RuukkilabraLukion fysiikka
FY9 · Luku 2.1

Energia, teho ja hyötysuhde

Miksi sähköauton lataaminen kodin pistorasiasta kestää koko yön, vaikka akkuun mahtuu vähemmän energiaa kuin kymmeneen litraan bensiiniä?

Pohjatiedot

Pohdinta

Sähköauton akkuun mahtuu $40\,\text{kWh}$ energiaa. Kymmenen litraa bensiiniä painaa noin $7{,}5\,\text{kg}$, ja sen lämpöarvo on noin $43\,\text{MJ/kg}$. Kotona autoa ladataan tavallisesta pistorasiasta teholla $2{,}3\,\text{kW}$, pikalaturilla teholla $100\,\text{kW}$. Ylioppilaskokeessa tällainen tilanne voi olla tehtävän alku: luvut on annettu, mutta kaavoja ei.

Kumpaan mahtuu enemmän energiaa, täyteen akkuun vai kymmeneen litraan bensiiniä, ja miksi kotilataus silti kestää koko yön?

Ennusta

Tee ennusteet ennen tutkimista 6 kysymystä

Lähtötaso 1: pulkka pysähtyy

Pulkka laskee mäen alas ja pysähtyy tasaiselle lumelle. Mitä pulkan potentiaalienergialle on lopulta tapahtunut?

Lähtötaso 2: teho vai energia

Hiustenkuivaimen teho on $1800\,\text{W}$, ja se on päällä $10\,\text{min}$ päivässä. Jääkaapin keskiteho on $40\,\text{W}$, ja se on kytkettynä koko vuorokauden. Kumpi käyttää vuorokaudessa enemmän sähköenergiaa?

Lähtötaso 3: kilowattitunti

Kuinka monta joulea on yksi kilowattitunti?

Lähtötaso 4: kolme vaihetta

Energia kulkee kolmen peräkkäisen vaiheen läpi, ja jokaisen vaiheen hyötysuhde on $90\,\%$. Mikä on koko ketjun hyötysuhde?

Lähtötaso 5: puu ja bensiini

Ilmakuivan polttopuun lämpöarvo on $15\,\text{MJ/kg}$ ja bensiinin $43\,\text{MJ/kg}$. Kumpi vapauttaa palaessaan enemmän energiaa: $2{,}0\,\text{kg}$ puuta vai $1{,}0\,\text{kg}$ bensiiniä?

Lähtötaso 6: tuulivoimalan vuosi

Tuulivoimalan nimellisteho on $5{,}0\,\text{MW}$, ja vuodessa on $8760\,\text{h}$. Mikä väite voimalan vuoden tuotannosta on oikein?

Tutki

Lauhdevoimalan energiaketju

Keksitty esimerkkiaineisto

Pylväskuvaajassa on esimerkkilaitoksen teho energiaketjun vaiheissa: polttoaineteho $P_0$, teho kattilan jälkeen $P_1$, teho höyrykierron jälkeen $P_2$ ja sähköteho generaattorin ja muuntajan jälkeen $P_3$. Lue tehot kuvaajasta ja laske kunkin vaiheen hyötysuhde. Vastaa alla höyrykierron hyötysuhteella. Mallivastauksessa on myös muiden vaiheiden hyötysuhteet ja tarkistus, että niiden tulo on koko laitoksen hyötysuhde.

$100$
$200$
$300$
$400$
$0$
$P\ (\text{MW})$
$P_0$
$P_1$
$P_2$
$P_3$

Kuinka suuri on höyrykierron hyötysuhde $\eta_2$, eli kuinka monta prosenttia höyrykiertoon tulevasta tehosta tulee siitä ulos? Vastaa prosentteina.

%
Vihje 1: ohjaava kysymys

Vaiheen hyötysuhteen nimittäjä on vaiheeseen tuleva teho, ei polttoaineteho.

Vihje 2: mikä yhteys

Höyrykiertoon tulee kattilan jälkeinen teho $P_1$, ja siitä lähtee $P_2$.

Vihje 3: välivaihe
$\eta_2$$= \dfrac{P_2}{P_1}$
$= \dfrac{150\,\text{MW}}{350\,\text{MW}}$
Näytä ratkaisu

Annettu

kuvaajasta $P_0 = 400\,\text{MW}$, $P_1 = 350\,\text{MW}$, $P_2 = 150\,\text{MW}$ ja $P_3 = 140\,\text{MW}$; ruudukon väli on $50\,\text{MW}$

Kysytty

höyrykierron hyötysuhde $\eta_2$ prosentteina

Periaate

Vaiheen hyötysuhde on siitä ulos tulevan tehon osuus siihen tulevasta tehosta. Höyrykiertoon tulee kattilan antama teho $P_1$, ja siitä lähtee $P_2$. Energia säilyy, joten erotus $P_1 - P_2$ siirtyy lauhduttimessa lämpönä ympäristöön.

Kuvaajan lukeminen

Pylväiden yläreunat ovat ruudukon viivoilla: $P_1$ seitsemännellä viivalla ($7 \cdot 50\,\text{MW} = 350\,\text{MW}$) ja $P_2$ kolmannella ($150\,\text{MW}$).

Kaava

$\eta_2 = \dfrac{P_2}{P_1}$

Muunnokset

Molemmat tehot ovat megawatteina, joten yksikkö supistuu eikä muunnoksia tarvita. Suhdeluku muutetaan prosenteiksi kertomalla luvulla $100\,\%$.

Sijoitus

$\eta_2$$= \dfrac{150\,\text{MW}}{350\,\text{MW}}$
$= 0{,}4286$
$= 42{,}86\,\%$

Vastaus

$43\,\%$

Kaksi merkitsevää numeroa, koska tehot luetaan kuvaajasta noin $5\,\text{MW}$:n tarkkuudella.

Järkevyys

Muut vaiheet ovat $\eta_1 = 350 : 400 = 0{,}875$ ja $\eta_3 = 140 : 150 \approx 0{,}933$. Tulo $0{,}875 \cdot 0{,}4286 \cdot 0{,}933 = 0{,}350$ on sama kuin $P_3 : P_0 = 140 : 400 = 0{,}35$. Höyrykierto on heikoin vaihe, kuten lämpövoimakoneessa kuuluukin: osa lämmöstä on luovutettava kylmempään ympäristöön.

Teoriatiivistelmä

Ydinajatus

Kaikki tämän tunnin tehtävät lähtevät samasta periaatteesta: energia säilyy. Se muuttuu muodosta toiseen ja siirtyy paikasta toiseen, mutta sitä ei synny eikä katoa. Kun laite ”kuluttaa” energiaa, se muuttaa sitä, ja suurin osa päätyy lopulta lämpönä ympäristöön.

Säilymislaista haarautuu kolme kysymystä, joihin kokeen energiatehtävät palautuvat. Kuinka nopeasti energiaa muuttuu? Sen kertoo teho. Kuinka suuri osa tulee hyödyksi? Sen kertoo hyötysuhde. Mistä energia tulee? Polttoaineen lämpöarvosta, voiman tekemästä työstä tai virtaavasta vedestä, tuulesta ja auringosta.

$\text{energia säilyy}$
$E_\text{alussa} = E_\text{lopussa}$
$\textbf{teho}$
$P = \Delta E/\Delta t$
$\text{määritelmä}$
$E = P\,t$
$\text{energia tehosta}$
$1\,\text{kWh} = 3{,}6\,\text{MJ}$
$\text{kilowattitunti}$
$\textbf{hyötysuhde}$
$\eta = E_\text{a}/E_\text{o}$
$\text{määritelmä}$
$E_\text{o} = E_\text{a} + E_\text{h}$
$\text{häviöt}$
$\eta = \eta_1\,\eta_2\,\eta_3$
$\text{energiaketju}$
$\textbf{energian lähde}$
$E = Hm$
$\text{polttoaine}$
$W = Fs$
$\text{työ}$
$W = mgh$
$\text{nostotyö}$

Kokeessa ratkaisu alkaa siitä, että tunnistat, mikä haara tehtävässä on kyseessä, ja kirjoitat sen lain ennen lukuja. Energia ja teho ovat eri suureita: kilowatti kertoo vauhdin, kilowattitunti määrän.

Tästä saadaan myös vastaus alun kysymykseen. Kymmenessä litrassa bensiiniä on energiaa noin $7{,}5\,\text{kg} \cdot 43\,\text{MJ/kg} \approx 320\,\text{MJ} \approx 90\,\text{kWh}$, enemmän kuin $40\,\text{kWh}$:n akussa. Lataus kestää silti kauan, koska pistorasian teho on pieni: $40\,\text{kWh} : 2{,}3\,\text{kW} \approx 17\,\text{h}$.

Energia, teho ja hyötysuhde

Säilyminen ja teho

Eristetyssä systeemissä, johon energiaa ei tule eikä josta sitä lähde, kokonaisenergia pysyy samana:

$$E_\text{alussa} = E_\text{lopussa}$$

missä kumpikin puoli on kaikkien energialajien summa, myös lämpöenergian. Teho on muuntunut tai siirtynyt energia aikaa kohti:

$$P = \frac{\Delta E}{\Delta t}$$

missä $P$ on teho (W), $\Delta E$ energia (J) ja $\Delta t$ aika (s). Epätasaisessa käytössä kaava antaa keskitehon; tasaisella teholla $E = P\,t$. Kilowattitunti on energian yksikkö, ja sen muunnos tehdään sijoittamalla:

$$1\,\text{kWh} = 1000\,\text{W} \cdot 3600\,\text{s} = 3{,}6\,\text{MJ}$$

Hyötysuhde ja energiaketju

$$\eta = \frac{E_\text{a}}{E_\text{o}} = \frac{P_\text{a}}{P_\text{o}}$$

missä $\eta$ on hyötysuhde, $E_\text{a}$ ja $P_\text{a}$ annettu hyötyenergia ja -teho ja $E_\text{o}$ ja $P_\text{o}$ otettu energia ja teho. Tehojen suhde käy, kun laite käy tasaisesti. Energia säilyy, joten $E_\text{o} = E_\text{a} + E_\text{h}$, missä $E_\text{h}$ on häviöt. Hyötysuhde on enintään $100\,\%$; se riippuu siitä, mikä määritellään hyödyksi.

Peräkkäisissä vaiheissa kunkin vaiheen hyötyteho on seuraavan otettu teho, joten hyötysuhteet kerrotaan:

$$\eta = \eta_1\,\eta_2\,\eta_3$$

Kuvan esimerkkilaitoksessa $\eta = 0{,}90 \cdot 0{,}45 \cdot 0{,}98 \approx 0{,}40$: polttoainetehosta $500\,\text{MW}$ tulee sähköksi $198\,\text{MW}$. Kaistojen leveydet ovat mittakaavassa, ja lähtevät kaistat ovat yhteensä yhtä leveät kuin tuleva.

$\eta_1 = 0{,}90$
$\eta_2 = 0{,}45$
$\eta_3 = 0{,}98$
$500\,\text{MW}$
$450\,\text{MW}$
$203\,\text{MW}$
$198\,\text{MW}$
$\text{sähkö}$
$50\,\text{MW}$
$248\,\text{MW}$
$4\,\text{MW}$
$\text{häviöt:}$
$\eta_1\ \text{kattila}$
$\eta_2\ \text{höyrykierto}$
$\eta_3\ \text{generaattori ja muuntaja}$

Energian lähteet

Polttoaineesta vapautuva energia ja voiman tekemä työ ovat

$$\begin{aligned} E &= Hm \\ W &= Fs \end{aligned}$$

missä $H$ on lämpöarvo ($\text{MJ/kg}$) ja $m$ palanut massa (kg); $E = Hm$ pätee, kun polttoaine palaa täydellisesti ja $H$ on sen todellisen kosteuden mukainen lämpöarvo. Työssä $F$ on liikkeen suuntainen vakiovoima (N) ja $s$ matka (m). Tasaisessa nostossa $W = mgh$, missä $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ ja $h$ nostokorkeus.

Yleisiä virheitä

  • Teho ja energia sekaisin. ”Paneelin teho on $1{,}2\,\text{kWh}$” on virhe: teho on kilowatteina, energia kilowattitunteina. Suuritehoinen laite ei kuluta paljon energiaa, jos se on päällä vain hetken.
  • Hyötysuhteet lasketaan yhteen tai vähennetään. Ketjussa ne kerrotaan, joten koko ketjun hyötysuhde on pienempi kuin heikoimman vaiheen.
  • Väärä nimittäjä. Häviöprosentti ja hyötysuhde lasketaan aina otetusta energiasta, ei annetusta.
  • Minuutit tunteina. $30\,\text{min} = 30 \cdot \tfrac{1}{60}\,\text{h} = 0{,}50\,\text{h}$; tehon ja ajan tulo on kilowattitunteja vain, kun aika on tunteina.
  • Häviöt ”katoavat”. Häviöt ovat energiaa, joka on muuttunut hyödyttömään muotoon, yleensä lämmöksi.
  • Yhteistuotannon kokonaishyötysuhde verrataan sähköhyötysuhteeseen. Sähkö ja kaukolämpö eivät ole yhtä arvokkaita, joten luvut kertovat eri asioita.

Kertaa tarvittaessa

Sovella

Etsi virhe: lämpöpatteri

Opiskelija laski, kuinka paljon energiaa $2{,}0\,\text{kW}$:n lämpöpatteri käyttää $30\,\text{min}$:ssa: ”$E = P\,t = 2{,}0\,\text{kW} \cdot 30\,\text{min} = 60\,\text{kWh}$.” Mikä ratkaisussa on väärin?

Lue energiavirtakuvio

Kuvan energiavirtakuvio on piirretty ruutupaperille mittakaavassa. Mikä on sähkömoottorin hyötysuhde?
$\text{moottori}$
$\text{sähkömoottori}$
$E_\text{o} = 240\,\text{J}$
$\text{sähkö}$
$\text{liike-energia}$
$\text{lämpö (häviöt)}$

Perusteltu väite: lämpöpumppu

Ilmalämpöpumppu ottaa verkosta sähkötehoa $1{,}0\,\text{kW}$ ja antaa huoneeseen lämpötehoa $3{,}5\,\text{kW}$. Mikä väite on perusteltu?

Teho ja energia latauksessa

Sähköpyörän $0{,}60\,\text{kWh}$:n akku ladataan tyhjästä täyteen kerran tavallisella laturilla teholla $120\,\text{W}$ ja kerran pikalaturilla teholla $600\,\text{W}$. Kummassakin latauksessa hyötysuhde on sama. Mikä väite on oikein?

Sähkökiuas

Sähkökiuas, jonka teho on $8{,}0\,\text{kW}$, lämmittää saunaa $1{,}5\,\text{h}$. Kuinka paljon sähköenergiaa kiuas käyttää? Vastaa megajouleina.

MJ
Vihje 1: ohjaava kysymys

Kiuas käy tasaisella teholla, joten energia on teho kertaa aika.

Vihje 2: mikä yhteys

Kilowatit kertaa tunnit antaa kilowattitunteja. Muunna ne megajouleiksi sijoittamalla $1\,\text{kWh} = 1000\,\text{W} \cdot 3600\,\text{s}$.

Vihje 3: välivaihe
$E$$= 8{,}0\,\text{kW} \cdot 1{,}5\,\text{h}$
$= 12\,\text{kWh}$
$= 12 \cdot 3{,}6\,\text{MJ}$
Näytä ratkaisu

Annettu

teho $P = 8{,}0\,\text{kW}$, aika $t = 1{,}5\,\text{h}$

Kysytty

sähköenergia $E$ megajouleina

Periaate

Kiuas muuntaa sähköenergiaa tasaisella teholla, joten muuntunut energia on teho kertaa aika (luku Teho).

Kaava

$P = \dfrac{E}{t}$, joten $E = P\,t$

Muunnokset

Teho watteina ja aika sekunteina:

$8{,}0\,\text{kW}$$= 8{,}0 \cdot 1000\,\text{W}$
$= 8000\,\text{W}$
$1{,}5\,\text{h}$$= 1{,}5 \cdot 3600\,\text{s}$
$= 5400\,\text{s}$

Joulet megajouleiksi: $1\,\text{J} = 10^{-6}\,\text{MJ}$.

Sijoitus

$E$$= 8000\,\text{W} \cdot 5400\,\text{s}$
$= 43\,200\,000\,\text{J}$
$= 43{,}2\,\text{MJ}$

Vastaus

$43\,\text{MJ}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten teho $8{,}0\,\text{kW}$ ja aika $1{,}5\,\text{h}$.

Järkevyys

Kilowattitunteina

$E$$= 8{,}0\,\text{kW} \cdot 1{,}5\,\text{h}$
$= 12\,\text{kWh}$

ja $12 \cdot 3{,}6\,\text{MJ} = 43{,}2\,\text{MJ}$: sama tulos. Saunan lämmitys maksaa näin esimerkkihinnalla $20\,\text{snt/kWh}$ noin $2{,}4\,\text{€}$, mikä on tavallinen suuruusluokka.

Polttoaineesta pyöriin

Sähköauton moottori antaa maantiellä mekaanista tehoa $15\,\text{kW}$. Sähkö tuotetaan lauhdevoimalassa (hyötysuhde $38\,\%$), sähköverkon siirron hyötysuhde on $96\,\%$, latauksen ja akun $90\,\%$ ja moottorin $90\,\%$.

Kuinka suuri polttoaineteho voimalassa tarvitaan tämän ajon ylläpitämiseen? Vastaa kilowatteina.

kW
Vihje 1: ohjaava kysymys

Kunkin vaiheen hyötyteho on seuraavan vaiheen ottama teho. Mikä on koko ketjun hyötysuhde?

Vihje 2: mikä yhteys

Ketjun hyötysuhde on vaiheiden hyötysuhteiden tulo: $\eta = \eta_1\,\eta_2\,\eta_3\,\eta_4$.

Vihje 3: välivaihe
$P_0$$= \dfrac{P_\text{a}}{\eta}$
$= \dfrac{15\,\text{kW}}{0{,}38 \cdot 0{,}96 \cdot 0{,}90 \cdot 0{,}90}$
Näytä ratkaisu

Annettu

moottorin antama teho $P_\text{a} = 15\,\text{kW}$; hyötysuhteet $\eta_1 = 38\,\%$ (voimala), $\eta_2 = 96\,\%$ (siirto), $\eta_3 = 90\,\%$ (lataus ja akku) ja $\eta_4 = 90\,\%$ (moottori)

Kysytty

voimalan polttoaineteho $P_0$ kilowatteina

Periaate

Vaiheet ovat peräkkäin: kunkin vaiheen hyötyteho on seuraavan ottama teho. Siksi koko ketjun hyötysuhde on vaiheiden hyötysuhteiden tulo, ja otettu teho saadaan jakamalla hyötyteho sillä (luku Energiantuotanto ja voimalaitosten hyötysuhde).

Kaava

$\eta$$= \eta_1\,\eta_2\,\eta_3\,\eta_4$
$= \dfrac{P_\text{a}}{P_0}$

joten

$P_0$$= \dfrac{P_\text{a}}{\eta_1\,\eta_2\,\eta_3\,\eta_4}$

Muunnokset

Prosentit desimaaliluvuiksi: $38\,\% = 0{,}38$, $96\,\% = 0{,}96$ ja $90\,\% = 0{,}90$. Teho voi jäädä kilowateiksi, koska vastaus kysytään kilowatteina.

Sijoitus

$P_0$$= \dfrac{15\,\text{kW}}{0{,}38 \cdot 0{,}96 \cdot 0{,}90 \cdot 0{,}90}$
$= \dfrac{15\,\text{kW}}{0{,}2955}$
$= 50{,}76\,\text{kW}$

Vastaus

$51\,\text{kW}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten teho $15\,\text{kW}$ ja hyötysuhteet.

Järkevyys

Ketjun hyötysuhde $0{,}30$ on pienempi kuin heikoimman vaiheen $0{,}38$, kuten kertolaskussa pitää. Polttoainetehoa tarvitaan noin kolminkertaisesti moottorin tehoon nähden, ja tarkistus $0{,}2955 \cdot 50{,}76\,\text{kW} = 15{,}0\,\text{kW}$ täsmää.

Pellettikattila

Omakotitalon lämmitykseen tarvitaan vuodessa $15\,000\,\text{kWh}$ lämpöä. Pellettikattilan hyötysuhde on $85\,\%$, ja puupelletin lämpöarvo on $17\,\text{MJ/kg}$. Kuinka monta tonnia pellettiä vuodessa poltetaan? Vastaa tonneina.

t
Vihje 1: ohjaava kysymys

Kattilan on saatava pelleteistä enemmän energiaa kuin taloon tulee lämpöä. Kuinka paljon?

Vihje 2: mikä yhteys

Polttoaineen energia on $E_\text{o} = E_\text{a} : \eta$, ja pelletin massa saadaan lämpöarvon avulla: $E_\text{o} = Hm$.

Vihje 3: välivaihe

Muunna $E_\text{o}$ megajouleiksi sijoittamalla $1\,\text{kWh} = 3{,}6\,\text{MJ}$, ja jaa lämpöarvolla.

Näytä ratkaisu

Annettu

lämmöntarve eli kattilan antama energia $E_\text{a} = 15\,000\,\text{kWh}$, hyötysuhde $\eta = 85\,\%$, lämpöarvo $H = 17\,\text{MJ/kg}$

Kysytty

poltetun pelletin massa $m$ tonneina

Periaate

Kattilan hyötysuhde on taloon annetun lämmön osuus pelletistä vapautuneesta energiasta. Vapautunut energia on lämpöarvo kertaa massa, koska lämpöarvo on energia kilogrammaa kohti (luvut Hyötysuhde ja Polttoaineet ja lämpöarvo).

Kaava

$\eta = \dfrac{E_\text{a}}{E_\text{o}}$ ja $E_\text{o} = Hm$, joten $m = \dfrac{E_\text{a}}{\eta H}$

Muunnokset

$15\,000\,\text{kWh}$$= 15\,000 \cdot 3{,}6\,\text{MJ}$
$= 54\,000\,\text{MJ}$

$85\,\% = 0{,}85$ ja lopuksi $1\,\text{kg} = 0{,}001\,\text{t}$.

Sijoitus

$m$$= \dfrac{54\,000\,\text{MJ}}{0{,}85 \cdot 17\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}}$
$= 3737\,\text{kg}$
$= 3{,}737\,\text{t}$

Vastaus

$3{,}7\,\text{t}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten hyötysuhde $85\,\%$ ja lämpöarvo $17\,\text{MJ/kg}$.

Järkevyys

Ilman häviöitä pellettiä tarvittaisiin

$54\,000\,\text{MJ} : 17\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$
$\approx 3200\,\text{kg}$

häviöiden takia tarvitaan vähän enemmän, kuten pitää. Muutama tonni pellettiä vuodessa on omakotitalolle tavallinen määrä.

Tavarahissi

Tavarahissi nostaa $800\,\text{kg}$:n kuorman tasaisella nopeudella $24\,\text{m}$ ylös $30\,\text{s}$:ssa. Hissin moottorin ja koneiston hyötysuhde on $75\,\%$. Kuinka suuren sähkötehon moottori ottaa? Vastaa kilowatteina.

kW
Vihje 1: ohjaava kysymys

Hissi tekee kuorman nostamiseen työtä. Mikä on nostotyö, ja kuinka suuri teho siitä seuraa?

Vihje 2: mikä yhteys

Nostotyö on $W = mgh$ ja hyötyteho $P_\text{a} = W : t$.

Vihje 3: välivaihe

Moottorin ottama teho on $P_\text{o} = P_\text{a} : \eta$.

Näytä ratkaisu

Annettu

massa $m = 800\,\text{kg}$, nostokorkeus $h = 24\,\text{m}$, aika $t = 30\,\text{s}$, hyötysuhde $\eta = 75\,\%$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

moottorin ottama teho $P_\text{o}$ kilowatteina

Periaate

Kuorma nousee tasaisella nopeudella, joten nostovoima on yhtä suuri kuin paino $mg$ ja nostotyö on $mgh$ (luku Työ ja energia). Hyötyteho on työ jaettuna ajalla, ja moottori ottaa tehon, josta vain osa $\eta$ tulee hyödyksi.

Kaava

$P_\text{a} = \dfrac{mgh}{t}$ ja $\eta = \dfrac{P_\text{a}}{P_\text{o}}$, joten $P_\text{o} = \dfrac{mgh}{\eta\,t}$

Muunnokset

$75\,\% = 0{,}75$ ja lopuksi $1\,\text{W} = 0{,}001\,\text{kW}$. Muut suureet ovat perusyksiköissä.

Sijoitus

$P_\text{o}$$= \dfrac{800\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 24\,\text{m}}{0{,}75 \cdot 30\,\text{s}}$
$= \dfrac{188\,352\,\text{J}}{22{,}5\,\text{s}}$
$= 8371\,\text{W}$
$= 8{,}371\,\text{kW}$

Vastaus

$8{,}4\,\text{kW}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten korkeus $24\,\text{m}$, aika $30\,\text{s}$ ja hyötysuhde $75\,\%$.

Järkevyys

Hyötyteho on $188\,352\,\text{J} : 30\,\text{s} \approx 6{,}3\,\text{kW}$, ja moottori ottaa siitä neljä kolmasosaa, noin $8{,}4\,\text{kW}$. Teho on sähkökiukaan luokkaa, mikä sopii tavarahissin moottorille.

Tarkista osaamisesi

Exit ticket

Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.

  1. Kuinka monta kilowattituntia on $250\,\text{MJ}$?
    Vastaus

    $1\,\text{kWh} = 1000\,\text{W} \cdot 3600\,\text{s} = 3{,}6\,\text{MJ}$, joten $250\,\text{MJ} = \dfrac{250}{3{,}6}\,\text{kWh} \approx 69{,}4\,\text{kWh} \approx 69\,\text{kWh}$.

  2. Energiavirtakuviossa laitteeseen tulee $10\,\text{mm}$ leveä nuoli ja siitä lähtee hyötynuoli, jonka leveys on $3\,\text{mm}$. Kuinka leveä on häviönuoli, ja mikä on hyötysuhde?
    Vastaus

    Energia säilyy, joten lähtevät nuolet ovat yhteensä yhtä leveät kuin tuleva: häviönuoli on $10\,\text{mm} - 3\,\text{mm} = 7\,\text{mm}$. Hyötysuhde on $3\,\text{mm} : 10\,\text{mm} = 0{,}30 = 30\,\%$.

1. Käsite

Lauhdevoimalan sähköteho on $600\,\text{MW}$, ja sen hyötysuhde on $40\,\%$. Mikä väite on oikein?

Kertaa hyötysuhteen nimittäjä luvussa Hyötysuhde ja voimalan ketju luvussa Energiantuotanto ja voimalaitosten hyötysuhde.

2. Laskeminen

Puhelimen akkuun mahtuu $15\,\text{Wh}$ energiaa. Laturin ja akun yhteinen hyötysuhde on $80\,\%$. Kuinka paljon sähköenergiaa otetaan verkosta, kun tyhjä akku ladataan täyteen? Vastaa kilojouleina.

kJ
Vihje 1: ohjaava kysymys

Akkuun tuleva energia on hyötyenergia. Kumpi on suurempi: verkosta otettu vai akkuun tuleva?

Vihje 2: mikä yhteys

$E_\text{o} = E_\text{a} : \eta$, ja wattitunti muunnetaan sijoittamalla $1\,\text{Wh} = 1\,\text{W} \cdot 3600\,\text{s}$.

Vihje 3: välivaihe
$E_\text{o}$$= 15\,\text{Wh} : 0{,}80$
$= 18{,}75\,\text{Wh}$
Näytä ratkaisu

Annettu

akkuun tuleva energia $E_\text{a} = 15\,\text{Wh}$, hyötysuhde $\eta = 80\,\%$

Kysytty

verkosta otettu energia $E_\text{o}$ kilojouleina

Periaate

Hyötysuhde on akkuun varastoituvan energian osuus verkosta otetusta energiasta. Energia säilyy, ja loput muuttuu laturissa ja akussa lämmöksi, joten verkosta otetaan enemmän kuin akkuun mahtuu.

Kaava

$\eta = \dfrac{E_\text{a}}{E_\text{o}}$, joten $E_\text{o} = \dfrac{E_\text{a}}{\eta}$

Muunnokset

$15\,\text{Wh}$$= 15 \cdot 1\,\text{W} \cdot 3600\,\text{s}$
$= 54\,000\,\text{J}$

$80\,\% = 0{,}80$; lopuksi $1\,\text{J} = 0{,}001\,\text{kJ}$.

Sijoitus

$E_\text{o}$$= \dfrac{54\,000\,\text{J}}{0{,}80}$
$= 67\,500\,\text{J}$
$= 67{,}5\,\text{kJ}$

Vastaus

$68\,\text{kJ}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten energia $15\,\text{Wh}$ ja hyötysuhde $80\,\%$.

Järkevyys

Otettu energia on neljäsosan suurempi kuin akkuun tuleva, $1 : 0{,}80 = 1{,}25$. Lämmöksi muuttuu $67{,}5\,\text{kJ} - 54\,\text{kJ} = 13{,}5\,\text{kJ}$, mikä tuntuu laturin lämpenemisenä. Määrä on pieni: alle $0{,}02\,\text{kWh}$.

Kertaa wattitunnin muunnos luvussa Teho ja otettu energia luvussa Hyötysuhde.

3. Selitä

Kaupungin yhteistuotantovoimalan kokonaishyötysuhde on $88\,\%$ ja sähköhyötysuhde $30\,\%$. Valtuutettu sanoo: ”Lauhdevoimalan hyötysuhde on vain $40\,\%$, joten yhteistuotanto on yli kaksi kertaa parempi tapa tuottaa sähköä.” Arvioi väite. Selitä, mistä hyötysuhteiden ero johtuu ja miksi lukuja ei voi suoraan verrata.

Tehtävät

2.1-1 Mökin aurinkosähkö 13 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Mökki, laitteet ja tuotantoluvut ovat keksittyjä esimerkkejä, jotka vastaavat tavallisen pienen aurinkosähköjärjestelmän suuruusluokkaa.

Saaressa olevalla kesämökillä ei ole sähköverkkoa. Katolla on aurinkopaneelit, joiden nimellisteho on $1{,}2\,\text{kW}$. Paneelien sähkö ladataan akkuun, ja vaihtosuuntaaja muuttaa akun sähkön laitteille sopivaksi. Akun lataamisen ja purkamisen yhteinen hyötysuhde on $90\,\%$ ja vaihtosuuntaajan $93\,\%$.

Mökin sähkölaitteet tavallisena kesäpäivänä:

Laite Teho Käyttö/vrk
jääkaappi $45\,\text{W}$ $24\,\text{h}$
ledilamput $6 \cdot 7{,}0\,\text{W}$ $5{,}0\,\text{h}$
kahvinkeitin $1{,}0\,\text{kW}$ $15\,\text{min}$

Jääkaapin teho on keskiteho, koska sen kompressori käy vain osan ajasta.

Paneelien näyttö kertoo, että aurinkoisena päivänä paneelit tuottivat $5{,}4\,\text{kWh}$ ja pilvisenä päivänä $1{,}5\,\text{kWh}$.

  1. a) Kuinka paljon sähköenergiaa mökin laitteet käyttävät vuorokaudessa? 4 p
  2. b) Kuinka paljon paneelien on tuotettava sähköä vuorokaudessa, jotta a-kohdan tarve katetaan akun ja vaihtosuuntaajan kautta? Riittääkö pilvisen päivän tuotanto? 5 p
  3. c) Mökin naapuri sanoo: ”Paneelien teho on $1{,}2\,\text{kW}$, joten ne tuottavat $1{,}2\,\text{kWh}$ päivässä.” Arvioi väite. 4 p

Taidot luvuista: Teho: $P = \Delta E/\Delta t$, Hyötysuhde, Energian siirtäminen: sähkö ja lämpö

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

jääkaapin keskiteho $P_1 = 45\,\text{W}$ koko vuorokauden $t_1 = 24\,\text{h}$; kuusi ledilamppua, kukin $7{,}0\,\text{W}$, aika $t_2 = 5{,}0\,\text{h}$; kahvinkeitin $P_3 = 1{,}0\,\text{kW}$, aika $t_3 = 15\,\text{min}$

Kysytty

laitteiden sähköenergia vuorokaudessa $E_\text{tarve}$ kilowattitunteina

Periaate

Jokainen laite muuntaa energiaa omalla tehollaan, joten sen energia on teho kertaa käyttöaika (luku Teho). Jääkaapin teho on keskiteho, joten sekin kerrotaan koko vuorokaudella. Energiat lasketaan yhteen samassa yksikössä.

Kaava

$E = P\,t$ jokaiselle laitteelle, joten $E_\text{tarve} = P_1 t_1 + 6\,P_2 t_2 + P_3 t_3$

Muunnokset

Kilowattitunteja varten tehot kilowateiksi ja ajat tunneiksi:

$45\,\text{W}$$= 45 \cdot 0{,}001\,\text{kW}$
$= 0{,}045\,\text{kW}$
$7{,}0\,\text{W}$$= 0{,}0070\,\text{kW}$
$15\,\text{min}$$= 15 \cdot \tfrac{1}{60}\,\text{h}$
$= 0{,}25\,\text{h}$

Sijoitus

$E_\text{tarve}$$= 0{,}045\,\text{kW} \cdot 24\,\text{h} + 6 \cdot 0{,}0070\,\text{kW} \cdot 5{,}0\,\text{h} + 1{,}0\,\text{kW} \cdot 0{,}25\,\text{h}$
$= 1{,}08\,\text{kWh} + 0{,}21\,\text{kWh} + 0{,}25\,\text{kWh}$
$= 1{,}54\,\text{kWh}$

Vastaus

$E_\text{tarve} \approx 1{,}5\,\text{kWh}$

Eli $1{,}54 \cdot 3{,}6\,\text{MJ} \approx 5{,}5\,\text{MJ}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten jääkaapin teho $45\,\text{W}$ ja kahvinkeittimen teho $1{,}0\,\text{kW}$.

Järkevyys

Jääkaappi käyttää lähes kaksi kolmasosaa energiasta, vaikka sen teho on laitteista toiseksi pienin: se on päällä koko ajan. Kahvinkeittimen suuri teho vaikuttaa vähän, koska se on päällä vain neljännestunnin. Puolitoista kilowattituntia vuorokaudessa on pienen kesämökin tavallinen kulutus.

b)

Annettu

a-kohdasta $E_\text{tarve} = 1{,}54\,\text{kWh}$; akun hyötysuhde $\eta_\text{akku} = 90\,\%$, vaihtosuuntaajan $\eta_\text{v} = 93\,\%$; pilvisen päivän tuotanto $1{,}5\,\text{kWh}$

Kysytty

paneelien tarvittava tuotanto $E_\text{paneelit}$ vuorokaudessa ja riittääkö pilvisen päivän tuotanto

Periaate

Energia kulkee paneeleista akun ja vaihtosuuntaajan kautta laitteisiin. Vaiheet ovat peräkkäin: akun antama energia on vaihtosuuntaajan ottama energia. Siksi ketjun hyötysuhde on vaiheiden hyötysuhteiden tulo, ja paneelien on tuotettava enemmän kuin laitteet käyttävät (luku Energiantuotanto ja voimalaitosten hyötysuhde).

Kaava

$\eta$$= \eta_\text{akku}\,\eta_\text{v}$
$= \dfrac{E_\text{tarve}}{E_\text{paneelit}}$

joten

$E_\text{paneelit}$$= \dfrac{E_\text{tarve}}{\eta_\text{akku}\,\eta_\text{v}}$

Muunnokset

$90\,\% = 0{,}90$ ja $93\,\% = 0{,}93$. Energiat pysyvät kilowattitunteina.

Sijoitus

$E_\text{paneelit}$$= \dfrac{1{,}54\,\text{kWh}}{0{,}90 \cdot 0{,}93}$
$= \dfrac{1{,}54\,\text{kWh}}{0{,}837}$
$= 1{,}84\,\text{kWh}$

Pilvisenä päivänä laitteisiin asti tulee $0{,}837 \cdot 1{,}5\,\text{kWh} = 1{,}26\,\text{kWh}$.

Vastaus

Paneelien on tuotettava noin $1{,}8\,\text{kWh}$ vuorokaudessa (kaksi merkitsevää numeroa kuten a-kohdan tarve). Pilvisen päivän $1{,}5\,\text{kWh}$ ei riitä: siitä tulee laitteisiin vain noin $1{,}3\,\text{kWh}$, joten puuttuva osa otetaan akusta, jos siellä on aurinkoisen päivän ylijäämää.

Järkevyys

Ketjun hyötysuhde $0{,}84$ on pienempi kuin kummankaan vaiheen, kuten kertolaskussa pitää, ja tarve kasvaa noin viidenneksen. Aurinkoisena päivänä laitteisiin tulee $0{,}837 \cdot 5{,}4\,\text{kWh} \approx 4{,}5\,\text{kWh}$, mikä riittää lähes kolmeksi päiväksi.

c)

Kysytty

onko naapurin päätelmä paneelien vuorokauden energiasta oikea

Periaate

Teho kertoo, kuinka nopeasti energiaa muuntuu, ja energia on teho kertaa aika (luku Teho). Paneelin nimellisteho on suurin teho, jonka se antaa kirkkaassa auringonpaisteessa.

Mallivastaus

Väite on väärä, koska siinä teho ja energia sekoitetaan. Kilowatti on tehon yksikkö ja kilowattitunti energian: $1{,}2\,\text{kW}$ tarkoittaa, että paneelit voivat tuottaa enintään $1{,}2\,\text{kWh}$ tunnissa. Vuorokauden energia on keskiteho kertaa aika, ja se riippuu siitä, kuinka kauan ja kuinka voimakkaasti aurinko paistaa. Aineiston mukaan aurinkoisena päivänä paneelit tuottivat $5{,}4\,\text{kWh}$, mikä vastaa $5{,}4\,\text{kWh} : 1{,}2\,\text{kW} = 4{,}5$ tuntia täydellä teholla. Pilvisenä päivänä tuotanto $1{,}5\,\text{kWh}$ vastasi vain noin tuntia. Naapurin luku osuu sattumalta lähelle pilvistä päivää, mutta päättely on väärä.

Yleisiä virheitä

  • Jääkaapin keskiteho kerrotaan vain muutamalla tunnilla, koska kompressori ei käy koko ajan; keskiteho ottaa tämän jo huomioon.
  • $15\,\text{min}$ kirjoitetaan $0{,}15\,\text{h}$:ksi; oikein $15 \cdot \tfrac{1}{60}\,\text{h} = 0{,}25\,\text{h}$.
  • b-kohdassa tarve kerrotaan hyötysuhteilla, jolloin paneelien tuotannoksi tulee tarvetta pienempi luku.
  • Hyötysuhteiden häviöt lasketaan yhteen ($10\,\% + 7\,\% = 17\,\%$); tulos on tässä lähellä oikeaa, mutta periaate on väärä.

Hyväksytään myös

  • a-kohdan energia jouleina: $E_\text{tarve} = 1{,}54 \cdot 3{,}6\,\text{MJ} \approx 5{,}5\,\text{MJ}$.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Jokaisen laitteen energia $E = P\,t$, ja energiat lasketaan yhteen. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Jääkaappi $1{,}08\,\text{kWh}$, lamput $0{,}21\,\text{kWh}$ ja kahvinkeitin $0{,}25\,\text{kWh}$; minuutit muutettu tunneiksi. 2 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $1{,}5\,\text{kWh}$ (noin $5{,}5\,\text{MJ}$) kahdella merkitsevällä numerolla. 1 p

b)5 p

Perustelee, että akku ja vaihtosuuntaaja ovat peräkkäin, joten niiden hyötysuhteet kerrotaan. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $E_\text{paneelit} = \dfrac{E_\text{tarve}}{\eta_\text{akku}\,\eta_\text{v}}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $E_\text{paneelit} \approx 1{,}8\,\text{kWh}$ 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Pilvisen päivän $1{,}5\,\text{kWh}$ ei riitä: laitteille tulee siitä vain noin $1{,}3\,\text{kWh}$, joten akku tyhjenee, ellei aurinkoisen päivän ylijäämää ole varastossa. 2 p

c)4 p

Erottaa tehon ja energian: kilowatti kertoo tuotannon nopeuden, kilowattitunti energian määrän; energia on teho kertaa aika. 2 p
Käyttää aineistoa: aurinkoisena päivänä $5{,}4\,\text{kWh}$ vastaa $4{,}5$ tuntia nimellisteholla, pilvisenä vain noin tuntia. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite on väärä: päivän energia riippuu siitä, kuinka paljon ja kuinka kauan aurinko paistaa, ja nimellisteho on suurin teho. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 13 (10 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

2.1-2 Hakevoimala 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Voimala ja sen luvut ovat keksittyjä esimerkkejä. Metsähakkeen lämpöarvo $9{,}5\,\text{MJ/kg}$ on tyypillinen kostealle hakkeelle, ja todellinen arvo vaihtelee kosteuden mukaan.

Kaupungin yhteistuotantovoimala polttaa metsähaketta ja tuottaa sekä sähköä että kaukolämpöä. Laitoksen valvomon näytöltä luettiin pakkaspäivänä:

  • haketta syötetään kattilaan $42\,\text{t}$ tunnissa
  • hakkeen lämpöarvo $9{,}5\,\text{MJ/kg}$
  • sähköteho $30\,\text{MW}$
  • kaukolämpöteho $70\,\text{MW}$

Vertailun vuoksi saman sähkön voisi tuottaa lauhdevoimalassa, jonka hyötysuhde on $38\,\%$, ja saman kaukolämmön pelkkää lämpöä tuottavassa kattilassa, jonka hyötysuhde on $90\,\%$.

  1. a) Kuinka suuri on voimalan polttoaineteho? 4 p
  2. b) Laske voimalan sähköhyötysuhde ja kokonaishyötysuhde. 4 p
  3. c) Kuinka monta tonnia haketta tunnissa tarvittaisiin, jos sama sähkö ja sama kaukolämpö tuotettaisiin erikseen lauhdevoimalassa ja lämpökattilassa? 4 p
  4. d) Kesällä kaukolämpöä tarvitaan vain lämpimään käyttöveteen. Selitä, miksi voimalan kokonaishyötysuhde ei silloin pysy samana, jos se tuottaa saman sähkötehon. 3 p

Taidot luvuista: Polttoaineet ja lämpöarvo $E = Hm$, Energiantuotanto ja voimalaitosten hyötysuhde, Teho: $P = \Delta E/\Delta t$

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

tunnissa poltettavan hakkeen massa $m = 42\,\text{t}$, aika $t = 1\,\text{h}$, lämpöarvo $H = 9{,}5\,\text{MJ/kg}$

Kysytty

polttoaineteho $P_0$ megawatteina

Periaate

Hakkeesta vapautuva energia on lämpöarvo kertaa palanut massa, koska lämpöarvo on energia kilogrammaa kohti (luku Polttoaineet ja lämpöarvo). Polttoaineteho on tämä energia jaettuna ajalla, jossa se vapautuu (luku Teho).

Kaava

$E = Hm$ ja $P_0 = \dfrac{E}{t}$, joten $P_0 = \dfrac{Hm}{t}$

Muunnokset

$42\,\text{t}$$= 42 \cdot 1000\,\text{kg}$
$= 42\,000\,\text{kg}$

$9{,}5\,\text{MJ/kg} = 9{,}5 \cdot 10^{6}\,\text{J/kg}$ ja $1\,\text{h} = 3600\,\text{s}$; lopuksi $1\,\text{W} = 10^{-6}\,\text{MW}$.

Sijoitus

$P_0$$= \dfrac{9{,}5 \cdot 10^{6}\,\text{J}/\text{kg} \cdot 42\,000\,\text{kg}}{3600\,\text{s}}$
$= \dfrac{3{,}99 \cdot 10^{11}\,\text{J}}{3600\,\text{s}}$
$= 1{,}108 \cdot 10^{8}\,\text{W}$
$= 110{,}8\,\text{MW}$

Vastaus

$P_0 \approx 1{,}1 \cdot 10^{2}\,\text{MW}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten lämpöarvo $9{,}5\,\text{MJ/kg}$ ja massa $42\,\text{t}$. Jatkokohdissa käytetään pyöristämätöntä arvoa $110{,}8\,\text{MW}$.

Järkevyys

Polttoaineteho on vähän suurempi kuin sähkö- ja kaukolämpötehojen summa $100\,\text{MW}$, kuten energian säilymisen mukaan pitää: loput noin $11\,\text{MW}$ ovat häviöitä. Pyöreillä luvuilla

$10\,\text{MJ/kg} \cdot 40\,000\,\text{kg} : 3600\,\text{s}$
$\approx 110\,\text{MW}$

b)

Annettu

a-kohdasta $P_0 = 110{,}8\,\text{MW}$; sähköteho $P_\text{s} = 30\,\text{MW}$, kaukolämpöteho $P_\text{k} = 70\,\text{MW}$

Kysytty

sähköhyötysuhde $\eta_\text{s}$ ja kokonaishyötysuhde $\eta_\text{kok}$ prosentteina

Periaate

Hyötysuhde on hyödyksi saadun tehon osuus otetusta tehosta. Sähköhyötysuhteessa hyötyä on vain sähkö, kokonaishyötysuhteessa sähkö ja kaukolämpö yhdessä (luku Energiantuotanto ja voimalaitosten hyötysuhde).

Kaava

$\eta_\text{s}$$= \dfrac{P_\text{s}}{P_0}$
$\eta_\text{kok}$$= \dfrac{P_\text{s} + P_\text{k}}{P_0}$

Muunnokset

Kaikki tehot ovat megawatteina, joten yksikkö supistuu. Suhdeluku muutetaan prosenteiksi kertomalla luvulla $100\,\%$.

Sijoitus

$\eta_\text{s}$$= \dfrac{30\,\text{MW}}{110{,}8\,\text{MW}}$
$= 0{,}271$
$= 27{,}1\,\%$
$\eta_\text{kok}$$= \dfrac{30\,\text{MW} + 70\,\text{MW}}{110{,}8\,\text{MW}}$
$= 0{,}902$
$= 90{,}2\,\%$

Vastaus

$\eta_\text{s} \approx 27\,\%$

Ja $\eta_\text{kok} \approx 90\,\%$, kaksi merkitsevää numeroa kuten tehot $30\,\text{MW}$ ja $70\,\text{MW}$.

Järkevyys

Molemmat ovat alle $100\,\%$. Sähköhyötysuhde on pienempi kuin tavallisen lauhdevoimalan noin $40\,\%$, koska yhteistuotannossa höyry lauhdutetaan kaukolämpöä varten korkeammassa lämpötilassa. Kokonaishyötysuhde $90\,\%$ on yhteistuotannolle tyypillinen.

c)

Annettu

sähköteho $P_\text{s} = 30\,\text{MW}$ ja kaukolämpöteho $P_\text{k} = 70\,\text{MW}$; lauhdevoimalan hyötysuhde $\eta_\text{l} = 38\,\%$, lämpökattilan $\eta_\text{lk} = 90\,\%$; $H = 9{,}5\,\text{MJ/kg}$; aika $t = 1\,\text{h}$

Kysytty

erillistuotannossa tunnissa tarvittavan hakkeen massa $m$ tonneina

Periaate

Kumpikin laitos tarvitsee polttoainetehon, joka on sen hyötyteho jaettuna sen hyötysuhteella. Laitosten polttoainetehot lasketaan yhteen, ja tunnin energiasta saadaan massa lämpöarvon avulla kuten a-kohdassa.

Kaava

$P_0$$= \dfrac{P_\text{s}}{\eta_\text{l}} + \dfrac{P_\text{k}}{\eta_\text{lk}}$

$P_0\,t = Hm$, joten $m = \dfrac{P_0\,t}{H}$

Muunnokset

$38\,\% = 0{,}38$, $90\,\% = 0{,}90$, $1\,\text{MW} = 10^{6}\,\text{W}$, $1\,\text{h} = 3600\,\text{s}$, $9{,}5\,\text{MJ/kg} = 9{,}5 \cdot 10^{6}\,\text{J/kg}$ ja lopuksi $1\,\text{kg} = 0{,}001\,\text{t}$.

Sijoitus

$P_0$$= \dfrac{30\,\text{MW}}{0{,}38} + \dfrac{70\,\text{MW}}{0{,}90}$
$= 78{,}9\,\text{MW} + 77{,}8\,\text{MW}$
$= 156{,}7\,\text{MW}$
$m$$= \dfrac{156{,}7 \cdot 10^{6}\,\text{W} \cdot 3600\,\text{s}}{9{,}5 \cdot 10^{6}\,\text{J}/\text{kg}}$
$= 59\,390\,\text{kg}$
$= 59{,}4\,\text{t}$

Vastaus

noin $59\,\text{t}$ haketta tunnissa, kaksi merkitsevää numeroa kuten tehot ja lämpöarvo. Se on noin $17\,\text{t}$ enemmän kuin yhteistuotannon $42\,\text{t}$.

Järkevyys

Erillistuotanto tarvitsee enemmän polttoainetta, koska lauhdevoimalan lauhduttimen lämpö menee hukkaan. Yhteistuotanto säästää $1 - 42 : 59{,}4 \approx 0{,}29$ eli noin kolmanneksen polttoaineesta, mikä on yhteistuotannolle tyypillinen suuruusluokka.

d)

Kysytty

miksi kokonaishyötysuhde laskee kesällä, kun kaukolämpöä tarvitaan vähän

Periaate

Hyötysuhde riippuu siitä, mikä lasketaan hyödyksi (luku Hyötysuhde). Lämpövoimakone ei voi muuttaa kaikkea lämpöä sähköksi, vaan osa on luovutettava kylmempään ympäristöön (luku Energiantuotanto ja voimalaitosten hyötysuhde).

Mallivastaus

Höyrykierrosta on joka tapauksessa poistettava lauhduttimessa lämpöä, kun voimala tuottaa sähköä. Talvella tämä lämpö lämmittää kaukolämpövettä ja lasketaan hyödyksi, joten kokonaishyötysuhde on noin $90\,\%$. Kesällä kaukolämpöä tarvitaan vain käyttöveteen, joten suurin osa lauhduttimen lämmöstä on luovutettava ympäristöön, esimerkiksi jäähdytysveteen, hukkalämpönä. Jos sähköteho pysyy $30\,\text{MW}$:ssa, polttoainetta kuluu yhä noin saman verran, mutta hyötyä on vähemmän, ja kokonaishyötysuhde laskee kohti sähköhyötysuhdetta. Siksi yhteistuotantovoimalaa ajetaan lämmön tarpeen mukaan: kesällä pienemmällä teholla tai ei ollenkaan, ja sähkö tuotetaan muualla.

Yleisiä virheitä

  • Tonnit tunnissa jaetaan suoraan tunnilla ilman muunnoksia, jolloin teho saadaan yksikössä $\text{MJ/h}$ ja verrataan megawatteihin.
  • Kokonaishyötysuhteeseen lasketaan vain sähkö tai hyötysuhde lasketaan sähkötehosta ($70 : 30$).
  • c-kohdassa sähkö- ja lämpöteho lasketaan yhteen ja jaetaan yhdellä hyötysuhteella, vaikka laitoksia on kaksi.
  • c-kohdassa hyötysuhteet kerrotaan keskenään, vaikka laitokset eivät ole peräkkäin vaan rinnakkain.

Hyväksytään myös

  • a-kohdassa $P_0 \approx 111\,\text{MW}$ ja jatkokohdat sillä laskettuina: $\eta_\text{s} \approx 27\,\%$ ja $\eta_\text{kok} \approx 90\,\%$.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $E = Hm$ tunnissa poltetulle hakkeelle ja $P_0 = \dfrac{E}{t}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $E = 9{,}5\,\text{MJ}/\text{kg} \cdot 42\,000\,\text{kg} = 399\,000\,\text{MJ}$ ja $t = 3600\,\text{s}$; tonnit ja tunti muunnettu sijoittamalla. 2 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $P_0 \approx 1{,}1 \cdot 10^{2}\,\text{MW}$ (tarkemmin $110{,}8\,\text{MW}$) 1 p

b)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $\eta_\text{s} = \dfrac{P_\text{s}}{P_0}$ ja $\eta_\text{kok} = \dfrac{P_\text{s} + P_\text{k}}{P_0}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Molemmat hyötysuhteet a-kohdan polttoainetehosta. 2 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\eta_\text{s} \approx 27\,\%$ ja $\eta_\text{kok} \approx 90\,\%$ 1 p

c)4 p

Ratkaisee kummankin laitoksen polttoainetehon erikseen hyötytehosta: $P_0 = P_\text{a} : \eta$, ja laskee ne yhteen. 2 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $78{,}9\,\text{MW} + 77{,}8\,\text{MW} \approx 157\,\text{MW}$ ja massa $m = \dfrac{P_0\,t}{H}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. noin $59\,\text{t}$ tunnissa, eli noin $17\,\text{t}$ enemmän kuin yhteistuotannossa 1 p

d)3 p

Selittää, että lauhduttimen lämpö on hyödyksi vain, kun sille on käyttöä kaukolämpönä; muuten se on luovutettava ympäristöön hukkalämpönä. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Kokonaishyötysuhde laskee kohti sähköhyötysuhdetta, joten kesällä laitosta ajetaan pienemmällä teholla tai sähkö tuotetaan muualla. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (11 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

2.1-3 Pakkanen ja sähkölasku 18 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Aineisto on keksitty esimerkki: luvut on laskettu mallista, jossa muu sähkönkulutus on noin $12\,\text{kWh}$ vuorokaudessa ja lämmitys kasvaa tasaisesti ulkolämpötilan laskiessa, ja niihin on lisätty mittausten kaltaista vaihtelua.

Omakotitalo lämmitetään suoralla sähkölämmityksellä, ja sisälämpötila pidetään $21\,{}^\circ\text{C}$:ssa. Sähköyhtiön sovellus näyttää talon sähkönkulutuksen vuorokausittain. Perhe kirjasi tammikuun viikolta vuorokauden kulutuksen $E$ ja vuorokauden keskimääräisen ulkolämpötilan $T$. Muu sähkönkulutus kuin lämmitys, kuten valaistus, ruoanlaitto ja laitteet, on talossa noin $12\,\text{kWh}$ vuorokaudessa.

Päivä $T\ ({}^\circ\text{C})$ $E\ (\text{kWh})$
7.1. $-4$ $112$
8.1. $-10$ $139$
9.1. $-16$ $174$
10.1. $-19$ $186$
11.1. $-13$ $155$
12.1. $-7$ $126$
13.1. $-1$ $100$
14.1. $2$ $83$
  1. a) Esitä vuorokauden kulutus ulkolämpötilan funktiona kuvaajana, ja sovita pisteisiin sopiva malli. 4 p
  2. b) Määritä suoran kulmakerroin kuvaajasta. Kuinka paljon lämmitysteho kasvaa jokaista ulkolämpötilan kelvinin laskua kohti? Vastaa watteina kelviniä kohti. 5 p
  3. c) Arvioi kuvaajan avulla talon sähkönkulutus vuorokaudessa, jonka keskilämpötila on $-28\,{}^\circ\text{C}$. Arvioi, kuinka luotettava arvio on. 4 p
  4. d) Missä ulkolämpötilassa talo ei mallin mukaan tarvitsisi lainkaan lämmitystä? Selitä, miksi lämpötila ei ole sama kuin sisälämpötila $21\,{}^\circ\text{C}$. 5 p

Taidot luvuista: Teho: $P = \Delta E/\Delta t$, Graafinen esitys ja suoran sovittaminen, Energialajit ja energian säilyminen

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

vuorokauden sähkönkulutus $E$ ulkolämpötilan $T$ funktiona kuvaajana ja siihen sovitettu malli

Kuvaaja

Vaaka-akselilla on ulkolämpötila $T\ ({}^\circ\text{C})$ ja pystyakselilla vuorokauden kulutus $E\ (\text{kWh})$. Vaaka-akselille tarvitaan negatiivisia lämpötiloja, ja asteikko jatkuu c- ja d-kohtia varten $-30\,{}^\circ\text{C}$:sta $+20\,{}^\circ\text{C}$:seen.

$-20$
$-10$
$0$
$10$
$20$
$50$
$100$
$150$
$200$
$250$
$T\ ({}^\circ\text{C})$
$E\ (\text{kWh})$
$230\,\text{kWh}$
$12\,\text{kWh}$
$k \approx -4{,}9\,\text{kWh}/{}^\circ\text{C}$

Kuvaajassa ympyröidyt kohdat ovat ne kaksi suoran pistettä, joista b-kohdan kulmakerroin luetaan. Katkoviiva on suoran jatke mitatun alueen ulkopuolelle (c- ja d-kohta).

Mallivastaus

Pisteet ovat lähes suoralla: kulutus kasvaa tasaisesti, kun ulkolämpötila laskee. Pisteisiin sovitetaan yksi laskeva suora, joka kulkee pisteiden lomitse, eikä pisteitä yhdistetä murtoviivaksi päivien järjestyksessä. Pisteiden pieni heilunta suoran molemmin puolin johtuu esimerkiksi tuulesta, auringosta ja saunomisesta, joita lämpötila ei kerro. Suoraa on kuvassa jatkettu katkoviivana mitatun alueen ulkopuolelle c- ja d-kohtia varten.

b)

Annettu

a-kohdan kuvaaja ja suoralta luetut pisteet; vuorokausi $t = 24\,\text{h}$

Kysytty

suoran kulmakerroin $k$ ja lämmitystehon kasvu kelviniä kohti $\dfrac{\Delta P}{\Delta T}$ yksikössä $\text{W/K}$

Periaate

Suora kertoo, että vuorokauden energia kasvaa yhtä paljon jokaista lämpötila-asteen laskua kohti. Kulmakerroin on energian muutos asteelta. Koska vuorokauden energia on keskiteho kertaa vuorokauden pituus, tehon muutos saadaan jakamalla energian muutos ajalla (luku Teho). Lämpötilaeron muutos on sama celsiusasteina ja kelvineinä.

Kuvaajan lukeminen

Suoralta luetaan kaksi kaukana toisistaan olevaa pistettä, ei mittauspisteitä: $(-20\,{}^\circ\text{C}$; $191\,\text{kWh})$ ja $(0\,{}^\circ\text{C}$; $93\,\text{kWh})$.

Kaava

$k = \dfrac{\Delta E}{\Delta T}$ ja $P = \dfrac{E}{t}$, joten

$\dfrac{\Delta P}{\Delta T}$$= \dfrac{|k|}{t}$

Muunnokset

$1\,\text{kWh} : 1\,\text{h}$$= 1\,\text{kW}$
$= 1000\,\text{W}$

joten $\text{kWh}$ jaettuna tunneilla antaa kilowatteja. $1\,{}^\circ\text{C}$:n muutos on $1\,\text{K}$.

Sijoitus

$k$$= \dfrac{93\,\text{kWh} - 191\,\text{kWh}}{0\,{}^\circ\text{C} - (-20\,{}^\circ\text{C})}$
$= \dfrac{-98\,\text{kWh}}{20\,{}^\circ\text{C}}$
$= -4{,}9\,\text{kWh}/{}^\circ\text{C}$
$\dfrac{\Delta P}{\Delta T}$$= \dfrac{4{,}9\,\text{kWh}}{24\,\text{h} \cdot 1\,\text{K}}$
$= 0{,}204\,\text{kW}/\text{K}$
$= 204\,\text{W}/\text{K}$

Vastaus

Kulmakerroin on noin $-4{,}9\,\text{kWh}$ asteelta vuorokaudessa, eli lämmitysteho kasvaa noin $200\,\text{W}$ jokaista kelviniä kohti, jonka ulkolämpötila laskee. Kaksi merkitsevää numeroa, koska kuvaajalta luettu kulmakerroin on noin $\pm 0{,}2\,\text{kWh}$ asteelta tarkka.

Järkevyys

Mallin mukaan lämmitystä tarvitaan alle noin $17\,{}^\circ\text{C}$:n ulkolämpötilassa (d-kohta). Kun ulkona on $-20\,{}^\circ\text{C}$, lämmitysteho on noin $36{,}5\,\text{K} \cdot 0{,}204\,\text{kW}/\text{K} \approx 7{,}5\,\text{kW}$, sama kuin $(191 - 12)\,\text{kWh} : 24\,\text{h} \approx 7{,}5\,\text{kW}$, mikä sopii omakotitalon sähkölämmitykseen. Pienimmän neliösumman suora antaa saman: $-4{,}89\,\text{kWh}$ asteelta eli $204\,\text{W/K}$.

c)

Annettu

a-kohdan suora, b-kohdan kulmakerroin $k = -4{,}9\,\text{kWh}$ asteelta ja suoran arvo $93\,\text{kWh}$ lämpötilassa $0\,{}^\circ\text{C}$; arvioitava lämpötila $T = -28\,{}^\circ\text{C}$

Kysytty

vuorokauden kulutus $E$ kilowattitunteina ja arvion luotettavuus

Periaate

Suora on malli kulutuksesta. Mitatun alueen ulkopuolinen arvo saadaan jatkamalla suoraa eli ekstrapoloimalla, mikä on perusteltua vain, jos sama malli pätee myös siellä.

Kuvaajan lukeminen

Katkoviivana jatketulta suoralta luetaan lämpötilan $-28\,{}^\circ\text{C}$ kohdalta noin $230\,\text{kWh}$.

Kaava

$E = kT + b$, missä $b$ on suoran arvo lämpötilassa $0\,{}^\circ\text{C}$

Muunnokset

Ei tarvita: lämpötila ja kulmakerroin ovat samoissa yksiköissä kuin kuvaajassa.

Sijoitus

$E$$= -4{,}9\,\text{kWh}/{}^\circ\text{C} \cdot (-28\,{}^\circ\text{C}) + 93\,\text{kWh}$
$= 137\,\text{kWh} + 93\,\text{kWh}$
$= 230\,\text{kWh}$

Vastaus

noin $230\,\text{kWh}$ vuorokaudessa, kaksi merkitsevää numeroa kuten kulmakerroin. Arvio on ekstrapolointi $9\,\text{K}$ kylmimmän mittauksen $-19\,{}^\circ\text{C}$ ulkopuolelle. Se pätee, jos lämpöhäviöt kasvavat edelleen suoraan lämpötilaeron mukana; kova tuuli suurentaa kulutusta, ja jos lämmittimien yhteenlaskettu teho on alle noin $9\,\text{kW}$, ne eivät riitä ja sisälämpötila laskee.

Järkevyys

Kulutus on suunnilleen kaksi ja puoli kertaa nollan asteen kulutus, ja keskiteho $230\,\text{kWh} : 24\,\text{h} \approx 9{,}6\,\text{kW}$ on omakotitalon sähkölämmityksen yläpäässä. Esimerkkihinnalla $0{,}20\,\text{€/kWh}$ päivä maksaisi noin $46\,\text{€}$.

d)

Kysytty

ulkolämpötila, jossa lämmitystä ei mallin mukaan tarvita, ja miksi se ei ole $21\,{}^\circ\text{C}$

Periaate

Kun lämmitystä ei tarvita, kulutus on pelkkä muu sähkönkulutus $12\,\text{kWh}$. Energia säilyy: kaikki sisällä käytetty sähköenergia muuttuu lopulta lämmöksi, ja myös ihmiset ja auringonsäteily tuovat taloon energiaa (luku Energialajit ja energian säilyminen).

Mallivastaus

Jatketulta suoralta luetaan, että kulutus laskee muun kulutuksen tasolle $12\,\text{kWh}$ noin lämpötilassa $16$–$17\,{}^\circ\text{C}$ (suoran yhtälöstä $16{,}5\,{}^\circ\text{C}$). Talo tarvitsee lämmitystä siis vasta, kun ulkona on kylmempää. Lämpötila on noin $4\,\text{K}$ sisälämpötilaa $21\,{}^\circ\text{C}$ alempi, koska valaistuksen, ruoanlaiton ja laitteiden sähköenergia muuttuu sisällä lämmöksi. Lisäksi asukkaat lämmittävät taloa, ja ikkunoista tuleva auringonsäteily lisää energiaa. Nämä korvaavat pienen lämpötilaeron lämpöhäviöt, joten lämmittimiä tarvitaan vain lopun kattamiseen. Tulos on suuntaa antava: se perustuu talvipäivien suoraan, jota jatketaan pitkälle mitatun alueen ulkopuolelle, eikä aineisto erottele aurinkoa ja tuulta.

Yleisiä virheitä

  • Pisteet yhdistetään murtoviivaksi päivämäärän järjestyksessä, jolloin kuvaaja ei näytä riippuvuutta lämpötilasta.
  • Kulmakerroin lasketaan kahdesta vierekkäisestä mittauspisteestä eikä sovitetusta suorasta.
  • b-kohdassa kilowattitunnit tulkitaan suoraan kilowateiksi jakamatta vuorokauden tunneilla, jolloin tulokseksi tulee $4900\,\text{W/K}$.
  • c-kohdassa ekstrapolointia ei mainita lainkaan tai tulosta pidetään varmana.
  • d-kohdassa vastataan, että lämmitys loppuu $21\,{}^\circ\text{C}$:ssa, koska sisällä on silloin sama lämpötila.

Hyväksytään myös

  • Kulmakerroin $-4{,}7$…$-5{,}1\,\text{kWh}$ asteelta, kun suora on sovitettu silmämääräisesti pisteiden lomitse, ja sen mukaiset tulokset: b-kohdassa $192$–$216\,\text{W/K}$, c-kohdassa $220$–$240\,\text{kWh}$ ja d-kohdassa $15$–$18\,{}^\circ\text{C}$.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. Vaaka-akselilla $T\ ({}^\circ\text{C})$ negatiivisine arvoineen, pystyakselilla $E\ (\text{kWh})$. 1 p
Jokainen mittaus on merkitty erillisenä pisteenä oikealle paikalleen. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii, eikä pisteitä ole yhdistetty murtoviivaksi. Pisteisiin on sovitettu laskeva suora, joka kulkee pisteiden lomitse; pisteitä ei ole yhdistetty murtoviivaksi. 2 p

b)5 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Kulmakerroin kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä, esimerkiksi $(-20\,{}^\circ\text{C}$; $191\,\text{kWh})$ ja $(0\,{}^\circ\text{C}$; $93\,\text{kWh})$: noin $-4{,}9\,\text{kWh}/{}^\circ\text{C}$ vuorokaudessa. 1 p
Tulkitsee kulmakertoimen: vuorokauden lämmitysenergia kasvaa noin $4{,}9\,\text{kWh}$, kun ulkolämpötila laskee yhden kelvinin. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Keskiteho on energia jaettuna ajalla: $P = \dfrac{E}{t}$, $t = 24\,\text{h}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $4{,}9\,\text{kWh} : 24\,\text{h} \approx 0{,}20\,\text{kW}$, eli noin $200\,\text{W}$ kelviniä kohti; tulos $192$–$216\,\text{W/K}$ hyväksytään. 2 p

c)4 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Suoraa on jatkettu mitatun alueen ulkopuolelle tai käytetty suoran yhtälöä $E = kT + b$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $E \approx 93\,\text{kWh} + 4{,}9\,\text{kWh}/{}^\circ\text{C} \cdot 28\,{}^\circ\text{C} \approx 230\,\text{kWh}$ 1 p
Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Arvio on ekstrapolointi $9\,\text{K}$ mitatun alueen ulkopuolelle, joten se pätee vain, jos malli pysyy suorana; kova tuuli tai lämmittimien enimmäisteho voivat muuttaa tulosta. 2 p

d)5 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Suoralta luetaan lämpötila, jossa $E = 12\,\text{kWh}$: noin $16$–$17\,{}^\circ\text{C}$. 1 p
Selittää energian säilymisellä: laitteiden sähköenergia, ihmisten lämpö ja auringonsäteily muuttuvat sisällä lämmöksi, joten ne korvaavat osan lämpöhäviöistä. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Lämmitystä tarvitaan vain, kun ulkolämpötila on alle noin $17\,{}^\circ\text{C}$; mallin tarkkuutta rajoittavat esimerkiksi aurinko ja tuuli, joita aineisto ei erottele. 2 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 18 (13 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

2.1-4 Saaren sähkö 13 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Saari, vaihtoehdot ja niiden luvut ovat keksittyjä esimerkkejä. Dieselin päästökerroin on pyöristetty suuruusluokka-arvo.

Saaristokunnan saarella on $400$ asukasta. Sähkö tuotetaan nyt dieselvoimalassa. Saaren sähkönkulutus on $3{,}0\,\text{GWh}$ vuodessa, ja talven kulutushuippu on $1{,}2\,\text{MW}$. Kunta vertailee kolmea vaihtoehtoa.

Vaihtoehto Teho
A: dieselvoimala (nykyinen) $1{,}5\,\text{MW}$
B: tuulivoimalat ja akku $2 \cdot 1{,}0\,\text{MW}$
C: merikaapeli mantereelle $5\,\text{MW}$
  • A: päästökerroin noin $700\,\text{g/kWh}$, polttoaine tuodaan laivalla.
  • B: tuulivoimaloiden keskiteho on noin $30\,\%$ nimellistehosta, ja akkuun mahtuu $2{,}0\,\text{MWh}$.
  • C: kaapelin pituus on $12\,\text{km}$ ja siirtohäviö noin $3\,\%$.

Kunnanvaltuuston kokouksessa esitettiin kaksi väitettä: ”Tuulivoimalat tuottavat vuodessa enemmän kuin saari kuluttaa, joten diesel voidaan purkaa” ja ”Tuulivoima on täysin päästötöntä”.

  1. a) Arvioi ensimmäinen väite. Perustele vastauksesi laskelmalla. 4 p
  2. b) Vertaa vaihtoehtoja ainakin kolmen perusteen avulla ja tee perusteltu suositus. 5 p
  3. c) Arvioi toinen väite. Kuinka suuri on dieselvoimalan vuotuinen hiilidioksidipäästö, ja miten sitä verrataan tuulivoiman päästöihin? 4 p

Taidot luvuista: Energiantuotantotavat ja niiden vertailu, Energiantuotanto, ympäristö ja ilmastonmuutos, Energian siirtäminen: sähkö ja lämpö

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

riittävätkö kaksi tuulivoimalaa ja akku korvaamaan dieselvoimalan

Periaate

Vuoden energia on keskiteho kertaa vuoden tunnit (luku Energiantuotantotavat ja niiden vertailu). Sähköverkossa tuotannon on kuitenkin vastattava kulutusta joka hetki, joten energian lisäksi on tarkasteltava tehoa ja varastoa.

Mallivastaus

Tuulivoimaloiden keskiteho on $0{,}30 \cdot 2 \cdot 1{,}0\,\text{MW} = 0{,}60\,\text{MW}$, joten vuodessa ne tuottavat $0{,}60\,\text{MW} \cdot 8760\,\text{h} \approx 5{,}3\,\text{GWh}$. Se on enemmän kuin saaren kulutus $3{,}0\,\text{GWh}$, joten väitteen ensimmäinen osa pitää vuoden energian osalta. Sähköä ei kuitenkaan voi käyttää silloin, kun sitä tuotetaan vuoden aikana keskimäärin: tyynellä tuulivoimalat eivät tuota mitään. Täysi akku kattaa talven huippukulutuksen vain $2{,}0\,\text{MWh} : 1{,}2\,\text{MW} \approx 1{,}7$ tuntia, ja tyyni pakkasjakso voi kestää päiviä. Dieseliä ei siksi voi purkaa, ellei saarelle saada muuta säätövoimaa tai yhteyttä mantereen verkkoon.

b)

Kysytty

vaihtoehtojen vertailu ainakin kolmella perusteella ja perusteltu suositus

Periaate

Tuotantotapoja verrataan samoilla perusteilla: säädettävyys ja toimitusvarmuus, päästöt, polttoaineen kuljetus ja varastointi sekä hinta (luvut Energiantuotantotavat ja niiden vertailu ja Energiantuotanto, ympäristö ja ilmastonmuutos).

Mallivastaus

  • Säädettävyys ja toimitusvarmuus. Dieselvoimala on säädettävä ja riittää huippuun ($1{,}5\,\text{MW} > 1{,}2\,\text{MW}$). Tuulivoima on sääriippuvaista, eikä akku kata pitkää tyyntä. Kaapeli tuo saarelle koko mantereen verkon säätövoiman, ja sen $5\,\text{MW}$ riittää huippuun.
  • Päästöt. Diesel tuottaa noin $2100\,\text{t}$ hiilidioksidia vuodessa (c-kohta). Tuulivoiman elinkaaren päästöt ovat siitä vain pieni osa, ja kaapelin sähkön päästöt riippuvat mantereen tuotantotavoista.
  • Kuljetus ja häviöt. Diesel on tuotava laivalla, mikä on kallista ja altis jäätalvelle. Kaapelin siirtohäviö on vain noin $3\,\%$: saaren $3{,}0\,\text{GWh}$:a varten mantereelta lähetetään noin $3{,}1\,\text{GWh}$.
  • Hinta. Kaapeli ja tuulivoimalat ovat suuria investointeja, mutta niissä ei ole polttoainekuluja.

Suositus: merikaapeli ja tuulivoimalat yhdessä. Kaapeli takaa sähkön tyynellä ja vie ylijäämän mantereelle, tuulivoima vähentää päästöjä, ja nykyinen dieselvoimala jää varavoimaksi kaapelivian varalle.

c)

Kysytty

dieselvoimalan vuotuinen hiilidioksidipäästö ja arvio väitteestä ”tuulivoima on täysin päästötöntä”

Periaate

Päästö on energia kertaa päästökerroin, $m = e \cdot E$. Tuotantotapoja verrataan elinkaaren päästöillä, joihin kuuluvat myös rakentaminen, kuljetukset ja purku (luku Energiantuotanto, ympäristö ja ilmastonmuutos).

Mallivastaus

Kulutus kilowattitunteina on $3{,}0\,\text{GWh} = 3{,}0 \cdot 10^{6}\,\text{kWh}$, joten dieselvoimalan päästö on $m = e \cdot E = 700\,\text{g}/\text{kWh} \cdot 3{,}0 \cdot 10^{6}\,\text{kWh} = 2{,}1 \cdot 10^{9}\,\text{g}$. Sijoitetaan $1\,\text{g} = 10^{-6}\,\text{t}$: päästö on noin $2100\,\text{t}$ hiilidioksidia vuodessa. Tuulivoimala ei käytössä polta mitään, mutta sen teräksen ja betonin valmistus, kuljetus, rakentaminen ja purku aiheuttavat päästöjä. Elinkaaren päästökerroin on siksi muutamia kymmeniä grammoja kilowattituntia kohti tai vähemmän, ei nolla. Väite on siis epätarkka: tuulivoima on vähäpäästöistä, ja sen päästöt ovat vain murto-osa dieselin päästöistä, mutta täysin päästötöntä se ei ole.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa tuulivoimaloiden vuoden energia lasketaan nimellisteholla ($2{,}0\,\text{MW} \cdot 8760\,\text{h} = 17{,}5\,\text{GWh}$), jolloin keskitehoa ei oteta huomioon.
  • Akun kapasiteettia ($\text{MWh}$) verrataan suoraan kulutushuippuun ($\text{MW}$), vaikka toinen on energia ja toinen teho.
  • b-kohdassa luetellaan vaihtoehtojen ominaisuuksia vertaamatta niitä toisiinsa tai tekemättä suositusta.
  • c-kohdassa gigawattitunnit kerrotaan suoraan päästökertoimella ilman muunnosta kilowattitunneiksi.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Laskee tuulivoimaloiden vuoden energian keskitehosta: $2{,}0\,\text{MW} \cdot 0{,}30 \cdot 8760\,\text{h} \approx 5{,}3\,\text{GWh}$, mikä on enemmän kuin $3{,}0\,\text{GWh}$. 1 p
Erottaa energian ja tehon: tuotannon on vastattava kulutusta joka hetki, ja tyynellä tuulivoimalat eivät tuota mitään. 1 p
Laskee, että täysi akku kattaa $1{,}2\,\text{MW}$:n huipun vain $2{,}0\,\text{MWh} : 1{,}2\,\text{MW} \approx 1{,}7\,\text{h}$. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite ei pidä: vuoden energia riittää, mutta tyynien jaksojen ajaksi tarvitaan säätövoimaa tai yhteys verkkoon. 1 p

b)5 p

Käyttää vähintään kolmea vertailuperustetta, esimerkiksi säädettävyys, toimitusvarmuus, päästöt, polttoaineen kuljetus ja hinta. 2 p
Perustelee jokaisen vertailun vaihtoehtojen ominaisuuksilla, esimerkiksi kaapeli tuo mantereen verkon säätövoiman ja sen häviö on pieni. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Suositus seuraa vertailusta, esimerkiksi kaapeli ja tuulivoima yhdessä ja diesel varavoimaksi. 1 p

c)4 p

Laskee dieselin päästön: $m = e \cdot E = 700\,\text{g}/\text{kWh} \cdot 3{,}0 \cdot 10^{6}\,\text{kWh} = 2{,}1 \cdot 10^{9}\,\text{g} = 2100\,\text{t}$. 2 p
Selittää elinkaaren päästöt: tuulivoimalan valmistus, kuljetus ja rakentaminen aiheuttavat päästöjä, vaikka käyttö ei, joten päästö ei ole nolla mutta on dieseliä paljon pienempi. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite on epätarkka: tuulivoima on vähäpäästöistä, ei päästötöntä. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 13 (10 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

2.1-5 Vedenkeittimen hyötysuhde 14 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Raportti ja sen mittaustulokset ovat keksittyjä esimerkkejä.

Opiskelijaryhmä halusi tarkistaa valmistajan väitteen, että vedenkeitin ”siirtää yli $90\,\%$ sähköenergiasta veteen”. Ote ryhmän raportista:

Täytimme keittimen kannun asteikon mukaan $1{,}0$ litraan hanavedellä, jonka lämpötila oli $15\,{}^\circ\text{C}$. Käynnistimme keittimen ja ajanoton yhtä aikaa. Keitin sammui itsestään, kun vesi kiehui, $3\,\text{min}\ 5\,\text{s}$ käynnistyksestä. Kun keitin oli sammunut, avasimme kannen ja mittasimme lämpömittarilla veden lämpötilaksi $96\,{}^\circ\text{C}$. Keittimen arvokilven teho on $2200\,\text{W}$. Laskimme hyötysuhteeksi $83\,\%$, joten valmistajan väite ei pidä.

Veden ominaislämpökapasiteetti on $4190\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$, ja litra vettä painaa noin $1{,}0\,\text{kg}$.

  1. a) Näytä, miten ryhmä sai hyötysuhteeksi $83\,\%$. 4 p
  2. b) Arvioi, onko ryhmän johtopäätös perusteltu. Nimeä mittauksen tärkeimmät virhelähteet ja kerro, mihin suuntaan kukin muuttaa tulosta. 5 p
  3. c) Ryhmä epäilee, että hyötysuhde riippuu vesimäärästä. Suunnittele koe, jolla asian voi selvittää luotettavasti. 5 p

Taidot luvuista: Hyötysuhde, Aineen lämpeneminen ja jäähtyminen: $Q = cm\Delta T$, Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus, Graafinen esitys ja suoran sovittaminen

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

raportista vesi $m = 1{,}0\,\text{kg}$, alkulämpötila $T_1 = 15\,{}^\circ\text{C}$, loppulämpötila $T_2 = 96\,{}^\circ\text{C}$, aika $t = 3\,\text{min}\ 5\,\text{s}$, arvokilven teho $P = 2200\,\text{W}$; $c = 4190\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$

Kysytty

keittimen hyötysuhde $\eta$ raportin tiedoista

Periaate

Hyötysuhde on veteen siirtyneen energian osuus keittimen ottamasta sähköenergiasta (luku Hyötysuhde). Veteen siirtynyt energia on vedelle siirtynyt lämpömäärä $Q = cm\Delta T$, koska vesi lämpenee eikä raportin mukaan kiehu pois (luku Aineen lämpeneminen ja jäähtyminen). Sähköenergia on teho kertaa aika.

Kaava

$\eta = \dfrac{Q}{E}$, missä $Q = cm\,(T_2 - T_1)$ ja $E = P\,t$, joten $\eta = \dfrac{cm\,(T_2 - T_1)}{P\,t}$

Muunnokset

$3\,\text{min}\ 5\,\text{s}$$= 3 \cdot 60\,\text{s} + 5\,\text{s}$
$= 185\,\text{s}$

Lämpötilaero on sama celsiusasteina ja kelvineinä: $96\,{}^\circ\text{C} - 15\,{}^\circ\text{C} = 81\,\text{K}$.

Sijoitus

$\eta$$= \dfrac{4190\,\text{J}/(\text{kg} \cdot \text{K}) \cdot 1{,}0\,\text{kg} \cdot 81\,\text{K}}{2200\,\text{W} \cdot 185\,\text{s}}$
$= \dfrac{339\,390\,\text{J}}{407\,000\,\text{J}}$
$= 0{,}834$
$= 83{,}4\,\%$

Vastaus

$\eta \approx 83\,\%$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten vesimäärä $1{,}0\,\text{kg}$ ja lämpötilaero $81\,\text{K}$. Ryhmän luku on laskettu oikein.

Järkevyys

Hyötysuhde on alle $100\,\%$ ja vedenkeittimelle tavallista suuruusluokkaa: lämmityselementti on veden sisällä, joten suurin osa energiasta päätyy veteen. Häviöiksi jää $407\,\text{kJ} - 339\,\text{kJ} \approx 68\,\text{kJ}$, joka lämmittää kannua ja ilmaa.

b)

Kysytty

onko johtopäätös perusteltu, mittauksen tärkeimmät virhelähteet ja niiden vaikutuksen suunta

Periaate

Johtopäätös on perusteltu vain, jos ero väitettyyn arvoon on suurempi kuin tuloksen epävarmuus (luku Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus). Virhelähteen vaikutus arvioidaan laskemalla tulos uudelleen muutetulla arvolla.

Mallivastaus

Ryhmän johtopäätös ei ole perusteltu, koska tuloksen epävarmuus on useita prosenttiyksiköitä ja mittaus tehtiin vain kerran.
- Teho arvokilvestä. Arvokilven teho on nimellisarvo, ei mitattu, ja todellinen teho riippuu verkkojännitteestä. Jos se olisi $2100\,\text{W}$, hyötysuhteeksi tulisi $87\,\%$; jos yli $2200\,\text{W}$, tulos olisi alle $83\,\%$. Sähköenergia pitäisi mitata energiamittarilla.
- Loppulämpötila. Vesi kiehui eli oli noin $100\,{}^\circ\text{C}$, kun keitin sammui, mutta lämpötila mitattiin vasta kannen avaamisen jälkeen. Mittaus antaa liian pienen lämpötilaeron ja siksi liian pienen hyötysuhteen; $100\,{}^\circ\text{C}$:lla tulos olisi $88\,\%$.
- Vesimäärä. Kannun asteikko on epätarkka. Jos vettä oli $1{,}05\,\text{kg}$, tulos olisi $88\,\%$; jos $0{,}95\,\text{kg}$, se olisi $79\,\%$. Vesi pitäisi punnita.
- Kannun lämpeneminen ja höyrystyminen. Osa energiasta lämmittää kannua ja osa höyrystää vettä kiehumisen aikana. Ne ovat todellisia häviöitä, mutta riippuvat siitä, mitä valmistaja laskee hyödyksi.

Myöhään luettu loppulämpötila pienentää tulosta varmasti. Arvokilven teho ja kannun asteikko voivat muuttaa sitä kumpaan suuntaan tahansa: todellinen teho riippuu verkkojännitteestä ja voi olla yli tai alle $2200\,\text{W}$. Todellinen hyötysuhde voi siis hyvin olla lähellä $90\,\%$. Väitteen kumoamiseen tarvitaan mitattu sähköenergia, punnittu vesi ja useita toistoja.

c)

Kysytty

koesuunnitelma, jolla selvitetään, riippuuko hyötysuhde vesimäärästä

Periaate

Kokeessa muutetaan vain yhtä muuttujaa, vesimäärää, ja pidetään muut vakioina. Suureet mitataan mahdollisimman suoraan, ja mittaukset toistetaan, jotta satunnaisen vaihtelun suuruus nähdään (luku Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus).

Mallivastaus

  • Muuttujat. Muutettava suure on veden massa, esimerkiksi $0{,}50\,\text{kg}$, $0{,}75\,\text{kg}$, $1{,}0\,\text{kg}$, $1{,}25\,\text{kg}$ ja $1{,}5\,\text{kg}$. Vakiona pidetään sama keitin, sama alkulämpötila (vesi samasta astiasta), kansi kiinni ja keittimen alkulämpötila: kannun annetaan jäähtyä huoneenlämpöiseksi tai se huuhdellaan kylmällä vedellä mittausten välissä.
  • Mittaukset. Vesi punnitaan vaa'alla. Keitin kytketään energiamittarin kautta, joka näyttää sähköenergian suoraan. Lämmitys lopetetaan ennen kiehumista, esimerkiksi kun sekoitetun veden lämpötila on $80\,{}^\circ\text{C}$, jotta höyrystyminen ei vääristä tulosta; lämpötila mitataan heti katkaisun jälkeen sekoittaen.
  • Toistot ja tulokset. Jokainen vesimäärä mitataan kolme kertaa. Hyötysuhde lasketaan kaavalla $\eta = \tfrac{cm\Delta T}{E}$, ja tulokset esitetään kuvaajana hyötysuhde vesimäärän funktiona toistojen hajonnan kanssa.

Jos hyötysuhde kasvaa vesimäärän kasvaessa, syy on todennäköisesti kannun lämpeneminen: se vie lähes saman energian joka kerta, joten se on suurempi osa pienen vesimäärän energiasta.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa lämpötilaero muutetaan kelvineiksi lisäämällä $273$ kumpaankin lämpötilaan eri tavalla tai käytetään loppulämpötilaa $96\,{}^\circ\text{C}$ lämpötilaerona.
  • Aika kirjoitetaan $3{,}5\,\text{min}$:ksi; $3\,\text{min}\ 5\,\text{s}$ on $185\,\text{s}$.
  • b-kohdassa todetaan vain ”mittausvirheitä oli”, nimeämättä virhelähdettä tai sen vaikutuksen suuntaa.
  • c-kohdassa muutetaan samaan aikaan vesimäärää ja keitintä tai lämmitetään eri lämpötiloihin, jolloin vaikutuksia ei voi erottaa.

Hyväksytään myös

  • c-kohdassa lämmityksen voi lopettaa myös keittimen sammumiseen, jos loppulämpötila mitataan heti ja kannen ollessa kiinni, ja suunnitelma toteaa höyrystymisen vaikutuksen.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $\eta = \dfrac{Q}{E}$, missä $Q = cm\Delta T$ ja $E = P\,t$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $Q = 4190\,\text{J}/(\text{kg} \cdot \text{K}) \cdot 1{,}0\,\text{kg} \cdot 81\,\text{K} \approx 339\,\text{kJ}$ ja $E = 2200\,\text{W} \cdot 185\,\text{s} = 407\,\text{kJ}$ 2 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\eta \approx 0{,}83 = 83\,\%$ kahdella merkitsevällä numerolla 1 p

b)5 p

Tärkeimmät virhelähteet on nimetty ja kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. Nimeää virhelähteet ja kertoo, mihin suuntaan kukin muuttaa tulosta: esimerkiksi veden lämpötila mitattiin vasta sammumisen jälkeen, kun vesi oli jo jäähtynyt (pienentää tulosta); arvokilven teho ei ole mitattu teho (voi muuttaa tulosta kumpaan suuntaan tahansa, koska todellinen teho riippuu verkkojännitteestä); vesimäärä luettiin kannun asteikolta (kumpaan suuntaan tahansa); osa energiasta lämmitti kannua (todellinen häviö). 2 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Arvioi vaikutuksen suuruuden: esimerkiksi teho $2100\,\text{W}$ antaisi $87\,\%$ ja vesimäärä $1{,}05\,\text{kg}$ antaisi $88\,\%$, joten tuloksen epävarmuus on useita prosenttiyksiköitä. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Yksi mittaus ja näin suuri epävarmuus eivät riitä osoittamaan väitettä vääräksi. 1 p

c)5 p

Vaihtelee vain vesimäärää (esimerkiksi $0{,}50$–$1{,}5\,\text{kg}$) ja pitää muut tekijät vakioina: sama alkulämpötila, sama keitin, kansi kiinni. 2 p
Mittaa tarvittavat suureet luotettavasti: massa vaa'alla, sähköenergia energiamittarilla, lämpötila sekoitetusta vedestä ennen kiehumista, esimerkiksi kun vesi on $80\,{}^\circ\text{C}$. 2 p
Toistaa mittaukset ja esittää tulokset kuvaajana, esimerkiksi hyötysuhde vesimäärän funktiona, ja arvioi niiden epävarmuuden. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 14 (9 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

2.1-6 Kaivoksen pumppuvoimala 17 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Kaivos ja voimalan luvut ovat keksittyjä esimerkkejä. Hyötysuhteet ovat tyypillisiä pumppuvoimalan arvoja.

Suljettuun kaivokseen suunnitellaan pumppuvoimalaa. Yläallas on maan pinnalla, ja ala-altaana toimivat kaivoksen käytävät $1{,}20\,\text{km}$ syvemmällä. Kun sähköä tarvitaan, yläaltaan vesi virtaa putkea pitkin alas ja pyörittää kaivoksen pohjalla olevaa turbiinia ja generaattoria. Kun sähköä on tarjolla halvalla, esimerkiksi tuulisena yönä, samat koneet pumppaavat veden takaisin ylös.

  • yläaltaan tilavuus $7{,}50 \cdot 10^{4}\,\text{m}^3$, veden tiheys $1000\,\text{kg/m}^3$
  • turbiinin ja generaattorin hyötysuhde $88\,\%$
  • pumpun ja moottorin hyötysuhde $85\,\%$
  • täysi yläallas tyhjennetään tasaisesti $6{,}0$ tunnissa
  1. a) Kuinka paljon potentiaalienergiaa täyden yläaltaan vedellä on ala-altaaseen verrattuna? Anna vastaus megawattitunteina. 4 p
  2. b) Kuinka suuri on voimalan sähköteho, kun allas tyhjennetään? 4 p
  3. c) Kuinka paljon sähköenergiaa verkosta on otettava, kun tyhjä yläallas pumpataan täyteen? Mikä on varaston kokonaishyötysuhde, kun allas ensin täytetään ja sitten tyhjennetään? 5 p
  4. d) Suunnittelija sanoo: ”Voimala tuottaa joka päivä $216\,\text{MWh}$ sähköä.” Arvioi väite ja perustele, miksi voimala silti voi olla hyödyllinen. 4 p

Taidot luvuista: Liike-energia, potentiaalienergia ja mekaaninen energia, Energian siirtäminen: sähkö ja lämpö, Energiantuotanto ja voimalaitosten hyötysuhde, Energialajit ja energian säilyminen

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

yläaltaan tilavuus $V = 7{,}50 \cdot 10^{4}\,\text{m}^3$, veden tiheys $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$, korkeusero $h = 1{,}20\,\text{km}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

veden potentiaalienergia $E_\text{p}$ ala-altaaseen verrattuna megawattitunteina

Periaate

Kun ala-allas valitaan nollatasoksi, korkeudella $h$ olevan veden potentiaalienergia on yhtä suuri kuin työ, joka tarvitaan sen nostamiseen tasaisesti ylös, $mgh$ (luvut Työ ja energia ja Liike-energia, potentiaalienergia ja mekaaninen energia). Altaan korkeus on pieni korkeuseroon verrattuna, joten kaikki vesi on noin korkeudella $h$.

Kaava

$m = \rho V$ ja $E_\text{p} = mgh$, joten $E_\text{p} = \rho V g h$

Muunnokset

$1{,}20\,\text{km}$$= 1{,}20 \cdot 1000\,\text{m}$
$= 1200\,\text{m}$

Megawattitunti sijoittamalla:

$1\,\text{MWh}$$= 10^{6}\,\text{W} \cdot 3600\,\text{s}$
$= 3{,}6 \cdot 10^{9}\,\text{J}$

Sijoitus

$E_\text{p}$$= 1000\,\text{kg}/\text{m}^3 \cdot 7{,}50 \cdot 10^{4}\,\text{m}^3 \cdot 9{,}81\,\text{m}/\text{s}^2 \cdot 1200\,\text{m}$
$= 8{,}829 \cdot 10^{11}\,\text{J}$
$= \dfrac{8{,}829 \cdot 10^{11}}{3{,}6 \cdot 10^{9}}\,\text{MWh}$
$= 245{,}3\,\text{MWh}$

Vastaus

$E_\text{p} \approx 245\,\text{MWh}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten tilavuus $7{,}50 \cdot 10^{4}\,\text{m}^3$ ja korkeusero $1{,}20\,\text{km}$.

Järkevyys

Kilogramma vettä saa $1200\,\text{m}$:n pudotuksesta noin $12\,\text{kJ}$, eli yksi kuutio noin $12\,\text{MJ} \approx 3{,}3\,\text{kWh}$. $75\,000$ kuutiota antaa siis noin $250\,\text{MWh}$, sama suuruusluokka.

b)

Annettu

a-kohdasta $E_\text{p} = 245{,}3\,\text{MWh}$; turbiinin ja generaattorin hyötysuhde $\eta_\text{t} = 88\,\%$; tyhjennysaika $t = 6{,}0\,\text{h}$

Kysytty

voimalan sähköteho $P$ megawatteina

Periaate

Turbiini ja generaattori muuttavat virtaavan veden energian sähköksi, ja hyötysuhde kertoo sähköksi tulevan osuuden. Allas tyhjennetään tasaisesti, joten teho on sähköenergia jaettuna ajalla (luku Teho).

Kaava

$E_\text{s} = \eta_\text{t}\,E_\text{p}$ ja $P = \dfrac{E_\text{s}}{t}$, joten

$P$$= \dfrac{\eta_\text{t}\,E_\text{p}}{t}$

Muunnokset

$88\,\% = 0{,}88$. Megawattitunnit jaettuna tunneilla antaa suoraan megawatteja: $\text{MWh} : \text{h} = \text{MW}$.

Sijoitus

$P$$= \dfrac{0{,}88 \cdot 245{,}3\,\text{MWh}}{6{,}0\,\text{h}}$
$= \dfrac{215{,}8\,\text{MWh}}{6{,}0\,\text{h}}$
$= 35{,}97\,\text{MW}$

Vastaus

$P \approx 36\,\text{MW}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten tyhjennysaika $6{,}0\,\text{h}$ ja hyötysuhde $88\,\%$.

Järkevyys

Teho vastaa noin kymmentä suurta tuulivoimalaa tai noin $16\,000$ vedenkeitintä. Sähköenergia $216\,\text{MWh}$ on pienempi kuin potentiaalienergia $245\,\text{MWh}$, kuten energian säilymisen ja häviöiden mukaan pitää.

c)

Annettu

$E_\text{p} = 245{,}3\,\text{MWh}$; pumpun ja moottorin hyötysuhde $\eta_\text{p} = 85\,\%$; b-kohdasta $\eta_\text{t} = 88\,\%$ ja sähköenergia $E_\text{s} = 215{,}8\,\text{MWh}$

Kysytty

pumppaukseen verkosta otettava sähköenergia $E_\text{verkko}$ ja varaston kokonaishyötysuhde $\eta$

Periaate

Pumppauksessa sähköenergia muuttuu veden potentiaalienergiaksi, ja vain osa $\eta_\text{p}$ siitä tulee hyödyksi, joten verkosta on otettava enemmän kuin vedelle tulee potentiaalienergiaa. Täyttö ja tyhjennys ovat peräkkäiset vaiheet, joten kokonaishyötysuhde on niiden tulo (luku Energiantuotanto ja voimalaitosten hyötysuhde).

Kaava

$\eta_\text{p}$$= \dfrac{E_\text{p}}{E_\text{verkko}}$

joten

$E_\text{verkko}$$= \dfrac{E_\text{p}}{\eta_\text{p}}$

ja $\eta = \eta_\text{p}\,\eta_\text{t}$

Muunnokset

$85\,\% = 0{,}85$ ja $88\,\% = 0{,}88$; energiat pysyvät megawattitunteina.

Sijoitus

$E_\text{verkko}$$= \dfrac{245{,}3\,\text{MWh}}{0{,}85}$
$= 288{,}5\,\text{MWh}$
$\eta$$= 0{,}85 \cdot 0{,}88$
$= 0{,}748$
$= 74{,}8\,\%$

Vastaus

Verkosta otetaan noin $290\,\text{MWh}$ (kaksi merkitsevää numeroa kuten hyötysuhde $85\,\%$; tarkemmin $289\,\text{MWh}$), ja kokonaishyötysuhde on noin $75\,\%$.

Järkevyys

Tarkistus energioista:

$E_\text{s} : E_\text{verkko}$$= 215{,}8\,\text{MWh} : 288{,}5\,\text{MWh}$
$= 0{,}748$

sama kuin hyötysuhteiden tulo. Noin neljännes energiasta muuttuu putkissa, pumpussa, turbiinissa ja generaattoreissa lämmöksi, mikä on pumppuvoimaloille tyypillistä.

d)

Kysytty

pitääkö väite ”voimala tuottaa joka päivä $216\,\text{MWh}$ sähköä”, ja miksi voimala silti voi olla hyödyllinen

Periaate

Energia säilyy: voimala voi antaa sähkönä enintään sen energian, joka siihen on pumppaamalla varastoitu, ja häviöiden takia vähemmän (luku Energialajit ja energian säilyminen). Varasto siirtää energiaa ajassa (luku Energian siirtäminen: sähkö ja lämpö).

Mallivastaus

Väite on harhaanjohtava. Pumppuvoimala ei tuota energiaa vaan varastoi sitä: jokaisella täytöllä ja tyhjennyksellä se ottaa verkosta noin $289\,\text{MWh}$ ja antaa takaisin noin $216\,\text{MWh}$, joten noin $73\,\text{MWh}$ muuttuu lämmöksi. Voimala on silti hyödyllinen, koska se siirtää energiaa ajassa. Se täytetään, kun sähköä on tarjolla paljon ja halvalla, esimerkiksi tuulisena yönä, ja se tyhjennetään kulutushuipun aikaan tai tyynellä, kun sähköä on niukasti. Vesivoimana se on myös nopeasti säädettävää tehoa, jota sääriippuvainen tuulivoima tarvitsee rinnalleen. Oikea muotoilu olisi: ”Voimala antaa verkkoon $216\,\text{MWh}$ ottamaansa $289\,\text{MWh}$:a myöhemmin, silloin kun sähköä tarvitaan.”

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa massa lasketaan suoraan tilavuudesta ilman tiheyttä tai kilometrit unohdetaan muuntaa metreiksi.
  • Joulet muunnetaan megawattitunneiksi jakamalla luvulla $3600$ tai $10^{6}$, mutta ei molemmilla.
  • c-kohdassa potentiaalienergia kerrotaan pumpun hyötysuhteella, jolloin verkosta otettu energia olisi pienempi kuin vedelle varastoitunut.
  • Kokonaishyötysuhde lasketaan keskiarvona $(85\,\% + 88\,\%) : 2$ tai yhteenlaskuna eikä tulona.

Hyväksytään myös

  • c-kohdan energia kolmella merkitsevällä numerolla $289\,\text{MWh}$ ja kokonaishyötysuhde $74{,}8\,\%$.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $E_\text{p} = mgh$, missä $m = \rho V$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $m = 7{,}50 \cdot 10^{7}\,\text{kg}$ ja $E_\text{p} \approx 8{,}83 \cdot 10^{11}\,\text{J}$ 1 p
Muuntaa joulet megawattitunneiksi sijoittamalla $1\,\text{MWh} = 10^{6}\,\text{W} \cdot 3600\,\text{s}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $E_\text{p} \approx 245\,\text{MWh}$ kolmella merkitsevällä numerolla 1 p

b)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $P = \dfrac{\eta_\text{t}\,E_\text{p}}{t}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Sähköenergia $0{,}88 \cdot 245\,\text{MWh} \approx 216\,\text{MWh}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $P \approx 36\,\text{MW}$ kahdella merkitsevällä numerolla kuten aika $6{,}0\,\text{h}$ 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Esimerkiksi tuulivoimalan nimellistehoon verrattuna voimala vastaa noin kymmentä suurta tuulivoimalaa. 1 p

c)5 p

Perustelee, että pumppauksessa sähköä tarvitaan enemmän kuin vedelle tulee potentiaalienergiaa: $E_\text{verkko} = E_\text{p} : \eta_\text{p}$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Kokonaishyötysuhde on peräkkäisten vaiheiden tulo $\eta = \eta_\text{p}\,\eta_\text{t}$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $E_\text{verkko} \approx 289\,\text{MWh}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\eta \approx 0{,}75 = 75\,\%$; tarkistus $216\,\text{MWh} : 289\,\text{MWh} \approx 0{,}75$ 2 p

d)4 p

Toteaa energian säilymisen perusteella, että pumppuvoimala ei tuota energiaa vaan varastoi sitä: se ottaa verkosta enemmän kuin antaa, noin $73\,\text{MWh}$ jokaisella täytöllä ja tyhjennyksellä. 2 p
Perustelee hyödyn: energiaa siirretään ajassa halvan ylituotannon hetkistä kulutushuippuihin, ja voimala on nopeasti säädettävää tehoa tuulivoiman rinnalle. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite on harhaanjohtava; oikein: voimala antaa verkkoon $216\,\text{MWh}$ ottamaansa $289\,\text{MWh}$:a myöhemmin. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 17 (15 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.