RuukkilabraLukion fysiikka
FY3 · moduulin lopuksi

Sovella itsenäisesti

Näissä tehtävissä kukaan ei kerro, mitä kaavaa käyttää. Päätä itse, mitkä ilmiöt ja mallit tilanteeseen liittyvät, ratkaise tehtävä paperille ja perustele ratkaisusi, kuten ylioppilaskokeessa.

Kolme tehtävää kokoavat moduulin energian, olomuodon muutosten ja kaasujen ilmiöitä. Jokaisessa päätät itse, mitkä ilmiöt ja mallit tilanteeseen liittyvät.

Ratkaise ensin itse paperille tai tietokoneelle. Saat käyttää laskinta, taulukkokirjaa ja kuvaajaohjelmaa. Kirjoita näkyviin perustelut, kaavat, sijoitukset ja vastaukset yksiköineen.

Aurinkokeräin 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Aineisto on laskettu mallista ja pyöristetty mittauksen tapaan, eikä se ole oikean mittauksen tulos.

Opiskelijat rakensivat aurinkokeräimen: matalan mustan laatikon, jonka päällä on lasilevy. Laatikossa on $4{,}00\,\text{kg}$ vettä. Keräin käännetään kohti aurinkoa. Mittarin mukaan auringonsäteilyn teho on $800\,\text{W/m}^2$ eli $800\,\text{W}$ jokaista auringon suuntaa vastaan kohtisuoraa neliömetriä kohti, ja keräimen pinta-ala tähän suuntaan on $0{,}50\,\text{m}^2$. Vettä sekoitetaan koko ajan, ja sen lämpötila mitataan $5\,\text{min}$:n välein. Ilman lämpötila on $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$.

$t\ (\text{min})$ $T\ ({}^\circ\text{C})$
$0$ $20{,}0$
$5$ $24{,}1$
$10$ $28{,}0$
$15$ $31{,}6$
$20$ $35{,}0$
$25$ $38{,}0$
$30$ $40{,}9$
$35$ $43{,}8$
$40$ $46{,}2$
$45$ $48{,}5$
$50$ $50{,}7$
$55$ $52{,}8$
$60$ $54{,}7$
  1. a) Piirrä aineistosta $(t, T)$-kuvaaja ja sovita pisteisiin malli. 3 p
  2. b) Määritä, kuinka suurella teholla vesi saa energiaa auringonsäteilystä. Perustele, mistä kuvaajan kohdasta määrität sen. 4 p
  3. c) Laske keräimen hyötysuhde mittauksen alussa, kun vesi on vielä ilman lämpöistä. 2 p
  4. d) Miksi lämpötilan nousu hidastuu? Määritä lämpöhäviön teho hetkellä $50\,\text{min}$. 4 p
  5. e) Arvioi kahta oletusta, joita käytit b–d-kohdissa. Kumpaan suuntaan kukin vaikuttaa tuloksiin? 2 p
Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

aineiston $(t, T)$-kuvaaja

Kuvaaja

Vaaka-akselilla on aika $t\ (\text{min})$ ja pystyakselilla veden lämpötila $T\ ({}^\circ\text{C})$. Pystyakselin ei tarvitse alkaa nollasta. Jokainen rivi on yksi erillinen piste.

$10$
$20$
$30$
$40$
$50$
$60$
$20$
$30$
$40$
$50$
$60$
$t\ (\text{min})$
$T\ ({}^\circ\text{C})$
$10$
$0$
$\text{tangentti: } 0{,}85\,\tfrac{\text{K}}{\text{min}}$
$0{,}43\,\tfrac{\text{K}}{\text{min}}$

Mallivastaus

Pisteet eivät ole suoralla: lämpötila nousee aluksi noin $0{,}8\,\text{K}$ minuutissa, mutta lopussa enää noin $0{,}4\,\text{K}$ minuutissa. Siksi pisteiden kautta piirretään tasainen, loiveneva käyrä eikä suoraa tai murtoviivaa. Kuvaan on piirretty myös b- ja d-kohdan apusuorat.

b)

Annettu

veden massa $m = 4{,}00\,\text{kg}$, veden ominaislämpökapasiteetti $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ ja a-kohdan kuvaaja

Kysytty

teho $P$, jolla vesi saa energiaa auringonsäteilystä

Periaate

Veden saama teho näkyy siinä, kuinka nopeasti sen lämpötila nousee: lämpömäärä on $Q = cm\Delta T$ ja teho $P = Q : \Delta t$. Lämpöä johtuu ja säteilee ympäristöön sitä enemmän, mitä lämpimämpää vesi on ilmaa. Mittauksen alussa vesi on ilman lämpöistä, joten silloin lähes kaikki auringosta saatu teho lämmittää vettä. Siksi teho määritetään kuvaajan alusta, ei koko mittauksen keskimääräisestä noususta.

Kuvaajan lukeminen

Käyrälle piirretään tangentti hetkellä $0\,\text{min}$. Se kulkee pisteiden $(0\,\text{min}$; $20{,}0\,{}^\circ\text{C})$ ja $(10\,\text{min}$; $28{,}5\,{}^\circ\text{C})$ kautta, joten alun lämpenemisnopeus on

$\dfrac{\Delta T}{\Delta t}$$= \dfrac{8{,}5\,\text{K}}{10\,\text{min}}$
$= 0{,}85\,\text{K/min}$

Kaava

$P$$= \dfrac{Q}{\Delta t}$
$= cm \cdot \dfrac{\Delta T}{\Delta t}$

Muunnokset

$0{,}85\,\text{K/min}$$= 0{,}85\,\text{K} : 60\,\text{s}$
$= 0{,}014\,17\,\text{K/s}$

Lämpötilan muutos on sama celsiusasteina ja kelvineinä.

Sijoitus

$P$$= 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 4{,}00\,\text{kg} \cdot 0{,}014\,17\,\text{K/s}$
$= 237\,\text{W}$

Vastaus

$P \approx 240\,\text{W}$

Kaksi merkitsevää numeroa, koska tangentin kulmakerroin luetaan kuvaajalta noin kahden numeron tarkkuudella.

Järkevyys

Keräimeen tulee säteilyä $800\,\text{W/m}^2 \cdot 0{,}50\,\text{m}^2 = 400\,\text{W}$, joten vesi saa siitä hieman yli puolet. Ensimmäisten viiden minuutin nousu $4{,}1\,\text{K}$ antaa lähes saman tehon:

$4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 4{,}00\,\text{kg} \cdot 4{,}1\,\text{K} : 300\,\text{s}$
$\approx 230\,\text{W}$

c)

Annettu

veden saama teho $P \approx 237\,\text{W}$, säteilyn teho pinta-alaa kohti $800\,\text{W/m}^2$ ja pinta-ala $A = 0{,}50\,\text{m}^2$

Kysytty

keräimen hyötysuhde $\eta$ mittauksen alussa, kun häviöitä ei vielä ole

Periaate

Hyötysuhde on hyödyllisen tehon ja tulevan tehon suhde. Hyödyllinen teho on b-kohdan teho, jonka vesi saa alussa ennen häviöitä, ja tuleva teho on keräimen pinnalle osuvan säteilyn teho.

Kaava

$P_\text{tuleva} = 800\,\text{W/m}^2 \cdot A$ ja $\eta = \dfrac{P}{P_\text{tuleva}}$

Muunnokset

Ei tarvita, tehot ovat watteina.

Sijoitus

$P_\text{tuleva}$$= 800\,\text{W/m}^2 \cdot 0{,}50\,\text{m}^2$
$= 400\,\text{W}$
$\eta$$= \dfrac{237\,\text{W}}{400\,\text{W}}$
$= 0{,}59$

Vastaus

$\eta \approx 0{,}59$

Eli noin $60\,\%$, kaksi merkitsevää numeroa kuten b-kohdan tehossa.

Järkevyys

Hyötysuhde on enintään yksi, koska vesi ei voi saada enempää tehoa kuin keräimeen tulee. Todellisessa keräimessä se jää alle yhden, koska osa säteilystä heijastuu lasista ja laatikosta, joten noin $60\,\%$ on uskottava yksinkertaiselle keräimelle.

d)

Annettu

auringosta saatu teho $P \approx 237\,\text{W}$ ja a-kohdan kuvaaja

Kysytty

miksi lämpeneminen hidastuu ja lämpöhäviön teho $P_\text{häviö}$ hetkellä $50\,\text{min}$

Periaate

Lämpöä johtuu laatikon seinien ja lasin läpi sitä suuremmalla teholla, mitä suurempi on veden ja ilman lämpötilaero ($P = UA\Delta T$), ja lämmin laatikko myös säteilee enemmän. Kun vesi lämpenee, häviö kasvaa, joten veteen jää yhä pienempi osa auringosta saadusta tehosta ja lämpötila nousee yhä hitaammin. Auringosta saatu teho pysyy samana, joten häviö on sen ja veteen jäävän tehon erotus.

Kuvaajan lukeminen

Kulmakerroin hetkellä $50\,\text{min}$ luetaan hetkien $40\,\text{min}$ ja $60\,\text{min}$ pisteiden kautta kulkevasta suorasta, joka on lähes käyrän tangentin suuntainen:

$\dfrac{54{,}7\,{}^\circ\text{C} - 46{,}2\,{}^\circ\text{C}}{20\,\text{min}}$
$= 0{,}425\,\text{K/min}$

Kaava

$P_\text{vesi}$$= cm \cdot \dfrac{\Delta T}{\Delta t}$

$P_\text{häviö} = P - P_\text{vesi}$

Muunnokset

$0{,}425\,\text{K/min}$$= 0{,}425\,\text{K} : 60\,\text{s}$
$= 0{,}007\,08\,\text{K/s}$

Sijoitus

$P_\text{vesi}$$= 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 4{,}00\,\text{kg} \cdot 0{,}007\,08\,\text{K/s}$
$= 119\,\text{W}$
$P_\text{häviö}$$= 237\,\text{W} - 119\,\text{W}$
$= 118\,\text{W}$

Vastaus

$P_\text{häviö} \approx 120\,\text{W}$

Kaksi merkitsevää numeroa, koska molemmat kulmakertoimet on luettu kuvaajalta.

Järkevyys

Hetkellä $50\,\text{min}$ vesi on noin $31\,\text{K}$ ilmaa lämpimämpää, ja häviö on noin puolet auringosta saadusta tehosta. Samalla tahdilla jatkuessaan häviö kasvaisi yhtä suureksi kuin saatu teho, kun lämpötilaero on noin $60\,\text{K}$. Silloin veden lämpötila lakkaisi nousemasta noin $80\,{}^\circ\text{C}$:ssa, mikä on yksinkertaiselle keräimelle uskottava.

e)

Kysytty

kaksi b–d-kohtien oletusta ja niiden vaikutuksen suunta

Periaate

Oletus on hyvä, jos sen virhe on pieni verrattuna lukemisen epävarmuuteen. Jokaisen oletuksen kohdalla mietitään, saisiko vesi todellisuudessa enemmän vai vähemmän energiaa kuin laskettiin.

Mallivastaus

Mitkä tahansa kaksi perusteltuna:
- Laatikon ja lasin lämpeneminen on jätetty pois. Osa auringosta saadusta energiasta lämmittää myös laatikkoa, joten keräimen todellinen teho on hieman laskettua suurempi.
- Alussa ei oletettu häviöitä. Häviöt alkavat heti, kun vesi lämpenee ilmaa lämpimämmäksi. Jos kulmakerroin luetaan ensimmäisten pisteiden kautta kulkevasta suorasta eikä alun tangentista, se on liian pieni, ja teho saadaan hieman liian pieneksi.
- Mittarin lukema $800\,\text{W/m}^2$ oletettiin koko tunnin samaksi. Jos pilvi tai auringon korkeuden muutos pienensi säteilyä mittauksen aikana, osa lämpenemisen hidastumisesta johtuu siitä eikä häviöistä, ja d-kohdan häviö on liian suuri.

Yleisiä virheitä

  • Kaikkien pisteiden kautta sovitetaan suora, ja lämpenemisnopeudeksi saadaan koko mittauksen keskiarvo $0{,}58\,\text{K/min}$. Silloin teho on liian pieni, koska myöhemmin osa tehosta menee häviöihin.
  • Kulmakerroin jätetään yksikköön $\text{K/min}$, ja tehoksi saadaan $60$ kertaa liian suuri luku.
  • Hyötysuhteessa verrataan veden saamaa energiaa koko tunnin aikana tulevaan säteilyyn, vaikka häviöt muuttuvat koko ajan.
  • d-kohdassa selitetään hidastuminen vain sanalla "häviöt" kertomatta, miksi ne kasvavat lämpötilan noustessa.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. 1 p
Jokainen mittaus on merkitty erillisenä pisteenä oikealle paikalleen. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii, eikä pisteitä ole yhdistetty murtoviivaksi. Pisteiden kautta kulkee tasainen, loiveneva käyrä. 1 p

b)4 p

Määrittää lämpenemisnopeuden mittauksen alusta ja perustelee: kun vesi on ilman lämpöistä, lämpöä ei juuri siirry ympäristöön. 1 p
Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Alun kulmakerroin tangentista tai ensimmäisistä pisteistä, noin $0{,}8\text{–}0{,}9\,\text{K/min}$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $Q = cm\Delta T$ ja $P = Q : t$ eli $P = cm \cdot \dfrac{\Delta T}{\Delta t}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $P \approx 240\,\text{W}$; alun tangentista tai ensimmäisten $5\text{–}10\,\text{min}$:n pisteistä saatu $220\text{–}250\,\text{W}$ hyväksytään. 1 p

c)2 p

Laskee keräimeen tulevan säteilytehon $800\,\text{W/m}^2 \cdot 0{,}50\,\text{m}^2 = 400\,\text{W}$ ja hyötysuhteen hyödyllisen ja tulevan tehon suhteena. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\eta \approx 0{,}59$ eli noin $60\,\%$ (b-kohdan tuloksen mukaan) 1 p

d)4 p

Selittää, että lämpöä johtuu ja säteilee ympäristöön sitä enemmän, mitä suurempi veden ja ilman lämpötilaero on. 1 p
Päättelee, että veteen jäävä teho pienenee, joten lämpötila nousee yhä hitaammin. 1 p
Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Kulmakerroin hetkellä $50\,\text{min}$, noin $0{,}42\,\text{K/min}$. 1 p
Laskee häviön auringosta saadun tehon ja veteen jäävän tehon erotuksena, noin $120\,\text{W}$. 1 p

e)2 p

Nimeää ensimmäisen mittauksen tai mallin oletuksen ja perustelee, kumpaan suuntaan se muuttaa tulosta. 1 p
Nimeää toisen oletuksen ja perustelee, kumpaan suuntaan se muuttaa tulosta. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (15 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

Painekattila 15 pistettä

Taulukon arvot ovat veden mitattuja kiehumislämpötiloja taulukkokirjoista, pyöristettyinä.

Painekattilan kansi sulkeutuu tiiviisti. Kun vesi kuumenee, kattilan paine nousee, kunnes venttiili alkaa päästää höyryä ulos. Venttiili pitää kattilan paineen $80\,\text{kPa}$ suurempana kuin ulkoilman paine $101\,\text{kPa}$. Ilma on poistunut kattilasta höyryn mukana jo kuumennuksen aikana, joten kannen alla on vain vesihöyryä.

$p\ (\text{kPa})$ $T_\text{k}\ ({}^\circ\text{C})$
$70{,}2$ $90$
$84{,}6$ $95$
$101{,}3$ $100$
$120{,}9$ $105$
$143{,}4$ $110$
$169{,}2$ $115$
$198{,}7$ $120$
$232{,}3$ $125$

Taulukossa on veden kiehumislämpötila $T_\text{k}$ eri paineissa $p$.

  1. a) Mikä on veden lämpötila kattilassa, kun venttiili päästää höyryä ulos? 3 p
  2. b) Selitä, miksi vesi kiehuu painekattilassa korkeammassa lämpötilassa kuin avoimessa kattilassa ja miksi ruoka kypsyy siinä nopeammin. 3 p
  3. c) Kattilassa on $1{,}50\,\text{kg}$ vettä ja lisäksi perunoita. Kun venttiili sihisee, levyn teho säädetään $300\,\text{W}$:iin. Siitä $80\,\%$ siirtyy kattilan sisältöön ja loput ympäristöön. Perunat ovat jo lämmenneet läpikotaisin kattilan lämpötilaan. Kuinka paljon vettä höyrystyy $20$ minuutissa? 4 p
  4. d) Kypsennyksen jälkeen joku avaa kannen heti, vaikka paine ei ole vielä laskenut. Selitä, mitä kattilassa tapahtuu. Kuinka suuri osa vedestä höyrystyy? 5 p
Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

venttiili pitää ylipaineen $80\,\text{kPa}$, ulkoilman paine $101\,\text{kPa}$ ja taulukon kiehumislämpötilat

Kysytty

veden lämpötila $T$, kun venttiili päästää höyryä ulos

Periaate

Vesi kiehuu siinä lämpötilassa, joka vastaa veden pinnalla vaikuttavaa kokonaispainetta. Kun venttiili päästää höyryä ulos, kattilan kokonaispaine on ulkoilman paine ja venttiilin ylipaine yhteensä. Ilma on jo poistunut, joten kannen alla on vain vesihöyryä ja koko paine on höyryn painetta. Taulukossa on kiehumislämpötila vain $5\,{}^\circ\text{C}$:n välein, joten väliin jäävä arvo interpoloidaan kahden lähimmän rivin välistä olettaen, että lämpötila muuttuu niiden välillä tasaisesti.

Kaava

$p$$= p_0 + \Delta p$
$T$$= T_1 + (T_2 - T_1) \cdot \dfrac{p - p_1}{p_2 - p_1}$

Muunnokset

Ei tarvita, kaikki paineet ovat kilopascaleina.

Sijoitus

$p$$= 101\,\text{kPa} + 80\,\text{kPa}$
$= 181\,\text{kPa}$

joka on rivien $169{,}2\,\text{kPa}$ ja $198{,}7\,\text{kPa}$ välissä.

$T$$= 115\,{}^\circ\text{C} + 5\,{}^\circ\text{C} \cdot \dfrac{11{,}8\,\text{kPa}}{29{,}5\,\text{kPa}}$
$= 115\,{}^\circ\text{C} + 2{,}0\,{}^\circ\text{C}$
$= 117\,{}^\circ\text{C}$

Vastaus

$T \approx 117\,{}^\circ\text{C}$

Asteen tarkkuudella: venttiilin ylipaine on annettu kahden numeron tarkkuudella, ja taulukon arvojen välillä käyrä kaartuu hieman.

Järkevyys

Lämpötila on taulukon $115\,{}^\circ\text{C}$:n ja $120\,{}^\circ\text{C}$:n välissä ja lähempänä $115\,{}^\circ\text{C}$:ta, kuten paineen paikka niiden välissä. Jos ylipaine $80\,\text{kPa}$ olisi luettu taulukosta sellaisenaan, kiehumislämpötilaksi olisi saatu alle $95\,{}^\circ\text{C}$, mikä on mahdotonta kattilalle, jonka paine on ulkoilmaa suurempi.

b)

Kysytty

miksi kiehumislämpötila on korkeampi ja miksi ruoka kypsyy nopeammin

Periaate

Taulukko näyttää, että veden kiehumislämpötila kasvaa paineen kasvaessa. Sama tieto on faasikaavion höyrystymiskäyrässä, mutta vastaukseen riittää taulukko.

Mallivastaus

Kiehuessaan vesi höyrystyy kuplina koko nesteen sisällä. Höyrykupla pysyy olemassa vain, jos sen sisällä olevan höyryn paine on yhtä suuri kuin ympäröivän nesteen paine, johon pinnan paine vaikuttaa. Höyryn paine kasvaa lämpötilan noustessa, koska nopeammat hiukkaset irtoavat nesteestä useammin ja törmäävät kuplan seinään voimakkaammin. Mitä suurempi pinnan paine, sitä korkeampi lämpötilan on oltava, ennen kuin kuplia voi syntyä. Painekattilassa paine on noin $1{,}8$-kertainen ulkoilman paineeseen verrattuna, joten vesi kiehuu vasta noin $117\,{}^\circ\text{C}$:ssa.
Ruoka kypsyy, kun sen sisäosat lämpenevät riittävästi. Koska vesi on $17\,{}^\circ\text{C}$ kuumempaa kuin avoimessa kattilassa, lämpötilaero ruoan pintaan on suurempi. Silloin lämpö johtuu ruoan sisään nopeammin, ja korkeammassa lämpötilassa myös kypsymisen muutokset tapahtuvat nopeammin.

c)

Annettu

levyn teho $P = 300\,\text{W}$, josta $\eta = 0{,}80$ siirtyy kattilan sisältöön, aika $t = 20\,\text{min}$ ja veden ominaishöyrystymislämpö $r = 2260\,\text{kJ/kg}$

Kysytty

höyrystyvän veden massa $m$

Periaate

Venttiili pitää paineen vakiona, joten kattilan sisältö pysyy kiehumislämpötilassa. Lämpötila ei nouse, ja perunoiden oletetaan jo olevan kattilan lämpötilassa, joten kaikki sisältöön siirtyvä energia kuluu veden höyrystämiseen, ja syntyvä höyry purkautuu venttiilistä. Veden ja perunoiden massaa ei tarvita: se ratkaisee vain, kuinka kauan vettä riittää.

Kaava

$\eta P t = rm$, josta $m = \dfrac{\eta P t}{r}$

Muunnokset

$t$$= 20\,\text{min}$
$= 20 \cdot 60\,\text{s}$
$= 1200\,\text{s}$
$r$$= 2260\,\text{kJ/kg}$
$= 2{,}26 \cdot 10^6\,\text{J/kg}$

Sijoitus

$\eta P t$$= 0{,}80 \cdot 300\,\text{W} \cdot 1200\,\text{s}$
$= 288\,000\,\text{J}$
$m$$= \dfrac{288\,000\,\text{J}}{2{,}26 \cdot 10^6\,\text{J/kg}}$
$= 0{,}127\,\text{kg}$

Vastaus

$m \approx 0{,}13\,\text{kg}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten osuudessa $0{,}80$ ja ajassa $20\,\text{min}$.

Järkevyys

Vettä höyrystyy alle kymmenesosa, joten sitä riittää hyvin. Taulukon $r$ on mitattu $100\,{}^\circ\text{C}$:ssa, ja $117\,{}^\circ\text{C}$:ssa se on hieman pienempi (noin $2{,}21 \cdot 10^6\,\text{J/kg}$). Tulos $0{,}13\,\text{kg}$ ei silti muutu.

d)

Annettu

veden lämpötila $117\,{}^\circ\text{C}$, kiehumislämpötila ulkoilman paineessa $100\,{}^\circ\text{C}$, $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ ja $r = 2{,}26 \cdot 10^6\,\text{J/kg}$

Kysytty

mitä tapahtuu ja kuinka suuri osa $\dfrac{m_\text{h}}{m}$ vedestä höyrystyy

Periaate

Kun kansi avataan, kattilan paine laskee heti ulkoilman paineeseen, jolloin kiehumislämpötila laskee $100\,{}^\circ\text{C}$:seen. Vesi on $17\,{}^\circ\text{C}$ kuumempaa kuin kiehumislämpötilansa, joten se kiehuu rajusti koko tilavuudeltaan, kunnes se on jäähtynyt $100\,{}^\circ\text{C}$:seen. Energia säilyy: höyrystymiseen tarvittava energia tulee veden omasta jäähtymisestä. Höyrystyvä osa on pieni, joten jäähtyvän veden massana voi käyttää koko massaa $m$.

Kaava

$c m \Delta T = r m_\text{h}$, josta

$\dfrac{m_\text{h}}{m}$$= \dfrac{c \Delta T}{r}$

Muunnokset

$\Delta T$$= 117\,{}^\circ\text{C} - 100\,{}^\circ\text{C}$
$= 17\,\text{K}$

$r = 2{,}26 \cdot 10^6\,\text{J/kg}$

Sijoitus

$\dfrac{m_\text{h}}{m}$$= \dfrac{4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 17\,\text{K}}{2{,}26 \cdot 10^6\,\text{J/kg}}$
$= 0{,}031$

Vastaus

noin $3\,\%$ vedestä höyrystyy hetkessä. Yksi merkitsevä numero riittää, koska laskussa jätettiin perunoiden ja kattilan lämpö pois. Ne jäähtyvät myös ja höyrystävät lisää vettä, joten todellinen osuus on hieman suurempi.

Järkevyys

c-kohdan jälkeen vettä on noin $1{,}4\,\text{kg}$, ja siitä höyrystyy noin $40\,\text{g}$. Se on noin $2{,}4\,\text{mol}$, ja ideaalikaasuna $100\,{}^\circ\text{C}$:ssa ja paineessa $101\,\text{kPa}$ se vie tilaa

$V$$= \dfrac{nRT}{p}$
$\approx 70\,\text{l}$

Kymmeniä litroja kuumaa höyryä ja kiehuvaa roisketta purkautuu kerralla, ja höyry polttaa tiivistyessään pahemmin kuin yhtä kuuma vesi. Siksi painekattilan saa avata vasta, kun paine on laskenut.

Hyväksytään myös

  • c- ja d-kohdassa voi käyttää $117\,{}^\circ\text{C}$:n arvoa $r \approx 2{,}21 \cdot 10^6\,\text{J/kg}$; tulokset eivät muutu.
  • Jos a-kohdan kiehumislämpötila on luettu hieman eri tavalla (esimerkiksi $116$–$118\,{}^\circ\text{C}$), d-kohta arvostellaan sillä arvolla.

Yleisiä virheitä

  • Taulukosta luetaan ylipainetta $80\,\text{kPa}$ vastaava lämpötila, vaikka kiehumislämpötila riippuu kokonaispaineesta.
  • c-kohdassa lasketaan veden lämpenemistä kaavalla $Q = cm\Delta T$, vaikka lämpötila ei muutu, tai käytetään koko levyn tehoa $300\,\text{W}$.
  • d-kohdassa oletetaan, että lämpöä tarvitaan lisää kiehumiseen, vaikka energia tulee veden omasta jäähtymisestä.
  • b-kohdassa todetaan vain, että "paine nostaa kiehumispistettä", selittämättä miksi.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Käyttää kattilan kokonaispainetta $101\,\text{kPa} + 80\,\text{kPa} = 181\,\text{kPa}$ eikä pelkkää ylipainetta. 1 p
Lukee kiehumislämpötilan taulukon kahden arvon välistä interpoloimalla tai taulukosta piirretyltä kuvaajalta. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $T \approx 117\,{}^\circ\text{C}$ 1 p

b)3 p

Kytkee kiehumislämpötilan paineeseen: taulukon mukaan suuremmassa paineessa vesi kiehuu korkeammassa lämpötilassa. 1 p
Perustelee, miksi paine vaikuttaa, esimerkiksi hiukkasmallilla: höyrykupla pysyy auki vain, jos sen höyryn paine on yhtä suuri kuin ympäröivä paine, ja höyryn paine kasvaa lämpötilan mukana. 1 p
Selittää nopeamman kypsymisen korkeammalla lämpötilalla: lämpö siirtyy ruoan sisään nopeammin ja kypsyminen etenee nopeammin. 1 p

c)4 p

Perustelee, että paine ja lämpötila pysyvät vakioina ja perunat ovat jo kattilan lämpötilassa, joten kattilan sisältöön siirtyvä energia kuluu veden höyrystämiseen. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $\eta P t = rm$ ratkaistuna $m = \dfrac{\eta P t}{r}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $0{,}80 \cdot 300\,\text{W} \cdot 1200\,\text{s} = 288\,\text{kJ}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $m \approx 0{,}13\,\text{kg}$ 1 p

d)5 p

Paine laskee ulkoilman paineeseen, jolloin kiehumislämpötila laskee $100\,{}^\circ\text{C}$:seen. 1 p
Vesi on kiehumislämpötilaansa kuumempaa, joten se kiehuu rajusti, kunnes se on jäähtynyt $100\,{}^\circ\text{C}$:seen. 1 p
Energian säilyminen: veden jäähtyessä vapautuva lämpö höyrystää osan vedestä, $c m \Delta T = r m_\text{h}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\dfrac{m_\text{h}}{m} \approx 0{,}03$ eli noin $3\,\%$ 1 p
Nimeää vaaran (höyry ja roiskuva kiehuva vesi polttavat) tai laskun oletuksen (perunoiden ja kattilan lämpö jätetään pois). 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (15 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

Sukellus 15 pistettä

Sukeltaja on järvessä $15{,}0\,\text{m}$:n syvyydessä. Siellä veden lämpötila on $6{,}0\,{}^\circ\text{C}$, ja pinnalla se on $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Ilmanpaine on $101\,\text{kPa}$. Sukeltaja hengittää säiliöstä paineensäätimen kautta: säädin antaa ilman samassa paineessa, joka ympäröivässä vedessä on.

  1. a) Sukeltajan uloshengittämän ilmakuplan tilavuus on pohjalla $4{,}0\,\text{cm}^3$. Kuinka suuri sen tilavuus on pinnalla? 4 p
  2. b) Sukeltaja hengittää $15{,}0\,\text{m}$:n syvyydessä keuhkonsa täyteen, $6{,}0\,\text{l}$ ilmaa. Miksi on vaarallista nousta pintaan hengitystä pidättäen? Perustele laskulla. 3 p
  3. c) Sukeltajan säiliön tilavuus on $12{,}0\,\text{l}$, ja sen painemittari näyttää ylipainetta $200\,\text{bar}$, missä $1\,\text{bar} = 100\,\text{kPa}$. Sukeltaja kuluttaa $15{,}0\,\text{m}$:n syvyydessä minuutissa $20\,\text{l}$ ilmaa sen syvyyden paineessa. Nousu aloitetaan, kun mittari näyttää $50\,\text{bar}$. Oleta, että ilma on yhtä lämmintä säiliössä ja keuhkoissa. Kuinka kauan sukeltaja voi olla tässä syvyydessä? 5 p
  4. d) Arvioi kahta c-kohdan laskun oletusta. Onko todellinen aika todennäköisesti lyhyempi vai pidempi kuin laskettu? Miten tulosta kannattaa käyttää? 3 p
Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

kuplan tilavuus pohjalla $V_1 = 4{,}0\,\text{cm}^3$, syvyys $h = 15{,}0\,\text{m}$, lämpötilat $T_1 = 6{,}0\,{}^\circ\text{C}$ ja $T_2 = 20{,}0\,{}^\circ\text{C}$, ilmanpaine $p_0 = 101\,\text{kPa}$, veden tiheys $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$ ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

kuplan tilavuus $V_2$ pinnalla

Periaate

Kuplan ilmamäärä pysyy samana. Kupla on pieni, joten se on aina ympäröivän veden lämpöinen, ja sen paine on veden paine kyseisessä syvyydessä: ilmanpaine ja hydrostaattinen paine yhteensä. Ideaalikaasun tilanyhtälöstä $pV = nRT$ seuraa, että kun $n$ on vakio, $\dfrac{pV}{T}$ pysyy samana. Sekä paine että lämpötila muuttuvat, joten kumpaakaan ei voi jättää pois.

Kaava

$p_1$$= p_0 + \rho g h$
$\dfrac{p_1 V_1}{T_1}$$= \dfrac{p_2 V_2}{T_2}$

josta

$V_2$$= V_1 \cdot \dfrac{p_1}{p_2} \cdot \dfrac{T_2}{T_1}$

missä pinnalla $p_2 = p_0$

Muunnokset

$p_0$$= 101\,\text{kPa}$
$= 101\,000\,\text{Pa}$
$T_1$$= (6{,}0 + 273{,}15)\,\text{K}$
$= 279{,}15\,\text{K}$
$T_2$$= (20{,}0 + 273{,}15)\,\text{K}$
$= 293{,}15\,\text{K}$

Tilavuus voi jäädä kuutiosenttimetreiksi, koska yhtälössä on tilavuuksien suhde.

Sijoitus

$p_1$$= 101\,000\,\text{Pa} + 1000\,\text{kg/m}^3 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 15{,}0\,\text{m}$
$= 248\,150\,\text{Pa}$
$V_2$$= 4{,}0\,\text{cm}^3 \cdot \dfrac{248\,150\,\text{Pa}}{101\,000\,\text{Pa}} \cdot \dfrac{293{,}15\,\text{K}}{279{,}15\,\text{K}}$
$= 10{,}3\,\text{cm}^3$

Vastaus

$V_2 \approx 10\,\text{cm}^3$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten tilavuudessa $4{,}0\,\text{cm}^3$.

Järkevyys

Paine pienenee noustessa noin $2{,}5$-osaan, joten tilavuus kasvaa noin $2{,}5$-kertaiseksi, ja lämpeneminen kasvattaa sitä vielä noin $5\,\%$. Kuplien kasvu noustessa näkyy myös sukellusvideoissa.

b)

Annettu

keuhkot täynnä ilmaa, $V_1 = 6{,}0\,\text{l}$, paineessa $p_1 = 248\,\text{kPa}$ ja pinnan paine $p_2 = 101\,\text{kPa}$

Kysytty

ilman tilavuus pinnalla ja miksi nousu hengitystä pidättäen on vaarallista

Periaate

Ilmamäärä pysyy samana, kun hengitystä pidätetään. Keuhkoissa ilma on ruumiinlämpöistä, noin $37\,{}^\circ\text{C}$, syvyydestä ja veden lämpötilasta riippumatta. Siksi lämpötila pysyy vakiona, ja tilavuus muuttuu Boylen lain mukaan.

Kaava

$p_1 V_1 = p_2 V_2$, josta $V_2 = V_1 \cdot \dfrac{p_1}{p_2}$

Muunnokset

Ei tarvita, paineiden suhteessa yksiköt supistuvat.

Sijoitus

$V_2$$= 6{,}0\,\text{l} \cdot \dfrac{248\,\text{kPa}}{101\,\text{kPa}}$
$= 14{,}7\,\text{l}$

Vastaus

Ilma laajenisi noin $15\,\text{l}$:aan (kaksi merkitsevää numeroa kuten $6{,}0\,\text{l}$). Keuhkoihin mahtuu vain tehtävässä annettu $6{,}0\,\text{l}$, joten pidätetty ilma venyttäisi niitä ja voisi repiä keuhkokudoksen. Noustessa ei saa koskaan pidättää hengitystä: hengitetään normaalisti koko nousun ajan, jolloin laajeneva ilma pääsee ulos keuhkoista.

Järkevyys

Tilavuus kasvaa samassa suhteessa kuin a-kohdan kupla, paitsi lämpenemisen osuutta: keuhkojen lämpötila ei muutu.

c)

Annettu

säiliön tilavuus $V_\text{s} = 12{,}0\,\text{l}$, mittarin lukemat $200\,\text{bar}$ ja $50\,\text{bar}$ ylipainetta, kulutus $q = 20\,\text{l/min}$ syvyyden paineessa $p = 248\,\text{kPa}$

Kysytty

aika $t$, jonka sukeltaja voi olla $15{,}0\,\text{m}$:n syvyydessä

Periaate

Tehtävän mukaan ilman lämpötila on sama säiliössä ja keuhkoissa (d-kohdassa arvioidaan lämpenemisen vaikutus), joten ilmamäärä on verrannollinen paineen ja tilavuuden tuloon (Boylen laki). Säiliöstä käytetty ilma vie syvyyden paineessa tilavuuden, joka hengitetään. Mittari näyttää ylipainetta. Kokonaispaineiden erotus on kuitenkin sama kuin ylipaineiden erotus, koska ilmanpaine kumoutuu.

Kaava

$\Delta p_\text{s} V_\text{s} = p V$, josta

$V$$= \dfrac{\Delta p_\text{s} V_\text{s}}{p}$

ja $t = \dfrac{V}{q}$

Muunnokset

$\Delta p_\text{s}$$= 200\,\text{bar} - 50\,\text{bar}$
$= 150\,\text{bar}$
$= 150 \cdot 100\,\text{kPa}$
$= 15\,000\,\text{kPa}$

Tilavuudet voivat jäädä litroiksi.

Sijoitus

$V$$= \dfrac{15\,000\,\text{kPa} \cdot 12{,}0\,\text{l}}{248\,\text{kPa}}$
$= 725\,\text{l}$
$t$$= \dfrac{725\,\text{l}}{20\,\text{l/min}}$
$= 36\,\text{min}$

Vastaus

$t \approx 36\,\text{min}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten kulutuksessa $20\,\text{l/min}$.

Järkevyys

Pinnalla sama ilma riittäisi $2{,}5$ kertaa pidempään, noin $89\,\text{min}$, koska jokainen hengenveto vie syvyydessä $2{,}5$-kertaisen ilmamäärän. Noin puolen tunnin sukellus vastaa tavallisia harrastajien sukelluksia.

d)

Kysytty

kaksi oletusta, niiden vaikutuksen suunta ja tuloksen käyttö

Periaate

Lasku on malli. Jokaisen oletuksen kohdalla mietitään, kuluuko ilmaa todellisuudessa enemmän vai vähemmän kuin mallissa.

Mallivastaus

Mitkä tahansa kaksi perusteltuna:
- Kulutus on tasainen. Rasitus, kylmä vesi ja jännitys lisäävät hengitystä, joten todellinen aika on usein lyhyempi.
- Koko aika vietetään $15{,}0\,\text{m}$:n syvyydessä. Laskeutumisen ja nousun aikana paine on pienempi ja ilmaa kuluu vähemmän, joten tältä osin aika on pidempi.
- Lämpötila pysyy samana. Säiliön ilma on veden lämpöistä, mutta kulutus $20\,\text{l/min}$ mitataan keuhkoissa ruumiinlämpöisenä. Lämmetessään sama ilmamäärä vie noin $10\,\%$ enemmän tilaa, joten yhteen minuuttiin kuluu vähemmän säiliön ilmaa ja aika on noin $10\,\%$ pidempi.

Lisähuomio: hyvin suuressa paineessa ilma ei ole enää tarkasti ideaalikaasua, ja säiliössä on hieman vähemmän ilmaa kuin malli antaa. Tätä ei lukiossa vaadita.
Laskettu aika on suuntaa antava arvio eikä takuu. Sukellus suunnitellaan niin, että ilmaa jää varaa, ja nousu aloitetaan mittarin lukeman eikä kellon perusteella.

Yleisiä virheitä

  • Paineena käytetään pelkkää hydrostaattista painetta $\rho g h \approx 147\,\text{kPa}$ ilman ilmanpainetta.
  • a-kohdassa lämpötilat sijoitetaan celsiusasteina, tai lämpötilan muutos jätetään huomiotta perustelematta.
  • b-kohdassa lämpötilana käytetään veden lämpötilaa, vaikka ilma on keuhkoissa ruumiinlämpöistä.
  • c-kohdassa säiliön ilmaa verrataan pinnan paineeseen, jolloin ajaksi saadaan noin $89\,\text{min}$ eli yli kaksinkertainen aika.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Perustelee mallin: kuplan ilmamäärä pysyy samana, ja kupla on ympäröivän veden lämpöinen, joten $\dfrac{pV}{T}$ pysyy vakiona. 1 p
Laskee paineen syvyydessä: $p = p_0 + \rho g h \approx 248\,\text{kPa}$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $V_2 = V_1 \cdot \dfrac{p_1}{p_2} \cdot \dfrac{T_2}{T_1}$ kelvinlämpötiloilla 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $V_2 \approx 10\,\text{cm}^3$ 1 p

b)3 p

Valitsee vakiolämpötilan ja perustelee sen: ilma on keuhkoissa ruumiinlämpöistä syvyydestä riippumatta. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $V_2 = 6{,}0\,\text{l} \cdot \dfrac{248\,\text{kPa}}{101\,\text{kPa}} \approx 15\,\text{l}$ 1 p
Selittää vaaran: keuhkot eivät voi laajeta näin paljon, joten ilma vahingoittaa niitä; noustessa hengitetään normaalisti eikä hengitystä koskaan pidätetä, jolloin laajeneva ilma pääsee ulos keuhkoista. 1 p

c)5 p

Käyttää annettua oletusta: kun lämpötila on sama, ilmamäärä on verrannollinen paineen ja tilavuuden tuloon (Boylen laki). 1 p
Käyttää kokonaispaineita tai perustelee, miksi ylipaineiden erotus $150\,\text{bar}$ on sama kuin kokonaispaineiden erotus. 1 p
Laskee käytettävän ilman tilavuuden syvyyden paineessa, noin $725\,\text{l}$. 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Esimerkiksi: pinnalla sama ilma riittäisi noin $2{,}5$ kertaa pidempään, koska syvyydessä paine on noin $2{,}5$-kertainen. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $t \approx 36\,\text{min}$ 1 p

d)3 p

Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Ensimmäinen oletus ja sen vaikutuksen suunta. 1 p
Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Toinen oletus ja sen vaikutuksen suunta. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Laskettu aika on suuntaa antava arvio, ja suunnitelmaan jätetään varaa. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (15 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.