Valon polarisaatio
Miksi polaroidut aurinkolasit poistavat järven pinnasta heijastuvan häikäisyn, vaikka tavalliset yhtä tummat lasit vain himmentävät kaiken?
Pohjatiedot
- Valo on sähkömagneettista aaltoa, jonka sähkökenttä värähtelee kohtisuorassa etenemissuuntaa vastaanluku Sähkömagneettinen säteily ja mustan kappaleen spektri
- Valo taittuu rajapinnassa taittumislain $n_1 \sin\alpha_1 = n_2 \sin\alpha_2$ mukaan, ja kulmat mitataan normaalistaluku Valon heijastuminen ja taittuminen
Ydinpolku: etene vaiheiden mukaan. Valinnainen-merkityt tehtävät tarjoavat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä 6.
Pohdinta
Aurinkoisena päivänä järven pinta kimaltaa niin kirkkaasti, että veteen on vaikea katsoa. Kalastaja laittaa päähänsä polaroidut aurinkolasit, ja kimallus sammuu lähes kokonaan: rantaveden kivet ja kalat tulevat näkyviin. Kaverin tavalliset aurinkolasit ovat yhtä tummat, mutta niiden läpi kimallus näkyy edelleen. Jos kalastaja kallistaa päätään sivulle, kimallus palaa.
Mitä polaroidut lasit tekevät valolle eri tavalla kuin tavallinen tumma lasi?
Valinnainen Kertaa: valo aaltona
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 3 kysymystä
Ennuste 1: yksi kalvo
Ennuste 2: toinen kalvo
Valinnainen Ennuste 3: kolmas kalvo väliin
Tutki
Lampun valo kulkee kahden tai kolmen polarisaattorin läpi varjostimelle. Kierrä kalvoja ja seuraa, miten sähkökentän värähtelysuunta ja läpi tulevan valon intensiteetti muuttuvat.
Simulaatio
Käyttöohje
Valitse, onko polarisaattoreita kaksi vai kolme, ja säädä kunkin läpäisysuuntaa liukusäätimellä. Kulmat $\theta_1$, $\theta_2$ ja $\theta_3$ mitataan pystysuunnasta. Kuvassa polarisaattorit näkyvät vinosti sivulta: kalvon viivoitus ja tumma viiva näyttävät läpäisysuunnan. Ruskea aalto on valon sähkökenttä, ja sen leveys kuvaa sähkökentän amplitudia. Alhaalla ympyrät näyttävät värähtelysuunnan säteen suunnasta katsottuna kunkin vaiheen jälkeen, ja niiden alla on intensiteetti prosentteina lampun valon intensiteetistä $I_0$. Keskimmäinen $\text{P}_2$ vaikuttaa vain, kun polarisaattoreita on kolme.
Mallin oletukset
Lampun valo on polarisoimatonta. Polarisaattorit ovat ihanteellisia: ne päästävät läpi kaiken läpäisysuuntaisen värähtelyn ja absorboivat kaiken siihen nähden kohtisuoran. Todellinen kalvo päästää läpi hieman vähemmän. Kuva ei ole mittakaavassa, ja valon aallonpituus on piirretty paljon todellista suuremmaksi. Varjostimen valotäplän kirkkaus on vain havainnollistus. Lukemat ovat mallin laskemia arvoja, eivät mittauksia.
Laskennan selitys
Ensimmäinen polarisaattori päästää läpi puolet polarisoimattoman valon intensiteetistä:
$$I_1 = \tfrac{1}{2} I_0$$
Jokainen seuraava polarisaattori noudattaa Malusin lakia $I = I_\text{ed} \cos^2\theta$, missä $I_\text{ed}$ on edellisen vaiheen intensiteetti ja $\theta$ edellisen ja tämän polarisaattorin läpäisysuuntien välinen kulma. Kolmella polarisaattorilla $I_2 = I_1 \cos^2(\theta_2 - \theta_1)$ ja $I_3 = I_2 \cos^2(\theta_3 - \theta_2)$; kahdella $I_3 = I_1 \cos^2(\theta_3 - \theta_1)$. Sähkökentän amplitudi on piirretty verrannolliseksi intensiteetin neliöjuureen, koska intensiteetti on verrannollinen amplitudin neliöön.
Koe 1: analysaattorin kulma
Testaa ennusteet 1 ja 2. Polarisaattoreita on kaksi, ja ensimmäisen läpäisysuunta on pystysuora, $\theta_1 = 0^\circ$; muuta vain analysaattorin kulmaa $\theta_3$. Kirjaa ainakin kulmat $0^\circ$, $30^\circ$, $60^\circ$ ja $90^\circ$, halutessasi myös $15^\circ$, $45^\circ$ ja $75^\circ$. Vertaa joka rivillä lukemaa $I_3$ lukemaan $I_1$.
Alkutila: polarisaattoreita: kaksi, polarisaattorin kulma $\theta _1$ = $0^\circ$, keskimmäisen kulma $\theta _2$ = $45^\circ$, analysaattorin kulma $\theta _3$ = $0^\circ$. Vakiona: polarisaattoreita, polarisaattorin kulma $\theta _1$. Muutetaan: analysaattorin kulma $\theta _3$.
| analysaattorin kulma $\theta _3$ | $I_1$ $(\%)$ | $I_3$ $(\%)$ |
|---|
Kuinka monta prosenttia lampun valon intensiteetistä $I_0$ pääsee analysaattorin läpi, kun $\theta_3 = 30^\circ$? Laske tulos Malusin lailla ja vertaa simulaation lukemaan.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Kuinka suuri osa lampun valosta tulee analysaattoriin, ja onko se polarisoitunutta?
Vihje 2: mikä yhteys
Analysaattoriin tulee $I_1 = 50{,}0\,\%$ polarisoitunutta valoa, ja siihen sovelletaan Malusin lakia $I_3 = I_1 \cos^2\theta$.
Vihje 3: välivaihe
$I_3 = 50{,}0\,\% \cdot \cos^2 30^\circ$, ja $\cos 30^\circ \approx 0{,}866$.
Näytä ratkaisu
Annettu
polarisoimattoman valon intensiteetti $I_0$ ($100\,\%$), polarisaattorin $\text{P}_1$ läpäisysuunta $\theta_1 = 0^\circ$, analysaattorin $\text{P}_3$ läpäisysuunta $\theta_3 = 30^\circ$; simulaation lukema $I_1 = 50{,}0\,\%$
Kysytty
analysaattorin läpi tulevan valon intensiteetti $I_3$ prosentteina intensiteetistä $I_0$
Periaate
Ensimmäinen polarisaattori päästää läpi puolet polarisoimattomasta valosta, ja valo on sen jälkeen polarisoitunut pystysuunnassa. Analysaattoriin tulee siis polarisoitunutta valoa kulmassa $\theta = \theta_3 - \theta_1 = 30^\circ$ läpäisysuuntaan nähden, joten siihen sovelletaan Malusin lakia.
Kaava
$I_1 = \tfrac{1}{2} I_0$ ja $I_3 = I_1 \cos^2\theta$, josta $I_3 = \tfrac{1}{2} I_0 \cos^2\theta$
Muunnokset
Ei tarvita: intensiteetit ovat prosentteina intensiteetistä $I_0$, ja kulma on asteina.
Sijoitus
Vastaus
$37{,}5\,\%$
Kolme merkitsevää numeroa kuten simulaation lukema $50{,}0\,\%$.
Järkevyys
Kulma $30^\circ$ on pienempi kuin $45^\circ$, joten analysaattori päästää läpi yli puolet saamastaan valosta: $37{,}5\,\%$ on enemmän kuin $25\,\%$ ja vähemmän kuin $50\,\%$. Sama luku näkyy simulaation lukemassa, kun $\theta_3 = 30^\circ$.
Valinnainen Koe 2: kolmas kalvo väliin
Testaa ennuste 3. Polarisaattoreita on kolme. Uloimmat ovat ristissä, $\theta_1 = 0^\circ$ ja $\theta_3 = 90^\circ$; muuta vain keskimmäisen kulmaa $\theta_2$. Kirjaa ainakin kulmat $0^\circ$, $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ ja $90^\circ$.
Alkutila: polarisaattoreita: kolme, polarisaattorin kulma $\theta _1$ = $0^\circ$, keskimmäisen kulma $\theta _2$ = $0^\circ$, analysaattorin kulma $\theta _3$ = $90^\circ$. Vakiona: polarisaattoreita, polarisaattorin kulma $\theta _1$, analysaattorin kulma $\theta _3$. Muutetaan: keskimmäisen kulma $\theta _2$.
| keskimmäisen kulma $\theta _2$ | $I_2$ $(\%)$ | $I_3$ $(\%)$ |
|---|
Mittaus: puhelimen näyttö ja polarisaattori
Keksitty esimerkkiaineisto
Ryhmä tutki Malusin lakia puhelimen näytöllä, jonka valo on polarisoitunutta. Näyttö oli valkoisena pöydällä, sen päällä polarisaattorikalvo astelevyllä ja kalvon päällä Vernierin valoanturi. Ryhmä kiersi kalvoa $15^\circ$:n välein ja kirjasi anturin lukeman eli valaistusvoimakkuuden $E$. Kulma $\theta$ on mitattu siitä asennosta, jossa lukema oli suurin.
| $\theta$ (°) | $E$ (lx) |
|---|---|
| $0$ | $374$ |
| $15$ | $354$ |
| $30$ | $283$ |
| $45$ | $197$ |
| $60$ | $102$ |
| $75$ | $40$ |
| $90$ | $15$ |
Ryhmä piirsi Vernier Graphical Analysis -ohjelmalla kuvaajan, jossa pystyakselilla on $E$ ja vaaka-akselilla $\cos^2\theta$. Ohjelma sovitti pisteisiin suoran $E = A \cos^2\theta + B$ ja ilmoitti kulmakertoimen $A$ epävarmuudeksi $\Delta A = 2{,}4\,\text{lx}$ ja vakiotermin $B = 14{,}6\,\text{lx}$. Todellisissa mittaussarjoissa mittauspisteet eivät yleensä sijaitse täsmälleen samalla suoralla mittausepävarmuuden vuoksi.
Kuinka suuren lukeman näytön polarisoitunut valo antaisi yksinään, ilman huoneen taustavaloa, kun kalvon läpäisysuunta on näytön polarisaation suuntainen? Vastaa luksiyksikössä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Mikä osa lukemasta riippuu kalvon kulmasta, ja mikä osa on sama kaikilla kulmilla?
Vihje 2: mikä yhteys
Lukema on $E = E_\text{p} \cos^2\theta + E_\text{t}$, missä $E_\text{t}$ on taustavalon osuus. Mikä suoran parametri on $E_\text{p}$?
Vihje 3: välivaihe
Kulmakerroin on lukeman muutos, kun $\cos^2\theta$ kasvaa nollasta yhteen.
Näytä ratkaisu
Annettu
ohjelman sovittama suora $E = A \cos^2\theta + B$ kuvaajassa, kulmakertoimen epävarmuus $\Delta A = 2{,}4\,\text{lx}$ ja vakiotermi $B = 14{,}6\,\text{lx}$; mittauspisteet kuvaajassa
Kysytty
valaistusvoimakkuus $E_\text{p}$, jonka näytön polarisoitunut valo yksinään antaa, kun kalvo on näytön polarisaation suuntainen, luksiyksikössä
Periaate
Malusin lain mukaan näytön polarisoituneesta valosta pääsee kalvon läpi osa $\cos^2\theta$, joten sen antama lukema on $E_\text{p} \cos^2\theta$. Huoneen taustavalo $E_\text{t}$ ei ole näytön polarisoitunutta valoa, ja se lisää jokaiseen lukemaan saman verran. Lukema on siis $E = E_\text{p} \cos^2\theta + E_\text{t}$, eli $\cos^2\theta$:n funktiona suora, jonka kulmakerroin on $E_\text{p}$ ja vakiotermi $E_\text{t}$. Kulmakerroin luetaan sovitetusta suorasta, koska suora ottaa huomioon kaikki mittaukset.
Kuvaajan lukeminen
Sovitettu suora kulkee likimain pisteiden $(0$; $15\,\text{lx})$ ja $(1{,}0$; $375\,\text{lx})$ kautta, joten kulmakerroin on noin $(375\,\text{lx} - 15\,\text{lx}) : 1{,}0 = 360\,\text{lx}$. Ohjelman laskema tarkka arvo on $A = 360{,}7\,\text{lx}$.
Kaava
$E = E_\text{p} \cos^2\theta + E_\text{t}$ ja $E = A \cos^2\theta + B$, josta $E_\text{p} = A$
Muunnokset
Ei tarvita: $\cos^2\theta$ on yksikötön, joten kulmakertoimen yksikkö on sama kuin lukeman, $\text{lx}$.
Sijoitus
$E_\text{p} = A = 360{,}7\,\text{lx}$
Vastaus
$E_\text{p} \approx 361\,\text{lx}$
Kolme merkitsevää numeroa, koska kulmakertoimen epävarmuus $2{,}4\,\text{lx}$ on ykkösten suuruinen: $E_\text{p} = (361 \pm 2)\,\text{lx}$.
Järkevyys
Pisteet asettuvat hyvin suoralle, joten valo noudattaa Malusin lakia. Lukema kulmalla $0^\circ$ on $374\,\text{lx}$, ja siitä on vähennettävä taustavalo noin $15\,\text{lx}$, jolloin saadaan noin $360\,\text{lx}$, kuten kulmakertoimesta. Kun kalvo on ristissä näytön polarisaation kanssa, lukema $15\,\text{lx}$ on lähes sama kuin vakiotermi, joten se on taustavaloa.
Johtopäätös: kalvojen kulma ja intensiteetti
Kirjoita taulukkosi perusteella: kuinka suuri osa lampun valosta pääsee ensimmäisen kalvon läpi? Miten analysaattorin läpi tuleva intensiteetti riippuu kalvojen välisestä kulmasta? Pieneneekö se tasaisesti kulman mukana?
Mallivastaus
Ensimmäisen kalvon läpi pääsi aina $I_1 = 50{,}0\,\%$ lampun valosta, koska lampun valo on polarisoimatonta. Analysaattorin läpi tuli $50{,}0\,\%$ kulmalla $0^\circ$, $37{,}5\,\%$ kulmalla $30^\circ$, $12{,}5\,\%$ kulmalla $60^\circ$ ja $0\,\%$ kulmalla $90^\circ$. Intensiteetti ei pienentynyt tasaisesti: ensimmäisellä $30^\circ$:lla se pieneni vain neljänneksen, mutta viimeisellä $30^\circ$:lla kaiken loput. Suhde $I_3 : I_1$ oli joka rivillä sama kuin lukema $\cos^2\theta$: $0{,}750$ kulmalla $30^\circ$ ja $0{,}250$ kulmalla $60^\circ$. Siis $I_3 = I_1 \cos^2\theta$. Arvot ovat mallin laskemia.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Valo on poikittaista aaltoa
Luvussa Sähkömagneettinen säteily ja mustan kappaleen spektri nähtiin, että valo on sähkömagneettista aaltoa: sähkökenttä ja magneettikenttä värähtelevät kohtisuorassa toisiaan ja aallon etenemissuuntaa vastaan. Valo on siis poikittaista aaltoa kuten aalto narussa (luku Mekaaninen aaltoliike). Poikittaisessa aallossa on merkitystä sillä, mihin suuntaan värähtely tapahtuu. Valon polarisaatiosuunnaksi sanotaan sitä suuntaa, johon sähkökenttä värähtelee. Pitkittäisessä aallossa, kuten äänessä, väliaine värähtelee etenemissuunnassa, eikä värähtelylle jää muita suuntia. Siksi ääntä ei voi polarisoida. Se, että valon voi polarisoida, osoittaa valon olevan poikittaista aaltoa.
Polarisoimaton ja polarisoitunut valo
Auringon, kynttilän ja hehkulampun valo on polarisoimatonta. Sitä lähettävät valtavan monet atomit toisistaan riippumatta, joten sähkökentän värähtelysuunta vaihtelee satunnaisesti ja nopeasti. Kaikki etenemissuuntaa vastaan kohtisuorat suunnat ovat keskimäärin yhtä yleisiä. Valo on lineaarisesti polarisoitunutta, kun sen sähkökenttä värähtelee koko ajan samassa suunnassa. Tällaista valoa saadaan esimerkiksi monista lasereista ja tietokoneen näytöistä. Silmä ei erota polarisoitunutta valoa polarisoimattomasta, mutta polarisaattori erottaa.
Polarisaattori
Polarisaattori on kalvo tai suodatin, jolla on läpäisysuunta. Tavallisessa polarisaattorikalvossa on pitkiä, samansuuntaisia molekyyliketjuja, jotka absorboivat ketjujen suuntaisen sähkökentän värähtelyn. Ketjuja vastaan kohtisuoraan värähtelevä valo pääsee läpi, ja tämä suunta on kalvon läpäisysuunta. Jokaisen tulevan värähtelyn voi jakaa läpäisysuuntaiseen ja sitä vastaan kohtisuoraan komponenttiin. Polarisoimattomassa valossa kaikki suunnat ovat yhtä yleisiä, joten kumpaankin komponenttiin osuu keskimäärin puolet intensiteetistä. Siksi ihanteellinen polarisaattori päästää läpi puolet polarisoimattoman valon intensiteetistä, $I_1 = \tfrac{1}{2} I_0$, kääntyipä kalvo mihin asentoon tahansa. Läpi tullut valo on polarisoitunutta kalvon läpäisysuuntaan. Todellinen kalvo päästää läpi hieman alle puolet, koska se absorboi vähän myös läpäisysuuntaista valoa.
Kaksi polarisaattoria
Kun polarisoituneen valon tielle asetetaan toinen polarisaattori, sitä sanotaan analysaattoriksi. Jos analysaattorin läpäisysuunta on sama kuin valon polarisaatiosuunta, kaikki valo pääsee läpi. Kun analysaattoria kierretään, läpi tulevan valon intensiteetti pienenee. Kun läpäisysuunnat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli polarisaattorit ovat ristissä, ihanteellisten kalvojen läpi ei pääse valoa lainkaan. Kahdella polarisaattorikalvolla voi siis tutkia, onko valo polarisoitunutta ja mihin suuntaan: kun valo on polarisoitunutta, sen kirkkaus vaihtelee kalvoa kierrettäessä. Polarisoimattoman valon kirkkaus ei kalvoa kierrettäessä muutu.
Heijastunut valo on osittain polarisoitunutta
Kun polarisoimaton valo heijastuu eristeen, esimerkiksi veden, lasin tai märän asfaltin, pinnasta, pinnan suuntainen värähtely heijastuu voimakkaammin kuin muut. Heijastunut valo on siksi osittain polarisoitunutta pinnan suuntaisesti. Vaakasuorasta pinnasta heijastunut häikäisy on siis polarisoitunut enimmäkseen vaakasuunnassa. Polarisaation määrä riippuu tulokulmasta: tietyssä kulmassa, Brewsterin kulmassa, heijastunut valo on täysin polarisoitunutta. Metallipinnasta heijastunut valo ei polarisoidu samalla tavalla.
Polaroidut aurinkolasit
Polaroitujen aurinkolasien linsseissä on polarisaattorikalvo, jonka läpäisysuunta on pystysuora. Kalvo absorboi järven tai tien pinnasta heijastuneen häikäisyn vaakasuuntaisen värähtelyn, joten häikäisy himmenee paljon. Muualta tuleva polarisoimaton valo himmenee vain puoleen, joten maisema näkyy. Tavallinen tumma lasi himmentää kaikkea valoa samassa suhteessa, joten häikäisy jää yhtä kirkkaaksi ympäristöönsä nähden. Polaroiduilla laseilla kalastaja näkee veden alle, ja autoilija näkee märällä tiellä paremmin. Valokuvaajan polarisaatiosuodatin toimii samalla periaatteella: sitä kiertämällä voi poistaa heijastuksia vedestä ja ikkunoista.
Näytöt ja 3D-elokuvat
Nestekidenäytön jokaisen kuvapisteen takana ja edessä on polarisaattorikalvo. Niiden välissä oleva nestekide voi kääntää valon polarisaatiosuuntaa, ja kuvapisteen jännite säätää, kuinka paljon. Näin kuvapisteen läpi pääsevän valon määrä muuttuu ilman liikkuvia osia. Myös monien puhelinten näyttöjen pinnassa on polarisaattorikalvo, joten näytön valo on polarisoitunutta. Siksi näyttö voi näyttää mustalta polaroitujen aurinkolasien läpi, kun näyttöä tai päätä kääntää. 3D-elokuvassa valkokankaalle projisoidaan samaan aikaan kaksi kuvaa, joiden valo on polarisoitunut eri tavoin. Lasien kumpikin linssi päästää läpi vain toisen kuvan valon, joten kumpikin silmä näkee oman kuvansa. Usein käytetään ympyräpolarisaatiota, jossa sähkökentän suunta kiertyy, jotta kuva ei häiriinny, kun katsoja kallistaa päätään.
Malusin laki ja Brewsterin laki
Malusin laki
Polarisoitunut valo, jonka sähkökentän amplitudi on $E_0$, tulee analysaattoriin, jonka läpäisysuunta on kulmassa $\theta$ valon polarisaatiosuuntaan nähden. Sähkökentän läpäisysuuntainen komponentti $E_0 \cos\theta$ pääsee läpi, ja kohtisuora komponentti $E_0 \sin\theta$ absorboituu. Aallon intensiteetti on verrannollinen amplitudin neliöön, joten intensiteetti pienenee kertoimella $\cos^2\theta$.
Analysaattorin läpi tulevan valon intensiteetti on
$$I = I_0 \cos^2\theta$$
missä $I_0$ on analysaattoriin tulevan polarisoituneen valon intensiteetti ($\text{W/m}^2$), $I$ analysaattorin läpi tulleen valon intensiteetti ($\text{W/m}^2$) ja $\theta$ valon polarisaatiosuunnan ja analysaattorin läpäisysuunnan välinen kulma. Laki koskee ihanteellista polarisaattoria ja polarisoitunutta valoa. Polarisoimaton valo puolittuu ensimmäisessä polarisaattorissa, ja Malusin laki koskee vasta sen jälkeisiä polarisaattoreita. Kun $\theta = 0^\circ$, kaikki valo pääsee läpi, ja kun $\theta = 90^\circ$, ei mitään. Kuvaajasta näkyy, että intensiteetti pienenee aluksi hitaasti ja vasta sitten nopeammin: $30^\circ$:n kulmalla läpi pääsee vielä $75\,\%$, $45^\circ$:n kulmalla $50\,\%$ ja $60^\circ$:n kulmalla $25\,\%$.
Malusin lain tutkiminen mittaamalla
Malusin lakia voi tutkia esimerkiksi puhelimen näytöllä, jonka valo on polarisoitunutta. Näytön eteen asetetaan polarisaattorikalvo ja sen taakse valoanturi. Kalvoa kierretään esimerkiksi $15^\circ$:n välein, ja kulma ja anturin lukema kirjataan. Kun lukemat piirretään $\cos^2\theta$:n funktiona, pisteiden pitäisi asettua suoralle. Anturi mittaa valaistusvoimakkuutta $E$ luksiyksikössä ($\text{lx}$), ja se on verrannollinen valon intensiteettiin. Huoneen taustavalo nostaa kaikkia lukemia saman verran, joten suora ei kulje origon kautta. Suoran vakiotermi on taustavalon osuus, ja kulmakerroin on lukema, jonka näytön polarisoitunut valo yksinään antaa, kun kalvo on näytön polarisaation suuntainen. Kulman epävarmuus $\Delta\theta$ on muutaman asteen luokkaa, koska kalvon läpäisysuuntaa ei tiedetä tarkasti. Todellisissa mittaussarjoissa mittauspisteet eivät yleensä sijaitse täsmälleen samalla suoralla mittausepävarmuuden vuoksi.
Brewsterin laki
Kun valo tulee aineesta, jonka taitekerroin on $n_1$, aineeseen, jonka taitekerroin on $n_2$, heijastunut valo on täysin polarisoitunutta yhdellä tulokulmalla, Brewsterin kulmalla $\alpha_\text{B}$. Silloin heijastunut ja taittunut säde ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, joten taitekulma on $\alpha_2 = 90^\circ - \alpha_\text{B}$ ja $\sin\alpha_2 = \cos\alpha_\text{B}$. Sijoitetaan tämä taittumislakiin (luku Valon heijastuminen ja taittuminen):
$$\begin{aligned} n_1 \sin\alpha_\text{B} &= n_2 \sin\alpha_2 \\[4pt] n_1 \sin\alpha_\text{B} &= n_2 \cos\alpha_\text{B} \\[4pt] \tan\alpha_\text{B} &= \frac{n_2}{n_1} \end{aligned}$$
missä $\alpha_\text{B}$ on Brewsterin kulma pinnan normaalista mitattuna, $n_1$ sen aineen taitekerroin, josta valo tulee ja johon se heijastuu, ja $n_2$ sen aineen taitekerroin, johon valo taittuu. Brewsterin kulmassa heijastuneen valon sähkökenttä värähtelee pinnan suuntaisesti ja kohtisuorassa tulotasoa vastaan. Ilmasta veteen ($n_2 = 1{,}33$) Brewsterin kulma on $53{,}1^\circ$ ja lasiin ($n_2 = 1{,}50$) $56{,}3^\circ$. Taittunut valo on vain osittain polarisoitunutta, koska heijastuva osuus on pieni.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että polarisaattori toimii kuin tumma lasi, joka himmentää kaikkea valoa saman verran. Polarisaattori kuitenkin valitsee värähtelysuunnan: polarisoitunut valo voi päästä läpi lähes kokonaan tai ei lainkaan sen mukaan, mihin asentoon kalvo on käännetty. Toinen virhe on soveltaa Malusin lakia polarisoimattomaan valoon. Polarisoimattoman valon intensiteetti puolittuu ensimmäisessä polarisaattorissa kulmasta riippumatta, ja kulma $\theta$ mitataan vasta polarisoituneen valon polarisaatiosuunnasta. Kolmas virhe on kuvitella, että lisäkalvo voi vain vähentää läpi tulevaa valoa. Kun ristiin asetettujen polarisaattorien väliin laitetaan kolmas polarisaattori $45^\circ$:n kulmaan, läpi pääsee taas valoa. Keskimmäisen kalvon läpi tullut valo on polarisoitunut $45^\circ$:n kulmaan, joten sillä on komponentti myös viimeisen kalvon läpäisysuunnassa.
Tiivistelmä
- Valo on poikittaista aaltoa, joten se voidaan polarisoida. Polarisaatiosuunta on sähkökentän värähtelysuunta. Ääntä ei voi polarisoida, koska se on pitkittäistä aaltoa.
- Ihanteellinen polarisaattori päästää läpi puolet polarisoimattoman valon intensiteetistä, ja läpi tullut valo on polarisoitunutta läpäisysuuntaan.
- Polarisoituneen valon intensiteetti analysaattorin jälkeen on $I = I_0 \cos^2\theta$ (Malusin laki). Ristissä olevien polarisaattorien läpi ei pääse valoa.
- Eristeen pinnasta heijastunut valo on osittain polarisoitunutta pinnan suuntaisesti ja Brewsterin kulmassa $\tan\alpha_\text{B} = n_2 : n_1$ täysin polarisoitunutta. Polaroidut aurinkolasit, nestekidenäytöt ja 3D-lasit hyödyntävät polarisaatiota.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi teoriaan ja kokeen mallin arvoihin. Palaa sitten alun kysymykseen: miksi polaroidut lasit sammuttavat järven kimalluksen mutta tavalliset tummat lasit eivät, ja miksi kimallus palaa, kun kalastaja kallistaa päätään?
Muuttaisitko ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Polarisoimattoman valon intensiteetti on $840\,\text{W/m}^2$. Valo kulkee kahden ihanteellisen polarisaattorin läpi, ja polarisaattorien läpäisysuuntien välinen kulma on $35^\circ$. Kuinka suuri on valon intensiteetti toisen polarisaattorin jälkeen?
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Polarisoimattoman valon intensiteetti $I_0 = 840\,\text{W/m}^2$ ja läpäisysuuntien välinen kulma $\theta = 35^\circ$. Kysytään intensiteettiä $I_2$ toisen polarisaattorin jälkeen.
Vaihe 2/7
Periaate. Ensimmäinen polarisaattori päästää läpi puolet polarisoimattoman valon intensiteetistä, ja läpi tullut valo on polarisoitunutta sen läpäisysuuntaan. Toiseen polarisaattoriin tulee siis polarisoitunutta valoa kulmassa $35^\circ$ sen läpäisysuuntaan nähden, joten siihen sovelletaan Malusin lakia.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. $$\begin{aligned} I_1 &= \tfrac{1}{2} I_0 \\[4pt] I_2 &= I_1 \cos^2\theta \\[4pt] I_2 &= \tfrac{1}{2} I_0 \cos^2\theta \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Ei tarvita: intensiteetti pysyy yksikössä $\text{W/m}^2$, ja $\cos^2\theta$ on yksikötön luku.
Vaihe 5/7
Sijoitus. $$\begin{aligned} I_2 &= \tfrac{1}{2} I_0 \cos^2\theta \\ &= \tfrac{1}{2} \cdot 840\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2} \cdot \cos^2 35^\circ \\ &= 420\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2} \cdot 0{,}6710 \\ &= 281{,}8\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Toisen polarisaattorin jälkeen intensiteetti on $I_2 \approx 282\,\text{W/m}^2$, kolmella merkitsevällä numerolla kuten intensiteetti $840\,\text{W/m}^2$.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Tuloksen on oltava pienempi kuin ensimmäisen polarisaattorin jälkeinen $420\,\text{W/m}^2$, koska kulma ei ole nolla. Kulma $35^\circ$ on alle $45^\circ$, joten toinen polarisaattori päästää läpi yli puolet saamastaan valosta, ja $282\,\text{W/m}^2$ on yli $210\,\text{W/m}^2$. Alkuperäisestä valosta ($840\,\text{W/m}^2$) läpi pääsee noin kolmannes.
Valinnainen Etsi virhe
Sovella uuteen tilanteeseen: kuvaaja järven rannalla
Luontokuvaaja haluaa kuvata järven pohjan kiviä, mutta vedenpinnasta heijastuva taivaan valo häiritsee. Hänellä on polarisaatiosuodatin, joka poistaa heijastuksen parhaiten, kun heijastunut valo on täysin polarisoitunutta. Kamera on $1{,}60\,\text{m}$:n korkeudella tyynen vedenpinnan yläpuolella. Veden taitekerroin on $1{,}33$ ja ilman $1{,}00$.
Kuinka kaukana kamerasta vaakasuunnassa on se vedenpinnan kohta, josta heijastunut valo tulee kameraan täysin polarisoituneena? Vastaa metreinä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Missä tulokulmassa heijastunut valo on täysin polarisoitunutta?
Vihje 2: mikä yhteys
Brewsterin kulmalle $\tan\alpha_\text{B} = n_2 : n_1$. Piirrä kuva: kamerasta vedenpintaan kulkeva säde on kulmassa $\alpha_\text{B}$ pystysuoraan normaaliin nähden.
Vihje 3: välivaihe
Suorakulmaisessa kolmiossa $\tan\alpha_\text{B} = d : h$, joten $d = h \tan\alpha_\text{B}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
kameran korkeus vedenpinnasta $h = 1{,}60\,\text{m}$, veden taitekerroin $n_2 = 1{,}33$, ilman taitekerroin $n_1 = 1{,}00$, tyyni vedenpinta
Kysytty
vaakasuora etäisyys $d$ kamerasta siihen vedenpinnan kohtaan, josta heijastunut valo tulee kameraan Brewsterin kulmassa, metreinä
Periaate
Polarisaatiosuodatin poistaa heijastuksen parhaiten, kun heijastunut valo on täysin polarisoitunutta, eli kun valo heijastuu Brewsterin kulmassa $\tan\alpha_\text{B} = n_2 : n_1$. Kameraan tuleva heijastunut säde muodostaa pystysuoran normaalin kanssa kulman $\alpha_\text{B}$. Säde, kameran alla oleva pystysuora jana $h$ ja vedenpinnan jana $d$ muodostavat suorakulmaisen kolmion, jossa $\tan\alpha_\text{B} = d : h$.
Kaava
$\tan\alpha_\text{B} = \dfrac{d}{h}$, josta
Muunnokset
Ei tarvita: korkeus on metreinä, ja taitekertoimet ovat yksiköttömiä.
Sijoitus
Vastaus
$2{,}13\,\text{m}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten korkeus $1{,}60\,\text{m}$ ja taitekerroin $1{,}33$.
Järkevyys
Brewsterin kulma on $\tan^{-1} 1{,}33 = 53{,}1^\circ$, siis yli $45^\circ$, joten kohdan on oltava kauempana kuin kameran korkeus $1{,}60\,\text{m}$, kuten tuloksessa. Kamera katsoo vedenpintaa $90^\circ - 53{,}1^\circ = 36{,}9^\circ$:n kulmassa vaakatason alapuolelle, mikä on luonteva kuvauskulma.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.
- Lasin taitekerroin on $1{,}50$. Millä tulokulmalla ilmasta lasin pintaan tulevan valon heijastus on täysin polarisoitunutta?
Vastaus
Brewsterin laista
$\tan\alpha_\text{B}$$= 1{,}50 : 1{,}00$$= 1{,}50$joten $\alpha_\text{B} = 56{,}3^\circ$. Tässä kulmassa heijastunut ja taittunut säde ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.
- Puhelimen näyttö näkyy kirkkaana polaroitujen aurinkolasien läpi, mutta kun puhelinta kääntää $90^\circ$, näyttö muuttuu lähes mustaksi. Miksi?
Vastaus
Näytön pinnassa on polarisaattorikalvo, joten näytön valo on polarisoitunutta. Kun näytön polarisaatiosuunta on lasien läpäisysuunnan suuntainen, valo pääsee läpi. Kun puhelinta käännetään $90^\circ$, suunnat ovat ristissä, ja Malusin lain mukaan läpi pääsee $\cos^2 90^\circ = 0$ eli lähes ei mitään.
1. Käsite: mitä polarisaatio kertoo
2. Laske: laservalo polarisaattorin läpi
Laserosoittimen säde on polarisoitunutta, ja sen teho on $5{,}00\,\text{mW}$. Säde kulkee polarisaattorin läpi, jonka läpäisysuunta on $50{,}0^\circ$:n kulmassa säteen polarisaatiosuuntaan nähden.
Kuinka suuri on säteen teho polarisaattorin jälkeen? Vastaa milliwatteina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Onko laservalo polarisoimatonta vai polarisoitunutta? Puolittuuko se?
Vihje 2: mikä yhteys
Polarisoituneeseen valoon sovelletaan suoraan Malusin lakia: $P = P_0 \cos^2\theta$.
Vihje 3: välivaihe
$\cos 50{,}0^\circ \approx 0{,}643$, joten $\cos^2 50{,}0^\circ \approx 0{,}413$.
Näytä ratkaisu
Annettu
polarisoituneen lasersäteen teho $P_0 = 5{,}00\,\text{mW}$, säteen polarisaatiosuunnan ja polarisaattorin läpäisysuunnan välinen kulma $\theta = 50{,}0^\circ$
Kysytty
polarisaattorin läpi tulevan säteen teho $P$ milliwatteina
Periaate
Laservalo on jo polarisoitunutta, joten sitä ei puoliteta, vaan siihen sovelletaan suoraan Malusin lakia. Säteen poikkipinta-ala ei muutu polarisaattorissa, joten teho muuttuu samassa suhteessa kuin intensiteetti.
Kaava
$I = I_0 \cos^2\theta$, joten tehoille $P = P_0 \cos^2\theta$
Muunnokset
Ei tarvita: teho pysyy milliwatteina, ja kulma on asteina.
Sijoitus
Vastaus
$2{,}07\,\text{mW}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten teho $5{,}00\,\text{mW}$ ja kulma $50{,}0^\circ$.
Järkevyys
Kulma $50^\circ$ on vähän yli $45^\circ$, joten läpi pitää päästä vähän alle puolet tehosta eli vähän alle $2{,}5\,\text{mW}$, kuten tuloksessa.
Ehdotus: yksi vastaus ei vielä kerro koko osaamistasi, mutta kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
Valinnainen 3. Selitä: polaroidut aurinkolasit
Selitä, miksi polaroidut aurinkolasit vähentävät järven pinnasta heijastuvaa häikäisyä paljon enemmän kuin tavalliset yhtä tummat aurinkolasit. Selitä myös, miksi häikäisy palaa, kun lasien käyttäjä kallistaa päätään $90^\circ$.
Mallivastaus
Kun polarisoimaton auringonvalo heijastuu vedenpinnasta, pinnan suuntainen värähtely heijastuu voimakkaimmin, joten häikäisy on osittain polarisoitunutta vaakasuunnassa. Polaroitujen lasien polarisaattorikalvon läpäisysuunta on pystysuora, joten kalvo absorboi häikäisyn vaakasuuntaisen värähtelyn, ja häikäisy himmenee paljon. Muu valo on enimmäkseen polarisoimatonta ja himmenee vain noin puoleen. Tavallinen tumma lasi himmentää kaikkea valoa samassa suhteessa, joten häikäisy jää yhtä kirkkaaksi muuhun näkymään verrattuna. Kun päätä kallistetaan $90^\circ$, kalvon läpäisysuunta kääntyy vaakasuoraksi, ja häikäisyn vaakasuuntainen värähtely pääsee läpi.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti siirtyy kertauspakkaasi.
- Polarisaatio
- Valon värähtelysuunnan rajoittuminen yhteen tasoon.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 15-1Ydintehtävä
Auringonvalo on polarisoimatonta. Sen intensiteetti on $640\,\text{W/m}^2$, kun se tulee ihanteelliseen polarisaattoriin. Kuinka suuri on valon intensiteetti polarisaattorin jälkeen?
Vastaus
$320\,\text{W/m}^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
polarisoimattoman auringonvalon intensiteetti $I_0 = 640\,\text{W/m}^2$, ihanteellinen polarisaattori
Kysytty
valon intensiteetti $I_1$ polarisaattorin jälkeen yksikössä $\text{W/m}^2$
Periaate
Polarisoimattomassa valossa kaikki etenemissuuntaa vastaan kohtisuorat värähtelysuunnat ovat yhtä yleisiä. Jokaisen värähtelyn voi jakaa läpäisysuuntaiseen ja sitä vastaan kohtisuoraan komponenttiin, ja kumpaankin osuu keskimäärin puolet intensiteetistä. Ihanteellinen polarisaattori päästää läpäisysuuntaisen osan läpi, joten intensiteetti puolittuu kalvon asennosta riippumatta.
Kaava
$I_1 = \tfrac{1}{2} I_0$
Muunnokset
Ei tarvita: intensiteetti pysyy yksikössä $\text{W/m}^2$.
Sijoitus
$I_1$$= \tfrac{1}{2} \cdot 640\,\text{W/m}^2$$= 320\,\text{W/m}^2$Vastaus
$320\,\text{W/m}^2$
Kaksi tai kolme merkitsevää numeroa kuten intensiteetissä $640\,\text{W/m}^2$.
Järkevyys
Läpi tullut valo on polarisoitunutta, ja sen intensiteetti on pienempi kuin tulevan valon. Todellinen kalvo päästäisi läpi hieman vähemmän, koska se absorboi vähän myös läpäisysuuntaista valoa.
- Tehtävä 15-2Ydintehtävä
Polarisoituneen valon intensiteetti on $200\,\text{W/m}^2$. Valo tulee ihanteelliseen analysaattoriin, jonka läpäisysuunta on $30{,}0^\circ$:n kulmassa valon polarisaatiosuuntaan nähden. Kuinka suuri on valon intensiteetti analysaattorin jälkeen?
Vastaus
$150\,\text{W/m}^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
polarisoituneen valon intensiteetti $I_0 = 200\,\text{W/m}^2$, polarisaatiosuunnan ja läpäisysuunnan välinen kulma $\theta = 30{,}0^\circ$
Kysytty
valon intensiteetti $I$ analysaattorin jälkeen yksikössä $\text{W/m}^2$
Periaate
Analysaattoriin tulee polarisoitunutta valoa, joten siihen sovelletaan Malusin lakia. Läpi pääsee sähkökentän läpäisysuuntainen komponentti $E_0 \cos\theta$, ja intensiteetti on verrannollinen amplitudin neliöön.
Kaava
$I = I_0 \cos^2\theta$
Muunnokset
Ei tarvita: intensiteetti pysyy yksikössä $\text{W/m}^2$, ja kulma on asteina.
Sijoitus
$I$$= 200\,\text{W/m}^2 \cdot \cos^2 30{,}0^\circ$$= 200\,\text{W/m}^2 \cdot 0{,}750$$= 150\,\text{W/m}^2$Vastaus
$150\,\text{W/m}^2$
Kolme merkitsevää numeroa kuten kulma $30{,}0^\circ$.
Järkevyys
Kulma on pieni, joten läpi pääsee suurin osa valosta, kolme neljäsosaa. Tulos on pienempi kuin $200\,\text{W/m}^2$ ja suurempi kuin kulmaa $45^\circ$ vastaava puolikas $100\,\text{W/m}^2$.
- Tehtävä 15-3
Polarisoituneen valon intensiteetti on $80{,}0\,\text{W/m}^2$. Ihanteellisen polarisaattorin läpäisysuunta on $70{,}0^\circ$:n kulmassa valon polarisaatiosuuntaan nähden. Kuinka suuri on valon intensiteetti polarisaattorin jälkeen?
Vastaus
$9{,}36\,\text{W/m}^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
polarisoituneen valon intensiteetti $I_0 = 80{,}0\,\text{W/m}^2$, polarisaatiosuunnan ja läpäisysuunnan välinen kulma $\theta = 70{,}0^\circ$
Kysytty
valon intensiteetti $I$ polarisaattorin jälkeen yksikössä $\text{W/m}^2$
Periaate
Polarisaattoriin tulee polarisoitunutta valoa, joten läpi tulevan valon intensiteetti saadaan Malusin laista. Läpi pääsee vain läpäisysuuntainen komponentti $E_0 \cos\theta$ sähkökentän amplitudista.
Kaava
$I = I_0 \cos^2\theta$
Muunnokset
Ei tarvita: intensiteetti pysyy yksikössä $\text{W/m}^2$, ja kulma on asteina.
Sijoitus
$I$$= 80{,}0\,\text{W/m}^2 \cdot \cos^2 70{,}0^\circ$$= 80{,}0\,\text{W/m}^2 \cdot 0{,}11698$$= 9{,}358\,\text{W/m}^2$Vastaus
$9{,}36\,\text{W/m}^2$
Kolme merkitsevää numeroa kuten intensiteetti $80{,}0\,\text{W/m}^2$ ja kulma $70{,}0^\circ$.
Järkevyys
Kulma on lähellä $90^\circ$:ta, jossa läpi ei pääsisi mitään, joten läpi pääsee vain pieni osa valosta, noin $12\,\%$. Kulmalla $60^\circ$ läpi pääsisi $25\,\%$ eli $20\,\text{W/m}^2$, ja tulos on sitä pienempi, kuten pitää.
- Tehtävä 15-4
Auringonvalo heijastuu akryylilevyn pinnasta. Akryylin taitekerroin on $1{,}49$ ja ilman $1{,}00$. Millä tulokulmalla heijastunut valo on täysin polarisoitunutta?
Vastaus
$56{,}1^\circ$
Näytä ratkaisu
Annettu
ilman taitekerroin $n_1 = 1{,}00$, akryylin taitekerroin $n_2 = 1{,}49$
Kysytty
Brewsterin kulma $\alpha_\text{B}$ asteina
Periaate
Eristeen pinnasta heijastunut valo on täysin polarisoitunutta, kun tulokulma on Brewsterin kulma. Silloin heijastunut ja taittunut säde ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, ja taittumislaista saadaan Brewsterin laki. Valo tulee ilmasta ja heijastuu takaisin ilmaan, joten $n_1$ on ilman ja $n_2$ akryylin taitekerroin.
Kaava
$\tan\alpha_\text{B}$$= \dfrac{n_2}{n_1}$josta
$\alpha_\text{B}$$= \tan^{-1}\dfrac{n_2}{n_1}$Muunnokset
Ei tarvita: taitekertoimet ovat yksiköttömiä lukuja, ja kulma saadaan asteina.
Sijoitus
$\alpha_\text{B}$$= \tan^{-1}\dfrac{1{,}49}{1{,}00}$$= \tan^{-1} 1{,}49$$= 56{,}13^\circ$Vastaus
$56{,}1^\circ$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taitekertoimet.
Järkevyys
Kun $n_2 > n_1$, on $\tan\alpha_\text{B} > 1$, joten kulman pitää olla yli $45^\circ$, kuten tuloksessa. Tarkistus: taitekulma on $90^\circ - 56{,}13^\circ = 33{,}87^\circ$, ja
$1{,}00 \cdot \sin 56{,}13^\circ$$= 0{,}830$$= 1{,}49 \cdot \sin 33{,}87^\circ$joten taittumislaki toteutuu.
- Tehtävä 15-5
Timantin taitekerroin on $2{,}42$. Millä tulokulmalla ilmasta timantin pintaan tuleva valo heijastuu täysin polarisoituneena? Ilman taitekerroin on $1{,}00$.
Vastaus
$67{,}5^\circ$
Näytä ratkaisu
Annettu
ilman taitekerroin $n_1 = 1{,}00$, timantin taitekerroin $n_2 = 2{,}42$
Kysytty
Brewsterin kulma $\alpha_\text{B}$ asteina
Periaate
Heijastunut valo on täysin polarisoitunutta, kun tulokulma on Brewsterin kulma, jolloin heijastunut ja taittunut säde ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Valo tulee ilmasta ja heijastuu ilmaan, joten $n_1$ on ilman ja $n_2$ timantin taitekerroin.
Kaava
$\tan\alpha_\text{B}$$= \dfrac{n_2}{n_1}$josta
$\alpha_\text{B}$$= \tan^{-1}\dfrac{n_2}{n_1}$Muunnokset
Ei tarvita: taitekertoimet ovat yksiköttömiä lukuja.
Sijoitus
$\alpha_\text{B}$$= \tan^{-1}\dfrac{2{,}42}{1{,}00}$$= \tan^{-1} 2{,}42$$= 67{,}55^\circ$Vastaus
$67{,}5^\circ$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taitekertoimet.
Järkevyys
Timantin taitekerroin on paljon suurempi kuin akryylin, joten Brewsterin kulman pitää olla suurempi kuin akryylin $56{,}1^\circ$, mutta alle $90^\circ$, kuten tuloksessa. Tarkistus: $\tan 67{,}55^\circ = 2{,}42$.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 15-6Ydintehtävä
Polarisoimattoman valon intensiteetti on $900\,\text{W/m}^2$. Valo kulkee kahden ihanteellisen polarisaattorin läpi, ja polarisaattorien läpäisysuuntien välinen kulma on $40{,}0^\circ$. Kuinka suuri on valon intensiteetti toisen polarisaattorin jälkeen?
Vastaus
$264\,\text{W/m}^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
polarisoimattoman valon intensiteetti $I_0 = 900\,\text{W/m}^2$, polarisaattorien läpäisysuuntien välinen kulma $\theta = 40{,}0^\circ$
Kysytty
intensiteetti $I_2$ toisen polarisaattorin jälkeen yksikössä $\text{W/m}^2$
Periaate
Ensimmäinen polarisaattori päästää läpi puolet polarisoimattoman valon intensiteetistä, ja läpi tullut valo on polarisoitunutta sen läpäisysuuntaan. Toiseen polarisaattoriin tulee siis polarisoitunutta valoa kulmassa $40{,}0^\circ$ sen läpäisysuuntaan nähden, joten siihen sovelletaan Malusin lakia.
Kaava
$I_1 = \tfrac{1}{2} I_0$ ja $I_2 = I_1 \cos^2\theta$, josta $I_2 = \tfrac{1}{2} I_0 \cos^2\theta$
Muunnokset
Ei tarvita: intensiteetti pysyy yksikössä $\text{W/m}^2$, ja kulma on asteina.
Sijoitus
$I_2$$= \tfrac{1}{2} \cdot 900\,\text{W/m}^2 \cdot \cos^2 40{,}0^\circ$$= 450\,\text{W/m}^2 \cdot 0{,}5868$$= 264{,}1\,\text{W/m}^2$Vastaus
$264\,\text{W/m}^2$
Kolme merkitsevää numeroa kuten kulma $40{,}0^\circ$.
Järkevyys
Ensimmäisen polarisaattorin jälkeen intensiteetti on $450\,\text{W/m}^2$. Kulma $40^\circ$ on alle $45^\circ$, joten toinen polarisaattori päästää läpi vähän yli puolet siitä, ja $264\,\text{W/m}^2$ on vähän yli $225\,\text{W/m}^2$, kuten pitää.
- Tehtävä 15-7Ydintehtävä
Polarisoitunut valo tulee ihanteelliseen analysaattoriin. Kuinka suuri on valon polarisaatiosuunnan ja analysaattorin läpäisysuunnan välinen kulma, kun analysaattorin läpi pääsee $25{,}0\,\%$ siihen tulevan valon intensiteetistä?
Vastaus
$60{,}0^\circ$
Näytä ratkaisu
Annettu
analysaattorin läpi pääsee $25{,}0\,\%$ siihen tulevan polarisoituneen valon intensiteetistä, eli $I : I_0 = 0{,}250$
Kysytty
polarisaatiosuunnan ja läpäisysuunnan välinen kulma $\theta$ asteina
Periaate
Analysaattoriin tulee polarisoitunutta valoa, joten läpi tulevan valon osuus saadaan Malusin laista. Ratkaistaan laista kulma.
Kaava
$I = I_0 \cos^2\theta$, josta
$\cos\theta$$= \sqrt{\dfrac{I}{I_0}}$$\theta$$= \cos^{-1}\sqrt{\dfrac{I}{I_0}}$Muunnokset
$25{,}0\,\%$$= 25{,}0 \cdot 0{,}01$$= 0{,}250$Sijoitus
$\theta$$= \cos^{-1}\sqrt{0{,}250}$$= \cos^{-1} 0{,}500$$= 60{,}0^\circ$Vastaus
$60{,}0^\circ$
Kolme merkitsevää numeroa kuten osuus $25{,}0\,\%$.
Järkevyys
Läpi pääsee alle puolet valosta, joten kulman pitää olla yli $45^\circ$ ja alle $90^\circ$, kuten tuloksessa. Tarkistus:
$\cos^2 60{,}0^\circ$$= 0{,}500^2$$= 0{,}250$ - Tehtävä 15-8
Ilmasta läpinäkyvän muovilevyn pintaan tuleva valo heijastuu täysin polarisoituneena, kun tulokulma on $57{,}5^\circ$. Kuinka suuri on muovin taitekerroin? Ilman taitekerroin on $1{,}00$.
Vastaus
$1{,}57$
Näytä ratkaisu
Annettu
Brewsterin kulma $\alpha_\text{B} = 57{,}5^\circ$, ilman taitekerroin $n_1 = 1{,}00$
Kysytty
muovin taitekerroin $n_2$ (yksikötön)
Periaate
Valo heijastuu täysin polarisoituneena, kun tulokulma on Brewsterin kulma. Valo tulee ilmasta ja heijastuu ilmaan, joten Brewsterin lain $n_1$ on ilman ja $n_2$ muovin taitekerroin. Ratkaistaan laista $n_2$.
Kaava
$\tan\alpha_\text{B}$$= \dfrac{n_2}{n_1}$josta $n_2 = n_1 \tan\alpha_\text{B}$
Muunnokset
Ei tarvita: kulma on asteina, ja taitekertoimet ovat yksiköttömiä.
Sijoitus
$n_2$$= 1{,}00 \cdot \tan 57{,}5^\circ$$= 1{,}00 \cdot 1{,}5697$$= 1{,}5697$Vastaus
$1{,}57$
Kolme merkitsevää numeroa kuten kulma $57{,}5^\circ$.
Järkevyys
Läpinäkyvien muovien, kuten akryylin $1{,}49$ ja polykarbonaatin noin $1{,}58$, taitekertoimet ovat samaa luokkaa. Kulma on yli $45^\circ$, joten taitekertoimen on oltava yli $1$, kuten tuloksessa.
- Tehtävä 15-9
Valo tulee ilmasta lasilevyn pintaan Brewsterin kulmassa. Lasin taitekerroin on $1{,}50$ ja ilman $1{,}00$. Kuinka suuressa kulmassa pinnan normaaliin nähden taittunut säde etenee lasissa?
Vastaus
$33{,}7^\circ$
Näytä ratkaisu
Annettu
ilman taitekerroin $n_1 = 1{,}00$, lasin taitekerroin $n_2 = 1{,}50$, valo tulee Brewsterin kulmassa
Kysytty
taitekulma $\alpha_2$ asteina pinnan normaalista
Periaate
Brewsterin kulma saadaan Brewsterin laista. Brewsterin kulmassa heijastunut ja taittunut säde ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, ja heijastuskulma on sama kuin tulokulma. Siksi tulokulma ja taitekulma ovat yhteensä $90^\circ$.
Kaava
$\tan\alpha_\text{B}$$= \dfrac{n_2}{n_1}$$\alpha_\text{B} + \alpha_2 = 90^\circ$, josta
$\alpha_2$$= 90^\circ - \tan^{-1}\dfrac{n_2}{n_1}$Muunnokset
Ei tarvita: taitekertoimet ovat yksiköttömiä, ja kulmat ovat asteina.
Sijoitus
$\alpha_2$$= 90^\circ - \tan^{-1}\dfrac{1{,}50}{1{,}00}$$= 90^\circ - 56{,}31^\circ$$= 33{,}69^\circ$Vastaus
$33{,}7^\circ$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taitekertoimet.
Järkevyys
Valo tulee ilmasta lasiin, joten se taittuu normaalia kohti, ja taitekulman pitää olla pienempi kuin tulokulma $56{,}3^\circ$, kuten tuloksessa. Tarkistus taittumislailla: $1{,}00 \cdot \sin 56{,}31^\circ = 0{,}832$ ja $1{,}50 \cdot \sin 33{,}69^\circ = 0{,}832$.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.
- Tehtävä 15-10
Kaksi ihanteellista polarisaattoria on ristissä, joten niiden läpi ei pääse valoa. Niiden väliin asetetaan kolmas polarisaattori, jonka läpäisysuunta on $30{,}0^\circ$:n kulmassa ensimmäisen polarisaattorin läpäisysuuntaan nähden. Ensimmäiseen polarisaattoriin tulee polarisoimatonta valoa, jonka intensiteetti on $800\,\text{W/m}^2$.
Kuinka suuri on viimeisen polarisaattorin läpi tulevan valon intensiteetti?
Vastaus
$75{,}0\,\text{W/m}^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
polarisoimattoman valon intensiteetti $I_0 = 800\,\text{W/m}^2$, ensimmäisen ja viimeisen polarisaattorin läpäisysuunnat kohtisuorassa, keskimmäisen läpäisysuunta $30{,}0^\circ$:n kulmassa ensimmäiseen nähden
Kysytty
viimeisen polarisaattorin läpi tulevan valon intensiteetti $I_3$ yksikössä $\text{W/m}^2$
Periaate
Ensimmäinen polarisaattori puolittaa polarisoimattoman valon. Sen jälkeen jokaiseen polarisaattoriin tulee polarisoitunutta valoa, joten kuhunkin sovelletaan Malusin lakia edellisen polarisaattorin läpäisysuunnasta mitatulla kulmalla. Keskimmäinen on $30{,}0^\circ$:n kulmassa ensimmäiseen, joten viimeiseen se on $90{,}0^\circ - 30{,}0^\circ = 60{,}0^\circ$:n kulmassa.
Kaava
$I_1 = \tfrac{1}{2} I_0$, $I_2 = I_1 \cos^2\theta_1$ ja $I_3 = I_2 \cos^2\theta_2$, josta $I_3 = \tfrac{1}{2} I_0 \cos^2\theta_1 \cos^2\theta_2$, missä $\theta_1 = 30{,}0^\circ$ ja $\theta_2 = 60{,}0^\circ$
Muunnokset
Ei tarvita: intensiteetti pysyy yksikössä $\text{W/m}^2$, ja kulmat ovat asteina.
Sijoitus
$I_3$$= \tfrac{1}{2} \cdot 800\,\text{W/m}^2 \cdot \cos^2 30{,}0^\circ \cdot \cos^2 60{,}0^\circ$$= 400\,\text{W/m}^2 \cdot 0{,}750 \cdot 0{,}250$$= 75{,}0\,\text{W/m}^2$Vastaus
$75{,}0\,\text{W/m}^2$
Kolme merkitsevää numeroa kuten kulmat $30{,}0^\circ$ ja $60{,}0^\circ$.
Järkevyys
Ilman keskimmäistä polarisaattoria läpi ei tulisi mitään. Keskimmäisen kalvon jälkeen valo on polarisoitunut $30^\circ$:n kulmaan, joten sillä on komponentti viimeisen kalvon läpäisysuunnassa. Suurin mahdollinen arvo kulmalla $45^\circ$ olisi $400\,\text{W/m}^2 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 100\,\text{W/m}^2$, ja tulos on sitä pienempi, kuten pitää.
- Tehtävä 15-11
Sukeltaja katsoo altaan pohjalta ylöspäin. Altaan pohjalla olevan lampun valo osuu veden alta vedenpintaan, ja osa siitä heijastuu takaisin veteen. Veden taitekerroin on $1{,}33$ ja ilman $1{,}00$.
Millä tulokulmalla takaisin veteen heijastunut valo on täysin polarisoitunutta?
Vastaus
$36{,}9^\circ$
Näytä ratkaisu
Annettu
veden taitekerroin $n_1 = 1{,}33$ (valo tulee vedestä ja heijastuu veteen), ilman taitekerroin $n_2 = 1{,}00$
Kysytty
tulokulma $\alpha_\text{B}$ asteina, jolla vedenpinnasta takaisin veteen heijastunut valo on täysin polarisoitunutta
Periaate
Heijastunut valo on täysin polarisoitunutta Brewsterin kulmassa, jossa heijastunut ja taittunut säde ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Brewsterin laissa $n_1$ on sen aineen taitekerroin, josta valo tulee ja johon se heijastuu, eli tässä veden, ja $n_2$ sen aineen, johon valo taittuu, eli ilman. Taittunut säde on olemassa vain, jos tulokulma on pienempi kuin rajakulma $\sin\alpha_\text{r} = n_2 : n_1$.
Kaava
$\tan\alpha_\text{B}$$= \dfrac{n_2}{n_1}$josta
$\alpha_\text{B}$$= \tan^{-1}\dfrac{n_2}{n_1}$Muunnokset
Ei tarvita: taitekertoimet ovat yksiköttömiä, ja kulma saadaan asteina.
Sijoitus
$\alpha_\text{B}$$= \tan^{-1}\dfrac{1{,}00}{1{,}33}$$= \tan^{-1} 0{,}7519$$= 36{,}94^\circ$Vastaus
$36{,}9^\circ$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taitekertoimet.
Järkevyys
Rajakulma on $\sin^{-1}(1{,}00 : 1{,}33) = 48{,}8^\circ$, ja $36{,}9^\circ$ on sitä pienempi, joten osa valosta taittuu ilmaan ja Brewsterin kulma on olemassa. Taitekulma ilmassa on $90^\circ - 36{,}94^\circ = 53{,}06^\circ$, mikä on ilmasta veteen tulevan valon Brewsterin kulma: säteen kulku on käännettävissä.
- Tehtävä 15-12
Opiskelija mittaa puhelimen näytön polarisoitunutta valoa valoanturilla, jonka edessä on polarisaattorikalvo.
Kun kalvon läpäisysuunta on näytön polarisaation suuntainen, anturi näyttää $420\,\text{lx}$. Kun kalvoa on kierretty siitä $90{,}0^\circ$, anturi näyttää $16\,\text{lx}$. Tämä lukema on huoneen taustavaloa, joka lisää jokaiseen lukemaan saman verran.
Oletetaan, että taustavalo ei riipu kalvon asennosta, kalvo on ihanteellinen ja anturin lukema on verrannollinen valon intensiteettiin.
Mitä anturi näyttää, kun kalvoa on kierretty $60{,}0^\circ$ suurimman lukeman asennosta?
Vastaus
$117\,\text{lx}$
Näytä ratkaisu
Annettu
lukema $E_\text{max} = 420\,\text{lx}$, kun kalvo on näytön polarisaation suuntainen; lukema $E_\text{t} = 16\,\text{lx}$, kun kalvoa on kierretty $90{,}0^\circ$ (taustavalo); kiertokulma $\theta = 60{,}0^\circ$
Kysytty
anturin lukema $E$ luksiyksikössä kulmalla $60{,}0^\circ$
Periaate
Lukema on näytön polarisoituneen valon osuuden ja taustavalon summa. Kulmalla $90^\circ$ näytön valoa ei pääse läpi, joten lukema $16\,\text{lx}$ on pelkkää taustavaloa. Näytön valon osuus on suurimmillaan $E_\text{max} - E_\text{t}$, ja Malusin lain mukaan se pienenee kertoimella $\cos^2\theta$. Lukema on verrannollinen intensiteettiin, joten Malusin laki koskee myös lukemaa.
Kaava
$E = (E_\text{max} - E_\text{t}) \cos^2\theta + E_\text{t}$
Muunnokset
Ei tarvita: lukemat ovat luksiyksikössä, ja kulma on asteina.
Sijoitus
$E$$= (420\,\text{lx} - 16\,\text{lx}) \cdot \cos^2 60{,}0^\circ + 16\,\text{lx}$$= 404\,\text{lx} \cdot 0{,}250 + 16\,\text{lx}$$= 117\,\text{lx}$Vastaus
$117\,\text{lx}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten lukema $420\,\text{lx}$.
Järkevyys
Ilman taustavaloa tulos olisi $420\,\text{lx} \cdot 0{,}250 = 105\,\text{lx}$. Taustavalon osuus ei muutu kalvoa kierrettäessä, joten lukeman pitää olla vähän suurempi, kuten tuloksessa. Tulos on suurimman lukeman ja taustavalon välissä, kuten pitää.
Valokuvat
- Plastic Protractor Polarized 05375. Nevit Dilmen. lähde, CC BY-SA 3.0
