Varatun hiukkasen liike sähkö- ja magneettikentässä

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 2-1Ydintehtävä

   Tyhjiöputkessa kulkevan protonisuihkun protonien vauhti on $3{,}0 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}$. Putken ympärillä olevat kelat tuottavat magneettikentän, jonka magneettivuon tiheys on $0{,}25\,\text{T}$ ja joka on kohtisuorassa protonien nopeutta vastaan. Protonin varaus on $1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$.

   Kuinka suuri magneettinen voima yhteen protoniin vaikuttaa? Anna vastaus muodossa $\ldots \cdot 10^{-14}\,\text{N}$.

   10⁻¹⁴ NTarkista
   Vastaus

   $1{,}2 \cdot 10^{-14}\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   protoni, $q = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$, $v = 3{,}0 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}$, $B = 0{,}25\,\text{T}$, nopeus kohtisuorassa kenttää vastaan

   Kysytty

   protoniin vaikuttava magneettinen voima $F_\text{m}$ muodossa $\ldots \cdot 10^{-14}\,\text{N}$

   Periaate

   Magneettikentässä liikkuvaan varattuun hiukkaseen vaikuttaa magneettinen voima. Kun nopeus on kohtisuorassa kenttää vastaan, $\sin 90^\circ = 1$ ja voima on suurimmillaan.

   Kaava

   $F_\text{m} = qvB \sin\alpha$, kun $\alpha = 90^\circ$: $F_\text{m} = qvB$

   Muunnokset

   Ei tarvita: kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, ja

   $1\,\text{C} \cdot 1\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 1\,\text{T}$$= 1\,\text{N}$

   Sijoitus

   $F_\text{m}$$= 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 3{,}0 \cdot 10^{5}\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 0{,}25\,\text{T}$

   $= 1{,}2015 \cdot 10^{-14}\,\text{N}$

   Vastaus

   $1{,}2 \cdot 10^{-14}\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten vauhdissa $3{,}0 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}$ ja kentässä $0{,}25\,\text{T}$.

   Järkevyys

   Voima on hyvin pieni, mutta protonin massa on vain $1{,}7 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$, joten kiihtyvyys on noin $10^{13}\,\text{m/s}^2$: suihku kaartuu selvästi jo muutaman senttimetrin matkalla. Pyöristetyillä luvuilla

   $1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 3 \cdot 10^{5}\,\text{m/s} \cdot 0{,}25\,\text{T}$

   $\approx 1{,}2 \cdot 10^{-14}\,\text{N}$

   sama tulos.

2. Tehtävä 2-2Ydintehtävä

   Koulun elektronisuihkuputkessa elektronit, joiden massa on $9{,}109 \cdot 10^{-31}\,\text{kg}$ ja varaus $1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$, lentävät vauhdilla $2{,}0 \cdot 10^{6}\,\text{m/s}$ kohtisuoraan magneettikenttää vastaan. Magneettivuon tiheys on $1{,}5\,\text{mT}$. Kuinka suuri on elektronien ympyräradan säde? Anna vastaus millimetreinä.

   mmTarkista
   Vastaus

   $7{,}6\,\text{mm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   elektroni, $m = 9{,}109 \cdot 10^{-31}\,\text{kg}$, $q = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$, $v = 2{,}0 \cdot 10^{6}\,\text{m/s}$ kohtisuorassa kenttää vastaan, $B = 1{,}5\,\text{mT}$

   Kysytty

   ympyräradan säde $r$ millimetreinä

   Periaate

   Magneettinen voima on kohtisuorassa nopeutta vastaan ja koko ajan yhtä suuri, joten elektroni on tasaisessa ympyräliikkeessä ja magneettinen voima on sen keskeisvoima.

   Kaava

   $qvB = \dfrac{mv^2}{r}$, josta $r = \dfrac{mv}{qB}$

   Muunnokset

   $B$$= 1{,}5\,\text{mT}$

   $= 1{,}5 \cdot 0{,}001\,\text{T}$

   $= 1{,}5 \cdot 10^{-3}\,\text{T}$

   lopuksi $1\,\text{m} = 1000\,\text{mm}$.

   Sijoitus

   $r$$= \dfrac{9{,}109 \cdot 10^{-31}\,\text{kg} \cdot 2{,}0 \cdot 10^{6}\,\text{m/s}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 1{,}5 \cdot 10^{-3}\,\text{T}}$

   $= 7{,}581 \cdot 10^{-3}\,\text{m}$

   $= 7{,}581\,\text{mm}$

   Vastaus

   $7{,}6\,\text{mm}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten vauhdissa ja kentässä.

   Järkevyys

   Elektronin massa on hyvin pieni, joten jo heikko, millitesloissa mitattava kenttä taivuttaa sen pienelle ympyrälle. Protoni kiertäisi samoilla arvoilla noin $1840$ kertaa suurempaa ympyrää, noin $14\,\text{m}$:n säteellä.

3. Tehtävä 2-3

   Nopeusvalitsimen levyjen välissä on sähkökenttä $4{,}0 \cdot 10^{4}\,\text{V/m}$ ja sitä vastaan kohtisuora magneettikenttä, jonka magneettivuon tiheys on $0{,}080\,\text{T}$. Millä vauhdilla ionit kulkevat valitsimen läpi suoraan? Anna vastaus kilometreinä sekunnissa.

   km/sTarkista
   Vastaus

   $5{,}0 \cdot 10^{2}\,\text{km/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $E = 4{,}0 \cdot 10^{4}\,\text{V/m}$, $B = 0{,}080\,\text{T}$, kentät kohtisuorassa toisiaan vastaan

   Kysytty

   vauhti $v$, jolla ionit kulkevat suoraan, kilometreinä sekunnissa

   Periaate

   Valitsimen läpi suoraan kulkevaan ioniin vaikuttavat sähköinen voima $qE$ ja magneettinen voima $qvB$ yhtä suurina ja vastakkaisina, joten kokonaisvoima on nolla eikä rata kaarru.

   Kaava

   $qE = qvB$, josta varaus supistuu ja $v = \dfrac{E}{B}$

   Muunnokset

   $\tfrac{\text{V/m}}{\text{T}} = \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$; lopuksi $1\,\text{km/s} = 1000\,\text{m/s}$.

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{4{,}0 \cdot 10^{4}\,\text{V/m}}{0{,}080\,\text{T}}$

   $= 5{,}0 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}$

   $= 500\,\text{km/s}$

   Vastaus

   $5{,}0 \cdot 10^{2}\,\text{km/s}$

   Eli $500\,\text{km/s}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten kentissä.

   Järkevyys

   Tulos ei riipu ionin massasta eikä varauksesta. Vauhti on noin $0{,}2\,\%$ valon nopeudesta, tavallinen ionisuihkun vauhti. Tarkistus:

   $qvB$$= q \cdot 5{,}0 \cdot 10^{5} \cdot 0{,}080$

   $= q \cdot 4{,}0 \cdot 10^{4}$

   $= qE$
4. Tehtävä 2-4

   Alfahiukkanen, jonka varaus on $3{,}204 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$, kiihdytetään levosta jännitteellä $1{,}5\,\text{kV}$. Kuinka suuren liike-energian se saa? Anna vastaus muodossa $\ldots \cdot 10^{-16}\,\text{J}$.

   10⁻¹⁶ JTarkista
   Vastaus

   $4{,}8 \cdot 10^{-16}\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alfahiukkanen, $q = 3{,}204 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$, kiihdytysjännite $U = 1{,}5\,\text{kV}$, lähtee levosta

   Kysytty

   liike-energia $E_\text{k}$ muodossa $\ldots \cdot 10^{-16}\,\text{J}$

   Periaate

   Sähkökenttä tekee hiukkaseen työn $W = qU$, kun hiukkanen kulkee jännitteen $U$ yli. Tyhjiössä levosta lähtevän hiukkasen koko liike-energia tulee tästä työstä.

   Kaava

   $E_\text{k} = W = qU$

   Muunnokset

   $U$$= 1{,}5\,\text{kV}$

   $= 1{,}5 \cdot 1000\,\text{V}$

   $= 1500\,\text{V}$

   ja $1\,\text{C} \cdot 1\,\text{V} = 1\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $E_\text{k}$$= 3{,}204 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 1500\,\text{V}$

   $= 4{,}806 \cdot 10^{-16}\,\text{J}$

   Vastaus

   $4{,}8 \cdot 10^{-16}\,\text{J}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten jännitteessä $1{,}5\,\text{kV}$.

   Järkevyys

   Alfahiukkasen varaus on kaksinkertainen protoniin verrattuna, joten se saa samasta jännitteestä kaksinkertaisen energian; protonille tulisi

   $1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 1500\,\text{V}$

   $= 2{,}4 \cdot 10^{-16}\,\text{J}$

   Energia ei riipu massasta.

5. Tehtävä 2-5

   Protoni lentää vauhdilla $5{,}0 \cdot 10^{6}\,\text{m/s}$ magneettikentässä, jonka magneettivuon tiheys on $0{,}40\,\text{T}$. Nopeuden ja kentän välinen kulma on $30^\circ$. Protonin varaus on $1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$.

   Kuinka suuri magneettinen voima protoniin vaikuttaa? Anna vastaus muodossa $\ldots \cdot 10^{-13}\,\text{N}$.

   10⁻¹³ NTarkista
   Vastaus

   $1{,}6 \cdot 10^{-13}\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   protoni, $q = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$, $v = 5{,}0 \cdot 10^{6}\,\text{m/s}$, $B = 0{,}40\,\text{T}$, nopeuden ja kentän välinen kulma $\alpha = 30^\circ$

   Kysytty

   magneettinen voima $F_\text{m}$ muodossa $\ldots \cdot 10^{-13}\,\text{N}$

   Periaate

   Magneettinen voima riippuu nopeuden ja kentän välisestä kulmasta: vain kenttää vastaan kohtisuora nopeuden osa $v \sin\alpha$ aiheuttaa voimaa.

   Kaava

   $F_\text{m} = qvB \sin\alpha$

   Muunnokset

   Ei tarvita: suureet ovat SI-yksiköissä, ja $\sin 30^\circ = 0{,}5$.

   Sijoitus

   $F_\text{m}$$= 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 5{,}0 \cdot 10^{6}\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 0{,}40\,\text{T} \cdot 0{,}5$

   $= 1{,}602 \cdot 10^{-13}\,\text{N}$

   Vastaus

   $1{,}6 \cdot 10^{-13}\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten vauhdissa ja kentässä.

   Järkevyys

   Kohtisuorassa kentässä voima olisi kaksinkertainen, $3{,}2 \cdot 10^{-13}\,\text{N}$; kulma $30^\circ$ puolittaa sen, koska vain puolet nopeudesta on kohtisuorassa kenttää vastaan. Kentän suuntaisesti liikkuvaan protoniin voimaa ei olisi lainkaan.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 2-6Ydintehtävä

   Protoni, jonka massa on $1{,}673 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$ ja varaus $1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$, kiihdytetään levosta jännitteellä $500\,\text{V}$. Sen jälkeen se lentää kohtisuoraan magneettikenttään, jonka magneettivuon tiheys on $0{,}050\,\text{T}$.

   Kuinka suuri on protonin ympyräradan säde? Anna vastaus senttimetreinä.

   cmTarkista
   Vastaus

   $6{,}5\,\text{cm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   protoni, $m = 1{,}673 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$, $q = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$, kiihdytysjännite $U = 500\,\text{V}$, lähtee levosta; $B = 0{,}050\,\text{T}$ kohtisuorassa nopeutta vastaan

   Kysytty

   ympyräradan säde $r$ senttimetreinä

   Periaate

   Kiihdytyksessä sähkökentän tekemä työ $qU$ muuttuu protonin liike-energiaksi, koska protoni lähtee levosta tyhjiössä. Magneettikentässä magneettinen voima $qvB$ on ympyräradan keskeisvoima eikä muuta vauhtia.

   Kaava

   $qU = \tfrac{1}{2}mv^2$, josta $v = \sqrt{\dfrac{2qU}{m}}$; $qvB = \dfrac{mv^2}{r}$, josta $r = \dfrac{mv}{qB}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: suureet ovat SI-yksiköissä. Lopuksi $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$.

   Sijoitus

   $v$$= \sqrt{\dfrac{2 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 500\,\text{V}}{1{,}673 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}}}$

   $= 3{,}0945 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}$

   $$\begin{aligned} r &= \dfrac{1{,}673 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 0{,}050\,\text{T}} \\ &\quad \cdot 3{,}0945 \cdot 10^{5}\,\text{m/s} \\ &= 0{,}06463\,\text{m} = 6{,}463\,\text{cm} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $6{,}5\,\text{cm}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten kentässä $0{,}050\,\text{T}$; jännite $500\,\text{V}$ tulkitaan vähintään kaksinumeroiseksi.

   Järkevyys

   Vauhti $3 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}$ on noin $0{,}1\,\%$ valon nopeudesta, joten klassinen mekaniikka pätee. Säde on laboratoriolaitteen kokoluokkaa. Jos kiihdytysjännite nelinkertaistettaisiin, vauhti ja säde kaksinkertaistuisivat.

2. Tehtävä 2-7Ydintehtävä

   Deuteroni, jonka massa on $3{,}344 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$ ja varaus $1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$, kiertää kokeessa ympyrärataa, jonka säde on $12\,\text{cm}$, magneettikentässä $0{,}60\,\text{T}$. Kuinka suuri on deuteronin vauhti? Anna vastaus kilometreinä sekunnissa.

   km/sTarkista
   Vastaus

   $3{,}4 \cdot 10^{3}\,\text{km/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   deuteroni, $m = 3{,}344 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$, $q = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$, radan säde $r = 12\,\text{cm}$, $B = 0{,}60\,\text{T}$

   Kysytty

   deuteronin vauhti $v$ kilometreinä sekunnissa

   Periaate

   Deuteroni kiertää ympyrää, koska magneettinen voima $qvB$ on kohtisuorassa nopeutta vastaan ja toimii keskeisvoimana.

   Kaava

   $qvB = \dfrac{mv^2}{r}$, josta $v = \dfrac{qBr}{m}$

   Muunnokset

   $r$$= 12\,\text{cm}$

   $= 12 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}12\,\text{m}$

   lopuksi $1\,\text{km/s} = 1000\,\text{m/s}$.

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 0{,}60\,\text{T} \cdot 0{,}12\,\text{m}}{3{,}344 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}}$

   $= 3{,}449 \cdot 10^{6}\,\text{m/s}$

   $= 3449\,\text{km/s}$

   Vastaus

   $3{,}4 \cdot 10^{3}\,\text{km/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten säteessä $12\,\text{cm}$ ja kentässä $0{,}60\,\text{T}$.

   Järkevyys

   Vauhti on noin $1\,\%$ valon nopeudesta, joten klassinen kaava pätee vielä. Takaisin laskettuna

   $r$$= mv : (qB)$

   $= 3{,}344 \cdot 10^{-27} \cdot 3{,}449 \cdot 10^{6} : (1{,}602 \cdot 10^{-19} \cdot 0{,}60)\,\text{m}$

   $= 0{,}12\,\text{m}$
3. Tehtävä 2-8

   Nopeusvalitsimen levyt ovat $2{,}0\,\text{cm}$:n päässä toisistaan, ja niiden välinen jännite on $600\,\text{V}$. Levyjen välissä on lisäksi sähkökenttää vastaan kohtisuora magneettikenttä, jonka magneettivuon tiheys on $0{,}15\,\text{T}$.

   Millä vauhdilla ionit kulkevat valitsimen läpi suoraan? Anna vastaus kilometreinä sekunnissa.

   km/sTarkista
   Vastaus

   $2{,}0 \cdot 10^{2}\,\text{km/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   levyjen etäisyys $d = 2{,}0\,\text{cm}$, levyjen välinen jännite $U = 600\,\text{V}$, magneettivuon tiheys $B = 0{,}15\,\text{T}$ kohtisuorassa sähkökenttää vastaan

   Kysytty

   vauhti $v$, jolla ionit kulkevat suoraan, kilometreinä sekunnissa

   Periaate

   Levyjen välinen kenttä on homogeeninen, joten sen voimakkuus on jännite jaettuna levyjen etäisyydellä (luku Homogeeninen sähkökenttä, potentiaali ja potentiaalienergia). Suoraan kulkevaan ioniin sähköinen ja magneettinen voima vaikuttavat yhtä suurina ja vastakkaisina.

   Kaava

   $E = \dfrac{U}{d}$ ja $qE = qvB$, josta $v = \dfrac{E}{B} = \dfrac{U}{dB}$

   Muunnokset

   $d$$= 2{,}0\,\text{cm}$

   $= 2{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}020\,\text{m}$

   lopuksi $1\,\text{km/s} = 1000\,\text{m/s}$.

   Sijoitus

   $E$$= \dfrac{600\,\text{V}}{0{,}020\,\text{m}}$

   $= 3{,}0 \cdot 10^{4}\,\text{V/m}$

   $v$$= \dfrac{3{,}0 \cdot 10^{4}\,\text{V/m}}{0{,}15\,\text{T}}$

   $= 2{,}0 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}$

   $= 200\,\text{km/s}$

   Vastaus

   $2{,}0 \cdot 10^{2}\,\text{km/s}$

   Eli $200\,\text{km/s}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten etäisyydessä $2{,}0\,\text{cm}$ ja kentässä $0{,}15\,\text{T}$.

   Järkevyys

   Valitsin päästää tällä vauhdilla läpi kaikki ionit massasta ja varauksesta riippumatta. Jos levyt olisivat kaksi kertaa kauempana toisistaan, kenttä ja valittu vauhti puolittuisivat.

4. Tehtävä 2-9

   Maan magneettikentän magneettivuon tiheys on Suomessa noin $50\,\mu\text{T}$. Protonin massa on $1{,}673 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$ ja varaus $1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$.

   Kuinka suurella vauhdilla protonin pitäisi liikkua kohtisuoraan Maan kenttää vastaan, jotta siihen vaikuttava magneettinen voima olisi yhtä suuri kuin sen paino? Anna vastaus millimetreinä sekunnissa.

   mm/sTarkista
   Vastaus

   $2{,}0\,\text{mm/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   Maan magneettikenttä $B = 50\,\mu\text{T}$, protoni $m = 1{,}673 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$, $q = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$, nopeus kohtisuorassa kenttää vastaan; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   vauhti $v$, jolla magneettinen voima on yhtä suuri kuin protonin paino, millimetreinä sekunnissa

   Periaate

   Kohtisuorassa kentässä magneettinen voima on $qvB$ ja paino $mg$. Kysytty vauhti saadaan merkitsemällä nämä yhtä suuriksi.

   Kaava

   $qvB = mg$, josta $v = \dfrac{mg}{qB}$

   Muunnokset

   $B$$= 50\,\mu\text{T}$

   $= 50 \cdot 10^{-6}\,\text{T}$

   $= 5{,}0 \cdot 10^{-5}\,\text{T}$

   lopuksi $1\,\text{m/s} = 1000\,\text{mm/s}$.

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{1{,}673 \cdot 10^{-27}\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 5{,}0 \cdot 10^{-5}\,\text{T}}$

   $= 2{,}049 \cdot 10^{-3}\,\text{m/s}$

   $= 2{,}049\,\text{mm/s}$

   Vastaus

   $2{,}0\,\text{mm/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten kentässä $50\,\mu\text{T}$.

   Järkevyys

   Jo etanan vauhdilla liikkuvaan protoniin vaikuttaa heikossakin Maan kentässä yhtä suuri magneettinen voima kuin painovoima. Hiukkasten tavallisilla vauhdeilla, noin $10^{6}\,\text{m/s}$, magneettinen voima on siis noin $10^{8}$–$10^{9}$ kertaa painoa suurempi, ja siksi painovoima jätetään huomiotta.

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 2-10

   Radiohiililaboratorion massaspektrometrissä hiili-12- ja hiili-14-ionit, joilla on sama varaus, kiihdytetään levosta samalla jännitteellä ja ohjataan samaan magneettikenttään. Ionit kulkevat puoliympyrän ja osuvat ilmaisimeen, joka on raon vieressä.

   Hiili-12-ionien radan säde on $25{,}0\,\text{cm}$. Käytä massoina $12{,}0\,\text{u}$ ja $14{,}0\,\text{u}$.

   Kuinka kaukana toisistaan ovat hiili-12- ja hiili-14-ionien osumakohdat ilmaisimella? Anna vastaus senttimetreinä.

   cmTarkista
   Vastaus

   $4{,}0\,\text{cm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   hiili-12- ja hiili-14-ionit, sama varaus $q$, sama kiihdytysjännite $U$ levosta, sama magneettikenttä $B$; $m_{12} = 12{,}0\,\text{u}$, $m_{14} = 14{,}0\,\text{u}$, $r_{12} = 25{,}0\,\text{cm}$; ionit kulkevat puoliympyrän

   Kysytty

   osumakohtien välimatka $\Delta d$ senttimetreinä

   Periaate

   Kiihdytyksessä $qU = \tfrac{1}{2}mv^2$, joten raskaampi ioni saa pienemmän vauhdin. Kentässä magneettinen voima on keskeisvoima, $r = mv : (qB)$. Kun vauhti sijoitetaan, säde on $r = \tfrac{1}{B}\sqrt{\tfrac{2mU}{q}}$, eli samoilla $U$, $q$ ja $B$ säde on verrannollinen massan neliöjuureen. Osumakohdan etäisyys raosta on halkaisija $2r$.

   Kaava

   $\dfrac{r_{14}}{r_{12}}$$= \sqrt{\dfrac{m_{14}}{m_{12}}}$

   josta

   $r_{14}$$= r_{12}\sqrt{\dfrac{m_{14}}{m_{12}}}$

   $\Delta d$$= 2r_{14} - 2r_{12}$

   $= 2\left(r_{14} - r_{12}\right)$

   Muunnokset

   Ei tarvita: massat ovat samassa yksikössä ja supistuvat, ja säde pysyy senttimetreinä.

   Sijoitus

   $r_{14}$$= 25{,}0\,\text{cm} \cdot \sqrt{\dfrac{14{,}0\,\text{u}}{12{,}0\,\text{u}}}$

   $= 27{,}003\,\text{cm}$

   $\Delta d$$= 2 \cdot (27{,}003\,\text{cm} - 25{,}0\,\text{cm})$

   $= 4{,}006\,\text{cm}$

   Vastaus

   $4{,}0\,\text{cm}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska erotuksen $27{,}0\,\text{cm} - 25{,}0\,\text{cm}$ tarkkuus on kymmenesosasenttimetri.

   Järkevyys

   Hiili-14 on noin $17\,\%$ raskaampi, mutta säde kasvaa vain noin $8\,\%$, koska raskaampi ioni saa samasta jännitteestä pienemmän vauhdin. Neljän senttimetrin ero riittää hyvin siihen, että ionit osuvat eri ilmaisimiin.

2. Tehtävä 2-11

   Syklotronissa protonit kiertävät magneettikentässä yhä suurempaa rataa, koska niitä kiihdytetään kahden D-kirjaimen muotoisen elektrodin välissä jokaisella puolikierroksella. Kiihdytysjännitteen on vaihdettava suuntaa samassa tahdissa kuin protonit kiertävät.

   Protonin massa on $1{,}673 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$ ja varaus $1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$.

   Osoita, että protonin kierrosaika ei riipu sen vauhdista, ja laske protonien kiertotaajuus, kun magneettivuon tiheys on $1{,}50\,\text{T}$. Anna vastaus megahertseinä.

   MHzTarkista
   Vastaus

   $22{,}9\,\text{MHz}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   protoni, $m = 1{,}673 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$, $q = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$, $B = 1{,}50\,\text{T}$

   Kysytty

   perustelu sille, ettei kierrosaika riipu vauhdista, ja kiertotaajuus $f$ megahertseinä

   Periaate

   Protoni kiertää ympyrää, koska magneettinen voima $qvB$ on keskeisvoima. Tasaisessa ympyräliikkeessä kierrosaika on radan pituus jaettuna vauhdilla (luku Tasainen ympyräliike ja normaalikiihtyvyys), ja taajuus on kierrosajan käänteisluku.

   Kaava

   $qvB = \dfrac{mv^2}{r}$ antaa $r = \dfrac{mv}{qB}$, ja

   $T$$= \dfrac{2\pi r}{v}$

   $= \dfrac{2\pi m}{qB}$

   josta vauhti on supistunut pois; siis $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{qB}{2\pi m}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: suureet ovat SI-yksiköissä, ja $\tfrac{\text{C} \cdot \text{T}}{\text{kg}} = \tfrac{1}{\text{s}}$. Lopuksi $1\,\text{MHz} = 10^{6}\,\text{Hz}$.

   Sijoitus

   $f$$= \dfrac{1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 1{,}50\,\text{T}}{2\pi \cdot 1{,}673 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}}$

   $= 2{,}286 \cdot 10^{7}\,\text{Hz}$

   $= 22{,}86\,\text{MHz}$

   Vastaus

   $22{,}9\,\text{MHz}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten kentässä $1{,}50\,\text{T}$.

   Järkevyys

   Nopeampi protoni kiertää suuremman ympyrän, mutta säde kasvaa samassa suhteessa kuin vauhti, joten kierrosaika $T = 1 : f \approx 44\,\text{ns}$ pysyy samana. Siksi syklotronin kiihdytysjännite voi vaihtaa suuntaa vakiotaajuudella. Taajuus on radiotaajuuksien alueella, jollaisia sähkölaitteet tuottavat helposti.

3. Tehtävä 2-12

   Protoni ja alfahiukkanen kiihdytetään levosta samalla jännitteellä, ja sen jälkeen ne lentävät kohtisuoraan samaan magneettikenttään. Protonin massa on $1{,}673 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$ ja varaus $e$, alfahiukkasen massa $6{,}645 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$ ja varaus $2e$.

   Kuinka monta kertaa suurempi on alfahiukkasen radan säde kuin protonin?

   kertaaTarkista
   Vastaus

   $1{,}41$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   protoni $m_\text{p} = 1{,}673 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$, varaus $e$; alfahiukkanen $m_\alpha = 6{,}645 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$, varaus $2e$; sama kiihdytysjännite $U$ levosta ja sama kenttä $B$

   Kysytty

   säteiden suhde $r_\alpha : r_\text{p}$

   Periaate

   Kiihdytyksessä $qU = \tfrac{1}{2}mv^2$, joten $v = \sqrt{2qU : m}$. Kentässä magneettinen voima on keskeisvoima ja $r = mv : (qB)$. Sijoittamalla vauhti saadaan $r = \tfrac{1}{B}\sqrt{\tfrac{2mU}{q}}$: samoilla $U$ ja $B$ säde on verrannollinen suureen $\sqrt{m : q}$.

   Kaava

   $\dfrac{r_\alpha}{r_\text{p}}$$= \sqrt{\dfrac{m_\alpha : q_\alpha}{m_\text{p} : q_\text{p}}}$

   $= \sqrt{\dfrac{m_\alpha \, q_\text{p}}{m_\text{p} \, q_\alpha}}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: massat ja varaukset supistuvat suhteessa, kun ne ovat samoissa yksiköissä;

   $q_\text{p} : q_\alpha$$= e : 2e$

   $= 1 : 2$

   Sijoitus

   $\dfrac{r_\alpha}{r_\text{p}}$$= \sqrt{\dfrac{6{,}645 \cdot 10^{-27}\,\text{kg} \cdot e}{1{,}673 \cdot 10^{-27}\,\text{kg} \cdot 2e}}$

   $= \sqrt{1{,}986}$

   $= 1{,}409$

   Vastaus

   $1{,}41$

   Kertaa, kolme merkitsevää numeroa; tulos on lähes täsmälleen $\sqrt{2}$.

   Järkevyys

   Alfahiukkasella on noin nelinkertainen massa ja kaksinkertainen varaus, joten $m : q$ on kaksinkertainen ja säde $\sqrt{2} \approx 1{,}41$-kertainen. Alfahiukkanen saa samasta jännitteestä kaksinkertaisen energian mutta pienemmän vauhdin kuin protoni, ja suurempi massa voittaa: rata on loivempi.