RuukkilabraLukion fysiikka
FY7 · moduulin lopuksi

Sovella itsenäisesti

Näissä tehtävissä kukaan ei kerro, mitä kaavaa käytetään. Päätä itse, mitkä ilmiöt ja mallit kuuluvat tilanteeseen. Ratkaise tehtävä paperille. Perustele ratkaisusi niin kuin ylioppilaskokeessa.

Viisi tehtävää kokoaa moduulin asiat yhteen. Ne käsittelevät varatun hiukkasen liikettä sähkö- ja magneettikentässä, generaattoria ja induktiota, sähköenergian siirtoa ja virtajohtimien välistä voimaa, lämpösäteilyä, valon kulkua valokuidussa, ohuen kalvon interferenssiä sekä valon interferenssiä hilassa. Jokaisessa tehtävässä päätät itse, mitkä mallit sopivat tilanteeseen. Perustelet myös valintasi.

Ratkaise tehtävä ensin itse paperille tai tietokoneelle. Saat käyttää laskinta, taulukkokirjaa ja kuvaajaohjelmaa. Kirjoita näkyviin perustelut, kaavat, sijoitukset ja vastaukset yksiköineen.

Ioni-istutin 16 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Laitteen mitat ja jännitteet ovat keksittyjä, mutta samaa suuruusluokkaa kuin pienessä ioni-istuttimessa. Booriatomien massat: AME2020-atomimassataulukko (Wang ym., 2021). Boori-10:n osuus luonnon boorista: IUPAC (2013).

Mikropiirien valmistuksessa piikiekkoon ammutaan boori-ioneja. Näin piin sähkönjohtavuus muuttuu halutulla tavalla. Laitetta, joka tekee tämän, sanotaan ioni-istuttimeksi.

Ioni-istuttimessa ionilähteestä tulee positiivisia ioneja. Niiden varaus on yksi alkeisvaraus. Jännite kiihdyttää ionit. Sitten ionit kulkevat nopeusvalitsimen läpi. Lopuksi analysointimagneetti ohjaa ne kiekkoon. Magneetin kentässä ionit kulkevat puoliympyrän. Kiekkoon pääsevät vain ionit, joiden rata osuu kammion seinän rakoon.

Luonnon boorista noin $19{,}9\,\%$ on isotooppia boori-10. Loput on boori-11:tä. Kiekkoon halutaan vain boori-11-ioneja.

Tiedot:

  • boori-11-ionin massa $m_{11} = 1{,}8281 \cdot 10^{-26}\,\text{kg}$ ja boori-10-ionin massa $m_{10} = 1{,}6627 \cdot 10^{-26}\,\text{kg}$
  • ionin varaus $e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$
  • kiihdytysjännite $U = 30{,}0\,\text{kV}$; ionien liike-energia ennen kiihdytystä on mitättömän pieni
  • nopeusvalitsimen levyjen etäisyys $d = 2{,}00\,\text{cm}$ ja magneettikenttä $B_\text{s} = 0{,}200\,\text{T}$
  • boori-11-ionien radan säde analysointimagneetissa $r = 40{,}0\,\text{cm}$.

Kuvassa kummankin magneettikentän suunta on paperiin sisään. Painovoiman vaikutus ioneihin on mitättömän pieni.

$\text{lähde}$
$U$
$\text{nopeusvalitsin}$
$\overline{B}_\text{s}$
$d$
$\overline{B}$
$r$
$\text{piikiekko}$
$\text{analysointimagneetti}$
  1. a) Valitsimen levyjen välinen jännite säädetään niin, että boori-11-ionit kulkevat valitsimen läpi suoraan. Mitkä voimat vaikuttavat valitsimessa suoraan kulkevaan ioniin? Mihin suuntiin voimat osoittavat ja miten suuret ne ovat toisiinsa verrattuna? Kumpi levy on positiivinen? Perustele. Voit havainnollistaa vastaustasi voimakuviolla. 3 p
  2. b) Kuinka suuri on boori-11-ionien nopeus kiihdytyksen jälkeen? 3 p
  3. c) Kuinka suuri jännite valitsimen levyjen välille on kytkettävä? 3 p
  4. d) Kuinka suuri analysointimagneetin magneettikentän on oltava? Oletetaan, että valitsimen läpi pääsisi samalla nopeudella myös boori-10-ioneja. Kuinka kaukana boori-11-ionien raosta ne osuisivat kammion seinään? 4 p
  5. e) Todellisuudessa ionien liike-energia kiihdytyksen jälkeen vaihtelee jopa $10\,\%$. Syynä on, että ionilähteen olot ja kiihdytysjännite vaihtelevat. Insinööri ehdottaa: ”Analysointimagneetti on turha. Kaikki ionit kiihdytetään samalla jännitteellä. Siksi boori-10-ionit ovat nopeampia eivätkä pääse valitsimen läpi.” Arvioi ehdotusta. 3 p
Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

suoraan kulkevaan boori-11-ioniin vaikuttavat voimat ja kumpi valitsimen levy on positiivinen

Periaate

Ioniin vaikuttaa kaksi voimaa. Magneettinen voima syntyy, koska ioni liikkuu magneettikentässä. Sähköinen voima syntyy, koska levyjen välillä on sähkökenttä. Painovoima on mitättömän pieni. Ioni kulkee suoraan tasaisella nopeudella vain, jos voimien summa on nolla. Silloin voimat ovat yhtä suuret ja vastakkaissuuntaiset. Magneettinen voima on kohtisuorassa sekä nopeutta että kenttää vastaan. Sen suunta saadaan oikean käden säännöstä. Positiiviseen varaukseen vaikuttava sähköinen voima osoittaa samaan suuntaan kuin sähkökenttä.

$+$
$-$
$\overline{E}$
$\overline{B}_\text{s}$
$\overline{F}_\text{m}$
$\overline{F}_\text{s}$
$\overline{v}$

Mallivastaus

Ioni liikkuu oikealle, ja magneettikenttä osoittaa paperiin sisään. Oikean käden säännön mukaan positiiviseen ioniin vaikuttava magneettinen voima $\overline{F}_\text{m}$ osoittaa ylöspäin.
- Jotta ioni kulkisi suoraan, sähköisen voiman $\overline{F}_\text{s}$ on osoitettava alaspäin. Sen on oltava yhtä suuri kuin magneettinen voima. Siksi voimanuolet piirretään yhtä pitkiksi.
- Nopeus $\overline{v}$ piirretään erikseen omalla värillään, koska se ei ole voima.

Positiiviseen ioniin vaikuttava sähköinen voima osoittaa samaan suuntaan kuin sähkökenttä. Siksi sähkökenttä $\overline{E}$ osoittaa alaspäin. Sähkökenttä osoittaa positiivisesta levystä negatiiviseen levyyn. Siksi ylempi levy on positiivinen. Valinta ei riipu ionin massasta, vaan sama napaisuus sopii kaikille positiivisille ioneille.

b)

Annettu

kiihdytysjännite $U = 30{,}0\,\text{kV}$, ionin varaus $e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$ ja massa $m_{11} = 1{,}8281 \cdot 10^{-26}\,\text{kg}$; ionin liike-energia ennen kiihdytystä on mitättömän pieni

Kysytty

ionin nopeus $v$ kiihdytyksen jälkeen

Periaate

Kiihdytysvälin sähkökenttä tekee ioniin työn $W = eU$. Ionin liike-energia ennen kiihdytystä on mitättömän pieni, eikä muita voimia ole. Siksi työ muuttuu kokonaan ionin liike-energiaksi (energiaperiaate).

Kaava

$eU = \tfrac{1}{2} m_{11} v^2$, josta $v = \sqrt{\dfrac{2eU}{m_{11}}}$

Muunnokset

$U$$= 30{,}0\,\text{kV}$
$= 30{,}0 \cdot 10^{3}\,\text{V}$

Sijoitus

$v$$= \sqrt{\dfrac{2 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 30{,}0 \cdot 10^{3}\,\text{V}}{1{,}8281 \cdot 10^{-26}\,\text{kg}}}$
$= \sqrt{5{,}258 \cdot 10^{11}\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}$
$= 7{,}251 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}$

Vastaus

$v \approx 7{,}25 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}$

Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten kiihdytysjännitteessä.

Järkevyys

Nopeus on noin $0{,}24\,\%$ valon nopeudesta, joten klassinen liike-energian lauseke riittää. Ionin liike-energia on pieni, $4{,}8 \cdot 10^{-15}\,\text{J}$. Ioni on kuitenkin hyvin kevyt, joten nopeus on suuri.

c)

Annettu

$v = 7{,}251 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}$ (b-kohta), $B_\text{s} = 0{,}200\,\text{T}$ ja levyjen etäisyys $d = 2{,}00\,\text{cm}$

Kysytty

levyjen välinen jännite $U_\text{s}$

Periaate

Ioni kulkee suoraan, kun sähköinen voima $eE$ ja magneettinen voima $evB_\text{s}$ ovat yhtä suuret (a-kohta). Levyjen välinen sähkökenttä on homogeeninen. Siksi sen voimakkuus on levyjen välinen jännite jaettuna levyjen etäisyydellä.

Kaava

$eE = evB_\text{s}$, joten $E = vB_\text{s}$. Kun $E = U_\text{s} : d$, saadaan $U_\text{s} = Ed = vB_\text{s}d$.

Muunnokset

$d$$= 2{,}00\,\text{cm}$
$= 0{,}0200\,\text{m}$

Sijoitus

$E$$= 7{,}251 \cdot 10^{5}\,\text{m/s} \cdot 0{,}200\,\text{T}$
$= 1{,}450 \cdot 10^{5}\,\text{V/m}$
$U_\text{s}$$= 1{,}450 \cdot 10^{5}\,\text{V/m} \cdot 0{,}0200\,\text{m}$
$= 2900\,\text{V}$

Vastaus

$U_\text{s} \approx 2{,}90\,\text{kV}$

Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten lähtötiedoissa.

Järkevyys

Yksiköt sopivat yhteen, koska

$1\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 1\,\text{T}$$= 1\,\tfrac{\text{V}}{\text{m}}$

Jännite on noin kymmenesosa kiihdytysjännitteestä. Sen saa helposti aikaan $2\,\text{cm}$:n levyvälillä.

d)

Annettu

$v = 7{,}251 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}$, $m_{11} = 1{,}8281 \cdot 10^{-26}\,\text{kg}$, $m_{10} = 1{,}6627 \cdot 10^{-26}\,\text{kg}$, $e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$ ja boori-11-ionien radan säde $r = 40{,}0\,\text{cm}$

Kysytty

analysointimagneetin magneettivuon tiheys $B$ ja boori-10-ionien osumakohdan etäisyys boori-11-ionien raosta

Periaate

Magneettinen voima on kohtisuorassa nopeutta vastaan. Siksi se ei muuta vauhtia, vaan kääntää liikkeen suuntaa. Homogeenisessa kentässä ioni kulkee tasaista ympyräliikettä, ja magneettinen voima on sen keskeisvoima. Valitsimen jälkeen kaikilla ioneilla on sama nopeus. Siksi radan säde on suoraan verrannollinen ionin massaan. Puoliympyrän jälkeen ioni osuu seinään halkaisijan $2r$ päähän tulokohdasta. Kahden ionilajin osumakohtien etäisyys on siis niiden halkaisijoiden erotus.

Kaava

$evB = \dfrac{m v^2}{r}$, josta $B = \dfrac{m_{11} v}{e r}$. Samalla nopeudella ja kentällä

$r_{10}$$= \dfrac{m_{10} v}{eB}$
$= \dfrac{m_{10}}{m_{11}}\,r$

ja osumakohtien etäisyys on

$\Delta x$$= 2r - 2r_{10}$
$= 2(r - r_{10})$

Muunnokset

$r$$= 40{,}0\,\text{cm}$
$= 0{,}400\,\text{m}$

Sijoitus

$mv$$= 1{,}8281 \cdot 10^{-26}\,\text{kg} \cdot 7{,}251 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}$
$= 1{,}3256 \cdot 10^{-20}\,\text{kg} \cdot \text{m/s}$

joten

$B$$= \dfrac{1{,}3256 \cdot 10^{-20}\,\text{kg} \cdot \text{m/s}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 0{,}400\,\text{m}}$
$= 0{,}2069\,\text{T}$

Boori-10-ionien säde on

$r_{10}$$= \dfrac{1{,}6627}{1{,}8281} \cdot 0{,}400\,\text{m}$
$= 0{,}3638\,\text{m}$

joten

$\Delta x$$= 2 \cdot (0{,}400\,\text{m} - 0{,}3638\,\text{m})$
$= 0{,}0724\,\text{m}$

Vastaus

$B \approx 0{,}207\,\text{T}$

Ja $\Delta x \approx 7{,}2\,\text{cm}$. Boori-10-ionit osuisivat seinään noin $7\,\text{cm}$ lähemmäs tulokohtaa kuin rako. Kentässä on kolme merkitsevää numeroa, kuten lähtötiedoissa. Etäisyys on kahden lähes yhtä suuren luvun erotus, joten siinä on kaksi merkitsevää numeroa.

Järkevyys

Kenttä on samaa suuruusluokkaa kuin tavallisen sähkömagneetin kenttä. Massat eroavat noin $9\,\%$, joten myös säteet eroavat noin $9\,\%$ eli noin $3{,}6\,\text{cm}$. Halkaisijat eroavat kaksinkertaisen määrän. Ero on paljon suurempi kuin raon koko, joten magneetti erottaa isotoopit varmasti.

e)

Kysytty

voiko analysointimagneetin jättää pois, kun ionien liike-energia vaihtelee kiihdytyksen jälkeen jopa $10\,\%$

Periaate

Valitsimen läpi kulkevan ionin voimat ovat tasapainossa: $eE = evB_\text{s}$. Tästä varaus supistuu, eikä massa esiinny yhtälössä lainkaan. Valitsin päästää siis suoraan läpi jokaisen ionin, jonka nopeus on $E : B_\text{s}$. Kiihdytyksen jälkeinen nopeus riippuu sekä massasta että liike-energiasta.

Mallivastaus

Ilman energian vaihtelua. Täyden kiihdytyksen saanut boori-10-ioni on kevyempi, joten sen nopeus on suurempi: $v_{10} = \sqrt{\dfrac{2eU}{m_{10}}}$. Sijoitetaan b-kohdan arvot ja massa $m_{10} = 1{,}6627 \cdot 10^{-26}\,\text{kg}$. Saadaan $v_{10} \approx 7{,}60 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}$. Tällä nopeudella magneettinen voima on suurempi kuin sähköinen. Ioni kaartuu valitsimessa ylöspäin eikä pääse läpi. Tässä insinööri on oikeassa.

Energian vaihdellessa. Boori-10-ioni kulkee valitsimen läpi, jos sen nopeus on sama kuin boori-11-ionien eli $7{,}25 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}$. Silloin sen liike-energia on $\tfrac{1}{2} m_{10} v^2$. Boori-11-ionin liike-energia on $\tfrac{1}{2} m_{11} v^2$. Suhde on siis $m_{10} : m_{11} = 1{,}6627 : 1{,}8281 \approx 0{,}91$. Boori-10-ioni, jonka liike-energia on noin $9\,\%$ täyttä pienempi, pääsee siis suoraan läpi. Kun energia vaihtelee jopa $10\,\%$, tällaisia ioneja on varmasti.

Johtopäätös. Ehdotus ei käy. Valitsin valitsee nopeuden, ei massaa. Kun energia vaihtelee, sen läpi pääsee myös boori-10-ioneja. Vasta analysointimagneetti erottaa samalla nopeudella kulkevat ionit massan mukaan, koska radan säde on silloin suoraan verrannollinen massaan.

Hyväksytään myös

  • b-kohdan nopeuden voi laskea myös liike-energian kautta. Ensin lasketaan $W = eU = 4{,}806 \cdot 10^{-15}\,\text{J}$ ja sitten $v = \sqrt{2W : m_{11}}$.
  • d-kohdan etäisyyden voi laskea myös niin, että ensin lasketaan boori-10-ionien säde suoraan yhtälöstä $r_{10} = \dfrac{m_{10} v}{eB}$. Vastaukseksi hyväksytään $7{,}2$–$7{,}3\,\text{cm}$.
  • e-kohdassa riittää myös perustelu, jossa lasketaan boori-10-ionin kiihdytysjännite, jolla se saisi oikean nopeuden: $0{,}91 \cdot 30{,}0\,\text{kV} \approx 27{,}3\,\text{kV}$.

Yleisiä virheitä

  • Magneettinen voima piirretään nopeuden tai kentän suuntaan, tai sen suunta päätellään negatiivisen varauksen säännöllä.
  • Sähköinen voima piirretään levyistä riippumatta. Tai ylemmästä levystä päätellään, että sähkökenttä osoittaa kohti positiivista levyä.
  • Nopeus piirretään voimakuvioon voimana tai voimien kanssa samalla värillä.
  • Kiihdytysjännitteen kilovoltteja ei muunneta voltteiksi. Silloin nopeus on noin $32$ kertaa liian pieni.
  • c-kohdassa jännite lasketaan kaavalla $U = Ed$ ottamatta huomioon, että $E$ on ensin ratkaistava voimien tasapainosta.
  • d-kohdassa osumakohtien etäisyydeksi annetaan säteiden erotus eikä halkaisijoiden erotus.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa omaa ratkaisuasi mallivastaukseen. Valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi ansaitsee mielestäsi. Voit antaa myös osapisteitä. Myös muu fysiikan kannalta oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Nimeää ioniin vaikuttavat voimat: magneettinen voima $\overline{F}_\text{m}$ ja sähköinen voima $\overline{F}_\text{s}$. Painoa ei oteta mukaan, koska se on mitättömän pieni. 1 p
Perustelee suunnat ja suuruudet. Magneettinen voima on kohtisuorassa sekä nopeutta että kenttää vastaan. Se osoittaa positiiviseen ioniin ylöspäin. Sähköinen voima osoittaa alaspäin. Voimat ovat yhtä suuret, koska ioni kulkee suoraan tasaisella nopeudella. 1 p
Päättelee, että sähkökenttä osoittaa samaan suuntaan kuin positiiviseen ioniin vaikuttava sähköinen voima eli alaspäin. Siksi ylempi levy on positiivinen. 1 p

b)3 p

Perustelee energiaperiaatteella: sähkökentän ioniin tekemä työ $W = eU$ muuttuu ionin liike-energiaksi. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea. Kysytty suure on ratkaistu siitä ennen kuin lukuarvot sijoitetaan. $eU = \tfrac{1}{2} m_{11} v^2$, josta $v = \sqrt{\dfrac{2eU}{m_{11}}}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. $v \approx 7{,}25 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}$ 1 p

c)3 p

Lähtöyhtälö on oikea. Kysytty suure on ratkaistu siitä ennen kuin lukuarvot sijoitetaan. $eE = evB_\text{s}$. Homogeenisessa kentässä $E = U_\text{s} : d$, joten $U_\text{s} = vB_\text{s}d$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $E = vB_\text{s} \approx 1{,}45 \cdot 10^{5}\,\text{V/m}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. $U_\text{s} \approx 2{,}90\,\text{kV}$ 1 p

d)4 p

Käyttää magneettista voimaa ympyräliikkeen keskeisvoimana: $evB = \dfrac{mv^2}{r}$. Samalla nopeudella radan säde on suoraan verrannollinen massaan. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea. Kysytty suure on ratkaistu siitä ennen kuin lukuarvot sijoitetaan. $B = \dfrac{m_{11}v}{er}$ ja $r_{10} = \dfrac{m_{10}}{m_{11}}\,r$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. $B \approx 0{,}207\,\text{T}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Ionit osuvat seinään halkaisijan päähän tulokohdasta. Siksi osumakohtien etäisyys on $2(r - r_{10}) \approx 7{,}2\,\text{cm}$. 1 p

e)3 p

Toteaa, että valitsin päästää suoraan läpi jokaisen ionin, jonka nopeus on $E : B_\text{s}$. Massa ja varaus eivät vaikuta tähän. Valitsin valitsee nopeuden, ei massaa. 1 p
Laskee, että boori-10-ioni kulkee valitsimen läpi, jos sen liike-energia on $m_{10} : m_{11} \approx 0{,}91$ täydestä. Liike-energia on siis noin $9\,\%$ pienempi. Tämä on mahdollista, kun energia vaihtelee jopa $10\,\%$. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Ehdotus ei käy. Jos energia ei vaihtelisi, insinööri olisi oikeassa: täyden kiihdytyksen saanut boori-10-ioni on nopeampi. Kun energia vaihtelee, valitsimen läpi pääsee kuitenkin myös boori-10-ioneja. Vasta magneetti erottaa samalla nopeudella kulkevat ionit massan mukaan. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 16 (16 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi. Ne eivät ole tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma. Se perustuu siihen, millainen on hyvä vastaus ylioppilaskokeessa. Se ei ole YTL:n virallinen pisteytys.

Napadynamo 16 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Dynamon tiedot ja jännitteen kuvaaja ovat keksittyjä mutta tyypillisiä. Polkupyörän dynamovalo on yleensä $6\,\text{V}$ ja $3\,\text{W}$. Napadynamossa on usein $28$ magneettinapaa.

Napadynamo on rakennettu polkupyörän etupyörän napaan. Pyörän mukana pyörii kestomagneettirengas, jossa on $28$ magneettinapaa. Navat ovat vuorotellen pohjois- ja etelänapoja. Käämi pysyy paikallaan, ja siinä on rautasydän. Sydämen läpi kulkevan magneettivuon suunta vaihtuu aina, kun seuraava napa ohittaa sen. Siksi jännitteessä on $14$ jaksoa jokaista pyörän kierrosta kohti. Pyörän halkaisija renkaineen on $0{,}70\,\text{m}$. Dynamoon voidaan kytkeä valo, jonka nimellisjännite on $6{,}0\,\text{V}$ ja teho $3{,}0\,\text{W}$.

Pyöräilijä mittasi dynamon jännitteen oskilloskoopilla. Valo oli pois päältä, ja hän ajoi tasaisella vauhdilla. Kuvaaja on alla.

$10$
$20$
$30$
$40$
$50$
$60$
$70$
$80$
$90$
$-12$
$-8$
$-4$
$0$
$4$
$8$
$12$
$16$
$t\ (\text{ms})$
$u\ (\text{V})$
$0$
  1. a) Määritä kuvaajasta jännitteen taajuus ja tehollinen arvo. 3 p
  2. b) Kuinka nopeasti pyöräilijä ajoi? 3 p
  3. c) Valo palaa kunnolla, kun dynamon jännitteen tehollinen arvo on vähintään valon nimellisjännite. Arvioi pienin vauhti, jolla näin on. Oleta, että valo saa saman jännitteen kuin tyhjäkäynnillä mitattiin. 3 p
  4. d) Pyöräilijä väittää: ”Kun valo on päällä, polkeminen on raskaampaa, vaikka dynamossa mikään ei hankaa toisiinsa. Kun valo on pois päältä, dynamo ei jarruta pyörää lainkaan.” Arvioi väitteen kumpaakin osaa. 3 p
  5. e) Kun valo on päällä, dynamon hyötysuhde on $60\,\%$. Kuinka suuren lisävoiman pyöräilijän on voitettava b-kohdan vauhdilla? Onko sillä merkitystä? Ilmanvastus ja vierimisvastus ovat tällä vauhdilla yhteensä noin $10\,\text{N}$. 4 p
Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

dynamon jännitteen kuvaaja, kun valo on pois päältä

Kysytty

jännitteen taajuus $f$ ja tehollinen arvo $U$

Periaate

Jännite vaihtelee sinimuotoisesti. Jaksonaika on yhden kokonaisen vaihtelun kesto, ja taajuus on sen käänteisluku. Tehollinen arvo on se tasajännite, joka tuottaisi vastukseen saman keskimääräisen tehon. Sinimuotoiselle jännitteelle se on huippuarvo jaettuna luvulla $\sqrt{2}$.

Kuvaajan lukeminen

Jännite alkaa nollasta. Se palaa nollaan samaan suuntaan muuttuen kohdissa $30\,\text{ms}$, $60\,\text{ms}$ ja $90\,\text{ms}$. Kolme jaksoa kestää siis $90\,\text{ms}$, joten $T = 90\,\text{ms} : 3 = 30\,\text{ms}$. Kolmen jakson lukeminen on tarkempaa kuin yhden. Huiput ovat kohdissa $7{,}5\,\text{ms}$, $37{,}5\,\text{ms}$ ja $67{,}5\,\text{ms}$ ruudukon viivalla $14\,\text{V}$, joten $e_0 = 14\,\text{V}$.

Kaava

$f = \dfrac{1}{T}$ ja $U = \dfrac{e_0}{\sqrt{2}}$

Muunnokset

$T = 30\,\text{ms} = 0{,}030\,\text{s}$

Sijoitus

$f$$= \dfrac{1}{0{,}030\,\text{s}}$
$= 33{,}3\,\text{Hz}$
$U$$= \dfrac{14\,\text{V}}{\sqrt{2}}$
$= 9{,}90\,\text{V}$

Vastaus

$f \approx 33\,\text{Hz}$

Ja $U \approx 9{,}9\,\text{V}$. Vastauksissa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten kuvaajalta luetuissa arvoissa.

Järkevyys

Taajuus on pienempi kuin sähköverkon $50\,\text{Hz}$. Se sopii pyörään, joka pyörii vain muutaman kierroksen sekunnissa. Tehollinen arvo on noin $70\,\%$ huippuarvosta, kuten sinimuotoisella jännitteellä kuuluu.

b)

Annettu

$f = 33{,}3\,\text{Hz}$ (a-kohta), $14$ jännitteen jaksoa pyörän kierrosta kohti ja pyörän halkaisija $D = 0{,}70\,\text{m}$

Kysytty

pyöräilijän vauhti $v$

Periaate

Magneettirenkaassa on $14$ pohjois- ja etelänavan paria. Kun yksi napapari ohittaa käämin, vuo käämin läpi tekee yhden kokonaisen vaihtelun. Jännitteessä on siis $14$ jaksoa yhtä pyörän kierrosta kohti. Pyörän pyörimistaajuus on siksi $14$ kertaa pienempi kuin jännitteen taajuus. Kun pyörä vierii luistamatta, se etenee yhdellä kierroksella kehänsä pituuden $\pi D$.

Kaava

$f_\text{p}$$= \dfrac{f}{14}$
$v$$= \pi D f_\text{p}$
$= \pi D \cdot \dfrac{f}{14}$

Muunnokset

Vastaus muutetaan lopuksi: $1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}$.

Sijoitus

$f_\text{p}$$= \dfrac{33{,}3\,\text{Hz}}{14}$
$= 2{,}381\,\text{Hz}$
$v$$= \pi \cdot 0{,}70\,\text{m} \cdot 2{,}381\,\tfrac{1}{\text{s}}$
$= 5{,}236\,\text{m/s}$
$= 5{,}236 \cdot 3{,}6\,\text{km/h}$
$= 18{,}8\,\text{km/h}$

Vastaus

$v \approx 5{,}2\,\text{m/s} \approx 19\,\text{km/h}$

Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten halkaisijassa ja jaksonajassa.

Järkevyys

Vauhti on tavallinen työmatkapyöräilyn vauhti. Pyörä pyörii vain noin kaksi ja puoli kierrosta sekunnissa. Silti $28$ napaa tekee jännitteen taajuudesta yli $30\,\text{Hz}$.

c)

Annettu

tyhjäkäynnin tehollinen jännite $U = 9{,}90\,\text{V}$ vauhdilla $v = 5{,}236\,\text{m/s}$ (a- ja b-kohta), valon nimellisjännite $U_\text{valo} = 6{,}0\,\text{V}$

Kysytty

pienin vauhti $v_\text{min}$, jolla tehollinen jännite on vähintään $6{,}0\,\text{V}$

Periaate

Generaattorin jännitteen huippuarvo on $e_0 = NBA \cdot 2\pi f$. Käämin kierrokset, magneettien kenttä ja pinta-ala pysyvät samoina. Siksi huippuarvo ja sen mukana tehollinen arvo ovat suoraan verrannollisia taajuuteen. Taajuus on suoraan verrannollinen pyörän pyörimistaajuuteen ja siis vauhtiin. Tehollinen jännite on siis suoraan verrannollinen vauhtiin. Kun ajetaan hitaammin, magneetit ohittavat käämin hitaammin ja vuo muuttuu hitaammin.

Kaava

$\dfrac{v_\text{min}}{v}$$= \dfrac{U_\text{valo}}{U}$

josta

$v_\text{min}$$= v \cdot \dfrac{U_\text{valo}}{U}$

Muunnokset

Vastaus muutetaan lopuksi kilometreiksi tunnissa: $1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}$.

Sijoitus

$v_\text{min}$$= 5{,}236\,\text{m/s} \cdot \dfrac{6{,}0\,\text{V}}{9{,}90\,\text{V}}$
$= 3{,}17\,\text{m/s}$
$= 3{,}17 \cdot 3{,}6\,\text{km/h}$
$= 11{,}4\,\text{km/h}$

Vastaus

$v_\text{min} \approx 3{,}2\,\text{m/s} \approx 11\,\text{km/h}$

Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten lähtötiedoissa.

Järkevyys

Tulos on hidasta pyöräilyä, mutta reippaampaa kuin kävely. Kävelyvauhdilla valo jää siis himmeäksi. Oletus on kuitenkin karkea. Kun valo on päällä, käämissä kulkee virta, ja osa jännitteestä jää käämiin itseensä. Valo saa siis vähemmän kuin tyhjäkäynnin jännitteen. Todellinen pienin vauhti on siksi jonkin verran suurempi.

d)

Kysytty

jarruttaako dynamo pyörää valon ollessa päällä ja pois päältä

Periaate

Kun käämi on suljetussa virtapiirissä, muuttuva vuo synnyttää siihen induktiovirran. Lenzin lain mukaan induktiovirran magneettikenttä vastustaa muutosta, joka sen synnyttää. Energian säilymisen mukaan valon säteilemän energian on tultava jostakin. Muuttuva magneettikenttä synnyttää myös johtaviin metalliosiin pyörrevirtoja.

Mallivastaus

Valo päällä. Käämissä kulkee induktiovirta, jonka magneettikenttä vastustaa vuon muutosta. Se vetää lähestyvää magneettinapaa poispäin ja loittonevaa takaisin. Pyörivään magneettirenkaaseen kohdistuu siis jarruttava magneettinen voima, vaikka mikään ei kosketa toisiaan. Sama seuraa energian säilymisestä. Valo säteilee energiaa, ja se tulee pyöräilijän tekemästä työstä. Jos jarruttavaa voimaa ei olisi, valo saisi energiaa tyhjästä. Väitteen ensimmäinen osa pitää paikkansa.

Valo pois päältä. Piiri on auki, joten käämissä ei kulje virtaa eikä käämi jarruta. Magneettirenkaan muuttuva kenttä synnyttää kuitenkin pyörrevirtoja dynamon metalliosiin, esimerkiksi käämin rautasydämeen ja metalliseen napaan. Pyörrevirrat lämmittävät metallia ja jarruttavat pyörimistä Lenzin lain mukaisesti. Lisäksi rautasydämen magnetoituminen vaihtaa suuntaa jatkuvasti, mikä vie hieman energiaa.

Johtopäätös. Väitteen toinen osa ei pidä tarkasti. Dynamo jarruttaa pyörää hieman myös silloin, kun valo on pois päältä. Jarrutus on silloin kuitenkin paljon pienempi kuin valon ollessa päällä. Rautasydän tehdään ohuista eristetyistä levyistä, joissa pyörrevirrat jäävät pieniksi.

e)

Annettu

valon teho $P_\text{valo} = 3{,}0\,\text{W}$, dynamon hyötysuhde $\eta = 60\,\% = 0{,}60$, vauhti $v = 5{,}236\,\text{m/s}$ (b-kohta) sekä ilmanvastus ja vierimisvastus yhteensä noin $10\,\text{N}$

Kysytty

dynamon jarruttava lisävoima $F$ ja sen merkitys

Periaate

Dynamo muuttaa pyöräilijän työtä sähköenergiaksi. Valoon menee hyötysuhteen verran dynamon ottamasta tehosta. Dynamon ottama teho on siis $P_\text{valo} : \eta$. Jarruttava voima vaikuttaa vauhdilla $v$ liikkuvaan pyörään. Sen tekemän työn teho on $P = Fv$, kuten pyörrevirtajarrussa.

Kaava

$P_\text{otto}$$= \dfrac{P_\text{valo}}{\eta}$

$P_\text{otto} = Fv$, joten $F = \dfrac{P_\text{valo}}{\eta v}$

Muunnokset

Ei tarvita: teho on watteina ja vauhti metreinä sekunnissa.

Sijoitus

$P_\text{otto}$$= \dfrac{3{,}0\,\text{W}}{0{,}60}$
$= 5{,}0\,\text{W}$
$F$$= \dfrac{5{,}0\,\text{W}}{5{,}236\,\text{m/s}}$
$= 0{,}955\,\text{N}$

Vastaus

$F \approx 0{,}95\,\text{N}$

Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten valon tehossa ja hyötysuhteessa.

Järkevyys

Ilmanvastus ja vierimisvastus ovat tällä vauhdilla yhteensä noin $10\,\text{N}$. Valo lisää vastusta siis noin kymmenesosan. Ero tuntuu, mutta se on pieni. Esimerkiksi $1\,\%$:n ylämäki lisää $90\,\text{kg}$:n pyöräilijälle ja pyörälle noin $9\,\text{N}$. Hitaammin ajettaessa sama teho vaatii suuremman voiman, joten valo tuntuu ylämäessä eniten.

Hyväksytään myös

  • a-kohdassa jaksonajan voi lukea yhdestäkin jaksosta, esimerkiksi kahden peräkkäisen huipun väliltä: $37{,}5\,\text{ms} - 7{,}5\,\text{ms} = 30\,\text{ms}$.
  • b- ja c-kohdan vastaukset voi antaa metreinä sekunnissa. c-kohdassa hyväksytään $11$–$12\,\text{km/h}$.
  • c-kohdassa voi verrata huippuarvoja. Valo tarvitsee huippuarvon $6{,}0\,\text{V} \cdot \sqrt{2} = 8{,}5\,\text{V}$, ja $v_\text{min} = v \cdot 8{,}5\,\text{V} : 14\,\text{V}$.

Yleisiä virheitä

  • Jaksonajaksi luetaan nollakohtien väli. Se on vain puoli jaksoa, joten taajuus tulee kaksinkertaiseksi.
  • Tehollinen arvo lasketaan kertomalla huippuarvo luvulla $\sqrt{2}$ eikä jakamalla sillä.
  • b-kohdassa jännitteen taajuutta käytetään pyörän pyörimistaajuutena. Silloin vauhdiksi tulee yli $250\,\text{km/h}$.
  • Kehän pituutena käytetään säteen ja luvun $\pi$ tuloa tai halkaisijan ja luvun $2\pi$ tuloa.
  • d-kohdassa jarruttava vaikutus selitetään kitkalla. Tai sanotaan, että magneetti vetää rautaa puoleensa koko ajan samaan suuntaan.
  • e-kohdassa käytetään valon tehoa hyötysuhteella kerrottuna eikä jaettuna.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa omaa ratkaisuasi mallivastaukseen. Valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi ansaitsee mielestäsi. Voit antaa myös osapisteitä. Myös muu fysiikan kannalta oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi. Luku on tehty kahdesta pisteestä, jotka ovat suoralla kaukana toisistaan. Kolme jaksoa kestää $90\,\text{ms}$, joten $T = 30\,\text{ms}$. Huippuarvo $e_0 = 14\,\text{V}$ luetaan huipun kohdalta. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea. Kysytty suure on ratkaistu siitä ennen kuin lukuarvot sijoitetaan. $f = \dfrac{1}{T}$ ja $U = \dfrac{e_0}{\sqrt{2}}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. $f \approx 33\,\text{Hz}$ ja $U \approx 9{,}9\,\text{V}$ 1 p

b)3 p

Perustelee, että pyörä pyörii $14$ kertaa hitaammin kuin jännite vaihtelee. Perustelee myös, että pyörä etenee yhdellä kierroksella kehänsä pituuden $\pi D$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea. Kysytty suure on ratkaistu siitä ennen kuin lukuarvot sijoitetaan. $v = \pi D \cdot \dfrac{f}{14}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. $v \approx 5{,}2\,\text{m/s} \approx 19\,\text{km/h}$ 1 p

c)3 p

Perustelee, että jännitteen huippuarvo on suoraan verrannollinen pyörimistaajuuteen ja siis vauhtiin. Mitä kovempaa ajetaan, sitä nopeammin magneetit ohittavat käämin ja sitä nopeammin vuo muuttuu. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea. Kysytty suure on ratkaistu siitä ennen kuin lukuarvot sijoitetaan. $\dfrac{v_\text{min}}{v} = \dfrac{U_\text{valo}}{U}$, josta $v_\text{min} = v \cdot \dfrac{U_\text{valo}}{U}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. $v_\text{min} \approx 3{,}2\,\text{m/s} \approx 11\,\text{km/h}$ 1 p

d)3 p

Selittää, että väitteen ensimmäinen osa pitää paikkansa. Kun valo on päällä, käämissä kulkee induktiovirta. Sen magneettikenttä vastustaa muutosta, joka sen synnyttää, eli jarruttaa pyörivää magneettirengasta. 1 p
Perustelee energian säilymisellä: valon säteilemä energia tulee pyöräilijän työstä. Siksi jokin voima jarruttaa pyörimistä, vaikka mikään ei hankaa. 1 p
Selittää, että väitteen toinen osa ei pidä tarkasti. Kun valo on pois päältä, käämissä ei kulje virtaa. Muuttuva magneettikenttä synnyttää kuitenkin pyörrevirtoja dynamon metalliosiin, kuten rautasydämeen ja napaan. Siksi pieni jarrutus jää. 1 p

e)4 p

Yhdistää tehon ja voiman. Jarruttavan voiman teho $P = Fv$ on dynamon ottama teho. Se on valon teho jaettuna hyötysuhteella. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea. Kysytty suure on ratkaistu siitä ennen kuin lukuarvot sijoitetaan. $F = \dfrac{P_\text{valo}}{\eta v}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. $F \approx 0{,}95\,\text{N}$ 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Lisävoima on noin kymmenesosa ilmanvastuksen ja vierimisvastuksen summasta $10\,\text{N}$. Ero tuntuu, mutta se on pieni. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 16 (16 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi. Ne eivät ole tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma. Se perustuu siihen, millainen on hyvä vastaus ylioppilaskokeessa. Se ei ole YTL:n virallinen pisteytys.

Kaivoksen sähköliittymä 17 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Kaivos, johto ja tehot ovat keksittyjä. Alumiinin resistiivisyys ja tiheys ovat taulukkoarvoja.

Kaivosyhtiö avaa uuden kaivoksen $25\,\text{km}$:n päähän lähimmältä sähköasemalta. Kaivokselle siirretään jatkuvasti noin $6{,}0\,\text{MW}$:n teho. Sähköasemalta voidaan rakentaa kahdenlainen johto:

  • $20\,\text{kV}$:n johto suoraan kaivokselle
  • $110\,\text{kV}$:n johto, jonka päähän kaivokselle rakennetaan muuntaja. Muuntaja laskee jännitteen $20\,\text{kV}$:iin kaivoksen omaa verkkoa varten.

Kummassakin vaihtoehdossa johdossa on kaksi alumiinijohdinta. Niiden poikkipinta-ala on $150\,\text{mm}^2$. Alumiinin resistiivisyys on $2{,}82 \cdot 10^{-8}\,\Omega\,\text{m}$ ja tiheys $2700\,\text{kg/m}^3$.

Todelliset voimajohdot ovat kolmivaiheisia, mutta tässä riittää yksinkertainen malli:

  • Sähköasema lähettää tehon $6{,}0\,\text{MW}$ johtoon.
  • Teho lasketaan kuten tasavirralla.
  • Jännitteet ja virrat ovat tehollisia arvoja.
  • Muuntaja on ideaalinen.
  1. a) Kuinka suuri teho johdossa muuttuu lämmöksi, jos käytetään $20\,\text{kV}$:n johtoa? Kuinka monta prosenttia se on siirrettävästä tehosta? 3 p
  2. b) Kuinka suuri häviöteho on, jos käytetään $110\,\text{kV}$:n johtoa? 3 p
  3. c) Kaivoksen laitteet toimivat oikein, kun verkon jännite poikkeaa nimellisarvosta $20\,\text{kV}$ enintään $10\,\%$. Kuinka suuri jännite jää $20\,\text{kV}$:n johdon kaivoksen puoleiseen päähän? Kelpaako se? 3 p
  4. d) Kunnanvaltuutettu ehdottaa: ”Rakennetaan halvempi $20\,\text{kV}$:n johto ilman muuntajaa ja tehdään johtimista paksumpia. Silloin häviöt ovat yhtä pienet kuin $110\,\text{kV}$:n johdolla.” Arvioi ehdotusta. 4 p
  5. e) Johdon kaksi johdinta kulkevat pylväissä rinnakkain $1{,}5\,\text{m}$:n etäisyydellä toisistaan. Vetävätkö johtimet toisiaan puoleensa vai hylkivätkö ne toisiaan? Kuinka suuri voima kohdistuu johtimen jokaiseen metriin $20\,\text{kV}$:n johdossa normaalikäytössä? Entä oikosulussa lähellä sähköasemaa, kun virta nousee hetkeksi $8{,}0\,\text{kA}$:iin? Onko voimalla merkitystä? Tyhjiön permeabiliteetti on $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$. 4 p
Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

siirrettävä teho $P = 6{,}0\,\text{MW}$, siirtojännite $U = 20\,\text{kV}$, johdon pituus $25\,\text{km}$, kaksi johdinta, poikkipinta-ala $A = 150\,\text{mm}^2$ ja resistiivisyys $\rho = 2{,}82 \cdot 10^{-8}\,\Omega\,\text{m}$

Kysytty

johdon häviöteho $P_\text{h}$ ja sen osuus siirrettävästä tehosta

Periaate

Virta kulkee kaivokselle toista johdinta pitkin ja palaa toista pitkin. Virtapiirin johtimien pituus on siis $2 \cdot 25\,\text{km}$. Resistanssi saadaan resistiivisyydestä, pituudesta ja poikkipinta-alasta. Siirrettävä teho on jännitteen ja virran tulo, joten virta on teho jaettuna jännitteellä. Johdon resistanssissa lämmöksi muuttuva teho on resistanssin ja virran neliön tulo.

Kaava

$R = \rho \dfrac{l}{A}$, $I = \dfrac{P}{U}$ ja $P_\text{h} = R I^2$

Muunnokset

$l$$= 2 \cdot 25\,\text{km}$
$= 5{,}0 \cdot 10^{4}\,\text{m}$
$A$$= 150\,\text{mm}^2$
$= 150 \cdot 10^{-6}\,\text{m}^2$

$P = 6{,}0 \cdot 10^{6}\,\text{W}$ ja $U = 20 \cdot 10^{3}\,\text{V}$

Sijoitus

$R$$= 2{,}82 \cdot 10^{-8}\,\Omega\,\text{m} \cdot \dfrac{5{,}0 \cdot 10^{4}\,\text{m}}{150 \cdot 10^{-6}\,\text{m}^2}$
$= 9{,}40\,\Omega$
$I$$= \dfrac{6{,}0 \cdot 10^{6}\,\text{W}}{20 \cdot 10^{3}\,\text{V}}$
$= 300\,\text{A}$
$P_\text{h}$$= 9{,}40\,\Omega \cdot (300\,\text{A})^2$
$= 846\,000\,\text{W}$

Osuus on

$846\,\text{kW} : 6000\,\text{kW}$
$= 0{,}141$
$= 14{,}1\,\%$

Vastaus

$P_\text{h} \approx 850\,\text{kW}$

Eli noin $14\,\%$ siirrettävästä tehosta. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten tehossa ja jännitteessä.

Järkevyys

Sähköverkon häviöt ovat Suomessa yhteensä vain muutamia prosentteja. Siksi $14\,\%$:n häviö yhdessä johdossa on aivan liian suuri. Pienellä jännitteellä tarvitaan suuri virta, ja häviö kasvaa virran neliönä.

b)

Annettu

a-kohdan tiedot ja resistanssi $R = 9{,}40\,\Omega$, siirtojännite $U = 110\,\text{kV}$

Kysytty

häviöteho $P_\text{h}$

Periaate

Sama teho siirretään $110 : 20 = 5{,}5$-kertaisella jännitteellä, joten virta on $5{,}5$ kertaa pienempi. Häviöteho on verrannollinen virran neliöön, joten se pienenee $5{,}5^2 \approx 30$-kertaisesti. Johtimet ovat samat, joten resistanssi on sama kuin a-kohdassa.

Kaava

$P_\text{h}$$= R I^2$
$= R\left(\dfrac{P}{U}\right)^2$

Muunnokset

$U$$= 110\,\text{kV}$
$= 110 \cdot 10^{3}\,\text{V}$

Sijoitus

$I$$= \dfrac{6{,}0 \cdot 10^{6}\,\text{W}}{110 \cdot 10^{3}\,\text{V}}$
$= 54{,}5\,\text{A}$
$P_\text{h}$$= 9{,}40\,\Omega \cdot (54{,}5\,\text{A})^2$
$= 27\,970\,\text{W}$

Osuus on $28{,}0\,\text{kW} : 6000\,\text{kW} \approx 0{,}47\,\%$.

Vastaus

$P_\text{h} \approx 28\,\text{kW}$

Eli noin $0{,}5\,\%$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten tehossa.

Järkevyys

$846\,\text{kW} : 28{,}0\,\text{kW} \approx 30$, kuten jännitteiden suhteen neliö ennusti. Häviö on nyt prosentin osia. Se on sähkönsiirrossa tavallista.

c)

Annettu

$20\,\text{kV}$:n johdossa virta $I = 300\,\text{A}$ ja resistanssi $R = 9{,}40\,\Omega$ (a-kohta); sallittu poikkeama $10\,\%$

Kysytty

kaivokselle jäävä jännite $U_\text{k}$ ja kelpaako se

Periaate

Sähköasema pitää johdon alkupäässä jännitteen $20\,\text{kV}$. Johtimien resistanssin yli on jännitehäviö, joka on resistanssin ja virran tulo. Kaivokselle jää siirtojännitteen ja jännitehäviön erotus.

Kaava

$U_\text{k} = U - RI$

Muunnokset

$U = 20\,\text{kV} = 20\,000\,\text{V}$

Sijoitus

$RI$$= 9{,}40\,\Omega \cdot 300\,\text{A}$
$= 2820\,\text{V}$
$U_\text{k}$$= 20\,000\,\text{V} - 2820\,\text{V}$
$= 17\,180\,\text{V}$

Poikkeama on $2820\,\text{V} : 20\,000\,\text{V} \approx 14\,\%$.

Vastaus

$U_\text{k} \approx 17{,}2\,\text{kV}$

Se on noin $14\,\%$ nimellisarvoa pienempi. Se ei kelpaa, koska poikkeama on yli $10\,\%$. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, jotta poikkeaman voi verrata rajaan.

Järkevyys

Jännitehäviön ja virran tulo $2820\,\text{V} \cdot 300\,\text{A} = 846\,\text{kW}$ on sama kuin a-kohdan häviöteho, kuten pitää. $110\,\text{kV}$:n johdossa jännitehäviö olisi vain $9{,}40\,\Omega \cdot 54{,}5\,\text{A} \approx 0{,}51\,\text{kV}$ eli alle $0{,}5\,\%$.

d)

Kysytty

voiko $20\,\text{kV}$:n johdon häviön saada yhtä pieneksi paksummilla johtimilla

Periaate

Häviöteho on $P_\text{h} = RI^2$. Kun jännite on $20\,\text{kV}$, virta on aina $300\,\text{A}$. Häviötä voi siis pienentää vain pienentämällä resistanssia. Resistanssi on kääntäen verrannollinen poikkipinta-alaan. Johtimien massa on suoraan verrannollinen niiden tilavuuteen.

Mallivastaus

Tarvittava paksuus. Häviön pitää olla sama kuin $110\,\text{kV}$:n johdossa. Resistanssin on siis oltava $846\,\text{kW} : 28{,}0\,\text{kW} \approx 30$ kertaa pienempi. Poikkipinta-alan on silloin oltava $30{,}25 \cdot 150\,\text{mm}^2 \approx 4500\,\text{mm}^2$. Umpinaisen pyöreän johtimen halkaisija olisi $2\sqrt{4{,}5 \cdot 10^{-3}\,\text{m}^2 : \pi} \approx 7{,}6\,\text{cm}$.

Alumiinin määrä. Nykyisten johtimien massa on $2700\,\text{kg/m}^3 \cdot 5{,}0 \cdot 10^{4}\,\text{m} \cdot 150 \cdot 10^{-6}\,\text{m}^2 \approx 20\,\text{t}$. Paksujen johtimien massa olisi $30$-kertainen, noin $610\,\text{t}$. Pylväiden pitäisi kantaa tämä kaikki. Alumiini maksaisi moninkertaisesti muuntajan hinnan.

Miksi jännite kannattaa nostaa. Jännitteen nostaminen pienentää virtaa samassa suhteessa, ja häviö riippuu virran neliöstä. $5{,}5$-kertainen jännite pienentää häviön noin $30$:nteen osaan. Paksumpi johdin pienentää häviötä vain samassa suhteessa kuin poikkipinta-ala kasvaa. Saman tuloksen saamiseksi johdinta on siis paksunnettava $30$-kertaisesti.

Johtopäätös. Ehdotus toimisi periaatteessa, mutta johto olisi valtavan raskas ja kallis. Siksi pitkät siirrot tehdään suurella jännitteellä. Jännite lasketaan muuntajalla vasta käyttöpaikan lähellä.

e)

Annettu

johtimien etäisyys $r = 1{,}5\,\text{m}$, virta normaalikäytössä $I = 300\,\text{A}$ (a-kohta) ja oikosulussa $I_\text{k} = 8{,}0\,\text{kA}$, $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$, johtimen poikkipinta-ala $A = 150\,\text{mm}^2$ ja alumiinin tiheys $\rho_\text{Al} = 2700\,\text{kg/m}^3$

Kysytty

vetävätkö vai hylkivätkö johtimet toisiaan, voima johtimen metriä kohti $F : l$ kummassakin tilanteessa ja sen merkitys

Periaate

Virta kulkee kaivokselle toista johdinta pitkin ja palaa toista pitkin. Johtimissa kulkee siis yhtä suuri virta vastakkaisiin suuntiin. Kumpikin johdin on pitkä suora johdin. Johtimet ovat paljon pidempiä kuin niiden etäisyys. Siksi toisen johtimen kohdalla oleva magneettikenttä saadaan suoran johtimen kentän kaavasta. Kenttä on kohtisuorassa toista johdinta vastaan, joten siihen kohdistuu voima $F = IlB$. Oikean käden säännön mukaan vastakkaissuuntaiset virrat hylkivät toisiaan. Vaihtovirralla virrat vaihtavat suuntaa yhtä aikaa. Ne ovat siis aina vastakkaissuuntaiset, ja johtimet hylkivät toisiaan koko ajan. Johtimen metrin paino saadaan sen massasta, joka on tiheyden ja tilavuuden tulo.

Kaava

$B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$ ja $F = IlB$, joten

$\dfrac{F}{l}$$= \dfrac{\mu_0 I^2}{2\pi r}$

Painoa varten $\dfrac{G}{l} = \rho_\text{Al} A g$.

Muunnokset

$I_\text{k}$$= 8{,}0\,\text{kA}$
$= 8{,}0 \cdot 10^{3}\,\text{A}$
$A$$= 150\,\text{mm}^2$
$= 150 \cdot 10^{-6}\,\text{m}^2$

Sijoitus

Normaalikäytössä

$B$$= \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}} \cdot 300\,\text{A}}{2\pi \cdot 1{,}5\,\text{m}}$
$= 4{,}0 \cdot 10^{-5}\,\text{T}$
$\dfrac{F}{l}$$= 300\,\text{A} \cdot 4{,}0 \cdot 10^{-5}\,\text{T}$
$= 0{,}012\,\text{N/m}$

Oikosulussa

$B$$= \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}} \cdot 8{,}0 \cdot 10^{3}\,\text{A}}{2\pi \cdot 1{,}5\,\text{m}}$
$= 1{,}067 \cdot 10^{-3}\,\text{T}$
$\dfrac{F}{l}$$= 8{,}0 \cdot 10^{3}\,\text{A} \cdot 1{,}067 \cdot 10^{-3}\,\text{T}$
$= 8{,}53\,\text{N/m}$

Johtimen paino metriä kohti on

$\dfrac{G}{l}$$= 2700\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 150 \cdot 10^{-6}\,\text{m}^2 \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$
$= 3{,}97\,\text{N/m}$

Vastaus

Johtimet hylkivät toisiaan. Voima on normaalikäytössä noin $0{,}012\,\text{N}$ ja oikosulussa noin $8{,}5\,\text{N}$ johtimen jokaista metriä kohti. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten etäisyydessä ja oikosulkuvirrassa. Normaalikäytössä voimalla ei ole merkitystä. Oikosulussa voima on noin kaksinkertainen johtimen painoon nähden.

Järkevyys

Normaalikäytössä voima on vain noin $0{,}3\,\%$ johtimen painosta, joka on noin $4{,}0\,\text{N}$ metriä kohti. Oikosulussa virta on noin $27$-kertainen, ja voima kasvaa virran neliönä. Voima on siis noin $710$-kertainen: $8{,}53 : 3{,}97 \approx 2{,}1$ kertaa johtimen paino. Pylväiden välillä roikkuvat johtimet heilahtavat silloin erilleen. Ne voivat heilahtaa takaisin ja lyödä yhteen. Siksi johtimien väli mitoitetaan oikosulun mukaan, ja oikosulku katkaistaan sekunnin murto-osassa. Näin suuri virta on mahdollinen vain lähellä sähköasemaa, koska siellä johdon resistanssi vikapaikkaan asti on pieni.

Hyväksytään myös

  • a-kohdan voi laskea suoraan kaavalla $P_\text{h} = \dfrac{R P^2}{U^2}$. b-kohdan voi laskea a-kohdan tuloksesta suhteella $P_\text{h,110} = P_\text{h,20} \cdot (20 : 110)^2$.
  • c-kohdassa voi verrata jännitehäviötä suoraan sallittuun poikkeamaan $0{,}10 \cdot 20\,\text{kV} = 2{,}0\,\text{kV}$.
  • d-kohdassa riittää arvio, joka perustuu siihen, että poikkipinta-alan ja massan on oltava noin $30$-kertaiset.
  • e-kohdan oikosulkuvoiman voi laskea normaalikäytön voimasta virtojen suhteen neliöllä: $0{,}012\,\text{N/m} \cdot (8000 : 300)^2 \approx 8{,}5\,\text{N/m}$.

Yleisiä virheitä

  • Johdon pituudeksi otetaan $25\,\text{km}$, vaikka virtapiirissä on kaksi johdinta. Silloin resistanssi ja häviöt ovat puolet liian pienet.
  • Poikkipinta-alan neliömillimetrit muunnetaan neliömetreiksi kertoimella $10^{-3}$ eikä $10^{-6}$.
  • Häviöteho lasketaan kaavalla $U^2 : R$ käyttäen siirtojännitettä. Siirtojännite ei kuitenkaan ole johdon resistanssin yli oleva jännite.
  • b-kohdassa oletetaan, että virta pysyy samana jännitteen kasvaessa.
  • d-kohdassa luullaan, että häviö pienenee paksuuden eli halkaisijan suhteessa. Resistanssi riippuu kuitenkin poikkipinta-alasta.
  • e-kohdassa päätellään, että johtimet vetävät toisiaan puoleensa, vaikka virrat kulkevat niissä vastakkaisiin suuntiin.
  • e-kohdassa virtaa ei korota toiseen potenssiin. Toisen johtimen kenttä ja johtimeen kohdistuva voima ovat kuitenkin kumpikin suoraan verrannollisia virtaan.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa omaa ratkaisuasi mallivastaukseen. Valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi ansaitsee mielestäsi. Voit antaa myös osapisteitä. Myös muu fysiikan kannalta oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Laskee johtimien resistanssin virtapiirin koko pituudesta $2 \cdot 25\,\text{km}$: $R = \rho\dfrac{l}{A} \approx 9{,}4\,\Omega$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea. Kysytty suure on ratkaistu siitä ennen kuin lukuarvot sijoitetaan. $I = \dfrac{P}{U}$ ja $P_\text{h} = RI^2$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. $P_\text{h} \approx 850\,\text{kW}$ eli noin $14\,\%$ siirrettävästä tehosta 1 p

b)3 p

Perustelee, että sama teho kulkee $5{,}5$-kertaisella jännitteellä $5{,}5$ kertaa pienemmällä virralla. Siksi häviö pienenee $5{,}5^2 \approx 30$-kertaisesti. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea. Kysytty suure on ratkaistu siitä ennen kuin lukuarvot sijoitetaan. $P_\text{h} = R\left(\dfrac{P}{U}\right)^2$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. $P_\text{h} \approx 28\,\text{kW}$ eli noin $0{,}5\,\%$ 1 p

c)3 p

Perustelee, että osa siirtojännitteestä jää johtimien resistanssin yli. Jännitehäviö on $RI$. Kaivokselle jää siirtojännitteen ja jännitehäviön erotus. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea. Kysytty suure on ratkaistu siitä ennen kuin lukuarvot sijoitetaan. $U_\text{k} = U - RI$ 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. $U_\text{k} \approx 17{,}2\,\text{kV}$ on noin $14\,\%$ nimellisarvoa pienempi, joten se ei kelpaa. $110\,\text{kV}$:n johdossa jännitehäviö on vain noin $0{,}5\,\text{kV}$ eli $0{,}5\,\%$. 1 p

d)4 p

Laskee, että resistanssin on oltava noin $30$ kertaa pienempi. Silloin poikkipinta-alan on oltava noin $4500\,\text{mm}^2$. Se vastaa noin $7{,}6\,\text{cm}$:n paksuista umpinaista johdinta. 1 p
Arvioi alumiinin määrän: johtimien massa kasvaisi noin $20\,\text{t}$:sta noin $610\,\text{t}$:iin. 1 p
Selittää, miksi jännitteen nostaminen on tehokkaampaa. Häviö riippuu virran neliöstä, ja virta pienenee samassa suhteessa kuin jännite kasvaa. Paksumpi johdin pienentää häviötä vain samassa suhteessa kuin poikkipinta-ala kasvaa. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Ehdotus toimisi periaatteessa, mutta johto olisi valtavan raskas ja kallis. Siksi pitkät siirrot tehdään suurella jännitteellä. 1 p

e)4 p

Perustelee, että johtimissa kulkee yhtä suuri virta vastakkaisiin suuntiin, koska virta palaa sähköasemalle toista johdinta pitkin. Perustelee myös, että vastakkaissuuntaiset virrat hylkivät toisiaan. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea. Kysytty suure on ratkaistu siitä ennen kuin lukuarvot sijoitetaan. Toisen johtimen magneettikenttä on $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$ ja voima $F = IlB$. Siksi $\dfrac{F}{l} = \dfrac{\mu_0 I^2}{2\pi r}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. Normaalikäytössä $\dfrac{F}{l} \approx 0{,}012\,\text{N/m}$ ja oikosulussa noin $8{,}5\,\text{N/m}$. 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Vertaa johtimen painoon, noin $4{,}0\,\text{N}$ metriä kohti. Normaalikäytössä voima on mitätön. Oikosulussa se on noin kaksinkertainen painoon nähden, joten johtimet heilahtavat erilleen ja voivat lyödä yhteen. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 17 (17 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi. Ne eivät ole tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma. Se perustuu siihen, millainen on hyvä vastaus ylioppilaskokeessa. Se ei ole YTL:n virallinen pisteytys.

Valssaamon pyrometri 17 pistettä

Mallin laskemia arvoja · Spektri on laskettu mustan kappaleen säteilyn mallista. Teräksen, kuidun ja termoparin tiedot ovat keksittyjä esimerkkejä.

Terästehtaan kuumavalssaamossa hehkuva teräsaihio litistetään levyksi. Aihion lämpötilaa seurataan pyrometrillä. Pyrometri mittaa aihiosta tulevan säteilyn spektriä aallonpituuksilla noin $0{,}5$–$2{,}5\,\mu\text{m}$, eikä se koske aihioon. Valo kulkee valssien lähellä olevan suojaikkunan läpi. Valokuitu johtaa sen suojattuun mittalaitteeseen, koska mittalaite ei kestä kuumuutta.

Kuvassa on aihion lähettämän säteilyn spektri laajemmalla aallonpituusalueella. Aihion oletetaan olevan musta kappale.

Tiedot:

  • vakio $b = 2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}$
  • kuidun ytimen taitekerroin $1{,}44$ ja kuoren $1{,}42$, ilman $1{,}00$
  • suojaikkunan lasin taitekerroin $1{,}50$; ikkunan pinnalla on ohut magnesiumfluoridikalvo, jonka taitekerroin on $1{,}38$.

Oletetaan, että taitekertoimet ovat samat kaikilla aallonpituuksilla.

$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$0{,}2$
$0{,}4$
$0{,}6$
$0{,}8$
$1{,}0$
$0$
$\lambda\ (\mu\text{m})$
$\text{suhteellinen intensiteetti}$
$\text{näkyvä}$
  1. a) Määritä aihion pinnan lämpötila celsiusasteina. 3 p
  2. b) Valssaaja ihmettelee: ”Kuvaajan mukaan aihio säteilee melkein kaiken infrapunana. Miksi se sitten hehkuu oranssinpunaisena?” Selitä. 3 p
  3. c) Kuidun päähän osuva valo jatkaa kuidussa vain, jos se heijastuu kokonaan ytimen ja kuoren rajapinnasta. Kuinka suuri on tämän rajapinnan rajakulma? Kuinka suuri saa olla valon tulokulma ilmasta kuidun päätypinnalle? 4 p
  4. d) Samasta aihiosta mitattiin lämpötila myös termoparilla, joka työnnettiin aihion sisään porattuun reikään. Lämpötila oli $1210\,{}^\circ\text{C}$. Työnjohtaja epäilee, että pyrometri näyttää väärin. Arvioi, onko a-kohdan tulos ristiriidassa termoparin lukeman kanssa. Arvioi myös, mistä ero voi johtua. 4 p
  5. e) Suojaikkunan kalvo on suunniteltu niin, että ikkuna heijastaa mahdollisimman vähän spektrin huipun aallonpituudella $2{,}0\,\mu\text{m}$, kun valo tulee kohtisuoraan. Kuinka paksu on ohuin kalvo, joka toimii näin? Asentaja huomaa, että ikkunasta heijastuu päivänvalossa vihertävää valoa. Hän epäilee, että kalvo on väärä. Arvioi epäilyä. 3 p
Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

aihion säteilyn spektri (kuvaaja) ja $b = 2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}$

Kysytty

aihion pinnan lämpötila celsiusasteina

Periaate

Kuuman kappaleen lämpösäteilyn spektri on jatkuva. Spektrin huippu siirtyy lyhyempiin aallonpituuksiin, kun lämpötila kasvaa. Mustan kappaleen spektrin huipun aallonpituuden ja absoluuttisen lämpötilan tulo on vakio (Wienin siirtymälaki). Aihio oletetaan mustaksi kappaleeksi, kuten kuvaaja tekee.

Kuvaajan lukeminen

Käyrän huippu on ruudukon pystysuoralla viivalla $2{,}0\,\mu\text{m}$:n kohdalla, joten $\lambda_\text{max} = 2{,}0\,\mu\text{m}$. Huippu on loiva, joten sen paikan voi lukea noin $\pm 0{,}05\,\mu\text{m}$:n tarkkuudella (d-kohta).

Kaava

$\lambda_\text{max} T = b$, josta $T = \dfrac{b}{\lambda_\text{max}}$. Celsiusasteina lämpötilan lukuarvo on $273$ pienempi kuin kelvineinä.

Muunnokset

$\lambda_\text{max}$$= 2{,}0\,\mu\text{m}$
$= 2{,}0 \cdot 10^{-6}\,\text{m}$

Sijoitus

$T$$= \dfrac{2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}}{2{,}0 \cdot 10^{-6}\,\text{m}}$
$= 1449\,\text{K}$

joten

$t$$= (1449 - 273)\,{}^\circ\text{C}$
$\approx 1176\,{}^\circ\text{C}$

Vastaus

$T \approx 1450\,\text{K}$

Eli $t \approx 1180\,{}^\circ\text{C}$. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska huippu on ruudukon viivalla. Lukutarkkuuden vaikutus arvioidaan d-kohdassa.

Järkevyys

Kuumavalssattava teräs on tyypillisesti noin $1100$–$1250\,{}^\circ\text{C}$:n lämpötilassa. Se hehkuu oranssinpunaisena, kuten tuloksen mukaan kuuluu. Lämpötila on selvästi pienempi kuin teräksen sulamispiste, noin $1500\,{}^\circ\text{C}$. Näin pitääkin olla, koska aihio on kiinteä.

b)

Kysytty

miksi aihio hehkuu oranssinpunaisena, vaikka spektrin huippu on infrapuna-alueella

Periaate

Lämpösäteilyn spektri on jatkuva. Kappale säteilee kaikilla aallonpituuksilla, mutta kullakin eri määrän. Silmä näkee vain aallonpituudet noin $0{,}38$–$0{,}75\,\mu\text{m}$. Hehkun väri riippuu siitä, miten säteily jakautuu tällä alueella.

Mallivastaus

Kuvaajassa käyrä alkaa nousta jo näkyvän valon alueella, vaikka se näyttää siellä lähes nollalta. Näkyvää valoa on siis vain pieni osa koko säteilystä, mutta sitä on. Näkyvällä alueella intensiteetti kasvaa jyrkästi aallonpituuden kasvaessa. Punaista ja oranssia valoa on siis paljon enemmän kuin vihreää tai sinistä. Siksi hehku näyttää oranssinpunaiselta eikä valkoiselta.

Kuuma aihio säteilee kokonaisuudessaan valtavalla teholla, joten pienikin näkyvä osuus on silmälle kirkas. Huoneenlämpöisen kappaleen spektrin huippu on noin $10\,\mu\text{m}$:ssä. Sen näkyvän valon osuus on häviävän pieni, joten kappale ei hehku. Jos aihiota kuumennettaisiin lisää, huippu siirtyisi lyhyempiin aallonpituuksiin. Hehku muuttuisi keltaisemmaksi ja kirkkaammaksi.

c)

Annettu

ytimen taitekerroin $n_1 = 1{,}44$, kuoren $n_2 = 1{,}42$ ja ilman $1{,}00$

Kysytty

ytimen ja kuoren rajapinnan rajakulma $\alpha_\text{r}$ ja suurin tulokulma $\theta$ kuidun päätypinnalla

Periaate

Valo kulkee kahden rajapinnan kautta. Päätypinnalla se tulee ilmasta ytimeen ja taittuu normaalia kohti kulmaan $\beta$ (taittumislaki). Ytimen sivupinnalla valo heijastuu kokonaan, jos sen tulokulma on vähintään rajakulma. Päätypinta on kohtisuorassa sivupintaa vastaan. Siksi päätypinnan normaali on sivupinnan suuntainen, ja säteen tulokulma sivupinnalla on $90^\circ - \beta$. Mitä suurempi on $\theta$, sitä suurempi on $\beta$ ja sitä pienempi on sivupinnan tulokulma. Suurimmalla sallitulla tulokulmalla sivupinnan tulokulma on siis täsmälleen rajakulma.

$\text{kuori } n_2$
$\text{kuori } n_2$
$\text{ydin } n_1$
$\text{ilma}$
$\theta$
$\beta$
$\alpha_\text{r}$

Kaava

$n_1 \sin\alpha_\text{r} = n_2 \sin 90^\circ$, joten

$\sin\alpha_\text{r}$$= \dfrac{n_2}{n_1}$

Päätypinnalla $1{,}00 \cdot \sin\theta = n_1 \sin\beta$, kun $\beta = 90^\circ - \alpha_\text{r}$. Siksi $\sin\theta = n_1 \sin(90^\circ - \alpha_\text{r})$.

Muunnokset

Ei tarvita. Taitekertoimet ovat yksiköttömiä, ja kulmat ovat asteina.

Sijoitus

$\sin\alpha_\text{r}$$= \dfrac{1{,}42}{1{,}44}$
$= 0{,}9861$

joten $\alpha_\text{r} = 80{,}44^\circ$. Silloin

$\beta$$= 90^\circ - 80{,}44^\circ$
$= 9{,}56^\circ$
$\sin\theta$$= 1{,}44 \cdot \sin 9{,}56^\circ$
$= 1{,}44 \cdot 0{,}1661$
$= 0{,}2392$

joten $\theta = 13{,}84^\circ$.

Vastaus

$\alpha_\text{r} \approx 80{,}4^\circ$

Ja $\theta \approx 13{,}8^\circ$. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten taitekertoimissa.

Järkevyys

Ytimen ja kuoren taitekertoimet ovat lähes yhtä suuret. Siksi rajakulma on lähellä $90^\circ$:ta, ja kuituun pääsee vain valo, joka tulee lähes kuidun suuntaisesti. Pyrometrin on siksi katsottava aihiota kuidun suunnasta. Kuidun eteen tarvitaan linssi, joka kokoaa valon kapeaksi keilaksi. Kulma on samaa suuruusluokkaa kuin tietoliikennekuiduissa.

d)

Kysytty

onko a-kohdan tulos ristiriidassa termoparin lukeman $1210\,{}^\circ\text{C}$ kanssa ja mistä ero voi johtua

Periaate

Kaksi mittausta ovat ristiriidassa vain, jos niiden ero on suurempi kuin niiden epävarmuus. Lisäksi on mietittävä, mittaavatko menetelmät samaa asiaa. On myös mietittävä, ovatko mallin oletukset voimassa.

Mallivastaus

Epävarmuus. Spektrin huippu on loiva, joten sen paikan voi lukea kuvaajalta noin $\pm 0{,}05\,\mu\text{m}$:n tarkkuudella. Lämpötila on kääntäen verrannollinen huipun aallonpituuteen, joten suhteellinen epävarmuus on sama: $0{,}05 : 2{,}0 = 2{,}5\,\%$ eli $0{,}025 \cdot 1449\,\text{K} \approx 36\,\text{K}$. Ero termopariin on $1210\,{}^\circ\text{C} - 1176\,{}^\circ\text{C} = 34\,\text{K}$, joten se mahtuu lukutarkkuuden rajoihin.

Mitä menetelmät mittaavat. Pyrometri mittaa pinnan säteilyä. Termopari mittaa aihion sisäosan lämpötilaa. Pinta jäähtyy säteilemällä. Ilma ja valssit jäähdyttävät sitä myös. Pinta jäähtyy siis nopeammin kuin sisäosa, ja se voi todella olla kymmeniä asteita viileämpi.

Mallin oletukset. Pyrometri olettaa aihion mustaksi kappaleeksi. Oletetaan, että teräs säteilisi jokaisella aallonpituudella saman osuuden mustan kappaleen säteilystä. Silloin spektri olisi vain matalampi, huippu olisi samassa kohdassa, eikä tulos muuttuisi. Todellisen teräksen ja sen pinnan hilsekerroksen säteilykyky kuitenkin riippuu aallonpituudesta. Siksi spektrin muoto ja huipun paikka poikkeavat mustan kappaleen spektristä. Mallin antama lämpötila on siis vain likimääräinen.

Johtopäätös. Tulokset eivät ole ristiriidassa. Ero on lukutarkkuuden rajoissa, ja pinnan jäähtyminen selittää sen myös. Pyrometrin ei voi sanoa näyttävän väärin. Tarkempaa vertailua varten pyrometri kannattaisi kalibroida kappaleella, jonka lämpötila tunnetaan.

e)

Annettu

kalvon taitekerroin $n = 1{,}38$, lasin taitekerroin $1{,}50$, ilman $1{,}00$ ja aallonpituus $\lambda = 2{,}0\,\mu\text{m}$; valo tulee kohtisuoraan

Kysytty

ohuimman heijastusta vähentävän kalvon paksuus $d$ ja onko vihertävä heijastus merkki väärästä kalvosta

Periaate

Kalvon ylä- ja alapinnasta heijastuneet aallot interferoivat. Valo tulee kohtisuoraan. Alapinnasta heijastunut aalto kulkee silloin lisämatkan $2d$ kalvossa, jossa aallonpituus on $\lambda : n$. Matkaero on siis $2nd$ ilman aallonpituuksina. Kumpikin heijastus tapahtuu suuremman taitekertoimen ainetta vasten ($1{,}00 \to 1{,}38 \to 1{,}50$). Kumpikin heijastus kääntää aallon, joten käännökset kumoavat toisensa. Silloin aallot heikentävät toisiaan, kun $2nd = (k + \tfrac{1}{2})\lambda$. Ne vahvistavat toisiaan, kun $2nd = k\lambda$. Ohuin heikentävä kalvo saadaan arvolla $k = 0$.

Kaava

$2nd = \tfrac{1}{2}\lambda$, josta $d = \dfrac{\lambda}{4n}$

Muunnokset

$\lambda$$= 2{,}0\,\mu\text{m}$
$= 2{,}0 \cdot 10^{-6}\,\text{m}$

Sijoitus

$d$$= \dfrac{2{,}0 \cdot 10^{-6}\,\text{m}}{4 \cdot 1{,}38}$
$= 3{,}62 \cdot 10^{-7}\,\text{m}$
$= 362\,\text{nm}$

Vastaus

Ohuin kalvo on $d \approx 0{,}36\,\mu\text{m}$ eli noin $360\,\text{nm}$ paksu. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten aallonpituudessa. Vihertävä heijastus ei ole merkki väärästä kalvosta. Se kuuluu infrapunalle suunnitellulle kalvolle.

Järkevyys

Kalvo on neljäsosa aallonpituudesta kalvossa: $2000\,\text{nm} : 1{,}38 = 1449\,\text{nm}$, ja sen neljäsosa on $362\,\text{nm}$. Näin heijastuksenestokalvossa kuuluu olla. Matkaero on

$2nd$$= 2 \cdot 1{,}38 \cdot 362\,\text{nm}$
$= 1000\,\text{nm}$

Näkyvän valon alueella se on kaksi kertaa $500\,\text{nm}$, joten vihertävä valo $500\,\text{nm}$ vahvistuu ($2nd = 2\lambda$). Punainen valo $667\,\text{nm}$ ($2nd = 1{,}5\lambda$) ja violetti valo $400\,\text{nm}$ ($2nd = 2{,}5\lambda$) heikkenevät. Siksi ikkuna heijastaa vihertävää valoa, ja asentajan epäily on aiheeton.

Hyväksytään myös

  • a-kohdassa lämpötilan voi muuttaa celsiusasteiksi vähentämällä $273$. Vastaukseksi hyväksytään $1180\,{}^\circ\text{C}$ tai $1176\,{}^\circ\text{C}$.
  • c-kohdassa voi laskea ensin kulman $\beta$ ehdosta $\cos\beta = \sin\alpha_\text{r}$. Voi myös käyttää suoraan yhtälöä $\sin\theta = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$, joka seuraa samoista laeista.
  • d-kohdassa lukutarkkuudeksi hyväksytään perusteltu arvio välillä $\pm 0{,}05$–$0{,}1\,\mu\text{m}$.

Yleisiä virheitä

  • Lämpötila lasketaan Wienin laista celsiusasteina, tai aallonpituutta ei muunneta metreiksi.
  • Huipun aallonpituudeksi luetaan näkyvän valon alue, koska aihio hehkuu.
  • b-kohdassa väitetään, että infrapunasäteily näkyy punaisena.
  • c-kohdassa päätypinnan taitekulmaa käytetään suoraan sivupinnan tulokulmana. Tai rajakulma lasketaan ilman ja ytimen rajapinnalle.
  • c-kohdassa taitekertoimet vaihdetaan rajakulman lausekkeessa. Silloin sinin arvoksi tulee yli $1$.
  • d-kohdassa todetaan pyrometrin näyttävän väärin vertaamatta eroa mittauksen epävarmuuteen.
  • d-kohdassa sanotaan, että mustaa kappaletta heikompi säteily siirtää huippua. Huippu siirtyy kuitenkin vain, jos säteilykyky riippuu aallonpituudesta.
  • e-kohdassa oletetaan, että vain toinen heijastus kääntää aallon, kuten saippuakalvossa. Silloin paksuudeksi saadaan kaksinkertainen $\lambda : (2n) \approx 725\,\text{nm}$.
  • e-kohdassa taitekerroin unohdetaan, jolloin paksuudeksi saadaan $\lambda : 4 = 500\,\text{nm}$.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa omaa ratkaisuasi mallivastaukseen. Valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi ansaitsee mielestäsi. Voit antaa myös osapisteitä. Myös muu fysiikan kannalta oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi. Luku on tehty kahdesta pisteestä, jotka ovat suoralla kaukana toisistaan. Huippu on ruudukon viivalla: $\lambda_\text{max} = 2{,}0\,\mu\text{m}$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea. Kysytty suure on ratkaistu siitä ennen kuin lukuarvot sijoitetaan. $\lambda_\text{max} T = b$, josta $T = \dfrac{b}{\lambda_\text{max}}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. $T \approx 1450\,\text{K}$ eli noin $1180\,{}^\circ\text{C}$ 1 p

b)3 p

Selittää, että spektri on jatkuva. Pieni osa säteilystä on näkyvän valon alueella, vaikka huippu on infrapuna-alueella. 1 p
Selittää, että näkyvällä alueella intensiteetti kasvaa aallonpituuden kasvaessa. Siksi punaista ja oranssia valoa on paljon enemmän kuin sinistä. 1 p
Toteaa, että kuuma aihio säteilee niin suurella teholla, että pienikin näkyvä osuus riittää silmälle. Huoneenlämpöinen kappale ei hehku, koska sen spektrissä ei käytännössä ole näkyvää valoa. 1 p

c)4 p

Hahmottaa kahden rajapinnan geometrian. Päätypinnalla valo taittuu kulmaan $\beta$. Päätypinta on kohtisuorassa ytimen sivupintaa vastaan, joten sivupinnan tulokulma on $90^\circ - \beta$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea. Kysytty suure on ratkaistu siitä ennen kuin lukuarvot sijoitetaan. $\sin\alpha_\text{r} = \dfrac{n_2}{n_1}$ ja $1{,}00 \cdot \sin\theta = n_1\sin\beta$, kun $\beta = 90^\circ - \alpha_\text{r}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\beta \approx 9{,}56^\circ$ ja $\sin\theta \approx 0{,}239$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. $\alpha_\text{r} \approx 80{,}4^\circ$ ja $\theta \approx 13{,}8^\circ$ 1 p

d)4 p

Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Huippu on loiva, joten sen paikan voi lukea noin $\pm 0{,}05\,\mu\text{m}$:n tarkkuudella. Se vastaa lämpötilassa noin $\pm 36\,\text{K}$. 1 p
Tärkeimmät virhelähteet on nimetty. On myös kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. Pinta jäähtyy säteilemällä. Valssit ja ilma jäähdyttävät sitä myös. Siksi pinta jäähtyy nopeammin kuin aihion sisäosa, jonka lämpötilan termopari mittaa. Pinta voi siis todella olla viileämpi. 1 p
Oletus on nimetty. On myös perusteltu, miten se vaikuttaa tulokseen. Teräksen ja sen pinnan hilsekerroksen säteilykyky riippuu aallonpituudesta. Siksi spektrin muoto ja huipun paikka poikkeavat mustan kappaleen spektristä, ja mallin antama lämpötila on vain likimääräinen. Jos säteily olisi mustaa kappaletta pienempi joka aallonpituudella samassa suhteessa, huippu ei siirtyisi. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Ero on noin $34\,\text{K}$. Se on lukutarkkuuden rajoissa, ja pinnan jäähtyminen selittää sen myös. Pyrometrin ei siis voi sanoa näyttävän väärin. 1 p

e)3 p

Perustelee, että kumpikin heijastus tapahtuu suuremman taitekertoimen ainetta vasten. Heijastukset ovat ilmasta kalvoon ja kalvosta lasiin. Siksi käännökset kumoavat toisensa. Heijastuneet aallot heikentävät toisiaan, kun $2nd = (k + \tfrac{1}{2})\lambda$. Ohuimmalla kalvolla $k = 0$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. $d = \dfrac{\lambda}{4n} \approx 362\,\text{nm} \approx 0{,}36\,\mu\text{m}$ 1 p
Selittää vihreän heijastuksen. Matkaero $2nd = 1000\,\text{nm}$ on kaksi kertaa $500\,\text{nm}$, joten vihreä valo vahvistuu heijastuksessa ($2nd = k\lambda$, $k = 2$). Kalvo ei siis ole väärä, vaan se on suunniteltu infrapunalle. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 17 (17 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi. Ne eivät ole tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma. Se perustuu siihen, millainen on hyvä vastaus ylioppilaskokeessa. Se ei ole YTL:n virallinen pisteytys.

Vetylampun spektri 17 pistettä

Simuloitu esimerkkiaineisto · Aallonpituudet: NIST Atomic Spectra Database (2024), aallonpituudet ilmassa. Kulmat on laskettu valon interferenssin mallista keksitylle hilalle. Ne on pyöristetty goniometrin lukematarkkuuteen $0{,}1^\circ$, joten niissä on lukematarkkuuden mukaista vaihtelua.

Opiskelijaryhmä tutki vetylampun valoa hilaspektrometrillä. Valo kulkee kapean raon ja linssin kautta kohtisuoraan hilaan. Maksimien suunnat mitataan kääntyvällä kiikarilla. Hilan viivatiheys oli merkitty laitteeseen, mutta merkintä oli kulunut lukukelvottomaksi.

Ryhmä mittasi vedyn neljän spektriviivan maksimien suunnat $\theta$ tulevan valon suuntaan nähden. Viivojen aallonpituudet $\lambda$ ovat taulukkokirjasta.

viiva $\lambda\ (\text{nm})$ kertaluku $\theta$
punainen $656{,}28$ $1$ $23{,}2^\circ$
sinivihreä $486{,}13$ $1$ $17{,}0^\circ$
sininen $434{,}05$ $1$ $15{,}1^\circ$
violetti $410{,}17$ $1$ $14{,}2^\circ$
punainen $656{,}28$ $2$ $52{,}0^\circ$
sinivihreä $486{,}13$ $2$ $35{,}7^\circ$

Ryhmä huomasi spektrissä myös keltaisen viivan, joka ei kuulu vedylle. Sen ensimmäisen kertaluvun maksimi oli kulmassa $20{,}7^\circ$. Goniometrin lukematarkkuus on $0{,}1^\circ$.

  1. a) Muodosta mittauksista kuvaaja. Mallin mukaan kaikkiin kuuteen pisteeseen sopii sama origon kautta kulkeva suora. 5 p
  2. b) Määritä kuvaajasta hilan viivatiheys eli viivojen lukumäärä millimetrillä. 3 p
  3. c) Kuinka suuri on keltaisen viivan aallonpituus? 3 p
  4. d) Taulukkokirjan mukaan heliumin keltainen viiva on aallonpituudella $587{,}56\,\text{nm}$. Natriumin keltaiset viivat ovat aallonpituuksilla $588{,}99\,\text{nm}$ ja $589{,}59\,\text{nm}$. Ryhmä päättelee, että lampussa on natriumia epäpuhtautena. Arvioi päätelmää. Miten mittausta voisi parantaa, jotta heliumin ja natriumin voisi erottaa? 3 p
  5. e) Opiskelija huomauttaa: ”Lasiprismassa violetti valo poikkeaa suunnastaan eniten, mutta hilassa punainen. Toinen havainnoista on varmasti väärin.” Arvioi väitettä. 3 p
Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

kuvaaja, jonka kaikkiin kuuteen pisteeseen sopii sama origon kautta kulkeva suora

Kuvaaja

Hilassa maksimi syntyy suuntaan, jossa vierekkäisistä raoista tulevien aaltojen matkaero $d\sin\theta$ on aallonpituuden monikerta: $d\sin\theta = k\lambda$. Tästä seuraa $\sin\theta = \dfrac{1}{d} \cdot k\lambda$. Valitaan vaaka-akselille $k\lambda$ ja pystyakselille $\sin\theta$. Silloin sekä ensimmäisen että toisen kertaluvun pisteet ovat samalla origon kautta kulkevalla suoralla. Suoran kulmakerroin on $\tfrac{1}{d}$. Jos vaaka-akselilla olisi pelkkä aallonpituus, pisteet olisivat kahdella eri suoralla.

viiva $k$ $k\lambda\ (\text{nm})$ $\sin\theta$
punainen $1$ $656$ $0{,}394$
sinivihreä $1$ $486$ $0{,}292$
sininen $1$ $434$ $0{,}261$
violetti $1$ $410$ $0{,}245$
punainen $2$ $1313$ $0{,}788$
sinivihreä $2$ $972$ $0{,}584$

Esimerkiksi toisen kertaluvun punaiselle viivalle $k\lambda = 2 \cdot 656{,}28\,\text{nm} = 1313\,\text{nm}$ ja $\sin 52{,}0^\circ = 0{,}788$.

$400$
$800$
$1200$
$0{,}2$
$0{,}4$
$0{,}6$
$0{,}8$
$0$
$k\lambda\ (\text{nm})$
$\sin\theta$
$(1300;\ 0{,}780)$

Mallivastaus

Vaaka-akselilla on $k\lambda$ nanometreinä ja pystyakselilla yksikötön $\sin\theta$. Molemmat asteikot ovat tasavälisiä ja alkavat nollasta. Jokainen mittaus on oma pisteensä. Pisteisiin sovitetaan origon kautta kulkeva suora, koska mallin mukaan $\sin\theta = 0$, kun $k\lambda = 0$ (keskimaksimi). Suora kulkee kaikkien kuuden pisteen kautta lukutarkkuuden rajoissa. Malli sopii siis aineistoon, eikä toisen kertaluvun pisteissä ole poikkeamaa.

b)

Annettu

a-kohdan kuvaaja ja sen suora

Kysytty

hilan viivatiheys eli viivojen lukumäärä millimetrillä

Periaate

Suoran kulmakerroin on mallin mukaan $\tfrac{1}{d}$, missä $d$ on hilavakio eli vierekkäisten rakojen etäisyys. Kulmakerroin luetaan suoralta kahdesta kaukana toisistaan olevasta pisteestä. Toinen niistä voi olla origo, koska suora kulkee sen kautta. Viivatiheys on millimetri jaettuna hilavakiolla.

Kuvaajan lukeminen

Suoralta luetaan piste $(1300\,\text{nm}$; $0{,}780)$, joka on kaukana origosta. Kulmakerroin on $0{,}780 : 1300\,\text{nm} = 6{,}00 \cdot 10^{-4}\,\tfrac{1}{\text{nm}}$.

Kaava

$\dfrac{1}{d} = \text{kulmakerroin}$, joten $d = \dfrac{1}{\text{kulmakerroin}}$, ja viivatiheys on $N = \dfrac{1\,\text{mm}}{d}$.

Muunnokset

$1\,\text{mm} = 10^{6}\,\text{nm}$

Sijoitus

$d$$= \dfrac{1}{6{,}00 \cdot 10^{-4}\,\tfrac{1}{\text{nm}}}$
$= 1667\,\text{nm}$
$N$$= \dfrac{10^{6}\,\text{nm}}{1667\,\text{nm}}$
$= 600$

Vastaus

$d \approx 1{,}67\,\mu\text{m}$

Joten hilassa on noin $600$ viivaa millimetrillä. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten kuvaajalta luetussa pisteessä.

Järkevyys

Opetuskäytön hiloissa on tyypillisesti $100$–$600$ viivaa millimetrillä, joten tulos on tavallinen. Hilavakio on kolmisen kertaa näkyvän valon aallonpituus. Siksi ensimmäisen kertaluvun maksimit ovat noin $15$–$25^\circ$:n kulmissa, kuten mitattiin.

c)

Annettu

keltaisen viivan ensimmäisen kertaluvun maksimi kulmassa $\theta = 20{,}7^\circ$ ja hilavakio $d = 1667\,\text{nm}$ (b-kohta)

Kysytty

keltaisen viivan aallonpituus $\lambda$

Periaate

Sama hila ja sama maksimien ehto pätevät kaikelle valolle. Kun hilavakio tunnetaan, tuntematon aallonpituus saadaan mitatusta kulmasta.

Kaava

$d\sin\theta = k\lambda$, joten kun $k = 1$, $\lambda = d\sin\theta$.

Muunnokset

Ei tarvita. Hilavakio on nanometreinä, joten aallonpituus saadaan nanometreinä.

Sijoitus

$\lambda$$= 1667\,\text{nm} \cdot \sin 20{,}7^\circ$
$= 1667\,\text{nm} \cdot 0{,}3535$
$= 589{,}1\,\text{nm}$

Vastaus

$\lambda \approx 589\,\text{nm}$

Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten kulmassa.

Järkevyys

Kulma on punaisen ($23{,}2^\circ$) ja sinivihreän ($17{,}0^\circ$) viivan välissä. Aallonpituus on vastaavasti niiden välissä keltaisen valon alueella. Kuvaajalta saa saman tuloksen: kun $\sin 20{,}7^\circ \approx 0{,}354$, suoralta luetaan $k\lambda \approx 590\,\text{nm}$.

d)

Kysytty

onko päätelmä natriumista perusteltu ja miten mittausta voisi parantaa

Periaate

Kaksi vaihtoehtoa voi erottaa mittauksella vain, jos niiden ero on suurempi kuin mittauksen epävarmuus. Kulman epävarmuus siirtyy aallonpituuteen hilan yhtälön kautta.

Mallivastaus

Epävarmuus. Kulman lukematarkkuus on $0{,}1^\circ$. Lasketaan aallonpituudet kulmista $20{,}6^\circ$ ja $20{,}8^\circ$: $1667\,\text{nm} \cdot \sin 20{,}6^\circ \approx 586{,}5\,\text{nm}$ ja $1667\,\text{nm} \cdot \sin 20{,}8^\circ \approx 592{,}0\,\text{nm}$. Aallonpituuden epävarmuus on siis noin $\pm 3\,\text{nm}$, eli $\lambda = (589 \pm 3)\,\text{nm}$. Myös hilavakiossa on pieni epävarmuus, joka vain kasvattaa tätä.

Päätelmän arviointi. Heliumin viiva $587{,}56\,\text{nm}$ ja natriumin viivat $588{,}99\,\text{nm}$ ja $589{,}59\,\text{nm}$ ovat kaikki välillä $586$–$592\,\text{nm}$. Heliumin ja natriumin ero, noin $1{,}4\,\text{nm}$, on epävarmuutta pienempi. Kulmina ero on vain $20{,}64^\circ$ ja $20{,}70^\circ$ eli noin $0{,}05^\circ$. Se on alle goniometrin lukematarkkuuden. Mittaus ei siis erota natriumia heliumista, eikä ryhmän päätelmä ole perusteltu tällä mittauksella. Lampussa voi olla natriumia, mutta se ei seuraa tästä mittauksesta.

Parannukset. Maksimien ehdosta $\sin\theta = \dfrac{k\lambda}{d}$ nähdään, että kun aallonpituus muuttuu, kulman sini muuttuu $k$-kertaisesti. Toisessa kertaluvussa heliumin ja natriumin maksimit ovat kulmissa $44{,}84^\circ$ ja $44{,}98^\circ$. Ero on siis noin $0{,}14^\circ$, lähes kolminkertainen ensimmäiseen kertalukuun verrattuna. Aallonpituuden epävarmuus on noin $\pm 1\,\text{nm}$. Toinen kertaluku helpottaisi erottamista, mutta yksinään se riittää vain niukasti. Kulmaero on vain hieman lukematarkkuutta $0{,}1^\circ$ suurempi, ja $\pm 1\,\text{nm}$ on lähes yhtä suuri kuin viivojen väli $1{,}4\,\text{nm}$. Siksi tarvitaan lisäksi tiheämpi hila, jossa kulmat ovat suurempia, tai tarkempi goniometri. Lisäksi kulman voi mitata keskimaksimin molemmin puolin ja käyttää puolta niiden välisestä kulmasta. Se poistaa hilan kallistuksen aiheuttaman virheen.

e)

Kysytty

onko jompikumpi havainto väärin, kun prismassa violetti ja hilassa punainen poikkeaa eniten

Periaate

Hila ja prisma erottavat värit eri ilmiöiden avulla. Hilassa suunta määräytyy aaltojen interferenssistä. Prismassa suunta määräytyy taittumisesta, joka riippuu taitekertoimesta.

Mallivastaus

Hila. Maksimi syntyy suuntaan, jossa vierekkäisistä raoista tulevat aallot kohtaavat samassa vaiheessa. Silloin niiden matkaero $d\sin\theta$ on aallonpituuden monikerta. Pidempi aallonpituus vaatii suuremman matkaeron ja siis suuremman kulman. Punainen valo poikkeaa siis eniten ja violetti vähiten, kuten taulukossa.

Prisma. Valo taittuu tullessaan lasiin ja lähtiessään siitä. Lasin taitekerroin riippuu aallonpituudesta (dispersio). Se on violetille valolle suurempi kuin punaiselle, koska violetti valo etenee lasissa hitaammin. Siksi violetti taittuu eniten.

Johtopäätös. Väite on väärä. Kumpikin havainto on oikein. Värit erottuvat eri ilmiöiden vuoksi: hilassa interferenssin ja prismassa taittumisen vuoksi. Värien järjestys voi siksi olla päinvastainen.

Hyväksytään myös

  • a-kohdassa vaaka-akselille voi valita $k\lambda$:n metreinä tai mikrometreinä. Silloin kulmakerroin on vastaavassa yksikössä.
  • b-kohdan kulmakertoimen voi lukea kahdesta muustakin kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Vastaukseksi hyväksytään $590$–$610$ viivaa millimetrillä.
  • c-kohdan aallonpituuden voi lukea myös kuvaajalta, kun pystyakselilta on ensin laskettu $\sin 20{,}7^\circ$.
  • d-kohdan epävarmuuden voi arvioida myös kulmien erosta: heliumin ja natriumin maksimien ero on vain noin $0{,}05^\circ$. Se on alle lukematarkkuuden.

Yleisiä virheitä

  • Kuvaajan vaaka-akselille valitaan pelkkä aallonpituus. Silloin toisen kertaluvun pisteet ovat eri suoralla.
  • Kulmat piirretään kuvaajaan asteina, vaikka malli on lineaarinen kulman sinissä.
  • Kulmakerroin luetaan yksittäisestä mittauspisteestä eikä sovitetusta suorasta.
  • Viivatiheys sekoitetaan hilavakioon, tai nanometrit muunnetaan millimetreiksi väärin.
  • d-kohdassa tulos $589\,\text{nm}$ hyväksytään natriumiksi vertaamatta heliumin ja natriumin eroa mittauksen epävarmuuteen.
  • e-kohdassa väitetään, että hilassakin taitekerroin aiheuttaa värien erottumisen.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa omaa ratkaisuasi mallivastaukseen. Valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi ansaitsee mielestäsi. Voit antaa myös osapisteitä. Myös muu fysiikan kannalta oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Perustelee kuvaajan suureet maksimien ehdosta $d\sin\theta = k\lambda$. Kun vaaka-akselilla on $k\lambda$ ja pystyakselilla $\sin\theta$, molempien kertalukujen pisteet ovat samalla suoralla. Suoran kulmakerroin on $\tfrac{1}{d}$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Kulmien sinit ja tulot $k\lambda$ on laskettu. Esimerkiksi toisen kertaluvun punaiselle viivalle $\sin 52{,}0^\circ \approx 0{,}788$ ja $k\lambda \approx 1313\,\text{nm}$. 1 p
Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. 1 p
Jokainen mittaus on merkitty erillisenä pisteenä oikealle paikalleen. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii. Pisteitä ei ole yhdistetty murtoviivaksi. Origon kautta kulkeva suora sopii kaikkiin kuuteen pisteeseen. 1 p

b)3 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi. Luku on tehty kahdesta pisteestä, jotka ovat suoralla kaukana toisistaan. Kulmakerroin $\approx 6{,}00 \cdot 10^{-4}\,\tfrac{1}{\text{nm}}$ on luettu suoran pisteestä kaukana origosta, esimerkiksi $(1300\,\text{nm}$; $0{,}780)$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea. Kysytty suure on ratkaistu siitä ennen kuin lukuarvot sijoitetaan. Kulmakerroin on $\tfrac{1}{d}$, joten $d = \tfrac{1}{\text{kulmakerroin}}$, ja viivatiheys on $1\,\text{mm} : d$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. $d \approx 1{,}67\,\mu\text{m}$, joten millimetrillä on noin $600$ viivaa. 1 p

c)3 p

Lähtöyhtälö on oikea. Kysytty suure on ratkaistu siitä ennen kuin lukuarvot sijoitetaan. $\lambda = d\sin\theta$, kun $k = 1$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\lambda = 1667\,\text{nm} \cdot \sin 20{,}7^\circ$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. $\lambda \approx 589\,\text{nm}$ 1 p

d)3 p

Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Lukematarkkuus $0{,}1^\circ$ tarkoittaa ensimmäisessä kertaluvussa noin $\pm 3\,\text{nm}$:n epävarmuutta aallonpituudessa. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Tulos sopii natriumiin, mutta myös heliumiin. Niiden ero, noin $1{,}4\,\text{nm}$, on epävarmuutta pienempi. Päätelmä ei siis ole perusteltu tällä mittauksella. 1 p
Ehdottaa perusteltua parannusta. Toisessa kertaluvussa $\sin\theta = \dfrac{k\lambda}{d}$ muuttuu aallonpituuden mukana kaksinkertaisesti, ja kulmaero kasvaa noin $0{,}14^\circ$:een. Se on kuitenkin vain hieman lukematarkkuutta suurempi. Siksi tarvitaan myös tarkempi goniometri tai tiheämpi hila. 1 p

e)3 p

Selittää, että hilassa maksimi syntyy suuntaan, jossa vierekkäisistä raoista tulevien aaltojen matkaero on aallonpituuden monikerta. Pidempi aallonpituus vaatii suuremman kulman, joten punainen poikkeaa eniten. 1 p
Selittää, että prismassa valo taittuu. Lasin taitekerroin on violetille valolle suurempi kuin punaiselle, joten violetti taittuu eniten. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite on väärä. Kumpikin havainto on oikein, koska värit erottuvat eri ilmiöiden vuoksi: hilassa interferenssin ja prismassa taittumisen vuoksi. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 17 (17 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi. Ne eivät ole tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma. Se perustuu siihen, millainen on hyvä vastaus ylioppilaskokeessa. Se ei ole YTL:n virallinen pisteytys.