maton välinen lepokitkakerroin on $0{,}40$. Auto ajaa vaakasuorassa liikenneympyrässä tasaisella vauhdilla, ja puhelin kulkee ympyrää, jonka säde on $15\,\text{m}$.

Millä suurimmalla nopeudella auto voi ajaa, ettei puhelin lähde liukumaan? Vastaa kilometreinä tunnissa.

km/h
Vihje 1: ohjaava kysymys

Mikä voima pitää puhelimen ympyräradalla auton mukana? Mihin suuntaan se osoittaa?

Vihje 2: mikä yhteys

Lepokitka on puhelimen ainoa vaakasuora voima: $F_{\mu 0} = m\tfrac{v^2}{r}$, ja se voi olla enintään $\mu_0 N = \mu_0 mg$.

Vihje 3: välivaihe

$v = \sqrt{\mu_0 g r}$, ja lopuksi $1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

lepokitkakerroin $\mu_0 = 0{,}40$, radan säde $r = 15\,\text{m}$, vaakasuora rata ja tasainen vauhti, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

suurin nopeus $v$, jolla puhelin ei liu'u, kilometreinä tunnissa

Periaate

Puhelin kulkee auton mukana tasaisessa ympyräliikkeessä, joten siihen vaikuttavien voimien summa osoittaa radan keskipisteeseen. Pystysuunnassa paino ja tukivoima kumoavat toisensa, $N = mg$. Vaakasuunnassa ainoa voima on maton lepokitka, joten se on keskeisvoima. Lepokitka voi olla enintään $\mu_0 N$, ja suurimmalla nopeudella se on juuri tämän suuruinen (luku Normaalikiihtyvyys ja ympyräliikkeen liikeyhtälö).

Kaava

$\mu_0 mg = m\dfrac{v^2}{r}$, joten massa supistuu ja $v = \sqrt{\mu_0 g r}$

Muunnokset

Nopeus saadaan yksikössä $\text{m/s}$ ja muunnetaan sijoittamalla $1\,\text{m} = 0{,}001\,\text{km}$ ja $1\,\text{s} = \tfrac{1}{3600}\,\text{h}$, eli $1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}$.

Sijoitus

$v$$= \sqrt{0{,}40 \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 15\,\text{m}}$
$= \sqrt{58{,}86\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}$
$= 7{,}672\,\text{m/s}$
$= 7{,}672 \cdot 3{,}6\,\text{km/h}$
$= 27{,}6\,\text{km/h}$

Vastaus

$v \approx 28\,\text{km/h}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten kitkakertoimessa $0{,}40$ ja säteessä $15\,\text{m}$.

Järkevyys

Liikenneympyrässä ajetaan tavallisesti $20\text{–}30\,\text{km/h}$, joten puhelin pysyy matolla juuri ja juuri. Normaalikiihtyvyys on silloin $\mu_0 g \approx 3{,}9\,\text{m/s}^2$. Massa supistui, joten raskas ja kevyt puhelin lähtevät liukumaan samalla nopeudella.

Tiedesatelliitin kiertoaika

Ilmakehää tutkiva satelliitti kiertää Maata ympyrärataa $690\,\text{km}$:n korkeudella. Maan massa on $5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$ ja säde $6371\,\text{km}$. Kuinka pitkä on satelliitin kiertoaika? Vastaa minuutteina.

min
Vihje 1: ohjaava kysymys

Radan säde mitataan Maan keskipisteestä: $r = R + h$.

Vihje 2: mikä yhteys

Gravitaatiovoima on satelliitin ainoa voima: $\gamma\tfrac{Mm}{r^2} = m\tfrac{v^2}{r}$, joten $v = \sqrt{\tfrac{\gamma M}{r}}$.

Vihje 3: välivaihe

Kiertoaika on $T = \tfrac{2\pi r}{v}$, ja lopuksi $1\,\text{min} = 60\,\text{s}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

korkeus $h = 690\,\text{km}$, Maan massa $M = 5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$, säde $R = 6371\,\text{km}$, $\gamma = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$

Kysytty

kiertoaika $T$ minuutteina

Periaate

Satelliittiin vaikuttaa vain Maan gravitaatiovoima, joten se on kokonaisvoima ja antaa ympyräradalla normaalikiihtyvyyden $\tfrac{v^2}{r}$. Radan säde mitataan Maan keskipisteestä. Kierroksella satelliitti kulkee kehän $2\pi r$ (luku Satelliitit ja planeetat ympyräradalla).

Kaava

$\gamma\dfrac{Mm}{r^2}$$= m\dfrac{v^2}{r}$

joten $v = \sqrt{\dfrac{\gamma M}{r}}$ ja $T = \dfrac{2\pi r}{v}$, missä $r = R + h$

Muunnokset

$r$$= 6371\,\text{km} + 690\,\text{km}$
$= 7061\,\text{km}$
$= 7061 \cdot 1000\,\text{m}$
$= 7{,}061 \cdot 10^{6}\,\text{m}$

Lopuksi $1\,\text{min} = 60\,\text{s}$.

Sijoitus

$v$$= \sqrt{\dfrac{6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}}{7{,}061 \cdot 10^{6}\,\text{m}}}$
$= 7512\,\text{m/s}$
$T$$= \dfrac{2\pi \cdot 7{,}061 \cdot 10^{6}\,\text{m}}{7512\,\text{m/s}}$
$= 5906\,\text{s}$
$= \dfrac{5906}{60}\,\text{min}$
$= 98{,}4\,\text{min}$

Vastaus

$T \approx 98{,}4\,\text{min}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten Maan massassa $5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$.

Järkevyys

Kiertoaika on hieman pidempi kuin ISS:n noin $93\,\text{min}$, koska rata on vähän korkeammalla. Ratanopeus $7{,}5\,\text{km/s}$ on vähän pienempi kuin maanpinnan tasalla laskettu noin $7{,}9\,\text{km/s}$, kuten kauempana kuuluu.

Tarkista osaamisesi

Exit ticket

Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.

  1. Karuselli tekee yhden kierroksen $6{,}0\,\text{s}$:ssa. Kuinka suuri on $2{,}4\,\text{m}$:n päässä keskipisteestä istuvan lapsen ratanopeus?
    Vastaus

    $v = \dfrac{2\pi r}{T} = \dfrac{2\pi \cdot 2{,}4\,\text{m}}{6{,}0\,\text{s}} \approx 2{,}5\,\text{m/s}$. Nopeus on radan tangentin suuntainen, ja keskitangon vieressä istuva liikkuu hitaammin, vaikka kierrosaika on sama.

  2. Satelliitti siirretään radalta, jonka säde on $r$, radalle, jonka säde on $3r$. Kuinka moninkertaiseksi Maan satelliittiin kohdistama gravitaatiovoima muuttuu?
    Vastaus

    Gravitaatiovoima on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön: $\dfrac{F_2}{F_1} = \dfrac{r^2}{(3r)^2} = \dfrac{1}{9}$. Voima pienenee yhdeksäsosaan, mutta ei häviä.

1. Käsite

Lapsi keinuu. Keinun alimmassa kohdassa lapsi liikkuu vaakasuoraan. Kuinka suuri on keinun ketjujen lapseen kohdistama voima verrattuna lapsen painoon?

Kertaa liikeyhtälö keskipisteen suuntaan ja nyppylän ja notkon voimat luvussa Normaalikiihtyvyys ja ympyräliikkeen liikeyhtälö.

2. Laskeminen

Kottikärryissä on multaa, ja kärryjen ja mullan massa on yhteensä $75\,\text{kg}$. Niiden yhteinen painopiste on vaakasuunnassa $0{,}40\,\text{m}$:n päässä pyörän akselista, ja kahvat ovat vaakasuunnassa $1{,}25\,\text{m}$:n päässä akselista. Kärryjen kahvoja nostetaan pystysuoraan niin, että tukijalat juuri irtoavat maasta ja kärryt pysyvät paikallaan.

Kuinka suuri nostovoima tarvitaan?

N
Vihje 1: ohjaava kysymys

Kun jalat irtoavat, kärryihin vaikuttavat vain paino, pyörän tukivoima ja nostovoima. Minkä pisteen suhteen kannattaa laskea momentit?

Vihje 2: mikä yhteys

Pyörän akselin suhteen tukivoiman varsi on nolla: $F \cdot 1{,}25\,\text{m} = mg \cdot 0{,}40\,\text{m}$.

Vihje 3: välivaihe
$F$$= \dfrac{75\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 0{,}40\,\text{m}}{1{,}25\,\text{m}}$
Näytä ratkaisu

Annettu

massa $m = 75\,\text{kg}$, painopisteen vaakasuora etäisyys akselista $0{,}40\,\text{m}$, kahvojen vaakasuora etäisyys akselista $1{,}25\,\text{m}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

pystysuora nostovoima $F$

Periaate

Kärryt ovat levossa, joten ne ovat tasapainossa. Jalat eivät enää kosketa maata, joten kärryihin vaikuttavat paino painopisteessä, pyörän tukivoima akselin kohdalla ja nostovoima kahvoissa. Momenttipisteeksi valitaan pyörän akseli, jolloin tuntemattoman tukivoiman varsi on nolla. Voimat ovat pystysuoria, joten varret ovat vaakasuorat etäisyydet akselista (luku Kappaleen tasapaino: voimat ja momentit).

Kaava

$F \cdot 1{,}25\,\text{m} - mg \cdot 0{,}40\,\text{m} = 0$, joten

$F$$= \dfrac{mg \cdot 0{,}40\,\text{m}}{1{,}25\,\text{m}}$

Muunnokset

Ei tarvita: massa on kilogrammoina ja etäisyydet metreinä.

Sijoitus

$F$$= \dfrac{75\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 0{,}40\,\text{m}}{1{,}25\,\text{m}}$
$= \dfrac{294{,}3\,\text{Nm}}{1{,}25\,\text{m}}$
$= 235{,}4\,\text{N}$

Vastaus

$F \approx 240\,\text{N}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $75\,\text{kg}$ ja etäisyydessä $0{,}40\,\text{m}$.

Järkevyys

Paino on $736\,\text{N}$, ja nostovoima on siitä $\tfrac{0{,}40}{1{,}25} = 32\,\%$, kuten momenttiehto vaatii. Pyörä kantaa loput $500\,\text{N}$. Siksi kuorma kannattaa lastata lähelle pyörää.

Kertaa momenttipisteen valinta ja tasapainoehdot luvussa Kappaleen tasapaino: voimat ja momentit ja voiman varsi luvussa Momentti: voiman kiertävä vaikutus.

3. Selitä

Kaksi satelliittia kiertää Maata ympyrärataa samalla korkeudella. Toisen massa on $100\,\text{kg}$ ja toisen $3000\,\text{kg}$. Selitä Newtonin toisen lain ja gravitaatiolain avulla, miksi niiden ratanopeudet ovat yhtä suuret, vaikka raskaampaan vaikuttaa $30$-kertainen gravitaatiovoima. Kerro myös, miten ratanopeus muuttuu, jos satelliitti siirretään kauemmas Maasta.

Tehtävät

3.4-1 Veneen traileri ja aisapaino 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Trailerin, veneen ja ohjeen luvut ovat keksitty esimerkki. Suuruusluokat vastaavat pientä veneenkuljetustraileria.

Perhe vie $4{,}6\,\text{m}$:n alumiiniveneen mökille yksiakselisella trailerilla. Trailerin vetoaisa on kiinni auton vetokoukussa, ja kytkin kohdistaa vetoaisaan pystysuoran voiman. Tämän voiman suuruutta massana ilmaistuna kutsutaan aisapainoksi. Trailerin ohjeen mukaan aisapainon pitäisi olla $50\text{–}75\,\text{kg}$. Traileri seisoo vaakasuoralla pihalla, ja vetoaisa on vaakasuorassa.

Vaakasuorat etäisyydet on mitattu trailerin akselista eteenpäin, kohti vetokoukkua:

  • trailerin massa $165\,\text{kg}$, painopiste $0{,}58\,\text{m}$ akselin edessä
  • veneen ja perämoottorin massa yhteensä $430\,\text{kg}$, yhteinen painopiste $0{,}12\,\text{m}$ akselin edessä
  • kytkin $3{,}25\,\text{m}$ akselin edessä
  1. a) Piirrä trailerin ja veneen voimakuvio. Kuinka suuri on kytkimen vetoaisaan kohdistama pystysuora voima? Mikä on aisapaino? 5 p
  2. b) Kuinka suuren voiman maa kohdistaa trailerin pyöriin? 3 p
  3. c) Venettä voi siirtää trailerilla eteenpäin. Kuinka paljon venettä on siirrettävä, jotta aisapaino on $60\,\text{kg}$? 4 p
  4. d) Mökkimatkaa varten veneen perään, $1{,}40\,\text{m}$ akselin taakse, lastataan $30\,\text{kg}$ polttoainetta ja varusteita. Miten aisapaino muuttuu a-kohdan tilanteesta? Miksi liian pieni tai negatiivinen aisapaino on vaarallinen? 3 p

Taidot luvuista: Kappaleen tasapaino: voimat ja momentit, Momentti: voiman kiertävä vaikutus, Voimakuvio ja voimien yhteisvaikutus

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

trailerin massa $m_\text{t} = 165\,\text{kg}$ ja painopiste $0{,}58\,\text{m}$ akselin edessä; veneen ja moottorin massa $m_\text{v} = 430\,\text{kg}$ ja painopiste $0{,}12\,\text{m}$ akselin edessä; kytkin $3{,}25\,\text{m}$ akselin edessä; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

kytkimen vetoaisaan kohdistama pystysuora voima $F$ ja aisapaino $F : g$

Periaate

Valitaan kappaleeksi traileri ja vene yhdessä. Voimakuviossa niihin vaikuttavat trailerin paino $\overline{G}_\text{t}$ ja veneen paino $\overline{G}_\text{v}$ painopisteistä alas, maan tukivoima $\overline{N}$ pyörien kohdalta ylös ja kytkimen voima $\overline{F}$ vetoaisan päästä ylös. Kytkimen vaakasuora voima on levossa nolla. Traileri on levossa, joten se on tasapainossa: voimien summa ja momenttien summa ovat nolla. Momenttipisteeksi valitaan akseli, jolloin tuntemattoman tukivoiman varsi on nolla. Voimat ovat pystysuoria ja etäisyydet vaakasuoria, joten etäisyydet ovat voimien varsia (luku Kappaleen tasapaino: voimat ja momentit).

Kaava

$F \cdot 3{,}25\,\text{m} - m_\text{t} g \cdot 0{,}58\,\text{m} - m_\text{v} g \cdot 0{,}12\,\text{m}$
$= 0$

joten

$F$$= \dfrac{(m_\text{t} \cdot 0{,}58\,\text{m} + m_\text{v} \cdot 0{,}12\,\text{m})\,g}{3{,}25\,\text{m}}$

Muunnokset

Ei tarvita: massat ovat kilogrammoina ja etäisyydet metreinä.

Sijoitus

Painojen momenttien summa akselin suhteen on

$(165\,\text{kg} \cdot 0{,}58\,\text{m} + 430\,\text{kg} \cdot 0{,}12\,\text{m}) \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$
$= 147{,}3\,\text{kg} \cdot \text{m} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$
$= 1445\,\text{N} \cdot \text{m}$

joten

$F$$= \dfrac{1445\,\text{N} \cdot \text{m}}{3{,}25\,\text{m}}$
$= 444{,}6\,\text{N}$

ja aisapaino on

$\dfrac{444{,}6\,\text{N}}{9{,}81\,\text{m/s}^2}$$= 45{,}3\,\text{kg}$

Vastaus

$F \approx 440\,\text{N}$

Ja aisapaino noin $45\,\text{kg}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten painopisteiden etäisyyksissä $0{,}58\,\text{m}$ ja $0{,}12\,\text{m}$. Aisapaino on ohjeen alarajaa $50\,\text{kg}$ pienempi.

Järkevyys

Yhteinen painopiste on

$\tfrac{147{,}3\,\text{kg} \cdot \text{m}}{595\,\text{kg}}$$\approx 0{,}25\,\text{m}$

akselin edessä eli noin $\tfrac{0{,}25}{3{,}25} \approx 8\,\%$ kytkimen etäisyydestä. Kytkin kantaa siis noin $8\,\%$ koko massasta $595\,\text{kg}$, noin $45\,\text{kg}$, kuten saatiin.

b)

Annettu

a-kohdasta $F = 444{,}6\,\text{N}$; massat $m_\text{t} = 165\,\text{kg}$ ja $m_\text{v} = 430\,\text{kg}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

maan pyöriin kohdistama tukivoima $N$

Periaate

Traileri on levossa, joten pystysuorien voimien summa on nolla: ylöspäin vaikuttavat tukivoima ja kytkimen voima kantavat yhdessä trailerin ja veneen painot (luku Kappaleen tasapaino: voimat ja momentit).

Kaava

$N + F - (m_\text{t} + m_\text{v})g = 0$, joten $N = (m_\text{t} + m_\text{v})g - F$

Muunnokset

Lopuksi $1\,\text{N} = 0{,}001\,\text{kN}$.

Sijoitus

$N$$= 595\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 - 444{,}6\,\text{N}$
$= 5837\,\text{N} - 444{,}6\,\text{N}$
$= 5392\,\text{N}$
$= 5{,}39\,\text{kN}$

Vastaus

$N \approx 5{,}39\,\text{kN}$

Kolme merkitsevää numeroa, koska suurin osa tulee painosta, jonka massat on annettu kolmella numerolla.

Järkevyys

Pyörät kantavat $\tfrac{5392}{5837} \approx 92\,\%$ painosta, koska yhteinen painopiste on lähellä akselia. Tukivoimaa vastaa noin $550\,\text{kg}$:n massa, ja massoja yhteensä on $595\,\text{kg}$: kytkin ja pyörät kantavat yhdessä koko painon.

c)

Annettu

tavoiteltu aisapaino $60\,\text{kg}$; a-kohdan massat ja etäisyydet; veneen siirto $\Delta x$ eteenpäin

Kysytty

siirto $\Delta x$

Periaate

Momenttiehto akselin suhteen pätee edelleen. Siirto muuttaa vain veneen painon vartta $0{,}12\,\text{m}$:stä arvoon $0{,}12\,\text{m} + \Delta x$. Aisapainoa $60\,\text{kg}$ vastaa voima $F = 60\,\text{kg} \cdot g$ (luku Momentti: voiman kiertävä vaikutus).

Kaava

$60\,\text{kg} \cdot g \cdot 3{,}25\,\text{m}$
$= m_\text{t} g \cdot 0{,}58\,\text{m} + m_\text{v} g\,(0{,}12\,\text{m} + \Delta x)$

joten $g$ supistuu ja

$m_\text{v} \Delta x$$= 60\,\text{kg} \cdot 3{,}25\,\text{m} - m_\text{t} \cdot 0{,}58\,\text{m} - m_\text{v} \cdot 0{,}12\,\text{m}$

Muunnokset

Tulos muunnetaan senttimetreiksi: $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$.

Sijoitus

$m_\text{v} \Delta x$$= 195\,\text{kg} \cdot \text{m} - 95{,}7\,\text{kg} \cdot \text{m} - 51{,}6\,\text{kg} \cdot \text{m}$
$= 47{,}7\,\text{kg} \cdot \text{m}$

joten

$\Delta x$$= \dfrac{47{,}7\,\text{kg} \cdot \text{m}}{430\,\text{kg}}$
$= 0{,}1109\,\text{m}$
$= 0{,}1109 \cdot 100\,\text{cm}$
$= 11{,}1\,\text{cm}$

Vastaus

Venettä siirretään noin $11\,\text{cm}$ eteenpäin, kaksi merkitsevää numeroa kuten painopisteiden etäisyyksissä.

Järkevyys

Kun $430\,\text{kg}$ siirtyy $0{,}111\,\text{m}$, momentti kasvaa $47{,}7\,\text{kg} \cdot \text{m}$, ja jaettuna kytkimen varrella $3{,}25\,\text{m}$ se lisää aisapainoa $\tfrac{47{,}7}{3{,}25}\,\text{kg} \approx 15\,\text{kg}$: $45\,\text{kg} + 15\,\text{kg} = 60\,\text{kg}$. Pieni siirto riittää, koska vene on raskas.

d)

Kysytty

miten akselin taakse lastattu $30\,\text{kg}$ muuttaa aisapainoa, ja miksi liian pieni aisapaino on vaarallinen

Periaate

Akselin takana oleva paino kiertää traileria akselin ympäri vastakkaiseen suuntaan kuin akselin edessä olevat painot, joten se pienentää kytkimen tarvitsemaa momenttia (luku Kappaleen tasapaino: voimat ja momentit).

Mallivastaus

Kuorman momentti akselin suhteen on $30\,\text{kg} \cdot g \cdot 1{,}40\,\text{m}$, ja se vähentää kytkimen voiman momenttia. Aisapaino pienenee $\tfrac{30\,\text{kg} \cdot 1{,}40\,\text{m}}{3{,}25\,\text{m}} \approx 13\,\text{kg}$, eli a-kohdan $45\,\text{kg}$:sta noin $32\,\text{kg}$:iin. Jos takana olisi vielä enemmän kuormaa, trailerin ja kuorman yhteinen painopiste siirtyisi akselin taakse. Silloin aisapaino olisi negatiivinen: kytkimen pitäisi vetää vetoaisaa alaspäin, ja traileri nostaisi auton takapäätä. Takapyörien tukivoima ja siten niiden lepokitkan yläraja pienenisivät, jolloin pito jarrutuksessa ja kaarteissa heikkenee. Pieni positiivinen aisapaino pitää trailerin painopisteen akselin edessä. Siksi raskas kuorma lastataan akselin kohdalle tai hieman sen eteen.

Yleisiä virheitä

  • Momentit lasketaan kytkimen suhteen, mutta tukivoimaa $N$ ei oteta mukaan, tai momenttiehtoon kirjoitetaan sekä $N$ että sen varsi akselin suhteen.
  • Etäisyyksiä mitataan väärästä kohdasta: painopisteiden etäisyydet ovat akselista, ja kytkimen voiman varsi on $3{,}25\,\text{m}$, ei $3{,}25\,\text{m} - 0{,}58\,\text{m}$.
  • Aisapaino ilmoitetaan newtoneina ja massana sekaisin: $445\,\text{N}$ ei ole $445\,\text{kg}$.
  • d-kohdassa akselin taakse lastattu paino lisätään aisapainoon, vaikka sen momentti on vastakkaissuuntainen.

Hyväksytään myös

  • a-kohdassa yhteisen painopisteen kautta: $x_\text{pp} = \tfrac{m_\text{t} x_\text{t} + m_\text{v} x_\text{v}}{m_\text{t} + m_\text{v}} \approx 0{,}248\,\text{m}$ ja $F = (m_\text{t} + m_\text{v})g \cdot \tfrac{x_\text{pp}}{3{,}25\,\text{m}}$, sama tulos.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat ovat mukana, eikä kuviossa ole keksittyjä voimia. Kappaleena traileri ja vene: painot $\overline{G}_\text{t}$ ja $\overline{G}_\text{v}$ painopisteistä alas, akselin tukivoima $\overline{N}$ ja kytkimen voima $\overline{F}$ ylös. 1 p
Perustelee momenttipisteen: akselin suhteen tukivoiman $N$ varsi on nolla. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $F \cdot 3{,}25\,\text{m} = m_\text{t} g \cdot 0{,}58\,\text{m} + m_\text{v} g \cdot 0{,}12\,\text{m}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $F \cdot 3{,}25\,\text{m} = (165 \cdot 0{,}58 + 430 \cdot 0{,}12)\,\text{kg} \cdot \text{m} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$, joten $F \approx 445\,\text{N}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $F \approx 440\,\text{N}$ ja aisapaino $F : g \approx 45\,\text{kg}$ kahdella merkitsevällä numerolla, alle ohjeen $50\,\text{kg}$:n 1 p

b)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Etenemisen suhteen $N + F = (m_\text{t} + m_\text{v})g$, joten $N = (m_\text{t} + m_\text{v})g - F$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $N = 595\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 - 445\,\text{N} \approx 5390\,\text{N}$ 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Pyörät kantavat noin $92\,\%$ painosta, koska yhteinen painopiste on lähellä akselia. 1 p

c)4 p

Perustelee, että siirto muuttaa vain veneen painon vartta, ja aisapainon $60\,\text{kg}$ voima on $60\,\text{kg} \cdot g$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $60\,\text{kg} \cdot g \cdot 3{,}25\,\text{m} = m_\text{t} g \cdot 0{,}58\,\text{m} + m_\text{v} g\,(0{,}12\,\text{m} + \Delta x)$, joten $g$ supistuu 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\Delta x = \dfrac{195\,\text{kg} \cdot \text{m} - 147{,}3\,\text{kg} \cdot \text{m}}{430\,\text{kg}} \approx 0{,}111\,\text{m}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\Delta x \approx 11\,\text{cm}$ eteenpäin, kaksi merkitsevää numeroa 1 p

d)3 p

Perustelee momenttiehdolla, että akselin takana oleva kuorma pienentää aisapainoa: $30\,\text{kg} \cdot 1{,}40\,\text{m} : 3{,}25\,\text{m} \approx 13\,\text{kg}$, jolloin aisapaino on noin $32\,\text{kg}$. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Liian pieni aisapaino keventää vetokoukkua; jos yhteinen painopiste siirtyy akselin taakse, aisapaino on negatiivinen ja kytkin joutuu pitämään vetoaisaa alhaalla, jolloin traileri nostaa auton takapäätä ja takapyörien pito heikkenee. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (14 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

3.4-2 Sääsatelliitti napojen yli 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Satelliitti ja sen luvut ovat keksitty esimerkki. Korkeus ja massa vastaavat todellisia napaa kiertäviä sääsatelliitteja.

Eurooppalainen sääsatelliitti kiertää Maata lähes ympyrärataa, joka kulkee napojen yli. Maan pinnalla oleva vastaanottoasema Pohjois-Suomessa saa sen mittaukset monella peräkkäisellä kierroksella, koska satelliitti ohittaa pohjoisnavan joka kierroksella.

  • satelliitin massa $4100\,\text{kg}$, radan korkeus maanpinnasta $830\,\text{km}$
  • Maan massa $5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$ ja säde $6371\,\text{km}$
  • Maa pyörähtää akselinsa ympäri kerran $23\,\text{h}\;56\,\text{min}$:ssa
  • gravitaatiovakio $\gamma = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$
  1. a) Kuinka suuri on satelliitin ratanopeus? Kuinka pitkä on sen kiertoaika minuutteina? 5 p
  2. b) Kuinka suuri gravitaatiovoima satelliittiin vaikuttaa radalla? Kuinka monta prosenttia se on satelliitin painosta maanpinnalla? 4 p
  3. c) Satelliitin radan taso pysyy avaruudessa lähes paikallaan, ja Maa pyörii sen alla. Kuinka monta astetta Maa kiertyy yhden satelliitin kierroksen aikana? Kuinka pitkän matkan päiväntasaajan kohta siirtyy samassa ajassa? 3 p
  4. d) Opiskelija ehdottaa: ”Siirretään sääsatelliitti geostationaariselle radalle, niin se näkee Suomen koko ajan.” Arvioi, miksi napojen yli kiertävää rataa käytetään silti tarkkoihin mittauksiin pohjoisilta alueilta. Geostationaarinen rata on $35\,800\,\text{km}$:n korkeudella päiväntasaajan yläpuolella. 3 p

Taidot luvuista: Satelliitit ja planeetat ympyräradalla, Kappaleiden välinen gravitaatiovoima, Ympyrärata: jaksonaika ja ratanopeus

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

korkeus $h = 830\,\text{km}$, Maan massa $M = 5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$ ja säde $R = 6371\,\text{km}$, $\gamma = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$

Kysytty

ratanopeus $v$ ja kiertoaika $T$ minuutteina

Periaate

Satelliittiin vaikuttaa vain Maan gravitaatiovoima, joten se on kokonaisvoima. Rata on ympyrä, joten Newtonin toisen lain mukaan gravitaatiovoima antaa satelliitille normaalikiihtyvyyden $\tfrac{v^2}{r}$ kohti Maan keskipistettä. Radan säde mitataan Maan keskipisteestä, $r = R + h$, ja kierroksella satelliitti kulkee kehän $2\pi r$ (luku Satelliitit ja planeetat ympyräradalla).

Kaava

$\gamma\dfrac{Mm}{r^2}$$= m\dfrac{v^2}{r}$

joten satelliitin massa supistuu ja $v = \sqrt{\dfrac{\gamma M}{r}}$; $T = \dfrac{2\pi r}{v}$

Muunnokset

$r$$= 6371\,\text{km} + 830\,\text{km}$
$= 7201\,\text{km}$
$= 7201 \cdot 1000\,\text{m}$
$= 7{,}201 \cdot 10^{6}\,\text{m}$

Lopuksi $1\,\text{km} = 1000\,\text{m}$ ja $1\,\text{min} = 60\,\text{s}$.

Sijoitus

$\gamma M$$= 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$
$= 3{,}984 \cdot 10^{14}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}}$

joten

$v$$= \sqrt{\dfrac{3{,}984 \cdot 10^{14}\,\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}}{7{,}201 \cdot 10^{6}\,\text{m}}}$
$= 7438\,\text{m/s}$
$= 7{,}438\,\text{km/s}$
$T$$= \dfrac{2\pi \cdot 7{,}201 \cdot 10^{6}\,\text{m}}{7438\,\text{m/s}}$
$= 6083\,\text{s}$
$= \dfrac{6083}{60}\,\text{min}$
$= 101{,}4\,\text{min}$

Vastaus

$v \approx 7{,}44\,\text{km/s}$

Ja $T \approx 101\,\text{min}$, kolme merkitsevää numeroa kuten korkeudessa $830\,\text{km}$ ja Maan massassa.

Järkevyys

Ratanopeus on vähän pienempi kuin ISS:n noin $7{,}7\,\text{km/s}$ ja kiertoaika vähän pidempi kuin ISS:n noin $93\,\text{min}$, koska rata on korkeammalla. Vuorokaudessa satelliitti kiertää $\tfrac{86\,400\,\text{s}}{6083\,\text{s}} \approx 14$ kierrosta.

b)

Annettu

$m = 4100\,\text{kg}$, $r = 7{,}201 \cdot 10^{6}\,\text{m}$, $M = 5{,}97 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$, $\gamma = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

gravitaatiovoima $F$ radalla ja sen osuus painosta $mg$ maanpinnalla

Periaate

Gravitaatiolain mukaan voima on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön keskipisteistä mitattuna. Satelliitti on noin $13\,\%$ kauempana Maan keskipisteestä kuin maanpinnalla (luku Kappaleiden välinen gravitaatiovoima).

Kaava

$F = \gamma\dfrac{Mm}{r^2}$ ja osuus $\dfrac{F}{mg}$

Muunnokset

$r$ on muunnettu metreiksi a-kohdassa. Lopuksi $1\,\text{N} = 0{,}001\,\text{kN}$.

Sijoitus

a-kohdan tulolla

$\gamma M$$= 3{,}984 \cdot 10^{14}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}}$

saadaan

$F$$= \dfrac{3{,}984 \cdot 10^{14}\,\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg} \cdot 4100\,\text{kg}}{(7{,}201 \cdot 10^{6}\,\text{m})^2}$
$= 31\,503\,\text{N}$
$= 31{,}5\,\text{kN}$

Paino maanpinnalla on

$mg$$= 4100\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$
$= 40\,221\,\text{N}$

joten

$\dfrac{F}{mg}$$= \dfrac{31\,503\,\text{N}}{40\,221\,\text{N}}$
$= 0{,}783$

Vastaus

$F \approx 31{,}5\,\text{kN}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten lähtötiedot. Voima on noin $78\,\%$ satelliitin painosta maanpinnalla.

Järkevyys

Etäisyyksien suhteesta $\left(\tfrac{6371\,\text{km}}{7201\,\text{km}}\right)^2 \approx 0{,}783$ saadaan sama osuus. Gravitaatio on radalla yhä voimakas, ja juuri se pitää satelliitin radallaan.

c)

Annettu

kiertoaika $T = 6083\,\text{s}$ (a-kohta), Maan pyörähdysaika $T_\text{Maa} = 23\,\text{h}\;56\,\text{min}$, $R = 6371\,\text{km}$

Kysytty

Maan kiertymä asteina yhden kierroksen aikana ja päiväntasaajan kohdan kulkema matka

Periaate

Maa pyörii tasaisesti, joten kiertymä on samassa suhteessa täyteen kierrokseen kuin aika pyörähdysaikaan. Päiväntasaajan kohta on tasaisessa ympyräliikkeessä, jonka säde on $R$ (luku Ympyrärata: jaksonaika ja ratanopeus).

Kaava

kiertymä

$\varphi$$= 360^\circ \cdot \dfrac{T}{T_\text{Maa}}$

ja matka

$s$$= 2\pi R \cdot \dfrac{T}{T_\text{Maa}}$

Muunnokset

$T_\text{Maa}$$= 23 \cdot 3600\,\text{s} + 56 \cdot 60\,\text{s}$
$= 86\,160\,\text{s}$

Sijoitus

$\dfrac{T}{T_\text{Maa}}$$= \dfrac{6083\,\text{s}}{86\,160\,\text{s}}$
$= 0{,}07060$

joten

$\varphi$$= 360^\circ \cdot 0{,}07060$
$= 25{,}4^\circ$
$s$$= 2\pi \cdot 6371\,\text{km} \cdot 0{,}07060$
$= 2826\,\text{km}$

Vastaus

Maa kiertyy noin $25{,}4^\circ$, ja päiväntasaajan kohta siirtyy noin $2830\,\text{km}$, kolme merkitsevää numeroa kuten kiertoajassa.

Järkevyys

Kiertymä on noin neljätoistaosa täydestä kierroksesta, kuten pitää, kun satelliitti kiertää noin $14$ kertaa vuorokaudessa: $14 \cdot 25{,}4^\circ \approx 360^\circ$. Siksi satelliitti kuvaa joka kierroksella eri kaistaa, ja Suomen kohdalla, jossa leveyspiirin ympärysmitta on pienempi, kaistat ovat lähempänä toisiaan.

d)

Kysytty

miksi tarkkoihin pohjoisiin mittauksiin käytetään napojen yli kiertävää rataa geostationaarisen sijaan

Periaate

Geostationaarisen satelliitin kiertoaika on Maan pyörähdysaika, joten sen rata on päiväntasaajan yläpuolella tietyllä etäisyydellä. Napojen yli kiertävän radan korkeus voidaan valita (luku Satelliitit ja planeetat ympyräradalla).

Mallivastaus

Ehdotuksessa on hyvä puoli: geostationaarinen satelliitti näkee saman alueen koko ajan, joten sillä voi seurata esimerkiksi pilvien liikettä jatkuvasti. Tarkkoihin mittauksiin pohjoisilta alueilta se sopii kuitenkin huonosti kahdesta syystä. Ensinnäkin se on $35\,800\,\text{km}$:n korkeudella eli noin $\tfrac{35\,800}{830} \approx 43$ kertaa korkeammalla kuin napojen yli kiertävä satelliitti, ja vinosti Suomeen katsottuna etäisyys on vielä suurempi, yli $38\,000\,\text{km}$. Siksi samalla mittalaitteella yksityiskohdat näkyvät paljon epätarkempina. Toiseksi geostationaarinen rata on päiväntasaajan tasossa, joten se näkee Suomen hyvin vinosta kulmasta, matalalla horisontin yllä, eikä napa-alueita lainkaan. Napojen yli kiertävä satelliitti kulkee noin $830\,\text{km}$:n korkeudella jokaisella kierroksella pohjoisen alueiden yli. Siksi molempia ratoja käytetään: geostationaarisia jatkuvaan seurantaan ja napojen yli kiertäviä tarkkoihin mittauksiin.

Yleisiä virheitä

  • Radan säteeksi sijoitetaan korkeus $h$ eikä etäisyys Maan keskipisteestä $R + h$.
  • Kilometrejä ei muunneta metreiksi ennen sijoitusta kaavaan, jossa gravitaatiovakion yksikössä on metri.
  • b-kohdassa osuus lasketaan etäisyyksien suhteesta ilman neliötä, jolloin saadaan noin $88\,\%$.
  • c-kohdassa Maan pyörähdysajaksi otetaan $24\,\text{h}$; ero on pieni, mutta annettu arvo on $23\,\text{h}\;56\,\text{min}$.

Hyväksytään myös

  • a-kohdassa kiertoaika suoraan kaavasta $T = 2\pi\sqrt{\tfrac{r^3}{\gamma M}}$, sama tulos.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Perustelee, että Maan gravitaatiovoima on satelliitin ainoa voima ja siis keskipisteeseen osoittava kokonaisvoima. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $\gamma\dfrac{Mm}{r^2} = m\dfrac{v^2}{r}$, joten $v = \sqrt{\dfrac{\gamma M}{r}}$, ja $T = \dfrac{2\pi r}{v}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $r = R + h = 7201\,\text{km}$; $v \approx 7440\,\text{m/s}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $T = \dfrac{2\pi \cdot 7{,}201 \cdot 10^{6}\,\text{m}}{7438\,\text{m/s}} \approx 6083\,\text{s} \approx 101\,\text{min}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $v \approx 7{,}44\,\text{km/s}$ ja $T \approx 101\,\text{min}$ kolmella merkitsevällä numerolla 1 p

b)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $F = \gamma\dfrac{Mm}{(R + h)^2}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $F = \dfrac{3{,}984 \cdot 10^{14} \cdot 4100}{(7{,}201 \cdot 10^{6})^2}\,\text{N} \approx 31{,}5\,\text{kN}$, kun $\gamma M = 3{,}984 \cdot 10^{14}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}}$ 1 p
Vertaa painoon $mg \approx 40{,}2\,\text{kN}$: voima on noin $78\,\%$ painosta, sama kuin $\left(\tfrac{R}{R + h}\right)^2$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $F \approx 31{,}5\,\text{kN}$ kolmella merkitsevällä numerolla ja osuus noin $78\,\%$ 1 p

c)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Kiertymä on $360^\circ \cdot \dfrac{T}{T_\text{Maa}}$ ja päiväntasaajan kohdan matka $2\pi R \cdot \dfrac{T}{T_\text{Maa}}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\dfrac{6083\,\text{s}}{86\,160\,\text{s}} \cdot 360^\circ \approx 25{,}4^\circ$ ja $2\pi \cdot 6371\,\text{km} \cdot 0{,}0706 \approx 2830\,\text{km}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $25{,}4^\circ$ ja noin $2830\,\text{km}$ kolmella merkitsevällä numerolla 1 p

d)3 p

Perustelee etäisyydellä: geostationaarinen rata on yli $40$ kertaa kauempana kuin $830\,\text{km}$, joten samalla laitteella yksityiskohdat näkyvät paljon epätarkempina. 1 p
Perustelee radan paikalla: geostationaarinen rata on päiväntasaajan tasossa, joten se näkee Suomen hyvin vinosta kulmasta eikä napa-alueita lainkaan; napojen yli kiertävä satelliitti kulkee jokaisella kierroksella pohjoisen yli. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Ehdotuksessa on hyvä puoli, jatkuva näkyvyys, mutta tarkkoihin pohjoisiin mittauksiin matala napojen yli kulkeva rata sopii paremmin. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (15 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

3.4-3 Keskeisvoima pyörivällä alustalla 20 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Aineisto on keksitty esimerkki: voimat on laskettu ympyräliikkeen liikeyhtälöstä, ja niihin on lisätty mittausten kaltaista vaihtelua.

Fysiikan tunnilla tutkittiin pyörivää alustaa. Alustalla on kiskot, joilla pieni kärry kulkee lähes kitkatta. Kärry on kiinni langalla, joka kulkee alustan pyörimisakselilla olevaan voima-anturiin. Kärryn painopisteen etäisyys akselista pidettiin koko ajan samana, $0{,}250\,\text{m}$, ja kärryn massa punnittiin: $0{,}200\,\text{kg}$. Alustaa pyöritettiin moottorilla tasaisesti eri nopeuksilla. Kymmenen kierroksen aika mitattiin sekuntikellolla, ja voima luettiin anturin näytöltä.

$10T\ (\text{s})$ $F\ (\text{N})$
$6{,}0$ $5{,}42$
$7{,}0$ $4{,}07$
$8{,}0$ $3{,}05$
$9{,}5$ $2{,}21$
$11{,}0$ $1{,}65$
$13{,}0$ $1{,}19$
$15{,}0$ $0{,}88$
  1. a) Esitä langan voima kierrosajan funktiona kuvaajana. Perustele, miksi pisteisiin ei sovi suora. 4 p
  2. b) Muodosta aineistosta suure, jonka funktiona langan voiman kuvaaja on suora, kun kärryn massa ja etäisyys akselista pysyvät samoina. Perustele valintasi. Esitä kuvaaja ja sovita pisteisiin suora. 6 p
  3. c) Määritä suoran kulmakerroin. Määritä sen avulla kärryn massa ja vertaa tulosta punnittuun massaan. 5 p
  4. d) Valmistajan mukaan lanka kestää enintään $8{,}0\,\text{N}$:n voiman. Mikä on lyhin kierrosaika, jolla alustaa saa pyörittää tällä kärryllä ja etäisyydellä? Arvioi, kuinka luotettava ennuste on. 5 p

Taidot luvuista: Normaalikiihtyvyys ja ympyräliikkeen liikeyhtälö, Ympyrärata: jaksonaika ja ratanopeus, Graafinen esitys ja suoran sovittaminen

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

langan voiman kuvaaja kierrosajan funktiona ja perustelu sille, miksi pisteisiin ei sovi suora

Kuvaaja

Kierrosaika saadaan jakamalla kymmenen kierroksen aika kymmenellä: $T$ on $0{,}60\,\text{s}$, $0{,}70\,\text{s}$, $0{,}80\,\text{s}$, $0{,}95\,\text{s}$, $1{,}10\,\text{s}$, $1{,}30\,\text{s}$ ja $1{,}50\,\text{s}$. Vaaka-akselilla on $T\ (\text{s})$ ja pystyakselilla $F\ (\text{N})$. Pisteitä ei yhdistetä murtoviivaksi.

$0{,}4$
$0{,}8$
$1{,}2$
$1{,}6$
$2$
$4$
$6$
$0$
$T\ (\text{s})$
$F\ (\text{N})$
$\text{ei suora}$

Mallivastaus

Pisteet asettuvat alaspäin kaartuvalle käyrälle, joka loivenee kierrosajan kasvaessa. Kun kierrosaika puolittuu $1{,}20\,\text{s}$:sta $0{,}60\,\text{s}$:iin, voima ei kaksinkertaistu vaan kasvaa noin nelinkertaiseksi, joten riippuvuus ei ole lineaarinen. Fysiikka selittää tämän: kärry kulkee ympyrää, ja langan voima on sen keskipisteeseen osoittava kokonaisvoima $m\tfrac{v^2}{r}$. Lyhyempi kierrosaika tarkoittaa suurempaa ratanopeutta, ja tarvittava voima kasvaa nopeuden neliön mukaan.

b)

Kysytty

suure, jonka funktiona voiman kuvaaja on suora, perustelu, kuvaaja ja sovitettu suora

Kuvaaja

Ympyräliikkeen liikeyhtälöstä $F = m\tfrac{v^2}{r}$ ja ratanopeudesta $v = \tfrac{2\pi r}{T}$ saadaan $F = \dfrac{4\pi^2 mr}{T^2} = 4\pi^2 mr \cdot \dfrac{1}{T^2}$. Kun $m$ ja $r$ ovat vakioita, $F$ on suoraan verrannollinen suureeseen $\tfrac{1}{T^2}$. Lasketaan taulukkoon: $\tfrac{1}{T^2}$ on $2{,}78$, $2{,}04$, $1{,}56$, $1{,}11$, $0{,}83$, $0{,}59$ ja $0{,}44\,\tfrac{1}{\text{s}^2}$. Vaaka-akselilla on $\tfrac{1}{T^2}\ (\tfrac{1}{\text{s}^2})$ ja pystyakselilla $F\ (\text{N})$. Pisteisiin sovitetaan suora, joka kulkee pisteiden läpi niin, että pisteitä jää molemmille puolille.

$1$
$2$
$3$
$4$
$2$
$4$
$6$
$8$
$0$
$1/T^2\ (1/\text{s}^2)$
$F\ (\text{N})$
$8{,}0\,\text{N}$
$k \approx 1{,}95\,\text{N}\cdot\text{s}^2$

Mallivastaus

Pisteet ovat lähes suoralla, joten malli $F \propto \tfrac{1}{T^2}$ sopii aineistoon. Todellisissa mittaussarjoissa mittauspisteet eivät yleensä sijaitse täsmälleen samalla suoralla mittausepävarmuuden vuoksi. Sovitettu suora leikkaa pystyakselin lähellä origoa, noin $0{,}03\,\text{N}$:n kohdalla, mikä sopii malliin: jos alusta ei pyöri, lanka ei vedä kärryä. Suoran kulmakerroin kertoo, kuinka paljon voimaa tarvitaan suureen $\tfrac{1}{T^2}$ yksikköä kohti.

c)

Annettu

sovitetun suoran pisteet $(0{,}50\,\tfrac{1}{\text{s}^2}; 1{,}01\,\text{N})$ ja $(2{,}50\,\tfrac{1}{\text{s}^2}; 4{,}91\,\text{N})$; säde $r = 0{,}250\,\text{m}$; punnittu massa $0{,}200\,\text{kg}$

Kysytty

suoran kulmakerroin $k$ ja siitä määritetty kärryn massa $m$

Periaate

Mallin mukaan $F = 4\pi^2 mr \cdot \tfrac{1}{T^2}$, joten suoran kulmakerroin on $k = 4\pi^2 mr$. Kulmakerroin luetaan kahdesta kaukana toisistaan olevasta sovitetun suoran pisteestä, ei mittauspisteistä (luvut Normaalikiihtyvyys ja ympyräliikkeen liikeyhtälö ja Graafinen esitys ja suoran sovittaminen).

Kuvaajan lukeminen

Suoralta luetaan pisteet $\tfrac{1}{T^2} = 0{,}50\,\tfrac{1}{\text{s}^2}$, $F = 1{,}01\,\text{N}$ ja $\tfrac{1}{T^2} = 2{,}50\,\tfrac{1}{\text{s}^2}$, $F = 4{,}91\,\text{N}$, jotka on kuvaajassa ympyröity.

Kaava

$k = \dfrac{\Delta F}{\Delta(1/T^2)}$ ja $k = 4\pi^2 mr$, joten $m = \dfrac{k}{4\pi^2 r}$

Muunnokset

Ei tarvita: $\text{N} \cdot \text{s}^2 = \text{kg} \cdot \text{m}$, joten $\tfrac{\text{N} \cdot \text{s}^2}{\text{m}} = \text{kg}$.

Sijoitus

$k$$= \dfrac{4{,}91\,\text{N} - 1{,}01\,\text{N}}{2{,}50\,\tfrac{1}{\text{s}^2} - 0{,}50\,\tfrac{1}{\text{s}^2}}$
$= \dfrac{3{,}90\,\text{N}}{2{,}00\,\tfrac{1}{\text{s}^2}}$
$= 1{,}95\,\text{N} \cdot \text{s}^2$
$m$$= \dfrac{1{,}95\,\text{N} \cdot \text{s}^2}{4\pi^2 \cdot 0{,}250\,\text{m}}$
$= 0{,}1976\,\text{kg}$

Vastaus

$k \approx 1{,}95\,\text{N} \cdot \text{s}^2$

Ja $m \approx 0{,}198\,\text{kg}$, kolme merkitsevää numeroa kuten säteessä $0{,}250\,\text{m}$ ja voimissa. Tulos on noin $1\,\%$ punnittua massaa $0{,}200\,\text{kg}$ pienempi.

Järkevyys

Ero on pienempi kuin mittausten epävarmuus: käsin ajastetun kymmenen kierroksen epävarmuus on noin $0{,}2\,\text{s}$ eli lyhyimmällä kierrosajalla noin $3\,\%$, ja voima riippuu kierrosajan neliöstä. Massan ja voiman yksiköt sopivat yhteen:

$\tfrac{\text{N} \cdot \text{s}^2}{\text{m}}$$= \tfrac{\text{kg} \cdot \text{m/s}^2 \cdot \text{s}^2}{\text{m}}$
$= \text{kg}$

d)

Annettu

langan suurin sallittu voima $F_\text{max} = 8{,}0\,\text{N}$; c-kohdasta $k = 1{,}95\,\text{N} \cdot \text{s}^2$; vakiotermi noin $0{,}03\,\text{N}$

Kysytty

lyhin sallittu kierrosaika $T_\text{min}$ ja ennusteen luotettavuus

Periaate

Lyhyempi kierrosaika vaatii suuremman voiman, joten lyhin sallittu kierrosaika on se, jolla langan voima on $8{,}0\,\text{N}$. Se saadaan sovitetun suoran yhtälöstä, kun vakiotermi jätetään pienenä huomiotta. Arvo on mitatun alueen ulkopuolella, joten kyse on ekstrapoloinnista (luku Normaalikiihtyvyys ja ympyräliikkeen liikeyhtälö).

Kuvaajan lukeminen

Suoran jatke saavuttaa voiman $8{,}0\,\text{N}$, kun $\tfrac{1}{T^2} \approx 4{,}1\,\tfrac{1}{\text{s}^2}$, kuten kuvaajan oranssi apuviiva näyttää.

Kaava

$F_\text{max}$$= k \cdot \dfrac{1}{T_\text{min}^2}$

joten

$T_\text{min}$$= \sqrt{\dfrac{k}{F_\text{max}}}$

Muunnokset

Ei tarvita: $\sqrt{\tfrac{\text{N} \cdot \text{s}^2}{\text{N}}} = \text{s}$.

Sijoitus

$T_\text{min}$$= \sqrt{\dfrac{1{,}95\,\text{N} \cdot \text{s}^2}{8{,}0\,\text{N}}}$
$= \sqrt{0{,}244\,\text{s}^2}$
$= 0{,}494\,\text{s}$

Vastaus

$T_\text{min} \approx 0{,}49\,\text{s}$

Eli noin $2$ kierrosta sekunnissa, kaksi merkitsevää numeroa kuten langan kestävyydessä $8{,}0\,\text{N}$.

Järkevyys

Lyhin mitattu kierrosaika oli $0{,}60\,\text{s}$ ja voima $5{,}42\,\text{N}$. Voima kasvaa kierrosajan neliön käänteisluvun mukaan:

$5{,}42\,\text{N} \cdot \left(\tfrac{0{,}60}{0{,}49}\right)^2$
$\approx 8{,}1\,\text{N}$

joten tulos on johdonmukainen. Ennuste on ekstrapolointi: $\tfrac{1}{T^2} \approx 4{,}1\,\tfrac{1}{\text{s}^2}$, kun suurin mitattu arvo on $2{,}8\,\tfrac{1}{\text{s}^2}$. Se pätee, jos kärry pysyy samalla etäisyydellä eikä lanka veny. Lisäksi kierrosajan epävarmuus on muutaman prosentin luokkaa, joten turvallinen kierrosaika valitaan selvästi pidemmäksi, esimerkiksi vähintään $0{,}6\,\text{s}$.

Yleisiä virheitä

  • Vaaka-akselille piirretään kymmenen kierroksen aika eikä kierrosaikaa, jolloin kulmakerroin on sata kertaa liian suuri.
  • Linearisoinnissa piirretään $F$ suureen $\tfrac{1}{T}$ funktiona; kuvaaja kaartuu yhä.
  • Kulmakerroin lasketaan kahdesta vierekkäisestä mittauspisteestä eikä sovitetulta suoralta.
  • c-kohdassa unohdetaan $4\pi^2$ tai käytetään halkaisijaa säteen paikalla.
  • d-kohdassa lasketaan tulos mutta ei kerrota, että se on mitatun alueen ulkopuolella.

Hyväksytään myös

  • b-kohdassa kuvaaja $F$ suureen $\tfrac{1}{(10T)^2}$ tai $f^2$ funktiona, kun $f = \tfrac{1}{T}$; kulmakerroin tulkitaan silloin vastaavasti.
  • c-kohdassa laskimen tai taulukkolaskentaohjelman antama sovitus, noin $1{,}95\,\text{N} \cdot \text{s}^2$, ja massa $0{,}197\text{–}0{,}198\,\text{kg}$.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. Vaaka-akselilla kierrosaika $T\ (\text{s})$, ei kymmenen kierroksen aika; pystyakselilla $F\ (\text{N})$. 1 p
Jokainen mittaus on merkitty erillisenä pisteenä oikealle paikalleen. 1 p
Perustelee kuvaajan kaarevuudella ja fysiikalla: voima pienenee nopeammin kuin kierrosaika kasvaa, ja nopea pyöriminen vaatii paljon suuremman voiman, koska normaalikiihtyvyys kasvaa nopeuden neliön mukaan. 2 p

b)6 p

Perustelee linearisoinnin: $F = m\tfrac{v^2}{r}$ ja $v = \tfrac{2\pi r}{T}$ antavat $F = 4\pi^2 mr \cdot \tfrac{1}{T^2}$, joten $F$ on suoraan verrannollinen suureeseen $\tfrac{1}{T^2}$. 2 p
Laskee taulukkoon kierrosajat $T$ ja suureen $\tfrac{1}{T^2}$ arvot oikein yksikköineen. 1 p
Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. Vaaka-akselilla $\tfrac{1}{T^2}\ (\tfrac{1}{\text{s}^2})$, pystyakselilla $F\ (\text{N})$. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii, eikä pisteitä ole yhdistetty murtoviivaksi. Sovitettu suora kulkee pisteiden läpi lähes origon kautta; pisteet eivät yleensä ole tarkalleen suoralla. 2 p

c)5 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Kulmakerroin luetaan kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä, esimerkiksi $(0{,}50; 1{,}01)$ ja $(2{,}50; 4{,}91)$: $k \approx 1{,}95\,\text{N}\cdot\text{s}^2$. 1 p
Tulkitsee kulmakertoimen: mallin mukaan $k = 4\pi^2 mr$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $m = \dfrac{k}{4\pi^2 r}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $m = \dfrac{1{,}95\,\text{N}\cdot\text{s}^2}{4\pi^2 \cdot 0{,}250\,\text{m}} \approx 0{,}198\,\text{kg}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $m \approx 0{,}198\,\text{kg}$, noin $1\,\%$ punnittua massaa pienempi: tulokset sopivat yhteen mittausten tarkkuudella 1 p

d)5 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Suoralta: $F = k \cdot \tfrac{1}{T^2}$, joten $T_\text{min} = \sqrt{\dfrac{k}{F_\text{max}}}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $T_\text{min} = \sqrt{\dfrac{1{,}95\,\text{N}\cdot\text{s}^2}{8{,}0\,\text{N}}} \approx 0{,}49\,\text{s}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $T_\text{min} \approx 0{,}49\,\text{s}$ eli noin $2$ kierrosta sekunnissa, kaksi merkitsevää numeroa 1 p
Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Ennuste on ekstrapolointi mitatun alueen ulkopuolelle: $\tfrac{1}{T^2} \approx 4{,}1\,\tfrac{1}{\text{s}^2}$, kun suurin mitattu arvo on $2{,}8\,\tfrac{1}{\text{s}^2}$. Se pätee, jos malli pysyy voimassa. 1 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Käsin ajastetun kymmenen kierroksen epävarmuus on noin $0{,}2\,\text{s}$; turvallisuuden vuoksi lyhyintä kierrosaikaa ei kannata käyttää, vaan jätetään varmuusmarginaali. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 20 (17 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

3.4-4 Pyörivä avaruusasema 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Avaruusaseman suunnitelma ja sen luvut ovat keksitty esimerkki.

Pitkillä avaruuslennoilla painottomuus heikentää astronauttien luustoa ja lihaksia. Tiedeartikkelissa esitellään suunnitelma renkaan muotoisesta avaruusasemasta, joka kiertää Maata noin $400\,\text{km}$:n korkeudella ja pyörii samalla tasaisesti oman akselinsa ympäri. Renkaan säde on $110\,\text{m}$, ja astronautit kävelevät renkaan ulkoseinän sisäpinnalla, joka toimii lattiana.

Maan gravitaatio vaikuttaa asemaan ja kaikkeen sen sisällä samalla tavalla, joten aseman sisäisiä liikkeitä tarkasteltaessa sen voi jättää huomiotta.

  1. a) Artikkelissa lukee: ”Nykyisillä asemilla astronautit leijuvat, koska $400\,\text{km}$:n korkeudella ei enää ole painovoimaa.” Arvioi väite. 5 p
  2. b) Selitä, miksi astronautti tuntee pyörivän renkaan lattialla seisoessaan olevansa painava. Mihin suuntaan hänelle on ”alas”? Arvioi kierrosaika, jolla lattia painaa astronauttia yhtä suurella voimalla kuin Maan pinta. 5 p
  3. c) Astronautti pitää avainta kädessään ja päästää siitä irti. Kuvaa ja selitä, miten avain liikkuu aseman ulkopuolelta katsottuna ja miltä sen liike näyttää astronautista. 5 p

Taidot luvuista: Normaalikiihtyvyys ja ympyräliikkeen liikeyhtälö, Satelliitit ja planeetat ympyräradalla, Ympyrärata: jaksonaika ja ratanopeus

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

pitääkö väite paikkansa, että $400\,\text{km}$:n korkeudella ei ole painovoimaa

Periaate

Gravitaatiokentän voimakkuus $g = \gamma\tfrac{M}{r^2}$ pienenee etäisyyden neliön mukaan mutta ei muutu nollaksi. Painottomuus on vapaata putoamista: kappaleeseen vaikuttaa vain gravitaatio, ja tukivoima on nolla (luku Satelliitit ja planeetat ympyräradalla).

Mallivastaus

Väite on väärä. $400\,\text{km}$:n korkeudella etäisyys Maan keskipisteestä on $6771\,\text{km}$, vain noin $6\,\%$ enemmän kuin maanpinnalla. Kentän voimakkuus on siellä $\gamma\tfrac{M}{r^2} = \tfrac{6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24}}{(6{,}771 \cdot 10^{6})^2}\,\text{m/s}^2 \approx 8{,}7\,\text{m/s}^2$ eli lähes $90\,\%$ maanpinnan arvosta. Juuri gravitaatio pitää aseman radallaan: se on aseman ainoa voima ja kääntää sen nopeuden suuntaa koko ajan. Ilman gravitaatiota asema jatkaisi suoraan pois radaltaan. Astronautit leijuvat, koska asema ja astronautti putoavat vapaasti yhdessä: kumpikin saa saman kiihtyvyyden kohti Maata. Lattia ei siksi paina astronauttia, tukivoima on nolla, ja vaaka näyttäisi nollaa, vaikka paino vaikuttaa koko ajan.

b)

Kysytty

miksi astronautti tuntee itsensä painavaksi pyörivän renkaan lattialla, mihin suuntaan on ”alas”, ja millä kierrosajalla lattian voima vastaa Maan pintaa

Periaate

Renkaan mukana kulkeva astronautti on tasaisessa ympyräliikkeessä, joten häneen vaikuttavien voimien summa osoittaa renkaan keskipisteeseen: $\Sigma F = m\tfrac{v^2}{r}$. Ratanopeus on $v = \tfrac{2\pi r}{T}$ (luvut Normaalikiihtyvyys ja ympyräliikkeen liikeyhtälö ja Ympyrärata: jaksonaika ja ratanopeus).

Mallivastaus

Aseman sisällä astronauttiin vaikuttaa vain lattian tukivoima, kun Maan gravitaatio jätetään huomiotta, koska se vaikuttaa asemaan samalla tavalla. Astronautti kulkee renkaan mukana ympyrää, joten hänen kokonaisvoimansa on osoitettava renkaan keskipisteeseen. Ulkoseinä eli lattia painaa siksi hänen jalkapohjiaan kohti keskipistettä voimalla $N = m\tfrac{v^2}{r}$. Sama painallus jalkapohjissa tuntuu Maan pinnalla painon tukemiselta, joten astronautti tuntee itsensä painavaksi, ja ”alas” on poispäin renkaan keskipisteestä, kohti ulkoseinää. Ulospäin vaikuttavaa keskipakoisvoimaa ei ole: ilman lattiaa astronautti jatkaisi suoraan. Lattia painaa yhtä suurella voimalla kuin Maan pinta, kun $\tfrac{v^2}{r} = g$. Kun $v = \tfrac{2\pi r}{T}$, saadaan $T = 2\pi\sqrt{\tfrac{r}{g}} = 2\pi\sqrt{\tfrac{110\,\text{m}}{9{,}81\,\text{m/s}^2}} \approx 21\,\text{s}$, eli rengas pyörii noin kolme kierrosta minuutissa, ja lattian ratanopeus on noin $33\,\text{m/s}$.

c)

Kysytty

avaimen liike irrottamisen jälkeen aseman ulkopuolelta katsottuna ja astronautin näkökulmasta

Periaate

Kun kappaleeseen ei vaikuta voimia, se jatkaa Newtonin ensimmäisen lain mukaan tasaista suoraviivaista liikettä sillä nopeudella, joka sillä oli. Ympyräradalla nopeus on radan tangentin suuntainen (luku Ympyrärata: jaksonaika ja ratanopeus).

Mallivastaus

Kädessä avain kiertää ympyrää astronautin mukana, ja käsi antaa sille keskipisteeseen osoittavan voiman. Kun astronautti päästää irti, avaimeen ei enää vaikuta voimia, koska Maan gravitaatio jätetään huomiotta. Ulkopuolelta katsottuna avain jatkaa siksi suoraan radan tangentin suuntaan sillä nopeudella, joka sillä oli irtoamishetkellä. Lattia kuitenkin kaartaa avaimen radan ali, joten suora rata osuu hetken kuluttua lattiaan. Astronautista näyttää siltä, että avain putoaa ”alas” lattialle aivan kuin Maassa. Avain ei kiihdy ulospäin, eikä mikään voima työnnä sitä: lattia tulee sitä vastaan. Koska käsi on lähempänä keskipistettä kuin lattia, käden ratanopeus on hieman pienempi kuin lattian, joten avain osuu lattiaan hieman taaempana kuin suoraan jalkojen kohdalla, pyörimissuuntaa vastaan.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa painottomuus selitetään sillä, että gravitaatio puuttuu, tai sillä, että keskipakoisvoima kumoaa sen.
  • b-kohdassa piirretään astronautille ulospäin vaikuttava keskipakoisvoima, joka pitää hänet lattiaa vasten.
  • b-kohdassa kierrosaika lasketaan kaavasta $T = \tfrac{2\pi r}{v}$ ilman nopeutta tai sijoitetaan halkaisija säteen paikalle.
  • c-kohdassa avaimen sanotaan lentävän säteen suuntaisesti ulospäin.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Laskee tai arvioi, että gravitaatiokentän voimakkuus $400\,\text{km}$:n korkeudella on $\gamma\tfrac{M}{(R + h)^2} \approx 8{,}7\,\text{m/s}^2$ eli lähes $90\,\%$ maanpinnan arvosta. 2 p
Selittää, että gravitaatio on aseman ja astronautin ainoa voima ja pitää ne radallaan: ilman sitä asema jatkaisi suoraan. 1 p
Selittää painottomuuden vapaana putoamisena: asema ja astronautti saavat saman kiihtyvyyden, joten lattia ei paina astronauttia ja tukivoima on nolla. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite on väärä: painovoima vaikuttaa, mutta astronautit putoavat vapaasti yhdessä aseman kanssa. 1 p

b)5 p

Selittää, että astronautti kulkee ympyrärataa renkaan mukana, joten häneen vaikuttavan kokonaisvoiman on osoitettava renkaan keskipisteeseen: sen antaa lattian tukivoima $N = m\tfrac{v^2}{r}$. 2 p
Selittää, että lattian painallus jalkapohjiin tuntuu samalta kuin painon tukeminen Maan pinnalla, joten ”alas” on poispäin renkaan keskipisteestä; ulospäin vaikuttavaa keskipakoisvoimaa ei ole. 1 p
Arvioi kierrosajan ehdosta $\tfrac{v^2}{r} = g$ ja $v = \tfrac{2\pi r}{T}$: $T = 2\pi\sqrt{\tfrac{r}{g}} \approx 21\,\text{s}$ eli noin kolme kierrosta minuutissa. 2 p

c)5 p

Selittää, että irrottuaan avaimeen ei vaikuta voimaa (Maan gravitaatio jätetään huomiotta), joten se jatkaa suoraviivaisesti sillä nopeudella, joka sillä oli irtoamishetkellä: radan tangentin suuntaan. 2 p
Selittää, että lattia kääntyy avaimen alla, kunnes avain osuu lattiaan; astronautista avain näyttää putoavan ”alas” kohti lattiaa. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Mikään voima ei työnnä avainta ulospäin; avain ei kiihdy, vaan lattia tulee sitä vastaan. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (10 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

3.4-5 Kiven massa metrimitalla 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Raportti ja sen luvut ovat keksitty esimerkki.

Opiskelija määritti kiven massan metrimitan ja tunnetun punnuksen avulla. Ote hänen raportistaan:

Asetin metrimitan vaakasuoraan tukiterän päälle. Terä oli mitan kohdassa $40{,}0\,\text{cm}$, koska siinä mitta pysyi parhaiten paikallaan. Ripustin $200\,\text{g}$:n punnuksen kohtaan $10{,}0\,\text{cm}$ ja kiven langalla terän toiselle puolelle. Siirtelin kiveä, kunnes mitta pysyi vaakasuorassa: kohta oli $82{,}0\,\text{cm}$. Momenttiehdosta $m_\text{k} \cdot 42{,}0\,\text{cm} = 200\,\text{g} \cdot 30{,}0\,\text{cm}$, joten $m_\text{k} = 142{,}857\,\text{g}$. Keittiövaaka näytti kivelle $113\,\text{g}$. Ero johtuu tukiterän kitkasta.

Metrimitta on tasapaksu, ja sen massa on $120\,\text{g}$. Lankojen massat ovat merkityksettömän pieniä.

  1. a) Laske kiven massa raportin mittauksista. Vertaa tulosta keittiövaa'an lukemaan. 5 p
  2. b) Arvioi raportin johtopäätöstä ja mittauksen luotettavuutta. Nimeä raportin puutteet ja perustele ne. 5 p
  3. c) Suunnittele parannettu koe, jolla kiven massa saadaan luotettavasti samoilla välineillä. Kerro, mitä mitataan, mitä pidetään vakiona ja miten tulos määritetään. 5 p

Taidot luvuista: Kappaleen tasapaino: voimat ja momentit, Momentti: voiman kiertävä vaikutus, Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus, Oma kokeellinen tutkimus: suunnittelu, toteutus ja raportointi

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

tukiterä kohdassa $40{,}0\,\text{cm}$; punnus $m_\text{p} = 200\,\text{g}$ kohdassa $10{,}0\,\text{cm}$; kivi kohdassa $82{,}0\,\text{cm}$; metrimitta $m_\text{m} = 120\,\text{g}$, tasapaksu, painopiste kohdassa $50{,}0\,\text{cm}$; vaa'an lukema $113\,\text{g}$

Kysytty

kiven massa $m_\text{k}$ ja vertailu vaa'an lukemaan

Periaate

Mitta on levossa, joten momenttien summa terän suhteen on nolla. Terä ei ole mitan painopisteessä, joten myös mitan paino kiertää mittaa: sen varsi on $10{,}0\,\text{cm}$, ja se kiertää samaan suuntaan kuin kivi. Voimat ovat pystysuoria ja mitta vaakasuora, joten varret ovat etäisyydet terästä (luku Kappaleen tasapaino: voimat ja momentit).

Kaava

$m_\text{p} g \cdot 30{,}0\,\text{cm} - m_\text{k} g \cdot 42{,}0\,\text{cm} - m_\text{m} g \cdot 10{,}0\,\text{cm}$
$= 0$

joten $g$ supistuu ja

$m_\text{k}$$= \dfrac{m_\text{p} \cdot 30{,}0\,\text{cm} - m_\text{m} \cdot 10{,}0\,\text{cm}}{42{,}0\,\text{cm}}$

Muunnokset

Ei tarvita: senttimetrit supistuvat, ja massa saadaan grammoina.

Sijoitus

$m_\text{k} \cdot 42{,}0\,\text{cm}$$= 200\,\text{g} \cdot 30{,}0\,\text{cm} - 120\,\text{g} \cdot 10{,}0\,\text{cm}$
$= 6000\,\text{g} \cdot \text{cm} - 1200\,\text{g} \cdot \text{cm}$
$= 4800\,\text{g} \cdot \text{cm}$

joten

$m_\text{k}$$= \dfrac{4800\,\text{g} \cdot \text{cm}}{42{,}0\,\text{cm}}$
$= 114{,}3\,\text{g}$

Vastaus

$m_\text{k} \approx 114\,\text{g}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten mitatuissa paikoissa. Tulos poikkeaa vaa'an lukemasta $113\,\text{g}$ noin $1\,\%$.

Järkevyys

Tasapainokohdan lukeminen $\pm 0{,}5\,\text{cm}$ muuttaa tulosta noin $\pm 1{,}5\,\text{g}$, joten ero vaa'an lukemaan mahtuu mittauksen tarkkuuteen. Raportin $142{,}9\,\text{g}$ on $26\,\%$ liian suuri, koska mitan oman painon momentti $1200\,\text{g} \cdot \text{cm}$ jäi pois.

b)

Kysytty

raportin johtopäätöksen ja luotettavuuden arviointi ja puutteiden perustelut

Periaate

Momenttiehtoon kuuluvat kaikki voimat, joilla on varsi valitun pisteen suhteen. Systemaattinen virhe siirtää tulosta yhteen suuntaan, satunnainen hajottaa tuloksia molempiin suuntiin (luvut Kappaleen tasapaino: voimat ja momentit ja Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus).

Mallivastaus

Raportin johtopäätös on väärä. Suurin puute on laskumallissa: tukiterä ei ollut mitan painopisteessä, joten mitan oma paino vaikutti varrella $10{,}0\,\text{cm}$ ja kiersi mittaa samaan suuntaan kuin kivi. Kun sen momentti jätettiin pois, kiven momentiksi jäi liikaa, ja tulos oli systemaattisesti noin $26\,\%$ liian suuri. Oikealla momenttiehdolla tulos on $114\,\text{g}$, ja ero vaakaan on vain noin $1\,\%$. Kitka ei selitä eroa: terän kitka tekisi tasapainokohdasta hieman epätarkan kumpaankin suuntaan, mutta ei aiheuttaisi suurta yhdensuuntaista virhettä. Lisäksi raportti ei perustele kitkaa millään havainnolla. Mittaus tehtiin vain kerran, joten satunnaisen virheen suuruutta ei voi arvioida. Epävarmuus puuttuu kokonaan, ja tulos $142{,}857\,\text{g}$ ilmoittaa liikaa numeroita: tasapainokohdan lukeminen noin $\pm 0{,}5\,\text{cm}$ tarkkuudella muuttaa massaa noin $\pm 1{,}5\,\text{g}$.

c)

Kysytty

parannetun kokeen suunnitelma samoilla välineillä

Periaate

Luotettava tulos saadaan, kun malli sisältää kaikki voimat, mittauksia on useita ja tulos määritetään kuvaajasta sovituksella. Suure, joka pidetään vakiona, kirjataan (luvut Kappaleen tasapaino: voimat ja momentit ja Oma kokeellinen tutkimus: suunnittelu, toteutus ja raportointi).

Mallivastaus

Yksinkertaisin parannus on asettaa tukiterä mitan painopisteeseen kohtaan $50{,}0\,\text{cm}$, jolloin mitan painon varsi on nolla. Ensin tarkistetaan, että tyhjä mitta pysyy vaakasuorassa. Tukipiste ja kiven lanka pidetään koko kokeen ajan samoina. Punnus ripustetaan vuorotellen esimerkiksi viiteen eri etäisyyteen terästä, ja joka kerta etsitään kiven tasapainokohta ja luetaan sen etäisyys $d_\text{k}$ terästä. Jokainen tasapaino toistetaan kolme kertaa, ja tuloksista lasketaan keskiarvo. Momenttiehdosta $m_\text{p} d_\text{p} = m_\text{k} d_\text{k}$, joten punnuksen momentin $m_\text{p} d_\text{p}$ kuvaaja kiven varren $d_\text{k}$ funktiona on origon kautta kulkeva suora, jonka kulmakerroin on kiven massa. Jos terä jätetään muualle kuin painopisteeseen, suoraan tulee vakiotermi, joka on mitan painon momentti, ja kulmakerroin on silti kiven massa. Epävarmuus arvioidaan pisteiden hajonnasta tai jyrkimmän ja loivimman suoran avulla, ja tulosta verrataan vaa'an lukemaan epävarmuuksineen.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa mitan paino otetaan mukaan, mutta sen varreksi laitetaan $50{,}0\,\text{cm}$ eli etäisyys mitan päästä eikä terästä.
  • a-kohdassa mitan painon momentti lisätään punnuksen puolelle, vaikka painopiste on kiven puolella.
  • b-kohdassa todetaan vain, että mittauksia pitää toistaa, eikä löydetä mallin systemaattista virhettä.
  • c-kohdassa ehdotetaan parempaa vaakaa, vaikka tehtävä pyytää samoja välineitä.

Hyväksytään myös

  • c-kohdassa kiinteä punnuksen paikka ja usean tunnetun punnuksen sarja, kun kuvaaja ja sen tulkinta ovat perusteltuja.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Huomaa, että metrimitan paino vaikuttaa sen painopisteessä kohdassa $50{,}0\,\text{cm}$, $10{,}0\,\text{cm}$ terän oikealla puolella, ja kiertää mittaa samaan suuntaan kuin kivi. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Momenttiehto terän suhteen: $m_\text{p} g \cdot 30{,}0\,\text{cm} = m_\text{k} g \cdot 42{,}0\,\text{cm} + m_\text{m} g \cdot 10{,}0\,\text{cm}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $m_\text{k} \cdot 42{,}0\,\text{cm} = 200\,\text{g} \cdot 30{,}0\,\text{cm} - 120\,\text{g} \cdot 10{,}0\,\text{cm}$, joten $m_\text{k} \approx 114\,\text{g}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $m_\text{k} \approx 114\,\text{g}$ kolmella merkitsevällä numerolla 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Tulos poikkeaa vaa'an lukemasta vain noin $1\,\%$, joten oikein laskettu tulos sopii mittauksen tarkkuuteen. 1 p

b)5 p

Tärkeimmät virhelähteet on nimetty ja kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. Pääsyy on systemaattinen laskuvirhe: metrimitan oman painon momentti jäi pois, koska tukipiste ei ollut mitan painopisteessä. Se selittää lähes koko $26\,\%$:n eron. 2 p
Perustelee, että kitka ei selitä eroa: terän kitka tekisi tasapainokohdasta hieman epätarkan molempiin suuntiin, mutta ei aiheuttaisi suurta yhdensuuntaista virhettä, eikä raportti esitä kitkalle perustetta. 1 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Raportista puuttuu epävarmuus: tasapainokohdan lukeminen noin $\pm 0{,}5\,\text{cm}$ antaa massaan noin $\pm 1{,}5\,\text{g}$, joten $142{,}857\,\text{g}$ ilmoittaa liikaa numeroita. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Johtopäätös on väärä: ero johtuu mallista, josta puuttui metrimitan paino, ja mittaus tehtiin vain kerran. 1 p

c)5 p

Poistaa tai ottaa huomioon metrimitan painon momentin: tuki mitan painopisteeseen $50{,}0\,\text{cm}$, tai mitan paino mukaan momenttiehtoon. 1 p
Toistaa mittauksen useilla punnuksen paikoilla tai punnuksilla ja etsii joka kerta kiven tasapainokohdan; tukipiste ja kiven lanka pysyvät samoina. 2 p
Määrittää tuloksen kuvaajasta: esimerkiksi punnuksen momentti $m_\text{p} d_\text{p}$ kiven varren $d_\text{k}$ funktiona on suora, jonka kulmakerroin on $m_\text{k}$ ja vakiotermi mitan painon momentti. 1 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Arvioi epävarmuuden pisteiden hajonnasta tai jyrkimmästä ja loivimmasta suorasta, ja vertaa tulosta vaa'an lukemaan epävarmuuksineen. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (13 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

3.4-6 Vuoristoradan silmukka 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Vuoristorata ja sen luvut ovat keksitty esimerkki. Silmukka on mallinnettu ympyräksi.

Huvipuiston uudessa vuoristoradassa vaunu lähtee levosta lähtömäen huipulta ja laskee silmukan pohjalle. Silmukka on pystysuora, ja suunnittelija mallintaa sen ympyräksi. Lähtömäen huippu on $30{,}0\,\text{m}$ silmukan pohjan yläpuolella, ja ympyrän säde on $10{,}0\,\text{m}$. Mittausten mukaan kitka ja ilmanvastus muuttavat matkalla lähtömäestä silmukan pohjalle $12\,\%$ vaunun mekaanisesta energiasta sisäenergiaksi. Silmukassa energiaa muuttuu niin vähän, että sitä ei oteta huomioon. Matkustajan massa on $60{,}0\,\text{kg}$.

  1. a) Kuinka suuri on vaunun nopeus silmukan pohjalla? 4 p
  2. b) Kuinka suurella voimalla istuin painaa matkustajaa silmukan pohjalla? Kuinka moninkertainen voima on matkustajan painoon verrattuna? 4 p
  3. c) Kuinka suuri on vaunun nopeus silmukan huipulla? Painaako istuin matkustajaa huipulla, ja kuinka suurella voimalla? 4 p
  4. d) Nykyaikaiset silmukat eivät ole ympyröitä: niiden kaarevuussäde on huipulla pieni ja alaosassa suuri. Selitä tulostesi avulla, miksi tällainen muoto on matkustajalle parempi. 3 p

Taidot luvuista: Normaalikiihtyvyys ja ympyräliikkeen liikeyhtälö, Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate, Liike-energia, potentiaalienergia ja mekaaninen energia

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

korkeusero lähtömäen huipulta silmukan pohjalle $h = 30{,}0\,\text{m}$, alkunopeus $0$, $12\,\%$ mekaanisesta energiasta muuttuu sisäenergiaksi, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

nopeus $v_\text{p}$ silmukan pohjalla

Periaate

Valitaan nollatasoksi silmukan pohja. Vaunun mekaaninen energia on lähtömäen huipulla $mgh$. Kitka ja ilmanvastus tekevät negatiivista työtä, joka muuttaa $12\,\%$ siitä sisäenergiaksi, joten energiaperiaatteen mukaan pohjalla liike-energiaa on $88\,\%$ alun potentiaalienergiasta (luku Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate).

Kaava

$\tfrac12 mv_\text{p}^2 = 0{,}88 \cdot mgh$, joten massa supistuu ja $v_\text{p} = \sqrt{2 \cdot 0{,}88 \cdot gh}$

Muunnokset

Ei tarvita: suureet ovat perusyksiköissä. Vertailua varten $1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}$.

Sijoitus

$v_\text{p}$$= \sqrt{2 \cdot 0{,}88 \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 30{,}0\,\text{m}}$
$= \sqrt{518{,}0\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}$
$= 22{,}76\,\text{m/s}$

Vastaus

$v_\text{p} \approx 22{,}8\,\text{m/s}$

Eli noin $82\,\text{km/h}$, kolme merkitsevää numeroa kuten korkeudessa $30{,}0\,\text{m}$.

Järkevyys

Ilman häviöitä nopeus olisi $\sqrt{2gh} \approx 24{,}3\,\text{m/s}$. Häviöt pienentävät sitä noin $\sqrt{0{,}88} \approx 0{,}94$-kertaiseksi, ja $82\,\text{km/h}$ on vuoristoradalle tavallinen huippunopeus.

b)

Annettu

$v_\text{p} = 22{,}76\,\text{m/s}$, ympyrän säde $r = 10{,}0\,\text{m}$, matkustajan massa $m = 60{,}0\,\text{kg}$

Kysytty

istuimen voima $N$ pohjalla ja sen suhde painoon $mg$

Periaate

Valitaan kappaleeksi matkustaja. Voimakuviossa häneen vaikuttavat paino $\overline{G}$ alas ja istuimen tukivoima $\overline{N}$ ylös; keskipakoisvoimaa ei piirretä. Pohjalla matkustaja on hetken ympyräradalla, jonka keskipiste on yläpuolella. Pohjalla tangentin suuntaista kokonaisvoimaa ei ole, joten kokonaisvoima osoittaa ylös ja on $m\tfrac{v^2}{r}$ (luku Normaalikiihtyvyys ja ympyräliikkeen liikeyhtälö).

Kaava

Kun keskipisteen suunta ylös on positiivinen, $N - mg = m\dfrac{v_\text{p}^2}{r}$, joten

$N$$= m\left(g + \dfrac{v_\text{p}^2}{r}\right)$

Muunnokset

Ei tarvita: suureet ovat perusyksiköissä.

Sijoitus

$\dfrac{v_\text{p}^2}{r}$$= \dfrac{518{,}0\,\text{m}^2/\text{s}^2}{10{,}0\,\text{m}}$
$= 51{,}80\,\text{m/s}^2$

joten

$N$$= 60{,}0\,\text{kg} \cdot (9{,}81\,\text{m/s}^2 + 51{,}80\,\text{m/s}^2)$
$= 3696\,\text{N}$

Painoon verrattuna

$\dfrac{N}{mg}$$= \dfrac{3696\,\text{N}}{588{,}6\,\text{N}}$
$= 6{,}28$

Vastaus

$N \approx 3{,}70\,\text{kN}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten massassa ja säteessä. Voima on noin $6{,}3$-kertainen matkustajan painoon verrattuna.

Järkevyys

Normaalikiihtyvyys on yli viisinkertainen putoamiskiihtyvyyteen verrattuna, joten istuimen on painettava matkustajaa yli kuusinkertaisella voimalla: yksi $mg$ kannattelee painon ja loput kääntävät liikkeen. Näin suuri voima tuntuisi rajulta, mikä on syy d-kohdan muotoon.

c)

Annettu

$v_\text{p}^2 = 518{,}0\,\text{m}^2/\text{s}^2$, huippu $2r = 20{,}0\,\text{m}$ pohjan yläpuolella, $r = 10{,}0\,\text{m}$, $m = 60{,}0\,\text{kg}$; silmukassa ei häviöitä

Kysytty

nopeus $v_\text{h}$ huipulla ja istuimen voima $N$ huipulla

Periaate

Silmukassa mekaaninen energia säilyy, joten liike-energiaa muuttuu potentiaalienergiaksi nousussa $2r$ (luku Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate). Huipulla matkustaja on ylösalaisin, ja keskipiste on hänen alapuolellaan. Paino ja istuimen tukivoima osoittavat kumpikin alas kohti keskipistettä, ja niiden summa on $m\tfrac{v^2}{r}$ (luku Normaalikiihtyvyys ja ympyräliikkeen liikeyhtälö).

Kaava

$\tfrac12 mv_\text{p}^2 = \tfrac12 mv_\text{h}^2 + mg \cdot 2r$, joten $v_\text{h} = \sqrt{v_\text{p}^2 - 4gr}$; huipulla $N + mg = m\dfrac{v_\text{h}^2}{r}$, joten

$N$$= m\left(\dfrac{v_\text{h}^2}{r} - g\right)$

Muunnokset

Ei tarvita: suureet ovat perusyksiköissä.

Sijoitus

$v_\text{h}$$= \sqrt{518{,}0\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2} - 4 \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 10{,}0\,\text{m}}$
$= \sqrt{125{,}6\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}$
$= 11{,}21\,\text{m/s}$
$N$$= 60{,}0\,\text{kg} \cdot \left(\dfrac{125{,}6\,\text{m}^2/\text{s}^2}{10{,}0\,\text{m}} - 9{,}81\,\text{m/s}^2\right)$
$= 60{,}0\,\text{kg} \cdot 2{,}75\,\text{m/s}^2$
$= 165\,\text{N}$

Vastaus

$v_\text{h} \approx 11{,}2\,\text{m/s}$

Ja $N \approx 165\,\text{N}$, kolme merkitsevää numeroa. Istuin painaa matkustajaa huipullakin, mutta vain noin $0{,}28$-kertaisella voimalla painoon verrattuna.

Järkevyys

Matkustaja pysyy istuimessa ilman turvakaarta, jos $N \ge 0$ eli $v_\text{h}^2 \ge gr$: raja on

$v_\text{h}$$\ge \sqrt{9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 10{,}0\,\text{m}}$
$\approx 9{,}9\,\text{m/s}$

Nopeus $11{,}2\,\text{m/s}$ ylittää rajan vain vähän, joten turvakaari on silti tarpeen. Huipun ja pohjan voimien ero on noin $6\,mg$.

d)

Kysytty

miksi silmukka, jonka kaarevuussäde on huipulla pieni ja alaosassa suuri, on matkustajalle parempi

Periaate

Istuimen voima riippuu normaalikiihtyvyydestä $\tfrac{v^2}{r}$: pohjalla $N = m\left(g + \tfrac{v^2}{r}\right)$ ja huipulla $N = m\left(\tfrac{v^2}{r} - g\right)$ (luku Normaalikiihtyvyys ja ympyräliikkeen liikeyhtälö).

Mallivastaus

Ympyrämallissa matkustaja tuntee pohjalla yli kuusinkertaisen voiman painoonsa nähden, mutta huipulla vain $0{,}28$-kertaisen. Alaosassa nopeus on suurin, joten suuri kaarevuussäde pienentää normaalikiihtyvyyttä $\tfrac{v^2}{r}$ ja istuimen voimaa juuri siellä, missä se olisi muuten rajuin. Huipulla nopeus on pienin, ja ehto $v^2 \ge gr$ määrää, pysyykö matkustaja istuimessa. Pieni kaarevuussäde huipulla täyttää ehdon pienemmälläkin nopeudella, joten silmukasta voidaan tehdä korkeampi tai lähtömäestä matalampi. Muoto tasoittaa siis istuimen voimaa silmukan eri kohdissa: pohjalla se on pienempi ja huipulla varmasti positiivinen.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa häviö vähennetään nopeudesta ($0{,}88 \cdot \sqrt{2gh}$) eikä energiasta.
  • b-kohdassa istuimen voimaksi lasketaan pelkkä $m\tfrac{v^2}{r}$ tai $m\left(\tfrac{v^2}{r} - g\right)$, eli painoa ei oteta huomioon oikein päin.
  • b-kohdassa voimakuvioon piirretään keskipakoisvoima ulospäin.
  • c-kohdassa huipun korkeudeksi otetaan $r$ eikä $2r$, tai huipulla paino ja tukivoima kirjoitetaan vastakkaisiin suuntiin.

Hyväksytään myös

  • c-kohdassa nopeus huipulla suoraan energiaperiaatteesta lähtömäestä huipulle: $\tfrac12 mv_\text{h}^2 = 0{,}88 \cdot mgh - mg \cdot 2r$, sama tulos.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Perustelee energiaperiaatteen: potentiaalienergiasta $88\,\%$ muuttuu liike-energiaksi, koska $12\,\%$ muuttuu sisäenergiaksi. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $\tfrac12 mv_\text{p}^2 = 0{,}88 \cdot mgh$, joten $v_\text{p} = \sqrt{2 \cdot 0{,}88 \cdot gh}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $v_\text{p} = \sqrt{2 \cdot 0{,}88 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 30{,}0\,\text{m}} \approx 22{,}8\,\text{m/s}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $v_\text{p} \approx 22{,}8\,\text{m/s}$ eli noin $82\,\text{km/h}$ 1 p

b)4 p

Kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat ovat mukana, eikä kuviossa ole keksittyjä voimia. Matkustajaan vaikuttavat paino $\overline{G}$ alas ja istuimen tukivoima $\overline{N}$ ylös kohti silmukan keskipistettä; keskipakoisvoimaa ei piirretä. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $N - mg = m\dfrac{v_\text{p}^2}{r}$, joten $N = m\left(g + \dfrac{v_\text{p}^2}{r}\right)$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $N = 60{,}0\,\text{kg} \cdot (9{,}81 + 51{,}8)\,\text{m/s}^2 \approx 3700\,\text{N}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $N \approx 3{,}70\,\text{kN}$, noin $6{,}3$-kertainen painoon verrattuna 1 p

c)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $\tfrac12 mv_\text{p}^2 = \tfrac12 mv_\text{h}^2 + mg \cdot 2r$ ja huipulla $N + mg = m\dfrac{v_\text{h}^2}{r}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $v_\text{h} = \sqrt{518\,\text{m}^2/\text{s}^2 - 392\,\text{m}^2/\text{s}^2} \approx 11{,}2\,\text{m/s}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $N = 60{,}0\,\text{kg} \cdot (12{,}56 - 9{,}81)\,\text{m/s}^2 \approx 165\,\text{N}$ 1 p
Tulkitsee tuloksen: $N > 0$, joten istuin painaa matkustajaa huipullakin, mutta vain noin $0{,}28$-kertaisella voimalla painoon verrattuna; ehto $v_\text{h}^2 \ge gr$ täyttyy. 1 p

d)3 p

Selittää alaosan: suurempi kaarevuussäde pienentää normaalikiihtyvyyttä $\tfrac{v^2}{r}$ ja siten istuimen voimaa, jonka ympyrämallissa laskettiin olevan yli kuusinkertainen painoon nähden. 1 p
Selittää huipun: pienellä säteellä ehto $v^2 \ge gr$ täyttyy pienemmälläkin nopeudella, joten silmukasta voi tehdä korkeamman tai lähtömäestä matalamman ilman, että matkustaja irtoaa istuimesta. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Muoto tasoittaa istuimen voimaa silmukan eri kohdissa. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (15 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.