RuukkilabraLukion fysiikka
FY9 · Luku 2.3

Paine, kaasut ja lämpövoimakone

Miksi auton renkaiden paine pitää tarkistaa, kun pakkanen kiristyy, vaikka renkaista ei ole vuotanut ilmaa?

Pohjatiedot

Pohdinta

Auton renkaat pumpattiin illalla lämpimässä autotallissa, jossa oli $+20\,{}^\circ\text{C}$. Rengaspainemittari näytti $230\,\text{kPa}$, kuten auton ohjekirjassa neuvotaan. Yöllä auto seisoi pihalla $-20\,{}^\circ\text{C}$:n pakkasessa, eikä renkaista vuotanut ilmaa. Ilmanpaine on $101\,\text{kPa}$. Ylioppilaskokeessa tällainen tilanne voi olla tehtävän alku: luvut on annettu, mutta kaavoja ei.

Mitä mittari näyttää aamulla, ja miksi lukema muuttuu suhteessa enemmän kuin kelvinlämpötila?

Ennusta

Tee ennusteet ennen tutkimista 6 kysymystä

Lähtötaso 1: lumikengät

Retkeilijä seisoo hangessa ensin tavallisilla kengillä ja sitten lumikengillä, joiden pohjan pinta-ala on noin viisinkertainen. Kengillä hän uppoaa, lumikengillä ei. Mikä selitys on oikein?

Lähtötaso 2: kapea ja leveä

Kapeassa putkessa ja leveässä altaassa on vettä samaan korkeuteen, $2{,}0\,\text{m}$. Altaassa vettä on tuhat kertaa enemmän. Missä veden paine pohjalla on suurempi?

Lähtötaso 3: puristettu ilma

Suljetun ruiskun ilma puristetaan hitaasti kolmasosaan alkuperäisestä tilavuudesta, ja ilman lämpötila pysyy samana. Miten ilman paine muuttuu?

Lähtötaso 4: lämmitetty pullo

Suljetun, jäykän lasipullon ilma lämpenee $20\,{}^\circ\text{C}$:sta $40\,{}^\circ\text{C}$:seen. Miten ilman paine muuttuu?

Lähtötaso 5: helium ja hiilidioksidi

Kaksi samankokoista ilmapalloa täytetään samassa paineessa ja samassa lämpötilassa, toinen heliumilla ja toinen hiilidioksidilla. Kummassa pallossa on enemmän kaasua mooleina?

Lähtötaso 6: täydellinen moottori

Insinööri sanoo: ”Kun moottorista poistetaan kaikki kitka, se muuttaa kaiken polttoaineesta saamansa lämmön työksi.” Mikä arvio on oikein?

Tutki

Kaksi jäykkää astiaa

Keksitty esimerkkiaineisto

Kuvaajassa on kahden samanlaisen, suljetun ja jäykän astian kaasun paine kelvinlämpötilan funktiona, kun astioita lämmitetään. Kummankin astian tilavuus on $2{,}0\,\textsf{l}$. Lue kuvaajasta kaasun A paine yhdessä lämpötilassa ja laske, kuinka paljon kaasua astiassa A on.

$100$
$200$
$300$
$400$
$20$
$40$
$60$
$80$
$100$
$0$
$T\ (\text{K})$
$p\ (\text{kPa})$
$\text{A}$
$\text{B}$

Kuinka suuri on astian A kaasun ainemäärä $n_\text{A}$? Vastaa mooleina.

mol
Vihje 1: ohjaava kysymys

Valitse suoralta piste, joka on ruudukon viivojen risteyksessä, esimerkiksi lämpötilassa $200\,\text{K}$.

Vihje 2: mikä yhteys

Ratkaise tilanyhtälöstä $pV = nRT$ ainemäärä $n$, ja muuta paine pascaleiksi ja tilavuus kuutiometreiksi.

Vihje 3: välivaihe

Kaasun A suoralla lämpötilassa $200\,\text{K}$ paine on $50\,\text{kPa} = 50\,000\,\text{Pa}$, ja $2{,}0\,\textsf{l} = 0{,}0020\,\text{m}^3$.

Näytä ratkaisu

Annettu

kuvaajasta kaasun A suoran piste $T = 200\,\text{K}$, $p = 50\,\text{kPa}$ (ja $400\,\text{K}$, $100\,\text{kPa}$); astian tilavuus $V = 2{,}0\,\textsf{l}$; $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$

Kysytty

astian A kaasun ainemäärä $n_\text{A}$ mooleina

Periaate

Astia on suljettu ja jäykkä, joten kaasun määrä ja tilavuus pysyvät samoina, ja kaasun tila noudattaa ideaalikaasun tilanyhtälöä. Mistä tahansa suoran pisteestä saadaan sama ainemäärä, koska $p/T$ on suoralla vakio (luku Ideaalikaasun tilanyhtälö $pV = nRT$).

Kuvaajan lukeminen

Kaasun A suora kulkee ruudukon risteysten $(200\,\text{K}$; $50\,\text{kPa})$ ja $(400\,\text{K}$; $100\,\text{kPa})$ kautta. Käytetään ensimmäistä pistettä.

Kaava

$pV = nRT$, joten $n_\text{A} = \dfrac{pV}{RT}$

Muunnokset

$50\,\text{kPa}$$= 50 \cdot 1000\,\text{Pa}$
$= 50\,000\,\text{Pa}$
$2{,}0\,\textsf{l}$$= 2{,}0 \cdot 0{,}001\,\text{m}^3$
$= 0{,}0020\,\text{m}^3$

Lämpötila on jo kelvineinä.

Sijoitus

$n_\text{A}$$= \dfrac{50\,000\,\text{Pa} \cdot 0{,}0020\,\text{m}^3}{8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 200\,\text{K}}$
$= \dfrac{100\,\text{J}}{1662\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}}}$
$= 0{,}0602\,\text{mol}$

Vastaus

$n_\text{A} \approx 0{,}060\,\text{mol}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten tilavuus $2{,}0\,\textsf{l}$.

Järkevyys

Toinen piste antaa saman:

$100\,000\,\text{Pa} \cdot 0{,}0020\,\text{m}^3 : (8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 400\,\text{K})$
$= 0{,}0602\,\text{mol}$

Astian B suora on loivempi, $30\,\text{kPa}$ lämpötilassa $200\,\text{K}$, joten siinä on kaasua $\tfrac{30}{50}$ kertaa niin paljon, noin $0{,}036\,\text{mol}$. Kummankin suoran jatke kulkee origon kautta, koska $p = \tfrac{nR}{V}\,T$ on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan; todellinen kaasu tiivistyisi nesteeksi ennen nollaa.

Teoriatiivistelmä

Ydinajatus

Tämän tunnin tehtävät kiertyvät yhden suureen ympärille: paine on pintaa vastaan kohtisuora voima jaettuna pinta-alalla. Nesteessä paine syntyy yläpuolisen nesteen painosta, joten se kasvaa syvyyden mukana. Kaasussa se syntyy hiukkasten törmäyksistä astian seinämiin, joten se riippuu kaasun määrästä, tilavuudesta ja lämpötilasta. Kun kaasun paine työntää mäntää, kaasu tekee työtä, ja lämpövoimakone muuttaa näin osan lämmöstä työksi.

Kokeen kaasutehtävissä tarvitaan kaksi tarkistusta ennen lukuja. Lämpötila kelvineinä, koska kaasulait ovat verrannollisuuksia, jotka alkavat absoluuttisesta nollapisteestä. Kokonaispaine, koska painemittari näyttää yleensä vain ylipaineen, ja kaasun hiukkaset tuottavat koko paineen.

$\text{paine}$
$p = F/A$
$\textbf{neste}$
$p = p_0 + \rho g h$
$\text{syvyydellä}$
$\Delta p = \rho g h$
$\text{ylipaine}$
$p = p_0 + \Delta p$
$\text{kokonaispaine}$
$\textbf{kaasu}$
$pV = nRT$
$\text{tilanyhtälö}$
$p_1V_1/T_1 = p_2V_2/T_2$
$\text{sama kaasu}$
$T = \theta + 273{,}15\,\text{K}$
$\text{kelvinit}$
$\textbf{lämpövoimakone}$
$W_\text{k} = p\,\Delta V$
$\text{kaasun työ}$
$W = Q_1 - Q_2$
$\text{säilyminen}$
$\eta = W/Q_1$
$\text{hyötysuhde}$

Alun kysymys ratkeaa näillä kahdella tarkistuksella. Lämpimässä autotallissa ($+20\,{}^\circ\text{C}$) mittari näytti ylipainetta $230\,\text{kPa}$, joten kokonaispaine oli $101\,\text{kPa} + 230\,\text{kPa} = 331\,\text{kPa}$. Kun renkaan tilavuus pysyy lähes samana, kokonaispaine on verrannollinen kelvinlämpötilaan: pakkasyön ($-20\,{}^\circ\text{C}$) jälkeen se on $331\,\text{kPa} \cdot 253\,\text{K} : 293\,\text{K} \approx 286\,\text{kPa}$. Mittari näyttää enää noin $185\,\text{kPa}$, vaikka ilmaa ei ole vuotanut.

$+20\,{}^\circ\text{C}$
$p_0$
$\Delta p = 230$
$331\,\text{kPa}$
$-20\,{}^\circ\text{C}$
$p_0$
$\Delta p = 185$
$286\,\text{kPa}$
$100$
$200$
$300$
$0$
$p\ (\text{kPa})$

Paine, kaasut ja lämpövoimakone

Paine ja nesteen paine

$$p = \frac{F}{A}$$

missä $p$ on paine (Pa), $F$ pintaa vastaan kohtisuora voima (N) ja $A$ pinta-ala (m²). Levossa olevassa nesteessä syvyydellä $h$

$$p = p_0 + \rho g h$$

missä $p_0$ on paine pinnalla, yleensä ilmanpaine noin $101\,\text{kPa}$, $\rho$ nesteen tiheys (kg/m³) ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Termi $\rho g h$ on ylipaine, ja se riippuu vain syvyydestä ja tiheydestä, ei astian muodosta. Paineen aiheuttama voima on aina kohtisuorassa pintaa vastaan.

Kaasun tila

$$pV = nRT$$

missä $V$ on tilavuus (m³), $n$ ainemäärä (mol), $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$ ja $T$ lämpötila kelvineinä. Ainemäärä saadaan massasta, $n = m/M$, missä $M$ on moolimassa. Yhtälö pätee harvalle kaasulle, kun paine ei ole kovin suuri eikä lämpötila kovin matala. Kun kaasun määrä pysyy samana,

$$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$$

ja siitä saadaan erikoistapaukset: vakiolämpötilassa Boylen laki $p_1V_1 = p_2V_2$, vakiopaineessa $V \propto T$ ja vakiotilavuudessa $p \propto T$. Kelvinlämpötila on

$$T = \theta + 273{,}15\,\text{K}$$

missä $\theta$ on celsiuslämpötilan lukuarvo. Absoluuttinen nollapiste saadaan kokeessa jatkamalla $(\theta, p)$- tai $(\theta, V)$-suoraa nollaan. Se on mallin ennuste: todellinen kaasu tiivistyy nesteeksi ennen sitä.

Kaasun työ ja lämpövoimakone

Vakiopaineessa laajeneva kaasu tekee työn

$$W_\text{k} = p\,\Delta V$$

missä $\Delta V$ on tilavuuden muutos (m³); työ on ($V$, $p$)-kuvaajan alle jäävä pinta-ala. Kaasun sisäenergia muuttuu ensimmäisen pääsäännön mukaan

$$\Delta U = Q - W_\text{k}$$

missä $Q$ on kaasuun siirtynyt lämpö (J) ja $W_\text{k}$ kaasun tekemä työ. Lämpövoimakone ottaa kierroksessa kuumasta lähteestä lämmön $Q_1$, tekee työn $W$ ja luovuttaa lämmön $Q_2$ kylmempään ympäristöön. Energia säilyy, joten

$$W = Q_1 - Q_2$$

ja hyötysuhde on

$$\eta = \frac{W}{Q_1}$$

Osa lämmöstä on aina luovutettava kylmempään, joten lämpövoimakoneen hyötysuhde jää selvästi alle $100\,\%$:n. Mitä pienempi lämpötilaero $T_1 - T_2$ on kuuman lähteen lämpötilaan $T_1$ nähden, sitä pienemmän osan lämmöstä kone voi muuttaa työksi. Voimalaitoksessa sama lasketaan tehoista: sähköteho jaettuna polttoaineteholla.

$\text{kuuma lähde } T_1$
$Q_1 = 1000\,\text{J}$
$\text{kone}$
$Q_2 = 650\,\text{J}$
$W = 350\,\text{J}$
$\text{kylmempi ympäristö } T_2$

Yleisiä virheitä

  • Celsiusasteet suhteessa. $20\,{}^\circ\text{C}$:sta $40\,{}^\circ\text{C}$:seen lämmitetyn kaasun paine kasvaa vain noin $7\,\%$, ei kaksinkertaiseksi: $313\,\text{K} : 293\,\text{K} \approx 1{,}07$.
  • Ylipaine kaasulakiin. Mittarin lukema ei ole kaasun paine. Lisää ilmanpaine ennen laskua ja vähennä se vasta lopuksi, jos kysytään mittarin lukemaa.
  • Yksiköt sekaisin. Tilanyhtälössä paine on pascaleina ja tilavuus kuutiometreinä. Kilopascalit ja litrat käyvät yhdessä, koska $1\,\text{kPa} \cdot 1\,\textsf{l} = 1\,\text{J}$, mutta kilopascalit ja kuutiometrit antavat tuhatkertaisen virheen.
  • Paine ja voima sekaisin. Sama voima pienelle alalle antaa suuren paineen. Paineesta saadaan voima vasta kertomalla alalla.
  • Imu vetää. Imukuppi tai pilli ei vedä mitään: ulkoilman paine työntää, kun sisällä paine on pienempi.
  • Lämpövoimakone voisi muuttaa kaiken lämmön työksi. Kitkan poistaminen ei auta: lämpöä $Q_2$ ei voi välttää.

Kertaa tarvittaessa

Sovella

Etsi virhe: lämmin pullo

Opiskelija laski, kuinka suureksi suljetun lasipullon ilman paine kasvaa, kun pullo lämpenee auringossa $20\,{}^\circ\text{C}$:sta $60\,{}^\circ\text{C}$:seen. Alussa paine oli $100\,\text{kPa}$: ”$p_2 = p_1 \cdot \tfrac{T_2}{T_1} = 100\,\text{kPa} \cdot \tfrac{60}{20} = 300\,\text{kPa}$.” Mikä ratkaisussa on väärin?

Mikä kuvaaja?

Opiskelija mittaa ruiskuun suljetun ilman paineen $p$ eri tilavuuksilla $V$ vakiolämpötilassa. Millä tavalla piirretty kuvaaja osoittaa suoraan, että paine on kääntäen verrannollinen tilavuuteen?

Perusteltu väite: tyhjä kaasupullo

Retkikeittimen kaasupullo on käytetty loppuun, ja sen venttiili on auki ulkoilmaan. Pulloon kiinnitetty painemittari näyttää $0\,\text{kPa}$. Mikä väite on perusteltu?

Lue kuvaaja: kaasun työ

Kuvaajassa sylinterissä olevan kaasun paine pysyy vakiona, kun kaasu laajenee ja työntää mäntää. Kuinka suuren työn kaasu tekee mäntään?
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$50$
$100$
$150$
$200$
$250$
$300$
$0$
$V\ (\textsf{l})$
$p\ (\text{kPa})$

Hyppyaltaan huoltoluukku

Uimahallin hyppyaltaan pohjassa $5{,}0\,\text{m}$:n syvyydessä on neliön muotoinen huoltoluukku, jonka sivu on $0{,}60\,\text{m}$. Luukun alla on huoltotila, jossa on sama ilmanpaine kuin hallissa.

Kuinka suuri kokonaisvoima vedestä ja ilmasta luukkuun kohdistuu? Vastaa kilonewtoneina.

kN
Vihje 1: ohjaava kysymys

Ilmanpaine painaa luukkua ylhäältä veden kautta ja alhaalta huoltotilasta. Mikä osa paineesta jää jäljelle?

Vihje 2: mikä yhteys

Ylipaine syvyydellä $h$ on $\rho g h$, ja voima on paine kertaa ala.

Vihje 3: välivaihe

Luukun ala on $A = (0{,}60\,\text{m})^2$. Laske ensin ylipaine pascaleina ja kerro se sitten alalla.

Näytä ratkaisu

Annettu

syvyys $h = 5{,}0\,\text{m}$, luukun sivu $a = 0{,}60\,\text{m}$, veden tiheys $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; ilmanpaine sama veden pinnalla ja luukun alla

Kysytty

luukkuun kohdistuva kokonaisvoima $F$ kilonewtoneina

Periaate

Vesi on levossa, joten paine luukun yläpinnalla on $p_0 + \rho g h$. Alhaalta luukkuun vaikuttaa ilmanpaine $p_0$. Ilmanpaineen voimat kumoavat toisensa, joten kokonaisvoima syntyy ylipaineesta $\rho g h$, ja se on kohtisuorassa luukkua vastaan eli alaspäin (luku Paine ja hydrostaattinen paine).

Kaava

$\Delta p = \rho g h$ ja $p = \dfrac{F}{A}$, joten $F = \rho g h\,a^2$

Muunnokset

Kaikki suureet ovat perusyksiköissä. Lopuksi $1\,\text{N} = 0{,}001\,\text{kN}$.

Sijoitus

$F$$= 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 5{,}0\,\text{m} \cdot (0{,}60\,\text{m})^2$
$= 49\,050\,\text{Pa} \cdot 0{,}36\,\text{m}^2$
$= 17\,658\,\text{N}$
$= 17{,}7\,\text{kN}$

Vastaus

$F \approx 18\,\text{kN}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten syvyys $5{,}0\,\text{m}$ ja sivu $0{,}60\,\text{m}$.

Järkevyys

Luukun päällä on vesipatsas $0{,}36\,\text{m}^2 \cdot 5{,}0\,\text{m} = 1{,}8\,\text{m}^3$, jonka massa on $1800\,\text{kg}$ ja paino noin $18\,\text{kN}$: sama tulos. Voima vastaa noin yhden ison henkilöauton painoa, joten luukku on tehtävä tukevaksi.

Pyöränpumpun mittari

Pyöränpumpun sylinterissä on $0{,}30\,\textsf{l}$ ilmaa ilmanpaineessa $101\,\text{kPa}$. Pumpun suutin on tukittu, ja mäntää painetaan hitaasti niin, että ilman tilavuus pienenee $0{,}12\,\textsf{l}$:aan. Lämpötila pysyy samana. Pumpun painemittari näyttää ylipainetta.

Mitä mittari näyttää? Vastaa kilopascaleina.

kPa
Vihje 1: ohjaava kysymys

Lämpötila ja ilman määrä pysyvät samoina. Mikä laki pätee?

Vihje 2: mikä yhteys

Boylen laissa käytetään kokonaispainetta. Mittari näyttää kokonaispaineen ja ilmanpaineen erotuksen.

Vihje 3: välivaihe
$p_2$$= \dfrac{101\,\text{kPa} \cdot 0{,}30\,\textsf{l}}{0{,}12\,\textsf{l}}$

ja mittarin lukema on $p_2 - 101\,\text{kPa}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

alkutilavuus $V_1 = 0{,}30\,\textsf{l}$, alkupaine $p_1 = 101\,\text{kPa}$ (ilmanpaine), lopputilavuus $V_2 = 0{,}12\,\textsf{l}$; lämpötila vakio

Kysytty

mittarin lukema eli ylipaine $\Delta p$ kilopascaleina

Periaate

Suutin on tukittu, joten ilman määrä pysyy samana, ja hidas puristus pitää lämpötilan vakiona. Silloin pätee Boylen laki, johon sijoitetaan kokonaispaine. Mittari näyttää kokonaispaineen ja ilmanpaineen erotuksen (luku Kaasujen tilanmuutokset ja Boylen laki).

Kaava

$p_1V_1 = p_2V_2$, joten

$p_2$$= \dfrac{p_1V_1}{V_2}$
$\Delta p$$= p_2 - p_1$
$= \dfrac{p_1V_1}{V_2} - p_1$

Muunnokset

Ei tarvita: litrat supistuvat, ja paine saadaan suoraan kilopascaleina.

Sijoitus

$p_2$$= \dfrac{101\,\text{kPa} \cdot 0{,}30\,\textsf{l}}{0{,}12\,\textsf{l}}$
$= 252{,}5\,\text{kPa}$
$\Delta p$$= 252{,}5\,\text{kPa} - 101\,\text{kPa}$
$= 151{,}5\,\text{kPa}$

Vastaus

Mittari näyttää noin $150\,\text{kPa}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten tilavuudet $0{,}30\,\textsf{l}$ ja $0{,}12\,\textsf{l}$.

Järkevyys

Tilavuus pienenee $2{,}5$-osaan, joten kokonaispaine kasvaa $2{,}5$-kertaiseksi, noin $250\,\text{kPa}$:iin. Ylipaine on tätä ilmanpaineen verran pienempi. Lukema on polkupyörän renkaalle tavallista suuruusluokkaa.

Kuumailmapallo

Kuumailmapallon kuori on alhaalta auki, joten pallon sisällä on sama paine kuin ulkona, $100\,\text{kPa}$. Kuoren tilavuus on $2800\,\text{m}^3$. Ilma kuoren sisällä lämmitetään $10\,{}^\circ\text{C}$:sta $100\,{}^\circ\text{C}$:seen. Ilman moolimassa on $29{,}0\,\text{g/mol}$.

Kuinka monta kilogrammaa ilmaa poistuu pallosta lämmityksen aikana?

kg
Vihje 1: ohjaava kysymys

Paine ja tilavuus pysyvät samoina, mutta ilman määrä muuttuu. Laske ilman massa kuoressa ennen ja jälkeen lämmityksen.

Vihje 2: mikä yhteys

Tilanyhtälöstä ja ainemäärästä $n = m/M$ saadaan $m = \dfrac{pVM}{RT}$, kun $T$ on kelvineinä.

Vihje 3: välivaihe

Laske massa lämpötiloissa $T_1 = 283{,}15\,\text{K}$ ja $T_2 = 373{,}15\,\text{K}$. Poistuva massa on näiden erotus; muista $M = 0{,}0290\,\text{kg/mol}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

paine $p = 100\,\text{kPa}$ (sama ennen ja jälkeen), tilavuus $V = 2800\,\text{m}^3$, lämpötilat $\theta_1 = 10\,{}^\circ\text{C}$ ja $\theta_2 = 100\,{}^\circ\text{C}$, moolimassa $M = 29{,}0\,\text{g/mol}$, $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$

Kysytty

poistuvan ilman massa $\Delta m$ kilogrammoina

Periaate

Kuori on auki, joten sisällä on koko ajan ulkoilman paine, ja kuoren tilavuus pysyy samana. Kun ilma lämpenee, sama tilavuus mahtuu samaan paineeseen vähemmän hiukkasia, ja ylimäärä virtaa ulos alhaalta. Ilmaa kuvataan ideaalikaasuna, mikä sopii tavalliseen paineeseen (luku Ideaalikaasun tilanyhtälö $pV = nRT$).

Kaava

$pV = nRT$ ja $n = \dfrac{m}{M}$, joten

$m$$= \dfrac{pVM}{RT}$
$\Delta m$$= \dfrac{pVM}{R}\left(\dfrac{1}{T_1} - \dfrac{1}{T_2}\right)$

Muunnokset

$p$$= 100 \cdot 1000\,\text{Pa}$
$= 100\,000\,\text{Pa}$
$M$$= 29{,}0 \cdot 0{,}001\,\text{kg/mol}$
$= 0{,}0290\,\text{kg/mol}$
$T_1$$= (10 + 273{,}15)\,\text{K}$
$= 283{,}15\,\text{K}$
$T_2$$= (100 + 273{,}15)\,\text{K}$
$= 373{,}15\,\text{K}$

Sijoitus

$m_1$$= \dfrac{100\,000\,\text{Pa} \cdot 2800\,\text{m}^3 \cdot 0{,}0290\,\tfrac{\text{kg}}{\text{mol}}}{8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 283{,}15\,\text{K}}$
$= 3451\,\text{kg}$
$m_2$$= m_1 \cdot \dfrac{T_1}{T_2}$
$= 3451\,\text{kg} \cdot \dfrac{283{,}15\,\text{K}}{373{,}15\,\text{K}}$
$= 2619\,\text{kg}$

joten

$\Delta m$$= 3451\,\text{kg} - 2619\,\text{kg}$
$= 832\,\text{kg}$

Vastaus

$\Delta m \approx 830\,\text{kg}$

Paine $100\,\text{kPa}$, tilavuus $2800\,\text{m}^3$ ja lämpötila $10\,{}^\circ\text{C}$ on annettu noin kahden merkitsevän numeron tarkkuudella, joten tulos ilmoitetaan kahdella merkitsevällä numerolla, vaikka moolimassa $29{,}0\,\text{g/mol}$ on tarkempi.

Järkevyys

Ilmaa poistuu noin neljännes, koska kelvinlämpötila kasvaa suhteessa $373 : 283 \approx 1{,}32$ ja massa pienenee suhteessa $283 : 373 \approx 0{,}76$. Alkumassa $3450\,\text{kg}$ vastaa ilman tiheyttä $3450\,\text{kg} : 2800\,\text{m}^3 \approx 1{,}2\,\text{kg/m}^3$, joka on ilman tavallinen tiheys.

Mäntä nousee

Sylinterin kaasu saa lämpöä $1{,}20\,\text{kJ}$ ja laajenee samalla vakiopaineessa $150\,\text{kPa}$ niin, että sen tilavuus kasvaa $2{,}0\,\textsf{l}$:sta $5{,}0\,\textsf{l}$:aan. Kuinka paljon kaasun sisäenergia muuttuu? Vastaa jouleina.

J
Vihje 1: ohjaava kysymys

Kaasu saa energiaa lämpönä mutta luovuttaa sitä tekemällä työtä mäntään.

Vihje 2: mikä yhteys

Vakiopaineessa kaasun työ on $W_\text{k} = p\,\Delta V$, ja sisäenergian muutos on $\Delta U = Q - W_\text{k}$.

Vihje 3: välivaihe
$W_\text{k}$$= 150\,000\,\text{Pa} \cdot 0{,}0030\,\text{m}^3$
$= 450\,\text{J}$
Näytä ratkaisu

Annettu

lämpö $Q = 1{,}20\,\text{kJ}$, paine $p = 150\,\text{kPa}$ (vakio), tilavuus $V_1 = 2{,}0\,\textsf{l}$ ja $V_2 = 5{,}0\,\textsf{l}$

Kysytty

kaasun sisäenergian muutos $\Delta U$ jouleina

Periaate

Energia säilyy: kaasun sisäenergia kasvaa saadun lämmön verran ja pienenee sen työn verran, jonka laajeneva kaasu tekee mäntään. Paine on vakio, joten työ on paine kertaa tilavuuden muutos (luku Kaasun tekemä työ ja lämpövoimakone).

Kaava

$W_\text{k} = p\,(V_2 - V_1)$ ja $\Delta U = Q - W_\text{k}$, joten $\Delta U = Q - p\,(V_2 - V_1)$

Muunnokset

$Q$$= 1{,}20 \cdot 1000\,\text{J}$
$= 1200\,\text{J}$
$p$$= 150 \cdot 1000\,\text{Pa}$
$= 150\,000\,\text{Pa}$
$V_2 - V_1$$= 3{,}0\,\textsf{l}$
$= 3{,}0 \cdot 0{,}001\,\text{m}^3$
$= 0{,}0030\,\text{m}^3$

Sijoitus

$W_\text{k}$$= 150\,000\,\text{Pa} \cdot 0{,}0030\,\text{m}^3$
$= 450\,\text{J}$
$\Delta U$$= 1200\,\text{J} - 450\,\text{J}$
$= 750\,\text{J}$

Vastaus

$\Delta U \approx 750\,\text{J}$

(sisäenergia kasvaa), kaksi merkitsevää numeroa kuten tilavuudet $2{,}0\,\textsf{l}$ ja $5{,}0\,\textsf{l}$.

Järkevyys

Sisäenergian kasvu on positiivinen ja pienempi kuin saatu lämpö, kuten pitää, kun kaasu samalla tekee työtä. Tarkistus kilopascaleilla ja litroilla: $150\,\text{kPa} \cdot 3{,}0\,\textsf{l} = 450\,\text{J}$, koska $1\,\text{kPa} \cdot 1\,\textsf{l} = 1\,\text{J}$.

Tarkista osaamisesi

Exit ticket

Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.

  1. Renkaan painemittari näyttää $220\,\text{kPa}$, ja ilmanpaine on $101\,\text{kPa}$. Mikä paine sijoitetaan tilanyhtälöön renkaan ilmasta?
    Vastaus

    Kokonaispaine $p = p_0 + \Delta p = 101\,\text{kPa} + 220\,\text{kPa} = 321\,\text{kPa} = 321\,000\,\text{Pa}$. Mittari näyttää vain ylipaineen, mutta hiukkasten törmäykset tuottavat koko paineen.

  2. Miksi lämpöpumpun lämpökerroin voi olla yli $1$, vaikka lämpövoimakoneen hyötysuhde on aina alle $1$?
    Vastaus

    Lämpöpumppu ei muuta lämpöä työksi, vaan siirtää sähkön avulla lämpöä ulkoilmasta sisälle. Sisälle tulee sähköenergia ja ulkoa siirretty lämpö yhteensä, joten lämpö on sähköä suurempi. Energia säilyy silti: mitään ei synny tyhjästä.

1. Käsite

Ryhmä mittasi suljetun lasipullon ilman paineen lämpötiloissa $10$–$90\,{}^\circ\text{C}$ ja jatkoi sovitettua suoraa nollapaineeseen. Ääriviivojen avulla tulokseksi saatiin $\theta_0 = (-262 \pm 15)\,{}^\circ\text{C}$. Mikä johtopäätös on perusteltu?

Kertaa suoran jatkaminen ja ääriviivat luvussa Absoluuttisen nollapisteen määrittäminen.

2. Laskeminen

Auton moottori antaa maantiellä mekaanista tehoa $25\,\text{kW}$, ja sen hyötysuhde on $30\,\%$. Kuinka suurella teholla moottori luovuttaa lämpöä ympäristöön pakokaasujen ja jäähdyttimen kautta? Vastaa kilowatteina.

kW
Vihje 1: ohjaava kysymys

Moottori on lämpövoimakone: polttoaineesta saatu teho jakautuu työksi ja ympäristöön luovutetuksi lämmöksi.

Vihje 2: mikä yhteys

Laske ensin polttoaineteho hyötysuhteesta $\eta = P / P_1$.

Vihje 3: välivaihe
$P_1$$= 25\,\text{kW} : 0{,}30$
$\approx 83\,\text{kW}$

ja lämpöteho on $P_1 - P$.

Näytä ratkaisu

Annettu

mekaaninen teho $P = 25\,\text{kW}$, hyötysuhde $\eta = 30\,\% = 0{,}30$

Kysytty

ympäristöön luovutettu lämpöteho $P_2$ kilowatteina

Periaate

Moottori on lämpövoimakone. Energia säilyy, joten polttoaineesta saatu teho $P_1$ on työteho ja ympäristöön luovutettu lämpöteho yhteensä. Hyötysuhde on työtehon osuus polttoainetehosta (luku Kaasun tekemä työ ja lämpövoimakone).

Kaava

$\eta = \dfrac{P}{P_1}$ ja $P_1 = P + P_2$, joten $P_2 = \dfrac{P}{\eta} - P$

Muunnokset

Ei tarvita: tehot ovat kilowatteina, ja $30\,\% = 0{,}30$.

Sijoitus

$P_2$$= \dfrac{25\,\text{kW}}{0{,}30} - 25\,\text{kW}$
$= 83{,}33\,\text{kW} - 25\,\text{kW}$
$= 58{,}3\,\text{kW}$

Vastaus

$P_2 \approx 58\,\text{kW}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten teho $25\,\text{kW}$ ja hyötysuhde $30\,\%$.

Järkevyys

Lämpöä luovutetaan yli kaksi kertaa niin paljon kuin työtä tehdään, kuten $70\,\%$:n häviöosuudesta odottaa: $0{,}70 \cdot 83{,}3\,\text{kW} \approx 58\,\text{kW}$. Siksi auton jäähdytin ja pakoputki kuumenevat, ja talvella sama lämpö lämmittää matkustamon.

Kertaa lämpövoimakoneen energiavirrat luvussa Kaasun tekemä työ ja lämpövoimakone ja hyötysuhteen nimittäjä luvussa Energiantuotanto ja voimalaitosten hyötysuhde.

3. Selitä

Mökin kaivon vedenpinta on $12\,\text{m}$ maanpinnan alapuolella. Maan pinnalla oleva imupumppu ei saa vettä nousemaan putkessa ylös asti, vaikka pumppu on tehokas ja täysin tiivis. Selitä, miksi vesi nousee imuputkessa ja miksi se ei nouse yli noin $10\,\text{m}$:n korkeudelle. Kerro myös, miten vesi saadaan ylös.

Tehtävät

2.3-1 Paineilmanostin 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Nostin ja sen luvut ovat keksitty esimerkki.

Pienkorjaamon autonostin toimii paineilmalla. Nostimen pystysuoran sylinterin männän halkaisija on $0{,}200\,\text{m}$, ja mäntä kannattaa nostolavaa, jolla auto on. Auton ja lavan massa on yhteensä $1800\,\text{kg}$. Männän yläpuolella on ulkoilmaa, jonka paine on $101\,\text{kPa}$. Paineilma tulee kompressorin säiliöstä, jonka tilavuus on $100\,\textsf{l}$ ja jonka mittari näyttää ylipainetta $900\,\text{kPa}$, kun kompressori sammuu.

Auto nostetaan hitaasti ja tasaisella nopeudella $1{,}20\,\text{m}$ ylös. Ennen nostoa sylinterissä männän alla ei ole juuri lainkaan ilmaa. Oletetaan, että ilman lämpötila pysyy koko ajan samana ja että männän kitka on merkityksetön.

  1. a) Kuinka suuri ylipaine sylinterissä on noston aikana? 5 p
  2. b) Kuinka suuren työn nostin tekee autoon ja lavaan? Perustele tulos laskemalla se kahdella eri tavalla. Selitä, miksi sylinterin ilma tekee silti enemmän työtä. 5 p
  3. c) Kuinka suuri on säiliön mittarin lukema yhden noston jälkeen? Riittääkö säiliön ilma toiseen samanlaiseen nostoon, jos kompressori ei käynnisty välillä? Arvioi myös, miten lämpötilaoletus vaikuttaa tulokseen. 5 p

Taidot luvuista: Paine ja hydrostaattinen paine, Kaasun tekemä työ ja lämpövoimakone, Kaasujen tilanmuutokset ja Boylen laki

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

männän halkaisija $d = 0{,}200\,\text{m}$, auton ja lavan massa $m = 1800\,\text{kg}$, ulkoilman paine $p_0 = 101\,\text{kPa}$, nosto tasaisella nopeudella; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

sylinterin ylipaine $\Delta p$ eli sylinterin ilman ja ulkoilman paine-ero kilopascaleina

Periaate

Lava liikkuu tasaisella nopeudella, joten siihen vaikuttavat voimat ovat tasapainossa (luku Newtonin toinen laki). Männän alapuolelta sylinterin ilma työntää mäntää ylös voimalla $pA$ ja yläpuolelta ulkoilma alas voimalla $p_0A$. Niiden erotus $\Delta p\,A$ kannattaa painon $mg$. Paineen voima on kohtisuorassa männän pintaa vastaan eli pystysuora (luku Paine ja hydrostaattinen paine).

Kaava

$\Delta p\,A$$= mg$
$A$$= \pi r^2$
$= \pi \left(\dfrac{d}{2}\right)^2$

joten $\Delta p = \dfrac{mg}{\pi (d/2)^2}$

Muunnokset

Säde

$r$$= 0{,}200\,\text{m} : 2$
$= 0{,}100\,\text{m}$

Lopuksi $1\,\text{Pa} = 0{,}001\,\text{kPa}$.

Sijoitus

$A$$= \pi \cdot (0{,}100\,\text{m})^2$
$= 0{,}031\,42\,\text{m}^2$
$mg$$= 1800\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$
$= 17\,658\,\text{N}$
$\Delta p$$= \dfrac{17\,658\,\text{N}}{0{,}031\,42\,\text{m}^2}$
$= 562\,100\,\text{Pa}$
$= 562\,\text{kPa}$

Vastaus

$\Delta p \approx 562\,\text{kPa}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten halkaisija $0{,}200\,\text{m}$.

Järkevyys

Ylipaine on pienempi kuin säiliön $900\,\text{kPa}$, joten säiliön ilma jaksaa työntää mäntää. Suuruusluokka: $18\,\text{kN}$ noin $0{,}03\,\text{m}^2$:n alalle on noin $600\,\text{kPa}$.

b)

Annettu

$m = 1800\,\text{kg}$, nostokorkeus $h = 1{,}20\,\text{m}$, a-kohdan $\Delta p = 562{,}1\,\text{kPa}$ ja $A = 0{,}031\,42\,\text{m}^2$, ulkoilman paine $p_0 = 101\,\text{kPa}$

Kysytty

nostimen autoon ja lavaan tekemä työ $W$ kilojouleina, sama työ paine-erosta, ja miksi ilma tekee enemmän työtä

Periaate

Lava nousee tasaisella nopeudella, joten mäntä tekee siihen nostotyön, joka on voima kertaa matka (luku Työ ja energia). Voima on $\Delta p\,A$, ja $Ah$ on sylinterin ilman tilavuuden muutos, joten sama työ on $\Delta p\,\Delta V$. Sylinterin ilma itse työntää mäntää kokonaispaineella, ja sen työ on $p\,\Delta V$ (luku Kaasun tekemä työ ja lämpövoimakone).

Kaava

$W$$= mgh$
$W$$= \Delta p\,A h$
$= \Delta p\,\Delta V$

ilman työ $W_\text{k} = (p_0 + \Delta p)\,\Delta V$

Muunnokset

$\Delta V$$= Ah$
$= 0{,}031\,42\,\text{m}^2 \cdot 1{,}20\,\text{m}$
$= 0{,}037\,70\,\text{m}^3$
$= 37{,}7\,\textsf{l}$

ja $1\,\text{kPa} \cdot 1\,\textsf{l} = 1\,\text{J}$.

Sijoitus

$W$$= 1800\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 1{,}20\,\text{m}$
$= 21\,190\,\text{J}$
$\Delta p\,\Delta V$$= 562{,}1\,\text{kPa} \cdot 37{,}70\,\textsf{l}$
$= 21\,190\,\text{J}$

Ilman työ

$W_\text{k}$$= 663{,}1\,\text{kPa} \cdot 37{,}70\,\textsf{l}$
$= 25\,000\,\text{J}$

josta

$p_0\,\Delta V$$= 101\,\text{kPa} \cdot 37{,}70\,\textsf{l}$
$= 3810\,\text{J}$

Vastaus

$W \approx 21{,}2\,\text{kJ}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten nostokorkeus $1{,}20\,\text{m}$. Sylinterin ilma tekee työn $25{,}0\,\text{kJ}$, koska se työntää mäntää kokonaispaineella. Männän yläpuolella on ulkoilmaa, ja noston aikana mäntä työntää sitä pois tieltä: siihen kuluu $3{,}8\,\text{kJ}$, ja vain loput nostavat autoa.

Järkevyys

Kaksi eri tapaa antaa saman tuloksen, koska $\Delta p\,A$ on juuri painon suuruinen. Tulos on yhtä suuri kuin auton potentiaalienergian kasvu.

c)

Annettu

säiliön tilavuus $V_\text{s} = 100\,\textsf{l}$, säiliön ylipaine aluksi $900\,\text{kPa}$, sylinterin kokonaispaine noston aikana $p_\text{c} = 101\,\text{kPa} + 562\,\text{kPa} = 663\,\text{kPa}$, sylinteriin tuleva tilavuus $\Delta V = 37{,}7\,\textsf{l}$; lämpötila vakio

Kysytty

säiliön mittarin lukema $\Delta p_2$ yhden noston jälkeen ja riittääkö ilma toiseen nostoon

Periaate

Ilmaa ei katoa: säiliön ilma jakautuu säiliöön ja sylinteriin. Vakiolämpötilassa saman ilmamäärän tulo $pV$ pysyy samana (luku Kaasujen tilanmuutokset ja Boylen laki), joten säiliön alkuperäisen ilman $pV$ on säiliöön jäävän ja sylinteriin siirtyneen ilman $pV$:n summa. Laskuissa käytetään kokonaispaineita. Ilma virtaa vain suuremmasta paineesta pienempään, joten nosto jatkuu vain niin kauan kuin säiliön paine on vähintään $p_\text{c}$.

Kaava

$p_1V_\text{s} = p_2V_\text{s} + p_\text{c}\,\Delta V$, joten

$p_2$$= p_1 - \dfrac{p_\text{c}\,\Delta V}{V_\text{s}}$

$\Delta p_2 = p_2 - p_0$

Muunnokset

Kokonaispaine aluksi

$p_1$$= 900\,\text{kPa} + 101\,\text{kPa}$
$= 1001\,\text{kPa}$

Litrat supistuvat.

Sijoitus

$p_2$$= 1001\,\text{kPa} - \dfrac{663{,}1\,\text{kPa} \cdot 37{,}70\,\textsf{l}}{100\,\textsf{l}}$
$= 1001\,\text{kPa} - 250{,}0\,\text{kPa}$
$= 751{,}0\,\text{kPa}$
$\Delta p_2$$= 751{,}0\,\text{kPa} - 101\,\text{kPa}$
$= 650\,\text{kPa}$

Toisen täyden noston jälkeen paine olisi $751{,}0\,\text{kPa} - 250{,}0\,\text{kPa} = 501\,\text{kPa}$.

Vastaus

Mittari näyttää noin $650\,\text{kPa}$, kolme merkitsevää numeroa kuten säiliön ja sylinterin luvut. Ilma ei riitä toiseen nostoon: säiliön paine putoaisi alle sylinterin tarvitseman $663\,\text{kPa}$:n, kun säiliöstä on mennyt sylinteriin $\dfrac{(751{,}0 - 663{,}1)\,\text{kPa} \cdot 100\,\textsf{l}}{663{,}1\,\text{kPa}} \approx 13{,}3\,\textsf{l}$ eli lava on noussut noin $13{,}3\,\textsf{l} : 31{,}4\,\textsf{l/m} \approx 0{,}42\,\text{m}$. Lava pysähtyy siihen, kunnes kompressori käynnistyy. Malli olettaa lämpötilan vakioksi. Todellisuudessa säiliöstä purkautuva ilma jäähtyy laajetessaan, joten paine on hetkellisesti vielä laskettua pienempi ja nosto jää aikaisemmin kesken.

Järkevyys

Yksi nosto vie säiliön paineesta $250\,\text{kPa}$, eli neljänneksen, koska sylinteriin siirtyvän ilman $pV$ on $663 \cdot 37{,}7 \approx 25\,000\,\text{kPa}\cdot\textsf{l}$ ja säiliön alkuperäinen $pV$ on noin $100\,000\,\text{kPa}\cdot\textsf{l}$.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa pinta-ala lasketaan halkaisijasta säteen sijasta, jolloin ylipaine tulee neljäsosaan.
  • a-kohdan ylipaine sijoitetaan c-kohdan Boylen lakiin kokonaispaineen sijasta, tai säiliön mittarin lukema $900\,\text{kPa}$ käytetään ilman ilmanpainetta.
  • b-kohdassa ilman työ $p\,\Delta V$ lasketaan kokonaispaineella ja sitä pidetään auton saamana energiana.
  • c-kohdassa unohdetaan, että ilma ei virtaa säiliöstä sylinteriin, kun säiliön paine on pienempi kuin sylinterin.

Hyväksytään myös

  • c-kohdassa laskun voi tehdä ainemäärillä $n = pV/(RT)$; lämpötila supistuu, ja tulos on sama.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Tasaisella nopeudella voimat ovat tasapainossa: $\Delta p\,A = mg$, missä $\Delta p$ on sylinterin ilman ja ulkoilman paine-ero. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $A = \pi r^2 = \pi \cdot (0{,}100\,\text{m})^2 \approx 0{,}0314\,\text{m}^2$ ja $mg \approx 17{,}7\,\text{kN}$, joten $\Delta p \approx 562\,\text{kPa}$. 2 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. Halkaisijasta säde, paine pascaleista kilopascaleiksi; kolme merkitsevää numeroa. 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Ylipaine on pienempi kuin säiliön $900\,\text{kPa}$, joten ilma virtaa säiliöstä sylinteriin. 1 p

b)5 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $W = mgh$ ja $W = \Delta p\,\Delta V$, missä $\Delta V = Ah$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $W = 1800\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 1{,}20\,\text{m} \approx 21{,}2\,\text{kJ}$ ja $562\,\text{kPa} \cdot 37{,}7\,\textsf{l} \approx 21{,}2\,\text{kJ}$. 1 p
Selittää, että sylinterin ilma työntää mäntää kokonaispaineella $663\,\text{kPa}$ ja tekee työn $p\,\Delta V \approx 25{,}0\,\text{kJ}$; erotus $3{,}8\,\text{kJ}$ kuluu männän yläpuolisen ulkoilman työntämiseen pois tieltä. 2 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\text{kPa} \cdot \textsf{l} = \text{J}$ tai muunnos perusyksiköihin; kolme merkitsevää numeroa. 1 p

c)5 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Ilman määrä säilyy vakiolämpötilassa: $p_1V_\text{s} = p_2V_\text{s} + p_\text{c}\,\Delta V$, missä $p_\text{c} = 663\,\text{kPa}$ on sylinterin kokonaispaine. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $p_1 = 1001\,\text{kPa}$, joten $p_2 = 1001\,\text{kPa} - 663\,\text{kPa} \cdot 0{,}377 \approx 751\,\text{kPa}$ eli mittarissa noin $650\,\text{kPa}$. 1 p
Perustelee, että ilma virtaa vain suuremmasta paineesta pienempään, joten säiliössä on oltava koko noston ajan vähintään $663\,\text{kPa}$; toisen noston jälkeen paine olisi noin $501\,\text{kPa}$, joten toinen nosto jää kesken (noin $0{,}4\,\text{m}$:n korkeudelle). 2 p
Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Säiliöstä purkautuva ilma jäähtyy laajetessaan, joten paine on hetkellisesti vielä pienempi, kunnes ilma lämpenee huoneen lämpötilaan. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (12 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

2.3-2 Maatilan biokaasumoottori 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Laitos ja sen luvut ovat keksitty esimerkki; metaanin lämpöarvo on pyöristetty taulukkoarvo.

Maatilan biokaasulaitoksessa lannasta syntyvä kaasu puhdistetaan lähes puhtaaksi metaaniksi. Metaani poltetaan moottorissa, joka pyörittää generaattoria. Kaasumittarin mukaan moottoriin virtaa tunnissa $52{,}0\,\text{m}^3$ metaania. Mittarin kohdalla kaasun lämpötila on $25\,{}^\circ\text{C}$ ja paine $104\,\text{kPa}$.

Moottorin ja generaattorin yhteinen sähköhyötysuhde on $36\,\%$. Pakokaasujen ja moottorin jäähdytysveden lämmöstä saadaan lämmönvaihtimilla talteen $75\,\%$, ja sillä lämmitetään navettaa ja asuinrakennusta. Metaanin moolimassa on $16{,}0\,\text{g/mol}$, ja sen lämpöarvo on $50{,}0\,\text{MJ/kg}$.

  1. a) Kuinka monta kilogrammaa metaania moottori polttaa tunnissa? 5 p
  2. b) Kuinka suuri on laitoksen sähköteho? 5 p
  3. c) Miksi moottori ei voi muuttaa koko polttoainetehoa sähköksi, vaikka sen kitka saataisiin kokonaan pois? Kuinka suuri osa polttoainetehosta saadaan hyödyksi sähkönä ja lämpönä yhteensä? 5 p

Taidot luvuista: Ideaalikaasun tilanyhtälö $pV = nRT$, Kaasun tekemä työ ja lämpövoimakone, Energiantuotanto ja voimalaitosten hyötysuhde

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

metaanin tilavuus tunnissa $V = 52{,}0\,\text{m}^3$, lämpötila $\theta = 25\,{}^\circ\text{C}$, paine $p = 104\,\text{kPa}$, moolimassa $M = 16{,}0\,\text{g/mol}$; $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$

Kysytty

tunnissa poltetun metaanin massa $m$ kilogrammoina

Periaate

Mittarin kohdalla metaani on tavallisessa paineessa ja lämpötilassa, joten sitä voi kuvata ideaalikaasuna. Tilanyhtälöstä saadaan tunnissa virtaavan kaasun ainemäärä ja moolimassasta sen massa (luku Ideaalikaasun tilanyhtälö $pV = nRT$).

Kaava

$pV = nRT$ ja $n = \dfrac{m}{M}$, joten $m = \dfrac{pVM}{RT}$

Muunnokset

$p$$= 104 \cdot 1000\,\text{Pa}$
$= 104\,000\,\text{Pa}$
$T$$= (25 + 273{,}15)\,\text{K}$
$= 298{,}15\,\text{K}$
$M$$= 16{,}0 \cdot 0{,}001\,\text{kg/mol}$
$= 0{,}0160\,\text{kg/mol}$

Sijoitus

$n$$= \dfrac{104\,000\,\text{Pa} \cdot 52{,}0\,\text{m}^3}{8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 298{,}15\,\text{K}}$
$= 2183\,\text{mol}$
$m$$= 2183\,\text{mol} \cdot 0{,}0160\,\tfrac{\text{kg}}{\text{mol}}$
$= 34{,}9\,\text{kg}$

Vastaus

$m \approx 34{,}9\,\text{kg}$

Tunnissa, kolme merkitsevää numeroa kuten tilavuus $52{,}0\,\text{m}^3$ ja moolimassa $16{,}0\,\text{g/mol}$.

Järkevyys

Metaanin tiheys on $34{,}9\,\text{kg} : 52{,}0\,\text{m}^3 \approx 0{,}67\,\text{kg/m}^3$, pienempi kuin ilman noin $1{,}2\,\text{kg/m}^3$, kuten moolimassojen suhde $16 : 29$ ennustaa.

b)

Annettu

a-kohdan $m = 34{,}92\,\text{kg}$ ajassa $t = 1\,\text{h}$, lämpöarvo $H = 50{,}0\,\text{MJ/kg}$, sähköhyötysuhde $\eta_\text{s} = 36\,\%$

Kysytty

sähköteho $P_\text{s}$ kilowatteina

Periaate

Polttoaineteho on palamisessa vapautuva energia aikaa kohti, ja sähköhyötysuhde kertoo, kuinka suuri osa siitä saadaan sähkönä (luku Energiantuotanto ja voimalaitosten hyötysuhde).

Kaava

$P_0$$= \dfrac{Hm}{t}$
$\eta_\text{s}$$= \dfrac{P_\text{s}}{P_0}$

joten

$P_\text{s}$$= \dfrac{\eta_\text{s} H m}{t}$

Muunnokset

$H = 50{,}0 \cdot 10^{6}\,\text{J/kg}$, $t = 1\,\text{h} = 3600\,\text{s}$ ja $36\,\% = 0{,}36$

Sijoitus

$Hm$$= 50{,}0 \cdot 10^{6}\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}} \cdot 34{,}92\,\text{kg}$
$= 1{,}746 \cdot 10^{9}\,\text{J}$
$P_0$$= \dfrac{1{,}746 \cdot 10^{9}\,\text{J}}{3600\,\text{s}}$
$= 485\,100\,\text{W}$
$P_\text{s}$$= 0{,}36 \cdot 485{,}1\,\text{kW}$
$= 174{,}6\,\text{kW}$

Vastaus

$P_\text{s} \approx 175\,\text{kW}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten massa; hyötysuhde $36\,\%$ on annettu kahdella numerolla, joten $170$–$180\,\text{kW}$ on yhtä hyvä vastaus.

Järkevyys

Polttoaineteho on noin $0{,}5\,\text{MW}$, ja sähköä saadaan reilu kolmannes, kuten pienessä moottorivoimalassa. Teho riittäisi kymmenien omakotitalojen sähkönkulutukseen.

c)

Annettu

$P_0 = 485{,}1\,\text{kW}$, $P_\text{s} = 174{,}6\,\text{kW}$, lämmöstä talteen $75\,\%$

Kysytty

miksi kaikkea polttoainetehoa ei saada sähköksi, ja kokonaishyötysuhde $\eta_\text{kok}$

Periaate

Moottori on lämpövoimakone. Se voi muuttaa lämpöä työksi vain, jos se luovuttaa osan lämmöstä kylmempään ympäristöön: pakokaasujen ja jäähdytysveden mukana (luku Kaasun tekemä työ ja lämpövoimakone). Energia säilyy, joten luovutettu lämpöteho on polttoainetehon ja sähkötehon erotus. Kokonaishyötysuhteessa hyödyksi lasketaan sähkö ja talteen otettu lämpö.

Kaava

$P_2 = P_0 - P_\text{s}$,

$P_\text{l}$$= 0{,}75\,P_2$
$\eta_\text{kok}$$= \dfrac{P_\text{s} + P_\text{l}}{P_0}$

Muunnokset

Ei tarvita: tehot ovat kilowatteina, ja $75\,\% = 0{,}75$.

Sijoitus

$P_2$$= 485{,}1\,\text{kW} - 174{,}6\,\text{kW}$
$= 310{,}5\,\text{kW}$
$P_\text{l}$$= 0{,}75 \cdot 310{,}5\,\text{kW}$
$= 232{,}9\,\text{kW}$
$\eta_\text{kok}$$= \dfrac{174{,}6\,\text{kW} + 232{,}9\,\text{kW}}{485{,}1\,\text{kW}}$
$= 0{,}840$

Vastaus

$\eta_\text{kok} \approx 84\,\%$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten hyötysuhteet $36\,\%$ ja $75\,\%$. Kitkattomankin moottorin on luovutettava lämpöä kylmempään, joten sähkön osuus jää selvästi alle $100\,\%$:n. Kokonaishyötysuhde on suuri, koska luovutettu lämpö käytetään lämmitykseen; sähköä ei saada siitä yhtään enempää.

Järkevyys

Hukaksi jää $485\,\text{kW} - 175\,\text{kW} - 233\,\text{kW} \approx 78\,\text{kW}$ eli $16\,\%$, sama kuin $25\,\%$ lämpötehosta. Tulos on samaa suuruusluokkaa kuin yhteistuotantolaitosten $85$–$90\,\%$.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa lämpötila sijoitetaan celsiusasteina, jolloin ainemääräksi tulee yli kymmenkertainen $26\,000\,\text{mol}$.
  • Moolimassa jätetään grammoiksi, jolloin massaksi tulee tuhatkertainen luku.
  • b-kohdassa tunnissa vapautuva energia megajouleina tulkitaan suoraan tehoksi jakamatta sekunneilla.
  • c-kohdassa vastataan, että sähköä ei saada enempää ”kitkan takia”; kitkan poistaminen ei poista lämpöä, jonka lämpövoimakone luovuttaa kylmempään.

Hyväksytään myös

  • b-kohdassa sähkötehon voi laskea myös energiana tunnissa: $0{,}36 \cdot 1746\,\text{MJ} \approx 629\,\text{MJ}$ tunnissa, ja $629\,\text{MJ} : 3600\,\text{s} \approx 175\,\text{kW}$.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $n = \dfrac{pV}{RT}$ ja $m = nM$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $T = 298{,}15\,\text{K}$, paine pascaleina, $M = 0{,}0160\,\text{kg/mol}$; vastaus kolmella merkitsevällä numerolla. 2 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $n \approx 2180\,\text{mol}$ tunnissa, $m \approx 34{,}9\,\text{kg}$ 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Metaanin tiheys $34{,}9\,\text{kg} : 52{,}0\,\text{m}^3 \approx 0{,}67\,\text{kg/m}^3$ on pienempi kuin ilman, koska metaanin moolimassa on pienempi. 1 p

b)5 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $P_0 = \dfrac{Hm}{t}$ ja $P_\text{s} = \eta_\text{s} P_0$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Tunnissa vapautuu $Hm \approx 1746\,\text{MJ}$, joten $P_0 \approx 485\,\text{kW}$ ja $P_\text{s} \approx 175\,\text{kW}$. 2 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. Tunti sekunteina, $1\,\text{h} = 3600\,\text{s}$; kolme merkitsevää numeroa. 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Sähköteho on alle puolet polttoainetehosta, kuten lämpövoimakoneessa kuuluu. 1 p

c)5 p

Selittää, että moottori on lämpövoimakone: se voi tehdä työtä vain luovuttamalla osan lämmöstä kylmempään ympäristöön (pakokaasu, jäähdytysvesi), joten tätä lämpöä ei voi välttää kitkattomassakaan koneessa. 2 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Luovutettu lämpöteho $485\,\text{kW} - 175\,\text{kW} \approx 310\,\text{kW}$, talteen $0{,}75 \cdot 310\,\text{kW} \approx 233\,\text{kW}$, joten $\eta_\text{kok} = (175 + 233) : 485 \approx 84\,\%$. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Kokonaishyötysuhde on suuri, koska luovutettu lämpö käytetään lämmitykseen; sähkön osuus ei siitä kasva. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (11 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

2.3-3 Ilma lasiruiskussa 20 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Aineisto on keksitty esimerkki: luvut on laskettu mallista, jossa ilman tilavuus on $37{,}5\,\text{ml}$ lämpötilassa $0\,{}^\circ\text{C}$ ja verrannollinen kelvinlämpötilaan, ja niihin on lisätty lukemisen kaltaista vaihtelua.

Opiskelijat tutkivat, miten ilman tilavuus riippuu lämpötilasta vakiopaineessa. Lasiruiskun kärki suljettiin tulpalla, ja ruiskuun jäi ilmaa. Ruisku upotettiin vaakasuorassa vesihauteeseen, jonka lämpötilaa nostettiin vaiheittain. Lasimäntä liukuu ruiskussa lähes kitkatta, joten ruiskun ilman paine on koko ajan ilmanpaine $101{,}3\,\text{kPa}$. Jokaisessa lämpötilassa odotettiin, että mäntä pysähtyi, ja tilavuus luettiin ruiskun asteikolta. Tilavuuden lukeman epävarmuudeksi arvioitiin $\pm 0{,}3\,\text{ml}$.

$\theta\ ({}^\circ\text{C})$ $V\ (\text{ml})$
$5$ $38{,}2$
$15$ $39{,}9$
$25$ $41{,}1$
$35$ $42{,}5$
$45$ $43{,}8$
$55$ $45{,}1$
$65$ $46{,}5$
$75$ $47{,}8$
  1. a) Esitä ilman tilavuus lämpötilan funktiona kuvaajana, ja sovita pisteisiin sopiva malli. 5 p
  2. b) Määritä kuvaajan avulla lämpötila, jossa ilman tilavuus olisi mallin mukaan nolla. Arvioi tuloksen epävarmuus, ja vertaa tulosta hyväksyttyyn arvoon $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$. 5 p
  3. c) Kuinka suuri ainemäärä ilmaa ruiskussa on? Käytä kuvaajasta määrittämääsi kulmakerrointa. 5 p
  4. d) Toinen ryhmä teki saman mittauksen, mutta heidän ruiskunsa kärkeen oli liitetty letku, jossa oli $1{,}5\,\text{ml}$ ilmaa ja joka jäi hauteen ulkopuolelle huoneenlämpöön. Koska letkun ilma kuuluu suljettuun ilmamäärään, ryhmä lisäsi letkun $1{,}5\,\text{ml}$ jokaiseen ruiskun asteikolta luettuun tilavuuteen. Miten tämä muuttaa heidän suoraansa ja nollapisteen arviota? Arvioi, voiko virheen poistaa toistamalla mittauksia. 5 p

Taidot luvuista: Absoluuttisen nollapisteen määrittäminen, Kaasujen tilanmuutokset ja Boylen laki, Ideaalikaasun tilanyhtälö $pV = nRT$, Graafinen esitys ja suoran sovittaminen

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

ilman tilavuus $V$ lämpötilan $\theta$ funktiona kuvaajana ja siihen sovitettu malli

Kuvaaja

Vaaka-akselilla on lämpötila $\theta\ ({}^\circ\text{C})$ ja pystyakselilla tilavuus $V\ (\text{ml})$. Pystyakseli alkaa tässä $36\,\text{ml}$:sta, jotta pisteiden vaihtelu näkyy; b-kohdan jatkamista varten piirretään toinen kuvaaja, jossa akselit alkavat nollasta. Jokaiseen pisteeseen on merkitty epävarmuusjana $\pm 0{,}3\,\text{ml}$.

$20$
$40$
$60$
$80$
$40$
$44$
$48$
$\theta\ ({}^\circ\text{C})$
$V\ (\text{ml})$
$k \approx 0{,}135\,\text{ml}/{}^\circ\text{C}$
$(0;\ 37{,}7)$
$(80;\ 48{,}5)$

Kuvaajassa ympyröidyt kohdat ovat ne kaksi suoran pistettä, joista b-kohdan kulmakerroin luetaan.

Mallivastaus

Pisteet ovat lähes suoralla: tilavuus kasvaa yhtä paljon jokaista lämpötilan astetta kohti. Pisteisiin sovitetaan yksi nouseva suora, joka kulkee pisteiden lomitse ja jokaisen epävarmuusjanan kautta. Pisteitä ei yhdistetä murtoviivaksi. Todellisissa mittaussarjoissa pisteet eivät yleensä ole täsmälleen samalla suoralla mittausepävarmuuden vuoksi.

b)

Annettu

a-kohdan suora ja siltä luetut pisteet; lukeman epävarmuus $\pm 0{,}3\,\text{ml}$

Kysytty

lämpötila $\theta_0$, jossa suoran mukaan $V = 0$, sen epävarmuus ja vertailu arvoon $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$

Periaate

Vakiopaineessa harvan kaasun tilavuus on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan, joten $(\theta, V)$-kuvaaja on suora, jonka jatke osuu nollaan absoluuttisessa nollapisteessä (luku Kaasujen tilanmuutokset ja Boylen laki). Suoraa jatketaan mittausalueen ulkopuolelle eli ekstrapoloidaan. Epävarmuus arvioidaan jyrkimmän ja loivimman suoran avulla, jotka vielä kulkevat kaikkien epävarmuusjanojen kautta (luku Absoluuttisen nollapisteen määrittäminen).

Kuvaajan lukeminen

Suoralta luetaan kaksi kaukana toisistaan olevaa pistettä, ei mittauspisteitä: $(0\,{}^\circ\text{C}$; $37{,}7\,\text{ml})$ ja $(80\,{}^\circ\text{C}$; $48{,}5\,\text{ml})$. Ääriviivat kulkevat janojen päiden kautta: jyrkin pisteiden $(15\,{}^\circ\text{C}$; $39{,}6\,\text{ml})$ ja $(75\,{}^\circ\text{C}$; $48{,}1\,\text{ml})$, loivin pisteiden $(5\,{}^\circ\text{C}$; $38{,}5\,\text{ml})$ ja $(75\,{}^\circ\text{C}$; $47{,}5\,\text{ml})$ kautta.

${-}200$
${-}100$
$0$
$100$
$20$
$40$
$\theta\ ({}^\circ\text{C})$
$V\ (\text{ml})$
$\theta_0 \approx {-}279\,{}^\circ\text{C}$
$\text{ääriviivat:}$
${-}265\ \text{ja}\ {-}294\,{}^\circ\text{C}$

Kaava

$k$$= \dfrac{V_2 - V_1}{\theta_2 - \theta_1}$

$V = V_0 + k\theta$; kun $V = 0$, $\theta_0 = -\dfrac{V_0}{k}$, ja

$\Delta\theta_0$$= \dfrac{\theta_{0,\text{max}} - \theta_{0,\text{min}}}{2}$

Muunnokset

Ei tarvita: millilitrat supistuvat, ja tulos saadaan celsiusasteina.

Sijoitus

$k$$= \dfrac{48{,}5\,\text{ml} - 37{,}7\,\text{ml}}{80\,{}^\circ\text{C} - 0\,{}^\circ\text{C}}$
$= 0{,}135\,\text{ml}/{}^\circ\text{C}$
$\theta_0$$= -\dfrac{37{,}7\,\text{ml}}{0{,}135\,\text{ml}/{}^\circ\text{C}}$
$= -279\,{}^\circ\text{C}$

Jyrkin suora: $k = 0{,}1417\,\text{ml}/{}^\circ\text{C}$, $V_0 = 37{,}48\,\text{ml}$, $\theta_0 = -264{,}5\,{}^\circ\text{C}$; loivin: $k = 0{,}1286\,\text{ml}/{}^\circ\text{C}$, $V_0 = 37{,}86\,\text{ml}$, $\theta_0 = -294{,}4\,{}^\circ\text{C}$.

$\Delta\theta_0$$= \dfrac{-264{,}5\,{}^\circ\text{C} - (-294{,}4\,{}^\circ\text{C})}{2}$
$= 15\,{}^\circ\text{C}$

Vastaus

$\theta_0 \approx (-279 \pm 15)\,{}^\circ\text{C}$

Tulos ilmoitetaan kokonaisina asteina, koska epävarmuus on kymmeniä asteita. Hyväksytty arvo $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$ on välin $-294$…$-265\,{}^\circ\text{C}$ sisällä, joten tulos sopii yhteen sen kanssa, eikä ero $6\,\text{K}$ ole merkittävä. Väli on arvio, ei taattu raja: se ei kerro, pysyykö riippuvuus suorana mittausalueen ulkopuolella.

Järkevyys

Suoraa jatketaan noin $280\,\text{K}$, lähes neljä kertaa mittausalueen pituuden $70\,\text{K}$ verran, joten pienikin kulmakertoimen ero kasvaa jatkossa kymmeniksi asteiksi. Pienimmän neliösumman suora antaa saman: $k = 0{,}1351\,\text{ml}/{}^\circ\text{C}$ ja $\theta_0 = -279\,{}^\circ\text{C}$.

c)

Annettu

b-kohdan kulmakerroin $k = 0{,}135\,\text{ml}/{}^\circ\text{C}$, paine $p = 101{,}3\,\text{kPa}$; $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$

Kysytty

ruiskun ilman ainemäärä $n$

Periaate

Ilman määrä ja paine pysyvät samoina, joten tilanyhtälön mukaan tilavuus on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan, ja suoran kulmakerroin on $nR/p$ (luku Ideaalikaasun tilanyhtälö $pV = nRT$). Yhden celsiusasteen muutos on sama kuin yhden kelvinin muutos, joten kulmakerroin on sama kummallakin asteikolla.

Kuvaajan lukeminen

Kulmakerroin luetaan a-kohdan suoralta kuten b-kohdassa:

$k$$= 10{,}8\,\text{ml} : 80\,{}^\circ\text{C}$
$= 0{,}135\,\text{ml}/{}^\circ\text{C}$

Kaava

$pV = nRT$, joten

$V$$= \dfrac{nR}{p}\,T$
$k$$= \dfrac{\Delta V}{\Delta T}$
$= \dfrac{nR}{p}$

josta $n = \dfrac{pk}{R}$

Muunnokset

$k$$= 0{,}135\,\text{ml/K}$
$= 0{,}135 \cdot 10^{-6}\,\text{m}^3/\text{K}$

koska $1\,\text{ml} = 10^{-6}\,\text{m}^3$, ja

$p$$= 101{,}3 \cdot 1000\,\text{Pa}$
$= 101\,300\,\text{Pa}$

Sijoitus

$n$$= \dfrac{101\,300\,\text{Pa} \cdot 0{,}135 \cdot 10^{-6}\,\text{m}^3/\text{K}}{8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}}$
$= 1{,}65 \cdot 10^{-3}\,\text{mol}$

Vastaus

$n \approx 1{,}65\,\text{mmol}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten kulmakerroin $0{,}135\,\text{ml}/{}^\circ\text{C}$.

Järkevyys

Yksi mittauspiste antaa lähes saman:

$n$$= \dfrac{pV}{RT}$
$= \dfrac{101\,300\,\text{Pa} \cdot 41{,}1 \cdot 10^{-6}\,\text{m}^3}{8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 298{,}15\,\text{K}}$
$= 1{,}68\,\text{mmol}$

Ero johtuu siitä, että kulmakertoimen kautta laskettu tulos ei käytä oletusta, että suora kulkee absoluuttisen nollapisteen kautta. Suuruusluokka sopii: $40\,\text{ml}$ ilmaa on noin $1{,}7\,\text{mmol}$, kun mooli kaasua vie huoneenlämmössä noin $24\,\textsf{l}$.

d)

Kysytty

miten hauteen ulkopuolelle jäävä $1{,}5\,\text{ml}$:n ilmamäärä muuttaa suoraa ja nollapisteen arviota, ja poistavatko toistot virheen

Periaate

Letkun ilma pysyy huoneenlämmössä ja samassa paineessa, joten sen tilavuus ei muutu hauteen lämmetessä. Ryhmän kirjaama tilavuus on hauteessa olevan ilman tilavuus ja letkun vakiotilavuus yhteensä, koska he lisäsivät letkun $1{,}5\,\text{ml}$ jokaiseen lukemaan. Vain hauteessa oleva ilma noudattaa lakia $V \propto T$. Systemaattinen virhe siirtää kaikkia tuloksia samaan suuntaan, eikä sitä voi poistaa toistamalla (luku Absoluuttisen nollapisteen määrittäminen).

Mallivastaus

Jokaiseen kirjattuun tilavuuteen tulee sama lisä $1{,}5\,\text{ml}$, joten suora siirtyy ylöspäin mutta sen kulmakerroin ei muutu: kulmakertoimen määrää vain hauteessa oleva ilma. Nollakohta on silloin $\theta_0 = -\dfrac{V_0 + 1{,}5\,\text{ml}}{k}$, eli arvio siirtyy kylmemmäksi noin $\dfrac{1{,}5\,\text{ml}}{0{,}135\,\text{ml}/{}^\circ\text{C}} \approx 11\,\text{K}$: tämän ryhmän tulos olisi noin $-290\,{}^\circ\text{C}$. Virhe on systemaattinen, joten useammat toistot tai useampi mittauspiste eivät poista sitä. Koko ilmamäärä on pidettävä hauteessa, tai letkun vakiotilavuus jätetään pois kokonaistilavuudesta: ruiskun ilman ainemäärä pysyy silloinkin vakiona, joten pelkät asteikon lukemat noudattavat lakia $V \propto T$ ja antavat oikean nollakohdan.

Yleisiä virheitä

  • Kuvaajan pisteet yhdistetään murtoviivaksi tai suora pakotetaan kulkemaan origon kautta, vaikka vaaka-akseli on celsiusasteina.
  • Kulmakerroin lasketaan kahdesta vierekkäisestä mittauspisteestä eikä sovitetusta suorasta.
  • b-kohdassa tulosta $-279\,{}^\circ\text{C}$ pidetään epäonnistuneena, koska se ei ole $-273\,{}^\circ\text{C}$, tai ekstrapolointia ei mainita.
  • c-kohdassa millilitroja ei muunneta kuutiometreiksi, jolloin ainemäärä tulee miljoonakertaiseksi.
  • d-kohdassa oletetaan, että toistot poistavat letkun aiheuttaman virheen.

Hyväksytään myös

  • Silmämääräisesti sovitetun suoran kulmakerroin $0{,}132$…$0{,}138\,\text{ml}/{}^\circ\text{C}$ ja sen mukaiset tulokset: b-kohdassa $-290$…$-268\,{}^\circ\text{C}$, c-kohdassa $1{,}61$…$1{,}68\,\text{mmol}$.
  • b-kohdassa epävarmuuden arvio $\pm 10$…$\pm 20\,{}^\circ\text{C}$, kun se on perusteltu ääriviivoilla.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. Vaaka-akselilla $\theta\ ({}^\circ\text{C})$, pystyakselilla $V\ (\text{ml})$; pystyakselin voi aloittaa esimerkiksi $36\,\text{ml}$:sta, kun se kerrotaan. 1 p
Jokainen mittaus on merkitty erillisenä pisteenä oikealle paikalleen. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii, eikä pisteitä ole yhdistetty murtoviivaksi. Pisteisiin on sovitettu nouseva suora, joka kulkee pisteiden lomitse ja epävarmuusjanojen kautta; pisteitä ei ole yhdistetty murtoviivaksi. 2 p
Toteaa, että pisteet ovat mittausepävarmuuden rajoissa suoralla: tilavuus kasvaa yhtä paljon jokaista lämpötilan astetta kohti. 1 p

b)5 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Kulmakerroin kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä, esimerkiksi $(0\,{}^\circ\text{C}$; $37{,}7\,\text{ml})$ ja $(80\,{}^\circ\text{C}$; $48{,}5\,\text{ml})$: $k \approx 0{,}135\,\text{ml}/{}^\circ\text{C}$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\theta_0 = -\dfrac{V_0}{k} = -\dfrac{37{,}7\,\text{ml}}{0{,}135\,\text{ml}/{}^\circ\text{C}} \approx -279\,{}^\circ\text{C}$ 1 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Jyrkin ja loivin suora, jotka vielä kulkevat kaikkien epävarmuusjanojen kautta, antavat noin $-265\,{}^\circ\text{C}$ ja $-294\,{}^\circ\text{C}$, joten $\theta_0 \approx (-279 \pm 15)\,{}^\circ\text{C}$; epävarmuus on suuri, koska suoraa jatketaan lähes neljä kertaa mittausalueen pituuden verran. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Hyväksytty arvo on välin sisällä, joten tulos sopii yhteen sen kanssa; ero ei ole merkittävä. 1 p

c)5 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $V = \dfrac{nR}{p}\,T$, joten kulmakerroin on $k = \dfrac{\Delta V}{\Delta T} = \dfrac{nR}{p}$ ja $n = \dfrac{pk}{R}$; kelvinin ja celsiusasteen muutos ovat yhtä suuret. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $k = 0{,}135\,\text{ml/K} = 0{,}135 \cdot 10^{-6}\,\text{m}^3/\text{K}$ ja $p = 101\,300\,\text{Pa}$; kolme merkitsevää numeroa. 2 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $n \approx 1{,}65 \cdot 10^{-3}\,\text{mol} = 1{,}65\,\text{mmol}$ 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Yksi mittauspiste antaa lähes saman: $n = \dfrac{pV}{RT} = \dfrac{101\,300\,\text{Pa} \cdot 41{,}1 \cdot 10^{-6}\,\text{m}^3}{8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 298{,}15\,\text{K}} \approx 1{,}68\,\text{mmol}$. 1 p

d)5 p

Selittää, että letkun ilma ei lämpene, joten sen tilavuus pysyy vakiona ja jokaiseen kokonaistilavuuteen tulee sama lisä $1{,}5\,\text{ml}$: suora siirtyy ylöspäin, mutta sen kulmakerroin ei muutu. 2 p
Tärkeimmät virhelähteet on nimetty ja kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. Päättelee suunnan: nollakohta $\theta_0 = -\dfrac{V_0 + 1{,}5\,\text{ml}}{k}$ siirtyy kylmemmäksi, noin $11\,\text{K}$ ($1{,}5 : 37{,}5 \cdot 273\,\text{K}$). 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Virhe on systemaattinen, joten toistot eivät poista sitä; koko ilmamäärä on pidettävä hauteessa, tai letkun vakiotilavuus jätetään pois kokonaistilavuudesta, jolloin ruiskun ilma noudattaa yksinään lakia $V \propto T$. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 20 (15 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

2.3-4 Meriveden lämmöllä kulkeva laiva 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Esite ja keksintöjen luvut ovat keksittyjä esimerkkejä.

Keksijä hakee rahoitusta laivalle, jonka moottori ei tarvitse polttoainetta. Hänen esitteessään lukee:

Moottorimme ottaa lämpöä merivedestä, jonka lämpötila on $15\,{}^\circ\text{C}$, ja muuttaa sen kokonaan työksi, joka pyörittää potkuria. Laivan perässä virtaa hieman jäähtynyttä vettä. Energia säilyy, sillä meren sisäenergia muuttuu laivan liikkeeksi. Siksi moottori ei riko yhtään luonnonlakia.

Toinen keksijä ehdottaa talvikäyttöön konetta, joka toimii meriveden ($3\,{}^\circ\text{C}$) ja pakkasilman ($-20\,{}^\circ\text{C}$) välillä. Hänen mukaansa kone ottaa merivedestä lämpöä teholla $500\,\text{kW}$ ja tekee työtä teholla $30\,\text{kW}$.

  1. a) Arvioi ensimmäisen keksijän esitettä. Mikä esitteessä pitää paikkansa ja mikä ei? Perustele. 6 p
  2. b) Laske toisen keksijän koneen hyötysuhde ja pakkasilmaan luovutettu lämpöteho. Arvioi, miksi hyötysuhde on näin pieni. 4 p
  3. c) Laivan hyttejä lämmitetään lämpöpumpulla, joka ottaa lämpöä samasta $3\,{}^\circ\text{C}$:n merivedestä. Pumppu käyttää sähkötehoa $10\,\text{kW}$ ja luovuttaa hytteihin lämpötehoa $35\,\text{kW}$. Selitä, miksi tämä on mahdollista, vaikka ensimmäisen keksijän moottori ei ole. 5 p

Taidot luvuista: Kaasun tekemä työ ja lämpövoimakone, Sisäenergia, lämpömäärä ja energian säilyminen, Energiantuotanto ja voimalaitosten hyötysuhde

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

mikä esitteessä pitää paikkansa ja mikä ei

Periaate

Energian säilymislaki sallii vain muutokset, joissa energia ei synny eikä katoa (luku Sisäenergia, lämpömäärä ja energian säilyminen). Lämpövoimakoneelle on lisäksi raja: se voi muuttaa lämpöä työksi vain, jos se luovuttaa osan lämmöstä kylmempään ympäristöön (luku Kaasun tekemä työ ja lämpövoimakone).

Mallivastaus

Esitteen energiaa koskeva osa pitää: meren sisäenergia voisi energian puolesta muuttua laivan liikkeeksi, ja jos meri jäähtyy saman verran kuin työtä tehdään, energia säilyy. Moottori ei silti voi toimia. Lämpövoimakone tekee työtä vain, kun lämpöä siirtyy kuumasta kylmempään ja osa siitä luovutetaan kylmempään ympäristöön. Esitteen moottorilla on vain yksi lämpötila, $15\,{}^\circ\text{C}$:n meri, eikä mitään kylmempää, jonne lämpö voisi mennä. Kaikkea lämpöä ei voi muuttaa työksi, olipa kone kuinka kitkaton tahansa. Esitteen väite, ettei moottori riko yhtään luonnonlakia, on siis väärä, eikä hanketta kannata rahoittaa.

b)

Annettu

merivedestä otettu lämpöteho $P_1 = 500\,\text{kW}$, työteho $P_W = 30\,\text{kW}$; meri $3\,{}^\circ\text{C}$, pakkasilma $-20\,{}^\circ\text{C}$

Kysytty

hyötysuhde $\eta$, pakkasilmaan luovutettu lämpöteho $P_2$ ja miksi hyötysuhde on pieni

Periaate

Kone on lämpövoimakone, jonka kuuma lähde on meri ja kylmä ympäristö pakkasilma. Energia säilyy, joten meren lämpö jakautuu työksi ja kylmään luovutetuksi lämmöksi. Hyötysuhde on työn osuus otetusta lämmöstä, ja sen voi laskea tehoista (luku Kaasun tekemä työ ja lämpövoimakone).

Kaava

$\eta = \dfrac{P_W}{P_1}$ ja $P_1 = P_W + P_2$, joten $P_2 = P_1 - P_W$

Muunnokset

Ei tarvita laskussa. Vertailua varten kelvineinä meri on $3 + 273 = 276\,\text{K}$ ja ilma $253\,\text{K}$.

Sijoitus

$\eta$$= \dfrac{30\,\text{kW}}{500\,\text{kW}}$
$= 0{,}060$
$= 6{,}0\,\%$
$P_2$$= 500\,\text{kW} - 30\,\text{kW}$
$= 470\,\text{kW}$

Vastaus

$\eta \approx 6{,}0\,\%$

Ja $P_2 \approx 470\,\text{kW}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten työteho $30\,\text{kW}$. Hyötysuhde on pieni, koska lämpötilaero $23\,\text{K}$ on pieni verrattuna kuuman lähteen lämpötilaan $276\,\text{K}$: mitä pienempi tämä suhde on, sitä pienempi osa lämmöstä voi muuttua työksi.

Järkevyys

Energia säilyy: $30\,\text{kW} + 470\,\text{kW} = 500\,\text{kW}$. Kone ei riko lakeja, koska se luovuttaa lähes kaiken lämmön kylmempään. Hyötysuhde on paljon pienempi kuin voimalaitoksen noin $40\,\%$, jossa höyry on satoja asteita kuumempaa kuin lauhdutin.

c)

Kysytty

miksi lämpöpumppu voi lämmittää hyttejä merivedellä, vaikka esitteen moottori ei voi toimia

Periaate

Lämpöpumppu toimii päinvastoin kuin lämpövoimakone: se käyttää sähköenergiaa ja siirtää sen avulla lämpöä kylmästä lämpimään. Sisälle luovutettu lämpö on ulkoa otetun lämmön ja sähköenergian summa (luku Kaasun tekemä työ ja lämpövoimakone).

Mallivastaus

Lämpöpumppu ei muuta lämpöä työksi. Se siirtää lämpöä kylmästä $3\,{}^\circ\text{C}$:n merivedestä lämpimiin hytteihin, ja siihen tarvitaan työtä, tässä sähkötehoa $10\,\text{kW}$. Energia säilyy: hytteihin tulee merivedestä otettu $35\,\text{kW} - 10\,\text{kW} = 25\,\text{kW}$ ja sähkön $10\,\text{kW}$, yhteensä $35\,\text{kW}$. Suhde $35 : 10 = 3{,}5$ on lämpökerroin eikä hyötysuhde: se voi olla yli $1$, koska suurin osa lämmöstä siirretään merestä eikä tehdä sähköstä. Mitään ei synny tyhjästä. Ero esitteen moottoriin on suunnassa ja hinnassa: lämpöpumppu tarvitsee ulkopuolista työtä siirtääkseen lämpöä kylmästä lämpimään, kun taas esitteen moottori lupaa työtä merestä ilman kylmempää ympäristöä.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa todetaan vain, että ”energiaa ei synny tyhjästä”, vaikka esite ei väitäkään niin: virhe on toisessa rajassa, kylmemmän ympäristön puuttumisessa.
  • b-kohdassa hyötysuhde lasketaan jakamalla työ kylmään luovutetulla lämmöllä, $30 : 470$, eikä otetulla lämmöllä.
  • c-kohdassa lämpökerrointa $3{,}5$ kutsutaan hyötysuhteeksi $350\,\%$ ja päätellään, että pumppu tuottaa energiaa.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)6 p

Toteaa, että energian säilyminen ei estä ideaa: meren sisäenergia voisi energian puolesta muuttua työksi, ja esite kuvaa sen oikein. 2 p
Perustelee, että lämpövoimakone voi tehdä työtä vain, jos se luovuttaa osan lämmöstä kylmempään ympäristöön; kaikkea lämpöä ei voi muuttaa työksi, eikä kone, jolla on vain yksi lämpötila, tee työtä. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Johtopäätös: esitteen väite ”ei riko yhtään luonnonlakia” on väärä, kone ei voi toimia kuvatulla tavalla, eikä hanketta kannata rahoittaa. 2 p

b)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $\eta = \dfrac{P_W}{P_1}$ ja $P_2 = P_1 - P_W$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\eta = 30\,\text{kW} : 500\,\text{kW} = 0{,}060 = 6{,}0\,\%$ ja $P_2 = 470\,\text{kW}$ 1 p
Selittää, että kuuman lähteen ja kylmän ympäristön lämpötilaero $23\,\text{K}$ on pieni verrattuna kuuman lähteen lämpötilaan $276\,\text{K}$, joten vain pieni osa lämmöstä voi muuttua työksi. 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Energia säilyy: $30\,\text{kW} + 470\,\text{kW} = 500\,\text{kW}$; kone luovuttaa kylmään lähes kaiken ottamansa lämmön. 1 p

c)5 p

Selittää, että lämpöpumppu ei muuta lämpöä työksi vaan siirtää sähkön avulla lämpöä kylmästä merivedestä lämpimiin hytteihin: merestä tulee $25\,\text{kW}$ ja sähköstä $10\,\text{kW}$. 2 p
Toteaa, että suhde $35 : 10 = 3{,}5$ on lämpökerroin eikä hyötysuhde, ja energia säilyy, joten mitään ei synny tyhjästä. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Ero: lämpöpumppu tarvitsee ulkopuolista työtä siirtääkseen lämpöä kylmästä lämpimään, kun taas esitteen moottori lupaa työtä ilman kylmempää ympäristöä. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (10 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

2.3-5 Ilman moolimassa punnitsemalla 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Raportti ja sen mittaustulokset ovat keksittyjä esimerkkejä.

Opiskelijaryhmä halusi määrittää ilman moolimassan punnitsemalla. Ote ryhmän raportista:

Punnitsimme $1{,}5$ litran limsapullon, jonka korkkiin oli asennettu polkupyörän venttiili. Pullossa oli huoneilmaa ilmanpaineessa, ja massa oli $52{,}36\,\text{g}$. Pumppasimme pulloon ilmaa pyöränpumpulla, kunnes pumpun mittari näytti $210\,\text{kPa}$. Irrotimme pumpun ja punnitsimme pullon heti: $55{,}64\,\text{g}$. Huoneen lämpötila oli $21\,{}^\circ\text{C}$. Laskimme lisätyn ilman ainemäärän ideaalikaasun tilanyhtälöstä ja saimme moolimassaksi $25\,\text{g/mol}$. Taulukon arvo $29{,}0\,\text{g/mol}$ on siis liian suuri.

Vaa'an lukematarkkuus on $0{,}01\,\text{g}$.

  1. a) Näytä, miten ryhmä sai moolimassaksi $25\,\text{g/mol}$. 4 p
  2. b) Arvioi, onko ryhmän johtopäätös perusteltu. Nimeä mittauksen tärkeimmät virhelähteet ja kerro, mihin suuntaan kukin muuttaa tulosta. 6 p
  3. c) Suunnittele parannettu koe, jolla ilman moolimassa saadaan luotettavammin. 5 p

Taidot luvuista: Ideaalikaasun tilanyhtälö $pV = nRT$, Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus, Graafinen esitys ja suoran sovittaminen

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

raportista massa ennen $m_1 = 52{,}36\,\text{g}$ ja jälkeen $m_2 = 55{,}64\,\text{g}$, pumpun mittarin ylipaine $\Delta p = 210\,\text{kPa}$, pullon tilavuus $V = 1{,}5\,\textsf{l}$, lämpötila $\theta = 21\,{}^\circ\text{C}$; $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$

Kysytty

ryhmän laskema moolimassa $M$

Periaate

Pullon tilavuus ja lämpötila ovat ryhmän oletuksessa ennen ja jälkeen pumppauksen samat. Tilanyhtälön mukaan ainemäärä on silloin verrannollinen paineeseen, joten lisätyn ilman ainemäärä saadaan paineen kasvusta, joka on mittarin näyttämä ylipaine (luku Ideaalikaasun tilanyhtälö $pV = nRT$). Moolimassa on lisätyn ilman massa jaettuna sen ainemäärällä.

Kaava

$\Delta n$$= n_2 - n_1$
$= \dfrac{(p_0 + \Delta p)V}{RT} - \dfrac{p_0V}{RT}$
$= \dfrac{\Delta p\,V}{RT}$

$M = \dfrac{m_2 - m_1}{\Delta n}$

Muunnokset

$\Delta p$$= 210 \cdot 1000\,\text{Pa}$
$= 210\,000\,\text{Pa}$
$V$$= 1{,}5 \cdot 0{,}001\,\text{m}^3$
$= 0{,}0015\,\text{m}^3$
$T$$= (21 + 273{,}15)\,\text{K}$
$= 294{,}15\,\text{K}$

Sijoitus

$\Delta n$$= \dfrac{210\,000\,\text{Pa} \cdot 0{,}0015\,\text{m}^3}{8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 294{,}15\,\text{K}}$
$= 0{,}1289\,\text{mol}$
$M$$= \dfrac{55{,}64\,\text{g} - 52{,}36\,\text{g}}{0{,}1289\,\text{mol}}$
$= \dfrac{3{,}28\,\text{g}}{0{,}1289\,\text{mol}}$
$= 25{,}4\,\text{g/mol}$

Vastaus

$M \approx 25\,\text{g/mol}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten tilavuus $1{,}5\,\textsf{l}$. Ryhmän luku on laskettu oikein.

Järkevyys

Jos moolimassa olisi taulukon $29{,}0\,\text{g/mol}$, pulloon olisi pitänyt tulla

$29{,}0\,\tfrac{\text{g}}{\text{mol}} \cdot 0{,}1289\,\text{mol}$
$\approx 3{,}74\,\text{g}$

ilmaa. Punnittu $3{,}28\,\text{g}$ on noin $12\,\%$ pienempi.

b)

Kysytty

onko johtopäätös perusteltu, tärkeimmät virhelähteet ja niiden vaikutuksen suunta

Periaate

Johtopäätös on perusteltu vain, jos ero taulukkoarvoon on suurempi kuin tuloksen epävarmuus (luku Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus). Virhelähteen vaikutus arvioidaan laskemalla tulos uudelleen muutetulla arvolla. Moolimassa on $\Delta m : \Delta n$, joten liian suuri $\Delta n$ tai liian pieni $\Delta m$ pienentää tulosta.

Mallivastaus

Johtopäätös ei ole perusteltu. Tulos on yhden mittauksen varassa, ja tärkeimmät virhelähteet vievät sitä samaan suuntaan, alaspäin.
- Lämmin ilma. Pumpattu ilma lämpenee puristuessaan, ja mittari luettiin heti. Lämpimän ilman paine on suurempi kuin samalla ilmamäärällä huoneenlämmössä, joten $\Delta n$ laskettiin liian suureksi ja tulos liian pieneksi. Jos ilma oli $30\,{}^\circ\text{C}$:ista, tulos olisi noin $27\,\text{g/mol}$.
- Pumpun mittari. Se mittaa letkun painetta pumppauksen aikana ja on tehty karkeaan käyttöön. Jos pullon todellinen ylipaine oli $10\,\text{kPa}$ pienempi, tulos olisi $27\,\text{g/mol}$; virhe voi olla kumpaan suuntaan tahansa.
- Karkaava ilma. Pumppua irrotettaessa ja venttiilin kautta karkaa ilmaa ennen punnitusta, joten $\Delta m$ on liian pieni ja tulos liian pieni.
- Pullon tilavuus. Merkintä $1{,}5\,\textsf{l}$ on juoman tilavuus. Pullo on hieman suurempi ja pullistuu paineessa, joten todellinen $\Delta n$ on laskettua suurempi. Tämä suurentaa laskettua tulosta, eli se ei selitä liian pientä arvoa.

Vaa'an tarkkuus $0{,}01\,\text{g}$ on alle $1\,\%$ massan kasvusta $3{,}28\,\text{g}$, joten se ei ole merkittävä. Lämpötilan ja mittarin virheet ovat kumpikin noin $5$–$7\,\%$, joten epävarmuus on samaa suuruusluokkaa kuin ero taulukkoarvoon. Mittaus ei osoita taulukkoarvoa vääräksi.

c)

Kysytty

koesuunnitelma, jolla ilman moolimassa saadaan luotettavammin

Periaate

Suureet mitataan mahdollisimman suoraan ja silloin, kun oletukset pätevät (sama lämpötila ennen ja jälkeen). Mittaus toistetaan usealla arvolla, ja tulos määritetään kuvaajan kulmakertoimesta, jolloin yksittäisen mittauksen virhe painaa vähemmän (luku Graafinen esitys ja suoran sovittaminen).

Mallivastaus

  • Tilavuus. Pullon tilavuus mitataan täyttämällä se vedellä ja punnitsemalla vesi ($1\,\text{g} \approx 1\,\text{ml}$).
  • Paine ja lämpötila. Pulloon liitetään tarkka painemittari, ja ylipaine luetaan vasta, kun pullo on seissyt muutaman minuutin ja ilma on jäähtynyt huoneenlämpöön. Huoneen lämpötila mitataan lämpömittarilla.
  • Massa. Pullo punnitaan heti painelukeman jälkeen niin, ettei venttiiliin kosketa välissä.
  • Toistot ja kuvaaja. Mittaus tehdään usealla ylipaineella, esimerkiksi $50$, $100$, $150$, $200$ ja $250\,\text{kPa}$, samalla pullolla ja venttiilillä. Tulokset esitetään kuvaajana $(\Delta p, \Delta m)$. Tilanyhtälön mukaan $\Delta m = \dfrac{MV}{RT}\,\Delta p$, joten pisteisiin sovitetaan origon kautta kulkeva suora, ja moolimassa saadaan kulmakertoimesta: $M = \dfrac{kRT}{V}$.

Jos pisteet ovat suoralla mutta suora ei kulje origon kautta, se paljastaa systemaattisen virheen, esimerkiksi irrotuksessa joka kerta karkaavan ilman.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa ainemäärä lasketaan kokonaispaineella $311\,\text{kPa}$ eikä paineen kasvulla, jolloin tulos on kolmasosa.
  • b-kohdassa todetaan vain ”mittausvirheitä oli” nimeämättä virhelähdettä tai sen vaikutuksen suuntaa.
  • b-kohdassa pullon pullistuminen nimetään syyksi liian pieneen tulokseen, vaikka se vaikuttaa päinvastoin.
  • c-kohdassa ehdotetaan vain ”tarkempia mittareita” kertomatta, mitä mitataan ja miten.

Hyväksytään myös

  • b-kohdassa voi mainita myös, että pullistuva pullo syrjäyttää enemmän ilmaa, jolloin noste kasvaa ja vaaka näyttää noin $0{,}06\,\text{g}$ liian vähän (pienentää tulosta vähän), kun perustelu on oikein.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $\Delta n = \dfrac{\Delta p\,V}{RT}$, koska tilavuus ja lämpötila ovat ennen ja jälkeen samat, ja $M = \dfrac{\Delta m}{\Delta n}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\Delta p = 210\,000\,\text{Pa}$, $V = 0{,}0015\,\text{m}^3$, $T = 294{,}15\,\text{K}$; vastaus kahdella merkitsevällä numerolla. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\Delta m = 3{,}28\,\text{g}$, $\Delta n \approx 0{,}129\,\text{mol}$, joten $M \approx 25\,\text{g/mol}$. 2 p

b)6 p

Tärkeimmät virhelähteet on nimetty ja kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. Esimerkiksi: pumpattu ilma on aluksi lämmintä, joten mittarin lukema on suurempi kuin huoneenlämmössä ja $\Delta n$ lasketaan liian suureksi (pienentää tulosta); pumpun mittari mittaa letkun painetta ja on epätarkka (kumpaan suuntaan tahansa); ilmaa karkaa, kun pumppu irrotetaan (pienentää $\Delta m$:ää ja tulosta); pullon todellinen tilavuus on yli $1{,}5\,\textsf{l}$ ja kasvaa paineessa (suurentaa tulosta). 3 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Arvioi vaikutusten suuruuden: esimerkiksi $10\,\text{kPa}$ pienempi ylipaine antaisi $27\,\text{g/mol}$ ja $30\,{}^\circ\text{C}$:n ilma noin $27\,\text{g/mol}$, kun vaa'an $0{,}01\,\text{g}$ vaikuttaa alle $1\,\%$. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Yksi mittaus, jonka virheet vievät tulosta samaan suuntaan, ei osoita taulukkoarvoa vääräksi. 1 p

c)5 p

Mittaa tarvittavat suureet luotettavasti: pullon tilavuus täyttämällä se vedellä ja punnitsemalla, ylipaine tarkalla mittarilla suoraan pullosta ja lukema vasta, kun ilma on jäähtynyt huoneenlämpöön. 2 p
Toistaa mittauksen usealla eri ylipaineella ja pitää muut tekijät samoina, esimerkiksi sama pullo ja venttiili, irrotus aina samalla tavalla. 2 p
Esittää tulokset kuvaajana $(\Delta p, \Delta m)$ ja määrittää moolimassan suoran kulmakertoimesta $\dfrac{MV}{RT}$. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (9 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

2.3-6 Alipainenostin ja lasilevy 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Nostin ja sen luvut ovat keksitty esimerkki; kitkakertoimet ovat suuntaa antavia arvoja.

Lasiliikkeen asentaja nostaa ikkunalasia alipainenostimella, joka roikkuu nosturin vaijerissa. Nostimen pyöreä kumilaikka asetetaan lasia vasten, ja pumppu imee laikan alta ilmaa niin, että paine laikan alla on $60\,\text{kPa}$ pienempi kuin ulkoilman paine. Laikan sisähalkaisija on $300\,\text{mm}$.

Lasilevyn pituus on $2{,}40\,\text{m}$, leveys $1{,}20\,\text{m}$ ja paksuus $10\,\text{mm}$, ja lasin tiheys on $2500\,\text{kg/m}^3$. Kumin ja kuivan lasin välinen lepokitkakerroin on $0{,}60$, märän lasin $0{,}30$. Nosturi kiihdyttää nostoa enimmillään kiihtyvyydellä $1{,}2\,\text{m/s}^2$. Valmistajan ohjeen mukaan nostimen pitävän voiman on oltava vähintään kaksinkertainen siihen nähden, mitä nosto vaatii.

  1. a) Levy nostetaan lavalta vaakasuorassa asennossa, ja laikka on levyn yläpinnan keskellä. Piirrä levyn voimakuvio noston alussa, kun nosturi kiihdyttää. Kuinka suuri alipaine laikan alla vähintään tarvitaan, jotta levy pysyy kiinni? 5 p
  2. b) Asennusta varten levy käännetään pystyyn, ja laikka on levyn pystysuoralla pinnalla. Piirrä levyn voimakuvio, ja laske, kuinka suuri alipaine nyt vähintään tarvitaan, kun nosto kiihtyy samalla tavalla. 5 p
  3. c) Arvioi valmistajan ohjeen avulla, voiko asentaja nostaa levyn pystyasennossa myös sateella, kun lasi on märkä. 5 p

Taidot luvuista: Paine ja hydrostaattinen paine, Voimakuvio ja voimien yhteisvaikutus, Paino, kitka ja kalteva taso, Newtonin toinen laki

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

lasilevyn mitat $2{,}40\,\text{m}$, $1{,}20\,\text{m}$ ja $10\,\text{mm}$, tiheys $\rho = 2500\,\text{kg/m}^3$, laikan sisähalkaisija $d = 300\,\text{mm}$, kiihtyvyys ylös $a = 1{,}2\,\text{m/s}^2$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

levyn voimakuvio ja pienin alipaine $\Delta p$ laikan alla kilopascaleina

Periaate

Ulkoilma painaa levyä joka puolelta, mutta laikan alla paine on $\Delta p$ pienempi. Siksi ulkoilman voima levyn alapintaan on laikan kohdalla $\Delta p\,A$ suurempi kuin ilman voima yläpintaan, ja nettovoima $F_\text{p} = \Delta p\,A$ osoittaa kohtisuoraan pintaa vastaan eli ylös (luku Paine ja hydrostaattinen paine). Lisäksi levyyn vaikuttavat paino ja laikan reunan tukivoima, joka painaa levyä alas. Pienimmällä alipaineella reunan tukivoima on nolla: levy on irtoamisen rajalla. Levy kiihtyy ylös, joten Newtonin toisen lain mukaan voimien summa on $ma$ ylöspäin (luku Newtonin toinen laki).

$\text{laikka}$
$\overline{G}$
$\overline{F}_\text{p}$
$\overline{a}$

Kaava

$F_\text{p} - mg = ma$ ja $F_\text{p} = \Delta p\,A$, missä $m = \rho\,l\,b\,h$ ja $A = \pi \left(\dfrac{d}{2}\right)^2$, joten

$\Delta p$$= \dfrac{m(g + a)}{\pi (d/2)^2}$

Muunnokset

$10\,\text{mm}$$= 10 \cdot 0{,}001\,\text{m}$
$= 0{,}010\,\text{m}$
$d/2$$= 300\,\text{mm} : 2$
$= 150\,\text{mm}$
$= 0{,}150\,\text{m}$

Sijoitus

$m$$= 2500\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 2{,}40\,\text{m} \cdot 1{,}20\,\text{m} \cdot 0{,}010\,\text{m}$
$= 72{,}0\,\text{kg}$
$A$$= \pi \cdot (0{,}150\,\text{m})^2$
$= 0{,}070\,69\,\text{m}^2$
$\Delta p$$= \dfrac{72{,}0\,\text{kg} \cdot (9{,}81 + 1{,}2)\,\text{m/s}^2}{0{,}070\,69\,\text{m}^2}$
$= \dfrac{792{,}7\,\text{N}}{0{,}070\,69\,\text{m}^2}$
$= 11\,210\,\text{Pa}$

Vastaus

$\Delta p \approx 11{,}2\,\text{kPa}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten levyn mitat; kiihtyvyys $1{,}2\,\text{m/s}^2$ on annettu kahdella numerolla, mutta se on vain pieni osa summasta $g + a$.

Järkevyys

Ilman kiihtyvyyttä tarvittaisiin $706\,\text{N} : 0{,}0707\,\text{m}^2 \approx 10\,\text{kPa}$, joten kiihtyvyys lisää tarvetta noin $12\,\%$, kuten suhde $1{,}2 : 9{,}81$ kertoo. Nostimen $60\,\text{kPa}$ on yli viisinkertainen.

b)

Annettu

$m = 72{,}0\,\text{kg}$, $A = 0{,}070\,69\,\text{m}^2$, $a = 1{,}2\,\text{m/s}^2$ ylös, kuivan lasin lepokitkakerroin $\mu_0 = 0{,}60$

Kysytty

pystysuoran levyn voimakuvio ja pienin alipaine $\Delta p$

Periaate

Paine-eron voima on kohtisuorassa lasin pintaa vastaan, ja nyt pinta on pystysuora, joten voima $F_\text{p} = \Delta p\,A$ on vaakasuora ja painaa levyä laikkaa vasten. Laikan reuna työntää levyä takaisin tukivoimalla $N$. Vaakasuunnassa levy ei kiihdy, joten $N = F_\text{p}$. Painoa ja kiihdyttävää voimaa vastaan levyä kannattaa vain laikan reunan lepokitka, joka on enintään $\mu_0 N$ (luku Paino, kitka ja kalteva taso). Pienimmällä alipaineella lepokitka on suurimmillaan.

$\text{laikka}$
$\overline{G}$
$\overline{F}_\text{p}$
$\overline{N}$
$\overline{F}_{\mu 0}$
$\overline{a}$

Kaava

vaakasuunnassa $N - F_\text{p} = 0$ ja pystysuunnassa $F_{\mu 0} - mg = ma$, missä

$F_{\mu 0}$$\le \mu_0 N$
$= \mu_0\,\Delta p\,A$

joten $\Delta p = \dfrac{m(g + a)}{\mu_0 A}$

Muunnokset

Ei tarvita: a-kohdan suureet ovat perusyksiköissä.

Sijoitus

$\Delta p$$= \dfrac{72{,}0\,\text{kg} \cdot (9{,}81 + 1{,}2)\,\text{m/s}^2}{0{,}60 \cdot 0{,}070\,69\,\text{m}^2}$
$= \dfrac{792{,}7\,\text{N}}{0{,}042\,41\,\text{m}^2}$
$= 18\,690\,\text{Pa}$

Vastaus

$\Delta p \approx 18{,}7\,\text{kPa}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten a-kohdassa; kitkakerroin on suuntaa antava kahden numeron arvo, joten noin $19\,\text{kPa}$ on yhtä hyvä vastaus.

Järkevyys

Tulos on a-kohdan tulos jaettuna kitkakertoimella: $11{,}2\,\text{kPa} : 0{,}60 \approx 18{,}7\,\text{kPa}$. Pystyasento vaatii enemmän, koska kitka on pienempi kuin sen aiheuttava tukivoima.

c)

Kysytty

täyttääkö pystynosto märällä lasilla valmistajan ohjeen

Periaate

Varmuuskerroin on nostimen alipaineen ja noston vaatiman alipaineen suhde, ja ohjeen mukaan sen on oltava vähintään $2$. Märkänä lepokitkakerroin on $0{,}30$, joten b-kohdan tulos kaksinkertaistuu (luku Paino, kitka ja kalteva taso).

Mallivastaus

Märällä lasilla tarvitaan $\Delta p = \dfrac{792{,}7\,\text{N}}{0{,}30 \cdot 0{,}070\,69\,\text{m}^2} \approx 37\,\text{kPa}$. Nostimen $60\,\text{kPa}$ riittää siis juuri ja juuri pitämään levyn, mutta varmuuskerroin on vain $60 : 37 \approx 1{,}6$, alle ohjeen vaatiman kahden. Kuivana pystynosto täyttää ohjeen, $60 : 18{,}7 \approx 3{,}2$, ja vaakanosto selvästi, $60 : 11{,}2 \approx 5{,}4$. Pystyasento on vaativampi, koska paineen voima on kohtisuorassa lasin pintaa vastaan eli vaakasuora. Se ei kannata painoa lainkaan, vaan painon kantaa kitka, joka on enintään $\mu_0$ kertaa tukivoima. Asentaja ei saa nostaa märkää levyä pystyssä tällä nostimella: lasi on kuivattava, tai käytetään kahta laikkaa, jolloin ala kaksinkertaistuu.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa pinta-ala lasketaan halkaisijasta säteen sijasta, tai levyn paksuus jätetään millimetreiksi.
  • a-kohdassa unohdetaan kiihtyvyys ja lasketaan pelkkä paino.
  • b-kohdassa paine-eron voima piirretään ylöspäin kannattamaan levyä, vaikka paineen voima on aina kohtisuorassa pintaa vastaan.
  • b-kohdassa kitka lasketaan painosta, $\mu_0 mg$, eikä tukivoimasta $N = \Delta p\,A$.
  • c-kohdassa vastataan, että nosto onnistuu, koska $60\,\text{kPa}$ on enemmän kuin $37\,\text{kPa}$, ja unohdetaan varmuuskerroin.

Hyväksytään myös

  • a- ja b-kohdassa voimakuvioon voi piirtää myös laikan reunan tukivoiman, kun vastaus kertoo, että se on pienimmällä alipaineella nolla (a) tai yhtä suuri kuin paine-eron voima (b).

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat ovat mukana, eikä kuviossa ole keksittyjä voimia. Paino alas ja paine-eron voima $F_\text{p} = \Delta p\,A$ ylös; pienimmällä alipaineella laikan reunan tukivoima on nolla. 1 p
Liikeyhtälöt on muodostettu voimakuviosta: akselit ja positiivinen suunta on valittu, ja etumerkit ovat oikein. $F_\text{p} - mg = ma$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $m = 72{,}0\,\text{kg}$, $A = \pi \cdot (0{,}150\,\text{m})^2 \approx 0{,}0707\,\text{m}^2$ ja $\Delta p = \dfrac{m(g + a)}{A} \approx 11{,}2\,\text{kPa}$. 2 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. Millimetrit metreiksi ja halkaisijasta säde; kolme merkitsevää numeroa. 1 p

b)5 p

Kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat ovat mukana, eikä kuviossa ole keksittyjä voimia. Paino, paine-eron voima, laikan reunan tukivoima ja lepokitka; ei muita voimia. 1 p
Jokainen voima osoittaa fysikaalisesti oikeaan suuntaan. Paine-eron voima vaakasuoraan kohti laikkaa ja tukivoima vaakasuoraan poispäin laikasta, molemmat kohtisuorassa lasin pintaa vastaan; lepokitka ylös pintaa pitkin. 1 p
Liikeyhtälöt on muodostettu voimakuviosta: akselit ja positiivinen suunta on valittu, ja etumerkit ovat oikein. $N = F_\text{p} = \Delta p\,A$ ja $F_{\mu 0} - mg = ma$, missä $F_{\mu 0} \le \mu_0 N$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\Delta p = \dfrac{m(g + a)}{\mu_0 A} \approx 18{,}7\,\text{kPa}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. Kolme merkitsevää numeroa ja yksikkö $\text{kPa}$. 1 p

c)5 p

Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Märällä lasilla tarvitaan $\dfrac{m(g + a)}{0{,}30 \cdot A} \approx 37\,\text{kPa}$, joten varmuuskerroin on $60 : 37 \approx 1{,}6$. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Ei voi: kuivana pystynosto täyttää ohjeen ($60 : 18{,}7 \approx 3{,}2$) ja vaakanosto selvästi ($5{,}4$), mutta märkänä varmuuskerroin jää alle kahden. 2 p
Perustelee, miksi pystyasento on vaativampi: paineen voima on kohtisuorassa lasin pintaa vastaan eli vaakasuora, joten painon kantaa vain kitka, joka on enintään $\mu_0$ kertaa tukivoima. 2 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (12 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.