Lämmön siirtyminen, energiatasapaino ja ilmastonmuutos

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 15-1Ydintehtävä

   Hirsimökin yläpohjan pinta-ala on $45\,\text{m}^2$ ja U-arvo $0{,}24\,\text{W/(m}^2\text{}\cdot\text{K)}$. Mökissä on $22\,{}^\circ\text{C}$ ja ulkona $-18\,{}^\circ\text{C}$. Kuinka suuri lämpöteho johtuu yläpohjan läpi ulos?

   WTarkista
   Vastaus

   $430\,\text{W}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $A = 45\,\text{m}^2$, $T_\text{sisä} = 22\,{}^\circ\text{C}$, $T_\text{ulko} = -18\,{}^\circ\text{C}$; yläpohjan $U = 0{,}24\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$

   Kysytty

   yläpohjan läpi johtuva lämpöteho $P$ watteina

   Periaate

   Lämpö johtuu rakenteen läpi lämpimästä kylmään, ja kun lämpötilat pysyvät vakioina, teho on verrannollinen pinta-alaan ja lämpötilaeroon. U-arvo kertoo, kuinka paljon tehoa kulkee yhden neliömetrin läpi yhden kelvinin eron vallitessa.

   Kaava

   $P = UA\Delta T$, missä $\Delta T = T_\text{sisä} - T_\text{ulko}$; teho on valmiiksi ratkaistu: $P = UA(T_\text{sisä} - T_\text{ulko})$

   Muunnokset

   Lämpötilaero on sama celsiusasteina ja kelvineinä, joten

   $\Delta T$$= 22\,{}^\circ\text{C} - (-18\,{}^\circ\text{C})$

   $= 40\,\text{K}$

   Muita muunnoksia ei tarvita, koska $U$ on jo yksikössä $\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$.

   Sijoitus

   $P$$= 0{,}24\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}} \cdot 45\,\text{m}^2 \cdot 40\,\text{K}$

   $= 432\,\text{W}$

   Vastaus

   $430\,\text{W}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittavat tiedot ovat U-arvo $0{,}24$, ala $45\,\text{m}^2$ ja kokonaisasteiden erotus $\Delta T = 40\,\text{K}$, kaikki kaksi numeroa, joten laskimen tulos $432\,\text{W}$ pyöristetään.

   Järkevyys

   Pyöristetyillä luvuilla $0{,}25 \cdot 45 \cdot 40 \approx 450\,\text{W}$, joten $432\,\text{W}$ on oikea suuruusluokka. Yksiköt:

   $\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{K}$$= \text{W}$

   Jos sisällä ja ulkona olisi sama lämpötila, $\Delta T = 0$ ja $P = 0$, kuten pitääkin. Teho vastaa pientä sähköpatteria, ja seinät, ikkunat ja lattia lisäävät mökin lämmöntarvetta vielä.

2. Tehtävä 15-2Ydintehtävä

   Vanhan omakotitalon ulko-ovesta tehdyn mittauksen mukaan oven läpi johtuu lämpöä $96\,\text{W}$:n teholla, kun sisällä on $21\,{}^\circ\text{C}$ ja ulkona $-19\,{}^\circ\text{C}$. Oven pinta-ala on $2{,}0\,\text{m}^2$. Mikä on oven U-arvo?

   W/(m²·K)Tarkista
   Vastaus

   $1{,}2\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $P = 96\,\text{W}$, $A = 2{,}0\,\text{m}^2$, $T_\text{sisä} = 21\,{}^\circ\text{C}$, $T_\text{ulko} = -19\,{}^\circ\text{C}$

   Kysytty

   oven U-arvo $U$ yksikössä $\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$

   Periaate

   Ovi johtaa lämpöä ulos tasaisesti, kun lämpötilat pysyvät vakioina, joten mitattu teho on verrannollinen pinta-alaan ja lämpötilaeroon. Verrannollisuuskerroin on juuri U-arvo, ja se saadaan jakamalla teho alalla ja erolla.

   Kaava

   $P = UA\Delta T$, joten $U = \dfrac{P}{A\Delta T}$

   Muunnokset

   Lämpötilaero on sama kelvineinä ja celsiusasteina:

   $\Delta T$$= 21\,{}^\circ\text{C} - (-19\,{}^\circ\text{C})$

   $= 40\,\text{K}$

   Muita muunnoksia ei tarvita, koska teho on watteina ja ala neliömetreinä.

   Sijoitus

   $U$$= \dfrac{96\,\text{W}}{2{,}0\,\text{m}^2 \cdot 40\,\text{K}}$

   $= \dfrac{96\,\text{W}}{80\,\text{m}^2\cdot\text{K}}$

   $= 1{,}2\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$

   Vastaus

   $1{,}2\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittavat tiedot ovat teho $96\,\text{W}$, ala $2{,}0\,\text{m}^2$ ja kokonaisasteiden erotus $\Delta T = 40\,\text{K}$, kaikki kaksi numeroa.

   Järkevyys

   Tarkistus kaavalla: $1{,}2 \cdot 2{,}0 \cdot 40 = 96\,\text{W}$, kuten mitattu. Uuden ulko-oven U-arvo on noin $1{,}0\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$ ja nykyaikaisen seinän $0{,}17\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$, joten vanhan oven arvo on uuden oven luokkaa ja selvästi seinää huonompi, kuten odottaa sopii.

3. Tehtävä 15-3

   Kaukolämmitetyn kerrostaloasunnon ulkoseinän pinta-ala on $28\,\text{m}^2$ ja U-arvo $0{,}25\,\text{W/(m}^2\text{}\cdot\text{K)}$. Pakkasyönä seinän läpi johtuu ulos lämpöä $210\,\text{W}$:n teholla. Kuinka suuri on sisä- ja ulkolämpötilan ero?

   KTarkista
   Vastaus

   $30\,\text{K}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $A = 28\,\text{m}^2$, $U = 0{,}25\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$, $P = 210\,\text{W}$

   Kysytty

   sisä- ja ulkolämpötilan ero $\Delta T$ kelvineinä

   Periaate

   Seinän läpi johtuva teho on verrannollinen lämpötilaeroon, kun seinän ala ja U-arvo eivät muutu. Siksi tunnetusta tehosta voi päätellä, kuinka suuri lämpötilaero seinän yli on.

   Kaava

   $P = UA\Delta T$, joten $\Delta T = \dfrac{P}{UA}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita: teho on watteina, ala neliömetreinä ja $U$ yksikössä $\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$, joten tulos tulee suoraan kelvineinä. Lämpötilaero kelvineinä on sama kuin celsiusasteina.

   Sijoitus

   $\Delta T$$= \dfrac{210\,\text{W}}{0{,}25\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}} \cdot 28\,\text{m}^2}$

   $= \dfrac{210\,\text{W}}{7{,}0\,\tfrac{\text{W}}{\text{K}}}$

   $= 30\,\text{K}$

   Vastaus

   $30\,\text{K}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittavat tiedot ovat teho $210\,\text{W}$, U-arvo $0{,}25$ ja ala $28\,\text{m}^2$, kaikki vähintään kaksi numeroa, joten tulos $30\,\text{K}$ on kahden numeron arvo.

   Järkevyys

   Esimerkiksi sisällä $21\,{}^\circ\text{C}$ ja ulkona $-9\,{}^\circ\text{C}$ antaa eron $30\,\text{K}$, mikä on tavallinen talviyö. Takaisinlasku: $0{,}25 \cdot 28 \cdot 30 = 210\,\text{W}$. Yksiköt: $\text{W} / (\text{W/K}) = \text{K}$.

4. Tehtävä 15-4

   Omakotitalosta johtuu pakkasyönä lämpöä ulos keskimäärin $3{,}5\,\text{kW}$:n teholla. Kuinka monta kilowattituntia lämpöä talon lämmityksen on tuotettava $14\,\text{h}$:n yön aikana, jotta sisälämpötila pysyy ennallaan?

   kWhTarkista
   Vastaus

   $49\,\text{kWh}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $P = 3{,}5\,\text{kW}$, $t = 14\,\text{h}$

   Kysytty

   lämmityksen tuotettava energia $E$ kilowattitunteina

   Periaate

   Sisälämpötila pysyy ennallaan vain, jos lämmitys tuottaa saman energian kuin talosta karkaa. Teho on vakio, joten energia on teho kerrottuna ajalla.

   Kaava

   $E = Pt$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita, koska kilowatti kerrottuna tunnilla on suoraan kilowattitunti: $1\,\text{kW} \cdot 1\,\text{h} = 1\,\text{kWh}$. Jouleina vertailua varten $1\,\text{kWh} = 3{,}6\,\text{MJ}$.

   Sijoitus

   $E$$= 3{,}5\,\text{kW} \cdot 14\,\text{h}$

   $= 49\,\text{kWh}$

   Vastaus

   $49\,\text{kWh}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittavat tiedot ovat teho $3{,}5\,\text{kW}$ ja aika $14\,\text{h}$, kumpikin kaksi numeroa.

   Järkevyys

   Pyöristetyillä luvuilla

   $3{,}5 \cdot 14$$\approx 4 \cdot 12$

   $= 48$

   joten tulos on oikea. Jouleina energia on $49 \cdot 3{,}6\,\text{MJ} \approx 176\,\text{MJ}$. Koko pakkasvuorokauden kulutus olisi $3{,}5\,\text{kW} \cdot 24\,\text{h} = 84\,\text{kWh}$, mikä sopii sähkölämmitteiselle omakotitalolle.

5. Tehtävä 15-5

   Kuvassa on maapallon energiavirtoja neliömetriä kohti ilmakehän ylärajalla. Maapallon keskilämpötila pysyy vakiona. Kuinka suuri teho neliömetriä kohti lähtee avaruuteen lämpösäteilynä? Lue tarvittavat arvot kuvasta.

   W/m²Tarkista
   Vastaus

   $239\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuvasta luettuna Auringosta tulee $341\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$ ja siitä heijastuu $102\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$; maapallon keskilämpötila pysyy vakiona

   Kysytty

   avaruuteen lämpösäteilynä lähtevä teho neliömetriä kohti $P_\text{säteily}$

   Periaate

   Lämpötila pysyy vakiona, joten maapallo on energiatasapainossa: sen imemä teho on yhtä suuri kuin avaruuteen lähtevä lämpösäteily. Heijastunut säteily ei lämmitä maapalloa, joten imeytyvä osa on tuleva teho miinus heijastunut teho.

   Kuvaajan lukeminen

   Kuvan vasen nuoli kertoo tulevan tehon $P_\text{tulo} = 341\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$ ja ylempi oikea nuoli heijastuvan tehon $P_\text{heij} = 102\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$. Alempi oikea nuoli, jonka arvo on kysymysmerkki, on kysytty lämpösäteily.

   Kaava

   $P_\text{im} = P_\text{tulo} - P_\text{heij}$ ja tasapainossa $P_\text{säteily} = P_\text{im}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: kaikki tehot ovat yksikössä $\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$.

   Sijoitus

   $P_\text{säteily}$$= 341\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2} - 102\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$

   $= 239\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$

   Vastaus

   $239\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$

   Kolme merkitsevää numeroa, koska luetut tehot $341$ ja $102$ on annettu täysinä watteina neliömetriä kohti ja erotus tunnetaan samalla tarkkuudella.

   Järkevyys

   Tase kuntoon: $102 + 239 = 341\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$, joten kaikki tuleva teho on mukana. Heijastunut osuus on $102 / 341 \approx 0{,}30$, eli noin $30\,\%$ tulevasta säteilystä. Tulos on pienempi kuin tuleva teho, kuten kuuluu.

6. Tehtävä 15-6

   Istut tuulettomana iltana nuotion edessä, ja kasvosi tuntuvat lämpimiltä, vaikka nuotion ja kasvojesi välissä oleva ilma on viileää. Miten lämpöä siirtyy pääasiassa nuotiolta kasvoihisi?

   Valitse vaihtoehto.

   • Lämpösäteilynä, koska nuotion kuuma pinta lähettää säteilyä, joka kulkee ilman läpi ihoon.
   • Johtumalla, koska nuotion kuumat hiilet koskettavat kasvojen ihoa ja luovuttavat energiaa suoraan.
   • Johtumalla, koska ilman hiukkaset välittävät energiaa nuotiolta kasvoille asti toisiinsa törmäten.
   • Konvektiolla, koska nuotion lämmittämä ilma virtaa vaakasuoraan kasvojen suuntaan.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Lämpösäteilynä, koska nuotion kuuma pinta lähettää säteilyä, joka kulkee ilman läpi ihoon.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   miten lämpö siirtyy nuotiolta kasvoihin, kun välissä oleva ilma on viileää

   Periaate

   Lämpö siirtyy johtumalla, konvektiolla tai lämpösäteilynä. Lämpösäteily kulkee väliaineen läpi lämmittämättä sitä paljon, joten se voi lämmittää kappaleen, vaikka välissä on viileää ilmaa. Johtuminen ja konvektio vaativat, että lämpö kulkee väliaineen mukana tai sen kautta.

   Mallivastaus

   Lämpö siirtyy pääasiassa lämpösäteilynä: nuotion kuuma pinta lähettää säteilyä, joka kulkee ilman läpi ja imeytyy ihoon. Konvektio ei selitä asiaa, koska nuotion lämmittämä ilma nousee ylöspäin eikä virtaa vaakasuoraan kasvoille. Johtuminen ilman kautta ei selitä sitä, koska ilma on huono lämmönjohde ja välissä oleva ilma pysyy viileänä. Kasvot eivät myöskään kosketa kuumia hiiliä, joten suora johtuminen kosketuksesta on poissuljettu.

7. Tehtävä 15-7

   Mikä väite kasvihuoneilmiöstä on oikein?

   Valitse vaihtoehto.

   • Ilmiö johtuu otsonikerroksen ohenemisesta, joka päästää maanpinnalle enemmän lämmittävää ultraviolettisäteilyä.
   • Kasvihuonekaasut imevät maanpinnan lämpösäteilyä ja säteilevät osan takaisin alas, joten maanpinta lämpenee.
   • Kasvihuonekaasut estävät Auringon säteilyä pääsemästä ilmakehään, joten ne lämmittävät ilmaa ylhäältä käsin.
   • Ilmiö syntyy vasta ihmisen päästöistä, ja ilman niitä maanpinnan keskilämpötila olisi sama kuin nyt.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Kasvihuonekaasut imevät maanpinnan lämpösäteilyä ja säteilevät osan takaisin alas, joten maanpinta lämpenee.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mikä väite kasvihuoneilmiöstä on oikein

   Periaate

   Kasvihuoneilmiö syntyy ilmakehän kaasujen ja maanpinnan lämpösäteilyn vuorovaikutuksesta. Kasvihuonekaasut imevät maanpinnan lähettämää lämpösäteilyä ja säteilevät osan siitä takaisin alas, mikä nostaa maanpinnan tasapainolämpötilaa.

   Mallivastaus

   Oikea väite on se, jonka mukaan kasvihuonekaasut imevät maanpinnan lämpösäteilyä ja säteilevät osan siitä takaisin alas, joten maanpinta on lämpimämpi. Ilmiön ansiosta maanpinnan keskilämpötila on noin $+15\,{}^\circ\text{C}$ eikä noin $-18\,{}^\circ\text{C}$. Otsonikato on eri asia: se lisää ultraviolettisäteilyä mutta ei juuri lämmitä maapalloa. Kasvihuonekaasut eivät estä Auringon säteilyä pääsemästä maanpinnalle. Luonnollinen kasvihuoneilmiö on olemassa ilman ihmisen päästöjäkin, ja päästöt voimistavat sitä.

8. Tehtävä 15-8

   Talon sisällä on $21\,{}^\circ\text{C}$ ja ulkona pakkasyönä $-15\,{}^\circ\text{C}$. Mikä väite lämmön siirtymisestä seinän läpi on oikein?

   Valitse vaihtoehto.

   • Lämpöä siirtyy sisältä ulos vain, jos seinässä on aukko, koska umpinaisen seinän läpi ei johdu lämpöä.
   • Lämpöä siirtyy nettomääräisesti sisältä ulos, koska lämpötilaero siirtää energiaa lämpimämmästä kylmempään.
   • Lämpöä siirtyy seinän läpi yhtä paljon kumpaankin suuntaan, joten sisälämpötila pysyy ilman lämmitystäkin samana.
   • Kylmyys siirtyy seinän läpi ulkoa sisälle, ja siksi seinän sisäpinta tuntuu kylmältä.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Lämpöä siirtyy nettomääräisesti sisältä ulos, koska lämpötilaero siirtää energiaa lämpimämmästä kylmempään.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mikä väite lämmön siirtymisestä seinän läpi on oikein, kun sisällä on $21\,{}^\circ\text{C}$ ja ulkona $-15\,{}^\circ\text{C}$

   Periaate

   Lämpötilaero siirtää energiaa nettomääräisesti lämpimämmästä kappaleesta kylmempään. Lämpösäteilyä lähtee kuitenkin molemmista, ja lämpimämmästä lähtee enemmän. Siirtyvä suure on energia, ei kylmyys.

   Mallivastaus

   Lämpöä siirtyy nettomääräisesti sisältä ulos, koska lämpötilaero siirtää energiaa lämpimämmästä kylmempään. Kylmyys ei siirry mihinkään: sisäpinta tuntuu kylmältä, koska lämpöä siirtyy ihosta ja huoneesta seinää kohti. Siirtyminen ei ole yhtä suurta molempiin suuntiin, koska silloin sisälämpötila pysyisi ennallaan ilman lämmitystä, mikä ei pakkasella pidä paikkaansa. Lämpö johtuu myös umpinaisen seinän läpi, ja eristys vain pienentää tehoa, joka sen läpi kulkee.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 15-9Ydintehtävä

   Kesämökin seinien pinta-ala on $70\,\text{m}^2$ ja U-arvo $0{,}50\,\text{W/(m}^2\text{}\cdot\text{K)}$. Yläpohjan pinta-ala on $50{,}0\,\text{m}^2$ ja U-arvo $0{,}30\,\text{W/(m}^2\text{}\cdot\text{K)}$. Muiden rakenteiden läpi johtuva lämpö jätetään huomiotta. Talviviikonloppuna mökkiä lämmittävät sähköpatterit, joiden yhteisteho on $2{,}0\,\text{kW}$.

   Mikä on alin ulkolämpötila, jossa patterit pystyvät pitämään mökissä $20\,{}^\circ\text{C}$?

   °CTarkista
   Vastaus

   $-20\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   seinät $A_\text{s} = 70\,\text{m}^2$, $U_\text{s} = 0{,}50\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$; yläpohja $A_\text{y} = 50{,}0\,\text{m}^2$, $U_\text{y} = 0{,}30\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$; patterien teho $P = 2{,}0\,\text{kW}$; $T_\text{sisä} = 20\,{}^\circ\text{C}$

   Kysytty

   alin ulkolämpötila $T_\text{ulko}$, jossa patterit riittävät

   Periaate

   Seinät ja yläpohja johtavat lämpöä rinnakkain, joten niiden tehot lasketaan yhteen. Sisälämpötila pysyy vakiona, kun patterien teho on yhtä suuri kuin johtuva teho. Alin ulkolämpötila vastaa tilannetta, jossa patterit toimivat täydellä teholla.

   Kaava

   $P$$= (U_\text{s} A_\text{s} + U_\text{y} A_\text{y})(T_\text{sisä} - T_\text{ulko})$

   joten

   $T_\text{ulko}$$= T_\text{sisä} - \dfrac{P}{U_\text{s} A_\text{s} + U_\text{y} A_\text{y}}$

   Muunnokset

   Teho muutetaan watteiksi: $2{,}0\,\text{kW} = 2000\,\text{W}$. Lämpötilaero on sama kelvineinä ja celsiusasteina, joten ulkolämpötila voidaan laskea suoraan celsiusasteina.

   Sijoitus

   $U_\text{s} A_\text{s} + U_\text{y} A_\text{y}$$= 0{,}50 \cdot 70\,\tfrac{\text{W}}{\text{K}} + 0{,}30 \cdot 50{,}0\,\tfrac{\text{W}}{\text{K}}$

   $= 50\,\tfrac{\text{W}}{\text{K}}$

   $T_\text{ulko}$$= 20\,{}^\circ\text{C} - \dfrac{2000\,\text{W}}{50\,\tfrac{\text{W}}{\text{K}}}$

   $= 20\,{}^\circ\text{C} - 40\,\text{K}$

   $= -20\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $-20\,{}^\circ\text{C}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittavat tiedot ovat teho $2{,}0\,\text{kW}$ ja johtumiskerroin $50\,\tfrac{\text{W}}{\text{K}}$ (summa $35 + 15{,}0$ säilyttää kaksi numeroa, koska seinän $0{,}50 \cdot 70$ on kahden numeron arvo), joten $\Delta T = 40\,\text{K}$ ja $T = 20\,{}^\circ\text{C} - 40\,\text{K} = -20\,{}^\circ\text{C}$ kokonaisasteina.

   Järkevyys

   Takaisinlasku: $50\,\tfrac{\text{W}}{\text{K}} \cdot 40\,\text{K} = 2000\,\text{W}$, kuten patterien teho. Tulos on alle sisälämpötilan, kuten pitää. Kylmemmällä säällä häviö ylittää $2{,}0\,\text{kW}$, ja mökki jäähtyy, kunnes tasapaino asettuu alempaan sisälämpötilaan.

2. Tehtävä 15-10Ydintehtävä

   Omakotitalon yläpohjan pinta-ala on $130\,\text{m}^2$ ja U-arvo $0{,}090\,\text{W/(m}^2\text{}\cdot\text{K)}$. Lämmityskausi kestää 230 vuorokautta, ja sisä- ja ulkolämpötilan ero on sen aikana keskimäärin $21\,\text{K}$. Talo on kaukolämmössä, ja lämmön hinta on $0{,}11\,\text{€/kWh}$.

   Kuinka paljon yläpohjan läpi karkaava lämpö maksaa lämmityskauden aikana?

   €Tarkista
   Vastaus

   $150\,\text{€}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $A = 130\,\text{m}^2$, $U = 0{,}090\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$, $\Delta T = 21\,\text{K}$, $t = 230\,\text{vrk}$, hinta $h = 0{,}11\,\tfrac{\text{€}}{\text{kWh}}$

   Kysytty

   karkaavan lämmön hinta $H$ euroina lämmityskaudessa

   Periaate

   Lämpötilaero pysyy keskimäärin vakiona, joten johtuva teho on vakio ja energia on teho kerrottuna ajalla. Hinta on energiamäärä kerrottuna yksikköhinnalla.

   Kaava

   $P = UA\Delta T$, $E = Pt$ ja $H = hE$, joten $H = hUA\Delta T\,t$

   Muunnokset

   Hinta on kilowattituntia kohti, joten teho muutetaan kilowateiksi ja aika tunneiksi:

   $t$$= 230 \cdot 24\,\text{h}$

   $= 5520\,\text{h}$

   $P$ watteina jaetaan tuhannella.

   Sijoitus

   $P$$= 0{,}090\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}} \cdot 130\,\text{m}^2 \cdot 21\,\text{K}$

   $= 245{,}7\,\text{W}$

   $= 0{,}2457\,\text{kW}$

   $E$$= 0{,}2457\,\text{kW} \cdot 5520\,\text{h}$

   $= 1356{,}264\,\text{kWh}$

   $H$$= 0{,}11\,\tfrac{\text{€}}{\text{kWh}} \cdot 1356{,}264\,\text{kWh}$

   $\approx 149{,}2\,\text{€}$

   Vastaus

   $150\,\text{€}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittavat tiedot ovat U-arvo $0{,}090$, hinta $0{,}11\,\tfrac{\text{€}}{\text{kWh}}$ ja lämpötilaero $21\,\text{K}$, kaikki kaksi numeroa, joten laskimen tulos $149{,}2\,\text{€}$ pyöristetään.

   Järkevyys

   Pyöristetyillä luvuilla $0{,}25\,\text{kW} \cdot 5500\,\text{h} \approx 1400\,\text{kWh}$ ja $1400 \cdot 0{,}11 \approx 150\,\text{€}$. Hyvin eristetty yläpohja vie suuresta alastaan huolimatta vain noin $250\,\text{W}$. Koko talon kaukolämpö maksaa tyypillisesti yli tuhat euroa vuodessa, joten yksi rakenneosa on vain pieni osa laskusta.

3. Tehtävä 15-11

   Rintamamiestalon vanhojen kaksilasisten ikkunoiden U-arvo on $2{,}8\,\text{W/(m}^2\text{}\cdot\text{K)}$. Ne vaihdetaan kolmilasisiin ikkunoihin, joiden U-arvo on $0{,}80\,\text{W/(m}^2\text{}\cdot\text{K)}$. Ikkunoiden yhteispinta-ala on $14\,\text{m}^2$.

   Kuinka monta kilowattituntia lämpöä vaihto säästää pakkasviikon (7 vuorokautta) aikana, kun sisällä on koko viikon $21\,{}^\circ\text{C}$ ja ulkona $-24\,{}^\circ\text{C}$?

   kWhTarkista
   Vastaus

   $210\,\text{kWh}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vanha $U_\text{v} = 2{,}8\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$, uusi $U_\text{u} = 0{,}80\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$, $A = 14\,\text{m}^2$, $T_\text{sisä} = 21\,{}^\circ\text{C}$, $T_\text{ulko} = -24\,{}^\circ\text{C}$, $t = 7\,\text{vrk}$

   Kysytty

   viikossa säästyvä energia $E$ kilowattitunteina

   Periaate

   Kummankin ikkunatyypin läpi johtuu teho $UA\Delta T$ samalla alalla ja samalla lämpötilaerolla, kun lämpötilat pysyvät vakioina. Säästö on häviötehojen erotus kerrottuna ajalla.

   Kaava

   $\Delta P = U_\text{v} A\Delta T - U_\text{u} A\Delta T$, joten

   $E$$= \Delta P\,t$

   $= (U_\text{v} - U_\text{u})A\Delta T\,t$

   Muunnokset

   Lämpötilaero on sama kelvineinä:

   $\Delta T$$= 21\,{}^\circ\text{C} - (-24\,{}^\circ\text{C})$

   $= 45\,\text{K}$

   Aika on

   $t$$= 7 \cdot 24\,\text{h}$

   $= 168\,\text{h}$

   ja teho muutetaan kilowateiksi.

   Sijoitus

   $\Delta P$$= (2{,}8 - 0{,}80)\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}} \cdot 14\,\text{m}^2 \cdot 45\,\text{K}$

   $= 1260\,\text{W}$

   $= 1{,}26\,\text{kW}$

   $E$$= 1{,}26\,\text{kW} \cdot 168\,\text{h}$

   $= 211{,}68\,\text{kWh}$

   Vastaus

   $210\,\text{kWh}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittavat tiedot ovat U-arvojen erotus $2{,}8 - 0{,}80 = 2{,}0$ (erotuksella on epätarkemman luvun $2{,}8$ desimaalit, joten kaksi numeroa), ala $14\,\text{m}^2$ ja lämpötilaero $45\,\text{K}$, kaikki kaksi numeroa; aika $7\,\text{vrk} = 168\,\text{h}$ on tarkka.

   Järkevyys

   Tase kuntoon: vanhoista ikkunoista karkasi $2{,}8 \cdot 14 \cdot 45\,\text{W} = 1{,}76\,\text{kW}$ ja uusista $0{,}80 \cdot 14 \cdot 45\,\text{W} = 0{,}50\,\text{kW}$, erotus $1{,}26\,\text{kW}$. Viikossa vanhat veisivät $296\,\text{kWh}$ ja uudet $85\,\text{kWh}$. Säästö on suurin pakkasella, kun $\Delta T$ on suuri.

4. Tehtävä 15-12

   Lumi ja jää heijastavat auringonvaloa paljon paremmin kuin tumma merenpinta tai maa.

   Oletetaan hypoteettisesti, että lumen ja jään väheneminen pienentäisi maapallon heijastamaa osuutta Auringon säteilystä $30{,}0\,\%$:sta $29{,}0\,\%$:iin (todellinen muutos on pienempi). Auringosta tulee keskimäärin $340\,\text{W/m}^2$.

   Kuinka paljon maapallon imemä teho neliömetriä kohti kasvaisi? Vertaa tulosta nykyiseen energiaepätasapainoon, joka on noin $1{,}0\,\text{W/m}^2$.

   W/m²Tarkista
   Vastaus

   $3{,}4\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $P_\text{tulo} = 340\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$, $r_1 = 30{,}0\,\% = 0{,}300$, $r_2 = 29{,}0\,\% = 0{,}290$

   Kysytty

   imeytyvän tehon kasvu neliömetriä kohti $\Delta P_\text{im}$ ja sen vertailu epätasapainoon $1{,}0\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$

   Periaate

   Tuleva teho jakautuu heijastuvaan ja imeytyvään osaan, ja vain imeytyvä osa lämmittää maapalloa. Kun heijastuva osuus pienenee ja Auringon teho pysyy samana, imeytyvä teho kasvaa.

   Kaava

   $P_\text{im} = (1 - r)P_\text{tulo}$, joten

   $\Delta P_\text{im}$$= (1 - r_2)P_\text{tulo} - (1 - r_1)P_\text{tulo}$

   $= (r_1 - r_2)P_\text{tulo}$

   Muunnokset

   Prosentit muutetaan desimaaliluvuiksi: $30{,}0\,\% = 0{,}300$ ja $29{,}0\,\% = 0{,}290$. Teho pysyy yksikössä $\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$.

   Sijoitus

   $\Delta P_\text{im}$$= (0{,}300 - 0{,}290) \cdot 340\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$

   $= 0{,}010 \cdot 340\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$

   $= 3{,}4\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$

   Vastaus

   $3{,}4\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittavia tietoja on kaksi: erotus $0{,}300 - 0{,}290 = 0{,}010$ (kaksi numeroa, koska prosentit on annettu kymmenesosaprosentin tarkkuudella) ja tuleva teho $340\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$ (vähintään kaksi numeroa). Jos prosentit olisi annettu vain kokonaislukuina, erotus $30 - 29 = 1$ olisi yhden numeron arvo. Tulos on $\dfrac{3{,}4}{1{,}0} = 3{,}4$-kertainen nykyiseen epätasapainoon verrattuna.

   Järkevyys

   Erillinen lasku: imeytyvä teho kasvaa $238\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$:stä $241{,}4\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$:iin, ero $3{,}4\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$. Kasvu on positiivinen, koska heijastuminen vähenee. Yhden prosenttiyksikön muutos on pieni, mutta suuri verrattuna epätasapainoon, ja lämpeneminen sulattaa jäätä, mikä lisää imeytymistä edelleen.

5. Tehtävä 15-13

   Kaksi samanlaista kuppia täytetään $0{,}25\,\text{kg}$:lla kuumaa vettä, jonka lämpötila on $80{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Kuppi A on avoin, ja kupissa B on kansi. Kupit ovat samassa huoneessa, ja lämpötilat mitataan viiden minuutin välein (esimerkkiaineisto). Kupin oma lämpökapasiteetti jätetään huomiotta, ja veden ominaislämpökapasiteetti on $4190\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$.

   a) Laske, kuinka suuri keskimääräinen lämpöteho kannen ansiosta jää karkaamatta ensimmäisten $10\,\text{min}$ aikana.

   b) Mitä kansi estää avoimessa kupissa, ja miksi kupin B vesi silti jäähtyy?

   Anna a)-kohdan tulos vastauslaatikkoon.

   Veden lämpötila jäähtyessä (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{min})$	$T_\text{A}\,({}^\circ\text{C})$	$T_\text{B}\,({}^\circ\text{C})$
   0	80,0	80,0
   5	73,9	76,6
   10	69,0	73,0
   15	64,8	70,1
   20	61,2	67,4

   WTarkista
   Vastaus

   $7{,}0\,\text{W}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 0{,}25\,\text{kg}$, $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$, alkulämpötila $80{,}0\,{}^\circ\text{C}$; taulukosta ajan $t = 10\,\text{min}$ kohdalla $T_\text{A} = 69{,}0\,{}^\circ\text{C}$ (avoin) ja $T_\text{B} = 73{,}0\,{}^\circ\text{C}$ (kansi)

   Kysytty

   kannen estämä keskimääräinen lämpöteho $P_\text{kansi}$ watteina ensimmäisten $10\,\text{min}$ aikana

   Periaate

   Veden sisäenergian pieneneminen on yhtä suuri kuin ympäristöön siirtynyt lämpö, kun olomuoto ei muutu: $Q = cm\Delta T$. Kupit ja huone ovat samanlaiset, joten avoimen kupin ylimääräinen jäähtyminen johtuu kannen puuttumisesta. Teho on lämpö jaettuna ajalla.

   Kaava

   $\Delta T_\text{ero} = T_\text{B} - T_\text{A}$,

   $Q$$= cm\Delta T_\text{ero}$

   $P_\text{kansi}$$= \dfrac{Q}{t}$

   $= \dfrac{cm\,(T_\text{B} - T_\text{A})}{t}$

   Muunnokset

   Aika muutetaan sekunneiksi:

   $10\,\text{min}$$= 10 \cdot 60\,\text{s}$

   $= 600\,\text{s}$

   Lämpötilaero on sama kelvineinä ja celsiusasteina.

   Sijoitus

   $T_\text{B} - T_\text{A}$$= 73{,}0\,{}^\circ\text{C} - 69{,}0\,{}^\circ\text{C}$

   $= 4{,}0\,\text{K}$

   $P_\text{kansi}$$= \dfrac{4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}25\,\text{kg} \cdot 4{,}0\,\text{K}}{600\,\text{s}}$

   $= \dfrac{4190\,\text{J}}{600\,\text{s}}$

   $= 6{,}98\,\text{W}$

   Vastaus

   $7{,}0\,\text{W}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittava tieto on lämpötilaero $4{,}0\,\text{K}$, joka on kahden numeron arvo.

   Järkevyys

   Avoin kuppi luovuttaa

   $\dfrac{4190 \cdot 0{,}25 \cdot 11{,}0}{600}\,\text{W}$

   $\approx 19{,}2\,\text{W}$

   ja kuppi kannen kanssa

   $\dfrac{4190 \cdot 0{,}25 \cdot 7{,}0}{600}\,\text{W}$

   $\approx 12{,}2\,\text{W}$

   joten erotus on $19{,}2\,\text{W} - 12{,}2\,\text{W} = 7{,}0\,\text{W}$, kuten laskettu. Kansi poistaa siis noin kolmanneksen häviöstä. Teho on pieni verrattuna esimerkiksi talon häviöihin, mikä sopii yhteen pienen kupin kanssa.

   Mallivastaus b)

   Kansi estää ennen kaikkea haihtumisen: höyrystyvä vesi vie mukanaan höyrystymislämmön, ja konvektio kuljettaa höyryn ja lämpimän ilman pois kupin yltä. Kansi pysäyttää tämän virtauksen, joten kupin B vesi jäähtyy hitaammin. Se jäähtyy silti, koska lämpöä johtuu kupin seinän ja kannen läpi ympäröivään ilmaan ja kuppi säteilee lämpöä, eikä kansi estä niitä. Taulukon mukaan kupin B lämpötila laskee ajassa $20\,\text{min}$ arvosta $80{,}0\,{}^\circ\text{C}$ arvoon $67{,}4\,{}^\circ\text{C}$.

6. Tehtävä 15-14

   Oppilas laskee, kuinka suuri lämpöteho johtuu ikkunan läpi. Ikkunan pinta-ala on $1{,}6\,\text{m}^2$ ja U-arvo $1{,}0\,\text{W/(m}^2\cdot\text{K)}$. Sisällä on $21\,{}^\circ\text{C}$ ja ulkona $-15\,{}^\circ\text{C}$. Oppilaan ratkaisu on: ”Lämpötilaero on $21\,{}^\circ\text{C} - 15\,{}^\circ\text{C} = 6\,\text{K}$, joten $P = UA\Delta T = 1{,}0 \cdot 1{,}6 \cdot 6\,\text{W} = 9{,}6\,\text{W}$.”

   a) Missä oppilaan ratkaisun virhe on, ja miten huomaisit jo pyöristetyillä luvuilla, että tulos on liian pieni?

   b) Laske ikkunan läpi johtuva lämpöteho oikein.

   Anna b)-kohdan tulos vastauslaatikkoon.

   WTarkista
   Vastaus

   $58\,\text{W}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $A = 1{,}6\,\text{m}^2$, $U = 1{,}0\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$, $T_\text{sisä} = 21\,{}^\circ\text{C}$, $T_\text{ulko} = -15\,{}^\circ\text{C}$; oppilaan tulos $\Delta T = 6\,\text{K}$ ja $P = 9{,}6\,\text{W}$

   Kysytty

   oppilaan virhe ja oikea lämpöteho $P$ watteina

   Periaate

   Ikkunan läpi johtuva teho on $P = UA\Delta T$, ja $\Delta T$ on sisä- ja ulkolämpötilan erotus. Kun ulkona on pakkasta, ulkolämpötila on negatiivinen, ja sen vähentäminen kasvattaa eroa, koska luvun $-15$ vähennys on sama kuin luvun $15$ lisäys.

   Kaava

   $\Delta T$$= T_\text{sisä} - T_\text{ulko}$

   $P$$= UA\Delta T$

   $= UA\,(T_\text{sisä} - T_\text{ulko})$

   Muunnokset

   Lämpötilaero on sama celsiusasteina ja kelvineinä, joten muunnoksia ei tarvita:

   $\Delta T$$= 21\,{}^\circ\text{C} - (-15\,{}^\circ\text{C})$

   $= 36\,\text{K}$

   Muut yksiköt ovat valmiiksi $\text{m}^2$ ja $\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$.

   Sijoitus

   $P$$= 1{,}0\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}} \cdot 1{,}6\,\text{m}^2 \cdot 36\,\text{K}$

   $= 57{,}6\,\text{W}$

   Vastaus

   $58\,\text{W}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittavat tiedot ovat $U = 1{,}0$, $A = 1{,}6\,\text{m}^2$ ja kokonaisasteiden erotus $\Delta T = 36\,\text{K}$.

   Järkevyys

   Oppilas laski $21 - 15 = 6$, eli hän käsitteli ulkolämpötilan pakkaslukemaa positiivisena lukuna. Oikea ero on $21 + 15 = 36\,\text{K}$. Virheen huomaa pyöristetyillä luvuilla: lämpötilaero on huoneen ja pakkasen välillä noin $20 + 15 = 35\,\text{K}$, joten teho on noin $1{,}0 \cdot 1{,}6 \cdot 35 \approx 56\,\text{W}$, ei $9{,}6\,\text{W}$. Oppilaan luku on $36 / 6 = 6$ kertaa liian pieni. Takaisinlasku: $57{,}6 / (1{,}0 \cdot 1{,}6) = 36\,\text{K}$.

   Mallivastaus a)

   Oppilas laski lämpötilaeron väärin: hän vähensi $15$ luvusta $21$ eikä vähentänyt lukua $-15$. Pyöristetyillä luvuilla virheen huomaa, koska huoneen ja pakkasen ero on selvästi yli $30\,\text{K}$, joten tulos $9{,}6\,\text{W}$ on noin kuusi kertaa liian pieni.

7. Tehtävä 15-15

   Oppilaat tutkivat seinäpaneelin eristyskykyä. Paneelin pinta-ala on $0{,}50\,\text{m}^2$. Paneelin sisäpuolta lämmitetään sähkövastuksella, joka pitää lämpötilat vakioina, ja mitataan paneelin läpi johtuva teho $P$ eri lämpötilaeroilla $\Delta T$ (esimerkkiaineisto).

   a) Piirrä pisteet $(\Delta T, P)$-koordinaatistoon ja sovita niihin origon kautta kulkeva suora. Perustele, miksi suoran kuuluu kulkea origon kautta. Suora kulkee likimain pisteen $(50{,}0\,\text{K};\ 8{,}75\,\text{W})$ kautta. Määritä suoran kulmakertoimesta paneelin U-arvo.

   b) Mitä pisteiden asettuminen suoralle kertoo tehon ja lämpötilaeron välisestä riippuvuudesta? Miksi lämpötilojen oli pysyttävä vakioina mittauksen ajan?

   Anna a)-kohdan U-arvo vastauslaatikkoon.

   Paneelin läpi johtuva teho eri lämpötilaeroilla (esimerkkiaineisto)

   $\Delta T\,(\text{K})$	$P\,(\text{W})$
   10,0	1,8
   20,0	3,4
   30,0	5,4
   40,0	6,9
   50,0	8,8

   W/(m²·K)Tarkista
   Vastaus

   $0{,}35\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $A = 0{,}50\,\text{m}^2$; taulukon pisteet $(\Delta T, P)$; suora kulkee likimain pisteiden $(0\,\text{K}$; $0\,\text{W})$ ja $(50{,}0\,\text{K}$; $8{,}75\,\text{W})$ kautta

   Kysytty

   paneelin U-arvo $U$ yksikössä $\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$

   Periaate

   Kun lämpötilat pysyvät vakioina, paneelin läpi johtuva teho on $P = UA\Delta T$, joten $P$ on verrannollinen lämpötilaeroon $\Delta T$. Kuvaajassa $(\Delta T, P)$ suora kulkee origon kautta, koska ilman lämpötilaeroa lämpöä ei siirry ($\Delta T = 0$, joten $P = 0$). Suoran kulmakerroin on $UA$.

   Kuvaajan lukeminen

   Todellisissa mittaussarjoissa mittauspisteet eivät yleensä sijaitse täsmälleen samalla suoralla mittausepävarmuuden vuoksi, joten yksittäiset pisteet poikkeavat suorasta mittausvaihtelun vuoksi. Suora piirretään pisteiden lomaan, ja kulmakerroin luetaan kahdesta suoran pisteestä, ei kahdesta vierekkäisestä mittauspisteestä: $(0\,\text{K}$; $0\,\text{W})$ ja $(50{,}0\,\text{K}$; $8{,}75\,\text{W})$.

   Kaava

   $k$$= \dfrac{\Delta P}{\Delta(\Delta T)}$

   $k = UA$, joten $U = \dfrac{k}{A}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: teho on watteina, lämpötilaero kelvineinä ja ala neliömetreinä.

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{8{,}75\,\text{W} - 0\,\text{W}}{50{,}0\,\text{K} - 0\,\text{K}}$

   $= 0{,}175\,\tfrac{\text{W}}{\text{K}}$

   $U$$= \dfrac{0{,}175\,\tfrac{\text{W}}{\text{K}}}{0{,}50\,\text{m}^2}$

   $= 0{,}35\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$

   Vastaus

   $0{,}35\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten pinta-alassa $0{,}50\,\text{m}^2$.

   Järkevyys

   Takaisinlasku: $0{,}35 \cdot 0{,}50 \cdot 40{,}0 = 7{,}0\,\text{W}$, ja taulukossa on kohdalla $\Delta T = 40{,}0\,\text{K}$ arvo $6{,}9\,\text{W}$, joten suora kulkee pisteiden lomassa. Arvo on suurempi kuin nykyaikaisen seinän $0{,}17\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$, noin kaksinkertainen, mutta paljon pienempi kuin ikkunan $1{,}0\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$, eli sopiva vanhahko eristetty seinäpaneeli.

   Mallivastaus b)

   Pisteet asettuvat suoralle, joten teho on verrannollinen lämpötilaeroon: kun ero kaksinkertaistuu, teho kaksinkertaistuu, kuten kaava $P = UA\Delta T$ sanoo. Lämpötilojen oli pysyttävä vakioina, koska kaava pätee vain silloin, kun rakenteen molemmat pinnat ovat tasalämpöisiä ja lämpötilat eivät muutu mittauksen aikana. Muuten paneeli varastoisi tai luovuttaisi energiaa, eikä mitattu teho vastaisi $UA\Delta T$:ta.

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 15-16

   Hiihtoretkelle pakataan termospulloon $0{,}60\,\text{kg}$ kuumaa kahvia. Pullossa on kaksi sisäkkäistä seinää, joiden välistä on poistettu ilma, ja seinien pinnat ovat kiiltävät.

   Selitä, mitä lämmön siirtymistapoja tyhjiö ja kiiltävät pinnat estävät ja miten. Minkä kautta lämpöä silti karkaa?

   Pullosta karkaa lämpöä keskimäärin $1{,}4\,\text{W}$:n teholla. Kuinka monta kelviniä kahvi jäähtyy $10{,}0\,\text{h}$:ssa? Kahvin ominaislämpökapasiteetti on sama kuin veden, $4190\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$.

   KTarkista
   Vastaus

   $20\,\text{K}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 0{,}60\,\text{kg}$, $P = 1{,}4\,\text{W}$, $t = 10{,}0\,\text{h}$; taulukosta $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ (kahvi kuten vesi)

   Kysytty

   kahvin jäähtyminen $\Delta T$ kelvineinä sekä selitys, mitä siirtymistapoja tyhjiö ja kiiltävät pinnat estävät ja minkä kautta lämpö silti karkaa

   Periaate

   Kahvi luovuttaa lämpöä vain sen verran kuin pullosta karkaa, joten energia säilyy: kahvin sisäenergian pieneneminen on yhtä suuri kuin karkaava energia $Pt$. Kahvi vain jäähtyy eikä sen olomuoto muutu, joten käytetään $Q = cm\Delta T$.

   Kaava

   $cm\Delta T = Pt$, joten $\Delta T = \dfrac{Pt}{cm}$

   Muunnokset

   Aika muutetaan sekunneiksi, koska teho on watteina eli joulea sekunnissa:

   $t$$= 10{,}0 \cdot 3600\,\text{s}$

   $= 36\,000\,\text{s}$

   Massa on jo kilogrammoina.

   Sijoitus

   $\Delta T$$= \dfrac{1{,}4\,\text{W} \cdot 36\,000\,\text{s}}{4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}60\,\text{kg}}$

   $= \dfrac{50\,400\,\text{J}}{2514\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}}$

   $\approx 20{,}05\,\text{K}$

   Vastaus

   $20\,\text{K}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittavat tiedot ovat massa $0{,}60\,\text{kg}$ ja teho $1{,}4\,\text{W}$ (kumpikin kaksi numeroa); aika $10{,}0\,\text{h}$ ja ominaislämpökapasiteetti $4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ ovat kolmen numeron arvoja. Tyhjiössä ei ole hiukkasia, joten lämpö ei johdu eikä kulkeudu konvektiolla seinästä toiseen. Kiiltävät pinnat heijastavat lämpösäteilyn takaisin. Lämpöä karkaa pääosin johtumalla pullon kaulan ja korkin kautta.

   Järkevyys

   Aamulla $90\,{}^\circ\text{C}$:n kahvi on illalla vielä noin $70\,{}^\circ\text{C}$:n lämpöistä, kuten hyvässä termospullossa. Tase: kahvin luovuttama $4190 \cdot 0{,}60 \cdot 20{,}05\,\text{J} \approx 50\,400\,\text{J}$ on yhtä suuri kuin karannut $1{,}4 \cdot 36\,000\,\text{J}$. Yksiköt: $\text{W} \cdot \text{s} = \text{J}$ ja $\tfrac{\text{J}}{\text{J}/\text{K}} = \text{K}$.

2. Tehtävä 15-17

   Kasvihuonekaasujen lisääntymisen vuoksi maapallo saa nykyään keskimäärin $1{,}0\,\text{W/m}^2$ enemmän tehoa kuin säteilee avaruuteen. Maapallon pinta-ala on $5{,}1 \cdot 10^{14}\,\text{m}^2$.

   Kuinka paljon ylimääräistä energiaa maapallolle kertyy vuodessa (365 vuorokautta)?

   Noin $90\,\%$ siitä varastoituu meriin. Oletetaan, että se lämmittää tasaisesti merien ylintä 700 metrin kerrosta, jonka massa on $2{,}6 \cdot 10^{20}\,\text{kg}$ ja ominaislämpökapasiteetti $4{,}0 \cdot 10^{3}\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$.

   Kuinka monta kelviniä kerros lämpenee kymmenessä vuodessa? Miksi suuri vesimassa hidastaa ilmaston lämpenemistä?

   KTarkista
   Vastaus

   $\Delta T = 0{,}14\,\text{K}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $I = 1{,}0\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$, $A = 5{,}1 \cdot 10^{14}\,\text{m}^2$, $t_\text{v} = 365\,\text{vrk}$, merien osuus $f = 0{,}90$, $m = 2{,}6 \cdot 10^{20}\,\text{kg}$, $c = 4{,}0 \cdot 10^{3}\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$, aika $10\,\text{a}$

   Kysytty

   vuodessa kertyvä energia $E_\text{v}$ ja merikerroksen lämpeneminen $\Delta T$ kymmenessä vuodessa sekä selitys, miksi suuri vesimassa hidastaa lämpenemistä

   Periaate

   Ylimääräinen teho on vakio, joten energia on teho kertaa aika. Merivesi vain lämpenee eikä sen olomuoto muutu, joten siihen varastoituva energia on $Q = cm\Delta T$.

   Kaava

   $E_\text{v} = IAt_\text{v}$ ja $cm\Delta T = 10fE_\text{v}$, joten

   $\Delta T$$= \dfrac{10fIAt_\text{v}}{cm}$

   Muunnokset

   Vuosi sekunneiksi:

   $t_\text{v}$$= 365 \cdot 24 \cdot 3600\,\text{s}$

   $= 3{,}1536 \cdot 10^{7}\,\text{s}$

   Kymmenen vuotta on kerroin $10$ kaavassa, ja prosentti on $90\,\% = 0{,}90$.

   Sijoitus

   $E_\text{v}$$= 1{,}0\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2} \cdot 5{,}1 \cdot 10^{14}\,\text{m}^2 \cdot 3{,}1536 \cdot 10^{7}\,\text{s}$

   $\approx 1{,}608 \cdot 10^{22}\,\text{J}$

   $\Delta T$$= \dfrac{10 \cdot 0{,}90 \cdot 1{,}608 \cdot 10^{22}\,\text{J}}{4{,}0 \cdot 10^{3}\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 2{,}6 \cdot 10^{20}\,\text{kg}}$

   $= \dfrac{1{,}447 \cdot 10^{23}\,\text{J}}{1{,}04 \cdot 10^{24}\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}}$

   $\approx 0{,}139\,\text{K}$

   Vastaus

   $E_\text{v} = 1{,}6 \cdot 10^{22}\,\text{J}$

   Ja $\Delta T = 0{,}14\,\text{K}$, kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittavat tiedot ovat teho $1{,}0\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$, pinta-ala $5{,}1 \cdot 10^{14}\,\text{m}^2$, massa $2{,}6 \cdot 10^{20}\,\text{kg}$ ja ominaislämpökapasiteetti $4{,}0 \cdot 10^{3}\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$, kaikki kaksi numeroa; laskimen tulos $0{,}139\,\text{K}$ pyöristetään. Suuri vesimassa hidastaa lämpenemistä, koska suuri lämpökapasiteetti $cm$ vaatii paljon energiaa yhden kelvinin muutokseen.

   Järkevyys

   Suuruusluokka: $10^{23}\,\text{J}$ jaettuna $10^{24}\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}$:lla on noin $0{,}1\,\text{K}$. Lämpökapasiteetti on

   $4{,}0 \cdot 10^{3} \cdot 2{,}6 \cdot 10^{20}\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}$

   $= 1{,}04 \cdot 10^{24}\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}$

   Vertailuksi ilmakehän massa on vain noin $5 \cdot 10^{18}\,\text{kg}$, ja sama energia lämmittäisi sitä kymmeniä kelvinejä. Meri hidastaa lämpenemistä, mutta varastoitunut energia pitää sen käynnissä pitkään.

3. Tehtävä 15-18

   Omakotitaloa lämmittää ilma-vesilämpöpumppu, jonka lämpökerroin on lämmityskaudella keskimäärin 2,8.

   Yläpohjaan puhalletaan lisää eristevillaa, jolloin sen U-arvo pienenee $0{,}35\,\text{W/(m}^2\text{}\cdot\text{K)}$:sta $0{,}10\,\text{W/(m}^2\text{}\cdot\text{K)}$:iin. Yläpohjan pinta-ala on $100\,\text{m}^2$. Lämmityskausi kestää $5800\,\text{h}$, ja sisä- ja ulkolämpötilan ero on sen aikana keskimäärin $19\,\text{K}$.

   Kuinka monta kilowattituntia sähköä lisäeristys säästää lämmityskaudessa?

   Naapurin mielestä eristämisellä ei ole lämpöpumpun omistajalle väliä, koska pumppu ottaa lämmön ilmaiseksi ulkoilmasta. Perustele, miksi eristäminen silti kannattaa.

   kWhTarkista
   Vastaus

   $980\,\text{kWh}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   lämpökerroin $\varepsilon = 2{,}8$, $U_1 = 0{,}35\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$, $U_2 = 0{,}10\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$, $A = 100\,\text{m}^2$, $\Delta T = 19\,\text{K}$, $t = 5800\,\text{h}$

   Kysytty

   lisäeristyksen säästämä sähköenergia $W$ kilowattitunteina sekä perustelu, miksi eristäminen kannattaa lämpöpumpun kanssa

   Periaate

   Eristys pienentää yläpohjan läpi johtuvaa lämpöä, ja lämpöpumpun on luovutettava sisälle vähemmän lämpöä. Lämpökerroin kertoo, että pumppu luovuttaa lämpöä $\varepsilon$ kertaa käyttämänsä sähköenergian verran, joten sähkö on lämpö jaettuna $\varepsilon$:lla.

   Kaava

   $Q = (U_1 - U_2)A\Delta T\,t$ ja $W = \dfrac{Q}{\varepsilon}$, joten

   $W$$= \dfrac{(U_1 - U_2)A\Delta T\,t}{\varepsilon}$

   Muunnokset

   Aika on jo tunteina ja tulos halutaan kilowattitunteina, joten teho $\text{W}$ muutetaan kilowateiksi jakamalla tuhannella: $\text{Wh} / 1000 = \text{kWh}$.

   Sijoitus

   $Q$$= (0{,}35 - 0{,}10)\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}} \cdot 100\,\text{m}^2 \cdot 19\,\text{K} \cdot 5800\,\text{h}$

   $= 475\,\text{W} \cdot 5800\,\text{h}$

   $= 2\,755\,000\,\text{Wh}$

   $= 2755\,\text{kWh}$

   $W$$= \dfrac{2755\,\text{kWh}}{2{,}8}$

   $\approx 983{,}9\,\text{kWh}$

   Vastaus

   $980\,\text{kWh}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittavat tiedot ovat lämpökerroin $2{,}8$, U-arvojen erotus $0{,}35 - 0{,}10 = 0{,}25$ ja lämpötilaero $19\,\text{K}$, kaikki kaksi numeroa; ala $100\,\text{m}^2$ ja aika $5800\,\text{h}$ ovat vähintään kahden numeron arvoja. Laskimen tulos $983{,}9\,\text{kWh}$ pyöristetään. Pumppu ei luo lämpöä vaan siirtää sitä sähköllä, ja sähköä kuluu sitä enemmän, mitä enemmän lämpöä talo tarvitsee. Siksi eristys kannattaa: pienempi lämmöntarve tarkoittaa pienempää sähkölaskua.

   Järkevyys

   Takaisinlasku: $983{,}9 \cdot 2{,}8 \approx 2755\,\text{kWh}$. Sähkösäästö on pienempi kuin lämpösäästö $2755\,\text{kWh}$, koska pumppu luovuttaa $2{,}8$ kWh lämpöä yhdellä sähkökilowattitunnilla; sähkön lisäksi lämpöä tulee ulkoilmasta. Suoralla sähkölämmityksellä ($\varepsilon = 1$) säästö olisi koko $2755\,\text{kWh}$. Pakkasella lämpökerroin pienenee ja lisävastus käynnistyy, joten säästö on silloin suurin.

4. Tehtävä 15-19

   Jäämeren jääpeite on pienentynyt. Taulukossa on jään pinta-ala syyskuun minimissä (esimerkkiaineisto). Arvioidaan mallilla, mitä jään vähenemisestä seuraa. Jään tilalle tullut avoin meri saa saman auringonsäteilyn kuin jää sai, keskimäärin $90\,\text{W/m}^2$. Albedo kertoo, kuinka suuri osuus tulevasta säteilystä heijastuu: jään albedo on $0{,}60$ ja avoimen meren $0{,}06$. Maapallon pinta-ala on $5{,}1 \cdot 10^{14}\,\text{m}^2$.

   a) Lue taulukosta jään pinta-alan pieneneminen vuodesta 1980 vuoteen 2020 ja muuta se neliömetreiksi.

   b) Kuinka paljon suurempaa tehoa alue nyt imee? Laske sitten tämä lisäys keskimäärin koko maapallon pinta-alaa kohti ja vertaa sitä energiaepätasapainoon $1{,}0\,\text{W/m}^2$.

   c) Selitä, miksi jään väheneminen on positiivinen palautekytkentä (muutosta vahvistava vaikutus) ja mikä mallin yksinkertaistus tekee arviosta karkean.

   Anna b)-kohdan koko maapallon pinta-alaa kohti laskettu teho vastauslaatikkoon.

   Jäämeren jään pinta-ala syyskuun minimissä (esimerkkiaineisto)

   Vuosi	$A\,(10^{6}\,\text{km}^2)$
   1980	7,5
   1990	6,1
   2000	6,4
   2010	4,9
   2020	3,9

   W/m²Tarkista
   Vastaus

   $0{,}34\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukosta $A_{1980} = 7{,}5 \cdot 10^{6}\,\text{km}^2$ ja $A_{2020} = 3{,}9 \cdot 10^{6}\,\text{km}^2$; säteilyteho $I = 90\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$, albedot $a_\text{jää} = 0{,}60$ ja $a_\text{meri} = 0{,}06$, maapallon ala $A_\text{maa} = 5{,}1 \cdot 10^{14}\,\text{m}^2$, energiaepätasapaino $1{,}0\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$

   Kysytty

   jään vähenemisen aiheuttama imetyn tehon lisäys maapallon pinta-alaa kohti $\Delta P_\text{maa}$, yksikkö $\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$

   Periaate

   Pinta imee osuuden $1 - a$ tulevasta säteilystä, koska albedo $a$ heijastuu. Kun jää korvautuu avoimella merellä, sama alue imee suuremman osuuden samasta säteilystä, joten imetty teho kasvaa. Lisäys jaetaan maapallon pinta-alalla, jotta sitä voi verrata energiaepätasapainoon.

   Kaava

   $\Delta A$$= A_{1980} - A_{2020}$

   $\Delta P$$= I\,\Delta A\,\bigl[(1 - a_\text{meri}) - (1 - a_\text{jää})\bigr]$

   $= I\,\Delta A\,(a_\text{jää} - a_\text{meri})$

   joten

   $\Delta P_\text{maa}$$= \dfrac{\Delta P}{A_\text{maa}}$

   Muunnokset

   Ala muutetaan neliömetreiksi: $1\,\text{km}^2 = 10^{6}\,\text{m}^2$, joten

   $\Delta A$$= 3{,}6 \cdot 10^{6}\,\text{km}^2$

   $= 3{,}6 \cdot 10^{6} \cdot 10^{6}\,\text{m}^2$

   $= 3{,}6 \cdot 10^{12}\,\text{m}^2$

   Sijoitus

   $\Delta A$$= 7{,}5 \cdot 10^{6}\,\text{km}^2 - 3{,}9 \cdot 10^{6}\,\text{km}^2$

   $= 3{,}6 \cdot 10^{6}\,\text{km}^2$

   $\Delta P$$= 90\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2} \cdot 3{,}6 \cdot 10^{12}\,\text{m}^2 \cdot (0{,}60 - 0{,}06)$

   $= 1{,}7496 \cdot 10^{14}\,\text{W}$

   $\Delta P_\text{maa}$$= \dfrac{1{,}7496 \cdot 10^{14}\,\text{W}}{5{,}1 \cdot 10^{14}\,\text{m}^2}$

   $= 0{,}343\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$

   Vastaus

   $0{,}34\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska säteilyteho $90\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$ ja albedojen erotus $0{,}54$ ovat kahden numeron arvoja. Se on noin kolmannes energiaepätasapainosta $1{,}0\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$, koska $0{,}34 / 1{,}0 \approx 0{,}3$.

   Järkevyys

   Jään alan muutos on $3{,}6 \cdot 10^{12} / 5{,}1 \cdot 10^{14} \approx 0{,}7\,\%$ maapallon alasta. Sen kohdalla imetty teho kasvaa $0{,}54$-kertaisesti $90\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$:iin nähden, eli $0{,}007 \cdot 90 \cdot 0{,}54 \approx 0{,}34\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$, kuten laskettu. Jos albedot olisivat samat, lisäys olisi nolla, kuten pitääkin. Tulos on positiivinen, koska avoin meri imee enemmän.

   Mallivastaus c)

   Palautekytkentä on positiivinen, koska se vahvistaa alkuperäistä muutosta: lämpeneminen sulattaa jäätä, jolloin heijastuminen pienenee ja imetty teho kasvaa, mikä lämmittää vielä lisää. Malli on karkea, koska se käyttää koko ajan samaa säteilytehoa $90\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$ ja kiinteitä albedoja. Todellisuudessa Auringon säteily vaihtelee voimakkaasti vuodenajan mukaan, jään albedo muuttuu sulamislammikoiden vuoksi ja pilvet muuttavat imeytyvää tehoa. Jään väheneminen ei voi jatkua loputtomiin, koska jäätä on vain rajallinen määrä. Suurin yksinkertaistus on, että syyskuun minimin menetys lasketaan niin kuin meri olisi avoinna koko vuoden vuosikeskiarvolla $90\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$, joten arvio on yläraja.

5. Tehtävä 15-20

   Maapallon lämpötilaa arvioidaan yksinkertaisella mallilla. Maanpinta imee Auringosta tehon $239\,\text{W/m}^2$ ja säteilee lämpösäteilyä ylöspäin tehon $S$ neliömetriä kohti. Ilmakehä imee osuuden $0{,}80$ tästä säteilystä, ja loput $20\,\%$ pääsee suoraan avaruuteen. Ilmakehä säteilee imemänsä energian puoliksi ylös avaruuteen ja puoliksi alas maanpinnalle. Mallissa ilmakehä ei ime Auringon säteilyä, ja sekä ilmakehän yläraja että maanpinta ovat energiatasapainossa. Taulukossa on maanpinnan säteilemä lämpöteho neliömetriä kohti sen lämpötilan mukaan (esimerkkiaineisto).

   a) Kirjoita energiataseet (ulos lähtevä teho on yhtä suuri kuin sisään tuleva) ilmakehän ylärajalle ja maanpinnalle ja laske maanpinnan säteilemä teho $S$.

   b) Päättele taulukosta maanpinnan lämpötila interpoloimalla ja anna se celsiusasteina.

   c) Mikä lämpötila maanpinnalla olisi ilman ilmakehää, kun se säteilisi vain imemänsä tehon $239\,\text{W/m}^2$? Mitä ero kertoo kasvihuoneilmiöstä, ja miksi malli on silti karkea?

   Anna b)-kohdan lämpötila celsiusasteina vastauslaatikkoon.

   Maanpinnan lämpösäteilyn teho lämpötilan mukaan (esimerkkiaineisto)

   $T\,(\text{K})$	$P\,(\text{W/m}^2)$
   255	240
   273	315
   288	390
   303	478
   318	580

   °CTarkista
   Vastaus

   $16\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $P_\text{im} = 239\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$, ilmakehän imemä osuus $f = 0{,}80$, loput $1 - f = 0{,}20$ menee suoraan avaruuteen; ilmakehä säteilee puoliksi ylös ja puoliksi alas; taulukon pisteet $(T, P)$

   Kysytty

   maanpinnan säteilemä teho $S$ ja maanpinnan lämpötila $T$ celsiusasteina

   Periaate

   Energiatasapainossa tuleva ja lähtevä teho ovat yhtä suuret. Ilmakehän ylärajalla avaruuteen lähtevän tehon on oltava $239\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$, koska Auringosta imeytyvä teho on sama. Maanpinnalle tulee Auringon lisäksi ilmakehän alaspäin säteilemä teho, ja kasvihuoneilmiö nostaa lämpötilaa.

   Kaava

   Ylärajalla $239\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2} = (1 - f)\,S + \tfrac{fS}{2}$, joten

   $S$$= \dfrac{239\,\text{W/m}^2}{1 - f/2}$

   Maanpinnalla tarkistus: $S = 239\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2} + \tfrac{fS}{2}$. Lämpötila interpoloidaan taulukon pisteiden $(T_1, P_1)$ ja $(T_2, P_2)$ välistä:

   $T$$= T_1 + \dfrac{S - P_1}{P_2 - P_1}\,(T_2 - T_1)$

   Muunnokset

   Kelvinlämpötila muutetaan celsiusasteiksi vähentämällä $273{,}15$: $T_\text{C} = T - 273{,}15\,\text{K}$.

   Sijoitus

   $S$$= \dfrac{239\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}}{1 - 0{,}40}$

   $= 398{,}3\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$

   Tarkistus: $239 + 0{,}40 \cdot 398{,}3 = 398{,}3\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$. Arvo $398{,}3$ on taulukon pisteiden $288\,\text{K}$ ($390$) ja $303\,\text{K}$ ($478$) välissä:

   $T$$= 288\,\text{K} + \dfrac{398{,}3 - 390}{478 - 390} \cdot 15\,\text{K}$

   $= 289{,}4\,\text{K}$

   $T_\text{C}$$= 289{,}4\,\text{K} - 273{,}15\,\text{K}$

   $= 16{,}3\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $16\,{}^\circ\text{C}$

   (laskettuna $16{,}3\,{}^\circ\text{C}$), kaksi merkitsevää numeroa, koska lineaarinen interpolointi kaarevalla taulukkokäyrällä rajoittaa tuloksen noin $\pm 0{,}5\,\text{K}$:n tarkkuuteen.

   Järkevyys

   Lämpötila $16\,{}^\circ\text{C}$ on lähellä maapallon todellista keskilämpötilaa noin $+15\,{}^\circ\text{C}$. Teho $398{,}3\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$ on suurempi kuin $239\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$, kuten pitää, koska maanpinta saa ilmakehältä lisää energiaa. Rajatapaus $f = 0$ antaa $S = 239\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$, ja sitä vastaa taulukosta noin $255\,\text{K}$.

   Mallivastaus c)

   Ilman ilmakehää maanpinta säteilisi vain imemänsä tehon $239\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$, jota vastaa taulukosta $255\,\text{K}$ eli $255 - 273{,}15 \approx -18\,{}^\circ\text{C}$. Malli antaa ilmakehällä lämpötilan $16{,}3\,{}^\circ\text{C}$, eli noin $34\,\text{K}$ lämpimämmän, joten kasvihuoneilmiö nostaa maanpinnan lämpötilaa tämän verran. Malli on silti karkea: oikea ilmakehä imee Auringon säteilyä, osuus $0{,}80$ vaihtelee aallonpituuden mukaan, ja pilvet, konvektio ja veden haihtuminen siirtävät energiaa maanpinnalta ylös muullakin tavalla kuin säteilemällä.