Sovella itsenäisesti

Annettu

kuorma $m = 2{,}0\,\text{t} = 2000\,\text{kg}$, puomi $m_\text{p} = 4{,}0\,\text{t}$ ja $r_\text{p} = 12\,\text{m}$, vastapaino $m_\text{v} = 9{,}0\,\text{t}$ ja $r_\text{v} = 10\,\text{m}$

Kysytty

vaunun etäisyys $r$ tornin akselista, kun painojen kokonaismomentti on nolla

Periaate

Puomiin vaikuttaa kolme painoa. Ne ovat kuorman paino vaunun kohdalla (vaijerin kautta), puomin oma paino sen painopisteessä ja vastapainon paino. Kiertoakseliksi valitaan tornin akseli, koska puomi pyrkii kallistumaan sen ympäri. Voiman varsi on matka akselilta voiman vaikutussuoralle. Tässä se on sama kuin vaakasuora etäisyys akselista. Kuorma ja puomin paino kiertävät puomia kuorman puolelle. Vastapaino kiertää puomia vastakkaiseen suuntaan. Tasapainossa momenttien summa on nolla.

Kaava

$m_\text{p} g r_\text{p} + m g r - m_\text{v} g r_\text{v} = 0$. Putoamiskiihtyvyys supistuu, joten

Muunnokset

$1\,\text{t} = 1000\,\text{kg}$, joten $m_\text{p} = 4000\,\text{kg}$ ja $m_\text{v} = 9000\,\text{kg}$.

Sijoitus

Vastaus

$r \approx 21\,\text{m}$

Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten etäisyyksissä ja massoissa.

Järkevyys

Vastapainon momentti on noin kaksinkertainen puomin momenttiin verrattuna. Kuorman pitää siis korvata erotus. Kevyt kuorma joutuu kauas, ja kohta on puomin $40\,\text{m}$:n pituuden sisällä.

Annettu

a-kohdan tiedot, vaunu puomin kärjessä $r_\text{max} = 40\,\text{m}$, sallittu kokonaismomentti $M_\text{max} = 600\,\text{kNm}$ ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

suurin kuorma $m$ puomin kärjessä

Periaate

Kun kuorma on kärjessä, kokonaismomentti osoittaa kuorman puolelle. Suurimmalla sallitulla kuormalla se on yhtä suuri kuin raja. Momentit lasketaan tornin akselin suhteen kuten a-kohdassa. Positiivinen kiertosuunta on kuorman puolelle.

Kaava

josta

Muunnokset

Sijoitus

Kuorman momentti saa siis olla

Siitä saadaan

Vastaus

$m \approx 2{,}6\,\text{t}$

Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten nosturin tiedoissa.

Järkevyys

Ilman kuormaa kokonaismomentti on $882{,}9\,\text{kNm} - 470{,}9\,\text{kNm} = 412\,\text{kNm}$ vastapainon suuntaan. Raja ei siis ylity tyhjälläkään nosturilla. Kärjen kuorma on pienempi kuin kuorma, jonka nosturi kantaa lähempänä tornia. Näin on myös nosturien kuormakaavioissa.

Kysytty

voiko vastapainoa lisätä pari tonnia, jotta kärjestä voisi nostaa raskaampia kuormia

Periaate

Vastapainon momentti kiertää puomia vastakkaiseen suuntaan kuin kuorma. Raja koskee kokonaismomenttia kumpaankin suuntaan. Siksi pitää tarkistaa sekä täysin kuormattu että tyhjä nosturi.

Mallivastaus

Kuormattu nosturi. Suurempi vastapaino pienentää kuorman puolelle jäävää kokonaismomenttia. Kärjessä voisi siis nostaa raskaamman kuorman. Mestari on tässä oikeassa.

Tyhjä nosturi. Ilman kuormaa kokonaismomentti osoittaa vastapainon suuntaan. Nyt se on $412\,\text{kNm}$. Kahden tonnin lisäys kasvattaa sitä $2000\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 10\,\text{m} = 196{,}2\,\text{kNm}$. Kokonaismomentti on silloin $608\,\text{kNm}$. Se ylittää rajan $600\,\text{kNm}$. Torni kuormittuu liikaa vastapainon puolella aina, kun koukussa ei ole kuormaa.

Kuinka paljon voisi lisätä. Tyhjällä nosturilla rajaan on varaa $600\,\text{kNm} - 412\,\text{kNm} = 188\,\text{kNm}$. Vastapainoa voi siis lisätä enintään $188\,000\,\text{Nm} : (9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 10\,\text{m}) \approx 1{,}9\,\text{t}$. Silloin kärjen suurin kuorma olisi $1200\,\text{kNm} : 392{,}4\,\text{m}^2/\text{s}^2 \approx 3{,}1\,\text{t}$.

Johtopäätös. Ehdotus ei käy sellaisenaan. Vastapaino mitoitetaan niin, että raja ei ylity tyhjällä eikä täysin kuormatulla nosturilla. Kahden tonnin sijaan vastapainoa voisi lisätä enintään noin $1{,}9\,\text{t}$. Nostokykyä ei voi kasvattaa siitä enempää ilman tukevampaa tornia.

Kysytty

kuorman voimakuvio puomin kääntyessä tasaisesti ja arvio kuljettajan selityksestä

Periaate

Valitaan kappaleeksi kuorma. Sen kanssa ovat vuorovaikutuksessa Maa (paino) ja vaijeri (jännitysvoima). Mikään muu ei kosketa kuormaa, ja ilmanvastus on hitaassa liikkeessä pieni. Kun puomi kääntyy tasaisesti, kuorma kiertää vaakasuoraa ympyrää tornin akselin ympäri. Sillä on silloin normaalikiihtyvyys kohti akselia. Normaalikiihtyvyys tarkoittaa kiihtyvyyttä, joka osoittaa kohti ympyrän keskipistettä. Siksi voimien summan pitää osoittaa kohti akselia.

Mallivastaus

Kuorma piirretään vaijerin suuntaisesti kallistuneeksi suorakulmioksi.
- Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä suoraan alas.
- Vaijerin jännitysvoima $\overline{S}$ lähtee yläpinnasta, jossa vaijeri on kiinni. Se osoittaa vaijeria pitkin ylös ja hieman kohti tornin akselia, koska kuorma on vaunua ulompana.

Pystysuunnassa kuorma ei kiihdy. Jännitysvoiman pystykomponentti on siis yhtä suuri kuin paino, ja jännitysvoima on painoa hieman suurempi. Jännitysvoiman vaakakomponentti on voimien summa. Se osoittaa kohti tornin akselia, kuten normaalikiihtyvyys $\overline{a}_\text{n}$. Kiihtyvyys piirretään erikseen omalla värillään. Mallikuvassa vaijerin kulma on piirretty paljon suuremmaksi kuin tehtävässä, jotta nuolet erottuvat.

Kuljettajan selitys. Keskipakoisvoimaa ei ole. Mikään kappale ei vedä kuormaa ulospäin, eikä voimakuviossa ole ulospäin osoittavaa voimaa. Kun puomi lähtee kääntymään, kuorma pyrkii hitautensa vuoksi jatkamaan suoraan eteenpäin. Siksi se jää ympyrän ulkoreunalle ja vaijeri kallistuu. Kallistus kasvaa, kunnes jännitysvoiman vaakakomponentti riittää kääntämään kuorman ympyräradalle. Kuorma ei siis heitty ulospäin. Se jää jälkeen suoraviivaisesta radastaan vain sen verran, että vaijeri voi vetää sitä kohti keskipistettä.

Annettu

a-kohdan säde $r = 21\,\text{m}$, kierrosaika $T = 90\,\text{s}$, vaijerin pituus $15\,\text{m}$ ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

vaijerin ja pystysuoran välinen kulma $\theta$ ja sen merkitys

Periaate

Kuorma kiertää tasaista ympyräliikettä. Sen kiihtyvyys on siis normaalikiihtyvyys $a_\text{n} = \tfrac{v^2}{r}$ kohti tornin akselia. Ratanopeus saadaan kierrosajasta. Newtonin toinen laki kirjoitetaan d-kohdan voimakuviosta komponenteittain. Akseli $x$ on vaakasuoraan kohti tornin akselia ja akseli $y$ ylöspäin. Kallistuminen siirtää kuormaa vain senttejä. Ympyrän säteenä voi siis käyttää vaunun etäisyyttä $21\,\text{m}$.

Kaava

$x$: $S\sin\theta = m\dfrac{v^2}{r}$ ja $y$: $S\cos\theta - mg = 0$. Kun yhtälöt jaetaan keskenään, saadaan $\tan\theta = \dfrac{v^2}{rg}$, missä $v = \dfrac{2\pi r}{T}$. Massa supistuu.

Muunnokset

Ei tarvita.

Sijoitus

joten $\theta = 0{,}598^\circ$

Vastaus

$\theta \approx 0{,}60^\circ$

Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten kierrosajassa $90\,\text{s}$. Kuorma on siirtynyt vaunun kohdalta ulospäin $15\,\text{m} \cdot 0{,}01043 \approx 0{,}16\,\text{m}$.

Järkevyys

Normaalikiihtyvyys

on vain noin prosentti putoamiskiihtyvyydestä. Kulma on siis pieni, ja jännitysvoima on käytännössä yhtä suuri kuin paino. Tasaisella kääntämisellä ei ole nostotyössä juuri merkitystä. Äkillinen liikkeelle lähtö tai pysähdys sen sijaan saa kuorman heilumaan. Vaijeri ei heti pysty antamaan kuormalle samaa kiihtyvyyttä kuin vaunulle.

Kysytty

kuvaaja, jonka pisteisiin ympyräratamallin mukaan sopii origon kautta kulkeva suora

Kuvaaja

Mallissa kuuta pitää ympyräradalla Jupiterin gravitaatio. Se on kuuhun vaikuttava ainoa merkittävä voima. Gravitaatio on kuun ympyräliikkeen keskeisvoima: $\gamma\dfrac{Mm}{r^2} = m\dfrac{v^2}{r}$, joten $v^2 = \gamma M \cdot \dfrac{1}{r}$. Ratanopeus lasketaan kiertoajasta: $v = \dfrac{2\pi r}{T}$. Säde pitää laskea metreinä ja kiertoaika sekunteina ($1\,\text{d} = 86\,400\,\text{s}$). Esimerkiksi Iolle $v = \dfrac{2\pi \cdot 421{,}8 \cdot 10^{6}\,\text{m}}{1{,}769 \cdot 86\,400\,\text{s}} = 17\,340\,\text{m/s}$. Siitä saadaan $v^2 = 3{,}01 \cdot 10^{8}\,\text{m}^2/\text{s}^2$ ja $\tfrac{1}{r} = 2{,}37 \cdot 10^{-9}\,\tfrac{1}{\text{m}}$.

Vaaka-akselille valitaan $\tfrac{1}{r}$ ja pystyakselille $v^2$.

Mallivastaus

Kaikki viisi pistettä ovat samalla suoralla, joka kulkee origon kautta. Ympyrämalli, jossa gravitaatio on keskeisvoima, kuvaa siis kuiden liikettä hyvin. Suora kulkee origon kautta, koska mallin mukaan äärettömän kaukana ($\tfrac{1}{r} = 0$) ratanopeus olisi nolla. Suoran kulmakerroin on mallin mukaan $\gamma M$. Se on sama kaikille kuille, vaikka kuiden massat ovat hyvin erilaiset.

Annettu

a-kohdan kuvaaja ja $\gamma = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$

Kysytty

Jupiterin massa $M$

Periaate

Mallin mukaan $v^2 = \gamma M \cdot \tfrac{1}{r}$, joten suoran kulmakerroin $k$ on $\gamma M$. Kulmakerroin luetaan suoralta pisteestä, joka on kaukana origosta. Silloin lukemisen suhteellinen virhe on pieni.

Kuvaajan lukeminen

Suora kulkee origon ja pisteen $(5{,}0 \cdot 10^{-9}\,\tfrac{1}{\text{m}}$; $6{,}35 \cdot 10^{8}\,\text{m}^2/\text{s}^2)$ kautta, joten

Kaava

$k = \gamma M$, josta $M = \dfrac{k}{\gamma}$

Muunnokset

koska $1\,\text{N} = 1\,\text{kg}\cdot\text{m/s}^2$.

Sijoitus

Vastaus

$M \approx 1{,}9 \cdot 10^{27}\,\text{kg}$

Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska kulmakerroin luetaan kuvaajalta noin kahden tai kolmen numeron tarkkuudella.

Järkevyys

Taulukkokirjan arvo on $1{,}898 \cdot 10^{27}\,\text{kg}$, noin $320$ Maan massaa. Tulos on siis oikein. Jupiter on Aurinkokunnan massiivisin planeetta, ja sen massa on noin tuhannesosa Auringon massasta.

Annettu

Jupiterin pyörähdysaika $T = 9{,}93\,\text{h}$ ja b-kohdan $\gamma M = 1{,}27 \cdot 10^{17}\,\text{m}^3/\text{s}^2$

Kysytty

luotaimen radan säde $r$

Periaate

Luotain pysyy saman pilvimuodostelman yläpuolella vain, jos se kiertää Jupiteria samaan suuntaan ja samassa ajassa kuin Jupiter pyörähtää akselinsa ympäri. Luotaimen ympyräliikkeen keskeisvoima on Jupiterin gravitaatio, kuten kuilla. Siksi $v^2 = \dfrac{\gamma M}{r}$, ja ratanopeus on $v = \dfrac{2\pi r}{T}$.

Kaava

josta

Muunnokset

Sijoitus

joten $r = 1{,}60 \cdot 10^{8}\,\text{m}$

Vastaus

$r \approx 1{,}6 \cdot 10^{8}\,\text{m} = 160\,000\,\text{km}$

Jupiterin keskipisteestä. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten b-kohdan tuloksessa.

Järkevyys

Kiertoaika $9{,}93\,\text{h}$ on lyhyempi kuin Amalthean $0{,}4982\,\text{d} \approx 12\,\text{h}$. Radan pitää siis olla Amalthean radan ($181\,400\,\text{km}$) sisäpuolella, ja niin se onkin. Jupiterin säde on noin $71\,500\,\text{km}$. Luotain kiertäisi siis noin $89\,000\,\text{km}$:n korkeudella pilvien yläpuolella.

Kysytty

arvio väitteestä, että Ganymedes kiertäisi Ion radalla Iota nopeammin, ja b-kohdan tuloksen oletukset

Periaate

Ratanopeus saadaan ehdosta, että gravitaatio on kuun ympyräliikkeen keskeisvoima: $\gamma\dfrac{Mm}{r^2} = m\dfrac{v^2}{r}$. Tässä $m$ on kuun massa.

Mallivastaus

Väite. On totta, että massiivisempaan kuuhun kohdistuu samalla etäisyydellä suurempi gravitaatiovoima. Voima on verrannollinen kuun massaan $m$. Massiivisempi kuu tarvitsee kuitenkin samassa suhteessa suuremman keskeisvoiman pysyäkseen samalla ympyräradalla. Tarvittava voima $m\tfrac{v^2}{r}$ on nimittäin myös verrannollinen massaan. Kuun massa supistuu yhtälöstä, ja jäljelle jää $v^2 = \dfrac{\gamma M}{r}$. Ratanopeus riippuu siis vain Jupiterin massasta $M$ ja radan säteestä. Ion radalla Ganymedes kiertäisi samalla nopeudella ja samassa ajassa kuin Io. Väite ei pidä paikkaansa. Saman näkee a-kohdan kuvaajasta: hyvin eri massaiset kuut ovat samalla suoralla.

Oletukset. b-kohdan tulos vaatii, että
- kuiden radat ovat ympyröitä, joiden keskipiste on Jupiterin keskipiste. Todellisuudessa Jupiter ja kuu kiertävät yhteistä massakeskipistettä. Kuiden massat ovat kuitenkin niin pieniä Jupiterin massaan verrattuna, että ero on merkityksetön.
- kuuhun vaikuttaa vain Jupiterin gravitaatio. Muiden kuiden ja Auringon vetovoimat ovat siihen verrattuna pieniä.
- Jupiterin massa vetää kuin se olisi keskipisteeseen keskittynyt. Se pätee hyvin pallosymmetriselle kappaleelle.

Kysytty

värähtelymittausten kuvaaja, jonka pisteisiin sopii suora, ja siihen sovitettu malli

Kuvaaja

Jousen ja punnuksen jaksonaika on $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$. Kun yhtälö korotetaan toiseen potenssiin, saadaan $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{k}\,m$. Jaksonajan neliö on siis verrannollinen massaan. Siksi pisteet piirretään $(m, T^2)$-koordinaatistoon. Jaksonaika on kymmenesosa mitatusta ajasta. Esimerkiksi $T = 4{,}74\,\text{s} : 10 = 0{,}474\,\text{s}$ ja $T^2 = 0{,}2247\,\text{s}^2$.

Mallivastaus

Pisteet ovat lähes suoralla. Jaksonajan neliö kasvaa siis tasaisesti massan mukana, kuten malli ennustaa. Pisteisiin sovitetaan suora, joka kulkee pisteiden lomitse. Suoraa ei pakoteta origon kautta, koska mitatut pisteet eivät osoita sinne. Kun suoraa jatketaan pystyakselille, se leikkaa akselin noin kohdassa $0{,}028\,\text{s}^2$, hieman origon yläpuolella.

Annettu

a-kohdan kuvaaja

Kysytty

jousen jousivakio $k$

Periaate

Mallin $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{k}\,m$ mukaan suoran kulmakerroin on $\dfrac{4\pi^2}{k}$. Pystyakselin leikkauskohta ei vaikuta kulmakertoimeen. Jousivakio saadaan siis kulmakertoimesta, vaikka suora ei kulje origon kautta. Kulmakerroin luetaan suoran kahdesta pisteestä, jotka ovat kaukana toisistaan.

Kuvaajan lukeminen

Suora kulkee pisteiden $(0{,}100\,\text{kg}$; $0{,}226\,\text{s}^2)$ ja $(0{,}350\,\text{kg}$; $0{,}722\,\text{s}^2)$ kautta, joten kulmakerroin on

Kaava

josta

Muunnokset

$1\,\text{kg/s}^2 = 1\,\text{N/m}$, koska $1\,\text{N} = 1\,\text{kg}\cdot\text{m/s}^2$.

Sijoitus

Vastaus

$k \approx 19{,}9\,\text{N/m}$

Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska massat ja ajat on mitattu kolmen numeron tarkkuudella ja pisteet ovat hyvin lähellä suoraa.

Järkevyys

Jousi venyy $200\,\text{g}$:n punnuksesta noin $10\,\text{cm}$. Se vastaa noin $20\,\text{N/m}$:n jousivakiota. Tällainen jousi on tyypillinen koulun värähtelykokeissa.

Kysytty

mistä suoran poikkeama origosta voi johtua ja kuinka luotettava b-kohdan jousivakio on

Periaate

Satunnainen virhe hajottaa pisteitä suoran molemmin puolin. Systemaattinen virhe tai mallin puute siirtää tuloksia samaan suuntaan. Tulos on luotettava, kun eri menetelmät antavat saman arvon epävarmuuksien rajoissa.

Mallivastaus

Epävarmuus. Käsin otetussa ajassa reaktioajan epävarmuus on noin $0{,}2\,\text{s}$. Kun mitataan kymmenen jaksoa, jaksonajan epävarmuus on vain $0{,}02\,\text{s}$. Siksi mitataan kymmenen jaksoa. Pisteet poikkeavat suorasta enintään noin $0{,}005\,\text{s}^2$. Satunnainen vaihtelu on siis pieni, eikä se selitä pystyakselin leikkauskohtaa $0{,}028\,\text{s}^2$.

Poikkeaman syy. Mallissa $T = 2\pi\sqrt{\tfrac{m}{k}}$ värähtelee vain punnus, ja jousi on massaton. Jousen oma massa $45\,\text{g}$ liikkuu kuitenkin mukana. Sen alapää liikkuu punnuksen mukana ja yläpää on paikallaan. Värähtelevä massa on siksi punnuksen massaa suurempi. Se siirtää koko suoraa ylöspäin mutta ei muuta suoran kulmakerrointa. Leikkauskohdasta saadaan lisämassa $0{,}028\,\text{s}^2 : 1{,}984\,\text{s}^2/\text{kg} \approx 0{,}014\,\text{kg}$. Se on noin kolmasosa jousen massasta. Tulos on järkevä, koska jousen alaosa liikkuu lähes yhtä paljon kuin punnus ja yläosa tuskin lainkaan.

Vertailu. Lepomittauksesta saadaan $k = \dfrac{mg}{x} = \dfrac{0{,}200\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{0{,}098\,\text{m}} \approx 20{,}0\,\text{N/m}$. Se eroaa b-kohdan tuloksesta $19{,}9\,\text{N/m}$ alle prosentin. Kaksi toisistaan riippumatonta menetelmää tukevat siis toisiaan.

Johtopäätös. Ristiriitaa ei ole. Jousivakio on luotettava, koska se saadaan kulmakertoimesta, johon jousen massa ei vaikuta. Jos suora olisi pakotettu origon kautta, jousivakioksi olisi saatu liian pieni arvo, noin $18{,}9\,\text{N/m}$.

Annettu

$m = 0{,}250\,\text{kg}$, amplitudi $A = 5{,}0\,\text{cm}$ ja b-kohdan $k = 19{,}9\,\text{N/m}$

Kysytty

punnuksen suurin nopeus $v_\text{max}$

Periaate

Värähtelyn energia säilyy, kun kitka ja ilmanvastus ovat pieniä. Ääriasennossa punnus on hetken levossa. Silloin koko energia $\tfrac{1}{2}kA^2$ on potentiaalienergiaa. Tasapainoasemassa poikkeama on nolla, joten koko energia on liike-energiaa ja nopeus on suurimmillaan. Pystysuorassa jousessa paino vain siirtää tasapainoasemaa. Siksi poikkeama mitataan tasapainoasemasta.

Kaava

$\tfrac{1}{2}mv_\text{max}^2 = \tfrac{1}{2}kA^2$, josta $v_\text{max} = A\sqrt{\dfrac{k}{m}}$

Muunnokset

Sijoitus

Vastaus

$v_\text{max} \approx 0{,}45\,\text{m/s}$

Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten amplitudissa $5{,}0\,\text{cm}$.

Järkevyys

Jaksonaika on noin $0{,}73\,\text{s}$, ja punnus kulkee jakson aikana $4A = 20\,\text{cm}$. Sen keskimääräinen vauhti on siis noin $0{,}28\,\text{m/s}$. Suurin nopeus on tätä suurempi, kuten pitää. Jousen oma massa pienentää todellista suurinta nopeutta hieman, koska sama energia jakautuu myös jouselle.

Annettu

mikrofonin signaalin kuvaaja aikavälillä $0\text{–}20\,\text{ms}$

Kysytty

äänen taajuus $f$

Periaate

Jaksollisen liikkeen jaksonaika on aika, jonka kuluttua koko aaltomuoto alkaa toistua samanlaisena. Signaali ei ole siniaalto. Jokaisessa jaksossa on korkea ja matala huippu, joten kahden vierekkäisen huipun väli ei ole jaksonaika. Lukutarkkuus paranee, kun luetaan usean jakson kesto.

Kuvaajan lukeminen

Korkeat huiput ovat kohdissa $1\,\text{ms}$, $5\,\text{ms}$, $9\,\text{ms}$, $13\,\text{ms}$ ja $17\,\text{ms}$. Kuvaajassa on viisi kokonaista jaksoa ajassa $20{,}0\,\text{ms}$, joten

Kaava

$f = \dfrac{1}{T}$

Muunnokset

Sijoitus

Vastaus

$f = 250\,\text{Hz}$

Vastauksessa on kaksi tai kolme merkitsevää numeroa, koska viiden jakson keston voi lukea apuviivoilta tarkasti.

Järkevyys

Taajuus on soitinäänille tyypillinen, lähellä keskimmäistä C:tä. Signaalin muodosta näkee, että siinä on perustaajuuden lisäksi kaksinkertainen taajuus $500\,\text{Hz}$. Korkean ja matalan huipun väli on puoli jaksoa. Jos jaksonajaksi otetaan huippujen väli $2{,}0\,\text{ms}$, saadaan virheellisesti $500\,\text{Hz}$.

Annettu

perustaajuus $f = 250\,\text{Hz}$ ja äänen nopeus $v = 343\,\text{m/s}$; pilli on avoin molemmista päistä

Kysytty

pillin pituus $L$

Periaate

Pillin ilmapatsaaseen syntyy seisova aalto, kun ääniaalto heijastuu putken päistä. Avoimessa päässä ilma pääsee liikkumaan vapaasti, ja siinä on värähtelyn kupu. Kun molemmat päät ovat avoimia, perusvärähtelyssä putkessa on kaksi kupua päissä ja yksi solmu keskellä. Putken pituus on silloin puolet aallonpituudesta. Aallonpituus saadaan aallon perusyhtälöstä $v = f\lambda$.

Kaava

$L = \dfrac{\lambda}{2}$ ja $\lambda = \dfrac{v}{f}$, joten $L = \dfrac{v}{2f}$

Muunnokset

Ei tarvita.

Sijoitus

Vastaus

$L \approx 0{,}686\,\text{m}$

Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten äänen nopeudessa.

Järkevyys

Aallonpituus on $1{,}37\,\text{m}$, ja pilli on sen puolikas. Pilli on vajaan seitsemänkymmenen sentin pituinen, mikä on tavallinen urkupillin koko tälle sävelkorkeudelle. Todellinen pilli on hieman lyhyempi, koska seisovan aallon kupu on vähän putken pään ulkopuolella.

Annettu

$L = 0{,}686\,\text{m}$, $v = 343\,\text{m/s}$ lämpötilassa $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$, äänen nopeus pienenee noin $0{,}6\,\text{m/s}$ astetta kohti, talvilämpötila $8{,}0\,{}^\circ\text{C}$

Kysytty

perustaajuuden muutos $\Delta f$

Periaate

Seisovan aallon aallonpituuden määrää pillin pituus, $\lambda = 2L$. Se ei käytännössä muutu. Kylmässä ilmassa ääni etenee hitaammin. Samalla aallonpituudella taajuus $f = \tfrac{v}{\lambda}$ pienenee samassa suhteessa kuin äänen nopeus.

Kaava

$v' = v - 0{,}6\,\tfrac{\text{m/s}}{{}^\circ\text{C}} \cdot \Delta T$, $f' = \dfrac{v'}{2L}$ ja $\Delta f = f - f'$

Muunnokset

Lämpötila laskee

Sijoitus

joten

Vastaus

Perustaajuus pienenee noin $5\,\text{Hz}$ (tarkemmin $5{,}2\,\text{Hz}$) arvoon noin $245\,\text{Hz}$. Muutos tunnetaan yhden merkitsevän numeron tarkkuudella, koska nopeuden muutos $0{,}6\,\text{m/s}$ astetta kohti on annettu yhdellä numerolla.

Järkevyys

Äänen nopeus pienenee noin $2\,\%$, joten taajuuskin pienenee noin $2\,\%$. Luvusta $250\,\text{Hz}$ $2\,\%$ on $5\,\text{Hz}$. Puolisävelaskel on tällä korkeudella noin $15\,\text{Hz}$. Urut soivat talvella siis noin kolmanneksen puolisävelaskelta matalammalta. Siksi urut viritetään lämpötilassa, jossa niitä tavallisesti soitetaan.

Annettu

intensiteettitaso $L_1 = 88\,\text{dB}$ etäisyydellä $r_1 = 4{,}0\,\text{m}$, urkurin etäisyys $r_2 = 2{,}0\,\text{m}$, harjoitusaika $3\,\text{h}$; ylempi toiminta-arvo $L_0 = 85\,\text{dB}$ ja sitä vastaava aika $t_0 = 8\,\text{h}$

Kysytty

urkurin sallittu päivittäinen altistusaika $t_\text{sall}$ ja riittääkö se

Periaate

Kun lähde säteilee tasaisesti joka suuntaan, sama teho jakautuu pallon pinnalle $4\pi r^2$. Intensiteetti on silloin $I = \dfrac{P}{4\pi r^2}$. Kun etäisyys puolittuu, intensiteetti nelinkertaistuu. Intensiteettitason muutos saadaan intensiteettien suhteesta. Sallittu altistusaika puolittuu jokaista $3\,\text{dB}$:n nousua kohti.

Kaava

missä

$n = \dfrac{L_2 - L_0}{3\,\text{dB}}$ ja $t_\text{sall} = \dfrac{t_0}{2^{\,n}}$

Muunnokset

Ei tarvita.

Sijoitus

joten

Vastaus

$t_\text{sall} \approx 1\,\text{h}$

Aika ei riitä. Kolmen tunnin harjoitus on noin kolminkertainen sallittuun aikaan nähden. Urkurin kannattaa käyttää kuulonsuojaimia tai harjoitella hiljaisemmilla äänikerroilla.

Järkevyys

Taso $94\,\text{dB}$ on samaa luokkaa kuin ruohonleikkurin melu käyttäjän korvalla. Silloin suositellaan kuulonsuojaimia. Pistelähdemallissa urkujen ääniteho olisi

mikä on soittimelle uskottava.

Kysytty

d-kohdan mallin oletusten arvio, todellisen altistuksen suunta ja luotettava tapa selvittää se

Periaate

Pistelähdemalli olettaa, että ääni lähtee yhdestä pisteestä ja etenee esteettä ilman heijastuksia. Jokaisen oletuksen kohdalla mietitään, olisiko taso urkurin kohdalla todellisuudessa suurempi vai pienempi kuin malli antaa.

Mallivastaus

Urut eivät ole pistelähde. Pillit ovat usean metrin levyisellä ja korkuisella alueella. Urkurin etäisyys useimmista pilleistä on paljon yli $2\,\text{m}$. Lähellä laajaa lähdettä taso ei kasva $6\,\text{dB}$ joka kerta, kun etäisyys puolittuu. Siksi d-kohdan $94\,\text{dB}$ on todennäköisesti liian suuri arvio.

Heijastukset. Kirkon seinät, lattia ja holvit heijastavat ääntä, ja kaikua kuuluu koko salissa. Osa $4{,}0\,\text{m}$:n etäisyydellä mitatusta tasosta on kaikua, joka ei voimistu lähemmäs mentäessä. Myös tämä tekee arviosta liian suuren.

Soittaminen. Harjoituksessa urut soivat harvoin koko ajan täysillä, joten keskimääräinen taso on pienempi. Toisaalta pillien ja soittopöydän sijainti voi joissain kirkoissa ohjata ääntä suoraan urkuria kohti.

Luotettava selvitys. Melumittarilla mitataan A-painotettu taso urkurin korvan kohdalta koko tavallisen harjoituksen ajalta. Tason keskiarvoa verrataan toiminta-arvoon $85\,\text{dB}$. Altistus on todennäköisesti pienempi kuin d-kohdan arvio. Vain mittaus kuitenkin kertoo, tarvitaanko kuulonsuojaimia.