Soveltava luku: ultraäänikuvaus ja maanjäristysaallot
Miksi ultraäänilaite pystyy piirtämään kuvan kehon sisältä pelkkien kaikujen avulla, ja miksi anturin alle levitetään ensin geeliä?
Pohjatiedot
- Aallon nopeus, taajuus ja aallonpituus liittyvät toisiinsa yhtälöllä $v = f\lambda$, ja aalto voi olla poikittainen tai pitkittäinenluku Aaltojen synty ja eteneminen
- Aalto heijastuu osittain kahden aineen rajapinnalta, ja este taivuttaa aaltoa sitä enemmän, mitä suurempi aallonpituus on esteeseen verrattunaluku Aalto kohtaa esteen tai raon
- Ääni on pitkittäistä aaltoliikettä, ja ihminen kuulee taajuudet noin $20\,\text{Hz}$:stä $20\,\text{kHz}$:iinluku Ääni aaltona: korkeus, sointiväri ja Dopplerin ilmiö
Pohdinta
Tutkimushuoneessa potilas makaa selällään. Hoitaja levittää vatsan iholle kylmää, läpikuultavaa geeliä ja painaa sen päälle kämmenen kokoisen anturin. Näytölle piirtyy harmaa viuhka, jossa erottuvat elinten reunat. Anturi ei lähetä valoa eikä röntgensäteilyä. Se lähettää ääntä, jota korva ei kuule, ja kuuntelee kaikuja.
Miten pelkistä kaiuista voidaan päätellä, kuinka syvällä kehossa jokin rakenne on, ja mihin geeliä tarvitaan?
Kertaa: aallonpituus
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: kuinka syvällä?
Ennuste 2: miksi geeliä?
Tutki
Tutki: kuinka paljon heijastuu?
Mallin laskemia arvoja
Taulukossa on, kuinka suuri osa ultraäänipulssin energiasta heijastuu kohtisuoraan osuvana eri rajapinnoilta. Prosentit on laskettu aineiden tyypillisistä akustisista ominaisuuksista, ja ne ovat likiarvoja. Taulukossa on myös äänen nopeus aineissa.
| Rajapinta | Heijastuu noin |
|---|---|
| geeli – iho | $0{,}2\,\%$ |
| rasva – lihas | $1\,\%$ |
| pehmytkudos – luu | $40\,\%$ |
| ilma – iho | $99{,}9\,\%$ |
| Aine | Äänen nopeus |
|---|---|
| ilma | $343\,\text{m/s}$ |
| rasva | $1450\,\text{m/s}$ |
| pehmytkudos keskimäärin | $1540\,\text{m/s}$ |
| lihas | $1580\,\text{m/s}$ |
| luu | noin $3500\,\text{m/s}$ |
Tutki: kaikukäyrän lukeminen
Keksitty esimerkkiaineisto
Kuvaajassa on reiden A-kuvaus eli kaikukäyrä. Anturi on iholla, ja pulssi lähtee hetkellä $t = 0$. Kaikki kaiut ovat samassa suunnassa ihon alla. Kaiku A tulee rasvan ja lihaksen rajapinnalta, kaiku B kahden lihaksen välisestä kalvosta ja kaiku C reisiluun pinnalta. Laite olettaa, että ääni etenee kudoksessa nopeudella $1540\,\text{m/s}$.
Lue kaikujen B ja C hetket kuvaajasta. Kuinka paksu on kudoskerros rajapintojen B ja C välissä? Vastaa senttimetreinä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Mitä matkaa kaikujen B ja C aikaero vastaa? Pulssi kulkee kerroksen läpi kahdesti.
Vihje 2: mikä yhteys
Kaikujen aikaero on
ja kerroksen paksuus on $\tfrac{v \Delta t}{2}$.
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
äänen nopeus kudoksessa $v = 1540\,\text{m/s}$; kuvaajasta kaiun B hetki ja kaiun C hetki
Kysytty
rajapintojen B ja C välisen kerroksen paksuus $\Delta d$ senttimetreinä
Periaate
Kaiun kulkuaikana pulssi kulkee rajapintaan ja takaisin, joten syvyys on $d = \tfrac{vt}{2}$. Kaikujen aikaero on aika, jonka pulssi tarvitsee kulkeakseen kerroksen läpi alas ja takaisin, kun nopeus on koko matkalla sama.
Kuvaajan lukeminen
Kaiun B piikki on apuviivalla $50\,\mu\text{s}$ ja kaiun C piikki apuviivalla $90\,\mu\text{s}$. Aikaero on
Kaava
joten $\Delta d = \dfrac{v \Delta t}{2}$
Muunnokset
$40\,\mu\text{s} = 40 \cdot 10^{-6}\,\text{s}$; lopuksi $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$.
Sijoitus
Vastaus
$3{,}1\,\text{cm}$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska kuvaajasta luettu aikaero $40\,\mu\text{s}$ tunnetaan noin mikrosekunnin tarkkuudella.
Järkevyys
Rajapinnat ovat syvyyksillä $d_\text{B} = 3{,}85\,\text{cm}$ ja $d_\text{C} = 6{,}93\,\text{cm}$, ja niiden erotus on sama $3{,}08\,\text{cm}$. Muutaman senttimetrin lihaskerros reisiluun päällä on aikuisella uskottava.
Tutki: kolme seismografiasemaa
Mallin laskemia arvoja
Maanjäristyksestä lähtee kaksi Maan sisäosien läpi etenevää aaltoa: P-aalto ja S-aalto. Kuvaajassa on kolmen aseman seismogrammit samasta järistyksestä. Asemat ovat eri etäisyyksillä järistyksestä, ja aika on laskettu järistyksen hetkestä. Arvot on laskettu mallista, jossa aallot kulkevat suoraan ja tasaisilla nopeuksilla.
Lue jokaiselta asemalta P- ja S-aallon saapumisaikojen ero $\Delta t$. Miten se riippuu aseman etäisyydestä? Kuinka monta kilometriä etäisyyttä vastaa yksi sekunti aikaeroa? Vastaa yksikössä km/s.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Lue jokaiselta riviltä P:n ja S:n alkuhetki ja laske niiden erotus. Vertaa erotuksia etäisyyksiin.
Vihje 2: mikä yhteys
Aikaerot ovat $10\,\text{s}$, $20\,\text{s}$ ja $30\,\text{s}$. Kun etäisyys kaksinkertaistuu, myös aikaero kaksinkertaistuu.
Vihje 3: välivaihe
$\tfrac{84\,\text{km}}{10\,\text{s}}$
Näytä ratkaisu
Annettu
asemien etäisyydet $84\,\text{km}$, $168\,\text{km}$ ja $252\,\text{km}$; kuvaajasta P- ja S-aallon saapumisajat
Kysytty
etäisyys yhtä sekuntia aikaeroa kohti, $\tfrac{d}{\Delta t}$, yksikössä km/s
Periaate
Kumpikin aalto kulkee saman matkan tasaisella nopeudella, joten kummankin kulkuaika on suoraan verrannollinen matkaan. Silloin myös kulkuaikojen ero on suoraan verrannollinen matkaan, ja suhde $\tfrac{d}{\Delta t}$ on sama kaikilla asemilla.
Kuvaajan lukeminen
Ylimmällä asemalla P alkaa hetkellä $14\,\text{s}$ ja S hetkellä $24\,\text{s}$, joten $\Delta t = 10\,\text{s}$. Keskimmäisellä $28\,\text{s}$ ja $48\,\text{s}$, $\Delta t = 20\,\text{s}$. Alimmalla $42\,\text{s}$ ja $72\,\text{s}$, $\Delta t = 30\,\text{s}$. Aikaero kasvaa samassa suhteessa kuin etäisyys.
Kaava
$d = k\,\Delta t$, josta $k = \dfrac{d}{\Delta t}$
Muunnokset
Etäisyydet ovat kilometreinä ja ajat sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Vastaus
$8{,}4\,\text{km/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska saapumisajat luetaan kuvaajasta noin sekunnin tarkkuudella.
Järkevyys
Luku ei ole kummankaan aallon nopeus: se on suurempi kuin P-aallon nopeus $\tfrac{84\,\text{km}}{14\,\text{s}} = 6{,}0\,\text{km/s}$, koska aikaero on pienempi kuin kumpikaan kulkuaika. Kaikki kolme asemaa antavat saman suhteen, joten aikaero on suoraan verrannollinen etäisyyteen.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Kaiku kertoo syvyyden
Ultraääni on ääntä, jonka taajuus on yli $20\,\text{kHz}$, eli liian suuri ihmisen kuultavaksi. Lääketieteellisessä kuvauksessa käytetään taajuuksia noin $2\text{–}15\,\text{MHz}$. Anturi lähettää kehoon lyhyen ultraäänipulssin ja kuuntelee sitten kaikuja. Kun pulssi osuu kahden kudoksen rajapintaan, osa siitä heijastuu takaisin ja loput jatkaa syvemmälle (luku Aalto kohtaa esteen tai raon). Jokainen rajapinta antaa siis oman kaikunsa. Laite mittaa, kuinka pitkän ajan kuluttua kukin kaiku palaa. Koska pulssi kulkee rajapintaan ja takaisin, kaiun kulkuaikana se etenee kaksi kertaa rajapinnan syvyyden. Laite olettaa, että ääni etenee pehmytkudoksessa keskimäärin nopeudella $1540\,\text{m/s}$, ja laskee jokaisen kaiun syvyyden.
Kun anturia kallistetaan tai siinä on rivi pieniä lähettimiä, pulsseja lähetetään moneen suuntaan. Kaikujen syvyyksistä ja voimakkuuksista syntyy kaksiulotteinen harmaasävykuva, B-kuva. Yksinkertaisin esitys on A-kuvaus, kaikukäyrä: siinä vaaka-akselilla on aika pulssin lähettämisestä ja pystyakselilla kaiun voimakkuus. Kaikukäyrän piikki tarkoittaa rajapintaa, ja piikin paikka kertoo, kuinka syvällä rajapinta on.
Miksi geeliä tarvitaan
Kuinka suuri osa aallosta heijastuu, riippuu siitä, kuinka erilaisia rajapinnan aineet ovat äänen etenemisen kannalta. Pehmytkudokset muistuttavat toisiaan, joten niiden rajapinnoilta heijastuu vain noin prosentti. Siksi suurin osa pulssista jatkaa syvemmälle ja tuottaa kaikuja myös syvemmistä rajapinnoista. Luun ja pehmytkudoksen rajapinnalta heijastuu noin $40\,\%$, ja luu myös vaimentaa ääntä voimakkaasti, joten luun taakse jää kaikuja antamaton varjo. Ilman ja ihon rajapinnalta heijastuu noin $99{,}9\,\%$. Jos anturin ja ihon väliin jää ohutkin ilmakerros, lähes koko pulssi heijastuu takaisin jo iholta. Geeli syrjäyttää ilman: sen ja ihon rajapinnalta heijastuu vain noin $0{,}2\,\%$.
Taajuus: tarkka kuva vai syvälle ulottuva kuva
Aallonpituus saadaan yhtälöstä $v = f\lambda$ (luku Aaltojen synty ja eteneminen). Taajuudella $5\,\text{MHz}$ ultraäänen aallonpituus pehmytkudoksessa on noin $0{,}3\,\text{mm}$. Pienimmät erottuvat yksityiskohdat ovat karkeasti muutaman aallonpituuden kokoisia, joten suuri taajuus ja lyhyt aallonpituus antavat tarkemman kuvan. Toisaalta kudos muuttaa osan ääniaallon energiasta sisäenergiaksi, ja tämä vaimeneminen kasvaa likimain suoraan verrannollisesti taajuuteen. Suurtaajuinen pulssi heikkenee siksi nopeasti, eikä sen kaiku palaa syvältä riittävän voimakkaana. Syvällä olevat elimet, kuten sydän ja maksa, kuvataan pienellä taajuudella, ja pinnan lähellä olevat rakenteet, kuten jänteet ja kilpirauhanen, suurella.
| $f$ | $\lambda$ | Syvyys | Kohde |
|---|---|---|---|
| $2{,}5\,\text{MHz}$ | $0{,}62\,\text{mm}$ | $20\,\text{cm}$ | sydän, vatsa |
| $5\,\text{MHz}$ | $0{,}31\,\text{mm}$ | $10\,\text{cm}$ | raskaus |
| $10\,\text{MHz}$ | $0{,}15\,\text{mm}$ | $5\,\text{cm}$ | kilpirauhanen |
| $15\,\text{MHz}$ | $0{,}10\,\text{mm}$ | $3\,\text{cm}$ | jänteet, iho |
Taulukossa $f$ on taajuus, $\lambda$ aallonpituus kudoksessa ja syvyys tyypillinen kuvaussyvyys. Kuvaussyvyydet ovat suuntaa antavia: ne riippuvat laitteesta ja kudoksesta. Ultraäänellä voidaan mitata myös veren virtausnopeutta. Liikkuvista verisoluista heijastuneen kaiun taajuus on hieman eri kuin lähetetyn pulssin, ja taajuuden muutoksesta laite laskee nopeuden. Tämä on Doppler-ilmiö (luku Ääni aaltona: korkeus, sointiväri ja Dopplerin ilmiö).
Kaikuluotaus luonnossa ja tekniikassa (lisätieto)
Lepakot ja delfiinit paikantavat saaliinsa samalla periaatteella. Lepakko lähettää lyhyitä ultraääniäännähdyksiä, joiden taajuus on lajista riippuen noin $20$–$100\,\text{kHz}$, ja päättelee kaikujen viiveestä etäisyyden. Taajuudella $50\,\text{kHz}$ aallonpituus ilmassa on noin $7\,\text{mm}$. Kappaleesta, joka on paljon aallonpituutta pienempi, palaa vain hyvin heikko kaiku, koska aalto taipuu sen ympäri (luku Aalto kohtaa esteen tai raon). Siksi hyönteisiä saalistavat lepakot käyttävät suuria taajuuksia. Laivojen kaikuluotain mittaa samalla tavalla veden syvyyden ja havaitsee kalaparvia; ääni etenee vedessä noin $1400\text{–}1500\,\text{m/s}$ lämpötilasta riippuen.
Maanjäristysaallot
Maanjäristyksessä kallioperä murtuu, ja murtumakohdasta lähtee maanjäristysaaltoja. Maan sisäosien läpi etenee kahdenlaisia aaltoja. P-aalto on pitkittäinen aalto, jossa kallio tiivistyy ja harvenee etenemissuunnassa. Se on nopein ja saapuu asemalle ensimmäisenä. S-aalto on poikittainen aalto, jossa kallio liikkuu sivusuunnassa. Se on hitaampi kuin P-aalto. Maankuoren yläosassa P-aallon nopeus on tyypillisesti noin $6\,\text{km/s}$ ja S-aallon noin $3{,}5\,\text{km/s}$. Pintaa pitkin etenevät pinta-aallot ovat vielä hitaampia, mutta niiden amplitudi on suurin, ja ne aiheuttavat suurimman osan tuhoista.
Poikittainen aalto tarvitsee väliaineen, joka vastustaa muodon muuttumista: kun kallion kerros siirtyy sivulle, viereiset kerrokset vetävät sitä takaisin. Neste ei vastusta muodon muuttumista samalla tavalla, joten S-aalto ei etene nesteessä. P-aalto etenee myös nesteessä, kuten ääni vedessä. Kun järistyksiä havaittiin eri puolilla maapalloa, huomattiin, ettei S-aaltoja havaita järistystä vastapäätä olevalla puoliskolla, kun kulmaetäisyys järistyksestä eli Maan keskipisteestä mitattu kulma on yli noin $103^\circ$. S-aalloille jää varjoalue, koska Maan ulkoydin on nestettä.
Tsunami (lisätieto)
Merenpohjan järistys voi nostaa tai laskea yhtäkkiä suuren vesimassan, ja siitä lähtee tsunami. Sen aallonpituus on kymmeniä tai satoja kilometrejä, paljon suurempi kuin valtameren syvyys. Silloin vesi liikkuu pohjasta pintaan asti, ja aallon nopeus riippuu vain veden syvyydestä: syvällä valtamerellä tsunami etenee lentokoneen nopeudella. Kun aalto tulee matalaan rantaveteen, se hidastuu, sen aallonpituus lyhenee ja sen energia kasautuu pienempään vesimäärään. Siksi aallon korkeus kasvaa rannikon lähellä moninkertaiseksi.
Etäisyys aallon kulkuajasta
Kun pulssi kulkee rajapintaan ja takaisin samaa reittiä tasaisella nopeudella, rajapinnan etäisyys on
$$d = \frac{v t}{2}$$
missä $d$ on rajapinnan etäisyys (m), $v$ äänen nopeus väliaineessa (m/s) ja $t$ kaiun kulkuaika eli aika pulssin lähettämisestä kaiun paluuseen (s). Ultraäänilaitteessa $v = 1540\,\text{m/s}$. Kaava pätee myös lepakon ja kaikuluotaimen kaikuihin, kun nopeus on ilman tai veden äänen nopeus. A-kuvausta luetaan niin, että jokaisen piikin hetki luetaan aika-akselilta ja muutetaan syvyydeksi tällä kaavalla. Kahden rajapinnan välisen kerroksen paksuus saadaan kaikujen aikaerosta samalla kaavalla.
Maanjäristysasema ei tiedä, milloin järistys tapahtui, mutta se mittaa P- ja S-aallon saapumisaikojen eron $\Delta t$. Kun aallot kulkevat saman matkan $d$ tasaisilla nopeuksilla, S-aalto jää P-aallosta jälkeen sitä enemmän, mitä pidempi matka on:
$$\begin{aligned} \Delta t &= \frac{d}{v_\text{S}} - \frac{d}{v_\text{P}} \\[6pt] d &= \frac{v_\text{P} v_\text{S}}{v_\text{P} - v_\text{S}}\,\Delta t \end{aligned}$$
missä $d$ on aseman etäisyys järistyksen alkukohdasta (km), $v_\text{P}$ ja $v_\text{S}$ P- ja S-aallon nopeudet (km/s) ja $\Delta t$ S-aallon ja P-aallon saapumisaikojen erotus (s). Kun $v_\text{P} = 6{,}0\,\text{km/s}$ ja $v_\text{S} = 3{,}5\,\text{km/s}$, jokainen sekunti aikaeroa vastaa $8{,}4\,\text{km}$:n etäisyyttä. Kun etäisyys tunnetaan kolmelta asemalta, järistyksen paikka on niiden ympärille piirrettyjen ympyröiden leikkauspisteessä.
Kun aallonpituus on paljon suurempi kuin veden syvyys, matalan veden aallon, kuten tsunamin, nopeus on
$$v = \sqrt{g h}$$
missä $v$ on aallon nopeus (m/s), $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ putoamiskiihtyvyys ja $h$ veden syvyys (m). Yhtälö annetaan tässä johtamatta. Neljän kilometrin syvyydessä nopeus on noin $198\,\text{m/s}$ eli noin $710\,\text{km/h}$, mutta $10\,\text{m}$:n syvyisessä rantavedessä enää noin $9{,}9\,\text{m/s}$.
Lukuarvojen lähteet
Äänen nopeus $1540\,\text{m/s}$ on ultraäänilaitteiden vakio-oletus pehmytkudokselle (esimerkiksi Hoskins, Martin ja Thrush: Diagnostic Ultrasound, 3. painos, 2019). Maankuoren aaltojen nopeudet ovat likiarvoja maapallon nopeusmallista IASP91 (Kennett ja Engdahl 1991), jossa ylimmän kuoren arvot ovat $5{,}8\,\text{km/s}$ ja $3{,}36\,\text{km/s}$. Heijastuvien osuuksien prosentit on laskettu kudosten tyypillisistä akustisista ominaisuuksista, ja ne ovat likiarvoja.
Yleinen virhekäsitys
Yleisin laskuvirhe on unohtaa, että kaiku kulkee edestakaisin. Jos ultraäänen kaiku palaa $65\,\mu\text{s}$:n kuluttua, tulo $v t$ on $10\,\text{cm}$, mutta rajapinta on vain $5{,}0\,\text{cm}$:n syvyydellä. Toinen virhe on ajatella, että suurin taajuus on aina paras, koska se antaa tarkimman kuvan. Suurtaajuinen ultraääni vaimenee nopeasti, joten syvälle kuvataan pienemmällä taajuudella ja tarkkuudesta joudutaan tinkimään. Kolmas virhe on pitää ultraääntä säteilynä kuten röntgensäteilyä. Ultraääni on mekaanista aaltoliikettä, joka tarvitsee väliaineen, eikä se ionisoi kudosta.
Tiivistelmä
- Ultraääni on ääntä, jonka taajuus on yli $20\,\text{kHz}$; lääketieteellinen kuvaus käyttää taajuuksia noin $2\text{–}15\,\text{MHz}$.
- Osa pulssista heijastuu jokaiselta rajapinnalta. Rajapinnan syvyys saadaan kaiun kulkuajasta, $d = \tfrac{vt}{2}$, kun $v = 1540\,\text{m/s}$.
- Geeli syrjäyttää ilman anturin ja ihon välistä; ilman ja ihon rajapinnalta heijastuisi lähes koko pulssi.
- Suuri taajuus antaa lyhyen aallonpituuden ja tarkan kuvan, mutta vaimenee nopeasti; syvälle kuvataan pienellä taajuudella.
- P-aalto on pitkittäinen ja nopein, S-aalto poikittainen ja hitaampi. S-aalto ei etene nesteessä, mikä osoittaa ulkoytimen olevan nestettä.
- Järistyksen etäisyys saadaan S- ja P-aallon saapumisaikojen erosta: $d = \tfrac{v_\text{P} v_\text{S}}{v_\text{P} - v_\text{S}}\Delta t$.
- Tsunamin nopeus riippuu veden syvyydestä, $v = \sqrt{gh}$; rannikolla aalto hidastuu ja kasvaa korkeaksi.
Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi kaikukäyrään, rajapintojen taulukkoon ja Teoriatiivistelmään. Palaa sitten alun kysymykseen: miten laite päättelee kaiusta syvyyden, ja mitä tapahtuisi ilman geeliä?
Muuttaisitko ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Seismografiasema rekisteröi maanjäristyksen. Aseman kello näytti P-aallon saapuessa $12\,\text{h}\ 04\,\text{min}\ 18\,\text{s}$ ja S-aallon saapuessa $12\,\text{h}\ 04\,\text{min}\ 43\,\text{s}$. P-aallon nopeus maankuoressa on $6{,}0\,\text{km/s}$ ja S-aallon $3{,}5\,\text{km/s}$. Kuinka kaukana asemasta järistys tapahtui? Oletetaan, että aallot kulkevat samaa suoraa reittiä tasaisilla nopeuksilla.
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. $v_\text{P} = 6{,}0\,\text{km/s}$, $v_\text{S} = 3{,}5\,\text{km/s}$, saapumisajat $12\,\text{h}\ 04\,\text{min}\ 18\,\text{s}$ ja $12\,\text{h}\ 04\,\text{min}\ 43\,\text{s}$. Kysytään etäisyyttä $d$ järistyksen alkukohtaan.
Vaihe 2/7
Periaate. Kumpikin aalto kulkee saman matkan $d$ tasaisella nopeudella, joten kulkuaika on matka jaettuna nopeudella. Järistyksen hetkeä ei tunneta, mutta saapumisaikojen ero $\Delta t$ on S-aallon ja P-aallon kulkuaikojen erotus.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. Otetaan $d$ yhteiseksi tekijäksi ja ratkaistaan:
$$\begin{aligned} \Delta t &= d\left(\frac{1}{v_\text{S}} - \frac{1}{v_\text{P}}\right) \\[6pt] d &= \frac{v_\text{P} v_\text{S}}{v_\text{P} - v_\text{S}}\,\Delta t \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Tunnit ja minuutit ovat samat, joten saapumisaikojen ero on $43\,\text{s} - 18\,\text{s} = 25\,\text{s}$. Nopeudet ovat yksikössä km/s ja aika sekunteina, joten etäisyys tulee suoraan kilometreinä.
Vaihe 5/7
Sijoitus. $$\begin{aligned} d &= \frac{v_\text{P} v_\text{S}}{v_\text{P} - v_\text{S}}\,\Delta t \\ &= \frac{6{,}0\,\tfrac{\text{km}}{\text{s}} \cdot 3{,}5\,\tfrac{\text{km}}{\text{s}}}{6{,}0\,\tfrac{\text{km}}{\text{s}} - 3{,}5\,\tfrac{\text{km}}{\text{s}}} \cdot 25\,\text{s} \\ &= 8{,}4\,\tfrac{\text{km}}{\text{s}} \cdot 25\,\text{s} \\ &= 210\,\text{km} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Järistys tapahtui noin $210\,\text{km}$:n päässä asemasta. Tulos ilmoitetaan kahdella merkitsevällä numerolla, koska nopeudet $6{,}0\,\text{km/s}$ ja $3{,}5\,\text{km/s}$ tunnetaan kahden numeron tarkkuudella.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Tarkistetaan kulkuajat: P-aalto kulkee $210\,\text{km} : 6{,}0\,\text{km/s} = 35\,\text{s}$ ja S-aalto $210\,\text{km} : 3{,}5\,\text{km/s} = 60\,\text{s}$. Niiden ero on $25\,\text{s}$, kuten mitattiin. Järistys tapahtui siis $35\,\text{s}$ ennen P-aallon saapumista eli kun aseman kello näytti $12\,\text{h}\ 03\,\text{min}\ 43\,\text{s}$.
Sovella uuteen tilanteeseen
Merenpohjan maanjäristys synnyttää tsunamin $2000\,\text{km}$:n päässä rannikosta. Valtameren syvyys aallon reitillä on keskimäärin $4{,}0\,\text{km}$.
Kuinka monta tuntia rannikon asukkailla on aikaa evakuoitua, kun hälytys annetaan heti järistyksen jälkeen? Oletetaan, että tsunami kulkee koko matkan nopeudella $v = \sqrt{gh}$. Vastaa tunteina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Mikä määrää tsunamin nopeuden? Laske ensin nopeus ja sitten aika, jossa matka kuljetaan.
Vihje 2: mikä yhteys
Muuta syvyys metreiksi: $h = 4000\,\text{m}$. Nopeus on $v = \sqrt{gh}$ ja aika $t = \tfrac{s}{v}$.
Vihje 3: välivaihe
$t = \tfrac{2\,000\,000\,\text{m}}{198\,\text{m/s}}$, ja jaa sekunnit luvulla $3600$.
Näytä ratkaisu
Annettu
matka $s = 2000\,\text{km}$, syvyys $h = 4{,}0\,\text{km}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
tsunamin kulkuaika $t$ tunteina
Periaate
Tsunamin aallonpituus on paljon suurempi kuin valtameren syvyys, joten se etenee matalan veden aaltona nopeudella $v = \sqrt{gh}$. Kun syvyys oletetaan samaksi koko matkalla, nopeus on vakio ja kulkuaika on matka jaettuna nopeudella.
Kaava
$v = \sqrt{gh}$ ja $s = vt$, joten $t = \dfrac{s}{\sqrt{gh}}$
Muunnokset
ja lopuksi $1\,\text{h} = 3600\,\text{s}$.
Sijoitus
Vastaus
$2{,}8\,\text{h}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten syvyydessä $4{,}0\,\text{km}$.
Järkevyys
Nopeus $198\,\text{m/s}$ on noin $710\,\text{km/h}$, suihkukoneen luokkaa, ja $2000\,\text{km}$ tällä nopeudella kestää vajaat kolme tuntia: $\tfrac{2000\,\text{km}}{710\,\text{km/h}} \approx 2{,}8\,\text{h}$. Todellisuudessa aalto hidastuu rannikon matalassa vedessä, joten varoitusaika on hieman pidempi.
Etsi virhe
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.
- Lepakko saalistaa yöperhosia ja muita hyönteisiä, joiden koko on noin senttimetri. Miksi sen äännähdysten taajuus on kymmeniä kilohertsejä eikä esimerkiksi $1\,\text{kHz}$?
Vastaus
Kappaleesta, joka on paljon aallonpituutta pienempi, palaa vain hyvin heikko kaiku, koska aalto taipuu sen ympäri. Taajuudella $50\,\text{kHz}$ aallonpituus ilmassa on $\tfrac{343\,\text{m/s}}{50\,000\,\text{Hz}} \approx 7\,\text{mm}$ eli hyönteisen kokoluokkaa, mutta taajuudella $1\,\text{kHz}$ noin $34\,\text{cm}$ eli kymmeniä kertoja suurempi, jolloin hyönteisestä palaisi vain hyvin heikko kaiku.
- Miksi tsunami, joka on valtamerellä vain noin metrin korkuinen, voi nousta rannikolla monen metrin korkuiseksi?
Vastaus
Tsunamin nopeus on $v = \sqrt{gh}$, joten matalassa rantavedessä aalto hidastuu. Aallon takaosa saavuttaa etuosaa, aallonpituus lyhenee ja energia kasautuu pienempään vesimäärään, joten aallon korkeus kasvaa.
1. Maan ydin
2. Silmän pituus
Ennen kaihileikkausta silmän pituus mitataan A-kuvauksella. Kaiku verkkokalvolta palaa $31{,}0\,\mu\text{s}$ myöhemmin kuin kaiku sarveiskalvon pinnalta. Ääni etenee silmässä keskimäärin nopeudella $1550\,\text{m/s}$.
Kuinka pitkä silmä on sarveiskalvolta verkkokalvolle? Vastaa senttimetreinä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Pulssi kulkee silmän läpi verkkokalvolle ja takaisin.
Vihje 2: mikä yhteys
$d = \tfrac{v \Delta t}{2}$, kun $\Delta t = 31{,}0 \cdot 10^{-6}\,\text{s}$.
Vihje 3: välivaihe
$\tfrac{1550\,\text{m/s} \cdot 31{,}0 \cdot 10^{-6}\,\text{s}}{2}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kaikujen aikaero $\Delta t = 31{,}0\,\mu\text{s}$, äänen nopeus silmässä $v = 1550\,\text{m/s}$
Kysytty
silmän pituus $d$ senttimetreinä
Periaate
Kaikujen aikaerossa pulssi kulkee sarveiskalvolta verkkokalvolle ja takaisin, joten se kulkee silmän pituuden kahdesti. Nopeus oletetaan samaksi koko matkalla.
Kaava
$2d = v \Delta t$, joten $d = \dfrac{v \Delta t}{2}$
Muunnokset
$31{,}0\,\mu\text{s} = 31{,}0 \cdot 10^{-6}\,\text{s}$; lopuksi $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$.
Sijoitus
Vastaus
$2{,}40\,\text{cm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten aikaerossa $31{,}0\,\mu\text{s}$.
Järkevyys
Aikuisen silmämuna on halkaisijaltaan noin $2{,}4\,\text{cm}$, joten tulos on uskottava. Jos olisi unohtanut paluumatkan, silmä olisi ollut lähes $5\,\text{cm}$ pitkä, mikä on selvästi liikaa.
Ehdotus: yksi vastaus ei vielä kerro koko osaamistasi, mutta kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
3. Selitä taajuuden valinta
Sydän kuvataan tavallisesti noin $3\,\text{MHz}$:n anturilla, mutta ranteen jänne noin $12\,\text{MHz}$:n anturilla. Selitä, miksi taajuudet valitaan näin. Käytä käsitteitä aallonpituus ja vaimeneminen.
Mallivastaus
Aallonpituus on $\lambda = \tfrac{v}{f}$, joten $12\,\text{MHz}$:n ultraäänen aallonpituus kudoksessa on noin $0{,}13\,\text{mm}$ ja $3\,\text{MHz}$:n noin $0{,}5\,\text{mm}$. Pienimmät erottuvat yksityiskohdat ovat muutaman aallonpituuden kokoisia, joten suurempi taajuus antaa tarkemman kuvan. Vaimeneminen kasvaa kuitenkin likimain suoraan verrannollisesti taajuuteen, joten $12\,\text{MHz}$:n pulssi heikkenee nopeasti eikä sen kaiku palaa muutamaa senttimetriä syvemmältä. Jänne on aivan ihon alla, joten sen kuvaamiseen riittää pieni syvyys ja voidaan käyttää suurta taajuutta. Sydän ulottuu yli $10\,\text{cm}$:n syvyyteen, joten käytetään pientä taajuutta, joka ulottuu sinne asti, ja tarkkuudesta joudutaan tinkimään.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 17-1Ydintehtävä
Raskauden seurannassa ultraäänilaite lähettää pulssin vatsan iholta. Sikiön pään pinnalta heijastunut kaiku palaa anturiin $91{,}0\,\mu\text{s}$:n kuluttua. Ääni etenee kudoksessa nopeudella $1540\,\text{m/s}$.
Kuinka syvällä ihon pinnasta sikiön pää on? Anna vastaus senttimetreinä.
Vastaus
$7{,}01\,\text{cm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kaiun kulkuaika $t = 91{,}0\,\mu\text{s}$, äänen nopeus kudoksessa $v = 1540\,\text{m/s}$
Kysytty
sikiön pään pinnan syvyys $d$ senttimetreinä
Periaate
Pulssi kulkee iholta sikiön pään pintaan ja kaikuna takaisin, joten kulkuaikana se etenee kaksi kertaa syvyyden. Nopeus oletetaan samaksi koko matkalla, kuten laite olettaa.
Kaava
$2d = v t$, joten $d = \dfrac{v t}{2}$
Muunnokset
$91{,}0\,\mu\text{s} = 91{,}0 \cdot 10^{-6}\,\text{s}$; lopuksi $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$.
Sijoitus
$d$$= \dfrac{1540\,\text{m/s} \cdot 91{,}0 \cdot 10^{-6}\,\text{s}}{2}$$= 0{,}070\,07\,\text{m}$$= 7{,}007\,\text{cm}$Vastaus
$7{,}01\,\text{cm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten kulkuajassa $91{,}0\,\mu\text{s}$.
Järkevyys
Pyöreillä luvuilla ääni kulkee kudoksessa noin $1{,}5\,\text{mm}$ mikrosekunnissa, joten $90\,\mu\text{s}$:ssa noin $14\,\text{cm}$ edestakaisin ja $7\,\text{cm}$ yhteen suuntaan. Muutaman senttimetrin vatsanpeitteiden alla oleva sikiö on uskottavasti tällä syvyydellä.
- Tehtävä 17-2Ydintehtävä
Kaulan valtimoita kuvataan anturilla, jonka taajuus on $7{,}50\,\text{MHz}$. Ääni etenee kudoksessa nopeudella $1540\,\text{m/s}$. Mikä on ultraäänen aallonpituus kudoksessa? Anna vastaus millimetreinä.
Vastaus
$0{,}205\,\text{mm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
taajuus $f = 7{,}50\,\text{MHz}$, äänen nopeus kudoksessa $v = 1540\,\text{m/s}$
Kysytty
aallonpituus $\lambda$ millimetreinä
Periaate
Aallon nopeus on taajuuden ja aallonpituuden tulo. Taajuuden määrää anturi, ja nopeuden määrää kudos.
Kaava
$v = f\lambda$, joten $\lambda = \dfrac{v}{f}$
Muunnokset
$7{,}50\,\text{MHz} = 7{,}50 \cdot 10^{6}\,\text{Hz}$; lopuksi $1\,\text{m} = 1000\,\text{mm}$.
Sijoitus
$\lambda$$= \dfrac{1540\,\text{m/s}}{7{,}50 \cdot 10^{6}\,\text{Hz}}$$= 2{,}053 \cdot 10^{-4}\,\text{m}$$= 0{,}2053\,\text{mm}$Vastaus
$0{,}205\,\text{mm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taajuudessa $7{,}50\,\text{MHz}$.
Järkevyys
Tämän luvun taulukossa $5\,\text{MHz}$:n aallonpituus on $0{,}31\,\text{mm}$ ja $10\,\text{MHz}$:n $0{,}15\,\text{mm}$. Tulos on näiden välissä, kuten taajuuskin. Alle millimetrin aallonpituus riittää valtimon seinämän erottamiseen.
- Tehtävä 17-3
Veneen kaikuluotain lähettää äänipulssin suoraan alaspäin järveen. Kaiku pohjasta palaa $32{,}0\,\text{ms}$:n kuluttua. Ääni etenee järvivedessä nopeudella $1480\,\text{m/s}$. Kuinka syvä järvi on tässä kohdassa? Anna vastaus metreinä.
Vastaus
$23{,}7\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kaiun kulkuaika $t = 32{,}0\,\text{ms}$, äänen nopeus vedessä $v = 1480\,\text{m/s}$
Kysytty
järven syvyys $d$ metreinä
Periaate
Pulssi kulkee pintaan kiinnitetystä luotaimesta pohjaan ja kaikuna takaisin, joten kulkuaikana se etenee kaksi kertaa syvyyden. Äänen nopeus oletetaan samaksi koko vesipatsaassa.
Kaava
$2d = v t$, joten $d = \dfrac{v t}{2}$
Muunnokset
$32{,}0\,\text{ms}$$= 32{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{s}$$= 0{,}0320\,\text{s}$Sijoitus
$d$$= \dfrac{1480\,\text{m/s} \cdot 0{,}0320\,\text{s}}{2}$$= 23{,}68\,\text{m}$Vastaus
$23{,}7\,\text{m}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten kulkuajassa $32{,}0\,\text{ms}$.
Järkevyys
Pyöreillä luvuilla ääni kulkee vedessä noin $1{,}5\,\text{m}$ millisekunnissa, joten $32\,\text{ms}$:ssa noin $48\,\text{m}$ edestakaisin ja $24\,\text{m}$ yhteen suuntaan. Parinkymmenen metrin syvyys on suomalaisessa järvessä tavallinen.
- Tehtävä 17-4
Lepakko huomaa yöperhosen: kaiku palaa $15\,\text{ms}$ äännähdyksen jälkeen. Ääni etenee ilmassa nopeudella $343\,\text{m/s}$.
Kuinka kaukana yöperhonen on? Oletetaan, että lepakko ja perhonen ovat tuona aikana paikallaan. Anna vastaus metreinä.
Vastaus
$2{,}6\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kaiun kulkuaika $t = 15\,\text{ms}$, äänen nopeus ilmassa $v = 343\,\text{m/s}$; lepakko ja perhonen paikallaan
Kysytty
etäisyys $d$ yöperhoseen metreinä
Periaate
Äännähdys kulkee lepakosta perhoseen ja kaikuna takaisin, joten kulkuaikana ääni etenee kaksi kertaa etäisyyden. Koska kumpikaan ei liiku, matka on molempiin suuntiin sama.
Kaava
$2d = v t$, joten $d = \dfrac{v t}{2}$
Muunnokset
$15\,\text{ms}$$= 15 \cdot 10^{-3}\,\text{s}$$= 0{,}015\,\text{s}$Sijoitus
$d$$= \dfrac{343\,\text{m/s} \cdot 0{,}015\,\text{s}}{2}$$= 2{,}5725\,\text{m}$Vastaus
$2{,}6\,\text{m}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten kulkuajassa $15\,\text{ms}$.
Järkevyys
Ääni kulkee ilmassa noin $0{,}34\,\text{m}$ millisekunnissa, joten $15\,\text{ms}$:ssa noin $5\,\text{m}$ edestakaisin. Muutaman metrin päässä oleva perhonen on lepakolle tyypillinen saalistusetäisyys.
- Tehtävä 17-5
Tsunami saapuu mannerjalustalle, jossa meri on $50\,\text{m}$ syvä. Aallonpituus on paljon suurempi kuin syvyys. Kuinka suuri on tsunamin nopeus? Anna vastaus metreinä sekunnissa.
Vastaus
$22\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
veden syvyys $h = 50\,\text{m}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; aallonpituus paljon suurempi kuin syvyys
Kysytty
tsunamin nopeus $v$ metreinä sekunnissa
Periaate
Kun aallonpituus on paljon suurempi kuin veden syvyys, aalto on matalan veden aalto, jonka nopeus riippuu vain syvyydestä ja putoamiskiihtyvyydestä.
Kaava
$v = \sqrt{g h}$; nopeus on verrannollinen syvyyden neliöjuureen.
Muunnokset
Syvyys on metreinä ja $g$ yksikössä $\text{m/s}^2$, joten muunnoksia ei tarvita: $\sqrt{\text{m/s}^2 \cdot \text{m}} = \text{m/s}$.
Sijoitus
$v$$= \sqrt{9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 50\,\text{m}}$$= \sqrt{490{,}5\,\text{m}^2/\text{s}^2}$$= 22{,}15\,\text{m/s}$Vastaus
$22\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten syvyydessä $50\,\text{m}$.
Järkevyys
Nopeus on noin $80\,\text{km/h}$, paljon vähemmän kuin valtamerellä, jossa tsunami etenee neljän kilometrin syvyydessä noin $198\,\text{m/s}$. Syvyys on $80$ kertaa pienempi, joten nopeuden pitäisi olla noin $\sqrt{80} \approx 9$ kertaa pienempi: $198\,\text{m/s} : 9 \approx 22\,\text{m/s}$.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 17-6Ydintehtävä
Kuvaajassa on seismografiaseman seismogrammi maanjäristyksestä. Aika on laskettu tallennuksen alusta, ei järistyksen hetkestä. P-aallon nopeus on $7{,}0\,\text{km/s}$ ja S-aallon $4{,}0\,\text{km/s}$. Kuinka kaukana asemasta järistys tapahtui? Anna vastaus kilometreinä.
Vastaus
$168\,\text{km}$
Näytä ratkaisu
Annettu
seismogrammi kuvaajana, $v_\text{P} = 7{,}0\,\text{km/s}$, $v_\text{S} = 4{,}0\,\text{km/s}$
Kysytty
aseman etäisyys $d$ järistyksen alkukohdasta kilometreinä
Periaate
Kumpikin aalto kulkee saman matkan tasaisella nopeudella, joten saapumisaikojen ero on S- ja P-aallon kulkuaikojen erotus. Järistyksen hetkeä ei tarvita, koska aikaero ei riipu siitä, mistä hetkestä aika on laskettu.
Kuvaajan lukeminen
Pieni värähtely eli P-aalto alkaa apuviivalla $12\,\text{s}$ ja suurempi värähtely eli S-aalto apuviivalla $30\,\text{s}$. Aikaero on
$\Delta t$$= 30\,\text{s} - 12\,\text{s}$$= 18\,\text{s}$Kaava
$\Delta t$$= \dfrac{d}{v_\text{S}} - \dfrac{d}{v_\text{P}}$joten
$d$$= \dfrac{v_\text{P} v_\text{S}}{v_\text{P} - v_\text{S}}\,\Delta t$Muunnokset
Nopeudet ovat yksikössä km/s ja aika sekunteina, joten etäisyys tulee kilometreinä.
Sijoitus
$d$$= \dfrac{7{,}0\,\text{km/s} \cdot 4{,}0\,\text{km/s}}{7{,}0\,\text{km/s} - 4{,}0\,\text{km/s}} \cdot 18\,\text{s}$$= 9{,}33\,\text{km/s} \cdot 18\,\text{s}$$= 168\,\text{km}$Vastaus
$168\,\text{km}$
(nopeuksien tarkkuus $7{,}0$ ja $4{,}0$ rajoittaisi kahteen merkitsevään numeroon, $170\,\text{km}$; annetaan $168\,\text{km}$ välituloksen kanssa).
Järkevyys
P-aalto kulkee $168\,\text{km}$ ajassa $168\,\text{km} : 7{,}0\,\text{km/s} = 24\,\text{s}$ ja S-aalto ajassa $168\,\text{km} : 4{,}0\,\text{km/s} = 42\,\text{s}$; ero on $18\,\text{s}$, kuten kuvaajasta luettiin. Tallennus alkoi siis $12\,\text{s}$ järistyksen jälkeen.
- Tehtävä 17-7Ydintehtävä
Kilpirauhasen kuvassa halutaan erottaa toisistaan rakenteet, joiden väli on $0{,}300\,\text{mm}$. Oletetaan, että kaksi rajapintaa erottuu toisistaan, kun niiden väli on vähintään kaksi aallonpituutta. Ääni etenee kudoksessa nopeudella $1540\,\text{m/s}$.
Mikä on pienin taajuus, jolla tämä onnistuu? Anna vastaus megahertseinä.
Vastaus
$10{,}3\,\text{MHz}$
Näytä ratkaisu
Annettu
rakenteiden väli $0{,}300\,\text{mm}$, erottumisen ehto: väli vähintään $2\lambda$, äänen nopeus $v = 1540\,\text{m/s}$
Kysytty
pienin taajuus $f$ megahertseinä
Periaate
Oletetaan tehtävän mukaan, että rakenteet erottuvat, kun niiden väli on vähintään kaksi aallonpituutta (luvun tekstissä sanotaan väljemmin "muutama aallonpituus"), eli aallonpituus on enintään puolet niiden välistä. Aallonpituus lyhenee, kun taajuus kasvaa, joten pienin kelpaava taajuus vastaa suurinta kelpaavaa aallonpituutta. Ensin ratkaistaan aallonpituus, sitten taajuus.
Kaava
$2\lambda = 0{,}300\,\text{mm}$, joten
$\lambda$$= \dfrac{0{,}300\,\text{mm}}{2}$$v = f\lambda$, joten $f = \dfrac{v}{\lambda}$
Muunnokset
$\lambda$$= 0{,}150\,\text{mm}$$= 0{,}150 \cdot 10^{-3}\,\text{m}$lopuksi $1\,\text{MHz} = 10^{6}\,\text{Hz}$.
Sijoitus
$f$$= \dfrac{1540\,\text{m/s}}{0{,}150 \cdot 10^{-3}\,\text{m}}$$= 1{,}027 \cdot 10^{7}\,\text{Hz}$$= 10{,}27\,\text{MHz}$Vastaus
$10{,}3\,\text{MHz}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten välissä $0{,}300\,\text{mm}$.
Järkevyys
Tämän luvun taulukon mukaan $10\,\text{MHz}$:n aallonpituus on $0{,}15\,\text{mm}$ ja sillä kuvataan juuri kilpirauhasta, joka on vain muutaman senttimetrin syvyydellä. Suurempi taajuus erottaisi rakenteet vielä paremmin, mutta vaimenisi nopeammin.
- Tehtävä 17-8
Ultraäänilaite lähettää uuden pulssin vasta, kun edellisen pulssin kaiku syvimmästä kuvattavasta kohdasta on palannut. Vatsaa kuvataan $20\,\text{cm}$:n syvyyteen asti, ja ääni etenee kudoksessa nopeudella $1540\,\text{m/s}$.
Mikä on suurin pulssien lähetystaajuus? Anna vastaus kilohertseinä.
Vastaus
$3{,}9\,\text{kHz}$
Näytä ratkaisu
Annettu
suurin kuvaussyvyys $d = 20\,\text{cm}$, äänen nopeus $v = 1540\,\text{m/s}$
Kysytty
pulssien suurin lähetystaajuus $n$ kilohertseinä
Periaate
Uutta pulssia ei lähetetä, ennen kuin syvimmän kohdan kaiku on palannut. Ensin lasketaan, kuinka kauan kaiku kulkee $20\,\text{cm}$:n syvyyteen ja takaisin; yhden sekunnin aikana mahtuu enintään sekunti jaettuna tällä ajalla pulssia.
Kaava
$t = \dfrac{2d}{v}$ ja $n = \dfrac{1}{t}$, joten $n = \dfrac{v}{2d}$
Muunnokset
$d = 20\,\text{cm} = 0{,}20\,\text{m}$; lopuksi $1\,\text{kHz} = 1000\,\text{s}^{-1}$.
Sijoitus
$t$$= \dfrac{2 \cdot 0{,}20\,\text{m}}{1540\,\text{m/s}}$$= 2{,}597 \cdot 10^{-4}\,\text{s}$$n$$= \dfrac{1}{2{,}597 \cdot 10^{-4}\,\text{s}}$$= 3850\,\text{s}^{-1}$$= 3{,}85\,\text{kHz}$Vastaus
$3{,}9\,\text{kHz}$
Eli noin $3900$ pulssia sekunnissa, kaksi merkitsevää numeroa kuten syvyydessä $20\,\text{cm}$.
Järkevyys
Kaiku kulkee $40\,\text{cm}$:n edestakaisen matkan noin neljänneksessä millisekuntia, joten sekuntiin mahtuu muutama tuhat pulssia. Jos kuvattaisiin vain $5\,\text{cm}$:n syvyyteen, pulsseja mahtuisi nelinkertainen määrä.
- Tehtävä 17-9
Seismografiasema havaitsee, että S-aalto saapuu $14{,}0\,\text{s}$ P-aallon jälkeen. P-aallon nopeus on $6{,}0\,\text{km/s}$ ja S-aallon $3{,}5\,\text{km/s}$. Kuinka monta sekuntia ennen P-aallon saapumista järistys tapahtui? Anna vastaus sekunteina.
Vastaus
$20\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
saapumisaikojen ero $\Delta t = 14{,}0\,\text{s}$, $v_\text{P} = 6{,}0\,\text{km/s}$, $v_\text{S} = 3{,}5\,\text{km/s}$
Kysytty
P-aallon kulkuaika $t_\text{P}$ sekunteina eli aika järistyksestä P-aallon saapumiseen
Periaate
Aikaerosta saadaan ensin aseman etäisyys, koska aikaero on S- ja P-aallon kulkuaikojen erotus. P-aallon kulkuaika on sitten etäisyys jaettuna P-aallon nopeudella.
Kaava
$d$$= \dfrac{v_\text{P} v_\text{S}}{v_\text{P} - v_\text{S}}\,\Delta t$$t_\text{P} = \dfrac{d}{v_\text{P}}$
Muunnokset
Nopeudet ovat yksikössä km/s ja aika sekunteina, joten etäisyys tulee kilometreinä ja kulkuaika sekunteina.
Sijoitus
$d$$= \dfrac{6{,}0\,\text{km/s} \cdot 3{,}5\,\text{km/s}}{2{,}5\,\text{km/s}} \cdot 14{,}0\,\text{s}$$= 117{,}6\,\text{km}$$t_\text{P}$$= \dfrac{117{,}6\,\text{km}}{6{,}0\,\text{km/s}}$$= 19{,}6\,\text{s}$Vastaus
noin $20\,\text{s}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeuksissa $6{,}0\,\text{km/s}$ ja $3{,}5\,\text{km/s}$.
Järkevyys
S-aallon kulkuaika on $117{,}6\,\text{km} : 3{,}5\,\text{km/s} = 33{,}6\,\text{s}$, ja $33{,}6\,\text{s} - 19{,}6\,\text{s} = 14{,}0\,\text{s}$, kuten mitattiin. P-aallon kulkuaika on suurempi kuin aikaero, koska P-aaltokin tarvitsee aikaa koko matkaan.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.
- Tehtävä 17-10
Lepakko lentää suoraan kohti ladon seinää nopeudella $10\,\text{m/s}$ ja päästää äännähdyksen. Se kuulee kaiun seinästä $40\,\text{ms}$ myöhemmin. Ääni etenee ilmassa nopeudella $343\,\text{m/s}$.
Kuinka kaukana seinästä lepakko oli, kun se päästi äännähdyksen? Anna vastaus metreinä.
Vastaus
$7{,}06\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
lepakon nopeus $v_\text{lep} = 10\,\text{m/s}$ kohti seinää, kaiun viive $t = 40\,\text{ms}$, äänen nopeus $v = 343\,\text{m/s}$
Kysytty
etäisyys $d$ seinään äännähdyksen hetkellä metreinä
Periaate
Ääni kulkee seinään matkan $d$ ja palaa lepakon luo. Kaiun aikana lepakko on lentänyt matkan $v_\text{lep} t$ kohti seinää, joten paluumatka on $d - v_\text{lep} t$. Äänen kulkema kokonaismatka on äänen nopeus kertaa viive.
Kaava
$d + (d - v_\text{lep} t) = v t$, joten $2d = (v + v_\text{lep})\,t$ ja $d = \dfrac{(v + v_\text{lep})\,t}{2}$
Muunnokset
$40\,\text{ms}$$= 40 \cdot 10^{-3}\,\text{s}$$= 0{,}040\,\text{s}$Sijoitus
$d$$= \dfrac{(343\,\text{m/s} + 10\,\text{m/s}) \cdot 0{,}040\,\text{s}}{2}$$= \dfrac{14{,}12\,\text{m}}{2}$$= 7{,}06\,\text{m}$Vastaus
$7{,}06\,\text{m}$
(lähtötiedot kahdella merkitsevällä numerolla antaisivat $7{,}1\,\text{m}$; kolmas numero näytetään, jotta ero paikallaan olevan lepakon tulokseen $6{,}86\,\text{m}$ erottuu).
Järkevyys
Jos lepakko olisi paikallaan, etäisyys olisi $343\,\text{m/s} \cdot 0{,}040\,\text{s} : 2 = 6{,}86\,\text{m}$. Lepakon liike lyhentää paluumatkaa, joten seinä oli kauempana, $20\,\text{cm}$ eli puolet lepakon lentämästä matkasta $10\,\text{m/s} \cdot 0{,}040\,\text{s} = 0{,}40\,\text{m}$.
- Tehtävä 17-11
Ihon alla on $4{,}0\,\text{cm}$ paksu rasvakerros, jossa ääni etenee nopeudella $1450\,\text{m/s}$, ja sen alla lihas, jossa ääni etenee nopeudella $1580\,\text{m/s}$. Lihaskerroksen alapinnalta palaa kaiku $80{,}0\,\mu\text{s}$ pulssin lähettämisen jälkeen.
Kuinka syvällä ihon pinnasta rajapinta todella on? Anna vastaus senttimetreinä.
Vastaus
$5{,}96\,\text{cm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
rasvan paksuus $d_\text{ras} = 4{,}0\,\text{cm}$, $v_\text{ras} = 1450\,\text{m/s}$, lihaksen $v_\text{lih} = 1580\,\text{m/s}$, kaiun kulkuaika $t = 80{,}0\,\mu\text{s}$ lihaskerroksen alapinnalta
Kysytty
rajapinnan todellinen syvyys $d$ ihon pinnasta senttimetreinä
Periaate
Pulssi kulkee ensin rasvan läpi edestakaisin ja käyttää siihen osan kulkuajasta. Loppuaika kuluu lihaksessa edestakaisin. Kummassakin kerroksessa nopeus on vakio, joten kerroksen paksuus on nopeus kertaa kerroksessa kulunut aika jaettuna kahdella.
Kaava
$t_\text{ras}$$= \dfrac{2 d_\text{ras}}{v_\text{ras}}$$d_\text{lih}$$= \dfrac{v_\text{lih}\,(t - t_\text{ras})}{2}$joten
$d$$= d_\text{ras} + d_\text{lih}$$= d_\text{ras} + \dfrac{v_\text{lih}}{2}\left(t - \dfrac{2 d_\text{ras}}{v_\text{ras}}\right)$Muunnokset
$d_\text{ras}$$= 4{,}0\,\text{cm}$$= 0{,}040\,\text{m}$$t = 80{,}0 \cdot 10^{-6}\,\text{s}$; lopuksi $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$.
Sijoitus
$t_\text{ras}$$= \dfrac{2 \cdot 0{,}040\,\text{m}}{1450\,\text{m/s}}$$= 55{,}17 \cdot 10^{-6}\,\text{s}$$d_\text{lih}$$= \dfrac{1580\,\text{m/s} \cdot 24{,}83 \cdot 10^{-6}\,\text{s}}{2}$$= 0{,}019\,62\,\text{m}$$d$$= 0{,}040\,\text{m} + 0{,}019\,62\,\text{m}$$= 0{,}059\,62\,\text{m}$$= 5{,}96\,\text{cm}$Vastaus
$5{,}96\,\text{cm}$
(rasvan paksuus $4{,}0\,\text{cm}$ rajoittaisi kahteen merkitsevään numeroon, $6{,}0\,\text{cm}$; kolme numeroa näytetään, jotta ero yhden nopeuden tulokseen erottuu).
Järkevyys
Laite, joka olettaa nopeudeksi $1540\,\text{m/s}$, näyttäisi syvyydeksi $1540\,\text{m/s} \cdot 80{,}0\,\mu\text{s} : 2 = 6{,}16\,\text{cm}$, eli $2\,\text{mm}$ liikaa. Jos koko matka olisi lihasta, tulos olisi $1580\,\text{m/s} \cdot 80{,}0\,\mu\text{s} : 2 = 6{,}32\,\text{cm}$. Todellinen syvyys on näiden alapuolella, koska rasvassa ääni etenee hitaammin. Ero on silti vain muutaman prosentin, joten yksi oletusnopeus riittää useimpiin mittauksiin.
- Tehtävä 17-12
Valtamerellä, jonka syvyys on $4000\,\text{m}$, tsunamin aallonpituus on $200\,\text{km}$. Tsunami etenee rannikolle, jossa veden syvyys on $10\,\text{m}$. Aallon jaksonaika pysyy samana koko matkan.
Mikä on tsunamin aallonpituus rannikon matalassa vedessä? Anna vastaus kilometreinä.
Vastaus
$10\,\text{km}$
Näytä ratkaisu
Annettu
syvyydet $h_1 = 4000\,\text{m}$ ja $h_2 = 10\,\text{m}$, aallonpituus $\lambda_1 = 200\,\text{km}$; jaksonaika $T$ sama
Kysytty
aallonpituus $\lambda_2$ matalassa vedessä kilometreinä
Periaate
Molemmissa paikoissa aallonpituus on paljon suurempi kuin syvyys, joten nopeus on $v = \sqrt{gh}$. Aalto kulkee yhdessä jaksossa aallonpituuden verran, joten $\lambda = vT$. Kun jaksonaika on sama, aallonpituus muuttuu samassa suhteessa kuin nopeus, ja $g$ supistuu pois.
Kaava
$\dfrac{\lambda_2}{\lambda_1}$$= \dfrac{v_2 T}{v_1 T}$$= \dfrac{\sqrt{g h_2}}{\sqrt{g h_1}}$joten
$\lambda_2$$= \lambda_1 \sqrt{\dfrac{h_2}{h_1}}$Muunnokset
Syvyydet ovat samassa yksikössä, joten niiden suhde on yksikötön; aallonpituus voidaan pitää kilometreinä.
Sijoitus
$\lambda_2$$= 200\,\text{km} \cdot \sqrt{\dfrac{10\,\text{m}}{4000\,\text{m}}}$$= 200\,\text{km} \cdot 0{,}050$$= 10{,}0\,\text{km}$Vastaus
$10\,\text{km}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten syvyydessä $10\,\text{m}$.
Järkevyys
Valtamerellä nopeus on $\sqrt{9{,}81 \cdot 4000}\,\text{m/s} = 198\,\text{m/s}$, joten jaksonaika on $200\,000\,\text{m} : 198\,\text{m/s} \approx 1010\,\text{s}$ eli noin $17\,\text{min}$. Rannikolla nopeus on $9{,}9\,\text{m/s}$, ja $9{,}9\,\text{m/s} \cdot 1010\,\text{s} \approx 10\,\text{km}$. Aallonpituus on yhä paljon suurempi kuin syvyys, joten kaava pätee.