RuukkilabraLukion fysiikka
FY9 · Luku 3.1

Liike kuvaajina

Miksi raitiovaunun nopeuskuvaajasta voi päätellä pysäkkien välisen matkan, vaikka kuvaajassa ei ole yhtään metriä?

Pohjatiedot

Pohdinta

Raitiovaunu lähtee pysäkiltä, kiihdyttää, ajaa hetken tasaista vauhtia ja jarruttaa seuraavalle pysäkille. Matkustaja tallensi puhelimen sovelluksella vaunun nopeuden koko välin ajan. Sovellus näyttää vain nopeuden ajan funktiona: kuvaajassa on sekunteja ja metrejä sekunnissa, mutta ei yhtään metriä. Ylioppilaskokeessa tällainen kuvaaja voi olla tehtävän ainoa aineisto.

Miten pysäkkien välisen matkan voi päätellä pelkästä nopeuskuvaajasta?

Ennusta

Tee ennusteet ennen tutkimista 6 kysymystä

Lähtötaso 1: vaakasuora viiva

Kärryn $(t,x)$-kuvaaja on hetkestä $4\,\text{s}$ hetkeen $6\,\text{s}$ vaakasuora viiva korkeudella $x = 8\,\text{m}$. Mitä kärry tekee tänä aikana?

Lähtötaso 2: kierros radalla

Juoksija juoksee $400\,\text{m}$:n radan yhden kierroksen ja pysähtyy lähtöviivalle $80\,\text{s}$:n kuluttua. Mikä väite on oikein?

Lähtötaso 3: kaksinkertainen aika

Bussi on hetkellä $t = 0$ paikassa $200\,\text{m}$ ja liikkuu tasaisesti nopeudella $15\,\text{m/s}$. Hetkellä $10\,\text{s}$ se on paikassa $350\,\text{m}$. Missä se on hetkellä $20\,\text{s}$?

Lähtötaso 4: negatiivinen kiihtyvyys

Auto liikkuu $x$-akselin negatiiviseen suuntaan, ja sen kiihtyvyys on $-2{,}0\,\text{m/s}^2$. Mitä auton vauhdille tapahtuu?

Lähtötaso 5: lakipiste

Pallo heitetään suoraan ylös, eikä ilmanvastusta huomioida. Mikä on pallon kiihtyvyys lakipisteessä, jossa se on hetken paikallaan?

Lähtötaso 6: pinta-ala

Mitä $(t,v)$-kuvaajan ja aika-akselin väliin jäävä pinta-ala kertoo kappaleen liikkeestä?

Tutki

Raitiovaunu pysäkkien välillä

Keksitty esimerkkiaineisto · Kuvaaja on keksitty esimerkki, jonka luvut vastaavat raitiovaunun tavallista kiihtyvyyttä ja nopeutta kaupungissa.

Kuvaajassa on raitiovaunun nopeus pysäkiltä seuraavalle pysäkille. Lue kuvaajasta tarvitsemasi hetket ja nopeudet, päättele niistä pysäkkien välinen matka ja vastaa alla. Mallivastauksessa on myös kiihtyvyydet ja keskinopeus.

$20$
$40$
$60$
$2$
$4$
$6$
$8$
$10$
$12$
$0$
$t\ (\text{s})$
$v\ (\text{m/s})$

Kuinka pitkä on pysäkkien välinen matka? Vastaa metreinä.

m
Vihje 1: ohjaava kysymys

Nopeus kertaa aika on matka. Mikä kuvaajan alue on nopeus kertaa aika?

Vihje 2: mikä yhteys

Jaa kuvaajan alle jäävä alue kolmeen osaan: kolmio, suorakulmio ja kolmio.

Vihje 3: välivaihe

Kiihdytys: $\tfrac{1}{2} \cdot 10\,\text{s} \cdot 10\,\text{m/s}$; tasainen osa: $30\,\text{s} \cdot 10\,\text{m/s}$; jarrutus: $\tfrac{1}{2} \cdot 20\,\text{s} \cdot 10\,\text{m/s}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

kuvaajasta: nopeus kasvaa tasaisesti nollasta nopeuteen $v = 10\,\text{m/s}$ hetkeen $t_1 = 10\,\text{s}$, pysyy siinä hetkeen $t_2 = 40\,\text{s}$ ja pienenee tasaisesti nollaan hetkellä $t_3 = 60\,\text{s}$

Kysytty

pysäkkien välinen matka $\Delta x$ metreinä

Periaate

Vaunu liikkuu koko ajan samaan suuntaan, joten matka on sama kuin siirtymä. Siirtymä on $(t,v)$-kuvaajan ja aika-akselin välinen pinta-ala, koska nopeus kertaa aika on kuljettu matka (luku Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike).

Kuvaajan lukeminen

Kuvaajan kulmat ovat ruudukon risteyksissä $(0\,\text{s}$; $0)$, $(10\,\text{s}$; $10\,\text{m/s})$, $(40\,\text{s}$; $10\,\text{m/s})$ ja $(60\,\text{s}$; $0)$. Alue jakautuu kolmioon, suorakulmioon ja kolmioon.

Kaava

$\Delta x$$= \tfrac{1}{2}\,v\,t_1 + v\,(t_2 - t_1) + \tfrac{1}{2}\,v\,(t_3 - t_2)$

Muunnokset

Nopeus on yksikössä $\text{m/s}$ ja aika sekunteina, joten pinta-ala tulee suoraan metreinä. Muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$\Delta x$$= \tfrac{1}{2} \cdot 10\,\text{m/s} \cdot 10\,\text{s} + 10\,\text{m/s} \cdot 30\,\text{s} + \tfrac{1}{2} \cdot 10\,\text{m/s} \cdot 20\,\text{s}$
$= 50\,\text{m} + 300\,\text{m} + 100\,\text{m}$
$= 450\,\text{m}$

Vastaus

$450\,\text{m}$

Kaksi merkitsevää numeroa ($4{,}5 \cdot 10^{2}\,\text{m}$), koska kuvaajasta luetut nopeus $10\,\text{m/s}$ ja ajat tunnetaan noin kahden numeron tarkkuudella.

Järkevyys

Kiihtyvyys on kiihdytyksessä $10\,\text{m/s} : 10\,\text{s} = 1{,}0\,\text{m/s}^2$ ja jarrutuksessa $-10\,\text{m/s} : 20\,\text{s} = -0{,}50\,\text{m/s}^2$, raitiovaunulle tavalliset arvot. Keskinopeus

$450\,\text{m} : 60\,\text{s}$$= 7{,}5\,\text{m/s}$
$\approx 27\,\text{km/h}$

on pienempi kuin suurin nopeus $10\,\text{m/s}$, kuten pitää, ja noin puolen kilometrin pysäkkiväli on kaupungissa tavallinen.

Teoriatiivistelmä

Ydinajatus

Liike kuvataan aina valitussa koordinaatistossa: suora $x$-akseli, origo, positiivinen suunta ja kello. Paikka $x$ kertoo, missä kappale on, siirtymä $\Delta x$ paikan muutoksen ja nopeus $v$ sen, kuinka nopeasti ja mihin suuntaan paikka muuttuu. Kiihtyvyys $a$ kertoo, kuinka nopeasti nopeus muuttuu. Siirtymän, nopeuden ja kiihtyvyyden etumerkki kertoo suunnan. Matka on reitin pituus, eikä se ole koskaan negatiivinen.

Sama liike voidaan esittää kolmena kuvaajana: $(t,x)$, $(t,v)$ ja $(t,a)$. Kuvaajien välillä liikutaan kahdella tavalla. Alaspäin: kuvaajan kulmakerroin on seuraavan suureen arvo, eli $(t,x)$-kuvaajan kulmakerroin on nopeus ja $(t,v)$-kuvaajan kulmakerroin kiihtyvyys. Ylöspäin: kuvaajan ja aika-akselin välinen pinta-ala on edellisen suureen muutos, eli $(t,v)$-kuvaajan pinta-ala on siirtymä.

$(t,x)$
$\text{paikka}$
$\tfrac{\Delta x}{\Delta t}$
$\Delta x$
$(t,v)$
$\text{nopeus}$
$\tfrac{\Delta v}{\Delta t}$
$\Delta v$
$(t,a)$
$\text{kiihtyvyys}$
$\downarrow\ \text{kulmakerroin}$
$\uparrow\ \text{pinta-ala}$
$\text{tasainen}$
$\text{tasaisesti kiihtyvä}$

Kokeen liiketehtävä alkaa siitä, että valitset koordinaatiston ja tunnistat liikkeen lajin: onko nopeus vakio vai kiihtyvyys vakio? Vasta sitten kirjoitat yhtälön.

Tästä saadaan vastaus alun kysymykseen. Nopeus kertoo, montako metriä vaunu kulkee sekunnissa, joten nopeuden ja ajan tulo on metrejä. $(t,v)$-kuvaajan alle jäävä pinta-ala on juuri tämä tulo laskettuna yhteen koko matkalta, siis siirtymä. Tutki-tehtävän raitiovaunu kulki pysäkiltä toiselle $450\,\text{m}$.

Liikkeen yhtälöt ja kuvaajat

Tasainen liike

Keskinopeus on siirtymä jaettuna siihen kuluneella ajalla:

$$v_\text{ka} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$$

missä $\Delta x = x_2 - x_1$ on siirtymä ($\text{m}$) ja $\Delta t$ aika ($\text{s}$). Kun nopeus $v$ on vakio ja kappale on hetkellä $t = 0$ paikassa $x_0$,

$$x = x_0 + v\,t$$

Tämä on $(t,x)$-kuvaajan suora: $x_0$ on leikkauskohta paikka-akselilla ja $v$ kulmakerroin. Paikka on suoraan verrannollinen aikaan vain, kun $x_0 = 0$.

Tasaisesti kiihtyvä liike

Kiihtyvyys on nopeuden muutos aikaa kohti:

$$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$$

Kun kiihtyvyys on vakio ja liike suoraviivaista, nopeus ja paikka hetkellä $t$ ovat

$$\begin{aligned} v &= v_0 + a\,t \\ x &= x_0 + v_0\,t + \tfrac{1}{2}\,a\,t^2 \end{aligned}$$

missä $v_0$ on alkunopeus ($\text{m/s}$) ja $a$ kiihtyvyys ($\text{m/s}^2$). Vauhti kasvaa, kun $a$ ja $v$ ovat samansuuntaiset, ja pienenee, kun ne ovat vastakkaissuuntaiset. Vapaassa pudotuksessa $a = g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ alaspäin, kun ilmanvastus on pieni.

Kulmakerroin ja pinta-ala

Kaarevan $(t,x)$-kuvaajan hetkellinen nopeus on tangentin kulmakerroin $k$. Kahden käyrän pisteen kautta laskettu suhde on keskinopeus. Siirtymä on $(t,v)$-kuvaajan ja aika-akselin välinen pinta-ala, ja akselin alapuolinen osa lasketaan negatiivisena. Tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä ala on puolisuunnikas, joten keskinopeus on alku- ja loppunopeuden keskiarvo:

$$\Delta x = \frac{v_0 + v}{2}\,t$$

$t$
$x$
$t$
$v$
$P$
$k = v_\text{P}$
$v_\text{P}$
$\Delta x$
$\Delta x$
$t_1$
$t_2$
$t_3$
$0$
$0$

Kaksi kappaletta ja mittausaineisto

Kahden kappaleen paikat kirjoitetaan samassa koordinaatistossa, ja ne kohtaavat, kun

$$x_\text{A}(t) = x_\text{B}(t)$$

$(t,x)$-kuvaajassa kohtaaminen on viivojen leikkauspiste. Ylempänä oleva viiva tarkoittaa suurempaa paikkakoordinaattia. Kun takana oleva kappale on aluksi hitaampi ja kiihtyy, välimatka on suurimmillaan silloin, kun nopeudet ovat yhtä suuret.

Mittauspisteisiin sovitetaan suora tai toisen asteen polynomi $x = A\,t^2 + B\,t + C$. Polynomin kertoimesta saadaan kiihtyvyys $a = 2A$.

Yleisiä virheitä

  • $(t,x)$-kuvaaja luetaan kuvana radasta. Nouseva viiva tarkoittaa, että paikka kasvaa, ei ylämäkeä.
  • Nopeus luetaan $x : t$, kun pitää lukea $\Delta x : \Delta t$. Alkupaikka ei ole nopeutta.
  • Kulmakerroin kahdesta vierekkäisestä mittauspisteestä. Lue se sovitetulta suoralta tai tangentilta kahdesta kaukana toisistaan olevasta pisteestä.
  • Negatiivinen kiihtyvyys luetaan aina hidastumiseksi. Vauhti pienenee vain, kun kiihtyvyys ja nopeus ovat vastakkaissuuntaiset.
  • Lakipisteessä kiihtyvyys on nolla. Nopeus on hetken nolla, mutta kiihtyvyys on yhä $g$ alaspäin.
  • $(t,v)$-kuvaajien leikkauspiste luetaan kohtaamiseksi. Siinä nopeudet ovat yhtä suuret; kohtaamisessa yhtä suuria ovat paikat.
  • Yksiköt sekaisin. Muunna ennen sijoitusta sijoittamalla: $72\,\text{km/h} = \dfrac{72 \cdot 1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}} = 20\,\text{m/s}$.

Kertaa tarvittaessa

Sovella

Etsi virhe: keskinopeus

Pyöräilijä nousee $10\,\text{km}$ ylämäkeä nopeudella $20\,\text{km/h}$ ja laskee saman matkan takaisin alas nopeudella $60\,\text{km/h}$. Opiskelija laski keskivauhdin: ”$(20\,\text{km/h} + 60\,\text{km/h}) : 2 = 40\,\text{km/h}$.” Mikä ratkaisussa on väärin?

Valitse kuvaaja: kärry radalla

Kärry tönäistään ylös kaltevaa rataa. Se hidastuu, pysähtyy hetkeksi ja vierii takaisin alas. Kiihtyvyys on koko ajan sama, ja ylös on positiivinen suunta. Millainen on kärryn $(t,v)$-kuvaaja?

Lue tangentti

Kuvaajassa on levosta kiihtyvän kärryn paikka ja käyrän pisteeseen hetkellä $4{,}0\,\text{s}$ piirretty tangentti. Mikä on kärryn nopeus hetkellä $4{,}0\,\text{s}$?
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$7$
$4$
$8$
$12$
$16$
$20$
$24$
$0$
$t\ (\text{s})$
$x\ (\text{m})$
$P$

Kumpi on edellä?

Kaksi pyöräilijää ajaa samaa suoraa tietä $x$-akselin negatiiviseen suuntaan. Heidän $(t,x)$-kuvaajissaan pyöräilijän A viiva on koko ajan pyöräilijän B viivan yläpuolella. Mikä väite on oikein?

Potkulauta

Kuvaajassa on potkulaudan nopeus. Kuinka pitkän matkan potkulauta kulkee kuvaajan esittämänä aikana? Vastaa metreinä.

$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$2$
$4$
$6$
$8$
$0$
$t\ (\text{s})$
$v\ (\text{m/s})$
m
Vihje 1: ohjaava kysymys

Mikä kuvaajan alue vastaa kuljettua matkaa?

Vihje 2: mikä yhteys

Alue on puolisuunnikas: sen voi jakaa suorakulmioon ja kolmioon tai laskea keskinopeuden avulla.

Vihje 3: välivaihe
$\Delta x$$= \dfrac{2{,}0\,\text{m/s} + 7{,}0\,\text{m/s}}{2} \cdot 5{,}0\,\text{s}$
Näytä ratkaisu

Annettu

kuvaajasta alkunopeus $v_0 = 2{,}0\,\text{m/s}$, loppunopeus $v = 7{,}0\,\text{m/s}$, aika $t = 5{,}0\,\text{s}$; nopeus kasvaa tasaisesti

Kysytty

kuljettu matka $\Delta x$ metreinä

Periaate

Potkulauta liikkuu yhteen suuntaan, joten matka on siirtymä, ja siirtymä on $(t,v)$-kuvaajan alle jäävä pinta-ala (luku Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike). Nopeus kasvaa tasaisesti, joten alue on puolisuunnikas.

Kuvaajan lukeminen

Suora alkaa pisteestä $(0$; $2{,}0\,\text{m/s})$ ja päättyy pisteeseen $(5{,}0\,\text{s}$; $7{,}0\,\text{m/s})$.

Kaava

$\Delta x = \dfrac{v_0 + v}{2}\,t$

Muunnokset

Nopeudet ovat yksikössä $\text{m/s}$ ja aika sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$\Delta x$$= \dfrac{2{,}0\,\text{m/s} + 7{,}0\,\text{m/s}}{2} \cdot 5{,}0\,\text{s}$
$= 4{,}5\,\text{m/s} \cdot 5{,}0\,\text{s}$
$= 22{,}5\,\text{m}$

Vastaus

$23\,\text{m}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten kuvaajasta luetut nopeudet ja aika.

Järkevyys

Tulos on suorakulmioiden $2{,}0\,\text{m/s} \cdot 5{,}0\,\text{s} = 10\,\text{m}$ ja $7{,}0\,\text{m/s} \cdot 5{,}0\,\text{s} = 35\,\text{m}$ välissä, kuten pitää. Jakamalla: suorakulmio $10\,\text{m}$ ja kolmio

$\tfrac{1}{2} \cdot 5{,}0\,\text{m/s} \cdot 5{,}0\,\text{s}$
$= 12{,}5\,\text{m}$

yhteensä sama $22{,}5\,\text{m}$.

Hirvi tiellä

Auto ajaa maantiellä nopeudella $72\,\text{km/h}$, kun kuljettaja huomaa hirven tiellä. Reaktioaika on $0{,}80\,\text{s}$, ja sen jälkeen auto jarruttaa tasaisesti hidastuvuudella $6{,}5\,\text{m/s}^2$ pysähdyksiin.

Kuinka pitkän matkan auto kulkee huomaamishetkestä pysähtymiseen? Vastaa metreinä.

m
Vihje 1: ohjaava kysymys

Piirrä $(t,v)$-kuvaaja: ensin vaakasuora osa reaktioajan, sitten laskeva suora nollaan.

Vihje 2: mikä yhteys

Jarrutusaika on $t_\text{j} = v_0 : a$, ja kumpikin matka on oman osansa pinta-ala.

Vihje 3: välivaihe
$v_0$$= 20\,\text{m/s}$
$t_\text{j}$$= 20\,\text{m/s} : 6{,}5\,\text{m/s}^2$
$\approx 3{,}08\,\text{s}$
Näytä ratkaisu

Annettu

nopeus $v_0 = 72\,\text{km/h}$, reaktioaika $t_\text{r} = 0{,}80\,\text{s}$, hidastuvuus $a = 6{,}5\,\text{m/s}^2$

Kysytty

pysähtymismatka $s$ metreinä

Periaate

Reaktioajan auto liikkuu tasaisesti, ja sen jälkeen nopeus pienenee tasaisesti nollaan (luvut Paikka, nopeus ja tasainen liike kuvaajina ja Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike). Kummankin vaiheen matka on $(t,v)$-kuvaajan alue: suorakulmio ja kolmio.

Kaava

$v = v_0 - a\,t_\text{j} = 0$, joten $t_\text{j} = \dfrac{v_0}{a}$, ja

$s$$= v_0\,t_\text{r} + \tfrac{1}{2}\,v_0\,t_\text{j}$
$= v_0\,t_\text{r} + \dfrac{v_0^2}{2a}$

Muunnokset

$72\,\text{km/h}$$= \dfrac{72 \cdot 1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$
$= 20\,\text{m/s}$

Sijoitus

$s$$= 20\,\text{m/s} \cdot 0{,}80\,\text{s} + \dfrac{(20\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 6{,}5\,\text{m/s}^2}$
$= 16\,\text{m} + 30{,}77\,\text{m}$
$= 46{,}77\,\text{m}$

Vastaus

$47\,\text{m}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten reaktioaika $0{,}80\,\text{s}$ ja hidastuvuus $6{,}5\,\text{m/s}^2$.

Järkevyys

Jarrutus kestää $20\,\text{m/s} : 6{,}5\,\text{m/s}^2 \approx 3{,}1\,\text{s}$ keskinopeudella $10\,\text{m/s}$, eli noin $31\,\text{m}$. Reaktiomatka on kolmasosa koko matkasta, joten tarkkaavaisuudella on suuri merkitys. Muutaman kymmenen metrin pysähtymismatka on tavallinen maantienopeudella kuivalla tiellä.

Koira ja juoksija

Hölkkääjä juoksee suoraa polkua tasaisella nopeudella $3{,}0\,\text{m/s}$. Kun hän on $24\,\text{m}$ koiran edellä, paikallaan seissyt koira lähtee perään ja kiihtyy tasaisesti kiihtyvyydellä $1{,}5\,\text{m/s}^2$.

Kuinka monen sekunnin kuluttua koira saavuttaa hölkkääjän?

s
Vihje 1: ohjaava kysymys

Valitse origo koiran lähtöpaikkaan ja kirjoita kummankin paikka ajan funktiona.

Vihje 2: mikä yhteys

Koira: $x_\text{K} = \tfrac{1}{2}\,a\,t^2$. Hölkkääjä: $x_\text{H} = 24\,\text{m} + 3{,}0\,\text{m/s} \cdot t$. Saavuttaminen: $x_\text{K} = x_\text{H}$.

Vihje 3: välivaihe

$0{,}75\,t^2 - 3{,}0\,t - 24 = 0$ (yksiköt pois kirjoitettuina); valitse positiivinen juuri.

Näytä ratkaisu

Annettu

hölkkääjän nopeus $v = 3{,}0\,\text{m/s}$ ja etumatka $x_0 = 24\,\text{m}$; koira lähtee levosta kiihtyvyydellä $a = 1{,}5\,\text{m/s}^2$

Kysytty

saavuttamishetki $t$ sekunteina

Periaate

Kun koira saavuttaa hölkkääjän, he ovat samassa paikassa samalla hetkellä: $x_\text{K}(t) = x_\text{H}(t)$ (luku Kahden kappaleen liikkeiden vertailu). Origo on koiran lähtöpaikassa ja positiivinen suunta juoksusuunta. Koiran liike on tasaisesti kiihtyvää, hölkkääjän tasaista.

Kaava

$\tfrac{1}{2}\,a\,t^2 = x_0 + v\,t$, eli $\tfrac{1}{2}\,a\,t^2 - v\,t - x_0 = 0$, jonka positiivinen juuri on

$t$$= \dfrac{v + \sqrt{v^2 + 2\,a\,x_0}}{a}$

Muunnokset

Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Juurrettavan molemmat termit ovat yksikössä $\text{m}^2/\text{s}^2$, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

Juurrettava on

$v^2 + 2\,a\,x_0$$= (3{,}0\,\text{m/s})^2 + 2 \cdot 1{,}5\,\text{m/s}^2 \cdot 24\,\text{m}$
$= 81\,\text{m}^2/\text{s}^2$

ja sen neliöjuuri on $9{,}0\,\text{m/s}$. Siis

$t$$= \dfrac{3{,}0\,\text{m/s} + 9{,}0\,\text{m/s}}{1{,}5\,\text{m/s}^2}$
$= 8{,}0\,\text{s}$

Vastaus

$8{,}0\,\text{s}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeus $3{,}0\,\text{m/s}$ ja kiihtyvyys $1{,}5\,\text{m/s}^2$. Toinen juuri $-4{,}0\,\text{s}$ on ennen lähtöä, joten se hylätään.

Järkevyys

Koiran paikka on

$\tfrac{1}{2} \cdot 1{,}5\,\text{m/s}^2 \cdot (8{,}0\,\text{s})^2$
$= 48\,\text{m}$

ja hölkkääjän $24\,\text{m} + 3{,}0\,\text{m/s} \cdot 8{,}0\,\text{s} = 48\,\text{m}$: sama paikka. Koiran nopeus on silloin $12\,\text{m/s}$, nelinkertainen hölkkääjään nähden, eli koira on saavuttaessaan nopeampi, kuten pitää.

Pesäpallon syöttö

Pesäpallossa lukkari syöttää pallon pystysuoraan ylös nopeudella $8{,}0\,\text{m/s}$. Ilmanvastusta ei huomioida, ja ylös on positiivinen suunta. Mikä on pallon nopeus $1{,}0\,\text{s}$ syötön jälkeen? Anna vastaus etumerkkeineen yksikössä $\text{m/s}$.

m/s
Vihje 1: ohjaava kysymys

Kiihtyvyys on koko lennon ajan $g$ alaspäin. Mikä on sen etumerkki, kun ylös on positiivinen?

Vihje 2: mikä yhteys

$v = v_0 + a\,t$, missä $a = -9{,}81\,\text{m/s}^2$.

Vihje 3: välivaihe

Pallo saavuttaa lakipisteen hetkellä $8{,}0\,\text{m/s} : 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 0{,}82\,\text{s}$. Mihin suuntaan se liikkuu hetkellä $1{,}0\,\text{s}$?

Näytä ratkaisu

Annettu

alkunopeus $v_0 = 8{,}0\,\text{m/s}$ ylöspäin, aika $t = 1{,}0\,\text{s}$, kiihtyvyys $a = -g = -9{,}81\,\text{m/s}^2$ (ylös positiivinen)

Kysytty

nopeus $v$ etumerkkeineen hetkellä $t$

Periaate

Kun ilmanvastus jätetään huomiotta, pallon kiihtyvyys on koko lennon ajan $g$ alaspäin, myös lakipisteessä. Liike on tasaisesti kiihtyvää, ja nopeuden etumerkki kertoo suunnan (luku Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike).

Kaava

$v = v_0 + a\,t = v_0 - g\,t$

Muunnokset

Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$v$$= 8{,}0\,\text{m/s} - 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 1{,}0\,\text{s}$
$= 8{,}0\,\text{m/s} - 9{,}81\,\text{m/s}$
$= -1{,}81\,\text{m/s}$

Vastaus

$v \approx -1{,}8\,\text{m/s}$

Eli pallo liikkuu alaspäin vauhdilla $1{,}8\,\text{m/s}$. Kaksi merkitsevää numeroa kuten alkunopeus $8{,}0\,\text{m/s}$ ja aika $1{,}0\,\text{s}$.

Järkevyys

Pallo on lakipisteessä hetkellä $8{,}0\,\text{m/s} : 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 0{,}82\,\text{s}$, joten hetkellä $1{,}0\,\text{s}$ se on jo laskeutumassa ja negatiivinen etumerkki on oikea. Lakipisteen jälkeen kulunut $0{,}18\,\text{s}$ antaa vauhdin $9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 0{,}18\,\text{s} \approx 1{,}8\,\text{m/s}$: sama tulos.

Tarkista osaamisesi

Exit ticket

Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.

  1. Muunna $54\,\text{km/h}$ yksikköön $\text{m/s}$ sijoittamalla.
    Vastaus

    $54\,\text{km/h} = \dfrac{54 \cdot 1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}} = 15\,\text{m/s}$.

  2. Pyöräilijän nopeus pienenee tasaisesti $12\,\text{m/s}$:sta $4{,}0\,\text{m/s}$:iin $4{,}0\,\text{s}$:ssa. Mikä on kiihtyvyys, ja mitä sen etumerkki kertoo?
    Vastaus

    $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{4{,}0\,\text{m/s} - 12\,\text{m/s}}{4{,}0\,\text{s}} = -2{,}0\,\text{m/s}^2$. Etumerkki on vastakkainen nopeudelle, joten vauhti pienenee.

1. Käsite

Kaksi kärryä liikkuu samalla radalla. Niiden $(t,x)$-kuvaajat leikkaavat hetkellä $3{,}0\,\text{s}$. Mikä väite on oikein?

Kertaa kohtaaminen luvussa Kahden kappaleen liikkeiden vertailu ja $(t,x)$-kuvaajan lukeminen luvussa Paikka, nopeus ja tasainen liike kuvaajina.

2. Laskeminen

Hissi lähtee levosta ja kiihtyy tasaisesti $2{,}0\,\text{s}$ nopeuteen $1{,}6\,\text{m/s}$, kulkee tällä nopeudella $8{,}0\,\text{s}$ ja hidastuu sitten tasaisesti $2{,}0\,\text{s}$ pysähdyksiin. Kuinka monta metriä hissi nousee?

m
Vihje 1: ohjaava kysymys

Hahmottele $(t,v)$-kuvaaja. Mikä sen alue on noussut matka?

Vihje 2: mikä yhteys

Alue on kaksi kolmiota ja suorakulmio.

Vihje 3: välivaihe

$\tfrac{1}{2} \cdot 1{,}6\,\text{m/s} \cdot 2{,}0\,\text{s} + 1{,}6\,\text{m/s} \cdot 8{,}0\,\text{s} + \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}6\,\text{m/s} \cdot 2{,}0\,\text{s}$

Näytä ratkaisu

Annettu

kiihdytys $t_1 = 2{,}0\,\text{s}$ nopeuteen $v = 1{,}6\,\text{m/s}$, tasainen vaihe $t_2 = 8{,}0\,\text{s}$, hidastus $t_3 = 2{,}0\,\text{s}$

Kysytty

hissin siirtymä $\Delta x$ metreinä

Periaate

Siirtymä on $(t,v)$-kuvaajan ja aika-akselin välinen pinta-ala. Tasaisesti muuttuvan nopeuden alue on kolmio ja vakionopeuden suorakulmio (luku Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike).

Kaava

$\Delta x = \tfrac{1}{2}\,v\,t_1 + v\,t_2 + \tfrac{1}{2}\,v\,t_3$

Muunnokset

Nopeus on yksikössä $\text{m/s}$ ja ajat sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$\Delta x$$= \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}6\,\text{m/s} \cdot 2{,}0\,\text{s} + 1{,}6\,\text{m/s} \cdot 8{,}0\,\text{s} + \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}6\,\text{m/s} \cdot 2{,}0\,\text{s}$
$= 1{,}6\,\text{m} + 12{,}8\,\text{m} + 1{,}6\,\text{m}$
$= 16{,}0\,\text{m}$

Vastaus

$16\,\text{m}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeus $1{,}6\,\text{m/s}$ ja ajat.

Järkevyys

Keskinopeus on $16\,\text{m} : 12\,\text{s} \approx 1{,}3\,\text{m/s}$, vähän alle suurimman nopeuden, koska hissi kulkee täyttä vauhtia suurimman osan ajasta. $16\,\text{m}$ on noin viisi kerrosta, mikä sopii kerrostalon hissille.

Kertaa siirtymä $(t,v)$-kuvaajan pinta-alana luvussa Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike.

3. Selitä

Liikennevalojen vaihtuessa vihreiksi auto lähtee levosta ja kiihtyy tasaisesti. Sen ohi ajaa samalla hetkellä tasaisella nopeudella mopo. Opiskelija piirtää kummankin $(t,v)$-kuvaajan ja sanoo: ”Viivat leikkaavat hetkellä $4\,\text{s}$, joten silloin auto saavuttaa mopon.” Arvioi väite. Selitä, mitä leikkauspiste kertoo ja miten saavuttamishetken voi päätellä kuvaajasta.

Tehtävät

3.1-1 Kiihdytyskaista 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Liittymä, ajoneuvot ja luvut ovat keksittyjä esimerkkejä, jotka vastaavat moottoritien liittymän tavallista suuruusluokkaa.

Auto tulee moottoritien kiihdytyskaistalle nopeudella $54\,\text{km/h}$. Kaista on $270\,\text{m}$ pitkä, ja auto kiihdyttää sillä tasaisesti, niin että sen nopeus kaistan lopussa on $108\,\text{km/h}$. Moottoritien oikeanpuoleisella kaistalla ajaa rekka tasaisella nopeudella $81\,\text{km/h}$. Sillä hetkellä, kun auto on kiihdytyskaistan alussa, rekka on $40\,\text{m}$ sen takana. Kaistat ovat rinnakkaiset, joten paikat voidaan mitata samaa tietä pitkin.

  1. a) Kuinka kauan auton kiihdytys kaistalla kestää? 4 p
  2. b) Kuinka suuri on auton kiihtyvyys? 3 p
  3. c) Ehtiikö rekka kiihdytyksen aikana auton rinnalle? Kuinka pieni on rekan ja auton välimatka pienimmillään? 5 p
  4. d) Toinen kuljettaja kiihdyttää samalla kaistalla tasaisesti koko kaistan matkan, mutta vain nopeuteen $72\,\text{km/h}$. Selitä kuvaajien avulla, miksi rekka silloin saavuttaa hänet, ja miksi kiihdytyskaistalla kannattaa kiihdyttää liikenteen nopeuteen. 3 p

Taidot luvuista: Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike, Kahden kappaleen liikkeiden vertailu, Tasainen liike – nopeus, paikka ja kuvaajat

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

kaistan pituus $\Delta x = 270\,\text{m}$, nopeus kaistan alussa $v_0 = 54\,\text{km/h}$ ja lopussa $v = 108\,\text{km/h}$; kiihtyvyys on tasainen

Kysytty

kiihdytyksen kesto $t$ sekunteina

Periaate

Kiihtyvyys on vakio, joten $(t,v)$-kuvaaja on suora ja sen alle jäävä alue on puolisuunnikas. Siirtymä on tämän alueen pinta-ala, joten keskinopeus on alku- ja loppunopeuden keskiarvo (luku Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike). Kiihtyvyyttä ei tarvita ajan laskemiseen.

Kaava

$\Delta x = \dfrac{v_0 + v}{2}\,t$, joten $t = \dfrac{2\,\Delta x}{v_0 + v}$

Muunnokset

$54\,\text{km/h}$$= \dfrac{54 \cdot 1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$
$= 15\,\text{m/s}$
$108\,\text{km/h}$$= \dfrac{108 \cdot 1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$
$= 30\,\text{m/s}$

Sijoitus

$t$$= \dfrac{2 \cdot 270\,\text{m}}{15\,\text{m/s} + 30\,\text{m/s}}$
$= \dfrac{540\,\text{m}}{45\,\text{m/s}}$
$= 12{,}0\,\text{s}$

Vastaus

$t \approx 12\,\text{s}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudet $54\,\text{km/h}$ ja $108\,\text{km/h}$.

Järkevyys

Keskinopeus on $22{,}5\,\text{m/s}$, ja $22{,}5\,\text{m/s} \cdot 12{,}0\,\text{s} = 270\,\text{m}$, kaistan pituus. Noin kymmenen sekunnin kiihdytys moottoritienopeuteen on henkilöautolle tavallinen.

b)

Annettu

$v_0 = 15\,\text{m/s}$, $v = 30\,\text{m/s}$ ja a-kohdasta $t = 12{,}0\,\text{s}$

Kysytty

kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

Periaate

Kiihtyvyys on nopeuden muutos jaettuna siihen kuluneella ajalla; tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä se on sama koko ajan ja $(t,v)$-kuvaajan kulmakerroin (luku Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike).

Kaava

$a$$= \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$
$= \dfrac{v - v_0}{t}$

Muunnokset

Nopeudet on muunnettu a-kohdassa yksikköön $\text{m/s}$, ja aika on sekunteina.

Sijoitus

$a$$= \dfrac{30\,\text{m/s} - 15\,\text{m/s}}{12{,}0\,\text{s}}$
$= \dfrac{15\,\text{m/s}}{12{,}0\,\text{s}}$
$= 1{,}25\,\text{m/s}^2$

Vastaus

$a \approx 1{,}3\,\text{m/s}^2$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudet (myös $1{,}25\,\text{m/s}^2$ hyväksytään).

Järkevyys

Nopeus kasvaa joka sekunti $1{,}25\,\text{m/s} = 4{,}5\,\text{km/h}$, joten kahdessatoista sekunnissa se kasvaa $54\,\text{km/h}$, kuten aineistossa. Tarkistus paikan yhtälöllä:

$15\,\text{m/s} \cdot 12{,}0\,\text{s} + \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}25\,\text{m/s}^2 \cdot (12{,}0\,\text{s})^2$
$= 180\,\text{m} + 90\,\text{m}$
$= 270\,\text{m}$

c)

Annettu

origo kiihdytyskaistan alussa, positiivinen suunta ajosuunta; auto: $x_{0\text{A}} = 0$, $v_0 = 15\,\text{m/s}$, $a = 1{,}25\,\text{m/s}^2$; rekka: $x_{0\text{R}} = -40\,\text{m}$, $v_\text{R} = 81\,\text{km/h}$ (vakio)

Kysytty

ehtiikö rekka auton rinnalle, ja pienin välimatka $d_\text{min}$

Periaate

Paikat kirjoitetaan samassa koordinaatistossa (luku Kahden kappaleen liikkeiden vertailu). Rekka on aluksi nopeampi ja lähestyy autoa. Välimatka pienenee niin kauan kuin rekka on nopeampi ja alkaa kasvaa, kun auto on nopeampi, joten se on pienimmillään silloin, kun nopeudet ovat yhtä suuret. Jos välimatka on silloin positiivinen, rekka ei ehdi rinnalle.

Kaava

$x_\text{A} = v_0\,t + \tfrac{1}{2}\,a\,t^2$ ja $x_\text{R} = x_{0\text{R}} + v_\text{R}\,t$. Nopeudet yhtä suuret: $v_0 + a\,t_1 = v_\text{R}$, joten $t_1 = \dfrac{v_\text{R} - v_0}{a}$ ja $d_\text{min} = x_\text{A}(t_1) - x_\text{R}(t_1)$

Muunnokset

$81\,\text{km/h}$$= \dfrac{81 \cdot 1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$
$= 22{,}5\,\text{m/s}$

Sijoitus

$t_1$$= \dfrac{22{,}5\,\text{m/s} - 15\,\text{m/s}}{1{,}25\,\text{m/s}^2}$
$= 6{,}0\,\text{s}$
$x_\text{A}$$= 15\,\text{m/s} \cdot 6{,}0\,\text{s} + \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}25\,\text{m/s}^2 \cdot (6{,}0\,\text{s})^2$
$= 90\,\text{m} + 22{,}5\,\text{m}$
$= 112{,}5\,\text{m}$
$x_\text{R}$$= -40\,\text{m} + 22{,}5\,\text{m/s} \cdot 6{,}0\,\text{s}$
$= 95\,\text{m}$
$d_\text{min}$$= 112{,}5\,\text{m} - 95\,\text{m}$
$= 17{,}5\,\text{m}$

Vastaus

Rekka ei ehdi auton rinnalle. Välimatka on pienimmillään noin $18\,\text{m}$ hetkellä $6{,}0\,\text{s}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten etäisyys $40\,\text{m}$ ja nopeudet.

Järkevyys

Kaistan lopussa ($12{,}0\,\text{s}$) rekka on kohdassa $-40\,\text{m} + 22{,}5\,\text{m/s} \cdot 12{,}0\,\text{s} = 230\,\text{m}$ ja auto kohdassa $270\,\text{m}$, joten ero on taas $40\,\text{m}$, kuten pitääkin: nopeuskuvaajien väliin jäävät alat ennen ja jälkeen hetken $6{,}0\,\text{s}$ ovat yhtä suuret. Kohtaamisyhtälöllä $\tfrac{1}{2}\,a\,t^2 + (v_0 - v_\text{R})\,t - x_{0\text{R}} = 0$ ei ole reaalisia ratkaisuja, koska diskriminantti $(-7{,}5)^2 - 4 \cdot 0{,}625 \cdot 40 < 0$.

d)

Kysytty

miksi rekka saavuttaa tasaisesti vain nopeuteen $72\,\text{km/h}$ kiihdyttävän auton ja miksi liikenteen nopeuteen kannattaa kiihdyttää

Periaate

Siirtymä on $(t,v)$-kuvaajan pinta-ala, ja välimatka muuttuu kahden kuvaajan väliin jäävän alan verran (luku Kahden kappaleen liikkeiden vertailu).

Mallivastaus

Tämä auto on koko kaistan ajan rekkaa hitaampi, koska sen suurin nopeus $72\,\text{km/h} = 20\,\text{m/s}$ on pienempi kuin rekan $22{,}5\,\text{m/s}$. $(t,v)$-kuvaajassa rekan vaakasuora viiva on koko ajan auton nousevan viivan yläpuolella, joten rekan siirtymä kasvaa joka hetki enemmän kuin auton ja $40\,\text{m}$:n ero pienenee koko ajan. Kun ero on kurottu umpeen, rekka on auton rinnalla ja menee ohi. Laskelma vahvistaa tämän (auto kiihdyttää tasaisesti koko kaistan matkan): kiihdytys kestää $2 \cdot 270\,\text{m} : (15\,\text{m/s} + 20\,\text{m/s}) \approx 15{,}4\,\text{s}$, auton keskinopeus on $17{,}5\,\text{m/s}$, joten rekka kulkee keskimäärin $5\,\text{m/s}$ nopeammin ja kuroo $5\,\text{m/s} \cdot 15{,}4\,\text{s} \approx 77\,\text{m}$, enemmän kuin $40\,\text{m}$:n eron; ja sinä aikana rekka ehtii kohtaan $-40\,\text{m} + 22{,}5\,\text{m/s} \cdot 15{,}4\,\text{s} \approx 307\,\text{m}$, auton ohi ennen kaistan loppua ($270\,\text{m}$). Auton on silloin hidastettava ja liityttävä rekan taakse. Kun auto kiihdyttää liikenteen nopeuteen, se on loppuvaiheessa rekkaa nopeampi, välimatka kasvaa taas ja auto voi liittyä turvallisesti rekan eteen.

Yleisiä virheitä

  • Nopeuksia ei muunneta yksikköön $\text{m/s}$, ja kilometrit tunnissa kerrotaan sekunneilla.
  • a-kohdassa matka jaetaan loppunopeudella ($270\,\text{m} : 30\,\text{m/s} = 9{,}0\,\text{s}$), vaikka nopeus kasvaa vähitellen.
  • c-kohdassa kohtaamisehtoa yritetään ratkaista ja diskriminantin negatiivisuus tulkitaan laskuvirheeksi, vaikka se kertoo, ettei kohtaamista ole.
  • c-kohdassa rekan paikasta unohdetaan $-40\,\text{m}$, tai pienimmäksi välimatkaksi luetaan alkuetäisyys $40\,\text{m}$.

Hyväksytään myös

  • a-kohdassa ratkaistaan ensin $a = \dfrac{v^2 - v_0^2}{2\,\Delta x}$ ja sitten $t = \dfrac{v - v_0}{a}$, tai käytetään paikan yhtälöä ja nopeuden yhtälöä yhdessä.
  • c-kohdassa välimatka $d(t) = x_\text{A} - x_\text{R} = 40\,\text{m} - 7{,}5\,\text{m/s} \cdot t + 0{,}625\,\text{m/s}^2 \cdot t^2$ ja sen pienin arvo paraabelin huipusta.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Siirtymä on $(t,v)$-kuvaajan pinta-ala: $\Delta x = \dfrac{v_0 + v}{2}\,t$, josta $t = \dfrac{2\,\Delta x}{v_0 + v}$ (tai paikan yhtälö ja $v = v_0 + a\,t$ yhdessä). 1 p
Muuntaa nopeudet sijoittamalla: $54\,\text{km/h} = \dfrac{54 \cdot 1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}} = 15\,\text{m/s}$ ja $108\,\text{km/h} = 30\,\text{m/s}$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $t = \dfrac{2 \cdot 270\,\text{m}}{15\,\text{m/s} + 30\,\text{m/s}} = 12{,}0\,\text{s}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $t \approx 12\,\text{s}$ 1 p

b)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $a = \dfrac{30\,\text{m/s} - 15\,\text{m/s}}{12{,}0\,\text{s}} = 1{,}25\,\text{m/s}^2$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $a \approx 1{,}3\,\text{m/s}^2$ (tai $1{,}25\,\text{m/s}^2$) 1 p

c)5 p

Kirjoittaa kummankin paikan samassa koordinaatistossa: origo kaistan alussa, $x_\text{A} = v_0\,t + \tfrac{1}{2}\,a\,t^2$ ja $x_\text{R} = -40\,\text{m} + v_\text{R}\,t$. 1 p
Perustelee, että välimatka pienenee niin kauan kuin rekka on nopeampi, ja on pienimmillään, kun nopeudet ovat yhtä suuret: $v_0 + a\,t = v_\text{R}$, $t = 6{,}0\,\text{s}$. 2 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $x_\text{A} = 112{,}5\,\text{m}$ ja $x_\text{R} = 95\,\text{m}$, välimatka $17{,}5\,\text{m}$ 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Rekka ei ehdi rinnalle: auto pysyy vähintään noin $18\,\text{m}$ edellä, ja kaistan lopussa ero on taas $40\,\text{m}$. (Myös: yhtälöllä $x_\text{A} = x_\text{R}$ ei ole reaalisia ratkaisuja.) 1 p

d)3 p

Selittää, että auto on koko kaistan ajan rekkaa hitaampi ($72\,\text{km/h} < 81\,\text{km/h}$), joten $(t,v)$-kuvaajassa rekan suorakulmion ala kasvaa auton alaa nopeammin, ja perustelee määrällisesti: kiihdytys kestää noin $15{,}4\,\text{s}$, auton keskinopeus on $17{,}5\,\text{m/s}$, joten rekka kulkee keskimäärin noin $5\,\text{m/s}$ nopeammin ja kuroo noin $77\,\text{m}$ eli enemmän kuin $40\,\text{m}$:n eron. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Rekka saavuttaa ja ohittaa auton ennen kaistan loppua (rekka on noin $307\,\text{m}$:n kohdalla, kun auto saapuu kaistan päähän $270\,\text{m}$:iin), joten auton olisi liityttävä rekan taakse tai jarrutettava; liikenteen nopeuteen kiihdyttänyt pysyy edellä. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (13 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

3.1-2 Kaksi palloa aulassa 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Tilanne ja luvut ovat keksittyjä esimerkkejä. Ilmanvastus jätetään huomiotta.

Koulun aulassa tehdään liikuntatunnin koe. Opiskelija heittää tennispallon suoraan ylös $1{,}5\,\text{m}$:n korkeudelta lattiasta nopeudella $12{,}0\,\text{m/s}$. Täsmälleen samalla hetkellä toinen opiskelija pudottaa toisen pallon levosta kolmannen kerroksen kaiteelta $9{,}0\,\text{m}$:n korkeudelta lattiasta. Pallot liikkuvat vierekkäisiä pystysuoria linjoja pitkin, joten ne eivät törmää. Ilmanvastusta ei huomioida.

  1. a) Kuinka korkealle lattiasta heitetty pallo nousee? 4 p
  2. b) Milloin ja millä korkeudella pallot ohittavat toisensa? 5 p
  3. c) Selitä, miksi ohitushetki ei riipu putoamiskiihtyvyydestä. Ohittaisivatko pallot toisensa Kuussa samalla hetkellä? 3 p
  4. d) Mitkä ovat pallojen nopeudet ohitushetkellä? 3 p

Taidot luvuista: Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike, Kahden kappaleen liikkeiden vertailu, Putoamiskiihtyvyys: $v = gt$

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

heittokorkeus $y_{0\text{A}} = 1{,}5\,\text{m}$, alkunopeus $v_0 = 12{,}0\,\text{m/s}$ ylöspäin, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; ylös positiivinen, ilmanvastus jätetään huomiotta

Kysytty

lakipisteen korkeus $y_\text{l}$ lattiasta

Periaate

Pallon kiihtyvyys on koko lennon ajan $g$ alaspäin, joten liike on tasaisesti kiihtyvää. Lakipisteessä pallon nopeus on hetken nolla, vaikka kiihtyvyys ei ole (luku Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike).

Kaava

$v = v_0 - g\,t_\text{l} = 0$, joten $t_\text{l} = \dfrac{v_0}{g}$, ja

$y_\text{l}$$= y_{0\text{A}} + v_0\,t_\text{l} - \tfrac{1}{2}\,g\,t_\text{l}^2$

Muunnokset

Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$t_\text{l}$$= \dfrac{12{,}0\,\text{m/s}}{9{,}81\,\text{m/s}^2}$
$= 1{,}223\,\text{s}$
$y_\text{l}$$= 1{,}5\,\text{m} + 12{,}0\,\text{m/s} \cdot 1{,}223\,\text{s} - \tfrac{1}{2} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot (1{,}223\,\text{s})^2$
$= 1{,}5\,\text{m} + 14{,}68\,\text{m} - 7{,}34\,\text{m}$
$= 8{,}84\,\text{m}$

Vastaus

$y_\text{l} \approx 8{,}8\,\text{m}$

Kymmenesosien tarkkuudella, koska heittokorkeus $1{,}5\,\text{m}$ tunnetaan kymmenesosien tarkkuudella.

Järkevyys

Nousu on $7{,}34\,\text{m}$; pallon keskinopeus nousun aikana on $6{,}0\,\text{m/s}$, ja $6{,}0\,\text{m/s} \cdot 1{,}223\,\text{s} \approx 7{,}3\,\text{m}$. Pallo ei nouse kolmannen kerroksen kaiteelle ($9{,}0\,\text{m}$) asti, mikä sopii voimakkaaseen mutta tavalliseen heittoon.

b)

Annettu

pallo A: $y_{0\text{A}} = 1{,}5\,\text{m}$, $v_0 = 12{,}0\,\text{m/s}$; pallo B: $y_{0\text{B}} = 9{,}0\,\text{m}$, lähtee levosta; molempien kiihtyvyys $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ alaspäin

Kysytty

ohitushetki $t$ ja ohituskorkeus $y$

Periaate

Pallot ohittavat toisensa, kun ne ovat samalla korkeudella samalla hetkellä: $y_\text{A}(t) = y_\text{B}(t)$ (luku Kahden kappaleen liikkeiden vertailu). Kummankin liike on tasaisesti kiihtyvää samalla kiihtyvyydellä, joten termit $-\tfrac{1}{2}\,g\,t^2$ kumoutuvat.

Kaava

$y_{0\text{A}} + v_0\,t - \tfrac{1}{2}\,g\,t^2$
$= y_{0\text{B}} - \tfrac{1}{2}\,g\,t^2$

joten

$t$$= \dfrac{y_{0\text{B}} - y_{0\text{A}}}{v_0}$

$y = y_{0\text{B}} - \tfrac{1}{2}\,g\,t^2$

Muunnokset

Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$t$$= \dfrac{9{,}0\,\text{m} - 1{,}5\,\text{m}}{12{,}0\,\text{m/s}}$
$= \dfrac{7{,}5\,\text{m}}{12{,}0\,\text{m/s}}$
$= 0{,}625\,\text{s}$
$y$$= 9{,}0\,\text{m} - \tfrac{1}{2} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot (0{,}625\,\text{s})^2$
$= 9{,}0\,\text{m} - 1{,}916\,\text{m}$
$= 7{,}08\,\text{m}$

Vastaus

Pallot ohittavat toisensa hetkellä $t \approx 0{,}63\,\text{s}$ korkeudella $y \approx 7{,}1\,\text{m}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten korkeusero $7{,}5\,\text{m}$.

Järkevyys

Pallon A paikkafunktio antaa saman korkeuden:

$1{,}5\,\text{m} + 12{,}0\,\text{m/s} \cdot 0{,}625\,\text{s} - 1{,}916\,\text{m}$
$= 7{,}08\,\text{m}$

Ohitus tapahtuu ennen A:n lakipistettä hetkellä $1{,}22\,\text{s}$ ja ennen kuin B osuu lattiaan hetkellä

$\sqrt{2 \cdot 9{,}0\,\text{m} : 9{,}81\,\text{m/s}^2}$
$\approx 1{,}35\,\text{s}$

c)

Kysytty

miksi ohitushetki ei riipu putoamiskiihtyvyydestä, ja ohittaisivatko pallot toisensa Kuussa samalla hetkellä

Periaate

Kiihtyvyys kertoo, kuinka paljon nopeus muuttuu sekunnissa. Kun kahdella kappaleella on sama kiihtyvyys, niiden nopeudet muuttuvat yhtä paljon (luku Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike).

Mallivastaus

Molemmat pallot ovat irti käsistä samasta hetkestä alkaen, joten kummankin kiihtyvyys on $g$ alaspäin. Niiden nopeudet pienenevät joka sekunti yhtä paljon, joten nopeuksien erotus pysyy koko ajan alkuarvossaan $12{,}0\,\text{m/s}$. Pallojen välimatka $7{,}5\,\text{m}$ pienenee siis tasaisesti nopeudella $12{,}0\,\text{m/s}$, aivan kuin kumpikaan ei kiihtyisi, ja ohitus tapahtuu hetkellä $7{,}5\,\text{m} : 12{,}0\,\text{m/s} \approx 0{,}63\,\text{s}$ putoamiskiihtyvyydestä riippumatta. Kuussa ohitushetki olisi sama. Ohituskorkeus sen sijaan riippuu putoamiskiihtyvyydestä: Kuussa ($g = 1{,}62\,\text{m/s}^2$) kumpikin pallo putoaa tässä ajassa vain noin $0{,}32\,\text{m}$, joten ohitus tapahtuisi noin $8{,}7\,\text{m}$:n korkeudella.

d)

Annettu

$v_0 = 12{,}0\,\text{m/s}$ (A), B lähtee levosta, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ alaspäin, b-kohdasta $t = 0{,}625\,\text{s}$; ylös positiivinen

Kysytty

nopeudet $v_\text{A}$ ja $v_\text{B}$ ohitushetkellä etumerkkeineen

Periaate

Tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä nopeus muuttuu joka sekunti kiihtyvyyden verran. Ylös on positiivinen, joten kiihtyvyys on $-g$, ja nopeuden etumerkki kertoo suunnan (luku Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike).

Kaava

$v_\text{A} = v_0 - g\,t$ ja $v_\text{B} = -g\,t$

Muunnokset

Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$v_\text{A}$$= 12{,}0\,\text{m/s} - 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 0{,}625\,\text{s}$
$= 12{,}0\,\text{m/s} - 6{,}131\,\text{m/s}$
$= 5{,}869\,\text{m/s}$
$v_\text{B}$$= -9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 0{,}625\,\text{s}$
$= -6{,}131\,\text{m/s}$

Vastaus

$v_\text{A} \approx 5{,}9\,\text{m/s}$

Ylöspäin ja $v_\text{B} \approx -6{,}1\,\text{m/s}$ eli $6{,}1\,\text{m/s}$ alaspäin, kaksi merkitsevää numeroa kuten ohitushetki.

Järkevyys

Nopeuksien erotus on $5{,}869\,\text{m/s} - (-6{,}131\,\text{m/s}) = 12{,}0\,\text{m/s}$, kuten c-kohdan päättely edellyttää. Pallo A nousee vielä, koska sen lakipiste on vasta hetkellä $1{,}22\,\text{s}$.

Yleisiä virheitä

  • Lakipisteessä kiihtyvyydeksi oletetaan nolla, tai korkeus lasketaan ilman heittokorkeutta $1{,}5\,\text{m}$.
  • Putoavan pallon paikka kirjoitetaan $y_\text{B} = \tfrac{1}{2}\,g\,t^2$, eli unohdetaan, että ylös on positiivinen ja pallo lähtee korkeudelta $9{,}0\,\text{m}$.
  • b-kohdassa ratkaistaan hetki, jolloin nopeudet ovat yhtä suuret, eikä hetkeä, jolloin korkeudet ovat yhtä suuret.
  • d-kohdassa nopeuksien etumerkit jätetään pois, jolloin ei näy, että pallot liikkuvat vastakkaisiin suuntiin.

Hyväksytään myös

  • Koordinaatisto, jossa alas on positiivinen, kun etumerkit ovat sen mukaiset.
  • b-kohdan päättely suoraan pallojen suhteellisesta liikkeestä kuten c-kohdan mallivastauksessa.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Perustelee, että lakipisteessä nopeus on nolla mutta kiihtyvyys on yhä $g$ alaspäin, ja valitsee koordinaatiston (ylös positiivinen). 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $t_\text{l} = \dfrac{v_0}{g}$ ja $y = y_0 + v_0\,t_\text{l} - \tfrac{1}{2}\,g\,t_\text{l}^2$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $t_\text{l} \approx 1{,}22\,\text{s}$ ja nousu $7{,}34\,\text{m}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $y \approx 8{,}8\,\text{m}$ 1 p

b)5 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Kohtaamisehto $y_\text{A}(t) = y_\text{B}(t)$: $y_{0\text{A}} + v_0\,t - \tfrac{1}{2}\,g\,t^2 = y_{0\text{B}} - \tfrac{1}{2}\,g\,t^2$, josta $t = \dfrac{y_{0\text{B}} - y_{0\text{A}}}{v_0}$ 2 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $t = 7{,}5\,\text{m} : 12{,}0\,\text{m/s} = 0{,}625\,\text{s}$ ja $y = 9{,}0\,\text{m} - \tfrac{1}{2} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot (0{,}625\,\text{s})^2$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $t \approx 0{,}63\,\text{s}$ ja $y \approx 7{,}1\,\text{m}$ 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Tarkistus toisella paikkafunktiolla antaa saman korkeuden, ja ohitus tapahtuu ennen kuin heitetty pallo on lakipisteessä tai pudotettu lattiassa. 1 p

c)3 p

Selittää, että molemmilla palloilla on sama kiihtyvyys, joten niiden nopeuksien erotus pysyy koko ajan $12{,}0\,\text{m/s}$ ja välimatka $7{,}5\,\text{m}$ pienenee tasaisesti. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Kuussa ohitushetki on sama $0{,}63\,\text{s}$, mutta ohituskorkeus on suurempi (noin $8{,}7\,\text{m}$), koska kumpikin pallo putoaa vähemmän. 1 p

d)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $v = v_0 - g\,t$ kummallekin, ylös positiivinen 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $v_\text{A} = 12{,}0\,\text{m/s} - 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 0{,}625\,\text{s} \approx 5{,}87\,\text{m/s}$ ja $v_\text{B} \approx -6{,}13\,\text{m/s}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $v_\text{A} \approx 5{,}9\,\text{m/s}$ ylöspäin ja $v_\text{B} \approx -6{,}1\,\text{m/s}$ eli alaspäin; etumerkit ja suunnat mainittu 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (13 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

3.1-3 Lähijuna saapuu asemalle 20 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Aineisto on keksitty esimerkki, johon on lisätty puhelimen paikannuksen kaltaista vaihtelua.

Matkustaja tallensi puhelimensa paikannussovelluksella lähijunan nopeuden neljän sekunnin välein, kun juna lähestyi asemaa. Sovellus ilmoittaa nopeuden kilometreinä tunnissa kokonaislukuina. Valmistajan mukaan näytetyn nopeuden epävarmuus on noin $\pm 1\,\text{km/h}$.

$t\ (\text{s})$ $v\ (\text{km/h})$
$0$ $91$
$4$ $89$
$8$ $90$
$12$ $84$
$16$ $77$
$20$ $67$
$24$ $56$
$28$ $49$
$32$ $39$
$36$ $28$
$40$ $21$

Tallennus katkesi hetkellä $40\,\text{s}$, kun juna oli vielä liikkeessä.

  1. a) Esitä junan nopeus ajan funktiona kuvaajana, ja sovita pisteisiin sopiva malli. 6 p
  2. b) Määritä junan kiihtyvyys jarrutuksen aikana. Anna vastaus yksikössä $\text{m/s}^2$. 5 p
  3. c) Arvioi kuvaajan avulla, milloin juna pysähtyy ja kuinka pitkän matkan se kulkee jarrutuksen alusta pysähtymiseen. 5 p
  4. d) Matkustaja päättelee, että juna pysähtyi tarkalleen c-kohdan matkan päähän jarrutuksen alusta. Arvioi, kuinka luotettava päätelmä on. 4 p

Taidot luvuista: Graafinen esitys ja suoran sovittaminen, Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike, Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

junan nopeus $v$ ajan $t$ funktiona kuvaajana ja siihen sovitettu malli

Kuvaaja

Vaaka-akselilla on aika $t\ (\text{s})$ ja pystyakselilla nopeus $v\ (\text{km/h})$. Aika-akseli jatkuu noin $55\,\text{s}$:iin, jotta c-kohdan pysähtymishetki mahtuu kuvaajaan.

$8$
$16$
$24$
$32$
$40$
$48$
$56$
$20$
$40$
$60$
$80$
$100$
$0$
$t\ (\text{s})$
$v\ (\text{km/h})$
$10\,\text{s}$
$48{,}5\,\text{s}$
$k \approx -2{,}3\,\tfrac{\text{km/h}}{\text{s}}$
$\text{jarrutusmatka}$

Mallivastaus

Pisteistä näkyy kaksi vaihetta. Hetkinä $0$, $4$ ja $8\,\text{s}$ nopeus pysyy noin $90\,\text{km/h}$:ssa: vaihtelu $\pm 1\,\text{km/h}$ on sovelluksen epävarmuuden suuruinen, joten juna kulkee tasaisesti, ja näille pisteille piirretään vaakasuora suora. Hetkestä $12\,\text{s}$ alkaen nopeus pienenee joka neljässä sekunnissa suunnilleen yhtä paljon, joten juna jarruttaa tasaisesti, ja näihin pisteisiin sovitetaan laskeva suora niin, että pisteet jäävät sen molemmille puolille. Kolmea ensimmäistä pistettä ei oteta mukaan jarrutussuoraan, koska ne kuuluvat eri vaiheeseen ja kääntäisivät suoran väärin. Laskevaa suoraa jatketaan katkoviivana aika-akselille c-kohtaa varten.

b)

Annettu

a-kohdan jarrutussuora; siltä luetaan pisteet $(12\,\text{s}$; $85\,\text{km/h})$ ja $(40\,\text{s}$; $20\,\text{km/h})$

Kysytty

jarrutuksen kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

Periaate

Jarrutuspisteet ovat suoralla, joten kiihtyvyys on vakio ja se on $(t,v)$-kuvaajan kulmakerroin (luku Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike). Kulmakerroin luetaan sovitetulta suoralta kahdesta kaukana toisistaan olevasta pisteestä, ei vierekkäisistä mittauspisteistä, koska jokaisessa mittauksessa on pieni virhe (luku Graafinen esitys ja suoran sovittaminen).

Kuvaajan lukeminen

Suora kulkee pisteiden $(12\,\text{s}$; $85\,\text{km/h})$ ja $(40\,\text{s}$; $20\,\text{km/h})$ kautta, jotka on ympyröity mallikuvaajaan.

Kaava

$a$$= \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$
$= \dfrac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$

Muunnokset

Nopeuden muutos metreiksi sekunnissa sijoittamalla:

$20\,\text{km/h} - 85\,\text{km/h}$
$= -65\,\text{km/h}$
$= \dfrac{-65 \cdot 1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$
$= -18{,}06\,\text{m/s}$

Sijoitus

$a$$= \dfrac{-18{,}06\,\text{m/s}}{40\,\text{s} - 12\,\text{s}}$
$= \dfrac{-18{,}06\,\text{m/s}}{28\,\text{s}}$
$= -0{,}645\,\text{m/s}^2$

Vastaus

$a \approx -0{,}65\,\text{m/s}^2$

Kaksi merkitsevää numeroa, koska suoralta luetut nopeudet tunnetaan noin kahden numeron tarkkuudella. Tulokset $-0{,}61$…$-0{,}68\,\text{m/s}^2$ ovat sovituksen vaihteluvälin sisällä.

Järkevyys

Kiihtyvyys on negatiivinen eli nopeudelle vastakkainen, joten vauhti pienenee, kuten jarrutuksessa pitää. Suuruus $0{,}65\,\text{m/s}^2$ on tavallinen junan palvelujarrutus: matkustajat pysyvät pystyssä. Taulukkolaskennan sovitus antaa $-2{,}31\,\text{km/h}$ sekunnissa eli $-0{,}642\,\text{m/s}^2$, lähes saman.

c)

Annettu

a-kohdan kuvaaja: jarrutus alkaa vaakasuoran ja laskevan suoran leikkauskohdassa, nopeus siinä $v_0 = 90\,\text{km/h}$

Kysytty

pysähtymishetki $t_\text{p}$ ja jarrutusmatka $\Delta x$ jarrutuksen alusta

Periaate

Juna pysähtyy, kun jarrutussuora leikkaa aika-akselin; koska mittaus päättyi hetkellä $40\,\text{s}$, suoraa on jatkettava mittausalueen ulkopuolelle. Siirtymä on $(t,v)$-kuvaajan ja aika-akselin välinen pinta-ala, tässä suorakulmainen kolmio (luku Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike).

Kuvaajan lukeminen

Vaakasuora ja laskeva suora leikkaavat noin hetkellä $t_0 = 10\,\text{s}$, ja jatkettu jarrutussuora leikkaa aika-akselin noin hetkellä $t_\text{p} = 48{,}5\,\text{s}$.

Kaava

$\Delta x = \tfrac{1}{2}\,v_0\,(t_\text{p} - t_0)$

Muunnokset

$90\,\text{km/h}$$= \dfrac{90 \cdot 1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$
$= 25\,\text{m/s}$

Sijoitus

$\Delta x$$= \tfrac{1}{2} \cdot 25\,\text{m/s} \cdot (48{,}5\,\text{s} - 10\,\text{s})$
$= \tfrac{1}{2} \cdot 25\,\text{m/s} \cdot 38{,}5\,\text{s}$
$= 481\,\text{m}$

Vastaus

Juna pysähtyy noin hetkellä $49\,\text{s}$, ja jarrutusmatka on noin $480\,\text{m}$. Kaksi merkitsevää numeroa, koska leikkauskohdat luetaan kuvaajasta noin puolen sekunnin tarkkuudella; tulokset $450$–$520\,\text{m}$ hyväksytään.

Järkevyys

b-kohdan kiihtyvyydellä jarrutus nopeudesta $25\,\text{m/s}$ kestää $25\,\text{m/s} : 0{,}645\,\text{m/s}^2 \approx 39\,\text{s}$, kuten kuvaajasta luettu $38{,}5\,\text{s}$. Keskinopeus jarrutuksen aikana on $12{,}5\,\text{m/s}$, ja $12{,}5\,\text{m/s} \cdot 38{,}5\,\text{s} \approx 480\,\text{m}$. Noin puolen kilometrin jarrutusmatka sopii junalle, joka pysähtyy asemalle tavallisella jarrutuksella.

d)

Kysytty

kuinka luotettava on päätelmä, että juna pysähtyi tarkalleen c-kohdan matkan päähän

Periaate

Malli on luotettava vain alueella, jolla se on mitattu; mittausalueen ulkopuolelle jatkaminen eli ekstrapolointi olettaa, että liike jatkuu samanlaisena. Tuloksen tarkkuus riippuu myös siitä, kuinka hyvin kulmakerroin tunnetaan (luvut Graafinen esitys ja suoran sovittaminen ja Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus).

Mallivastaus

Päätelmä on suuruusluokaltaan hyvä mutta ei tarkka. Tallennus päättyi hetkellä $40\,\text{s}$, kun nopeus oli vielä noin $20\,\text{km/h}$, joten pysähtymishetki $48{,}5\,\text{s}$ ja viimeisten noin $9\,\text{s}$:n matka perustuvat oletukseen, että juna jarrutti samalla kiihtyvyydellä loppuun asti. Todellisuudessa kuljettaja usein keventää jarrutusta juuri ennen pysähtymistä, jolloin juna kulkee vähän pidemmälle. Lisäksi kulmakertoimen epävarmuus siirtyy tulokseen: jyrkin ja loivin pisteisiin sopiva suora antavat pysähtymishetkelle noin sekunnin ja matkalle noin $\pm 20\,\text{m}$:n vaihteluvälin. Sovelluksen nopeuden epävarmuus $\pm 1\,\text{km/h}$ on pieni verrattuna nopeuden muutokseen $70\,\text{km/h}$, joten se ei ole suurin epävarmuuden lähde. Tulos kannattaa ilmoittaa muodossa ”noin $480\,\text{m}$, epävarmuus muutamia kymmeniä metrejä”, ei ”tarkalleen”.

Yleisiä virheitä

  • Kaikki pisteet yhdistetään murtoviivaksi tai kaikkiin yhteentoista pisteeseen sovitetaan yksi suora, jolloin tasaisen vaiheen pisteet kääntävät kulmakerrointa.
  • Kulmakerroin lasketaan kahdesta vierekkäisestä mittauspisteestä tai taulukon arvoista suoran sijaan.
  • Kiihtyvyys jätetään yksikköön $\text{km/h}$ sekunnissa, tai muunnoksessa kerrotaan luvulla $3{,}6$ jakamisen sijaan.
  • Jarrutusmatkaksi lasketaan suorakulmio $25\,\text{m/s} \cdot 38{,}5\,\text{s}$ kolmion sijaan, tai matka lasketaan hetkestä $0$ alkaen.

Hyväksytään myös

  • b-kohdan kulmakerroin taulukkolaskennan sovituksesta jarrutuspisteisiin: $-2{,}31\,\text{km/h}$ sekunnissa eli $-0{,}642\,\text{m/s}^2$.
  • c-kohdan matka b-kohdan kiihtyvyydestä laskettuna: $t = v_0 : |a|$ ja $\Delta x = \tfrac{1}{2}\,v_0\,t$.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)6 p

Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. Vaaka-akselilla $t\ (\text{s})$, pystyakselilla $v\ (\text{km/h})$; aika-akseli jatkuu ainakin $50\,\text{s}$:iin c-kohtaa varten. 1 p
Jokainen mittaus on merkitty erillisenä pisteenä oikealle paikalleen. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii, eikä pisteitä ole yhdistetty murtoviivaksi. Kolmen ensimmäisen pisteen kohdalle vaakasuora suora ja jarrutuspisteisiin laskeva suora, joka kulkee pisteiden lomitse; pisteitä ei yhdistetä murtoviivaksi. 2 p
Tunnistaa aineistosta kaksi vaihetta ja perustelee, miksi kolmea ensimmäistä pistettä ei oteta jarrutuksen suoraan: niissä nopeus on vakio. 2 p

b)5 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Kulmakerroin sovitetun suoran kahdesta kaukana toisistaan olevasta pisteestä, esimerkiksi $(12\,\text{s}$; $85\,\text{km/h})$ ja $(40\,\text{s}$; $20\,\text{km/h})$: noin $-2{,}3\,\text{km/h}$ sekunnissa. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ 1 p
Muuntaa nopeuden muutoksen sijoittamalla: $-65\,\text{km/h} = \dfrac{-65 \cdot 1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}} \approx -18{,}1\,\text{m/s}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $a \approx -0{,}65\,\text{m/s}^2$; tulos $-0{,}61$…$-0{,}68\,\text{m/s}^2$ hyväksytään. 1 p
Tulkitsee etumerkin: kiihtyvyys on nopeudelle vastakkainen, joten vauhti pienenee. 1 p

c)5 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Jarrutuksen alku vaakasuoran ja laskevan suoran leikkauskohdasta (noin $10\,\text{s}$) ja pysähtyminen jarrutussuoran ja aika-akselin leikkauskohdasta (noin $48$–$49\,\text{s}$, suoraa jatketaan). 1 p
Perustelee, että matka on $(t,v)$-kuvaajan ja aika-akselin välinen pinta-ala, tässä kolmio $\tfrac{1}{2}\,v_0\,\Delta t$. 2 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\tfrac{1}{2} \cdot 25\,\text{m/s} \cdot 38{,}5\,\text{s} \approx 481\,\text{m}$, nopeus muunnettuna $90\,\text{km/h} = 25\,\text{m/s}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. noin $480\,\text{m}$; tulos $450$–$520\,\text{m}$ hyväksytään 1 p

d)4 p

Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Pysähtymishetki on ekstrapolointi mittausalueen ulkopuolelle: malli olettaa, että jarrutus jatkui samanlaisena myös hetken $40\,\text{s}$ jälkeen, vaikka kuljettaja usein keventää jarrutusta juuri ennen pysähtymistä. 2 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Kulmakertoimen epävarmuus: jyrkin ja loivin pisteisiin sopiva suora antavat pysähtymishetkelle ja matkalle vaihteluvälin (noin $\pm 20\,\text{m}$); nopeuden epävarmuus $\pm 1\,\text{km/h}$ on pieni verrattuna nopeuden muutokseen. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Tulos on suuruusluokaltaan luotettava (noin $480\,\text{m}$), mutta ei ”tarkalleen”: se kannattaa ilmoittaa kahdella merkitsevällä numerolla ja epävarmuuden kanssa. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 20 (16 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

3.1-4 Keskinopeusvalvonta 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Valvontaosuus ja luvut ovat keksittyjä esimerkkejä. Keskinopeusvalvonnassa ajoneuvon kulkuaika mitataan osuuden alussa ja lopussa olevilla kameroilla.

Kunta harkitsee keskinopeusvalvontaa $3{,}0\,\text{km}$:n suoralle tieosuudelle, jolla nopeusrajoitus on $80\,\text{km/h}$. Osuuden alussa ja lopussa on kamera, joka kirjaa ajoneuvon ohitushetken. Järjestelmä laskee ajoneuvon keskinopeuden osuudella ja ilmoittaa ylityksestä, jos keskinopeus on yli $80\,\text{km/h}$. Kunnanvaltuuston keskustelussa esitettiin kolme kannanottoa:

  1. ”Valvonta on epäreilua: keskinopeus ei todista, että kukaan olisi ajanut ylinopeutta yhdessäkään kohdassa.”
  2. ”Ajoin osuudesta $2{,}0\,\text{km}$ nopeudella $100\,\text{km/h}$ ja loput $1{,}0\,\text{km}$ nopeudella $60\,\text{km/h}$, joten keskinopeuteni oli $80\,\text{km/h}$.”
  3. ”Kamerat voisi sijoittaa vain $100\,\text{m}$:n päähän toisistaan, niin valvontaa olisi helpompi rakentaa.”

Kamerat kirjaavat ohitushetken $0{,}5\,\text{s}$:n tarkkuudella.

  1. a) Arvioi ensimmäinen kannanotto. Perustele vastauksesi $(t,x)$- tai $(t,v)$-kuvaajan avulla. 5 p
  2. b) Arvioi toinen kannanotto laskemalla kuljettajan keskinopeus osuudella. 5 p
  3. c) Arvioi kolmas kannanotto. Kuinka suuri on keskinopeuden epävarmuus $3{,}0\,\text{km}$:n osuudella ja $100\,\text{m}$:n osuudella, kun auto ajaa nopeudella $80\,\text{km/h}$? 5 p

Taidot luvuista: Paikka, nopeus ja tasainen liike kuvaajina, Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike, Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

todistaako yli $80\,\text{km/h}$:n keskinopeus, että kuljettaja on jossain kohdassa ajanut ylinopeutta

Periaate

Keskinopeus on siirtymä jaettuna ajalla, eli $(t,x)$-kuvaajassa osuuden alku- ja loppupisteen kautta kulkevan suoran kulmakerroin. Hetkellinen nopeus on kuvaajan tangentin kulmakerroin, ja siirtymä on $(t,v)$-kuvaajan alle jäävä pinta-ala (luvut Paikka, nopeus ja tasainen liike kuvaajina ja Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike).

Mallivastaus

Kannanotto on väärä. Jos auton nopeus olisi koko ajan enintään $80\,\text{km/h}$, sen $(t,v)$-kuvaaja olisi koko ajan vaakasuoran viivan $v = 80\,\text{km/h}$ alapuolella tai sillä. Silloin kuvaajan alle jäävä pinta-ala eli kuljettu matka olisi enintään $80\,\text{km/h}$ kertaa kulkuaika, ja keskinopeus olisi enintään $80\,\text{km/h}$. Sama $(t,x)$-kuvaajalla: kuvaaja ei voi nousta alusta loppuun keskimäärin jyrkemmin kuin sen jyrkin kohta. Kun keskinopeus on yli $80\,\text{km/h}$, nopeus on siis välttämättä ollut jossain kohdassa yli $80\,\text{km/h}$. Päinvastainen päätelmä ei kuitenkaan pidä: kuljettaja voi ajaa osan matkasta ylinopeutta ja hidastella toisaalla, jolloin keskinopeus jää alle rajan. Valvonta ei siis tuomitse syyttömiä, mutta se ei myöskään huomaa kaikkia ylinopeuksia.

b)

Annettu

osuudet $\Delta x_1 = 2{,}0\,\text{km}$ nopeudella $v_1 = 100\,\text{km/h}$ ja $\Delta x_2 = 1{,}0\,\text{km}$ nopeudella $v_2 = 60\,\text{km/h}$; koko osuus $\Delta x = 3{,}0\,\text{km}$

Kysytty

keskinopeus $v_\text{ka}$ yksikössä $\text{km/h}$

Periaate

Keskinopeus on koko siirtymä jaettuna koko ajalla (luku Paikka, nopeus ja tasainen liike kuvaajina). Kummallakin osalla nopeus on vakio, joten osan aika on sen matka jaettuna nopeudella. Nopeuksien keskiarvo ei kelpaa, koska nopeuksia ajetaan eri pitkään.

Kaava

$t_1 = \dfrac{\Delta x_1}{v_1}$,

$t_2$$= \dfrac{\Delta x_2}{v_2}$
$v_\text{ka}$$= \dfrac{\Delta x}{t_1 + t_2}$

Muunnokset

Matkat ovat kilometreinä ja nopeudet kilometreinä tunnissa, joten ajat tulevat tunteina eikä muunnoksia tarvita. Vertailun vuoksi tunnit sekunneiksi: $1\,\text{h} = 3600\,\text{s}$.

Sijoitus

$t_1$$= \dfrac{2{,}0\,\text{km}}{100\,\text{km/h}}$
$= 0{,}020\,\text{h}$
$= 72\,\text{s}$
$t_2$$= \dfrac{1{,}0\,\text{km}}{60\,\text{km/h}}$
$= 0{,}01667\,\text{h}$
$= 60\,\text{s}$
$v_\text{ka}$$= \dfrac{3{,}0\,\text{km}}{0{,}020\,\text{h} + 0{,}01667\,\text{h}}$
$= \dfrac{3{,}0\,\text{km}}{0{,}03667\,\text{h}}$
$= 81{,}8\,\text{km/h}$

Vastaus

$v_\text{ka} \approx 82\,\text{km/h}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten matkat $2{,}0\,\text{km}$ ja $1{,}0\,\text{km}$. Kannanotto on väärä: keskinopeus ylittää rajoituksen.

Järkevyys

Rajoitusnopeudella osuuteen kuluisi

$3{,}0\,\text{km} : 80\,\text{km/h}$
$= 0{,}0375\,\text{h}$
$= 135\,\text{s}$

Kuljettajalta kului $132\,\text{s}$, vähemmän kuin $135\,\text{s}$, joten hän oli rajoitusnopeutta nopeampi. Keskinopeus on lähempänä nopeutta $100\,\text{km/h}$, koska sillä ajettiin suurempi osa ajasta.

c)

Kysytty

keskinopeuden epävarmuus $3{,}0\,\text{km}$:n ja $100\,\text{m}$:n osuudella, kun auto ajaa nopeudella $80\,\text{km/h}$, ja pitääkö kolmas kannanotto

Periaate

Keskinopeus lasketaan kulkuajasta, ja kulkuaika on kahden kirjauksen erotus, joten kummankin kirjauksen $0{,}5\,\text{s}$:n epävarmuus vaikuttaa siihen: yhteensä enintään noin $1\,\text{s}$. Mitä lyhyempi kulkuaika on, sitä suurempi on saman aikavirheen suhteellinen vaikutus (luku Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus).

Mallivastaus

Nopeudella $80\,\text{km/h} = \dfrac{80 \cdot 1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}} = 22{,}2\,\text{m/s}$ pitkän osuuden kulkuaika on $3000\,\text{m} : 22{,}2\,\text{m/s} = 135\,\text{s}$. Sekunnin virhe on siitä alle $1\,\%$, joten keskinopeuden epävarmuus on noin $80\,\text{km/h} \cdot 1\,\text{s} : 135\,\text{s} \approx 0{,}6\,\text{km/h}$. Lyhyellä osuudella kulkuaika on vain $100\,\text{m} : 22{,}2\,\text{m/s} = 4{,}5\,\text{s}$, ja sekunnin virhe on siitä yli $20\,\%$: keskinopeus voisi olla mitattuna noin $65$–$100\,\text{km/h}$, eli epävarmuus on noin $18\,\text{km/h}$. Kolmas kannanotto ei siis pidä. Lyhyellä osuudella järjestelmä ei pystyisi erottamaan rajoitusnopeutta ajavaa ylinopeutta ajavasta, ja tulos voisi mennä kumpaan suuntaan tahansa. Valvontaosuuden on oltava pitkä, jotta ajanoton epävarmuus on pieni verrattuna kulkuaikaan.

Yleisiä virheitä

  • b-kohdassa lasketaan nopeuksien keskiarvo, painotettu keskiarvo matkoilla ($\tfrac{2}{3} \cdot 100 + \tfrac{1}{3} \cdot 60 \approx 87\,\text{km/h}$) tai jaetaan matka väärällä nopeudella.
  • a-kohdassa sekoitetaan keskinopeus ja hetkellinen nopeus tai väitetään, että keskinopeus yli rajan voi syntyä ilman ylinopeutta.
  • c-kohdassa ajanoton epävarmuus verrataan matkaan tai nopeuteen eikä kulkuaikaan.

Hyväksytään myös

  • b-kohta sekunteina ja metreinä: $3000\,\text{m} : 132\,\text{s} = 22{,}7\,\text{m/s} \approx 82\,\text{km/h}$.
  • c-kohdassa epävarmuus $0{,}5\,\text{s}$:n perusteella ($0{,}3\,\text{km/h}$ ja $9\,\text{km/h}$), kun johtopäätös on sama.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Selittää, että keskinopeus on siirtymä jaettuna ajalla, eli $(t,x)$-kuvaajassa osuuden alku- ja loppupisteen kautta kulkevan suoran kulmakerroin. 2 p
Perustelee kuvaajalla: jos nopeus olisi koko ajan enintään $80\,\text{km/h}$, $(t,v)$-kuvaajan alle jäävä ala olisi enintään $80\,\text{km/h}$ kertaa aika, joten keskinopeus ei voisi ylittää rajaa (tai: $(t,x)$-kuvaaja ei voi nousta keskimäärin jyrkemmin kuin sen jyrkin kohta). 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Kannanotto on väärä: keskinopeus yli $80\,\text{km/h}$ todistaa, että nopeus on ollut jossain kohdassa yli $80\,\text{km/h}$. Päinvastainen ei päde: rajan alittava keskinopeus ei todista, ettei ylinopeutta ollut. 1 p

b)5 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $v_\text{ka} = \dfrac{\Delta x}{t_1 + t_2}$, missä $t_1 = \dfrac{\Delta x_1}{v_1}$ ja $t_2 = \dfrac{\Delta x_2}{v_2}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $t_1 = 2{,}0\,\text{km} : 100\,\text{km/h} = 0{,}020\,\text{h} = 72\,\text{s}$ ja $t_2 = 1{,}0\,\text{km} : 60\,\text{km/h} = 60\,\text{s}$; $v_\text{ka} = 3{,}0\,\text{km} : 132\,\text{s} \approx 81{,}8\,\text{km/h}$ 2 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $v_\text{ka} \approx 82\,\text{km/h}$ 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Kannanotto on väärä: nopeuksien keskiarvo kelpaisi vain, jos kumpaakin nopeutta ajettaisiin yhtä kauan. Kuljettaja ajoi nopeammin pidemmän matkan, ja keskinopeus ylittää rajan. 1 p

c)5 p

Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Kulkuajan epävarmuus on kahden kirjauksen takia noin $1\,\text{s}$. $3{,}0\,\text{km}$:n osuudella aika on $135\,\text{s}$, joten keskinopeuden epävarmuus on noin $80\,\text{km/h} \cdot 1\,\text{s} : 135\,\text{s} \approx 0{,}6\,\text{km/h}$. 2 p
Laskee lyhyen osuuden: aika $4{,}5\,\text{s}$, joten sekunnin virhe muuttaa keskinopeutta noin $18\,\text{km/h}$ eli yli $20\,\%$. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Kannanotto ei pidä: lyhyellä osuudella ajanoton epävarmuus on liian suuri suhteessa kulkuaikaan, joten valvontaosuuden on oltava pitkä. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (10 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

3.1-5 Kärry kaltevalla radalla 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Raportti ja sen mittaustulokset ovat keksittyjä esimerkkejä.

Opiskelijaryhmä tutki, onko kärryn liike kaltevalla radalla tasaisesti kiihtyvää. Ote ryhmän raportista:

Päästimme kärryn levosta radan yläpäästä. Yksi ryhmän jäsen käynnisti sekuntikellon, kun kärry lähti, ja pysäytti sen, kun kärry ohitti mittanauhan $1{,}20\,\text{m}$:n kohdan. Aika oli $1{,}6\,\text{s}$. Laskimme kiihtyvyydeksi $0{,}94\,\text{m/s}^2$. Koska saimme kiihtyvyydelle arvon, kärryn liike on tasaisesti kiihtyvää.

Ryhmä arvioi, että käsin tehdyn ajanoton epävarmuus on noin $0{,}2\,\text{s}$.

  1. a) Näytä, miten ryhmä sai kiihtyvyyden, ja arvioi, kuinka paljon tulos voi muuttua ajanoton epävarmuuden takia. 4 p
  2. b) Arvioi ryhmän johtopäätös. Nimeä mittauksen tärkeimmät heikkoudet. 5 p
  3. c) Suunnittele koe, jolla voi luotettavasti selvittää, onko kärryn liike tasaisesti kiihtyvää, ja määrittää sen kiihtyvyyden. 6 p

Taidot luvuista: Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike, Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus, Graafinen esitys ja suoran sovittaminen, Oma kokeellinen tutkimus: suunnittelu, toteutus ja raportointi

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

matka $x = 1{,}20\,\text{m}$ levosta, aika $t = 1{,}6\,\text{s}$, ajanoton epävarmuus $\Delta t = 0{,}2\,\text{s}$

Kysytty

ryhmän laskema kiihtyvyys $a$ ja sen vaihteluväli ajanoton epävarmuuden takia

Periaate

Ryhmä olettaa liikkeen tasaisesti kiihtyväksi. Levosta lähtevän kappaleen paikka on silloin $x = \tfrac{1}{2}\,a\,t^2$ (luku Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike). Epävarmuuden vaikutus arvioidaan laskemalla tulos ajan ääriarvoilla $t \pm \Delta t$ (luku Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus).

Kaava

$x = \tfrac{1}{2}\,a\,t^2$, joten $a = \dfrac{2x}{t^2}$

Muunnokset

Matka on metreinä ja aika sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$a$$= \dfrac{2 \cdot 1{,}20\,\text{m}}{(1{,}6\,\text{s})^2}$
$= \dfrac{2{,}40\,\text{m}}{2{,}56\,\text{s}^2}$
$= 0{,}9375\,\text{m/s}^2$

ääriarvot

$\dfrac{2{,}40\,\text{m}}{(1{,}8\,\text{s})^2}$$= 0{,}741\,\text{m/s}^2$
$\dfrac{2{,}40\,\text{m}}{(1{,}4\,\text{s})^2}$$= 1{,}224\,\text{m/s}^2$

Vastaus

$a \approx 0{,}94\,\text{m/s}^2$

Mutta epävarmuuden takia tulos on välillä $0{,}74$…$1{,}22\,\text{m/s}^2$, eli $a \approx (0{,}9 \pm 0{,}3)\,\text{m/s}^2$. Tulos kannattaa ilmoittaa yhdellä tai kahdella merkitsevällä numerolla, koska epävarmuus on suuri.

Järkevyys

Ajan suhteellinen epävarmuus on $0{,}2\,\text{s} : 1{,}6\,\text{s} \approx 13\,\%$, ja koska aika on kaavassa toisessa potenssissa, kiihtyvyyden suhteellinen epävarmuus on noin kaksinkertainen, $25\,\%$. Tämä vastaa laskettua vaihteluväliä. Kiihtyvyys alle $1\,\text{m/s}^2$ sopii loivalle radalle.

b)

Kysytty

onko ryhmän johtopäätös perusteltu ja mitkä ovat mittauksen tärkeimmät heikkoudet

Periaate

Mallin sopivuuden voi osoittaa vain vertaamalla mallia moneen mittauspisteeseen. Tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä $(t,x)$-pisteet osuvat paraabelille ja $(t,v)$-pisteet suoralle (luvut Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike ja Graafinen esitys ja suoran sovittaminen).

Mallivastaus

Johtopäätös ei ole perusteltu. Ryhmä käytti kaavaa $a = \dfrac{2x}{t^2}$, joka on johdettu olettaen tasainen kiihtyvyys, joten kaavalla saatu luku ei voi todistaa oletusta: yhdestä matkasta ja ajasta saadaan aina jokin luku, olipa liike millainen tahansa. Kyse on kehäpäätelmästä. Yksi $(t,x)$-piste sopii mihin tahansa kiihtyvään liikkeeseen; tarvitaan useita pisteitä eri hetkiltä. Lisäksi mittauksessa on heikkouksia: käsin tehdyssä ajanotossa reaktioaika vaikuttaa sekä alussa että lopussa, kärryn lähtöhetki ja ohituskohta arvioidaan silmällä ja sivulta katsottuna, kärry on voinut saada vauhtia lähtiessään, ja mittaus tehtiin vain kerran, joten satunnaisen virheen suuruutta ei tiedetä. Luku $0{,}94\,\text{m/s}^2$ on parhaimmillaankin karkea arvio kiihtyvyydestä, jos liike on tasaisesti kiihtyvää.

c)

Kysytty

koesuunnitelma, jolla selvitetään luotettavasti, onko liike tasaisesti kiihtyvää, ja määritetään kiihtyvyys

Periaate

Malli testataan mittaamalla paikka monella hetkellä ja sovittamalla mittauspisteisiin mallin mukainen käyrä; kiihtyvyys saadaan sovituksen kertoimesta. Muuttujat pidetään vakioina ja mittaukset toistetaan (luvut Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike, Graafinen esitys ja suoran sovittaminen ja Oma kokeellinen tutkimus: suunnittelu, toteutus ja raportointi).

Mallivastaus

Kuvataan kärryn liike videolle kameralla, joka on jalustalla kohtisuoraan rataa vastaan, ja asetetaan mittakaava radan tasossa olevan mittanauhan avulla. Videoanalyysillä luetaan kärryn paikka esimerkiksi joka kolmannesta kuvasta, jolloin saadaan kymmeniä $(t,x)$-pisteitä. Vaihtoehtoisesti radalle asetetaan valoportteja eri etäisyyksille ja mitataan ajat elektronisesti. Kärry päästetään levosta ilman tönäisyä, esimerkiksi irrottamalla pidike, ja radan kaltevuus pidetään samana kaikissa toistoissa. Pisteet esitetään $(t,x)$-kuvaajana ja niihin sovitetaan toisen asteen polynomi $x = A\,t^2 + B\,t + C$; jos pisteet osuvat käyrälle ilman järjestelmällistä poikkeamaa, liike on tasaisesti kiihtyvää, ja kiihtyvyys on $a = 2A$. Toinen tapa on laskea nopeudet peräkkäisistä pisteistä ja tarkastella, ovatko $(t,v)$-pisteet suoralla. Koe toistetaan vähintään kolme kertaa, ja kiihtyvyyden epävarmuus arvioidaan toistojen hajonnasta tai sovituksen antamasta kertoimen epävarmuudesta.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa kaavana käytetään $a = \dfrac{x}{t^2}$ ilman kerrointa $2$, tai $a = \dfrac{v}{t}$, jossa $v = x : t$ on keskinopeus eikä loppunopeus.
  • Epävarmuus arvioidaan pelkästään sanallisesti laskematta sen vaikutusta tulokseen.
  • c-kohdassa ehdotetaan vain ”tarkempaa sekuntikelloa” tai ”useampia toistoja” samalla menetelmällä, jolloin yksi piste ei vieläkään testaa mallia.
  • Kehäpäätelmää ei huomata, vaan johtopäätöstä kritisoidaan pelkän epävarmuuden takia.

Hyväksytään myös

  • a-kohdan epävarmuus suhteellisen epävarmuuden avulla: $\dfrac{\Delta a}{a} \approx 2 \cdot \dfrac{\Delta t}{t} = 25\,\%$, $\Delta a \approx 0{,}23\,\text{m/s}^2$.
  • c-kohdassa sensori- tai liikeanturimittaus, joka antaa $(t,x)$- tai $(t,v)$-pisteet suoraan.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Levosta lähtevälle $x = \tfrac{1}{2}\,a\,t^2$, joten $a = \dfrac{2x}{t^2}$; ryhmä olettaa tässä jo tasaisen kiihtyvyyden. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $a = \dfrac{2 \cdot 1{,}20\,\text{m}}{(1{,}6\,\text{s})^2} \approx 0{,}94\,\text{m/s}^2$ 1 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Ajoilla $1{,}4\,\text{s}$ ja $1{,}8\,\text{s}$ saadaan $1{,}22\,\text{m/s}^2$ ja $0{,}74\,\text{m/s}^2$, joten $a \approx 0{,}9 \pm 0{,}3\,\text{m/s}^2$; ajan suhteellinen epävarmuus noin $13\,\%$ kaksinkertaistuu, koska aika on toisessa potenssissa. 2 p

b)5 p

Huomaa, että päättely on kehäpäätelmä: kaava $a = \dfrac{2x}{t^2}$ olettaa tasaisen kiihtyvyyden, joten sillä saatu luku ei voi osoittaa liikettä tasaisesti kiihtyväksi. Yksi $(t,x)$-piste sopii mihin tahansa kiihtyvään liikkeeseen. 2 p
Tärkeimmät virhelähteet on nimetty ja kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. Esimerkiksi reaktioaika ajanoton alussa ja lopussa, kärryn lähtö mahdollisesti tönäisten, ohituskohdan arviointi sivulta katsoen, vain yksi mittaus ilman toistoja. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Johtopäätös ei ole perusteltu: tasaisen kiihtyvyyden osoittaminen vaatii monta mittauspistettä eri hetkiltä ja mallin sopivuuden tarkastelun. 1 p

c)6 p

Mittaa kärryn paikan monella hetkellä, esimerkiksi videoanalyysillä (tunnettu kuvanopeus, mittakaava radan tasossa) tai valoporteilla eri kohdissa. 2 p
Esittää tulokset kuvaajana ja sovittaa malliin: $(t,x)$-pisteisiin toisen asteen polynomi, jolloin $a = 2A$, tai $(t,v)$-pisteisiin suora, jonka kulmakerroin on $a$; tarkastelee, osuvatko pisteet mallille. 2 p
Toistaa mittaukset, pitää radan kaltevuuden ja lähtötavan samoina (kärry päästetään levosta ilman tönäisyä) ja arvioi kiihtyvyyden epävarmuuden toistojen hajonnasta tai sovituksesta. 2 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (9 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

3.1-6 Pudotus puhelimen videolla 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Mittaus ja luvut ovat keksittyjä esimerkkejä.

Opiskelija pudotti pallon levosta ja kuvasi putoamisen puhelimella nopeudella $60$ kuvaa sekunnissa. Videoanalyysiohjelmassa hän asetti mittakaavan metrimitan avulla. Mitta oli jalustalla $3{,}00\,\text{m}$:n päässä kamerasta, ja pallo putosi $0{,}30\,\text{m}$ mitan takana, $3{,}30\,\text{m}$:n päässä kamerasta.

Ohjelma antoi pallon korkeuden $y$ lattiasta joka kolmannesta kuvasta eli $0{,}05\,\text{s}$:n välein:

$t\ (\text{s})$ $y\ (\text{m})$
$0{,}00$ $1{,}653$
$0{,}10$ $1{,}607$
$0{,}20$ $1{,}469$
$0{,}30$ $1{,}253$
$0{,}40$ $0{,}939$
$0{,}50$ $0{,}538$

Taulukossa on joka toinen piste. Taulukkolaskentaohjelma sovitti kaikkiin yhteentoista pisteeseen toisen asteen polynomin $y = A\,t^2 + B\,t + C$ ja antoi $A = (-4{,}44 \pm 0{,}05)\,\text{m/s}^2$, $B = -0{,}007\,\text{m/s}$ ja $C = 1{,}651\,\text{m}$.

  1. a) Määritä sovituksen avulla pallon putoamiskiihtyvyys. 4 p
  2. b) Kuinka suuri on tuloksen epävarmuus sovituksen perusteella? Sopiiko tulos taulukkoarvoon $9{,}81\,\text{m/s}^2$? 4 p
  3. c) Selitä, mistä systemaattinen virhe johtuu ja mihin suuntaan se muuttaa tulosta, ja korjaa tulos. 4 p
  4. d) Opiskelijan pari ehdottaa, että kiihtyvyys laskettaisiin vain ensimmäisestä ja viimeisestä pisteestä kaavalla $a = \dfrac{2\,\Delta y}{t^2}$. Arvioi ehdotus. 3 p

Taidot luvuista: Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike, Graafinen esitys ja suoran sovittaminen, Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus, Putoamiskiihtyvyys: $v = gt$

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

sovitettu polynomi $y = A\,t^2 + B\,t + C$, jossa $A = -4{,}44\,\text{m/s}^2$, $B = -0{,}007\,\text{m/s}$ ja $C = 1{,}651\,\text{m}$; pallo lähti levosta, $y$ kasvaa ylöspäin

Kysytty

mitattu putoamiskiihtyvyys $a$

Periaate

Vapaasti putoavan pallon liike on tasaisesti kiihtyvää, joten sen paikka on $y = y_0 + v_0\,t + \tfrac{1}{2}\,a\,t^2$. Kun sovitettua polynomia verrataan tähän, $t^2$:n kertoimet ovat samat: $A = \tfrac{1}{2}\,a$ (luku Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike). Kerroin $B \approx 0$ vastaa alkunopeutta nolla ja $C$ alkukorkeutta.

Kaava

$A = \tfrac{1}{2}\,a$, joten $a = 2A$

Muunnokset

Kerroin on valmiiksi yksikössä $\text{m/s}^2$, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$a$$= 2 \cdot (-4{,}44\,\text{m/s}^2)$
$= -8{,}88\,\text{m/s}^2$

Vastaus

Mitattu putoamiskiihtyvyys on $8{,}88\,\text{m/s}^2$ alaspäin (miinusmerkki, koska $y$ kasvaa ylöspäin), kolme merkitsevää numeroa kuten kerroin $A$.

Järkevyys

Tarkistus taulukosta: kun $t = 0{,}50\,\text{s}$, pallo on pudonnut $1{,}653\,\text{m} - 0{,}538\,\text{m} = 1{,}115\,\text{m}$, ja

$\tfrac{1}{2} \cdot 8{,}88\,\text{m/s}^2 \cdot (0{,}50\,\text{s})^2$
$= 1{,}11\,\text{m}$

Tulos on samaa suuruusluokkaa kuin $9{,}81\,\text{m/s}^2$ mutta selvästi pienempi, joten jokin vaikuttaa mittaukseen.

b)

Annettu

$A = (-4{,}44 \pm 0{,}05)\,\text{m/s}^2$, a-kohdasta $a = 8{,}88\,\text{m/s}^2$; taulukkoarvo $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

kiihtyvyyden epävarmuus $\Delta a$ ja sopiiko tulos taulukkoarvoon

Periaate

Kun suure kerrotaan vakiolla, sen epävarmuus kerrotaan samalla vakiolla. Tulos sopii vertailuarvoon, jos ero on epävarmuuden suuruinen tai pienempi (luku Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus).

Kaava

$a = 2A$, joten $\Delta a = 2\,\Delta A$

Muunnokset

Ei tarvita: yksiköt ovat samat.

Sijoitus

$\Delta a$$= 2 \cdot 0{,}05\,\text{m/s}^2$
$= 0{,}10\,\text{m/s}^2$

ero taulukkoarvoon $9{,}81\,\text{m/s}^2 - 8{,}88\,\text{m/s}^2 = 0{,}93\,\text{m/s}^2$

Vastaus

$a = (8{,}88 \pm 0{,}10)\,\text{m/s}^2$

Ero taulukkoarvoon, $0{,}93\,\text{m/s}^2$, on noin yhdeksän kertaa epävarmuus, joten tulos ei sovi taulukkoarvoon.

Järkevyys

Suhteellinen epävarmuus on $0{,}10 : 8{,}88 \approx 1{,}1\,\%$, mikä sopii pisteiden pieneen, muutaman millimetrin hajontaan. Sovituksen epävarmuus kertoo vain satunnaisesta hajonnasta, ei systemaattisesta virheestä, joka siirtää kaikkia pisteitä samaan suuntaan.

c)

Annettu

mittakaava asetettiin metrimitan tasossa $3{,}00\,\text{m}$:n päässä kamerasta, pallo putosi $3{,}30\,\text{m}$:n päässä kamerasta; a- ja b-kohdasta $a = (8{,}88 \pm 0{,}10)\,\text{m/s}^2$

Kysytty

systemaattisen virheen syy ja suunta sekä korjattu kiihtyvyys $a_\text{k}$

Periaate

Kauempana oleva kohde näkyy kuvassa pienempänä samassa suhteessa kuin sen etäisyys kamerasta on suurempi. Ohjelma muuntaa pallon kuvassa kulkemat matkat metreiksi mitan tasossa asetetulla mittakaavalla, joten se antaa pallon matkoiksi liian pienet arvot. Kiihtyvyys on verrannollinen matkaan, joten se korjataan samalla suhteella (luku Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus).

Kaava

$a_\text{k}$$= \dfrac{d_\text{pallo}}{d_\text{mitta}}\,a$
$\Delta a_\text{k}$$= \dfrac{d_\text{pallo}}{d_\text{mitta}}\,\Delta a$

Muunnokset

Etäisyydet ovat samassa yksikössä, joten niiden suhde on yksikötön.

Sijoitus

$a_\text{k}$$= \dfrac{3{,}30\,\text{m}}{3{,}00\,\text{m}} \cdot 8{,}88\,\text{m/s}^2$
$= 1{,}10 \cdot 8{,}88\,\text{m/s}^2$
$= 9{,}768\,\text{m/s}^2$
$\Delta a_\text{k}$$= 1{,}10 \cdot 0{,}10\,\text{m/s}^2$
$= 0{,}11\,\text{m/s}^2$

Vastaus

Korjattu putoamiskiihtyvyys on $a_\text{k} \approx (9{,}8 \pm 0{,}1)\,\text{m/s}^2$, kahden desimaalin sijaan yhdellä, koska epävarmuus on noin $0{,}1\,\text{m/s}^2$. Virhe pienensi tulosta noin $9\,\%$.

Järkevyys

Korjattu tulos poikkeaa taulukkoarvosta $9{,}81\,\text{m/s}^2$ vain $0{,}04\,\text{m/s}^2$, alle epävarmuuden, joten mittakaavavirhe selittää koko eron. Myös virheen suunta on oikea: liian pieni mittakaava antaa liian pienen kiihtyvyyden.

d)

Kysytty

onko kiihtyvyyden laskeminen vain ensimmäisestä ja viimeisestä pisteestä hyvä menetelmä

Periaate

Jokaisessa mittauspisteessä on pieni satunnainen virhe. Sovitus käyttää kaikkia pisteitä yhtä aikaa, joten yksittäisen pisteen virhe vaikuttaa siihen vähemmän, ja sovitus antaa myös kertoimen epävarmuuden (luku Graafinen esitys ja suoran sovittaminen).

Mallivastaus

Ehdotus on huonompi kuin sovitus. Kahden pisteen laskulla saadaan tässä $a = \dfrac{2 \cdot 1{,}115\,\text{m}}{(0{,}50\,\text{s})^2} \approx 8{,}92\,\text{m/s}^2$, lähes sama kuin sovituksesta, mutta tulos riippuu kokonaan kahdesta pisteestä: muutaman millimetrin virhe tai väärin valittu lähtöhetki muuttaisi sitä suoraan, eikä menetelmä kerro tuloksen epävarmuutta. Kaava olettaa myös, että pallo on täsmälleen levossa hetkellä $0$. Sovitus käyttää kaikkia yhtätoista pistettä, sallii pienen alkunopeuden kertoimessa $B$, antaa epävarmuuden $\Delta A$ ja näyttää, sopiiko malli pisteisiin. Kumpikaan menetelmä ei kuitenkaan korjaa mittakaavan systemaattista virhettä, vaan se on korjattava erikseen tai asetettava mittakaava pallon putoamistasoon.

Yleisiä virheitä

  • Kiihtyvyydeksi luetaan suoraan $A = 4{,}44\,\text{m/s}^2$ ilman kerrointa $2$.
  • Ero taulukkoarvoon selitetään ilmanvastuksella tai reaktioajalla, vaikka pisteiden hajonta on pieni ja aineisto kertoo mittakaavan sijainnin.
  • Korjaus tehdään väärään suuntaan, eli tulos kerrotaan suhteella $3{,}00 : 3{,}30$.
  • Sovituksen epävarmuutta pidetään tuloksen koko epävarmuutena ja systemaattinen virhe jätetään huomiotta.

Hyväksytään myös

  • c-kohdassa korjataan ensin kerroin $A$: $A_\text{k} = 1{,}10 \cdot (-4{,}44\,\text{m/s}^2) = -4{,}88\,\text{m/s}^2$ ja sitten $a_\text{k} = 2A_\text{k}$.
  • b-kohdassa vertailu suhteellisina lukuina: ero noin $9{,}5\,\%$, epävarmuus noin $1\,\%$.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Vertaa polynomia paikan yhtälöön $y = y_0 + v_0\,t + \tfrac{1}{2}\,a\,t^2$ ja päättelee, että $A = \tfrac{1}{2}\,a$ ja $B \approx 0$ (pallo lähti levosta). 2 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $a = 2A = 2 \cdot (-4{,}44\,\text{m/s}^2) = -8{,}88\,\text{m/s}^2$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. Putoamiskiihtyvyys $8{,}88\,\text{m/s}^2$ alaspäin (miinusmerkki: $y$ kasvaa ylös). 1 p

b)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $\Delta a = 2\,\Delta A$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\Delta a = 2 \cdot 0{,}05\,\text{m/s}^2 = 0{,}10\,\text{m/s}^2$, eli $a = (8{,}88 \pm 0{,}10)\,\text{m/s}^2$ 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Ero taulukkoarvoon on $0{,}93\,\text{m/s}^2$, noin yhdeksän kertaa epävarmuus, joten tulos ei sovi taulukkoarvoon. Pisteiden pieni hajonta ei kerro systemaattisesta virheestä. 2 p

c)4 p

Tärkeimmät virhelähteet on nimetty ja kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. Mittakaava asetettiin metrimitan tasossa, mutta pallo liikkui mittaa kauempana kamerasta. Pallon matkat näkyvät kuvassa pienempinä, joten ohjelma antaa liian pienet matkat ja liian pienen kiihtyvyyden. 2 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Todelliset matkat ovat $3{,}30 : 3{,}00 = 1{,}10$-kertaiset, joten $a = 1{,}10 \cdot 8{,}88\,\text{m/s}^2 \approx 9{,}77\,\text{m/s}^2$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $a \approx (9{,}8 \pm 0{,}1)\,\text{m/s}^2$, joka sopii taulukkoarvoon $9{,}81\,\text{m/s}^2$ 1 p

d)3 p

Selittää, että sovitus käyttää kaikkia pisteitä, joten yksittäisen pisteen satunnainen virhe vaikuttaa vähemmän, ja sovituksesta saadaan myös epävarmuus ja nähdään, sopiiko malli. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Kahden pisteen laskulla saadaan tässä lähes sama tulos ($8{,}92\,\text{m/s}^2$), mutta se on herkempi yksittäisen pisteen ja lähtöhetken virheelle eikä korjaa mittakaavavirhettä; sovitus on parempi. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (11 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.