RuukkilabraLukion fysiikka
FY9 · Luku 2.2

Lämpö ja olomuodon muutokset

Miksi lumen sulattaminen juomavedeksi nuotiolla kestää niin kauan, vaikka lumi on vain vähän pakkasen puolella? Kumpi vie enemmän energiaa: sulattaminen vai sulamisveden kuumentaminen kiehuvaksi?

Pohjatiedot

Pohdinta

Retkeilijät ovat laavulla Lapissa, eikä lähellä ole sulaa vettä. He täyttävät nokipannun lumella ja ripustavat sen nuotion yläpuolelle. Lumen lämpötila on $-10\,{}^\circ\text{C}$. Ensin pannussa on pelkkää lunta, sitten sohjoa, sitten vettä, joka lopulta kiehuu. Kokeessa tällainen tilanne voi olla tehtävän alku: tilanne kerrotaan, mutta kaavoja ei.

Kumpi vaihe vie enemmän nuotion energiaa: kilogramman lumen muuttaminen vedeksi vai saman veden kuumentaminen $0\,{}^\circ\text{C}$:sta kiehuvaksi? Miksi?

Ennusta

Tee ennusteet ennen tutkimista 6 kysymystä

Lähtötaso 1: lämpötilan muutos

Huoneen ilman lämpötila nousee aamulla $18\,{}^\circ\text{C}$:sta $23\,{}^\circ\text{C}$:seen. Kuinka monta kelviniä lämpötila nousee?

Lähtötaso 2: tee ja järvi

Kupissa on $0{,}2\,\text{kg}$ teetä, jonka lämpötila on $80\,{}^\circ\text{C}$. Talvisen järven vesi on pohjan lähellä $4\,{}^\circ\text{C}$:ista. Mikä väite on oikein?

Lähtötaso 3: hiekka ja vesi

Aurinko antaa yhtä suuren lämpömäärän kilogrammalle hiekkaa ($c = 800\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$) ja kilogrammalle vettä ($c = 4190\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$). Mitä lämpötiloille tapahtuu?

Lähtötaso 4: liesi täysillä

Kattilassa kiehuu vettä normaalipaineessa. Lieden teho kaksinkertaistetaan. Mitä tapahtuu?

Lähtötaso 5: jää ja vesi

Eristettyyn astiaan laitetaan $0{,}10\,\text{kg}$ jäätä, jonka lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$, ja $0{,}10\,\text{kg}$ vettä, jonka lämpötila on $20\,{}^\circ\text{C}$. Mikä on lopputila?

Lähtötaso 6: reikä levyssä

Teräslevyssä on pyöreä reikä. Levyä lämmitetään tasaisesti $200\,{}^\circ\text{C}$:een. Mitä reiälle tapahtuu?

Tutki

Jääpalan lämpenemiskäyrä

Keksitty esimerkkiaineisto

Pakastimesta otettua $0{,}60\,\text{kg}$:n jääpalaa lämmitetään eristetyssä astiassa, ja sen lämpötila mitataan siirretyn energian funktiona. Kuvaajassa on kolme osaa. Mieti ensin, mitä kussakin osassa tapahtuu ja mikä laki pätee siinä. Lue sitten kuvaajasta tarvittavat arvot. Mallivastauksessa on myös sulamislämpö ja veden ominaislämpökapasiteetti samasta kuvaajasta.

$40$
$80$
$120$
$160$
$200$
$240$
$280$
$320$
$-10$
$0$
$10$
$20$
$30$
$40$
$Q\ (\text{kJ})$
$T\ ({}^\circ\text{C})$

Kuinka suuri on jään ominaislämpökapasiteetti kuvaajan mukaan? Vastaa yksikössä $\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$.

J/(kg·K)
Vihje 1: ohjaava kysymys

Missä kuvaajan osassa aine on vielä jäätä, ja kuinka paljon energiaa siihen kuluu?

Vihje 2: mikä yhteys

Ensimmäisessä osassa olomuoto ei muutu, joten $Q = cm\Delta T$ ja $c = \dfrac{Q}{m\,\Delta T}$.

Vihje 3: välivaihe

Jää lämpenee $-16\,{}^\circ\text{C}$:sta $0\,{}^\circ\text{C}$:seen, kun energiaa siirtyy $20\,\text{kJ}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

jään massa $m = 0{,}60\,\text{kg}$; kuvaajasta jää lämpenee $-16\,{}^\circ\text{C}$:sta $0\,{}^\circ\text{C}$:seen, kun energiaa siirtyy $0$–$20\,\text{kJ}$

Kysytty

jään ominaislämpökapasiteetti $c_\text{j}$ yksikössä $\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$

Periaate

Ensimmäisessä osassa aine on koko ajan jäätä, joten olomuoto ei muutu ja $Q = cm\Delta T$ pätee. Vaakasuoralla osalla jää sulaa vakiolämpötilassa ($Q = sm$) ja viimeisellä osalla sulamisvesi lämpenee. Astia on eristetty, joten kaikki siirretty energia menee jäähän.

Kuvaajan lukeminen

Nousevan osan loppupiste $(20\,\text{kJ}$; $0\,{}^\circ\text{C})$ on ruudukon risteyksessä, mutta alkupiste $(0\,\text{kJ}$; $-16\,{}^\circ\text{C})$ luetaan ruutuviivojen välistä, joten sen lukematarkkuus on noin $\pm 1\,{}^\circ\text{C}$.

Kaava

$Q = c_\text{j} m \Delta T$, joten $c_\text{j} = \dfrac{Q}{m\,\Delta T}$

Muunnokset

$20\,\text{kJ}$$= 20 \cdot 1000\,\text{J}$
$= 20\,000\,\text{J}$

Lämpötilan muutos on sama kelvineinä ja celsiusasteina:

$\Delta T$$= 0\,{}^\circ\text{C} - (-16\,{}^\circ\text{C})$
$= 16\,\text{K}$

Sijoitus

$c_\text{j}$$= \dfrac{20\,000\,\text{J}}{0{,}60\,\text{kg} \cdot 16\,\text{K}}$
$= 2083\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$

Vastaus

$2{,}1\,\text{kJ/(kg}\cdot\text{K)}$

Eli noin $2100\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten massa $0{,}60\,\text{kg}$ ja kuvaajasta luettu $20\,\text{kJ}$.

Järkevyys

Taulukkoarvo on $2100\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$. Samasta kuvaajasta sulamislämpö on

$s$$= 200\,\text{kJ} : 0{,}60\,\text{kg}$
$\approx 333\,\text{kJ/kg}$

ja viimeinen osa nousee noin puolet loivemmin, koska veden $c$ on noin kaksinkertainen jään arvoon nähden:

$80\,\text{kJ} : (0{,}60\,\text{kg} \cdot 32\,\text{K})$
$\approx 4{,}2\,\text{kJ/(kg}\cdot\text{K)}$

Teoriatiivistelmä

Ydinajatus

Lämpöopissa on erotettava kolme käsitettä. Lämpötila kuvaa hiukkasten lämpöliikkeen voimakkuutta. Sisäenergia on hiukkasten liike-energian ja niiden välisten vuorovaikutusten energian summa, joten se riippuu myös aineen määrästä ja olomuodosta. Lämpö on energian siirtymistä lämpötilaeron vuoksi: kappaleella on lämpötila ja sisäenergia, mutta ei lämpöä.

Kaikki tunnin tehtävät palautuvat energian säilymiseen. Aineeseen siirtyvä lämpö joko nostaa sen lämpötilaa tai muuttaa sen olomuotoa, ja lämpötilan noustessa aine myös laajenee. Eristetyssä systeemissä kuuman osan luovuttama lämpö on yhtä suuri kuin kylmän osan vastaanottama. Talon lämpötila pysyy vakiona, kun siihen tulee yhtä suuri teho kuin siitä lähtee.

$\text{energia säilyy}$
$Q_\text{luovutettu} = Q_\text{vastaanotettu}$
$\textbf{lämpeneminen}$
$Q = cm\Delta T$
$\text{olomuoto sama}$
$T = \theta + 273{,}15$
$\text{kelvinit}$
$\textbf{olomuodon muutos}$
$Q = sm$
$\text{sulaminen}$
$Q = rm$
$\text{höyrystyminen}$
$\textbf{lämpölaajeneminen}$
$\Delta L = \alpha L_0\,\Delta T$
$\text{pituus}$
$\Delta V = \gamma V_0\,\Delta T$
$\text{tilavuus}$
$\textbf{lämmön siirtyminen}$
$P = UA\,\Delta T$
$\text{seinän läpi}$
$\text{johtuminen, konvektio, säteily}$

Kokeessa seuraa ensin energiaa: mistä se lähtee, mihin se menee ja muuttuuko olomuoto matkalla. Valitse kaava vasta sitten.

Lämpömäärä ja energiatase

Lämpötila ja sisäenergia

$$T = \theta + 273{,}15$$

missä $T$ on lämpötila kelvineinä ($\text{K}$) ja $\theta$ celsiusasteina (${}^\circ\text{C}$). Lämpötilaero on sama kelvineinä ja celsiusasteina, mutta lämpötilojen suhteet lasketaan kelvineinä. Sisäenergiaa muuttavat lämpö ja työ:

$$\Delta U = Q + W$$

missä $\Delta U$ on sisäenergian muutos, $Q$ systeemiin siirtynyt lämpömäärä ja $W$ systeemiin tehty työ, kaikki jouleina. Systeemiin tuleva energia on positiivista. Yhtälö pätee, kun systeemin liike- ja potentiaalienergia eivät muutu.

Lämpeneminen ja olomuodon muutos

$$Q = cm\Delta T$$

missä $c$ on ominaislämpökapasiteetti ($\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$), $m$ massa ($\text{kg}$) ja $\Delta T$ lämpötilan muutos ($\text{K}$). Kaava pätee vain, kun olomuoto ei muutu. Sulamisessa ja höyrystymisessä

$$Q = sm \qquad Q = rm$$

missä $s$ on ominaissulamislämpö ja $r$ ominaishöyrystymislämpö ($\text{J/kg}$). Puhtaan aineen lämpötila pysyy vakiopaineessa muutoksen ajan vakiona, koska energia kasvattaa hiukkasten vuorovaikutusenergiaa. Sama energia vapautuu jähmettymisessä ja tiivistymisessä. Vedelle $c = 4190\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$, jäälle $c = 2100\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$, $s = 334\,\text{kJ/kg}$ ja $r = 2260\,\text{kJ/kg}$.

Tästä saadaan vastaus alun kysymykseen. Kilogramman lumen lämmittäminen $-10\,{}^\circ\text{C}$:sta $0\,{}^\circ\text{C}$:seen vie vain $21\,\text{kJ}$, mutta sen sulattaminen $334\,\text{kJ}$, melkein yhtä paljon kuin sulamisveden kuumentaminen kiehuvaksi, $419\,\text{kJ}$.

$200$
$400$
$600$
$800$
$-20$
$0$
$20$
$40$
$60$
$80$
$100$
$120$
$Q\ (\text{kJ})$
$T\ ({}^\circ\text{C})$
$0$
$Q = sm$
$= 334\,\text{kJ}$
$Q = cm\Delta T = 419\,\text{kJ}$
$Q = rm$

Lämpötasapaino

Eristetyssä astiassa energia säilyy:

$$Q_\text{luovutettu} = Q_\text{vastaanotettu}$$

Kun jäätä ja vettä sekoitetaan, verrataan ensin, riittääkö lämpö, jonka vesi luovuttaa jäähtyessään $0\,{}^\circ\text{C}$:seen, lämmittämään jään $0\,{}^\circ\text{C}$:seen ja sulattamaan sen. Jos riittää, kaikki jää sulaa ja lopputila on vähintään $0\,{}^\circ\text{C}$. Jos ei riitä, jäätä jää jäljelle ja lämpötila on tasan $0\,{}^\circ\text{C}$. Hyvin kylmä jää voi myös jäädyttää osan vedestä tai kaiken veden.

Laajeneminen ja lämmön siirtyminen

$$\Delta L = \alpha L_0 \Delta T \qquad \Delta V = \gamma V_0 \Delta T$$

missä $\alpha$ ja $\gamma$ ovat pituuden ja tilavuuden lämpötilakertoimet ($1/\text{K}$) ja $L_0$ ja $V_0$ alkuperäinen pituus ja tilavuus. Kaavat pätevät kiinteille aineille noin $100\,\text{K}$:n lämpötilan muutokseen asti, ja nesteen $\gamma$ on käyttökelpoinen vain taulukon lämpötilan lähellä. Vesi on poikkeus: sen tiheys on suurin noin $4\,{}^\circ\text{C}$:ssa.

Lämpö siirtyy johtumalla, konvektiona ja säteilynä, nettomääräisesti lämpimämmästä kappaleesta kylmempään. Rakennusosan läpi johtuva teho on

$$P = UA\Delta T$$

missä $U$ on U-arvo ($\text{W/(m}^2\cdot\text{K)}$), $A$ pinta-ala ($\text{m}^2$) ja $\Delta T$ sisä- ja ulkolämpötilan ero ($\text{K}$). Kaava pätee, kun lämpötilat pysyvät vakioina.

Yleisiä virheitä

  • Lämpö ja lämpötila sekaisin. ”Kahvissa on paljon lämpöä” tarkoittaa fysiikassa sisäenergiaa. Lämpö on energiaa, joka siirtyy.
  • $Q = cm\Delta T$ olomuodon muutoksessa. Sulamisen aikana lämpötila ei muutu, mutta energiaa kuluu $sm$.
  • Lopputila keskiarvona. Alkulämpötilat painottuvat lämpökapasiteeteilla $cm$, ja jää tarvitsee lisäksi sulamislämmön.
  • Kelvinit väärässä paikassa. Lämpötilaeroon ei lisätä lukua $273$, mutta lämpötilojen suhteisiin tarvitaan kelvinit.
  • Reikä pienenee lämmetessä. Kappale laajenee kuin suurennettu valokuva, joten myös reikä suurenee.
  • Kylmä ”virtaa” sisään. Energia siirtyy lämpimästä kylmään. Kylmyys ei ole aine eikä energia.
  • Häviöt unohtuvat. Mittauksessa osa energiasta siirtyy ympäristöön. Mieti aina, kumpaan suuntaan häviö muuttaa tulosta.

Kertaa tarvittaessa

Sovella

Etsi virhe: jää sulaa

Opiskelija laski, kuinka paljon energiaa tarvitaan $0{,}50\,\text{kg}$:n jäälohkareen sulattamiseen, kun jää on jo $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa: ”$Q = cm\Delta T = 2100\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)} \cdot 0{,}50\,\text{kg} \cdot 0\,\text{K} = 0\,\text{J}$.” Mikä ratkaisussa on väärin?

Perusteltu väite: kaide ja penkki

Pakkasaamuna puistossa on metallikaide ja puinen penkki, jotka ovat olleet ulkona koko yön. Kaide tuntuu paljaassa kädessä paljon kylmemmältä kuin penkki. Mikä selitys on oikein?

Perusteltu väite: juuttunut kansi

Lasipurkin metallikansi on juuttunut kiinni. Kannen päälle lasketaan kuumaa vettä hetken ajan, ja sitten kansi aukeaa helpommin. Mikä on paras selitys?

Mikä kuvaaja: jäävesi pöydällä

Lasissa on vettä ja paljon jääpaloja, ja seoksen lämpötila on aluksi $0\,{}^\circ\text{C}$. Lasi jätetään $22\,{}^\circ\text{C}$:n huoneeseen, ja lämpötilaa seurataan kaksi tuntia.Mikä kuvaus lämpötilan kuvaajasta ajan funktiona on oikein?

Kylpyvesi

Ammeeseen on laskettu $80{,}0\,\text{kg}$ vettä, jonka lämpötila on $42{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Se on liian kuumaa, joten joukkoon lasketaan kylmää vettä, jonka lämpötila on $8{,}0\,{}^\circ\text{C}$.

Kuinka paljon kylmää vettä tarvitaan, jotta lopputila on $37{,}0\,{}^\circ\text{C}$? Lämpöhäviöitä ei oteta huomioon. Vastaa kilogrammoina.

kg
Vihje 1: ohjaava kysymys

Kuuma vesi jäähtyy ja kylmä lämpenee samaan loppulämpötilaan. Kumpi luovuttaa lämpöä, ja kumpi vastaanottaa sitä?

Vihje 2: mikä yhteys

Energia säilyy: $c m_1 (T_1 - T) = c m_2 (T - T_2)$. Mikä tekijä supistuu pois?

Vihje 3: välivaihe
$m_2$$= \dfrac{m_1 (T_1 - T)}{T - T_2}$
$= \dfrac{80{,}0\,\text{kg} \cdot 5{,}0\,\text{K}}{29{,}0\,\text{K}}$
Näytä ratkaisu

Annettu

kuuma vesi $m_1 = 80{,}0\,\text{kg}$, $T_1 = 42{,}0\,{}^\circ\text{C}$; kylmä vesi $T_2 = 8{,}0\,{}^\circ\text{C}$; loppulämpötila $T = 37{,}0\,{}^\circ\text{C}$

Kysytty

kylmän veden massa $m_2$ kilogrammoina

Periaate

Energia säilyy, kun häviöitä ei ole: kuuman veden luovuttama lämpömäärä on yhtä suuri kuin kylmän veden vastaanottama. Kumpikin vain jäähtyy tai lämpenee, joten $Q = cm\Delta T$ pätee, ja $c$ on molemmille sama (luku Aineen lämpeneminen ja jäähtyminen).

Kaava

$c m_1 (T_1 - T) = c m_2 (T - T_2)$, joten $m_2 = \dfrac{m_1 (T_1 - T)}{T - T_2}$

Muunnokset

Ei tarvita: ominaislämpökapasiteetti supistuu, ja lämpötilaerot ovat samat kelvineinä ja celsiusasteina.

Sijoitus

$m_2$$= \dfrac{80{,}0\,\text{kg} \cdot (42{,}0\,{}^\circ\text{C} - 37{,}0\,{}^\circ\text{C})}{37{,}0\,{}^\circ\text{C} - 8{,}0\,{}^\circ\text{C}}$
$= \dfrac{80{,}0\,\text{kg} \cdot 5{,}0\,\text{K}}{29{,}0\,\text{K}}$
$= 13{,}79\,\text{kg}$

Vastaus

$14\,\text{kg}$

Kaksi merkitsevää numeroa, koska kuuman veden jäähtyminen $42{,}0\,{}^\circ\text{C} - 37{,}0\,{}^\circ\text{C} = 5{,}0\,\text{K}$ on erotuksena vain kahden numeron tarkkuinen.

Järkevyys

Lämpömäärät ovat yhtä suuret: $c \cdot 80{,}0\,\text{kg} \cdot 5{,}0\,\text{K}$ ja $c \cdot 13{,}79\,\text{kg} \cdot 29{,}0\,\text{K}$, koska $80{,}0 \cdot 5{,}0 = 400$ ja $13{,}79 \cdot 29{,}0 \approx 400$. Kylmää vettä tarvitaan vähän, koska se lämpenee lähes kuusi kertaa enemmän kuin kuuma jäähtyy.

Jäitä juomiin

Juhliin jäähdytetään $12{,}0\,\text{kg}$ juomaa $22{,}0\,{}^\circ\text{C}$:sta $6{,}0\,{}^\circ\text{C}$:seen pakastimen jääpaloilla, joiden lämpötila on $-18{,}0\,{}^\circ\text{C}$.

Kuinka paljon jäätä tarvitaan, kun kaikki jää sulaa ja sulamisvesi lämpenee $6{,}0\,{}^\circ\text{C}$:seen? Juoman ominaislämpökapasiteetti on sama kuin vedellä, ja lämpöhäviöitä ei oteta huomioon. Vastaa kilogrammoina.

kg
Vihje 1: ohjaava kysymys

Mihin kolmeen vaiheeseen jää käyttää juomasta saamansa energian?

Vihje 2: mikä yhteys

Jää lämpenee $0\,{}^\circ\text{C}$:seen ($c_\text{j} m \Delta T$), sulaa ($sm$) ja sulamisvesi lämpenee $6{,}0\,{}^\circ\text{C}$:seen ($c_\text{v} m \Delta T$).

Vihje 3: välivaihe
$m_\text{j}$$= \dfrac{c_\text{v} m_\text{v} \cdot 16{,}0\,\text{K}}{c_\text{j} \cdot 18{,}0\,\text{K} + s + c_\text{v} \cdot 6{,}0\,\text{K}}$
Näytä ratkaisu

Annettu

juoma $m_\text{v} = 12{,}0\,\text{kg}$, $T_\text{v} = 22{,}0\,{}^\circ\text{C}$; jää $T_\text{j} = -18{,}0\,{}^\circ\text{C}$; loppulämpötila $T = 6{,}0\,{}^\circ\text{C}$; taulukosta $c_\text{v} = 4190\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$, $c_\text{j} = 2100\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$ ja $s = 334\,\text{kJ/kg}$

Kysytty

jään massa $m_\text{j}$ kilogrammoina

Periaate

Energia säilyy: juoman luovuttama lämpö kuluu jään lämpenemiseen $0\,{}^\circ\text{C}$:seen, sulamiseen vakiolämpötilassa ja sulamisveden lämpenemiseen $6{,}0\,{}^\circ\text{C}$:seen. Lämpenemisissä pätee $Q = cm\Delta T$, sulamisessa $Q = sm$ (luku Lämpötasapaino olomuodon muuttuessa).

Kaava

$c_\text{v} m_\text{v} (T_\text{v} - T)$$= m_\text{j}\,(c_\text{j} \Delta T_\text{j} + s + c_\text{v} \Delta T_\text{s})$

joten

$m_\text{j}$$= \dfrac{c_\text{v} m_\text{v} (T_\text{v} - T)}{c_\text{j} \Delta T_\text{j} + s + c_\text{v} \Delta T_\text{s}}$

missä $\Delta T_\text{j}$ on jään ja $\Delta T_\text{s}$ sulamisveden lämpeneminen

Muunnokset

$s$$= 334\,\text{kJ/kg}$
$= 334\,000\,\text{J/kg}$

Lämpötilaerot ovat samat kelvineinä ja celsiusasteina: $T_\text{v} - T = 16{,}0\,\text{K}$, $\Delta T_\text{j} = 18{,}0\,\text{K}$ ja $\Delta T_\text{s} = 6{,}0\,\text{K}$.

Sijoitus

$m_\text{j}$$= \dfrac{4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 12{,}0\,\text{kg} \cdot 16{,}0\,\text{K}}{(37\,800 + 334\,000 + 25\,140)\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}}$
$= \dfrac{804\,480\,\text{J}}{396\,940\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}}$
$= 2{,}027\,\text{kg}$

Vastaus

$2{,}03\,\text{kg}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten massa $12{,}0\,\text{kg}$ ja juoman jäähtyminen $16{,}0\,\text{K}$; kahden numeron tarkkuinen $6{,}0\,\text{K}$ kuuluu pieneen termiin, joka on vain noin $6\,\%$ nimittäjästä.

Järkevyys

Jokainen jääkilo ottaa noin $397\,\text{kJ}$, josta sulaminen on $334\,\text{kJ}$. Pelkällä $0\,{}^\circ\text{C}$:n vedellä samaan jäähdytykseen tarvittaisiin

$804\,480\,\text{J} : 25\,140\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$
$\approx 32\,\text{kg}$

eli yli viisitoista kertaa enemmän massaa, joten jää on tehokas jäähdyttäjä.

Radiomasto

Teräksinen radiomasto on $300\,\text{m}$ korkea pakkasyönä, kun sen lämpötila on $-25\,{}^\circ\text{C}$. Kesäpäivänä maston lämpötila on $+25\,{}^\circ\text{C}$, ja teräksen pituuden lämpötilakerroin on $12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$.

Kuinka paljon masto on kesällä korkeampi kuin talvella? Vastaa millimetreinä.

mm
Vihje 1: ohjaava kysymys

Mikä on maston lämpötilan muutos talvesta kesään?

Vihje 2: mikä yhteys

Lämpötilan muutos on loppu- ja alkulämpötilan erotus: $25\,{}^\circ\text{C} - (-25\,{}^\circ\text{C})$.

Vihje 3: välivaihe
$\Delta L$$= \alpha L_0 \Delta T$
$= 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 300\,\text{m} \cdot 50\,\text{K}$
Näytä ratkaisu

Annettu

maston pituus $L_0 = 300\,\text{m}$, $\alpha = 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$; lämpötilat $T_1 = -25\,{}^\circ\text{C}$ ja $T_2 = +25\,{}^\circ\text{C}$

Kysytty

korkeuden muutos $\Delta L$ millimetreinä

Periaate

Lämmetessä teräksen hiukkasten värähtely voimistuu ja niiden keskimääräinen etäisyys kasvaa, joten masto pitenee. Teräs pysyy kiinteänä, ja muutos $50\,\text{K}$ on alle sadan kelvinin, joten $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$ on hyvä malli (luku Lämpölaajeneminen).

Kaava

$\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$, missä $\Delta T = T_2 - T_1$

Muunnokset

$\Delta T$$= 25\,{}^\circ\text{C} - (-25\,{}^\circ\text{C})$
$= 50\,\text{K}$

sama kelvineinä ja celsiusasteina. Lopuksi $1\,\text{m} = 1000\,\text{mm}$.

Sijoitus

$\Delta L$$= 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 300\,\text{m} \cdot 50\,\text{K}$
$= 0{,}18\,\text{m}$
$= 0{,}18 \cdot 1000\,\text{mm}$
$= 180\,\text{mm}$

Vastaus

$180\,\text{mm}$

Eli $18\,\text{cm}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten lämpötilakerroin $12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ ja lämpötilat.

Järkevyys

Teräs pitenee noin sadastuhannesosan pituudestaan kelviniä kohti: $300\,\text{m}$:n mastolla se on $3{,}6\,\text{mm}$ kelviniä kohti ja $50\,\text{K}$:lla $180\,\text{mm}$. Muutos on alle tuhannesosa maston korkeudesta, mutta mastoa tukevien harusten kiinnitysten on silti annettava periksi.

Sähkökatko pakkasella

Omakotitalon lämmitys katkeaa sähkökatkon vuoksi. Talo menettää lämpöä $180\,\text{W}$ jokaista sisä- ja ulkolämpötilan eron kelviniä kohti. Sisällä on $21\,{}^\circ\text{C}$ ja ulkona $-20\,{}^\circ\text{C}$. Talon rakenteiden, kalusteiden ja ilman yhteinen lämpökapasiteetti on $30\,\text{MJ/K}$.

Kuinka monta kelviniä sisälämpötila laskee ensimmäisen tunnin aikana? Vastaa kelvineinä.

K
Vihje 1: ohjaava kysymys

Kuinka suurella teholla lämpöä johtuu talosta ulos katkon alussa?

Vihje 2: mikä yhteys

Teho on $P = 180\,\tfrac{\text{W}}{\text{K}} \cdot \Delta T$, ja tunnissa siirtynyt energia $Q = Pt$ laskee lämpötilaa $\tfrac{Q}{C}$.

Vihje 3: välivaihe
$\Delta T_\text{sisä}$$= \dfrac{P\,t}{C}$
$= \dfrac{7380\,\text{W} \cdot 3600\,\text{s}}{30 \cdot 10^{6}\,\text{J/K}}$
Näytä ratkaisu

Annettu

lämpöhäviö $180\,\text{W}$ kelviniä kohti, $T_\text{sisä} = 21\,{}^\circ\text{C}$, $T_\text{ulko} = -20\,{}^\circ\text{C}$, lämpökapasiteetti $C = 30\,\text{MJ/K}$, aika $t = 1\,\text{h}$

Kysytty

sisälämpötilan lasku $\Delta T_\text{sisä}$ kelvineinä

Periaate

Lämpö johtuu ulos teholla, joka on verrannollinen lämpötilaeroon kuten $P = UA\Delta T$. Kun lämmitystä ei ole, energiatasapaino ei toteudu: lähtevä energia pienentää talon sisäenergiaa, ja lämpötila laskee $Q = C\,\Delta T$:n mukaan (luvut Lämmön siirtyminen, energiatasapaino ja ilmastonmuutos ja Aineen lämpeneminen ja jäähtyminen). Ensimmäisen tunnin aikana sisälämpötila muuttuu alle kelvinin, joten teho on lähes vakio.

Kaava

$P = 180\,\tfrac{\text{W}}{\text{K}} \cdot (T_\text{sisä} - T_\text{ulko})$ ja $P\,t = C\,\Delta T_\text{sisä}$, joten

$\Delta T_\text{sisä}$$= \dfrac{P\,t}{C}$

Muunnokset

$1\,\text{h} = 3600\,\text{s}$ ja $30\,\text{MJ/K} = 30 \cdot 10^{6}\,\text{J/K}$. Lämpötilaero on sama kelvineinä: $21\,{}^\circ\text{C} - (-20\,{}^\circ\text{C}) = 41\,\text{K}$.

Sijoitus

$P$$= 180\,\tfrac{\text{W}}{\text{K}} \cdot 41\,\text{K}$
$= 7380\,\text{W}$
$\Delta T_\text{sisä}$$= \dfrac{7380\,\text{W} \cdot 3600\,\text{s}}{30 \cdot 10^{6}\,\text{J/K}}$
$= 0{,}886\,\text{K}$

Vastaus

noin $0{,}89\,\text{K}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten lämpökapasiteetti $30\,\text{MJ/K}$ ja lämpötilaero $41\,\text{K}$.

Järkevyys

Alle asteen tunnissa sopii kokemukseen: talo jäähtyy pakkasellakin hitaasti, koska sen lämpökapasiteetti on suuri. Lasku hidastuu, kun lämpötilaero pienenee, joten tulos on vain ensimmäisen tunnin arvio. Alkuvauhdilla lämpötila laskisi vuorokaudessa noin $21\,\text{K}$, todellisuudessa vähemmän.

Tarkista osaamisesi

Exit ticket

Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.

  1. Kaasuun tehdään työ $200\,\text{J}$, ja samalla siitä siirtyy ympäristöön lämpöä $50\,\text{J}$. Kuinka paljon kaasun sisäenergia muuttuu?
    Vastaus

    $\Delta U = Q + W = -50\,\text{J} + 200\,\text{J} = 150\,\text{J}$: sisäenergia kasvaa $150\,\text{J}$. Systeemiin tehty työ on positiivista ja systeemistä lähtevä lämpö negatiivista.

  2. Teräsmittanauha on kalibroitu $20\,{}^\circ\text{C}$:ssa. Sillä mitataan lautaa $-15\,{}^\circ\text{C}$:n pakkasessa. Näyttääkö nauha liian suurta vai liian pientä pituutta?
    Vastaus

    Liian suurta. Puu lyhenee syiden suunnassa paljon vähemmän kuin teräs, joten laudan oma muutos on pieni. Pakkasessa teräsnauha lyhenee, joten sen asteikon välit ovat lyhyempiä kuin kalibroitaessa, ja laudan pituudelle mahtuu enemmän asteikkoa. Esimerkiksi $10\,\text{m}$:n matkalla ero on $12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 10\,\text{m} \cdot 35\,\text{K} \approx 4\,\text{mm}$.

1. Käsite

Eristetyssä astiassa $0\,{}^\circ\text{C}$:n jää sulaa $0\,{}^\circ\text{C}$:n vedeksi. Mikä väite on oikein?

Kertaa olomuodon muutoksen energia luvussa Olomuodon muutokset ja sisäenergia luvussa Sisäenergia, lämpömäärä ja energian säilyminen.

2. Laskeminen

Räystäskourussa on $12\,\text{m}$ lämpökaapelia, jonka teho on $30\,\text{W}$ metriä kohti. Kaapeli sulattaa kouruun kertynyttä $0\,{}^\circ\text{C}$:n lunta, ja kaikki sen energia menee sulattamiseen.

Kuinka monta kilogrammaa lunta kaapeli sulattaa tunnissa? Vastaa kilogrammoina.

kg
Vihje 1: ohjaava kysymys

Kuinka paljon energiaa kaapeli antaa tunnissa?

Vihje 2: mikä yhteys

Kaapelin teho on $P = 12\,\text{m} \cdot 30\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}}$ ja energia $Q = Pt$. Lumi on jo $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa, joten energia kuluu sulamiseen: $Q = sm$.

Vihje 3: välivaihe
$m$$= \dfrac{P\,t}{s}$
$= \dfrac{360\,\text{W} \cdot 3600\,\text{s}}{334\,000\,\text{J/kg}}$
Näytä ratkaisu

Annettu

kaapelin pituus $12\,\text{m}$ ja teho $30\,\text{W}$ metriä kohti, aika $t = 1\,\text{h}$; lumi on $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa; taulukosta $s = 334\,\text{kJ/kg}$

Kysytty

sulavan lumen massa $m$ kilogrammoina

Periaate

Lumi on jo sulamislämpötilassa, joten kaapelin energia ei nosta lämpötilaa vaan sulattaa lunta vakiolämpötilassa: $Q = sm$. Kaapelin teho on vakio, joten sen antama energia on $Q = Pt$ (luku Olomuodon muutokset).

Kaava

$P\,t = s m$, joten $m = \dfrac{P\,t}{s}$

Muunnokset

$P$$= 12\,\text{m} \cdot 30\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}}$
$= 360\,\text{W}$

$1\,\text{h} = 3600\,\text{s}$ ja $334\,\text{kJ/kg} = 334\,000\,\text{J/kg}$.

Sijoitus

$m$$= \dfrac{360\,\text{W} \cdot 3600\,\text{s}}{334\,000\,\text{J/kg}}$
$= \dfrac{1\,296\,000\,\text{J}}{334\,000\,\text{J/kg}}$
$= 3{,}88\,\text{kg}$

Vastaus

$3{,}9\,\text{kg}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten pituus $12\,\text{m}$ ja teho $30\,\text{W}$ metriä kohti.

Järkevyys

Kaapeli antaa tunnissa $0{,}36\,\text{kWh}$ eli noin $1{,}3\,\text{MJ}$, ja jokainen lumikilo vaatii $0{,}334\,\text{MJ}$: vajaat neljä kiloa. Todellisuudessa osa energiasta lämmittää ilmaa ja kourua, joten sulaa hieman vähemmän.

Kertaa sulamislämpö luvussa Olomuodon muutokset.

3. Selitä

Kaksi samanlaista mehulasia jäähdytetään: toiseen lisätään $50\,\text{g}$ jääpaloja, joiden lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$, ja toiseen $50\,\text{g}$ vettä, jonka lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$.

Kumpi mehu jäähtyy enemmän? Selitä energian säilymisen avulla, ja arvioi ero luvuilla.

Tehtävät

2.2-1 Jäähallin uusi jää 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Halli ja sen luvut ovat keksittyjä esimerkkejä. Jääkerroksen paksuus ja jäähdytysteho vastaavat suuruusluokaltaan tavallisen jäähallin arvoja.

Kesätauon jälkeen jäähallin kaukaloon tehdään uusi jää. Jäähdytetyn betonilaatan päälle ruiskutetaan vettä ohuina kerroksina, yhteensä $3{,}00\,\text{cm}$:n kerros, joka jäätyy koko alalla. Hallin kylmäkone poistaa vedestä ja jäästä lämpöä teholla $350\,\text{kW}$.

  • jäädytettävä ala $1800\,\text{m}^2$
  • veden lämpötila letkussa $15{,}0\,{}^\circ\text{C}$, valmiin jään lämpötila $-4{,}0\,{}^\circ\text{C}$
  • veden tiheys $1000\,\text{kg/m}^3$, veden $c = 4190\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$, jään $c = 2100\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$, jään ominaissulamislämpö $334\,\text{kJ/kg}$

Jäämestari sanoo: ”Kun vesi on jäähtynyt nollaan asteeseen, jäätyminen käy nopeasti, koska lämpötilaa ei tarvitse enää laskea.”

  1. a) Kuinka paljon lämpöä kylmäkoneen on vähintään poistettava, jotta koko vesimäärästä tulee $-4{,}0\,{}^\circ\text{C}$:sta jäätä? 6 p
  2. b) Kuinka kauan jäädyttäminen vähintään kestää? 4 p
  3. c) Arvioi jäämestarin väite a-kohdan tulosten avulla. 5 p

Taidot luvuista: Aineen lämpeneminen ja jäähtyminen: $Q = cm\Delta T$, Olomuodon muutokset, Teho: $P = \Delta E/\Delta t$

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

ala $A = 1800\,\text{m}^2$, vesikerroksen paksuus $d = 3{,}00\,\text{cm}$, veden tiheys $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$; vesi $15{,}0\,{}^\circ\text{C}$, valmis jää $-4{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $c_\text{v} = 4190\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$, $c_\text{j} = 2100\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$, $s = 334\,\text{kJ/kg}$

Kysytty

poistettava lämpömäärä $Q$ gigajouleina

Periaate

Energia säilyy: kylmäkoneen on poistettava kaikki energia, jonka vesi luovuttaa matkalla $15{,}0\,{}^\circ\text{C}$:n vedestä $-4{,}0\,{}^\circ\text{C}$:n jääksi. Matka on kolme vaihetta. Vesi jäähtyy $0\,{}^\circ\text{C}$:seen ($Q = cm\Delta T$), jäätyy vakiolämpötilassa, jolloin se luovuttaa sulamislämmön ($Q = sm$), ja jää jäähtyy $-4{,}0\,{}^\circ\text{C}$:seen ($Q = cm\Delta T$). Vähintään-sana tarkoittaa, että halliin johtuvaa lämpöä ei lasketa mukaan.

Kaava

$m = \rho A d$ ja $Q = c_\text{v} m\,\Delta T_\text{v} + s m + c_\text{j} m\,\Delta T_\text{j}$, joten

$Q$$= \rho A d\,(c_\text{v}\,\Delta T_\text{v} + s + c_\text{j}\,\Delta T_\text{j})$

Muunnokset

$3{,}00\,\text{cm}$$= 3{,}00 \cdot 0{,}01\,\text{m}$
$= 0{,}0300\,\text{m}$

$334\,\text{kJ/kg} = 334\,000\,\text{J/kg}$. Lämpötilan muutokset ovat samat kelvineinä: $\Delta T_\text{v} = 15{,}0\,\text{K}$ ja $\Delta T_\text{j} = 4{,}0\,\text{K}$. Lopuksi $1\,\text{GJ} = 10^{9}\,\text{J}$.

Sijoitus

$m$$= 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 1800\,\text{m}^2 \cdot 0{,}0300\,\text{m}$
$= 54\,000\,\text{kg}$
$Q$$= 54\,000\,\text{kg} \cdot (4190 \cdot 15{,}0 + 334\,000 + 2100 \cdot 4{,}0)\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$
$= 54\,000\,\text{kg} \cdot 405\,250\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$
$= 2{,}188 \cdot 10^{10}\,\text{J}$
$= 21{,}9\,\text{GJ}$

Vastaus

$21{,}9\,\text{GJ}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten kerroksen paksuus $3{,}00\,\text{cm}$ ja veden lämpötila $15{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Jään jäähtymisen $4{,}0\,\text{K}$ kaksi numeroa koskee vain pientä termiä.

Järkevyys

Vaiheittain $Q_\text{v} = 3{,}39\,\text{GJ}$, $Q_\text{s} = 18{,}0\,\text{GJ}$ ja $Q_\text{j} = 0{,}454\,\text{GJ}$, ja summa on sama $21{,}9\,\text{GJ}$. Pyöristetyillä luvuilla $54\,\text{t} \cdot 400\,\text{kJ/kg} \approx 22\,\text{GJ}$. Kilowattitunteina se on noin $6100\,\text{kWh}$, saman verran kuin omakotitalon sähkö noin vuodessa, mikä sopii suureen jääalaan.

b)

Annettu

a-kohdan $Q = 2{,}188 \cdot 10^{10}\,\text{J}$, kylmäkoneen teho $P = 350\,\text{kW}$

Kysytty

jäädytyksen kesto $t$ tunteina

Periaate

Kylmäkone poistaa energiaa tasaisella teholla, joten aika on poistettava energia jaettuna teholla (luku Teho). Tulos on alaraja, koska kone poistaa samalla myös halliin ja betoniin johtuvaa lämpöä.

Kaava

$P = \dfrac{Q}{t}$, joten $t = \dfrac{Q}{P}$

Muunnokset

$350\,\text{kW}$$= 350 \cdot 1000\,\text{W}$
$= 350\,000\,\text{W}$

ja lopuksi $1\,\text{h} = 3600\,\text{s}$.

Sijoitus

$t$$= \dfrac{2{,}188 \cdot 10^{10}\,\text{J}}{350\,000\,\text{W}}$
$= 62\,500\,\text{s}$
$= 62\,500 \cdot \tfrac{1}{3600}\,\text{h}$
$= 17{,}4\,\text{h}$

Vastaus

vähintään $17{,}4\,\text{h}$, kolme merkitsevää numeroa kuten teho $350\,\text{kW}$ ja a-kohdan tulos.

Järkevyys

Noin vuorokausi uuden jään tekemiseen on uskottava, ja todellisuudessa aikaa kuluu enemmän, koska kerrokset ruiskutetaan vähitellen ja hallin ilma lämmittää jäätä. Tarkistus:

$350\,\text{kW} \cdot 17{,}4\,\text{h}$
$\approx 6100\,\text{kWh}$
$\approx 21{,}9\,\text{GJ}$

c)

Kysytty

onko jäätyminen nopea vaihe, kun vesi on jo $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa

Periaate

Jäätyessään vesi luovuttaa sulamislämmön, vaikka lämpötila pysyy $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa: hiukkaset asettuvat säännölliseen järjestykseen ja niiden välinen vuorovaikutusenergia pienenee. Kylmäkoneen on poistettava tämä energia samalla teholla kuin muutkin (luku Olomuodon muutokset).

Mallivastaus

Väite on väärä. a-kohdan vaiheista jäätyminen vaatii $18{,}0\,\text{GJ}$ eli noin $82\,\%$ kokonaislämmöstä, veden jäähtyminen $15{,}0\,{}^\circ\text{C}$:sta $0\,{}^\circ\text{C}$:seen vain noin $16\,\%$ ja jään jäähtyminen noin $2\,\%$. Teholla $350\,\text{kW}$ veden jäähdyttäminen kestää noin $2{,}7\,\text{h}$, mutta jäätyminen noin $14\,\text{h}$. Lämpötila ei muutu jäätymisen aikana, mutta energiaa on silti poistettava, koska jäätyminen vapauttaa jokaisesta kilogrammasta $334\,\text{kJ}$, saman verran kuin veden jäähtyminen lähes $80\,\text{K}$. Jäätyminen on siis jäädytyksen hitain vaihe, eikä jäämestarin kannata odottaa sen käyvän hetkessä.

Yleisiä virheitä

  • Jäätymisen sulamislämpö unohdetaan, koska lämpötila ei muutu, jolloin tulokseksi tulee vain noin $3{,}8\,\text{GJ}$.
  • Paksuutta ei muunneta metreiksi, jolloin massa on sata kertaa liian suuri.
  • Jään jäähtymisessä käytetään veden ominaislämpökapasiteettia.
  • b-kohdassa tulos jätetään sekunneiksi tai teho jätetään kilowateiksi, ja vastauksen yksikkö menee väärin.
  • c-kohdassa väitettä arvioidaan ilman lukuja.

Hyväksytään myös

  • a-kohdassa vaiheet voi laskea erikseen ja laskea yhteen; vastaus $22\,\text{GJ}$ kahdella merkitsevällä numerolla, kun perusteluna on jään lämpötila $-4{,}0\,{}^\circ\text{C}$.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)6 p

Jakaa prosessin kolmeen vaiheeseen: vesi jäähtyy $0\,{}^\circ\text{C}$:seen, jäätyy vakiolämpötilassa ja jää jäähtyy $-4{,}0\,{}^\circ\text{C}$:seen. 2 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $m = \rho A d$ ja $Q = c_\text{v} m \Delta T_\text{v} + s m + c_\text{j} m \Delta T_\text{j}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $m = 54\,000\,\text{kg}$; vaiheet $3{,}39\,\text{GJ}$, $18{,}0\,\text{GJ}$ ja $0{,}454\,\text{GJ}$; senttimetrit muunnettu metreiksi sijoittamalla. 2 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $Q \approx 21{,}9\,\text{GJ}$ kolmella merkitsevällä numerolla 1 p

b)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $t = \dfrac{Q}{P}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $t = 21{,}9 \cdot 10^{9}\,\text{J} : 350\,000\,\text{W} \approx 62\,500\,\text{s}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. noin $17{,}4\,\text{h}$ 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Todellinen aika on pidempi, koska kylmäkone poistaa myös hallin ilmasta ja betonista johtuvaa lämpöä; tulos on alaraja. 1 p

c)5 p

Laskee vaiheiden osuudet: jäätyminen noin $82\,\%$, veden jäähtyminen noin $16\,\%$ ja jään jäähtyminen noin $2\,\%$ kokonaislämmöstä. 1 p
Selittää, että jäätymisessä vapautuu sulamislämpö $sm$, joka on poistettava, vaikka lämpötila pysyy $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa; jäätymisessä hiukkasten vuorovaikutusenergia pienenee. 2 p
Vertaa aikoina: veden jäähdyttäminen kestää noin $2{,}7\,\text{h}$, jäätyminen noin $14\,\text{h}$. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite on väärä: jäätyminen on jäädytyksen hitain vaihe. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (12 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

2.2-2 Varaava takka 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Talo ja takka ovat keksittyjä esimerkkejä. Vuolukiven ominaislämpökapasiteetti noin $980\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$ ja ilmakuivan koivuklapin lämpöarvo noin $15\,\text{MJ/kg}$ ovat tyypillisiä pyöristettyjä arvoja.

Omakotitalossa on vuolukivestä muurattu varaava takka. Iltaisin takassa poltetaan $12{,}0\,\text{kg}$ ilmakuivaa koivuklapia, ja tulen sammuttua pelti suljetaan. Kivimassa luovuttaa lämpöä huoneisiin seuraavan vuorokauden aikana ja jäähtyy takaisin alkulämpötilaansa.

Tieto Arvo
kivimassa $1800\,\text{kg}$
vuolukiven $c$ $980\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$
koivun lämpöarvo $15\,\text{MJ/kg}$
kiveen siirtyvä osuus $80\,\%$

Talo menettää lämpöä seinien, ikkunoiden, katon ja ilmanvaihdon kautta yhteensä $150\,\text{W}$ jokaista sisä- ja ulkolämpötilan eron kelviniä kohti. Sisälämpötila pidetään $21\,{}^\circ\text{C}$:ssa.

  1. a) Kuinka paljon kivimassan keskimääräinen lämpötila nousee yhden lämmityskerran aikana? 5 p
  2. b) Kuinka suurella keskimääräisellä teholla takka lämmittää taloa seuraavan vuorokauden aikana? 3 p
  3. c) Pakkasvuorokauden keskilämpötila on $-10\,{}^\circ\text{C}$. Kuinka suuren osan talon lämmöntarpeesta takka kattaa? 3 p
  4. d) Naapurin ohutseinäinen peltikamiina lämpenee nopeasti, mutta huone viilenee pian tulen sammuttua. Selitä ero varaavaan takkaan. 4 p

Taidot luvuista: Aineen lämpeneminen ja jäähtyminen: $Q = cm\Delta T$, Lämmön siirtyminen, energiatasapaino ja ilmastonmuutos, Polttoaineet ja lämpöarvo $E = Hm$, Hyötysuhde

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

koivuklapien massa $m_\text{p} = 12{,}0\,\text{kg}$, lämpöarvo $H = 15\,\text{MJ/kg}$, kiveen siirtyvä osuus $\eta = 80\,\%$; kivimassa $m_\text{k} = 1800\,\text{kg}$, $c = 980\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$

Kysytty

kivimassan keskimääräinen lämpötilan nousu $\Delta T$

Periaate

Palava puu vapauttaa energian $Hm$ (luku Polttoaineet ja lämpöarvo), ja siitä $80\,\%$ siirtyy kiveen; loput lähtee savukaasujen mukana piippuun. Kivi pysyy kiinteänä, joten sen vastaanottama lämpö nostaa lämpötilaa $Q = cm\Delta T$:n mukaan (luku Aineen lämpeneminen ja jäähtyminen). Lämmityksen aikana kivestä johtuu huoneeseen jo jonkin verran lämpöä, mikä jätetään huomiotta.

Kaava

$Q = \eta H m_\text{p}$ ja $Q = c\,m_\text{k}\,\Delta T$, joten

$\Delta T$$= \dfrac{\eta H m_\text{p}}{c\,m_\text{k}}$

Muunnokset

$15\,\text{MJ/kg} = 15 \cdot 10^{6}\,\text{J/kg}$ ja $80\,\% = 0{,}80$.

Sijoitus

$\Delta T$$= \dfrac{0{,}80 \cdot 15 \cdot 10^{6}\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}} \cdot 12{,}0\,\text{kg}}{980\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 1800\,\text{kg}}$
$= \dfrac{1{,}44 \cdot 10^{8}\,\text{J}}{1{,}764 \cdot 10^{6}\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}}$
$= 81{,}6\,\text{K}$

Vastaus

noin $82\,\text{K}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten lämpöarvo $15\,\text{MJ/kg}$ ja osuus $80\,\%$. Tulos on keskiarvo: kivimassan sisäosat lämpenevät enemmän kuin pinta.

Järkevyys

Jos kivi on aamulla $25\,{}^\circ\text{C}$:ista, sen keskilämpötila nousee noin $105\,{}^\circ\text{C}$:seen. Takan pinta tuntuu silloin kuumalta mutta ei polta, koska pinta on sisäosia kylmempi. Kivimassan lämpökapasiteetti $1{,}76\,\text{MJ/K}$ on suuri, joten $144\,\text{MJ}$ ei nosta lämpötilaa satoja asteita.

b)

Annettu

a-kohdan $Q = 144\,\text{MJ}$, aika $t = 24\,\text{h}$

Kysytty

keskimääräinen lämmitysteho $P$ kilowatteina

Periaate

Kivi jäähtyy vuorokaudessa takaisin alkulämpötilaansa, joten se luovuttaa huoneisiin saman energian, jonka se sai. Keskiteho on energia jaettuna ajalla (luku Teho).

Kaava

$P = \dfrac{Q}{t}$

Muunnokset

$144\,\text{MJ}$$= 144 \cdot 10^{6}\,\text{J}$
$24\,\text{h}$$= 24 \cdot 3600\,\text{s}$
$= 86\,400\,\text{s}$

lopuksi $1\,\text{W} = 0{,}001\,\text{kW}$.

Sijoitus

$P$$= \dfrac{144 \cdot 10^{6}\,\text{J}}{86\,400\,\text{s}}$
$= 1667\,\text{W}$
$= 1{,}67\,\text{kW}$

Vastaus

noin $1{,}7\,\text{kW}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten a-kohdan lähtötiedot.

Järkevyys

Teho vastaa yhtä sähköpatteria tai kahta, mikä on tavallinen tulisijan keskiteho. Teho ei ole vakio: heti lämmityksen jälkeen kivi on kuumimmillaan ja luovuttaa enemmän.

c)

Annettu

lämpöhäviö $150\,\text{W}$ kelviniä kohti, sisällä $21\,{}^\circ\text{C}$, ulkona $-10\,{}^\circ\text{C}$; b-kohdan $P = 1667\,\text{W}$

Kysytty

takan osuus lämmöntarpeesta prosentteina

Periaate

Sisälämpötila pysyy vakiona, kun lämmitys antaa yhtä suuren tehon kuin taloa lähtee. Lähtevä teho on verrannollinen sisä- ja ulkolämpötilan eroon kuten $P = UA\Delta T$ (luku Lämmön siirtyminen, energiatasapaino ja ilmastonmuutos).

Kaava

$P_\text{h}$$= 150\,\tfrac{\text{W}}{\text{K}} \cdot (T_\text{sisä} - T_\text{ulko})$

ja osuus $= \dfrac{P}{P_\text{h}}$

Muunnokset

Lämpötilaero on sama kelvineinä: $21\,{}^\circ\text{C} - (-10\,{}^\circ\text{C}) = 31\,\text{K}$. Suhdeluku muutetaan prosenteiksi kertomalla luvulla $100\,\%$.

Sijoitus

$P_\text{h}$$= 150\,\tfrac{\text{W}}{\text{K}} \cdot 31\,\text{K}$
$= 4650\,\text{W}$

ja osuus $= \dfrac{1667\,\text{W}}{4650\,\text{W}} = 0{,}358 = 35{,}8\,\%$

Vastaus

noin $36\,\%$, kaksi merkitsevää numeroa kuten takan teho.

Järkevyys

Koko tarpeen kattamiseen takassa pitäisi polttaa vuorokaudessa

$4650\,\text{W} \cdot 86\,400\,\text{s} : (0{,}80 \cdot 15\,\text{MJ/kg})$
$\approx 33\,\text{kg}$

puuta, lähes kolme kertaa iltapesällinen. Takka on siis lisälämmitys, kuten varaavat takat yleensä ovat.

d)

Kysytty

miksi peltikamiinan lämmitys loppuu nopeasti ja varaavan takan ei

Periaate

Kappaleen lämpökapasiteetti $C = cm$ kertoo, kuinka paljon energiaa yhden kelvinin muutos vaatii. Lämpö siirtyy pinnalta huoneeseen sitä suuremmalla teholla, mitä suurempi lämpötilaero on (luvut Aineen lämpeneminen ja jäähtyminen ja Lämmön siirtyminen, energiatasapaino ja ilmastonmuutos).

Mallivastaus

Ohuen peltikamiinan massa ja lämpökapasiteetti ovat pienet, joten tuli kuumentaa sen pinnan nopeasti hyvin kuumaksi. Suuri lämpötilaero huoneeseen siirtää energiaa suurella teholla, joten huone lämpenee nopeasti. Pelti ei kuitenkaan varastoi juuri energiaa, joten kun tuli sammuu, kamiina jäähtyy pian ja lämmitys loppuu. Varaavan takan $1800\,\text{kg}$:n kivimassa sitoo saman energian vain noin $80\,\text{K}$:n lämpötilan nousulla. Sen pinta on maltillisen lämmin, joten energiaa siirtyy huoneeseen pienemmällä teholla mutta koko vuorokauden. Takka siis tasaa lämmitystä ajassa: energia ei katoa kummassakaan, mutta se vapautuu eri tahtiin.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa unohdetaan, että vain $80\,\%$ puun energiasta siirtyy kiveen.
  • Lämpöarvon megajouleja ei muunneta jouleiksi, ja lämpötilan nousuksi tulee alle kelvin.
  • b-kohdassa jaetaan tunneilla, mutta ilmoitetaan tulos watteina.
  • c-kohdassa lämpötilaeroksi otetaan $21\,\text{K} - 10\,\text{K} = 11\,\text{K}$ eikä $31\,\text{K}$.
  • d-kohdassa sanotaan, että kivi ”sisältää lämpöä”; kivi varastoi sisäenergiaa, ja lämpö on siirtyvää energiaa.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $Q = \eta H m_\text{puu}$ ja $\Delta T = \dfrac{Q}{c\,m_\text{kivi}}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $Q = 0{,}80 \cdot 15\,\text{MJ/kg} \cdot 12{,}0\,\text{kg} = 144\,\text{MJ}$; megajoulet muunnettu jouleiksi. 2 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\Delta T \approx 82\,\text{K}$ kahdella merkitsevällä numerolla kuten lämpöarvo ja osuus 1 p
Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Kivimassan lämpötila ei ole tasainen: sisäosat lämpenevät enemmän ja pinta vähemmän, joten tulos on keskiarvo. 1 p

b)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $P = \dfrac{Q}{t}$, missä $t = 24\,\text{h}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $P = 144 \cdot 10^{6}\,\text{J} : 86\,400\,\text{s}$; tunnit muunnettu sekunneiksi. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $P \approx 1{,}7\,\text{kW}$ 1 p

c)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Häviöteho $P_\text{h} = 150\,\tfrac{\text{W}}{\text{K}} \cdot \Delta T$, ja energiatasapainossa lämmityksen teho on yhtä suuri kuin häviöteho. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\Delta T = 21\,{}^\circ\text{C} - (-10\,{}^\circ\text{C}) = 31\,\text{K}$ ja $P_\text{h} = 4650\,\text{W}$; osuus $1667\,\text{W} : 4650\,\text{W}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. noin $36\,\%$ 1 p

d)4 p

Selittää lämpökapasiteetilla $C = cm$: suuri kivimassa sitoo saman energian pienellä lämpötilan nousulla, ohut pelti nousee kuumaksi mutta varastoi vähän. 2 p
Kytkee lämpötilaeron tehoon: kamiinan kuuma pinta luovuttaa energian nopeasti suurella teholla, takan maltillisen lämmin pinta hitaasti koko vuorokauden. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Takka tasaa lämmitystä ajassa: sama polttoaineen energia jakautuu tasaisemmin, ja huone pysyy lämpimänä tulen sammuttua. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (13 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

2.2-3 Kiehuvan veden höyrystyminen 20 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Aineisto on keksitty esimerkki: luvut on laskettu mallista, jossa ominaishöyrystymislämpö on $2{,}26\,\text{MJ/kg}$ ja astiasta johtuu huoneeseen noin $70\,\text{W}$ lämpöä tehosta riippumatta, ja niihin on lisätty mittausten kaltaista vaihtelua.

Ryhmä määritti veden ominaishöyrystymislämmön. Avoin teräsastia, jossa oli vettä, oli vaa'an päällä, ja vedessä oli uppokuumennin, jonka tehon sai säädettyä. Kun vesi kiehui tasaisesti, ryhmä luki vaa'an lukeman muutoksen $\Delta m$ viiden minuutin ($300\,\text{s}$) aikana. Mittaus toistettiin viidellä teholla $P$.

$P\ (\text{W})$ $\Delta m\ (\text{g})$
$200$ $17{,}9$
$400$ $43{,}1$
$600$ $70{,}8$
$800$ $96{,}4$
$1000$ $123{,}8$

Ryhmän jäsen laski tuloksen pelkästä $600\,\text{W}$:n mittauksesta: $r = \dfrac{P\,t}{\Delta m} \approx 2{,}54\,\text{MJ/kg}$.

  1. a) Esitä höyrystyneen veden massa kuumentimen tehon funktiona kuvaajana, ja sovita pisteisiin sopiva malli. 5 p
  2. b) Määritä veden ominaishöyrystymislämpö kuvaajan avulla. 6 p
  3. c) Suora ei kulje origon kautta. Määritä kuvaajasta, millä teholla vesi ei höyrystyisi lainkaan, ja tulkitse tulos. 4 p
  4. d) Arvioi, miksi yhdestä mittauksesta laskettu $2{,}54\,\text{MJ/kg}$ eroaa kuvaajan tuloksesta, ja kumpi tulos on luotettavampi. 5 p

Taidot luvuista: Olomuodon muutokset, Graafinen esitys ja suoran sovittaminen, Lämmön siirtyminen, energiatasapaino ja ilmastonmuutos

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

höyrystyneen veden massa $\Delta m$ kuumentimen tehon $P$ funktiona kuvaajana ja siihen sovitettu malli

Kuvaaja

Vaaka-akselilla on teho $P\ (\text{W})$ ja pystyakselilla massa $\Delta m\ (\text{g})$. Asteikot alkavat nollasta, jotta suoran ja vaaka-akselin leikkauskohta näkyy c-kohtaa varten.

$400$
$800$
$1200$
$50$
$100$
$150$
$0$
$P\ (\text{W})$
$\Delta m\ (\text{g})$
$P_\text{h} \approx 70\,\text{W}$
$k \approx 0{,}133\,\text{g/W}$

Kuvaajassa ympyröidyt kohdat ovat ne kaksi suoran pistettä, joista b-kohdan kulmakerroin luetaan. Oranssi piste on suoran ja vaaka-akselin leikkauskohta (c-kohta).

Mallivastaus

Pisteet ovat lähes suoralla: höyrystynyt massa kasvaa tasaisesti tehon mukana. Pisteisiin sovitetaan yksi nouseva suora, joka kulkee pisteiden lomitse. Suoraa ei pakoteta origon kautta, koska mikään fysikaalinen syy ei vaadi sitä: osa tehosta voi kulua muuhun kuin höyrystämiseen. Suoraa jatketaan katkoviivana vaaka-akselille asti, ja se leikkaa akselin selvästi nollan oikealla puolella.

b)

Annettu

a-kohdan suora ja siltä luetut pisteet; mittausaika $t = 300\,\text{s}$

Kysytty

veden ominaishöyrystymislämpö $r$ yksikössä $\text{MJ/kg}$

Periaate

Vesi kiehuu koko ajan, joten sen lämpötila ei nouse, ja höyrystämiseen kuluu se osa kuumentimen tehosta, joka ei johdu ympäristöön. Energia säilyy: $(P - P_\text{h})\,t = r\,\Delta m$, missä $P_\text{h}$ on häviöteho. Siitä $\Delta m = \dfrac{t}{r}\,P - \dfrac{t}{r}\,P_\text{h}$, joten suoran kulmakerroin on $\dfrac{t}{r}$ (luvut Olomuodon muutokset ja Graafinen esitys ja suoran sovittaminen).

Kuvaajan lukeminen

Suoralta luetaan kaksi kaukana toisistaan olevaa pistettä, ei mittauspisteitä: $(100\,\text{W}$; $4{,}0\,\text{g})$ ja $(1100\,\text{W}$; $137{,}0\,\text{g})$.

Kaava

$k$$= \dfrac{\Delta(\Delta m)}{\Delta P}$
$= \dfrac{t}{r}$

joten $r = \dfrac{t}{k}$

Muunnokset

Kulmakerroin grammoista kilogrammoiksi: $1\,\text{g} = 10^{-3}\,\text{kg}$. Yksikkö

$\tfrac{\text{s}}{\text{kg/W}}$$= \tfrac{\text{W}\cdot\text{s}}{\text{kg}}$
$= \tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$

ja lopuksi $1\,\text{MJ} = 10^{6}\,\text{J}$.

Sijoitus

$k$$= \dfrac{137{,}0\,\text{g} - 4{,}0\,\text{g}}{1100\,\text{W} - 100\,\text{W}}$
$= \dfrac{133{,}0\,\text{g}}{1000\,\text{W}}$
$= 0{,}133\,\tfrac{\text{g}}{\text{W}}$
$r$$= \dfrac{300\,\text{s}}{0{,}133 \cdot 10^{-3}\,\tfrac{\text{kg}}{\text{W}}}$
$= 2{,}26 \cdot 10^{6}\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$
$= 2{,}26\,\text{MJ/kg}$

Vastaus

$r \approx 2{,}26\,\text{MJ/kg}$

Kolme merkitsevää numeroa on yläraja, koska silmämääräisesti sovitetun suoran kulmakerroin on noin $\pm 2\,\%$ tarkka; $2{,}3\,\text{MJ/kg}$ on yhtä hyvä vastaus.

Järkevyys

Taulukkoarvo on $2{,}26\,\text{MJ/kg}$, ja pienimmän neliösumman suora antaa $2{,}26\,\text{MJ/kg}$ samoin. Tarkistus yhdellä pisteellä: teholla $600\,\text{W}$ höyrystämiseen jää noin $530\,\text{W}$, ja

$530\,\text{W} \cdot 300\,\text{s} : 2{,}26\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$
$\approx 70\,\text{g}$

kuten taulukossa.

c)

Annettu

a-kohdan suora, joka leikkaa vaaka-akselin; b-kohdan kulmakerroin $k = 0{,}133\,\text{g/W}$ ja suoran piste $(100\,\text{W}$; $4{,}0\,\text{g})$

Kysytty

teho $P_\text{h}$, jolla vesi ei suoran mukaan höyrystyisi, ja sen tulkinta

Periaate

Suoran ja vaaka-akselin leikkauskohdassa $\Delta m = 0$. Energiataseen $(P - P_\text{h})\,t = r\,\Delta m$ mukaan se tapahtuu, kun $P = P_\text{h}$: kuumentimen koko teho johtuu silloin astian seinien ja vedenpinnan kautta huoneeseen. Kiehuva vesi on aina $100\,{}^\circ\text{C}$:ssa, joten lämpötilaero huoneeseen ja siksi häviöteho pysyvät samoina kaikilla tehoilla (luku Lämmön siirtyminen, energiatasapaino ja ilmastonmuutos).

Kuvaajan lukeminen

Katkoviivana jatkettu suora leikkaa vaaka-akselin noin kohdassa $70\,\text{W}$.

Kaava

$0 = k\,(P_\text{h} - P_1) + \Delta m_1$, joten

$P_\text{h}$$= P_1 - \dfrac{\Delta m_1}{k}$

Muunnokset

Ei tarvita: kulmakerroin ja massa ovat grammoina ja teho watteina.

Sijoitus

$P_\text{h}$$= 100\,\text{W} - \dfrac{4{,}0\,\text{g}}{0{,}133\,\tfrac{\text{g}}{\text{W}}}$
$= 100\,\text{W} - 30\,\text{W}$
$= 70\,\text{W}$

Vastaus

$P_\text{h} \approx 70\,\text{W}$

Eli noin $70\,\text{W}$ kuumentimen tehosta johtuu huoneeseen eikä höyrystä vettä. Yksi tai kaksi merkitsevää numeroa, koska leikkauskohta saadaan jatkamalla suoraa mitatun alueen ulkopuolelle ja pieni muutos kulmakertoimessa siirtää sitä kymmenillä wateilla.

Järkevyys

Pienimmän neliösumman suora leikkaa akselin kohdassa $69\,\text{W}$. Häviöteho on muutama prosentti suurimmasta tehosta mutta yli kolmannes pienimmästä, mikä sopii avoimen teräsastian lämmönjohtumiseen ja konvektioon.

d)

Kysytty

miksi yhden mittauksen tulos $2{,}54\,\text{MJ/kg}$ on liian suuri ja kumpi tulos on luotettavampi

Periaate

Energia säilyy: kuumentimen energia $P\,t$ jakautuu höyrystämiseen ja huoneeseen johtuvaan lämpöön, $P\,t = r\,\Delta m + P_\text{h}\,t$ (luku Olomuodon muutokset).

Mallivastaus

Yhden mittauksen laskussa $r = \dfrac{P\,t}{\Delta m}$ koko kuumentimen energia oletetaan kuluneen höyrystämiseen. Todellisuudessa noin $70\,\text{W}$ johtuu huoneeseen, joten teholla $600\,\text{W}$ höyrystämiseen jää vain noin $530\,\text{W}$. Laskussa on siis liikaa energiaa samaa massaa kohti, ja tulos on noin $600 : 530 \approx 1{,}13$-kertainen eli noin $13\,\%$ liian suuri. Kuvaajasta saatu tulos on luotettavampi. Vakiona pysyvä häviöteho siirtää suoraa sivulle mutta ei muuta sen kulmakerrointa, joten kulmakertoimesta laskettu $r$ ei sisällä häviötä. Lisäksi viisi mittausta ja niiden lomitse sovitettu suora pienentävät yksittäisen lukeman satunnaisvirheen vaikutusta. Menetelmä olettaa, että häviöteho on sama kaikilla tehoilla. Se on perusteltua, koska kiehuva vesi on aina $100\,{}^\circ\text{C}$:ssa, ja pisteiden asettuminen suoralle tukee oletusta.

Yleisiä virheitä

  • Suora pakotetaan origon kautta, jolloin kulmakerroin ja $r$ vääristyvät ja häviöteho jää näkemättä.
  • Kulmakerroin lasketaan kahdesta vierekkäisestä mittauspisteestä eikä sovitetusta suorasta.
  • b-kohdassa grammoja ei muunneta kilogrammoiksi, jolloin tulokseksi tulee tuhat kertaa liian pieni arvo.
  • b-kohdassa $r$:ksi otetaan kulmakerroin itse eikä $\dfrac{t}{k}$.
  • d-kohdassa sanotaan vain ”mittausvirhe” kertomatta, mikä energia on laskettu väärin ja mihin suuntaan se muuttaa tulosta.

Hyväksytään myös

  • Kulmakerroin $0{,}128$…$0{,}138\,\text{g/W}$, kun suora on sovitettu silmämääräisesti pisteiden lomitse, ja sen mukaiset tulokset: b-kohdassa $2{,}2$–$2{,}3\,\text{MJ/kg}$ ja c-kohdassa $50$–$90\,\text{W}$.
  • b-kohdassa massan tuotto voidaan laskea myös sekunnissa: $\dfrac{\Delta m}{t}$ tehon funktiona, jolloin kulmakerroin on $\dfrac{1}{r}$.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. Vaaka-akselilla $P\ (\text{W})$, pystyakselilla $\Delta m\ (\text{g})$, asteikot alkavat nollasta. 1 p
Jokainen mittaus on merkitty erillisenä pisteenä oikealle paikalleen. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii, eikä pisteitä ole yhdistetty murtoviivaksi. Pisteisiin on sovitettu nouseva suora, joka kulkee pisteiden lomitse; suoraa ei ole pakotettu origon kautta. 2 p
Jatkaa suoraa katkoviivana vaaka-akselille asti c-kohtaa varten. 1 p

b)6 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Kulmakerroin kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä, esimerkiksi $(100\,\text{W}$; $4{,}0\,\text{g})$ ja $(1100\,\text{W}$; $137{,}0\,\text{g})$: noin $0{,}133\,\text{g/W}$. 2 p
Perustelee mallin: energia säilyy, joten $(P - P_\text{h})\,t = r\,\Delta m$, ja suoran kulmakerroin on $\dfrac{t}{r}$. 2 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $r = \dfrac{t}{k} = \dfrac{300\,\text{s}}{0{,}133 \cdot 10^{-3}\,\text{kg/W}}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $r \approx 2{,}26\,\text{MJ/kg}$; tulos $2{,}2$–$2{,}3\,\text{MJ/kg}$ hyväksytään. 1 p

c)4 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Suora leikkaa vaaka-akselin noin teholla $70\,\text{W}$; $50$–$90\,\text{W}$ hyväksytään. 1 p
Tulkitsee leikkauskohdan: osa kuumentimen tehosta johtuu astian seinien ja pinnan kautta huoneeseen eikä höyrystä vettä; häviöteho on noin $70\,\text{W}$. 2 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $P_\text{h} \approx 70\,\text{W}$ yhdellä tai kahdella merkitsevällä numerolla 1 p

d)5 p

Tärkeimmät virhelähteet on nimetty ja kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. Yhden mittauksen laskussa koko teho oletetaan höyrystämiseen, vaikka noin $70\,\text{W}$ johtuu huoneeseen. Silloin energiaa on laskettu liikaa, ja tulos on liian suuri, noin $12\,\%$. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Kuvaajan kulmakerroin on luotettavampi: vakiona pysyvä häviö siirtää vain suoraa eikä muuta kulmakerrointa, ja viisi pistettä pienentää satunnaisvirheen vaikutusta. 2 p
Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Menetelmä olettaa, että häviöteho on sama kaikilla tehoilla; se on perusteltua, koska kiehuva vesi on aina $100\,{}^\circ\text{C}$:ssa ja lämpötilaero huoneeseen pysyy samana. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 20 (14 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

2.2-4 Järvi talvella 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Tilanne on keksitty esimerkki. Pilkkijän väite on keksitty arkiuskomus, jota tehtävässä arvioidaan.

Syvä järvi jäätyy marraskuussa. Kevättalvella jää on $40\,\text{cm}$ paksua, mutta järven pohjalla vesi on yhä noin $4\,{}^\circ\text{C}$:ista, ja kalat elävät siellä koko talven. Jään yläpinta on pakkasen lämpötilassa ja alapinta $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa.

Pilkkijä sanoo: ”Paksu lumipeite jään päällä vahvistaa jäätä, koska lumi on kylmää ja jäähdyttää jäätä.”

  1. a) Selitä, miksi järvi jäätyy pinnalta alkaen ja miksi pohjalla on talvellakin noin $4\,{}^\circ\text{C}$:ista vettä. 5 p
  2. b) Selitä energian säilymisen ja lämmön siirtymisen avulla, mihin jäätyvän veden energia menee ja miksi jää kasvaa sitä hitaammin, mitä paksumpaa se on. 5 p
  3. c) Arvioi pilkkijän väite. 5 p

Taidot luvuista: Lämpölaajeneminen, Olomuodon muutokset, Lämmön siirtyminen, energiatasapaino ja ilmastonmuutos

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

miksi järvi jäätyy pinnalta ja miksi pohjan vesi on noin $4\,{}^\circ\text{C}$:ista

Periaate

Useimmat aineet laajenevat lämmetessään, mutta vesi kutistuu $0\,{}^\circ\text{C}$:n ja $4\,{}^\circ\text{C}$:n välillä, joten sen tiheys on suurin noin $4\,{}^\circ\text{C}$:ssa. Tiheämpi vesi painuu alas ja kevyempi nousee ylös (luku Lämpölaajeneminen).

Mallivastaus

Syksyllä kylmä ilma jäähdyttää järven pintaa. Niin kauan kuin pintavesi on yli $4\,{}^\circ\text{C}$:ista, jäähtyessään se tihenee ja painuu pohjalle, ja tilalle nousee lämpimämpää vettä. Näin koko järvi jäähtyy vähitellen noin $4\,{}^\circ\text{C}$:seen. Kun pinta jäähtyy tämän alle, vesi alkaa laajeta jäähtyessään: kylmempi vesi on nyt kevyempää kuin pohjan $4\,{}^\circ\text{C}$:inen, joten se jää pinnalle ja jäätyy siellä. Pohjalle jää tihein, noin $4\,{}^\circ\text{C}$:inen vesi, eikä se nouse pintaan jäähtymään. Lisäksi jää on vettä kevyempää ja kelluu, joten järvi jäätyy pinnalta alaspäin eikä pohjasta ylöspäin.

b)

Kysytty

mihin jäätyvän veden energia menee ja miksi jää kasvaa hitaammin paksuna

Periaate

Jäätyessään vesi luovuttaa sulamislämmön $Q = sm$, vaikka lämpötila pysyy $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa (luku Olomuodon muutokset). Lämpö johtuu lämpimästä kylmään, ja johtuva teho on sitä pienempi, mitä paksumpi kerros on samalla lämpötilaerolla (luku Lämmön siirtyminen, energiatasapaino ja ilmastonmuutos).

Mallivastaus

Jään alapinnalla vesi on $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa. Jotta se jäätyisi, siitä on siirryttävä pois sulamislämpö, noin $334\,\text{kJ}$ jokaista kilogrammaa kohti; yhden senttimetrin kerros neliömetrillä vaatii noin $3\,\text{MJ}$. Energia säilyy, joten tämän energian on johduttava jään läpi kylmään ilmaan, ja jää kasvaa vain sitä mukaa kuin energiaa johtuu pois. Jään läpi johtuva teho riippuu lämpötilaerosta pakkasilman ja $0\,{}^\circ\text{C}$:n alapinnan välillä sekä kerroksen paksuudesta. Paksu kerros eristää paremmin, eli sen U-arvo on pienempi, joten samalla pakkasella sen läpi johtuu pienempi teho. Siksi ohut syysjää paksunee nopeasti, mutta $40\,\text{cm}$:n jää kasvaa samalla pakkasella hitaasti.

c)

Kysytty

vahvistaako lumipeite jäätä

Periaate

Lumessa on paljon ilmaa, ja ilma johtaa lämpöä huonosti (luku Lämmön siirtyminen, energiatasapaino ja ilmastonmuutos). Jään kasvu vaatii, että jäätymisessä vapautuva energia johtuu pois (b-kohta).

Mallivastaus

Väite on väärä. Lumi ei siirrä jäähän ”kylmää”: energiaa siirtyy aina lämpimämmästä kylmempään, eli jäästä lumen kautta ilmaan. Lumi on huono lämmönjohde, koska siinä on paljon ilmaa. Se toimii jään päällä eristeenä kuin villa seinässä, joten jään alapinnalta johtuu vähemmän energiaa pois ja vettä jäätyy vähemmän. Paksun lumipeitteen alla jää siis kasvaa hitaammin ja jää ohuemmaksi kuin paljaana. Lisäksi raskas lumi voi painaa jäätä alas, jolloin vettä nousee halkeamista jään päälle ja syntyy heikkoa sohjoa tai kohvajäätä. Lumi heikentää jäätä eikä vahvista sitä.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa sanotaan vain, että ”jää kelluu”, mutta ei selitetä, miksi pohjan vesi on $4\,{}^\circ\text{C}$:ista.
  • Väitetään, että kylmä vesi on aina tiheämpää kuin lämmin.
  • b-kohdassa unohdetaan, että jäätyminen vapauttaa energiaa, ja selitetään kasvu pelkällä lämpötilalla.
  • c-kohdassa hyväksytään ajatus kylmyyden siirtymisestä lumesta jäähän.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Kertoo, että veden tiheys on suurin noin $4\,{}^\circ\text{C}$:ssa: $0\,{}^\circ\text{C}$:n ja $4\,{}^\circ\text{C}$:n välillä vesi kutistuu lämmetessään. 2 p
Selittää kerrostumisen: syksyllä jäähtyvä pintavesi painuu pohjalle, kunnes koko järvi on noin $4\,{}^\circ\text{C}$:ista; sen jälkeen kylmempi ja kevyempi vesi jää pinnalle ja jäätyy. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Pohjan $4\,{}^\circ\text{C}$:inen vesi on tihein, joten se pysyy alhaalla jään alla. 1 p

b)5 p

Kertoo, että jäätyessään vesi luovuttaa sulamislämmön, noin $334\,\text{kJ}$ kilogrammaa kohti, vaikka lämpötila pysyy $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa. 1 p
Selittää, että tämä energia johtuu jään läpi kylmään ilmaan; jää kasvaa vain sitä mukaa kuin energiaa johtuu pois. 2 p
Perustelee, että paksun jääkerroksen läpi johtuu sama lämpötilaero huomioiden pienempi teho (paksumman kerroksen U-arvo on pienempi), joten jäätä syntyy hitaammin. 2 p

c)5 p

Huomaa, että lumi on huono lämmönjohde, koska siinä on paljon ilmaa: se eristää jään pakkasesta eikä jäähdytä sitä. 2 p
Päättelee, että lumen alla jään alapinnalta johtuu vähemmän energiaa pois, joten jää kasvaa hitaammin ja jää ohuemmaksi. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite on väärä: lumipeite hidastaa jään kasvua. Lisäksi raskas lumi voi painaa jäätä alas, jolloin vettä nousee jään päälle ja syntyy heikkoa sohjojäätä. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (9 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

2.2-5 Jään sulamislämpö kalorimetrillä 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Raportti ja sen mittaustulokset ovat keksittyjä esimerkkejä.

Ote opiskelijaryhmän raportista:

Kaadoimme styroksimukiin $0{,}200\,\text{kg}$ vettä, jonka lämpötila oli $40{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Otimme pakastimesta jääpaloja, punnitsimme ne nopeasti ($0{,}0500\,\text{kg}$) ja pudotimme ne veteen. Sekoitimme, kunnes jää oli sulanut, ja lämpötila asettui arvoon $14{,}3\,{}^\circ\text{C}$. Laskimme jään ominaissulamislämmöksi $371\,\text{kJ/kg}$. Taulukkoarvo $334\,\text{kJ/kg}$ on siis väärä, tai muki ottaa lämpöä.

Pakastimen lämpötila oli $-18{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Veden $c = 4190\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$ ja jään $c = 2100\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$.

  1. a) Näytä, miten ryhmä sai tulokseksi $371\,\text{kJ/kg}$. Mitä ryhmä oletti jään alkulämpötilasta? 5 p
  2. b) Laske tulos uudelleen, kun otat huomioon jään todellisen alkulämpötilan. Arvioi ryhmän johtopäätös. 5 p
  3. c) Ryhmä haluaa toistaa mittauksen luotettavammin. Ehdota kolme parannusta ja perustele, mihin virhelähteeseen kukin vaikuttaa. 5 p

Taidot luvuista: Lämpötasapaino olomuodon muuttuessa, Aineen lämpeneminen ja jäähtyminen: $Q = cm\Delta T$, Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

vesi $m_\text{v} = 0{,}200\,\text{kg}$, $T_\text{v} = 40{,}0\,{}^\circ\text{C}$; jää $m_\text{j} = 0{,}0500\,\text{kg}$; lopputila $T = 14{,}3\,{}^\circ\text{C}$; $c_\text{v} = 4190\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$

Kysytty

ryhmän tulos $s$ yksikössä $\text{kJ/kg}$ ja sen oletus jään alkulämpötilasta

Periaate

Energia säilyy, kun muki ja ilma eivät ota lämpöä: veden luovuttama lämpö on yhtä suuri kuin jään vastaanottama. Ryhmän laskussa jää vain sulaa ($Q = sm$) ja sulamisvesi lämpenee $0\,{}^\circ\text{C}$:sta lopputilaan ($Q = cm\Delta T$). Jään lämpenemistä ei ole, joten ryhmä on olettanut jään olleen $0\,{}^\circ\text{C}$:ista (luku Lämpötasapaino olomuodon muuttuessa).

Kaava

$c_\text{v} m_\text{v} (T_\text{v} - T)$$= s\,m_\text{j} + c_\text{v} m_\text{j}\,(T - 0\,{}^\circ\text{C})$

joten

$s$$= \dfrac{c_\text{v} m_\text{v} (T_\text{v} - T) - c_\text{v} m_\text{j} T}{m_\text{j}}$

Muunnokset

Lämpötilaerot ovat samat kelvineinä: vesi jäähtyy $25{,}7\,\text{K}$ ja sulamisvesi lämpenee $14{,}3\,\text{K}$. Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

Sijoitus

Veden luovuttama lämpö on

$4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}200\,\text{kg} \cdot 25{,}7\,\text{K}$
$= 21\,537\,\text{J}$

ja sulamisveden lämpeneminen

$4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}0500\,\text{kg} \cdot 14{,}3\,\text{K}$
$= 2996\,\text{J}$

Siis

$s$$= \dfrac{21\,537\,\text{J} - 2996\,\text{J}}{0{,}0500\,\text{kg}}$
$= 370\,800\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$
$= 371\,\text{kJ/kg}$

Vastaus

$371\,\text{kJ/kg}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten massat ja lämpötilat. Ryhmä on olettanut, että jää oli $0\,{}^\circ\text{C}$:ista, vaikka se otettiin pakastimesta.

Järkevyys

Tulos on noin $11\,\%$ taulukkoarvoa $334\,\text{kJ/kg}$ suurempi, mikä on liikaa huolellisen mittauksen satunnaisvirheeksi. Se viittaa systemaattiseen virheeseen, jota b-kohdassa etsitään.

b)

Annettu

a-kohdan tiedot; jään alkulämpötila $T_\text{j} = -18{,}0\,{}^\circ\text{C}$, $c_\text{j} = 2100\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$

Kysytty

korjattu ominaissulamislämpö $s$ ja johtopäätöksen arvio

Periaate

Pakastimen jää lämpenee ensin $-18{,}0\,{}^\circ\text{C}$:sta $0\,{}^\circ\text{C}$:seen, ja siihen kuluu osa veden luovuttamasta energiasta. Ryhmän laskussa tämä osa on luettu sulamislämmöksi, joten sen tulos on liian suuri. Energiataseeseen lisätään jään lämpeneminen.

Kaava

$c_\text{v} m_\text{v} (T_\text{v} - T)$$= c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j} + s\,m_\text{j} + c_\text{v} m_\text{j} T$

joten

$s$$= \dfrac{c_\text{v} m_\text{v} (T_\text{v} - T) - c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j} - c_\text{v} m_\text{j} T}{m_\text{j}}$

Muunnokset

Jään lämpeneminen

$\Delta T_\text{j}$$= 0\,{}^\circ\text{C} - (-18{,}0\,{}^\circ\text{C})$
$= 18{,}0\,\text{K}$

sama kelvineinä.

Sijoitus

$c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j}$$= 2100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}0500\,\text{kg} \cdot 18{,}0\,\text{K}$
$= 1890\,\text{J}$
$s$$= \dfrac{21\,537\,\text{J} - 1890\,\text{J} - 2996\,\text{J}}{0{,}0500\,\text{kg}}$
$= 333\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$
$= 333\,\text{kJ/kg}$

Vastaus

$333\,\text{kJ/kg}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten mittaustulokset. Ryhmän johtopäätös ei pidä: korjattu tulos on taulukkoarvon $334\,\text{kJ/kg}$ mukainen, ja ero johtui virheellisestä oletuksesta, ei taulukosta. Muki ei myöskään selitä eroa. Jos muki ottaisi lämpöä, ryhmän kaava lukisi senkin jään hyväksi, ja tulos olisi tosin liian suuri, mutta erotus $1890\,\text{J}$ vaatisi mukilta noin $1890\,\text{J} : 25{,}7\,\text{K} \approx 70\,\text{J/K}$ lämpökapasiteetin. Muutaman gramman styroksimukin lämpökapasiteetti on vain muutama $\text{J/K}$, ja korjattu arvo on jo taulukon mukainen.

Järkevyys

Jään lämpeneminen vie $1890\,\text{J}$ eli vain noin $9\,\%$ veden luovuttamasta lämmöstä, mutta jaettuna pienellä jäämassalla se on $38\,\text{kJ/kg}$, juuri tulosten ero $371 - 333$. Korjattu arvo poikkeaa taulukosta alle prosentin, mikä on mittausten tarkkuuden rajoissa.

c)

Kysytty

kolme parannusta mittaukseen ja niiden perustelut

Periaate

Luotettava mittaus poistaa systemaattiset virheet tai ottaa ne huomioon ja pienentää satunnaisvirhettä toistoilla (luku Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus).

Mallivastaus

Ensiksi jää otetaan jäävesiastiasta, jossa se on sulamassa ja siis tasan $0\,{}^\circ\text{C}$:ista, ja sen pinta kuivataan paperilla juuri ennen kuin se pudotetaan veteen. Silloin laskun oletus pätee, eikä jään pinnalla oleva vesi kasvata mitattua jäämassaa. Toinen tapa on mitata jään lämpötila ja ottaa lämpeneminen huomioon kuten b-kohdassa. Toiseksi jään massa määritetään erotuksena: muki ja vesi punnitaan ennen jään lisäämistä ja sulamisen jälkeen, jolloin punnittu massa on juuri se jää, joka päätyi veteen eikä käsittelyn aikana sulanut tai pudonnut jää vääristä tulosta. Kolmanneksi lämmönvaihtoa ympäristön kanssa pienennetään: mukissa on kansi, ja alkulämpötila valitaan niin, että se on yhtä paljon huoneenlämmön yläpuolella kuin loppulämpötila sen alapuolella, jolloin huoneesta tuleva ja huoneeseen lähtevä lämpö lähes kumoavat toisensa. Lopuksi mittaus toistetaan useita kertoja, ja tuloksena ilmoitetaan keskiarvo ja tulosten vaihtelu.

Yleisiä virheitä

  • Sulamisveden lämpeneminen $0\,{}^\circ\text{C}$:sta lopputilaan unohdetaan, jolloin a-kohdassa saadaan noin $431\,\text{kJ/kg}$.
  • b-kohdassa jään lämpenemiseen käytetään veden ominaislämpökapasiteettia.
  • Muki hyväksytään selitykseksi arvioimatta, kuinka suuri sen lämpökapasiteetin pitäisi olla: styroksimukin lämpökapasiteetti on liian pieni selittämään $38\,\text{kJ/kg}$:n eroa.
  • c-kohdassa ehdotetaan vain ”tarkempaa lämpömittaria” kertomatta, mihin virheeseen se vaikuttaa.

Hyväksytään myös

  • a-kohdassa sulamisveden lämpenemisen voi laskea omana terminään ja vähentää sen lopuksi; tulos on sama.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $c_\text{v} m_\text{v} (T_\text{v} - T) = s m_\text{j} + c_\text{v} m_\text{j} T$, josta $s$ ratkaistuna 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Veden luovuttama $21\,537\,\text{J}$ ja sulamisveden lämpeneminen $2996\,\text{J}$; $s = 18\,541\,\text{J} : 0{,}0500\,\text{kg}$ 2 p
Toteaa, että laskussa jään oletetaan olleen $0\,{}^\circ\text{C}$:ista, koska jään lämpenemistä ei ole otettu huomioon. 2 p

b)5 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Energiataseeseen lisätään jään lämpeneminen $c_\text{j} m_\text{j} \cdot 18{,}0\,\text{K}$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $c_\text{j} m_\text{j} \Delta T_\text{j} = 1890\,\text{J}$ ja $s = (18\,541 - 1890)\,\text{J} : 0{,}0500\,\text{kg}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $s \approx 333\,\text{kJ/kg}$, kolme merkitsevää numeroa 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Johtopäätös ei pidä: korjattu tulos on taulukkoarvon mukainen, ja ero johtui virheellisestä oletuksesta eikä taulukosta. Muki ei selitä eroa: sen pitäisi ottaa noin $1890\,\text{J}$, mutta styroksimukin lämpökapasiteetti on vain muutama $\text{J/K}$. 2 p

c)5 p

Käyttää jäätä, joka on sulamassa $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa, ja kuivaa sen pinnan ennen punnitsemista, tai mittaa jään lämpötilan ja ottaa sen huomioon (jään lämpeneminen, jään pinnalla oleva vesi). 2 p
Määrittää jään massan erotuksena punnitsemalla mukin ennen jään lisäämistä ja sen jälkeen, jolloin käsittelyn aikana sulanut tai pudonnut jää ei vääristä massaa. 1 p
Pienentää lämmönvaihtoa ympäristön kanssa: kansi, alkulämpötila yhtä paljon huoneenlämmön yläpuolella kuin loppulämpötila sen alapuolella, tai mukin lämpökapasiteetin huomioon ottaminen. 1 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Toistaa mittauksen useita kertoja ja ilmoittaa keskiarvon ja tulosten vaihtelun. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (11 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

2.2-6 Jarrut tunturitiellä 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Auto, tie ja luvut ovat keksittyjä esimerkkejä. Jarrulevyihin siirtyvä osuus $85\,\%$ ja ajovastus $450\,\text{N}$ ovat pyöristettyjä suuruusluokka-arvoja.

Henkilöauton massa matkustajineen on $1600\,\text{kg}$. Auton neljän valurautaisen jarrulevyn massa on yhteensä $30\,\text{kg}$, ja raudan ominaislämpökapasiteetti on $450\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$. Jarrutettaessa noin $85\,\%$ jarruihin siirtyvästä energiasta lämmittää levyjä ja loput jarrupaloja.

Tunturitie laskee $4{,}0\,\text{km}$:n matkalla $250\,\text{m}$. Kuljettaja laskee mäen tasaisella nopeudella $60\,\text{km/h}$ ja käyttää pelkkiä jarruja. Ilmanvastus ja vierimisvastus jarruttavat autoa yhteensä keskimäärin $450\,\text{N}$:n voimalla.

  1. a) Auto pysäytetään tasaisella tiellä nopeudesta $90\,\text{km/h}$. Kuinka paljon jarrulevyjen lämpötila nousee? 4 p
  2. b) Kuinka paljon jarrulevyjen lämpötila nousisi alamäessä, jos levyt eivät luovuttaisi lämpöä ilmaan? 5 p
  3. c) Mäen alla mitattiin, että levyjen lämpötila oli noussut vain $80\,\text{K}$. Kuinka suuri osa levyihin tulleesta energiasta siirtyi mäen aikana ilmaan, ja millä tavoilla se siirtyi? 3 p
  4. d) Kuljettajalle neuvotaan: ”Käytä pitkässä alamäessä moottorijarrutusta, ettei jarru kuumene.” Perustele neuvo energian avulla. 3 p

Taidot luvuista: Liike-energia, potentiaalienergia ja mekaaninen energia, Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate, Aineen lämpeneminen ja jäähtyminen: $Q = cm\Delta T$, Lämmön siirtyminen, energiatasapaino ja ilmastonmuutos

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

auton massa $m = 1600\,\text{kg}$, nopeus $v = 90\,\text{km/h}$; levyjen massa $m_\text{l} = 30\,\text{kg}$, $c = 450\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$; levyihin siirtyvä osuus $85\,\%$

Kysytty

levyjen lämpötilan nousu $\Delta T$

Periaate

Tasaisella tiellä jarrutus muuttaa auton liike-energian kitkassa jarrujen sisäenergiaksi; energia säilyy (luku Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate). Ilmanvastuksen osuus lyhyessä jarrutuksessa on pieni, joten se jätetään huomiotta. Levyt pysyvät kiinteinä, joten niiden vastaanottama lämpö nostaa lämpötilaa $Q = cm\Delta T$:n mukaan.

Kaava

$E_\text{k} = \tfrac{1}{2} m v^2$ ja $0{,}85\,E_\text{k} = c\,m_\text{l}\,\Delta T$, joten

$\Delta T$$= \dfrac{0{,}85 \cdot \tfrac{1}{2} m v^2}{c\,m_\text{l}}$

Muunnokset

$90\,\text{km/h}$$= 90 \cdot \dfrac{1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$
$= 25\,\text{m/s}$

$85\,\% = 0{,}85$.

Sijoitus

$E_\text{k}$$= \tfrac{1}{2} \cdot 1600\,\text{kg} \cdot (25\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}})^2$
$= 500\,000\,\text{J}$
$\Delta T$$= \dfrac{0{,}85 \cdot 500\,000\,\text{J}}{450\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 30\,\text{kg}}$
$= \dfrac{425\,000\,\text{J}}{13\,500\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}}$
$= 31{,}5\,\text{K}$

Vastaus

noin $31\,\text{K}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten levyjen massa $30\,\text{kg}$ ja nopeus $90\,\text{km/h}$.

Järkevyys

Yksi pysäytys lämmittää levyjä muutamia kymmeniä asteita, mikä sopii kokemukseen: jarrulevyt ovat kovan jarrutuksen jälkeen kuumia mutta eivät hehku. Ilmanvastus pienentäisi levyihin tulevaa energiaa vähän, joten tulos on yläraja.

b)

Annettu

pudotus $h = 250\,\text{m}$, matka $s = 4{,}0\,\text{km}$, ajovastus $F = 450\,\text{N}$, vakionopeus; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; a-kohdan tiedot

Kysytty

levyjen lämpötilan nousu $\Delta T$ ilman jäähtymistä

Periaate

Nopeus on vakio, joten liike-energia ei muutu. Energiaperiaatteen mukaan potentiaalienergian väheneminen $mgh$ kuluu ajovastusten työhön $Fs$ ja jarruihin (luvut Liike-energia, potentiaalienergia ja mekaaninen energia ja Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate). Jarruihin tulevasta energiasta $85\,\%$ lämmittää levyjä.

Kaava

$Q_\text{jarrut} = mgh - Fs$ ja $0{,}85\,Q_\text{jarrut} = c\,m_\text{l}\,\Delta T$, joten

$\Delta T$$= \dfrac{0{,}85\,(mgh - Fs)}{c\,m_\text{l}}$

Muunnokset

$4{,}0\,\text{km}$$= 4{,}0 \cdot 1000\,\text{m}$
$= 4000\,\text{m}$

Sijoitus

$mgh$$= 1600\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 250\,\text{m}$
$= 3\,924\,000\,\text{J}$
$Fs$$= 450\,\text{N} \cdot 4000\,\text{m}$
$= 1\,800\,000\,\text{J}$
$\Delta T$$= \dfrac{0{,}85 \cdot 2\,124\,000\,\text{J}}{13\,500\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}}$
$= \dfrac{1\,805\,400\,\text{J}}{13\,500\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}}$
$= 133{,}7\,\text{K}$

Vastaus

noin $1{,}3 \cdot 10^{2}\,\text{K}$ eli $130\,\text{K}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten matka $4{,}0\,\text{km}$.

Järkevyys

Alamäki vapauttaa noin neljä kertaa enemmän energiaa jarruihin kuin yksi pysäytys nopeudesta $90\,\text{km/h}$ ($1{,}81\,\text{MJ}$ ja $0{,}43\,\text{MJ}$), joten nousu on noin neljä kertaa suurempi. Ilman jäähtymistä levyt kuumenisivat noin $150\,{}^\circ\text{C}$:seen, mikä on mahdollista mutta jo lähellä tavallisen jarrun mukavaa käyttöaluetta.

c)

Annettu

b-kohdan levyihin tullut energia $Q = 1{,}805\,\text{MJ}$; levyjen lämpötila nousi $80\,\text{K}$; $c\,m_\text{l} = 13\,500\,\text{J/K}$

Kysytty

ilmaan siirtyneen energian osuus prosentteina ja siirtymistavat

Periaate

Energia säilyy: levyihin tullut energia joko jäi levyihin ja nosti niiden lämpötilaa ($Q = cm\Delta T$) tai siirtyi mäen aikana pois. Kuuma levy luovuttaa lämpöä ohi virtaavaan ilmaan konvektiona, säteilee ja johtaa lämpöä napaan ja vanteeseen (luku Lämmön siirtyminen, energiatasapaino ja ilmastonmuutos).

Kaava

$Q_\text{ilma} = Q - c\,m_\text{l}\,\Delta T$ ja osuus $= \dfrac{Q_\text{ilma}}{Q}$

Muunnokset

Ei tarvita: energiat ovat jouleina, ja suhdeluku muutetaan prosenteiksi kertomalla luvulla $100\,\%$.

Sijoitus

$Q_\text{ilma}$$= 1\,805\,400\,\text{J} - 13\,500\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}} \cdot 80\,\text{K}$
$= 1\,805\,400\,\text{J} - 1\,080\,000\,\text{J}$
$= 725\,400\,\text{J}$

ja osuus $= \dfrac{725\,400\,\text{J}}{1\,805\,400\,\text{J}} = 0{,}402 = 40{,}2\,\%$

Vastaus

noin $40\,\%$, kaksi merkitsevää numeroa kuten b-kohdan tulos. Energia siirtyi pääosin konvektiona levyn ohi virtaavaan ilmaan, lisäksi lämpösäteilynä ja johtumalla navan ja vanteen kautta.

Järkevyys

Mäki kestää $4000\,\text{m} : 16{,}7\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} = 240\,\text{s}$, ja levyihin tulee keskimäärin noin $7{,}5\,\text{kW}$. Ilmaan siirtyi keskimäärin $725\,\text{kJ} : 240\,\text{s} \approx 3\,\text{kW}$, mikä on uskottava neljälle kuumalle levylle ajoviimassa.

d)

Kysytty

miksi moottorijarrutus säästää jarruja energian kannalta

Periaate

Energia säilyy, joten potentiaalienergian väheneminen muuttuu sisäenergiaksi jossakin. Moottorijarrutuksessa pyörät pyörittävät moottoria, jonka kitka vastustaa liikettä (luku Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate).

Mallivastaus

Moottorijarrutuksessa potentiaalienergia ei katoa, vaan se muuttuu moottorin kitkassa moottorin sisäenergiaksi. Moottorin jäähdytysjärjestelmä on tehty siirtämään suuria lämpötehoja ilmaan, joten moottori ei ylikuumene. Silloin jarrulevyihin tulee vähän energiaa, ne pysyvät viileinä, ja jarrut toimivat täydellä teholla, kun niitä todella tarvitaan. Neuvo on siis perusteltu: energia ei vähene, mutta sen lämmittämä kohde vaihtuu jarruista moottoriin.

Yleisiä virheitä

  • Nopeutta ei muunneta metreiksi sekunnissa, jolloin liike-energia on yli kymmenkertainen.
  • b-kohdassa koko potentiaalienergia annetaan jarruille, jolloin tulokseksi tulee noin $250\,\text{K}$.
  • b-kohdassa lasketaan mukaan liike-energia, vaikka nopeus on vakio.
  • c-kohdassa sanotaan, että energia ”kului” tai ”hävisi”, kertomatta, mihin se siirtyi.
  • d-kohdassa väitetään, että moottorijarrutuksessa energia ei muutu lämmöksi lainkaan.

Hyväksytään myös

  • a-kohdassa vastaus $31{,}5\,\text{K}$ tai $32\,\text{K}$, kun perusteluna on pyöristys.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $E_\text{k} = \tfrac{1}{2} m v^2$ ja $0{,}85\,E_\text{k} = c\,m_\text{levyt}\,\Delta T$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $90\,\text{km/h} = 90 \cdot \dfrac{1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}} = 25\,\text{m/s}$ ja $E_\text{k} = 500\,\text{kJ}$ 2 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\Delta T \approx 31\,\text{K}$ 1 p

b)5 p

Perustelee energiaperiaatteella: nopeus on vakio, joten liike-energia ei muutu, ja potentiaalienergian väheneminen kuluu ajovastusten työhön ja jarruihin. 2 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $Q_\text{jarrut} = mgh - F s$ ja $\Delta T = \dfrac{0{,}85\,Q_\text{jarrut}}{c\,m_\text{levyt}}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $mgh = 3{,}92\,\text{MJ}$, $Fs = 1{,}80\,\text{MJ}$ ja levyihin $1{,}81\,\text{MJ}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\Delta T \approx 130\,\text{K}$ kahdella merkitsevällä numerolla 1 p

c)3 p

Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Levyihin jäi $c\,m\,\Delta T = 1{,}08\,\text{MJ}$, ilmaan siirtyi $1{,}81\,\text{MJ} - 1{,}08\,\text{MJ} \approx 0{,}73\,\text{MJ}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. noin $40\,\%$ 1 p
Nimeää siirtymistavat: pääosin konvektio levyn ohi virtaavaan ilmaan, lisäksi lämpösäteily ja johtuminen navan ja vanteen kautta. 1 p

d)3 p

Selittää, että moottorijarrutuksessa potentiaalienergia muuttuu moottorin kitkan kautta sisäenergiaksi moottorissa, ja moottorin jäähdytysjärjestelmä luovuttaa sen ilmaan. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Jarrulevyt pysyvät viileämpinä ja jarrutusteho säilyy, kun jarruja tarvitaan; energia ei katoa, vaan sen lämmittämä kohde vaihtuu. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (12 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.