Dispersio: prisma ja sateenkaari
Miksi sateenkaaressa punainen on aina ulkoreunalla ja violetti sisäreunalla? Ja miksi sateenkaaren näkee vain silloin, kun aurinko on selän takana?
Pohjatiedot
- Valo taittuu rajapinnassa taittumislain $n_1 \sin\alpha_1 = n_2 \sin\alpha_2$ mukaan, ja $n = c : v$luku Valon heijastuminen ja taittuminen
- Näkyvän valon aallonpituudet ovat noin $400$–$700\,\text{nm}$, ja $c = f\lambda$luku Sähkömagneettinen säteily ja mustan kappaleen spektri
Ydinpolku: tee vaiheet järjestyksessä. Valinnainen-tehtävät ovat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä on 4.
Luvun tärkeät käsitteet Vapaaehtoinen
Tutustu luvun tärkeisiin käsitteisiin. Voit kirjoittaa niiden merkitykset sinulle vahvimmalla kielellä tai useammalla kielellä.
- Dispersio
- Ilmiö, jossa aineen taitekerroin riippuu valon aallonpituudesta. Vedessä ja lasissa violetin valon taitekerroin on suurempi kuin punaisen, joten violetti taittuu enemmän.
- Spektri
- Värien viuhka, joka syntyy, kun prisma erottaa valkoisen valon väreiksi. Värit ovat valmiina valkoisessa valossa, eikä prisma värjää valoa.
- Poikkeamakulma
- Kulma $\delta$, jonka verran säde kääntyy alkuperäisestä suunnastaan, kun se kulkee prisman läpi. Lasiprismassa violetin valon poikkeamakulma on suurempi kuin punaisen.
- Sateenkaari
- Värikaari, joka syntyy, kun auringonvalo taittuu sadepisaraan, heijastuu sen takapinnasta ja taittuu ulos. Pääkaaressa punainen näkyy noin $42^\circ$:n kulmassa vastapisteestä.
- Vastapiste
- Piste suoraan aurinkoa vastapäätä, oman pään varjon kohdalla. Sateenkaari on ympyrän kaari, jonka keskipiste on vastapiste.
Pohdinta
Kesäsateen jälkeen taivaalla on sateenkaari. Sen ulkoreuna on punainen ja sisäreuna violetti. Joskus sen ulkopuolella näkyy toinen, himmeämpi kaari. Samat värit näkyvät, kun aurinko paistaa lasiprisman tai kattokruunun kristallin läpi. Sadepisarat ja lasi ovat värittömiä, ja auringonvalo on valkoista.
Mistä sateenkaaren värit tulevat, ja miksi ne ovat aina samassa järjestyksessä?
Valinnainen Kertaa: taittuminen
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: mikä väri poikkeaa eniten?
Ennuste 2: mistä sateenkaarta etsitään?
Tutki
Kapea valkoisen valon kimppu osuu prismaan pimennetyssä huoneessa. Säädä huippukulmaa, tulokulmaa ja ainetta. Seuraa, kuinka paljon kukin väri poikkeaa.
Simulaatio
Käyttöohje
Säädä prisman huippukulmaa $A$ ja tulokulmaa $\alpha_1$ ja valitse aine. Valkoinen säde tulee vasemmalta. Prismassa se hajoaa seitsemäksi värisäteeksi, jotka näyttävät päällekkäin valkoisilta. Oikealla olevaan varjostimeen osuu spektri. Katkoviivat ovat pintojen normaalit ja tulevan säteen jatke. Värisäteen ja jatkeen välinen kulma on poikkeamakulma. Lukemat-riviltä näet punaisen ($656\,\text{nm}$) ja violetin ($405\,\text{nm}$) poikkeamakulmat, niiden eron ja taitekertoimet.
Mallin oletukset
Malli käsittelee valoa säteinä. Kapea kimppu osuu prisman vasemman sivun keskelle. Jokaisen värin suunta lasketaan taittumislaista $n_1 \sin\alpha_1 = n_2 \sin\alpha_2$ kummassakin pinnassa. Prisma on ilmassa, ja ilman taitekerroin on $1$. Taitekerroin saadaan käyrästä, joka on sovitettu aineen taulukkoarvoihin. Kruunulasin ja veden punaisen ja violetin taitekertoimet ovat luvun taulukon arvot. Pinnoista heijastuvaa osaa valosta ei piirretä. Jos väri ei pääse ulos toisesta pinnasta, sen säde piirretään heijastuneena takaisin lasiin. Lukemat ovat mallin laskemia arvoja, eivät mittauksia.
Laskennan selitys
Ensimmäisessä pinnassa $\sin\alpha_2 = \sin\alpha_1 : n$. Lasin sisällä $\alpha_3 = A - \alpha_2$, ja toisessa pinnassa $\sin\alpha_4 = n \sin\alpha_3$. Poikkeamakulma on
$$\delta = \alpha_1 + \alpha_4 - A$$
ja värien ero on $\Delta\delta = \delta_\text{v} - \delta_\text{p}$. Jos $n \sin\alpha_3 > 1$, väri ei pääse ulos.
Koe 1: huippukulma kasvaa
Testaa ennuste 1. Prisma on kruunulasia ja tulokulma on $\alpha_1 = 50^\circ$. Muuta vain huippukulmaa $A$. Kirjaa ainakin huippukulmat $30^\circ$, $40^\circ$, $50^\circ$, $60^\circ$ ja $70^\circ$. Vertaa punaisen ja violetin poikkeamakulmia ja niiden eroa.
Alkutila: huippukulma $A$ = $30^\circ$, tulokulma $\alpha _1$ = $50^\circ$, aine: kruunulasi. Vakiona: tulokulma $\alpha _1$, aine. Muutetaan: huippukulma $A$.
| huippukulma $A$ | punaisen poikkeama $(^\circ)$ | violetin poikkeama $(^\circ)$ | ero $(^\circ)$ |
|---|
Valinnainen Koe 2: tulokulma ja pienin poikkeama
Prisma on kruunulasia ja huippukulma on $A = 60^\circ$. Muuta vain tulokulmaa $\alpha_1$. Kirjaa ainakin tulokulmat $40^\circ$, $45^\circ$, $50^\circ$, $55^\circ$, $60^\circ$, $70^\circ$ ja $80^\circ$. Seuraa punaisen poikkeamakulmaa $\delta_\text{p}$.
Alkutila: huippukulma $A$ = $60^\circ$, tulokulma $\alpha _1$ = $40^\circ$, aine: kruunulasi. Vakiona: huippukulma $A$, aine. Muutetaan: tulokulma $\alpha _1$.
| tulokulma $\alpha _1$ | punaisen poikkeama $(^\circ)$ | violetin poikkeama $(^\circ)$ |
|---|
Johtopäätös: värit erkanevat
Kirjoita taulukkosi perusteella: mikä väri poikkeaa eniten ja mikä vähiten? Miten värien ero $\Delta\delta$ muuttuu, kun huippukulma kasvaa? Mistä erot johtuvat? Kokeile lopuksi vapaasti, kuinka suuri ero on flinttilasilla ja vedellä, kun $A = 60^\circ$ ja $\alpha_1 = 50^\circ$.
Mallivastaus
Violetti poikkeaa jokaisella huippukulmalla eniten ja punainen vähiten. Esimerkiksi huippukulmalla $60^\circ$ poikkeamakulmat ovat $39{,}8^\circ$ ja $38{,}4^\circ$. Ero kasvaa huippukulman mukana: huippukulmalla $30^\circ$ se on $0{,}53^\circ$, huippukulmalla $60^\circ$ se on $1{,}40^\circ$ ja huippukulmalla $70^\circ$ se on $4{,}4^\circ$.
Erot johtuvat siitä, että lasin taitekerroin on violetille suurempi ($1{,}5302$) kuin punaiselle ($1{,}5143$). Siksi violetti taittuu kummassakin pinnassa enemmän. Suurempi huippukulma kasvattaa toisen pinnan tulokulmaa $\alpha_3$. Kun $\alpha_3$ lähestyy kokonaisheijastumisen rajakulmaa, kulmien $\alpha_3$ pieni ero kasvaa suureksi eroksi kulmissa $\alpha_4$. Siksi ero kasvaa jyrkästi huippukulmien $60^\circ$ ja $70^\circ$ välillä. Flinttilasilla ero on $3{,}9^\circ$ ja vedellä $0{,}85^\circ$, joten dispersio on aineen ominaisuus. Arvot ovat mallin laskemia.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Taitekerroin riippuu aallonpituudesta
Luvussa Valon heijastuminen ja taittuminen taitekerroin $n$ kertoi, kuinka monta kertaa hitaammin valo kulkee aineessa kuin tyhjiössä. Tarkat mittaukset näyttävät, että taitekerroin riippuu myös valon aallonpituudesta. Vedessä ja lasissa taitekerroin on violetille valolle suurempi kuin punaiselle. Siksi violetti valo kulkee niissä hitaammin. Kruunulasissa punainen valo etenee nopeudella noin $198\,000\,\text{km/s}$ ja violetti valo nopeudella noin $196\,000\,\text{km/s}$. Tätä sanotaan dispersioksi: taitekerroin on eri suuri eri aallonpituuksille.
Taulukon aallonpituudet ovat tyhjiössä. Kun valo menee rajapinnan läpi, sen taajuus ei muutu. Väri riippuu taajuudesta, joten väri pysyy samana, vaikka nopeus ja aallonpituus muuttuvat.
| väri | $\lambda\ (\text{nm})$ | vesi | kruunulasi |
|---|---|---|---|
| punainen | $656$ | $1{,}3315$ | $1{,}5143$ |
| keltainen | $589$ | $1{,}3334$ | $1{,}5167$ |
| sininen | $486$ | $1{,}3375$ | $1{,}5224$ |
| violetti | $405$ | $1{,}3431$ | $1{,}5302$ |
Veden taitekertoimet lämpötilassa $20\,{}^\circ\text{C}$: M. Daimon ja A. Masumura, Applied Optics 46, 2007. Kruunulasin N-BK7 taitekertoimet: SCHOTT AG, optisten lasien luettelo, 2017.
Miksi violetti hidastuu enemmän
Valo on aaltoa, jossa sähkökenttä värähtelee. Valon sähkökenttä saa aineen elektronit värähtelemään valon taajuudella. Värähtelevät elektronit lähettävät itse valoa. Tämä valo yhdistyy tulevaan valoon, ja yhdistynyt aalto etenee hitaammin kuin valo tyhjiössä.
Elektronien vaste riippuu taajuudesta. Vedessä ja lasissa vaste voimistuu, kun taajuus kasvaa kohti ultraviolettia. Aine absorboi ultravioletin voimakkaasti. Siksi violetti valo, jolla on suuri taajuus, hidastuu enemmän kuin punainen valo, jolla on pieni taajuus. Violetin taitekerroin on siis suurempi.
Prisma hajottaa valkoisen valon
Valkoinen valo, kuten auringonvalo, on eri aallonpituuksien eli värien seos. Kun valkoinen valo tulee vinosti lasiin, jokainen väri taittuu taittumislain mukaan, mutta eri verran. Violetin taitekerroin on suurin, joten violetti taittuu eniten normaalia kohti.
Tasapaksussa ikkunalasissa lasin pinnat ovat yhdensuuntaiset. Toisesta pinnasta värit tulevat ulos samansuuntaisina kuin alkuperäinen säde, joten värejä ei huomaa. Prisman pinnat ovat vinossa toisiinsa nähden. Siksi värit taittuvat toisessa pinnassa vielä lisää erilleen. Prismasta tulee ulos värien viuhka eli spektri. Punainen poikkeaa alkuperäisestä suunnastaan vähiten ja violetti eniten.
Prisma ei värjää valoa. Isaac Newton näytti 1660-luvulla, että yksi väri ei enää hajoa uusiksi väreiksi. Hän erotti spektristä yhden värin ja ohjasi sen toisen prisman läpi. Väri taittui mutta pysyi samana. Toisin päin käännetty prisma taas kokoaa spektrin takaisin valkoiseksi valoksi. Värit olivat siis valmiina valkoisessa valossa, ja prisma vain erottaa ne toisistaan.
Sateenkaari syntyy vesipisaroissa
Pieni sadepisara on lähes pallon muotoinen. Auringonvalo taittuu pisaraan, heijastuu pisaran takapinnasta ja taittuu ulos pisaran alaosasta. Valo palaa siis takaisin aurinkoa kohti, mutta kääntyneenä. Kummassakin taittumisessa violetti taittuu enemmän kuin punainen, joten värit erkanevat.
Valon lähtösuunta riippuu myös siitä, mihin kohtaan pisaraa säde osuu. Silti valo kasautuu yhteen suuntaan. Monesta eri osumakohdasta säteet lähtevät lähes samaan suuntaan. Punainen valo lähtee noin $42^\circ$:n kulmassa ja violetti valo noin $40{,}6^\circ$:n kulmassa siihen suuntaan nähden, josta auringonvalo tuli. Tähän suuntaan pisara loistaa kirkkaimmin.
Miksi punainen on ulkoreunalla
Kun aurinko on selän takana, auringonsäteet kulkevat pään ohi kohti vastapistettä. Vastapiste on oman pään varjon kohdalla horisontin alapuolella. Silmään tulee punaista valoa niistä pisaroista, jotka näkyvät $42^\circ$:n kulmassa vastapisteen suunnasta. Violettia valoa tulee niistä pisaroista, jotka näkyvät $40{,}6^\circ$:n kulmassa.
Samassa kulmassa olevat pisarat muodostavat ympyrän, jonka keskipiste on vastapiste. Punaisen ympyrä on suurempi, joten punainen on kaaren ulkoreunalla. Kukin pisara lähettää silmään vain yhden värin. Sen muut värit kulkevat silmän ohi. Siksi jokainen katsoja näkee oman sateenkaarensa.
Sateenkaari näkyy siis vain, kun aurinko paistaa selän takaa ja edessä on pisaroita. Tasaisella maalla näkyy vain se osa kaaresta, joka on horisontin yläpuolella. Olkoon auringon korkeus horisontista $h$. Silloin vastapiste on yhtä paljon horisontin alapuolella, ja punaisen kaaren huippu on korkeudella $42^\circ - h$.
Kun aurinko on yli $42^\circ$:n korkeudella, koko kaari jää horisontin alapuolelle. Silloin sitä ei näe maan pinnalta. Siksi sateenkaaria näkyy keskikesällä aamuin ja illoin, kun aurinko on matalalla.
Sivukaari
Pääkaaren ulkopuolella näkyy joskus himmeämpi sivukaari. Siinä valo heijastuu pisaran sisällä kahdesti. Värien järjestys on päinvastainen: punainen on sisäreunalla noin $50^\circ$:n kulmassa ja violetti ulkoreunalla noin $54^\circ$:n kulmassa vastapisteen suunnasta.
Jokaisessa heijastuksessa osa valosta pääsee ulos pisarasta. Siksi sivukaari on himmeämpi. Kaarten välissä taivas on tummempi. Pääkaaren pisarat valaisevat vain kaaren sisäpuolta, ja sivukaaren pisarat valaisevat vain kaaren ulkopuolta.
Taittumislaki eri aallonpituuksille
Kun valo tulee ilmasta aineeseen, jokainen aallonpituus taittuu oman taitekertoimensa mukaan:
$$\sin \alpha_1 = n(\lambda) \sin \alpha_2$$
Tässä $\alpha_1$ on tulokulma ja $\alpha_2$ on taitekulma. Molemmat mitataan pinnan normaalista. $n(\lambda)$ on aineen taitekerroin aallonpituudella $\lambda$. Ilman taitekerroin on $1{,}0003$, ja se on pyöristetty ykköseksi. Yleinen muoto on $n_1 \sin\alpha_1 = n_2 \sin\alpha_2$ (luku Valon heijastuminen ja taittuminen).
Valon nopeus aineessa on $v = c : n(\lambda)$, missä $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}$. Kuvaajassa kruunulasin taitekerroin pienenee, kun aallonpituus kasvaa. Se pienenee jyrkimmin violetin päässä.
Prisman poikkeamakulma
Prismassa säde taittuu kahdesti, ja kulmat riippuvat toisistaan:
$$\begin{aligned} &\alpha_2 + \alpha_3 = A \\[6pt] &\delta = \alpha_1 + \alpha_4 - A \end{aligned}$$
Tässä $\alpha_1$ on tulokulma ja $\alpha_2$ on taitekulma ensimmäisessä pinnassa. $\alpha_3$ on tulokulma, kun säde osuu lasin sisältä toiseen pintaan, ja $\alpha_4$ on taitekulma, kun säde tulee ulos. Kaikki kulmat mitataan pintojen normaaleista. $A$ on prisman huippukulma. $\delta$ on poikkeamakulma: se kertoo, kuinka paljon säde kääntyy alkuperäisestä suunnastaan.
Ensimmäinen yhtälö seuraa kolmion kulmien summasta, koska pintojen normaalit leikkaavat toisensa kulmassa $180^\circ - A$. Toinen yhtälö seuraa siitä, että säde kääntyy ensimmäisessä pinnassa kulman $\alpha_1 - \alpha_2$ ja toisessa pinnassa kulman $\alpha_4 - \alpha_3$. Violetille $\alpha_4$ on suurempi kuin punaiselle, joten violetin poikkeamakulma on suurempi. Yhtälöt pätevät, kun säde pääsee ulos prisman toisesta pinnasta.
Sateenkaaren kulma
Pisarassa säde kääntyy kolme kertaa. Tulokohdassa se kääntyy kulman $\alpha - \beta$, heijastuksessa kulman $180^\circ - 2\beta$ ja lähtökohdassa taas kulman $\alpha - \beta$. Kokonaiskääntymä on siis $180^\circ + 2\alpha - 4\beta$. Kulma, jossa valo näkyy vastapisteen suunnasta, on $180^\circ$ miinus kokonaiskääntymä eli
$$\theta = 4\beta - 2\alpha$$
Tässä $\alpha$ on tulokulma pisaran pinnalla ja $\beta$ on taitekulma. Ne liittyvät toisiinsa yhtälöllä $\sin\alpha = n \sin\beta$. $\theta$ on kulma, jossa valo näkyy vastapisteen suunnasta.
Kuvaaja näyttää, että $\theta$ riippuu tulokulmasta, mutta se ei kasva yli $42{,}3^\circ$:n, kun $n = 1{,}3315$. Huipun lähellä käyrä on lähes vaakasuora. Siksi monesta eri tulokulmasta säteet lähtevät lähes samaan suuntaan, ja siihen suuntaan näkyy kirkas kaari. Muu valo lähtee pienempiin kulmiin, joten taivas on kaaren sisäpuolella vaaleampi. Violetille ($n = 1{,}3431$) suurin kulma on $40{,}6^\circ$.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että prisma värjää valon tai että värit syntyvät prisman lasissa. Näin ei ole. Värit ovat valmiina valkoisessa valossa, ja prisma erottaa ne, koska taitekerroin riippuu aallonpituudesta.
Toinen yleinen virhe on päätellä, että punainen taittuu eniten, koska sen aallonpituus on pisin. Vedessä ja lasissa asia on päinvastoin: violetin taitekerroin on suurin, joten violetti taittuu ja poikkeaa eniten.
Kolmas virhe on ajatella, että sateenkaari on esine, joka on tietyssä paikassa. Kaari on suunta. Se näkyy aina $42^\circ$:n kulmassa vastapisteestä, joten se siirtyy katsojan mukana. Sen päätä ei voi saavuttaa.
Tiivistelmä
- Taitekerroin riippuu aallonpituudesta. Tätä sanotaan dispersioksi. Vedessä ja lasissa violetin taitekerroin on suurin ja punaisen pienin, joten violetti taittuu eniten.
- Prismassa valkoinen valo taittuu kahdesti vinoissa pinnoissa, ja värit erkanevat spektriksi. Poikkeamakulma on $\delta = \alpha_1 + \alpha_4 - A$, ja violetti poikkeaa eniten.
- Sateenkaaressa valo taittuu pisaraan, heijastuu sen takapinnasta ja taittuu ulos. Punainen näkyy noin $42^\circ$:n kulmassa ja violetti noin $40{,}6^\circ$:n kulmassa vastapisteestä, joten punainen on ulkoreunalla.
- Sateenkaari näkyy, kun aurinko on selän takana ja alle $42^\circ$:n korkeudella. Sivukaaressa valo heijastuu kahdesti, ja värit ovat päinvastaisessa järjestyksessä.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi kokeen mallin arvoihin ja teoriaan. Palaa sitten alun kysymykseen: miksi sateenkaaren punainen on ulkoreunalla ja violetti sisäreunalla? Ja miksi kaari näkyy vain silloin, kun seisot selkä aurinkoon päin?
Haluaisitko muuttaa ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Valkoisen valon kapea kimppu tulee ilmasta kruunulasilevyn pintaan tulokulmassa $60{,}0^\circ$. Kuinka suuret ovat punaisen ($656\,\text{nm}$) ja violetin ($405\,\text{nm}$) valon taitekulmat lasissa? Kuinka suuri kulma niiden välille syntyy? Käytä taulukon taitekertoimia.
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Tulokulma on $\alpha_1 = 60{,}0^\circ$. Taulukosta saadaan punaisen valon taitekerroin $n_\text{p} = 1{,}5143$ ja violetin valon taitekerroin $n_\text{v} = 1{,}5302$. Kysytään taitekulmat $\alpha_\text{p}$ ja $\alpha_\text{v}$ sekä niiden erotus $\Delta\alpha = \alpha_\text{p} - \alpha_\text{v}$.
Vaihe 2/7
Periaate. Kumpikin väri noudattaa taittumislakia omalla taitekertoimellaan. Valo tulee ilmasta, jonka taitekerroin on pyöristettynä $1$, joten $\sin \alpha_1 = n \sin \alpha_2$. Kummallakin värillä on sama tulokulma, koska ne kulkevat samassa valkoisen valon kimpussa.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. $$\begin{aligned} \sin \alpha_1 &= n \sin \alpha_2 \\[6pt] \sin \alpha_2 &= \frac{\sin \alpha_1}{n} \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Niitä ei tarvita: taitekertoimella ei ole yksikköä, ja kulmat ovat asteina.
Vaihe 5/7
Sijoitus. $$\begin{aligned} &\sin \alpha_\text{p} = \frac{\sin \alpha_1}{n_\text{p}} \\ &= \frac{\sin 60{,}0^\circ}{1{,}5143} \\ &= 0{,}57190 \\ &\alpha_\text{p} = 34{,}88^\circ \\[6pt] &\sin \alpha_\text{v} = \frac{\sin \alpha_1}{n_\text{v}} \\ &= \frac{\sin 60{,}0^\circ}{1{,}5302} \\ &= 0{,}56596 \\ &\alpha_\text{v} = 34{,}47^\circ \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Punaisen valon taitekulma on $34{,}9^\circ$ ja violetin valon taitekulma on $34{,}5^\circ$. Tuloksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska tulokulmassa $60{,}0^\circ$ on kolme. Säteiden välinen kulma lasketaan pyöristämättömistä kulmista:
Vaihe 7/7
Järkevyys. Molemmat taitekulmat ovat pienempiä kuin tulokulma, koska valo taittuu normaalia kohti, kun se tulee optisesti tiheämpään aineeseen. Violetin taitekulma on pienempi, koska sen taitekerroin on suurempi. Ero on alle puoli astetta, joten tasapaksussa lasissa värit erottuvat vain vähän. Prisman vino toinen pinta kasvattaa eroa.
Valinnainen Etsi virhe
Sovella uuteen tilanteeseen: värit uima-altaan pohjalla
Auringonvalo tulee tyynen uima-altaan pintaan tulokulmassa $60{,}0^\circ$. Allas on $2{,}00\,\text{m}$ syvä. Punaisen valon taitekerroin vedessä on $1{,}3315$ ja violetin $1{,}3431$. Valo tulee pintaan samasta kohdasta.
Kuinka kaukana toisistaan punainen ja violetti valo osuvat altaan pohjaan? Vastaa millimetreinä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Laske ensin kummankin värin taitekulma vedessä. Kumpi väri taittuu enemmän?
Vihje 2: mikä yhteys
Kun taitekulma $\beta$ tunnetaan, säde etenee syvyydellä $h$ vaakasuunnassa matkan $x = h \tan\beta$.
Vihje 3: välivaihe
$\beta_\text{p} = 40{,}57^\circ$ ja $\beta_\text{v} = 40{,}15^\circ$, joten $\Delta x = 2{,}00\,\text{m} \cdot (\tan 40{,}57^\circ - \tan 40{,}15^\circ)$.
Näytä ratkaisu
Annettu
tulokulma $\alpha = 60{,}0^\circ$, altaan syvyys $h = 2{,}00\,\text{m}$, punaisen taitekerroin $n_\text{p} = 1{,}3315$, violetin $n_\text{v} = 1{,}3431$
Kysytty
punaisen ja violetin osumakohtien etäisyys $\Delta x$ millimetreinä
Periaate
Kumpikin väri taittuu pinnassa taittumislain $\sin\alpha = n \sin\beta$ mukaan omalla taitekertoimellaan, koska taitekerroin riippuu aallonpituudesta. Vedessä valo kulkee suoraan. Säde, pinnan normaali ja pohja muodostavat suorakulmaisen kolmion, joten vaakasuora matka pohjaan on $x = h \tan\beta$.
Kaava
$\sin\beta = \dfrac{\sin\alpha}{n}$ ja $x = h \tan\beta$, joten $\Delta x = h \left(\tan\beta_\text{p} - \tan\beta_\text{v}\right)$
Muunnokset
Lopuksi $1\,\text{m} = 1000\,\text{mm}$.
Sijoitus
joten $\beta_\text{p} = 40{,}573^\circ$;
joten $\beta_\text{v} = 40{,}150^\circ$.
Vastaus
noin $25\,\text{mm}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska tulos on kahden lähes yhtä suuren luvun erotus, jossa merkitseviä numeroita häviää.
Järkevyys
Violetti taittuu enemmän, joten se osuu lähemmäs pinnan tulokohtaa, ja ero on positiivinen. Kumpikin väri etenee vaakasuunnassa noin $2{,}00\,\text{m} \cdot 0{,}85 \approx 1{,}7\,\text{m}$. Ero on alle $2\,\%$ tästä, mikä sopii taitekertoimien pieneen eroon. Siksi pohjalla näkyy kapeita värireunoja.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse. Avaa vastaus vasta sitten.
- Valkoinen valo kulkee vinosti tasapaksun ikkunalasin läpi. Lasissa on dispersiota. Miksi ikkuna ei silti hajota valoa näkyvästi väreiksi?
Vastaus
Lasin sisällä värit kulkevat hieman eri suuntiin, mutta tasapaksun lasin pinnat ovat yhdensuuntaiset. Toisessa pinnassa jokainen väri taittuu takaisin alkuperäisen säteen suuntaiseksi. Värit jatkavat siis samaan suuntaan ja ovat siirtyneet vain hiukan sivusuunnassa. Prisman vinot pinnat sen sijaan kasvattavat suuntaeroa.
- Aurinko paistaa $50^\circ$:n korkeudelta, ja edessä sataa. Näkyykö sateenkaari katsojalle, joka seisoo tasaisella maalla?
Vastaus
Ei näy. Vastapiste on $50^\circ$ horisontin alapuolella, joten punaisen kaaren huippu olisi korkeudella $42^\circ - 50^\circ = -8^\circ$ eli horisontin alapuolella. Sateenkaari näkyy maan pinnalta vain, kun aurinko on alle $42^\circ$:n korkeudella.
1. Käsite: miksi prisma hajottaa valon
2. Laske: punainen ja violetti vedessä
Veden taitekerroin on punaiselle valolle $1{,}3315$ ja violetille valolle $1{,}3431$. Kuinka paljon suurempi punaisen valon nopeus vedessä on kuin violetin valon nopeus? Vastaa kilometreinä sekunnissa.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Valon nopeus aineessa saadaan taitekertoimesta. Millä kaavalla?
Vihje 2: mikä yhteys
$v = c : n$, missä $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}$. Laske kummankin värin nopeus ja vähennä.
Vihje 3: välivaihe
Pidä välituloksissa kuusi numeroa: $v_\text{p} = 225\,310\,\text{km/s}$ ja $v_\text{v} = 223\,364\,\text{km/s}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
punaisen taitekerroin $n_\text{p} = 1{,}3315$, violetin $n_\text{v} = 1{,}3431$, valon nopeus tyhjiössä $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}$
Kysytty
nopeuksien erotus $\Delta v = v_\text{p} - v_\text{v}$ kilometreinä sekunnissa
Periaate
Taitekerroin kertoo, kuinka monta kertaa hitaammin valo kulkee aineessa kuin tyhjiössä, $n = c : v$. Taitekerroin riippuu aallonpituudesta, joten punaisella ja violetilla on vedessä eri nopeudet.
Kaava
$n = \dfrac{c}{v}$, josta $v = \dfrac{c}{n}$, ja
Muunnokset
koska $1\,\text{km} = 1000\,\text{m}$.
Sijoitus
joten
Vastaus
$1{,}95 \cdot 10^3\,\text{km/s}$
Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska valon nopeudessa $3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}$ on kolme.
Järkevyys
Ero on noin $1\,\%$ nopeudesta, koska myös taitekertoimet eroavat noin prosentin: $1{,}3431 : 1{,}3315 \approx 1{,}009$. Punainen on nopeampi, koska sen taitekerroin on pienempi.
Ehdotus: yksi vastaus ei kerro kaikkea osaamisestasi. Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
3. Selitä: sateenkaaren värien järjestys
Selitä, miten sateenkaari syntyy vesipisaroissa. Selitä myös, miksi punainen on kaaren ulkoreunalla ja violetti sisäreunalla. Kerro lisäksi, miksi kaaren näkee vain, kun aurinko on selän takana.
Mallivastaus
Auringonvalo taittuu pisaraan, heijastuu pisaran takapinnasta ja taittuu ulos. Siksi valo palaa takaisin aurinkoa kohti kääntyneenä. Veden taitekerroin on violetille suurempi kuin punaiselle, joten värit erkanevat taittumisissa. Pisaroista lähtee punaista valoa voimakkaimmin noin $42^\circ$:n kulmassa ja violettia noin $40{,}6^\circ$:n kulmassa siihen suuntaan nähden, josta auringonvalo tuli.
Katsojan silmään tulee punaista valoa niistä pisaroista, jotka näkyvät $42^\circ$:n kulmassa vastapisteestä eli oman pään varjon suunnasta. Violettia valoa tulee pisaroista, jotka näkyvät $40{,}6^\circ$:n kulmassa. Punaisen ympyrä on suurempi, joten punainen on ulkoreunalla. Valo palaa pisarasta aurinkoa kohti, ja kaaren keskipiste on vastapiste. Siksi kaari näkyy vain, kun seisot selkä aurinkoon päin.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 11-1Ydintehtävä
Punainen valo tulee ilmasta tyynen järven pintaan tulokulmassa $50{,}0^\circ$. Veden taitekerroin punaiselle valolle on $1{,}332$. Kuinka suuri on taitekulma vedessä?
Vastaus
$35{,}1^\circ$
Näytä ratkaisu
Annettu
tulokulma $\alpha_1 = 50{,}0^\circ$, veden taitekerroin punaiselle valolle $n = 1{,}332$, valo tulee ilmasta
Kysytty
taitekulma $\alpha_2$ asteina
Periaate
Valo taittuu rajapinnassa taittumislain mukaan. Valo tulee ilmasta, jonka taitekerroin on pyöristettynä $1$, joten $\sin\alpha_1 = n \sin\alpha_2$. Käytetään punaisen valon taitekerrointa, koska taitekerroin riippuu aallonpituudesta.
Kaava
$\sin\alpha_1 = n \sin\alpha_2$, josta
$\sin\alpha_2$$= \dfrac{\sin\alpha_1}{n}$Muunnokset
Niitä ei tarvita: taitekertoimella ei ole yksikköä, ja kulmat ovat asteina.
Sijoitus
$\sin\alpha_2$$= \dfrac{\sin 50{,}0^\circ}{1{,}332}$$= 0{,}57511$joten $\alpha_2 = 35{,}11^\circ$
Vastaus
$35{,}1^\circ$
Kolme merkitsevää numeroa kuten tulokulmassa $50{,}0^\circ$.
Järkevyys
Taitekulma on pienempi kuin tulokulma, koska valo hidastuu vedessä ja taittuu kohti normaalia. Suhde
$\sin 50{,}0^\circ : \sin 35{,}1^\circ$$= 0{,}766 : 0{,}575$$\approx 1{,}33$on veden taitekerroin.
- Tehtävä 11-2Ydintehtävä
Kruunulasin taitekerroin violetille valolle on $1{,}530$. Kuinka suurella nopeudella violetti valo etenee lasissa? Valon nopeus tyhjiössä on $3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}$. Anna vastaus kilometreinä sekunnissa.
Vastaus
$1{,}96 \cdot 10^5\,\text{km/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kruunulasin taitekerroin violetille valolle $n = 1{,}530$, valon nopeus tyhjiössä $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}$
Kysytty
violetin valon nopeus $v$ lasissa kilometreinä sekunnissa
Periaate
Taitekerroin kertoo, kuinka monta kertaa hitaammin valo etenee aineessa kuin tyhjiössä. Käytetään violetin valon taitekerrointa.
Kaava
$n = \dfrac{c}{v}$, josta $v = \dfrac{c}{n}$
Muunnokset
$c$$= 3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}$$= 3{,}00 \cdot 10^5\,\text{km/s}$koska $1\,\text{km} = 1000\,\text{m}$.
Sijoitus
$v$$= \dfrac{3{,}00 \cdot 10^5\,\text{km/s}}{1{,}530}$$= 196\,078\,\text{km/s}$Vastaus
$1{,}96 \cdot 10^5\,\text{km/s}$
Eli noin $196\,000\,\text{km/s}$, kolme merkitsevää numeroa kuten valon nopeudessa $3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}$.
Järkevyys
Nopeus on noin kaksi kolmasosaa valon nopeudesta tyhjiössä, koska $1 : 1{,}53 \approx 0{,}65$. Näin pitää lasissa ollakin. Punaisen valon nopeus lasissa on hieman suurempi, koska sen taitekerroin on pienempi.
- Tehtävä 11-3
Opiskelija suuntaa vihreän laserin säteen ilmasta lasikappaleen pintaan tulokulmassa $45{,}0^\circ$. Hän mittaa taitekulmaksi $27{,}8^\circ$. Kuinka suuri on lasin taitekerroin vihreälle valolle?
Vastaus
$1{,}52$
Näytä ratkaisu
Annettu
tulokulma $\alpha_1 = 45{,}0^\circ$, taitekulma $\alpha_2 = 27{,}8^\circ$, valo tulee ilmasta
Kysytty
lasin taitekerroin $n$ vihreälle valolle (yksikötön)
Periaate
Valo taittuu rajapinnassa taittumislain mukaan, ja ilman taitekerroin on pyöristettynä $1$. Kun kumpikin kulma tunnetaan, taitekerroin saadaan kulmien sinien suhteesta. Tulos koskee vain vihreää valoa, koska taitekerroin riippuu aallonpituudesta.
Kaava
$\sin\alpha_1 = n \sin\alpha_2$, josta
$n$$= \dfrac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}$Muunnokset
Niitä ei tarvita: kulmat ovat asteina, ja taitekertoimella ei ole yksikköä.
Sijoitus
$n$$= \dfrac{\sin 45{,}0^\circ}{\sin 27{,}8^\circ}$$= \dfrac{0{,}70711}{0{,}46639}$$= 1{,}516$Vastaus
$1{,}52$
Kolme merkitsevää numeroa kuten mitatuissa kulmissa.
Järkevyys
Tavallisen lasin taitekerroin on noin $1{,}5$. Tulos on taulukon kruunulasin punaisen ($1{,}5143$) ja sinisen ($1{,}5224$) arvon välissä, ja vihreän valon kuuluukin olla siinä. Taitekerroin on suurempi kuin $1$, koska valo taittui kohti normaalia.
- Tehtävä 11-4
Prisman huippukulma on $60{,}0^\circ$. Keltainen säde tulee prismaan tulokulmassa $45{,}0^\circ$ ja lähtee toisesta pinnasta taitekulmassa $52{,}0^\circ$. Kuinka suuri on säteen poikkeamakulma?
Vastaus
$37{,}0^\circ$
Näytä ratkaisu
Annettu
prisman huippukulma $A = 60{,}0^\circ$, tulokulma $\alpha_1 = 45{,}0^\circ$, lähtevän säteen taitekulma $\alpha_4 = 52{,}0^\circ$
Kysytty
poikkeamakulma $\delta$ asteina
Periaate
Prismassa säde kääntyy ensimmäisessä pinnassa kulman $\alpha_1 - \alpha_2$ ja toisessa pinnassa kulman $\alpha_4 - \alpha_3$. Prisman geometriasta saadaan $\alpha_2 + \alpha_3 = A$. Siksi kokonaiskääntymä riippuu vain prisman ulkopuolisista kulmista ja huippukulmasta.
Kaava
$\delta = \alpha_1 + \alpha_4 - A$
Muunnokset
Niitä ei tarvita: kaikki kulmat ovat asteina.
Sijoitus
$\delta$$= 45{,}0^\circ + 52{,}0^\circ - 60{,}0^\circ$$= 37{,}0^\circ$Vastaus
$37{,}0^\circ$
Kulmien tarkkuudella yksi desimaali.
Järkevyys
Poikkeamakulma on positiivinen, eli säde kääntyy kohti prisman kantaa. Näin prismassa pitää käydä. Tulos on samaa suuruusluokkaa kuin luvun simulaation kruunulasiprisman poikkeamakulmat, noin $38\text{–}40^\circ$, kun huippukulma on $60^\circ$.
- Tehtävä 11-5
Valonsäde tulee vesipisaraan tulokulmassa $55{,}0^\circ$ ja taittuu pisarassa kulmaan $38{,}0^\circ$. Säde heijastuu kerran pisaran takapinnasta ja taittuu ulos. Missä kulmassa vastapisteen suunnasta tämä valo näkyy?
Vastaus
$42{,}0^\circ$
Näytä ratkaisu
Annettu
tulokulma pisaran pinnalla $\alpha = 55{,}0^\circ$, taitekulma $\beta = 38{,}0^\circ$, yksi heijastus pisaran takapinnasta
Kysytty
kulma $\theta$ vastapisteen suunnasta asteina
Periaate
Säde kääntyy tulokohdassa kulman $\alpha - \beta$, heijastuksessa kulman $180^\circ - 2\beta$ ja lähtökohdassa kulman $\alpha - \beta$. Kokonaiskääntymä on $180^\circ + 2\alpha - 4\beta$. Valo lähtee kulmassa $180^\circ$ miinus kääntymä siihen suuntaan nähden, josta auringonvalo tuli.
Kaava
$\theta = 4\beta - 2\alpha$
Muunnokset
Niitä ei tarvita: kulmat ovat asteina.
Sijoitus
$\theta$$= 4 \cdot 38{,}0^\circ - 2 \cdot 55{,}0^\circ$$= 152{,}0^\circ - 110{,}0^\circ$$= 42{,}0^\circ$Vastaus
$42{,}0^\circ$
Kulmien tarkkuudella yksi desimaali.
Järkevyys
Tulos on lähellä sateenkaaren kulmaa $42^\circ$. Kulmista saadaan taitekerroin
$\sin 55{,}0^\circ : \sin 38{,}0^\circ$$= 0{,}819 : 0{,}616$$\approx 1{,}33$Se on veden taitekerroin, joten tilanne on mahdollinen.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 11-6Ydintehtävä
Valkoisen valon lyhyt välähdys lähetetään $5{,}00\,\text{km}$ pitkän kruunulasisen valokuidun läpi. Lasin taitekerroin on punaiselle valolle $1{,}5143$ ja violetille valolle $1{,}5302$.
Kuinka paljon myöhemmin violetti valo saapuu kuidun toiseen päähän kuin punainen? Oleta, että kumpikin väri etenee kuidussa nopeudella $v = c : n$ ja kulkee kuidun suuntaisesti. Anna vastaus nanosekunteina.
Vastaus
$265\,\text{ns}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kuidun pituus $L = 5{,}00\,\text{km}$, punaisen taitekerroin $n_\text{p} = 1{,}5143$, violetin $n_\text{v} = 1{,}5302$, valon nopeus tyhjiössä $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}$
Kysytty
saapumisaikojen ero $\Delta t$ nanosekunteina
Periaate
Tehtävän oletuksen mukaan kumpikin väri etenee lasissa nopeudella $v = c : n$. Todellinen lyhyt välähdys etenee hieman hitaammin ryhmänopeudella, mutta sitä ei oteta tässä huomioon. Taitekerroin riippuu aallonpituudesta. Violetin taitekerroin on suurempi, joten violetti kulkee hitaammin ja saapuu myöhemmin. Kumpikin väri kulkee saman matkan tasaisella nopeudella, joten kulkuaika on $t = L : v$.
Kaava
$v = \dfrac{c}{n}$ ja $t = \dfrac{L}{v} = \dfrac{L n}{c}$, joten
$\Delta t$$= t_\text{v} - t_\text{p}$$= \dfrac{L n_\text{v}}{c} - \dfrac{L n_\text{p}}{c}$Muunnokset
$L$$= 5{,}00\,\text{km}$$= 5{,}00 \cdot 1000\,\text{m}$$= 5000\,\text{m}$Lopuksi $1\,\text{s} = 10^9\,\text{ns}$.
Sijoitus
$t_\text{v}$$= \dfrac{5000\,\text{m} \cdot 1{,}5302}{3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}}$$= 2{,}55033 \cdot 10^{-5}\,\text{s}$$t_\text{p}$$= \dfrac{5000\,\text{m} \cdot 1{,}5143}{3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}}$$= 2{,}52383 \cdot 10^{-5}\,\text{s}$joten
$\Delta t$$= 2{,}55033 \cdot 10^{-5}\,\text{s} - 2{,}52383 \cdot 10^{-5}\,\text{s}$$= 2{,}650 \cdot 10^{-7}\,\text{s}$$= 265\,\text{ns}$Vastaus
$265\,\text{ns}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taitekertoimien erotuksessa $0{,}0159$ ja pituudessa $5{,}00\,\text{km}$.
Järkevyys
Kumpikin kulkuaika on noin $25\,\mu\text{s}$, ja ero on noin $1\,\%$ siitä. Näin pitääkin olla, koska taitekertoimien suhde on $1{,}5302 : 1{,}5143 \approx 1{,}01$. Välitulokset on pidettävä tarkkoina. Jos ajat pyöristetään kolmeen numeroon, erotus menee pieleen.
- Tehtävä 11-7Ydintehtävä
Lasiprisman huippukulma on $60{,}0^\circ$, ja lasin taitekerroin keltaiselle valolle on $1{,}52$. Keltainen säde tulee prisman ensimmäiseen pintaan ilmasta tulokulmassa $40{,}0^\circ$.
Kuinka suuri on tulokulma, kun säde osuu lasin sisältä prisman toiseen pintaan?
Vastaus
$35{,}0^\circ$
Näytä ratkaisu
Annettu
huippukulma $A = 60{,}0^\circ$, lasin taitekerroin keltaiselle valolle $n = 1{,}52$, tulokulma $\alpha_1 = 40{,}0^\circ$, valo tulee ilmasta
Kysytty
tulokulma $\alpha_3$ prisman toisessa pinnassa asteina
Periaate
Ensimmäisessä pinnassa säde taittuu taittumislain mukaan, ja ilman taitekerroin on pyöristettynä $1$. Lasin sisällä prisman pintojen normaalit ja säde muodostavat kolmion. Kolmion kulmien summasta seuraa $\alpha_2 + \alpha_3 = A$.
Kaava
$\sin\alpha_1 = n \sin\alpha_2$, josta
$\sin\alpha_2$$= \dfrac{\sin\alpha_1}{n}$ja $\alpha_2 + \alpha_3 = A$, josta $\alpha_3 = A - \alpha_2$
Muunnokset
Niitä ei tarvita: kulmat ovat asteina, ja taitekertoimella ei ole yksikköä.
Sijoitus
$\sin\alpha_2$$= \dfrac{\sin 40{,}0^\circ}{1{,}52}$$= 0{,}42289$joten $\alpha_2 = 25{,}02^\circ$, ja
$\alpha_3$$= 60{,}0^\circ - 25{,}02^\circ$$= 34{,}98^\circ$Vastaus
$35{,}0^\circ$
Kolme merkitsevää numeroa kuten tulokulmassa $40{,}0^\circ$.
Järkevyys
Kulmien $\alpha_2$ ja $\alpha_3$ summa on huippukulma $60{,}0^\circ$. Toisessa pinnassa
$n \sin\alpha_3$$= 1{,}52 \cdot \sin 35{,}0^\circ$$= 0{,}87$$< 1$joten säde pääsee ulos. Sen taitekulma on noin $61^\circ$.
- Tehtävä 11-8
Kuvaajassa on erään flinttilasin taitekerroin $n$ valon tyhjiöaallonpituuden $\lambda$ funktiona.
Kuinka suurella nopeudella sininen valo etenee tässä lasissa, kun sen aallonpituus on $450\,\text{nm}$? Valon nopeus tyhjiössä on $3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}$. Lue taitekerroin kuvaajasta ja anna vastaus kilometreinä sekunnissa.
Vastaus
$1{,}83 \cdot 10^5\,\text{km/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kuvaaja flinttilasin taitekertoimesta aallonpituuden funktiona, aallonpituus $\lambda = 450\,\text{nm}$, $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}$
Kysytty
sinisen valon nopeus $v$ lasissa kilometreinä sekunnissa
Periaate
Taitekerroin riippuu aallonpituudesta, joten se luetaan kuvaajasta juuri aallonpituudella $450\,\text{nm}$. Valon nopeus aineessa on $v = c : n$.
Kuvaajan lukeminen
Vaaka-akselin kohdalla $450\,\text{nm}$ on mittauspiste käyrällä. Pisteestä mennään vaakasuoraan pystyakselille, ja sieltä luetaan $n \approx 1{,}639$. Piste on ruudukon viivojen $1{,}638$ ja $1{,}640$ välissä, lähellä niiden puoliväliä.
Kaava
$n = \dfrac{c}{v}$, josta $v = \dfrac{c}{n}$
Muunnokset
$c$$= 3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}$$= 3{,}00 \cdot 10^5\,\text{km/s}$koska $1\,\text{km} = 1000\,\text{m}$.
Sijoitus
$v$$= \dfrac{3{,}00 \cdot 10^5\,\text{km/s}}{1{,}639}$$= 183\,038\,\text{km/s}$Vastaus
$1{,}83 \cdot 10^5\,\text{km/s}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten valon nopeudessa $3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}$. Lukemisen epätarkkuus $\pm 0{,}001$ taitekertoimessa muuttaa nopeutta vain noin $0{,}1\,\%$.
Järkevyys
Flinttilasin taitekerroin on suurempi kuin kruunulasin. Siksi valo etenee flinttilasissa hitaammin kuin kruunulasissa (noin $196\,000\text{–}198\,000\,\text{km/s}$). Nopeus on noin $61\,\%$ valon nopeudesta tyhjiössä, koska $1 : 1{,}64 \approx 0{,}61$.
- Tehtävä 11-9
Kesäillalla aurinko paistaa $25{,}0^\circ$:n korkeudelta, ja edessä sataa. Sateenkaaren violetin reunan säteet tulevat pisaroihin tulokulmassa $58{,}8^\circ$. Veden taitekerroin violetille valolle on $1{,}343$. Valo heijastuu kerran pisaran takapinnasta.
Kuinka korkealla horisontin yläpuolella violetin kaaren huippu näkyy katsojalle, joka seisoo tasaisella maalla?
Vastaus
$15{,}6^\circ$
Näytä ratkaisu
Annettu
auringon korkeus $h = 25{,}0^\circ$, violetin reunan säteiden tulokulma $\alpha = 58{,}8^\circ$, veden taitekerroin violetille valolle $n = 1{,}343$, yksi heijastus pisaran takapinnasta
Kysytty
violetin kaaren huipun korkeus $h_\text{v}$ horisontin yläpuolella asteina
Periaate
Pisaran pinnassa valo taittuu taittumislain mukaan, ja ilman taitekerroin on pyöristettynä $1$. Säde kääntyy kahdessa taittumisessa ja yhdessä heijastuksessa. Siksi violetti valo näkyy kulmassa $\theta = 4\beta - 2\alpha$ vastapisteen suunnasta. Vastapiste on yhtä paljon horisontin alapuolella kuin aurinko on sen yläpuolella. Siksi kaaren huippu on korkeudella $\theta - h$.
Kaava
$\sin\alpha = n \sin\beta$, josta $\sin\beta = \dfrac{\sin\alpha}{n}$, $\theta = 4\beta - 2\alpha$ ja $h_\text{v} = \theta - h$
Muunnokset
Niitä ei tarvita: kulmat ovat asteina.
Sijoitus
$\sin\beta$$= \dfrac{\sin 58{,}8^\circ}{1{,}343}$$= 0{,}63691$joten $\beta = 39{,}56^\circ$;
$\theta$$= 4 \cdot 39{,}56^\circ - 2 \cdot 58{,}8^\circ$$= 158{,}25^\circ - 117{,}60^\circ$$= 40{,}65^\circ$$h_\text{v}$$= 40{,}65^\circ - 25{,}0^\circ$$= 15{,}65^\circ$Vastaus
$15{,}6^\circ$
Yhden desimaalin tarkkuudella kuten auringon korkeus $25{,}0^\circ$.
Järkevyys
Violetin kulma $40{,}6^\circ$ on pienempi kuin punaisen kulma $42^\circ$. Siksi violetti reuna on alempana kuin punainen reuna, jonka huippu on noin $17^\circ$:n korkeudella. Jos aurinko olisi yli $40{,}6^\circ$:n korkeudella, violetin kaaren huippu jäisi horisontin alapuolelle.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.
- Tehtävä 11-10
Kruunulasiprisman huippukulma on $50{,}0^\circ$. Valkoisen valon kapea kimppu tulee prismaan ilmasta tulokulmassa $45{,}0^\circ$. Lasin taitekerroin on punaiselle valolle $1{,}5143$ ja violetille valolle $1{,}5302$.
Kuinka suuri kulma on prismasta lähtevän punaisen ja violetin säteen välillä? Laske välivaiheiden kulmat sadasosa-asteen tarkkuudella.
Vastaus
$0{,}96^\circ$
Näytä ratkaisu
Annettu
huippukulma $A = 50{,}0^\circ$, tulokulma $\alpha_1 = 45{,}0^\circ$, punaisen taitekerroin $n_\text{p} = 1{,}5143$, violetin $n_\text{v} = 1{,}5302$, prisma ilmassa
Kysytty
lähtevien säteiden välinen kulma $\Delta\delta = \delta_\text{v} - \delta_\text{p}$ asteina
Periaate
Kumpikin väri taittuu kummassakin pinnassa omalla taitekertoimellaan, koska taitekerroin riippuu aallonpituudesta. Molemmat värit tulevat samasta suunnasta, joten lähtevien säteiden välinen kulma on poikkeamakulmien erotus. Prisman geometriasta saadaan $\alpha_2 + \alpha_3 = A$ ja $\delta = \alpha_1 + \alpha_4 - A$.
Kaava
$\sin\alpha_2$$= \dfrac{\sin\alpha_1}{n}$$\alpha_3 = A - \alpha_2$, $\sin\alpha_4 = n \sin\alpha_3$ ja $\delta = \alpha_1 + \alpha_4 - A$, joten $\Delta\delta = \alpha_{4,\text{v}} - \alpha_{4,\text{p}}$
Muunnokset
Niitä ei tarvita: kulmat ovat asteina, ja taitekertoimilla ei ole yksikköä.
Sijoitus
Punainen:
$\sin\alpha_2$$= \dfrac{\sin 45{,}0^\circ}{1{,}5143}$$= 0{,}46695$$\alpha_2$$= 27{,}84^\circ$$\alpha_3$$= 50{,}0^\circ - 27{,}84^\circ$$= 22{,}16^\circ$$\sin\alpha_4$$= 1{,}5143 \cdot \sin 22{,}16^\circ$$= 0{,}57127$$\alpha_4 = 34{,}84^\circ$. Violetti:
$\sin\alpha_2$$= \dfrac{\sin 45{,}0^\circ}{1{,}5302}$$= 0{,}46210$$\alpha_2 = 27{,}52^\circ$,
$\alpha_3$$= 22{,}48^\circ$$\sin\alpha_4$$= 1{,}5302 \cdot \sin 22{,}48^\circ$$= 0{,}58502$$\alpha_4 = 35{,}80^\circ$.
$\Delta\delta$$= 35{,}80^\circ - 34{,}84^\circ$$= 0{,}96^\circ$Vastaus
$0{,}96^\circ$
(tarkoilla välituloksilla $0{,}966^\circ$). Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska tulos on kahden lähes yhtä suuren kulman erotus.
Järkevyys
Poikkeamakulmat ovat $\delta_\text{p} = 29{,}84^\circ$ ja $\delta_\text{v} = 30{,}80^\circ$. Violetti poikkeaa enemmän, kuten pitää. Ero on suurempi kuin yhdessä pinnassa tasapaksussa lasissa (noin $0{,}3^\circ$), koska prisman toinen pinta kasvattaa sitä.
- Tehtävä 11-11
Punainen valo tulee vesipisaran reunan lähelle tulokulmassa $80{,}0^\circ$. Veden taitekerroin punaiselle valolle on $1{,}332$. Valo heijastuu kerran pisaran takapinnasta ja taittuu ulos.
Missä kulmassa vastapisteen suunnasta tämä valo näkyy? Näkyykö se sateenkaaren punaisen reunan sisäpuolella vai ulkopuolella?
Vastaus
$30{,}7^\circ$
Näytä ratkaisu
Annettu
tulokulma $\alpha = 80{,}0^\circ$, veden taitekerroin punaiselle valolle $n = 1{,}332$, yksi heijastus pisaran takapinnasta
Kysytty
kulma $\theta$ vastapisteen suunnasta asteina ja sen vertailu punaisen reunan kulmaan $42{,}3^\circ$
Periaate
Pisaran pinnassa valo taittuu taittumislain mukaan, ja ilman taitekerroin on pyöristettynä $1$. Säde kääntyy kahdessa taittumisessa ja yhdessä heijastuksessa. Siksi lähtevän valon kulma vastapisteen suunnasta on $\theta = 4\beta - 2\alpha$. Sateenkaaren punainen reuna on kulmassa, jota yksikään punainen säde ei ylitä.
Kaava
$\sin\alpha = n \sin\beta$, josta $\sin\beta = \dfrac{\sin\alpha}{n}$, ja $\theta = 4\beta - 2\alpha$
Muunnokset
Niitä ei tarvita: kulmat ovat asteina.
Sijoitus
$\sin\beta$$= \dfrac{\sin 80{,}0^\circ}{1{,}332}$$= 0{,}73935$joten $\beta = 47{,}676^\circ$, ja
$\theta$$= 4 \cdot 47{,}676^\circ - 2 \cdot 80{,}0^\circ$$= 190{,}70^\circ - 160{,}0^\circ$$= 30{,}70^\circ$Vastaus
$30{,}7^\circ$
Kolme merkitsevää numeroa kuten tulokulmassa $80{,}0^\circ$. Kulma on pienempi kuin punaisen reunan kulma $42{,}3^\circ$, joten valo näkyy kaaren sisäpuolella.
Järkevyys
Punaisen valon kulma ei voi olla yli $42{,}3^\circ$, ja tulos on sitä pienempi. Pisaran reunan lähelle osuvat säteet valaisevat kaaren sisäpuolista taivasta. Siksi taivas on kaaren sisäpuolella vaaleampi kuin ulkopuolella.
- Tehtävä 11-12
Sateenkaaren punaisen reunan säteet tulevat pisaraan tulokulmassa $59{,}5^\circ$, kun veden taitekerroin on $1{,}3315$. Violetin reunan säteet tulevat tulokulmassa $58{,}8^\circ$, kun taitekerroin on $1{,}3431$.
Kumpikin säde heijastuu kerran pisaran takapinnasta.
Kuinka leveä sateenkaari on asteina? Toisin sanoen: kuinka suuri on punaisen ja violetin reunan kulmien erotus vastapisteestä katsottuna? Laske välivaiheet tuhannesosa-asteen tarkkuudella.
Vastaus
$1{,}66^\circ$
Näytä ratkaisu
Annettu
punainen reuna: tulokulma $\alpha_\text{p} = 59{,}5^\circ$, taitekerroin $n_\text{p} = 1{,}3315$; violetti reuna: $\alpha_\text{v} = 58{,}8^\circ$, $n_\text{v} = 1{,}3431$; yksi heijastus pisaran takapinnasta
Kysytty
kaaren leveys $\Delta\theta = \theta_\text{p} - \theta_\text{v}$ asteina
Periaate
Kummankin värin reunan kulma vastapisteen suunnasta saadaan pisaran geometriasta: $\theta = 4\beta - 2\alpha$. Taitekulma $\beta$ lasketaan taittumislaista värin omalla taitekertoimella. Kaaren leveys on punaisen ja violetin reunan kulmien erotus, koska punainen on ulkoreunalla.
Kaava
$\sin\beta = \dfrac{\sin\alpha}{n}$, $\theta = 4\beta - 2\alpha$ ja $\Delta\theta = \theta_\text{p} - \theta_\text{v}$
Muunnokset
Niitä ei tarvita: kulmat ovat asteina.
Sijoitus
Punainen:
$\sin\beta_\text{p}$$= \dfrac{\sin 59{,}5^\circ}{1{,}3315}$$= 0{,}64711$$\beta_\text{p}$$= 40{,}324^\circ$$\theta_\text{p}$$= 4 \cdot 40{,}324^\circ - 2 \cdot 59{,}5^\circ$$= 42{,}296^\circ$Violetti:
$\sin\beta_\text{v}$$= \dfrac{\sin 58{,}8^\circ}{1{,}3431}$$= 0{,}63686$$\beta_\text{v}$$= 39{,}558^\circ$$\theta_\text{v}$$= 4 \cdot 39{,}558^\circ - 2 \cdot 58{,}8^\circ$$= 40{,}632^\circ$$\Delta\theta$$= 42{,}296^\circ - 40{,}632^\circ$$= 1{,}664^\circ$Vastaus
noin $1{,}66^\circ$ eli pyöristettynä $1{,}7^\circ$. Tulos on kahden lähes yhtä suuren kulman erotus, joten merkitseviä numeroita häviää.
Järkevyys
Leveys on noin kolme kertaa auringon näennäinen halkaisija $0{,}5^\circ$. Tämä sopii kokemukseen, sillä sateenkaari on kapea nauha. Punaisen kulma on suurempi, joten punainen on ulkoreunalla.
Valokuvat
- Dispersion of White Light Through a Prism. Aligatorigiganti. lähde, CC0 1.0
- Glen Coe Rainbow. Colin. lähde, CC BY-SA 4.0
