RuukkilabraLukion fysiikka
FY5 · moduulin lopuksi

Sovella itsenäisesti

Näissä tehtävissä kukaan ei kerro, mitä kaavaa käyttää. Päätä itse, mitkä ilmiöt ja mallit tilanteeseen liittyvät, ratkaise tehtävä paperille ja perustele ratkaisusi, kuten ylioppilaskokeessa.

Neljä tehtävää kokoaa moduulin: kiertymisen ja tasapainon, ympyräliikkeen ja gravitaation, värähtelyn sekä aallot ja äänen. Jokaisessa päätät itse, mitkä mallit tilanteeseen sopivat, ja perustelet valintasi.

Ratkaise ensin itse paperille tai tietokoneelle. Saat käyttää laskinta, taulukkokirjaa ja kuvaajaohjelmaa. Kirjoita näkyviin perustelut, kaavat, sijoitukset ja vastaukset yksiköineen.

Torninosturi 18 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Nosturin mitat ja massat ovat keksittyjä, mutta samaa suuruusluokkaa kuin pienessä rakennustyömaan torninosturissa.

Rakennustyömaan torninosturin vaakasuora puomi on tornin huipulla, ja se voi kääntyä tornin pystysuoran akselin ympäri. Kuorma riippuu vaijerissa vaunusta, jota voi ajaa puomia pitkin. Tornin toisella puolella puomin jatkeena on vastapuomi, jonka päässä on betoninen vastapaino.

Nosturin tiedot:

  • puomin massa vastapuomeineen $4{,}0\,\text{t}$, painopiste $12\,\text{m}$ tornin akselista kuorman puolella
  • vastapainon massa $9{,}0\,\text{t}$, painopiste $10\,\text{m}$ tornin akselista toisella puolella
  • vaunun suurin etäisyys tornin akselista $40\,\text{m}$
  • valmistajan mukaan painojen kokonaismomentti tornin akselin suhteen saa olla kumpaan tahansa suuntaan enintään $600\,\text{kNm}$.

Vaunun ja vaijerin massoja ei tarvitse ottaa huomioon.

$m_\text{v}$
$m_\text{p}$
$m$
$\text{tornin akseli}$
$r_\text{v}$
$r_\text{p}$
$r$
  1. a) Nosturilla nostetaan $2{,}0\,\text{t}$:n betonielementti. Kuinka kauas tornin akselista vaunu pitää ajaa, jotta painojen kokonaismomentti tornin akselin suhteen on nolla? 3 p
  2. b) Kuinka suuren kuorman nosturi saa nostaa, kun vaunu on puomin kärjessä? 3 p
  3. c) Työmaan mestari ehdottaa: ”Lisätään vastapainoon pari tonnia, niin puomin kärjestä voi nostaa raskaampia kuormia.” Arvioi ehdotusta. 4 p
  4. d) Kuljettaja kääntää puomia a-kohdan kuorman kanssa tasaisesti niin, että yksi kierros kestäisi $90\,\text{s}$. Kuorma riippuu $15\,\text{m}$:n vaijerissa, ja vaijeri kallistuu hieman pystysuorasta niin, että kuorma on vaunua kauempana tornin akselista. Kuljettaja selittää: ”Keskipakoisvoima heittää kuorman ulospäin.” Piirrä kuorman voimakuvio puomin kääntyessä tasaisesti ja arvioi kuljettajan selitystä. 4 p
  5. e) Kuinka suuren kulman vaijeri muodostaa pystysuoran kanssa? Onko kallistumisella merkitystä? 4 p
Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

kuorma $m = 2{,}0\,\text{t} = 2000\,\text{kg}$, puomi $m_\text{p} = 4{,}0\,\text{t}$ ja $r_\text{p} = 12\,\text{m}$, vastapaino $m_\text{v} = 9{,}0\,\text{t}$ ja $r_\text{v} = 10\,\text{m}$

Kysytty

vaunun etäisyys $r$ tornin akselista, kun painojen kokonaismomentti on nolla

Periaate

Puomiin vaikuttaa kolme painoa: kuorman paino vaijerin kautta vaunun kohdalla, puomin oma paino sen painopisteessä ja vastapainon paino. Kiertoakseliksi valitaan tornin akseli, jonka ympäri puomi pyrkii kallistumaan. Kunkin painon voiman varsi on sen vaikutussuoran kohtisuora etäisyys akselista eli vaakasuora etäisyys. Kuorma ja puomin paino kiertävät puomia kuorman puolelle, vastapaino vastakkaiseen suuntaan. Tasapainossa kiertymisen suhteen momenttien summa on nolla.

Kaava

$m_\text{p} g r_\text{p} + m g r - m_\text{v} g r_\text{v} = 0$. Putoamiskiihtyvyys supistuu, joten

$r$$= \dfrac{m_\text{v} r_\text{v} - m_\text{p} r_\text{p}}{m}$

Muunnokset

$1\,\text{t} = 1000\,\text{kg}$, joten $m_\text{p} = 4000\,\text{kg}$ ja $m_\text{v} = 9000\,\text{kg}$.

Sijoitus

$r$$= \dfrac{9000\,\text{kg} \cdot 10\,\text{m} - 4000\,\text{kg} \cdot 12\,\text{m}}{2000\,\text{kg}}$
$= \dfrac{42\,000\,\text{kg}\cdot\text{m}}{2000\,\text{kg}}$
$= 21\,\text{m}$

Vastaus

$r \approx 21\,\text{m}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten etäisyyksissä ja massoissa.

Järkevyys

Vastapainon momentti on noin kaksinkertainen puomin momenttiin verrattuna, joten kuorman on korvattava erotus. Kevyt kuorma joutuu kauas, ja kohta on puomin $40\,\text{m}$:n pituuden sisällä.

b)

Annettu

a-kohdan tiedot, vaunu puomin kärjessä $r_\text{max} = 40\,\text{m}$, sallittu kokonaismomentti $M_\text{max} = 600\,\text{kNm}$ ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

suurin kuorma $m$ puomin kärjessä

Periaate

Kuorman ollessa kärjessä kokonaismomentti osoittaa kuorman puolelle, ja suurimmalla sallitulla kuormalla se on yhtä suuri kuin raja. Momentit lasketaan tornin akselin suhteen kuten a-kohdassa, positiivinen kiertosuunta kuorman puolelle.

Kaava

$m g r_\text{max} + m_\text{p} g r_\text{p} - m_\text{v} g r_\text{v}$
$= M_\text{max}$

josta

$m$$= \dfrac{M_\text{max} + m_\text{v} g r_\text{v} - m_\text{p} g r_\text{p}}{g r_\text{max}}$

Muunnokset

$M_\text{max}$$= 600\,\text{kNm}$
$= 600\,000\,\text{Nm}$

Sijoitus

$m_\text{p} g r_\text{p}$$= 4000\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 12\,\text{m}$
$= 470\,880\,\text{Nm}$
$m_\text{v} g r_\text{v}$$= 9000\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 10\,\text{m}$
$= 882\,900\,\text{Nm}$

Kuorman momentti saa siis olla

$600\,000\,\text{Nm} + 882\,900\,\text{Nm} - 470\,880\,\text{Nm}$
$= 1\,012\,020\,\text{Nm}$

joten

$m$$= \dfrac{1\,012\,020\,\text{Nm}}{9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 40\,\text{m}}$
$= 2579\,\text{kg}$

Vastaus

$m \approx 2{,}6\,\text{t}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten nosturin tiedoissa.

Järkevyys

Ilman kuormaa kokonaismomentti on $882{,}9\,\text{kNm} - 470{,}9\,\text{kNm} = 412\,\text{kNm}$ vastapainon suuntaan, joten raja ei ylity tyhjälläkään nosturilla. Kärjen kuorma on pienempi kuin kuorma, jonka nosturi kantaa lähempänä tornia, kuten nosturien kuormakaavioissa.

c)

Kysytty

voiko vastapainoa lisätä pari tonnia, jotta kärjestä voisi nostaa raskaampia kuormia

Periaate

Vastapainon momentti kiertää puomia vastakkaiseen suuntaan kuin kuorma. Raja koskee kokonaismomenttia kumpaankin suuntaan, joten on tarkistettava sekä täysin kuormattu että tyhjä nosturi.

Mallivastaus

Kuormattu nosturi. Suurempi vastapaino pienentää kuorman puolelle jäävää kokonaismomenttia, joten kärjessä voisi nostaa raskaamman kuorman. Mestari on tässä oikeassa.

Tyhjä nosturi. Ilman kuormaa kokonaismomentti osoittaa vastapainon suuntaan: nyt se on $412\,\text{kNm}$. Kahden tonnin lisäys kasvattaa sitä $2000\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 10\,\text{m} = 196{,}2\,\text{kNm}$, jolloin kokonaismomentti on $608\,\text{kNm}$. Se ylittää rajan $600\,\text{kNm}$, ja torni kuormittuu liikaa vastapainon puolelle aina, kun koukussa ei ole kuormaa.

Kuinka paljon voisi lisätä. Tyhjällä nosturilla rajaan on varaa $600\,\text{kNm} - 412\,\text{kNm} = 188\,\text{kNm}$, joten vastapainoa voi lisätä enintään $188\,000\,\text{Nm} : (9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 10\,\text{m}) \approx 1{,}9\,\text{t}$. Silloin kärjen suurin kuorma olisi $1200\,\text{kNm} : 392{,}4\,\text{m}^2/\text{s}^2 \approx 3{,}1\,\text{t}$.

Johtopäätös. Ehdotus ei käy sellaisenaan. Vastapaino mitoitetaan niin, että raja ei ylity tyhjällä eikä täysin kuormatulla nosturilla. Kahden tonnin sijaan vastapainoa voisi lisätä enintään noin $1{,}9\,\text{t}$, eikä nostokykyä voi kasvattaa siitä enempää ilman tukevampaa tornia.

d)

Kysytty

kuorman voimakuvio puomin kääntyessä tasaisesti ja arvio kuljettajan selityksestä

Periaate

Valitaan kappaleeksi kuorma. Sen kanssa ovat vuorovaikutuksessa Maa (paino) ja vaijeri (jännitysvoima); mikään muu ei kosketa kuormaa, ja ilmanvastus on hitaassa liikkeessä pieni. Kun puomi kääntyy tasaisesti, kuorma kiertää vaakasuoraa ympyrää tornin akselin ympäri, joten sillä on normaalikiihtyvyys kohti akselia. Silloin voimien summan on osoitettava kohti akselia.

$\text{tilannekuva}$
$\text{akseli}$
$\theta$
$\overline{a}_\text{n}$
$\text{voimakuvio}$
$\overline{G}$
$\overline{S}$
$\overline{a}_\text{n}$
$x$
$y$

Mallivastaus

Kuorma piirretään vaijerin suuntaisesti kallistuneeksi suorakulmioksi.
- Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä suoraan alas.
- Vaijerin jännitysvoima $\overline{S}$ lähtee yläpinnasta, jossa vaijeri on kiinni, ja osoittaa vaijeria pitkin ylös ja hieman kohti tornin akselia, koska kuorma on vaunua ulompana.

Pystysuunnassa kuorma ei kiihdy, joten jännitysvoiman pystykomponentti on yhtä suuri kuin paino, ja jännitysvoima on painoa hieman suurempi. Jännitysvoiman vaakakomponentti on voimien summa, ja se osoittaa kohti tornin akselia kuten normaalikiihtyvyys $\overline{a}_\text{n}$, joka piirretään erikseen omalla värillään. Mallikuvassa vaijerin kulma on piirretty paljon suuremmaksi kuin tehtävässä, jotta nuolet erottuvat.

Kuljettajan selitys. Keskipakoisvoimaa ei ole: mikään kappale ei vedä kuormaa ulospäin, eikä voimakuviossa ole ulospäin osoittavaa voimaa. Kun puomi lähtee kääntymään, kuorma pyrkii hitautensa vuoksi jatkamaan suoraan eteenpäin. Siksi se jää ympyrän ulkoreunalle ja vaijeri kallistuu, kunnes jännitysvoiman vaakakomponentti riittää kääntämään kuorman liikkeen ympyräradalle. Kuorma ei siis heitty ulospäin vaan jää jälkeen suoraviivaisesta radastaan vain sen verran, että vaijeri voi vetää sitä kohti keskipistettä.

e)

Annettu

a-kohdan säde $r = 21\,\text{m}$, kierrosaika $T = 90\,\text{s}$, vaijerin pituus $15\,\text{m}$ ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

vaijerin ja pystysuoran välinen kulma $\theta$ ja sen merkitys

Periaate

Kuorma kiertää tasaista ympyräliikettä, joten sen kiihtyvyys on normaalikiihtyvyys $a_\text{n} = \tfrac{v^2}{r}$ kohti tornin akselia. Ratanopeus saadaan kierrosajasta. Newtonin toinen laki kirjoitetaan d-kohdan voimakuviosta komponenteittain: akseli $x$ vaakasuoraan kohti tornin akselia ja $y$ ylöspäin. Kallistuminen siirtää kuormaa vain senttejä, joten ympyrän säteenä voidaan käyttää vaunun etäisyyttä $21\,\text{m}$.

Kaava

$x$: $S\sin\theta = m\dfrac{v^2}{r}$ ja $y$: $S\cos\theta - mg = 0$. Jakamalla yhtälöt keskenään saadaan $\tan\theta = \dfrac{v^2}{rg}$, missä $v = \dfrac{2\pi r}{T}$. Massa supistuu.

Muunnokset

Ei tarvita.

Sijoitus

$v$$= \dfrac{2\pi \cdot 21\,\text{m}}{90\,\text{s}}$
$= 1{,}466\,\text{m/s}$
$\tan\theta$$= \dfrac{(1{,}466\,\text{m/s})^2}{21\,\text{m} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}$
$= 0{,}01043$

joten $\theta = 0{,}598^\circ$

Vastaus

$\theta \approx 0{,}60^\circ$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten kierrosajassa $90\,\text{s}$. Kuorma on siirtynyt vaunun kohdalta ulospäin $15\,\text{m} \cdot 0{,}01043 \approx 0{,}16\,\text{m}$.

Järkevyys

Normaalikiihtyvyys

$a_\text{n}$$= (1{,}466\,\text{m/s})^2 : 21\,\text{m}$
$\approx 0{,}10\,\text{m/s}^2$

on vain noin prosentti putoamiskiihtyvyydestä, joten kulma on pieni ja jännitysvoima käytännössä yhtä suuri kuin paino. Tasaisella kääntämisellä ei siis ole nostotyössä juuri merkitystä. Äkillinen liikkeelle lähtö tai pysähdys sen sijaan saa kuorman heilumaan, koska vaijeri ei heti pysty antamaan kuormalle samaa kiihtyvyyttä kuin vaunulle.

Hyväksytään myös

  • a- ja b-kohdan momentit voi laskea massan ja etäisyyden tuloina ilman putoamiskiihtyvyyttä, kun $g$ supistuu, kunhan b-kohdassa raja muutetaan samaan muotoon: $600\,000\,\text{Nm} : 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 61\,160\,\text{kg}\cdot\text{m}$.
  • b-kohdassa vastaukset $2{,}6\,\text{t}$ ja $2580\,\text{kg}$ hyväksytään.
  • e-kohdassa kulman saa myös voimien piirtämisestä mittakaavaan, kun normaalikiihtyvyys on laskettu oikein, ja vastaukseksi hyväksytään $0{,}6^\circ$.

Yleisiä virheitä

  • Puomin oma paino unohdetaan tai sen momentti lasketaan puomin päästä eikä painopisteestä.
  • Momenttien kiertosuunnat sekoitetaan, jolloin vastapaino ja puomin paino lasketaan samaan suuntaan.
  • b-kohdassa raja tulkitaan niin, että kokonaismomentin pitää olla nolla, jolloin kärjen kuormaksi saadaan vain $42\,000\,\text{kg}\cdot\text{m} : 40\,\text{m} \approx 1{,}1\,\text{t}$.
  • c-kohdassa tarkistetaan vain kuormattu nosturi eikä huomata, että raja koskee myös tyhjää nosturia.
  • Voimakuvioon piirretään ulospäin osoittava keskipakoisvoima tai normaalikiihtyvyys voimana.
  • e-kohdassa käytetään kierrosajan sijaan kierrostaajuutta väärin tai lasketaan kulma vaijerin pituuden avulla, vaikka se ei vaikuta kulmaan.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Valitsee kiertoakseliksi tornin akselin ja ottaa huomioon kaikki kolme painoa: kuorman, puomin painon sen painopisteessä ja vastapainon, kunkin momentti oikeaan kiertosuuntaan. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $m_\text{p} g r_\text{p} + m g r - m_\text{v} g r_\text{v} = 0$, josta $r = \dfrac{m_\text{v} r_\text{v} - m_\text{p} r_\text{p}}{m}$; $g$ supistuu. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $r \approx 21\,\text{m}$ 1 p

b)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Kokonaismomentti kuorman suuntaan on enintään raja: $m g r_\text{max} + m_\text{p} g r_\text{p} - m_\text{v} g r_\text{v} = 600\,\text{kNm}$, ratkaistuna $m$:n suhteen. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Puomin momentti $471\,\text{kNm}$ ja vastapainon $883\,\text{kNm}$, joten kuorman momentti saa olla $1012\,\text{kNm}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $m \approx 2{,}6\,\text{t}$ 1 p

c)4 p

Toteaa, että suurempi vastapaino kasvattaa puomin kärjen suurinta kuormaa, koska se pienentää kuorman puolelle jäävää kokonaismomenttia. 1 p
Huomaa, että ilman kuormaa kokonaismomentti osoittaa vastapainon suuntaan ja kasvaa vastapainon mukana: nyt se on $412\,\text{kNm}$, ja kahden tonnin lisäyksellä $608\,\text{kNm}$, mikä ylittää rajan. 1 p
Laskee, että vastapainoa voi lisätä enintään noin $1{,}9\,\text{t}$, jolloin kärjen suurin kuorma olisi noin $3{,}1\,\text{t}$. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Ehdotus ei käy sellaisenaan: vastapaino mitoitetaan niin, ettei raja ylity tyhjällä eikä täysin kuormatulla nosturilla. 1 p

d)4 p

Kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat ovat mukana, eikä kuviossa ole keksittyjä voimia. Vain paino $\overline{G}$ ja vaijerin jännitysvoima $\overline{S}$; ei keskipakoisvoimaa eikä muuta ulospäin vaikuttavaa voimaa. 1 p
Jokainen voima osoittaa fysikaalisesti oikeaan suuntaan. Paino suoraan alas keskipisteestä; jännitysvoima yläpinnasta vaijeria pitkin ylös ja hieman kohti tornin akselia. 1 p
Nuolten pituudet ovat oikeassa suhteessa, kun suuruudet tiedetään, eikä voimia ole sekoitettu komponentteihin, nopeuteen tai kiihtyvyyteen. Voimien summa osoittaa vaakasuoraan kohti tornin akselia; normaalikiihtyvyys on piirretty erikseen eikä voimana. 1 p
Arvioi selitystä: ulospäin vaikuttavaa voimaa ei ole. Kuorma pyrkii hitautensa vuoksi jatkamaan suoraan, joten se jää ulommas, kunnes vaijeri on kallistunut niin paljon, että jännitysvoiman vaakakomponentti pitää sen ympyräradalla. 1 p

e)4 p

Liikeyhtälöt on muodostettu voimakuviosta: akselit ja positiivinen suunta on valittu, ja etumerkit ovat oikein. Akseli $x$ kohti tornin akselia ja $y$ ylös: $S\sin\theta = m\dfrac{v^2}{r}$ ja $S\cos\theta - mg = 0$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $\tan\theta = \dfrac{v^2}{rg}$, missä $v = \dfrac{2\pi r}{T}$; massa supistuu. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\theta \approx 0{,}60^\circ$ 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Kuorma siirtyy ulospäin vain noin $15\,\text{m} \cdot \tan 0{,}60^\circ \approx 16\,\text{cm}$, joten tasainen kääntäminen ei juuri muuta tilannetta; äkillinen liikkeelle lähtö tai pysähdys sen sijaan heiluttaa kuormaa. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 18 (18 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

Jupiterin kuut 15 pistettä

Tilastoaineisto · NASA JPL Solar System Dynamics, kuiden keskimääräiset ratasäteet ja kiertoajat (tarkistettu 2026), pyöristetty.

Galileo Galilei löysi Jupiterin neljä suurta kuuta vuonna 1610. Taulukossa ovat niiden ja Jupiteria lähempänä kiertävän pienen Amalthea-kuun ratojen keskimääräiset säteet $r$ Jupiterin keskipisteestä mitattuina ja kiertoajat $T$. Kuiden radat ovat lähes ympyröitä.

kuu $r\ (10^3\,\text{km})$ $T\ (\text{d})$
Amalthea $181{,}4$ $0{,}4982$
Io $421{,}8$ $1{,}769$
Europa $671{,}1$ $3{,}551$
Ganymedes $1070$ $7{,}155$
Kallisto $1883$ $16{,}69$

Gravitaatiovakio on $\gamma = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$.

  1. a) Mallinna kuiden liikettä tasaisena ympyräliikkeenä, jota Jupiterin gravitaatio ylläpitää. Muodosta aineistosta kuvaaja, jonka pisteisiin mallin mukaan sopii origon kautta kulkeva suora. 5 p
  2. b) Määritä kuvaajasta Jupiterin massa. 3 p
  3. c) Jupiter pyörähtää akselinsa ympäri kerran $9{,}93\,\text{h}$:ssa. Luotain halutaan kiertämään päiväntasaajan yläpuolella niin, että se pysyy koko ajan saman pilvimuodostelman yläpuolella. Kuinka kaukana Jupiterin keskipisteestä luotaimen rata on? 3 p
  4. d) Opiskelija väittää: ”Ganymedes on Jupiterin massiivisin kuu. Jos se siirrettäisiin Ion radalle, se kiertäisi Jupiterin Iota nopeammin, koska siihen kohdistuisi suurempi gravitaatiovoima.” Arvioi väitettä. Mitä oletuksia b-kohdan tulos edellyttää? 4 p
Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

kuvaaja, jonka pisteisiin ympyräratamallin mukaan sopii origon kautta kulkeva suora

Kuvaaja

Mallissa kuuta pitää ympyräradalla Jupiterin gravitaatio, joka on kuuhun vaikuttava ainoa merkittävä voima. Se on kuun ympyräliikkeen keskeisvoima: $\gamma\dfrac{Mm}{r^2} = m\dfrac{v^2}{r}$, joten $v^2 = \gamma M \cdot \dfrac{1}{r}$. Ratanopeus lasketaan kiertoajasta: $v = \dfrac{2\pi r}{T}$, kun säde on metreinä ja kiertoaika sekunteina ($1\,\text{d} = 86\,400\,\text{s}$). Esimerkiksi Iolle $v = \dfrac{2\pi \cdot 421{,}8 \cdot 10^{6}\,\text{m}}{1{,}769 \cdot 86\,400\,\text{s}} = 17\,340\,\text{m/s}$, joten $v^2 = 3{,}01 \cdot 10^{8}\,\text{m}^2/\text{s}^2$ ja $\tfrac{1}{r} = 2{,}37 \cdot 10^{-9}\,\tfrac{1}{\text{m}}$.

kuu $v\ (\text{km/s})$ $\tfrac{1}{r}\ (10^{-9}\,\tfrac{1}{\text{m}})$ $v^2\ (10^{8}\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2})$
Amalthea $26{,}5$ $5{,}51$ $7{,}01$
Io $17{,}3$ $2{,}37$ $3{,}01$
Europa $13{,}7$ $1{,}49$ $1{,}89$
Ganymedes $10{,}9$ $0{,}935$ $1{,}18$
Kallisto $8{,}21$ $0{,}531$ $0{,}673$

Vaaka-akselille valitaan $\tfrac{1}{r}$ ja pystyakselille $v^2$.

$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$2$
$4$
$6$
$8$
$0$
$\tfrac{1}{r}\ (\tfrac{10^{-9}}{\text{m}})$
$v^2\ (10^{8}\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2})$
$\text{Amalthea}$
$\text{Io}$
$\text{Europa}$
$(5{,}0;\ 6{,}35)$

Mallivastaus

Kaikki viisi pistettä ovat samalla origon kautta kulkevalla suoralla, joten ympyräratamalli, jossa gravitaatio on keskeisvoima, kuvaa kuiden liikettä hyvin. Suora kulkee origon kautta, koska mallin mukaan äärettömän kaukana ($\tfrac{1}{r} = 0$) ratanopeus olisi nolla. Suoran kulmakerroin on mallin mukaan $\gamma M$, joka on sama kaikille kuille, vaikka kuiden massat ovat hyvin erilaiset.

b)

Annettu

a-kohdan kuvaaja ja $\gamma = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$

Kysytty

Jupiterin massa $M$

Periaate

Mallin mukaan $v^2 = \gamma M \cdot \tfrac{1}{r}$, joten suoran kulmakerroin $k$ on $\gamma M$. Kulmakerroin luetaan suoralta pisteestä, joka on kaukana origosta, jolloin lukemisen suhteellinen virhe on pieni.

Kuvaajan lukeminen

Suora kulkee origon ja pisteen $(5{,}0 \cdot 10^{-9}\,\tfrac{1}{\text{m}}$; $6{,}35 \cdot 10^{8}\,\text{m}^2/\text{s}^2)$ kautta, joten

$k$$= \dfrac{6{,}35 \cdot 10^{8}\,\text{m}^2/\text{s}^2}{5{,}0 \cdot 10^{-9}\,\tfrac{1}{\text{m}}}$
$= 1{,}27 \cdot 10^{17}\,\text{m}^3/\text{s}^2$

Kaava

$k = \gamma M$, josta $M = \dfrac{k}{\gamma}$

Muunnokset

$1\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$$= 1\,\tfrac{\text{m}^3}{\text{kg}\cdot\text{s}^2}$

koska $1\,\text{N} = 1\,\text{kg}\cdot\text{m/s}^2$.

Sijoitus

$M$$= \dfrac{1{,}27 \cdot 10^{17}\,\text{m}^3/\text{s}^2}{6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{m}^3}{\text{kg}\cdot\text{s}^2}}$
$= 1{,}90 \cdot 10^{27}\,\text{kg}$

Vastaus

$M \approx 1{,}9 \cdot 10^{27}\,\text{kg}$

Kaksi merkitsevää numeroa, koska kulmakerroin luetaan kuvaajalta noin kahden tai kolmen numeron tarkkuudella.

Järkevyys

Taulukkokirjan arvo on $1{,}898 \cdot 10^{27}\,\text{kg}$, noin $320$ Maan massaa, joten tulos on oikein. Jupiter on Aurinkokunnan massiivisin planeetta, ja sen massa on noin tuhannesosa Auringon massasta.

c)

Annettu

Jupiterin pyörähdysaika $T = 9{,}93\,\text{h}$ ja b-kohdan $\gamma M = 1{,}27 \cdot 10^{17}\,\text{m}^3/\text{s}^2$

Kysytty

luotaimen radan säde $r$

Periaate

Luotain pysyy saman pilvimuodostelman yläpuolella vain, jos se kiertää Jupiteria samaan suuntaan ja samassa ajassa kuin Jupiter pyörähtää akselinsa ympäri. Luotaimen ympyräliikkeen keskeisvoima on Jupiterin gravitaatio kuten kuilla, joten $v^2 = \dfrac{\gamma M}{r}$, ja ratanopeus on $v = \dfrac{2\pi r}{T}$.

Kaava

$\dfrac{4\pi^2 r^2}{T^2}$$= \dfrac{\gamma M}{r}$

josta

$r^3$$= \dfrac{\gamma M T^2}{4\pi^2}$
$r$$= \sqrt[3]{\dfrac{\gamma M T^2}{4\pi^2}}$

Muunnokset

$T$$= 9{,}93 \cdot 3600\,\text{s}$
$= 35\,748\,\text{s}$

Sijoitus

$r^3$$= \dfrac{1{,}27 \cdot 10^{17}\,\text{m}^3/\text{s}^2 \cdot (35\,748\,\text{s})^2}{4\pi^2}$
$= 4{,}11 \cdot 10^{24}\,\text{m}^3$

joten $r = 1{,}60 \cdot 10^{8}\,\text{m}$

Vastaus

$r \approx 1{,}6 \cdot 10^{8}\,\text{m} = 160\,000\,\text{km}$

Jupiterin keskipisteestä. Kaksi merkitsevää numeroa kuten b-kohdan tuloksessa.

Järkevyys

Kiertoaika $9{,}93\,\text{h}$ on lyhyempi kuin Amalthean $0{,}4982\,\text{d} \approx 12\,\text{h}$, joten radan on oltava Amalthean radan ($181\,400\,\text{km}$) sisäpuolella, kuten se on. Jupiterin säde on noin $71\,500\,\text{km}$, joten luotain kiertäisi noin $89\,000\,\text{km}$:n korkeudella pilvien yläpuolella.

d)

Kysytty

arvio väitteestä, että Ganymedes kiertäisi Ion radalla Iota nopeammin, ja b-kohdan tuloksen oletukset

Periaate

Ratanopeus saadaan ehdosta, että gravitaatio on kuun ympyräliikkeen keskeisvoima: $\gamma\dfrac{Mm}{r^2} = m\dfrac{v^2}{r}$, missä $m$ on kuun massa.

Mallivastaus

Väite. On totta, että massiivisempaan kuuhun kohdistuu samalla etäisyydellä suurempi gravitaatiovoima, koska voima on verrannollinen kuun massaan $m$. Massiivisempi kuu tarvitsee kuitenkin samassa suhteessa suuremman keskeisvoiman pysyäkseen samalla ympyräradalla, koska tarvittava voima $m\tfrac{v^2}{r}$ on myös verrannollinen massaan. Kuun massa supistuu yhtälöstä, ja jäljelle jää $v^2 = \dfrac{\gamma M}{r}$: ratanopeus riippuu vain Jupiterin massasta $M$ ja radan säteestä. Ion radalla Ganymedes kiertäisi siis samalla nopeudella ja samassa ajassa kuin Io. Väite ei pidä paikkaansa. Saman näkee a-kohdan kuvaajasta: hyvin eri massaiset kuut ovat samalla suoralla.

Oletukset. b-kohdan tulos edellyttää, että
- kuiden radat ovat ympyröitä, joiden keskipiste on Jupiterin keskipiste; todellisuudessa Jupiter ja kuu kiertävät yhteistä massakeskipistettä, mutta kuiden massat ovat niin pieniä Jupiterin massaan verrattuna, että ero on merkityksetön
- kuuhun vaikuttaa vain Jupiterin gravitaatio; muiden kuiden ja Auringon vetovoimat ovat siihen verrattuna pieniä
- Jupiterin massa vetää kuin se olisi keskipisteeseen keskittynyt, mikä pätee pallosymmetriselle kappaleelle hyvin.

Hyväksytään myös

  • a-kohdassa kuvaajan voi piirtää myös suureista $r^3$ ja $T^2$, koska mallista seuraa $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{\gamma M}\,r^3$; silloin b-kohdassa $M = \dfrac{4\pi^2}{\gamma k}$. Pisteet kasautuvat silloin origon lähelle, joten kulmakerroin kannattaa lukea Kalliston pisteen läheltä.
  • b-kohdassa kulmakertoimet $1{,}22\text{–}1{,}32 \cdot 10^{17}\,\text{m}^3/\text{s}^2$ ja massat $1{,}8\text{–}2{,}0 \cdot 10^{27}\,\text{kg}$ hyväksytään. Myös laskimen tai taulukkolaskennan sovitus origon kautta hyväksytään.
  • c-kohdan voi laskea myös pelkästä kiertoajasta ja Kepler-tyyppisestä vertailusta johonkin kuuhun, esimerkiksi $r = r_\text{Io}\,\left(\tfrac{T}{T_\text{Io}}\right)^{2/3}$, kunhan yhteys on perusteltu ympyräratamallista.

Yleisiä virheitä

  • Ratanopeus lasketaan kilometreinä ja vuorokausina, mutta $\gamma$ sijoitetaan perusyksiköissä.
  • Pisteet piirretään $(r, v)$-koordinaatistoon ja niihin sovitetaan suora, vaikka pisteistö on kaareva.
  • Radan säteeksi otetaan korkeus Jupiterin pinnasta tai säde lasketaan kuun pinnasta.
  • c-kohdassa kiertoajaksi otetaan $24\,\text{h}$ kuten Maan geostationaarisessa radassa.
  • d-kohdassa todetaan vain, että "massa ei vaikuta", näyttämättä, että se supistuu yhtälöstä.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Johtaa mallista yhteyden $v^2 = \dfrac{\gamma M}{r}$ ehdosta $\gamma\dfrac{Mm}{r^2} = m\dfrac{v^2}{r}$ ja valitsee sen mukaan kuvaajan suureet, esimerkiksi $\tfrac{1}{r}$ ja $v^2$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Ratanopeudet on laskettu yhtälöstä $v = \dfrac{2\pi r}{T}$ metreinä ja sekunteina, esimerkiksi Ion $v \approx 17{,}3\,\text{km/s}$. 1 p
Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. 1 p
Jokainen mittaus on merkitty erillisenä pisteenä oikealle paikalleen. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii, eikä pisteitä ole yhdistetty murtoviivaksi. Origon kautta kulkeva suora sopii kaikkiin viiteen pisteeseen. 1 p

b)3 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Suoran kulmakerroin $\gamma M \approx 1{,}27 \cdot 10^{17}\,\text{m}^3/\text{s}^2$ on luettu suoran pisteestä kaukana origosta. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $M = \dfrac{k}{\gamma}$, missä $k$ on kulmakerroin. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $M \approx 1{,}9 \cdot 10^{27}\,\text{kg}$ 1 p

c)3 p

Perustelee, että luotaimen kiertoajan on oltava sama kuin Jupiterin pyörähdysaika, ja yhdistää yhtälöt $v = \dfrac{2\pi r}{T}$ ja $v^2 = \dfrac{\gamma M}{r}$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $r^3 = \dfrac{\gamma M T^2}{4\pi^2}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $r \approx 1{,}6 \cdot 10^{8}\,\text{m} = 160\,000\,\text{km}$ 1 p

d)4 p

Selittää, että suurempi massa saa suuremman gravitaatiovoiman mutta tarvitsee samassa suhteessa suuremman keskeisvoiman: kuun massa supistuu yhtälöstä, joten ratanopeus riippuu vain Jupiterin massasta ja radan säteestä. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite ei pidä paikkaansa: Ion radalla Ganymedes kiertäisi samalla nopeudella ja samassa ajassa kuin Io. 1 p
Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Kuu kiertää Jupiterin keskipistettä ympyrärataa; tämä edellyttää, että kuun massa on hyvin pieni Jupiterin massaan verrattuna. 1 p
Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Kuuhun vaikuttaa vain Jupiterin gravitaatio: muiden kuiden ja Auringon vetovoima on siihen verrattuna pieni. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (15 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

Jousi ja punnukset 14 pistettä

Simuloitu esimerkkiaineisto · Aineisto on laskettu mallista, jossa jousen jousivakio on $20\,\text{N/m}$ ja kolmasosa jousen massasta liikkuu punnuksen mukana. Ajanottoon on lisätty pientä satunnaista vaihtelua mittauksen tapaan.

Opiskelijaryhmä tutki pystysuoraan riippuvan teräsjousen värähtelyä. Jousen alapäähän ripustettiin punnus, punnus vedettiin muutama senttimetri tasapainoasemansa alapuolelle ja päästettiin irti. Ryhmä mittasi sekuntikellolla kymmenen jakson ajan $t_{10}$. Jousen oma massa on $45\,\text{g}$.

$m\ (\text{g})$ $t_{10}\ (\text{s})$
$100$ $4{,}74$
$150$ $5{,}73$
$200$ $6{,}50$
$250$ $7{,}25$
$300$ $7{,}86$
$350$ $8{,}51$

Lisäksi ryhmä ripusti jouseen levossa $200\,\text{g}$:n punnuksen ja mittasi, että jousi venyi $9{,}8\,\text{cm}$.

  1. a) Piirrä värähtelymittauksista kuvaaja, jonka pisteisiin sopii suora, ja sovita siihen malli. 4 p
  2. b) Määritä kuvaajasta jousen jousivakio. 3 p
  3. c) Ryhmän mielestä tulos on ristiriitainen, koska suora ei kulje origon kautta, vaikka mallin mukaan sen pitäisi. Arvioi mittausta: mistä poikkeama voi johtua, ja kuinka luotettava b-kohdan jousivakio on? 4 p
  4. d) Jouseen ripustetaan $250\,\text{g}$:n punnus, ja se pannaan värähtelemään $5{,}0\,\text{cm}$:n amplitudilla. Kuinka suuri on punnuksen suurin nopeus? 3 p
Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

värähtelymittausten kuvaaja, jonka pisteisiin sopii suora, ja siihen sovitettu malli

Kuvaaja

Jousen ja punnuksen jaksonaika on $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$. Kun yhtälö korotetaan toiseen, saadaan $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{k}\,m$: jaksonajan neliö on verrannollinen massaan. Siksi pisteet piirretään $(m, T^2)$-koordinaatistoon. Jaksonaika on kymmenesosa mitatusta ajasta, esimerkiksi $T = 4{,}74\,\text{s} : 10 = 0{,}474\,\text{s}$ ja $T^2 = 0{,}2247\,\text{s}^2$.

$m\ (\text{kg})$ $T\ (\text{s})$ $T^2\ (\text{s}^2)$
$0{,}100$ $0{,}474$ $0{,}225$
$0{,}150$ $0{,}573$ $0{,}328$
$0{,}200$ $0{,}650$ $0{,}423$
$0{,}250$ $0{,}725$ $0{,}526$
$0{,}300$ $0{,}786$ $0{,}618$
$0{,}350$ $0{,}851$ $0{,}724$
$0{,}1$
$0{,}2$
$0{,}3$
$0{,}4$
$0{,}2$
$0{,}4$
$0{,}6$
$0{,}8$
$0$
$m\ (\text{kg})$
$T^2\ (\text{s}^2)$
$(0{,}100;\ 0{,}226)$
$(0{,}350;\ 0{,}722)$

Mallivastaus

Pisteet ovat lähes suoralla, joten jaksonajan neliö kasvaa tasaisesti massan mukana, kuten malli ennustaa. Pisteisiin sovitetaan suora, joka kulkee pisteiden lomitse; sitä ei pakoteta origon kautta, koska mitatut pisteet eivät osoita sinne. Kun suoraa jatketaan pystyakselille, se leikkaa sen noin kohdassa $0{,}028\,\text{s}^2$, hieman origon yläpuolella.

b)

Annettu

a-kohdan kuvaaja

Kysytty

jousen jousivakio $k$

Periaate

Mallin $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{k}\,m$ mukaan suoran kulmakerroin on $\dfrac{4\pi^2}{k}$. Pystyakselin leikkauskohta ei vaikuta kulmakertoimeen, joten jousivakio saadaan kulmakertoimesta, vaikka suora ei kulje origon kautta. Kulmakerroin luetaan suoran kahdesta kaukana toisistaan olevasta pisteestä.

Kuvaajan lukeminen

Suora kulkee pisteiden $(0{,}100\,\text{kg}$; $0{,}226\,\text{s}^2)$ ja $(0{,}350\,\text{kg}$; $0{,}722\,\text{s}^2)$ kautta, joten kulmakerroin on

$\dfrac{0{,}722\,\text{s}^2 - 0{,}226\,\text{s}^2}{0{,}350\,\text{kg} - 0{,}100\,\text{kg}}$
$= \dfrac{0{,}496\,\text{s}^2}{0{,}250\,\text{kg}}$
$= 1{,}984\,\text{s}^2/\text{kg}$

Kaava

$\dfrac{4\pi^2}{k}$$= 1{,}984\,\text{s}^2/\text{kg}$

josta

$k$$= \dfrac{4\pi^2}{1{,}984\,\text{s}^2/\text{kg}}$

Muunnokset

$1\,\text{kg/s}^2 = 1\,\text{N/m}$, koska $1\,\text{N} = 1\,\text{kg}\cdot\text{m/s}^2$.

Sijoitus

$k$$= \dfrac{4\pi^2}{1{,}984\,\text{s}^2/\text{kg}}$
$= \dfrac{39{,}48}{1{,}984\,\text{s}^2/\text{kg}}$
$= 19{,}9\,\text{kg/s}^2$

Vastaus

$k \approx 19{,}9\,\text{N/m}$

Kolme merkitsevää numeroa, koska massat ja ajat on mitattu kolmen numeron tarkkuudella ja pisteet ovat hyvin lähellä suoraa.

Järkevyys

Jousi venyy $200\,\text{g}$:n punnuksesta noin $10\,\text{cm}$, mikä vastaa noin $20\,\text{N/m}$:n jousivakiota. Tällainen jousi on tyypillinen koulun värähtelykokeissa.

c)

Kysytty

mistä suoran poikkeama origosta voi johtua ja kuinka luotettava b-kohdan jousivakio on

Periaate

Satunnainen virhe hajottaa pisteitä suoran molemmin puolin. Systemaattinen virhe tai mallin puute siirtää tuloksia samaan suuntaan. Tulos on luotettava, kun eri menetelmät antavat saman arvon epävarmuuksien rajoissa.

Mallivastaus

Epävarmuus. Käsiajanotossa reaktioajan epävarmuus on noin $0{,}2\,\text{s}$. Kymmenen jakson ajasta se on jaksonajassa vain $0{,}02\,\text{s}$, mikä on syy mitata kymmenen jaksoa. Pisteet poikkeavat suorasta enintään noin $0{,}005\,\text{s}^2$, joten satunnainen vaihtelu on pieni eikä selitä pystyakselin leikkauskohtaa $0{,}028\,\text{s}^2$.

Poikkeaman syy. Mallissa $T = 2\pi\sqrt{\tfrac{m}{k}}$ värähtelee vain punnus, ja jousi on massaton. Jousen oma massa $45\,\text{g}$ liikkuu kuitenkin mukana: sen alapää liikkuu punnuksen mukana ja yläpää on paikallaan. Värähtelevä massa on siksi punnuksen massaa suurempi, mikä siirtää koko suoraa ylöspäin mutta ei muuta sen kulmakerrointa. Leikkauskohdasta saadaan lisämassa $0{,}028\,\text{s}^2 : 1{,}984\,\text{s}^2/\text{kg} \approx 0{,}014\,\text{kg}$, noin kolmasosa jousen massasta. Tulos on järkevä, koska jousen alaosa liikkuu lähes yhtä paljon kuin punnus ja yläosa tuskin lainkaan.

Vertailu. Lepomittauksesta $k = \dfrac{mg}{x} = \dfrac{0{,}200\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{0{,}098\,\text{m}} \approx 20{,}0\,\text{N/m}$. Se eroaa b-kohdan tuloksesta $19{,}9\,\text{N/m}$ alle prosentin, joten kaksi toisistaan riippumatonta menetelmää tukevat toisiaan.

Johtopäätös. Ristiriitaa ei ole: jousivakio on luotettava, koska se saadaan kulmakertoimesta, johon jousen massa ei vaikuta. Jos suora olisi pakotettu origon kautta, jousivakioksi olisi saatu liian pieni arvo, noin $18{,}9\,\text{N/m}$.

d)

Annettu

$m = 0{,}250\,\text{kg}$, amplitudi $A = 5{,}0\,\text{cm}$ ja b-kohdan $k = 19{,}9\,\text{N/m}$

Kysytty

punnuksen suurin nopeus $v_\text{max}$

Periaate

Värähtelyn energia säilyy, kun kitka ja ilmanvastus ovat pieniä. Ääriasennossa punnus on hetken levossa, ja koko energia $\tfrac{1}{2}kA^2$ on potentiaalienergiaa. Tasapainoasemassa poikkeama on nolla, joten koko energia on liike-energiaa ja nopeus on suurimmillaan. Pystysuorassa jousessa paino vain siirtää tasapainoasemaa, joten poikkeama mitataan tasapainoasemasta.

Kaava

$\tfrac{1}{2}mv_\text{max}^2 = \tfrac{1}{2}kA^2$, josta $v_\text{max} = A\sqrt{\dfrac{k}{m}}$

Muunnokset

$A$$= 5{,}0\,\text{cm}$
$= 0{,}050\,\text{m}$

Sijoitus

$v_\text{max}$$= 0{,}050\,\text{m} \cdot \sqrt{\dfrac{19{,}9\,\text{N/m}}{0{,}250\,\text{kg}}}$
$= 0{,}050\,\text{m} \cdot 8{,}92\,\tfrac{1}{\text{s}}$
$= 0{,}446\,\text{m/s}$

Vastaus

$v_\text{max} \approx 0{,}45\,\text{m/s}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten amplitudissa $5{,}0\,\text{cm}$.

Järkevyys

Jaksonaika on noin $0{,}73\,\text{s}$, ja punnus kulkee jakson aikana $4A = 20\,\text{cm}$, joten sen keskimääräinen vauhti on noin $0{,}28\,\text{m/s}$. Suurin nopeus on tätä suurempi, kuten pitää. Jousen oma massa pienentää todellista suurinta nopeutta hieman, koska sama energia jakautuu myös jouselle.

Hyväksytään myös

  • b-kohdassa kulmakertoimet $1{,}95\text{–}2{,}02\,\text{s}^2/\text{kg}$ ja niistä lasketut jousivakiot $19{,}5\text{–}20{,}2\,\text{N/m}$ hyväksytään, samoin laskimen tai taulukkolaskennan suoran sovitus ($19{,}9\,\text{N/m}$).
  • a-kohdan kuvaajan voi piirtää myös suureista $m$ ja $T^2$ niin, että massa on gramma-asteikolla; b-kohdassa yksikkö on silloin muutettava.
  • c-kohdassa poikkeaman voi selittää myös systemaattisella virheellä, kun selitys on perusteltu ja todetaan, että vakiosuuruinen lisäys ei muuta kulmakerrointa.

Yleisiä virheitä

  • Kuvaajaksi piirretään $(m, T)$-kuvaaja ja sen kaarevaan pisteistöön sovitetaan suora.
  • Jaksonajaksi otetaan kymmenen jakson aika jakamatta sitä kymmenellä.
  • Suora pakotetaan origon kautta, koska "mallin mukaan sen pitää kulkea origon kautta", jolloin jousivakio saadaan liian pieneksi.
  • Kulmakertoimesta lasketaan suoraan $k$ ilman tekijää $4\pi^2$ tai sen käänteisarvona.
  • d-kohdassa amplitudi sijoitetaan senttimetreinä tai energiaan lisätään painovoiman potentiaalienergia, vaikka poikkeama mitataan tasapainoasemasta.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Valitsee $(m, T^2)$-kuvaajan, koska jaksonajan yhtälöstä seuraa $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{k}\,m$, ja laskee jaksonajat $T = t_{10} : 10$. 1 p
Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. 1 p
Jokainen mittaus on merkitty erillisenä pisteenä oikealle paikalleen. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii, eikä pisteitä ole yhdistetty murtoviivaksi. Suora sovitetaan pisteisiin pakottamatta sitä origon kautta; se leikkaa pystyakselin hieman origon yläpuolella. 1 p

b)3 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Kulmakerroin noin $1{,}98\,\text{s}^2/\text{kg}$ kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Kulmakerroin on $\dfrac{4\pi^2}{k}$, joten $k = \dfrac{4\pi^2}{\text{kulmakerroin}}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $k \approx 19{,}9\,\text{N/m}$ 1 p

c)4 p

Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Käsiajanoton noin $0{,}2\,\text{s}$:n epävarmuus kymmenen jakson ajassa on jaksonajassa vain $0{,}02\,\text{s}$, ja pisteet poikkeavat suorasta enintään noin $0{,}005\,\text{s}^2$, joten satunnainen vaihtelu ei selitä pystyakselin leikkauskohtaa $0{,}028\,\text{s}^2$. 1 p
Tärkeimmät virhelähteet on nimetty ja kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. Jousen oma massa liikkuu mukana, joten värähtelevä massa on punnuksen massaa suurempi. Lisämassa siirtää suoraa ylöspäin mutta ei muuta kulmakerrointa; leikkauskohdasta saadaan noin $14\,\text{g}$ eli noin kolmasosa jousen massasta. 1 p
Vertaa lepomittaukseen: $k = \dfrac{mg}{x} \approx 20{,}0\,\text{N/m}$ eroaa b-kohdan tuloksesta alle prosentin, joten kaksi eri menetelmää tukevat toisiaan. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Jousivakio on luotettava, koska se saadaan kulmakertoimesta; origon kautta pakotettu suora antaisi liian pienen arvon, noin $18{,}9\,\text{N/m}$. 1 p

d)3 p

Käyttää värähtelyn energiaa: ääriasennossa energia $\tfrac{1}{2}kA^2$ on kokonaan jousen potentiaalienergiaa ja tasapainoasemassa kokonaan liike-energiaa. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $\tfrac{1}{2}mv_\text{max}^2 = \tfrac{1}{2}kA^2$, josta $v_\text{max} = A\sqrt{\dfrac{k}{m}}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $v_\text{max} \approx 0{,}45\,\text{m/s}$ 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 14 (14 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

Urkupilli 17 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Pilli, signaali ja mittaustulos ovat keksittyjä esimerkkejä.

Urkujen rakentaja tarkistaa kirkon urkujen uutta pilliä. Pilli on molemmista päistään avoin putki. Mikrofoni muuttaa pillin äänen sähköiseksi signaaliksi, jonka kuvaaja on alla.

Urut viritettiin, kun kirkon lämpötila oli $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$ ja äänen nopeus ilmassa $343\,\text{m/s}$. Äänen nopeus ilmassa pienenee noin $0{,}6\,\text{m/s}$, kun lämpötila laskee yhden asteen.

$2$
$4$
$6$
$8$
$10$
$12$
$14$
$16$
$18$
$20$
$t\ (\text{ms})$
$\text{signaali}$
$0$
  1. a) Määritä pillin äänen taajuus kuvaajasta. 3 p
  2. b) Kuinka pitkä pilli on, kun a-kohdan taajuus on sen perustaajuus? 3 p
  3. c) Talvella kirkon lämpötila on vain $8{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Kuinka paljon pillin perustaajuus muuttuu? 4 p
  4. d) Pillien edessä $4{,}0\,\text{m}$:n etäisyydellä mitattiin urkujen soidessa täysillä intensiteettitasoksi $88\,\text{dB}$. Urkuri istuu $2{,}0\,\text{m}$:n päässä pilleistä ja harjoittelee kolme tuntia päivässä. Arvioi urkurin sallittu päivittäinen altistusaika olettaen, että urut säteilevät äänen tasaisesti joka suuntaan yhdestä pisteestä ja soivat koko harjoituksen ajan yhtä voimakkaasti. Riittääkö se? 4 p
  5. e) Arvioi d-kohdan mallin oletuksia kirkossa. Onko urkurin todellinen altistus todennäköisesti arviota suurempi vai pienempi, ja miten sen voisi selvittää luotettavasti? 3 p
Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

mikrofonin signaalin kuvaaja aikavälillä $0\text{–}20\,\text{ms}$

Kysytty

äänen taajuus $f$

Periaate

Jaksollisen liikkeen jaksonaika on aika, jonka kuluttua koko aaltomuoto alkaa toistua samanlaisena. Signaali ei ole siniaalto: jokaisessa jaksossa on korkea ja matala huippu, joten kahden vierekkäisen huipun väli ei ole jaksonaika. Lukutarkkuus paranee, kun luetaan usean jakson kesto.

Kuvaajan lukeminen

Korkeat huiput ovat kohdissa $1\,\text{ms}$, $5\,\text{ms}$, $9\,\text{ms}$, $13\,\text{ms}$ ja $17\,\text{ms}$. Kuvaajassa on viisi kokonaista jaksoa ajassa $20{,}0\,\text{ms}$, joten

$T$$= \dfrac{20{,}0\,\text{ms}}{5}$
$= 4{,}0\,\text{ms}$

Kaava

$f = \dfrac{1}{T}$

Muunnokset

$T$$= 4{,}0\,\text{ms}$
$= 0{,}0040\,\text{s}$

Sijoitus

$f$$= \dfrac{1}{0{,}0040\,\text{s}}$
$= 250\,\tfrac{1}{\text{s}}$
$= 250\,\text{Hz}$

Vastaus

$f = 250\,\text{Hz}$

Kaksi tai kolme merkitsevää numeroa: viiden jakson kesto voidaan lukea apuviivoilta tarkasti.

Järkevyys

Taajuus on soitinäänille tyypillinen, lähellä keskimmäistä C:tä. Signaalin muodosta näkyy, että siinä on perustaajuuden lisäksi kaksinkertainen taajuus $500\,\text{Hz}$: korkean ja matalan huipun väli on puoli jaksoa. Jos jaksonajaksi otetaan huippujen väli $2{,}0\,\text{ms}$, saadaan virheellisesti $500\,\text{Hz}$.

b)

Annettu

perustaajuus $f = 250\,\text{Hz}$ ja äänen nopeus $v = 343\,\text{m/s}$; pilli on avoin molemmista päistä

Kysytty

pillin pituus $L$

Periaate

Pillin ilmapatsaaseen syntyy seisova aalto, kun ääniaalto heijastuu putken päistä. Avoimessa päässä ilma pääsee liikkumaan vapaasti, joten siinä on värähtelyn kupu. Kun molemmat päät ovat avoimia, perusvärähtelyssä putkessa on kaksi kupua päissä ja yksi solmu keskellä, joten putken pituus on puolet aallonpituudesta. Aallonpituus saadaan aallon perusyhtälöstä $v = f\lambda$.

Kaava

$L = \dfrac{\lambda}{2}$ ja $\lambda = \dfrac{v}{f}$, joten $L = \dfrac{v}{2f}$

Muunnokset

Ei tarvita.

Sijoitus

$L$$= \dfrac{343\,\text{m/s}}{2 \cdot 250\,\text{Hz}}$
$= 0{,}686\,\text{m}$

Vastaus

$L \approx 0{,}686\,\text{m}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten äänen nopeudessa.

Järkevyys

Aallonpituus on $1{,}37\,\text{m}$, ja pilli on sen puolikas, vajaan seitsemänkymmenen sentin pituinen, mikä on tavallinen urkupillin koko tälle sävelkorkeudelle. Todellinen pilli on hieman lyhyempi, koska seisovan aallon kupu on vähän putken pään ulkopuolella.

c)

Annettu

$L = 0{,}686\,\text{m}$, $v = 343\,\text{m/s}$ lämpötilassa $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$, äänen nopeus pienenee noin $0{,}6\,\text{m/s}$ astetta kohti, talvilämpötila $8{,}0\,{}^\circ\text{C}$

Kysytty

perustaajuuden muutos $\Delta f$

Periaate

Seisovan aallon aallonpituuden määrää pillin pituus, $\lambda = 2L$, joka ei käytännössä muutu. Kylmässä ilmassa ääni etenee hitaammin, joten samalla aallonpituudella taajuus $f = \tfrac{v}{\lambda}$ pienenee samassa suhteessa kuin äänen nopeus.

Kaava

$v' = v - 0{,}6\,\tfrac{\text{m/s}}{{}^\circ\text{C}} \cdot \Delta T$, $f' = \dfrac{v'}{2L}$ ja $\Delta f = f - f'$

Muunnokset

Lämpötila laskee

$20{,}0\,{}^\circ\text{C} - 8{,}0\,{}^\circ\text{C}$$= 12{,}0\,{}^\circ\text{C}$

Sijoitus

$v'$$= 343\,\text{m/s} - 12{,}0 \cdot 0{,}6\,\text{m/s}$
$= 335{,}8\,\text{m/s}$
$f'$$= \dfrac{335{,}8\,\text{m/s}}{2 \cdot 0{,}686\,\text{m}}$
$= 244{,}8\,\text{Hz}$

joten

$\Delta f$$= 250\,\text{Hz} - 244{,}8\,\text{Hz}$
$= 5{,}2\,\text{Hz}$

Vastaus

Perustaajuus pienenee noin $5\,\text{Hz}$ (tarkemmin $5{,}2\,\text{Hz}$) arvoon noin $245\,\text{Hz}$. Muutos tunnetaan yhden merkitsevän numeron tarkkuudella, koska nopeuden muutos $0{,}6\,\text{m/s}$ astetta kohti on annettu yhdellä numerolla.

Järkevyys

Äänen nopeus pienenee noin $2\,\%$, joten taajuuskin pienenee noin $2\,\%$, ja $2\,\%$ luvusta $250\,\text{Hz}$ on $5\,\text{Hz}$. Puolisävelaskel on tällä korkeudella noin $15\,\text{Hz}$, joten urut soivat talvella noin kolmanneksen puolisävelaskelta matalammalta. Siksi urut viritetään lämpötilassa, jossa niitä tavallisesti soitetaan.

d)

Annettu

intensiteettitaso $L_1 = 88\,\text{dB}$ etäisyydellä $r_1 = 4{,}0\,\text{m}$, urkurin etäisyys $r_2 = 2{,}0\,\text{m}$, harjoitusaika $3\,\text{h}$; ylempi toiminta-arvo $L_0 = 85\,\text{dB}$ ja sitä vastaava aika $t_0 = 8\,\text{h}$

Kysytty

urkurin sallittu päivittäinen altistusaika $t_\text{sall}$ ja riittääkö se

Periaate

Kun lähde säteilee tasaisesti joka suuntaan, sama teho jakautuu pallon pinnalle $4\pi r^2$, joten intensiteetti on $I = \dfrac{P}{4\pi r^2}$. Kun etäisyys puolittuu, intensiteetti nelinkertaistuu. Intensiteettitason muutos saadaan intensiteettien suhteesta. Sallittu altistusaika puolittuu jokaista $3\,\text{dB}$:n nousua kohti.

Kaava

$L_2 - L_1$$= 10\,\text{dB} \cdot \lg \dfrac{I_2}{I_1}$

missä

$\dfrac{I_2}{I_1}$$= \left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^2$

$n = \dfrac{L_2 - L_0}{3\,\text{dB}}$ ja $t_\text{sall} = \dfrac{t_0}{2^{\,n}}$

Muunnokset

Ei tarvita.

Sijoitus

$\dfrac{I_2}{I_1}$$= \left(\dfrac{4{,}0\,\text{m}}{2{,}0\,\text{m}}\right)^2$
$= 4$

joten

$L_2$$= 88\,\text{dB} + 10\,\text{dB} \cdot \lg 4$
$= 88\,\text{dB} + 6{,}0\,\text{dB}$
$= 94\,\text{dB}$
$n$$= \dfrac{94\,\text{dB} - 85\,\text{dB}}{3\,\text{dB}}$
$= 3{,}0$
$t_\text{sall}$$= \dfrac{8\,\text{h}}{2^{3}}$
$= 1{,}0\,\text{h}$

Vastaus

$t_\text{sall} \approx 1\,\text{h}$

Aika ei riitä: kolmen tunnin harjoitus on noin kolminkertainen sallittuun aikaan nähden. Urkurin kannattaa käyttää kuulonsuojaimia tai harjoitella hiljaisemmilla äänikerroilla.

Järkevyys

Taso $94\,\text{dB}$ on samaa luokkaa kuin ruohonleikkurin melu käyttäjän korvalla, jolloin suositellaan kuulonsuojaimia. Pistelähdemallissa urkujen ääniteho olisi

$P$$= I \cdot 4\pi r^2$
$\approx 0{,}13\,\text{W}$

mikä on soittimelle uskottava.

e)

Kysytty

d-kohdan mallin oletusten arvio, todellisen altistuksen suunta ja luotettava tapa selvittää se

Periaate

Pistelähdemalli olettaa, että ääni lähtee yhdestä pisteestä ja etenee esteettä ilman heijastuksia. Jokaisen oletuksen kohdalla mietitään, olisiko taso urkurin kohdalla todellisuudessa suurempi vai pienempi kuin malli antaa.

Mallivastaus

Urut eivät ole pistelähde. Pillit ovat metrien levyisellä ja korkuisella alueella, ja urkurin etäisyys useimmista pilleistä on paljon yli $2\,\text{m}$. Lähellä laajaa lähdettä taso ei kasva $6\,\text{dB}$ joka kerta, kun etäisyys puolittuu, joten d-kohdan $94\,\text{dB}$ on todennäköisesti liian suuri arvio.

Heijastukset. Kirkon seinät, lattia ja holvit heijastavat ääntä, ja kaikua kuuluu koko salissa. Osa $4{,}0\,\text{m}$:n etäisyydellä mitatusta tasosta on kaikua, joka ei voimistu lähemmäs mentäessä. Myös tämä tekee arviosta liian suuren.

Soittaminen. Harjoituksessa urut soivat harvoin koko ajan täysillä, joten keskimääräinen taso on pienempi. Toisaalta pillien ja soittopöydän sijainti voi joissain kirkoissa ohjata ääntä suoraan urkuria kohti.

Luotettava selvitys. Melumittarilla mitataan A-painotettu taso urkurin korvan kohdalta koko tavallisen harjoituksen ajalta ja lasketaan sen keskiarvo, jota verrataan toiminta-arvoon $85\,\text{dB}$. Altistus on todennäköisesti pienempi kuin d-kohdan arvio, mutta vain mittaus kertoo, tarvitaanko kuulonsuojaimia.

Hyväksytään myös

  • a-kohdassa jaksonajan voi lukea myös kahden tai kolmen jakson kestosta; vastaukset $240\text{–}260\,\text{Hz}$ hyväksytään.
  • c-kohdassa vastaukset $5\,\text{Hz}$ ja $5{,}2\,\text{Hz}$ hyväksytään. Muutoksen voi laskea myös suhteesta $\dfrac{\Delta f}{f} = \dfrac{\Delta v}{v}$.
  • d-kohdassa tason muutoksen voi laskea myös intensiteeteistä: $I_1 = 10^{-12}\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2} \cdot 10^{8{,}8}$ ja $I_2 = 4I_1$.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa jaksonajaksi otetaan kahden vierekkäisen huipun väli $2{,}0\,\text{ms}$, jolloin taajuudeksi saadaan $500\,\text{Hz}$.
  • b-kohdassa käytetään yhdestä päästä suljetun putken ehtoa $L = \tfrac{\lambda}{4}$, vaikka pilli on molemmista päistä avoin.
  • c-kohdassa oletetaan, että aallonpituus muuttuu ja taajuus pysyy samana, tai taajuuden muutos lasketaan samaksi kuin nopeuden muutos.
  • d-kohdassa tason oletetaan kaksinkertaistuvan, kun etäisyys puolittuu, tai intensiteetin oletetaan riippuvan etäisyydestä eikä sen neliöstä.
  • Sallittu aika lasketaan jakamalla $8\,\text{h}$ tasojen erotuksella eikä puolittamalla aikaa jokaista $3\,\text{dB}$:n askelta kohti.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Tunnistaa jaksonajaksi koko toistuvan aaltomuodon keston eikä kahden vierekkäisen huipun väliä: jakson aikana signaalissa on kaksi erikorkuista huippua. 1 p
Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Luetaan usean jakson kesto: viisi jaksoa $20{,}0\,\text{ms}$:ssa, joten $T = 4{,}0\,\text{ms}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $f = 250\,\text{Hz}$ 1 p

b)3 p

Perustelee seisovalla aallolla: avoimen putken molemmissa päissä on kupu, joten perusvärähtelyssä putken pituus on puolet aallonpituudesta. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $L = \dfrac{\lambda}{2} = \dfrac{v}{2f}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $L \approx 0{,}686\,\text{m}$ 1 p

c)4 p

Perustelee, että aallonpituus pysyy samana, koska sen määrää pillin pituus, mutta äänen nopeus pienenee, joten taajuus pienenee. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $f' = \dfrac{v'}{2L}$ tai $\dfrac{f'}{f} = \dfrac{v'}{v}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $v' = 343\,\text{m/s} - 12 \cdot 0{,}6\,\text{m/s} = 335{,}8\,\text{m/s}$ ja $f' \approx 244{,}8\,\text{Hz}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. Taajuus pienenee noin $5\,\text{Hz}$. 1 p

d)4 p

Perustelee tason kasvun: puolet pienempi etäisyys nelinkertaistaa intensiteetin $I = \dfrac{P}{4\pi r^2}$, joten taso kasvaa $10\,\text{dB} \cdot \lg 4 \approx 6\,\text{dB}$ arvoon $94\,\text{dB}$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $n = \dfrac{L - 85\,\text{dB}}{3\,\text{dB}}$ ja $t_\text{sall} = \dfrac{8\,\text{h}}{2^{\,n}}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $t_\text{sall} \approx 1\,\text{h}$ 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Ei riitä: kolmen tunnin harjoitus on noin kolminkertainen sallittuun aikaan nähden, joten urkurin kannattaa käyttää kuulonsuojaimia tai harjoitella hiljaisemmin. 1 p

e)3 p

Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Urut eivät ole pistelähde: pillit ovat metrien levyisellä alueella, joten taso ei kasva $6\,\text{dB}$, kun etäisyys pilleihin puolittuu. 1 p
Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Kirkon seinät ja holvit heijastavat ääntä, joten osa $4{,}0\,\text{m}$:n tasosta on kaikua, joka ei voimistu lähemmäs mentäessä; myös harjoituksessa soitetaan harvoin koko ajan täysillä. Kumpikin tekee arviosta todennäköisesti liian suuren. 1 p
Ehdottaa mittausta: melumittarilla mitataan A-painotettu taso urkurin korvan kohdalta koko harjoituksen ajalta ja verrataan sen keskiarvoa toiminta-arvoon. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 17 (17 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.