Polttoaineet ja lämpöarvo $E = Hm$

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 5-1Ydintehtävä

   Moottorisahaan ostettiin huoltoasemalta $2{,}0\,\text{kg}$ bensiiniä. Bensiinin lämpöarvo on $43\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$. Kuinka paljon energiaa bensiinin palaessa vapautuu? Anna vastaus megajouleina.

   MJTarkista
   Vastaus

   $86\,\text{MJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   bensiini, massa $m = 2{,}0\,\text{kg}$ ja lämpöarvo $H = 43\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$

   Kysytty

   palamisessa vapautuva energia $E$ megajouleina

   Periaate

   Bensiinin kemiallinen energia vapautuu palaessa. Lämpöarvo kertoo vapautuvan energian yhtä kilogrammaa kohti. Siksi energia on lämpöarvon ja massan tulo.

   Kaava

   $E = Hm$

   Muunnokset

   Ei tarvita: massa on jo kilogrammoina ja vastaus halutaan megajouleina, kuten lämpöarvossa.

   Sijoitus

   $E$$= 43\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}} \cdot 2{,}0\,\text{kg}$

   $= 86\,\text{MJ}$

   Vastaus

   $86\,\text{MJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $2{,}0\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Yksi kilogramma antaa $43\,\text{MJ}$. Kaksi kilogrammaa antaa siis kaksinkertaisen määrän, noin $2 \cdot 40\,\text{MJ} = 80\,\text{MJ}$. Tulos on oikeaa suuruusluokkaa, ja se on positiivinen.

2. Tehtävä 5-2Ydintehtävä

   Kaasukattilassa poltetaan talvipäivänä $2{,}0\,\text{kg}$ maakaasua. Lue maakaasun lämpöarvo kuvan pylväskaaviosta. Kuinka paljon energiaa kaasusta vapautuu? Anna vastaus megajouleina.

   MJTarkista
   Vastaus

   $96\,\text{MJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   maakaasun massa $m = 2{,}0\,\text{kg}$; lämpöarvo $H = 48\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$ luetaan kuvasta

   Kysytty

   vapautuva energia $E$ megajouleina

   Periaate

   Kun kaasu palaa, sen kemiallinen energia muuntuu lämmöksi. Vapautuva energia on verrannollinen massaan. Siksi käytetään lämpöarvon määritelmää.

   Kuvaajan lukeminen

   Pylväskaavion ylin pylväs on maakaasun. Sen päässä on luku $48$. Vaaka-akselin yksikkö on $\text{MJ/kg}$, joten $H = 48\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$. Pylvään pää on myös vähän ennen ruudukon viivaa $50$.

   Kaava

   $E = Hm$

   Muunnokset

   Ei tarvita: massa on kilogrammoina ja lämpöarvo megajouleina kilogrammaa kohti. Siksi energia tulee megajouleina.

   Sijoitus

   $E$$= 48\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}} \cdot 2{,}0\,\text{kg}$

   $= 96\,\text{MJ}$

   Vastaus

   $96\,\text{MJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $2{,}0\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Kaasun lämpöarvo on noin $50\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$. Kahdesta kilogrammasta saadaan siis noin $100\,\text{MJ}$. Tulos on hieman pienempi, koska $48 < 50$.

3. Tehtävä 5-3

   Kivihiilivoimalaitos polttaa tunnissa $12\,000\,\text{kg}$ kivihiiltä, jonka lämpöarvo on $26\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$. Kuinka paljon energiaa kivihiilestä vapautuu tunnissa? Anna vastaus megajouleina.

   MJTarkista
   Vastaus

   $310\,000\,\text{MJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kivihiili, massa $m = 12\,000\,\text{kg}$ ja lämpöarvo $H = 26\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$

   Kysytty

   tunnissa vapautuva energia $E$ megajouleina

   Periaate

   Kivihiilen kemiallinen energia vapautuu palaessa. Vapautuva energia on lämpöarvon ja massan tulo. Massa on jo kilogrammoina, kuten lämpöarvo vaatii.

   Kaava

   $E = Hm$

   Muunnokset

   Ei tarvita: massa on kilogrammoina ja vastaus halutaan megajouleina, kuten lämpöarvossa.

   Sijoitus

   $E$$= 26\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}} \cdot 12\,000\,\text{kg}$

   $= 312\,000\,\text{MJ}$

   Vastaus

   $310\,000\,\text{MJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lämpöarvossa $26\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$.

   Järkevyys

   Karkeasti

   $10\,000\,\text{kg} \cdot 30\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$

   $= 300\,000\,\text{MJ}$

   Voimalaitos saa tunnissa paljon energiaa. Syy on se, että polttoainetta kuluu tunnissa noin kymmenen tonnia.

4. Tehtävä 5-4

   Lämpölaitoksen varastosta kuljetetaan polttoon $400\,\text{kg}$ jyrsinturvetta, jonka lämpöarvo on $10\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$. Kuinka paljon energiaa turpeesta vapautuu? Anna vastaus megajouleina.

   MJTarkista
   Vastaus

   $4000\,\text{MJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jyrsinturve, massa $m = 400\,\text{kg}$ ja lämpöarvo $H = 10\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$

   Kysytty

   vapautuva energia $E$ megajouleina

   Periaate

   Kun turve palaa, sen kemiallinen energia vapautuu. Energia on lämpöarvon ja massan tulo.

   Kaava

   $E = Hm$

   Muunnokset

   Ei tarvita: massa on jo kilogrammoina.

   Sijoitus

   $E$$= 10\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}} \cdot 400\,\text{kg}$

   $= 4000\,\text{MJ}$

   Vastaus

   $4000\,\text{MJ}$

   Eli $4{,}0 \cdot 10^3\,\text{MJ}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten lämpöarvossa $10\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$.

   Järkevyys

   Turpeen lämpöarvo on pieni. Siksi sata kilogrammaa antaa vain $1000\,\text{MJ}$. Neljä kertaa enemmän massaa antaa neljä kertaa enemmän energiaa, $4000\,\text{MJ}$.

5. Tehtävä 5-5

   Retkeilijän pähkinäsekoituksen energiasisältö on $24\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$ (esimerkkiarvo). Kourallinen pähkinöitä painaa $0{,}040\,\text{kg}$. Kuinka paljon energiaa kourallisesta saadaan? Anna vastaus megajouleina.

   MJTarkista
   Vastaus

   $0{,}96\,\text{MJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pähkinät, energiasisältö $e = 24\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$ ja massa $m = 0{,}040\,\text{kg}$

   Kysytty

   pähkinöiden sisältämä energia $E$ megajouleina

   Periaate

   Ruoan energia lasketaan samalla tavalla kuin polttoaineen. Energiasisältö on energia, jonka elimistö pystyy hyödyntämään, kilogrammaa kohti. Siksi energia on energiasisällön ja massan tulo. Energiasisältö ei ole lämpöarvo, vaikka yksikkö on sama.

   Kaava

   $E = em$

   Muunnokset

   Ei tarvita: massa on kilogrammoina ja vastaus halutaan megajouleina.

   Sijoitus

   $E$$= em$

   $= 24\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}} \cdot 0{,}040\,\text{kg}$

   $= 0{,}96\,\text{MJ}$

   Vastaus

   $0{,}96\,\text{MJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}040\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Arvio pyöristetyillä luvuilla: $25\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}} \cdot 0{,}04\,\text{kg} = 1\,\text{MJ}$, joten $0{,}96\,\text{MJ}$ on oikeaa suuruusluokkaa. Se on noin $1000\,\text{kJ}$. Pienessä välipalassa on tyypillisesti näin paljon energiaa.

6. Tehtävä 5-6

   Bensiinin lämpöarvo on $43\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$. Mitä tämä tarkoittaa?

   Valitse vaihtoehto.

   • Bensiini palaa kuumemmalla liekillä kuin muut polttoaineet. Luku $43\,\text{MJ}$ kertoo liekin lämpötilan.
   • Yhden megajoulen energian saamiseksi bensiiniä pitää aina polttaa $43\,\text{kg}$. Määrällä ei ole väliä.
   • Jokaisesta poltetusta bensiinikilogrammasta syntyy uutta energiaa $43\,\text{MJ}$. Sitä ei ollut ennen palamista.
   • Yhdestä kilogrammasta bensiiniä vapautuu palaessa energiaa $43\,\text{MJ}$.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Yhdestä kilogrammasta bensiiniä vapautuu palaessa energiaa $43\,\text{MJ}$.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mitä bensiinin lämpöarvo $H = 43\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$ kertoo

   Periaate

   Lämpöarvo kertoo, kuinka paljon energiaa vapautuu, kun polttoainetta palaa yksi massayksikkö. Siksi sen yksikkö $\text{MJ/kg}$ on energia jaettuna massalla. Lämpöarvo ei ole lämpötila. Energiaa ei myöskään synny tyhjästä: kemiallinen energia muuttuu lämmöksi ja valoksi.

   Mallivastaus

   Yhdestä kilogrammasta bensiiniä vapautuu palaessa energiaa $43\,\text{MJ}$. Kahdesta kilogrammasta vapautuu kaksi kertaa niin paljon: $E = Hm = 43\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}} \cdot 2{,}0\,\text{kg} = 86\,\text{MJ}$. Lämpöarvo ei kerro liekin lämpötilaa. Se ei myöskään tarkoita, että energiaa syntyisi uutena.

7. Tehtävä 5-7

   Pelletinpolttimessa halutaan vapauttaa puupelleteistä energiaa $255\,\text{MJ}$. Pellettien lämpöarvo on $17\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$. Kuinka monta kilogrammaa pellettejä pitää polttaa? Anna vastaus kilogrammoina.

   kgTarkista
   Vastaus

   $15\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vapautuvan energian pitää olla $E = 255\,\text{MJ}$ ja pellettien lämpöarvo $H = 17\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$

   Kysytty

   poltettava pellettien massa $m$ kilogrammoina

   Periaate

   Pellettien kemiallinen energia vapautuu palaessa. Vapautuva energia on lämpöarvon ja massan tulo. Massan saa jakamalla tarvittavan energian lämpöarvolla.

   Kaava

   $E = Hm$, josta $m = \dfrac{E}{H}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: energia on megajouleina ja lämpöarvo on megajouleina kilogrammaa kohti. Massa tulee siis kilogrammoina.

   Sijoitus

   $m$$= \dfrac{255\,\text{MJ}}{17\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}}$

   $= 15\,\text{kg}$

   Vastaus

   $15\,\text{kg}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lämpöarvossa $17\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$.

   Järkevyys

   Yksi kilogramma antaa $17\,\text{MJ}$. Siksi $15\,\text{kg}$ antaa $15 \cdot 17\,\text{MJ} = 255\,\text{MJ}$. Se on tehtävän energia.

8. Tehtävä 5-8

   Kolmesta kilogrammasta maakaasua vapautuu palaessa energiaa $144\,\text{MJ}$. Kuinka paljon se on kilowattitunteina? Käytä yhteyttä $1\,\text{kWh} = 3{,}6\,\text{MJ}$. Anna vastaus kilowattitunteina.

   kWhTarkista
   Vastaus

   $40\,\text{kWh}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   maakaasun massa $m = 3{,}0\,\text{kg}$ ja vapautuva energia $E = 144\,\text{MJ}$

   Kysytty

   energia $E$ kilowattitunteina

   Periaate

   Megajoule ja kilowattitunti ovat saman suureen, energian, yksiköitä. Muunnos tehdään yhteydellä $1\,\text{kWh} = 3{,}6\,\text{MJ}$. Energian arvo ei muutu. Vain yksikkö vaihtuu.

   Kaava

   $E$ kilowattitunteina:

   $E$$= \dfrac{144\,\text{MJ}}{3{,}6\,\text{MJ/kWh}}$

   Muunnokset

   $1\,\text{kWh} = 3{,}6\,\text{MJ}$, josta $1\,\text{MJ} = 1\,\text{kWh} : 3{,}6$.

   Sijoitus

   $E$$= \dfrac{144\,\text{MJ}}{3{,}6\,\text{MJ/kWh}}$

   $= 40\,\text{kWh}$

   Vastaus

   $40\,\text{kWh}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten energiassa $144\,\text{MJ}$ (muunnoskerroin $3{,}6$ on tarkka).

   Järkevyys

   Yksi kilowattitunti on $3{,}6\,\text{MJ}$, joten $40\,\text{kWh}$ on $40 \cdot 3{,}6\,\text{MJ} = 144\,\text{MJ}$. Se on sama kuin tehtävässä. Kilowattitunteja on vähemmän kuin megajoulejen lukumäärä, koska yksi kilowattitunti on suurempi energia kuin yksi megajoule.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 5-9Ydintehtävä

   Leipäpaketin ravintoarvomerkinnässä (esimerkki) lukee: energia $1200\,\text{kJ}$ sadassa grammassa. Leipäviipale painaa $40\,\text{g}$. Kuinka paljon energiaa viipaleessa on? Anna vastaus kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $480\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   merkinnän mukaan $1200\,\text{kJ}$ sadassa grammassa, viipaleen massa $m = 40\,\text{g}$

   Kysytty

   viipaleen energia $E$ kilojouleina

   Periaate

   Merkintä kertoo ruoan energiasisällön massayksikköä kohti. Se on energia, jonka elimistö pystyy hyödyntämään. Se ei ole lämpöarvo, mutta lasku tehdään samalla tavalla. Merkintä muutetaan megajouleiksi kilogrammaa kohti ja kerrotaan massalla.

   Kaava

   $E = em$, missä energiasisältö $e$ on merkinnän energia jaettuna merkinnän massalla

   Muunnokset

   $1200\,\text{kJ}$$= 1200 \cdot (1 : 1000)\,\text{MJ}$

   $= 1{,}2\,\text{MJ}$

   $100\,\text{g}$$= 100 \cdot (1 : 1000)\,\text{kg}$

   $= 0{,}100\,\text{kg}$

   $40\,\text{g}$$= 40 \cdot (1 : 1000)\,\text{kg}$

   $= 0{,}040\,\text{kg}$

   Sijoitus

   $e$$= 1{,}2\,\text{MJ} : 0{,}100\,\text{kg}$

   $= 12\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$

   $E$$= 12\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}} \cdot 0{,}040\,\text{kg}$

   $= 0{,}48\,\text{MJ}$

   $= 480\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $480\,\text{kJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $40\,\text{g}$.

   Järkevyys

   Viipale on $40\,\%$ sadasta grammasta, ja $40\,\%$ luvusta $1200\,\text{kJ}$ on $0{,}4 \cdot 1200\,\text{kJ} = 480\,\text{kJ}$. Tulos on pienempi kuin $1200\,\text{kJ}$, kuten pitää.

2. Tehtävä 5-10Ydintehtävä

   Työmaan dieselgeneraattorin pitää saada polttoaineesta vapautumaan energiaa $1{,}8\,\text{GJ}$. Dieselin lämpöarvo on $43\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$. Kuinka monta kilogrammaa dieseliä on poltettava? Anna vastaus kilogrammoina.

   kgTarkista
   Vastaus

   $42\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vapautuvan energian pitää olla $E = 1{,}8\,\text{GJ}$, dieselin lämpöarvo $H = 43\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$

   Kysytty

   poltettavan dieselin massa $m$ kilogrammoina

   Periaate

   Lain $E = Hm$ mukaan energia on lämpöarvon ja massan tulo. Nyt energia tunnetaan ja massa on kysytty. Siksi laki ratkaistaan massalle.

   Kaava

   $E = Hm$, josta $m = \dfrac{E}{H}$

   Muunnokset

   $1{,}8\,\text{GJ}$$= 1{,}8 \cdot 1000\,\text{MJ}$

   $= 1800\,\text{MJ}$

   Sijoitus

   $m$$= 1800\,\text{MJ} : 43\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$

   $= 41{,}86\,\text{kg}$

   Vastaus

   $42\,\text{kg}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten tiedoissa $1{,}8\,\text{GJ}$ ja $43\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$.

   Järkevyys

   Yksi kilogramma antaa noin $43\,\text{MJ}$, joten $42\,\text{kg}$ antaa noin $42 \cdot 43\,\text{MJ} \approx 1800\,\text{MJ}$, mikä on $1{,}8\,\text{GJ}$.

3. Tehtävä 5-11

   Omakotitalon pelletinpolttimessa poltetaan $40\,\text{kg}$ puupellettejä, joiden lämpöarvo on $17\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$. Kattilan hyötysuhde on $85\,\%$. Kuinka paljon pelleteistä saadaan talon lämmitykseen hyötyenergiaa? Anna vastaus megajouleina.

   MJTarkista
   Vastaus

   $580\,\text{MJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   puupelletti, massa $m = 40\,\text{kg}$ ja lämpöarvo $H = 17\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$; kattilan hyötysuhde $\eta = 85\,\% = 0{,}85$

   Kysytty

   hyötyenergia $E_\text{hyöty}$ megajouleina

   Periaate

   Pelletit vapauttavat energiaa $E_\text{sisään} = Hm$. Hyötysuhde on hyödyksi saadun energian osuus otetusta energiasta (luku Hyötysuhde). Siksi vain osa vapautuvasta energiasta päätyy talon lämmitykseen.

   Kaava

   $E_\text{sisään}$$= Hm$

   $\eta$$= \dfrac{E_\text{hyöty}}{E_\text{sisään}}$

   josta $E_\text{hyöty} = \eta\, E_\text{sisään}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: massa on kilogrammoina ja $85\,\% = 0{,}85$.

   Sijoitus

   $E_\text{sisään}$$= 17\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}} \cdot 40\,\text{kg}$

   $= 680\,\text{MJ}$

   $E_\text{hyöty}$$= 0{,}85 \cdot 680\,\text{MJ}$

   $= 578\,\text{MJ}$

   Vastaus

   $580\,\text{MJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten tiedoissa $40\,\text{kg}$ ja $85\,\%$.

   Järkevyys

   Hyötyenergia on pienempi kuin vapautunut $680\,\text{MJ}$. Syy on se, että osa lämmöstä menee savukaasujen mukana. Arvio: $0{,}85 \approx 0{,}9$ ja $0{,}9 \cdot 680\,\text{MJ} \approx 610\,\text{MJ}$, joten $578\,\text{MJ}$ on oikeaa suuruusluokkaa.

4. Tehtävä 5-12

   Henkilöauto tarvitsee $100\,\text{km}$:n ajamiseen liikkumiseen hyötyenergiaa $48\,\text{MJ}$. Moottorin hyötysuhde on $25\,\%$. Bensiinin lämpöarvo on $43\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$. Kuinka monta kilogrammaa bensiiniä kuluu $100\,\text{km}$:n matkalla? Anna vastaus kilogrammoina.

   kgTarkista
   Vastaus

   $4{,}5\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   hyötyenergia $E_\text{hyöty} = 48\,\text{MJ}$, hyötysuhde $\eta = 25\,\% = 0{,}25$, bensiinin lämpöarvo $H = 43\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$

   Kysytty

   bensiinin massa $m$ kilogrammoina

   Periaate

   Moottori muuntaa vain osan bensiinin energiasta liikkumiseen (luku Hyötysuhde). Ensin lasketaan hyötysuhteesta, paljonko energiaa bensiinistä tarvitaan. Sitten lasketaan laista $E = Hm$ massa.

   Kaava

   $\eta$$= \dfrac{E_\text{hyöty}}{E_\text{sisään}}$

   josta

   $E_\text{sisään}$$= \dfrac{E_\text{hyöty}}{\eta}$

   $E_\text{sisään} = Hm$, josta $m = \dfrac{E_\text{sisään}}{H}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: $25\,\% = 0{,}25$ ja energiat ovat megajouleina.

   Sijoitus

   $E_\text{sisään}$$= 48\,\text{MJ} : 0{,}25$

   $= 192\,\text{MJ}$

   $m$$= 192\,\text{MJ} : 43\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$

   $= 4{,}465\,\text{kg}$

   Vastaus

   $4{,}5\,\text{kg}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten tiedoissa $48\,\text{MJ}$ ja $25\,\%$.

   Järkevyys

   Bensiinin tiheys on noin $0{,}74\,\tfrac{\text{kg}}{\textsf{l}}$, joten $4{,}5\,\text{kg}$ on noin $6\,\textsf{l}$. Se on tyypillinen kulutus sadalla kilometrillä. Bensiinin energia $192\,\text{MJ}$ on neljä kertaa hyötyenergia. Syy on se, että hyötysuhde on neljäsosa.

5. Tehtävä 5-13

   Taulukossa on esimerkkiaineisto polttopuun tehollisesta lämpöarvosta eri kosteuksilla. Tehollinen lämpöarvo on se energia, joka puusta oikeasti saadaan lämmitykseen. Saunan lämmitykseen tarvitaan polttopuusta energiaa $200\,\text{MJ}$.

   Laske taulukon lämpöarvoilla tarvittava puun massa, kun kosteus on $20\,\%$ ja kun se on $40\,\%$. Kuinka monta kilogrammaa enemmän kosteaa ($40\,\%$) puuta tarvitaan kuin ilmakuivaa ($20\,\%$) puuta? Anna vastaus kilogrammoina.

   Esimerkkiaineisto: polttopuun tehollinen lämpöarvo kosteuden mukaan

   Kosteus $(\%)$	$H\,(\text{MJ/kg})$
   0	19,0
   10	16,9
   20	14,7
   30	12,6
   40	10,4
   50	8,3

   kgTarkista
   Vastaus

   $5{,}6\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   tarvittava energia $E = 200\,\text{MJ}$; taulukosta lämpöarvo $H_{20} = 14{,}7\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$ kosteudella $20\,\%$ ja $H_{40} = 10{,}4\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$ kosteudella $40\,\%$

   Kysytty

   massojen erotus $\Delta m = m_{40} - m_{20}$ kilogrammoina

   Periaate

   Kummastakin puusta pitää vapautua sama energia. Lain $E = Hm$ mukaan massa on energia jaettuna lämpöarvolla. Kostea puu antaa kilogrammaa kohti vähemmän energiaa. Osa sen massasta on vettä, joka ei pala. Veden höyrystäminen myös kuluttaa energiaa.

   Kaava

   $E = Hm$, josta $m = \dfrac{E}{H}$, ja $\Delta m = m_{40} - m_{20}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: energia on megajouleina ja lämpöarvot ovat megajouleina kilogrammaa kohti.

   Sijoitus

   $m_{20}$$= 200\,\text{MJ} : 14{,}7\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$

   $= 13{,}61\,\text{kg}$

   $m_{40}$$= 200\,\text{MJ} : 10{,}4\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$

   $= 19{,}23\,\text{kg}$

   Erotus on

   $\Delta m$$= 19{,}23\,\text{kg} - 13{,}61\,\text{kg}$

   $= 5{,}62\,\text{kg}$

   Vastaus

   Kosteaa puuta tarvitaan $5{,}6\,\text{kg}$ enemmän, kaksi merkitsevää numeroa kuten tiedoissa $200\,\text{MJ}$.

   Järkevyys

   Lämpöarvojen suhde on $14{,}7 : 10{,}4 = 1{,}41$. Kostean puun massa on siis noin $1{,}41$ kertaa niin suuri: $1{,}41 \cdot 13{,}61\,\text{kg} = 19{,}2\,\text{kg}$. Kostea puu antaa vähemmän energiaa kilogrammaa kohti, joten massaa tarvitaan enemmän. Erotus on positiivinen.

6. Tehtävä 5-14

   Oppilas laski tehtävän: ”Voimalaitos polttaa $3{,}0\,\text{t}$ kivihiiltä. Kivihiilen lämpöarvo on $26\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$. Energia on $E = Hm = 26 \cdot 3{,}0\,\text{MJ} = 78\,\text{MJ}$.” Missä oppilaan virhe on?

   Valitse vaihtoehto.

   • Massaa ei muutettu kilogrammoiksi: $3{,}0\,\text{t} = 3000\,\text{kg}$, joten oikea tulos on $78\,000\,\text{MJ}$.
   • Tulos olisi pitänyt antaa kilowattitunteina, joten oikea tulos on $78\,\text{kWh}$.
   • Kivihiilen lämpöarvo on väärä, koska oikea arvo olisi $43\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$, joten tulos on $129\,\text{MJ}$.
   • Lämpöarvo olisi pitänyt jakaa massalla, joten oikea tulos on $26 : 3{,}0 = 8{,}7\,\text{MJ}$.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Massaa ei muutettu kilogrammoiksi: $3{,}0\,\text{t} = 3000\,\text{kg}$, joten oikea tulos on $78\,000\,\text{MJ}$.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   missä oppilaan laskussa on virhe ja mikä on oikea tulos

   Periaate

   Lämpöarvo on energia yhtä kilogrammaa kohti. Siksi kaavassa $E = Hm$ massa pitää sijoittaa kilogrammoina. Tonni ei ole kilogramma: $1\,\text{t} = 1000\,\text{kg}$.

   Mallivastaus

   Oppilas sijoitti massan tonneina, vaikka lämpöarvon yksikkö on $\text{MJ/kg}$. Oikein $3{,}0\,\text{t} = 3{,}0 \cdot 1000\,\text{kg} = 3000\,\text{kg}$ ja $E = Hm = 26\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}} \cdot 3000\,\text{kg} = 78\,000\,\text{MJ}$. Oppilaan tulos $78\,\text{MJ}$ on tuhat kertaa liian pieni. Kaava, kivihiilen lämpöarvo ja vastauksen yksikkö $\text{MJ}$ olivat oikein. Tuhatkertaisen virheen huomaa myös arviosta: yksi kilogramma kivihiiltä antaa jo $26\,\text{MJ}$. Kolme tonnia antaa siis paljon enemmän kuin $78\,\text{MJ}$.

7. Tehtävä 5-15

   Esimerkkimittauksessa pellettipoltin ja sen pelletit olivat vaa’alla. Poltin paloi koko ajan tasaisesti. Vaa’an lukema $m$ merkittiin $10\,\text{min}$ välein.

   Piirrä massan kuvaaja ajan funktiona. Määritä kuvaajan kulmakertoimesta, kuinka monta kilogrammaa pellettejä palaa minuutissa. Pellettien lämpöarvo on $17\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$. Kuinka suuri teho palamisessa vapautuu? Anna vastaus kilowatteina.

   Esimerkkimittaus: pellettipolttimen ja pellettien massa

   $t\,(\text{min})$	$m\,(\text{kg})$
   0	12,00
   10	11,34
   20	10,71
   30	10,04
   40	9,40

   kWTarkista
   Vastaus

   $18\,\text{kW}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukko $(t, m)$, pellettien lämpöarvo $H = 17\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$; poltin palaa tasaisesti

   Kysytty

   palamisessa vapautuva teho $P$ kilowatteina

   Periaate

   Poltin palaa tasaisesti. Massa pienenee siis tasaisesti, ja kuvaaja $m(t)$ on suora. Suoran kulmakerroin kertoo, kuinka paljon massaa palaa minuutissa. Poltetusta massasta vapautuu energia $E = Hm$. Teho on energia aikayksikköä kohti, $P = E : t$ (luku Teho).

   Kuvaajan lukeminen

   Kun pisteet $(t, m)$ piirretään, ne ovat likimain samalla laskevalla suoralla. Massa pienenee joka $10$ minuutissa noin $0{,}65\,\text{kg}$. Pisteiden pieni hajonta kuuluu mittaukseen. Piirretään pisteiden kautta sopiva suora. Kulmakerroin luetaan suoran päistä, jotka osuvat pisteisiin $(0\,\text{min}, 12{,}00\,\text{kg})$ ja $(40\,\text{min}, 9{,}40\,\text{kg})$:

   $k$$= \dfrac{9{,}40\,\text{kg} - 12{,}00\,\text{kg}}{40\,\text{min} - 0\,\text{min}}$

   $= -0{,}065\,\tfrac{\text{kg}}{\text{min}}$

   Miinus kertoo, että massa pienenee. Palavan massan nopeus on siis $0{,}065\,\tfrac{\text{kg}}{\text{min}}$.

   Kaava

   $E = Hm$ ja $P = \dfrac{E}{t}$, yhdessä $P = H \cdot \dfrac{m}{t}$

   Muunnokset

   $1\,\text{min} = 60\,\text{s}$, joten $0{,}065\,\tfrac{\text{kg}}{\text{min}} = 0{,}065\,\text{kg} : 60\,\text{s}$. Lämpöarvo on

   $17\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$$= 17 \cdot 10^{6}\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$

   ja $1\,\text{W} = 1\,\tfrac{\text{J}}{\text{s}}$.

   Sijoitus

   $P$$= 17 \cdot 10^{6}\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}} \cdot \dfrac{0{,}065\,\text{kg}}{60\,\text{s}}$

   $= 18\,417\,\text{W}$

   $= 18{,}4\,\text{kW}$

   Vastaus

   $18\,\text{kW}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lämpöarvossa $17\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$.

   Järkevyys

   Minuutissa palaa $0{,}065\,\text{kg}$. Silloin vapautuu

   $17\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}} \cdot 0{,}065\,\text{kg}$

   $= 1{,}1\,\text{MJ}$

   Se on

   $1{,}1\,\text{MJ} : 60\,\text{s}$$= 0{,}018\,\text{MJ/s}$

   $= 18\,\text{kW}$

   Se sopii omakotitalon pellettikattilan polttoaineteholle. Teho on vapautuva teho. Se ei ole talon saama hyötyteho.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 5-16

   Mökin lämmitykseen polttoaineesta pitää vapautua energiaa $120\,\text{MJ}$. Energian voi saada joko ilmakuivasta polttopuusta ($15\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$) tai kevyestä polttoöljystä ($43\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$). Laske kummankin polttoaineen tarvittava massa. Kerro sitten, kuinka monta kilogrammaa enemmän puuta kuin öljyä tarvitaan. Selitä myös, miksi puuta tarvitaan enemmän. Anna vastaus kilogrammoina.

   kgTarkista
   Vastaus

   $5{,}2\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   tarvittava energia $E = 120\,\text{MJ}$, ilmakuivan polttopuun $H_\text{puu} = 15\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$ ja polttoöljyn $H_\text{öljy} = 43\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$

   Kysytty

   kuinka monta kilogrammaa enemmän puuta kuin öljyä tarvitaan, $\Delta m = m_\text{puu} - m_\text{öljy}$

   Periaate

   Kummastakin polttoaineesta pitää vapautua sama energia $E$. Lain $E = Hm$ mukaan massa on energia jaettuna lämpöarvolla. Pienemmällä lämpöarvolla tarvitaan siis suurempi massa.

   Kaava

   $E = Hm$, josta $m = \dfrac{E}{H}$ kummallekin polttoaineelle, ja $\Delta m = m_\text{puu} - m_\text{öljy}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: energia on megajouleina ja lämpöarvot megajouleina kilogrammaa kohti.

   Sijoitus

   $m_\text{puu}$$= 120\,\text{MJ} : 15\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$

   $= 8{,}0\,\text{kg}$

   $m_\text{öljy}$$= 120\,\text{MJ} : 43\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$

   $= 2{,}79\,\text{kg}$

   Erotus:

   $\Delta m$$= 8{,}0\,\text{kg} - 2{,}79\,\text{kg}$

   $= 5{,}21\,\text{kg}$

   Vastaus

   Puuta tarvitaan $5{,}2\,\text{kg}$ enemmän, kaksi merkitsevää numeroa kuten tiedoissa $120\,\text{MJ}$ ja $15\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$. Puuta tarvitaan enemmän. Syy on se, että yksi kilogramma puuta sisältää vähemmän kemiallista energiaa kuin kilogramma öljyä.

   Järkevyys

   Puun massa on noin $2{,}9$ kertaa öljyn massa, koska $43 : 15 = 2{,}87$. Siksi $2{,}87 \cdot 2{,}79\,\text{kg} \approx 8{,}0\,\text{kg}$. Erotus on $2{,}87 - 1 = 1{,}87$ kertaa öljyn massa: $1{,}87 \cdot 2{,}79\,\text{kg} \approx 5{,}2\,\text{kg}$. Tulos on oikein.

2. Tehtävä 5-17

   Vaeltaja kantaa mukanaan ruokaa, jonka energiasisältö on $18\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$ (esimerkkiarvo). Ruokaa on $2{,}4\,\text{kg}$. Vaeltaja tarvitsee päivässä ruoasta energiaa $12\,\text{MJ}$.

   Montako päivän annosta ruoasta saadaan? Anna vastaus desimaalilukuna ja perustele laskusi.

   päivän annostaTarkista
   Vastaus

   $3{,}6$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ruoan energiasisältö $e = 18\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$, massa $m = 2{,}4\,\text{kg}$, päiväkulutus $12\,\text{MJ}$

   Kysytty

   päivän annosten määrä $N$, jonka ruoasta saadaan (desimaalilukuna)

   Periaate

   Ruoasta saatava kokonaisenergia saadaan kertomalla energiasisältö massalla. Polttoaineella tehdään samoin lailla $E = Hm$. Annoksia saadaan niin monta, kuin päiväkulutus mahtuu kokonaisenergiaan. Siksi $N = E : \text{päiväkulutus}$.

   Kaava

   $E = em$ ja päivien määrä $N = \dfrac{E}{12\,\text{MJ}}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: massa on kilogrammoina ja energia megajouleina.

   Sijoitus

   $E$$= 18\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}} \cdot 2{,}4\,\text{kg}$

   $= 43{,}2\,\text{MJ}$

   $N$$= 43{,}2\,\text{MJ} : 12\,\text{MJ}$

   $= 3{,}6$

   Vastaus

   $3{,}6$

   Päivän annosta, kaksi merkitsevää numeroa kuten tiedoissa $2{,}4\,\text{kg}$ ja $18\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$.

   Järkevyys

   Kolmen annoksen tarve on $36\,\text{MJ}$ ja neljän $48\,\text{MJ}$. Ruoassa on energiaa $43{,}2\,\text{MJ}$. Tulos on siis kolmen ja neljän välissä: ruoka riittää kolmeksi täydeksi päiväksi ja osaksi neljättä päivää.

3. Tehtävä 5-18

   Turvevoimalaitos polttaa tunnissa $36\,\text{t}$ jyrsinturvetta, jonka lämpöarvo on $10\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$. Laitoksen hyötysuhde sähköntuotannossa on $35\,\%$. Kuinka suuri on voimalaitoksen sähköteho? Anna vastaus megawatteina. Muista: $1\,\text{W} = 1\,\text{J/s}$ ja yksi tunti on $3600\,\text{s}$.

   MWTarkista
   Vastaus

   $35\,\text{MW}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   turve $m = 36\,\text{t}$ tunnissa, $H = 10\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$, sähköntuotannon hyötysuhde $\eta = 35\,\% = 0{,}35$, aika $t = 1\,\text{h}$

   Kysytty

   sähköteho $P$ megawatteina

   Periaate

   Turve vapauttaa tunnissa energian $E_\text{sisään} = Hm$. Hyötysuhteen mukaan vain osa $\eta$ siitä tulee sähköksi (luku Hyötysuhde). Teho on energia aikayksikköä kohti. Siksi teho = energia : aika (luku Teho: $P = \Delta E/\Delta t$).

   Kaava

   $E_\text{sisään} = Hm$, $E_\text{hyöty} = \eta\, E_\text{sisään}$ ja $P = \dfrac{E_\text{hyöty}}{t}$, yhdessä $P = \dfrac{\eta H m}{t}$

   Muunnokset

   $36\,\text{t}$$= 36 \cdot 1000\,\text{kg}$

   $= 36\,000\,\text{kg}$

   $1\,\text{h} = 3600\,\text{s}$. Koska $1\,\text{MJ/s} = 1\,\text{MW}$, tehon yksikkö tulee suoraan megawatteina.

   Sijoitus

   $E_\text{sisään}$$= 10\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}} \cdot 36\,000\,\text{kg}$

   $= 360\,000\,\text{MJ}$

   $E_\text{hyöty}$$= 0{,}35 \cdot 360\,000\,\text{MJ}$

   $= 126\,000\,\text{MJ}$

   $P$$= 126\,000\,\text{MJ} : 3600\,\text{s}$

   $= 35\,\text{MJ/s}$

   $= 35\,\text{MW}$

   Vastaus

   $35\,\text{MW}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten tiedoissa $10\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$ ja $35\,\%$.

   Järkevyys

   Jos kaikki turpeen energia muuttuisi sähköksi, teho olisi $360\,000\,\text{MJ} : 3600\,\text{s} = 100\,\text{MW}$. Hyötysuhteella $35\,\%$ saadaan $35\,\%$ siitä eli $35\,\text{MW}$. Se on tyypillinen pienen voimalaitoksen teho.

4. Tehtävä 5-19

   Taulukossa on esimerkkiaineisto omakotitalon lämmitykseen kuukausittain tarvittavasta hyötyenergiasta. Hyötyenergia on se energia, joka päätyy talon lämmitykseen. Talon voi lämmittää pellettikattilalla (pellettien lämpöarvo $17\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$, hyötysuhde $85\,\%$) tai kevyellä polttoöljyllä (lämpöarvo $43\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$, hyötysuhde $90\,\%$).

   a) Laske vuoden lämmitysenergia kilowattitunteina ja megajouleina.

   b) Laske pellettikattilassa vuodessa poltettavien pellettien massa.

   c) Laske vuodessa kuluva öljyn massa ja vertaa sitä pellettien massaan. Selitä, miksi massojen suhde ei ole sama kuin lämpöarvojen suhde.

   d) Pellettikattilan hyötysuhde laskee huonon säädön takia arvoon $70\,\%$. Kuinka monta kilogrammaa pellettejä kuluu silloin vuodessa enemmän? Miksi?

   Kirjoita vastauslaatikkoon kohdan b) tulos kilogrammoina.

   Esimerkkiaineisto: talon lämmitykseen tarvittava hyötyenergia kuukausittain

   Kuukausi	$E\,(\text{kWh})$
   Tammikuu	2100
   Helmikuu	1900
   Maaliskuu	1600
   Huhtikuu	1100
   Toukokuu	600
   Kesäkuu	250
   Heinäkuu	200
   Elokuu	250
   Syyskuu	600
   Lokakuu	1100
   Marraskuu	1600
   Joulukuu	2000

   kgTarkista
   Vastaus

   $3300\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukon kuukausienergiat (summa alla); pelletit $H_\text{p} = 17\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$, $\eta_\text{p} = 85\,\% = 0{,}85$; öljy $H_\text{ö} = 43\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$, $\eta_\text{ö} = 90\,\% = 0{,}90$; huonon säädön hyötysuhde $\eta_\text{p}' = 0{,}70$

   Kysytty

   pellettien vuosikulutus $m_\text{p}$ kilogrammoina; lisäksi vuoden hyötyenergia $E_\text{hyöty}$, öljyn massa $m_\text{ö}$ ja pellettien lisäkulutus hyötysuhteella $0{,}70$

   Periaate

   Taulukon energia on hyötyenergiaa, joka päätyy lämmitykseen. Hyötysuhde kertoo, kuinka suuri osa polttoaineesta vapautuvasta energiasta tulee hyötyenergiaksi. Siksi vapautuva energia on $E_\text{sisään} = E_\text{hyöty} : \eta$. Polttoaineen massa saadaan lailla $E = Hm$. Energia säilyy: se, mikä ei päädy lämmitykseen, menee savukaasujen ja kattilan häviöinä (luku Hyötysuhde).

   Kaava

   $E_\text{sisään}$$= \dfrac{E_\text{hyöty}}{\eta}$

   $E_\text{sisään} = Hm$, joten $m = \dfrac{E_\text{hyöty}}{\eta H}$

   Muunnokset

   $1\,\text{kWh} = 3{,}6\,\text{MJ}$, joten $E_\text{hyöty} = 13\,300 \cdot 3{,}6\,\text{MJ}$. Hyötysuhteet ovat $85\,\% = 0{,}85$, $90\,\% = 0{,}90$ ja $70\,\% = 0{,}70$.

   Sijoitus

   Kuukausien summa on

   $2100 + 1900 + 1600 + 1100 + 600 + 250 + 200 + 250 + 600 + 1100 + 1600 + 2000$

   $= 13\,300$

   joten

   $E_\text{hyöty}$$= 13\,300\,\text{kWh}$

   $= 13\,300 \cdot 3{,}6\,\text{MJ}$

   $= 47\,880\,\text{MJ}$

   Pelleteillä

   $E_\text{sisään}$$= 47\,880\,\text{MJ} : 0{,}85$

   $= 56\,329\,\text{MJ}$

   $m_\text{p}$$= 56\,329\,\text{MJ} : 17\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$

   $= 3313\,\text{kg}$

   Öljyllä

   $E_\text{sisään}$$= 47\,880\,\text{MJ} : 0{,}90$

   $= 53\,200\,\text{MJ}$

   $m_\text{ö}$$= 53\,200\,\text{MJ} : 43\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$

   $= 1237\,\text{kg}$

   Hyötysuhteella $0{,}70$ pelletteihin menee

   $47\,880\,\text{MJ} : 0{,}70$

   $= 68\,400\,\text{MJ}$

   $m_\text{p}'$

   $= 68\,400\,\text{MJ} : 17\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$

   $= 4024\,\text{kg}$

   Lisäkulutus on siis $4024\,\text{kg} - 3313\,\text{kg} = 710\,\text{kg}$.

   Vastaus

   Vuoden lämmitysenergia on $13\,300\,\text{kWh} = 47\,900\,\text{MJ}$. Pellettejä kuluu $3300\,\text{kg}$ eli noin $3{,}3$ tonnia, kaksi merkitsevää numeroa kuten hyötysuhteessa $85\,\%$ ja lämpöarvossa $17\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$. Öljyä kuluu $1200\,\text{kg}$. Huonolla säädöllä pellettejä kuluu noin $710\,\text{kg}$ enemmän. Pellettejä kuluu massana noin $2{,}7$ kertaa niin paljon kuin öljyä, mutta lämpöarvojen suhde on $43 : 17 = 2{,}5$. Ero johtuu hyötysuhteista. Öljykattilan hyötysuhde on suurempi ($0{,}90$ eikä $0{,}85$), joten öljyä tarvitaan vielä vähemmän: $2{,}5 \cdot (0{,}90 : 0{,}85) = 2{,}7$. Kun hyötysuhde laskee, kulutus kasvaa. Sama hyötyenergia pitää saada suuremmasta vapautuvasta energiasta, ja häviöt kasvavat.

   Järkevyys

   Karkea arvio: $13\,300\,\text{kWh}$ on noin $48\,000\,\text{MJ}$. Pelletit antavat $17\,\text{MJ}$ kilogrammaa kohti, joten ilman häviöitä tarvittaisiin $48\,000 : 17 = 2820\,\text{kg}$. Häviöiden takia määrä on suurempi: $2820\,\text{kg} : 0{,}85 = 3320\,\text{kg}$. Se sopii tulokseen. Talvikuukausina kulutus on suurin. Kesällä lämmitysenergiaa tarvitaan vain lämpimään veteen.

5. Tehtävä 5-20

   Rivitaloyhtiön lämmitykseen tarvitaan vuodessa hyötyenergiaa $36\,000\,\text{MJ}$ (esimerkkiaineisto). Taulukossa on kolme kattilavaihtoehtoa. Oletetaan, että polttoaine palaa täydellisesti. Oletetaan myös, että kattilan hyötysuhde pysyy vakiona.

   a) Laske kullekin vaihtoehdolle vuodessa tarvittava polttoaineen massa.

   b) Kuinka monta kilogrammaa enemmän polttopuuta kuin pellettejä kuluu vuodessa? Käytä a)-kohdan pyöristämättömiä massoja.

   c) Pellettikattilan hyötysuhde laskee vanhetessaan arvoon $75\,\%$. Laske pellettien kulutus silloin. Selitä, miten hyötysuhde vaikuttaa tarvittavaan polttoainemäärään.

   d) Perustele, miksi öljyä kuluu massana selvästi vähemmän kuin puuta, vaikka kattiloiden hyötysuhteet ovat samaa suuruusluokkaa.

   Kirjoita vastauslaatikkoon kohdan b) tulos kilogrammoina.

   Esimerkkiaineisto: kolme kattilavaihtoehtoa

   Kattila	$H\,(\text{MJ/kg})$	$\eta\,(\%)$
   Polttopuukattila (ilmakuiva puu)	15	70
   Pellettikattila	17	85
   Öljykattila	43	90

   kgTarkista
   Vastaus

   $940\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vuotuinen hyötyenergia $E_\text{hyöty} = 36\,000\,\text{MJ}$; taulukosta puu $H = 15\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$, $\eta = 0{,}70$; pelletit $H = 17\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$, $\eta = 0{,}85$; öljy $H = 43\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$, $\eta = 0{,}90$

   Kysytty

   puun ja pellettien massojen erotus $\Delta m = m_\text{puu} - m_\text{pelletti}$ kilogrammoina; lisäksi jokaisen polttoaineen massa ja pellettien kulutus hyötysuhteella $0{,}75$

   Periaate

   Malli: polttoaineesta vapautuva energia on $E_\text{sisään} = Hm$. Siitä vain osa $\eta$ tulee hyötyenergiaksi, $E_\text{hyöty} = \eta H m$. Mitä pienempi lämpöarvo ja hyötysuhde ovat, sitä suurempi massa tarvitaan. Malli on yksinkertainen: kattilan hyötysuhteen oletetaan pysyvän vakiona.

   Kaava

   $E_\text{hyöty} = \eta H m$, josta $m = \dfrac{E_\text{hyöty}}{\eta H}$, ja $\Delta m = m_\text{puu} - m_\text{pelletti}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: energia on megajouleina ja lämpöarvot ovat megajouleina kilogrammaa kohti. Prosentit suhdelukuina ovat $70\,\% = 0{,}70$, $85\,\% = 0{,}85$, $90\,\% = 0{,}90$ ja $75\,\% = 0{,}75$.

   Sijoitus

   $m_\text{puu}$$= \dfrac{36\,000\,\text{MJ}}{0{,}70 \cdot 15\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}}$

   $= 3429\,\text{kg}$

   $m_\text{pelletti}$$= \dfrac{36\,000\,\text{MJ}}{0{,}85 \cdot 17\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}}$

   $= 2491\,\text{kg}$

   $m_\text{öljy}$$= \dfrac{36\,000\,\text{MJ}}{0{,}90 \cdot 43\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}}$

   $= 930\,\text{kg}$

   Erotus on

   $\Delta m$$= 3429\,\text{kg} - 2491\,\text{kg}$

   $= 938\,\text{kg}$

   Hyötysuhteella $0{,}75$ pellettejä kuluu

   $m_\text{pelletti}'$$= \dfrac{36\,000\,\text{MJ}}{0{,}75 \cdot 17\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}}$

   $= 2824\,\text{kg}$

   Vastaus

   vastauslaatikkoon kohdan b) tulos $940\,\text{kg}$.
   a) Puuta kuluu $3400\,\text{kg}$, pellettejä $2500\,\text{kg}$ ja öljyä $930\,\text{kg}$.
   b) Puuta kuluu noin $940\,\text{kg}$ enemmän kuin pellettejä, kaksi merkitsevää numeroa kuten tiedoissa $36\,000\,\text{MJ}$.
   c) Pellettien kulutus nousee hyötysuhteella $0{,}75$ määrään $2800\,\text{kg}$, eli $330\,\text{kg}$ enemmän. Kun hyötysuhde laskee, osa vapautuvasta energiasta menee häviöihin. Samaan hyötyenergiaan tarvitaan siksi enemmän polttoainetta.
   d) Öljyä kuluu vähiten, koska sen lämpöarvo on yli kaksi kertaa niin suuri kuin puulla ja pelleteillä ($43 : 15 = 2{,}9$). Hyötysuhteet ovat samaa suuruusluokkaa ($0{,}90$ ja $0{,}70$). Lämpöarvo ratkaisee massan suuruusluokan.

   Järkevyys

   Arvio ilman häviöitä: puuta $36\,000 : 15 = 2400\,\text{kg}$ ja pellettejä $36\,000 : 17 = 2120\,\text{kg}$. Hyötysuhteet suurentavat nämä arvoihin $2400 : 0{,}70 = 3430\,\text{kg}$ ja $2120 : 0{,}85 = 2490\,\text{kg}$. Se sopii tulokseen. Pellettikattilan massa kasvaa $2824\,\text{kg} : 2491\,\text{kg} = 1{,}13$-kertaiseksi, ja $0{,}85 : 0{,}75 = 1{,}13$, kuten pitää.