RuukkilabraLukion fysiikka
FY9 · Luku 3.3

Mekaaninen energia ja liikemäärä

Miksi kaksi yhteen kytkeytyvää junanvaunua jatkavat hitaammin kuin ennen kytkeytymistä, vaikka mikään ei jarruta niitä?

Pohjatiedot

Pohdinta

Ratapihalla vaihtotyöveturi työntää $32\,\text{t}$:n tavaravaunun liikkeelle ja jarruttaa. Vaunu rullaa vapaasti nopeudella $1{,}6\,\text{m/s}$ ja törmää seisovaan samanlaiseen vaunuun. Kytkin lukittuu, ja vaunut jatkavat yhdessä. Kukaan ei jarruta, ja kiskojen vierimisvastus on törmäyksen ajan hyvin pieni. Kokeessa tällainen tilanne voi olla tehtävän alku: luvut on annettu, mutta lakia ei.

Kuinka nopeasti vaunut jatkavat yhdessä, ja onko niillä yhteensä yhtä paljon liike-energiaa kuin rullaavalla vaunulla ennen törmäystä?

Ennusta

Tee ennusteet ennen tutkimista 6 kysymystä

Lähtötaso 1: nopeus kaksinkertaistuu

Auto kiihdyttää nopeudesta $40\,\text{km/h}$ nopeuteen $80\,\text{km/h}$. Kuinka moninkertaiseksi auton liike-energia kasvaa?

Lähtötaso 2: jyrkkä ja loiva liukumäki

Kaksi kitkatonta liukumäkeä lähtee samalta korkeudelta ja päättyy samalle tasolle. Toinen on jyrkkä ja lyhyt, toinen loiva ja pitkä. Lapsi lähtee kummastakin levosta.Kummassa hänen nopeutensa on alhaalla suurempi?

Lähtötaso 3: kitka laskussa

Pulkka laskee mäen levosta, ja mäen juurella sen nopeus on pienempi kuin $\sqrt{2gh}$. Mikä väite kitkasta ja energiasta on oikein?

Lähtötaso 4: patja vai lattia

Voimistelija hyppää alas telineeltä kerran paksulle patjalle ja kerran kovalle lattialle. Kummallakin kerralla hän osuu alustaan samalla nopeudella ja pysähtyy. Miksi patja suojaa?

Lähtötaso 5: taklaus jäällä

Kaksi jääkiekkoilijaa törmää ja jää kiinni toisiinsa. Jään kitka on törmäyksen aikana merkityksettömän pieni. Mikä säilyy törmäyksessä?

Lähtötaso 6: tuulivoimalan teho

Tuulen nopeus kasvaa $5\,\text{m/s}$:sta $10\,\text{m/s}$:iin, ja voimalan hyötysuhde pysyy samana. Voimala ei vielä käy nimellisteholla. Kuinka moninkertaiseksi sen teho kasvaa?

Tutki

Kolme törmäystä ilmatyynyradalla

Keksitty esimerkkiaineisto · Keksitty esimerkki koulun ilmatyynyradan mittauksista: luvut on laskettu liikemäärän säilymisestä, ja niihin on lisätty mittausten kaltaista vaihtelua.

Ilmatyynyradalla vaunu A ($m_\text{A} = 0{,}300\,\text{kg}$) törmää levossa olevaan vaunuun B ($m_\text{B} = 0{,}200\,\text{kg}$). Valoportit mittaavat nopeudet juuri ennen törmäystä ja juuri sen jälkeen. Vaunujen välissä on kolmella kerralla eri puskuri: jousi, kova kumi ja tarranauha, joka pitää vaunut yhdessä. Kaikki nopeudet ovat samaan suuntaan.

Törmäys $v_\text{A}\ (\text{m/s})$ $v_\text{A}'\ (\text{m/s})$ $v_\text{B}'\ (\text{m/s})$
jousipuskuri $0{,}520$ $0{,}098$ $0{,}620$
kumipuskuri $0{,}600$ $0{,}213$ $0{,}580$
tarranauha $0{,}480$ $0{,}284$ $0{,}284$

Laske jokaisesta törmäyksestä kokonaisliikemäärä ja vaunujen yhteinen liike-energia ennen ja jälkeen. Vastaa alla tarranauhatörmäyksen luvulla. Mallivastauksessa on kaikkien kolmen törmäyksen vertailu.

Kuinka monta prosenttia vaunujen liike-energiasta muuttui tarranauhatörmäyksessä muiksi energiamuodoiksi? Vastaa prosentteina.

%
Vihje 1: ohjaava kysymys

Laske liike-energia ennen törmäystä, kun vain vaunu A liikkuu, ja sen jälkeen, kun molemmat vaunut liikkuvat yhdessä.

Vihje 2: mikä yhteys

Törmäyksen jälkeen liikkuva massa on $m_\text{A} + m_\text{B} = 0{,}500\,\text{kg}$.

Vihje 3: välivaihe
$E_\text{k}$$= \tfrac12 \cdot 0{,}300\,\text{kg} \cdot (0{,}480\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}})^2$

ennen ja $\tfrac12 \cdot 0{,}500\,\text{kg} \cdot (0{,}284\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}})^2$ jälkeen.

Näytä ratkaisu

Annettu

$m_\text{A} = 0{,}300\,\text{kg}$, $m_\text{B} = 0{,}200\,\text{kg}$; tarranauhatörmäyksessä $v_\text{A} = 0{,}480\,\text{m/s}$, B levossa, ja jälkeen yhteinen nopeus $v' = 0{,}284\,\text{m/s}$

Kysytty

muiksi energiamuodoiksi muuttuneen liike-energian osuus prosentteina

Periaate

Vaunut jäävät kiinni toisiinsa, joten törmäys on täysin kimmoton. Liikemäärä säilyy, koska ilmatyynyradalla ulkoiset voimat kumoavat toisensa, mutta liike-energiaa muuttuu tarranauhan ja vaunujen sisäenergiaksi ja ääneksi. Muuttunut osuus on liike-energian vähenemä jaettuna alkuperäisellä liike-energialla.

Kaava

$E_\text{k} = \tfrac12 m_\text{A} v_\text{A}^2$, $E_\text{k}' = \tfrac12 (m_\text{A} + m_\text{B})\,v'^2$ ja osuus $\dfrac{E_\text{k} - E_\text{k}'}{E_\text{k}}$

Muunnokset

Kaikki suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita. Suhdeluku muutetaan prosenteiksi kertomalla luvulla $100\,\%$.

Sijoitus

$E_\text{k}$$= \tfrac12 \cdot 0{,}300\,\text{kg} \cdot \left(0{,}480\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2$
$= 0{,}03456\,\text{J}$
$E_\text{k}'$$= \tfrac12 \cdot 0{,}500\,\text{kg} \cdot \left(0{,}284\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2$
$= 0{,}02016\,\text{J}$

Osuus on

$\dfrac{0{,}03456\,\text{J} - 0{,}02016\,\text{J}}{0{,}03456\,\text{J}}$
$= 0{,}4166$
$= 41{,}7\,\%$

Vastaus

noin $42\,\%$, kaksi merkitsevää numeroa, koska erotus kahdesta lähes samansuuruisesta energiasta kasvattaa nopeuksien kolmannen numeron epävarmuutta.

Järkevyys

Täysin kimmottomassa törmäyksessä levossa olevaan kappaleeseen liike-energiasta muuttuu osuus

$\dfrac{m_\text{B}}{m_\text{A} + m_\text{B}}$$= \dfrac{0{,}200}{0{,}500}$
$= 40\,\%$

joten tulos on odotettu. Liikemäärä säilyi: $0{,}144\,\text{kg} \cdot \text{m/s}$ ennen ja $0{,}142\,\text{kg} \cdot \text{m/s}$ jälkeen. Jousipuskurissa liike-energiasta muuttui vain noin $2\,\%$ (lähes kimmoisa), kumipuskurissa noin $25\,\%$, ja liikemäärä säilyi kaikissa kolmessa noin $2\,\%$:n tarkkuudella.

Teoriatiivistelmä

Ydinajatus

Mekaniikan kokeen tehtävistä suuri osa ratkeaa kahdella säilymislailla. Energia säilyy aina: mekaaninen energia muuttuu sisäenergiaksi, kun kitka, ilmanvastus tai kappaleen muodonmuutos tekee työtä, mutta kokonaisenergia pysyy samana. Liikemäärä säilyy, kun systeemiin vaikuttavien ulkoisten voimien summa on nolla tai niiden impulssi on törmäyksen aikana merkityksettömän pieni.

$\text{säilymislait}$
$\text{energia ja liikemäärä}$
$\textbf{energia}$
$E_\text{k} = \tfrac12 mv^2$
$\text{liike-energia}$
$E_\text{p} = mgh$
$\text{potentiaalienergia}$
$E_\text{mek,1} + W_\text{muut} = E_\text{mek,2}$
$\textbf{liikemäärä}$
$\overline{p} = m\overline{v}$
$\text{määritelmä}$
$\Sigma\overline{F}\,\Delta t = \Delta\overline{p}$
$\text{impulssi}$
$\overline{p}_\text{ennen} = \overline{p}_\text{jälkeen}$
$\text{säilyminen}$
$\textbf{sovellukset}$
$\text{törmäys: } p \text{ säilyy, } E_\text{k} \text{ ei aina}$
$s_\text{p} = v_0 t_\text{r} + v_0^2/(2a)$
$\text{pysähtyminen}$
$P = \eta\rho Qgh$
$\text{vesivoima}$

Ratkaisu alkaa siitä, että valitset lain tilanteen mukaan. Kun kysytään nopeutta tai korkeutta eri kohdissa ja tunnetaan voimien tekemä työ, käytä energiaperiaatetta. Kun kappaleet törmäävät tai työntävät toisiaan, käytä liikemäärän säilymistä. Kun kysytään voimaa ja tunnetaan aika, käytä impulssiperiaatetta. Moni tehtävä yhdistää ne: ensin energia, sitten törmäys, sitten taas energia.

Tästä saadaan myös vastaus alun kysymykseen. Kytkeytymisessä vaunujen voimat toisiinsa ovat sisäisiä, joten liikemäärä $32\,000\,\text{kg} \cdot 1{,}6\,\text{m/s} = 51\,200\,\text{kg} \cdot \text{m/s}$ säilyy. Se jakautuu kaksinkertaiselle massalle, joten nopeus puolittuu, $0{,}80\,\text{m/s}$. Liike-energia $\tfrac12 mv^2$ pienenee silloin $41\,\text{kJ}$:sta $20\,\text{kJ}$:iin: puolet siitä muuttuu puskurien ja kytkimien sisäenergiaksi ja ääneksi.

$\text{ennen}$
$1{,}6\,\text{m/s}$
$v = 0$
$\text{jälkeen}$
$0{,}80\,\text{m/s}$
$p_\text{kok}$
$E_\text{k}$
$\text{ennen}$
$\text{jälkeen}$
$\text{ennen}$
$\text{jälkeen}$
$\text{sisäenergiaksi}$
$51\,200\,\text{kg} \cdot \text{m/s}$
$41\,\text{kJ}$
$20\,\text{kJ}$

Mekaaninen energia ja liikemäärä

Energia

$$\begin{aligned} E_\text{k} &= \tfrac{1}{2}\,mv^2 \\ E_\text{p} &= mgh \end{aligned}$$

missä $m$ on massa ($\text{kg}$), $v$ nopeus ($\text{m/s}$), $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ ja $h$ korkeus valitusta nollatasosta ($\text{m}$). $E_\text{p} = mgh$ pätee Maan pinnan lähellä. Energiaperiaate on

$$E_{\text{k},1} + E_{\text{p},1} + W_\text{muut} = E_{\text{k},2} + E_{\text{p},2}$$

missä $W_\text{muut}$ on muiden voimien kuin painon tekemä työ ($\text{J}$). Vakiovoiman työ on $W = F_\parallel\,s$, missä $F_\parallel$ on voiman liikkeen suuntainen komponentti; kitkan ja ilmanvastuksen työ on negatiivinen. Kun $W_\text{muut} = 0$, mekaaninen energia säilyy.

Liikemäärä ja impulssi

$$\begin{aligned} \overline{p} &= m\overline{v} \\ \Sigma\overline{F}\,\Delta t &= \Delta\overline{p} \end{aligned}$$

missä $\overline{p}$ on liikemäärä ($\text{kg} \cdot \text{m/s}$) ja $\Sigma\overline{F}$ vakiosuuruinen kokonaisvoima aikavälin $\Delta t$ ajan. Muuttuvalle voimalle keskimääräinen voima on $F_\text{ka} = |\Delta p| : \Delta t$. Yhdessä ulottuvuudessa valitaan positiivinen suunta, ja vastakkaiseen suuntaan osoittavat nopeudet ovat negatiivisia. Kun ulkoisten voimien impulssi on merkityksettömän pieni,

$$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$$

Kimmoisassa törmäyksessä myös liike-energia säilyy. Täysin kimmottomassa kappaleet jatkavat yhteisellä nopeudella, $v_1' = v_2' = v'$, ja liike-energiaa muuttuu eniten sisäenergiaksi.

Sovellukset

Vaakasuoralla tiellä auton pysähtymismatka on reaktiomatka ja jarrutusmatka:

$$\begin{aligned} s_\text{p} &= v_0\,t_\text{r} + \frac{v_0^2}{2a} \\ P_\text{vesi} &= \eta\rho Qgh \\ P_\text{tuuli} &= \tfrac12\eta\rho Av^3 \end{aligned}$$

missä $t_\text{r}$ on reaktioaika ($\text{s}$) ja $a$ hidastuvuus ($\text{m/s}^2$), oletettu vakioksi; lukkojarrutuksen rajalla $a = \mu g$. Voimaloiden sähkötehoissa $\eta$ on hyötysuhde ja $\rho$ veden tai ilman tiheys; vesivoimalassa $Q$ on virtaama ($\text{m}^3\text{/s}$) ja $h$ putouskorkeus ($\text{m}$), tuulivoimalassa $A$ on roottorin pyyhkäisemä pinta-ala ($\text{m}^2$) ja $v$ tuulen nopeus. Tuulen tehon lauseke pätee, kun hyötysuhde pysyy vakiona ja voimala toimii nimellistehoaan pienemmällä teholla.

Yleisiä virheitä

  • Liike-energia ja liikemäärä sekaisin. Törmäyksessä liikemäärä säilyy, liike-energia vain kimmoisassa törmäyksessä. Liikemäärä ei muutu lämmöksi: lämmöksi muuttuu energiaa.
  • Etumerkit unohtuvat. Kimpoava pallo muuttaa liikemääräänsä enemmän kuin pysähtyvä: samalla nopeudella kimpoavalle pallolle $\Delta p = -mv - mv = -2mv$.
  • Kitka katoaa energiaperiaatteesta. Kitkan työ on negatiivinen, ja se muuttaa mekaanista energiaa sisäenergiaksi; se ei synnytä eikä hävitä energiaa.
  • Kilometrit tunnissa sijoitetaan suoraan. $72\,\text{km/h} = 72 \cdot \tfrac{1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}} = 20\,\text{m/s}$, ennen kuin nopeus korotetaan toiseen.
  • Nopeuden neliö unohtuu. Kaksinkertainen nopeus nelinkertaistaa liike-energian ja jarrutusmatkan, ja tuulen teho kasvaa kahdeksankertaiseksi.
  • Liikemäärän säilyminen ilman ehtoa. Kerro, miksi ulkoiset voimat eivät muuta liikemäärää törmäyksen aikana.

Kertaa tarvittaessa

Sovella

Etsi virhe: pallo kimpoaa seinästä

Opiskelija laski $0{,}20\,\text{kg}$:n pallon liikemäärän muutoksen, kun pallo osuu seinään nopeudella $5{,}0\,\text{m/s}$ ja kimpoaa suoraan takaisin nopeudella $4{,}0\,\text{m/s}$: ”$\Delta p = 0{,}20\,\text{kg} \cdot 4{,}0\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} - 0{,}20\,\text{kg} \cdot 5{,}0\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} = -0{,}20\,\text{kg} \cdot \text{m/s}$.” Mikä ratkaisussa on väärin?

Lue kuvaaja: kova ja pehmeä puskuri

Kuvaajassa sama $1{,}0\,\text{kg}$:n kärry pysähtyy samasta nopeudesta kerran kovaan ja kerran pehmeään puskuriin. Lue kuvaajasta suurimmat voimat ja törmäysten kestot. Mikä väite on oikein?
$0{,}05$
$0{,}1$
$0{,}15$
$0{,}2$
$-100$
$-80$
$-60$
$-40$
$-20$
$0$
$t\ (\text{s})$
$F_x\ (\text{N})$
$\text{kova}$
$\text{pehmeä}$
$\text{yhtä suuret pinta-alat}$

Perusteltu väite: luistelijat työntävät

Kaksi luistelijaa seisoo jäällä levossa ja työntää toisiaan. Aikuisen massa on $80\,\text{kg}$ ja lapsen $40\,\text{kg}$. Mikä väite on oikein heti työnnön jälkeen?

Perusteltu väite: märkä tie

Auton nopeus on $80\,\text{km/h}$ ja kuljettajan reaktioaika sama kuin kuivalla tiellä. Märällä tiellä hidastuvuus on puolet kuivan tien hidastuvuudesta. Mikä väite pysähtymismatkasta on oikein?

Pyöräilijä alamäessä

Pyöräilijä lähtee mäen päältä nopeudella $3{,}0\,\text{m/s}$ ja laskee polkematta $22\,\text{m}$ alemmas. Pyöräilijän ja pyörän massa on yhteensä $85\,\text{kg}$. Ilmanvastus ja vierimisvastus tekevät laskun aikana yhteensä työn $-11\,\text{kJ}$.

Kuinka suuri on nopeus mäen alla?

m/s
Vihje 1: ohjaava kysymys

Mitkä voimat tekevät työtä? Painon työ on potentiaalienergian muutos, muiden voimien työ lasketaan erikseen.

Vihje 2: mikä yhteys

Energiaperiaate: $\tfrac12 mv_1^2 + mgh + W_\text{muut} = \tfrac12 mv_2^2$, kun nollataso on mäen alla.

Vihje 3: välivaihe
$v_2$$= \sqrt{v_1^2 + 2gh + \dfrac{2W_\text{muut}}{m}}$

ja $W_\text{muut} = -11\,000\,\text{J}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

$v_1 = 3{,}0\,\text{m/s}$, korkeusero $h = 22\,\text{m}$, $m = 85\,\text{kg}$, vastusvoimien työ $W_\text{muut} = -11\,\text{kJ}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

nopeus $v_2$ mäen alla

Periaate

Paino tekee työtä, joka otetaan huomioon potentiaalienergian muutoksena. Tukivoima on kohtisuorassa liikettä vastaan eikä tee työtä. Ilmanvastus ja vierimisvastus ovat muita voimia, joiden työ tunnetaan, joten käytetään energiaperiaatetta (luku Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate). Nollataso valitaan mäen alle.

Kaava

$\tfrac12 mv_1^2 + mgh + W_\text{muut} = \tfrac12 mv_2^2$, joten

$v_2$$= \sqrt{v_1^2 + 2gh + \dfrac{2W_\text{muut}}{m}}$

Muunnokset

$-11\,\text{kJ}$$= -11 \cdot 1000\,\text{J}$
$= -11\,000\,\text{J}$

Sijoitus

$v_2^2$$= \left(3{,}0\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2 + 2 \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 22\,\text{m} + \dfrac{2 \cdot (-11\,000\,\text{J})}{85\,\text{kg}}$
$= 9{,}0\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2} + 431{,}6\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2} - 258{,}8\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$
$= 181{,}8\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$

joten

$v_2$$= \sqrt{181{,}8}\,\text{m/s}$
$= 13{,}48\,\text{m/s}$

Vastaus

$v_2 \approx 13\,\text{m/s}$

Eli noin $49\,\text{km/h}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten korkeus $22\,\text{m}$ ja työ $11\,\text{kJ}$.

Järkevyys

Ilman vastusvoimia nopeus olisi $\sqrt{440{,}6}\,\text{m/s} \approx 21\,\text{m/s}$. Vastusvoimat vievät tässä yli puolet laskussa vapautuvasta potentiaalienergiasta $mgh \approx 18{,}3\,\text{kJ}$, mikä sopii suurella nopeudella, kun ilmanvastus kasvaa nopeasti.

Pienvesivoimala

Joen pienvesivoimalan turbiinien läpi virtaa $45\,\text{m}^3$ vettä sekunnissa, ja putouskorkeus on $8{,}5\,\text{m}$. Voimalan hyötysuhde on $88\,\%$. Kuinka suuri on voimalan sähköteho? Vastaa megawatteina.

MW
Vihje 1: ohjaava kysymys

Kuinka paljon potentiaalienergiaa sekunnissa turbiinien läpi virtaava vesi menettää?

Vihje 2: mikä yhteys

Sekunnissa virtaavan veden massa on $\rho Q$, ja sen potentiaalienergia on $\rho Q g h$ joka sekunti.

Vihje 3: välivaihe
$P$$= \eta \rho Q g h$
$= 0{,}88 \cdot 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 45\,\tfrac{\text{m}^3}{\text{s}} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 8{,}5\,\text{m}$
Näytä ratkaisu

Annettu

virtaama $Q = 45\,\text{m}^3\text{/s}$, putouskorkeus $h = 8{,}5\,\text{m}$, hyötysuhde $\eta = 88\,\%$, veden tiheys $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

sähköteho $P$ megawatteina

Periaate

Vesi menettää putouskorkeudella potentiaalienergiaa, ja voimala muuttaa siitä osan $\eta$ sähköksi. Teho on energia sekunnissa: sekunnissa virtaa massa $\rho Q$ (luku Vesi- ja tuulivoima energian muuntajina). Veden liike-energia ylä- ja alavedessä oletetaan pieneksi.

Kaava

$P = \eta \rho Q g h$

Muunnokset

$88\,\% = 0{,}88$ ja lopuksi $1\,\text{W} = 10^{-6}\,\text{MW}$. Muut suureet ovat perusyksiköissä.

Sijoitus

$P$$= 0{,}88 \cdot 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 45\,\tfrac{\text{m}^3}{\text{s}} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 8{,}5\,\text{m}$
$= 3\,302\,000\,\text{W}$
$= 3{,}302\,\text{MW}$

Vastaus

$P \approx 3{,}3\,\text{MW}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten virtaama $45\,\text{m}^3\text{/s}$ ja putouskorkeus $8{,}5\,\text{m}$.

Järkevyys

Kuutiometri vettä menettää putouksessa

$1000\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 8{,}5\,\text{m}$
$\approx 83\,\text{kJ}$

Kun kuutioita virtaa $45$ sekunnissa, veden teho on noin $3{,}8\,\text{MW}$, ja siitä $88\,\%$ on $3{,}3\,\text{MW}$. Pienvesivoimalalle muutama megawatti on tavallinen teho.

Turvavyö kolarissa

Auto törmää esteeseen nopeudella $40\,\text{km/h}$. Turvavyötä käyttävä $70\,\text{kg}$:n matkustaja pysähtyy auton rypistyvän keulan mukana ajassa $0{,}12\,\text{s}$. Kuinka suuri on matkustajaan kohdistuva keskimääräinen kokonaisvoima? Vastaa kilonewtoneina.

kN
Vihje 1: ohjaava kysymys

Mikä on matkustajan liikemäärän muutos, kun hän pysähtyy?

Vihje 2: mikä yhteys

Impulssiperiaate:

$F_\text{ka}\,\Delta t$$= |\Delta p|$
$= mv$

Muunna nopeus ensin yksikköön $\text{m/s}$.

Vihje 3: välivaihe
$40\,\text{km/h}$$= 40 \cdot \dfrac{1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$
$\approx 11{,}1\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu

Annettu

$m = 70\,\text{kg}$, törmäysnopeus $v = 40\,\text{km/h}$, loppunopeus $0$, pysähtymisaika $\Delta t = 0{,}12\,\text{s}$

Kysytty

matkustajaan kohdistuva keskimääräinen kokonaisvoima $F_\text{ka}$ kilonewtoneina

Periaate

Matkustajan liikemäärä muuttuu arvosta $mv$ nollaan, ja impulssiperiaatteen mukaan muutos on yhtä suuri kuin kokonaisvoiman impulssi. Keskimääräinen voima on liikemäärän muutos jaettuna pysähtymisajalla (luku Liikemäärä ja impulssi).

Kaava

$F_\text{ka}\,\Delta t$$= |\Delta p|$
$= mv$

joten $F_\text{ka} = \dfrac{mv}{\Delta t}$

Muunnokset

$40\,\text{km/h}$$= 40 \cdot \dfrac{1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$
$= 11{,}11\,\text{m/s}$

ja lopuksi $1\,\text{N} = 0{,}001\,\text{kN}$

Sijoitus

$F_\text{ka}$$= \dfrac{70\,\text{kg} \cdot 11{,}11\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}}{0{,}12\,\text{s}}$
$= \dfrac{777{,}8\,\text{kg} \cdot \text{m/s}}{0{,}12\,\text{s}}$
$= 6481\,\text{N}$
$= 6{,}481\,\text{kN}$

Vastaus

$F_\text{ka} \approx 6{,}5\,\text{kN}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten aika $0{,}12\,\text{s}$ ja nopeus $40\,\text{km/h}$.

Järkevyys

Voima on noin

$6481\,\text{N} : (70\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2})$
$\approx 9{,}4$

kertaa matkustajan paino. Ilman vyötä matkustaja pysähtyisi kojelautaan sekunnin sadasosissa, ja voima olisi noin kymmenkertainen.

Taklaus vastakkaisista suunnista

Jääkiekkoilija A ($92\,\text{kg}$) luistelee itään nopeudella $6{,}0\,\text{m/s}$, ja pelaaja B ($78\,\text{kg}$) länteen nopeudella $4{,}5\,\text{m/s}$. He törmäävät ja jäävät kiinni toisiinsa.

Kuinka suuri on heidän yhteinen nopeutensa heti törmäyksen jälkeen?

m/s
Vihje 1: ohjaava kysymys

Valitse positiivinen suunta. Mikä on B:n nopeuden etumerkki?

Vihje 2: mikä yhteys

Täysin kimmottomassa törmäyksessä

$m_\text{A} v_\text{A} + m_\text{B} v_\text{B}$$= (m_\text{A} + m_\text{B})\,v'$
Vihje 3: välivaihe

Kun itä on positiivinen, $v_\text{B} = -4{,}5\,\text{m/s}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

$m_\text{A} = 92\,\text{kg}$, $v_\text{A} = 6{,}0\,\text{m/s}$ itään, $m_\text{B} = 78\,\text{kg}$, $v_\text{B} = 4{,}5\,\text{m/s}$ länteen; pelaajat jäävät kiinni toisiinsa

Kysytty

yhteinen nopeus $v'$ suuntineen heti törmäyksen jälkeen

Periaate

Pelaajien voimat toisiinsa ovat sisäisiä. Jään kitka on pieni, ja törmäys kestää lyhyen ajan, joten ulkoisten voimien impulssi on merkityksettömän pieni ja kokonaisliikemäärä säilyy. Pelaajat jatkavat yhdessä, joten törmäys on täysin kimmoton (luku Liikemäärän säilyminen ja yksiulotteiset törmäykset). Itä valitaan positiiviseksi suunnaksi, joten $v_\text{B} = -4{,}5\,\text{m/s}$.

Kaava

$m_\text{A} v_\text{A} + m_\text{B} v_\text{B}$$= (m_\text{A} + m_\text{B})\,v'$

joten

$v'$$= \dfrac{m_\text{A} v_\text{A} + m_\text{B} v_\text{B}}{m_\text{A} + m_\text{B}}$

Muunnokset

Kaikki suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$v'$$= \dfrac{92\,\text{kg} \cdot 6{,}0\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} + 78\,\text{kg} \cdot \left(-4{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)}{92\,\text{kg} + 78\,\text{kg}}$
$= \dfrac{552\,\text{kg} \cdot \tfrac{\text{m}}{\text{s}} - 351\,\text{kg} \cdot \tfrac{\text{m}}{\text{s}}}{170\,\text{kg}}$
$= 1{,}182\,\text{m/s}$

Vastaus

$v' \approx 1{,}2\,\text{m/s}$

Itään, kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudet $6{,}0\,\text{m/s}$ ja $4{,}5\,\text{m/s}$.

Järkevyys

Nopeus on positiivinen, koska A:n liikemäärä $552\,\text{kg} \cdot \text{m/s}$ on suurempi kuin B:n $351\,\text{kg} \cdot \text{m/s}$. Liike-energia pienenee $2446\,\text{J}$:sta noin $119\,\text{J}$:iin, kuten täysin kimmottomassa törmäyksessä kuuluu: suurin osa siitä muuttuu sisäenergiaksi.

Tarkista osaamisesi

Exit ticket

Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.

  1. Kuinka suuri on $1500\,\text{kg}$:n auton liike-energia, kun sen nopeus on $72\,\text{km/h}$?
    Vastaus

    $72\,\text{km/h} = 72 \cdot \dfrac{1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}} = 20\,\text{m/s}$, joten $E_\text{k} = \tfrac12 \cdot 1500\,\text{kg} \cdot \left(20\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2 = 300\,000\,\text{J} = 0{,}30\,\text{MJ}$.

  2. $2{,}0\,\text{kg}$:n kärry liikkuu nopeudella $3{,}0\,\text{m/s}$ ja tarttuu levossa olevaan $1{,}0\,\text{kg}$:n kärryyn. Kuinka suuri on kärryjen yhteinen nopeus?
    Vastaus

    Liikemäärä säilyy: $2{,}0\,\text{kg} \cdot 3{,}0\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} = (2{,}0\,\text{kg} + 1{,}0\,\text{kg})\,v'$, joten $v' = \dfrac{6{,}0\,\text{kg} \cdot \text{m/s}}{3{,}0\,\text{kg}} = 2{,}0\,\text{m/s}$. Liike-energia pienenee $9{,}0\,\text{J}$:sta $6{,}0\,\text{J}$:iin.

1. Käsite

Luoti ammutaan narun varassa riippuvaan puupalikkaan, johon se jää kiinni. Palikka heilahtaa luoteineen ylös. Mikä väite on oikein?

Kertaa törmäyksen lajit luvussa Liikemäärän säilyminen ja yksiulotteiset törmäykset ja mekaanisen energian säilyminen luvussa Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate.

2. Laskeminen

Lapsi ($25\,\text{kg}$) laskee leikkipuiston liukumäen levosta. Liukumäen yläpää on $3{,}2\,\text{m}$ alapäätä korkeammalla, ja alhaalla lapsen nopeus on $5{,}4\,\text{m/s}$. Kuinka monta prosenttia mekaanisesta energiasta muuttui laskun aikana sisäenergiaksi?

%
Vihje 1: ohjaava kysymys

Mikä on lapsen mekaaninen energia ylhäällä ja alhaalla, kun nollataso on liukumäen alapäässä?

Vihje 2: mikä yhteys

Ylhäällä $E_\text{p} = mgh$ ja $E_\text{k} = 0$, alhaalla $E_\text{k} = \tfrac12 mv^2$ ja $E_\text{p} = 0$.

Vihje 3: välivaihe

Osuus on $\dfrac{mgh - \tfrac12 mv^2}{mgh}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

$m = 25\,\text{kg}$, korkeusero $h = 3{,}2\,\text{m}$, alkunopeus $0$, loppunopeus $v = 5{,}4\,\text{m/s}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

sisäenergiaksi muuttuneen mekaanisen energian osuus prosentteina

Periaate

Kokonaisenergia säilyy. Kitka ja ilmanvastus tekevät negatiivista työtä, joten mekaaninen energia pienenee juuri sisäenergiaksi muuttuneen määrän (luku Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate). Nollataso valitaan liukumäen alapäähän.

Kaava

$E_\text{mek,1} = mgh$, $E_\text{mek,2} = \tfrac12 mv^2$ ja osuus $\dfrac{mgh - \tfrac12 mv^2}{mgh}$

Muunnokset

Kaikki suureet ovat perusyksiköissä. Suhdeluku muutetaan prosenteiksi kertomalla luvulla $100\,\%$.

Sijoitus

$mgh$$= 25\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 3{,}2\,\text{m}$
$= 784{,}8\,\text{J}$
$\tfrac12 mv^2$$= \tfrac12 \cdot 25\,\text{kg} \cdot \left(5{,}4\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2$
$= 364{,}5\,\text{J}$

Osuus on

$\dfrac{784{,}8\,\text{J} - 364{,}5\,\text{J}}{784{,}8\,\text{J}}$
$= 0{,}5356$
$= 53{,}6\,\%$

Vastaus

noin $54\,\%$, kaksi merkitsevää numeroa kuten korkeus $3{,}2\,\text{m}$ ja nopeus $5{,}4\,\text{m/s}$.

Järkevyys

Kitkatta nopeus olisi $\sqrt{2gh} \approx 7{,}9\,\text{m/s}$; mitattu $5{,}4\,\text{m/s}$ on pienempi, kuten kitkan kanssa pitää. Muovinen liukumäki ja vaatteet hankaavat paljon, joten noin puolet energiasta voi muuttua sisäenergiaksi.

Kertaa energiaperiaate luvussa Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate ja nollataso luvussa Liike-energia, potentiaalienergia ja mekaaninen energia.

3. Selitä

Kaksi samanlaista autoa törmää nokkakolarissa toisiinsa, kumpikin nopeudella $50\,\text{km/h}$. Toisessa kokeessa samanlainen auto törmää samalla nopeudella liikkumattomaan betoniseinään. Kumpi on kuljettajalle vaarallisempi? Perustele liikemäärällä, impulssilla ja energialla.

Tehtävät

3.3-1 Vaijeriliuku järven yli 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Liuku ja sen luvut ovat keksitty esimerkki.

Laskettelukeskuksen kesäaktiviteetti on vaijeriliuku, jossa valjaisiin kiinnitetty laskija liukuu järven yli pyörillä kulkevan vaunun varassa. Lähtötaso on $36{,}0\,\text{m}$ korkeammalla kuin liu'un loppupää, ja vaijerin pituus on $410\,\text{m}$. Laskija lähtee levosta. Loppupäässä jousijarru pysäyttää vaunun.

  • laskijan, valjaiden ja vaunun massa yhteensä $82{,}0\,\text{kg}$
  • nopeus juuri ennen jarrua (vaunun GPS-mittari) $15{,}0\,\text{m/s}$
  • jarrutus kestää $1{,}6\,\text{s}$, ja vaijeri on loppupäässä vaakasuora
  1. a) Kuinka suuri laskijan nopeus olisi loppupäässä, jos ilmanvastusta ja vaunun pyörien vastusta ei olisi? 3 p
  2. b) Kuinka suuren työn ilmanvastus ja pyörien vastus tekevät laskun aikana? Kuinka suuri on vastusvoimien keskimääräinen suuruus vaijerin suunnassa? 5 p
  3. c) Kuinka suuri on jarrun vaunuun kohdistama keskimääräinen vaakasuora voima, kun vaunu pysäyttää samalla laskijan ja valjaat? Vertaa voimaa laskijan, valjaiden ja vaunun yhteiseen painoon. 4 p
  4. d) Liu'un valvoja sanoo: ”Kevyet laskijat tulevat perille hitaammin, koska painovoima vetää heitä heikommin.” Arvioi väite. 3 p

Taidot luvuista: Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate, Liike-energia, potentiaalienergia ja mekaaninen energia, Liikemäärä ja impulssi

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

korkeusero $h = 36{,}0\,\text{m}$, alkunopeus $0$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; vastusvoimia ei oleteta

Kysytty

loppunopeus $v$ ilman vastusvoimia

Periaate

Laskijaan vaikuttavat paino ja vaijerin voima. Vaijerin voima on kohtisuorassa liikettä vastaan, joten se ei tee työtä. Kun vastusvoimia ei ole, vain paino tekee työtä ja mekaaninen energia säilyy (luku Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate). Nollataso valitaan liu'un loppupäähän.

Kaava

$mgh = \tfrac12 mv^2$, joten massa supistuu ja $v = \sqrt{2gh}$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$v$$= \sqrt{2 \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 36{,}0\,\text{m}}$
$= \sqrt{706{,}3\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}$
$= 26{,}58\,\text{m/s}$

Vastaus

$v \approx 26{,}6\,\text{m/s}$

Eli noin $96\,\text{km/h}$, kolme merkitsevää numeroa kuten korkeus $36{,}0\,\text{m}$.

Järkevyys

Nopeus on sama kuin $36\,\text{m}$ vapaasti pudonneella kappaleella, kuten kitkattomalla reitillä kuuluu. Lähes $100\,\text{km/h}$ olisi liu'ulle liikaa, joten vastusvoimien merkitys on suuri.

b)

Annettu

$m = 82{,}0\,\text{kg}$, $h = 36{,}0\,\text{m}$, alkunopeus $0$, loppunopeus $v = 15{,}0\,\text{m/s}$, vaijerin pituus $s = 410\,\text{m}$

Kysytty

vastusvoimien työ $W_\text{muut}$ ja vastusvoimien keskimääräinen suuruus $F$ vaijerin suunnassa

Periaate

Ilmanvastus ja pyörien vastus ovat muita voimia kuin paino. Energiaperiaatteen mukaan niiden työ on yhtä suuri kuin mekaanisen energian muutos (luku Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate). Vastusvoimat osoittavat liikettä vastaan, joten työ on negatiivinen, ja sen suuruus on keskimääräinen voima kertaa kuljettu matka. Nollataso on loppupäässä.

Kaava

$mgh + W_\text{muut} = \tfrac12 mv^2$, joten $W_\text{muut} = \tfrac12 mv^2 - mgh$ ja $F = \dfrac{|W_\text{muut}|}{s}$

Muunnokset

Lopuksi $1\,\text{J} = 0{,}001\,\text{kJ}$. Muut suureet ovat perusyksiköissä.

Sijoitus

$\tfrac12 mv^2$$= \tfrac12 \cdot 82{,}0\,\text{kg} \cdot \left(15{,}0\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2$
$= 9225\,\text{J}$
$mgh$$= 82{,}0\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 36{,}0\,\text{m}$
$= 28\,959\,\text{J}$

joten

$W_\text{muut}$$= 9225\,\text{J} - 28\,959\,\text{J}$
$= -19\,734\,\text{J}$
$= -19{,}7\,\text{kJ}$

Voima on

$F$$= \dfrac{19\,734\,\text{J}}{410\,\text{m}}$
$= 48{,}13\,\text{N}$

Vastaus

Vastusvoimat tekevät työn $W_\text{muut} \approx -19{,}7\,\text{kJ}$, ja niiden keskimääräinen suuruus on $F \approx 48{,}1\,\text{N}$, kolme merkitsevää numeroa kuten lähtötiedot.

Järkevyys

Vastusvoimat vievät noin $68\,\%$ potentiaalienergiasta, mikä sopii suureen nopeuteen ja leveäasentoiseen laskijaan. Keskimääräinen voima on vain noin $6\,\%$ painosta $804\,\text{N}$, mutta se vaikuttaa pitkän matkan.

c)

Annettu

$m = 82{,}0\,\text{kg}$, nopeus ennen jarrua $v = 15{,}0\,\text{m/s}$, loppunopeus $0$, jarrutusaika $\Delta t = 1{,}6\,\text{s}$, vaijeri vaakasuora

Kysytty

jarrun vaunuun kohdistama keskimääräinen vaakasuora voima $F_\text{ka}$ ja sen vertailu painoon; systeemi on laskija, valjaat ja vaunu yhdessä ($82{,}0\,\text{kg}$)

Periaate

Vaakasuoralla vaijerilla systeemin (laskija, valjaat ja vaunu) vaakasuora liikemäärä muuttuu vain jarrun voiman vaikutuksesta, kun ilmanvastus jätetään tässä pienenä huomiotta. Impulssiperiaatteen mukaan voiman impulssi on yhtä suuri kuin liikemäärän muutos (luku Liikemäärä ja impulssi).

Kaava

$F_\text{ka}\,\Delta t$$= |\Delta p|$
$= mv$

joten $F_\text{ka} = \dfrac{mv}{\Delta t}$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$F_\text{ka}$$= \dfrac{82{,}0\,\text{kg} \cdot 15{,}0\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}}{1{,}6\,\text{s}}$
$= \dfrac{1230\,\text{kg} \cdot \text{m/s}}{1{,}6\,\text{s}}$
$= 768{,}8\,\text{N}$

Paino on

$mg$$= 82{,}0\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$
$= 804{,}4\,\text{N}$

ja suhde on $768{,}8\,\text{N} : 804{,}4\,\text{N} \approx 0{,}96$.

Vastaus

$F_\text{ka} \approx 770\,\text{N}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten jarrutusaika $1{,}6\,\text{s}$. Voima on lähes yhtä suuri kuin laskijan, valjaiden ja vaunun yhteinen paino.

Järkevyys

Hidastuvuus on $15{,}0\,\text{m/s} : 1{,}6\,\text{s} \approx 9{,}4\,\text{m/s}^2$, noin yhtä suuri kuin putoamiskiihtyvyys. Se tuntuu voimakkaana mutta lyhyenä nykäyksenä, ja valjaat jakavat voiman koko vartalolle.

d)

Kysytty

pitääkö valvojan väite ja sen perustelu paikkansa

Periaate

Ilman vastusvoimia mekaaninen energia säilyy ja massa supistuu: $v = \sqrt{2gh}$. Vastusvoimien työ $W_\text{muut}$ pienentää mekaanista energiaa (luku Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate).

Mallivastaus

Perustelu on väärä. Painovoima vetää kevyttä laskijaa heikommin, mutta kevyemmän laskijan liikkeelle saamiseen tarvitaan samassa suhteessa vähemmän energiaa: ilman vastusvoimia massa supistuu energiayhtälöstä, ja kaikki tulisivat perille nopeudella $\sqrt{2gh} \approx 26{,}6\,\text{m/s}$. Havainto voi silti pitää paikkansa vastusvoimien takia. Ilmanvastus riippuu laskijan koosta ja asennosta mutta ei ole verrannollinen massaan. Kevyen laskijan mekaanisesta energiasta, joka on verrannollinen massaan, ilmanvastus vie siksi suuremman osuuden, ja hän tulee perille hitaammin. Syy on siis ilmanvastus, ei heikompi painovoima.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa kirjoitetaan $v = 2gh$ ja unohdetaan neliöjuuri, jolloin yksikkökin on väärä, $\text{m}^2\text{/s}^2$.
  • b-kohdassa työ ilmoitetaan positiivisena tai lasketaan potentiaalienergiasta $mgh$ ilman liike-energiaa.
  • b-kohdassa voima lasketaan korkeuserosta $36{,}0\,\text{m}$ eikä kuljetusta matkasta $410\,\text{m}$; työ on voima kertaa liikkeen suuntainen matka.
  • c-kohdassa voimaksi lasketaan $mv$ ilman aikaa tai jaetaan jarrutusajalla kahdesti.

Hyväksytään myös

  • c-kohdassa hidastuvuuden kautta: $a = \dfrac{15{,}0\,\text{m/s}}{1{,}6\,\text{s}}$ ja $F = ma$, sama tulos.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Mekaaninen energia säilyy: $mgh = \tfrac12 mv^2$, joten $v = \sqrt{2gh}$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $v = \sqrt{2 \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 36{,}0\,\text{m}}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $v \approx 26{,}6\,\text{m/s}$ kolmella merkitsevällä numerolla 1 p

b)5 p

Perustelee energiaperiaatteen: vastusvoimien työ on negatiivinen ja yhtä suuri kuin mekaanisen energian muutos. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $W_\text{muut} = \tfrac12 mv^2 - mgh$ ja $F = |W_\text{muut}| : s$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\tfrac12 mv^2 = 9225\,\text{J}$, $mgh \approx 28\,960\,\text{J}$, joten $W_\text{muut} \approx -19{,}7\,\text{kJ}$ ja $F \approx 48{,}1\,\text{N}$ 2 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. Työ kilojouleina ja voima newtoneina kolmella merkitsevällä numerolla; työn etumerkki negatiivinen 1 p

c)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Impulssiperiaate: $F_\text{ka}\,\Delta t = |\Delta p| = mv$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $F_\text{ka} = \dfrac{82{,}0\,\text{kg} \cdot 15{,}0\,\text{m/s}}{1{,}6\,\text{s}} \approx 769\,\text{N}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $F_\text{ka} \approx 770\,\text{N}$ kahdella merkitsevällä numerolla kuten aika $1{,}6\,\text{s}$ 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Voima on lähes yhtä suuri kuin paino $mg \approx 804\,\text{N}$, mikä tuntuu selvänä mutta turvallisena tönäisynä. 1 p

d)3 p

Perustelee, että ilman vastusvoimia massa supistuu energiayhtälöstä, joten loppunopeus $\sqrt{2gh}$ ei riipu massasta. 1 p
Perustelee, että vastusvoimien työ vähentää kevyemmän laskijan mekaanista energiaa suhteessa enemmän, koska ilmanvastus ei ole verrannollinen massaan. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Havainto voi pitää paikkansa, mutta perustelu on väärä: syy on ilmanvastus, ei heikompi painovoima. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (14 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

3.3-2 Curlingkiven lyönti 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Heiton luvut ovat keksitty esimerkki. Curlingkiven massa ja kitkakertoimen suuruusluokka vastaavat todellista lajia.

Curlingissa graniittinen kivi liu'utetaan jäätä pitkin. Pelaaja päästää kiven irti nopeudella $2{,}40\,\text{m/s}$. Kivi liukuu suoraan $27{,}0\,\text{m}$ ja osuu keskeltä levossa olevaan vastustajan kiveen. Juuri ennen osumaa sen nopeus on $0{,}62\,\text{m/s}$. Videolta nähdään, että heti törmäyksen jälkeen heitetty kivi jatkaa samaan suuntaan nopeudella $0{,}05\,\text{m/s}$.

  • kummankin kiven massa $19{,}0\,\text{kg}$
  • kiviä ei harjata, ja jää on koko matkalla samanlaista
  1. a) Kuinka suuri on kiven ja jään välinen kitkakerroin? 4 p
  2. b) Kuinka suuri on osuman saaneen kiven nopeus heti törmäyksen jälkeen? Onko törmäys kimmoisa? 5 p
  3. c) Kuinka pitkän matkan osuman saanut kivi liukuu ennen pysähtymistään? 3 p
  4. d) Pelaajat harjaavat usein jäätä liukuvan kiven edestä, jolloin kitkakerroin pienenee. Selitä energian avulla, miksi kivi silloin liukuu pidemmälle, vaikka harjat eivät koske kiveen. 3 p

Taidot luvuista: Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate, Liikemäärän säilyminen ja yksiulotteiset törmäykset, Paino, kitka ja kalteva taso

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

$v_0 = 2{,}40\,\text{m/s}$, nopeus ennen osumaa $v_1 = 0{,}62\,\text{m/s}$, matka $s = 27{,}0\,\text{m}$, $m = 19{,}0\,\text{kg}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

kitkakerroin $\mu$

Periaate

Jää on vaakasuora, joten kivi ei kiihdy pystysuunnassa, ja tukivoima on yhtä suuri kuin paino: $N = mg$. Liikekitka $F_\mu = \mu N = \mu mg$ on vakio ja osoittaa liikettä vastaan, joten sen työ on $-\mu mgs$. Potentiaalienergia ei muutu, joten energiaperiaatteen mukaan liike-energian muutos on kitkan työ (luvut Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate ja Paino, kitka ja kalteva taso).

Kaava

$\tfrac12 mv_0^2 - \mu mgs = \tfrac12 mv_1^2$, joten massa supistuu ja $\mu = \dfrac{v_0^2 - v_1^2}{2gs}$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$\mu$$= \dfrac{\left(2{,}40\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2 - \left(0{,}62\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2}{2 \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 27{,}0\,\text{m}}$
$= \dfrac{5{,}376\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}{529{,}7\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}$
$= 0{,}01015$

Vastaus

$\mu \approx 0{,}010$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeus $0{,}62\,\text{m/s}$.

Järkevyys

Kitkakerroin on hyvin pieni, kuten sileällä jäällä liukuvalla kivellä pitää: kitka on vain noin prosentti kiven painosta. Kitkan työ on

$-0{,}01015 \cdot 19{,}0\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 27{,}0\,\text{m}$
$\approx -51\,\text{J}$

ja juuri niin paljon liike-energia pieneni:

$\tfrac12 \cdot 19{,}0\,\text{kg} \cdot (5{,}76 - 0{,}384)\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$
$\approx 51\,\text{J}$

b)

Annettu

molempien kivien massa $m = 19{,}0\,\text{kg}$; ennen $v_1 = 0{,}62\,\text{m/s}$ ja toinen kivi levossa; jälkeen heitetyn kiven nopeus $v_1' = 0{,}05\,\text{m/s}$ samaan suuntaan

Kysytty

osuman saaneen kiven nopeus $v_2'$ ja onko törmäys kimmoisa

Periaate

Kivien voimat toisiinsa ovat sisäisiä. Törmäys kestää vain hetken, ja kitka on pieni, joten ulkoisten voimien impulssi on merkityksettömän pieni ja kokonaisliikemäärä säilyy (luku Liikemäärän säilyminen ja yksiulotteiset törmäykset). Törmäys on kimmoisa, jos myös liike-energia säilyy. Heiton suunta on positiivinen.

Kaava

$mv_1 = mv_1' + mv_2'$, joten massa supistuu ja $v_2' = v_1 - v_1'$; liike-energiat $E_\text{k} = \tfrac12 mv_1^2$ ja $E_\text{k}' = \tfrac12 mv_1'^2 + \tfrac12 mv_2'^2$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$v_2'$$= 0{,}62\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} - 0{,}05\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$
$= 0{,}57\,\text{m/s}$

Liike-energiat:

$E_\text{k}$$= \tfrac12 \cdot 19{,}0\,\text{kg} \cdot \left(0{,}62\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2$
$= 3{,}652\,\text{J}$
$E_\text{k}'$$= \tfrac12 \cdot 19{,}0\,\text{kg} \cdot \left[\left(0{,}05\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2 + \left(0{,}57\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2\right]$
$= 3{,}110\,\text{J}$

joten $E_\text{k}' : E_\text{k} = 0{,}852$.

Vastaus

$v_2' \approx 0{,}57\,\text{m/s}$

Heiton suuntaan. Tulos on erotus, joten sen tarkkuus on sadasosan metriä sekunnissa: videolta luettu $0{,}05\,\text{m/s}$ tunnetaan vain noin $0{,}01\,\text{m/s}$:n tarkkuudella, ja se rajoittaa tulosta. Liike-energiasta säilyy noin $85\,\%$, joten törmäys ei ole täysin kimmoisa mutta on lähellä sitä.

Järkevyys

Täysin kimmoisassa törmäyksessä samanmassaiset kivet vaihtaisivat nopeuksia: heitetty kivi pysähtyisi, ja toinen jatkaisi nopeudella $0{,}62\,\text{m/s}$. Graniitti on kovaa, joten lähes kimmoisa törmäys on odotettu, ja noin $0{,}5\,\text{J}$ muuttuu ääneksi ja kivien sisäenergiaksi.

c)

Annettu

$v_2' = 0{,}57\,\text{m/s}$, $\mu = 0{,}01015$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$, loppunopeus $0$

Kysytty

osuman saaneen kiven liukumatka $s_2$

Periaate

Sama energiaperiaate kuin a-kohdassa: kitkan työ $-\mu mgs_2$ muuttaa koko liike-energian sisäenergiaksi. Jää on samanlaista, joten kitkakerroin on sama.

Kaava

$\tfrac12 mv_2'^2 - \mu mgs_2 = 0$, joten $s_2 = \dfrac{v_2'^2}{2\mu g}$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$s_2$$= \dfrac{\left(0{,}57\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2}{2 \cdot 0{,}01015 \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}$
$= \dfrac{0{,}3249\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}{0{,}1991\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}$
$= 1{,}632\,\text{m}$

Vastaus

$s_2 \approx 1{,}6\,\text{m}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeus $0{,}57\,\text{m/s}$.

Järkevyys

Samalla kitkalla liukumatka on verrannollinen nopeuden neliöön. Heitetty kivi olisi pysähtynyt nopeudesta $2{,}40\,\text{m/s}$ matkalla

$\dfrac{(2{,}40\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 0{,}01015 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}$
$\approx 28{,}9\,\text{m}$

ja $(0{,}57 : 2{,}40)^2 \cdot 28{,}9\,\text{m} \approx 1{,}6\,\text{m}$ täsmää. Matka on lyhyt, koska kivellä on jäljellä vain noin $6\,\%$ alkuperäisestä liike-energiasta.

d)

Kysytty

miksi harjattu kivi liukuu pidemmälle, vaikka harjat eivät koske kiveen

Periaate

Energiaperiaatteen mukaan kitka tekee negatiivisen työn $-\mu mgs$, ja liukumatka on $s = \dfrac{v^2}{2\mu g}$ (luku Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate).

Mallivastaus

Kivellä on irrotushetkellä tietty liike-energia $\tfrac12 mv^2$, ja liukuessaan se muuttuu kitkan tekemän negatiivisen työn kautta kiven ja jään sisäenergiaksi. Jokainen metri vie liike-energiaa määrän $\mu mg$. Kun harjaus pienentää kitkakerrointa, metriä kohti kuluu vähemmän liike-energiaa, joten sama liike-energia riittää pidempään matkaan: matka on kääntäen verrannollinen kitkakertoimeen. Harjaus ei siis lisää kiven energiaa, eikä kiven tarvitse koskea harjaan: se vain muuttaa jäätä kiven edessä niin, että kitkan työ metriä kohti pienenee.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa energiaperiaatteeseen otetaan potentiaalienergia, vaikka jää on vaakasuora, tai nopeudet vähennetään ennen neliöön korotusta: $(2{,}40 - 0{,}62)^2$ ei ole sama kuin $2{,}40^2 - 0{,}62^2$.
  • b-kohdassa oletetaan, että liike-energia säilyy, ja lasketaan nopeus siitä; liikemäärän säilyminen riittää, ja liike-energia tarkistetaan vasta sen jälkeen.
  • c-kohdassa käytetään heiton matkaa ja nopeuksia suoraan suhteessa, eli oletetaan matkan olevan verrannollinen nopeuteen eikä sen neliöön.

Hyväksytään myös

  • a-kohdassa kinematiikalla: tasaisesti hidastuvassa liikkeessä $a = \dfrac{v_0^2 - v_1^2}{2s}$ ja $\mu = a : g$, sama tulos.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Energiaperiaate: $\tfrac12 mv_0^2 - \mu mg s = \tfrac12 mv_1^2$, joten $\mu = \dfrac{v_0^2 - v_1^2}{2gs}$ 1 p
Perustelee, että kitkavoima $\mu mg$ on vakio ja tekee negatiivisen työn $-\mu mgs$, koska tukivoima on yhtä suuri kuin paino. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\mu = \dfrac{(2{,}40\,\text{m/s})^2 - (0{,}62\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 27{,}0\,\text{m}}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\mu \approx 0{,}010$, kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeus $0{,}62\,\text{m/s}$; kitkakerroin on yksikötön 1 p

b)5 p

Perustelee liikemäärän säilymisen: kitkan impulssi on lyhyen törmäyksen aikana merkityksettömän pieni. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $m v_1 = m v_1' + m v_2'$, joten $v_2' = v_1 - v_1'$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $v_2' = 0{,}62\,\text{m/s} - 0{,}05\,\text{m/s} = 0{,}57\,\text{m/s}$ 1 p
Vertaa liike-energioita: jälkeen $\approx 3{,}11\,\text{J}$, ennen $\approx 3{,}65\,\text{J}$, eli noin $85\,\%$ säilyy, joten törmäys on lähes mutta ei täysin kimmoisa. 2 p

c)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $\tfrac12 m v_2'^2 = \mu mg s$, joten $s = \dfrac{v_2'^2}{2\mu g}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $s = \dfrac{(0{,}57\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 0{,}01015 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2} \approx 1{,}6\,\text{m}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $s \approx 1{,}6\,\text{m}$ kahdella merkitsevällä numerolla 1 p

d)3 p

Selittää, että kiven liike-energia muuttuu kitkan tekemän negatiivisen työn $-\mu mg s$ kautta sisäenergiaksi, ja pienempi $\mu$ tarkoittaa pienempää työtä metriä kohti. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Sama liike-energia riittää pidempään matkaan; harjaus ei lisää kiven energiaa, vaan pienentää kitkan työtä metriä kohti. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (13 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

3.3-3 Jarrutuskoe märällä asfaltilla 20 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Aineisto on keksitty esimerkki: luvut on laskettu mallista, jossa reaktioaika ja hidastuvuus ovat vakioita, ja niihin on lisätty mittausten kaltaista vaihtelua.

Ajokoulun liukkaan kelin radalla tutkittiin pysähtymismatkaa märällä asfaltilla. Sama kuljettaja ajoi samalla autolla suoraa ja vaakasuoraa rataa tasaisella nopeudella $v_0$. Valo syttyi, ja kuljettaja jarrutti niin lujaa kuin pystyi. Matka valon syttymisestä auton pysähtymiseen mitattiin mittapyörällä $0{,}5\,\text{m}$:n tarkkuudella.

$v_0\ (\text{km/h})$ $s_\text{p}\ (\text{m})$
$30$ $12{,}5$
$40$ $20{,}0$
$50$ $27{,}5$
$60$ $36{,}5$
$70$ $46{,}5$
$80$ $58{,}5$
$90$ $72{,}0$
  1. a) Esitä pysähtymismatka lähtönopeuden funktiona kuvaajana. Perustele, miksi pisteisiin ei sovi suora. 4 p
  2. b) Muodosta aineistosta suure, jonka kuvaaja lähtönopeuden funktiona on suora, kun kuljettajan reaktioaika ja auton hidastuvuus pysyvät samoina. Esitä se kuvaajana ja sovita pisteisiin suora. 5 p
  3. c) Määritä kuvaajasta kuljettajan reaktioaika ja auton hidastuvuus. 6 p
  4. d) Kuinka suuri on renkaiden ja märän asfaltin välinen kitkakerroin? Arvioi mallin avulla pysähtymismatka nopeudesta $100\,\text{km/h}$ samalla tiellä, ja arvioi arvion luotettavuutta. 5 p

Taidot luvuista: Liikenneturvallisuus: jarrutus, turvavyö ja turvatyyny, Graafinen esitys ja suoran sovittaminen, Paino, kitka ja kalteva taso

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

pysähtymismatkan kuvaaja lähtönopeuden funktiona ja perustelu sille, miksi pisteisiin ei sovi suora

Kuvaaja

Vaaka-akselilla on lähtönopeus $v_0\ (\text{km/h})$ ja pystyakselilla pysähtymismatka $s_\text{p}\ (\text{m})$. Akselit alkavat nollasta, jotta kaarevuus näkyy. Pisteitä ei yhdistetä murtoviivaksi.

$20$
$40$
$60$
$80$
$100$
$20$
$40$
$60$
$80$
$0$
$v_0\ (\text{km/h})$
$s_\text{p}\ (\text{m})$
$\text{kaartuu ylöspäin}$

Katkoviiva on b- ja c-kohdan mallista laskettu käyrä, joka on piirretty vain näyttämään muodon.

Mallivastaus

Pisteet eivät ole suoralla: nopeuden kasvaessa $10\,\text{km/h}$ matka kasvaa ensin noin $7{,}5\,\text{m}$ ja lopussa noin $13{,}5\,\text{m}$. Kuvaaja kaartuu ylöspäin, koska pysähtymismatka koostuu kahdesta osasta. Reaktiomatka kasvaa suoraan verrannollisesti nopeuteen, mutta jarrutusmatka kasvaa nopeuden neliössä: kaksinkertaisella nopeudella auton liike-energia, joka jarrutuksessa on muutettava sisäenergiaksi, on nelinkertainen. Siksi suora ei kuvaa aineistoa.

b)

Kysytty

aineistosta muodostettu suure, joka on suora lähtönopeuden funktiona, sen kuvaaja ja sovitettu suora

Kuvaaja

Pysähtymismatkan malli on $s_\text{p} = v_0 t_\text{r} + v_0^2 : (2a)$ (luku Liikenneturvallisuus: jarrutus, turvavyö ja turvatyyny). Kun yhtälö jaetaan nopeudella $v_0$, saadaan $\tfrac{s_\text{p}}{v_0} = t_\text{r} + \tfrac{1}{2a}\,v_0$: suora, jonka vakiotermi on $t_\text{r}$ ja kulmakerroin $1 : (2a)$. Nopeudet muunnetaan sijoittamalla, esimerkiksi $30\,\text{km/h} = 30 \cdot 1000\,\text{m} : 3600\,\text{s} = 8{,}333\,\text{m/s}$, ja silloin $12{,}5\,\text{m} : 8{,}333\,\text{m/s} = 1{,}50\,\text{s}$. Kaikki arvot:

$v_0\ (\text{m/s})$ $s_\text{p}/v_0\ (\text{s})$
$8{,}33$ $1{,}50$
$11{,}1$ $1{,}80$
$13{,}9$ $1{,}98$
$16{,}7$ $2{,}19$
$19{,}4$ $2{,}39$
$22{,}2$ $2{,}63$
$25{,}0$ $2{,}88$
$10$
$20$
$30$
$1{,}0$
$2{,}0$
$3{,}0$
$0$
$v_0\ (\text{m/s})$
$s_\text{p}/v_0\ (\text{s})$
$t_\text{r} \approx 0{,}86\,\text{s}$
$k \approx 0{,}080\,\text{s}^2/\text{m}$

Ympyröidyt kohdat ovat ne kaksi suoran pistettä, joista c-kohdan kulmakerroin luetaan. Katkoviiva on suoran jatke nopeuteen nolla.

Mallivastaus

Pisteet ovat lähes suoralla, joten malli, jossa reaktioaika ja hidastuvuus ovat vakioita, kuvaa aineistoa hyvin. Pisteisiin sovitetaan yksi nouseva suora, joka kulkee pisteiden lomitse. Todellisissa mittaussarjoissa mittauspisteet eivät yleensä sijaitse täsmälleen samalla suoralla mittausepävarmuuden vuoksi: tässä matka luettiin $0{,}5\,\text{m}$:n tarkkuudella, ja kuljettajan reaktio vaihtelee kokeesta toiseen.

c)

Annettu

b-kohdan kuvaaja ja sen suoralta luetut pisteet

Kysytty

reaktioaika $t_\text{r}$ ja hidastuvuus $a$

Periaate

Linearisoidussa mallissa $\dfrac{s_\text{p}}{v_0} = t_\text{r} + \dfrac{1}{2a}\,v_0$ vakiotermi on reaktioaika ja kulmakerroin $k = \dfrac{1}{2a}$. Kulmakerroin luetaan kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä, ei mittauspisteistä (luku Graafinen esitys ja suoran sovittaminen).

Kuvaajan lukeminen

Suoralta luetaan $(10\,\text{m/s}$; $1{,}66\,\text{s})$ ja $(25\,\text{m/s}$; $2{,}86\,\text{s})$. Suoran jatke leikkaa pystyakselin noin kohdassa $0{,}86\,\text{s}$.

Kaava

$k$$= \dfrac{\Delta (s_\text{p}/v_0)}{\Delta v_0}$
$t_\text{r}$$= \dfrac{s_\text{p}}{v_0} - k v_0$

suoran pisteessä ja $a = \dfrac{1}{2k}$

Muunnokset

Nopeudet ovat jo yksikössä $\text{m/s}$, joten kulmakertoimen yksikkö on $\tfrac{\text{s}}{\text{m/s}} = \tfrac{\text{s}^2}{\text{m}}$ ja hidastuvuuden $\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$.

Sijoitus

$k$$= \dfrac{2{,}86\,\text{s} - 1{,}66\,\text{s}}{25\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} - 10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}}$
$= \dfrac{1{,}20\,\text{s}}{15\,\text{m/s}}$
$= 0{,}0800\,\tfrac{\text{s}^2}{\text{m}}$
$t_\text{r}$$= 1{,}66\,\text{s} - 0{,}0800\,\tfrac{\text{s}^2}{\text{m}} \cdot 10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$
$= 0{,}86\,\text{s}$
$a$$= \dfrac{1}{2 \cdot 0{,}0800\,\text{s}^2\text{/m}}$
$= 6{,}25\,\text{m/s}^2$

Vastaus

Reaktioaika on $t_\text{r} \approx 0{,}86\,\text{s}$ ja hidastuvuus $a \approx 6{,}3\,\text{m/s}^2$, kaksi merkitsevää numeroa, koska arvot luetaan kuvaajasta noin $0{,}02\,\text{s}$:n tarkkuudella.

Järkevyys

Alle sekunnin reaktioaika on valppaalle kuljettajalle, joka odottaa merkkiä, tavallinen. Hidastuvuus on pienempi kuin kuivan asfaltin noin $9\,\text{m/s}^2$, kuten märällä tiellä pitää. Laskimen sovitus antaa $t_\text{r} = 0{,}864\,\text{s}$ ja $a = 6{,}26\,\text{m/s}^2$, joten kuvaajasta luetut arvot ovat samat.

d)

Annettu

c-kohdasta $t_\text{r} = 0{,}86\,\text{s}$ ja $a = 6{,}25\,\text{m/s}^2$; $v_0 = 100\,\text{km/h}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

kitkakerroin $\mu$ ja pysähtymismatka $s_\text{p}$ nopeudesta $100\,\text{km/h}$ sekä arvion luotettavuus

Periaate

Vaakasuoralla tiellä tukivoima on yhtä suuri kuin paino, ja kun jarrutetaan niin lujaa kuin pito sallii, kitka $\mu mg$ on ainoa vaakasuora voima. Newtonin toisen lain mukaan $\mu mg = ma$ (luvut Paino, kitka ja kalteva taso ja Liikenneturvallisuus: jarrutus, turvavyö ja turvatyyny). Pysähtymismatka lasketaan samalla mallilla, jonka suora vahvisti.

Kaava

$\mu$$= \dfrac{a}{g}$
$s_\text{p}$$= v_0 t_\text{r} + \dfrac{v_0^2}{2a}$

Muunnokset

$100\,\text{km/h}$$= 100 \cdot \dfrac{1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$
$= 27{,}78\,\text{m/s}$

Sijoitus

$\mu$$= \dfrac{6{,}25\,\text{m/s}^2}{9{,}81\,\text{m/s}^2}$
$= 0{,}637$
$s_\text{p}$$= 27{,}78\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 0{,}86\,\text{s} + \dfrac{\left(27{,}78\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2}{2 \cdot 6{,}25\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}$
$= 23{,}9\,\text{m} + 61{,}7\,\text{m}$
$= 85{,}6\,\text{m}$

Vastaus

$\mu \approx 0{,}64$

Ja $s_\text{p} \approx 86\,\text{m}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten c-kohdan arvot. Arvio on ekstrapolointi $10\,\text{km/h}$ suurimman mitatun nopeuden yli. Se on perusteltu, jos hidastuvuus pysyy samana suurellakin nopeudella ja kuljettaja reagoi yhtä nopeasti. Suurella nopeudella märällä tiellä renkaan pito voi kuitenkin heiketä, jopa vesiliirroksi asti, ja tavallisessa liikenteessä kuljettaja ei odota merkkiä, joten todellinen matka voi olla pidempi.

Järkevyys

Kitkakerroin $0{,}64$ on märälle asfaltille uskottava, pienempi kuin kuivan noin $0{,}9$. Nopeudesta $90\,\text{km/h}$ mitattiin $72\,\text{m}$, joten $86\,\text{m}$ nopeudesta $100\,\text{km/h}$ jatkaa kasvua odotetusti; jarrutusmatkan osuus kasvaa nopeuden mukana.

Yleisiä virheitä

  • Nopeudet jätetään yksikköön $\text{km/h}$, jolloin kulmakertoimesta saatava hidastuvuus on väärä; muunnos tehdään sijoittamalla $1\,\text{km/h} = \dfrac{1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$.
  • a-kohdan pisteisiin sovitetaan suora, tai pisteet yhdistetään murtoviivaksi.
  • Kulmakerroin luetaan kahdesta vierekkäisestä mittauspisteestä eikä kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä.
  • Hidastuvuudeksi luetaan kulmakerroin itse tai $2k$; kulmakerroin on $\dfrac{1}{2a}$, joten $a = \dfrac{1}{2k}$.

Hyväksytään myös

  • c-kohdassa laskimella tai taulukkolaskentaohjelmalla sovitettu suora, $t_\text{r} \approx 0{,}86\,\text{s}$ ja $a \approx 6{,}3\,\text{m/s}^2$.
  • b-kohdassa kuvaaja, jossa vaaka-akselilla on $v_0$ ja pystyakselilla $s_\text{p} : v_0$ yksikkönä $\tfrac{\text{m}}{\text{km/h}}$, kun yksiköt muunnetaan c-kohdassa oikein.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. Vaaka-akselilla $v_0$ yksikköineen, pystyakselilla $s_\text{p}\ (\text{m})$. 1 p
Jokainen mittaus on merkitty erillisenä pisteenä oikealle paikalleen. 1 p
Perustelee kuvaajan kaarevuudella ja fysiikalla: jarrutusmatka kasvaa nopeuden neliössä, joten pysähtymismatka kasvaa nopeammin kuin nopeus. 2 p

b)5 p

Perustelee linearisoinnin: kun $s_\text{p} = v_0 t_\text{r} + \dfrac{v_0^2}{2a}$ jaetaan nopeudella, saadaan $\dfrac{s_\text{p}}{v_0} = t_\text{r} + \dfrac{1}{2a}\,v_0$, joka on suora. 2 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Nopeudet yksikössä $\text{m/s}$ sijoittamalla ja suure $s_\text{p} : v_0$ sekunteina jokaiselle mittaukselle. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii, eikä pisteitä ole yhdistetty murtoviivaksi. Pisteisiin on sovitettu yksi suora, joka kulkee pisteiden lomitse; vaaka-akselilla $v_0\ (\text{m/s})$, pystyakselilla $s_\text{p} / v_0\ (\text{s})$. 2 p

c)6 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Kulmakerroin kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä, esimerkiksi $(10\,\text{m/s}$; $1{,}66\,\text{s})$ ja $(25\,\text{m/s}$; $2{,}86\,\text{s})$: $k \approx 0{,}080\,\text{s}^2\text{/m}$; vakiotermi noin $0{,}86\,\text{s}$. 2 p
Tulkitsee suoran: vakiotermi on reaktioaika $t_\text{r}$ ja kulmakerroin $\dfrac{1}{2a}$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $a = \dfrac{1}{2k}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $t_\text{r} \approx 0{,}86\,\text{s}$ ja $a \approx 6{,}3\,\text{m/s}^2$; tulokset $0{,}80$–$0{,}93\,\text{s}$ ja $5{,}9$–$6{,}6\,\text{m/s}^2$ hyväksytään. 2 p

d)5 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Vaakasuoralla tiellä lukkojarrutuksen rajalla $\mu mg = ma$, joten $\mu = a : g$; $s_\text{p} = v_0 t_\text{r} + \dfrac{v_0^2}{2a}$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\mu \approx 6{,}25 : 9{,}81 \approx 0{,}64$; $100\,\text{km/h} = 27{,}8\,\text{m/s}$, joten $s_\text{p} \approx 23{,}9\,\text{m} + 61{,}7\,\text{m} \approx 86\,\text{m}$. 2 p
Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Arvio on ekstrapolointi $10\,\text{km/h}$ mitatun alueen yli; se pätee, jos hidastuvuus pysyy samana suurellakin nopeudella ja kuljettaja reagoi samoin, mutta esimerkiksi vesiliirto voi pienentää kitkaa. 2 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 20 (13 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

3.3-4 Joen voimala vai tuulipuisto 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Kunta, joki ja voimaloiden luvut ovat keksittyjä esimerkkejä.

Kunnan valtuustossa pohditaan, kannattaako vanhaa jokivoimalaa uudistaa vai rakentaa uusi tuulipuisto. Valtuutetut ovat esittäneet kolme väitettä.

  1. ”Kun tuulen nopeus kasvaa $6\,\text{m/s}$:sta $9\,\text{m/s}$:iin, tuulivoimalan teho kasvaa $50\,\%$.”
  2. ”Vesivoimala on lähes ikiliikkuja: se tuottaa sähköä vuodesta toiseen kuluttamatta mitään, koska sama vesi virtaa joessa aina.”
  3. ”Padon korottaminen $9\,\text{m}$:stä $12\,\text{m}$:iin lisäisi tehoa yhtä paljon kuin se, että virtaama kasvaisi kolmanneksella.”

Jokivoimalan läpi virtaa keskimäärin $120\,\text{m}^3\text{/s}$, putouskorkeus on nyt $9{,}0\,\text{m}$ ja hyötysuhde $90\,\%$. Tuulivoimaloiden lähtötiedoista tiedetään, että ne eivät vielä käy nimellisteholla tuulen nopeudella $9\,\text{m/s}$.

  1. a) Arvioi väite 1. Selitä, mistä tuulivoimalan teho riippuu ja miksi. 5 p
  2. b) Arvioi väite 2. Selitä vesivoimalan energiaketju: mistä veden energia on peräisin ja miksi kaikki se ei muutu sähköksi. 5 p
  3. c) Arvioi väite 3 ja laske voimalan nykyinen sähköteho. 5 p

Taidot luvuista: Vesi- ja tuulivoima energian muuntajina, Liike-energia, potentiaalienergia ja mekaaninen energia, Energialajit ja energian säilyminen

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

pitääkö väite 1 paikkansa, ja mistä tuulivoimalan teho riippuu

Periaate

Tuulen teho on roottorin läpi sekunnissa virtaavan ilman liike-energia, ja voimala muuttaa siitä osuuden $\eta$ sähköksi: $P = \tfrac12 \eta \rho A v^3$ (luku Vesi- ja tuulivoima energian muuntajina).

Mallivastaus

Väite on väärä, koska siinä teho oletetaan verrannolliseksi tuulen nopeuteen. Teho riippuu nopeudesta kahdella tavalla. Jokaisella ilmakilogrammalla on liike-energiaa $\tfrac12 v^2$, joka kasvaa nopeuden neliössä. Lisäksi roottorin läpi virtaa sekunnissa ilmaa massa $\rho A v$, joka kasvaa nopeuden mukana. Siksi teho on verrannollinen nopeuden kuutioon. Kun nopeus kasvaa $6\,\text{m/s}$:sta $9\,\text{m/s}$:iin, teho kasvaa kertoimella $\left(\tfrac{9}{6}\right)^3 = 3{,}375$, eli noin $240\,\%$ eikä $50\,\%$. Tämä pätee, kun hyötysuhde pysyy suunnilleen samana ja voimala ei vielä käy nimellisteholla; sen yläpuolella lapoja käännetään ja teho rajoitetaan.

b)

Kysytty

pitääkö väite 2 paikkansa, ja mikä on vesivoimalan energiaketju

Periaate

Energia säilyy: se muuttuu muodosta toiseen mutta ei synny tyhjästä (luku Energialajit ja energian säilyminen). Vesivoimala muuttaa veden potentiaalienergiaa $mgh$ sähköksi, ja hyötysuhde on enintään $100\,\%$ (luvut Liike-energia, potentiaalienergia ja mekaaninen energia ja Vesi- ja tuulivoima energian muuntajina).

Mallivastaus

Väite on väärä. Voimala ei tuota energiaa tyhjästä, vaan muuntaa sitä. Padon takana olevalla vedellä on alaveteen verrattuna potentiaalienergiaa: kuutiometri vettä menettää $9{,}0\,\text{m}$:n putouksessa noin $1000\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 9{,}0\,\text{m} \approx 88\,\text{kJ}$. Putkessa potentiaalienergia muuttuu liike-energiaksi, virtaava vesi pyörittää turbiinia, ja turbiini pyörittää generaattoria, joka muuttaa liikkeen energian sähköksi. Veden energia on peräisin auringosta: auringon säteily haihduttaa vettä, joka nousee ilmaan ja sataa ylemmäs valuma-alueelle. Sama vesi ei siis kierrä voimalan läpi itsestään, vaan aurinko ”nostaa” sen joka kerta uudelleen. Kaikki veden menettämä energia ei muutu sähköksi: putken ja turbiinin kitka sekä generaattorin lämpeneminen muuttavat osan sisäenergiaksi, ja alaveteen purkautuvalla vedellä on vielä liike-energiaa. Siksi hyötysuhde on alle $100\,\%$, tässä $90\,\%$.

c)

Kysytty

pitääkö väite 3 paikkansa, ja kuinka suuri on voimalan nykyinen sähköteho

Periaate

Vesivoimalan sähköteho on $P = \eta \rho Q g h$: sekunnissa virtaavan veden massa $\rho Q$ menettää potentiaalienergian $\rho Q g h$, josta osuus $\eta$ muuttuu sähköksi (luku Vesi- ja tuulivoima energian muuntajina).

Mallivastaus

Nykyinen sähköteho on $P = 0{,}90 \cdot 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 120\,\tfrac{\text{m}^3}{\text{s}} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 9{,}0\,\text{m} \approx 9{,}54 \cdot 10^{6}\,\text{W} \approx 9{,}5\,\text{MW}$. Teho on suoraan verrannollinen sekä virtaamaan $Q$ että putouskorkeuteen $h$. Korotus $9\,\text{m}$:stä $12\,\text{m}$:iin kasvattaa putouskorkeutta kertoimella $12 : 9 = \tfrac43$, eli kolmanneksella, ja tehoa samassa suhteessa noin $12{,}7\,\text{MW}$:iin. Kolmanneksella suurempi virtaama kasvattaisi tehoa täsmälleen yhtä paljon. Väite pitää siis paikkansa, kun hyötysuhde pysyy samana ja korotus ei muuta joen virtaamaa. Käytännössä virtaama riippuu sateista ja valuma-alueesta, joten sitä ei voi kasvattaa, mutta korkeutta voi.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa teho oletetaan verrannolliseksi nopeuden neliöön, koska liike-energia on $\tfrac12 mv^2$; tällöin unohtuu, että myös sekunnissa virtaava ilmamäärä kasvaa.
  • b-kohdassa sanotaan, että energia häviää turbiinissa; se muuttuu sisäenergiaksi eikä katoa.
  • c-kohdassa korkeus ja virtaama sijoitetaan oikein, mutta hyötysuhde jätetään pois, tai tulos ilmoitetaan energiana eikä tehona.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Selittää, että tuulen liike-energia ilmakilogrammaa kohti on verrannollinen nopeuden neliöön ja roottorin läpi sekunnissa virtaava ilmamäärä nopeuteen, joten teho on verrannollinen kuutioon $v^3$. 2 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\left(\tfrac{9}{6}\right)^3 \approx 3{,}4$, eli teho kasvaa noin $240\,\%$, ei $50\,\%$. 1 p
Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Hyötysuhde oletetaan samaksi, ja nimellistehon yläpuolella tehoa rajoitetaan, jolloin kuutiolaki ei päde. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite on väärä: se olettaa tehon verrannolliseksi nopeuteen. 1 p

b)5 p

Kuvaa ketjun: veden potentiaalienergia muuttuu putkessa liike-energiaksi, turbiini ja generaattori muuttavat sen sähköksi. 2 p
Selittää, että veden potentiaalienergia on peräisin auringosta: haihtunut vesi nousee ilmaan ja sataa ylemmäs, joten voimala ei luo energiaa. 1 p
Nimeää häviöt: putken ja turbiinin kitka, generaattorin lämpeneminen ja alaveden jäljelle jäävä liike-energia, joten hyötysuhde on alle $100\,\%$. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite on väärä: voimala muuntaa energiaa eikä ole ikiliikkuja, vaikka sen ”polttoaine” uusiutuu. 1 p

c)5 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $P = \eta \rho Q g h$: teho on verrannollinen sekä virtaamaan että putouskorkeuteen. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Nyt $P \approx 0{,}90 \cdot 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 120\,\tfrac{\text{m}^3}{\text{s}} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 9{,}0\,\text{m} \approx 9{,}5\,\text{MW}$; korkeudella $12\,\text{m}$ noin $12{,}7\,\text{MW}$. 2 p
Perustelee, että $12 : 9 = \tfrac43$, joten korotus kasvattaa tehoa kolmanneksella, saman verran kuin kolmanneksen suurempi virtaama. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite on oikein, kun hyötysuhde pysyy samana ja padon takana oleva vesi ei vaikuta virtaamaan. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (12 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

3.3-5 Katoaako liikemäärä? 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Raportti ja mittaukset ovat keksitty esimerkki.

Opiskelijaryhmä tutki kimmotonta törmäystä tavallisella dynamiikkakärryjen radalla. Kärry A ($m_\text{A} = 0{,}520\,\text{kg}$) työnnettiin liikkeelle, ja se törmäsi levossa olevaan kärryyn B ($m_\text{B} = 0{,}480\,\text{kg}$). Kärryjen päissä oli tarranauha, joten ne jäivät kiinni toisiinsa. Ryhmä kuvasi törmäyksen videolle ja määritti videoanalyysillä kärryn A nopeuden $v_\text{A}$ viimeisen $0{,}20\,\text{m}$:n matkalta ennen törmäystä ja kärryjen yhteisen nopeuden $v'$ matkalta $0{,}40$–$0{,}80\,\text{m}$ törmäyskohdan jälkeen.

Koe $v_\text{A}\ (\text{m/s})$ $v'\ (\text{m/s})$
1 $0{,}452$ $0{,}207$
2 $0{,}622$ $0{,}303$
3 $0{,}781$ $0{,}391$
4 $0{,}901$ $0{,}455$

Ryhmän johtopäätös: ”Kokonaisliikemäärä pieneni kaikissa kokeissa. Kimmottomassa törmäyksessä liikemäärä ei siis säily, koska osa siitä muuttuu lämmöksi ja ääneksi.”

  1. a) Kuinka monta prosenttia kokonaisliikemäärä muuttui kokeessa 2? 4 p
  2. b) Arvioi ryhmän johtopäätös. Mistä mittausten ero todennäköisesti johtuu? 5 p
  3. c) Suunnittele, miten koetta parannetaan niin, että sillä voi testata liikemäärän säilymistä luotettavasti. 6 p

Taidot luvuista: Liikemäärän säilyminen ja yksiulotteiset törmäykset, Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus, Oma kokeellinen tutkimus: suunnittelu, toteutus ja raportointi

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

$m_\text{A} = 0{,}520\,\text{kg}$, $m_\text{B} = 0{,}480\,\text{kg}$; kokeessa 2 $v_\text{A} = 0{,}622\,\text{m/s}$ ja yhteinen nopeus $v' = 0{,}303\,\text{m/s}$

Kysytty

kokonaisliikemäärän suhteellinen muutos prosentteina

Periaate

Ennen törmäystä vain kärry A liikkuu, joten kokonaisliikemäärä on sen liikemäärä. Jälkeen kärryt liikkuvat yhdessä, joten liikemäärä on yhteismassa kertaa yhteinen nopeus (luku Liikemäärän säilyminen ja yksiulotteiset törmäykset). Suhteellinen muutos on muutos jaettuna alkuperäisellä arvolla.

Kaava

$p = m_\text{A} v_\text{A}$, $p' = (m_\text{A} + m_\text{B})\,v'$ ja muutos $\dfrac{p' - p}{p}$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä. Suhdeluku muutetaan prosenteiksi kertomalla luvulla $100\,\%$.

Sijoitus

$p$$= 0{,}520\,\text{kg} \cdot 0{,}622\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$
$= 0{,}3234\,\text{kg} \cdot \text{m/s}$
$p'$$= 1{,}000\,\text{kg} \cdot 0{,}303\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$
$= 0{,}3030\,\text{kg} \cdot \text{m/s}$

joten

$\dfrac{0{,}3030 - 0{,}3234}{0{,}3234}$
$= -0{,}0632$
$= -6{,}3\,\%$

Vastaus

Kokonaisliikemäärä pieneni noin $6{,}3\,\%$, kaksi merkitsevää numeroa, koska erotus kahdesta lähes yhtä suuresta luvusta on epätarkempi kuin luvut itse.

Järkevyys

Jos liikemäärä säilyisi tarkasti, yhteinen nopeus olisi

$0{,}3234\,\text{kg} \cdot \text{m/s} : 1{,}000\,\text{kg}$
$\approx 0{,}323\,\text{m/s}$

mitattu $0{,}303\,\text{m/s}$ on vain $0{,}02\,\text{m/s}$ pienempi. Muissa kokeissa muutos on $-11{,}9\,\%$, $-3{,}7\,\%$ ja $-2{,}9\,\%$.

b)

Kysytty

onko ryhmän johtopäätös perusteltu, ja mistä mittausten ero johtuu

Periaate

Kokonaisliikemäärä säilyy, kun ulkoisten voimien impulssi on merkityksettömän pieni (luku Liikemäärän säilyminen ja yksiulotteiset törmäykset). Kimmottomassa törmäyksessä muuttuu liike-energiaa, ei liikemäärää. Systemaattinen virhe siirtää kaikkia tuloksia samaan suuntaan (luku Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus).

Mallivastaus

Johtopäätös ei ole perusteltu. Lämmöksi ja ääneksi muuttuu kimmottomassa törmäyksessä liike-energiaa: tässäkin liike-energiasta katosi kokeessa 2 noin puolet. Liikemäärä ei ole energian laji, eikä se voi muuttua lämmöksi. Ero johtuu todennäköisesti mittaustavasta. Yhteinen nopeus mitattiin vasta $0{,}40$–$0{,}80\,\text{m}$ törmäyskohdan jälkeen, ja tavallisella radalla vierimisvastus hidastaa kärryjä koko ajan. Vierimisvastus on ulkoinen voima, joten sen impulssi pienentää liikemäärää sinä aikana, kun kärryt kulkevat mittausalueelle. Tätä tukee se, että ero on systemaattinen, sillä liikemäärä pieneni kaikissa kokeissa, ja suhteellinen ero on suurin hitaimmassa kokeessa ($-12\,\%$) ja pienin nopeimmassa ($-3\,\%$). Hitaat kärryt viipyvät matkalla kauemmin, ja vakiosuuruinen vastusvoima pienentää pientä nopeutta suhteessa enemmän. Hidastuvuuden ei tarvitse olla suuri: kokeessa 2 ero vastaa vain noin $0{,}01\,\text{m/s}^2$:n hidastuvuutta. Aineisto ei siis osoita, että liikemäärä ei säily.

c)

Kysytty

parannettu koejärjestely liikemäärän säilymisen testaamiseen

Periaate

Säilymislakia voi testata vain, kun ulkoisten voimien vaikutus mittausten välillä on pieni ja mittausten epävarmuus tunnetaan (luvut Liikemäärän säilyminen ja yksiulotteiset törmäykset ja Oma kokeellinen tutkimus: suunnittelu, toteutus ja raportointi).

Mallivastaus

Nopeudet mitataan mahdollisimman läheltä törmäystä: esimerkiksi valoportit juuri ennen ja heti jälkeen törmäyskohdan, tai videoanalyysillä piirretään kummankin kärryn $(t, v)$-kuvaaja ja luetaan nopeudet törmäyshetkellä suorien jatkeilta. Vierimisvastuksen vaikutus pienennetään käyttämällä ilmatyynyrataa tai kallistamalla rataa hieman niin, että yksin työnnetty kärry liikkuu tasaisella nopeudella. Kärryjen massat punnitaan vaa'alla tarranauhoineen. Jokainen koe toistetaan useita kertoja, ja nopeuden ja massan epävarmuudesta arvioidaan, kuinka suuri liikemäärien ero voi olla pelkän mittausepävarmuuden takia. Lisäksi vaihdellaan massoja ja nopeuksia: jos liikemäärä säilyy kaikissa kokeissa epävarmuuden rajoissa, tulos tukee säilymislakia. Samoista mittauksista lasketaan liike-energia ennen ja jälkeen ja verrataan muuttunutta osuutta teoreettiseen arvoon $\dfrac{m_\text{B}}{m_\text{A} + m_\text{B}} = 48\,\%$, jolloin raportti erottaa liikemäärän ja energian.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa törmäyksen jälkeinen liikemäärä lasketaan vain kärryn A massalla, vaikka kärryt liikkuvat yhdessä.
  • b-kohdassa hyväksytään johtopäätös, koska ”kimmottomassa törmäyksessä jotain häviää”; häviää liike-energiaa, ei liikemäärää.
  • b-kohdassa ero selitetään satunnaisella virheellä, vaikka kaikki tulokset poikkeavat samaan suuntaan.
  • c-kohdassa ehdotetaan vain toistoja; toistot pienentävät satunnaista virhettä mutta eivät poista systemaattista.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $p = m_\text{A} v_\text{A}$ ennen ja $p' = (m_\text{A} + m_\text{B})\,v'$ jälkeen; suhteellinen muutos $\dfrac{p' - p}{p}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $p \approx 0{,}323\,\text{kg} \cdot \text{m/s}$ ja $p' = 0{,}303\,\text{kg} \cdot \text{m/s}$ 2 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. Muutos noin $-6{,}3\,\%$, eli liikemäärä pieneni noin $6\,\%$. 1 p

b)5 p

Toteaa, että lämmöksi ja ääneksi muuttuu liike-energiaa, ei liikemäärää: liikemäärä ei ole energian laji. 1 p
Tärkeimmät virhelähteet on nimetty ja kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. Yhteinen nopeus mitattiin vasta $0{,}40$–$0{,}80\,\text{m}$ törmäyksen jälkeen, kun vierimisvastus oli jo ehtinyt hidastaa kärryjä; vierimisvastus on ulkoinen voima, joka muuttaa liikemäärää. 2 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Ero on systemaattinen: liikemäärä pieneni joka kerta, ja suhteellinen ero on suurin hitaimmassa kokeessa ($-12\,\%$) ja pienin nopeimmassa ($-3\,\%$), kuten vakiosuuruisen vastusvoiman vaikutuksesta odottaa. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Aineisto ei osoita, että liikemäärä ei säily; se sopii säilymislakiin, kun ulkoisen voiman vaikutus otetaan huomioon. 1 p

c)6 p

Nopeudet mitataan juuri ennen törmäystä ja heti sen jälkeen, esimerkiksi valoporteilla tai videosta lyhyeltä matkalta, tai nopeus ekstrapoloidaan $(t, v)$-kuvaajasta törmäyshetkeen. 2 p
Vierimisvastuksen vaikutus pienennetään tai mitataan: esimerkiksi ilmatyynyrata tai rata kallistetaan niin, että kärry liikkuu tasaisella nopeudella. 1 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Toistoja tehdään useita, ja nopeuden ja massan epävarmuudesta arvioidaan, kuinka suuri ero liikemäärissä on vielä mittaustarkkuuden rajoissa. 1 p
Mittauksia tehdään eri massoilla ja nopeuksilla, ja liikemäärät verrataan; lisäksi lasketaan liike-energian muutos ja verrataan teoreettiseen osuuteen $\tfrac{m_\text{B}}{m_\text{A} + m_\text{B}}$. 2 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (11 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

3.3-6 Paalutuskone ja lämpenevä paalu 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Paalutuskoneen luvut ovat keksitty esimerkki. Teräksen ominaislämpökapasiteetti on taulukkoarvo.

Rakennustyömaalla teräspaaluja lyödään maahan paalutuskoneella. Kone nostaa järkäleen paalun yläpään yläpuolelle ja päästää sen putoamaan vapaasti. Järkäle osuu paalun päähän eikä kimpoa, vaan paalu ja järkäle liikkuvat yhdessä alaspäin, kunnes maa pysäyttää ne.

  • järkäleen massa $3500\,\text{kg}$, paalun massa $1100\,\text{kg}$
  • pudotuskorkeus $0{,}60\,\text{m}$
  • paalu painuu yhdellä lyönnillä $18\,\text{mm}$ syvemmälle
  • paalun yläpään teräksen massa, joka lämpenee lyönneissä, noin $30\,\text{kg}$; teräksen ominaislämpökapasiteetti $460\,\text{J/(kg} \cdot \text{K)}$
  1. a) Kuinka suuri on järkäleen nopeus juuri ennen kuin se osuu paaluun? 3 p
  2. b) Kuinka suuri on järkäleen ja paalun yhteinen nopeus heti törmäyksen jälkeen? Kuinka paljon liike-energiaa törmäyksessä muuttuu muiksi energiamuodoiksi? 4 p
  3. c) Kuinka suuren keskimääräisen voiman maa kohdistaa paaluun, kun paalu painuu syvemmälle? 4 p
  4. d) Oletetaan, että $40\,\%$ törmäyksessä muuttuneesta energiasta jää paalun yläpään teräkseen sisäenergiaksi. Kuinka paljon yläpää lämpenee $50$ lyönnin aikana, jos se ei ehdi luovuttaa lämpöä ympäristöön? Arvioi oletusten vaikutusta tulokseen. 4 p

Taidot luvuista: Liikemäärän säilyminen ja yksiulotteiset törmäykset, Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate, Aineen lämpeneminen ja jäähtyminen: $Q = cm\Delta T$, Liike-energia, potentiaalienergia ja mekaaninen energia

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

pudotuskorkeus $h = 0{,}60\,\text{m}$, alkunopeus $0$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

järkäleen nopeus $v$ juuri ennen osumaa

Periaate

Järkäle putoaa vapaasti, ja ilmanvastus on näin lyhyellä pudotuksella pieni, joten vain paino tekee työtä ja mekaaninen energia säilyy (luku Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate). Nollataso on paalun yläpää.

Kaava

$Mgh = \tfrac12 Mv^2$, joten $v = \sqrt{2gh}$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$v$$= \sqrt{2 \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0{,}60\,\text{m}}$
$= \sqrt{11{,}77\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}$
$= 3{,}431\,\text{m/s}$

Vastaus

$v \approx 3{,}4\,\text{m/s}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten korkeus $0{,}60\,\text{m}$.

Järkevyys

Puolen metrin pudotus antaa muutaman metrin sekunnissa nopeuden, kuten esimerkiksi hypyssä tuolilta lattialle. Järkäleen liike-energia on

$Mgh$$= 3500\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0{,}60\,\text{m}$
$\approx 20{,}6\,\text{kJ}$

b)

Annettu

$M = 3500\,\text{kg}$, $m = 1100\,\text{kg}$, $v = 3{,}431\,\text{m/s}$, paalu levossa; järkäle ei kimpoa

Kysytty

yhteinen nopeus $v'$ ja muiksi energiamuodoiksi muuttuva liike-energia $E_\text{h}$

Periaate

Törmäys kestää hyvin lyhyen ajan, joten maan voiman ja painon impulssi on sen aikana pieni verrattuna kappaleiden välisten voimien impulssiin. Siksi kokonaisliikemäärä säilyy (luku Liikemäärän säilyminen ja yksiulotteiset törmäykset). Järkäle ja paalu liikkuvat yhdessä, joten törmäys on täysin kimmoton, ja liike-energiaa muuttuu sisäenergiaksi ja ääneksi. Alaspäin on positiivinen suunta.

Kaava

$Mv = (M + m)\,v'$, joten $v' = \dfrac{Mv}{M + m}$; $E_\text{h} = \tfrac12 Mv^2 - \tfrac12 (M + m)\,v'^2$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$v'$$= \dfrac{3500\,\text{kg} \cdot 3{,}431\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}}{4600\,\text{kg}}$
$= 2{,}611\,\text{m/s}$
$\tfrac12 Mv^2$
$= 20\,601\,\text{J}$
$\tfrac12 (M + m)\,v'^2$
$= \tfrac12 \cdot 4600\,\text{kg} \cdot \left(2{,}611\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2$
$= 15\,675\,\text{J}$

joten

$E_\text{h}$$= 20\,601\,\text{J} - 15\,675\,\text{J}$
$= 4926\,\text{J}$

Vastaus

$v' \approx 2{,}6\,\text{m/s}$

Ja $E_\text{h} \approx 4{,}9\,\text{kJ}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten pudotuskorkeus.

Järkevyys

Täysin kimmottomassa törmäyksessä levossa olevaan kappaleeseen liike-energiasta muuttuu osuus

$\dfrac{m}{M + m}$$= \dfrac{1100}{4600}$
$\approx 24\,\%$

ja $4926 : 20\,601 \approx 0{,}24$ täsmää. Siksi järkäle tehdään paljon paalua raskaammaksi: suurempi osa energiasta jää liikkeeseen, joka painaa paalua maahan.

c)

Annettu

$M + m = 4600\,\text{kg}$, $v' = 2{,}611\,\text{m/s}$, liike-energia törmäyksen jälkeen $15\,675\,\text{J}$, painuma $s = 18\,\text{mm}$, loppunopeus $0$

Kysytty

maan paaluun kohdistama keskimääräinen voima $F$

Periaate

Törmäyksen jälkeen järkäle ja paalu liikkuvat yhdessä matkan $s$ alaspäin ja pysähtyvät. Painon työ otetaan huomioon potentiaalienergian pienenemisenä $(M + m)\,gs$. Maan voima osoittaa liikettä vastaan, joten sen työ on $-Fs$. Energiaperiaatteen mukaan alun liike- ja potentiaalienergia ja maan voiman työ ovat yhteensä lopun energia (luku Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate). Nollataso on paalun pään loppuasema.

Kaava

$\tfrac12 (M + m)\,v'^2 + (M + m)\,gs - Fs = 0$, joten

$F$$= \dfrac{\tfrac12 (M + m)\,v'^2}{s} + (M + m)\,g$

Muunnokset

$18\,\text{mm}$$= 18 \cdot 0{,}001\,\text{m}$
$= 0{,}018\,\text{m}$

ja lopuksi $1\,\text{N} = 0{,}001\,\text{kN}$

Sijoitus

$F$$= \dfrac{15\,675\,\text{J}}{0{,}018\,\text{m}} + 4600\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$
$= 870\,800\,\text{N} + 45\,100\,\text{N}$
$= 915\,900\,\text{N}$
$\approx 916\,\text{kN}$

Vastaus

$F \approx 0{,}92\,\text{MN}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten painuma $18\,\text{mm}$.

Järkevyys

Voima on noin $20$-kertainen järkäleen ja paalun painoon $45\,\text{kN}$ verrattuna, koska liike-energia pysäytetään hyvin lyhyellä matkalla. Paino vaikuttaa tulokseen vain noin $5\,\%$, joten sen unohtaminen olisi pieni mutta todellinen virhe.

d)

Annettu

$E_\text{h} = 4926\,\text{J}$ lyönnissä, osuus $40\,\%$, lyöntejä $50$, lämpenevä massa $m_\text{t} = 30\,\text{kg}$, $c = 460\,\text{J/(kg} \cdot \text{K)}$

Kysytty

paalun yläpään lämpötilan nousu $\Delta T$ ja oletusten vaikutus

Periaate

Törmäyksessä muuttunut liike-energia ei katoa: osa siitä muuttuu paalun yläpään teräksen sisäenergiaksi. Kun teräs ei luovuta lämpöä ympäristöön eikä sen olomuoto muutu, sisäenergian kasvu nostaa lämpötilaa, ja $\Delta U = cm\Delta T$ pätee (luku Aineen lämpeneminen ja jäähtyminen).

Kaava

$\Delta U$$= 50 \cdot 0{,}40 \cdot E_\text{h}$
$= c\,m_\text{t}\,\Delta T$

joten

$\Delta T$$= \dfrac{50 \cdot 0{,}40 \cdot E_\text{h}}{c\,m_\text{t}}$

Muunnokset

$40\,\% = 0{,}40$; muut suureet ovat perusyksiköissä. Lämpötilan muutos on sama kelvineinä ja celsiusasteina.

Sijoitus

$\Delta T$$= \dfrac{50 \cdot 0{,}40 \cdot 4926\,\text{J}}{460\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}} \cdot 30\,\text{kg}}$
$= \dfrac{98\,520\,\text{J}}{13\,800\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}}$
$= 7{,}14\,\text{K}$

Vastaus

$\Delta T \approx 7\,\text{K}$

Yksi merkitsevä numero, koska osuus $40\,\%$ ja lämpenevä massa $30\,\text{kg}$ ovat vain arvioita. Todellinen lämpeneminen on pienempi: teräs johtaa lämpöä paalun alempiin osiin ja luovuttaa sitä ilmaan lyöntien välillä, ja osa energiasta muuttuu ääneksi ja järkäleen sisäenergiaksi.

Järkevyys

Yksi lyönti lämmittää yläpäätä vain noin $0{,}14\,\text{K}$, mutta lyöntejä on paljon. Muutaman asteen lämpeneminen sopii siihen, että paalun pää tuntuu lyöntisarjan jälkeen lämpimältä mutta ei kuumalta.

Yleisiä virheitä

  • b-kohdassa yhteinen nopeus lasketaan liike-energian säilymisestä; täysin kimmottomassa törmäyksessä liike-energia ei säily, vain liikemäärä.
  • c-kohdassa energiaperiaatteeseen otetaan järkäleen alkuperäinen liike-energia $20{,}6\,\text{kJ}$, vaikka osa siitä muuttui jo törmäyksessä sisäenergiaksi.
  • c-kohdassa painuman millimetrit sijoitetaan muuntamatta.
  • d-kohdassa sisäenergian kasvu lasketaan yhdestä lyönnistä, tai koko liike-energia $20{,}6\,\text{kJ}$ oletetaan muuttuvan teräksen sisäenergiaksi.

Hyväksytään myös

  • c-kohdassa vain liike-energialla, $F = \dfrac{15\,675\,\text{J}}{0{,}018\,\text{m}} \approx 0{,}87\,\text{MN}$, jos ratkaisu toteaa, että painon osuus jätetään pienenä pois.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $Mgh = \tfrac12 Mv^2$, joten $v = \sqrt{2gh}$; ilmanvastus on näin lyhyellä pudotuksella pieni. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $v = \sqrt{2 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 0{,}60\,\text{m}}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $v \approx 3{,}4\,\text{m/s}$ kahdella merkitsevällä numerolla kuten korkeus $0{,}60\,\text{m}$ 1 p

b)4 p

Perustelee liikemäärän säilymisen: törmäys on niin lyhyt, että maan voiman ja painon impulssi on sen aikana pieni. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $Mv = (M + m)\,v'$ ja $E_\text{h} = \tfrac12 Mv^2 - \tfrac12 (M + m)\,v'^2$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $v' \approx 2{,}61\,\text{m/s}$; $20\,601\,\text{J} - 15\,675\,\text{J} \approx 4{,}9\,\text{kJ}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $v' \approx 2{,}6\,\text{m/s}$ ja $E_\text{h} \approx 4{,}9\,\text{kJ}$ kahdella merkitsevällä numerolla 1 p

c)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Energiaperiaate liikkeelle törmäyksen jälkeen: $\tfrac12 (M + m)\,v'^2 + (M + m)\,g s - F s = 0$ 1 p
Ottaa huomioon, että myös järkäleen ja paalun potentiaalienergia pienenee painumisen aikana. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $F = \dfrac{15\,675\,\text{J}}{0{,}018\,\text{m}} + 4600\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 916\,\text{kN}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $F \approx 0{,}92\,\text{MN}$ kahdella merkitsevällä numerolla kuten matka $18\,\text{mm}$ 1 p

d)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $\Delta U = cm\Delta T$, missä $\Delta U = 50 \cdot 0{,}40 \cdot E_\text{h}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\Delta T = \dfrac{50 \cdot 0{,}40 \cdot 4926\,\text{J}}{460\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}} \cdot 30\,\text{kg}} \approx 7{,}1\,\text{K}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\Delta T \approx 7\,\text{K}$, yksi tai kaksi merkitsevää numeroa, koska osuus $40\,\%$ ja massa $30\,\text{kg}$ ovat arvioita 1 p
Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Todellinen lämpeneminen on pienempi, koska teräs luovuttaa lämpöä ilmaan ja paalun alempiin osiin lyöntien välillä; osa energiasta menee ääneksi ja järkäleeseen. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (15 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.