RuukkilabraLukion fysiikka
FY9 · Luku 1.3

Kokeellinen työ ja sen arviointi

Miksi hyvä koesuunnitelma kertoo jo ennen mittausta, kuinka luotettava tuloksesta tulee?

Pohjatiedot

Pohdinta

Ylioppilaskokeessa on tehtävä: Suunnittele koe, jolla määrität jousen jousivakion. Käytössäsi on jousi, teline, viisi $50\,\text{g}$:n punnusta ja metrimitta. Aino kirjoittaa vastaukseksi yhden rivin: ”Ripustan jouseen punnuksen, mittaan venymän ja lasken jousivakion voiman ja venymän osamääränä.” Fysiikka on oikein, mutta vastaus saa vain murto-osan pisteistä.

Mitä Ainon vastauksesta puuttuu, jotta joku toinen voisi tehdä kokeen sen perusteella ja luottaa tulokseen?

Ennusta

Tee ennusteet ennen tutkimista 6 kysymystä

Toistaminen

Ryhmä mittaa vaunun kulkuajan kaltevaa rataa pitkin viisi kertaa ja laskee keskiarvon. Mitä viiden toiston keskiarvo parantaa verrattuna yhteen mittaukseen?

Resoluutio ja epävarmuus

Puhelimen sekuntikello näyttää ajan sadasosasekunnin tarkkuudella. Opiskelija käynnistää ja pysäyttää kellon käsin, kun pallo ohittaa lattian merkit. Mikä on ajan epävarmuuden järkevin arvio?

Reilu koe

Opiskelija tutkii, miten heilurin jaksonaika riippuu langan pituudesta. Mikä asetelma on reilu koe?

Suora ei kulje origon kautta

Opiskelija mittaa veden massan eri tilavuuksilla. Hän kaataa vettä dekantterilasiin ja punnitsee lasin vesineen. $(V, m)$-kuvaaja on suora, joka leikkaa pystyakselin kohdassa $85\,\text{g}$, vaikka nollatilavuuden massan pitäisi olla nolla.Mitä tästä voi päätellä?

Kulmakertoimen lukeminen

Mittauspisteisiin on sovitettu suora, ja haettu suure on sen kulmakerroin. Miten kulmakerroin määritetään luotettavimmin?

Johtopäätös

Ryhmän hypoteesi oli, että putoamiskiihtyvyys on $9{,}81\,\text{m/s}^2$. Mittaus antoi tuloksen $g = (9{,}7 \pm 0{,}3)\,\text{m/s}^2$. Mikä johtopäätös on oikein?

Tutki

Ryhmän jousimittaus

Keksitty esimerkkiaineisto

Ryhmä tarkisti, pitääkö jousen valmistajan ilmoittama jousivakio $25\,\text{N/m}$ paikkansa. Jousi ripustettiin telineeseen, ja sen viereen kiinnitettiin pystysuora viivain. Ilman punnuksia jousen alapää oli viivaimen kohdassa $1{,}0\,\text{cm}$. Ryhmä ripusti jouseen punnuksia, luki alapään kohdan viivaimesta ja kirjasi lukeman venymäksi $x$. Jokaiselta riviltä he laskivat jousivakion $k = F : x$.

$m\ (\text{g})$ $F = mg\ (\text{N})$ $x\ (\text{cm})$ $k = F : x\ (\text{N/m})$
$50$ $0{,}491$ $2{,}99$ $16{,}4$
$100$ $0{,}981$ $4{,}90$ $20{,}0$
$150$ $1{,}472$ $6{,}90$ $21{,}3$
$200$ $1{,}962$ $6{,}85$ $28{,}6$
$250$ $2{,}453$ $10{,}79$ $22{,}7$

Ryhmän johtopäätös: ”Viiden tuloksen keskiarvo on $21{,}8\,\text{N/m}$. Valmistajan ilmoittama $25\,\text{N/m}$ on siis väärä.”

Arvioi ryhmän johtopäätöstä. Etsi aineistosta kaksi erilaista virhettä, kerro, mistä kumpikin tunnistetaan, ja ehdota, miten jousivakio pitäisi määrittää.

Teoriatiivistelmä

Ydinajatus

Suunnitelma vastaa kuuteen kysymykseen

Ylioppilaskokeen tehtävä ”suunnittele koe” arvostelee sen, voisiko toinen tehdä kokeen vastauksesi perusteella. Hyvä suunnitelma kertoo, mitä muutetaan, mitä mitataan ja millä välineellä, mitä pidetään vakiona, montako mittausta ja toistoa tehdään, miten tulos lasketaan kuvaajasta ja mitkä virhelähteet ovat suurimmat ja miten niitä pienennetään. Kokeessa muutetaan yhtä muuttujaa kerrallaan, koska muuten tuloksen muutoksen syytä ei voi päätellä.

$\text{suunnittelu}$
$\text{analyysi}$
$\text{tutkimuskysymys}$
$\text{ja hypoteesi}$
$\text{muuttujat ja}$
$\text{vakioitavat suureet}$
$\text{välineet ja}$
$\text{toistomittaukset}$
$\text{taulukko, kuvaaja}$
$\text{ja sovitus}$
$\text{tulos}$
$\bar{x} \pm \Delta x$
$\text{virhelähteet ja}$
$\text{johtopäätös}$

Virhe, epävarmuus ja resoluutio

Mittausvirhe on tuloksen ja oikean arvon tuntematon erotus. Mittausepävarmuus on arvio siitä, kuinka suuri virhe voi olla. Resoluutio on pienin askel, jonka mittari näyttää, eikä se yksin kerro epävarmuutta: käsin otetun ajan epävarmuus on reaktioajan vuoksi sekunnin kymmenesosien luokkaa, vaikka kello näyttää sadasosat.

Satunnaisvirhe näkyy toistettujen tulosten hajontana, ja keskiarvossa sen vaikutus vaimenee. Systemaattinen virhe siirtää kaikkia tuloksia samaan suuntaan, eikä toistaminen poista sitä. Se paljastuu vertaamalla tunnettuun arvoon tai kuvaajasta: suora ei kulje origon kautta, vaikka mallin mukaan sen pitäisi.

Mittaustuloksen käsittely

Toistettujen mittausten paras arvio on keskiarvo, ja tässä kurssissa hajonnan arvio on vaihteluvälin puolikas:

$$\begin{aligned} \bar{x} &= \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \\ \Delta x &= \frac{x_\text{max} - x_\text{min}}{2} \end{aligned}$$

missä $n$ on mittausten lukumäärä, $x_\text{max}$ suurin ja $x_\text{min}$ pienin tulos. Tulos ilmoitetaan muodossa $\bar{x} \pm \Delta x$, ja virhearvio pyöristetään yhteen merkitsevään numeroon (kahteen, jos ensimmäinen numero on 1). Suhteellinen epävarmuus

$$\varepsilon = \frac{\Delta x}{\bar{x}}$$

kertoo, onko epävarmuus tuloksen kokoon nähden pieni. Mittausalue valitaan niin suureksi, että $\varepsilon$ jää pieneksi: aika mitataan esimerkiksi kymmenestä heilahduksesta.

Tulos kuvaajan kulmakertoimesta

Kun mallin mukaan suureet riippuvat toisistaan lineaarisesti, mittauspisteisiin sovitetaan suora

$$y = kx + b$$

missä $k = \tfrac{\Delta y}{\Delta x}$ on kulmakerroin, joka luetaan suoran kahdesta kaukana toisistaan olevasta pisteestä, ja $b$ on suoran ja pystyakselin leikkauskohta. Malli pätee vain mitatulla alueella, ja suoraa jatketaan sen ulkopuolelle vain perustellusti. Kun haettu suure saadaan kulmakertoimesta, kaikki pisteet vaikuttavat tulokseen ja yksittäisen pisteen satunnaisvirhe vähemmän.

Jos mallin mukaan suoran pitäisi kulkea origon kautta mutta $b$ poikkeaa selvästi nollasta, mittauksessa on todennäköisesti systemaattinen virhe, joka on joka pisteessä sama. Se siirtää suoraa mutta ei muuta kulmakerrointa. Kuvassa öljyn massa on punnittu lasissa, jota ei taarattu:

$20$
$40$
$60$
$80$
$100$
$40$
$80$
$120$
$160$
$0$
$V\ (\text{cm}^3)$
$m\ (\text{g})$
$b \approx 52\,\text{g} = \text{lasin massa}$
$\text{systemaattinen virhe}$
$\Delta V$
$\Delta m$
$k = \tfrac{\Delta m}{\Delta V} = \rho$

Yleisiä virheitä

  • Suunnitelmassa lukee ”mitataan ja lasketaan”, mutta siitä puuttuu, mitä pidetään vakiona, millä mitataan ja miten tulos saadaan kuvaajasta.
  • Kaksi muuttujaa muuttuu yhtä aikaa, jolloin tuloksen muutoksen syytä ei voi päätellä.
  • Mittarin resoluutio ilmoitetaan epävarmuudeksi, vaikka mittaustapa, kuten reaktioaika, tuo suuremman epävarmuuden.
  • Toistamisen väitetään poistavan kaikki virheet. Se pienentää vain satunnaisvirheen vaikutusta keskiarvoon.
  • Kulmakerroin lasketaan kahdesta vierekkäisestä mittauspisteestä eikä sovitetusta suorasta.
  • Poikkeava tulos poistetaan hiljaa. Se tarkistetaan, ja poisjättö perustellaan ja kirjataan.
  • Johtopäätöksessä hypoteesi ”todistetaan”. Mittaus voi vain tukea hypoteesia epävarmuutensa rajoissa.
  • Virhelähteeksi kirjoitetaan ”inhimillinen virhe” kertomatta, mikä virhe se on, mihin suuntaan se vie tulosta ja miten sitä pienennetään.

Kertaa tarvittaessa

Sovella

Mittausvälineen valinta

Kuparilangan halkaisija on noin $0{,}5\,\text{mm}$. Millä mittaustavalla halkaisijan suhteellinen epävarmuus on pienin?

Etsi suunnitelman puute

Opiskelija suunnittelee kokeen, jossa hän tutkii, miten kumipallon pomppukorkeus riippuu pudotuskorkeudesta. Mikä hänen suunnitelmansa kohdista on puutteellinen?

Mikä kuvaaja?

Jousen varaan ripustetaan eri massoja $m$, ja jokaisen värähtelyn jaksonaika $T$ mitataan. Jousen ja kappaleen jaksonaika on $T = 2\pi\sqrt{\tfrac{m}{k}}$. Mistä kuvaajasta jousivakio $k$ saadaan suoran kulmakertoimen avulla?

Nollakohdan virhe

Lämpömittari näyttää jäävedessä $1{,}5\,{}^\circ\text{C}$ eikä $0{,}0\,{}^\circ\text{C}$, ja virhe on sama koko mittausalueella. Mittarilla luetaan veden lämpötila ennen lämmitystä ja sen jälkeen, ja ominaislämpökapasiteetti lasketaan kaavasta $c = \tfrac{Q}{m\,\Delta T}$.Miten mittarin virhe vaikuttaa tulokseen $c$?

Toistettu ajanotto

Opiskelija mittaa vaunun kulkuajan kaltevalla radalla viisi kertaa: $5{,}62\,\text{s}$, $5{,}81\,\text{s}$, $5{,}55\,\text{s}$, $5{,}74\,\text{s}$ ja $5{,}68\,\text{s}$. Laske ajan suhteellinen epävarmuus, kun virhearvio on vaihteluvälin puolikas. Vastaa prosentteina.

%
Vihje 1: ohjaava kysymys

Laske ensin ajan keskiarvo.

Vihje 2: mikä yhteys

Virhearvio on $\Delta t = \tfrac{t_\text{max} - t_\text{min}}{2}$.

Vihje 3: välivaihe

$\varepsilon = \tfrac{\Delta t}{\bar{t}} \cdot 100\,\%$, missä $\Delta t = 0{,}13\,\text{s}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

viisi kulkuaikaa $5{,}62\,\text{s}$, $5{,}81\,\text{s}$, $5{,}55\,\text{s}$, $5{,}74\,\text{s}$ ja $5{,}68\,\text{s}$

Kysytty

ajan suhteellinen epävarmuus $\varepsilon$ prosentteina

Periaate

Toistettujen tulosten paras arvio on keskiarvo, ja hajontaa arvioidaan tässä kurssissa vaihteluvälin puolikkaana. Suhteellinen epävarmuus kertoo, kuinka suuri virhearvio on tulokseen nähden.

Kaava

$\bar{t}$$= \dfrac{t_1 + \dots + t_5}{5}$
$\Delta t$$= \dfrac{t_\text{max} - t_\text{min}}{2}$
$\varepsilon$$= \dfrac{\Delta t}{\bar{t}} \cdot 100\,\%$

Muunnokset

Ei tarvita, kaikki ajat ovat sekunteina.

Sijoitus

ajat yhteensä $28{,}40\,\text{s}$, joten

$\bar{t}$$= \dfrac{28{,}40\,\text{s}}{5}$
$= 5{,}68\,\text{s}$
$\Delta t$$= \dfrac{5{,}81\,\text{s} - 5{,}55\,\text{s}}{2}$
$= 0{,}13\,\text{s}$
$\varepsilon$$= \dfrac{0{,}13\,\text{s}}{5{,}68\,\text{s}} \cdot 100\,\%$
$= 2{,}29\,\%$

Vastaus

$\varepsilon \approx 2{,}3\,\%$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten virhearviossa $0{,}13\,\text{s}$. Tulos on $t = (5{,}68 \pm 0{,}13)\,\text{s}$.

Järkevyys

Ajat vaihtelevat noin kymmenyksen keskiarvon molemmin puolin, mikä sopii käsin ajoitukseen. Kymmenyksen virhe noin kuuden sekunnin ajassa on muutama prosentti.

Jousivakio kuvaajasta

Jousen ja punnuksen värähtelystä piirrettyyn $(m, T^2)$-kuvaajaan sovitettu suora kulkee pisteiden $(0{,}10\,\text{kg}$; $0{,}20\,\text{s}^2)$ ja $(0{,}50\,\text{kg}$; $0{,}84\,\text{s}^2)$ kautta. Määritä jousivakio. Vastaa yksikössä $\text{N/m}$.

N/m
Vihje 1: ohjaava kysymys

Mitä suoran kulmakerroin tarkoittaa, kun jaksonajan kaava kirjoitetaan muotoon $T^2 = \tfrac{4\pi^2}{k}\, m$?

Vihje 2: mikä yhteys

Laske ensin kulmakerroin $a = \tfrac{\Delta (T^2)}{\Delta m}$ suoran kahdesta pisteestä.

Vihje 3: välivaihe

$a = 1{,}6\,\text{s}^2/\text{kg}$, joten $k = \tfrac{4\pi^2}{a}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

sovitetun suoran pisteet $(0{,}10\,\text{kg}$; $0{,}20\,\text{s}^2)$ ja $(0{,}50\,\text{kg}$; $0{,}84\,\text{s}^2)$

Kysytty

jousivakio $k$ yksikössä $\text{N/m}$

Periaate

Jousen ja kappaleen jaksonaika on $T = 2\pi\sqrt{\tfrac{m}{k}}$. Kun yhtälö korotetaan toiseen potenssiin, saadaan $T^2 = \tfrac{4\pi^2}{k}\, m$: $(m, T^2)$-kuvaaja on suora, jonka kulmakerroin on $\tfrac{4\pi^2}{k}$. Kulmakerroin luetaan suoran kahdesta kaukana toisistaan olevasta pisteestä, joten kaikki mittauspisteet vaikuttavat tulokseen. Suora ei kulje aivan origon kautta, koska myös jousen oma massa värähtelee, mutta se ei muuta kulmakerrointa.

Kaava

$a = \dfrac{\Delta (T^2)}{\Delta m}$ ja $a = \dfrac{4\pi^2}{k}$, josta $k = \dfrac{4\pi^2}{a}$

Muunnokset

Ei tarvita: massa on kilogrammoina ja $T^2$ yksikössä $\text{s}^2$, joten $k$ tulee yksikössä $\text{kg/s}^2 = \text{N/m}$.

Sijoitus

$a$$= \dfrac{0{,}84\,\text{s}^2 - 0{,}20\,\text{s}^2}{0{,}50\,\text{kg} - 0{,}10\,\text{kg}}$
$= \dfrac{0{,}64\,\text{s}^2}{0{,}40\,\text{kg}}$
$= 1{,}6\,\text{s}^2/\text{kg}$
$k$$= \dfrac{4\pi^2}{1{,}6\,\text{s}^2/\text{kg}}$
$= 24{,}67\,\text{N/m}$

Vastaus

$k \approx 25\,\text{N/m}$

Kaksi merkitsevää numeroa, koska erotukset $0{,}64\,\text{s}^2$ ja $0{,}40\,\text{kg}$ tunnetaan kahden numeron tarkkuudella.

Järkevyys

Yksiköt:

$\tfrac{1}{\text{s}^2/\text{kg}}$$= \text{kg/s}^2$
$= \text{N/m}$

Tarkistus: $0{,}50\,\text{kg}$:n punnuksella

$T$$= 2\pi\sqrt{0{,}50\,\text{kg} : 24{,}7\,\text{N/m}}$
$\approx 0{,}89\,\text{s}$

$T^2 \approx 0{,}80\,\text{s}^2$, mikä on lähellä suoran arvoa; pieni ero on jousen oman massan vaikutus.

Paineen nollakohta

Suljetun lasipullon ilman paine mitattiin vesihauteessa eri lämpötiloissa. Pisteisiin sovitetulta suoralta luettiin pisteet $(20{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $108{,}7\,\text{kPa})$ ja $(80{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $130{,}8\,\text{kPa})$. Määritä suoran avulla lämpötila, jossa paine olisi nolla. Vastaa celsiusasteina.

°C
Vihje 1: ohjaava kysymys

Kirjoita suoran yhtälö muotoon $p = p_0 + k\theta$ ja laske kulmakerroin $k$ suoran kahdesta pisteestä.

Vihje 2: mikä yhteys

Ratkaise vakiotermi $p_0$ jommastakummasta pisteestä: $p_0 = p - k\theta$.

Vihje 3: välivaihe

Paine on nolla, kun $p_0 + k\theta_0 = 0$ eli $\theta_0 = -\tfrac{p_0}{k}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

suoran pisteet $(20{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $108{,}7\,\text{kPa})$ ja $(80{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $130{,}8\,\text{kPa})$; pullon tilavuus ei muutu

Kysytty

lämpötila $\theta_0$, jossa paine olisi nolla, celsiusasteina

Periaate

Jäykässä suljetussa astiassa harvan kaasun paine on mittausalueella lineaarinen funktio lämpötilasta, $p = p_0 + k\theta$. Suoraa jatketaan eli ekstrapoloidaan mittausalueen ulkopuolelle paineeseen nolla. Jatke on pitkä, joten tulos on vain arvio: todellinen kaasu tiivistyisi ennen nollapainetta.

Kaava

$k$$= \dfrac{p_2 - p_1}{\theta_2 - \theta_1}$

$p_0 = p_1 - k\theta_1$ ja $p_0 + k\theta_0 = 0$, josta $\theta_0 = -\dfrac{p_0}{k}$

Muunnokset

Ei tarvita: lämpötilan muutos on sama celsiusasteina ja kelvineinä, ja kysytty lämpötila on celsiusasteina.

Sijoitus

$k$$= \dfrac{130{,}8\,\text{kPa} - 108{,}7\,\text{kPa}}{80{,}0\,{}^\circ\text{C} - 20{,}0\,{}^\circ\text{C}}$
$= \dfrac{22{,}1\,\text{kPa}}{60{,}0\,{}^\circ\text{C}}$
$= 0{,}3683\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C}$
$p_0$$= 108{,}7\,\text{kPa} - 0{,}3683\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C} \cdot 20{,}0\,{}^\circ\text{C}$
$= 101{,}33\,\text{kPa}$
$\theta_0$$= -\dfrac{101{,}33\,\text{kPa}}{0{,}3683\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C}}$
$= -275{,}1\,{}^\circ\text{C}$

Vastaus

$\theta_0 \approx -275\,{}^\circ\text{C}$

Kolme merkitsevää numeroa, koska paine-ero $22{,}1\,\text{kPa}$ tunnetaan kolmen numeron tarkkuudella; pitkän ekstrapoloinnin vuoksi epävarmuus on silti useita asteita.

Järkevyys

Tulos on lähellä absoluuttista nollapistettä $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$. Tarkistus:

$101{,}33\,\text{kPa} + 0{,}3683\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C} \cdot (-275{,}1\,{}^\circ\text{C})$
$\approx 0\,\text{kPa}$

Riittävän pitkä mittaus

Opiskelija mittaa kävelynopeutensa koulun käytävällä. Hän kävelee noin $1{,}4\,\text{m/s}$, ja käsin otetun ajan epävarmuus on $0{,}2\,\text{s}$. Ajan suhteellisen epävarmuuden pitää olla enintään $2\,\%$.

Kuinka pitkä mittausmatkan pitää vähintään olla? Vastaa metreinä.

m
Vihje 1: ohjaava kysymys

Ajanoton epävarmuus pysyy samana, mittasipa lyhyen tai pitkän ajan. Kuinka pitkä ajan pitää olla, jotta $0{,}2\,\text{s}$ on siitä enintään $2\,\%$?

Vihje 2: mikä yhteys

$t_\text{min} = \tfrac{\Delta t}{\varepsilon_\text{max}}$, kun $\varepsilon_\text{max} = 0{,}02$.

Vihje 3: välivaihe

Matka saadaan tasaisen liikkeen mallista $s = vt$.

Näytä ratkaisu

Annettu

nopeus $v = 1{,}4\,\text{m/s}$, ajan epävarmuus $\Delta t = 0{,}2\,\text{s}$, suurin sallittu suhteellinen epävarmuus $\varepsilon_\text{max} = 2\,\%$

Kysytty

lyhin mittausmatka $s_\text{min}$ metreinä

Periaate

Käsin ajoituksen epävarmuus johtuu reaktioajasta, ja se on lähes sama lyhyessä ja pitkässä mittauksessa. Suhteellinen epävarmuus $\tfrac{\Delta t}{t}$ pienenee siis, kun mitattava aika kasvaa. Kävelijä liikkuu lähes vakionopeudella, joten tasaisen liikkeen malli $s = vt$ antaa ajasta matkan.

Kaava

$\varepsilon$$= \dfrac{\Delta t}{t}$
$\le \varepsilon_\text{max}$

joten

$t_\text{min}$$= \dfrac{\Delta t}{\varepsilon_\text{max}}$
$s_\text{min}$$= v\,t_\text{min}$
$= \dfrac{v\,\Delta t}{\varepsilon_\text{max}}$

Muunnokset

$\varepsilon_\text{max}$$= 2\,\%$
$= 0{,}02$

muut suureet ovat perusyksiköissä.

Sijoitus

$t_\text{min}$$= \dfrac{0{,}2\,\text{s}}{0{,}02}$
$= 10\,\text{s}$
$s_\text{min}$$= 1{,}4\,\text{m/s} \cdot 10\,\text{s}$
$= 14\,\text{m}$

Vastaus

$s_\text{min} \approx 14\,\text{m}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $1{,}4\,\text{m/s}$; epävarmuus $0{,}2\,\text{s}$ on vain arvio, joten käytännössä valitaan pyöreä matka, esimerkiksi $15\,\text{m}$.

Järkevyys

$14\,\text{m}$:n kävelyyn menee noin $10\,\text{s}$, ja $0{,}2\,\text{s}$ on siitä $2\,\%$. Kolmen metrin matkalla epävarmuus olisi noin $9\,\%$.

Tarkista osaamisesi

Exit ticket

Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.

  1. Nimeä kolme asiaa, jotka puuttuvat useimmin ylioppilaskokeen vastauksesta tehtävään ”suunnittele koe”.
    Vastaus

    Esimerkiksi: mitä pidetään vakiona, millä välineellä ja millä tarkkuudella kukin suure mitataan ja miten tulos lasketaan kuvaajasta (mitä akseleilla on ja mitä kulmakerroin tarkoittaa). Usein puuttuu myös toistojen määrä ja se, mikä on suurin virhelähde ja miten sitä pienennetään.

  2. Miksi heilurin jaksonaika mitataan kymmenestä heilahduksesta eikä yhdestä?
    Vastaus

    Käsin ajoituksen epävarmuus, noin $0{,}1\text{–}0{,}2\,\text{s}$, on lähes sama lyhyessä ja pitkässä mittauksessa. Kun se jaetaan kymmenelle jaksolle, jaksonajan suhteellinen epävarmuus pienenee noin kymmenesosaan.

  3. Raportista on jätetty pois yksi mittaus, joka poikkeaa muista. Milloin poisjättö on hyväksyttävää?
    Vastaus

    Vain jos poikkeaman syy löytyy, esimerkiksi kello käynnistettiin myöhässä tai heilahduksia laskettiin väärin, ja poisjättö perustellaan ja kirjataan raporttiin. Tulosta ei poisteta pelkästään siksi, että se poikkeaa muista; selvästi poikkeava mittaus tarkistetaan ja tarvittaessa toistetaan.

1. Käsite

Ryhmä punnitsee massaltaan tunnetun $100{,}0\,\text{g}$:n punnuksen viisi kertaa, ja kaikki tulokset ovat välillä $101{,}6\text{–}101{,}9\,\text{g}$. Mitä tulokset kertovat vaa'asta?

Kertaa virheiden lajit sekä toistettavuus ja oikeellisuus luvussa Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus.

2. Laskeminen

Metallikuution massa on $63{,}5\,\text{g}$, ja sen epävarmuus on hyvin pieni. Kuution särmäksi mitattiin työntömitalla $a = (2{,}00 \pm 0{,}02)\,\text{cm}$. Arvioi tiheyden epävarmuus $\Delta\rho$ laskemalla tiheys särmän ääriarvoilla. Vastaa yksikössä $\text{g/cm}^3$.

g/cm³
Vihje 1: ohjaava kysymys

Kuution tilavuus on $V = a^3$, joten $\rho = \tfrac{m}{a^3}$.

Vihje 2: mikä yhteys

Laske $\rho$ särmillä $1{,}98\,\text{cm}$ ja $2{,}02\,\text{cm}$. Kumpi antaa suuremman tiheyden?

Vihje 3: välivaihe

$\Delta\rho = \tfrac{\rho_\text{max} - \rho_\text{min}}{2}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

$m = 63{,}5\,\text{g}$, särmä $a = (2{,}00 \pm 0{,}02)\,\text{cm}$

Kysytty

tiheyden epävarmuus $\Delta\rho$ yksikössä $\text{g/cm}^3$

Periaate

Kuution tilavuus on $a^3$, joten tiheys on $\rho = \tfrac{m}{a^3}$. Epävarmuus arvioidaan ääriarvomenetelmällä: tiheys lasketaan särmän pienimmällä ja suurimmalla arvolla, ja epävarmuus on erotuksen puolikas. Pienempi särmä antaa suuremman tiheyden.

Kaava

$\rho$$= \dfrac{m}{a^3}$
$\Delta\rho$$= \dfrac{\rho_\text{max} - \rho_\text{min}}{2}$

Muunnokset

Ei tarvita, kun massa on grammoina ja särmä senttimetreinä: tiheys tulee yksikössä $\text{g/cm}^3$.

Sijoitus

$\rho_\text{max}$$= \dfrac{63{,}5\,\text{g}}{(1{,}98\,\text{cm})^3}$
$= 8{,}18\,\text{g/cm}^3$
$\rho_\text{min}$$= \dfrac{63{,}5\,\text{g}}{(2{,}02\,\text{cm})^3}$
$= 7{,}70\,\text{g/cm}^3$
$\Delta\rho$$= \dfrac{8{,}18\,\text{g/cm}^3 - 7{,}70\,\text{g/cm}^3}{2}$
$= 0{,}24\,\text{g/cm}^3$

Vastaus

$\Delta\rho \approx 0{,}2\,\text{g/cm}^3$

Yksi merkitsevä numero kuten virhearviossa yleensä. Särmällä $2{,}00\,\text{cm}$ saadaan $\rho = 7{,}94\,\text{g/cm}^3$, joten $\rho = (7{,}9 \pm 0{,}2)\,\text{g/cm}^3$.

Järkevyys

Särmän suhteellinen epävarmuus on $1\,\%$, ja kolmas potenssi kolminkertaistaa sen noin $3\,\%$:iin: $0{,}03 \cdot 7{,}94\,\text{g/cm}^3 \approx 0{,}24\,\text{g/cm}^3$. Tiheys $7{,}9\,\text{g/cm}^3$ sopii raudalle.

Kertaa tiheys luvussa Tiheys: $m = \rho V$ ja virhearvio luvussa Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus.

3. Perustele

Selitä, miksi jousivakio kannattaa määrittää $(F, x)$-kuvaajan kulmakertoimesta eikä laskemalla jokaisesta mittauksesta oma $k = F : x$ ja niiden keskiarvoa.

Tehtävät

1.3-1 Sisäpelikenkien pito 12 pistettä

Salibandyseura haluaa tietää, pitääkö uusi sisäpelikenkä salin lattialla paremmin kuin vanha malli. Valmentaja antaa käyttöösi kummankin mallin kengän ja palan samaa lattiamateriaalia kuin salissa (lauta, $1{,}2\,\text{m} \cdot 0{,}30\,\text{m}$). Lisäksi käytössäsi on jousivaaka (alue $0\text{–}20\,\text{N}$, asteikkoväli $0{,}2\,\text{N}$), punnussarja, keittiövaaka (resoluutio $1\,\text{g}$), mittanauha ja puhelin, jonka kaltevuusmittarin resoluutio on $0{,}1^\circ$.

  1. a) Suunnittele koe, jolla vertailet kenkien pitoa. Kerro, mitä mittaat ja millä välineellä, miten mittaus tehdään, mitä pidät vakiona ja kuinka monta mittausta teet. 6 p
  2. b) Miten lasket tuloksen mittauksistasi, ja miten osoitat, että kenkien ero on todellinen eikä mittausten vaihtelua? 3 p
  3. c) Nimeä kaksi merkittävää virhelähdettä ja kerro, miten pienennät kummankin vaikutusta. 3 p

Taidot luvuista: Oma kokeellinen tutkimus: suunnittelu, toteutus ja raportointi, Paino, kitka ja kalteva taso, Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

koesuunnitelma kahden kengän pidon vertailuun: mitattavat suureet ja välineet, mittaustapa, vakioitavat asiat ja mittausten määrä

Periaate

Pito tarkoittaa lepokitkaa, joka estää kenkää lähtemästä liukumaan. Lepokitkan suurin arvo on $\mu_0 N$, joten se riippuu sekä pinnoista että siitä, kuinka lujaa kenkä painaa lattiaa. Kengät painavat eri paljon, joten vertailuun sopii lepokitkakerroin $\mu_0$, joka kuvaa vain pintoja. Reilussa kokeessa muuttuu vain kenkä.

Mallivastaus

Mitattava suure. Vertaan kenkien lepokitkakertoimia lattialautaa vasten. Kerroin ei riipu kengän painosta, joten eri painoiset kengät voi verrata.

Mittaus (kallistusmenetelmä). Asetan kengän laudalle ja painan sen sisään saman punnuksen, esimerkiksi $1\,\text{kg}$, jotta pohja painuu lautaa vasten kuten pelissä. Nostan laudan toista päätä hitaasti ja tasaisesti, kunnes kenkä lähtee liukumaan, ja luen kaltevuusmittarilla laudan kulman $\alpha_0$ juuri sillä hetkellä. Jos kulma kasvaa niin suureksi, ettei mittaus onnistu, käytän vetomenetelmää: lauta vaakasuoraan, kenkää vedetään jousivaa'alla vaakasuoraan, ja luen suurimman lukeman juuri ennen liikkeelle lähtöä. Silloin kengän ja punnuksen massa punnitaan keittiövaa'alla.

Vakiona pidetään sama lauta ja sen sama kohta, puhdas ja kuiva pinta (pyyhin pölyn ennen jokaista mittausta), sama punnus kengän sisällä, sama kengän asento ja yhtä hidas kallistus tai veto. Huoneen lämpötila ja kosteus pysyvät samoina, kun mittaukset tehdään samana päivänä.

Toistot. Mittaan kummallakin kengällä viisi kertaa vuorotellen, jotta mahdollinen pinnan muuttuminen vaikuttaa molempiin yhtä paljon. Kirjaan jokaisen lukeman taulukkoon.

b)

Kysytty

miten lepokitkakerroin lasketaan mittauksista ja miten kenkien ero osoitetaan

Periaate

Rajakulmassa lepokitka on suurimmillaan ja yhtä suuri kuin painon rinteen suuntainen komponentti: $\mu_0\, mg\cos\alpha_0 = mg\sin\alpha_0$. Vetomenetelmässä vaakasuoralla laudalla $F = \mu_0 mg$. Toistojen vaihtelu kertoo, kuinka suuri ero voi syntyä pelkästä sattumasta.

Mallivastaus

Kallistusmenetelmässä massa supistuu, ja jokaisesta mittauksesta saadaan $\mu_0 = \tan\alpha_0$. Vetomenetelmässä $\mu_0 = \tfrac{F}{mg}$, missä $F$ on jousivaa'an suurin lukema ja $m$ kengän ja punnuksen massa. Lasken kummallekin kengälle viiden tuloksen keskiarvon ja virhearvion vaihteluvälin puolikkaana, esimerkiksi $\mu_0 = 0{,}62 \pm 0{,}03$.

Ero on todennäköisesti todellinen, jos kenkien välit $\bar{\mu}_0 \pm \Delta\mu_0$ eivät mene päällekkäin. Jos välit menevät päällekkäin, ero ei ole mittausten vaihtelua suurempi eikä sitä voi osoittaa näillä mittauksilla. Se ei silti todista, että kengät pitävät yhtä hyvin.

c)

Kysytty

kaksi merkittävää virhelähdettä ja keinot pienentää niiden vaikutusta

Periaate

Virhelähde on hyvä nimetä niin, että siitä näkee, mitä tapahtuu ja mihin suuntaan tulos muuttuu. Satunnaisvirheen vaikutusta pienennetään toistoilla, systemaattista virhettä mittaustapaa muuttamalla.

Mallivastaus

Liian nopea kallistus tai nykäisevä veto. Jos lautaa nostetaan nopeasti, kulma ehtii kasvaa ennen kuin luen sen, ja tulos on liian suuri. Nykäisy vetomenetelmässä nostaa jousivaa'an lukemaa hetkellisesti. Keino: kallistan tai vedän hitaasti ja tasaisesti ja toistan mittauksen; mittauksen voi myös kuvata puhelimella, jolloin lukeman hetki näkyy kuvasta.

Pinnan muuttuminen. Pöly, hiekka tai kosteus laudalla tai pohjassa muuttaa kitkaa, ja pohjan kuluminen mittausten aikana voi muuttaa sitä vähitellen. Keino: pyyhin laudan ja pohjat ennen jokaista mittausta ja mittaan kengillä vuorotellen, jotta muutos vaikuttaa kumpaankin samalla tavalla.

Myös jousivaa'an nollakohta tarkistetaan ennen mittausta vaa'an omassa mittausasennossa.

Yleisiä virheitä

  • Pidon mitaksi valitaan pelkkä vetovoima, vaikka kengät painavat eri paljon. Painavampi kenkä vaatii suuremman voiman, vaikka sen pohja ei pitäisi paremmin.
  • Suunnitelmasta puuttuu, mitä pidetään vakiona, tai kenkiä mitataan eri laudoilla tai eri päivinä.
  • Jokainen kenkä mitataan kerran, jolloin vaihtelua ei näe eikä eroa voi osoittaa.
  • Virhelähteeksi kirjoitetaan ”inhimillinen virhe” tai ”mittausvirhe” kertomatta, mikä virhe se on ja miten sitä pienennetään.
  • Tulosta verrataan liikekitkaan: kenkää vedetään tasaisella nopeudella, vaikka pito tarkoittaa lepokitkaa juuri ennen liukumista.

Hyväksytään myös

  • Kitkakertoimen sijasta voi verrata kenkiä, jos molempiin lisätään punnuksia niin, että kokonaismassa on sama, ja verrataan jousivaa'an lukemia. Massan on silloin oltava sama ja punnittu.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)6 p

Valitsee pidon mitaksi lepokitkakertoimen ja perustelee, miksi kertoimen eikä pelkän voiman: kengät painavat eri paljon. 1 p
Kuvaa mittauksen niin, että sen voi toistaa: lauta kallistetaan hitaasti, kunnes kenkä lähtee liukumaan, ja kulma luetaan, tai kenkää vedetään vaakasuoralla laudalla jousivaa'alla ja lukema luetaan juuri ennen liikkeelle lähtöä. 2 p
Nimeää vakioitavat asiat: sama lauta ja sen kohta, puhdas ja kuiva pinta, sama punnus kengän sisällä ja sama kallistus- tai vetotapa. 2 p
Toistaa mittauksen useita kertoja kummallakin kengällä, esimerkiksi viisi kertaa vuorotellen. 1 p

b)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Kallistuksessa $\mu_0 = \tan\alpha_0$; vedossa $\mu_0 = \tfrac{F}{mg}$, kun kengän ja punnuksen massa on punnittu. 1 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Kummallekin kengälle keskiarvo ja virhearvio vaihteluvälin puolikkaana. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Ero on todennäköisesti todellinen, jos epävarmuusvälit eivät mene päällekkäin; jos ne menevät, eroa ei voi osoittaa. 1 p

c)3 p

Tärkeimmät virhelähteet on nimetty ja kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. Kaksi todellista virhelähdettä ja kummankin vaikutus, esimerkiksi: nopea kallistus tai nykäisevä veto antaa liian suuren lukeman; pöly tai kosteus muuttaa kitkaa; jousivaa'an lukema heilahtelee liikkeen alkaessa. 2 p
Kertoo kummallekin virhelähteelle keinon pienentää sitä, esimerkiksi hidas ja tasainen kallistus, pinnan pyyhkiminen ennen jokaista mittausta, mittaukset vuorotellen kengillä ja vaa'an nollaus. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 12 (9 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

1.3-2 Rypsiöljyn lämpeneminen 14 pistettä

Kotitalousopettaja väittää, että rypsiöljy lämpenee samalla teholla nopeammin kuin vesi, koska öljyn ominaislämpökapasiteetti on pienempi. Käytössäsi on lämpöeristetty termospullo kansineen, sähköinen lämmitysvastus, jonka teho on $50\,\text{W}$, digitaalinen lämpömittari (resoluutio $0{,}1\,{}^\circ\text{C}$), vaaka (resoluutio $0{,}1\,\text{g}$), sekuntikello, sekoitin, rypsiöljyä ja vettä.

  1. a) Suunnittele koe, jolla määrität rypsiöljyn ominaislämpökapasiteetin. Kerro, mitä mittaat ja miten, ja mitä pidät vakiona. 5 p
  2. b) Miten ominaislämpökapasiteetti määritetään mittausten kuvaajasta? 3 p
  3. c) Taulukkokirjan mukaan rypsiöljyn ominaislämpökapasiteetti on noin $2{,}0\,\text{kJ/(kg}\cdot\text{K)}$. Arvioi, kuinka kauan $200\,\text{g}$:n öljyerän lämpeneminen $20\,{}^\circ\text{C}$:lla kestää, kun lämpöä ei häviä. 3 p
  4. d) Lämpöä häviää kokeen aikana ympäristöön. Tuleeko ominaislämpökapasiteetista liian suuri vai liian pieni? Perustele ja kerro, miten vaikutusta pienennetään. 3 p

Taidot luvuista: Aineen lämpeneminen ja jäähtyminen: $Q = cm\Delta T$, Oma kokeellinen tutkimus: suunnittelu, toteutus ja raportointi, Graafinen esitys ja suoran sovittaminen

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

koesuunnitelma rypsiöljyn ominaislämpökapasiteetin määrittämiseen: mitattavat suureet, mittaustapa ja vakioitavat asiat

Periaate

Vastus muuttaa sähköenergiaa sisäenergiaksi teholla $P$, ja tämä energia siirtyy lämpönä öljyyn, joten ajassa $t$ öljyyn siirtyy energia $Pt$, kun häviöt ovat pienet. Lämpömäärä $Q = cm\,\Delta T$ pätee, kun öljyn olomuoto ei muutu. Kun öljyn massa, teho ja lämpötilan muutos ajan funktiona mitataan, $c$ voidaan ratkaista.

Mallivastaus

Mittaukset. Punnitsen tyhjän termospullon ja sitten pullon öljyn kanssa, jolloin öljyn massa saadaan erotuksesta, esimerkiksi $m = 200{,}0\,\text{g}$. Kirjaan vastuksen tehon $50\,\text{W}$. Asetan vastuksen ja lämpömittarin anturin öljyyn ja suljen kannen. Kirjaan alkulämpötilan, kytken vastuksen ja käynnistän kellon samalla hetkellä. Luen lämpötilan $30\,\text{s}$:n välein ja sekoitan koko ajan, jotta lämpötila on joka kohdassa sama. Kirjaan ajat ja lämpötilat taulukkoon.

Vakiona pidetään sama pullo ja kansi, sama sekoitustapa, alkulämpötila lähellä huoneenlämpöä ja lämpötilan nousu enintään noin $20\,{}^\circ\text{C}$, jotta häviöt pysyvät pieninä. Vastus on kokonaan nesteen sisällä.

Vertailu. Teen saman mittauksen samalla massalla vettä. Silloin opettajan väitteen voi testata suoraan, ja veden tunnetusta ominaislämpökapasiteetista näkee, kuinka paljon astia ja häviöt vaikuttavat tulokseen.

b)

Kysytty

miten ominaislämpökapasiteetti saadaan $(t, T)$-kuvaajasta

Periaate

Kun häviöt ovat pienet, $P\,\Delta t = cm\,\Delta T$, joten lämpötila nousee tasaisesti ja $(t, T)$-kuvaaja on suora, jonka kulmakerroin on $k = \tfrac{\Delta T}{\Delta t} = \tfrac{P}{cm}$.

Mallivastaus

Piirrän $(t, T)$-kuvaajan: aika vaaka-akselille ja lämpötila pystyakselille. Alussa pisteet ovat suoralla, ja niihin sovitan suoran. Kulmakertoimen luen suoran kahdesta kaukana toisistaan olevasta pisteestä. Sitten $c = \tfrac{P}{mk}$. Esimerkiksi kulmakertoimella $0{,}125\,\text{K/s}$ saataisiin $c = \tfrac{50\,\text{W}}{0{,}200\,\text{kg} \cdot 0{,}125\,\text{K/s}} = 2{,}0\,\text{kJ/(kg}\cdot\text{K)}$.

Käytän kuvaajan alkuosaa, koska kun öljy lämpenee ympäristöä lämpimämmäksi, lämpöä siirtyy yhä enemmän ympäristöön ja kuvaaja kaartuu loivemmaksi. Kulmakertoimen käyttö on parempi kuin yksi alku- ja loppulukema, koska kaikki pisteet vaikuttavat tulokseen.

c)

Annettu

teho $P = 50\,\text{W}$, massa $m = 200\,\text{g}$, lämpötilan muutos $\Delta T = 20\,{}^\circ\text{C} = 20\,\text{K}$, ominaislämpökapasiteetti $c = 2{,}0\,\text{kJ/(kg}\cdot\text{K)}$; lämpöä ei häviä

Kysytty

lämmitysaika $t$ yksikössä $\text{s}$

Periaate

Kun lämpöä ei häviä, vastuksen antama energia $Pt$ menee kokonaan öljyn lämpenemiseen. Öljy ei kiehu eikä muuta olomuotoaan, joten lämpömäärä on $Q = cm\,\Delta T$.

Kaava

$Pt = cm\,\Delta T$, josta $t = \dfrac{cm\,\Delta T}{P}$

Muunnokset

$m$$= 200\,\text{g}$
$= 200 \cdot 0{,}001\,\text{kg}$
$= 0{,}200\,\text{kg}$
$c$$= 2{,}0\,\text{kJ/(kg}\cdot\text{K)}$
$= 2{,}0 \cdot 1000\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$
$= 2000\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$

Lämpötilan muutos on sama celsiusasteina ja kelvineinä.

Sijoitus

$t$$= \dfrac{2000\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)} \cdot 0{,}200\,\text{kg} \cdot 20\,\text{K}}{50\,\text{W}}$
$= \dfrac{8000\,\text{J}}{50\,\text{J/s}}$
$= 160\,\text{s}$

Vastaus

$t \approx 160\,\text{s}$

Eli noin $2{,}7\,\text{min}$. Kaksi merkitsevää numeroa kuten ominaislämpökapasiteetissa $2{,}0\,\text{kJ/(kg}\cdot\text{K)}$ ja tehossa $50\,\text{W}$.

Järkevyys

Saman massan vesi vaatisi noin kaksinkertaisen ajan, koska veden ominaislämpökapasiteetti $4190\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$ on noin kaksinkertainen. Muutaman minuutin mittaus $30\,\text{s}$:n välein antaa kuusi pistettä, mikä riittää suoran sovittamiseen.

d)

Kysytty

tuleeko ominaislämpökapasiteetista lämpöhäviöiden vuoksi liian suuri vai liian pieni, ja miten vaikutusta pienennetään

Periaate

Laskussa oletetaan, että koko energia $P\,\Delta t$ lämmittää öljyä. Häviöt ovat systemaattinen virhe, joka vie tulosta aina samaan suuntaan.

Mallivastaus

Osa vastuksen energiasta lämmittää termospulloa ja ympäröivää ilmaa, joten öljyn lämpötila nousee hitaammin kuin ilman häviöitä. Kulmakerroin $k$ on siksi liian pieni, ja $c = \tfrac{P}{mk}$ tulee liian suureksi. Virhe on systemaattinen, joten mittauksen toistaminen ei poista sitä.

Vaikutusta pienennetään pitämällä kansi kiinni ja astia eristettynä, tekemällä mittaus lyhyellä lämpötila-alueella ja käyttämällä vain kuvaajan alkuosaa, kuten b-kohdassa. Vaihtoehtoinen tapa on aloittaa muutama aste huoneenlämpöä alempaa ja sovittaa suora koko mittaukseen: silloin öljy saa ympäristöstä energiaa alussa suunnilleen yhtä paljon kuin menettää lopussa. Lisäksi saman mittauksen voi tehdä vedellä: kun veden tunnettu ominaislämpökapasiteetti tiedetään, nähdään, kuinka paljon astia ja häviöt muuttavat tulosta, ja öljyn tulosta voi korjata.

Yleisiä virheitä

  • Lämpötila mitataan vain alussa ja lopussa, jolloin kuvaajaa ei voi piirtää eikä nähdä, missä häviöt alkavat kasvaa.
  • Öljyä ja vettä verrataan eri massoilla tai eri astioissa, jolloin vertailu ei ole reilu.
  • c-kohdassa massa jätetään grammoiksi tai kilojoulet jouleiksi muuntamatta, jolloin aika tulee tuhatkertaiseksi tai tuhannesosaksi.
  • d-kohdassa todetaan, että häviöt ”vääristävät tulosta”, kertomatta suuntaa. Häviöt pienentävät kulmakerrointa, joten $c$ tulee liian suureksi.

Hyväksytään myös

  • b-kohdassa $c$ voi laskea myös kuvaajan kahdesta suoran pisteestä suoraan kaavalla $c = \tfrac{P\,\Delta t}{m\,\Delta T}$, joka on sama asia kuin $c = \tfrac{P}{mk}$.
  • a-kohdassa veden mittauksen sijasta voi mitata astian lämpökapasiteetin erikseen tai perustella, että termospullon vaikutus on pieni.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Punnitsee öljyn vaa'alla, esimerkiksi noin $200\,\text{g}$, ja kirjaa vastuksen tehon. 1 p
Mittaa lämpötilan säännöllisin välein, esimerkiksi $30\,\text{s}$:n välein, sekoittaen koko ajan, ja kirjaa ajat ja lämpötilat taulukkoon. 2 p
Vakioi mittausolot: sama astia ja kansi, alkulämpötila lähellä huoneenlämpöä, tasainen sekoitus ja lämpötilan nousu enintään noin $20\,{}^\circ\text{C}$. 1 p
Tekee saman mittauksen vedellä, jolloin väitettä voi verrata ja astian oman lämpökapasiteetin vaikutuksen voi arvioida. 1 p

b)3 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. $(t, T)$-kuvaajan alkuosaan, jossa pisteet ovat suoralla, sovitetaan suora ja luetaan sen kulmakerroin $k = \tfrac{\Delta T}{\Delta t}$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $P\,\Delta t = cm\,\Delta T$, joten $c = \tfrac{P}{mk}$. 1 p
Perustelee, miksi käytetään alkuosaa: kun öljy lämpenee ympäristöä lämpimämmäksi, lämpöhäviöt kasvavat ja kuvaaja kaartuu. 1 p

c)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $P t = cm\,\Delta T$, josta $t = \tfrac{cm\,\Delta T}{P}$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Massa kilogrammoina ja kilojoulet jouleina. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $t \approx 160\,\text{s}$ eli noin $2{,}7\,\text{min}$, kaksi merkitsevää numeroa. 1 p

d)3 p

Tärkeimmät virhelähteet on nimetty ja kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. Häviöt ovat systemaattinen virhe: osa vastuksen energiasta ei lämmitä öljyä, joten lämpötila nousee hitaammin, kulmakerroin on liian pieni ja $c = \tfrac{P}{mk}$ liian suuri. 2 p
Keino pienentää vaikutusta: kansi ja eristys, lyhyt mittaus ja vain kuvaajan alkuosan käyttö, tai vaihtoehtoisesti alkulämpötila muutama aste huoneenlämpöä alempana ja suora sovitettuna koko mittaukseen; astian ja häviöiden vaikutuksen voi myös selvittää samalla mittauksella vedellä. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 14 (12 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

1.3-3 Raportti pudotuskokeesta 13 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Raportti ja sen mittaustulokset ovat keksitty esimerkki.

Opiskelijaparin raportista:

Tutkimuskysymys: Kuinka suuri on putoamiskiihtyvyys?

Hypoteesi: Putoamiskiihtyvyys on $9{,}81\,\text{m/s}^2$.

Menetelmä: Pudotimme tennispallon koulun parvelta. Korkeus mitattiin mittanauhalla, ja se oli $3{,}0\,\text{m}$. Toinen meistä pudotti pallon, ja toinen otti ajan puhelimen sekuntikellolla. Toistimme kolme kertaa.

Tulokset: $t_1 = 0{,}82\,\text{s}$, $t_2 = 0{,}75\,\text{s}$ ja $t_3 = 0{,}79\,\text{s}$. Keskiarvo on $\bar{t} = 0{,}7867\,\text{s}$. Kaavalla $g = \tfrac{2h}{t^2}$ saimme $g = 9{,}6955\,\text{m/s}^2$.

Johtopäätös: Tulos on lähes $9{,}81\,\text{m/s}^2$, joten hypoteesi todistettiin oikeaksi. Pieni ero johtuu ilmanvastuksesta.

  1. a) Arvioi raporttia. Esitä vähintään neljä puutetta ja perustele, miksi kukin heikentää tulosta tai johtopäätöstä. 6 p
  2. b) Määritä raportin mittauksista putoamiskiihtyvyys ja sen epävarmuus ääriarvomenetelmällä. 4 p
  3. c) Ehdota parannettu menetelmä koulun tavallisilla välineillä. Kerro myös, miten tulos lasketaan. 3 p

Taidot luvuista: Oma kokeellinen tutkimus: suunnittelu, toteutus ja raportointi, Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus, Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike, Putoamiskiihtyvyys: $v = gt$

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

raportin puutteet ja se, miksi kukin heikentää tulosta tai johtopäätöstä

Periaate

Raportti on hyvä, jos toinen voi toistaa kokeen ja arvioida, kuinka luotettava tulos on. Tulokseen kuuluu epävarmuus, ja johtopäätös on vain niin vahva kuin aineisto.

Mallivastaus

Ei epävarmuutta ja liikaa numeroita. Tulos $9{,}6955\,\text{m/s}^2$ esittää viiden numeron tarkkuuden, vaikka ajat vaihtelevat $0{,}07\,\text{s}$ ja tulos on epävarma jo ensimmäisessä desimaalissa. Ilman epävarmuutta tulosta ei voi verrata hypoteesiin.

Käsin ajoitus. Reaktioaika, noin $0{,}1\,\text{s}$, on noin $13\,\%$ pudotusajasta $0{,}8\,\text{s}$, ja $g$:n kaavassa aika on toisessa potenssissa. Pudottaja ja ajanottaja ovat eri henkilöt, joten kello ei käynnisty täsmälleen irtipäästöhetkellä. Kolme toistoa yhdeltä korkeudelta ei riitä näyttämään hajontaa eikä paljasta systemaattista virhettä.

Ilmanvastus. Selitys ”ero johtuu ilmanvastuksesta” on perustelematon. Ero taulukkoarvosta on noin $0{,}1\,\text{m/s}^2$, mikä on paljon pienempi kuin ajoituksen epävarmuus (b-kohta). Mittaus ei siis pysty osoittamaan ilmanvastuksen vaikutusta, ja ajoitusvirhe voisi yhtä hyvin muuttaa tulosta kumpaan suuntaan tahansa.

Todistaminen. Mittaus ei voi todistaa hypoteesia. Se voi vain tukea sitä: taulukkoarvo on epävarmuusvälin sisällä.

Menetelmän kuvaus. Raportista puuttuu, mistä mihin korkeus mitattiin (pallon alapinnasta lattiaan) ja millä tarkkuudella, joten koetta ei voi toistaa täsmälleen. Myös tutkimuskysymys on väljä: se ei kerro menetelmää eikä sitä, mitä kokeella halutaan testata.

b)

Annettu

pudotuskorkeus $h = 3{,}0\,\text{m}$, pudotusajat $0{,}82\,\text{s}$, $0{,}75\,\text{s}$ ja $0{,}79\,\text{s}$; pallo lähtee levosta

Kysytty

putoamiskiihtyvyys $g$ ja sen epävarmuus $\Delta g$ yksikössä $\text{m/s}^2$

Periaate

Pallo lähtee levosta, ja lyhyellä pudotuksella ilmanvastus on pieni, joten liike on tasaisesti kiihtyvää: $h = \tfrac{1}{2}gt^2$. Paras arvio saadaan aikojen keskiarvosta. Ääriarvomenetelmässä $g$ lasketaan lyhimmällä ja pisimmällä ajalla; lyhin aika antaa suurimman $g$:n.

Kaava

$h = \tfrac{1}{2}gt^2$, josta $g = \dfrac{2h}{t^2}$, ja

$\Delta g$$= \dfrac{g_\text{max} - g_\text{min}}{2}$

missä

$g_\text{max}$$= \dfrac{2h}{t_\text{min}^2}$
$g_\text{min}$$= \dfrac{2h}{t_\text{max}^2}$

Muunnokset

Ei tarvita, korkeus on metreinä ja ajat sekunteina.

Sijoitus

$\bar{t}$$= \dfrac{0{,}82\,\text{s} + 0{,}75\,\text{s} + 0{,}79\,\text{s}}{3}$
$= 0{,}7867\,\text{s}$
$g$$= \dfrac{2 \cdot 3{,}0\,\text{m}}{(0{,}7867\,\text{s})^2}$
$= 9{,}695\,\text{m/s}^2$
$g_\text{max}$$= \dfrac{2 \cdot 3{,}0\,\text{m}}{(0{,}75\,\text{s})^2}$
$= 10{,}67\,\text{m/s}^2$
$g_\text{min}$$= \dfrac{2 \cdot 3{,}0\,\text{m}}{(0{,}82\,\text{s})^2}$
$= 8{,}923\,\text{m/s}^2$
$\Delta g$$= \dfrac{10{,}67\,\text{m/s}^2 - 8{,}923\,\text{m/s}^2}{2}$
$= 0{,}872\,\text{m/s}^2$

Vastaus

$g = (9{,}7 \pm 0{,}9)\,\text{m/s}^2$

Virhearvio pyöristetään yhteen merkitsevään numeroon ja tulos samaan desimaaliin.

Järkevyys

Taulukkoarvo $9{,}81\,\text{m/s}^2$ on välin $8{,}8\text{–}10{,}6\,\text{m/s}^2$ sisällä. Suhteellinen epävarmuus on noin $9\,\%$, mikä sopii siihen, että ajan vaihtelu $\pm 0{,}035\,\text{s}$ on noin $4{,}5\,\%$ ajasta ja toinen potenssi kaksinkertaistaa sen.

c)

Kysytty

parannettu menetelmä ja se, miten tulos lasketaan

Periaate

Suurin virhelähde on käsin ajoitus. Se poistuu, kun ajan mittaa laite. Useampi korkeus ja kuvaaja tekevät tuloksesta riippumattoman yksittäisestä mittauksesta.

Mallivastaus

Kuvaan pudotuksen puhelimella pystysuoran mittanauhan edestä, kamera pallon puolivälin korkeudella, jotta perspektiivi ei vääristä lukemia. Videolta luen pallon paikan kuva kerrallaan; kuvanopeudella $60\,\text{kuvaa/s}$ kuvien väli on noin $0{,}017\,\text{s}$, mikä on paljon vähemmän kuin reaktioaika. Vaihtoehtoisesti käytän kahta valoporttia.

Pudotan pallon esimerkiksi viideltä korkeudelta $0{,}5\text{–}3{,}0\,\text{m}$ ja jokaiselta kolme kertaa. Piirrän $(t^2, h)$-kuvaajan: mallin $h = \tfrac{1}{2}gt^2$ mukaan se on origon kautta kulkeva suora, jonka kulmakerroin on $\tfrac{g}{2}$, joten $g$ on kaksi kertaa kulmakerroin. Videolta voi myös laskea nopeuden ja piirtää $(t, v)$-kuvaajan, jonka kulmakerroin on $g$. Tennispallon sijasta kannattaa käyttää pientä raskasta palloa, jolloin ilmanvastus on pienempi.

Yleisiä virheitä

  • Puutteiksi luetellaan vain ”mittausvirheet” tai ”inhimilliset virheet” kertomatta, mikä virhe on kyseessä ja miten se vaikuttaa tulokseen.
  • Ilmanvastus hyväksytään selitykseksi, vaikka ero taulukkoarvoon on paljon pienempi kuin mittauksen epävarmuus.
  • b-kohdassa $g_\text{max}$ lasketaan pisimmällä ajalla. Aika on nimittäjässä, joten lyhin aika antaa suurimman kiihtyvyyden.
  • b-kohdassa $g$ lasketaan kaavalla $g = \tfrac{h}{t^2}$ tai $g = \tfrac{v}{t}$, jolloin unohtuu, että pallo lähtee levosta ja keskinopeus on puolet loppunopeudesta.
  • c-kohdassa ehdotetaan vain ”lisää toistoja”. Toistot vaimentavat satunnaisvirhettä, mutta käsin ajoituksen systemaattinen osa jää.

Hyväksytään myös

  • b-kohdassa epävarmuuden voi arvioida myös ajan vaihteluvälin puolikkaasta: $\Delta t = 0{,}035\,\text{s}$ on $4{,}5\,\%$ ajasta, ja $g$:n suhteellinen epävarmuus on noin kaksinkertainen, $9\,\%$ eli noin $0{,}9\,\text{m/s}^2$.
  • a-kohdan puutteiksi käyvät myös esimerkiksi se, ettei hypoteesia ole perusteltu, ja se, että tennispallo on kevyt ja iso, joten ilmanvastus on sille suhteellisesti suurempi kuin raskaalle pallolle.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)6 p

Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Tuloksesta puuttuu epävarmuus, ja siinä on liikaa numeroita: $9{,}6955$ esittää tarkkuuden, jota mittaus ei tue. 1 p
Käsin ajoituksen reaktioaika, noin $0{,}1\,\text{s}$, on suuri osa noin $0{,}8\,\text{s}$:n pudotusajasta, ja kun pudottaja ja ajanottaja ovat eri henkilöt, lähtöhetki on epävarma. Kolme toistoa yhdeltä korkeudelta ei riitä. 2 p
Tärkeimmät virhelähteet on nimetty ja kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. Väite ilmanvastuksesta on perustelematon: ero $9{,}81\,\text{m/s}^2$:stä on pienempi kuin ajoituksen epävarmuus, joten mittaus ei pysty osoittamaan ilmanvastuksen vaikutusta. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Mittaus ei voi todistaa hypoteesia; se voi vain tukea sitä epävarmuuden rajoissa. 1 p
Menetelmästä puuttuu, mistä mihin korkeus mitattiin (pallon alapinnasta lattiaan) ja millä tarkkuudella, joten koetta ei voi toistaa täsmälleen. 1 p

b)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Pallo lähtee levosta: $h = \tfrac{1}{2}gt^2$, josta $g = \tfrac{2h}{t^2}$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $g_\text{max}$ lyhimmällä ajalla $0{,}75\,\text{s}$ ja $g_\text{min}$ pisimmällä ajalla $0{,}82\,\text{s}$. 1 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. $\Delta g = \tfrac{g_\text{max} - g_\text{min}}{2} \approx 0{,}9\,\text{m/s}^2$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $g = (9{,}7 \pm 0{,}9)\,\text{m/s}^2$: tulos pyöristetään samaan desimaaliin kuin virhearvio. 1 p

c)3 p

Ajanotto ilman reaktioaikaa: pudotus kuvataan puhelimella mittanauhan edessä ja aika luetaan kuvista, tai käytetään valoportteja. 1 p
Useita pudotuskorkeuksia ja jokaisesta toistoja. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii, eikä pisteitä ole yhdistetty murtoviivaksi. $(t^2, h)$-kuvaajaan sovitetaan origon kautta kulkeva suora, jonka kulmakerroin on $\tfrac{g}{2}$; tai videolta piirretään $(t, v)$-kuvaaja, jonka kulmakerroin on $g$. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 13 (12 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

1.3-4 Heilurin pituus ja jaksonaika 16 pistettä

Simuloitu esimerkkiaineisto · Aineisto on laskettu heilurin mallista, ja siihen on lisätty pientä satunnaista vaihtelua mittauksen tapaan. Se ei ole oikean mittauksen tulos.

Ryhmä mittasi heilurin jaksonajan kuudella langan pituudella. Heiluri oli teräskuula ohuen langan päässä, ja lähtökulma oli kaikissa mittauksissa noin $5^\circ$. Pituus $l$ mitattiin mittanauhalla langan kiinnityskohdasta kuulan yläpintaan. Kullakin pituudella kymmenen heilahduksen aika $t_{10}$ mitattiin kolme kertaa, ja taulukossa on niiden keskiarvo.

$l\ (\text{m})$ $t_{10}\ (\text{s})$
$0{,}250$ $10{,}55$
$0{,}400$ $13{,}04$
$0{,}550$ $15{,}23$
$0{,}700$ $17{,}06$
$0{,}850$ $18{,}81$
$1{,}000$ $20{,}28$
  1. a) Piirrä mittauksista kuvaaja, josta putoamiskiihtyvyys voidaan määrittää, ja sovita pisteisiin suora. 5 p
  2. b) Määritä kuvaajasta putoamiskiihtyvyys. 4 p
  3. c) Suora ei kulje origon kautta. Selitä, mistä vakiotermi johtuu, ja määritä kuvaajan avulla kuulan halkaisija. 4 p
  4. d) Arvioi, miten pituuden mittausvirhe vaikutti b-kohdan tulokseen ja miten se olisi vaikuttanut, jos $g$ olisi laskettu jokaiselta riviltä erikseen. Onko tulos sopusoinnussa arvon $9{,}81\,\text{m/s}^2$ kanssa? 3 p

Taidot luvuista: Jousivärähtelijä ja heiluri, Graafinen esitys ja suoran sovittaminen, Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

kuvaaja, josta putoamiskiihtyvyys voidaan määrittää, ja siihen sovitettu suora

Kuvaaja

Pienillä heilahduksilla $T = 2\pi\sqrt{\tfrac{l}{g}}$, josta $T^2 = \tfrac{4\pi^2}{g}\, l$. Kun vaaka-akselilla on $l\ (\text{m})$ ja pystyakselilla $T^2\ (\text{s}^2)$, mallin kuvaaja on suora, jonka kulmakerroin on $\tfrac{4\pi^2}{g}$. Jaksonajat ovat $T = t_{10} : 10$: $1{,}055\,\text{s}$, $1{,}304\,\text{s}$, $1{,}523\,\text{s}$, $1{,}706\,\text{s}$, $1{,}881\,\text{s}$ ja $2{,}028\,\text{s}$, ja niiden neliöt $1{,}113\,\text{s}^2$, $1{,}700\,\text{s}^2$, $2{,}320\,\text{s}^2$, $2{,}910\,\text{s}^2$, $3{,}538\,\text{s}^2$ ja $4{,}113\,\text{s}^2$.

$0{,}2$
$0{,}4$
$0{,}6$
$0{,}8$
$1$
$1$
$2$
$3$
$4$
$0$
$l\ (\text{m})$
$T^2\ (\text{s}^2)$
$\Delta l = 0{,}80\,\text{m}$
$\Delta (T^2) = 3{,}21\,\text{s}^2$
$b \approx 0{,}10\,\text{s}^2$

Mallivastaus

Pisteet ovat lähes suoralla, joten malli sopii. Suora sovitetaan pisteiden lomitse niin, että pisteitä on sen molemmin puolin, eikä sitä pakoteta origon kautta. Suoran jatke leikkaa pystyakselin kohdassa noin $0{,}10\,\text{s}^2$ eikä origossa, vaikka mallin mukaan nollapituisen heilurin jaksonajan pitäisi olla nolla. Tämä vakiotermi tulkitaan c-kohdassa.

b)

Annettu

a-kohdan $(l, T^2)$-kuvaaja ja siihen sovitettu suora

Kysytty

putoamiskiihtyvyys $g$ yksikössä $\text{m/s}^2$

Periaate

Mallin $T^2 = \tfrac{4\pi^2}{g}\, l$ mukaan suoran kulmakerroin on $\tfrac{4\pi^2}{g}$. Pituuden mittauksen vakiovirhe siirtää suoraa, mutta ei muuta kulmakerrointa, joten $g$ saadaan kulmakertoimesta. Lähtökulma $5^\circ$ on niin pieni, että pienen kulman malli pätee.

Kuvaajan lukeminen

Suoralta luetaan kaksi kaukana toisistaan olevaa pistettä: $(0{,}200\,\text{m}$; $0{,}91\,\text{s}^2)$ ja $(1{,}000\,\text{m}$; $4{,}12\,\text{s}^2)$.

Kaava

$k = \dfrac{\Delta (T^2)}{\Delta l}$ ja $k = \dfrac{4\pi^2}{g}$, josta $g = \dfrac{4\pi^2}{k}$

Muunnokset

Ei tarvita: pituus on metreinä ja $T^2$ yksikössä $\text{s}^2$.

Sijoitus

$k$$= \dfrac{4{,}12\,\text{s}^2 - 0{,}91\,\text{s}^2}{1{,}000\,\text{m} - 0{,}200\,\text{m}}$
$= \dfrac{3{,}21\,\text{s}^2}{0{,}800\,\text{m}}$
$= 4{,}013\,\text{s}^2/\text{m}$
$g$$= \dfrac{4\pi^2}{4{,}013\,\text{s}^2/\text{m}}$
$= 9{,}839\,\text{m/s}^2$

Vastaus

$g \approx 9{,}8\,\text{m/s}^2$

Kaksi merkitsevää numeroa, koska kulmakerroin luetaan piirretystä suorasta noin $\pm 0{,}1\,\text{s}^2/\text{m}$:n tarkkuudella (d-kohta).

Järkevyys

Tulos on lähellä taulukkoarvoa $9{,}81\,\text{m/s}^2$. Tarkistus: metrin heilurin jaksonaika olisi $2\pi\sqrt{1{,}0\,\text{m} : 9{,}8\,\text{m/s}^2} \approx 2{,}0\,\text{s}$, ja mitattu $T$ on $1{,}000\,\text{m}$:n kohdalla $2{,}03\,\text{s}$, mikä sopii, koska todellinen pituus on hieman mitattua suurempi.

c)

Annettu

a-kohdan suora, b-kohdan kulmakerroin $k = 4{,}013\,\text{s}^2/\text{m}$; pituus mitattiin kuulan yläpintaan

Kysytty

vakiotermin syy ja kuulan halkaisija $d$ senttimetreinä

Periaate

Heilurin pituus on kiinnityskohdasta punnuksen keskipisteeseen. Mitatusta pituudesta $l$ puuttuu joka kerta kuulan säde $r$, joten todellinen pituus on $l + r$ ja malli on $T^2 = \tfrac{4\pi^2}{g}(l + r) = kl + kr$. Vakiotermi on siis $b = kr$, ja se on sama systemaattinen virhe jokaisessa pisteessä.

Kuvaajan lukeminen

Suoran katkoviivajatke leikkaa pystyakselin kohdassa $b \approx 0{,}10\,\text{s}^2$.

Kaava

$b = kr$, josta $r = \dfrac{b}{k}$ ja $d = 2r = \dfrac{2b}{k}$

Muunnokset

$r$ saadaan metreinä, ja $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$.

Sijoitus

$r$$= \dfrac{0{,}10\,\text{s}^2}{4{,}013\,\text{s}^2/\text{m}}$
$= 0{,}0249\,\text{m}$
$= 0{,}0249 \cdot 100\,\text{cm}$
$= 2{,}49\,\text{cm}$
$d$$= 2 \cdot 2{,}49\,\text{cm}$
$= 4{,}98\,\text{cm}$

Vastaus

$d \approx 5\,\text{cm}$

Yksi tai kaksi merkitsevää numeroa, koska vakiotermi luetaan kuvaajalta vain noin $\pm 0{,}02\,\text{s}^2$:n tarkkuudella, mikä muuttaa halkaisijaa noin $\pm 1\,\text{cm}$.

Järkevyys

Muutaman senttimetrin teräskuula on tavallinen heilurin punnus. Suoran jatke leikkaa vaaka-akselin kohdassa $l = -r \approx -2{,}5\,\text{cm}$: siinä todellinen pituus olisi nolla.

d)

Kysytty

miten pituuden systemaattinen virhe vaikutti b-kohdan tulokseen ja rivikohtaiseen laskuun, ja onko tulos sopusoinnussa arvon $9{,}81\,\text{m/s}^2$ kanssa

Periaate

Vakiovirhe, joka on jokaisessa pisteessä sama, siirtää suoraa mutta ei muuta sen kulmakerrointa. Rivikohtaisessa laskussa sama virhe menee suoraan jokaiseen tulokseen.

Mallivastaus

Kulmakerroin. Koska jokaisesta pituudesta puuttuu sama $2{,}5\,\text{cm}$, koko suora siirtyy, mutta sen jyrkkyys ei muutu. b-kohdan $g$ ei siksi vääristy, ja virhe näkyy vakioterminä.

Rivikohtainen lasku. Jos $g = \tfrac{4\pi^2 l}{T^2}$ laskettaisiin jokaiselta riviltä mitatulla pituudella, jokainen tulos olisi liian pieni, koska $l$ on liian pieni. Virhe olisi suurin lyhyellä langalla, jossa $2{,}5\,\text{cm}$ on suurin osa pituudesta: $l = 0{,}250\,\text{m}$ antaa $8{,}9\,\text{m/s}^2$ ja $l = 1{,}000\,\text{m}$ antaa $9{,}6\,\text{m/s}^2$. Keskiarvo ei korjaisi virhettä.

Sopusointu. Kun suoraa kierretään pisteiden epävarmuuksien sisällä, kulmakerroin voi muuttua noin $\pm 0{,}1\,\text{s}^2/\text{m}$. Arvoilla $3{,}91$ ja $4{,}11\,\text{s}^2/\text{m}$ saadaan $g = 10{,}1$ ja $9{,}6\,\text{m/s}^2$, joten $g = (9{,}8 \pm 0{,}3)\,\text{m/s}^2$. Taulukkoarvo $9{,}81\,\text{m/s}^2$ on välin sisällä, joten mittaus on sopusoinnussa sen kanssa.

Yleisiä virheitä

  • Kuvaajaksi piirretään $(l, T)$, jonka pisteet ovat kaarevalla käyrällä, ja siihen sovitetaan suora.
  • $T^2$ lasketaan kymmenen heilahduksen ajasta jakamatta ensin kymmenellä.
  • Suora pakotetaan kulkemaan origon kautta, jolloin kulmakerroin muuttuu ja vakiotermin tieto katoaa.
  • Kulmakertoimeksi otetaan $g$ itse, tai $g = \tfrac{k}{4\pi^2}$.
  • c-kohdassa vakiotermiä pidetään mittausvirheenä, jota ei voi selittää, tai sen syyksi arvataan ilmanvastus, joka ei siirtäisi suoraa vakiomäärällä.

Hyväksytään myös

  • b-kohdassa kulmakertoimen saa myös laskimen tai taulukkolaskennan suoran sovituksesta ($k = 4{,}02\,\text{s}^2/\text{m}$, $g = 9{,}82\,\text{m/s}^2$) tai muista kaukana toisistaan olevista suoran pisteistä. Kulmakertoimet $3{,}9\text{–}4{,}1\,\text{s}^2/\text{m}$ eli $g = 9{,}6\text{–}10{,}1\,\text{m/s}^2$ hyväksytään.
  • c-kohdassa vakiotermi $0{,}08\text{–}0{,}12\,\text{s}^2$ ja halkaisija $4\text{–}6\,\text{cm}$ hyväksytään, samoin säde $r$ suoran ja vaaka-akselin leikkauskohdasta.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Valitsee suureet $l$ ja $T^2$ ja perustelee valinnan: heilurin malli $T^2 = \tfrac{4\pi^2}{g}\, l$ on suoran yhtälö. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $T = t_{10} : 10$ ja $T^2$ joka riville, esimerkiksi $l = 0{,}250\,\text{m}$: $T^2 = 1{,}113\,\text{s}^2$. 1 p
Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. 1 p
Jokainen mittaus on merkitty erillisenä pisteenä oikealle paikalleen. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii, eikä pisteitä ole yhdistetty murtoviivaksi. Suora kulkee pisteiden lomitse, eikä sitä pakoteta origon kautta. 1 p

b)4 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Kulmakerroin luetaan suoran kahdesta kaukana toisistaan olevasta pisteestä: $k \approx 4{,}0\,\text{s}^2/\text{m}$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $k = \tfrac{4\pi^2}{g}$, josta $g = \tfrac{4\pi^2}{k}$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $g \approx 9{,}8\,\text{m/s}^2$. 1 p

c)4 p

Selittää vakiotermin: heilurin pituus on kiinnityskohdasta kuulan keskipisteeseen, joten jokaisesta mitatusta pituudesta puuttuu kuulan säde $r$, ja malli on $T^2 = \tfrac{4\pi^2}{g}(l + r)$. 1 p
Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Vakiotermi luetaan suoran ja pystyakselin leikkauskohdasta: $b \approx 0{,}10\,\text{s}^2$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $b = kr$, joten $r = \tfrac{b}{k}$, tai suoran jatke leikkaa vaaka-akselin kohdassa $l = -r$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $r \approx 2{,}5\,\text{cm}$ ja halkaisija $d \approx 5\,\text{cm}$. 1 p

d)3 p

Tärkeimmät virhelähteet on nimetty ja kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. Pituuden systemaattinen virhe siirtää suoraa muttei muuta kulmakerrointa, joten b-kohdan $g$ ei vääristy. 1 p
Rivikohtainen $g = \tfrac{4\pi^2 l}{T^2}$ olisi jokaisella rivillä liian pieni ja eniten lyhyellä langalla: $l = 0{,}250\,\text{m}$ antaa noin $8{,}9\,\text{m/s}^2$. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Kulmakertoimen lukemisen epävarmuus on noin $\pm 0{,}1\,\text{s}^2/\text{m}$, joten $g = (9{,}8 \pm 0{,}3)\,\text{m/s}^2$, ja arvo $9{,}81\,\text{m/s}^2$ on välin sisällä. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 16 (16 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

1.3-5 Rantakiven tiheys 12 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Mittaustulokset ovat keksitty esimerkki; kivilajien tiheydet ovat tyypillisiä taulukkoarvoja.

Geologian kerhossa opiskelija haluaa tunnistaa rannalta löytämänsä kiven tiheyden avulla. Hän punnitsee kiven digitaalisella vaa'alla, jonka resoluutio on $0{,}1\,\text{g}$, ja saa tulokseksi $187{,}4\,\text{g}$. Sitten hän laskee kiven $250\,\text{m}\textsf{l}$:n mittalasiin, jonka asteikkoväli on $2\,\text{m}\textsf{l}$. Vedenpinta nousee lukemasta $120\,\text{m}\textsf{l}$ lukemaan $190\,\text{m}\textsf{l}$. Hän arvioi kummankin lukeman epävarmuudeksi puolet asteikkovälistä ja vaa'an lukeman epävarmuudeksi $0{,}1\,\text{g}$.

Taulukkokirjan mukaan graniitin tiheys on tyypillisesti $2600\text{–}2800\,\text{kg/m}^3$ ja basaltin $2800\text{–}3000\,\text{kg/m}^3$.

  1. a) Laske kiven tiheys. 3 p
  2. b) Määritä tiheyden epävarmuus ääriarvomenetelmällä. 4 p
  3. c) Voiko kiven tunnistaa graniitiksi tai basaltiksi tiheyden perusteella? 2 p
  4. d) Kumpi mittaus rajoittaa tuloksen tarkkuutta enemmän, massa vai tilavuus? Ehdota, miten tulosta voisi tarkentaa. 3 p

Taidot luvuista: Tiheys: $m = \rho V$, Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

kiven massa $m = 187{,}4\,\text{g}$, vedenpinnan lukemat $V_1 = 120\,\text{m}\textsf{l}$ ja $V_2 = 190\,\text{m}\textsf{l}$

Kysytty

kiven tiheys $\rho$ yksikössä $\text{kg/m}^3$

Periaate

Upotettu kivi syrjäyttää oman tilavuutensa verran vettä, joten kiven tilavuus on vedenpinnan nousu. Tiheys on massa jaettuna tilavuudella.

Kaava

$V$$= V_2 - V_1$
$\rho$$= \dfrac{m}{V}$
$= \dfrac{m}{V_2 - V_1}$

Muunnokset

$1\,\text{m}\textsf{l} = 1\,\text{cm}^3$ ja $1\,\text{g/cm}^3 = 1000\,\text{kg/m}^3$.

Sijoitus

$V$$= 190\,\text{cm}^3 - 120\,\text{cm}^3$
$= 70\,\text{cm}^3$
$\rho$$= \dfrac{187{,}4\,\text{g}}{70\,\text{cm}^3}$
$= 2{,}677\,\text{g/cm}^3$
$= 2{,}677 \cdot 1000\,\text{kg/m}^3$
$= 2677\,\text{kg/m}^3$

Vastaus

$\rho \approx 2680\,\text{kg/m}^3$

Kolme merkitsevää numeroa, koska tilavuus on kahden kolminumeroisen lukeman erotus; b-kohta näyttää, että jo kolmas numero on epävarma.

Järkevyys

Tiheys on noin $2{,}7$-kertainen veden tiheyteen nähden, mikä on tavallisille kivilajeille tyypillistä: kivi uppoaa, ja kämmenen kokoinen kivi painaa satoja grammoja.

b)

Annettu

$m = (187{,}4 \pm 0{,}1)\,\text{g}$; lukemat $120\,\text{m}\textsf{l}$ ja $190\,\text{m}\textsf{l}$, kummankin epävarmuus puolet asteikkovälistä $2\,\text{m}\textsf{l}$ eli $1\,\text{m}\textsf{l}$

Kysytty

tiheyden epävarmuus $\Delta\rho$ yksikössä $\text{kg/m}^3$

Periaate

Tilavuus on kahden lukeman erotus, ja kumpikin lukema voi olla väärin enintään arvioidun epävarmuuden verran, joten erotuksen epävarmuus on epävarmuuksien summa. Ääriarvomenetelmässä suurin tiheys saadaan suurimmalla massalla ja pienimmällä tilavuudella, pienin päinvastoin.

Kaava

$\Delta V$$= \Delta V_1 + \Delta V_2$
$\rho_\text{max}$$= \dfrac{m + \Delta m}{V - \Delta V}$
$\rho_\text{min}$$= \dfrac{m - \Delta m}{V + \Delta V}$
$\Delta\rho$$= \dfrac{\rho_\text{max} - \rho_\text{min}}{2}$

Muunnokset

$1\,\text{m}\textsf{l} = 1\,\text{cm}^3$ ja $1\,\text{g/cm}^3 = 1000\,\text{kg/m}^3$.

Sijoitus

$\Delta V$$= 1\,\text{cm}^3 + 1\,\text{cm}^3$
$= 2\,\text{cm}^3$
$\rho_\text{max}$$= \dfrac{187{,}5\,\text{g}}{68\,\text{cm}^3}$
$= 2{,}757\,\text{g/cm}^3$
$\rho_\text{min}$$= \dfrac{187{,}3\,\text{g}}{72\,\text{cm}^3}$
$= 2{,}601\,\text{g/cm}^3$
$\Delta\rho$$= \dfrac{2{,}757\,\text{g/cm}^3 - 2{,}601\,\text{g/cm}^3}{2}$
$= 0{,}078\,\text{g/cm}^3$
$= 78\,\text{kg/m}^3$

Vastaus

$\Delta\rho \approx 80\,\text{kg/m}^3$

Yksi merkitsevä numero, joten $\rho = (2680 \pm 80)\,\text{kg/m}^3$.

Järkevyys

Suhteellinen epävarmuus $80 : 2680 \approx 3\,\%$ on lähes sama kuin tilavuuden suhteellinen epävarmuus $2 : 70 \approx 2{,}9\,\%$, koska massan epävarmuus on hyvin pieni.

c)

Kysytty

voiko kiven tunnistaa graniitiksi tai basaltiksi tiheyden perusteella

Periaate

Tulosta verrataan taulukon alueisiin epävarmuus huomioon ottaen. Jos epävarmuusväli osuu vain yhden kivilajin alueelle, tulos tukee sitä.

Mallivastaus

Kiven tiheys on todennäköisesti välillä $2600\text{–}2760\,\text{kg/m}^3$. Väli on kokonaan graniitin tyypillisellä alueella $2600\text{–}2800\,\text{kg/m}^3$, ja basaltin alaraja $2800\,\text{kg/m}^3$ on välin ulkopuolella. Tulos tukee siis graniittia, ja basaltti on epätodennäköinen.

Tiheys yksin ei kuitenkaan todista kivilajia: taulukon arvot ovat tyypillisiä, eivät ehdottomia rajoja, ja monella muullakin kivilajilla on tiheys $2{,}6\text{–}2{,}8\,\text{g/cm}^3$. Varmuuden saa vasta, kun tiheyttä verrataan esimerkiksi kiven väriin, rakeisiin ja kovuuteen.

d)

Kysytty

kumpi mittaus rajoittaa tarkkuutta enemmän ja miten tulosta tarkennetaan

Periaate

Suhteelliset epävarmuudet kertovat, mikä mittaus vaikuttaa tulokseen eniten. Tarkkuutta kannattaa parantaa siinä mittauksessa, jonka suhteellinen epävarmuus on suurin.

Mallivastaus

Massan suhteellinen epävarmuus on $0{,}1\,\text{g} : 187{,}4\,\text{g} \approx 0{,}05\,\%$ ja tilavuuden $2\,\text{cm}^3 : 70\,\text{cm}^3 \approx 3\,\%$. Tilavuus rajoittaa siis tulosta noin 50 kertaa enemmän kuin massa, eikä tarkempi vaaka auttaisi.

Tilavuuden epävarmuutta pienennetään kapeammalla mittalasilla, jonka asteikkoväli on esimerkiksi $1\,\text{m}\textsf{l}$ tai pienempi, jos kivi mahtuu siihen. Toinen tapa on ylivuotoastia: kivi upotetaan täyteen astiaan, ylivuotanut vesi kerätään ja punnitaan, ja $V = \tfrac{m_\text{vesi}}{\rho_\text{vesi}}$. Punnituksen epävarmuus on vain $0{,}1\,\text{g}$, mutta ylivuotoputkeen ja astian seinämiin jäävä vesi tuo suuremman, noin $0{,}5\,\text{cm}^3$:n epävarmuuden, joten tapa on mittalasia tarkempi vain huolellisesti tehtynä. Kiven pinnalta poistetaan ilmakuplat, jotka muuten kasvattaisivat tilavuutta.

Yleisiä virheitä

  • Kiven tilavuudeksi otetaan loppulukema $190\,\text{m}\textsf{l}$ eikä vedenpinnan nousua.
  • Tilavuuden epävarmuudeksi otetaan vain yhden lukeman $1\,\text{m}\textsf{l}$, vaikka tilavuus on kahden lukeman erotus.
  • Ääriarvoissa yhdistetään suurin massa ja suurin tilavuus, jolloin tiheyden vaihteluväli jää liian pieneksi.
  • Yksiköt muunnetaan väärin: $1\,\text{g/cm}^3$ on $1000\,\text{kg/m}^3$, ei $1\,\text{kg/m}^3$ eikä $100\,\text{kg/m}^3$.
  • c-kohdassa kivilaji ”todistetaan” tiheydestä, tai epävarmuusväli jätetään vertailusta pois.

Hyväksytään myös

  • a-kohdan vastaukseksi $2{,}7 \cdot 10^3\,\text{kg/m}^3$ tai $2{,}68\,\text{g/cm}^3$, kun yksikkö on oikein.
  • b-kohdassa epävarmuuden voi laskea myös suhteellisista epävarmuuksista: $\tfrac{\Delta\rho}{\rho} \approx 0{,}05\,\% + 2{,}9\,\% \approx 2{,}9\,\%$, jolloin $\Delta\rho \approx 80\,\text{kg/m}^3$.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $\rho = \tfrac{m}{V}$, missä $V = V_2 - V_1$ on kiven syrjäyttämän veden tilavuus. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $V = 70\,\text{m}\textsf{l} = 70\,\text{cm}^3$ ja $\rho = 2{,}677\,\text{g/cm}^3$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $1\,\text{g/cm}^3 = 1000\,\text{kg/m}^3$, joten $\rho \approx 2680\,\text{kg/m}^3$. 1 p

b)4 p

Tilavuuden epävarmuus on kahden lukeman epävarmuuksien summa: $\Delta V = 2 \cdot 1\,\text{m}\textsf{l} = 2\,\text{m}\textsf{l}$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Suurin tiheys suurimmalla massalla ja pienimmällä tilavuudella: $\rho_\text{max} = \tfrac{187{,}5\,\text{g}}{68\,\text{cm}^3}$ ja $\rho_\text{min} = \tfrac{187{,}3\,\text{g}}{72\,\text{cm}^3}$. 1 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. $\Delta\rho = \tfrac{\rho_\text{max} - \rho_\text{min}}{2} \approx 80\,\text{kg/m}^3$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\rho = (2680 \pm 80)\,\text{kg/m}^3$. 1 p

c)2 p

Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väli $2600\text{–}2760\,\text{kg/m}^3$ on graniitin alueella, ja basaltin alaraja $2800\,\text{kg/m}^3$ on välin ulkopuolella, joten tulos tukee graniittia. 1 p
Toteaa, että tiheys yksin ei todista kivilajia: taulukon alueet ovat tyypillisiä arvoja, ja muillakin kivilajeilla voi olla sama tiheys. 1 p

d)3 p

Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Suhteelliset epävarmuudet: massa $0{,}1 : 187{,}4 \approx 0{,}05\,\%$ ja tilavuus $2 : 70 \approx 3\,\%$, joten tilavuus rajoittaa. 1 p
Ehdottaa keinon, joka pienentää tilavuuden epävarmuutta, ja arvioi sen todellisen tarkkuuden: kapeampi mittalasi, jonka asteikkoväli on pienempi, tai ylivuotoastia, jonka vesi punnitaan (punnitus on tarkka, mutta astiaan ja putkeen jäävä vesi tuo noin $0{,}5\,\text{cm}^3$:n epävarmuuden). Ilmakuplat poistetaan kiven pinnalta. 2 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 12 (11 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

1.3-6 Polkupyörän jarrutusmatka 15 pistettä

Simuloitu esimerkkiaineisto · Aineisto on laskettu vakiohidastuvuuden mallista, ja siihen on lisätty pientä satunnaista vaihtelua mittauksen tapaan. Se ei ole oikean mittauksen tulos.

Liikenneturvallisuusprojektissa opiskelijat tutkivat polkupyörän jarrutusmatkaa kuivalla asfaltilla. Pyöräilijä ajoi lähtöviivalle tasaisella nopeudella, jonka puhelimen sovellus näytti, ja jarrutti viivan kohdalla molemmilla jarruilla niin, etteivät pyörät lukkiutuneet. Jarrutusmatka $s$ mitattiin mittanauhalla viivasta pysähtymiskohtaan. Tie oli vaakasuora, ja tuuli oli tyyni.

$v\ (\text{km/h})$ $s\ (\text{m})$
$10$ $1{,}0$
$15$ $2{,}0$
$20$ $3{,}8$
$25$ $5{,}6$
$30$ $8{,}5$
  1. a) Opiskelijat olettavat, että hidastuvuus on jokaisessa jarrutuksessa sama. Mitä oletus ennustaa jarrutusmatkan ja nopeuden välisestä yhteydestä, ja millaisella kuvaajalla oletuksen voi testata? 3 p
  2. b) Piirrä kuvaaja, jolla testaat oletuksen, ja määritä siitä pyörän hidastuvuus. 5 p
  3. c) Kuinka suuri lepokitkakertoimen renkaiden ja asfaltin välillä on vähintään oltava, jotta tällainen jarrutus on mahdollinen? Ilmanvastusta ei oteta huomioon. 3 p
  4. d) Myöhemmin selvisi, että sovellus näytti nopeuden $5\,\%$ todellista suurempana kaikissa ajoissa. Kuinka monta prosenttia b-kohdan hidastuvuus poikkeaa todellisesta, ja mihin suuntaan? Muuttuuko johtopäätös siitä, että hidastuvuus on vakio? 4 p

Taidot luvuista: Liikenneturvallisuus: jarrutus, turvavyö ja turvatyyny, Paino, kitka ja kalteva taso, Graafinen esitys ja suoran sovittaminen, Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

mitä vakiohidastuvuus ennustaa jarrutusmatkan ja nopeuden yhteydestä ja millaisella kuvaajalla oletuksen voi testata

Periaate

Kun hidastuvuus $a$ on vakio, liike on tasaisesti muuttuvaa, ja pysähtymiseen asti pätee $0 = v^2 - 2as$, kuten jarrutusmatkan laskussa.

Mallivastaus

Vakiohidastuvuudella jarrutusmatka on $s = \tfrac{v^2}{2a}$, eli matka on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön. Kun nopeus kaksinkertaistuu, matka nelinkertaistuu: taulukossa $10\,\text{km/h}$:n matka on $1{,}0\,\text{m}$ ja $20\,\text{km/h}$:n $3{,}8\,\text{m}$, mikä on lähellä nelinkertaista.

Oletuksen voi testata piirtämällä $(v^2, s)$-kuvaajan. Jos oletus pitää, pisteet ovat origon kautta kulkevalla suoralla, jonka kulmakerroin on $\tfrac{1}{2a}$. $(v, s)$-kuvaaja ei sovi testiin, koska sen pisteet olisivat paraabelilla, jota on vaikea erottaa muista kaarevista käyristä.

b)

Kysytty

oletusta testaava kuvaaja ja siitä määritetty hidastuvuus

Kuvaaja

Nopeudet muunnetaan ensin yksikköön $\text{m/s}$ jakamalla luvulla $3{,}6$ ja korotetaan sitten toiseen potenssiin: $10\,\text{km/h} = 2{,}78\,\text{m/s}$, joten $v^2 = 7{,}7\,\text{m}^2/\text{s}^2$, ja samoin $17{,}4$, $30{,}9$, $48{,}2$ ja $69{,}4\,\text{m}^2/\text{s}^2$. Vaaka-akselilla on $v^2\ (\text{m}^2/\text{s}^2)$ ja pystyakselilla $s\ (\text{m})$.

$20$
$40$
$60$
$80$
$2$
$4$
$6$
$8$
$10$
$0$
$v^2\ (\text{m}^2/\text{s}^2)$
$s\ (\text{m})$
$(60\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2};\ 7{,}2\,\text{m})$
$k = \tfrac{7{,}2\,\text{m}}{60\,\text{m}^2/\text{s}^2} = 0{,}12\,\tfrac{\text{s}^2}{\text{m}}$

Mallivastaus

Pisteet ovat lähellä origon kautta kulkevaa suoraa, joten vakiohidastuvuuden oletus saa tukea. Suora piirretään origon kautta, koska nollanopeudella jarrutusmatka on nolla. Suoralta luetaan kaukainen piste $(60\,\text{m}^2/\text{s}^2$; $7{,}2\,\text{m})$, joten kulmakerroin on $k = \tfrac{7{,}2\,\text{m}}{60\,\text{m}^2/\text{s}^2} = 0{,}12\,\text{s}^2/\text{m}$. Koska $s = \tfrac{1}{2a}\, v^2$, kulmakerroin on $k = \tfrac{1}{2a}$ ja hidastuvuus

$a = \tfrac{1}{2k} = \tfrac{1}{2 \cdot 0{,}12\,\text{s}^2/\text{m}} = 4{,}17\,\text{m/s}^2 \approx 4{,}2\,\text{m/s}^2$,

kaksi merkitsevää numeroa kuten jarrutusmatkoissa ja kulmakertoimessa.

c)

Annettu

hidastuvuus $a = 4{,}17\,\text{m/s}^2$ (b-kohta), vaakasuora tie, pyörät eivät lukkiudu, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

pienin lepokitkakerroin $\mu_0$ renkaiden ja asfaltin välillä

Periaate

Kun ilmanvastus jätetään pois, pyörää ja pyöräilijää hidastaa vaakasuunnassa vain tien kitkavoima renkaisiin. Renkaat eivät luista asfalttia vasten, joten kyse on lepokitkasta, joka voi olla enintään $\mu_0 N$. Tie on vaakasuora, joten pystysuunnassa $N = mg$. Newtonin toisen lain mukaan kitkavoiman on oltava $ma$.

Kaava

$ma = F_{\mu 0} \le \mu_0 N = \mu_0 mg$, josta massa supistuu ja $\mu_0 \ge \dfrac{a}{g}$

Muunnokset

Ei tarvita, kiihtyvyydet ovat yksikössä $\text{m/s}^2$.

Sijoitus

$\mu_0$$\ge \dfrac{4{,}17\,\text{m/s}^2}{9{,}81\,\text{m/s}^2}$
$= 0{,}425$

Vastaus

$\mu_0 \ge 0{,}42$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten hidastuvuudessa $4{,}2\,\text{m/s}^2$. Kitkakertoimella ei ole yksikköä.

Järkevyys

Kuivan asfaltin ja kumin lepokitkakerroin on tyypillisesti selvästi suurempi, noin $0{,}7\text{–}0{,}9$, joten jarrutus on mahdollinen ilman, että pyörät lukkiutuvat. Hidastuvuus $4{,}2\,\text{m/s}^2$ on vajaa puolet putoamiskiihtyvyydestä, mikä sopii polkupyörän jarrutukseen.

d)

Annettu

sovelluksen nopeus on $5\,\%$ todellista suurempi kaikissa ajoissa: $v_\text{sovellus} = 1{,}05\, v$; b-kohdan hidastuvuus $4{,}17\,\text{m/s}^2$

Kysytty

kuinka monta prosenttia ja mihin suuntaan b-kohdan hidastuvuus poikkeaa todellisesta, ja muuttuuko johtopäätös

Periaate

Virhe on systemaattinen: jokainen nopeus on kerrottu samalla luvulla. Kuvaajassa jokainen $v^2$ on siksi kerrottu luvulla $1{,}05^2$, ja suoran kulmakerroin $k = \tfrac{s}{v^2}$ on samassa suhteessa liian pieni. Hidastuvuus on $a = \tfrac{1}{2k}$, joten se on samassa suhteessa liian suuri.

Kaava

$v_\text{sovellus}^2 = 1{,}05^2\, v^2$, joten

$k_\text{sovellus}$$= \dfrac{k}{1{,}05^2}$

$a_\text{sovellus} = 1{,}05^2\, a$; poikkeama on

$\dfrac{a_\text{sovellus} - a}{a}$
$= 1{,}05^2 - 1$

Muunnokset

Prosentti desimaalilukuna: $5\,\% = 0{,}05$.

Sijoitus

$1{,}05^2 - 1$$= 1{,}1025 - 1$
$= 0{,}1025$
$= 10{,}25\,\%$

ja todellinen hidastuvuus

$a$$= \dfrac{4{,}17\,\text{m/s}^2}{1{,}1025}$
$= 3{,}78\,\text{m/s}^2$

Vastaus

b-kohdan hidastuvuus on noin $10\,\%$ liian suuri; todellinen hidastuvuus on noin $3{,}8\,\text{m/s}^2$. Tulos ilmoitetaan noin-arvona, koska hidastuvuus $4{,}2\,\text{m/s}^2$ tunnetaan kahden numeron tarkkuudella. Johtopäätös vakiohidastuvuudesta ei muutu: jokainen $v^2$ muuttuu samassa suhteessa, joten pisteet ovat yhä origon kautta kulkevalla suoralla, vain sen kulmakerroin muuttuu.

Järkevyys

Nopeus on kaavassa toisessa potenssissa, joten pieni suhteellinen virhe kaksinkertaistuu: $2 \cdot 5\,\% = 10\,\%$. Myös c-kohdan pienin kitkakerroin pienenee samassa suhteessa noin $0{,}39$:ään.

Yleisiä virheitä

  • Kuvaajaksi piirretään $(v, s)$, ja kaarevaan pisteistöön sovitetaan suora.
  • Nopeudet neliöidään yksikössä $\text{km/h}$, jolloin hidastuvuus tulee väärään yksikköön ja väärän suuruiseksi; muunnos on $1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}$.
  • Hidastuvuudeksi otetaan kulmakerroin itse tai $\tfrac{1}{k}$; kertoimesta $\tfrac{1}{2}$ unohtuu kakkonen.
  • c-kohdassa käytetään liikekitkaa, vaikka pyörät eivät luista, tai vastaukseksi annetaan tarkka arvo eikä alaraja.
  • d-kohdassa poikkeamaksi annetaan $5\,\%$, jolloin unohtuu, että nopeus on kaavassa toisessa potenssissa.

Hyväksytään myös

  • b-kohdassa kulmakertoimen voi määrittää laskimen sovituksesta origon kautta ($k \approx 0{,}121\,\text{s}^2/\text{m}$, $a \approx 4{,}15\,\text{m/s}^2$) tai muusta kaukaisesta suoran pisteestä. Hidastuvuudet $4{,}0\text{–}4{,}4\,\text{m/s}^2$ hyväksytään, samoin c-kohdan kertoimet $0{,}41\text{–}0{,}45$.
  • d-kohdassa vastaus $10{,}25\,\%$ tai "noin $10\,\%$".

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Tasaisesti hidastuvassa liikkeessä $v^2 = 2as$, joten $s = \tfrac{v^2}{2a}$. 1 p
Ennuste: kaksinkertainen nopeus nelinkertaistaa jarrutusmatkan. 1 p
Testi: $(v^2, s)$-kuvaaja on origon kautta kulkeva suora, jos oletus pitää. 1 p

b)5 p

Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. Vaaka-akselilla $v^2$ yksikössä $\text{m}^2/\text{s}^2$, pystyakselilla $s$ yksikössä $\text{m}$. 1 p
Jokainen mittaus on merkitty erillisenä pisteenä oikealle paikalleen. Nopeudet on muunnettu yksikköön $\text{m/s}$ ennen neliöintiä. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii, eikä pisteitä ole yhdistetty murtoviivaksi. Pisteet ovat origon kautta kulkevan suoran lähellä, joten oletus saa tukea; suora kulkee origon kautta, koska nollanopeudella jarrutusmatka on nolla. 1 p
Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Kulmakerroin $k \approx 0{,}12\,\text{s}^2/\text{m}$ suoran kaukaisesta pisteestä. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $k = \tfrac{1}{2a}$, joten $a = \tfrac{1}{2k} \approx 4{,}2\,\text{m/s}^2$. 1 p

c)3 p

Perustelee, että pyörää hidastaa tien kitkavoima renkaisiin ja että pyörät eivät luista, joten kyse on lepokitkasta: $F_{\mu 0} \le \mu_0 N$, missä $N = mg$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $ma = F_{\mu 0} \le \mu_0 mg$, joten $\mu_0 \ge \tfrac{a}{g}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\mu_0 \ge 0{,}42$, ilman yksikköä. 1 p

d)4 p

Tunnistaa virheen systemaattiseksi: jokainen nopeus on kerrottu samalla luvulla $1{,}05$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $v_\text{sovellus}^2 = 1{,}05^2\, v^2$, joten kulmakerroin on $1{,}05^2$-kertaa liian pieni ja $a = \tfrac{1}{2k}$ $1{,}05^2$-kertaa liian suuri. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $1{,}05^2 = 1{,}1025$: hidastuvuus on noin $10\,\%$ liian suuri, todellinen noin $3{,}8\,\text{m/s}^2$. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Jokainen $v^2$ muuttuu samassa suhteessa, joten pisteet pysyvät suoralla eikä johtopäätös vakiohidastuvuudesta muutu. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (15 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.