RuukkilabraLukion fysiikka
FY9 · Luku 1.2

Mittaaminen, epävarmuus ja kuvaajat

Miksi kuvaajaan sovitetusta suorasta saatu tulos on yleensä luotettavampi kuin yhdestä mittauksesta laskettu?

Pohjatiedot

  • Tulos ilmoitetaan muodossa $\bar{x} \pm \Delta x$, ja epävarmuus pyöristetään yhteen merkitsevään numeroonluku Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus
  • Mittauspisteisiin sovitetaan suora, jonka kulmakerroin luetaan suoran kahdesta kaukana toisistaan olevasta pisteestäluku Graafinen esitys ja suoran sovittaminen
  • Saman aineen massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen, ja $(V, m)$-suoran kulmakerroin on tiheysluku Tiheys

Pohdinta

Kokeen tehtävässä on mittaustaulukko. Mittalasiin kaadettiin nestettä $20\,\text{ml}$ kerrallaan, ja jokaisen lisäyksen jälkeen vaa'alla punnittiin mittalasi ja neste yhdessä. Aino laskee jokaiselta riviltä massan ja tilavuuden suhteen ja ottaa suhteista keskiarvon. Eetu piirtää $(V, m)$-kuvaajan, sovittaa pisteisiin suoran ja lukee sen kulmakertoimen. He saavat hyvin eri tulokset, vaikka aineisto on sama.

Kumman tapa antaa nesteen tiheyden, ja mitä toinen tapa jättää huomiotta?

Ennusta

Tee ennusteet ennen tutkimista 6 kysymystä

Lähtötaso 1: tarkkuus

Kiven massa on $32{,}46\,\text{g}$. Kun kivi upotetaan mittalasiin, lukema nousee $52\,\text{ml}$:stä $64\,\text{ml}$:aan. Miten kiven tiheys ilmoitetaan perustellulla tarkkuudella?

Lähtötaso 2: toistaminen

Keittiövaaka näyttää tyhjänä $0{,}8\,\text{g}$, mutta sitä ei nollata. Opiskelija punnitsee saman kappaleen kymmenen kertaa ja laskee tuloksista keskiarvon. Mitä keskiarvosta voi sanoa?

Lähtötaso 3: kulmakerroin

Opiskelija on sovittanut kahdeksaan mittauspisteeseen suoran. Miten hänen kannattaa määrittää suoran kulmakerroin?

Lähtötaso 4: vakiotermi

Palavan kynttilän pituus $h$ mitattiin puolen tunnin välein. Pisteisiin sovitetun suoran yhtälö on $h = -0{,}80\,\tfrac{\text{cm}}{\text{h}} \cdot t + 18{,}0\,\text{cm}$, kun aika $t$ lasketaan sytyttämisestä. Mitä vakiotermi $18{,}0\,\text{cm}$ kertoo?

Lähtötaso 5: linearisointi

Vaunu lähtee levosta ja kiihtyy tasaisesti. Valoporteilla mitataan vaunun kulkema matka $s$ ja aika $t$ lähdöstä. Minkä kuvaajan pisteet asettuvat suoralle?

Lähtötaso 6: mitatun alueen ulkopuolella

Jousen venymä mitattiin voimilla $0$–$10\,\text{N}$, ja pisteet asettuvat origon kautta kulkevalle suoralle. Mitä venymästä voidaan sanoa, kun voima on $40\,\text{N}$?

Tutki

Kaasun paine ja lämpötila

Keksitty esimerkkiaineisto

Suljetun ja jäykän astian ilmaa lämmitettiin vesihauteessa, ja paine mitattiin anturilla viidessä lämpötilassa. Kuvaajassa ovat mittauspisteet ilman sovitettua suoraa. Sovita pisteisiin suora vihkoon tai kuvaajaohjelmaan. Lue sen kulmakerroin ja vakiotermi yksiköineen ja mieti, mitä kumpikin kertoo astian kaasusta.

$-100$
$-50$
$0$
$50$
$100$
$25$
$50$
$75$
$100$
$\theta\ (^\circ\text{C})$
$p\ (\text{kPa})$

Jatka sovitettua suoraa mitatun alueen ulkopuolelle. Missä lämpötilassa suora leikkaa vaaka-akselin, eli missä lämpötilassa paine olisi mallin mukaan nolla? Vastaa celsiusasteina.

°C
Vihje 1: ohjaava kysymys

Lue suoralta kaksi kaukana toisistaan olevaa pistettä, esimerkiksi kohdista $0\,{}^\circ\text{C}$ ja $100\,{}^\circ\text{C}$.

Vihje 2: mikä yhteys

Suoran yhtälö on $p = k\theta + b$. Paine on nolla, kun $k\theta + b = 0$.

Vihje 3: välivaihe

$\theta_0 = -\dfrac{b}{k}$, missä $b \approx 75\,\text{kPa}$ ja $k = \dfrac{\Delta p}{\Delta \theta}$ yksikössä $\text{kPa}/{}^\circ\text{C}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

kuvaajan viisi mittauspistettä lämpötiloissa $0$–$100\,{}^\circ\text{C}$; astia on suljettu ja jäykkä, joten kaasun määrä ja tilavuus pysyvät samoina

Kysytty

lämpötila $\theta_0$, jossa suoran mukaan paine on nolla, yksikössä ${}^\circ\text{C}$

Periaate

Pisteet asettuvat likimain suoralle, joten paine riippuu lämpötilasta lineaarisesti: $p = k\theta + b$. Kulmakerroin kertoo, kuinka monta kilopascalia paine kasvaa yhtä celsiusastetta kohti, ja vakiotermi on paine lämpötilassa $0\,{}^\circ\text{C}$. Kysytty lämpötila saadaan jatkamalla suoraa eli ekstrapoloimalla kauas mitatun alueen ulkopuolelle.

Kuvaajan lukeminen

Pisteiden lomaan sovitettu suora kulkee pisteiden $(0\,{}^\circ\text{C}$; $75{,}0\,\text{kPa})$ ja $(100\,{}^\circ\text{C}$; $102{,}6\,\text{kPa})$ kautta, joten vakiotermi on $b = 75{,}0\,\text{kPa}$.

Kaava

$k = \dfrac{\Delta p}{\Delta\theta}$, ja paine on nolla, kun $k\theta_0 + b = 0$, joten $\theta_0 = -\dfrac{b}{k}$

Muunnokset

Ei tarvita: lämpötilat ovat celsiusasteina ja paineet kilopascaleina, ja $\text{kPa}$ supistuu.

Sijoitus

$k$$= \dfrac{102{,}6\,\text{kPa} - 75{,}0\,\text{kPa}}{100\,{}^\circ\text{C} - 0\,{}^\circ\text{C}}$
$= 0{,}276\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$
$\theta_0$$= -\dfrac{75{,}0\,\text{kPa}}{0{,}276\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C}}$
$= -271{,}7\,{}^\circ\text{C}$

Vastaus

$\theta_0 \approx -270\,{}^\circ\text{C}$

Kaksi merkitsevää numeroa, koska pisteiden paineet luetaan kuvaajasta noin kahden numeron tarkkuudella ja suoraa jatketaan lähes kolme kertaa mitatun alueen pituus. Kulmakerroin $0{,}28\,\text{kPa}/{}^\circ\text{C}$ kertoo, kuinka nopeasti paine kasvaa lämmitettäessä, ja vakiotermi $75\,\text{kPa}$ on paine jäätymispisteessä.

Järkevyys

Tulos on lähellä absoluuttista nollapistettä $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$ (luku Termodynaaminen systeemi, tilanmuuttujat ja lämpötila). Ekstrapolointi on kuitenkin vain mallin ennuste: todellinen kaasu tiivistyy nesteeksi kauan ennen kuin sen paine putoaisi nollaan, joten paine ei käytännössä seuraa suoraa niin kauas. Suoran pieni kaltevuuden muutos siirtää leikkauskohtaa kymmeniä asteita, mikä näkyy vastauksen tarkkuudessa.

Teoriatiivistelmä

Kokonaiskuva

Lähes jokaisessa fysiikan ylioppilaskokeessa on tehtävä, jossa annetaan mittausaineisto ja kysytään siitä määritettävää suuretta. Tehtävän ratkaisu etenee aina samassa järjestyksessä: mittaustulokset ja niiden epävarmuus, kuvaaja, sovitus, sovituksen tulkinta ja lopuksi tulos epävarmuuksineen. Jokaisessa vaiheessa voi saada tai menettää pisteitä.

$1$
$\text{Mittaus}$
$\text{lukema}, \ \Delta x, \ \text{tarkkuus}$
$2$
$\text{Kuvaaja}$
$\text{suure (yksikkö)}$
$3$
$\text{Sovitus}$
$\text{suora tai linearisointi}$
$4$
$\text{Tulkinta}$
$k \text{ ja } b \text{ yksiköineen}$
$5$
$\text{Tulos}$
$k \pm \Delta k, \ \text{pätevyysalue}$

Mittaustulos ja suoran yhtälö

Tulos ja sen epävarmuus

Toistetun mittauksen paras arvio on keskiarvo $\bar{x}$. Tässä kurssissa hajontaa arvioidaan vaihteluvälin puolikkaana, ja tulos ilmoitetaan muodossa $\bar{x} \pm \Delta x$:

$$\begin{aligned} \Delta x &= \frac{x_\text{max} - x_\text{min}}{2} \\ \varepsilon &= \frac{\Delta x}{\bar{x}} \cdot 100\,\% \end{aligned}$$

missä $x_\text{max}$ ja $x_\text{min}$ ovat suurin ja pienin tulos, $\Delta x$ mittausepävarmuus ja $\varepsilon$ suhteellinen epävarmuus. Kertamittauksessa lukeman epävarmuutta voidaan yksinkertaisessa tilanteessa arvioida puoleksi pienimmästä asteikkovälistä, mutta kokonaisepävarmuuteen vaikuttavat myös menetelmä ja muut virhelähteet. Epävarmuus pyöristetään yhteen merkitsevään numeroon (kahteen, jos ensimmäinen numero on 1), ja tulos samaan desimaaliin. Kerto- ja jakolaskun tulos saa yhtä monta merkitsevää numeroa kuin epätarkin lähtöarvo.

Toistaminen vaimentaa satunnaisvirheen vaikutusta keskiarvossa, mutta systemaattista virhettä se ei poista. Karkea virhe etsitään: poikkeava tulos tarkistetaan, eikä sitä poisteta perustelematta.

Suoran yhtälö ja sen tulkinta

Jos pisteet asettuvat likimain suoralle, niihin sovitetaan suora pisteiden lomaan:

$$y = kx + b, \qquad k = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

missä $k$ on kulmakerroin ja $b$ vakiotermi eli $y$:n arvo, kun $x = 0$. Kulmakerroin luetaan suoran kahdesta kaukana toisistaan olevasta pisteestä, ei mittauspisteistä. Sen yksikkö on pystyakselin yksikkö jaettuna vaaka-akselin yksiköllä, ja sillä on yleensä fysikaalinen merkitys: $(V, m)$-kuvaajassa se on tiheys. Malli on osoitettu päteväksi vain mitatulla alueella, joten ekstrapolointi sen ulkopuolelle on perusteltava.

$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$7$
$15$
$30$
$45$
$60$
$0$
$t\ (\text{min})$
$\theta\ (^\circ\text{C})$
$\Delta t$
$\Delta \theta$
$k = \dfrac{\Delta \theta}{\Delta t}$
$b$
$\text{jyrkin, loivin}$

Kulmakertoimen epävarmuutta voi arvioida jyrkimmän ja loivimman suoran avulla, jotka vielä kulkevat epävarmuusjanojen kautta:

$$\Delta k = \frac{k_\text{max} - k_\text{min}}{2}$$

Ne rajaavat arvioidun vaihteluvälin, eivät varmoja rajoja.

Linearisointi

Kun malli ei ole suora, akseleille valitaan suureet, joiden välinen riippuvuus on suora. Malli kirjoitetaan muotoon $y = kx + b$:

$$\begin{aligned} s &= \tfrac{a}{2} \cdot t^2 \\ p &= C \cdot \tfrac{1}{V} \\ m &= \rho V + m_0 \end{aligned}$$

Levosta tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä, kun aika lasketaan liikkeen alusta, $(t^2, s)$-kuvaaja on origon kautta kulkeva suora, jonka kulmakerroin on $\tfrac{a}{2}$. Kun kaasun määrä ja lämpötila pysyvät samoina, Boylen lain mukaan $(\tfrac{1}{V}, p)$-kuvaaja on suora; vakio $C$ on paineen ja tilavuuden tulo. Astiassa punnitun nesteen kokonaismassa $m$ on tilavuuden $V$ suhteen suora, jonka kulmakerroin on tiheys $\rho$ ja vakiotermi astian massa $m_0$.

$1$
$2$
$3$
$1$
$2$
$0$
$t\ (\text{s})$
$s\ (\text{m})$
$3$
$6$
$9$
$1$
$2$
$0$
$t^2\ (\text{s}^2)$
$s\ (\text{m})$
$k = \tfrac{a}{2}$

Yleisiä virheitä

  • Pisteet yhdistetään murtoviivaksi, tai suora pakotetaan origon kautta ilman fysikaalista syytä.
  • Kulmakerroin lasketaan kahdesta vierekkäisestä mittauspisteestä tai annetaan ilman yksikköä.
  • Akselilta puuttuu suure tai yksikkö, tai asteikko ei ole tasavälinen.
  • Tulokseen jätetään laskimen kaikki numerot, tai epävarmuus ja tulos pyöristetään eri tarkkuuteen.
  • Toistojen uskotaan poistavan systemaattisen virheen.
  • Kaarevaan pisteistöön sovitetaan suora, vaikka poikkeamat muodostavat kaaren.

Kertaa tarvittaessa

Sovella

Etsi virhe: tuloksen muoto

Opiskelija määritti putoamiskiihtyvyyden kuvaajasta ja kirjoitti vastaukseksi $g = (9{,}7634 \pm 0{,}38)\,\text{m/s}^2$. Mikä on tuloksen oikein pyöristetty muoto?

Valitse suora kuvaaja

Leikkiauto ajaa $2{,}0\,\text{m}$:n mittaisen radan tasaisella nopeudella. Rata ajetaan monta kertaa eri nopeuksilla $v$, ja joka kerta mitataan radan ajamiseen kuluva aika $t$.Minkä kuvaajan pisteiden pitäisi asettua origon kautta kulkevalle suoralle?

Arvioi johtopäätös

Mallin mukaan jousen venymä $x$ on suoraan verrannollinen voimaan $F$. Mittauspisteisiin sovitetun suoran vakiotermi on kuitenkin $0{,}4\,\text{cm}$, ja venymien epävarmuus on $\pm 0{,}1\,\text{cm}$. Mikä johtopäätös on perustelluin?

Tunnista virhelaji

Opiskelija lukee pöydällä seisovan mittalasin asteikon joka kerta seisaaltaan yläviistosta eikä silmät nestepinnan tasolla. Millainen virhe tuloksiin syntyy?

Kolikkopino

Opiskelija mittaa kymmenen samanlaisen kolikon pinon korkeudeksi viivaimella $18{,}5\,\text{mm}$. Viivaimen pienin asteikkoväli on $1\,\text{mm}$, joten pinon korkeuden epävarmuudeksi arvioidaan $0{,}5\,\text{mm}$.

Kuinka suuri on yhden kolikon paksuuden suhteellinen epävarmuus? Vastaa prosentteina.

%
Vihje 1: ohjaava kysymys

Kuinka paksu yksi kolikko on, ja kuinka suuri on sen paksuuden epävarmuus, kun pinossa on kymmenen kolikkoa?

Vihje 2: mikä yhteys

Sekä paksuus että sen epävarmuus jaetaan kymmenellä: $d = 1{,}85\,\text{mm}$ ja $\Delta d = 0{,}05\,\text{mm}$.

Vihje 3: välivaihe
$\varepsilon$$= \dfrac{\Delta d}{d} \cdot 100\,\%$
$= \dfrac{0{,}05\,\text{mm}}{1{,}85\,\text{mm}} \cdot 100\,\%$
Näytä ratkaisu

Annettu

pinon korkeus $h = 18{,}5\,\text{mm}$, sen epävarmuus $\Delta h = 0{,}5\,\text{mm}$, kolikoita $N = 10$

Kysytty

yhden kolikon paksuuden suhteellinen epävarmuus $\varepsilon$ prosentteina

Periaate

Kolikot ovat samanlaisia, joten yhden kolikon paksuus on pinon korkeus jaettuna kymmenellä. Pinon korkeus luetaan kerran, joten koko lukeman epävarmuus jakautuu kymmenelle kolikolle. Suhteellinen epävarmuus vertaa epävarmuutta itse tulokseen.

Kaava

$d = \dfrac{h}{N}$ ja $\Delta d = \dfrac{\Delta h}{N}$, joten

$\varepsilon$$= \dfrac{\Delta d}{d} \cdot 100\,\%$
$= \dfrac{\Delta h}{h} \cdot 100\,\%$

Muunnokset

Ei tarvita: millimetrit supistuvat suhteessa.

Sijoitus

$d$$= 18{,}5\,\text{mm} : 10$
$= 1{,}85\,\text{mm}$
$\Delta d$$= 0{,}5\,\text{mm} : 10$
$= 0{,}05\,\text{mm}$
$\varepsilon$$= \dfrac{0{,}05\,\text{mm}}{1{,}85\,\text{mm}} \cdot 100\,\%$
$= 2{,}70\,\%$

Vastaus

$\varepsilon \approx 3\,\%$

($2{,}7\,\%$). Epävarmuus $0{,}5\,\text{mm}$ on yhden merkitsevän numeron arvio, joten yksi numero riittää; kaksi numeroa kelpaa välitulokseksi. Kolikon paksuus on $(1{,}85 \pm 0{,}05)\,\text{mm}$.

Järkevyys

Jos yksi kolikko mitattaisiin samalla viivaimella, epävarmuus olisi $0{,}5\,\text{mm} : 1{,}85\,\text{mm} \approx 27\,\%$, kymmenkertainen. Pinon mittaaminen pienentää yhden kolikon epävarmuutta, koska yhden lukeman epävarmuus jakautuu kymmenelle kolikolle.

Jousen suora

Jouseen ripustettiin eri punnuksia, ja jokaisella kuormalla mitattiin jousen kokonaispituus $L$. Pisteisiin sovitettu $(L, F)$-suora kulkee pisteiden $(15{,}0\,\text{cm}$; $1{,}2\,\text{N})$ ja $(35{,}0\,\text{cm}$; $17{,}0\,\text{N})$ kautta, kun $F$ on jousta venyttävä voima.

Mikä on jousen jousivakio? Vastaa yksikössä $\text{N/m}$.

N/m
Vihje 1: ohjaava kysymys

Jousen venymä on $L - L_0$, missä $L_0$ on jousen pituus ilman kuormaa. Kumpi suoran suure on jousivakio: kulmakerroin vai vakiotermi?

Vihje 2: mikä yhteys

$F = k(L - L_0) = kL - kL_0$, joten jousivakio on kulmakerroin $k = \dfrac{\Delta F}{\Delta L}$.

Vihje 3: välivaihe
$k$$= \dfrac{17{,}0\,\text{N} - 1{,}2\,\text{N}}{0{,}350\,\text{m} - 0{,}150\,\text{m}}$
Näytä ratkaisu

Annettu

sovitetun suoran pisteet $(L_1$; $F_1) = (15{,}0\,\text{cm}$; $1{,}2\,\text{N})$ ja $(L_2$; $F_2) = (35{,}0\,\text{cm}$; $17{,}0\,\text{N})$; $L$ on jousen kokonaispituus

Kysytty

jousivakio $k$ yksikössä $\text{N/m}$

Periaate

Jousen venymä on $L - L_0$, missä $L_0$ on jousen pituus ilman kuormaa, ja venyttävä voima on verrannollinen venymään. Silloin $F = kL - kL_0$ on suora, jonka kulmakerroin on jousivakio ja vakiotermi $-kL_0$. Suhde $F : L$ ei ole jousivakio, koska $L$ ei ole venymä.

Kaava

$k$$= \dfrac{\Delta F}{\Delta L}$
$= \dfrac{F_2 - F_1}{L_2 - L_1}$

Muunnokset

$L_1$$= 15{,}0\,\text{cm}$
$= 15{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$
$= 0{,}150\,\text{m}$
$L_2$$= 35{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$
$= 0{,}350\,\text{m}$

Sijoitus

$k$$= \dfrac{17{,}0\,\text{N} - 1{,}2\,\text{N}}{0{,}350\,\text{m} - 0{,}150\,\text{m}}$
$= \dfrac{15{,}8\,\text{N}}{0{,}200\,\text{m}}$
$= 79{,}0\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}$

Vastaus

$k \approx 79{,}0\,\text{N/m}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten erotuksissa $15{,}8\,\text{N}$ ja $0{,}200\,\text{m}$.

Järkevyys

Jousen pituus ilman kuormaa on

$L_0$$= L_1 - \tfrac{F_1}{k}$
$= 0{,}150\,\text{m} - \tfrac{1{,}2\,\text{N}}{79{,}0\,\text{N/m}}$
$\approx 0{,}135\,\text{m}$

mikä on lyhyempi kuin mikään mitattu pituus, kuten pitää. Jousivakio $79\,\text{N/m}$ on koulun vetojousen tavallista suuruusluokkaa.

Kuula kourussa

Kuula vierii levosta kaltevaa kourua alas, ja aika mitataan lähtöhetkestä. Opiskelija piirsi $(t^2, s)$-kuvaajan ja sovitti pisteisiin origon kautta kulkevan suoran, joka kulkee myös pisteen $(4{,}0\,\text{s}^2$; $2{,}48\,\text{m})$ kautta.

Kuinka suuri on kuulan kiihtyvyys?

m/s²
Vihje 1: ohjaava kysymys

Mikä on suoran kulmakerroin ja sen yksikkö?

Vihje 2: mikä yhteys

Liikkeen yhtälö on $s = \tfrac{1}{2}at^2$. Kun vaaka-akselilla on $t^2$, kulmakerroin on $k = \tfrac{a}{2}$.

Vihje 3: välivaihe
$a$$= 2k$
$= 2 \cdot \dfrac{2{,}48\,\text{m}}{4{,}0\,\text{s}^2}$
Näytä ratkaisu

Annettu

origon kautta kulkeva $(t^2, s)$-suora, joka kulkee pisteen $(t^2$; $s) = (4{,}0\,\text{s}^2$; $2{,}48\,\text{m})$ kautta; kuula lähtee levosta

Kysytty

kuulan kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

Periaate

$(t^2, s)$-pisteet ovat suoralla, joten kiihtyvyys on vakio. Levosta tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä $s = \tfrac{1}{2}at^2$, kun aika lasketaan lähtöhetkestä. Yhtälö on muotoa $y = kx$, jossa $y = s$, $x = t^2$ ja kulmakerroin $k = \tfrac{a}{2}$.

Kaava

$k = \dfrac{\Delta s}{\Delta (t^2)}$ ja $k = \dfrac{a}{2}$, joten $a = 2k$

Muunnokset

Ei tarvita: $\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ on jo kiihtyvyyden yksikkö.

Sijoitus

Suora kulkee origon ja annetun pisteen kautta:

$k$$= \dfrac{2{,}48\,\text{m} - 0\,\text{m}}{4{,}0\,\text{s}^2 - 0\,\text{s}^2}$
$= 0{,}620\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$
$a$$= 2 \cdot 0{,}620\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$
$= 1{,}24\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$

Vastaus

$a \approx 1{,}2\,\text{m/s}^2$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten luvussa $4{,}0\,\text{s}^2$.

Järkevyys

Kulmakertoimen yksikkö $\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ on kiihtyvyyden yksikkö, kuten pitää. Kiihtyvyys on paljon pienempi kuin $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$, mikä sopii loivaan kouruun. Tarkistus: kahdessa sekunnissa kuula kulkee

$\tfrac{1}{2} \cdot 1{,}24\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (2{,}0\,\text{s})^2$
$= 2{,}48\,\text{m}$

Lue suoran yhtälöstä

Kattilan veden lämpötilaa mitattiin minuutin välein $12$ minuutin ajan. Pisteisiin sovitetun suoran yhtälö on $\theta = 4{,}6\,\tfrac{{}^\circ\text{C}}{\text{min}} \cdot t + 14\,{}^\circ\text{C}$. Milloin veden lämpötila oli mallin mukaan $60\,{}^\circ\text{C}$? Vastaa minuutteina.

min
Vihje 1: ohjaava kysymys

Sijoita suoran yhtälöön $\theta = 60\,{}^\circ\text{C}$ ja ratkaise $t$.

Vihje 2: mikä yhteys

$t = \dfrac{\theta - b}{k}$, missä $b = 14\,{}^\circ\text{C}$ ja $k = 4{,}6\,\tfrac{{}^\circ\text{C}}{\text{min}}$.

Vihje 3: välivaihe
$t$$= \dfrac{60\,{}^\circ\text{C} - 14\,{}^\circ\text{C}}{4{,}6\,{}^\circ\text{C/min}}$
Näytä ratkaisu

Annettu

sovitettu suora $\theta = kt + b$, jossa $k = 4{,}6\,\tfrac{{}^\circ\text{C}}{\text{min}}$ ja $b = 14\,{}^\circ\text{C}$; mittausalue $0$–$12\,\text{min}$; lämpötila $\theta = 60\,{}^\circ\text{C}$

Kysytty

hetki $t$, jolloin lämpötila on $60\,{}^\circ\text{C}$, minuutteina

Periaate

Sovitettu suora on lämpenemisen malli, joten hetki ratkaistaan suoran yhtälöstä. Kulmakerroin on lämpenemisnopeus ja vakiotermi veden alkulämpötila.

Kaava

$\theta = kt + b$, josta $t = \dfrac{\theta - b}{k}$

Muunnokset

Ei tarvita: celsiusasteet supistuvat ja aika saadaan minuutteina.

Sijoitus

$t$$= \dfrac{60\,{}^\circ\text{C} - 14\,{}^\circ\text{C}}{4{,}6\,\tfrac{{}^\circ\text{C}}{\text{min}}}$
$= \dfrac{46\,{}^\circ\text{C}}{4{,}6\,\tfrac{{}^\circ\text{C}}{\text{min}}}$
$= 10{,}0\,\text{min}$

Vastaus

$t \approx 10\,\text{min}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten kulmakertoimessa $4{,}6\,{}^\circ\text{C/min}$.

Järkevyys

Hetki on mittausalueen $0$–$12\,\text{min}$ sisällä, joten kyse on interpoloinnista ja malli on siellä testattu. Kymmenessä minuutissa lämpötila nousee $46\,{}^\circ\text{C}$ alkulämpötilasta $14\,{}^\circ\text{C}$, ja $14 + 46 = 60$.

Tarkista osaamisesi

Exit ticket

Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.

  1. Kirjoita tulos $l = 0{,}04567\,\text{m} \pm 0{,}0012\,\text{m}$ millimetreinä ja oikein pyöristettynä.
    Vastaus

    $l = (45{,}7 \pm 1{,}2)\,\text{mm}$. Epävarmuuden ensimmäinen numero on $1$, joten siinä pidetään kaksi merkitsevää numeroa, $1{,}2\,\text{mm}$, ja tulos pyöristetään samaan desimaaliin.

  2. Mikä on $(t, v)$-kuvaajan kulmakertoimen yksikkö, ja mitä kulmakerroin kertoo?
    Vastaus

    Yksikkö on $\tfrac{\text{m/s}}{\text{s}} = \text{m/s}^2$, ja kulmakerroin on kappaleen kiihtyvyys: kuinka paljon nopeus muuttuu sekunnissa.

1. Toistettavuus ja oikeellisuus

Kaksi ryhmää mittasi saman pöydän pituuden. Ryhmä A sai tulokset $1{,}803\,\text{m}$, $1{,}804\,\text{m}$ ja $1{,}803\,\text{m}$, ryhmä B tulokset $1{,}79\,\text{m}$, $1{,}82\,\text{m}$ ja $1{,}80\,\text{m}$. Tarkistusmittaus paljon tarkemmalla laitteella antoi $1{,}800\,\text{m}$.Mikä väite on oikein?

Kertaa toistettavuus, oikeellisuus ja virhelajit luvussa Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus.

2. Kulmakertoimen epävarmuus

Opiskelija määritti nesteen tiheyden $(V, m)$-kuvaajasta. Sovitetun suoran kulmakerroin on $0{,}920\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$. Jyrkimmän epävarmuusjanojen kautta kulkevan suoran kulmakerroin on $0{,}948\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ ja loivimman $0{,}892\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$.

Kuinka suuri on tiheyden epävarmuus $\Delta\rho$? Vastaa yksikössä $\text{kg/m}^3$.

kg/m³
Vihje 1: ohjaava kysymys

Jyrkin ja loivin suora rajaavat arvioidun vaihteluvälin. Mikä on sen puolikas?

Vihje 2: mikä yhteys
$\Delta\rho$$= \dfrac{k_\text{max} - k_\text{min}}{2}$
Vihje 3: välivaihe

Muunna lopuksi: $1\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

sovitetun suoran kulmakerroin $k = 0{,}920\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$, jyrkimmän suoran $k_\text{max} = 0{,}948\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ ja loivimman $k_\text{min} = 0{,}892\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$

Kysytty

tiheyden epävarmuus $\Delta\rho$ yksikössä $\text{kg/m}^3$

Periaate

$(V, m)$-suoran kulmakerroin on tiheys. Jyrkin ja loivin suora, jotka vielä kulkevat epävarmuusjanojen kautta, rajaavat kulmakertoimen arvioidun vaihteluvälin, ja epävarmuudeksi otetaan sen puolikas.

Kaava

$\Delta\rho$$= \dfrac{k_\text{max} - k_\text{min}}{2}$

Muunnokset

$1\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$$= \dfrac{10^{-3}\,\text{kg}}{10^{-6}\,\text{m}^3}$
$= 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$

Sijoitus

$\Delta\rho$$= \dfrac{0{,}948\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} - 0{,}892\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}}{2}$
$= 0{,}028\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
$= 0{,}028 \cdot 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
$= 28\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$

Vastaus

$\Delta\rho \approx 30\,\text{kg/m}^3$

Kun epävarmuus pyöristetään yhteen merkitsevään numeroon ($28\,\text{kg/m}^3$ ennen pyöristystä). Tulos ilmoitetaan muodossa $\rho = (920 \pm 30)\,\text{kg/m}^3$.

Järkevyys

Suhteellinen epävarmuus on $28 : 920 \approx 3\,\%$, mikä on tavallinen koulumittaukselle. Sovitetun suoran kulmakerroin on lähes jyrkimmän ja loivimman puolivälissä, kuten yleensä.

Kertaa epävarmuuden arvioiminen ja pyöristäminen luvussa Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus ja TVT-ohjeesta Kulmakertoimen epävarmuus.

3. Selitä

Palaa tunnin alun tehtävään. Selitä, miksi nesteen tiheys kannattaa määrittää $(V, m)$-kuvaajan kulmakertoimesta eikä laskemalla jokaiselta riviltä suhdetta $m : V$, kun vaaka punnitsee mittalasin ja nesteen yhdessä.

Tehtävät

1.2-1 Käsiajanotto urheilupäivänä 14 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Keksitty esimerkkiaineisto: luvut on laskettu mallista, ja niihin on lisätty pientä satunnaista vaihtelua mittauksen tapaan.

Koulun urheilupäivänä juostaan $100\,\text{m}$. Matka on mitattu mittapyörällä, ja sen epävarmuudeksi arvioidaan $0{,}3\,\text{m}$. Maalissa seisoo kolme ajanottajaa. Kukin käynnistää sekuntikellonsa nähdessään lähettäjän lipun laskevan ja pysäyttää sen, kun juoksija ylittää maaliviivan. Kellot näyttävät sadasosasekunnit.

Juoksija $t_1\ (\text{s})$ $t_2\ (\text{s})$ $t_3\ (\text{s})$
Liisa $13{,}52$ $13{,}90$ $13{,}71$
Mira $13{,}80$ $14{,}12$ $13{,}96$
  1. a) Laske Liisan keskinopeus yksiköissä $\text{m/s}$ ja $\text{km/h}$. Perustele tuloksen tarkkuus kellojen lukemien hajonnan avulla. 4 p
  2. b) Arvioi Liisan keskinopeuden epävarmuus ajan ja matkan epävarmuuksien perusteella ja ilmoita nopeus epävarmuuksineen. 4 p
  3. c) Mira juoksi samassa lähdössä. Voidaanko näillä mittauksilla osoittaa, että Liisa oli nopeampi? Perustele. 3 p
  4. d) Arvioi, millainen systemaattinen virhe tässä ajanotossa on ja miten se vaikuttaa a-kohdan nopeuteen. Miksi kolmen kellon keskiarvo ei poista virhettä? 3 p

Taidot luvuista: Suureet, yksiköt ja SI-järjestelmä, Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus, Tasainen liike – nopeus, paikka ja kuvaajat

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

matka $s = 100{,}0\,\text{m}$; Liisan ajat $13{,}52\,\text{s}$, $13{,}90\,\text{s}$ ja $13{,}71\,\text{s}$

Kysytty

Liisan keskinopeus $v$ yksiköissä $\text{m/s}$ ja $\text{km/h}$

Periaate

Keskinopeus on kuljettu matka jaettuna siihen kuluneella ajalla. Kolme kelloa mittaa saman juoksun, joten ajan paras arvio on niiden keskiarvo: satunnaisvirheet kumoavat siinä osittain toisensa.

Kaava

$\bar{t} = \dfrac{t_1 + t_2 + t_3}{3}$ ja $v = \dfrac{s}{\bar{t}}$

Muunnokset

$1\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$= \dfrac{0{,}001\,\text{km}}{\tfrac{1}{3600}\,\text{h}}$
$= 3{,}6\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$

Sijoitus

$\bar{t}$$= \dfrac{13{,}52\,\text{s} + 13{,}90\,\text{s} + 13{,}71\,\text{s}}{3}$
$= 13{,}71\,\text{s}$
$v$$= \dfrac{100{,}0\,\text{m}}{13{,}71\,\text{s}}$
$= 7{,}294\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$
$= 7{,}294 \cdot 3{,}6\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$
$= 26{,}26\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$

Vastaus

$v \approx 7{,}29\,\text{m/s} \approx 26{,}3\,\text{km/h}$

Kolme merkitsevää numeroa: kellojen lukemat poikkeavat toisistaan kymmenesosasekunteja eli noin prosentin, joten nopeudessakin vasta sadasosat metriä sekunnissa ovat epävarmoja. (b-kohdan epävarmuus $0{,}12\,\text{m/s}$ vahvistaa tämän.)

Järkevyys

Noin $26\,\text{km/h}$ on reipas lukiolaisen sprinttivauhti. Se on selvästi alle huippujuoksijan noin $36\,\text{km/h}$:n ja selvästi yli hölkän noin $10\,\text{km/h}$:n.

b)

Annettu

$s = (100{,}0 \pm 0{,}3)\,\text{m}$; ajat $13{,}52\,\text{s}$, $13{,}90\,\text{s}$ ja $13{,}71\,\text{s}$; a-kohdasta $\bar{t} = 13{,}71\,\text{s}$

Kysytty

keskinopeuden epävarmuus $\Delta v$ ja nopeus epävarmuuksineen

Periaate

Ajan epävarmuutta arvioidaan kolmen kellon tulosten vaihteluvälin puolikkaana. Nopeus on suurimmillaan, kun matka on pisin ja aika lyhin mahdollinen, ja pienimmillään päinvastoin. Epävarmuudeksi otetaan näin saadun välin puolikas.

Kaava

$\Delta t$$= \dfrac{t_\text{max} - t_\text{min}}{2}$
$v_\text{max}$$= \dfrac{s + \Delta s}{\bar{t} - \Delta t}$
$v_\text{min}$$= \dfrac{s - \Delta s}{\bar{t} + \Delta t}$
$\Delta v$$= \dfrac{v_\text{max} - v_\text{min}}{2}$

Muunnokset

Ei tarvita: matka on metreinä ja ajat sekunteina.

Sijoitus

$\Delta t$$= \dfrac{13{,}90\,\text{s} - 13{,}52\,\text{s}}{2}$
$= 0{,}19\,\text{s}$
$v_\text{max}$$= \dfrac{100{,}3\,\text{m}}{13{,}52\,\text{s}}$
$= 7{,}419\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$
$v_\text{min}$$= \dfrac{99{,}7\,\text{m}}{13{,}90\,\text{s}}$
$= 7{,}173\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$
$\Delta v$$= \dfrac{7{,}419\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} - 7{,}173\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}}{2}$
$= 0{,}123\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

Vastaus

$v = (7{,}29 \pm 0{,}12)\,\text{m/s}$

Epävarmuuden ensimmäinen numero on $1$, joten siinä pidetään kaksi merkitsevää numeroa, ja nopeus pyöristetään samaan desimaaliin.

Järkevyys

Ajan suhteellinen epävarmuus $0{,}19 : 13{,}71 \approx 1{,}4\,\%$ on paljon suurempi kuin matkan $0{,}3 : 100 = 0{,}3\,\%$, joten nopeuden epävarmuus johtuu lähes kokonaan käsiajanotosta. Noin $0{,}2\,\text{s}$ on tavallinen käsin otetun ajan epävarmuus.

c)

Kysytty

voidaanko mittauksilla osoittaa, että Liisa oli Miraa nopeampi

Periaate

Kaksi tulosta eroavat osoitetusti vain, jos niiden epävarmuusvälit eivät mene päällekkäin. Päällekkäiset välit eivät todista tuloksia yhtä suuriksi.

Mallivastaus

Miran keskiarvo on $\bar{t} = (13{,}80 + 14{,}12 + 13{,}96)\,\text{s} : 3 = 13{,}96\,\text{s}$ ja epävarmuus $(14{,}12 - 13{,}80)\,\text{s} : 2 = 0{,}16\,\text{s}$, joten Miran aika on $(13{,}96 \pm 0{,}16)\,\text{s}$ ja Liisan $(13{,}71 \pm 0{,}19)\,\text{s}$. Liisan väli on $13{,}52$–$13{,}90\,\text{s}$ ja Miran $13{,}80$–$14{,}12\,\text{s}$, joten välit menevät päällekkäin. Ero $0{,}25\,\text{s}$ on samaa suuruusluokkaa kuin epävarmuudet. Näillä mittauksilla ei siis voida osoittaa, että Liisa oli nopeampi, vaikka hänen keskiarvonsa on pienempi. Se ei kuitenkaan tarkoita, että juoksijat olisivat yhtä nopeita: eron osoittaminen vaatisi tarkemman ajanoton, esimerkiksi maalikameran.

d)

Kysytty

ajanoton systemaattinen virhe, sen vaikutus nopeuteen ja miksi keskiarvo ei poista sitä

Periaate

Systemaattinen virhe siirtää jokaista tulosta samaan suuntaan. Sitä ei näe tulosten hajonnasta, ja toistaminen tai keskiarvo ei poista sitä.

Mallivastaus

Ajanottaja käynnistää kellon vasta, kun hän on nähnyt lipun laskevan ja reagoinut siihen. Kello käynnistyy siksi reaktioajan verran myöhässä, tyypillisesti sekunnin kymmenyksiä. Maaliintuloa ajanottaja taas näkee ennalta, joten hän pysäyttää kellon lähes ajallaan. Mitattu aika on siten todellista lyhyempi, ja a-kohdan nopeus on todellista suurempi. Sama myöhästyminen tapahtuu jokaisella kolmella ajanottajalla, joten kaikki kellot näyttävät liian lyhyttä aikaa ja myös keskiarvo on liian pieni. Keskiarvo vaimentaa vain satunnaista vaihtelua kellojen välillä. Virheen poistaa esimerkiksi sähköinen ajanotto, joka käynnistyy lähtömerkistä itse.

Hyväksytään myös

  • b-kohdassa nopeuden suhteellinen epävarmuus ajan ja matkan suhteellisten epävarmuuksien summana: $\tfrac{0{,}19}{13{,}71} + \tfrac{0{,}3}{100{,}0} \approx 0{,}0169$, jolloin $\Delta v \approx 0{,}0169 \cdot 7{,}294\,\text{m/s} \approx 0{,}12\,\text{m/s}$.
  • b-kohdassa ajan epävarmuudeksi käsiajanoton tyypillinen $0{,}2\,\text{s}$, kun valinta perustellaan. Myös $\Delta v \approx 0{,}1\,\text{m/s}$ ja $v = (7{,}3 \pm 0{,}1)\,\text{m/s}$ hyväksytään.
  • d-kohdassa maininta, että lähtöpistoolin ääneen reagoiva ajanottaja $100\,\text{m}$:n päässä käynnistäisi kellon vielä myöhemmin, koska ääni kulkee matkan noin $0{,}3\,\text{s}$:ssa.

Yleisiä virheitä

  • Aikana käytetään yhtä kelloa tai nopeinta aikaa keskiarvon sijasta.
  • Nopeus muunnetaan kertomalla tai jakamalla väärin, esimerkiksi $7{,}29 : 3{,}6 = 2{,}0\,\text{km/h}$; järkevyystarkastelu paljastaa virheen.
  • Nopeus ilmoitetaan laskimen tarkkuudella $7{,}2939\,\text{m/s}$ tai epävarmuus ja nopeus eri tarkkuudella.
  • c-kohdassa päätellään keskiarvojen erosta, että Liisa oli nopeampi, tai päällekkäisistä väleistä, että juoksijat olivat yhtä nopeita.
  • d-kohdassa reaktioajan sanotaan aiheuttavan vain satunnaisvirheen; sen keskimääräinen osa on systemaattinen.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Ajaksi otetaan kolmen kellon keskiarvo $13{,}71\,\text{s}$, ja $v = \tfrac{s}{t}$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $v = 7{,}29\,\text{m/s}$; muunnos sijoittamalla $1\,\text{km} = 1000\,\text{m}$ ja $1\,\text{h} = 3600\,\text{s}$ antaa $26{,}3\,\text{km/h}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. Kolme merkitsevää numeroa, koska kellojen lukemat poikkeavat toisistaan kymmenesosasekunteja; perustelu on kirjoitettu näkyviin. 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Esimerkiksi: noin $26\,\text{km/h}$ on reipas lukiolaisen sprinttivauhti, selvästi alle huippujuoksijan noin $36\,\text{km/h}$:n. 1 p

b)4 p

Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Ajan epävarmuus vaihteluvälin puolikkaana $\Delta t = 0{,}19\,\text{s}$ ja matkan $0{,}3\,\text{m}$; suurin ja pienin mahdollinen nopeus (tai suhteellisten epävarmuuksien summa noin $1{,}7\,\%$). 2 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\Delta v \approx 0{,}12\,\text{m/s}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $v = (7{,}29 \pm 0{,}12)\,\text{m/s}$: epävarmuudessa kaksi numeroa, koska sen ensimmäinen numero on $1$, ja nopeus samaan desimaaliin. 1 p

c)3 p

Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Miran aika on $(13{,}96 \pm 0{,}16)\,\text{s}$ ja Liisan $(13{,}71 \pm 0{,}19)\,\text{s}$. 1 p
Välit $13{,}52$–$13{,}90\,\text{s}$ ja $13{,}80$–$14{,}12\,\text{s}$ menevät päällekkäin. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Eroa ei voida näillä mittauksilla osoittaa; päällekkäisyys ei kuitenkaan todista, että ajat olisivat yhtä suuret. 1 p

d)3 p

Tärkeimmät virhelähteet on nimetty ja kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. Lähtömerkkiin reagoidaan reaktioajan verran myöhässä, mutta maaliintulon ajanottaja näkee ennalta ja pysäyttää kellon lähes ajallaan. 1 p
Mitattu aika on siksi todellista lyhyempi ja laskettu nopeus todellista suurempi. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Virhe on joka kellossa samaan suuntaan, joten keskiarvo ei poista sitä; sen poistaa esimerkiksi lähtölaitteeseen kytketty sähköinen ajanotto. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 14 (13 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

1.2-2 Kopiopaperin paksuus ja tiheys 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Keksitty esimerkkiaineisto: luvut on laskettu mallista, ja niihin on lisätty pientä satunnaista vaihtelua mittauksen tapaan.

Kopiopaperipaketin kyljessä lukee: $500$ arkkia, koko A4 eli $210\,\text{mm} \cdot 297\,\text{mm}$, neliömassa $80\,\text{g/m}^2$. Neliömassa tarkoittaa, että yhden neliömetrin kokoinen arkki painaisi $80\,\text{g}$.

Opiskelija mittaa paketin paperipinon korkeudeksi viivaimella $51\,\text{mm}$. Viivaimen pienin asteikkoväli on $1\,\text{mm}$. Pinon reunat eivät ole aivan tasaiset, ja pino painuu hieman, kun viivainta painetaan sitä vasten, joten hän arvioi korkeuden epävarmuudeksi $1\,\text{mm}$. Paperit painavat ilman kääreitä keittiövaa'alla $2{,}49\,\text{kg}$.

  1. a) Laske yhden arkin paksuus mikrometreinä epävarmuuksineen. 4 p
  2. b) Tarkista punnituksen avulla, pitääkö paketin neliömassa paikkansa. 4 p
  3. c) Laske paperin tiheys ja vertaa sitä veden tiheyteen. 4 p
  4. d) Opiskelijan pari ehdottaa, että yhden arkin paksuus mitattaisiin suoraan samalla viivaimella. Arvioi ehdotusta. Selitä myös, miksi pinon korkeuden epävarmuus on suurempi kuin puolet viivaimen pienimmästä asteikkovälistä. 3 p

Taidot luvuista: Suureet, yksiköt ja SI-järjestelmä, Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus, Tiheys: $m = \rho V$

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

pinon korkeus $h = 51\,\text{mm}$, sen epävarmuus $\Delta h = 1\,\text{mm}$, arkkeja $N = 500$

Kysytty

yhden arkin paksuus $d$ ja sen epävarmuus $\Delta d$ mikrometreinä

Periaate

Arkit ovat samanlaisia ja pino mitataan kerran, joten yhden arkin paksuus on pinon korkeus jaettuna arkkien määrällä. Sama jako koskee myös korkeuden epävarmuutta, koska se on yhden mittauksen epävarmuus.

Kaava

$d = \dfrac{h}{N}$ ja $\Delta d = \dfrac{\Delta h}{N}$

Muunnokset

$1\,\text{mm} = 1000\,\mu\text{m}$, joten

$51\,\text{mm}$$= 51 \cdot 1000\,\mu\text{m}$
$= 51\,000\,\mu\text{m}$

$1\,\text{mm} = 1000\,\mu\text{m}$.

Sijoitus

$d$$= \dfrac{51\,000\,\mu\text{m}}{500}$
$= 102\,\mu\text{m}$
$\Delta d$$= \dfrac{1000\,\mu\text{m}}{500}$
$= 2\,\mu\text{m}$

Vastaus

$d = (102 \pm 2)\,\mu\text{m}$

Epävarmuus on yhden merkitsevän numeron arvio, ja paksuus pyöristetään samaan tarkkuuteen, kokonaisiin mikrometreihin.

Järkevyys

Kymmenesosamillimetri on tavallisen kopiopaperin paksuus: arkki tuntuu ohuelta mutta ei läpikuultavalta. Suhteellinen epävarmuus on $2 : 102 \approx 2\,\%$, sama kuin pinon korkeuden $1 : 51$.

b)

Annettu

paperien massa $M = 2{,}49\,\text{kg}$, $N = 500$ arkkia, arkin mitat $a = 210\,\text{mm}$ ja $b = 297\,\text{mm}$; merkintä $80\,\text{g/m}^2$

Kysytty

mitattu neliömassa $\sigma$ yksikössä $\text{g/m}^2$

Periaate

Neliömassa on massa pinta-alayksikköä kohti. Kaikkien arkkien yhteispinta-ala on yhden arkin ala kerrottuna arkkien määrällä, ja sen massa on punnittu massa.

Kaava

$A$$= N \cdot ab$
$\sigma$$= \dfrac{M}{A}$
$= \dfrac{M}{N ab}$

Muunnokset

$a$$= 210\,\text{mm}$
$= 210 \cdot 0{,}001\,\text{m}$
$= 0{,}210\,\text{m}$
$b$$= 297 \cdot 0{,}001\,\text{m}$
$= 0{,}297\,\text{m}$
$M$$= 2{,}49\,\text{kg}$
$= 2{,}49 \cdot 1000\,\text{g}$
$= 2490\,\text{g}$

Sijoitus

$A$$= 500 \cdot 0{,}210\,\text{m} \cdot 0{,}297\,\text{m}$
$= 31{,}185\,\text{m}^2$
$\sigma$$= \dfrac{2490\,\text{g}}{31{,}185\,\text{m}^2}$
$= 79{,}85\,\tfrac{\text{g}}{\text{m}^2}$

Vastaus

$\sigma \approx 79{,}8\,\text{g/m}^2$

Kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $2{,}49\,\text{kg}$. Ero merkintään $80\,\text{g/m}^2$ on alle $0{,}3\,\%$, joten merkintä pitää paikkansa vaa'an tarkkuudella.

Järkevyys

Arviona yksi A4-arkki on noin $\tfrac{1}{16}\,\text{m}^2$, joten $500$ arkkia on noin $31\,\text{m}^2$, ja $31\,\text{m}^2 \cdot 80\,\text{g/m}^2 \approx 2{,}5\,\text{kg}$, mikä vastaa punnittua massaa.

c)

Annettu

a-kohdasta $d = 102\,\mu\text{m}$, b-kohdasta $\sigma = 79{,}85\,\text{g/m}^2$; veden tiheys $1000\,\text{kg/m}^3$

Kysytty

paperin tiheys $\rho$ yksikössä $\text{kg/m}^3$

Periaate

Tiheys on massa tilavuutta kohti. Yhden neliömetrin kokoisen paperin massa on neliömassa ja tilavuus $1\,\text{m}^2 \cdot d$, joten tiheys saadaan jakamalla neliömassa paksuudella.

Kaava

$\rho$$= \dfrac{m}{V}$
$= \dfrac{\sigma \cdot 1\,\text{m}^2}{d \cdot 1\,\text{m}^2}$
$= \dfrac{\sigma}{d}$

Muunnokset

$\sigma$$= 79{,}85\,\text{g/m}^2$
$= 79{,}85 \cdot 0{,}001\,\text{kg/m}^2$
$= 0{,}07985\,\text{kg/m}^2$
$d$$= 102\,\mu\text{m}$
$= 102 \cdot 10^{-6}\,\text{m}$
$= 1{,}02 \cdot 10^{-4}\,\text{m}$

Sijoitus

$\rho$$= \dfrac{0{,}07985\,\text{kg/m}^2}{1{,}02 \cdot 10^{-4}\,\text{m}}$
$= 782{,}8\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$

Vastaus

$\rho \approx 780\,\text{kg/m}^3$

Eli $7{,}8 \cdot 10^{2}\,\text{kg/m}^3$, kaksi merkitsevää numeroa, koska pinon korkeus $51\,\text{mm}$ on kahden numeron luku. Paperin tiheys on noin $0{,}78$ kertaa veden tiheys.

Järkevyys

Paperi on puukuitua, jonka välissä on ilmaa, joten sen tiheys on samaa luokkaa kuin puun, muutamia satoja kilogrammoja kuutiometrissä. Suhteellinen epävarmuus on sama kuin paksuuden, noin $2\,\%$, eli noin $\pm 20\,\text{kg/m}^3$.

d)

Kysytty

onko yhden arkin suora mittaaminen järkevää, ja miksi pinon korkeuden epävarmuus on suurempi kuin puolet asteikkovälistä

Periaate

Lukeman epävarmuutta voidaan yksinkertaisessa tilanteessa arvioida puoleksi pienimmästä asteikkovälistä, mutta mittauksen kokonaisepävarmuuteen vaikuttavat myös mittausmenetelmä ja muut virhelähteet. Suhteellinen epävarmuus kertoo, onko epävarmuus tulokseen nähden pieni.

Mallivastaus

Yksi arkki on noin $0{,}1\,\text{mm}$ paksu, joten viivain näyttäisi lukeman $0$ tai $1\,\text{mm}$. Lukeman epävarmuus $0{,}5\,\text{mm}$ olisi noin viisinkertainen itse paksuuteen nähden, suhteellisesti noin $500\,\%$, joten mittauksesta ei saisi mitään tietoa. Pinoa mitattaessa saman suuruinen lukeman epävarmuus jakautuu $500$ arkille, ja suhteellinen epävarmuus on vain noin $2\,\%$. Ehdotus on siis huono.

Pinon korkeuden epävarmuus on suurempi kuin $0{,}5\,\text{mm}$, koska epävarmuutta ei tuo pelkkä asteikon lukeminen. Pinon reunat ovat epätasaiset, joten korkeus riippuu siitä, mistä kohdasta mitataan, ja pino painuu kokoon, kun viivainta painetaan sitä vasten. Asteikkoväli kertoo vain viivaimen resoluution, ei koko mittauksen epävarmuutta.

Hyväksytään myös

  • c-kohdassa koko pinon tiheys: $\rho = \tfrac{M}{N a b d} = \tfrac{2{,}49\,\text{kg}}{31{,}185\,\text{m}^2 \cdot 1{,}02 \cdot 10^{-4}\,\text{m}} \approx 783\,\text{kg/m}^3$, tai pakkauksen merkinnällä $80\,\text{g/m}^2$ laskettu $\rho \approx 784\,\text{kg/m}^3$.
  • a-kohdassa paksuus millimetreinä ja muunnos lopuksi: $d = 51\,\text{mm} : 500 = 0{,}102\,\text{mm} = 102\,\mu\text{m}$.

Yleisiä virheitä

  • Epävarmuutta ei jaeta arkkien määrällä, jolloin arkin paksuudeksi saadaan $(102 \pm 1000)\,\mu\text{m}$.
  • Millimetrit muunnetaan mikrometreiksi väärään suuntaan: $51\,\text{mm} : 500 = 0{,}102\,\text{mm} = 0{,}000102\,\mu\text{m}$. Pienemmässä yksikössä lukuarvo kasvaa.
  • Pinta-ala lasketaan millimetreinä ja neliömetreihin muunnetaan kertoimella $1000$, vaikka $1\,\text{m}^2 = 10^{6}\,\text{mm}^2$.
  • Tiheydelle annetaan kolme tai neljä merkitsevää numeroa, vaikka pinon korkeus tunnetaan vain kahden numeron tarkkuudella.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $d = \tfrac{h}{N}$ ja $\Delta d = \tfrac{\Delta h}{N}$, kun $N = 500$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. Muunnos sijoittamalla: $1\,\text{mm} = 1000\,\mu\text{m}$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $d = 0{,}102\,\text{mm} = 102\,\mu\text{m}$ ja $\Delta d = 2\,\mu\text{m}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $d = (102 \pm 2)\,\mu\text{m}$: epävarmuus yhdellä numerolla ja tulos samaan tarkkuuteen. 1 p

b)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Neliömassa on paperien massa jaettuna kaikkien arkkien yhteispinta-alalla $N \cdot ab$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. Pituudet metreinä sijoittamalla: $210\,\text{mm} = 210 \cdot 0{,}001\,\text{m} = 0{,}210\,\text{m}$; massa grammoina. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Yhteispinta-ala $31{,}2\,\text{m}^2$ ja neliömassa $79{,}8\,\text{g/m}^2$. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Ero merkintään $80\,\text{g/m}^2$ on alle prosentti, joten merkintä pitää paikkansa vaa'an tarkkuudella. 1 p

c)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Yhden neliömetrin arkin massa on neliömassa ja tilavuus $1\,\text{m}^2 \cdot d$, joten $\rho = \tfrac{\sigma}{d}$ (tai koko pinolle $\rho = \tfrac{M}{N a b d}$). 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $79{,}8\,\text{g/m}^2 = 0{,}0798\,\text{kg/m}^2$ ja $102\,\mu\text{m} = 1{,}02 \cdot 10^{-4}\,\text{m}$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\rho \approx 783\,\text{kg/m}^3$, noin $0{,}78$ kertaa veden tiheys. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. Vastaus kahdella merkitsevällä numerolla, $780\,\text{kg/m}^3$, koska pinon korkeus $51\,\text{mm}$ on kahden numeron luku. 1 p

d)3 p

Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Yhdelle arkille viivain näyttäisi $0$ tai $1\,\text{mm}$: lukeman epävarmuus $0{,}5\,\text{mm}$ on noin viisinkertainen paksuuteen nähden. 1 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Pinosta mitattuna saman suuruinen lukeman epävarmuus jakautuu $500$ arkille. 1 p
Tärkeimmät virhelähteet on nimetty ja kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. Pinon painuminen ja epätasaiset reunat lisäävät epävarmuutta, joten asteikkoväli ei yksin kerro mittauksen epävarmuutta. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (15 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

1.2-3 Tuntematon neste 17 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Keksitty esimerkkiaineisto: luvut on laskettu mallista, ja niihin on lisätty pientä satunnaista vaihtelua mittauksen tapaan.

Laboratoriossa on pullo kirkasta nestettä, jonka etiketti on irronnut. Neste on luultavasti vettä, etanolia tai ruokaöljyä. Opiskelija kaataa nestettä $100\,\text{ml}$:n mittalasiin, jonka asteikkoväli on $2\,\text{ml}$, ja punnitsee mittalasin ja nesteen yhdessä jokaisen lisäyksen jälkeen. Tilavuuden lukeman epävarmuudeksi hän arvioi $1\,\text{ml}$, ja vaa'an resoluutio on $0{,}1\,\text{g}$. Tyhjää mittalasia hän ei punninnut.

$V\ (\text{ml})$ $m\ (\text{g})$
$20$ $137{,}6$
$30$ $145{,}7$
$40$ $155{,}7$
$50$ $163{,}9$
$60$ $183{,}4$
$70$ $183{,}0$
$80$ $191{,}8$
$90$ $202{,}0$
$100$ $210{,}3$

Muistiinpanoissa rivin $60\,\text{ml}$ kohdalla lukee: ”lukema kirjattu jälkikäteen muistista”.

Taulukkokirjan tiheyksiä: vesi $1{,}00\,\text{g/cm}^3$, ruokaöljy $0{,}92\,\text{g/cm}^3$ ja etanoli $0{,}79\,\text{g/cm}^3$.

  1. a) Esitä mittaustulokset kuvaajana, josta voi määrittää myös suoran vakiotermin. 3 p
  2. b) Sovita pisteisiin malli. Päätä ja perustele, miten käsittelet rivin $60\,\text{ml}$. 3 p
  3. c) Määritä suoran kulmakerroin ja vakiotermi yksiköineen. Mitä kumpikin kertoo? 4 p
  4. d) Arvioi tiheyden epävarmuus ja päättele, mikä neste on. 4 p
  5. e) Opiskelija haluaa arvioida tuloksen avulla, kuinka paljon $1{,}50\,\text{l}$ tätä nestettä painaa. Laske massa ja arvioi, onko tuloksen käyttö näin kaukana mitatun alueen ulkopuolella perusteltua. 3 p

Taidot luvuista: Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus, Graafinen esitys ja suoran sovittaminen, Tiheys: $m = \rho V$

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

mittaustulosten kuvaaja

Kuvaaja

Vaaka-akselille tulee nesteen tilavuus $V\ (\text{ml})$, jonka opiskelija valitsee, ja pystyakselille mitattu yhteismassa $m\ (\text{g})$. Pystyakseli alkaa tässä $100\,\text{g}$:sta, mikä on merkitty, ja vaaka-akseli nollasta, jotta suoraa voi myöhemmin jatkaa pystyakselille.

$20$
$40$
$60$
$80$
$100$
$120$
$140$
$160$
$180$
$200$
$220$
$V\ (\text{ml})$
$m\ (\text{g})$
$60\,\text{ml?}$
$\text{akseli alkaa } 100\,\text{g}$

Mallivastaus

Kumpikin akseli on tasavälinen, ja akselin päässä on suure ja yksikkö. Pisteet täyttävät suurimman osan kuvaajasta. Jokaiseen pisteeseen on merkitty vaakasuora epävarmuusjana $\pm 1\,\text{ml}$; vaa'an resoluutio $0{,}1\,\text{g}$ on niin pieni, ettei pystyjanaa näe. Pisteitä ei yhdistetä toisiinsa. Rivin $60\,\text{ml}$ piste erottuu heti: se on lähes samalla korkeudella kuin rivin $70\,\text{ml}$ piste, vaikka massan pitäisi kasvaa tasaisesti.

b)

Kysytty

sovitettu malli ja rivin $60\,\text{ml}$ käsittely

Kuvaaja

Seitsemän muun pisteen ja pisteen $20\,\text{ml}$ lomaan sovitetaan yksi suora, ja sitä jatketaan katkoviivana pystyakselille. Harmaat katkoviivat ovat d-kohdan jyrkin ja loivin suora.

$20$
$40$
$60$
$80$
$100$
$120$
$140$
$160$
$180$
$200$
$220$
$V\ (\text{ml})$
$m\ (\text{g})$
$m_0 \approx 118{,}6\,\text{g}$
$k \approx 0{,}919\,\tfrac{\text{g}}{\text{ml}}$

Mallivastaus

Pisteet ovat likimain suoralla, joten malliksi sopii suora $m = kV + b$. Suoraa ei pakoteta origon kautta, koska vaaka punnitsee myös mittalasin: kun nestettä ei ole, massa ei ole nolla. Rivin $60\,\text{ml}$ piste on noin $10\,\text{g}$ suoran yläpuolella, mikä on yli kymmenkertainen muiden pisteiden poikkeamiin nähden. Sen massa $183{,}4\,\text{g}$ sopisi suoralle tilavuudella noin $70\,\text{ml}$, ja muistiinpanon mukaan lukema kirjattiin jälkikäteen muistista. Poikkeamalle on siis löytynyt todennäköinen syy, karkea virhe, joten piste jätetään pois sovituksesta. Poisjättö ja sen syy kirjataan raporttiin. Pistettä ei olisi saanut poistaa pelkästään siksi, että se poikkeaa muista; parasta olisi toistaa mittaus.

c)

Annettu

b-kohdan sovitettu suora

Kysytty

suoran kulmakerroin $k$ ja vakiotermi $b$ yksiköineen sekä niiden merkitys

Periaate

Vaaka punnitsee mittalasin ja nesteen: $m = \rho V + m_0$. Mittalasin massa $m_0$ ei muutu nestettä lisättäessä, joten massan muutos johtuu vain nesteestä. Siksi kulmakerroin on nesteen tiheys ja vakiotermi tyhjän mittalasin massa.

Kuvaajan lukeminen

Suoralta luetaan kaksi kaukana toisistaan olevaa pistettä: $(V_1$; $m_1) = (20\,\text{ml}$; $137{,}0\,\text{g})$ ja $(V_2$; $m_2) = (100\,\text{ml}$; $210{,}5\,\text{g})$.

Kaava

$k = \dfrac{m_2 - m_1}{V_2 - V_1}$ ja $b = m_1 - k V_1$

Muunnokset

$1\,\text{ml} = 1\,\text{cm}^3$, joten $1\,\tfrac{\text{g}}{\text{ml}} = 1\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$.

Sijoitus

$k$$= \dfrac{210{,}5\,\text{g} - 137{,}0\,\text{g}}{100\,\text{ml} - 20\,\text{ml}}$
$= \dfrac{73{,}5\,\text{g}}{80\,\text{ml}}$
$= 0{,}919\,\tfrac{\text{g}}{\text{ml}}$
$b$$= 137{,}0\,\text{g} - 0{,}919\,\tfrac{\text{g}}{\text{ml}} \cdot 20\,\text{ml}$
$= 118{,}6\,\text{g}$

Vastaus

Kulmakerroin $k \approx 0{,}919\,\text{g/cm}^3$ on nesteen tiheys, ja vakiotermi $b \approx 118{,}6\,\text{g}$ on tyhjän mittalasin massa. Kulmakertoimessa on kolme merkitsevää numeroa, koska massojen erotus $73{,}5\,\text{g}$ luetaan kolmen numeron tarkkuudella; d-kohdan epävarmuus kertoo, että kolmas numero on jo epävarma.

Järkevyys

Lasisen $100\,\text{ml}$:n mittalasin massa on tyypillisesti noin $100$–$200\,\text{g}$, ja tiheys on vettä pienempi mutta etanolia suurempi. Suoran mukaan rivillä $20\,\text{ml}$ massa on

$118{,}6\,\text{g} + 0{,}919\,\tfrac{\text{g}}{\text{ml}} \cdot 20\,\text{ml}$
$= 137{,}0\,\text{g}$

mikä vastaa mitattua $137{,}6\,\text{g}$:aa.

d)

Annettu

b-kohdan kuvaaja, jossa pisteillä on epävarmuusjanat $\pm 1\,\text{ml}$; c-kohdasta $k = 0{,}919\,\text{g/cm}^3$; taulukon tiheydet $1{,}00$, $0{,}92$ ja $0{,}79\,\text{g/cm}^3$

Kysytty

tiheyden epävarmuus $\Delta\rho$ ja nesteen tunnistus

Periaate

Jyrkin ja loivin suora, jotka vielä kulkevat kaikkien epävarmuusjanojen kautta, rajaavat kulmakertoimen arvioidun vaihteluvälin. Epävarmuudeksi otetaan sen puolikas, ja tulosta verrataan taulukon tiheyksiin.

Kuvaajan lukeminen

Jyrkimmän suoran kulmakerroin on noin $k_\text{max} = 0{,}932\,\text{g/cm}^3$ ja loivimman $k_\text{min} = 0{,}908\,\text{g/cm}^3$.

Kaava

$\Delta\rho$$= \dfrac{k_\text{max} - k_\text{min}}{2}$

Muunnokset

Ei tarvita: kaikki tiheydet ovat yksikössä $\text{g/cm}^3$.

Sijoitus

$\Delta\rho$$= \dfrac{0{,}932\,\text{g/cm}^3 - 0{,}908\,\text{g/cm}^3}{2}$
$= 0{,}012\,\text{g/cm}^3$

Vastaus

$\rho = (0{,}919 \pm 0{,}012)\,\text{g/cm}^3$

; epävarmuuden ensimmäinen numero on $1$, joten siinä on kaksi numeroa, ja tiheys samaan desimaaliin. Väli $0{,}907$–$0{,}931\,\text{g/cm}^3$ sisältää ruokaöljyn tiheyden $0{,}92\,\text{g/cm}^3$, mutta ei veden $1{,}00$ eikä etanolin $0{,}79\,\text{g/cm}^3$. Neste on todennäköisesti ruokaöljyä. Päättely ei ole varma, sillä jollain muulla nesteellä voi olla sama tiheys.

Järkevyys

Suhteellinen epävarmuus on $0{,}012 : 0{,}919 \approx 1{,}3\,\%$, mikä sopii siihen, että tilavuuden lukeman epävarmuus $1\,\text{ml}$ on noin $1\,\%$ mitatusta $80\,\text{ml}$:n välistä. Ero veteen, $0{,}08\,\text{g/cm}^3$, on monta kertaa epävarmuuden suuruinen.

e)

Annettu

d-kohdasta $\rho = 0{,}919\,\text{g/cm}^3$; tilavuus $V = 1{,}50\,\text{l}$

Kysytty

nesteen massa $m$ ja onko tuloksen käyttö perusteltua

Periaate

Tiheys on aineen ominaisuus, joten saman nesteen massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen: $m = \rho V$. Mittalasin massa ei kuulu nesteeseen, joten sitä ei lisätä.

Kaava

$m = \rho V$

Muunnokset

$V$$= 1{,}50\,\text{l}$
$= 1{,}50 \cdot 1000\,\text{cm}^3$
$= 1500\,\text{cm}^3$

ja lopuksi $1000\,\text{g} = 1\,\text{kg}$.

Sijoitus

$m$$= 0{,}919\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot 1500\,\text{cm}^3$
$= 1378\,\text{g}$
$= 1{,}378\,\text{kg}$

Vastaus

$m \approx 1{,}38\,\text{kg}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten tilavuudessa $1{,}50\,\text{l}$; d-kohdan epävarmuuden mukaan noin $\pm 0{,}02\,\text{kg}$. Tilavuus on $15$-kertainen mitattuun alueeseen verrattuna, mutta laskussa ei jatketa mittalasin suoraa vaan käytetään tiheyttä, joka on aineen ominaisuus ja pysyy samana samassa lämpötilassa. Siksi tulos on fysikaalisesti perusteltu, kunhan öljyn lämpötila on sama kuin mittauksessa.

Järkevyys

Saman tilavuuden vesi painaisi $1{,}50\,\text{kg}$, ja öljy on noin $8\,\%$ kevyempää, joten $1{,}38\,\text{kg}$ on oikean suuruinen.

Hyväksytään myös

  • c-kohdassa laskimen tai taulukkolaskennan suoran sovitus ilman riviä $60\,\text{ml}$: $k = 0{,}918\,\text{g/cm}^3$ ja $b = 118{,}6\,\text{g}$. Kulmakertoimet $0{,}90$–$0{,}94\,\text{g/cm}^3$ ja vakiotermit $117{,}5$–$119{,}5\,\text{g}$ hyväksytään.
  • b-kohdassa rivin $60\,\text{ml}$ pitäminen mukana, kun sen vaikutus tarkistetaan: kulmakerroin ei muutu, koska piste on mittausalueen keskellä, mutta vakiotermi kasvaa noin $1\,\text{g}$. Ratkaisu on perusteltava.
  • d-kohdassa silmämääräisesti piirretyistä ääriviivoista saatu $\Delta\rho = 0{,}01$–$0{,}02\,\text{g/cm}^3$.

Yleisiä virheitä

  • Tiheys lasketaan jakamalla jonkin rivin massa tilavuudella, esimerkiksi $210{,}3\,\text{g} : 100\,\text{ml} = 2{,}10\,\text{g/cm}^3$. Massaan sisältyy mittalasi.
  • Suora pakotetaan origon kautta, jolloin kulmakertoimesta tulee liian suuri ja neste tunnistetaan väärin.
  • Rivin $60\,\text{ml}$ piste poistetaan mainitsematta syytä, tai sen takia pisteet yhdistetään murtoviivaksi.
  • Kulmakerroin luetaan kahdesta vierekkäisestä mittauspisteestä.
  • e-kohdassa massaan lisätään mittalasin massa tai mittalasin suoraa jatketaan $1500\,\text{ml}$:iin, jolloin tulokseen tulee ylimääräinen $119\,\text{g}$.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. Vaaka-akselilla $V\ (\text{ml})$ ja pystyakselilla $m\ (\text{g})$, tasavälinen asteikko; pystyakseli voi alkaa esimerkiksi $100\,\text{g}$:sta, kun se on merkitty. 1 p
Jokainen mittaus on merkitty erillisenä pisteenä oikealle paikalleen. Kaikki yhdeksän pistettä oikeilla paikoillaan; rivin $60\,\text{ml}$ piste erottuu muista. 1 p
Vaaka-akseli ulottuu nollaan asti, jotta suoraa voi jatkaa pystyakselille, ja pisteet täyttävät suurimman osan kuvaajasta. 1 p

b)3 p

Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii, eikä pisteitä ole yhdistetty murtoviivaksi. Yksi suora pisteiden lomaan, ei murtoviivaa; suoraa ei pakoteta origon kautta, koska vaaka punnitsee myös mittalasin. 1 p
Rivin $60\,\text{ml}$ piste on noin $10\,\text{g}$ suoran yläpuolella, ja muistiinpano antaa sille syyn: piste jätetään pois sovituksesta. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Poisjättö ja sen syy kirjataan; pistettä ei poisteta pelkästään siksi, että se poikkeaa muista. 1 p

c)4 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Kaksi kaukana toisistaan olevaa suoran pistettä, esimerkiksi $(20\,\text{ml}$; $137{,}0\,\text{g})$ ja $(100\,\text{ml}$; $210{,}5\,\text{g})$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $k \approx 0{,}919\,\text{g/ml}$ ja $b \approx 118{,}6\,\text{g}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. Kulmakertoimen yksikkö $\text{g/ml} = \text{g/cm}^3$ ja vakiotermin $\text{g}$. 1 p
Kulmakerroin on nesteen tiheys ja vakiotermi tyhjän mittalasin massa. 1 p

d)4 p

Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Jyrkin ja loivin suora, jotka kulkevat epävarmuusjanojen kautta: noin $0{,}932$ ja $0{,}908\,\text{g/cm}^3$, joten $\Delta\rho \approx 0{,}012\,\text{g/cm}^3$ (silmämääräisesti $0{,}01$–$0{,}02\,\text{g/cm}^3$). 2 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\rho = (0{,}919 \pm 0{,}012)\,\text{g/cm}^3$. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Ruokaöljyn tiheys on välillä, veden ja etanolin ei; tulos sopii ruokaöljyyn, mutta muillakin nesteillä voi olla sama tiheys. 1 p

e)3 p

Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $m = \rho V$ ilman mittalasin massaa: $0{,}919\,\text{g/cm}^3 \cdot 1500\,\text{cm}^3 \approx 1380\,\text{g}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $1{,}50\,\text{l} = 1500\,\text{cm}^3$ ja vastaus $1{,}38\,\text{kg}$. 1 p
Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Tiheys on aineen ominaisuus, joten $m = \rho V$ pätee myös suuremmalle määrälle samassa lämpötilassa; mittalasin suoran jatkaminen yli $100\,\text{ml}$:n sen sijaan ei olisi mahdollista. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 17 (16 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

1.2-4 Keittiövaa'an tarkistus 12 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Keksitty esimerkkiaineisto: luvut on laskettu mallista, ja niihin on lisätty pientä satunnaista vaihtelua mittauksen tapaan.

Opiskelija epäilee kotinsa keittiövaakaa ja tarkistaa sen koulun kalibroiduilla punnuksilla, joiden massat tunnetaan tarkasti. Tyhjänä vaaka näyttää $0\,\text{g}$, ja sen näyttö näyttää kokonaiset grammat. Jokainen punnus punnitaan kolme kertaa.

Punnus $(\text{g})$ Lukemat $(\text{g})$
$100{,}0$ $102$, $101$, $102$
$200{,}0$ $204$, $204$, $205$
$500{,}0$ $510$, $511$, $510$
$1000{,}0$ $1020$, $1021$, $1020$
  1. a) Mitä virhelajeja aineistossa näkyy? Perustele aineiston luvuilla. 4 p
  2. b) Ystävä sanoo: ”Vaaka näyttää grammat, joten kun se näyttää jauhoille $765\,\text{g}$, jauhoja on $(765 \pm 0{,}5)\,\text{g}$.” Arvioi väite ja anna parempi arvio jauhojen massasta. 4 p
  3. c) Kuvaile, miltä kuvaaja näyttää, kun vaaka-akselilla on punnuksen massa ja pystyakselilla lukemien keskiarvo, ja selitä, miten kuvaajasta näkee virheen laadun. Miksi punnitusten toistaminen ei korjaa virhettä? 4 p

Taidot luvuista: Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus, Graafinen esitys ja suoran sovittaminen

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

aineistossa näkyvät virhelajit perusteluineen

Periaate

Systemaattinen virhe siirtää tuloksia samaan suuntaan, satunnaisvirhe näkyy toistojen vaihteluna ja karkea virhe yksittäisenä muista selvästi poikkeavana tuloksena.

Mallivastaus

Systemaattinen virhe. Jokainen lukema on suurempi kuin punnuksen tunnettu massa, ja ero toistuu samanlaisena joka punnituksessa. Lukemien keskiarvot ovat noin $101{,}7$, $204{,}3$, $510{,}3$ ja $1020{,}3\,\text{g}$, joten virhe on noin $2$, $4$, $10$ ja $20\,\text{g}$. Virhe kasvaa samassa suhteessa kuin massa, noin $2\,\%$: $20\,\text{g} : 1000\,\text{g} = 0{,}02$. Koska tyhjä vaaka näyttää $0\,\text{g}$, nollakohta on oikein ja virhe on suhteellinen.

Satunnaisvirhe. Saman punnuksen kolme lukemaa eroavat toisistaan enintään $1\,\text{g}$. Vaihtelu on samaa suuruusluokkaa kuin näytön resoluutio $1\,\text{g}$.

Karkea virhe. Mikään lukema ei poikkea selvästi saman punnuksen muista lukemista, joten karkeaa virhettä ei näy.

b)

Kysytty

onko väite $(765 \pm 0{,}5)\,\text{g}$ oikein, ja parempi arvio jauhojen massasta

Periaate

Resoluutio on pienin näytössä näkyvä muutos. Se ei kerro systemaattisesta virheestä, joten epävarmuus voi olla paljon resoluutiota suurempi. Tunnettu systemaattinen virhe korjataan.

Mallivastaus

Väite ei pidä. Puolikas resoluutiosta, $0{,}5\,\text{g}$, kertoo vain, kuinka tarkasti näytön voi lukea. a-kohdan mukaan vaaka näyttää noin $2\,\%$ liikaa, ja toistot vaihtelevat noin $1\,\text{g}$. Korjattu massa saadaan jakamalla lukema punnusten antamalla suhteella $1020\,\text{g} : 1000\,\text{g} = 1{,}02$: $m \approx 765\,\text{g} : 1{,}02 = 750\,\text{g}$. Epävarmuutta lisäävät toistojen vaihtelu ja se, että korjauskerroin tunnetaan vain noin tuhannesosan tarkkuudella, mikä tekee $765\,\text{g}$:n lukemassa alle grammaa. Parempi arvio on noin $(750 \pm 2)\,\text{g}$. Ystävän tulos on siis noin $15\,\text{g}$ liian suuri, ja sen epävarmuus on liian pieni.

c)

Kysytty

kuvaajan muoto, mitä siitä näkee virheen laadusta, ja miksi toistaminen ei auta

Periaate

Jos vaaka olisi oikea, lukema olisi sama kuin punnuksen massa, ja pisteet olisivat suoralla, jonka kulmakerroin on $1$ ja vakiotermi $0$. Nollakohdan virhe näkyisi vakiotermissä ja suhteellinen virhe kulmakertoimessa.

Mallivastaus

Pisteet ovat origon kautta kulkevalla suoralla. Kulmakerroin on $(1020{,}3\,\text{g} - 101{,}7\,\text{g}) : (1000{,}0\,\text{g} - 100{,}0\,\text{g}) \approx 1{,}02$ eikä $1$, ja vakiotermi on nolla. Vakiotermi nolla kertoo, että nollakohta on oikein, ja kulmakerroin $1{,}02$ kertoo, että vaaka näyttää jokaisesta massasta $2\,\%$ liikaa. Kuvaajan pisteet ovat hyvin tarkasti suoralla, koska satunnaisvaihtelu, noin $1\,\text{g}$, on pieni.

Toistaminen vaimentaa satunnaisvirheen vaikutusta keskiarvossa, koska liian suuret ja liian pienet lukemat kumoavat osittain toisensa. Systemaattinen virhe on kuitenkin joka punnituksessa sama, joten keskiarvo on yhtä paljon väärin kuin yksittäinen lukema. Virhe korjataan jakamalla lukemat kulmakertoimella $1{,}02$ tai kalibroimalla vaaka punnuksen avulla.

Yleisiä virheitä

  • Kaikkia poikkeamia pidetään satunnaisina, koska ne ovat pieniä; ne ovat kuitenkin kaikki samaan suuntaan.
  • Virhettä pidetään vakiona $2\,\text{g}$:na, ja korjauksessa vähennetään lukemasta $2\,\text{g}$; virhe on suhteellinen.
  • Näytön resoluutiota pidetään mittauksen epävarmuutena.
  • Korjaus tehdään väärään suuntaan, $765\,\text{g} \cdot 1{,}02 = 780\,\text{g}$.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Tärkeimmät virhelähteet on nimetty ja kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. Systemaattinen virhe: jokainen lukema on suurempi kuin punnuksen massa, eikä toisto muuta sitä. 1 p
Virhe kasvaa massan mukana, noin $2\,\%$ jokaisella punnuksella ($2$, $4$, $10$ ja $20\,\text{g}$), mutta tyhjän vaa'an lukema on oikein. 1 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Toistojen satunnaisvaihtelu on enintään $1\,\text{g}$, mikä on näytön resoluution suuruinen. 1 p
Karkeaa virhettä ei ole: mikään lukema ei poikkea selvästi saman punnuksen muista lukemista. 1 p

b)4 p

Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Resoluutio ei ole epävarmuus: se ei kerro systemaattisesta virheestä eikä toistojen vaihtelusta. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Korjattu massa $765\,\text{g} : 1{,}02 \approx 750\,\text{g}$. 1 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Epävarmuus on muutamia grammoja, esimerkiksi $\pm 2\,\text{g}$, koska toistot vaihtelevat noin $1\,\text{g}$ ja korjauskerroin tunnetaan likimäärin. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite on väärä: jauhoja on noin $(750 \pm 2)\,\text{g}$, ei $(765 \pm 0{,}5)\,\text{g}$. 1 p

c)4 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Pisteet ovat origon kautta kulkevalla suoralla, jonka kulmakerroin on noin $1{,}02$ eikä $1$. 1 p
Vakiotermi nolla kertoo, että nollakohta on oikein; kulmakerroin, joka poikkeaa luvusta $1$, kertoo suhteellisesta virheestä. 1 p
Tärkeimmät virhelähteet on nimetty ja kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. Toistot vaimentavat satunnaisvirheen vaikutusta keskiarvossa, mutta systemaattinen virhe toistuu joka kerta samanlaisena. 1 p
Virhe korjataan jakamalla lukemat kulmakertoimella $1{,}02$ tai kalibroimalla vaaka. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 12 (12 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

1.2-5 Leluauton nopeus videolta 14 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Keksitty esimerkkiaineisto: luvut on laskettu mallista, ja niihin on lisätty pientä satunnaista vaihtelua mittauksen tapaan.

Ryhmä kuvasi puhelimella leluautoa, joka kulki suoraan tasaisella lattialla. Videoanalyysiohjelmaan asetettiin mittakaavaksi lattialle teipatun mittanauhan $1{,}00\,\text{m}$:n väli, ja auton etupää merkittiin kuviin puolen sekunnin välein. Ajanotto alkoi, kun auto oli jo liikkeessä.

$t\ (\text{s})$ $x\ (\text{m})$
$0{,}0$ $0{,}35$
$0{,}5$ $0{,}61$
$1{,}0$ $0{,}83$
$1{,}5$ $1{,}32$
$2{,}0$ $1{,}30$
$2{,}5$ $1{,}57$
$3{,}0$ $1{,}78$

Ote ryhmän raportista:

Yhdistimme pisteet kuvaajassa viivalla. Poistimme pisteen $t = 1{,}5\,\text{s}$, koska se ei osunut muiden kanssa samalle viivalle. Laskimme nopeuden kahdesta viimeisestä pisteestä: $(1{,}78\,\text{m} - 1{,}57\,\text{m}) : 0{,}5\,\text{s} = 0{,}42\,\text{m/s}$. Koska tulos tuntui pieneltä, sovitimme vielä origon kautta kulkevan suoran, jonka kulmakerroin oli $0{,}6341\,\text{m/s}$. Johtopäätös: leluauton nopeus on $0{,}6341\,\text{m/s}$.

  1. a) Arvioi raportin menetelmää ja johtopäätöstä. Nimeä ainakin neljä puutetta ja kerro, miksi kukin heikentää tulosta. 5 p
  2. b) Määritä aineistosta leluauton nopeus epävarmuuksineen. Perustele, miten käsittelet pisteen $t = 1{,}5\,\text{s}$. 5 p
  3. c) Ryhmä haluaa parantaa mittausta. Ehdota kaksi parannusta, joista toinen koskee mahdollista systemaattista virhettä, ja perustele ne. 4 p

Taidot luvuista: Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus, Graafinen esitys ja suoran sovittaminen, Tasainen liike – nopeus, paikka ja kuvaajat, Oma kokeellinen tutkimus: suunnittelu, toteutus ja raportointi

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

raportin puutteet ja miksi kukin heikentää tulosta

Periaate

Mittauspisteisiin sovitetaan malli, jonka valinta perustellaan fysikaalisesti. Kulmakerroin luetaan sovitetulta suoralta, poikkeava piste tarkistetaan ennen kuin se jätetään pois, ja tulos ilmoitetaan epävarmuuksineen.

Mallivastaus

  • Murtoviiva. Pisteitä yhdistävä viiva seuraa myös mittausvirheitä, eikä se ole malli. Tasaisessa liikkeessä paikka muuttuu tasaisesti, joten pisteisiin sovitetaan yksi suora.
  • Nopeus kahdesta vierekkäisestä pisteestä. Kummankin pisteen merkitsemisvirhe vaikuttaa tulokseen täysin: jos kumpikin paikka voi olla $0{,}03\,\text{m}$ väärin, nopeus voi olla $0{,}12\,\text{m/s}$ väärin. Siksi tulos $0{,}42\,\text{m/s}$ on epävarma.
  • Suora origon kautta. Ajanotto alkoi, kun auto oli jo liikkeessä noin $0{,}35\,\text{m}$:n kohdalla, joten paikka ei ole nolla hetkellä $t = 0$. Pakotettu suora on liian jyrkkä, ja kulmakerroin $0{,}63\,\text{m/s}$ on liian suuri.
  • Piste poistettiin perustelematta. Piste poikkeaa noin $0{,}25\,\text{m}$, mikä on paljon. Syy olisi pitänyt tarkistaa videolta, esimerkiksi onko auto merkitty väärään kuvaan, ja poisjättö syineen kirjata.
  • Tulos ja johtopäätös. Tuloksessa on neljä merkitsevää numeroa eikä epävarmuutta, ja tulos valittiin sen mukaan, mikä tuntui sopivalta, eikä menetelmän perusteella.

b)

Kysytty

leluauton nopeus epävarmuuksineen ja pisteen $t = 1{,}5\,\text{s}$ käsittely

Kuvaaja

Vaaka-akselilla on aika $t\ (\text{s})$ ja pystyakselilla paikka $x\ (\text{m})$. Pisteisiin on merkitty epävarmuusjanat $\pm 0{,}03\,\text{m}$, joka on arvio videolta merkitsemisen tarkkuudesta.

$0{,}5$
$1$
$1{,}5$
$2$
$2{,}5$
$3$
$0{,}6$
$1{,}2$
$1{,}8$
$0$
$t\ (\text{s})$
$x\ (\text{m})$
$\text{tarkista}$
$v = k \approx 0{,}48\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

Mallivastaus

Kuusi pistettä on lähellä yhtä suoraa, joten auto liikkui tasaisesti. Piste $t = 1{,}5\,\text{s}$ on noin $0{,}25\,\text{m}$ suoran yläpuolella, lähes samassa paikassa kuin piste $t = 2{,}0\,\text{s}$, joten se on todennäköisesti merkitty väärään kuvaan. Piste tarkistetaan videolta. Jos virhe löytyy, se korjataan tai piste jätetään pois ja syy kirjataan.

Suoraa ei pakoteta origon kautta. Siltä luetaan kaksi kaukana toisistaan olevaa pistettä, $(0\,\text{s}$; $0{,}36\,\text{m})$ ja $(3{,}0\,\text{s}$; $1{,}79\,\text{m})$, joten nopeus on $v = \dfrac{1{,}79\,\text{m} - 0{,}36\,\text{m}}{3{,}0\,\text{s} - 0\,\text{s}} = 0{,}477\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Vakiotermi $0{,}36\,\text{m}$ on auton paikka ajanoton alkaessa. Jyrkin ja loivin suora, jotka kulkevat kaikkien janojen kautta, antavat kulmakertoimet noin $0{,}492$ ja $0{,}464\,\text{m/s}$, joten $\Delta v = (0{,}492 - 0{,}464)\,\text{m/s} : 2 = 0{,}014\,\text{m/s}$.

Tulos on $v = (0{,}477 \pm 0{,}014)\,\text{m/s}$, kun epävarmuudessa pidetään kaksi numeroa, koska sen ensimmäinen numero on $1$. Tulos on sopusoinnussa raportin kahden pisteen arvon $0{,}42\,\text{m/s}$ kanssa vain sen suuren epävarmuuden ansiosta, mutta ei origon kautta pakotetun suoran arvon $0{,}63\,\text{m/s}$ kanssa.

c)

Kysytty

kaksi perusteltua parannusta, joista toinen koskee systemaattista virhettä

Periaate

Satunnaisvirheen vaikutusta pienennetään lisäämällä mittauksia ja pidentämällä mitattavaa väliä. Systemaattinen virhe paljastuu vain vertaamalla tunnettuun arvoon tai toiseen menetelmään.

Mallivastaus

Mittakaavan tarkistus. Jos mittanauha on lähempänä kameraa kuin auto tai kamera kuvaa vinosti, videon metri ei ole auton kulkulinjalla metri. Silloin kaikki paikat ja nopeus ovat samassa suhteessa väärin, eikä virhe näy pisteiden hajonnassa. Mittanauha asetetaan auton kulkulinjalle, kamera kohtisuoraan liikettä vastaan ja riittävän kauas, ja mittakaava tarkistetaan mittaamalla videolta jokin toinen tunnettu pituus.

Lisää ja pidempää aineistoa. Kun auto kuvataan pidemmältä matkalta ja paikka merkitään esimerkiksi $0{,}1\,\text{s}$:n välein, kulmakerroin määräytyy useammasta pisteestä ja pidemmältä väliltä. Silloin yhden pisteen merkitsemisvirhe vaikuttaa vähemmän, ja jyrkimmän ja loivimman suoran ero pienenee. Toistetut ajot kertovat lisäksi, vaihteleeko auton nopeus ajosta toiseen.

Hyväksytään myös

  • b-kohdassa laskimen tai taulukkolaskennan suoran sovitus ilman pistettä $1{,}5\,\text{s}$: $v = 0{,}477\,\text{m/s}$ ja vakiotermi $0{,}358\,\text{m}$. Nopeudet $0{,}46$–$0{,}50\,\text{m/s}$ hyväksytään.
  • b-kohdassa pisteen pitäminen mukana, kun sen vaikutus tarkistetaan: piste on mittausalueen keskellä, joten kulmakerroin ei muutu, mutta pisteet eivät enää ole suoralla epävarmuuksien rajoissa.
  • b-kohdassa epävarmuus $\pm 0{,}02\,\text{m/s}$ ja tulos $(0{,}48 \pm 0{,}02)\,\text{m/s}$.

Yleisiä virheitä

  • Raportista nimetään puutteita perustelematta, miksi ne heikentävät tulosta.
  • Poikkeavan pisteen poistamista pidetään aina virheenä tai aina oikeana; ratkaisevaa on, löytyykö poikkeamalle syy ja kirjataanko se.
  • b-kohdassa suora pakotetaan origon kautta tai nopeus lasketaan yhdestä pisteestä $x : t$.
  • c-kohdassa ehdotetaan vain "tarkempaa mittaamista" kertomatta, mitä tehdään ja miksi se auttaa.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii, eikä pisteitä ole yhdistetty murtoviivaksi. Murtoviiva seuraa myös mittausvirheitä eikä ole malli; pisteisiin sovitetaan yksi suora. 1 p
Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Nopeus laskettiin kahdesta vierekkäisestä mittauspisteestä, joten kummankin pisteen virhe vaikuttaa paljon. 1 p
Suora pakotettiin origon kautta, vaikka auto oli ajanoton alkaessa noin $0{,}35\,\text{m}$:n kohdalla; siksi kulmakerroin on liian suuri. 1 p
Piste poistettiin vain siksi, että se poikkesi muista; syy olisi pitänyt tarkistaa videolta ja kirjata. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. Tuloksessa on liikaa numeroita eikä epävarmuutta, ja tulos valittiin sen mukaan, mikä tuntui sopivalta. 1 p

b)5 p

Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. Vaaka-akselilla $t\ (\text{s})$ ja pystyakselilla $x\ (\text{m})$, tasaväliset asteikot. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii, eikä pisteitä ole yhdistetty murtoviivaksi. Suora, jolla on vakiotermi; piste $1{,}5\,\text{s}$ tarkistetaan videolta, ja jos se on merkitty väärään kohtaan, se jätetään pois ja syy kirjataan. 1 p
Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Kulmakerroin kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä: noin $0{,}477\,\text{m/s}$; vakiotermi $0{,}36\,\text{m}$ on auton paikka hetkellä $t = 0$. 1 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Jyrkin ja loivin suora, esimerkiksi $\pm 0{,}03\,\text{m}$:n janoilla: noin $0{,}492$ ja $0{,}464\,\text{m/s}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $v = (0{,}477 \pm 0{,}014)\,\text{m/s}$ tai $(0{,}48 \pm 0{,}02)\,\text{m/s}$. 1 p

c)4 p

Tärkeimmät virhelähteet on nimetty ja kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. Mittakaavan virhe: jos mittanauha on eri etäisyydellä kamerasta kuin auto tai kamera katsoo vinosti, kaikki paikat ovat samassa suhteessa väärin. 1 p
Systemaattisen virheen voi tarkistaa mittaamalla videolta tunnetun pituuden auton kulkulinjalta, ja kamera asetetaan kohtisuoraan liikettä vastaan. 1 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Pidempi matka, tiheämmin merkityt pisteet ja toistetut ajot pienentävät kulmakertoimen epävarmuutta. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Kumpikin parannus on perusteltu sillä, miten se muuttaa tulosta tai sen epävarmuutta. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 14 (14 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

1.2-6 Ilma ruiskussa 17 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Keksitty esimerkkiaineisto: luvut on laskettu mallista, ja niihin on lisätty pientä satunnaista vaihtelua mittauksen tapaan.

Opiskelija tutkii, miten ilman paine riippuu tilavuudesta. Hän liittää $60\,\text{ml}$:n ruiskun lyhyellä letkulla paineanturiin ja painaa mäntää hitaasti sisään. Ilma ei pääse vuotamaan, ja laboratorion lämpötila on $22\,{}^\circ\text{C}$. Tilavuus luetaan ruiskun asteikolta, joten letkun ja anturin sisällä oleva pieni ilmatila $V_0$ ei näy lukemassa.

$V\ (\text{ml})$ $p\ (\text{kPa})$
$12$ $189{,}1$
$14$ $164{,}5$
$16$ $146{,}6$
$18$ $131{,}9$
$20$ $119{,}2$
$22$ $109{,}6$
$24$ $101{,}2$
$26$ $93{,}5$
$28$ $87{,}6$
$30$ $81{,}8$
  1. a) Opiskelija väittää, että ilman paine on kääntäen verrannollinen ruiskun lukemaan $V$. Testaa väite aineiston avulla. 3 p
  2. b) Esitä aineisto kuvaajana, jossa riippuvuus on suoraviivainen, ja sovita pisteisiin suora. 5 p
  3. c) Määritä kuvaajasta letkun ja anturin ilmatilavuus $V_0$ ja ilman ainemäärä. 5 p
  4. d) Arvioi, mitä oletuksia tulos edellyttää ja miten tulos muuttuisi, jos ne eivät pitäisi. 4 p

Taidot luvuista: Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus, Graafinen esitys ja suoran sovittaminen, Kaasujen tilanmuutokset ja Boylen laki, Ideaalikaasun tilanyhtälö $pV = nRT$

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

onko paine kääntäen verrannollinen ruiskun lukemaan $V$

Periaate

Jos $p$ on kääntäen verrannollinen suureeseen $V$, tulo $pV$ on vakio. Väitettä testataan laskemalla tulo eri riveillä ja katsomalla, vaihteleeko se satunnaisesti vai muuttuuko se järjestelmällisesti samaan suuntaan.

Mallivastaus

Ensimmäisellä rivillä $pV = 189{,}1\,\text{kPa} \cdot 12\,\text{ml} = 2269\,\text{kPa} \cdot \text{ml}$ ja viimeisellä $81{,}8\,\text{kPa} \cdot 30\,\text{ml} = 2454\,\text{kPa} \cdot \text{ml}$. Välirivien tulot kasvavat tasaisesti rivi riviltä, ja koko kasvu on $(2454 - 2269) : 2269 \approx 8\,\%$. Paineet on annettu kymmenesosakilopascalin tarkkuudella, ja tulo kasvaa joka rivillä samaan suuntaan. Satunnaisvirhe vaihtelisi sattumanvaraisesti, joten tasainen $8\,\%$:n kasvu ei johdu siitä. Väite ei siis päde ruiskun lukemaan $V$. Tulon kasvu viittaa siihen, että ilman todellinen tilavuus on lukemaa suurempi: osa ilmasta on letkussa ja anturissa, ja sen osuus on suurin, kun ruiskun tilavuus on pieni.

b)

Kysytty

kuvaaja, jossa riippuvuus on suoraviivainen, ja siihen sovitettu suora

Kuvaaja

Ilman todellinen tilavuus on $V + V_0$. Kun lämpötila ja ilman määrä pysyvät samoina, Boylen lain mukaan $p(V + V_0) = C$, joten $V = C \cdot \tfrac{1}{p} - V_0$. Vaaka-akselille valitaan siksi $\tfrac{1}{p}$ ja pystyakselille $V$. Esimerkiksi ensimmäisellä rivillä $\tfrac{1}{p} = \tfrac{1}{189{,}1\,\text{kPa}} = \tfrac{1}{0{,}1891\,\text{MPa}} = 5{,}29\,\tfrac{1}{\text{MPa}}$ ja viimeisellä $12{,}2\,\tfrac{1}{\text{MPa}}$.

$4$
$8$
$12$
$-8$
$8$
$16$
$24$
$32$
$\tfrac{1}{p}\ (\tfrac{1}{\text{MPa}})$
$V\ (\text{ml})$
$-V_0 \approx -1{,}8\,\text{ml}$
$k \approx 2{,}6\,\text{MPa} \cdot \text{ml}$

Mallivastaus

Pisteet asettuvat hyvin suoralle, joten malli $p(V + V_0) = C$ sopii aineistoon. Suora ei kulje origon kautta: sitä jatketaan pystyakselille, jonka se leikkaa negatiivisella puolella. Jos letkussa ei olisi ilmaa, suora kulkisi origon kautta. Yksikkö $\tfrac{1}{\text{MPa}}$ on valittu, jotta akselin luvut ovat helppolukuisia.

c)

Annettu

b-kohdan suora; $T = 22\,{}^\circ\text{C}$; $R = 8{,}314\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol} \cdot \text{K}}$

Kysytty

letkun ja anturin ilmatilavuus $V_0$ ja ilman ainemäärä $n$

Periaate

Suoran yhtälö on $V = C \cdot \tfrac{1}{p} - V_0$, joten vakiotermi on $-V_0$ ja kulmakerroin $C = p(V + V_0)$. Ideaalikaasun tilanyhtälön mukaan $p(V + V_0) = nRT$, joten kulmakertoimesta saadaan ainemäärä. Tilanyhtälössä lämpötila on kelvineinä.

Kuvaajan lukeminen

Suora leikkaa pystyakselin kohdassa $-1{,}8\,\text{ml}$. Suoralta luetaan kaksi kaukana toisistaan olevaa pistettä, $(4{,}0\,\tfrac{1}{\text{MPa}}$; $8{,}6\,\text{ml})$ ja $(12{,}0\,\tfrac{1}{\text{MPa}}$; $29{,}5\,\text{ml})$.

Kaava

$V_0 = -b$, $C = \dfrac{\Delta V}{\Delta (1/p)}$ ja $C = nRT$, joten $n = \dfrac{C}{RT}$

Muunnokset

$1\,\text{MPa} \cdot \text{ml}$$= 10^{6}\,\text{Pa} \cdot 10^{-6}\,\text{m}^3$
$= 1\,\text{Pa} \cdot \text{m}^3$
$= 1\,\text{J}$
$T$$= (22 + 273{,}15)\,\text{K}$
$= 295{,}15\,\text{K}$

Sijoitus

$V_0$$= 1{,}8\,\text{ml}$
$C$$= \dfrac{29{,}5\,\text{ml} - 8{,}6\,\text{ml}}{12{,}0\,\tfrac{1}{\text{MPa}} - 4{,}0\,\tfrac{1}{\text{MPa}}}$
$= 2{,}61\,\text{MPa} \cdot \text{ml}$
$= 2{,}61\,\text{J}$
$n$$= \dfrac{2{,}61\,\text{J}}{8{,}314\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol} \cdot \text{K}} \cdot 295{,}15\,\text{K}}$
$= 1{,}06 \cdot 10^{-3}\,\text{mol}$

Vastaus

$V_0 \approx 1{,}8\,\text{ml}$

Ja $n \approx 1{,}06 \cdot 10^{-3}\,\text{mol}$. Tilavuudessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska se luetaan kuvaajasta noin $0{,}1\,\text{ml}$:n tarkkuudella; ainemäärässä kolme kuten kulmakertoimessa.

Järkevyys

Normaalipaineessa ja huoneenlämmössä mooli kaasua vie noin $24\,\text{l}$, joten noin $26\,\text{ml}$ ilmaa on noin

$26\,\text{ml} : 24\,000\,\text{ml/mol}$
$\approx 1{,}1 \cdot 10^{-3}\,\text{mol}$

Letkun ja anturin muutaman millilitran ilmatila on lyhyelle letkulle uskottava. Kun $V_0$ lisätään, tulo $p(V + V_0)$ on ensimmäisellä rivillä

$189{,}1\,\text{kPa} \cdot 13{,}8\,\text{ml}$
$= 2610\,\text{kPa} \cdot \text{ml}$

ja viimeisellä

$81{,}8\,\text{kPa} \cdot 31{,}8\,\text{ml}$
$= 2601\,\text{kPa} \cdot \text{ml}$

eli lähes vakio.

d)

Kysytty

tuloksen oletukset ja niiden vaikutus

Periaate

Malli $p(V + V_0) = nRT$ olettaa, että ilman määrä ja lämpötila pysyvät samoina ja että tilavuus on mitattu kokonaan. Kunkin oletuksen kohdalla mietitään, mihin suuntaan tulos muuttuisi, jos se ei pitäisi.

Mallivastaus

Lämpötila pysyy samana. Puristaminen on työtä, joka kasvattaa ilman sisäenergiaa. Kun mäntää painetaan hitaasti, ilma ehtii luovuttaa lämmön ruiskun seinien kautta ja pysyy huoneen lämpöisenä. Nopeassa puristuksessa ilma lämpenisi, paine olisi hetkellisesti suurempi kuin malli antaa, ja tulo $p(V + V_0)$ kasvaisi puristuksen aikana.

Ilmaa ei vuoda. Jos ilmaa vuotaisi männän ohi suuressa paineessa, ainemäärä pienenisi kesken mittauksen, ja tulo $p(V + V_0)$ pienenisi pienillä tilavuuksilla.

Koko tilavuus on mukana. Ilman $V_0$:aa tulo $pV$ näyttäisi kasvavan tilavuuden mukana, ja aineistosta voisi päätellä väärin, ettei Boylen laki päde. Myös ainemäärä laskettaisiin väärästä tilavuudesta.

Johtopäätös. Kun $V_0 = 1{,}8\,\text{ml}$ lisätään lukemaan, $p(V + V_0)$ on koko mittausalueella noin $2600\,\text{kPa} \cdot \text{ml}$ alle puolen prosentin vaihtelulla. Aineisto on siis sopusoinnussa mallin kanssa, mikä tukee sitä, että oletukset pitivät.

Hyväksytään myös

  • b-kohdassa $(\tfrac{1}{p}, V)$-kuvaaja yksikössä $\tfrac{1}{\text{kPa}}$, jolloin kulmakerroin on $2600\,\text{kPa} \cdot \text{ml} = 2{,}60\,\text{J}$.
  • b- ja c-kohdassa laskimen tai taulukkolaskennan sovitus: $C = 2{,}603\,\text{J}$ ja $V_0 = 1{,}77\,\text{ml}$. Arvot $V_0 = 1{,}5$–$2{,}1\,\text{ml}$ ja $n = (1{,}01$–$1{,}11) \cdot 10^{-3}\,\text{mol}$ hyväksytään.
  • c-kohdassa ainemäärä yhdeltä riviltä, kun $V_0$ on lisätty: $n = \tfrac{101{,}2\,\text{kPa} \cdot 25{,}8\,\text{ml}}{RT} \approx 1{,}06 \cdot 10^{-3}\,\text{mol}$.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa todetaan $pV$:n "olevan lähes vakio" katsomatta, mihin suuntaan tulo muuttuu rivi riviltä, jolloin systemaattinen kasvu jää huomaamatta.
  • b-kohdassa piirretään $(\tfrac{1}{V}, p)$-kuvaaja ja pakotetaan suora origon kautta; letkun ilmatila ei silloin näy.
  • c-kohdassa lämpötila sijoitetaan celsiusasteina tai tilavuus millilitroina ja paine kilopascaleina ilman muunnosta, jolloin ainemäärä on tuhat kertaa väärin.
  • d-kohdassa luetellaan oletuksia kertomatta, mihin suuntaan ne muuttaisivat tulosta.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Tulo $pV$ on $2269\,\text{kPa} \cdot \text{ml}$ lukemalla $12\,\text{ml}$ ja $2454\,\text{kPa} \cdot \text{ml}$ lukemalla $30\,\text{ml}$. 1 p
Tulo kasvaa joka rivillä samaan suuntaan, yhteensä noin $8\,\%$, joten kasvu on systemaattinen eikä satunnaista vaihtelua. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite ei päde ruiskun lukemaan; syy voi olla letkun ilmatila, jota lukema ei sisällä. 1 p

b)5 p

Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. Esimerkiksi vaaka-akselilla $\tfrac{1}{p}\ (\tfrac{1}{\text{MPa}})$ ja pystyakselilla $V\ (\text{ml})$; pystyakseli ulottuu negatiiviselle puolelle. 1 p
Jokainen mittaus on merkitty erillisenä pisteenä oikealle paikalleen. Paineen käänteisluku on laskettu jokaiselle riville oikein. 1 p
Valinta on perusteltu: kun lämpötila ja ilman määrä pysyvät samoina, $p(V + V_0)$ on vakio, joten $V = \tfrac{C}{p} - V_0$. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii, eikä pisteitä ole yhdistetty murtoviivaksi. Yksi suora pisteiden lomaan. 1 p
Suoraa on jatkettu pystyakselille asti. 1 p

c)5 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Vakiotermi noin $-1{,}8\,\text{ml}$ ja kulmakerroin noin $2{,}61\,\text{MPa} \cdot \text{ml}$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Kulmakerroin on $C = p(V + V_0) = nRT$, joten $n = \tfrac{C}{RT}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $1\,\text{MPa} \cdot \text{ml} = 10^{6}\,\text{Pa} \cdot 10^{-6}\,\text{m}^3 = 1\,\text{J}$ ja $T = 295{,}15\,\text{K}$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $V_0 \approx 1{,}8\,\text{ml}$ ja $n \approx 1{,}06 \cdot 10^{-3}\,\text{mol}$. 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Esimerkiksi: $26\,\text{ml}$ ilmaa normaalipaineessa on noin tuhannesosa moolista, koska mooli kaasua vie noin $24\,\text{l}$. 1 p

d)4 p

Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Lämpötila pysyy samana: mäntää painetaan hitaasti. Nopeassa puristuksessa työ lämmittää ilmaa, jolloin paine on hetkellisesti suurempi ja $pV$ ei pysy vakiona. 1 p
Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Ilmaa ei vuoda: vuoto pienentäisi ainemäärää kesken mittauksen, ja tulo $p(V + V_0)$ pienenisi. 1 p
Tärkeimmät virhelähteet on nimetty ja kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. Ilman $V_0$:aa tulo $pV$ näyttää kasvavan tilavuuden mukana, ja ainemäärä ja paineen ja tilavuuden riippuvuus tulkittaisiin väärin. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Kun $V_0$ lisätään, $p(V + V_0)$ on lähes vakio, noin $2600\,\text{kPa} \cdot \text{ml}$, joten aineisto on sopusoinnussa mallin kanssa. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 17 (17 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.