RuukkilabraLukion fysiikka
FY7 · moduulin lopuksi

Sovella itsenäisesti

Näissä tehtävissä kukaan ei kerro, mitä kaavaa käyttää. Päätä itse, mitkä ilmiöt ja mallit tilanteeseen liittyvät, ratkaise tehtävä paperille ja perustele ratkaisusi, kuten ylioppilaskokeessa.

Viisi tehtävää kokoaa moduulin: varatun hiukkasen liikkeen sähkö- ja magneettikentässä, generaattorin ja induktion, sähköenergian siirron ja virtajohtimien välisen voiman, lämpösäteilyn, valon kulun valokuidussa, ohuen kalvon interferenssin sekä valon interferenssin hilassa. Jokaisessa päätät itse, mitkä mallit tilanteeseen sopivat, ja perustelet valintasi.

Ratkaise ensin itse paperille tai tietokoneelle. Saat käyttää laskinta, taulukkokirjaa ja kuvaajaohjelmaa. Kirjoita näkyviin perustelut, kaavat, sijoitukset ja vastaukset yksiköineen.

Ioni-istutin 16 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Laitteen mitat ja jännitteet ovat keksittyjä mutta samaa suuruusluokkaa kuin pienessä ioni-istuttimessa. Booriatomien massat: AME2020-atomimassataulukko (Wang ym., 2021); boori-10:n osuus luonnon boorista: IUPAC (2013).

Mikropiirien valmistuksessa piikiekkoon ammutaan boori-ioneja, jotta piin sähkönjohtavuus muuttuu halutulla tavalla. Ioni-istuttimessa ionilähteestä tulevat positiiviset ionit, joiden varaus on yksi alkeisvaraus, kiihdytetään jännitteellä, ne kulkevat nopeusvalitsimen läpi ja ohjataan analysointimagneetin kautta kiekkoon. Magneetin kentässä ionit kulkevat puoliympyrän, ja kiekkoon pääsevät vain ionit, joiden rata osuu kammion seinän rakoon. Luonnon boorista noin $19{,}9\,\%$ on isotooppia boori-10 ja loput boori-11:tä. Kiekkoon halutaan vain boori-11-ioneja.

Tiedot:

  • boori-11-ionin massa $m_{11} = 1{,}8281 \cdot 10^{-26}\,\text{kg}$ ja boori-10-ionin massa $m_{10} = 1{,}6627 \cdot 10^{-26}\,\text{kg}$
  • ionin varaus $e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$
  • kiihdytysjännite $U = 30{,}0\,\text{kV}$; ionien liike-energia ennen kiihdytystä on mitättömän pieni
  • nopeusvalitsimen levyjen etäisyys $d = 2{,}00\,\text{cm}$ ja magneettikenttä $B_\text{s} = 0{,}200\,\text{T}$
  • boori-11-ionien radan säde analysointimagneetissa $r = 40{,}0\,\text{cm}$.

Kuvassa kummankin magneettikentän suunta on paperiin sisään. Painovoiman vaikutus ioneihin on mitättömän pieni.

$\text{lähde}$
$U$
$\text{nopeusvalitsin}$
$\overline{B}_\text{s}$
$d$
$\overline{B}$
$r$
$\text{piikiekko}$
$\text{analysointimagneetti}$
  1. a) Valitsimen levyjen välinen jännite säädetään niin, että boori-11-ionit kulkevat valitsimen läpi suoraan. Mitkä voimat vaikuttavat valitsimessa suoraan kulkevaan ioniin, mihin suuntiin ne osoittavat ja miten niiden suuruudet suhtautuvat toisiinsa? Kumpi levy on positiivinen? Perustele. Voit havainnollistaa vastaustasi voimakuviolla. 3 p
  2. b) Kuinka suuri on boori-11-ionien nopeus kiihdytyksen jälkeen? 3 p
  3. c) Kuinka suuri jännite valitsimen levyjen välille on kytkettävä? 3 p
  4. d) Kuinka suuri analysointimagneetin magneettikentän on oltava? Jos valitsimen läpi pääsisi samalla nopeudella myös boori-10-ioneja, kuinka kaukana boori-11-ionien raosta ne osuisivat kammion seinään? 4 p
  5. e) Todellisuudessa ionien liike-energia kiihdytyksen jälkeen vaihtelee jopa $10\,\%$, koska ionilähteen olot ja kiihdytysjännite vaihtelevat. Insinööri ehdottaa: ”Analysointimagneetti on turha. Kaikki ionit kiihdytetään samalla jännitteellä, joten boori-10-ionit ovat nopeampia eivätkä pääse valitsimen läpi.” Arvioi ehdotusta. 3 p
Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

suoraan kulkevaan boori-11-ioniin vaikuttavat voimat ja kumpi valitsimen levy on positiivinen

Periaate

Valitsimessa ioniin vaikuttaa magneettinen voima, koska ioni liikkuu magneettikentässä, ja sähköinen voima, koska levyjen välillä on sähkökenttä. Painovoima on mitättömän pieni. Ioni kulkee suoraan tasaisella nopeudella vain, jos voimien summa on nolla, eli voimat ovat yhtä suuret ja vastakkaissuuntaiset. Magneettinen voima on kohtisuorassa sekä nopeutta että kenttää vastaan, ja sen suunta saadaan oikean käden säännöstä. Positiiviseen varaukseen vaikuttava sähköinen voima on sähkökentän suuntainen.

$+$
$-$
$\overline{E}$
$\overline{B}_\text{s}$
$\overline{F}_\text{m}$
$\overline{F}_\text{s}$
$\overline{v}$

Mallivastaus

Ioni liikkuu oikealle ja magneettikenttä osoittaa paperiin sisään. Oikean käden säännön mukaan positiiviseen ioniin vaikuttava magneettinen voima $\overline{F}_\text{m}$ osoittaa ylöspäin.
- Jotta ioni kulkisi suoraan, sähköisen voiman $\overline{F}_\text{s}$ on osoitettava alaspäin ja oltava yhtä suuri kuin magneettinen voima. Voimanuolet piirretään yhtä pitkiksi.
- Nopeus $\overline{v}$ piirretään erikseen omalla värillään, koska se ei ole voima.

Positiiviseen ioniin vaikuttava sähköinen voima on sähkökentän suuntainen, joten sähkökenttä $\overline{E}$ osoittaa alaspäin. Sähkökenttä osoittaa positiivisesta levystä negatiiviseen, joten ylempi levy on positiivinen. Valinta ei riipu ionin massasta: sama napaisuus sopii kaikille positiivisille ioneille.

b)

Annettu

kiihdytysjännite $U = 30{,}0\,\text{kV}$, ionin varaus $e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$ ja massa $m_{11} = 1{,}8281 \cdot 10^{-26}\,\text{kg}$; ionin liike-energia ennen kiihdytystä on mitättömän pieni

Kysytty

ionin nopeus $v$ kiihdytyksen jälkeen

Periaate

Kiihdytysvälin sähkökenttä tekee ioniin työn $W = eU$. Koska ionin liike-energia ennen kiihdytystä on mitättömän pieni eikä muita voimia ole, työ muuttuu kokonaan ionin liike-energiaksi (energiaperiaate).

Kaava

$eU = \tfrac{1}{2} m_{11} v^2$, josta $v = \sqrt{\dfrac{2eU}{m_{11}}}$

Muunnokset

$U$$= 30{,}0\,\text{kV}$
$= 30{,}0 \cdot 10^{3}\,\text{V}$

Sijoitus

$v$$= \sqrt{\dfrac{2 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 30{,}0 \cdot 10^{3}\,\text{V}}{1{,}8281 \cdot 10^{-26}\,\text{kg}}}$
$= \sqrt{5{,}258 \cdot 10^{11}\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}$
$= 7{,}251 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}$

Vastaus

$v \approx 7{,}25 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten kiihdytysjännitteessä.

Järkevyys

Nopeus on noin $0{,}24\,\%$ valon nopeudesta, joten klassinen liike-energian lauseke riittää. Ionin liike-energia $4{,}8 \cdot 10^{-15}\,\text{J}$ on pieni, mutta ioni on hyvin kevyt, joten nopeus on suuri.

c)

Annettu

$v = 7{,}251 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}$ (b-kohta), $B_\text{s} = 0{,}200\,\text{T}$ ja levyjen etäisyys $d = 2{,}00\,\text{cm}$

Kysytty

levyjen välinen jännite $U_\text{s}$

Periaate

Ioni kulkee suoraan, kun sähköinen voima $eE$ ja magneettinen voima $evB_\text{s}$ ovat yhtä suuret (a-kohta). Levyjen välinen sähkökenttä on homogeeninen, joten sen voimakkuus on levyjen välinen jännite jaettuna levyjen etäisyydellä.

Kaava

$eE = evB_\text{s}$, joten $E = vB_\text{s}$. Kun $E = U_\text{s} : d$, saadaan $U_\text{s} = Ed = vB_\text{s}d$.

Muunnokset

$d$$= 2{,}00\,\text{cm}$
$= 0{,}0200\,\text{m}$

Sijoitus

$E$$= 7{,}251 \cdot 10^{5}\,\text{m/s} \cdot 0{,}200\,\text{T}$
$= 1{,}450 \cdot 10^{5}\,\text{V/m}$
$U_\text{s}$$= 1{,}450 \cdot 10^{5}\,\text{V/m} \cdot 0{,}0200\,\text{m}$
$= 2900\,\text{V}$

Vastaus

$U_\text{s} \approx 2{,}90\,\text{kV}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

Järkevyys

Yksiköt sopivat yhteen, koska

$1\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 1\,\text{T}$$= 1\,\tfrac{\text{V}}{\text{m}}$

Jännite on noin kymmenesosa kiihdytysjännitteestä, mikä on helppo toteuttaa $2\,\text{cm}$:n levyvälillä.

d)

Annettu

$v = 7{,}251 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}$, $m_{11} = 1{,}8281 \cdot 10^{-26}\,\text{kg}$, $m_{10} = 1{,}6627 \cdot 10^{-26}\,\text{kg}$, $e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$ ja boori-11-ionien radan säde $r = 40{,}0\,\text{cm}$

Kysytty

analysointimagneetin magneettivuon tiheys $B$ ja boori-10-ionien osumakohdan etäisyys boori-11-ionien raosta

Periaate

Magneettinen voima on kohtisuorassa nopeutta vastaan, joten se ei muuta vauhtia vaan kääntää liikkeen suuntaa. Homogeenisessa kentässä ioni kulkee tasaista ympyräliikettä, ja magneettinen voima on sen keskeisvoima. Valitsimen jälkeen kaikilla ioneilla on sama nopeus, joten radan säde on suoraan verrannollinen ionin massaan. Puoliympyrän jälkeen ioni osuu seinään halkaisijan $2r$ päähän tulokohdasta, joten kahden ionilajin osumakohtien etäisyys on niiden halkaisijoiden erotus.

Kaava

$evB = \dfrac{m v^2}{r}$, josta $B = \dfrac{m_{11} v}{e r}$. Samalla nopeudella ja kentällä

$r_{10}$$= \dfrac{m_{10} v}{eB}$
$= \dfrac{m_{10}}{m_{11}}\,r$

ja osumakohtien etäisyys on

$\Delta x$$= 2r - 2r_{10}$
$= 2(r - r_{10})$

Muunnokset

$r$$= 40{,}0\,\text{cm}$
$= 0{,}400\,\text{m}$

Sijoitus

$mv$$= 1{,}8281 \cdot 10^{-26}\,\text{kg} \cdot 7{,}251 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}$
$= 1{,}3256 \cdot 10^{-20}\,\text{kg} \cdot \text{m/s}$

joten

$B$$= \dfrac{1{,}3256 \cdot 10^{-20}\,\text{kg} \cdot \text{m/s}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 0{,}400\,\text{m}}$
$= 0{,}2069\,\text{T}$

Boori-10-ionien säde on

$r_{10}$$= \dfrac{1{,}6627}{1{,}8281} \cdot 0{,}400\,\text{m}$
$= 0{,}3638\,\text{m}$

joten

$\Delta x$$= 2 \cdot (0{,}400\,\text{m} - 0{,}3638\,\text{m})$
$= 0{,}0724\,\text{m}$

Vastaus

$B \approx 0{,}207\,\text{T}$

Ja $\Delta x \approx 7{,}2\,\text{cm}$: boori-10-ionit osuisivat seinään noin $7\,\text{cm}$ lähemmäs ionien tulokohtaa kuin rako. Kentässä kolme merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa; etäisyys on kahden lähes yhtä suuren luvun erotus, joten siihen jää kaksi.

Järkevyys

Kenttä on samaa suuruusluokkaa kuin tavallisen sähkömagneetin kenttä. Massat eroavat noin $9\,\%$, joten säteetkin eroavat noin $9\,\%$ eli noin $3{,}6\,\text{cm}$, ja halkaisijat kaksinkertaisen määrän. Ero on paljon raon kokoa suurempi, joten magneetti erottaa isotoopit varmasti.

e)

Kysytty

voiko analysointimagneetin jättää pois, kun ionien liike-energia vaihtelee kiihdytyksen jälkeen jopa $10\,\%$

Periaate

Valitsimen läpi kulkevan ionin voimien tasapainosta $eE = evB_\text{s}$ supistuu varaus, eikä massa esiinny siinä lainkaan. Valitsin siis päästää suoraan läpi jokaisen ionin, jonka nopeus on $E : B_\text{s}$. Kiihdytyksen jälkeinen nopeus riippuu sekä massasta että liike-energiasta.

Mallivastaus

Ilman energian vaihtelua. Täyden kiihdytyksen saanut boori-10-ioni on kevyempi, joten sen nopeus on suurempi: $v_{10} = \sqrt{\dfrac{2eU}{m_{10}}}$. Kun sijoitetaan b-kohdan arvot ja massa $m_{10} = 1{,}6627 \cdot 10^{-26}\,\text{kg}$, saadaan $v_{10} \approx 7{,}60 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}$. Magneettinen voima on siihen suurempi kuin sähköinen, joten se kaartuu valitsimessa ylöspäin eikä pääse läpi. Tässä insinööri on oikeassa.

Energian vaihdellessa. Boori-10-ioni kulkee valitsimen läpi, jos sen nopeus on sama kuin boori-11-ionien eli $7{,}25 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}$. Silloin sen liike-energia on $\tfrac{1}{2} m_{10} v^2$, kun boori-11-ionin on $\tfrac{1}{2} m_{11} v^2$, eli suhde on $m_{10} : m_{11} = 1{,}6627 : 1{,}8281 \approx 0{,}91$. Boori-10-ioni, jonka liike-energia on noin $9\,\%$ täyttä pienempi, pääsee siis suoraan läpi. Kun energia vaihtelee jopa $10\,\%$, tällaisia ioneja on varmasti.

Johtopäätös. Ehdotus ei käy. Valitsin valitsee nopeuden, ei massaa, ja energian vaihdellessa sen läpi pääsee myös boori-10-ioneja. Vasta analysointimagneetti erottaa samalla nopeudella kulkevat ionit massan mukaan, koska radan säde on silloin suoraan verrannollinen massaan.

Hyväksytään myös

  • b-kohdan nopeuden voi laskea myös liike-energian kautta: ensin $W = eU = 4{,}806 \cdot 10^{-15}\,\text{J}$ ja sitten $v = \sqrt{2W : m_{11}}$.
  • d-kohdan etäisyyden voi laskea myös laskemalla ensin boori-10-ionien säde suoraan yhtälöstä $r_{10} = \dfrac{m_{10} v}{eB}$. Vastaukseksi hyväksytään $7{,}2$–$7{,}3\,\text{cm}$.
  • e-kohdassa riittää myös perustelu, jossa lasketaan boori-10-ionin kiihdytysjännite, jolla se saisi oikean nopeuden: $0{,}91 \cdot 30{,}0\,\text{kV} \approx 27{,}3\,\text{kV}$.

Yleisiä virheitä

  • Magneettinen voima piirretään nopeuden tai kentän suuntaan, tai sen suunta päätellään negatiivisen varauksen säännöllä.
  • Sähköinen voima piirretään levyistä riippumatta, ja ylemmästä levystä päätellään, että sähkökenttä osoittaa kohti positiivista levyä.
  • Nopeus piirretään voimakuvioon voimana tai voimien kanssa samalla värillä.
  • Kiihdytysjännitteen kilovoltit unohdetaan muuntaa volteiksi, jolloin nopeus on noin $32$ kertaa liian pieni.
  • c-kohdassa jännite lasketaan kaavalla $U = Ed$ ottamatta huomioon, että $E$ on ensin ratkaistava voimien tasapainosta.
  • d-kohdassa osumakohtien etäisyydeksi annetaan säteiden erotus eikä halkaisijoiden erotus.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Nimeää ioniin vaikuttavat voimat: magneettinen voima $\overline{F}_\text{m}$ ja sähköinen voima $\overline{F}_\text{s}$. Paino jätetään pois, koska se on mitättömän pieni. 1 p
Perustelee suunnat ja suuruudet: magneettinen voima on kohtisuorassa nopeutta ja kenttää vastaan ja osoittaa positiiviseen ioniin ylöspäin, sähköinen voima alaspäin, ja voimat ovat yhtä suuret, koska ioni kulkee suoraan tasaisella nopeudella. 1 p
Päättelee, että sähkökenttä osoittaa positiiviseen ioniin vaikuttavan sähköisen voiman suuntaan eli alaspäin, joten ylempi levy on positiivinen. 1 p

b)3 p

Perustelee energiaperiaatteella: sähkökentän ioniin tekemä työ $W = eU$ muuttuu ionin liike-energiaksi. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $eU = \tfrac{1}{2} m_{11} v^2$, josta $v = \sqrt{\dfrac{2eU}{m_{11}}}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $v \approx 7{,}25 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}$ 1 p

c)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $eE = evB_\text{s}$ ja homogeenisessa kentässä $E = U_\text{s} : d$, joten $U_\text{s} = vB_\text{s}d$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $E = vB_\text{s} \approx 1{,}45 \cdot 10^{5}\,\text{V/m}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $U_\text{s} \approx 2{,}90\,\text{kV}$ 1 p

d)4 p

Käyttää magneettista voimaa ympyräliikkeen keskeisvoimana: $evB = \dfrac{mv^2}{r}$, joten samalla nopeudella radan säde on suoraan verrannollinen massaan. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $B = \dfrac{m_{11}v}{er}$ ja $r_{10} = \dfrac{m_{10}}{m_{11}}\,r$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $B \approx 0{,}207\,\text{T}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Ionit osuvat seinään halkaisijan päähän tulokohdasta, joten osumakohtien etäisyys on $2(r - r_{10}) \approx 7{,}2\,\text{cm}$. 1 p

e)3 p

Toteaa, että valitsin päästää suoraan läpi jokaisen ionin, jonka nopeus on $E : B_\text{s}$, sen massasta ja varauksesta riippumatta: se valitsee nopeuden, ei massaa. 1 p
Laskee, että boori-10-ioni kulkee valitsimen läpi, jos sen liike-energia on $m_{10} : m_{11} \approx 0{,}91$ täydestä eli noin $9\,\%$ pienempi, mikä on mahdollista, kun energia vaihtelee jopa $10\,\%$. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Ehdotus ei käy: ilman energian vaihtelua insinööri olisi oikeassa, koska täyden kiihdytyksen saanut boori-10-ioni on nopeampi, mutta energian vaihdellessa valitsimen läpi pääsee myös boori-10-ioneja, ja vasta magneetti erottaa samalla nopeudella kulkevat ionit massan mukaan. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 16 (16 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

Napadynamo 16 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Dynamon tiedot ja jännitteen kuvaaja ovat keksittyjä mutta tyypillisiä: polkupyörän dynamovalo on yleensä $6\,\text{V}$ ja $3\,\text{W}$, ja napadynamossa on usein $28$ magneettinapaa.

Polkupyörän etupyörän napaan rakennetussa dynamossa pyörän mukana pyörii kestomagneettirengas, jossa on $28$ magneettinapaa vuorotellen pohjois- ja etelänapoina. Paikallaan pysyvässä käämissä on rautasydän, jonka läpi kulkeva magneettivuo vaihtaa suuntaansa aina, kun seuraava napa ohittaa sen. Siksi jännitteessä on $14$ jaksoa jokaista pyörän kierrosta kohti. Pyörän halkaisija renkaineen on $0{,}70\,\text{m}$. Dynamoon voidaan kytkeä valo, jonka nimellisjännite on $6{,}0\,\text{V}$ ja teho $3{,}0\,\text{W}$.

Pyöräilijä mittasi dynamon jännitteen oskilloskoopilla, kun valo oli pois päältä ja hän ajoi tasaisella vauhdilla. Kuvaaja on alla.

$10$
$20$
$30$
$40$
$50$
$60$
$70$
$80$
$90$
$-12$
$-8$
$-4$
$0$
$4$
$8$
$12$
$16$
$t\ (\text{ms})$
$u\ (\text{V})$
$0$
  1. a) Määritä kuvaajasta jännitteen taajuus ja tehollinen arvo. 3 p
  2. b) Kuinka suurella vauhdilla pyöräilijä ajoi? 3 p
  3. c) Valo palaa kunnolla, kun dynamon jännitteen tehollinen arvo on vähintään valon nimellisjännite. Arvioi pienin vauhti, jolla näin on, kun oletetaan, että valo saa saman jännitteen kuin tyhjäkäynnillä mitattiin. 3 p
  4. d) Pyöräilijä väittää: ”Kun valo on päällä, polkeminen on raskaampaa, vaikka dynamossa mikään ei hankaa toisiinsa. Kun valo on pois päältä, dynamo ei jarruta pyörää lainkaan.” Arvioi väitteen kumpaakin osaa. 3 p
  5. e) Kun valo on päällä, dynamon hyötysuhde on $60\,\%$. Kuinka suuren lisävoiman pyöräilijän on voitettava b-kohdan vauhdilla? Onko sillä merkitystä, kun ilmanvastus ja vierimisvastus ovat tällä vauhdilla yhteensä noin $10\,\text{N}$? 4 p
Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

dynamon jännitteen kuvaaja, kun valo on pois päältä

Kysytty

jännitteen taajuus $f$ ja tehollinen arvo $U$

Periaate

Jännite vaihtelee sinimuotoisesti, joten jaksonaika on yhden kokonaisen vaihtelun kesto ja taajuus sen käänteisluku. Tehollinen arvo on se tasajännite, joka tuottaisi vastukseen saman keskimääräisen tehon. Sinimuotoiselle jännitteelle se on huippuarvo jaettuna luvulla $\sqrt{2}$.

Kuvaajan lukeminen

Jännite alkaa nollasta ja palaa nollaan samaan suuntaan muuttuen kohdissa $30\,\text{ms}$, $60\,\text{ms}$ ja $90\,\text{ms}$: kolme jaksoa kestää $90\,\text{ms}$, joten $T = 90\,\text{ms} : 3 = 30\,\text{ms}$. Kolmen jakson lukeminen on tarkempaa kuin yhden. Huiput ovat kohdissa $7{,}5\,\text{ms}$, $37{,}5\,\text{ms}$ ja $67{,}5\,\text{ms}$ ruudukon viivalla $14\,\text{V}$, joten $e_0 = 14\,\text{V}$.

Kaava

$f = \dfrac{1}{T}$ ja $U = \dfrac{e_0}{\sqrt{2}}$

Muunnokset

$T = 30\,\text{ms} = 0{,}030\,\text{s}$

Sijoitus

$f$$= \dfrac{1}{0{,}030\,\text{s}}$
$= 33{,}3\,\text{Hz}$
$U$$= \dfrac{14\,\text{V}}{\sqrt{2}}$
$= 9{,}90\,\text{V}$

Vastaus

$f \approx 33\,\text{Hz}$

Ja $U \approx 9{,}9\,\text{V}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten kuvaajalta luetuissa arvoissa.

Järkevyys

Taajuus on pienempi kuin sähköverkon $50\,\text{Hz}$, mikä sopii pyörään, joka pyörii vain muutaman kierroksen sekunnissa. Tehollinen arvo on noin $70\,\%$ huippuarvosta, kuten sinimuotoisella jännitteellä kuuluu.

b)

Annettu

$f = 33{,}3\,\text{Hz}$ (a-kohta), $14$ jännitteen jaksoa pyörän kierrosta kohti ja pyörän halkaisija $D = 0{,}70\,\text{m}$

Kysytty

pyöräilijän vauhti $v$

Periaate

Magneettirenkaassa on $14$ pohjois- ja etelänavan paria. Kun yksi napapari ohittaa käämin, vuo käämin läpi tekee yhden kokonaisen vaihtelun, joten jännitteessä on $14$ jaksoa yhtä pyörän kierrosta kohti. Pyörän pyörimistaajuus on siksi $14$ kertaa pienempi kuin jännitteen taajuus. Kun pyörä vierii luistamatta, se etenee yhdellä kierroksella kehänsä pituuden $\pi D$.

Kaava

$f_\text{p}$$= \dfrac{f}{14}$
$v$$= \pi D f_\text{p}$
$= \pi D \cdot \dfrac{f}{14}$

Muunnokset

Vastaus muutetaan lopuksi: $1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}$.

Sijoitus

$f_\text{p}$$= \dfrac{33{,}3\,\text{Hz}}{14}$
$= 2{,}381\,\text{Hz}$
$v$$= \pi \cdot 0{,}70\,\text{m} \cdot 2{,}381\,\tfrac{1}{\text{s}}$
$= 5{,}236\,\text{m/s}$
$= 5{,}236 \cdot 3{,}6\,\text{km/h}$
$= 18{,}8\,\text{km/h}$

Vastaus

$v \approx 5{,}2\,\text{m/s} \approx 19\,\text{km/h}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten halkaisijassa ja jaksonajassa.

Järkevyys

Vauhti on tavallinen työmatkapyöräilyn vauhti. Pyörä pyörii vain noin kaksi ja puoli kierrosta sekunnissa, mutta $28$ napaa tekee jännitteen taajuudesta silti yli $30\,\text{Hz}$.

c)

Annettu

tyhjäkäynnin tehollinen jännite $U = 9{,}90\,\text{V}$ vauhdilla $v = 5{,}236\,\text{m/s}$ (a- ja b-kohta), valon nimellisjännite $U_\text{valo} = 6{,}0\,\text{V}$

Kysytty

pienin vauhti $v_\text{min}$, jolla tehollinen jännite on vähintään $6{,}0\,\text{V}$

Periaate

Generaattorin jännitteen huippuarvo on $e_0 = NBA \cdot 2\pi f$. Käämin kierrokset, magneettien kenttä ja pinta-ala pysyvät samoina, joten huippuarvo ja sen mukana tehollinen arvo ovat suoraan verrannollisia taajuuteen. Taajuus on puolestaan suoraan verrannollinen pyörän pyörimistaajuuteen ja vauhtiin. Siksi tehollinen jännite on suoraan verrannollinen vauhtiin: kun ajetaan hitaammin, magneetit ohittavat käämin hitaammin ja vuo muuttuu hitaammin.

Kaava

$\dfrac{v_\text{min}}{v}$$= \dfrac{U_\text{valo}}{U}$

josta

$v_\text{min}$$= v \cdot \dfrac{U_\text{valo}}{U}$

Muunnokset

Vastaus muutetaan lopuksi kilometreiksi tunnissa: $1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}$.

Sijoitus

$v_\text{min}$$= 5{,}236\,\text{m/s} \cdot \dfrac{6{,}0\,\text{V}}{9{,}90\,\text{V}}$
$= 3{,}17\,\text{m/s}$
$= 3{,}17 \cdot 3{,}6\,\text{km/h}$
$= 11{,}4\,\text{km/h}$

Vastaus

$v_\text{min} \approx 3{,}2\,\text{m/s} \approx 11\,\text{km/h}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

Järkevyys

Tulos on hidasta pyöräilyä mutta reippaampaa kuin kävely, joten kävelyvauhdilla valo jää himmeäksi. Oletus on kuitenkin karkea: kun valo on päällä, käämissä kulkee virta ja osa jännitteestä jää käämiin itseensä, joten valo saa vähemmän kuin tyhjäkäynnin jännitteen. Todellinen pienin vauhti on siksi jonkin verran suurempi.

d)

Kysytty

jarruttaako dynamo pyörää valon ollessa päällä ja pois päältä

Periaate

Kun käämi on suljetussa virtapiirissä, muuttuva vuo synnyttää siihen induktiovirran. Lenzin lain mukaan induktiovirran magneettikenttä vastustaa muutosta, joka sen synnyttää. Energian säilymisen mukaan valon säteilemä energia on tultava jostakin. Muuttuva magneettikenttä synnyttää myös johtaviin metalliosiin pyörrevirtoja.

Mallivastaus

Valo päällä. Käämissä kulkee induktiovirta, jonka magneettikenttä vastustaa vuon muutosta: se vetää lähestyvää magneettinapaa poispäin ja loittonevaa takaisin. Pyörivään magneettirenkaaseen kohdistuu siis jarruttava magneettinen voima, vaikka mikään ei kosketa toisiaan. Sama seuraa energian säilymisestä: valo säteilee energiaa, joka on peräisin pyöräilijän tekemästä työstä. Jos jarruttavaa voimaa ei olisi, valo saisi energiaa tyhjästä. Väitteen ensimmäinen osa pitää paikkansa.

Valo pois päältä. Piiri on auki, joten käämissä ei kulje virtaa eikä käämi jarruta. Magneettirenkaan muuttuva kenttä kuitenkin synnyttää pyörrevirtoja dynamon metalliosiin, esimerkiksi käämin rautasydämeen ja metalliseen napaan. Pyörrevirrat lämmittävät metallia ja jarruttavat pyörimistä Lenzin lain mukaisesti. Lisäksi rautasydämen magnetoituminen vaihtaa suuntaansa jatkuvasti, mikä vie hieman energiaa.

Johtopäätös. Väitteen toinen osa ei pidä tarkasti: dynamo jarruttaa pyörää hieman myös valon ollessa pois päältä. Jarrutus on silloin kuitenkin paljon pienempi kuin valon ollessa päällä, koska rautasydän tehdään ohuista eristetyistä levyistä, joissa pyörrevirrat jäävät pieniksi.

e)

Annettu

valon teho $P_\text{valo} = 3{,}0\,\text{W}$, dynamon hyötysuhde $\eta = 60\,\% = 0{,}60$, vauhti $v = 5{,}236\,\text{m/s}$ (b-kohta) sekä ilmanvastus ja vierimisvastus yhteensä noin $10\,\text{N}$

Kysytty

dynamon jarruttava lisävoima $F$ ja sen merkitys

Periaate

Dynamo muuttaa pyöräilijän työtä sähköenergiaksi. Valoon menee hyötysuhteen verran dynamon ottamasta tehosta, joten dynamon ottama teho on $P_\text{valo} : \eta$. Kun jarruttava voima vaikuttaa vauhdilla $v$ liikkuvaan pyörään, sen tekemän työn teho on $P = Fv$, kuten pyörrevirtajarrussa.

Kaava

$P_\text{otto}$$= \dfrac{P_\text{valo}}{\eta}$

$P_\text{otto} = Fv$, joten $F = \dfrac{P_\text{valo}}{\eta v}$

Muunnokset

Ei tarvita: teho on watteina ja vauhti metreinä sekunnissa.

Sijoitus

$P_\text{otto}$$= \dfrac{3{,}0\,\text{W}}{0{,}60}$
$= 5{,}0\,\text{W}$
$F$$= \dfrac{5{,}0\,\text{W}}{5{,}236\,\text{m/s}}$
$= 0{,}955\,\text{N}$

Vastaus

$F \approx 0{,}95\,\text{N}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten valon tehossa ja hyötysuhteessa.

Järkevyys

Ilmanvastus ja vierimisvastus ovat tällä vauhdilla yhteensä noin $10\,\text{N}$, joten valo lisää vastusta noin kymmenesosan. Ero tuntuu, mutta se on pieni; esimerkiksi $1\,\%$:n ylämäki lisää $90\,\text{kg}$:n pyöräilijälle ja pyörälle noin $9\,\text{N}$. Hitaammin ajettaessa sama teho vaatii suuremman voiman, joten valo tuntuu ylämäessä eniten.

Hyväksytään myös

  • a-kohdassa jaksonajan voi lukea yhdestäkin jaksosta, esimerkiksi kahden peräkkäisen huipun väliltä $37{,}5\,\text{ms} - 7{,}5\,\text{ms} = 30\,\text{ms}$.
  • b- ja c-kohdan vastaukset voi antaa metreinä sekunnissa; c-kohdassa hyväksytään $11$–$12\,\text{km/h}$.
  • c-kohdassa voi verrata huippuarvoja: valo tarvitsee huippuarvon $6{,}0\,\text{V} \cdot \sqrt{2} = 8{,}5\,\text{V}$, ja $v_\text{min} = v \cdot 8{,}5\,\text{V} : 14\,\text{V}$.

Yleisiä virheitä

  • Jaksonajaksi luetaan nollakohtien väli, joka on vain puoli jaksoa, jolloin taajuus on kaksinkertainen.
  • Tehollinen arvo lasketaan kertomalla huippuarvo luvulla $\sqrt{2}$ eikä jakamalla sillä.
  • b-kohdassa jännitteen taajuutta käytetään pyörän pyörimistaajuutena, jolloin vauhdiksi tulee yli $250\,\text{km/h}$.
  • Kehän pituutena käytetään säteen ja luvun $\pi$ tuloa tai halkaisijan ja luvun $2\pi$ tuloa.
  • d-kohdassa jarruttava vaikutus selitetään kitkalla tai sanotaan, että magneetti vetää rautaa puoleensa koko ajan samaan suuntaan.
  • e-kohdassa käytetään valon tehoa hyötysuhteella kerrottuna eikä jaettuna.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Kolme jaksoa kestää $90\,\text{ms}$, joten $T = 30\,\text{ms}$; huippuarvo $e_0 = 14\,\text{V}$ luetaan huipun kohdalta. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $f = \dfrac{1}{T}$ ja $U = \dfrac{e_0}{\sqrt{2}}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $f \approx 33\,\text{Hz}$ ja $U \approx 9{,}9\,\text{V}$ 1 p

b)3 p

Perustelee, että pyörä pyörii $14$ kertaa hitaammin kuin jännite vaihtelee, ja että pyörä etenee yhdellä kierroksella kehänsä pituuden $\pi D$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $v = \pi D \cdot \dfrac{f}{14}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $v \approx 5{,}2\,\text{m/s} \approx 19\,\text{km/h}$ 1 p

c)3 p

Perustelee, että jännitteen huippuarvo on suoraan verrannollinen pyörimistaajuuteen ja siis vauhtiin, koska magneetit ohittavat käämin sitä nopeammin ja vuo muuttuu sitä nopeammin, mitä kovempaa ajetaan. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $\dfrac{v_\text{min}}{v} = \dfrac{U_\text{valo}}{U}$, josta $v_\text{min} = v \cdot \dfrac{U_\text{valo}}{U}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $v_\text{min} \approx 3{,}2\,\text{m/s} \approx 11\,\text{km/h}$ 1 p

d)3 p

Selittää, että väitteen ensimmäinen osa pitää paikkansa: kun valo on päällä, käämissä kulkee induktiovirta, jonka magneettikenttä vastustaa sen synnyttävää muutosta eli jarruttaa pyörivää magneettirengasta. 1 p
Perustelee energian säilymisellä: valon säteilemä energia on peräisin pyöräilijän työstä, joten jokin voima jarruttaa pyörimistä, vaikka mikään ei hankaa. 1 p
Selittää, että väitteen toinen osa ei pidä tarkasti: valon ollessa pois päältä käämissä ei kulje virtaa, mutta muuttuva magneettikenttä synnyttää pyörrevirtoja dynamon metalliosiin, kuten rautasydämeen ja napaan, joten pieni jarrutus jää. 1 p

e)4 p

Yhdistää tehon ja voiman: jarruttavan voiman teho $P = Fv$ on dynamon ottama teho, joka on valon teho jaettuna hyötysuhteella. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $F = \dfrac{P_\text{valo}}{\eta v}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $F \approx 0{,}95\,\text{N}$ 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Lisävoima on noin kymmenesosa ilmanvastuksen ja vierimisvastuksen summasta $10\,\text{N}$: ero tuntuu, mutta se on pieni. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 16 (16 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

Kaivoksen sähköliittymä 17 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Kaivos, johto ja tehot ovat keksittyjä. Alumiinin resistiivisyys ja tiheys ovat taulukkoarvoja.

Kaivosyhtiö avaa uuden kaivoksen $25\,\text{km}$:n päähän lähimmältä sähköasemalta. Kaivokselle siirretään jatkuvasti noin $6{,}0\,\text{MW}$:n teho. Sähköasemalta voidaan rakentaa joko $20\,\text{kV}$:n johto suoraan kaivokselle tai $110\,\text{kV}$:n johto, jonka päähän kaivokselle rakennetaan muuntaja. Muuntaja laskee jännitteen $20\,\text{kV}$:iin kaivoksen omaa verkkoa varten.

Kummassakin vaihtoehdossa johdossa on kaksi alumiinijohdinta, joiden poikkipinta-ala on $150\,\text{mm}^2$. Alumiinin resistiivisyys on $2{,}82 \cdot 10^{-8}\,\Omega\,\text{m}$ ja tiheys $2700\,\text{kg/m}^3$.

Todelliset voimajohdot ovat kolmivaiheisia, mutta tässä riittää yksinkertainen malli: sähköasema lähettää tehon $6{,}0\,\text{MW}$ johtoon, teho lasketaan kuten tasavirralla, jännitteet ja virrat ovat tehollisia arvoja, ja muuntaja on ideaalinen.

  1. a) Kuinka suuri teho johdossa muuttuu lämmöksi, jos käytetään $20\,\text{kV}$:n johtoa? Kuinka monta prosenttia se on siirrettävästä tehosta? 3 p
  2. b) Kuinka suuri häviöteho on, jos käytetään $110\,\text{kV}$:n johtoa? 3 p
  3. c) Kaivoksen laitteet toimivat oikein, kun verkon jännite poikkeaa nimellisarvosta $20\,\text{kV}$ enintään $10\,\%$. Kuinka suuri jännite jää $20\,\text{kV}$:n johdon kaivoksen puoleiseen päähän? Kelpaako se? 3 p
  4. d) Kunnanvaltuutettu ehdottaa: ”Rakennetaan halvempi $20\,\text{kV}$:n johto ilman muuntajaa ja tehdään johtimista paksumpia, niin häviöt saadaan yhtä pieniksi kuin $110\,\text{kV}$:n johdolla.” Arvioi ehdotusta. 4 p
  5. e) Johdon kaksi johdinta kulkevat pylväissä rinnakkain $1{,}5\,\text{m}$:n etäisyydellä toisistaan. Vetävätkö johtimet toisiaan puoleensa vai hylkivätkö ne toisiaan? Kuinka suuri voima kohdistuu johtimen jokaiseen metriin $20\,\text{kV}$:n johdossa normaalikäytössä ja oikosulussa lähellä sähköasemaa, kun virta nousee hetkeksi $8{,}0\,\text{kA}$:iin? Onko voimalla merkitystä? Tyhjiön permeabiliteetti on $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$. 4 p
Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

siirrettävä teho $P = 6{,}0\,\text{MW}$, siirtojännite $U = 20\,\text{kV}$, johdon pituus $25\,\text{km}$, kaksi johdinta, poikkipinta-ala $A = 150\,\text{mm}^2$ ja resistiivisyys $\rho = 2{,}82 \cdot 10^{-8}\,\Omega\,\text{m}$

Kysytty

johdon häviöteho $P_\text{h}$ ja sen osuus siirrettävästä tehosta

Periaate

Virta kulkee kaivokselle toista johdinta pitkin ja palaa toista pitkin, joten virtapiirin johtimien pituus on $2 \cdot 25\,\text{km}$. Resistanssi saadaan resistiivisyydestä, pituudesta ja poikkipinta-alasta. Siirrettävä teho on jännitteen ja virran tulo, joten virta on teho jaettuna jännitteellä. Johdon resistanssissa lämmöksi muuttuva teho on resistanssin ja virran neliön tulo.

Kaava

$R = \rho \dfrac{l}{A}$, $I = \dfrac{P}{U}$ ja $P_\text{h} = R I^2$

Muunnokset

$l$$= 2 \cdot 25\,\text{km}$
$= 5{,}0 \cdot 10^{4}\,\text{m}$
$A$$= 150\,\text{mm}^2$
$= 150 \cdot 10^{-6}\,\text{m}^2$

$P = 6{,}0 \cdot 10^{6}\,\text{W}$ ja $U = 20 \cdot 10^{3}\,\text{V}$

Sijoitus

$R$$= 2{,}82 \cdot 10^{-8}\,\Omega\,\text{m} \cdot \dfrac{5{,}0 \cdot 10^{4}\,\text{m}}{150 \cdot 10^{-6}\,\text{m}^2}$
$= 9{,}40\,\Omega$
$I$$= \dfrac{6{,}0 \cdot 10^{6}\,\text{W}}{20 \cdot 10^{3}\,\text{V}}$
$= 300\,\text{A}$
$P_\text{h}$$= 9{,}40\,\Omega \cdot (300\,\text{A})^2$
$= 846\,000\,\text{W}$

Osuus on

$846\,\text{kW} : 6000\,\text{kW}$
$= 0{,}141$
$= 14{,}1\,\%$

Vastaus

$P_\text{h} \approx 850\,\text{kW}$

Eli noin $14\,\%$ siirrettävästä tehosta, kaksi merkitsevää numeroa kuten tehossa ja jännitteessä.

Järkevyys

Sähköverkon häviöt ovat Suomessa yhteensä vain muutamia prosentteja, joten $14\,\%$:n häviö yhdessä johdossa on aivan liian suuri. Pienellä jännitteellä tarvitaan suuri virta, ja häviö kasvaa virran neliönä.

b)

Annettu

a-kohdan tiedot ja resistanssi $R = 9{,}40\,\Omega$, siirtojännite $U = 110\,\text{kV}$

Kysytty

häviöteho $P_\text{h}$

Periaate

Sama teho siirretään $110 : 20 = 5{,}5$-kertaisella jännitteellä, joten virta on $5{,}5$ kertaa pienempi. Häviöteho on verrannollinen virran neliöön, joten se pienenee $5{,}5^2 \approx 30$-kertaisesti. Johtimet ovat samat, joten resistanssi on sama kuin a-kohdassa.

Kaava

$P_\text{h}$$= R I^2$
$= R\left(\dfrac{P}{U}\right)^2$

Muunnokset

$U$$= 110\,\text{kV}$
$= 110 \cdot 10^{3}\,\text{V}$

Sijoitus

$I$$= \dfrac{6{,}0 \cdot 10^{6}\,\text{W}}{110 \cdot 10^{3}\,\text{V}}$
$= 54{,}5\,\text{A}$
$P_\text{h}$$= 9{,}40\,\Omega \cdot (54{,}5\,\text{A})^2$
$= 27\,970\,\text{W}$

Osuus on $28{,}0\,\text{kW} : 6000\,\text{kW} \approx 0{,}47\,\%$.

Vastaus

$P_\text{h} \approx 28\,\text{kW}$

Eli noin $0{,}5\,\%$, kaksi merkitsevää numeroa kuten tehossa.

Järkevyys

$846\,\text{kW} : 28{,}0\,\text{kW} \approx 30$, kuten jännitteiden suhteen neliö ennusti. Häviö on nyt prosentin osia, mikä on sähkönsiirrossa tavallista.

c)

Annettu

$20\,\text{kV}$:n johdossa virta $I = 300\,\text{A}$ ja resistanssi $R = 9{,}40\,\Omega$ (a-kohta); sallittu poikkeama $10\,\%$

Kysytty

kaivokselle jäävä jännite $U_\text{k}$ ja kelpaako se

Periaate

Sähköasema pitää johdon alkupäässä jännitteen $20\,\text{kV}$. Johtimien resistanssin yli on jännitehäviö, joka on resistanssin ja virran tulo. Kaivokselle jää siirtojännitteen ja jännitehäviön erotus.

Kaava

$U_\text{k} = U - RI$

Muunnokset

$U = 20\,\text{kV} = 20\,000\,\text{V}$

Sijoitus

$RI$$= 9{,}40\,\Omega \cdot 300\,\text{A}$
$= 2820\,\text{V}$
$U_\text{k}$$= 20\,000\,\text{V} - 2820\,\text{V}$
$= 17\,180\,\text{V}$

Poikkeama on $2820\,\text{V} : 20\,000\,\text{V} \approx 14\,\%$.

Vastaus

$U_\text{k} \approx 17{,}2\,\text{kV}$

Mikä on noin $14\,\%$ nimellisarvoa pienempi. Se ei kelpaa, koska poikkeama on yli $10\,\%$. Kolme merkitsevää numeroa, jotta poikkeaman voi verrata rajaan.

Järkevyys

Jännitehäviön ja virran tulo $2820\,\text{V} \cdot 300\,\text{A} = 846\,\text{kW}$ on sama kuin a-kohdan häviöteho, kuten pitää. $110\,\text{kV}$:n johdossa jännitehäviö olisi vain $9{,}40\,\Omega \cdot 54{,}5\,\text{A} \approx 0{,}51\,\text{kV}$ eli alle $0{,}5\,\%$.

d)

Kysytty

voiko $20\,\text{kV}$:n johdon häviön saada yhtä pieneksi paksummilla johtimilla

Periaate

Häviöteho on $P_\text{h} = RI^2$. Kun jännite on $20\,\text{kV}$, virta on aina $300\,\text{A}$, joten ainoa keino pienentää häviötä on pienentää resistanssia. Resistanssi on kääntäen verrannollinen poikkipinta-alaan, ja johtimien massa on suoraan verrannollinen niiden tilavuuteen.

Mallivastaus

Tarvittava paksuus. Jotta häviö olisi sama kuin $110\,\text{kV}$:n johdossa, resistanssin on oltava $846\,\text{kW} : 28{,}0\,\text{kW} \approx 30$ kertaa pienempi. Poikkipinta-alan on siis oltava $30{,}25 \cdot 150\,\text{mm}^2 \approx 4500\,\text{mm}^2$. Umpinaisen pyöreän johtimen halkaisija olisi $2\sqrt{4{,}5 \cdot 10^{-3}\,\text{m}^2 : \pi} \approx 7{,}6\,\text{cm}$.

Alumiinin määrä. Nykyisten johtimien massa on $2700\,\text{kg/m}^3 \cdot 5{,}0 \cdot 10^{4}\,\text{m} \cdot 150 \cdot 10^{-6}\,\text{m}^2 \approx 20\,\text{t}$. Paksujen johtimien massa olisi $30$-kertainen, noin $610\,\text{t}$. Pylväiden pitäisi kantaa tämä kaikki, ja alumiini maksaisi moninkertaisesti muuntajan hinnan.

Miksi jännite kannattaa nostaa. Jännitteen nostaminen pienentää virtaa samassa suhteessa, ja häviö riippuu virran neliöstä: $5{,}5$-kertainen jännite pienentää häviön noin $30$:nteen osaan. Paksumpi johdin pienentää häviötä vain samassa suhteessa kuin poikkipinta-ala kasvaa, joten saman tuloksen saamiseksi johdinta on paksunnettava $30$-kertaisesti.

Johtopäätös. Ehdotus toimisi periaatteessa, mutta johto olisi valtavan raskas ja kallis. Siksi pitkät siirrot tehdään suurella jännitteellä ja jännite lasketaan muuntajalla vasta käyttöpaikan lähellä.

e)

Annettu

johtimien etäisyys $r = 1{,}5\,\text{m}$, virta normaalikäytössä $I = 300\,\text{A}$ (a-kohta) ja oikosulussa $I_\text{k} = 8{,}0\,\text{kA}$, $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$, johtimen poikkipinta-ala $A = 150\,\text{mm}^2$ ja alumiinin tiheys $\rho_\text{Al} = 2700\,\text{kg/m}^3$

Kysytty

vetävätkö vai hylkivätkö johtimet toisiaan, voima johtimen metriä kohti $F : l$ kummassakin tilanteessa ja sen merkitys

Periaate

Virta kulkee kaivokselle toista johdinta pitkin ja palaa toista pitkin, joten johtimissa kulkee yhtä suuri virta vastakkaisiin suuntiin. Kumpikin johdin on pitkä suora johdin, ja sen magneettikenttä toisen johtimen kohdalla saadaan suoran johtimen kentän kaavasta, koska johtimet ovat paljon pidempiä kuin niiden etäisyys. Kenttä on kohtisuorassa toista johdinta vastaan, joten siihen kohdistuu voima $F = IlB$. Oikean käden säännön mukaan vastakkaissuuntaiset virrat hylkivät toisiaan. Vaihtovirralla virrat vaihtavat suuntaa yhtä aikaa, joten ne ovat aina vastakkaissuuntaiset ja johtimet hylkivät toisiaan koko ajan. Johtimen metrin paino saadaan sen massasta, joka on tiheyden ja tilavuuden tulo.

Kaava

$B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$ ja $F = IlB$, joten

$\dfrac{F}{l}$$= \dfrac{\mu_0 I^2}{2\pi r}$

Painoa varten $\dfrac{G}{l} = \rho_\text{Al} A g$.

Muunnokset

$I_\text{k}$$= 8{,}0\,\text{kA}$
$= 8{,}0 \cdot 10^{3}\,\text{A}$
$A$$= 150\,\text{mm}^2$
$= 150 \cdot 10^{-6}\,\text{m}^2$

Sijoitus

Normaalikäytössä

$B$$= \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}} \cdot 300\,\text{A}}{2\pi \cdot 1{,}5\,\text{m}}$
$= 4{,}0 \cdot 10^{-5}\,\text{T}$
$\dfrac{F}{l}$$= 300\,\text{A} \cdot 4{,}0 \cdot 10^{-5}\,\text{T}$
$= 0{,}012\,\text{N/m}$

Oikosulussa

$B$$= \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}} \cdot 8{,}0 \cdot 10^{3}\,\text{A}}{2\pi \cdot 1{,}5\,\text{m}}$
$= 1{,}067 \cdot 10^{-3}\,\text{T}$
$\dfrac{F}{l}$$= 8{,}0 \cdot 10^{3}\,\text{A} \cdot 1{,}067 \cdot 10^{-3}\,\text{T}$
$= 8{,}53\,\text{N/m}$

Johtimen paino metriä kohti on

$\dfrac{G}{l}$$= 2700\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 150 \cdot 10^{-6}\,\text{m}^2 \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$
$= 3{,}97\,\text{N/m}$

Vastaus

Johtimet hylkivät toisiaan. Voima on normaalikäytössä noin $0{,}012\,\text{N}$ ja oikosulussa noin $8{,}5\,\text{N}$ johtimen jokaista metriä kohti, kaksi merkitsevää numeroa kuten etäisyydessä ja oikosulkuvirrassa. Normaalikäytössä voimalla ei ole merkitystä, mutta oikosulussa se on noin kaksinkertainen johtimen painoon nähden.

Järkevyys

Normaalikäytössä voima on vain noin $0{,}3\,\%$ johtimen painosta, noin $4{,}0\,\text{N}$ metriä kohti. Oikosulussa virta on noin $27$-kertainen, ja voima kasvaa virran neliönä, joten se on noin $710$-kertainen: $8{,}53 : 3{,}97 \approx 2{,}1$ kertaa johtimen paino. Pylväiden välillä roikkuvat johtimet heilahtavat silloin erilleen ja voivat heilahtaa takaisin ja lyödä yhteen. Siksi johtimien väli mitoitetaan oikosulun mukaan ja oikosulku katkaistaan sekunnin murto-osassa. Näin suuri virta on mahdollinen vain lähellä sähköasemaa, jossa johdon resistanssi vikapaikkaan asti on pieni.

Hyväksytään myös

  • a-kohdan voi laskea suoraan kaavalla $P_\text{h} = \dfrac{R P^2}{U^2}$, ja b-kohdan a-kohdan tuloksesta suhteella $P_\text{h,110} = P_\text{h,20} \cdot (20 : 110)^2$.
  • c-kohdassa voi verrata jännitehäviötä suoraan sallittuun poikkeamaan $0{,}10 \cdot 20\,\text{kV} = 2{,}0\,\text{kV}$.
  • d-kohdassa riittää arvio, joka perustuu siihen, että poikkipinta-alan ja massan on oltava noin $30$-kertaiset.
  • e-kohdan oikosulkuvoiman voi laskea normaalikäytön voimasta virtojen suhteen neliöllä: $0{,}012\,\text{N/m} \cdot (8000 : 300)^2 \approx 8{,}5\,\text{N/m}$.

Yleisiä virheitä

  • Johdon pituudeksi otetaan $25\,\text{km}$, vaikka virtapiirissä on kaksi johdinta, jolloin resistanssi ja häviöt ovat puolet liian pienet.
  • Poikkipinta-alan neliömillimetrit muunnetaan neliömetreiksi kertoimella $10^{-3}$ eikä $10^{-6}$.
  • Häviöteho lasketaan kaavalla $U^2 : R$ käyttäen siirtojännitettä, vaikka siirtojännite ei ole johdon resistanssin yli oleva jännite.
  • b-kohdassa oletetaan, että virta pysyy samana jännitteen kasvaessa.
  • d-kohdassa luullaan, että häviö pienenee paksuuden eli halkaisijan suhteessa, vaikka resistanssi riippuu poikkipinta-alasta.
  • e-kohdassa päätellään, että johtimet vetävät toisiaan puoleensa, vaikka virrat kulkevat niissä vastakkaisiin suuntiin.
  • e-kohdassa virtaa ei korota toiseen potenssiin, vaikka toisen johtimen kenttä ja johtimeen kohdistuva voima ovat kumpikin suoraan verrannollisia virtaan.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Laskee johtimien resistanssin koko virtapiirin pituudesta $2 \cdot 25\,\text{km}$: $R = \rho\dfrac{l}{A} \approx 9{,}4\,\Omega$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $I = \dfrac{P}{U}$ ja $P_\text{h} = RI^2$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $P_\text{h} \approx 850\,\text{kW}$ eli noin $14\,\%$ siirrettävästä tehosta 1 p

b)3 p

Perustelee, että sama teho kulkee $5{,}5$-kertaisella jännitteellä $5{,}5$ kertaa pienemmällä virralla, joten häviö pienenee $5{,}5^2 \approx 30$-kertaisesti. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $P_\text{h} = R\left(\dfrac{P}{U}\right)^2$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $P_\text{h} \approx 28\,\text{kW}$ eli noin $0{,}5\,\%$ 1 p

c)3 p

Perustelee, että osa siirtojännitteestä jää johtimien resistanssin yli: jännitehäviö on $RI$, ja kaivokselle jää siirtojännitteen ja jännitehäviön erotus. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $U_\text{k} = U - RI$ 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. $U_\text{k} \approx 17{,}2\,\text{kV}$ on noin $14\,\%$ nimellisarvoa pienempi, joten se ei kelpaa; $110\,\text{kV}$:n johdossa jännitehäviö on vain noin $0{,}5\,\text{kV}$ eli $0{,}5\,\%$. 1 p

d)4 p

Laskee, että resistanssin on oltava noin $30$ kertaa pienempi, joten poikkipinta-alan on oltava noin $4500\,\text{mm}^2$, mikä vastaa noin $7{,}6\,\text{cm}$:n paksuista umpinaista johdinta. 1 p
Arvioi alumiinin määrän: johtimien massa kasvaisi noin $20\,\text{t}$:sta noin $610\,\text{t}$:iin. 1 p
Selittää, miksi jännitteen nostaminen on tehokkaampaa: häviö riippuu virran neliöstä ja virta pienenee samassa suhteessa kuin jännite kasvaa, mutta paksumpi johdin pienentää häviötä vain samassa suhteessa kuin poikkipinta-ala kasvaa. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Ehdotus toimisi periaatteessa, mutta johto olisi valtavan raskas ja kallis. Siksi pitkät siirrot tehdään suurella jännitteellä. 1 p

e)4 p

Perustelee, että johtimissa kulkee yhtä suuri virta vastakkaisiin suuntiin, koska virta palaa sähköasemalle toista johdinta pitkin, ja että vastakkaissuuntaiset virrat hylkivät toisiaan. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Toisen johtimen magneettikenttä $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$ ja voima $F = IlB$, joten $\dfrac{F}{l} = \dfrac{\mu_0 I^2}{2\pi r}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. Normaalikäytössä $\dfrac{F}{l} \approx 0{,}012\,\text{N/m}$ ja oikosulussa noin $8{,}5\,\text{N/m}$. 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Vertaa johtimen painoon, noin $4{,}0\,\text{N}$ metriä kohti: normaalikäytössä voima on mitätön, mutta oikosulussa noin kaksinkertainen painoon nähden, joten johtimet heilahtavat erilleen ja voivat lyödä yhteen. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 17 (17 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

Valssaamon pyrometri 17 pistettä

Mallin laskemia arvoja · Spektri on laskettu mustan kappaleen säteilyn mallista. Teräksen, kuidun ja termoparin tiedot ovat keksittyjä esimerkkejä.

Terästehtaan kuumavalssaamossa hehkuva teräsaihio litistetään levyksi. Aihion lämpötilaa seurataan pyrometrillä, joka mittaa aihiosta tulevan säteilyn spektriä aallonpituuksilla noin $0{,}5$–$2{,}5\,\mu\text{m}$ koskematta aihioon. Valo kulkee valssien lähellä olevan suojaikkunan läpi ja johdetaan valokuidulla suojattuun mittalaitteeseen, koska mittalaite ei kestä kuumuutta.

Kuvassa on aihion lähettämän säteilyn spektri laajemmalla aallonpituusalueella, kun aihio oletetaan mustaksi kappaleeksi.

Tiedot:

  • vakio $b = 2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}$
  • kuidun ytimen taitekerroin $1{,}44$ ja kuoren $1{,}42$, ilman $1{,}00$
  • suojaikkunan lasin taitekerroin $1{,}50$; ikkunan pinnalla on ohut magnesiumfluoridikalvo, jonka taitekerroin on $1{,}38$.

Oletetaan, että taitekertoimet ovat samat kaikilla aallonpituuksilla.

$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$0{,}2$
$0{,}4$
$0{,}6$
$0{,}8$
$1{,}0$
$0$
$\lambda\ (\mu\text{m})$
$\text{suhteellinen intensiteetti}$
$\text{näkyvä}$
  1. a) Määritä aihion pinnan lämpötila celsiusasteina. 3 p
  2. b) Valssaaja ihmettelee: ”Kuvaajan mukaan aihio säteilee melkein kaiken infrapunana. Miksi se sitten hehkuu oranssinpunaisena?” Selitä. 3 p
  3. c) Kuidun päähän osuva valo jatkaa kuidussa vain, jos se heijastuu kokonaan ytimen ja kuoren rajapinnasta. Kuinka suuri on tämän rajapinnan rajakulma? Kuinka suuri saa olla valon tulokulma ilmasta kuidun päätypinnalle? 4 p
  4. d) Samasta aihiosta mitattiin sen sisään porattuun reikään työnnetyllä termoparilla lämpötila $1210\,{}^\circ\text{C}$. Työnjohtaja epäilee, että pyrometri näyttää väärin. Arvioi, onko a-kohdan tulos ristiriidassa termoparin lukeman kanssa ja mistä ero voi johtua. 4 p
  5. e) Suojaikkunan kalvo on suunniteltu niin, että ikkuna heijastaa mahdollisimman vähän spektrin huipun aallonpituudella $2{,}0\,\mu\text{m}$, kun valo tulee kohtisuoraan. Kuinka paksu on ohuin kalvo, joka toimii näin? Asentaja huomaa, että ikkunasta heijastuu päivänvalossa vihertävää valoa, ja epäilee kalvon olevan väärä. Arvioi epäilyä. 3 p
Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

aihion säteilyn spektri (kuvaaja) ja $b = 2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}$

Kysytty

aihion pinnan lämpötila celsiusasteina

Periaate

Kuuman kappaleen lämpösäteilyn spektri on jatkuva, ja sen huippu siirtyy lyhyempiin aallonpituuksiin lämpötilan kasvaessa. Mustan kappaleen spektrin huipun aallonpituuden ja absoluuttisen lämpötilan tulo on vakio (Wienin siirtymälaki). Aihio oletetaan mustaksi kappaleeksi, kuten kuvaaja tekee.

Kuvaajan lukeminen

Käyrän huippu on ruudukon pystysuoralla viivalla $2{,}0\,\mu\text{m}$:n kohdalla, joten $\lambda_\text{max} = 2{,}0\,\mu\text{m}$. Huippu on loiva, joten sen paikan voi lukea noin $\pm 0{,}05\,\mu\text{m}$:n tarkkuudella (d-kohta).

Kaava

$\lambda_\text{max} T = b$, josta $T = \dfrac{b}{\lambda_\text{max}}$, Celsiusasteina lämpötilan lukuarvo on $273$ pienempi kuin kelvineinä.

Muunnokset

$\lambda_\text{max}$$= 2{,}0\,\mu\text{m}$
$= 2{,}0 \cdot 10^{-6}\,\text{m}$

Sijoitus

$T$$= \dfrac{2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}}{2{,}0 \cdot 10^{-6}\,\text{m}}$
$= 1449\,\text{K}$

joten

$t$$= (1449 - 273)\,{}^\circ\text{C}$
$\approx 1176\,{}^\circ\text{C}$

Vastaus

$T \approx 1450\,\text{K}$

Eli $t \approx 1180\,{}^\circ\text{C}$, kolme merkitsevää numeroa, koska huippu on ruudukon viivalla; lukutarkkuuden vaikutus arvioidaan d-kohdassa.

Järkevyys

Kuumavalssattava teräs on tyypillisesti noin $1100$–$1250\,{}^\circ\text{C}$:n lämpötilassa, ja se hehkuu oranssinpunaisena, kuten tuloksen mukaan kuuluu. Lämpötila on selvästi teräksen sulamispistettä, noin $1500\,{}^\circ\text{C}$, pienempi, kuten pitää, koska aihio on kiinteä.

b)

Kysytty

miksi aihio hehkuu oranssinpunaisena, vaikka spektrin huippu on infrapuna-alueella

Periaate

Lämpösäteilyn spektri on jatkuva: kappale säteilee kaikilla aallonpituuksilla, mutta eri määrän kullakin. Silmä näkee vain aallonpituudet noin $0{,}38$–$0{,}75\,\mu\text{m}$, ja hehkun väri riippuu siitä, miten säteily jakautuu tällä alueella.

Mallivastaus

Kuvaajassa käyrä alkaa nousta jo näkyvän valon alueella, vaikka se näyttää siellä lähes nollalta. Näkyvää valoa on siis vain pieni osa koko säteilystä, mutta sitä on. Näkyvällä alueella intensiteetti kasvaa jyrkästi aallonpituuden kasvaessa, joten punaista ja oranssia valoa on paljon enemmän kuin vihreää tai sinistä. Siksi hehku näyttää oranssinpunaiselta eikä valkoiselta.

Kuuma aihio säteilee kokonaisuudessaan valtavalla teholla, joten pienikin näkyvä osuus on silmälle kirkas. Huoneenlämpöisen kappaleen spektrin huippu on noin $10\,\mu\text{m}$:ssä, ja sen näkyvän valon osuus on häviävän pieni, joten se ei hehku. Jos aihiota kuumennettaisiin lisää, huippu siirtyisi lyhyempiin aallonpituuksiin ja hehku muuttuisi keltaisemmaksi ja kirkkaammaksi.

c)

Annettu

ytimen taitekerroin $n_1 = 1{,}44$, kuoren $n_2 = 1{,}42$ ja ilman $1{,}00$

Kysytty

ytimen ja kuoren rajapinnan rajakulma $\alpha_\text{r}$ ja suurin tulokulma $\theta$ kuidun päätypinnalla

Periaate

Valo kulkee kahden rajapinnan kautta. Päätypinnalla se tulee ilmasta ytimeen ja taittuu normaalia kohti kulmaan $\beta$ (taittumislaki). Ytimen sivupinnalla valo heijastuu kokonaan, jos sen tulokulma on vähintään rajakulma. Päätypinta on kohtisuorassa sivupintaa vastaan, joten päätypinnan normaali on sivupinnan suuntainen ja säteen tulokulma sivupinnalla on $90^\circ - \beta$. Mitä suurempi $\theta$, sitä suurempi $\beta$ ja sitä pienempi sivupinnan tulokulma, joten suurimmalla sallitulla tulokulmalla sivupinnan tulokulma on täsmälleen rajakulma.

$\text{kuori } n_2$
$\text{kuori } n_2$
$\text{ydin } n_1$
$\text{ilma}$
$\theta$
$\beta$
$\alpha_\text{r}$

Kaava

$n_1 \sin\alpha_\text{r} = n_2 \sin 90^\circ$, joten

$\sin\alpha_\text{r}$$= \dfrac{n_2}{n_1}$

Päätypinnalla $1{,}00 \cdot \sin\theta = n_1 \sin\beta$, missä $\beta = 90^\circ - \alpha_\text{r}$, joten $\sin\theta = n_1 \sin(90^\circ - \alpha_\text{r})$.

Muunnokset

Ei tarvita: taitekertoimet ovat yksiköttömiä, ja kulmat ovat asteina.

Sijoitus

$\sin\alpha_\text{r}$$= \dfrac{1{,}42}{1{,}44}$
$= 0{,}9861$

joten $\alpha_\text{r} = 80{,}44^\circ$. Silloin

$\beta$$= 90^\circ - 80{,}44^\circ$
$= 9{,}56^\circ$
$\sin\theta$$= 1{,}44 \cdot \sin 9{,}56^\circ$
$= 1{,}44 \cdot 0{,}1661$
$= 0{,}2392$

joten $\theta = 13{,}84^\circ$.

Vastaus

$\alpha_\text{r} \approx 80{,}4^\circ$

Ja $\theta \approx 13{,}8^\circ$, kolme merkitsevää numeroa kuten taitekertoimissa.

Järkevyys

Ytimen ja kuoren taitekertoimet ovat lähes yhtä suuret, joten rajakulma on lähellä $90^\circ$:ta ja kuituun pääsee vain valo, joka tulee lähes kuidun suuntaisesti. Pyrometrin on siksi katsottava aihiota kuidun suunnasta, ja kuidun eteen tarvitaan linssi, joka kokoaa valon kapeaksi keilaksi. Kulma on samaa suuruusluokkaa kuin tietoliikennekuiduissa.

d)

Kysytty

onko a-kohdan tulos ristiriidassa termoparin lukeman $1210\,{}^\circ\text{C}$ kanssa ja mistä ero voi johtua

Periaate

Kaksi mittausta ovat ristiriidassa vain, jos niiden ero on suurempi kuin niiden epävarmuus. Lisäksi on mietittävä, mittaavatko menetelmät samaa asiaa ja ovatko mallin oletukset voimassa.

Mallivastaus

Epävarmuus. Spektrin huippu on loiva, joten sen paikan voi lukea kuvaajalta noin $\pm 0{,}05\,\mu\text{m}$:n tarkkuudella. Lämpötila on kääntäen verrannollinen huipun aallonpituuteen, joten suhteellinen epävarmuus on sama: $0{,}05 : 2{,}0 = 2{,}5\,\%$ eli $0{,}025 \cdot 1449\,\text{K} \approx 36\,\text{K}$. Ero termopariin on $1210\,{}^\circ\text{C} - 1176\,{}^\circ\text{C} = 34\,\text{K}$, joten se mahtuu lukutarkkuuden rajoihin.

Mitä menetelmät mittaavat. Pyrometri mittaa pinnan säteilyä, termopari aihion sisäosan lämpötilaa. Pinta jäähtyy säteilemällä sekä ilman ja valssien vaikutuksesta nopeammin kuin sisäosa, joten pinta voi todella olla kymmeniä asteita viileämpi.

Mallin oletukset. Pyrometri olettaa aihion mustaksi kappaleeksi. Jos teräs säteilisi jokaisella aallonpituudella saman osuuden mustan kappaleen säteilystä, spektri olisi vain matalampi ja huippu samassa kohdassa, eikä tulos muuttuisi. Todellisen teräksen ja sen pinnan hilsekerroksen säteilykyky kuitenkin riippuu aallonpituudesta, joten spektrin muoto ja huipun paikka poikkeavat mustan kappaleen spektristä. Siksi mallin antama lämpötila on vain likimääräinen.

Johtopäätös. Tulokset eivät ole ristiriidassa: ero on lukutarkkuuden rajoissa ja selittyy myös pinnan jäähtymisellä. Pyrometrin ei voi sanoa näyttävän väärin. Tarkempaa vertailua varten pyrometri kannattaisi kalibroida tunnetun lämpötilan kappaleella.

e)

Annettu

kalvon taitekerroin $n = 1{,}38$, lasin taitekerroin $1{,}50$, ilman $1{,}00$ ja aallonpituus $\lambda = 2{,}0\,\mu\text{m}$; valo tulee kohtisuoraan

Kysytty

ohuimman heijastusta vähentävän kalvon paksuus $d$ ja onko vihertävä heijastus merkki väärästä kalvosta

Periaate

Kalvon ylä- ja alapinnasta heijastuneet aallot interferoivat. Kun valo tulee kohtisuoraan, alapinnasta heijastunut aalto kulkee lisämatkan $2d$ kalvossa, jossa aallonpituus on $\lambda : n$, joten matkaero on $2nd$ ilman aallonpituuksina. Kumpikin heijastus tapahtuu suuremman taitekertoimen ainetta vasten ($1{,}00 \to 1{,}38 \to 1{,}50$), joten kumpikin kääntää aallon ja käännökset kumoavat toisensa. Silloin aallot heikentävät toisiaan, kun $2nd = (k + \tfrac{1}{2})\lambda$, ja vahvistavat toisiaan, kun $2nd = k\lambda$. Ohuin heikentävä kalvo saadaan arvolla $k = 0$.

Kaava

$2nd = \tfrac{1}{2}\lambda$, josta $d = \dfrac{\lambda}{4n}$

Muunnokset

$\lambda$$= 2{,}0\,\mu\text{m}$
$= 2{,}0 \cdot 10^{-6}\,\text{m}$

Sijoitus

$d$$= \dfrac{2{,}0 \cdot 10^{-6}\,\text{m}}{4 \cdot 1{,}38}$
$= 3{,}62 \cdot 10^{-7}\,\text{m}$
$= 362\,\text{nm}$

Vastaus

Ohuin kalvo on $d \approx 0{,}36\,\mu\text{m}$ eli noin $360\,\text{nm}$ paksu, kaksi merkitsevää numeroa kuten aallonpituudessa. Vihertävä heijastus ei ole merkki väärästä kalvosta, vaan se kuuluu infrapunalle suunnitellulle kalvolle.

Järkevyys

Kalvo on neljäsosa aallonpituudesta kalvossa: $2000\,\text{nm} : 1{,}38 = 1449\,\text{nm}$, ja sen neljäsosa on $362\,\text{nm}$, kuten heijastuksenestokalvossa kuuluu. Matkaero on

$2nd$$= 2 \cdot 1{,}38 \cdot 362\,\text{nm}$
$= 1000\,\text{nm}$

Näkyvän valon alueella se on kaksi kertaa $500\,\text{nm}$, joten vihertävä valo $500\,\text{nm}$ vahvistuu ($2nd = 2\lambda$). Punainen valo $667\,\text{nm}$ ($2nd = 1{,}5\lambda$) ja violetti $400\,\text{nm}$ ($2nd = 2{,}5\lambda$) heikkenevät. Siksi ikkuna heijastaa vihertävää valoa, ja asentajan epäily on aiheeton.

Hyväksytään myös

  • a-kohdassa lämpötilan voi muuttaa celsiusasteiksi vähentämällä $273$; vastaukseksi hyväksytään $1180\,{}^\circ\text{C}$ tai $1176\,{}^\circ\text{C}$.
  • c-kohdassa voi laskea ensin kulman $\beta$ ehdosta $\cos\beta = \sin\alpha_\text{r}$ tai suoraan yhtälöstä $\sin\theta = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$, joka seuraa samoista laeista.
  • d-kohdassa lukutarkkuudeksi hyväksytään perusteltu arvio välillä $\pm 0{,}05$–$0{,}1\,\mu\text{m}$.

Yleisiä virheitä

  • Lämpötila lasketaan celsiusasteina Wienin laista, tai aallonpituutta ei muunneta metreiksi.
  • Huipun aallonpituudeksi luetaan näkyvän valon alue, koska aihio hehkuu.
  • b-kohdassa väitetään, että infrapunasäteily näkyy punaisena.
  • c-kohdassa päätypinnan taitekulmaa käytetään suoraan sivupinnan tulokulmana, tai rajakulma lasketaan ilman ja ytimen rajapinnalle.
  • c-kohdassa taitekertoimet vaihdetaan rajakulman lausekkeessa, jolloin sinin arvoksi tulee yli $1$.
  • d-kohdassa todetaan pyrometrin näyttävän väärin vertaamatta eroa mittauksen epävarmuuteen.
  • d-kohdassa sanotaan, että mustaa kappaletta heikompi säteily siirtää huippua, vaikka huippu siirtyy vain, jos säteilykyky riippuu aallonpituudesta.
  • e-kohdassa oletetaan, että vain toinen heijastus kääntää aallon kuten saippuakalvossa, jolloin paksuudeksi saadaan kaksinkertainen $\lambda : (2n) \approx 725\,\text{nm}$.
  • e-kohdassa taitekerroin unohdetaan, jolloin paksuudeksi saadaan $\lambda : 4 = 500\,\text{nm}$.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Huippu on ruudukon viivalla: $\lambda_\text{max} = 2{,}0\,\mu\text{m}$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $\lambda_\text{max} T = b$, josta $T = \dfrac{b}{\lambda_\text{max}}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $T \approx 1450\,\text{K}$ eli noin $1180\,{}^\circ\text{C}$ 1 p

b)3 p

Selittää, että spektri on jatkuva: pieni osa säteilystä on näkyvän valon alueella, vaikka huippu on infrapuna-alueella. 1 p
Selittää, että näkyvällä alueella intensiteetti kasvaa aallonpituuden kasvaessa, joten punaista ja oranssia valoa on paljon enemmän kuin sinistä. 1 p
Toteaa, että kuuma aihio säteilee niin suurella teholla, että pienikin näkyvä osuus riittää silmälle; huoneenlämpöinen kappale ei hehku, koska sen spektrissä näkyvää valoa ei käytännössä ole. 1 p

c)4 p

Hahmottaa kahden rajapinnan geometrian: päätypinnalla valo taittuu kulmaan $\beta$, ja koska päätypinta on kohtisuorassa ytimen sivupintaa vastaan, sivupinnan tulokulma on $90^\circ - \beta$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $\sin\alpha_\text{r} = \dfrac{n_2}{n_1}$ ja $1{,}00 \cdot \sin\theta = n_1\sin\beta$, missä $\beta = 90^\circ - \alpha_\text{r}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\beta \approx 9{,}56^\circ$ ja $\sin\theta \approx 0{,}239$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\alpha_\text{r} \approx 80{,}4^\circ$ ja $\theta \approx 13{,}8^\circ$ 1 p

d)4 p

Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Huippu on loiva, joten sen paikan voi lukea noin $\pm 0{,}05\,\mu\text{m}$:n tarkkuudella; se vastaa lämpötilassa noin $\pm 36\,\text{K}$. 1 p
Tärkeimmät virhelähteet on nimetty ja kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. Pinta jäähtyy säteilemällä sekä valssien ja ilman vaikutuksesta nopeammin kuin aihion sisäosa, jota termopari mittaa, joten pinta voi todella olla viileämpi. 1 p
Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Teräksen ja sen pinnan hilsekerroksen säteilykyky riippuu aallonpituudesta, joten spektrin muoto ja huipun paikka poikkeavat mustan kappaleen spektristä, ja mallin antama lämpötila on vain likimääräinen. Pelkkä mustaa kappaletta pienempi säteily, joka on joka aallonpituudella sama osuus, ei siirtäisi huippua. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Ero, noin $34\,\text{K}$, on lukutarkkuuden rajoissa ja selittyy myös pinnan jäähtymisellä, joten pyrometrin ei voi sanoa näyttävän väärin. 1 p

e)3 p

Perustelee, että kumpikin heijastus, ilmasta kalvoon ja kalvosta lasiin, tapahtuu suuremman taitekertoimen ainetta vasten, joten käännökset kumoavat toisensa ja heijastuneet aallot heikentävät toisiaan, kun $2nd = (k + \tfrac{1}{2})\lambda$; ohuimmalla kalvolla $k = 0$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $d = \dfrac{\lambda}{4n} \approx 362\,\text{nm} \approx 0{,}36\,\mu\text{m}$ 1 p
Selittää vihreän heijastuksen: matkaero $2nd = 1000\,\text{nm}$ on kaksi kertaa $500\,\text{nm}$, joten vihreä valo vahvistuu heijastuksessa ($2nd = k\lambda$, $k = 2$). Kalvo ei siis ole väärä, vaan se on suunniteltu infrapunalle. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 17 (17 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

Vetylampun spektri 17 pistettä

Simuloitu esimerkkiaineisto · Aallonpituudet: NIST Atomic Spectra Database (2024), aallonpituudet ilmassa. Kulmat on laskettu valon interferenssin mallista keksitylle hilalle ja pyöristetty goniometrin lukematarkkuuteen $0{,}1^\circ$, joten niissä on lukematarkkuuden mukaista vaihtelua.

Opiskelijaryhmä tutki vetylampun valoa hilaspektrometrillä. Valo kulkee kapean raon ja linssin kautta kohtisuoraan hilaan, ja maksimien suunnat mitataan kääntyvällä kiikarilla. Hilan viivatiheys oli merkitty laitteeseen, mutta merkintä oli kulunut lukukelvottomaksi. Ryhmä mittasi vedyn neljän spektriviivan maksimien suunnat $\theta$ tulevan valon suuntaan nähden. Viivojen aallonpituudet $\lambda$ ovat taulukkokirjasta.

viiva $\lambda\ (\text{nm})$ kertaluku $\theta$
punainen $656{,}28$ $1$ $23{,}2^\circ$
sinivihreä $486{,}13$ $1$ $17{,}0^\circ$
sininen $434{,}05$ $1$ $15{,}1^\circ$
violetti $410{,}17$ $1$ $14{,}2^\circ$
punainen $656{,}28$ $2$ $52{,}0^\circ$
sinivihreä $486{,}13$ $2$ $35{,}7^\circ$

Ryhmä huomasi spektrissä myös keltaisen viivan, joka ei kuulu vedylle. Sen ensimmäisen kertaluvun maksimi oli kulmassa $20{,}7^\circ$. Goniometrin lukematarkkuus on $0{,}1^\circ$.

  1. a) Muodosta mittauksista kuvaaja, jonka kaikkiin kuuteen pisteeseen sopii mallin mukaan sama origon kautta kulkeva suora. 5 p
  2. b) Määritä kuvaajasta hilan viivatiheys eli viivojen lukumäärä millimetrillä. 3 p
  3. c) Kuinka suuri on keltaisen viivan aallonpituus? 3 p
  4. d) Taulukkokirjan mukaan heliumin keltainen viiva on aallonpituudella $587{,}56\,\text{nm}$ ja natriumin keltaiset viivat aallonpituuksilla $588{,}99\,\text{nm}$ ja $589{,}59\,\text{nm}$. Ryhmä päättelee, että lampussa on natriumia epäpuhtautena. Arvioi päätelmää. Miten mittausta voisi parantaa, jotta heliumin ja natriumin voisi erottaa? 3 p
  5. e) Opiskelija huomauttaa: ”Lasiprismassa violetti valo poikkeaa suunnastaan eniten, mutta hilassa punainen. Toinen havainnoista on varmasti väärin.” Arvioi väitettä. 3 p
Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

kuvaaja, jonka kaikkiin kuuteen pisteeseen sopii sama origon kautta kulkeva suora

Kuvaaja

Hilassa maksimi syntyy suuntaan, jossa vierekkäisistä raoista tulevien aaltojen matkaero $d\sin\theta$ on aallonpituuden monikerta: $d\sin\theta = k\lambda$. Siitä seuraa $\sin\theta = \dfrac{1}{d} \cdot k\lambda$. Kun vaaka-akselille valitaan $k\lambda$ ja pystyakselille $\sin\theta$, sekä ensimmäisen että toisen kertaluvun pisteet ovat samalla origon kautta kulkevalla suoralla, jonka kulmakerroin on $\tfrac{1}{d}$. Pelkkä aallonpituus vaaka-akselilla antaisi kaksi eri suoraa.

viiva $k$ $k\lambda\ (\text{nm})$ $\sin\theta$
punainen $1$ $656$ $0{,}394$
sinivihreä $1$ $486$ $0{,}292$
sininen $1$ $434$ $0{,}261$
violetti $1$ $410$ $0{,}245$
punainen $2$ $1313$ $0{,}788$
sinivihreä $2$ $972$ $0{,}584$

Esimerkiksi toisen kertaluvun punaiselle viivalle $k\lambda = 2 \cdot 656{,}28\,\text{nm} = 1313\,\text{nm}$ ja $\sin 52{,}0^\circ = 0{,}788$.

$400$
$800$
$1200$
$0{,}2$
$0{,}4$
$0{,}6$
$0{,}8$
$0$
$k\lambda\ (\text{nm})$
$\sin\theta$
$(1300;\ 0{,}780)$

Mallivastaus

Vaaka-akselilla on $k\lambda$ nanometreinä ja pystyakselilla yksikötön $\sin\theta$, molemmat tasavälisin asteikoin nollasta alkaen. Jokainen mittaus on oma pisteensä. Pisteisiin sovitetaan origon kautta kulkeva suora, koska mallin mukaan $\sin\theta = 0$, kun $k\lambda = 0$ (keskimaksimi). Suora kulkee kaikkien kuuden pisteen kautta lukutarkkuuden rajoissa, joten malli sopii aineistoon, eikä toisen kertaluvun pisteissä ole poikkeamaa.

b)

Annettu

a-kohdan kuvaaja ja sen suora

Kysytty

hilan viivatiheys eli viivojen lukumäärä millimetrillä

Periaate

Suoran kulmakerroin on mallin mukaan $\tfrac{1}{d}$, missä $d$ on hilavakio eli vierekkäisten rakojen etäisyys. Kulmakerroin luetaan suoralta kahdesta kaukana toisistaan olevasta pisteestä; toinen niistä voi olla origo, koska suora kulkee sen kautta. Viivatiheys on millimetri jaettuna hilavakiolla.

Kuvaajan lukeminen

Suoralta luetaan piste $(1300\,\text{nm}$; $0{,}780)$, joka on kaukana origosta. Kulmakerroin on $0{,}780 : 1300\,\text{nm} = 6{,}00 \cdot 10^{-4}\,\tfrac{1}{\text{nm}}$.

Kaava

$\dfrac{1}{d} = \text{kulmakerroin}$, joten $d = \dfrac{1}{\text{kulmakerroin}}$, ja viivatiheys on $N = \dfrac{1\,\text{mm}}{d}$.

Muunnokset

$1\,\text{mm} = 10^{6}\,\text{nm}$

Sijoitus

$d$$= \dfrac{1}{6{,}00 \cdot 10^{-4}\,\tfrac{1}{\text{nm}}}$
$= 1667\,\text{nm}$
$N$$= \dfrac{10^{6}\,\text{nm}}{1667\,\text{nm}}$
$= 600$

Vastaus

$d \approx 1{,}67\,\mu\text{m}$

Joten hilassa on noin $600$ viivaa millimetrillä, kolme merkitsevää numeroa kuten kuvaajalta luetussa pisteessä.

Järkevyys

Opetuskäytön hiloissa on tyypillisesti $100$–$600$ viivaa millimetrillä, joten tulos on tavallinen. Hilavakio on kolmisen kertaa näkyvän valon aallonpituus, joten ensimmäisen kertaluvun maksimit ovat noin $15$–$25^\circ$:n kulmissa, kuten mitattiin.

c)

Annettu

keltaisen viivan ensimmäisen kertaluvun maksimi kulmassa $\theta = 20{,}7^\circ$ ja hilavakio $d = 1667\,\text{nm}$ (b-kohta)

Kysytty

keltaisen viivan aallonpituus $\lambda$

Periaate

Sama hila ja sama maksimien ehto pätevät kaikelle valolle, joten tuntematon aallonpituus saadaan mitatusta kulmasta, kun hilavakio tunnetaan.

Kaava

$d\sin\theta = k\lambda$, joten kun $k = 1$, $\lambda = d\sin\theta$.

Muunnokset

Ei tarvita: hilavakio on nanometreinä, joten aallonpituus saadaan nanometreinä.

Sijoitus

$\lambda$$= 1667\,\text{nm} \cdot \sin 20{,}7^\circ$
$= 1667\,\text{nm} \cdot 0{,}3535$
$= 589{,}1\,\text{nm}$

Vastaus

$\lambda \approx 589\,\text{nm}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten kulmassa.

Järkevyys

Kulma on punaisen ($23{,}2^\circ$) ja sinivihreän ($17{,}0^\circ$) viivan välissä, ja aallonpituus on vastaavasti niiden välissä keltaisen valon alueella. Kuvaajalta saa saman tuloksen: kun $\sin 20{,}7^\circ \approx 0{,}354$, suoralta luetaan $k\lambda \approx 590\,\text{nm}$.

d)

Kysytty

onko päätelmä natriumista perusteltu ja miten mittausta voisi parantaa

Periaate

Kaksi vaihtoehtoa voi erottaa mittauksella vain, jos niiden ero on suurempi kuin mittauksen epävarmuus. Kulman epävarmuus siirtyy aallonpituuteen hilan yhtälön kautta.

Mallivastaus

Epävarmuus. Kulman lukematarkkuus on $0{,}1^\circ$. Lasketaan aallonpituudet kulmista $20{,}6^\circ$ ja $20{,}8^\circ$: $1667\,\text{nm} \cdot \sin 20{,}6^\circ \approx 586{,}5\,\text{nm}$ ja $1667\,\text{nm} \cdot \sin 20{,}8^\circ \approx 592{,}0\,\text{nm}$. Aallonpituuden epävarmuus on siis noin $\pm 3\,\text{nm}$, eli $\lambda = (589 \pm 3)\,\text{nm}$. Myös hilavakiossa on pieni epävarmuus, joka vain kasvattaa tätä.

Päätelmän arviointi. Heliumin viiva $587{,}56\,\text{nm}$ ja natriumin viivat $588{,}99\,\text{nm}$ ja $589{,}59\,\text{nm}$ ovat kaikki välillä $586$–$592\,\text{nm}$. Heliumin ja natriumin ero, noin $1{,}4\,\text{nm}$, on epävarmuutta pienempi. Kulmina ero on vain $20{,}64^\circ$ ja $20{,}70^\circ$ eli noin $0{,}05^\circ$, mikä on alle goniometrin lukematarkkuuden. Mittaus ei siis erota natriumia heliumista, eikä ryhmän päätelmä ole perusteltu tällä mittauksella. Lampussa voi olla natriumia, mutta se ei seuraa tästä mittauksesta.

Parannukset. Maksimien ehdosta $\sin\theta = \dfrac{k\lambda}{d}$ nähdään, että kun aallonpituus muuttuu, kulman sini muuttuu $k$-kertaisesti. Toisessa kertaluvussa heliumin ja natriumin maksimit ovat kulmissa $44{,}84^\circ$ ja $44{,}98^\circ$, eli ero on noin $0{,}14^\circ$, lähes kolminkertainen ensimmäiseen kertalukuun verrattuna, ja epävarmuus aallonpituudessa on noin $\pm 1\,\text{nm}$. Toinen kertaluku helpottaisi erottamista, mutta yksinään se riittää vain niukasti: kulmaero on vain hieman lukematarkkuutta $0{,}1^\circ$ suurempi, ja $\pm 1\,\text{nm}$ on lähes yhtä suuri kuin viivojen väli $1{,}4\,\text{nm}$. Siksi tarvitaan lisäksi tiheämpi hila, jossa kulmat ovat suurempia, tai tarkempi goniometri. Lisäksi kulman voi mitata keskimaksimin molemmin puolin ja käyttää puolta niiden välisestä kulmasta, mikä poistaa hilan kallistuksen aiheuttaman virheen.

e)

Kysytty

onko jompikumpi havainto väärin, kun prismassa violetti ja hilassa punainen poikkeaa eniten

Periaate

Hila ja prisma erottavat värit eri ilmiöiden avulla. Hilassa suunta määräytyy aaltojen interferenssistä, prismassa taittumisesta, joka riippuu taitekertoimesta.

Mallivastaus

Hila. Maksimi syntyy suuntaan, jossa vierekkäisistä raoista tulevat aallot kohtaavat samassa vaiheessa, eli niiden matkaero $d\sin\theta$ on aallonpituuden monikerta. Pidempi aallonpituus vaatii suuremman matkaeron ja siis suuremman kulman, joten punainen valo poikkeaa eniten ja violetti vähiten, kuten taulukossa.

Prisma. Valo taittuu tullessaan lasiin ja lähtiessään siitä. Lasin taitekerroin riippuu aallonpituudesta (dispersio): se on violetille valolle suurempi kuin punaiselle, koska violetti valo etenee lasissa hitaammin. Siksi violetti taittuu eniten.

Johtopäätös. Väite on väärä: kumpikin havainto on oikein. Värit erottuvat eri ilmiöiden vuoksi, hilassa interferenssin ja prismassa taittumisen, joten värien järjestys voi olla päinvastainen.

Hyväksytään myös

  • a-kohdassa vaaka-akselille voi valita $k\lambda$:n metreinä tai mikrometreinä; silloin kulmakerroin on vastaavassa yksikössä.
  • b-kohdan kulmakertoimen voi lukea kahdesta muustakin kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Vastaukseksi hyväksytään $590$–$610$ viivaa millimetrillä.
  • c-kohdan aallonpituuden voi lukea myös kuvaajalta, kun pystyakselilta on ensin laskettu $\sin 20{,}7^\circ$.
  • d-kohdan epävarmuuden voi arvioida myös kulmien erosta: heliumin ja natriumin maksimien ero on vain noin $0{,}05^\circ$, mikä on alle lukematarkkuuden.

Yleisiä virheitä

  • Kuvaajan vaaka-akselille valitaan pelkkä aallonpituus, jolloin toisen kertaluvun pisteet ovat eri suoralla.
  • Kulmat piirretään kuvaajaan asteina, vaikka malli on lineaarinen kulman sinissä.
  • Kulmakerroin luetaan yksittäisestä mittauspisteestä eikä sovitetusta suorasta.
  • Viivatiheys sekoitetaan hilavakioon, tai nanometrit muunnetaan millimetreiksi väärin.
  • d-kohdassa tulos $589\,\text{nm}$ hyväksytään natriumiksi vertaamatta heliumin ja natriumin eroa mittauksen epävarmuuteen.
  • e-kohdassa väitetään, että hilassakin taitekerroin aiheuttaa värien erottumisen.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Perustelee kuvaajan suureet maksimien ehdosta $d\sin\theta = k\lambda$: kun vaaka-akselilla on $k\lambda$ ja pystyakselilla $\sin\theta$, molempien kertalukujen pisteet ovat samalla suoralla, jonka kulmakerroin on $\tfrac{1}{d}$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Kulmien sinit ja tulot $k\lambda$ on laskettu, esimerkiksi toisen kertaluvun punaiselle viivalle $\sin 52{,}0^\circ \approx 0{,}788$ ja $k\lambda \approx 1313\,\text{nm}$. 1 p
Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. 1 p
Jokainen mittaus on merkitty erillisenä pisteenä oikealle paikalleen. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii, eikä pisteitä ole yhdistetty murtoviivaksi. Origon kautta kulkeva suora sopii kaikkiin kuuteen pisteeseen. 1 p

b)3 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Kulmakerroin $\approx 6{,}00 \cdot 10^{-4}\,\tfrac{1}{\text{nm}}$ on luettu suoran pisteestä kaukana origosta, esimerkiksi $(1300\,\text{nm}$; $0{,}780)$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Kulmakerroin on $\tfrac{1}{d}$, joten $d = \tfrac{1}{\text{kulmakerroin}}$, ja viivatiheys on $1\,\text{mm} : d$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $d \approx 1{,}67\,\mu\text{m}$, joten millimetrillä on noin $600$ viivaa. 1 p

c)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $\lambda = d\sin\theta$, kun $k = 1$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\lambda = 1667\,\text{nm} \cdot \sin 20{,}7^\circ$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\lambda \approx 589\,\text{nm}$ 1 p

d)3 p

Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Lukematarkkuus $0{,}1^\circ$ vastaa ensimmäisessä kertaluvussa aallonpituudessa noin $\pm 3\,\text{nm}$:n epävarmuutta. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Tulos sopii natriumiin mutta myös heliumiin, koska niiden ero, noin $1{,}4\,\text{nm}$, on epävarmuutta pienempi: päätelmä ei ole perusteltu tällä mittauksella. 1 p
Ehdottaa perusteltua parannusta: toisessa kertaluvussa $\sin\theta = \dfrac{k\lambda}{d}$ muuttuu aallonpituuden mukana kaksinkertaisesti ja kulmaero kasvaa noin $0{,}14^\circ$:een, mutta se on vain hieman lukematarkkuutta suurempi, joten tarvitaan myös tarkempi goniometri tai tiheämpi hila. 1 p

e)3 p

Selittää, että hilassa maksimi syntyy suuntaan, jossa vierekkäisistä raoista tulevien aaltojen matkaero on aallonpituuden monikerta; pidempi aallonpituus vaatii suuremman kulman, joten punainen poikkeaa eniten. 1 p
Selittää, että prismassa valo taittuu ja lasin taitekerroin on violetille valolle suurempi kuin punaiselle, joten violetti taittuu eniten. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite on väärä: kumpikin havainto on oikein, koska värit erottuvat eri ilmiöiden vuoksi, hilassa interferenssin ja prismassa taittumisen. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 17 (17 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.