RuukkilabraLukion fysiikka
FY3 · moduulin lopuksi

Sovella itsenäisesti

Näissä tehtävissä kukaan ei kerro, mitä kaavaa käytetään. Päätä itse, mitkä ilmiöt ja mallit kuuluvat tilanteeseen. Ratkaise tehtävä paperille. Perustele ratkaisusi niin kuin ylioppilaskokeessa.

Nämä kolme tehtävää kokoavat moduulin asiat: energian, olomuodon muutokset ja kaasut. Jokaisessa tehtävässä päätät itse, mitkä ilmiöt ja mallit siihen kuuluvat.

Ratkaise tehtävä ensin itse paperille tai tietokoneelle. Saat käyttää laskinta, taulukkokirjaa ja kuvaajaohjelmaa. Kirjoita näkyviin perustelut, kaavat, sijoitukset ja vastaukset yksiköineen.

Aurinkokeräin 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Aineisto on laskettu mallista ja pyöristetty niin kuin mittauksessa. Se ei ole oikean mittauksen tulos.

Opiskelijat rakensivat aurinkokeräimen. Se on matala musta laatikko, jonka päällä on lasilevy. Laatikossa on $4{,}00\,\text{kg}$ vettä. Keräin käännetään kohti aurinkoa. Mittari näyttää, että auringonsäteilyn teho on $800\,\text{W/m}^2$. Se tarkoittaa, että $800\,\text{W}$ osuu jokaiseen neliömetriin, joka on kohtisuorassa auringon suuntaa vastaan. Keräimen pinta-ala tähän suuntaan on $0{,}50\,\text{m}^2$. Vettä sekoitetaan koko ajan. Veden lämpötila mitataan $5\,\text{min}$:n välein. Ilman lämpötila on $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$.

$t\ (\text{min})$ $T\ ({}^\circ\text{C})$
$0$ $20{,}0$
$5$ $24{,}1$
$10$ $28{,}0$
$15$ $31{,}6$
$20$ $35{,}0$
$25$ $38{,}0$
$30$ $40{,}9$
$35$ $43{,}8$
$40$ $46{,}2$
$45$ $48{,}5$
$50$ $50{,}7$
$55$ $52{,}8$
$60$ $54{,}7$
  1. a) Piirrä aineistosta $(t, T)$-kuvaaja. Sovita pisteisiin malli. 3 p
  2. b) Määritä, kuinka suurella teholla vesi saa energiaa auringonsäteilystä. Perustele, mistä kuvaajan kohdasta määrität tehon. 4 p
  3. c) Laske keräimen hyötysuhde mittauksen alussa. Silloin vesi on vielä ilman lämpöistä. 2 p
  4. d) Miksi lämpötilan nousu hidastuu? Määritä lämpöhäviön teho hetkellä $50\,\text{min}$. 4 p
  5. e) Arvioi kahta oletusta, joita käytit b–d-kohdissa. Mihin suuntaan kukin oletus vaikuttaa tuloksiin? 2 p
Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

aineiston $(t, T)$-kuvaaja

Kuvaaja

Vaaka-akselilla on aika $t\ (\text{min})$ ja pystyakselilla veden lämpötila $T\ ({}^\circ\text{C})$. Pystyakselin ei tarvitse alkaa nollasta. Jokainen taulukon rivi on yksi piste.

$10$
$20$
$30$
$40$
$50$
$60$
$20$
$30$
$40$
$50$
$60$
$t\ (\text{min})$
$T\ ({}^\circ\text{C})$
$10$
$0$
$\text{tangentti: } 0{,}85\,\tfrac{\text{K}}{\text{min}}$
$0{,}43\,\tfrac{\text{K}}{\text{min}}$

Mallivastaus

Pisteet eivät ole suoralla. Aluksi lämpötila nousee noin $0{,}8\,\text{K}$ minuutissa. Lopussa se nousee enää noin $0{,}4\,\text{K}$ minuutissa. Siksi pisteiden kautta piirretään tasainen käyrä, joka loivenee. Suoraa tai murtoviivaa ei piirretä. Kuvaan on piirretty myös b- ja d-kohdan apusuorat.

b)

Annettu

veden massa $m = 4{,}00\,\text{kg}$, veden ominaislämpökapasiteetti $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ ja a-kohdan kuvaaja

Kysytty

teho $P$, jolla vesi saa energiaa auringonsäteilystä

Periaate

Veden saama teho näkyy siinä, kuinka nopeasti lämpötila nousee. Lämpömäärä on $Q = cm\Delta T$ ja teho on $P = Q : \Delta t$. Mitä lämpimämpää vesi on ilmaan verrattuna, sitä enemmän lämpöä johtuu ja säteilee ympäristöön. Mittauksen alussa vesi on ilman lämpöistä. Silloin lähes kaikki auringosta saatu teho lämmittää vettä. Siksi teho määritetään kuvaajan alusta. Sitä ei määritetä koko mittauksen keskimääräisestä noususta.

Kuvaajan lukeminen

Käyrälle piirretään tangentti hetkellä $0\,\text{min}$. Tangentti kulkee pisteiden $(0\,\text{min}$; $20{,}0\,{}^\circ\text{C})$ ja $(10\,\text{min}$; $28{,}5\,{}^\circ\text{C})$ kautta, joten lämpenemisnopeus alussa on

$\dfrac{\Delta T}{\Delta t}$$= \dfrac{8{,}5\,\text{K}}{10\,\text{min}}$
$= 0{,}85\,\text{K/min}$

Kaava

$P$$= \dfrac{Q}{\Delta t}$
$= cm \cdot \dfrac{\Delta T}{\Delta t}$

Muunnokset

$0{,}85\,\text{K/min}$$= 0{,}85\,\text{K} : 60\,\text{s}$
$= 0{,}014\,17\,\text{K/s}$

Lämpötilan muutos on sama celsiusasteina ja kelvineinä.

Sijoitus

$P$$= 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 4{,}00\,\text{kg} \cdot 0{,}014\,17\,\text{K/s}$
$= 237\,\text{W}$

Vastaus

$P \approx 240\,\text{W}$

Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska tangentin kulmakerroin luetaan kuvaajalta noin kahden numeron tarkkuudella.

Järkevyys

Keräimeen tulee säteilyä $800\,\text{W/m}^2 \cdot 0{,}50\,\text{m}^2 = 400\,\text{W}$, joten vesi saa siitä hieman yli puolet. Ensimmäisten viiden minuutin nousu on $4{,}1\,\text{K}$. Se antaa lähes saman tehon:

$4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 4{,}00\,\text{kg} \cdot 4{,}1\,\text{K} : 300\,\text{s}$
$\approx 230\,\text{W}$

c)

Annettu

veden saama teho $P \approx 237\,\text{W}$, säteilyn teho pinta-alaa kohti $800\,\text{W/m}^2$ ja pinta-ala $A = 0{,}50\,\text{m}^2$

Kysytty

keräimen hyötysuhde $\eta$ mittauksen alussa, kun häviöitä ei vielä ole

Periaate

Hyötysuhde on hyödyllisen tehon ja tulevan tehon suhde. Hyödyllinen teho on b-kohdan teho. Vesi saa sen alussa ennen häviöitä. Tuleva teho on keräimen pinnalle osuvan säteilyn teho.

Kaava

$P_\text{tuleva} = 800\,\text{W/m}^2 \cdot A$ ja $\eta = \dfrac{P}{P_\text{tuleva}}$

Muunnokset

Ei tarvita, tehot ovat watteina.

Sijoitus

$P_\text{tuleva}$$= 800\,\text{W/m}^2 \cdot 0{,}50\,\text{m}^2$
$= 400\,\text{W}$
$\eta$$= \dfrac{237\,\text{W}}{400\,\text{W}}$
$= 0{,}59$

Vastaus

$\eta \approx 0{,}59$

Eli noin $60\,\%$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten b-kohdan tehossa.

Järkevyys

Hyötysuhde on enintään yksi, koska vesi ei voi saada enempää tehoa kuin keräimeen tulee. Todellisessa keräimessä se jää alle yhden, koska osa säteilystä heijastuu lasista ja laatikosta. Siksi noin $60\,\%$ on uskottava yksinkertaiselle keräimelle.

d)

Annettu

auringosta saatu teho $P \approx 237\,\text{W}$ ja a-kohdan kuvaaja

Kysytty

miksi lämpeneminen hidastuu ja lämpöhäviön teho $P_\text{häviö}$ hetkellä $50\,\text{min}$

Periaate

Lämpöä johtuu laatikon seinien ja lasin läpi sitä suuremmalla teholla, mitä suurempi on veden ja ilman lämpötilaero ($P = UA\Delta T$). Lämmin laatikko myös säteilee enemmän. Kun vesi lämpenee, häviö kasvaa. Silloin veteen jää yhä pienempi osa auringosta saadusta tehosta, ja lämpötila nousee yhä hitaammin. Auringosta saatu teho pysyy samana. Siksi häviö on auringosta saadun tehon ja veteen jäävän tehon erotus.

Kuvaajan lukeminen

Kulmakerroin hetkellä $50\,\text{min}$ luetaan suorasta, joka kulkee hetkien $40\,\text{min}$ ja $60\,\text{min}$ pisteiden kautta. Suora on lähes samansuuntainen kuin käyrän tangentti:

$\dfrac{54{,}7\,{}^\circ\text{C} - 46{,}2\,{}^\circ\text{C}}{20\,\text{min}}$
$= 0{,}425\,\text{K/min}$

Kaava

$P_\text{vesi}$$= cm \cdot \dfrac{\Delta T}{\Delta t}$

$P_\text{häviö} = P - P_\text{vesi}$

Muunnokset

$0{,}425\,\text{K/min}$$= 0{,}425\,\text{K} : 60\,\text{s}$
$= 0{,}007\,08\,\text{K/s}$

Sijoitus

$P_\text{vesi}$$= 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 4{,}00\,\text{kg} \cdot 0{,}007\,08\,\text{K/s}$
$= 119\,\text{W}$
$P_\text{häviö}$$= 237\,\text{W} - 119\,\text{W}$
$= 118\,\text{W}$

Vastaus

$P_\text{häviö} \approx 120\,\text{W}$

Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska molemmat kulmakertoimet on luettu kuvaajalta.

Järkevyys

Hetkellä $50\,\text{min}$ vesi on noin $31\,\text{K}$ ilmaa lämpimämpää. Häviö on noin puolet auringosta saadusta tehosta. Jos häviö kasvaa samaa tahtia, se on yhtä suuri kuin saatu teho, kun lämpötilaero on noin $60\,\text{K}$. Silloin veden lämpötila lakkaa nousemasta noin $80\,{}^\circ\text{C}$:ssa. Tämä on uskottava tulos yksinkertaiselle keräimelle.

e)

Kysytty

kaksi b–d-kohtien oletusta ja niiden vaikutuksen suunta

Periaate

Oletus on hyvä, jos sen virhe on pieni verrattuna lukemisen epävarmuuteen. Mieti jokaisesta oletuksesta, saisiko vesi todellisuudessa enemmän vai vähemmän energiaa kuin laskettiin.

Mallivastaus

Mitkä tahansa kaksi perusteltuna:
- Laatikon ja lasin lämpeneminen on jätetty pois. Osa auringosta saadusta energiasta lämmittää myös laatikkoa. Siksi keräimen todellinen teho on hieman laskettua suurempi.
- Alussa ei oletettu häviöitä. Häviöt alkavat heti, kun vesi on ilmaa lämpimämpää. Jos kulmakerroin luetaan ensimmäisten pisteiden kautta kulkevasta suorasta eikä alun tangentista, se on liian pieni. Silloin teho tulee hieman liian pieneksi.
- Mittarin lukema $800\,\text{W/m}^2$ oletettiin koko tunnin samaksi. Jos pilvi tai auringon korkeuden muutos pienensi säteilyä mittauksen aikana, osa hidastumisesta johtuu siitä eikä häviöistä. Silloin d-kohdan häviö on liian suuri.

Yleisiä virheitä

  • Kaikkien pisteiden kautta sovitetaan suora. Lämpenemisnopeudeksi saadaan koko mittauksen keskiarvo $0{,}58\,\text{K/min}$. Silloin teho on liian pieni, koska myöhemmin osa tehosta menee häviöihin.
  • Kulmakerroin jätetään yksikköön $\text{K/min}$. Silloin teho on $60$ kertaa liian suuri.
  • Hyötysuhteessa verrataan veden saamaa energiaa koko tunnin ajalta tulevaan säteilyyn. Häviöt kuitenkin muuttuvat koko ajan.
  • d-kohdassa hidastuminen selitetään vain sanalla "häviöt". Ei kerrota, miksi häviöt kasvavat lämpötilan noustessa.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa omaa ratkaisuasi mallivastaukseen. Valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi ansaitsee mielestäsi. Voit antaa myös osapisteitä. Myös muu fysiikan kannalta oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. 1 p
Jokainen mittaus on merkitty erillisenä pisteenä oikealle paikalleen. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii. Pisteitä ei ole yhdistetty murtoviivaksi. Pisteiden kautta kulkee tasainen käyrä, joka loivenee. 1 p

b)4 p

Määrittää lämpenemisnopeuden mittauksen alusta ja perustelee: kun vesi on ilman lämpöistä, lämpöä ei juuri siirry ympäristöön. 1 p
Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi. Luku on tehty kahdesta pisteestä, jotka ovat suoralla kaukana toisistaan. Alun kulmakerroin tangentista tai ensimmäisistä pisteistä, noin $0{,}8\text{–}0{,}9\,\text{K/min}$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea. Kysytty suure on ratkaistu siitä ennen kuin lukuarvot sijoitetaan. $Q = cm\Delta T$ ja $P = Q : t$ eli $P = cm \cdot \dfrac{\Delta T}{\Delta t}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. $P \approx 240\,\text{W}$. Myös tulos $220\text{–}250\,\text{W}$ hyväksytään, kun se on saatu alun tangentista tai ensimmäisten $5\text{–}10\,\text{min}$:n pisteistä. 1 p

c)2 p

Laskee keräimeen tulevan säteilytehon $800\,\text{W/m}^2 \cdot 0{,}50\,\text{m}^2 = 400\,\text{W}$. Laskee hyötysuhteen hyödyllisen tehon ja tulevan tehon suhteena. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. $\eta \approx 0{,}59$ eli noin $60\,\%$ (b-kohdan tuloksen mukaan) 1 p

d)4 p

Selittää: mitä suurempi veden ja ilman lämpötilaero on, sitä enemmän lämpöä johtuu ja säteilee ympäristöön. 1 p
Päättelee, että veteen jäävä teho pienenee. Siksi lämpötila nousee yhä hitaammin. 1 p
Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi. Luku on tehty kahdesta pisteestä, jotka ovat suoralla kaukana toisistaan. Kulmakerroin hetkellä $50\,\text{min}$, noin $0{,}42\,\text{K/min}$. 1 p
Laskee häviön erotuksena: auringosta saatu teho miinus veteen jäävä teho. Tulos on noin $120\,\text{W}$. 1 p

e)2 p

Nimeää ensimmäisen oletuksen (mittauksen tai mallin) ja perustelee, mihin suuntaan se muuttaa tulosta. 1 p
Nimeää toisen oletuksen ja perustelee, mihin suuntaan se muuttaa tulosta. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (15 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi. Ne eivät ole tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma. Se perustuu siihen, millainen on hyvä vastaus ylioppilaskokeessa. Se ei ole YTL:n virallinen pisteytys.

Painekattila 15 pistettä

Taulukon arvot ovat veden mitattuja kiehumislämpötiloja taulukkokirjoista. Arvot on pyöristetty.

Painekattilan kansi sulkeutuu tiiviisti. Kun vesi kuumenee, kattilan paine nousee. Lopulta venttiili alkaa päästää höyryä ulos. Venttiili pitää kattilan paineen $80\,\text{kPa}$ suurempana kuin ulkoilman paine. Ulkoilman paine on $101\,\text{kPa}$. Ilma on poistunut kattilasta höyryn mukana jo kuumennuksen aikana. Siksi kannen alla on vain vesihöyryä.

$p\ (\text{kPa})$ $T_\text{k}\ ({}^\circ\text{C})$
$70{,}2$ $90$
$84{,}6$ $95$
$101{,}3$ $100$
$120{,}9$ $105$
$143{,}4$ $110$
$169{,}2$ $115$
$198{,}7$ $120$
$232{,}3$ $125$

Taulukossa on veden kiehumislämpötila $T_\text{k}$ eri paineissa $p$.

  1. a) Mikä on veden lämpötila kattilassa, kun venttiili päästää höyryä ulos? 3 p
  2. b) Selitä, miksi vesi kiehuu painekattilassa korkeammassa lämpötilassa kuin avoimessa kattilassa. Selitä myös, miksi ruoka kypsyy painekattilassa nopeammin. 3 p
  3. c) Kattilassa on $1{,}50\,\text{kg}$ vettä ja lisäksi perunoita. Venttiili sihisee. Silloin levyn teho säädetään $300\,\text{W}$:iin. Tehosta $80\,\%$ siirtyy kattilan sisältöön ja loput ympäristöön. Perunat ovat jo lämmenneet läpikotaisin kattilan lämpötilaan. Kuinka paljon vettä höyrystyy $20$ minuutissa? 4 p
  4. d) Kypsennyksen jälkeen joku avaa kannen heti. Paine ei ole vielä laskenut. Selitä, mitä kattilassa tapahtuu. Kuinka suuri osa vedestä höyrystyy? 5 p
Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

venttiili pitää ylipaineen $80\,\text{kPa}$, ulkoilman paine $101\,\text{kPa}$ ja taulukon kiehumislämpötilat

Kysytty

veden lämpötila $T$, kun venttiili päästää höyryä ulos

Periaate

Vesi kiehuu siinä lämpötilassa, joka vastaa veden pinnalla vaikuttavaa kokonaispainetta. Kun venttiili päästää höyryä ulos, kattilan kokonaispaine on ulkoilman paine ja venttiilin ylipaine yhteensä. Ilma on jo poistunut, joten kannen alla on vain vesihöyryä ja koko paine on höyryn painetta. Taulukossa on kiehumislämpötila vain $5\,{}^\circ\text{C}$:n välein. Siksi väliin jäävä arvo interpoloidaan kahden lähimmän rivin välistä. Oletus on, että lämpötila muuttuu rivien välillä tasaisesti.

Kaava

$p$$= p_0 + \Delta p$
$T$$= T_1 + (T_2 - T_1) \cdot \dfrac{p - p_1}{p_2 - p_1}$

Muunnokset

Ei tarvita, kaikki paineet ovat kilopascaleina.

Sijoitus

$p$$= 101\,\text{kPa} + 80\,\text{kPa}$
$= 181\,\text{kPa}$

joka on rivien $169{,}2\,\text{kPa}$ ja $198{,}7\,\text{kPa}$ välissä.

$T$$= 115\,{}^\circ\text{C} + 5\,{}^\circ\text{C} \cdot \dfrac{11{,}8\,\text{kPa}}{29{,}5\,\text{kPa}}$
$= 115\,{}^\circ\text{C} + 2{,}0\,{}^\circ\text{C}$
$= 117\,{}^\circ\text{C}$

Vastaus

$T \approx 117\,{}^\circ\text{C}$

Asteen tarkkuudella. Venttiilin ylipaine on annettu kahden numeron tarkkuudella. Lisäksi käyrä kaartuu hieman taulukon arvojen välillä.

Järkevyys

Lämpötila on taulukon $115\,{}^\circ\text{C}$:n ja $120\,{}^\circ\text{C}$:n välissä ja lähempänä $115\,{}^\circ\text{C}$:ta. Paine on rivien paineiden välissä samalla tavalla. Jos ylipaine $80\,\text{kPa}$ luettaisiin taulukosta sellaisenaan, kiehumislämpötilaksi tulisi alle $95\,{}^\circ\text{C}$. Se on mahdotonta kattilassa, jonka paine on suurempi kuin ulkoilman paine.

b)

Kysytty

miksi kiehumislämpötila on korkeampi ja miksi ruoka kypsyy nopeammin

Periaate

Taulukko näyttää, että veden kiehumislämpötila kasvaa paineen kasvaessa. Sama tieto on faasikaavion höyrystymiskäyrässä, mutta vastaukseen riittää taulukko.

Mallivastaus

Kiehuessaan vesi höyrystyy kuplina koko nesteen sisällä. Höyrykupla pysyy olemassa vain, jos sen sisällä olevan höyryn paine on yhtä suuri kuin ympäröivän nesteen paine. Nesteen paineeseen vaikuttaa pinnan paine. Höyryn paine kasvaa lämpötilan noustessa. Nopeammat hiukkaset irtoavat nesteestä useammin ja törmäävät kuplan seinään voimakkaammin. Mitä suurempi pinnan paine on, sitä korkeampi lämpötilan on oltava, ennen kuin kuplia voi syntyä. Painekattilassa paine on noin $1{,}8$-kertainen ulkoilman paineeseen verrattuna. Siksi vesi kiehuu vasta noin $117\,{}^\circ\text{C}$:ssa.
Ruoka kypsyy, kun sen sisäosat lämpenevät riittävästi. Vesi on $17\,{}^\circ\text{C}$ kuumempaa kuin avoimessa kattilassa. Siksi lämpötilaero ruoan pintaan on suurempi. Silloin lämpö johtuu ruoan sisään nopeammin. Korkeammassa lämpötilassa myös kypsymisen muutokset tapahtuvat nopeammin.

c)

Annettu

levyn teho $P = 300\,\text{W}$, josta $\eta = 0{,}80$ siirtyy kattilan sisältöön, aika $t = 20\,\text{min}$ ja veden ominaishöyrystymislämpö $r = 2260\,\text{kJ/kg}$

Kysytty

höyrystyvän veden massa $m$

Periaate

Venttiili pitää paineen vakiona, joten kattilan sisältö pysyy kiehumislämpötilassa. Lämpötila ei nouse, ja perunoiden oletetaan jo olevan kattilan lämpötilassa. Siksi kaikki sisältöön siirtyvä energia kuluu veden höyrystämiseen. Syntyvä höyry purkautuu venttiilistä. Veden ja perunoiden massaa ei tarvita. Massa ratkaisee vain sen, kuinka kauan vettä riittää.

Kaava

$\eta P t = rm$, josta $m = \dfrac{\eta P t}{r}$

Muunnokset

$t$$= 20\,\text{min}$
$= 20 \cdot 60\,\text{s}$
$= 1200\,\text{s}$
$r$$= 2260\,\text{kJ/kg}$
$= 2{,}26 \cdot 10^6\,\text{J/kg}$

Sijoitus

$\eta P t$$= 0{,}80 \cdot 300\,\text{W} \cdot 1200\,\text{s}$
$= 288\,000\,\text{J}$
$m$$= \dfrac{288\,000\,\text{J}}{2{,}26 \cdot 10^6\,\text{J/kg}}$
$= 0{,}127\,\text{kg}$

Vastaus

$m \approx 0{,}13\,\text{kg}$

Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten osuudessa $0{,}80$ ja ajassa $20\,\text{min}$.

Järkevyys

Vettä höyrystyy alle kymmenesosa, joten vettä riittää hyvin. Taulukon $r$ on mitattu $100\,{}^\circ\text{C}$:ssa. Lämpötilassa $117\,{}^\circ\text{C}$ se on hieman pienempi (noin $2{,}21 \cdot 10^6\,\text{J/kg}$). Tulos $0{,}13\,\text{kg}$ ei silti muutu.

d)

Annettu

veden lämpötila $117\,{}^\circ\text{C}$, kiehumislämpötila ulkoilman paineessa $100\,{}^\circ\text{C}$, $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ ja $r = 2{,}26 \cdot 10^6\,\text{J/kg}$

Kysytty

mitä tapahtuu ja kuinka suuri osa $\dfrac{m_\text{h}}{m}$ vedestä höyrystyy

Periaate

Kun kansi avataan, kattilan paine laskee heti ulkoilman paineeseen. Silloin kiehumislämpötila laskee $100\,{}^\circ\text{C}$:seen. Vesi on $17\,{}^\circ\text{C}$ kuumempaa kuin sen kiehumislämpötila. Siksi se kiehuu rajusti koko tilavuudeltaan, kunnes se on jäähtynyt $100\,{}^\circ\text{C}$:seen. Energia säilyy: höyrystymiseen tarvittava energia tulee veden omasta jäähtymisestä. Höyrystyvä osa on pieni. Siksi jäähtyvän veden massana voi käyttää koko massaa $m$.

Kaava

$c m \Delta T = r m_\text{h}$, josta

$\dfrac{m_\text{h}}{m}$$= \dfrac{c \Delta T}{r}$

Muunnokset

$\Delta T$$= 117\,{}^\circ\text{C} - 100\,{}^\circ\text{C}$
$= 17\,\text{K}$

$r = 2{,}26 \cdot 10^6\,\text{J/kg}$

Sijoitus

$\dfrac{m_\text{h}}{m}$$= \dfrac{4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 17\,\text{K}}{2{,}26 \cdot 10^6\,\text{J/kg}}$
$= 0{,}031$

Vastaus

noin $3\,\%$ vedestä höyrystyy hetkessä. Yksi merkitsevä numero riittää, koska laskussa jätettiin perunoiden ja kattilan lämpö pois. Ne jäähtyvät myös ja höyrystävät lisää vettä. Siksi todellinen osuus on hieman suurempi.

Järkevyys

c-kohdan jälkeen vettä on noin $1{,}4\,\text{kg}$. Siitä höyrystyy noin $40\,\text{g}$. Se on noin $2{,}4\,\text{mol}$. Ideaalikaasuna $100\,{}^\circ\text{C}$:ssa ja paineessa $101\,\text{kPa}$ se vie tilaa

$V$$= \dfrac{nRT}{p}$
$\approx 70\,\text{l}$

Kerralla purkautuu kymmeniä litroja kuumaa höyryä ja kiehuvaa roisketta. Höyry polttaa tiivistyessään pahemmin kuin yhtä kuuma vesi. Siksi painekattilan saa avata vasta, kun paine on laskenut.

Hyväksytään myös

  • c- ja d-kohdassa voi käyttää lämpötilan $117\,{}^\circ\text{C}$ arvoa $r \approx 2{,}21 \cdot 10^6\,\text{J/kg}$. Tulokset eivät muutu.
  • Jos a-kohdan kiehumislämpötila on luettu hieman eri tavalla (esimerkiksi $116$–$118\,{}^\circ\text{C}$), d-kohta arvostellaan sillä arvolla.

Yleisiä virheitä

  • Taulukosta luetaan ylipainetta $80\,\text{kPa}$ vastaava lämpötila. Kiehumislämpötila riippuu kuitenkin kokonaispaineesta.
  • c-kohdassa lasketaan veden lämpenemistä kaavalla $Q = cm\Delta T$, vaikka lämpötila ei muutu. Tai käytetään koko levyn tehoa $300\,\text{W}$.
  • d-kohdassa oletetaan, että kiehumiseen tarvitaan lisää lämpöä. Energia tulee kuitenkin veden omasta jäähtymisestä.
  • b-kohdassa todetaan vain, että "paine nostaa kiehumispistettä". Ei selitetä, miksi.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa omaa ratkaisuasi mallivastaukseen. Valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi ansaitsee mielestäsi. Voit antaa myös osapisteitä. Myös muu fysiikan kannalta oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Käyttää kattilan kokonaispainetta $101\,\text{kPa} + 80\,\text{kPa} = 181\,\text{kPa}$. Ei käytä pelkkää ylipainetta. 1 p
Lukee kiehumislämpötilan interpoloimalla taulukon kahden arvon välistä. Voi myös lukea sen taulukosta piirretyltä kuvaajalta. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. $T \approx 117\,{}^\circ\text{C}$ 1 p

b)3 p

Kytkee kiehumislämpötilan paineeseen. Taulukon mukaan vesi kiehuu sitä korkeammassa lämpötilassa, mitä suurempi paine on. 1 p
Perustelee, miksi paine vaikuttaa, esimerkiksi hiukkasmallilla: höyrykupla pysyy auki vain, jos sen höyryn paine on yhtä suuri kuin ympäröivä paine. Höyryn paine kasvaa lämpötilan mukana. 1 p
Selittää nopeamman kypsymisen korkeammalla lämpötilalla: lämpö siirtyy ruoan sisään nopeammin, ja kypsyminen etenee nopeammin. 1 p

c)4 p

Perustelee: paine ja lämpötila pysyvät vakioina ja perunat ovat jo kattilan lämpötilassa. Siksi kattilan sisältöön siirtyvä energia kuluu kokonaan veden höyrystämiseen. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea. Kysytty suure on ratkaistu siitä ennen kuin lukuarvot sijoitetaan. $\eta P t = rm$ ratkaistuna $m = \dfrac{\eta P t}{r}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $0{,}80 \cdot 300\,\text{W} \cdot 1200\,\text{s} = 288\,\text{kJ}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. $m \approx 0{,}13\,\text{kg}$ 1 p

d)5 p

Paine laskee ulkoilman paineeseen. Silloin kiehumislämpötila laskee $100\,{}^\circ\text{C}$:seen. 1 p
Vesi on kuumempaa kuin kiehumislämpötilansa. Siksi se kiehuu rajusti, kunnes se on jäähtynyt $100\,{}^\circ\text{C}$:seen. 1 p
Energian säilyminen: veden jäähtyessä vapautuva lämpö höyrystää osan vedestä, $c m \Delta T = r m_\text{h}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. $\dfrac{m_\text{h}}{m} \approx 0{,}03$ eli noin $3\,\%$ 1 p
Nimeää vaaran (höyry ja roiskuva kiehuva vesi polttavat) tai laskun oletuksen (perunoiden ja kattilan lämpö jätetään pois). 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (15 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi. Ne eivät ole tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma. Se perustuu siihen, millainen on hyvä vastaus ylioppilaskokeessa. Se ei ole YTL:n virallinen pisteytys.

Sukellus 15 pistettä

Sukeltaja on järvessä $15{,}0\,\text{m}$:n syvyydessä. Siellä veden lämpötila on $6{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Pinnalla veden lämpötila on $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Ilmanpaine on $101\,\text{kPa}$. Sukeltaja hengittää säiliöstä paineensäätimen kautta. Säädin antaa ilman samassa paineessa, joka on ympäröivässä vedessä.

  1. a) Sukeltajan uloshengittämän ilmakuplan tilavuus on pohjalla $4{,}0\,\text{cm}^3$. Kuinka suuri tilavuus kuplalla on pinnalla? 4 p
  2. b) Sukeltaja hengittää $15{,}0\,\text{m}$:n syvyydessä keuhkonsa täyteen. Keuhkoihin tulee $6{,}0\,\text{l}$ ilmaa. Miksi on vaarallista nousta pintaan hengitystä pidättäen? Perustele laskulla. 3 p
  3. c) Sukeltajan säiliön tilavuus on $12{,}0\,\text{l}$. Säiliön painemittari näyttää ylipainetta $200\,\text{bar}$, missä $1\,\text{bar} = 100\,\text{kPa}$. Sukeltaja kuluttaa $15{,}0\,\text{m}$:n syvyydessä $20\,\text{l}$ ilmaa minuutissa. Tämä tilavuus on mitattu syvyyden paineessa. Nousu aloitetaan, kun mittari näyttää $50\,\text{bar}$. Oleta, että ilma on yhtä lämmintä säiliössä ja keuhkoissa. Kuinka kauan sukeltaja voi olla tässä syvyydessä? 5 p
  4. d) Arvioi kahta c-kohdan laskun oletusta. Onko todellinen aika todennäköisesti lyhyempi vai pidempi kuin laskettu aika? Miten tulosta kannattaa käyttää? 3 p
Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

kuplan tilavuus pohjalla $V_1 = 4{,}0\,\text{cm}^3$, syvyys $h = 15{,}0\,\text{m}$, lämpötilat $T_1 = 6{,}0\,{}^\circ\text{C}$ ja $T_2 = 20{,}0\,{}^\circ\text{C}$, ilmanpaine $p_0 = 101\,\text{kPa}$, veden tiheys $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$ ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

kuplan tilavuus $V_2$ pinnalla

Periaate

Kuplan ilmamäärä pysyy samana. Kupla on pieni, joten se on aina saman lämpöinen kuin ympäröivä vesi. Kuplan paine on veden paine kyseisessä syvyydessä, eli ilmanpaine ja hydrostaattinen paine yhteensä. Ideaalikaasun tilanyhtälöstä $pV = nRT$ seuraa: kun $n$ on vakio, $\dfrac{pV}{T}$ pysyy samana. Sekä paine että lämpötila muuttuvat. Siksi kumpaakaan ei voi jättää pois.

Kaava

$p_1$$= p_0 + \rho g h$
$\dfrac{p_1 V_1}{T_1}$$= \dfrac{p_2 V_2}{T_2}$

josta

$V_2$$= V_1 \cdot \dfrac{p_1}{p_2} \cdot \dfrac{T_2}{T_1}$

missä pinnalla $p_2 = p_0$

Muunnokset

$p_0$$= 101\,\text{kPa}$
$= 101\,000\,\text{Pa}$
$T_1$$= (6{,}0 + 273{,}15)\,\text{K}$
$= 279{,}15\,\text{K}$
$T_2$$= (20{,}0 + 273{,}15)\,\text{K}$
$= 293{,}15\,\text{K}$

Tilavuus voi jäädä kuutiosenttimetreiksi, koska yhtälössä on tilavuuksien suhde.

Sijoitus

$p_1$$= 101\,000\,\text{Pa} + 1000\,\text{kg/m}^3 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 15{,}0\,\text{m}$
$= 248\,150\,\text{Pa}$
$V_2$$= 4{,}0\,\text{cm}^3 \cdot \dfrac{248\,150\,\text{Pa}}{101\,000\,\text{Pa}} \cdot \dfrac{293{,}15\,\text{K}}{279{,}15\,\text{K}}$
$= 10{,}3\,\text{cm}^3$

Vastaus

$V_2 \approx 10\,\text{cm}^3$

Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten tilavuudessa $4{,}0\,\text{cm}^3$.

Järkevyys

Paine pienenee noustessa noin $2{,}5$-osaan. Siksi tilavuus kasvaa noin $2{,}5$-kertaiseksi. Lämpeneminen kasvattaa tilavuutta vielä noin $5\,\%$. Kuplien kasvu noustessa näkyy myös sukellusvideoissa.

b)

Annettu

keuhkot täynnä ilmaa, $V_1 = 6{,}0\,\text{l}$, paineessa $p_1 = 248\,\text{kPa}$ ja pinnan paine $p_2 = 101\,\text{kPa}$

Kysytty

ilman tilavuus pinnalla ja miksi nousu hengitystä pidättäen on vaarallista

Periaate

Ilmamäärä pysyy samana, kun hengitystä pidätetään. Keuhkoissa ilma on ruumiinlämpöistä, noin $37\,{}^\circ\text{C}$. Lämpötila on sama syvyydestä ja veden lämpötilasta riippumatta. Siksi lämpötila pysyy vakiona, ja tilavuus muuttuu Boylen lain mukaan.

Kaava

$p_1 V_1 = p_2 V_2$, josta $V_2 = V_1 \cdot \dfrac{p_1}{p_2}$

Muunnokset

Ei tarvita, paineiden suhteessa yksiköt supistuvat.

Sijoitus

$V_2$$= 6{,}0\,\text{l} \cdot \dfrac{248\,\text{kPa}}{101\,\text{kPa}}$
$= 14{,}7\,\text{l}$

Vastaus

Ilma laajenisi noin $15\,\text{l}$:aan (kaksi merkitsevää numeroa kuten $6{,}0\,\text{l}$). Keuhkoihin mahtuu vain tehtävässä annettu $6{,}0\,\text{l}$. Pidätetty ilma venyttäisi keuhkoja ja voisi repiä keuhkokudoksen. Noustessa ei saa koskaan pidättää hengitystä. Hengitetään normaalisti koko nousun ajan, jolloin laajeneva ilma pääsee ulos keuhkoista.

Järkevyys

Tilavuus kasvaa samassa suhteessa kuin a-kohdan kupla, paitsi lämpenemisen osuutta. Keuhkojen lämpötila ei muutu.

c)

Annettu

säiliön tilavuus $V_\text{s} = 12{,}0\,\text{l}$, mittarin lukemat $200\,\text{bar}$ ja $50\,\text{bar}$ ylipainetta, kulutus $q = 20\,\text{l/min}$ syvyyden paineessa $p = 248\,\text{kPa}$

Kysytty

aika $t$, jonka sukeltaja voi olla $15{,}0\,\text{m}$:n syvyydessä

Periaate

Tehtävän mukaan ilman lämpötila on sama säiliössä ja keuhkoissa (d-kohdassa arvioidaan lämpenemisen vaikutus). Siksi ilmamäärä on verrannollinen paineen ja tilavuuden tuloon (Boylen laki). Säiliöstä käytetty ilma vie syvyyden paineessa sen tilavuuden, joka hengitetään. Mittari näyttää ylipainetta. Kokonaispaineiden erotus on kuitenkin sama kuin ylipaineiden erotus, koska ilmanpaine kumoutuu.

Kaava

$\Delta p_\text{s} V_\text{s} = p V$, josta

$V$$= \dfrac{\Delta p_\text{s} V_\text{s}}{p}$

ja $t = \dfrac{V}{q}$

Muunnokset

$\Delta p_\text{s}$$= 200\,\text{bar} - 50\,\text{bar}$
$= 150\,\text{bar}$
$= 150 \cdot 100\,\text{kPa}$
$= 15\,000\,\text{kPa}$

Tilavuudet voivat jäädä litroiksi.

Sijoitus

$V$$= \dfrac{15\,000\,\text{kPa} \cdot 12{,}0\,\text{l}}{248\,\text{kPa}}$
$= 725\,\text{l}$
$t$$= \dfrac{725\,\text{l}}{20\,\text{l/min}}$
$= 36\,\text{min}$

Vastaus

$t \approx 36\,\text{min}$

Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten kulutuksessa $20\,\text{l/min}$.

Järkevyys

Pinnalla sama ilma riittäisi $2{,}5$ kertaa pidempään, noin $89\,\text{min}$. Syvyydessä jokainen hengenveto vie $2{,}5$-kertaisen ilmamäärän. Noin puolen tunnin sukellus vastaa tavallisia harrastajien sukelluksia.

d)

Kysytty

kaksi oletusta, niiden vaikutuksen suunta ja tuloksen käyttö

Periaate

Lasku on malli. Mieti jokaisesta oletuksesta, kuluuko ilmaa todellisuudessa enemmän vai vähemmän kuin mallissa.

Mallivastaus

Mitkä tahansa kaksi perusteltuna:
- Kulutus on tasainen. Rasitus, kylmä vesi ja jännitys lisäävät hengitystä. Siksi todellinen aika on usein lyhyempi.
- Koko aika vietetään $15{,}0\,\text{m}$:n syvyydessä. Laskeutumisen ja nousun aikana paine on pienempi ja ilmaa kuluu vähemmän. Siksi tältä osin aika on pidempi.
- Lämpötila pysyy samana. Säiliön ilma on veden lämpöistä. Kulutus $20\,\text{l/min}$ mitataan kuitenkin keuhkoissa, jossa ilma on ruumiinlämpöistä. Lämmetessään sama ilmamäärä vie noin $10\,\%$ enemmän tilaa. Siksi minuutissa kuluu vähemmän säiliön ilmaa, ja aika on noin $10\,\%$ pidempi.

Lisähuomio: hyvin suuressa paineessa ilma ei ole enää tarkasti ideaalikaasua. Silloin säiliössä on hieman vähemmän ilmaa kuin malli antaa. Tätä ei lukiossa vaadita.
Laskettu aika on suuntaa antava arvio eikä takuu. Sukellus suunnitellaan niin, että ilmaa jää varaa. Nousu aloitetaan mittarin lukeman perusteella, ei kellon perusteella.

Yleisiä virheitä

  • Paineena käytetään pelkkää hydrostaattista painetta $\rho g h \approx 147\,\text{kPa}$. Ilmanpaine jätetään pois.
  • a-kohdassa lämpötilat sijoitetaan celsiusasteina. Tai lämpötilan muutos jätetään huomiotta ilman perustelua.
  • b-kohdassa lämpötilana käytetään veden lämpötilaa. Keuhkoissa ilma on kuitenkin ruumiinlämpöistä.
  • c-kohdassa säiliön ilmaa verrataan pinnan paineeseen. Silloin ajaksi tulee noin $89\,\text{min}$ eli yli kaksinkertainen aika.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa omaa ratkaisuasi mallivastaukseen. Valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi ansaitsee mielestäsi. Voit antaa myös osapisteitä. Myös muu fysiikan kannalta oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Perustelee mallin: kuplan ilmamäärä pysyy samana, ja kupla on saman lämpöinen kuin ympäröivä vesi. Siksi $\dfrac{pV}{T}$ pysyy vakiona. 1 p
Laskee paineen syvyydessä: $p = p_0 + \rho g h \approx 248\,\text{kPa}$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea. Kysytty suure on ratkaistu siitä ennen kuin lukuarvot sijoitetaan. $V_2 = V_1 \cdot \dfrac{p_1}{p_2} \cdot \dfrac{T_2}{T_1}$ kelvinlämpötiloilla 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. $V_2 \approx 10\,\text{cm}^3$ 1 p

b)3 p

Valitsee vakiolämpötilan ja perustelee sen: keuhkoissa ilma on ruumiinlämpöistä syvyydestä riippumatta. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $V_2 = 6{,}0\,\text{l} \cdot \dfrac{248\,\text{kPa}}{101\,\text{kPa}} \approx 15\,\text{l}$ 1 p
Selittää vaaran: keuhkot eivät voi laajeta näin paljon, joten ilma vahingoittaa niitä. Noustessa hengitetään normaalisti, eikä hengitystä koskaan pidätetä. Silloin laajeneva ilma pääsee ulos keuhkoista. 1 p

c)5 p

Käyttää annettua oletusta: kun lämpötila on sama, ilmamäärä on verrannollinen paineen ja tilavuuden tuloon (Boylen laki). 1 p
Käyttää kokonaispaineita tai perustelee, miksi ylipaineiden erotus $150\,\text{bar}$ on sama kuin kokonaispaineiden erotus. 1 p
Laskee käytettävän ilman tilavuuden syvyyden paineessa. Tulos on noin $725\,\text{l}$. 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Esimerkiksi: pinnalla sama ilma riittäisi noin $2{,}5$ kertaa pidempään, koska syvyydessä paine on noin $2{,}5$-kertainen. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. $t \approx 36\,\text{min}$ 1 p

d)3 p

Oletus on nimetty. On myös perusteltu, miten se vaikuttaa tulokseen. Ensimmäinen oletus ja sen vaikutuksen suunta. 1 p
Oletus on nimetty. On myös perusteltu, miten se vaikuttaa tulokseen. Toinen oletus ja sen vaikutuksen suunta. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Laskettu aika on suuntaa antava arvio. Suunnitelmaan jätetään varaa. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (15 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi. Ne eivät ole tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma. Se perustuu siihen, millainen on hyvä vastaus ylioppilaskokeessa. Se ei ole YTL:n virallinen pisteytys.