RuukkilabraLukion fysiikka
FY9 · Luku 3.2

Newtonin lait ja voimakuvio

Miksi auto saa peräkärryn liikkeelle, vaikka kärry vetää autoa taaksepäin yhtä suurella voimalla kuin auto vetää kärryä eteenpäin?

Pohjatiedot

Pohdinta

Mökkimatkalla henkilöauto vetää peräkärryä, jossa on polttopuita. Liikennevaloista lähdettäessä auto ja kärry kiihtyvät yhdessä. Newtonin kolmannen lain mukaan kärry vetää autoa taaksepäin yhtä suurella voimalla kuin auto vetää kärryä eteenpäin. Ylioppilaskokeessa tällainen tilanne alkaa usein sanoilla ”Piirrä voimakuvio”.

Miten auto ja kärry voivat lähteä liikkeelle, jos niiden toisiinsa kohdistamat voimat ovat yhtä suuret ja vastakkaiset? Mitkä voimat ratkaisevat kärryn liikkeen?

Ennusta

Tee ennusteet ennen tutkimista 6 kysymystä

Lähtötaso 1: liukuva kiekko

Jääkiekko on irronnut mailasta ja liukuu jäällä suoraan eteenpäin. Ilmanvastusta ei oteta huomioon. Mitkä voimat kiekkoon vaikuttavat liu'un aikana?

Lähtötaso 2: törmäys

Kuorma-auto ja pieni henkilöauto törmäävät. Kumpaan kohdistuu törmäyksessä suurempi voima?

Lähtötaso 3: hissi pysähtyy

Hissi liikkuu ylöspäin ja hidastaa pysähtyäkseen ylimpään kerrokseen. Mihin suuntaan hissikoriin vaikuttava kokonaisvoima osoittaa?

Lähtötaso 4: vino veto

Lapsi vetää pulkkaa narusta, joka nousee vinosti ylöspäin, ja pulkka liukuu vaakasuoralla lumella. Miten lumen tukivoima $N$ ja pulkan paino $G$ suhtautuvat toisiinsa?

Lähtötaso 5: punnus ja kärry

Kärry on vaakasuoralla pöydällä, ja siihen sidottu lanka kulkee pöydän reunan väkipyörän yli riippuvaan punnukseen, jonka massa on $m_2$. Kitkaa ei ole. Kun kärry päästetään irti, punnus laskee kiihtyen.Kuinka suuri on langan jännitysvoima $T$?

Lähtötaso 6: lepokitka

Kaappia työnnetään vaakasuoraan voimalla $40\,\text{N}$, mutta se ei liiku. Lepokitkan suurin mahdollinen arvo on $\mu_0 N = 90\,\text{N}$. Kuinka suuri on kaappiin vaikuttava kitkavoima?

Tutki

Kaksi hyppääjää

Simuloitu esimerkkiaineisto · Käyrät ovat luvun Ilmanvastus ja putoaminen ilmassa simulaation mallin arvoja, eivät mittauksia.

Kuvaajassa on kahden samassa asennossa putoavan laskuvarjohyppääjän nopeus ajan funktiona ennen varjon avaamista. Hyppääjien massat varusteineen ovat $60{,}0\,\text{kg}$ ja $100{,}0\,\text{kg}$. Katkoviiva on nopeus ilman ilmanvastusta. Mieti ensin, mitä käyrän jyrkkyys kertoo kiihtyvyydestä ja kokonaisvoimasta. Vastaa alla raskaamman hyppääjän ilmanvastuksella.

$5$
$10$
$15$
$20$
$25$
$30$
$10$
$20$
$30$
$40$
$50$
$60$
$70$
$0$
$t\ (\text{s})$
$v\ (\text{m/s})$
$\text{ilman ilmanvastusta}$
$m = 100\,\text{kg}$
$m = 60\,\text{kg}$

Kuinka suuri ilmanvastus vaikuttaa $100{,}0\,\text{kg}$:n hyppääjään hetkellä $t = 25\,\text{s}$? Vastaa newtoneina.

N
Vihje 1: ohjaava kysymys

Miltä käyrä näyttää hetkellä $25\,\text{s}$? Mitä se kertoo kiihtyvyydestä?

Vihje 2: mikä yhteys

Kun nopeus ei muutu, kokonaisvoima on nolla. Mitkä kaksi voimaa hyppääjään vaikuttavat?

Vihje 3: välivaihe

Ilmanvastus on yhtä suuri kuin paino: $F_\text{v} = mg$.

Näytä ratkaisu

Annettu

massa $m = 100{,}0\,\text{kg}$; kuvaajasta raskaamman hyppääjän nopeus noin $61\,\text{m/s}$ hetkellä $25\,\text{s}$ ja käyrä vaakasuora; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

ilmanvastus $F_\text{v}$ newtoneina

Periaate

Kiihtyvyys on $(t, v)$-käyrän jyrkkyys. Kun käyrä on vaakasuora, nopeus ei muutu, joten kiihtyvyys ja Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima ovat nolla. Hyppääjään vaikuttavat vain paino alas ja ilmanvastus ylös, joten ne ovat yhtä suuret (luku Ilmanvastus ja putoaminen ilmassa).

Kuvaajan lukeminen

$100\,\text{kg}$:n käyrä on tasaantunut noin $61\,\text{m/s}$:iin jo ennen hetkeä $25\,\text{s}$, joten se on siinä vaakasuora: hyppääjä putoaa rajanopeudella.

Voimakuvio

Hyppääjä suorakulmiona, positiivinen suunta alas. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ yhtä pitkänä ylös. Nopeus alas merkitään erikseen, kiihtyvyys on nolla.

$\overline{G}$
$\overline{F}_{\text{v}}$
$\overline{v}$

Kaava

$mg - F_\text{v} = ma = 0$, joten $F_\text{v} = mg$

Muunnokset

Ei tarvita, suureet ovat perusyksiköissä.

Sijoitus

$F_\text{v}$$= 100{,}0\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$
$= 981\,\text{N}$

Vastaus

$981\,\text{N}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten putoamiskiihtyvyydessä $9{,}81\,\text{m/s}^2$.

Järkevyys

Nopeus ei vaikuta tulokseen suoraan: rajanopeudella ilmanvastus on aina painon suuruinen. Kevyemmän hyppääjän ilmanvastus on rajanopeudella $588{,}6\,\text{N}$, ja siksi hänen rajanopeutensa on pienempi, noin $48\,\text{m/s}$. Hypyn alussa, hetkellä $t = 0$, ilmanvastus on nolla ja käyrät ovat yhtä jyrkkiä kuin katkoviiva, $a = g$.

Teoriatiivistelmä

Ydinajatus

Kaikki tämän tunnin tehtävät ratkaistaan samalla tavalla: ensin voimakuvio, sitten liikeyhtälö. Valitse kappale, luettele sen vuorovaikutukset ja piirrä jokaisesta yksi voima. Kappale on voimakuviossa suorakulmio, ja jokainen voima lähtee vaikutuskohdastaan. Valitse sitten akselit ja kirjoita Newtonin toinen laki kunkin akselin suuntaan. Kokeessa voimakuvion pisteet menetetään puuttuvasta, ylimääräisestä tai väärään suuntaan piirretystä voimasta.

$\textbf{voimakuvio ensin}$
$\text{kappale} \to \text{vuorovaikutukset}$
$\to \text{akselit} \to \Sigma F_x = ma_x$
$\textbf{Newtonin lait}$
$\Sigma\overline{F} = \overline{0}$
$\text{I: lepo tai vakionopeus}$
$\Sigma\overline{F} = m\overline{a}$
$\text{II}$
$\overline{F}_{AB} = -\overline{F}_{BA}$
$\text{III}$
$\textbf{voimat}$
$G = mg$
$\text{paino}$
$F_\mu = \mu N$
$\text{liikekitka}$
$F_{\mu 0} \le \mu_0 N$
$\text{lepokitka}$
$\textbf{erikoistilanteet}$
$G_x = mg\sin\alpha$
$\text{rinne}$
$\Sigma F_x = m_i a_x$
$\text{kytketyt}$
$F_\text{v} = G$
$\text{rajanopeus}$

Alun kysymyksen ratkaisee kappaleen valinta. Auto ja kärry vaikuttavat toisiinsa yhtä suurilla voimilla, mutta voimat vaikuttavat eri kappaleisiin, joten ne eivät kumoa toisiaan. Kärryn liikkeen ratkaisevat vain kärryyn vaikuttavat voimat: kiihdytettäessä vetoaisa vetää sitä eteenpäin enemmän kuin vierimisvastus jarruttaa.

Newtonin lait ja voimat

Newtonin lait

$$\begin{aligned} \Sigma\overline{F} &= \overline{0} \ \Leftrightarrow\ \overline{v} = \text{vakio} \\ \Sigma\overline{F} &= m\overline{a} \\ \overline{F}_{AB} &= -\overline{F}_{BA} \end{aligned}$$

missä $\Sigma\overline{F}$ on kappaleeseen vaikuttavien voimien summa ($\text{N}$), $m$ massa ($\text{kg}$), $\overline{a}$ kiihtyvyys ($\text{m/s}^2$) ja $\overline{F}_{AB}$ voima, jolla A vaikuttaa B:hen. Laskussa toinen laki kirjoitetaan komponenteittain, $\Sigma F_x = ma_x$ ja $\Sigma F_y = ma_y$, ja vinon voiman komponentit ovat $F\cos\alpha$ ja $F\sin\alpha$. Kokonaisvoima osoittaa kiihtyvyyden suuntaan, ei aina nopeuden suuntaan.

Paino, kitka ja rinne

$$\begin{aligned} G &= mg \\ F_\mu &= \mu N \\ F_{\mu 0} &\le \mu_0 N \end{aligned}$$

missä $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$, $N$ on tukivoima ($\text{N}$), $\mu$ liikekitkakerroin ja $\mu_0$ lepokitkakerroin. Lepokitka on vain niin suuri kuin tilanne vaatii, ja se vastustaa pintojen liukumista toistensa suhteen, ei aina liikettä. Kaavat ovat kuivien pintojen kokeellisia malleja. Voimakuvioissa $\overline{F}_\mu$ tarkoittaa kumpaa tahansa kitkaa, lepo- tai liikekitkaa.

Rinteessä, jonka kaltevuuskulma on $\alpha$, painon komponentit ovat $G_x = mg\sin\alpha$ rinnettä alas ja $G_y = mg\cos\alpha$ rinnettä kohti. Kun pintaa vastaan kohtisuorassa vaikuttavat vain paino ja tukivoima, $N = mg\cos\alpha$. Komponentit eivät ole uusia voimia: ne piirretään katkoviivoin ja korvaavat painon laskussa.

$\text{tilannekuva}$
$\overline{v}$
$\overline{a}$
$\alpha$
$\text{voimakuvio}$
$\overline{G}$
$\overline{N}$
$\overline{F}_{\mu}$
$\overline{G}_{x}$
$\overline{G}_{y}$
$\alpha$

Kytketyt kappaleet ja ilmanvastus

Kytketyille kappaleille piirretään kullekin oma voimakuvio ja kirjoitetaan oma liikeyhtälö. Kevyt, venymätön lanka ja kevyt, kitkaton väkipyörä antavat kappaleille saman kiihtyvyyden suuruuden ja samansuuruiset jännitysvoimat. Ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ osoittaa nopeutta vastaan ja kasvaa nopeuden kasvaessa. Rajanopeudella kiihtyvyys on nolla, joten $F_\text{v} = G$.

Yleisiä virheitä

  • Liikkeen suuntainen voima. Liukuvaan kappaleeseen ei vaikuta mikään eteenpäin. Jokaisella voimalla on aiheuttaja, toinen kappale.
  • Voima ja vastavoima samassa kuviossa. Ne vaikuttavat eri kappaleisiin eivätkä kumoa toisiaan.
  • $N = mg$ aina. Rinteessä, vinossa vedossa ja kiihtyvässä hississä tukivoima on eri suuri kuin paino.
  • $F_\mu = \mu_0 N$ levossa. Levossa kitka on vain niin suuri kuin tilanne vaatii; $\mu_0 N$ on sen yläraja.
  • Kytketyt: $T = m_2 g$. Kun riippuva kappale kiihtyy alas, langan jännitysvoima on painoa pienempi.
  • Komponentit voimien lisäksi. Jos sekä paino että sen komponentit ovat laskussa, paino tulee laskettua kahteen kertaan.

Kertaa tarvittaessa

Sovella

Etsi virhe: pulkka rinteessä

Pulkka ($25\,\text{kg}$ lapsineen) liukuu rinnettä alas, rinteen kaltevuuskulma on $20^\circ$ ja liikekitkakerroin $0{,}10$. Opiskelija laski kitkan: ”$F_\mu = \mu m g = 0{,}10 \cdot 25\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 25\,\text{N}$.” Mikä ratkaisussa on väärin?

Etsi virhe: laatikko hihnalla

Kuljetinhihna lähtee liikkeelle oikealle ja kiihtyy. Pahvilaatikko kiihtyy hihnan mukana liukumatta. Ilmanvastusta ei oteta huomioon. Opiskelija piirsi laatikon voimakuvion.

$\text{tilannekuva}$
$\overline{v}$
$\overline{a}$
$\text{voimakuvio}$
$\overline{a}$
$\overline{G}$
$\overline{N}$
$\overline{F}_{\mu}$

Mikä opiskelijan voimakuviossa on väärin?

Mikä kuvaaja: kahvinsuodatin

Kevyt kahvinsuodatin pudotetaan levosta, ja se saavuttaa pian rajanopeutensa. Miten suodattimen kiihtyvyys muuttuu ajan funktiona, kun suodatin putoaa?

Perusteltu väite: väkipyörä

Kevyen, kitkattoman väkipyörän yli kulkevan langan päissä roikkuvat kappaleet, joiden massat ovat $2{,}0\,\text{kg}$ ja $3{,}0\,\text{kg}$. Kappaleet päästetään levosta. Mikä väite langan jännitysvoimasta $T$ on oikein?

Nosturi laskee kuormaa

Rakennusnosturi laskee $650\,\text{kg}$:n betonielementtiä pystysuoraan alaspäin. Ennen maahan tuloa nosturi jarruttaa: elementti liikkuu yhä alaspäin, mutta sen nopeus pienenee tasaisesti, ja hidastuvuus on $0{,}60\,\text{m/s}^2$.

Kuinka suuri on köyden jännitysvoima jarrutuksen aikana? Vastaa kilonewtoneina.

kN
Vihje 1: ohjaava kysymys

Mihin suuntaan kiihtyvyys osoittaa, kun alaspäin liikkuva kuorma hidastuu?

Vihje 2: mikä yhteys

Kiihtyvyys osoittaa ylös, joten kokonaisvoima osoittaa ylös: $T - mg = ma$, kun ylöspäin on positiivinen.

Vihje 3: välivaihe
$T$$= m(g + a)$
$= 650\,\text{kg} \cdot (9{,}81 + 0{,}60)\,\text{m/s}^2$
Näytä ratkaisu

Annettu

massa $m = 650\,\text{kg}$, hidastuvuus $0{,}60\,\text{m/s}^2$ (kuorma liikkuu alas ja hidastuu), $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

köyden jännitysvoima $T$ kilonewtoneina

Periaate

Valitaan kappaleeksi elementti. Siihen vaikuttavat Maa (paino) ja köysi (jännitysvoima). Nopeus osoittaa alas ja pienenee, joten kiihtyvyys osoittaa ylös, ja Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima osoittaa myös ylös (luku Newtonin toinen laki).

Voimakuvio

Elementti suorakulmiona, positiivinen suunta ylös. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja köyden jännitysvoima $\overline{T}$ yläpinnasta ylös, painoa pidempänä. Nopeus alas ja kiihtyvyys ylös merkitään erikseen.

$\overline{G}$
$\overline{T}$
$\overline{v}$
$\overline{a}$

Kaava

$T - mg = ma$, joten $T = m(g + a)$

Muunnokset

Kiihtyvyys osoittaa ylös, joten $a = +0{,}60\,\text{m/s}^2$. Lopuksi $1\,\text{N} = 0{,}001\,\text{kN}$.

Sijoitus

$T$$= 650\,\text{kg} \cdot (9{,}81\,\text{m/s}^2 + 0{,}60\,\text{m/s}^2)$
$= 650\,\text{kg} \cdot 10{,}41\,\text{m/s}^2$
$= 6766{,}5\,\text{N}$
$= 6{,}7665\,\text{kN}$

Vastaus

$6{,}8\,\text{kN}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten hidastuvuudessa $0{,}60\,\text{m/s}^2$.

Järkevyys

Paino on $650\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 6{,}38\,\text{kN}$. Jarrutuksessa köyden on sekä kannateltava painoa että hidastettava kuormaa, joten $T$ on noin $6\,\%$ painoa suurempi, kuten pitää, kun $a$ on noin $6\,\%$ $g$:stä.

Pulkan veto vinossa

Pulkkaa, jonka massa kuormineen on $18\,\text{kg}$, vedetään vaakasuoralla lumella tasaisella nopeudella. Narun veto on $60\,\text{N}$, ja naru on $25^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden. Määritä pulkan ja lumen välinen liikekitkakerroin.

Vihje 1: ohjaava kysymys

Tasainen nopeus: voimien summa on nolla kummankin akselin suunnassa. Mitkä neljä voimaa pulkkaan vaikuttavat?

Vihje 2: mikä yhteys

Vaakasuunnassa $T\cos\alpha = F_\mu$, pystysuunnassa $N + T\sin\alpha = mg$.

Vihje 3: välivaihe
$N$$= mg - T\sin\alpha$
$\mu$$= \dfrac{T\cos\alpha}{mg - T\sin\alpha}$
Näytä ratkaisu

Annettu

massa $m = 18\,\text{kg}$, veto $T = 60\,\text{N}$, kulma $\alpha = 25^\circ$, nopeus vakio, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

liikekitkakerroin $\mu$

Periaate

Nopeus on vakio, joten Newtonin ensimmäisen lain mukaan voimien summa on nolla kummankin akselin suunnassa. Narun voima on vino, joten se jaetaan komponentteihin. Pulkka liukuu, joten kitka on liikekitkaa $\mu N$ (luvut Voimakuvio ja voimien yhteisvaikutus ja Paino, kitka ja kalteva taso).

Voimakuvio

Pulkka suorakulmiona, $x$-akseli oikealle ja $y$-akseli ylös. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas, tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös, narun jännitysvoima $\overline{T}$ etupäästä vinosti ylös ja liikekitka $\overline{F}_\mu$ alapinnan takakulmasta taaksepäin.

$\overline{G}$
$\overline{T}$
$\overline{F}_{\mu}$
$\overline{N}$
$\overline{v}$

Kaava

$x$: $T\cos\alpha - F_\mu = 0$ ja $y$: $N + T\sin\alpha - mg = 0$. Kun $F_\mu = \mu N$, saadaan

$\mu$$= \dfrac{T\cos\alpha}{mg - T\sin\alpha}$

Muunnokset

Ei tarvita, suureet ovat perusyksiköissä.

Sijoitus

$T\cos\alpha$$= 60\,\text{N} \cdot \cos 25^\circ$
$= 54{,}38\,\text{N}$
$N$$= 18\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 - 60\,\text{N} \cdot \sin 25^\circ$
$= 176{,}58\,\text{N} - 25{,}36\,\text{N}$
$= 151{,}22\,\text{N}$

joten

$\mu$$= \dfrac{54{,}38\,\text{N}}{151{,}22\,\text{N}}$
$= 0{,}3596$

Vastaus

$\mu \approx 0{,}36$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $18\,\text{kg}$ ja vedossa $60\,\text{N}$. Kitkakertoimella ei ole yksikköä.

Järkevyys

Kerroin on pienempi kuin $1$ ja suurempi kuin voidellun suksen muutama sadasosa, mikä sopii tavalliselle muovipulkalle pehmeässä lumessa. Jos tukivoimana käytettäisiin painoa, kerroin olisi noin $0{,}31$, eli vinon vedon vaikutus on noin $15\,\%$.

Jyrkkä pulkkamäki

Pulkka liukuu jyrkkää mäkeä alas. Mäen kaltevuuskulma on $28^\circ$, ja pulkan ja lumen välinen liikekitkakerroin on $0{,}15$. Ilmanvastusta ei oteta huomioon. Kuinka suuri on pulkan kiihtyvyys?

m/s²
Vihje 1: ohjaava kysymys

Valitse $x$-akseli rinnettä alas ja $y$-akseli kohtisuoraan rinnettä vastaan. Mitkä ovat painon komponentit?

Vihje 2: mikä yhteys

$y$: $N = mg\cos\alpha$. $x$: $mg\sin\alpha - \mu N = ma$.

Vihje 3: välivaihe

Massa supistuu: $a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$.

Näytä ratkaisu

Annettu

kaltevuuskulma $\alpha = 28^\circ$, liikekitkakerroin $\mu = 0{,}15$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; ilmanvastus jätetään pois

Kysytty

pulkan kiihtyvyys $a$

Periaate

Pulkkaan vaikuttavat Maa (paino) ja lumi (tukivoima ja liikekitka). Pulkka liukuu alas, joten kitka osoittaa rinnettä ylös. Newtonin toinen laki kirjoitetaan rinteen suuntaiselle ja sitä vastaan kohtisuoralle akselille; kohtisuorassa suunnassa kiihtyvyys on nolla (luku Paino, kitka ja kalteva taso).

Voimakuvio

Pulkka rinteen suuntaisena suorakulmiona, $x$-akseli rinnettä alas. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä suoraan alas, tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta kohtisuoraan rinteestä ulos ja liikekitka $\overline{F}_\mu$ alapinnan ylemmästä kulmasta rinnettä ylös. Painon komponentit katkoviivoin.

$x$
$y$
$\overline{G}$
$\overline{F}_{\mu}$
$\overline{N}$
$\overline{G}_{x}$
$\overline{G}_{y}$
$\overline{a}$

Kaava

$y$: $N - mg\cos\alpha = 0$ ja $x$: $mg\sin\alpha - \mu N = ma$, joten $a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$

Muunnokset

Ei tarvita. Massaa ei tarvita, koska se supistuu.

Sijoitus

$a$$= 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot (\sin 28^\circ - 0{,}15 \cdot \cos 28^\circ)$
$= 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot (0{,}4695 - 0{,}1324)$
$= 3{,}306\,\text{m/s}^2$

Vastaus

$a \approx 3{,}3\,\text{m/s}^2$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten kitkakertoimessa $0{,}15$.

Järkevyys

Ilman kitkaa kiihtyvyys olisi $g\sin 28^\circ \approx 4{,}6\,\text{m/s}^2$, ja kitka pienentää sitä noin neljänneksellä. Tulos on pienempi kuin $g$, kuten rinteessä pitää. Voimakuviossa paino on $100$ yksikköä, joten nuolten pituudet ovat mittakaavassa.

Ylös lyöty lentopallo

Lentopallo ($270\,\text{g}$) lyödään suoraan ylöspäin. Eräällä hetkellä nousun aikana palloon vaikuttava ilmanvastus on $0{,}60\,\text{N}$. Kuinka suuri on pallon kiihtyvyys sillä hetkellä?

m/s²
Vihje 1: ohjaava kysymys

Mihin suuntaan ilmanvastus osoittaa, kun pallo nousee?

Vihje 2: mikä yhteys

Paino ja ilmanvastus osoittavat kumpikin alas. Valitse positiivinen suunta alas: $mg + F_\text{v} = ma$.

Vihje 3: välivaihe

$a = g + \dfrac{F_\text{v}}{m}$, kun massa on kilogrammoina.

Näytä ratkaisu

Annettu

massa $m = 270\,\text{g}$, ilmanvastus $F_\text{v} = 0{,}60\,\text{N}$, pallo nousee, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

pallon kiihtyvyys $a$

Periaate

Lyönnin jälkeen palloon vaikuttavat vain Maa (paino) ja ilma (ilmanvastus). Ilmanvastus osoittaa nopeutta vastaan, joten nousevalla pallolla se osoittaa alas painon kanssa. Kokonaisvoima ja kiihtyvyys osoittavat alas (luku Ilmanvastus ja putoaminen ilmassa).

Voimakuvio

Pallo suorakulmiona, positiivinen suunta alas. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ alas. Nopeus ylös ja kiihtyvyys alas merkitään erikseen.

$\overline{G}$
$\overline{F}_{\text{v}}$
$\overline{v}$
$\overline{a}$

Kaava

$mg + F_\text{v} = ma$, joten $a = g + \dfrac{F_\text{v}}{m}$

Muunnokset

$270\,\text{g}$$= 270 \cdot 0{,}001\,\text{kg}$
$= 0{,}270\,\text{kg}$

Sijoitus

$a$$= 9{,}81\,\text{m/s}^2 + \dfrac{0{,}60\,\text{N}}{0{,}270\,\text{kg}}$
$= 9{,}81\,\text{m/s}^2 + 2{,}222\,\text{m/s}^2$
$= 12{,}03\,\text{m/s}^2$

Vastaus

$a \approx 12\,\text{m/s}^2$

Alaspäin, kaksi merkitsevää numeroa kuten ilmanvastuksessa $0{,}60\,\text{N}$.

Järkevyys

Kiihtyvyys on suurempi kuin $g$, koska kumpikin voima hidastaa nousua: pallo pysähtyy nopeammin kuin ilman ilmanvastusta. Ilmanvastus on noin viidesosa painosta $2{,}65\,\text{N}$, mikä sopii kovaa lyödylle kevyelle pallolle.

Tarkista osaamisesi

Exit ticket

Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.

  1. Kirja on levossa pöydällä. Mikä voima on kirjan painon vastavoima Newtonin kolmannen lain mukaan? Onko se pöydän tukivoima?
    Vastaus

    Painon vastavoima on voima, jolla kirja vetää Maata ylöspäin: paino on Maan ja kirjan vuorovaikutus, joten vastavoima vaikuttaa Maahan. Pöydän tukivoima ei ole vastavoima, vaikka se on yhtä suuri ja vastakkainen: se vaikuttaa samaan kappaleeseen, kirjaan, ja on yhtä suuri vain siksi, että kirja on levossa (ensimmäinen laki). Tukivoiman vastavoima on kirjan voima pöytään alaspäin.

  2. Laatikko ($10{,}0\,\text{kg}$) on levossa rinteellä, jonka kaltevuuskulma on $30^\circ$. Kuinka suuri on rinteen tukivoima?
    Vastaus

    Pintaa vastaan kohtisuorassa vaikuttavat vain paino ja tukivoima, joten $N = mg\cos\alpha = 10{,}0\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot \cos 30^\circ \approx 85{,}0\,\text{N}$, painoa $98{,}1\,\text{N}$ pienempi.

1. Käsite

Auto ajaa suoraa ylämäkeä tasaisella nopeudella $60\,\text{km/h}$. Mikä väite autoon vaikuttavista voimista on oikein?

Kertaa ensimmäinen laki luvussa Vuorovaikutus ja voima: Newtonin ensimmäinen ja kolmas laki ja rinteen voimat luvussa Paino, kitka ja kalteva taso.

2. Laskeminen

Laatikko A ($30\,\text{kg}$) ja laatikko B ($20\,\text{kg}$) ovat vierekkäin vaakasuoralla lattialla. A:ta työnnetään vaakasuoraan voimalla $120\,\text{N}$, ja A työntää B:tä edellään. Kummankin laatikon ja lattian välinen liikekitkakerroin on $0{,}15$.

Kuinka suurella voimalla A työntää B:tä?

N
Vihje 1: ohjaava kysymys

Laatikot liikkuvat yhdessä. Laske ensin kiihtyvyys koko systeemille: mitkä vaakasuorat voimat ovat ulkoisia?

Vihje 2: mikä yhteys
$a$$= \dfrac{F - \mu(m_\text{A} + m_\text{B})g}{m_\text{A} + m_\text{B}}$

Piirrä sitten pelkän B:n voimakuvio.

Vihje 3: välivaihe

B:n liikeyhtälö: $P - \mu m_\text{B} g = m_\text{B} a$.

Näytä ratkaisu

Annettu

$m_\text{A} = 30\,\text{kg}$, $m_\text{B} = 20\,\text{kg}$, työntö $F = 120\,\text{N}$, liikekitkakerroin $\mu = 0{,}15$ kummallakin, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

voima $P$, jolla A työntää B:tä

Periaate

Laatikot liikkuvat yhdessä, joten niillä on sama kiihtyvyys. Kiihtyvyys saadaan koko systeemistä, jossa A:n ja B:n väliset voimat ovat sisäisiä ja kumoavat toisensa (kolmas laki). Sitten valitaan kappaleeksi pelkkä B, jolloin A:n voima on ulkoinen (luku Liikeyhtälö kytketyille kappaleille).

Voimakuvio

Laatikko B suorakulmiona, positiivinen suunta oikealle. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas, tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös, A:n työntö $\overline{P}$ vasemmasta sivusta oikealle ja liikekitka $\overline{F}_\mu$ alapinnan takakulmasta vasemmalle.

$\overline{G}$
$\overline{P}$
$\overline{F}_{\mu}$
$\overline{N}$
$\overline{a}$
$\text{vaaka- ja pystyvoimat eri mittakaavassa}$

Kaava

Systeemi: $F - \mu(m_\text{A} + m_\text{B})g = (m_\text{A} + m_\text{B})a$. B: $P - \mu m_\text{B} g = m_\text{B} a$, joten

$P$$= m_\text{B}(a + \mu g)$
$= \dfrac{m_\text{B}}{m_\text{A} + m_\text{B}}\,F$

Muunnokset

Ei tarvita, suureet ovat perusyksiköissä.

Sijoitus

$a$$= \dfrac{120\,\text{N} - 0{,}15 \cdot 50\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{50\,\text{kg}}$
$= \dfrac{46{,}425\,\text{N}}{50\,\text{kg}}$
$= 0{,}9285\,\text{m/s}^2$
$P$$= 20\,\text{kg} \cdot (0{,}9285\,\text{m/s}^2 + 1{,}4715\,\text{m/s}^2)$
$= 48{,}0\,\text{N}$

Vastaus

$P \approx 48\,\text{N}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten kitkakertoimessa $0{,}15$.

Järkevyys

Kun kitkakerroin on sama, B saa työnnöstä massansa osuuden: $\tfrac{20}{50} \cdot 120\,\text{N} = 48\,\text{N}$. Voima on pienempi kuin työntö $120\,\text{N}$, kuten pitää. A työntää B:tä voimalla $48\,\text{N}$, ja B työntää A:ta yhtä suurella voimalla taaksepäin.

Kertaa oma voimakuvio ja liikeyhtälö kullekin kappaleelle luvussa Liikeyhtälö kytketyille kappaleille ja kitka luvussa Paino, kitka ja kalteva taso.

3. Selitä

Raskas ja kevyt puulaatikko, joiden pohjat ovat samaa puuta, ovat lankulla. Lankkua kallistetaan hitaasti. Selitä voimakuvion ja liikeyhtälön avulla, miksi laatikot lähtevät liukumaan samalla kaltevuuskulmalla, vaikka raskaampaan vaikuttaa suurempi paino.

Tehtävät

3.2-1 Veneen vinssaus 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Vene, luiska ja kitkakertoimet ovat keksittyjä esimerkkejä, jotka vastaavat märkien muoviliukujen ja alumiiniveneen suuruusluokkaa.

Mökin rannassa on puinen veneluiska, jonka kaltevuuskulma on $14^\circ$. Luiskan pinnassa on muoviset liukulistat. Alumiinivene, jonka massa on $280\,\text{kg}$, vedetään syksyllä vedestä luiskaa ylös sähkövinssillä. Vinssin vaijeri on luiskan suuntainen.

Veneen pohjan ja märkien liukulistojen välillä:

  • lepokitkakerroin $\mu_0 = 0{,}35$
  • liikekitkakerroin $\mu = 0{,}25$
  1. a) Piirrä veneen voimakuvio, kun vinssi vetää venettä luiskaa ylös tasaisella nopeudella. 4 p
  2. b) Kuinka suurella voimalla vinssin vaijeri vetää venettä, kun vene liikkuu tasaisella nopeudella? 5 p
  3. c) Vinssi pysähtyy, ja vene jää luiskalle. Pysyykö vene paikallaan, jos vaijeri löystyy? Kuinka suuri luiskan kaltevuuskulman pitäisi vähintään olla, jotta vene lähtisi levosta itsestään liukumaan takaisin veteen? 6 p

Taidot luvuista: Voimakuvio ja voimien yhteisvaikutus, Paino, kitka ja kalteva taso, Newtonin toinen laki

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

veneen voimakuvio, kun vinssi vetää venettä luiskaa ylös tasaisella nopeudella

Periaate

Valitaan kappaleeksi vene ja etsitään sen vuorovaikutukset: Maa (paino), luiskan liukulistat (tukivoima ja kitka) ja vaijeri (jännitysvoima). Vene liukuu luiskaa ylös, joten liikekitka osoittaa luiskaa alas. Nopeus on vakio, joten voimien summa on nolla.

Mallivastaus

Vene piirretään luiskan suuntaiseksi suorakulmioksi.
- Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä suoraan alas, ei kohtisuoraan luiskaa vastaan.
- Tukivoima $\overline{N}$ lähtee pohjasta kohtisuoraan luiskasta ulospäin. Se on yhtä suuri kuin painon luiskaa vastaan kohtisuora komponentti, joten se on hieman painoa pienempi.
- Liikekitka $\overline{F}_\mu$ lähtee pohjan alemmasta kulmasta luiskaa alas.
- Vaijerin jännitysvoima $\overline{T}$ lähtee keulasta luiskaa ylös.

Nuolten pituudet: $\overline{T}$ on yhtä pitkä kuin kitka ja painon luiskan suuntainen komponentti yhteensä, koska kokonaisvoima on nolla. Nopeuden saa merkitä erikseen kuvion viereen, mutta ei voimaksi.

$\overline{G}$
$\overline{F}_{\mu}$
$\overline{T}$
$\overline{N}$
$\overline{v}$

b)

Annettu

massa $m = 280\,\text{kg}$, luiskan kaltevuuskulma $\alpha = 14^\circ$, liikekitkakerroin $\mu = 0{,}25$, nopeus vakio, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

vaijerin jännitysvoima $T$

Periaate

Nopeus on vakio, joten Newtonin ensimmäisen lain mukaan voimien summa on nolla sekä luiskan suunnassa että sitä vastaan kohtisuorassa. Vene liukuu, joten kitka on liikekitkaa $\mu N$, ja kohtisuorassa suunnassa vaikuttavat vain painon komponentti ja tukivoima (luku Paino, kitka ja kalteva taso).

Voimakuvio

a-kohdan kuvio; $x$-akseli luiskaa ylös ja $y$-akseli kohtisuoraan luiskasta ulos. Painon komponentit ovat $G_x = mg\sin\alpha$ luiskaa alas ja $G_y = mg\cos\alpha$ luiskaa kohti.

$x$
$y$
$\overline{G}$
$\overline{F}_{\mu}$
$\overline{T}$
$\overline{N}$
$\overline{G}_{x}$
$\overline{G}_{y}$

Kaava

$y$: $N - mg\cos\alpha = 0$ ja $x$: $T - mg\sin\alpha - \mu N = 0$, joten $T = mg(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)$

Muunnokset

Ei tarvita, suureet ovat perusyksiköissä.

Sijoitus

$T$$= 280\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot (\sin 14^\circ + 0{,}25 \cdot \cos 14^\circ)$
$= 2746{,}8\,\text{N} \cdot (0{,}2419 + 0{,}2426)$
$= 1330{,}8\,\text{N}$

Vastaus

$T \approx 1{,}3\,\text{kN}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten kulmassa $14^\circ$ ja kitkakertoimessa $0{,}25$.

Järkevyys

Painon luiskan suuntainen komponentti on $665\,\text{N}$ ja kitka $666\,\text{N}$, joten vinssi tekee kitkaa vastaan lähes yhtä paljon kuin nostaa venettä. Veto on noin puolet painosta $2{,}7\,\text{kN}$: luiska keventää työtä, mutta kitka syö siitä paljon.

c)

Annettu

$m = 280\,\text{kg}$, $\alpha = 14^\circ$, lepokitkakerroin $\mu_0 = 0{,}35$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

pysyykö vene levossa, ja pienin kaltevuuskulma $\alpha_0$, jolla vene lähtee itsestään liukumaan

Periaate

Vaijerin löystyttyä veneeseen vaikuttavat paino, tukivoima ja lepokitka, joka osoittaa luiskaa ylös. Lepokitka on vain niin suuri kuin tilanne vaatii, enintään $\mu_0 N$. Vene pysyy paikallaan, jos tarvittava lepokitka $mg\sin\alpha$ ei ylitä tätä ylärajaa (luku Paino, kitka ja kalteva taso).

Voimakuvio

Vene luiskan suuntaisena suorakulmiona: paino keskipisteestä alas, tukivoima pohjasta kohtisuoraan luiskasta ulos ja lepokitka pohjan ylemmästä kulmasta luiskaa ylös, yhtä suurena kuin painon luiskan suuntainen komponentti.

$\overline{G}$
$\overline{F}_{\mu}$
$\overline{N}$

Kaava

Vene pysyy, kun $mg\sin\alpha \le \mu_0 mg\cos\alpha$ eli $\tan\alpha \le \mu_0$. Rajakulmalla $\tan\alpha_0 = \mu_0$, joten $\alpha_0 = \arctan\mu_0$

Muunnokset

Ei tarvita. Massa supistuu.

Sijoitus

Tarvittava lepokitka

$mg\sin\alpha$$= 2746{,}8\,\text{N} \cdot \sin 14^\circ$
$= 664{,}5\,\text{N}$

ja yläraja

$\mu_0 mg\cos\alpha$$= 0{,}35 \cdot 2746{,}8\,\text{N} \cdot \cos 14^\circ$
$= 932{,}8\,\text{N}$

rajakulma

$\alpha_0$$= \arctan 0{,}35$
$= 19{,}29^\circ$

Vastaus

Vene pysyy paikallaan, koska $664{,}5\,\text{N} < 932{,}8\,\text{N}$ (yhtä hyvin $\tan 14^\circ \approx 0{,}25 < 0{,}35$). Itsestään se lähtisi liukumaan, jos luiska olisi vähintään noin $19^\circ$:n kulmassa; kaksi merkitsevää numeroa kuten kitkakertoimessa $0{,}35$.

Järkevyys

Rajakulma ei riipu massasta, koska sekä alas vievä komponentti että kitkan yläraja ovat verrannollisia massaan. Märkä, liukas tai jäinen lista voi pienentää lepokitkakerrointa, jolloin vene voi lähteä liikkeelle loivemmallakin luiskalla: venettä ei kannata jättää pelkän kitkan varaan.

Yleisiä virheitä

  • Voimakuvioon piirretään luiskaa ylös vievä ”liikkeen voima” vaijerin voiman lisäksi, tai painon komponentit omiksi voimikseen painon lisäksi.
  • Tukivoimaksi otetaan $N = mg$, vaikka luiskalla $N = mg\cos\alpha$.
  • Kitka piirretään luiskaa ylös, vaikka vene liukuu ylös ja liikekitka vastustaa liukumista.
  • c-kohdassa lepokitkaksi otetaan suoraan $\mu_0 N$, vaikka se on vain yläraja; tai liukumisehto kirjoitetaan sinin avulla, $\sin\alpha_0 = \mu_0$.

Hyväksytään myös

  • c-kohdassa vertailu $\tan 14^\circ \approx 0{,}25 < \mu_0 = 0{,}35$ ilman voimien lukuarvoja.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat ovat mukana, eikä kuviossa ole keksittyjä voimia. Neljä voimaa: paino, luiskan tukivoima, liikekitka ja vaijerin jännitysvoima; ei liikkeen suuntaista lisävoimaa. 1 p
Jokainen voima osoittaa fysikaalisesti oikeaan suuntaan. Paino suoraan alas, tukivoima kohtisuoraan luiskasta ulos, kitka luiskaa alas (vene liukuu ylös) ja vaijerin voima luiskaa ylös. 1 p
Voimanuolet lähtevät kappaleesta järkevästä kohdasta, ja jokaisella voimalla on oma yksiselitteinen nimi. Vene luiskan suuntaisena suorakulmiona; paino keskipisteestä, tukivoima ja kitka kosketuspinnasta, vaijerin voima kiinnityskohdasta; jokaisella voimalla oma tunnus. 1 p
Nuolten pituudet ovat oikeassa suhteessa, kun suuruudet tiedetään, eikä voimia ole sekoitettu komponentteihin, nopeuteen tai kiihtyvyyteen. Tukivoima hieman painoa lyhyempi; vaijerin voima yhtä pitkä kuin kitka ja painon luiskan suuntainen komponentti yhteensä. Komponentit erotettu voimista. 1 p

b)5 p

Liikeyhtälöt on muodostettu voimakuviosta: akselit ja positiivinen suunta on valittu, ja etumerkit ovat oikein. $x$-akseli luiskaa ylös: $T - mg\sin\alpha - F_\mu = 0$; $y$: $N - mg\cos\alpha = 0$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $T = mg(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $mg\sin\alpha \approx 665\,\text{N}$ ja $F_\mu = \mu mg\cos\alpha \approx 666\,\text{N}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $T \approx 1{,}3\,\text{kN}$ kahdella merkitsevällä numerolla 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Esimerkiksi: vaijerin voima on noin puolet painosta $2{,}7\,\text{kN}$, ja kitka on noin puolet vedosta. 1 p

c)6 p

Perustelee, että levossa olevaan veneeseen vaikuttaa lepokitka, joka on vain niin suuri kuin tarvitaan, enintään $\mu_0 N$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Vene pysyy, jos $mg\sin\alpha \le \mu_0 mg\cos\alpha$ eli $\tan\alpha \le \mu_0$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Tarvittava lepokitka $665\,\text{N}$ ja yläraja $\mu_0 N \approx 933\,\text{N}$ (tai $\tan 14^\circ \approx 0{,}25 < 0{,}35$). 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Vene pysyy paikallaan. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. Rajakulma $\alpha_0 = \arctan 0{,}35 \approx 19^\circ$ 1 p
Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Toteaa, että massa supistuu ja tulos edellyttää mallia $F_{\mu 0} \le \mu_0 N$; märkyys, jää tai lika voi muuttaa kerrointa. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (15 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

3.2-2 Moottorikelkka ja kaksi rekeä 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Reet, massat ja kitkakerroin ovat keksittyjä esimerkkejä, jotka vastaavat lumella liukuvien rekien suuruusluokkaa.

Moottorikelkka vetää jäätyneellä järvellä kahta rekeä peräkkäin. Kelkan ja etummaisen reen A välillä on köysi 1, ja reen A ja takimmaisen reen B välillä köysi 2. Köydet ovat vaakasuorat ja kevyet.

Reki Massa kuormineen
A $120\,\text{kg}$
B $80\,\text{kg}$

Kummankin reen ja lumen välinen liikekitkakerroin on $0{,}10$. Kelkka lähtee liikkeelle niin, että reet kiihtyvät tasaisesti $0{,}50\,\text{m/s}^2$. Ilmanvastusta ei oteta huomioon.

  1. a) Piirrä erikseen reen A ja reen B voimakuviot liikkeellelähdön aikana. 4 p
  2. b) Kuinka suuri on köyden 2 jännitysvoima? 4 p
  3. c) Kuinka suuri on köyden 1 jännitysvoima? 4 p
  4. d) Kelkan kuljettaja väittää: ”Takimmaisen köyden jännitysvoima on puolet etummaisen köyden jännitysvoimasta, koska rekiä on kaksi.” Arvioi väite. 3 p

Taidot luvuista: Liikeyhtälö kytketyille kappaleille, Paino, kitka ja kalteva taso, Vuorovaikutus ja voima: Newtonin ensimmäinen ja kolmas laki

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

reen A ja reen B voimakuviot kiihdytyksen aikana

Periaate

Kytketyistä kappaleista kumpikin valitaan vuorollaan kappaleeksi, ja kummallekin piirretään oma kuvio, jossa ovat vain siihen vaikuttavat voimat. Köysi vetää kumpaakin rekeä itseään kohti: köysi 2 vetää A:ta taaksepäin ja B:tä eteenpäin samansuuruisella voimalla, koska köysi on kevyt.

Mallivastaus

Kumpikin reki piirretään omaksi suorakulmiokseen.
- Reki A: paino $\overline{G}_\text{A}$ alas, tukivoima $\overline{N}_\text{A}$ ylös, köyden 1 voima $\overline{T}_1$ eteenpäin, köyden 2 voima $\overline{T}_2$ taaksepäin ja liikekitka $\overline{F}_{\mu\text{A}}$ taaksepäin.
- Reki B: paino $\overline{G}_\text{B}$ alas, tukivoima $\overline{N}_\text{B}$ ylös, köyden 2 voima $\overline{T}_2$ eteenpäin ja liikekitka $\overline{F}_{\mu\text{B}}$ taaksepäin.

Kummankin reen kokonaisvoima osoittaa eteenpäin, koska reet kiihtyvät. Kiihtyvyys merkitään kuvioiden viereen omalla värillään. Kelkkaa ei piirretä, eikä B:n voimaa köyteen piirretä B:n kuvioon. Vaakasuorat voimat on piirretty omassa mittakaavassaan, koska ne ovat paljon painoja pienempiä.

$\overline{G}$
$\overline{T}_{1}$
$\overline{T}_{2}$
$\overline{F}_{\mu}$
$\overline{N}$
$\overline{a}$
$\overline{G}$
$\overline{T}_{2}$
$\overline{F}_{\mu}$
$\overline{N}$
$\overline{a}$

b)

Annettu

$m_\text{B} = 80\,\text{kg}$, liikekitkakerroin $\mu = 0{,}10$, kiihtyvyys $a = 0{,}50\,\text{m/s}^2$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

köyden 2 jännitysvoima $T_2$

Periaate

Reen B vaakasuorat voimat ovat köyden 2 veto eteenpäin ja kitka taaksepäin. Newtonin toisen lain mukaan niiden summa on $m_\text{B} a$. Pystysuunnassa ei ole kiihtyvyyttä, joten $N_\text{B} = m_\text{B} g$ ja kitka on $\mu m_\text{B} g$ (luku Liikeyhtälö kytketyille kappaleille).

Kaava

$T_2 - \mu m_\text{B} g = m_\text{B} a$, joten $T_2 = m_\text{B}(a + \mu g)$

Muunnokset

Ei tarvita, suureet ovat perusyksiköissä.

Sijoitus

$T_2$$= 80\,\text{kg} \cdot (0{,}50\,\text{m/s}^2 + 0{,}10 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2)$
$= 80\,\text{kg} \cdot 1{,}481\,\text{m/s}^2$
$= 118{,}48\,\text{N}$

Vastaus

$T_2 \approx 120\,\text{N}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten kiihtyvyydessä $0{,}50\,\text{m/s}^2$ ja kitkakertoimessa $0{,}10$.

Järkevyys

B:n kitka on $0{,}10 \cdot 80\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 78\,\text{N}$ ja kiihdyttämiseen tarvitaan $80\,\text{kg} \cdot 0{,}50\,\text{m/s}^2 = 40\,\text{N}$; yhteensä noin $118\,\text{N}$, kuten pitää.

c)

Annettu

$m_\text{A} = 120\,\text{kg}$, $m_\text{B} = 80\,\text{kg}$, $\mu = 0{,}10$, $a = 0{,}50\,\text{m/s}^2$, b-kohdasta $T_2 = 118{,}48\,\text{N}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

köyden 1 jännitysvoima $T_1$

Periaate

Reen A vaakasuorat voimat ovat köyden 1 veto eteenpäin sekä köyden 2 veto ja kitka taaksepäin, ja niiden summa on $m_\text{A} a$. Saman tuloksen antaa molempien rekien systeemi, jossa köyden 2 voimat ovat sisäisiä ja kumoavat toisensa.

Kaava

$T_1 - T_2 - \mu m_\text{A} g = m_\text{A} a$, joten

$T_1$$= T_2 + m_\text{A}(a + \mu g)$
$= (m_\text{A} + m_\text{B})(a + \mu g)$

Muunnokset

Ei tarvita, suureet ovat perusyksiköissä.

Sijoitus

$T_1$$= 118{,}48\,\text{N} + 120\,\text{kg} \cdot 1{,}481\,\text{m/s}^2$
$= 118{,}48\,\text{N} + 177{,}72\,\text{N}$
$= 296{,}2\,\text{N}$

Vastaus

$T_1 \approx 300\,\text{N}$

($296\,\text{N}$), kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

Järkevyys

Systeemin tarkistus: $(120 + 80)\,\text{kg} \cdot 1{,}481\,\text{m/s}^2 = 296{,}2\,\text{N}$, sama tulos. Etummainen köysi on kireämpi, koska se kiihdyttää ja vetää molempia rekiä.

d)

Kysytty

pitääkö väite ”takimmaisen köyden voima on puolet etummaisen voimasta” paikkansa

Periaate

Kumpikin köysi vetää kaikkia niitä rekiä, jotka ovat sen takana. Kun kitkakerroin on sama, jokainen reki tarvitsee vetoa $m(a + \mu g)$, eli vedon tarve on verrannollinen massaan.

Mallivastaus

Väite ei pidä. Köysi 2 vetää vain rekeä B, köysi 1 molempia rekiä. b- ja c-kohdan tuloksista $T_2 : T_1 = 118\,\text{N} : 296\,\text{N} = 0{,}40$, mikä on sama kuin massojen suhde $80\,\text{kg} : 200\,\text{kg}$. Suhde riippuu siis rekien massoista, ei niiden lukumäärästä. Puolet se olisi vain, jos reet olisivat yhtä raskaat ja niillä olisi sama kitkakerroin.

Yleisiä virheitä

  • Molemmat reet piirretään yhteen kuvioon, tai kelkan voima piirretään suoraan rekeen B.
  • Reen A kuviosta puuttuu köyden 2 taaksepäin vetävä voima, jolloin $T_1$ saadaan liian pieneksi ($T_1 = m_\text{A}(a + \mu g) \approx 178\,\text{N}$).
  • Kitka unohdetaan, ja jännitysvoimaksi lasketaan pelkkä $ma$.
  • Köyden voimat $\overline{T}_1$ ja $\overline{T}_2$ nimetään samalla symbolilla, jolloin yhtälöistä ei näe, kumpi köysi on kyseessä.

Hyväksytään myös

  • c-kohdassa molempien rekien käsittely yhtenä kappaleena, kun ratkaisussa todetaan, että köyden 2 voimat ovat systeemin sisäisiä.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Kappale on valittu selvästi, ja kuvioon on piirretty vain siihen kohdistuvat voimat. Kaksi erillistä kuviota; kummassakin vain siihen rekeen vaikuttavat voimat. 1 p
Kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat ovat mukana, eikä kuviossa ole keksittyjä voimia. A: paino, tukivoima, kitka, köysi 1 eteenpäin ja köysi 2 taaksepäin. B: paino, tukivoima, kitka ja köysi 2 eteenpäin. 1 p
Jokainen voima osoittaa fysikaalisesti oikeaan suuntaan. Kitkat taaksepäin, köysi 2 vetää A:ta taaksepäin ja B:tä eteenpäin. 1 p
Voimanuolet lähtevät kappaleesta järkevästä kohdasta, ja jokaisella voimalla on oma yksiselitteinen nimi. Eri voimilla eri tunnukset, esimerkiksi $\overline{T}_1$, $\overline{T}_2$, $\overline{N}_\text{A}$; kiihtyvyys merkitty erikseen eikä voimaksi. 1 p

b)4 p

Liikeyhtälöt on muodostettu voimakuviosta: akselit ja positiivinen suunta on valittu, ja etumerkit ovat oikein. B: $T_2 - \mu m_\text{B} g = m_\text{B} a$ 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $T_2 = m_\text{B}(a + \mu g)$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $T_2 \approx 120\,\text{N}$ ($118\,\text{N}$) 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Esimerkiksi: $T_2$ on suurempi kuin B:n kitka $78\,\text{N}$, koska reki myös kiihtyy. 1 p

c)4 p

Liikeyhtälöt on muodostettu voimakuviosta: akselit ja positiivinen suunta on valittu, ja etumerkit ovat oikein. A: $T_1 - T_2 - \mu m_\text{A} g = m_\text{A} a$, tai molemmat reet yhtenä systeeminä. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $T_1 = (m_\text{A} + m_\text{B})(a + \mu g)$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Köyden 2 voima otettu huomioon A:n yhtälössä taaksepäin vetävänä voimana. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $T_1 \approx 300\,\text{N}$ ($296\,\text{N}$) 1 p

d)3 p

Selittää, että köysi 2 kiihdyttää ja vetää vain rekeä B, köysi 1 molempia rekiä. 1 p
Perustelee b- ja c-kohdan tuloksilla, että suhde on massojen suhde $\tfrac{m_\text{B}}{m_\text{A} + m_\text{B}} = 0{,}40$, kun kitkakerroin on sama. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite ei pidä: suhde riippuu massoista, ei rekien lukumäärästä; puolet se olisi vain yhtä raskailla reillä. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (15 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

3.2-3 Vaunu ja voima-anturi 20 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Mittaustulokset ovat keksittyjä esimerkkiarvoja, jotka on laskettu mallista ja joihin on lisätty pientä satunnaista vaihtelua mittauksen tapaan.

Fysiikan tunnilla vaunua vedetään vaakasuoralla radalla langalla, joka on vaakasuora. Vaunuun kiinnitetty voima-anturi mittaa langan vetävän voiman $F$, ja liiketunnistin mittaa vaunun kiihtyvyyden $a$. Vetävää voimaa muutetaan ripustamalla langan toiseen päähän eri punnuksia. Vaunun massa anturin kanssa ei ole tiedossa.

$F\ (\text{N})$ $a\ (\text{m/s}^2)$
$0{,}40$ $0{,}20$
$0{,}60$ $0{,}41$
$0{,}80$ $0{,}67$
$1{,}00$ $0{,}88$
$1{,}20$ $1{,}14$
$1{,}40$ $1{,}35$
$1{,}60$ $1{,}61$
  1. a) Piirrä kiihtyvyys vetävän voiman funktiona ja sovita pisteisiin malli. 4 p
  2. b) Määritä kuvaajasta vaunun massa ja vaunua jarruttavan kitkavoiman suuruus. Perustele, miksi suora ei kulje origon kautta. 6 p
  3. c) Piirrä vaunun voimakuvio, kun vetävä voima on $1{,}20\,\text{N}$, ja selitä, miten kuvio ja b-kohdan malli liittyvät toisiinsa. 5 p
  4. d) Määritä vaunun pyörien ja radan välinen vierimisvastuksen kerroin $\mu = \tfrac{F_\mu}{N}$. Miten a-kohdan suora muuttuisi, jos vaunun päälle lisättäisiin $0{,}500\,\text{kg}$:n punnus? 5 p

Taidot luvuista: Newtonin toinen laki, Graafinen esitys ja suoran sovittaminen, Paino, kitka ja kalteva taso

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

vaunun kiihtyvyys vetävän voiman funktiona kuvaajana ja siihen sovitettu malli

Kuvaaja

Vaaka-akselilla on vetävä voima $F\ (\text{N})$ ja pystyakselilla kiihtyvyys $a\ (\text{m/s}^2)$. Vaaka-akseli alkaa nollasta, jotta suoran ja akselin leikkauskohta näkyy.

$0{,}4$
$0{,}8$
$1{,}2$
$1{,}6$
$0{,}4$
$0{,}8$
$1{,}2$
$1{,}6$
$0$
$F\ (\text{N})$
$a\ (\text{m/s}^2)$
$F_0 \approx 0{,}24\,\text{N}$
$k \approx 1{,}18\,\tfrac{1}{\text{kg}}$

Ympyröidyt kohdat ovat ne kaksi suoran pistettä, joista b-kohdan kulmakerroin luetaan. Katkoviiva on suoran jatke vaaka-akselille.

Mallivastaus

Pisteet ovat lähes suoralla, joten kiihtyvyys kasvaa tasaisesti vetävän voiman kasvaessa. Pisteisiin sovitetaan yksi suora, joka kulkee pisteiden lomitse, eikä pisteitä yhdistetä murtoviivaksi. Todellisissa mittaussarjoissa mittauspisteet eivät yleensä sijaitse täsmälleen samalla suoralla mittausepävarmuuden vuoksi. Suora ei kulje origon kautta: se leikkaa vaaka-akselin noin kohdassa $0{,}24\,\text{N}$. Siksi suoraa ei pakoteta origon kautta, vaan sitä jatketaan vaaka-akselille b-kohtaa varten.

b)

Annettu

a-kohdan kuvaaja ja suoralta luetut pisteet

Kysytty

vaunun massa $m$ ja kitkavoima $F_\mu$

Periaate

Vaunuun vaikuttavat vaakasuunnassa langan veto $F$ eteenpäin ja kitka $F_\mu$ taaksepäin. Newtonin toisen lain mukaan $F - F_\mu = ma$, joten $a = \tfrac{1}{m}F - \tfrac{F_\mu}{m}$ on suoran yhtälö: kulmakerroin on $\tfrac{1}{m}$, ja suora leikkaa vaaka-akselin kohdassa $F = F_\mu$, jossa veto juuri ja juuri kumoaa kitkan. Siksi suora ei kulje origon kautta (luku Newtonin toinen laki).

Kuvaajan lukeminen

Suoralta luetaan kaksi kaukana toisistaan olevaa pistettä, ei mittauspisteitä: $(0{,}40\,\text{N}$; $0{,}19\,\text{m/s}^2)$ ja $(1{,}60\,\text{N}$; $1{,}60\,\text{m/s}^2)$. Suora leikkaa vaaka-akselin noin kohdassa $F_0 = 0{,}24\,\text{N}$.

Kaava

$k$$= \dfrac{\Delta a}{\Delta F}$
$= \dfrac{1}{m}$

joten $m = \dfrac{1}{k}$; ja $F_\mu = F_0 = F_1 - \dfrac{a_1}{k}$

Muunnokset

$1\,\tfrac{\text{m/s}^2}{\text{N}}$$= 1\,\tfrac{\text{m/s}^2}{\text{kg} \cdot \text{m/s}^2}$
$= 1\,\tfrac{1}{\text{kg}}$

joten kulmakertoimen käänteisluku on kilogrammoja.

Sijoitus

$k$$= \dfrac{1{,}60\,\text{m/s}^2 - 0{,}19\,\text{m/s}^2}{1{,}60\,\text{N} - 0{,}40\,\text{N}}$
$= \dfrac{1{,}41\,\text{m/s}^2}{1{,}20\,\text{N}}$
$= 1{,}175\,\tfrac{1}{\text{kg}}$

joten

$m$$= \dfrac{1}{1{,}175\,\tfrac{1}{\text{kg}}}$
$= 0{,}851\,\text{kg}$
$F_\mu$$= 0{,}40\,\text{N} - \dfrac{0{,}19\,\text{m/s}^2}{1{,}175\,\tfrac{1}{\text{kg}}}$
$= 0{,}238\,\text{N}$

Vastaus

$m \approx 0{,}85\,\text{kg}$

Ja $F_\mu \approx 0{,}24\,\text{N}$, kaksi merkitsevää numeroa, koska suoralta luettu kulmakerroin on noin $\pm 0{,}03\,\tfrac{1}{\text{kg}}$ tarkka.

Järkevyys

Laboratoriovaunun massa on tyypillisesti alle kilogramman. Pienimmän neliösumman suora antaa saman: $k = 1{,}175\,\tfrac{1}{\text{kg}}$ ja leikkauskohta $0{,}239\,\text{N}$. Kitka on pieni verrattuna vetoon, kuten pyörillä kulkevalla vaunulla pitää.

c)

Kysytty

vaunun voimakuvio, kun $F = 1{,}20\,\text{N}$, ja sen yhteys b-kohdan malliin

Periaate

Vaunuun vaikuttavat Maa (paino), rata (tukivoima ja kitka) ja lanka (veto). Lanka on vaakasuora, joten pystysuunnassa vaikuttavat vain paino ja tukivoima, ja ne kumoavat toisensa.

Mallivastaus

Vaunu piirretään suorakulmioksi. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös, yhtä pitkinä. Langan veto $\overline{T}$ lähtee kiinnityskohdasta eteenpäin, ja kitka $\overline{F}_\mu$ alapinnan takakulmasta taaksepäin, noin viidesosa vedosta. Kiihtyvyys merkitään erikseen kuvion viereen. Vaakasuorat voimat on piirretty omassa mittakaavassaan, koska ne ovat paljon painoa pienempiä.

$\overline{G}$
$\overline{T}$
$\overline{F}_{\mu}$
$\overline{N}$
$\overline{a}$
$\text{vaaka- ja pystyvoimat eri mittakaavassa}$

Vaakasuunnan liikeyhtälö kuviosta on $T - F_\mu = ma$, sama kuin b-kohdan suoran yhtälö, kun $T = F$. Kuvion kokonaisvoima $1{,}20\,\text{N} - 0{,}24\,\text{N} = 0{,}96\,\text{N}$ antaa kiihtyvyyden $0{,}96\,\text{N} : 0{,}851\,\text{kg} \approx 1{,}13\,\text{m/s}^2$, joka on lähellä mitattua $1{,}14\,\text{m/s}^2$.

d)

Annettu

b-kohdasta $m = 0{,}851\,\text{kg}$ ja $F_\mu = 0{,}238\,\text{N}$; lisäpunnus $0{,}500\,\text{kg}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

kerroin $\mu = \tfrac{F_\mu}{N}$ ja suoran muutos lisäpunnuksella

Periaate

Lanka on vaakasuora, joten pystysuunnassa vaikuttavat vain paino ja tukivoima, ja $N = mg$ (luku Paino, kitka ja kalteva taso). Mallissa kitka on verrannollinen tukivoimaan.

Kaava

$\mu$$= \dfrac{F_\mu}{N}$
$= \dfrac{F_\mu}{mg}$

Muunnokset

Ei tarvita, suureet ovat perusyksiköissä.

Sijoitus

$\mu$$= \dfrac{0{,}238\,\text{N}}{0{,}851\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}$
$= \dfrac{0{,}238\,\text{N}}{8{,}35\,\text{N}}$
$= 0{,}0285$

Vastaus

$\mu \approx 0{,}029$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten $F_\mu$; kertoimella ei ole yksikköä. Lisäpunnuksella massa on $1{,}351\,\text{kg}$: suora loivenee, kulmakerroin $\tfrac{1}{1{,}351\,\text{kg}} \approx 0{,}74\,\tfrac{1}{\text{kg}}$, ja leikkauskohta siirtyy oikealle, kohtaan $0{,}029 \cdot 1{,}351\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 0{,}38\,\text{N}$.

Järkevyys

Pyörillä kulkevan vaunun vierimisvastus on paljon pienempi kuin liukuvan kappaleen kitka, jonka kerroin on tyypillisesti $0{,}2\text{–}0{,}6$, joten $0{,}03$ on uskottava. Ennuste perustuu malliin, jossa kitka ei riipu nopeudesta; se kannattaa tarkistaa toistamalla mittaus punnuksen kanssa.

Yleisiä virheitä

  • Suora pakotetaan origon kautta, jolloin kulmakerroin ja massa tulevat väärin eikä kitkaa saada.
  • Kulmakerroin luetaan kahdesta vierekkäisestä mittauspisteestä eikä sovitetusta suorasta.
  • Massaksi otetaan kulmakerroin itse ($1{,}18\,\text{kg}$), vaikka kulmakerroin on massan käänteisluku.
  • c-kohdassa voimakuvioon piirretään punnusten paino vaunuun, vaikka vaunua vetää lanka.

Hyväksytään myös

  • b-kohdassa silmämääräisesti sovitetun suoran kulmakerroin $1{,}14\text{–}1{,}22\,\tfrac{1}{\text{kg}}$ eli massa $0{,}82\text{–}0{,}88\,\text{kg}$, ja leikkauskohta $0{,}21\text{–}0{,}27\,\text{N}$; d-kohdassa niistä laskettu $\mu \approx 0{,}025\text{–}0{,}032$.
  • Laskimen tai taulukkolaskennan suoran sovitus ($a = 1{,}175\,\tfrac{1}{\text{kg}} \cdot F - 0{,}281\,\text{m/s}^2$).

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. Vaaka-akselilla $F\ (\text{N})$, pystyakselilla $a\ (\text{m/s}^2)$, tasaväliset asteikot. 1 p
Jokainen mittaus on merkitty erillisenä pisteenä oikealle paikalleen. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii, eikä pisteitä ole yhdistetty murtoviivaksi. Yksi suora pisteiden lomitse; suoraa ei pakoteta origon kautta, ja sitä jatketaan vaaka-akselille asti. 2 p

b)6 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Kulmakerroin kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä, $k \approx 1{,}18\,\tfrac{1}{\text{kg}}$, ja suoran ja $F$-akselin leikkauskohta $F_0 \approx 0{,}24\,\text{N}$. 2 p
Liikeyhtälöt on muodostettu voimakuviosta: akselit ja positiivinen suunta on valittu, ja etumerkit ovat oikein. $F - F_\mu = ma$, joten $a = \tfrac{1}{m}F - \tfrac{F_\mu}{m}$: kulmakerroin $\tfrac{1}{m}$ ja leikkauskohdassa $F = F_\mu$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $m = \tfrac{1}{k}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $m \approx 0{,}85\,\text{kg}$ ja $F_\mu \approx 0{,}24\,\text{N}$ 1 p
Selittää, että pienellä vedolla osa voimasta kuluu kitkan voittamiseen, joten kiihtyvyys on nolla jo, kun $F$ on vielä suurempi kuin nolla. 1 p

c)5 p

Kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat ovat mukana, eikä kuviossa ole keksittyjä voimia. Paino, radan tukivoima, langan veto ja kitka; ei muita. 1 p
Jokainen voima osoittaa fysikaalisesti oikeaan suuntaan. Veto eteenpäin, kitka taaksepäin, tukivoima ylös, paino alas. 1 p
Voimanuolet lähtevät kappaleesta järkevästä kohdasta, ja jokaisella voimalla on oma yksiselitteinen nimi. Vaunu suorakulmiona; veto langan kiinnityskohdasta, kitka kosketuspinnasta, paino keskipisteestä; jokaisella voimalla oma tunnus. 1 p
Nuolten pituudet ovat oikeassa suhteessa, kun suuruudet tiedetään, eikä voimia ole sekoitettu komponentteihin, nopeuteen tai kiihtyvyyteen. Tukivoima yhtä pitkä kuin paino, veto selvästi kitkaa pidempi ($1{,}20\,\text{N}$ ja $0{,}24\,\text{N}$); kiihtyvyys merkitty erikseen. 1 p
Liikeyhtälöt on muodostettu voimakuviosta: akselit ja positiivinen suunta on valittu, ja etumerkit ovat oikein. Vaakasuunnan liikeyhtälö $F - F_\mu = ma$ on b-kohdan suoran yhtälö. 1 p

d)5 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $N = mg$, koska lanka on vaakasuora, joten $\mu = \dfrac{F_\mu}{mg}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\mu \approx 0{,}029$ ilman yksikköä 1 p
Ennustaa, että suora loivenee: kulmakerroin $\tfrac{1}{m + 0{,}500\,\text{kg}} \approx 0{,}74\,\tfrac{1}{\text{kg}}$. 1 p
Ennustaa, että leikkauskohta siirtyy oikealle, koska kitka kasvaa tukivoiman mukana: noin $0{,}38\,\text{N}$. 1 p
Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Mallissa kitka on verrannollinen tukivoimaan eikä riipu nopeudesta; tämä pitää tarkistaa uudella mittauksella. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 20 (18 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

3.2-4 Mikä vie eteenpäin? 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Kitkakertoimet ovat pyöristettyjä tyypillisiä arvoja, eivät mittaustuloksia.

Talvinen aamu: Ella kävelee kotipihan peilijään yli bussipysäkille. Pysäkin vieressä liikennevaloissa seisova henkilöauto lähtee liikkeelle, kun valo vaihtuu vihreäksi. Auto on etuvetoinen: moottori pyörittää vain etupyöriä.

Renkaan ja tien välinen lepokitkakerroin on kuivalla asfaltilla noin $0{,}8$ ja jäällä noin $0{,}1$.

  1. a) Selitä Newtonin lakien avulla, mikä voima kiihdyttää Ellaa eteenpäin, kun hän lähtee kävelemään, ja miksi liikkeelle lähteminen on peilijäällä vaikeaa. 4 p
  2. b) Ellan pikkuveli sanoo: ”Auto lähtee liikkeelle, koska moottori työntää autoa eteenpäin.” Arvioi väite. 4 p
  3. c) Piirrä auton voimakuvio, kun auto kiihtyy vaakasuoralla tiellä. Ota huomioon ilmanvastus ja vierimisvastus. 4 p
  4. d) Arvioi suurin kiihtyvyys, jonka tie voi antaa autolle kuivalla asfaltilla ja jäällä, jos kaikki pyörät olisivat vetäviä. Miksi etuvetoisen auton suurin kiihtyvyys on vielä pienempi? 3 p

Taidot luvuista: Vuorovaikutus ja voima: Newtonin ensimmäinen ja kolmas laki, Paino, kitka ja kalteva taso, Voimakuvio ja voimien yhteisvaikutus

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

mikä voima kiihdyttää kävelijää eteenpäin ja miksi peilijäällä on vaikeaa lähteä liikkeelle

Periaate

Kappaleen liiketilaa muuttavat vain siihen kohdistuvat ulkoiset voimat (Newtonin toinen laki). Voima ja vastavoima vaikuttavat eri kappaleisiin (kolmas laki). Lepokitka on enintään $\mu_0 N$.

Mallivastaus

Kun Ella astuu, hänen jalkansa työntää maata taaksepäin. Kolmannen lain mukaan maa työntää jalkaa yhtä suurella voimalla eteenpäin. Tämä voima on maan lepokitka: jalka pyrkii liukumaan taaksepäin maan suhteen, ja kitka estää sen. Se on ainoa vaakasuora ulkoinen voima, joten juuri se kiihdyttää Ellaa eteenpäin. Ellan lihakset ovat hänen sisäisiä voimiaan, eivätkä ne yksin voi muuttaa koko kehon liiketilaa. Peilijäällä lepokitkakerroin on pieni, joten kitkan yläraja $\mu_0 N$ on pieni. Jos jalka työntää taaksepäin lujemmin kuin kitka pystyy vastustamaan, jalka liukuu. Siksi suurin mahdollinen kiihtyvyys jää pieneksi, ja jäällä kävellään lyhyin askelin jalka lähes pystysuoraan asetettuna.

b)

Kysytty

pitääkö väite ”moottori työntää autoa eteenpäin” paikkansa

Periaate

Auton liikkeen muuttavat vain autoon kohdistuvat ulkoiset voimat. Moottori on auton osa, joten sen voimat pyöriin ja koriin ovat sisäisiä voimia, jotka kumoavat toisensa (kolmas laki).

Mallivastaus

Väite on vain osittain oikein. Moottori pyörittää etupyöriä, mutta se ei voi yksin työntää koko autoa, koska se on auton sisällä. Pyörivä rengas pyrkii liukumaan taaksepäin tien pinnan suhteen, ja tien lepokitka vastustaa tätä liukumista osoittamalla eteenpäin. Tämä tien voima vetäviin pyöriin on ulkoinen voima, joka kiihdyttää autoa. Siksi auto ei pääse liikkeelle peilijäällä, vaikka moottori kävisi täysillä: pyörät vain sutivat, koska kitka ei riitä.

c)

Kysytty

kiihtyvän auton voimakuvio, kun ilmanvastus ja vierimisvastus otetaan huomioon

Periaate

Autoon vaikuttavat Maa (paino), tie (tukivoima, lepokitka vetäviin pyöriin ja vierimisvastus) ja ilma (ilmanvastus). Auto kiihtyy, joten kokonaisvoima osoittaa eteenpäin.

Mallivastaus

Auto piirretään suorakulmioksi. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös, yhtä pitkinä. Tien lepokitka vetäviin pyöriin $\overline{F}_\mu$ lähtee alapinnan etukulmasta eteenpäin. Vierimisvastus $\overline{F}_\text{r}$ ja ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ osoittavat taaksepäin. Eteenpäin osoittava kitka on vastuksia suurempi, koska auto kiihtyy. Nopeus ja kiihtyvyys merkitään kuvion viereen. Suuruudet ovat havainnollistavia, ja vaakasuorat voimat on piirretty omassa mittakaavassaan. Tukivoiman voi jakaa myös etu- ja takapyörien tukivoimiksi $\overline{N}_1$ ja $\overline{N}_2$.

$\overline{G}$
$\overline{F}_{\mu}$
$\overline{F}_{\text{r}}$
$\overline{F}_{\text{v}}$
$\overline{N}$
$\overline{v}$
$\overline{a}$
$\text{vaaka- ja pystyvoimat eri mittakaavassa}$

d)

Kysytty

suurin tien antama kiihtyvyys asfaltilla ja jäällä sekä miksi etuvetoisella autolla se on pienempi

Periaate

Kiihdyttävä voima on tien lepokitka, joka on enintään $\mu_0 N$. Jos kaikki pyörät vetävät, tukivoima on koko auton paino, $N = mg$.

Mallivastaus

Suurin kiihdyttävä voima on $\mu_0 mg$, joten $ma_\text{max} = \mu_0 mg$ ja $a_\text{max} = \mu_0 g$; massa supistuu. Asfaltilla $a_\text{max} \approx 0{,}8 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 8\,\text{m/s}^2$ ja jäällä $0{,}1 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 1\,\text{m/s}^2$, kun vastukset jätetään huomiotta. Etuvetoisessa autossa eteenpäin vievä lepokitka vaikuttaa vain vetäviin etupyöriin, ja niiden tukivoima on vain osa auton painosta, esimerkiksi noin puolet. Silloin suurin kiihdyttävä voima on $\mu_0 N_\text{etu} < \mu_0 mg$, ja suurin kiihtyvyys on pienempi. Jäällä etuvetoinen auto voi siis kiihtyä enintään alle $1\,\text{m/s}^2$.

Yleisiä virheitä

  • Kävelijää tai autoa ”työntävät” lihakset tai moottori, eli sisäinen voima esitetään ulkoisena.
  • Voima ja vastavoima (jalka työntää maata, maa työntää jalkaa) piirretään samaan voimakuvioon.
  • Kitka piirretään aina liikettä vastaan, myös vetäviin pyöriin.
  • d-kohdassa kiihtyvyydeksi lasketaan $\mu_0 N$ ilman massalla jakamista, tai jäätä ja asfalttia verrataan ilman lukuja.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Jalka työntää maata taaksepäin, ja kolmannen lain mukaan maa työntää jalkaa eteenpäin. 1 p
Tämä voima on maan lepokitka, ainoa vaakasuora ulkoinen voima, joka voi kiihdyttää Ellaa. 1 p
Jäällä lepokitkan yläraja $\mu_0 N$ on pieni, joten jalka liukuu, jos se työntää lujemmin. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Kiihtyvyys jää jäällä pieneksi; askeleet on otettava lyhyinä ja jalka asetettava pystysuoraan. 1 p

b)4 p

Moottori on auton osa: auton sisäiset voimat eivät muuta koko auton liiketilaa (kolmas laki, voimat kumoutuvat). 1 p
Ulkoinen voima eteenpäin on tien lepokitka vetäviin pyöriin: pyörä pyrkii liukumaan taaksepäin tien suhteen. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite on osittain oikein: moottori pyörittää pyöriä, mutta autoa työntää tie. 1 p

c)4 p

Kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat ovat mukana, eikä kuviossa ole keksittyjä voimia. Paino, tukivoimat, tien lepokitka vetäviin pyöriin eteenpäin, vierimisvastus ja ilmanvastus taaksepäin. 1 p
Jokainen voima osoittaa fysikaalisesti oikeaan suuntaan. Kitka vetäviin pyöriin eteenpäin, vastukset taaksepäin. 1 p
Voimanuolet lähtevät kappaleesta järkevästä kohdasta, ja jokaisella voimalla on oma yksiselitteinen nimi. Auto suorakulmiona; voimat vaikutuskohdistaan, kitka kosketuspinnasta; jokaisella oma tunnus. 1 p
Nuolten pituudet ovat oikeassa suhteessa, kun suuruudet tiedetään, eikä voimia ole sekoitettu komponentteihin, nopeuteen tai kiihtyvyyteen. Eteenpäin vievä voima on vastuksia suurempi, koska auto kiihtyy; nopeus ja kiihtyvyys erikseen. 1 p

d)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $ma_\text{max} = \mu_0 N = \mu_0 mg$, joten $a_\text{max} = \mu_0 g$; massa supistuu. 1 p
Asfaltilla noin $8\,\text{m/s}^2$ ja jäällä noin $1\,\text{m/s}^2$. 1 p
Eteenpäin vievä lepokitka vaikuttaa vain vetäviin etupyöriin, joiden tukivoima on vain osa painosta, joten $\mu_0 N_\text{etu} < \mu_0 mg$. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (14 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

3.2-5 Puhelin kirjan kannella 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Raportti ja mittaustulokset ovat keksittyjä esimerkkejä.

Opiskelijaryhmä määritti puhelimen silikonikuoren ja kovakantisen kirjan kannen välisen lepokitkakertoimen. Ote ryhmän raportista:

Asetimme puhelimen kirjan kannelle ja nostimme kirjan toista reunaa käsin, kunnes puhelin lähti liukumaan. Luimme kulman kulmamittarista, jonka vieressä kuvasimme mittauksen puhelimella. Toistimme mittauksen viisi kertaa.

Mittaus 1 2 3 4 5
$\alpha_0$ $22^\circ$ $24^\circ$ $21^\circ$ $23^\circ$ $33^\circ$

Mittauksessa 5 kirjaa nostettiin nykäisten, koska nostaja oli kiireinen.

Laskimme lepokitkakertoimen suurimmasta kulmasta, koska silloin puhelin varmasti liukui: $\mu_0 = \sin 33^\circ = 0{,}54$. Johtopäätös: silikonikuoren lepokitkakerroin on $0{,}54$, joten puhelin pysyy paikallaan kaikilla alle $33^\circ$:n kaltevilla pinnoilla.

  1. a) Määritä lepokitkakerroin ryhmän tuloksista oikein ja arvioi sen epävarmuus. 5 p
  2. b) Arvioi raportin menetelmää ja johtopäätöstä. Mitkä niistä ovat virheellisiä tai puutteellisia, ja miksi? 5 p
  3. c) Suunnittele koe, jolla samoille pinnoille voidaan määrittää liikekitkakerroin. Kerro, mitä mitataan, millä välineillä, miten tulos lasketaan ja miten luotettavuutta parannetaan. 5 p

Taidot luvuista: Paino, kitka ja kalteva taso, Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus, Oma kokeellinen tutkimus: suunnittelu, toteutus ja raportointi

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

rajakulmat $22^\circ$, $24^\circ$, $21^\circ$, $23^\circ$ ja $33^\circ$; mittauksessa 5 kirjaa nostettiin nykäisten

Kysytty

lepokitkakerroin $\mu_0$ ja sen epävarmuus

Periaate

Rajakulmalla painon kannen suuntainen komponentti on yhtä suuri kuin lepokitkan suurin arvo, ja tukivoima on painon kohtisuora komponentti (luku Paino, kitka ja kalteva taso). Mittaus 5 jätetään pois, koska raporttiin on kirjattu karkea virhe: nopea nosto painaa kantta hetkellisesti puhelinta vasten, jolloin tukivoima ja lepokitkan yläraja kasvavat hetkeksi, ja kulma luetaan myöhässä. Siksi $33^\circ$ ei ole liukumisen raja. Tulosta ei poistettaisi pelkästään siksi, että se poikkeaa muista.

Kaava

$mg\sin\alpha_0 = \mu_0 mg\cos\alpha_0$, joten $\mu_0 = \tan\alpha_\text{ka}$, missä $\alpha_\text{ka}$ on rajakulmien keskiarvo

Muunnokset

Ei tarvita. Kulmat ovat asteina, ja kertoimella ei ole yksikköä.

Sijoitus

$\alpha_\text{ka}$$= \dfrac{22^\circ + 24^\circ + 21^\circ + 23^\circ}{4}$
$= 22{,}5^\circ$

$\mu_0 = \tan 22{,}5^\circ = 0{,}414$. Hajonnan rajat: $\tan 21^\circ = 0{,}384$ ja $\tan 24^\circ = 0{,}445$

Vastaus

$\mu_0 \approx 0{,}41 \pm 0{,}03$

Kaksi merkitsevää numeroa, koska kulmat on luettu asteen tarkkuudella ja niiden hajonta on noin $\pm 1{,}5^\circ$. Epävarmuus on puolet tulosten vaihteluvälistä ($0{,}384\text{–}0{,}445$), mikä on tässä valittu yksinkertainen arvio.

Järkevyys

Silikoni on tunnetusti pitävä materiaali, joten kerroin $0{,}4$ on uskottava. Rajakulma on mittausten mukaan noin $22^\circ$, ja $\tan 22{,}5^\circ \approx 0{,}41$ on johdonmukainen sen kanssa. Raportin arvo $0{,}54$ vastaisi rajakulmaa $28^\circ$, jota yksikään huolellinen mittaus ei antanut.

b)

Kysytty

raportin menetelmän ja johtopäätöksen virheet ja puutteet

Periaate

Luotettava tulos vaatii oikean mallin, kaikkien mittausten perustellun käsittelyn, epävarmuuden arvion ja johtopäätöksen, joka ei ulotu aineiston ulkopuolelle.

Mallivastaus

Malli. Kaava $\mu_0 = \sin\alpha_0$ on väärä. Liukumisen rajalla $mg\sin\alpha_0 = \mu_0 mg\cos\alpha_0$, joten $\mu_0 = \tan\alpha_0$.

Tulosten käsittely. Ryhmä valitsi suurimman kulman, vaikka juuri se on mittaus, jossa on kirjattu karkea virhe. Oikein olisi laskea keskiarvo huolellisista mittauksista ja kertoa, miksi mittaus 5 jätettiin pois. Raportissa ei ole epävarmuutta, vaikka kulmat vaihtelevat $21^\circ$:sta $24^\circ$:seen.

Menetelmä. Käsin nostaminen ei ole tasaista, ja kulman lukeminen juuri liukumisen hetkellä on vaikeaa. Videokuvaus on hyvä, mutta kulmamittarin pitäisi olla kiinni kirjassa, ja kirjaa pitäisi nostaa hitaasti ja tasaisesti, esimerkiksi ruuvilla tai kirjapinon avulla.

Johtopäätös. Tulos koskee vain tätä kuorta ja tätä kirjan kantta, ei kaikkia pintoja. Lisäksi rajakulma on oikealla kaavalla noin $22^\circ$, ei $33^\circ$: puhelin lähtee liukumaan jo noin $22^\circ$:n kulmassa.

c)

Kysytty

koe, jolla samoille pinnoille määritetään liikekitkakerroin

Periaate

Liikekitka vaikuttaa liukuvaan kappaleeseen, ja sen suuruus saadaan Newtonin laeista, kun mitataan joko veto tasaisella nopeudella tai kiihtyvyys rinteessä.

Mallivastaus

Menetelmä 1, veto. Kirja on vaakasuoralla pöydällä, ja puhelimeen kiinnitetään lanka ja voima-anturi (tai jousivaaka). Puhelinta vedetään vaakasuoraan tasaisella nopeudella, jolloin veto on yhtä suuri kuin liikekitka ja tukivoima yhtä suuri kuin paino: $\mu = \dfrac{F}{mg}$. Puhelimen massa punnitaan vaa'alla. Massaa muutetaan lisäämällä puhelimen päälle punnuksia, ja $(N, F_\mu)$-pisteisiin sovitetun origon kautta kulkevan suoran kulmakerroin on $\mu$.

Menetelmä 2, kiihtyvyys. Kantta kallistetaan rajakulmaa jyrkemmäksi, esimerkiksi $30^\circ$:een, ja puhelin päästetään liukumaan levosta. Kiihtyvyys mitataan videolta tai puhelimen omalla kiihtyvyysanturilla. Voimakuviosta $\mu = \dfrac{g\sin\alpha - a}{g\cos\alpha}$.

Luotettavuus. Jokainen mittaus toistetaan useita kertoja, ja tuloksista lasketaan keskiarvo ja hajonta. Pinnat puhdistetaan samalla tavalla joka kerta. Vedossa nopeuden on oltava tasainen, mikä näkyy anturin lukeman tasaisuutena.

Yleisiä virheitä

  • Mittaus 5 poistetaan vain siksi, että se poikkeaa muista, tai se otetaan mukaan keskiarvoon, vaikka karkea virhe on kirjattu.
  • Kerroin lasketaan sinillä tai kosinilla tangentin sijaan.
  • Kertoimelle annetaan yksikkö.
  • c-kohdassa vetoa ei tehdä tasaisella nopeudella, jolloin veto ei ole yhtä suuri kuin kitka, tai liikekitkaa yritetään mitata rajakulmasta, joka antaa lepokitkan.

Hyväksytään myös

  • a-kohdassa kunkin kulman tangentti erikseen ja niiden keskiarvo ($0{,}415$).
  • Epävarmuudeksi keskiarvon keskivirhe, kun se on laskettu ja nimetty oikein.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Liukumisen rajalla $mg\sin\alpha_0 = \mu_0 mg\cos\alpha_0$, joten $\mu_0 = \tan\alpha_0$. 1 p
Jättää mittauksen 5 pois kirjatun karkean virheen (nykäisy) perusteella, ei pelkästään siksi, että se poikkeaa. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Keskiarvo $22{,}5^\circ$ ja $\tan 22{,}5^\circ \approx 0{,}41$ 1 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Hajonta $21^\circ\text{–}24^\circ$ vastaa kertoimia $0{,}38\text{–}0{,}45$; epävarmuus on puolet vaihteluvälistä, eli $\mu_0 \approx 0{,}41 \pm 0{,}03$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. Kaksi merkitsevää numeroa, ei yksikköä 1 p

b)5 p

Tärkeimmät virhelähteet on nimetty ja kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. Väärä kaava ($\sin$ eikä $\tan$); suurimman kulman valinta, vaikka juuri se on karkea virhe; käsin nostaminen ja kulman lukeminen liukumisen hetkellä ovat epätarkkoja. 2 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Raportissa ei ole epävarmuutta eikä keskiarvoa. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Johtopäätös yleistetään väärin: kerroin koskee vain tätä kuorta ja tätä kantta, ja $\tan\alpha_0 \approx 0{,}41$ antaa rajakulmaksi noin $22^\circ$, ei $33^\circ$. 2 p

c)5 p

Toimiva menetelmä: esimerkiksi puhelinta vedetään vaakasuoralla kannella voima-anturilla tasaisella nopeudella, jolloin $F = \mu mg$, tai puhelin liukuu jyrkemmällä kannella ja kiihtyvyys mitataan videolta tai puhelimen kiihtyvyysanturilla. 2 p
Mitattavat suureet ja välineet nimetty (massa vaa'alla, voima anturilla tai kulma ja kiihtyvyys). 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Laskukaava voimakuviosta: $\mu = \dfrac{F}{mg}$ tai $\mu = \dfrac{g\sin\alpha - a}{g\cos\alpha}$. 1 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Toistot, keskiarvo ja hajonta; useampi massa tai kulma ja kuvaaja, esimerkiksi $(N, F_\mu)$-suora origon kautta. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (12 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

3.2-6 Liukurimäki 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Mäki ja kitkakerroin ovat keksittyjä esimerkkejä, jotka vastaavat muovisen liukurin ja tamppautuneen lumen suuruusluokkaa.

Koulun takana on liukurimäki: $40\,\text{m}$ pitkä tasainen rinne, jonka kaltevuuskulma on $12^\circ$, ja sen alla vaakasuora pelto. Rinteen ja pellon välinen kohta on loiva, eikä nopeus muutu siinä. Muovisen liukurin ja tamppautuneen lumen välinen liikekitkakerroin on $0{,}080$ sekä rinteessä että pellolla. Laskija lähtee rinteen yläpäästä levosta. Ensimmäisessä mallissa ilmanvastusta ei oteta huomioon.

  1. a) Kuinka suuri on laskijan nopeus rinteen alapäässä? 5 p
  2. b) Kuinka pitkän matkan laskija liukuu pellolla ennen kuin pysähtyy? 5 p
  3. c) Isä väittää: ”Minä liu'un pellolla pidemmälle kuin lapset, koska olen raskaampi.” Arvioi väite ensin a- ja b-kohdan mallilla ja sitten, kun ilmanvastus otetaan huomioon. 5 p

Taidot luvuista: Paino, kitka ja kalteva taso, Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike, Ilmanvastus ja putoaminen ilmassa

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

rinteen pituus $L = 40\,\text{m}$, kaltevuuskulma $\alpha = 12^\circ$, liikekitkakerroin $\mu = 0{,}080$, alkunopeus $0$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; ilmanvastus jätetään pois

Kysytty

nopeus $v$ rinteen alapäässä

Periaate

Laskijaan vaikuttavat paino, rinteen tukivoima ja liikekitka rinnettä ylös. Voimat ovat vakiot, joten kiihtyvyys on vakio (luku Paino, kitka ja kalteva taso), ja tasaisesti kiihtyvän liikkeen yhtälöt pätevät (luku Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike).

Voimakuvio

Laskija rinteen suuntaisena suorakulmiona, $x$-akseli rinnettä alas. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä suoraan alas, tukivoima $\overline{N}$ kohtisuoraan rinteestä ulos ja liikekitka $\overline{F}_\mu$ alapinnan ylemmästä kulmasta rinnettä ylös. Painon komponentit katkoviivoin.

$x$
$y$
$\overline{G}$
$\overline{F}_{\mu}$
$\overline{N}$
$\overline{G}_{x}$
$\overline{G}_{y}$
$\overline{a}$

Kaava

$y$: $N = mg\cos\alpha$; $x$: $mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha = ma_1$, joten $a_1 = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$. Levosta lähtevälle $v^2 = 2a_1 L$, joten $v = \sqrt{2gL(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)}$

Muunnokset

Ei tarvita, suureet ovat perusyksiköissä.

Sijoitus

$a_1$$= 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot (\sin 12^\circ - 0{,}080 \cdot \cos 12^\circ)$
$= 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot (0{,}2079 - 0{,}0783)$
$= 1{,}272\,\text{m/s}^2$
$v$$= \sqrt{2 \cdot 1{,}272\,\text{m/s}^2 \cdot 40\,\text{m}}$
$= \sqrt{101{,}76\,\text{m}^2/\text{s}^2}$
$= 10{,}09\,\text{m/s}$

Vastaus

$v \approx 10\,\text{m/s}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten rinteen pituudessa $40\,\text{m}$.

Järkevyys

$10{,}09\,\text{m/s}$$= 10{,}09 \cdot 3{,}6\,\text{km/h}$
$\approx 36\,\text{km/h}$

liukurille nopea mutta mahdollinen. Lasku kestää $t = v : a_1 \approx 7{,}9\,\text{s}$. Ilman kitkaa nopeus olisi $\sqrt{2gL\sin\alpha} \approx 12{,}8\,\text{m/s}$, joten kitka pienentää sitä selvästi.

b)

Annettu

a-kohdasta $v = 10{,}09\,\text{m/s}$, $\mu = 0{,}080$, loppunopeus $0$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

liukumatka $s_2$ pellolla

Periaate

Rinteen ja pellon välinen kohta on loiva, joten pellon alkunopeus on a-kohdan nopeus. Vaakasuoralla pellolla tukivoima on painon suuruinen, ja ainoa vaakasuora voima on liikekitka taaksepäin. Hidastuvuus on vakio, joten tasaisesti kiihtyvän liikkeen yhtälöt pätevät.

Voimakuvio

Laskija suorakulmiona: paino $\overline{G}$ alas, tukivoima $\overline{N}$ ylös ja liikekitka $\overline{F}_\mu$ taaksepäin. Kiihtyvyys osoittaa taaksepäin ja nopeus eteenpäin.

$\overline{G}$
$\overline{F}_{\mu}$
$\overline{N}$
$\overline{v}$
$\overline{a}$
$\text{vaaka- ja pystyvoimat eri mittakaavassa}$

Kaava

$-\mu mg = ma_2$, joten $a_2 = -\mu g$. Yhtälöstä $0 - v^2 = 2a_2 s_2$ saadaan $s_2 = \dfrac{v^2}{2\mu g}$

Muunnokset

Ei tarvita, suureet ovat perusyksiköissä.

Sijoitus

$s_2$$= \dfrac{101{,}76\,\text{m}^2/\text{s}^2}{2 \cdot 0{,}080 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}$
$= \dfrac{101{,}76\,\text{m}^2/\text{s}^2}{1{,}5696\,\text{m/s}^2}$
$= 64{,}83\,\text{m}$

Vastaus

$s_2 \approx 65\,\text{m}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten rinteen pituudessa ja kitkakertoimessa.

Järkevyys

Pellolla hidastuvuus $0{,}785\,\text{m/s}^2$ on pienempi kuin rinteen kiihtyvyys $1{,}272\,\text{m/s}^2$, joten pysähtymismatka on rinnettä pidempi samassa suhteessa: $40\,\text{m} \cdot 1{,}272 : 0{,}785 \approx 65\,\text{m}$. Matka on tamppautuneella lumella pitkä mutta mahdollinen.

c)

Kysytty

liukuuko raskas isä pidemmälle kuin kevyet lapset mallissa ja kun ilmanvastus otetaan huomioon

Periaate

Mallissa kaikki voimat ovat verrannollisia massaan, joten massa supistuu liikeyhtälöistä. Ilmanvastus riippuu nopeudesta, laskijan koosta ja asennosta, mutta ei massasta (luku Ilmanvastus ja putoaminen ilmassa).

Mallivastaus

a- ja b-kohdan mallissa $a_1 = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$ ja $a_2 = -\mu g$, joten massa ei vaikuta nopeuteen eikä liukumatkaan: isä ja lapset pysähtyvät samaan kohtaan. Todellisuudessa ilmanvastus $F_\text{v}$ hidastaa jokaista lisää. Laskijan kiihtyvyyteen se vaikuttaa määrällä $F_\text{v} : m$. Isä on lasta suurempi, joten hänen ilmanvastuksensa on samalla nopeudella vähän suurempi, mutta hänen massansa on paljon suurempi, joten ilmanvastus on pienempi osa hänen painostaan. Isän hidastuvuus kasvaa siksi vähemmän, ja hän todennäköisesti liukuu pidemmälle. Väite voi siis pitää paikkansa, mutta syy on ilmanvastus eikä se, että raskas laskija painaisi liukuria eteenpäin. Myös asento, liukurin pohja ja lumen kohta vaikuttavat tulokseen.

Yleisiä virheitä

  • Rinteessä kitkaksi otetaan $\mu mg$, vaikka $N = mg\cos\alpha$.
  • Pellolla käytetään rinteen kiihtyvyyttä, tai nopeus lasketaan kaavalla $v = a t$ ilman aikaa.
  • Kitka unohdetaan rinteessä, jolloin nopeus on liian suuri.
  • c-kohdassa väitetään, että raskas laskija liukuu mallin mukaan pidemmälle, koska paino on suurempi.

Hyväksytään myös

  • a- ja b-kohdan ratkaisu työn ja energian avulla, kun tulokset ovat samat ($v^2 = 2gL(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$ ja $\mu mg s_2 = \tfrac{1}{2}mv^2$).

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Liikeyhtälöt on muodostettu voimakuviosta: akselit ja positiivinen suunta on valittu, ja etumerkit ovat oikein. $x$ rinnettä alas: $mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha = ma_1$ 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $a_1 = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$ ja levosta $v^2 = 2a_1 s$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $a_1 \approx 1{,}27\,\text{m/s}^2$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $v \approx 10\,\text{m/s}$ ($10{,}1\,\text{m/s}$) 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Esimerkiksi $10\,\text{m/s} \approx 36\,\text{km/h}$ on liukurille nopea mutta mahdollinen; aika rinteessä noin $8\,\text{s}$. 1 p

b)5 p

Liikeyhtälöt on muodostettu voimakuviosta: akselit ja positiivinen suunta on valittu, ja etumerkit ovat oikein. Pellolla vain kitka vaakasuunnassa: $-\mu mg = ma_2$ 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $a_2 = -\mu g$ ja $0 - v^2 = 2a_2 s_2$, joten $s_2 = \dfrac{v^2}{2\mu g}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $a_2 \approx -0{,}785\,\text{m/s}^2$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $s_2 \approx 65\,\text{m}$ 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Esimerkiksi: pellolla hidastuvuus $0{,}785\,\text{m/s}^2$ on pienempi kuin kiihtyvyys rinteessä $1{,}27\,\text{m/s}^2$, joten pysähtymismatka on rinnettä pidempi. 1 p

c)5 p

Mallissa massa supistuu sekä rinteessä että pellolla, joten matka ei riipu massasta. 2 p
Ilmanvastus riippuu nopeudesta, koosta ja muodosta, ei massasta; raskaammalla laskijalla se on pienempi osa painosta, joten hänen hidastuvuutensa kasvaa vähemmän. 1 p
Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Ilmanvastus lyhentää kaikkien matkaa; muutkin erot (asento, liukurin pohja) vaikuttavat. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite voi pitää paikkansa todellisuudessa, mutta syy on ilmanvastus, ei se, että raskas painaisi liukuria eteenpäin. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (14 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.