Kaasujen tilanmuutokset ja Boylen laki

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 11-1Ydintehtävä

   Kertakäyttöruiskussa on $30{,}0\,\text{ml}$ ilmaa $101\,\text{kPa}$:n paineessa. Ruiskun kärki suljetaan sormella. Mäntää vedetään hitaasti ulospäin, kunnes ilman tilavuus on $45{,}0\,\text{ml}$. Ilman lämpötila pysyy samana. Ilmaa ei pääse ruiskuun eikä sieltä pois.

   Mikä on ilman paine ruiskussa nyt?

   kPaTarkista
   Vastaus

   $p_2 \approx 67{,}3\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $V_1 = 30{,}0\,\text{ml}$, $p_1 = 101\,\text{kPa}$, $V_2 = 45{,}0\,\text{ml}$, lämpötila vakio, ilmaa ei pääse ruiskuun eikä sieltä pois

   Kysytty

   ilman paine $p_2$ kilopascaleina

   Periaate

   Ilman lämpötila ja ainemäärä pysyvät samoina. Kyseessä on siis isoterminen tilanmuutos, ja Boylen laki pätee. Paine on kääntäen verrannollinen tilavuuteen. Tulo $pV$ pysyy siis vakiona.

   Kaava

   $p_1 V_1 = p_2 V_2$, josta $p_2 = \dfrac{p_1 V_1}{V_2}$

   Muunnokset

   Yksikköjä ei tarvitse muuntaa. Tilavuudet ovat molemmat millilitroina, joten $\text{ml}$ supistuu pois. Paine saadaan samassa yksikössä kuin $p_1$.

   Sijoitus

   $p_2$$= \dfrac{101\,\text{kPa} \cdot 30{,}0\,\text{ml}}{45{,}0\,\text{ml}}$

   $= 67{,}333\,\text{kPa}$

   Vastaus

   $p_2 \approx 67{,}3\,\text{kPa}$

   Kolme merkitsevää numeroa. Kaikki kolme lähtötietoa ($101\,\text{kPa}$, $30{,}0\,\text{ml}$ ja $45{,}0\,\text{ml}$) ovat kolmen numeron arvoja. Mikään ei siis rajoita tulosta kolmatta numeroa pidemmälle.

   Järkevyys

   Tilavuus kasvaa 1,5-kertaiseksi. Siksi paineen pitää pienentyä samalla kertoimella: $101\,\text{kPa} / 1{,}5 \approx 67\,\text{kPa}$. Paine on alle ilmanpaineen. Ulkoilma painaa siis mäntää sisäänpäin, ja sen tuntee, kun vetää mäntää. Tulo $pV$ on ennen ja jälkeen $3030\,\text{kPa}\cdot\text{ml}$ molemmissa.

2. Tehtävä 11-2Ydintehtävä

   Kesämökin vesijärjestelmän painesäiliön yläosassa on suljettu ilmatila. Kun säiliössä on vähän vettä, ilman tilavuus on $24{,}0\,\textsf{l}$ ja kokonaispaine $160{,}0\,\text{kPa}$. Pumppu pumppaa säiliöön lisää vettä. Ilma puristuu kokoon, ja sen kokonaispaine nousee $280{,}0\,\text{kPa}$:iin. Ilman lämpötila pysyy samana.

   Mikä on ilman tilavuus nyt?

   lTarkista
   Vastaus

   $V_2 \approx 13{,}7\,\textsf{l}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $V_1 = 24{,}0\,\textsf{l}$, $p_1 = 160{,}0\,\text{kPa}$, $p_2 = 280{,}0\,\text{kPa}$ (kokonaispaineita), lämpötila vakio, säiliön ilma on suljettu

   Kysytty

   ilman tilavuus $V_2$ litroina

   Periaate

   Säiliön yläosan ilma on suljettu. Sen lämpötila pysyy samana. Siksi ilman tilavuus ja paine noudattavat Boylen lakia. Nouseva vesi puristaa ilmaa kokoon ja nostaa sen painetta.

   Kaava

   $p_1 V_1 = p_2 V_2$, josta $V_2 = \dfrac{p_1 V_1}{p_2}$

   Muunnokset

   Yksikköjä ei tarvitse muuntaa. Kilopascalit supistuvat osamäärässä. Tilavuus tulee suoraan litroina.

   Sijoitus

   $V_2$$= \dfrac{160{,}0\,\text{kPa} \cdot 24{,}0\,\textsf{l}}{280{,}0\,\text{kPa}}$

   $= 13{,}714\,\textsf{l}$

   Vastaus

   $V_2 \approx 13{,}7\,\textsf{l}$

   Kolme merkitsevää numeroa. Rajoittava tieto on tilavuus $24{,}0\,\textsf{l}$ (kolme numeroa). Paineet $160{,}0\,\text{kPa}$ ja $280{,}0\,\text{kPa}$ on annettu neljällä numerolla. Ne eivät rajoita tulosta.

   Järkevyys

   Paine kasvaa, joten tilavuuden täytyy pienentyä. Painesuhde on $280/160 = 1{,}75$, ja $24{,}0\,\textsf{l} / 1{,}75 \approx 13{,}7\,\textsf{l}$. Tulo $pV$ on $3840\,\text{kPa}\cdot\textsf{l}$ alussa ja lopussa. Puristunut ilma toimii kuin jousi. Se työntää vettä hanoihin, vaikka pumppu ei käy.

3. Tehtävä 11-3

   Kuvaajassa on esimerkkiaineisto. Se näyttää kertakäyttöruiskun ilman paineen $p$ tilavuuden $V$ funktiona. Ruiskun kärki on suljettu, ja mäntää liikutetaan hitaasti. Siksi ilman lämpötila pysyy samana.

   Mikä on ilman paine, kun sen tilavuus on $25\,\text{ml}$? Lue tarvittavat arvot kuvaajasta.

   kPaTarkista
   Vastaus

   $p_2 = 80\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuvaajan mittauspiste ruudukon risteyksessä $V_1 = 20\,\text{ml}$, $p_1 = 100\,\text{kPa}$; $V_2 = 25\,\text{ml}$; lämpötila ja ilman määrä pysyvät samoina

   Kysytty

   ilman paine $p_2$ kilopascaleina

   Periaate

   Ilman määrä ja lämpötila pysyvät samoina. Siksi ilma noudattaa Boylen lakia: tulo $pV$ on vakio. Painetta ei lueta pisteiden väliin vedetyltä janalta. $(V, p)$-kuvaaja on nimittäin kaari eikä suora.

   Kuvaajan lukeminen

   Valitaan piste, joka on tarkasti ruudukon risteyksessä: $(20\,\text{ml}$; $100\,\text{kPa})$. Myös piste $(40\,\text{ml}$; $50\,\text{kPa})$ antaa saman tulon $pV = 2000\,\text{kPa}\cdot\text{ml}$. Se tukee sitä, että lämpötila pysyi samana.

   Kaava

   $p_1 V_1 = p_2 V_2$, josta $p_2 = \dfrac{p_1 V_1}{V_2}$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Millilitrat supistuvat osamäärässä. Paine saadaan kilopascaleina.

   Sijoitus

   $p_2$$= \dfrac{100\,\text{kPa} \cdot 20\,\text{ml}}{25\,\text{ml}}$

   $= 80\,\text{kPa}$

   Vastaus

   $p_2 = 80\,\text{kPa}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Tilavuus $25\,\text{ml}$ ja kuvaajalta luettu tilavuus $20\,\text{ml}$ ovat kahden numeron arvoja.

   Järkevyys

   Tilavuus $25\,\text{ml}$ on mitattujen $20\,\text{ml}$ ja $30\,\text{ml}$ välissä. Paineen on siksi oltava niiden paineiden $100\,\text{kPa}$ ja $67\,\text{kPa}$ välissä, ja $80\,\text{kPa}$ on. Pisteiden väliin vedetyltä janalta luettu arvo olisi noin $83\,\text{kPa}$. Se olisi liian suuri, koska kaari kulkee janan alapuolella.

4. Tehtävä 11-4

   Syntymäpäiväjuhlien ilmapallossa on $3{,}0\,\textsf{l}$ ilmaa $22\,{}^\circ\text{C}$:n olohuoneessa. Pallo viedään parvekkeelle, jossa on $-18\,{}^\circ\text{C}$:n pakkanen. Pallon ilma jäähtyy ulkoilman lämpötilaan. Ilman paine pallossa pysyy samana.

   Mikä on pallon ilman tilavuus parvekkeella?

   lTarkista
   Vastaus

   $V_2 \approx 2{,}6\,\textsf{l}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $V_1 = 3{,}0\,\textsf{l}$, $\theta_1 = 22\,{}^\circ\text{C}$, $\theta_2 = -18\,{}^\circ\text{C}$, paine vakio

   Kysytty

   ilman tilavuus $V_2$ litroina

   Periaate

   Paine ja ilman määrä pysyvät samoina. Tilanmuutos on siis isobaarinen. Tilavuus on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan, eli $V/T$ pysyy vakiona. Verrannollisuus pätee vain absoluuttiselle lämpötilalle.

   Kaava

   $\dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2}$, josta $V_2 = \dfrac{V_1 T_2}{T_1}$

   Muunnokset

   Lämpötilat kelvineinä:

   $T_1$$= (22 + 273{,}15)\,\text{K}$

   $= 295{,}15\,\text{K}$

   $T_2$$= (-18 + 273{,}15)\,\text{K}$

   $= 255{,}15\,\text{K}$

   Sijoitus

   $V_2$$= \dfrac{3{,}0\,\textsf{l} \cdot 255{,}15\,\text{K}}{295{,}15\,\text{K}}$

   $= 2{,}5934\,\textsf{l}$

   Vastaus

   $V_2 \approx 2{,}6\,\textsf{l}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittava tieto on tilavuus $3{,}0\,\textsf{l}$. Kelvinlämpötilat $295\,\text{K}$ ja $255\,\text{K}$ (kokonaisasteista) ovat kolmen numeron arvoja. Ne eivät rajoita tulosta.

   Järkevyys

   Lämpötila laskee $40\,\text{K}$. Se on noin $14\,\%$ alkuperäisestä $295\,\text{K}$:sta. Tilavuus pienenee siis noin $14\,\%$, ja $3{,}0\,\textsf{l} \cdot 0{,}86 \approx 2{,}6\,\textsf{l}$. Pallo kutistuu, ja kumi ryppyyntyy. Jos laskisi celsiusasteilla, saisi

   $V_2$$= 3{,}0\,\textsf{l} \cdot \dfrac{-18}{22}$

   Se olisi negatiivinen, mikä on mahdotonta. Siksi lämpötilat on käytettävä kelvineinä.

5. Tehtävä 11-5

   Arkkupakastimen kansi avataan, ja pakastimen ilmatila täyttyy $22\,{}^\circ\text{C}$:n huoneilmalla. Kansi suljetaan tiiviisti. Silloin ilman paine pakastimessa on $101\,\text{kPa}$. Ilma jäähtyy $-18\,{}^\circ\text{C}$:seen, ja sen tilavuus pysyy samana.

   Mikä on ilman paine pakastimessa nyt? (Siksi kantta on vaikea avata uudelleen heti sulkemisen jälkeen.)

   kPaTarkista
   Vastaus

   $p_2 \approx 87{,}3\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $p_1 = 101\,\text{kPa}$, $\theta_1 = 22\,{}^\circ\text{C}$, $\theta_2 = -18\,{}^\circ\text{C}$, tilavuus vakio

   Kysytty

   ilman paine $p_2$ kilopascaleina

   Periaate

   Kansi on tiivis, ja pakastimen tilavuus ei muutu. Ilman määrä ja tilavuus pysyvät siis samoina. Tilanmuutos on isokoorinen. Paine on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan, eli $p/T$ pysyy vakiona.

   Kaava

   $\dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2}$, josta $p_2 = \dfrac{p_1 T_2}{T_1}$

   Muunnokset

   Lämpötilat kelvineinä:

   $T_1$$= (22 + 273{,}15)\,\text{K}$

   $= 295{,}15\,\text{K}$

   $T_2$$= (-18 + 273{,}15)\,\text{K}$

   $= 255{,}15\,\text{K}$

   Sijoitus

   $p_2$$= \dfrac{101\,\text{kPa} \cdot 255{,}15\,\text{K}}{295{,}15\,\text{K}}$

   $= 87{,}312\,\text{kPa}$

   Vastaus

   $p_2 \approx 87{,}3\,\text{kPa}$

   Kolme merkitsevää numeroa. Paine $101\,\text{kPa}$ ja kelvinlämpötilat $295\,\text{K}$ ja $255\,\text{K}$ (kokonaisasteista $22\,{}^\circ\text{C}$ ja $-18\,{}^\circ\text{C}$) ovat kaikki kolmen numeron arvoja.

   Järkevyys

   Absoluuttinen lämpötila pienenee noin $14\,\%$. Paine pienenee yhtä paljon: $101\,\text{kPa} \cdot 0{,}86 \approx 87\,\text{kPa}$. Paine laskee noin $14\,\text{kPa}$. Ulkoilma painaa siis kantta enemmän kuin sisäilma. Täysin tiiviiseen puolen neliömetrin kanteen kohdistuisi noin $14\,\text{kPa} \cdot 0{,}5\,\text{m}^2 \approx 7\,\text{kN}$:n ylimääräinen voima. Käytännössä ilmaa vuotaa tiivisteiden ohi. Kansi aukeaa taas hetken päästä.

6. Tehtävä 11-6

   Ruiskussa on suljettu määrä ilmaa. Mäntää liikutetaan hitaasti, joten ilman lämpötila pysyy samana. Millainen on kuvaaja, jossa ilman paine $p$ on piirretty tilavuuden $V$ funktiona?

   Valitse vaihtoehto.

   • Laskeva kaari, koska tulo $pV$ on vakio ja paine pienenee tilavuuden kasvaessa.
   • Laskeva suora, koska paine $p$ pienenee saman verran jokaista lisättyä millilitraa kohti.
   • Vaakasuora, koska lämpötila $T$ on vakio ja siksi myös paine on vakio.
   • Nouseva suora, koska tilavuuden $V$ kasvaessa ilmassa on enemmän hiukkasia ja paine kasvaa.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Laskeva kaari, koska tulo $pV$ on vakio ja paine pienenee tilavuuden kasvaessa.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   millainen on isotermisen tilanmuutoksen $(V, p)$-kuvaaja. Isoterminen tarkoittaa, että lämpötila pysyy samana.

   Periaate

   Ilmaa on suljettuna koko ajan yhtä paljon. Sen lämpötila pysyy samana. Siksi Boylen laki pätee: $pV$ on vakio. Silloin $p = \text{vakio} \cdot \dfrac{1}{V}$. Paine on kääntäen verrannollinen tilavuuteen. Kun toinen kasvaa, toinen pienenee.

   Mallivastaus

   Kuvaaja on laskeva kaari, koska tulo $pV$ on vakio. Kun tilavuus kaksinkertaistuu, paine puolittuu. Kun tilavuus puolittuu, paine kaksinkertaistuu. Kaari lähestyy akseleita mutta ei kohtaa niitä. Laskeva suora olisi väärä. Silloin paine pienenisi saman verran jokaista lisättyä millilitraa kohti. Nouseva kuvaaja on väärä. Ilmaa on koko ajan yhtä paljon, ja kun tilavuus kasvaa, hiukkaset törmäävät seinämiin harvemmin. Vaakasuora kuvaaja on väärä. Vakiolämpötila ei tarkoita vakiopainetta. Kun tilavuus muuttuu, myös paine muuttuu.

   Kuvaajan lukeminen

   Kuvaajan muoto päätellään tulosta $pV = \text{vakio}$. Valitaan tilavuudet $V$, $2V$ ja $4V$. Niitä vastaavat paineet ovat $p$, $\dfrac{p}{2}$ ja $\dfrac{p}{4}$. Pisteet eivät ole samalla suoralla. Ne muodostavat laskevan kaaren.

7. Tehtävä 11-7

   Ilmakompressorin sylinterissä on $1{,}50\,\textsf{l}$ ilmaa $101\,\text{kPa}$:n paineessa. Mäntä puristaa ilman hitaasti pienempään tilaan. Puristus loppuu, kun paine on $240\,\text{kPa}$. Ilman lämpötila pysyy samana. Ilmaa ei pääse pois sylinteristä.

   Mikä on ilman tilavuus nyt?

   lTarkista
   Vastaus

   $V_2 \approx 0{,}63\,\textsf{l}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $V_1 = 1{,}50\,\textsf{l}$, $p_1 = 101\,\text{kPa}$, $p_2 = 240\,\text{kPa}$, lämpötila vakio, ilmaa ei pääse pois

   Kysytty

   ilman tilavuus $V_2$ litroina

   Periaate

   Ilman määrä ja lämpötila pysyvät samoina. Siksi Boylen laki pätee. Paine on kääntäen verrannollinen tilavuuteen, ja tulo $pV$ pysyy vakiona.

   Kaava

   $p_1 V_1 = p_2 V_2$, josta $V_2 = \dfrac{p_1 V_1}{p_2}$

   Muunnokset

   Yksikköjä ei tarvitse muuntaa. Kilopascalit supistuvat osamäärässä. Tilavuus tulee suoraan litroina.

   Sijoitus

   $V_2$$= \dfrac{101\,\text{kPa} \cdot 1{,}50\,\textsf{l}}{240\,\text{kPa}}$

   $= 0{,}6312\,\textsf{l}$

   Vastaus

   $V_2 \approx 0{,}63\,\textsf{l}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Paine $240\,\text{kPa}$ on annettu kahdella merkitsevällä numerolla.

   Järkevyys

   Paine kasvaa, joten tilavuuden täytyy pienentyä. Painesuhde on $240 : 101 \approx 2{,}4$, ja $1{,}50\,\textsf{l} : 2{,}4 \approx 0{,}63\,\textsf{l}$. Tulo $pV$ on alussa

   $101\,\text{kPa} \cdot 1{,}50\,\textsf{l}$

   $= 151{,}5\,\text{kPa}\cdot\textsf{l}$

   Lopussa se on

   $240\,\text{kPa} \cdot 0{,}6312\,\textsf{l}$

   $= 151{,}5\,\text{kPa}\cdot\textsf{l}$
8. Tehtävä 11-8

   Oppilas mittaa suljetun ilmamäärän paineen $p$ eri tilavuuksilla $V$. Lämpötila on koko ajan sama. Hän piirtää pisteet $(1/V,\,p)$-koordinaatistoon. Pisteet ovat mittausepävarmuuden rajoissa suoralla, joka kulkee origon kautta.

   Mitä tämä osoittaa?

   Valitse vaihtoehto.

   • Lämpötila nousi mittausten aikana, koska pisteet $(V,\,p)$ eivät ole kaarella.
   • Paine on suoraan verrannollinen tilavuuteen, koska $1/V$ kasvaa tilavuuden mukana.
   • Paine on kääntäen verrannollinen tilavuuteen, joten tulo $pV$ on vakio.
   • Paine on kääntäen verrannollinen tilavuuden neliöön, joten tulo $pV^2$ on vakio.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Paine on kääntäen verrannollinen tilavuuteen, joten tulo $pV$ on vakio.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mitä origon kautta kulkeva suora $(1/V,\,p)$-kuvaajassa osoittaa.

   Periaate

   Origon kautta kulkeva suora on muotoa $p = k \cdot \dfrac{1}{V}$. Sen kulmakerroin on $k = pV$. Jos pisteet ovat mittausepävarmuuden rajoissa tällaisella suoralla, tulo $pV$ on vakio.

   Mallivastaus

   Suora osoittaa, että paine on kääntäen verrannollinen tilavuuteen. Tulo $pV$ on vakio, joten Boylen laki pätee mittausepävarmuuden rajoissa. Väite suorasta verrannollisuudesta tilavuuteen on väärä. Kun tilavuus kasvaa, suure $1/V$ pienenee. Väite lämpötilan noususta on väärä. Pisteet piirrettiin $(1/V,\,p)$-koordinaatistoon eikä $(V,\,p)$-koordinaatistoon. Lämpötilan nousu veisi pisteet pois suoralta. Väite neliöstä on väärä. Silloin pisteet olisivat kaarella eivätkä suoralla.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 11-9Ydintehtävä

   Palomiehen paineilmalaitteen pullon tilavuus on $6{,}8\,\textsf{l}$. Täyteen pumpatussa pullossa ilman paine on $300{,}0\,\text{bar}$ ($1\,\text{bar}$ = $100\,\text{kPa}$). Ilma lasketaan ulos $101\,\text{kPa}$:n ilmanpaineeseen.

   Kuinka monta kuutiometriä ilma silloin veisi tilaa? Lämpötila pysyy samana. Oleta, että Boylen laki pätee myös näin suurella paineella.

   m³Tarkista
   Vastaus

   $V_2 \approx 2{,}0\,\text{m}^3$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $V_1 = 6{,}8\,\textsf{l}$, $p_1 = 300{,}0\,\text{bar}$, $p_2 = 101\,\text{kPa}$, $1\,\text{bar} = 100\,\text{kPa}$, lämpötila vakio

   Kysytty

   ilman tilavuus $V_2$ ulkoilman paineessa kuutiometreinä

   Periaate

   Ilman määrä ja lämpötila pysyvät samoina, kun ilma lasketaan ulos. Boylen laki siis pätee. Tehtävä käskee olettaa, että laki pätee myös suurella paineella. Ilma laajenee, kunnes sen paine on sama kuin ilmanpaine.

   Kaava

   $p_1 V_1 = p_2 V_2$, josta $V_2 = \dfrac{p_1 V_1}{p_2}$

   Muunnokset

   Paineet muunnetaan samaan yksikköön:

   $p_1$$= 300{,}0\,\text{bar}$

   $= 300{,}0 \cdot 100\,\text{kPa}$

   $= 30\,000\,\text{kPa}$

   Kerroin $100\,\text{kPa/bar}$ on määritelmä, eikä se rajoita tulosta. Tulos tulee litroina, ja $1\,\text{m}^3 = 1000\,\textsf{l}$.

   Sijoitus

   $V_2$$= \dfrac{30\,000\,\text{kPa} \cdot 6{,}8\,\textsf{l}}{101\,\text{kPa}}$

   $= 2019{,}8\,\textsf{l}$

   $= 2{,}0198\,\text{m}^3$

   Vastaus

   $V_2 \approx 2{,}0\,\text{m}^3$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittava tieto on tilavuus $6{,}8\,\textsf{l}$ (kaksi numeroa). Paine $300{,}0\,\text{bar}$ on neljän numeron arvo ja $101\,\text{kPa}$ kolmen numeron arvo. Kumpikaan ei rajoita tulosta.

   Järkevyys

   Paine on noin 300-kertainen ilmanpaineeseen nähden. Tilavuus on siis noin $300 \cdot 6{,}8\,\textsf{l} \approx 2000\,\textsf{l}$. Palomies hengittää esimerkiksi $50\,\textsf{l}$ minuutissa. Silloin ilma riittää noin $40\,\text{min}$:ksi, mikä vastaa todellisia laitteita. Näin suuressa paineessa ilma ei enää noudata Boylen lakia tarkasti. Tulo $pV$ on noin $10\,\%$ suurempi kuin laki ennustaa. Todellinen tilavuus on siksi noin $1{,}8\,\text{m}^3$.

2. Tehtävä 11-10Ydintehtävä

   Tyhjä lasipullo suljetaan korkilla $20\,{}^\circ\text{C}$:ssa. Silloin ilman paine pullossa on $101\,\text{kPa}$. Pullo unohtuu saunan lauteille. Korkki ponnahtaa irti, kun pullon ilman paine on $125\,\text{kPa}$. Pullon tilavuus pysyy samana.

   Missä lämpötilassa korkki ponnahtaa? Anna vastaus celsiusasteina.

   °CTarkista
   Vastaus

   $\theta_2 \approx 90\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $\theta_1 = 20\,{}^\circ\text{C}$, $p_1 = 101\,\text{kPa}$, $p_2 = 125\,\text{kPa}$, tilavuus vakio

   Kysytty

   lämpötila $\theta_2$ celsiusasteina, kun korkki ponnahtaa

   Periaate

   Pullo on suljettu, ja sen tilavuus pysyy samana. Ilman määrä ja tilavuus ovat siis vakioita. Tilanmuutos on isokoorinen. Paine on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan, eli $p/T$ pysyy vakiona.

   Kaava

   $\dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2}$, josta $T_2 = \dfrac{T_1 p_2}{p_1}$ ja $\theta_2 = T_2 - 273{,}15\,\text{K}$ celsiusasteina

   Muunnokset

   $T_1$$= (20 + 273{,}15)\,\text{K}$

   $= 293{,}15\,\text{K}$

   Lopuksi kelvinit muunnetaan takaisin celsiusasteiksi vähentämällä $273{,}15$. Paineita ei tarvitse muuntaa, koska ne ovat samassa yksikössä.

   Sijoitus

   $T_2$$= \dfrac{293{,}15\,\text{K} \cdot 125\,\text{kPa}}{101\,\text{kPa}}$

   $= 362{,}81\,\text{K}$

   joten

   $\theta_2$$= (362{,}81 - 273{,}15)\,{}^\circ\text{C}$

   $= 89{,}66\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $\theta_2 \approx 90\,{}^\circ\text{C}$

   Kokonaisina celsiusasteina. Kelvinlämpötila $T_2 = 362{,}8\,\text{K} \approx 363\,\text{K}$ on kolmen numeron arvo. Paineet $101\,\text{kPa}$ ja $125\,\text{kPa}$ sekä $T_1 = 293\,\text{K}$ (kokonaisasteesta $20\,{}^\circ\text{C}$) ovat nimittäin kolmen numeron arvoja. Kun vähennetään $273{,}15\,\text{K}$, lämpötilan tarkkuus on yksiköt. Tulos annetaan siksi täysinä asteina: $90\,{}^\circ\text{C}$.

   Järkevyys

   Paine kasvaa $125/101 \approx 1{,}24$-kertaiseksi. Kelvinlämpötilan pitää siis kasvaa $24\,\%$: $293\,\text{K} \cdot 1{,}24 \approx 363\,\text{K}$. Saunan lauteilla on usein 80–$90\,{}^\circ\text{C}$, joten korkki voi todella ponnahtaa. Jos lasku tehtäisiin celsiusasteina, tulos olisi

   $20\,{}^\circ\text{C} \cdot \dfrac{125}{101}$$\approx 25\,{}^\circ\text{C}$

   Silloin korkki ponnahtaisi jo huoneessa. Se ei pidä paikkaansa.

3. Tehtävä 11-11

   Fysiikan tunnilla kertakäyttöruiskun kärki liitettiin painemittariin. Ruiskun mäntää liikutettiin hitaasti, jotta ilman lämpötila pysyi samana.

   Mitatut tilavuudet $V$ (ml) olivat 10,0; 12,5; 15,0; 20,0; 25,0 ja 30,0. Niitä vastaavat paineet $p$ (kPa) olivat 203; 159; 134; 99; 81 ja 66.

   Laske taulukkoon sarake $1/V$ ja piirrä $p$ $1/V$:n funktiona. Sovita pisteisiin origon kautta kulkeva suora. Suoran kulmakerroin on $pV$. Anna se jouleina.

   JTarkista
   Vastaus

   $pV \approx 2{,}0\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukon mittaukset $V = 10{,}0$; $12{,}5$; $15{,}0$; $20{,}0$; $25{,}0$; $30{,}0\,\text{ml}$ ja $p = 203$; $159$; $134$; $99$; $81$; $66\,\text{kPa}$, lämpötila vakio

   Kysytty

   $(1/V,\,p)$-kuvaajaan sovitetun suoran kulmakerroin $pV$ jouleina

   Periaate

   Lämpötila ja ilman määrä pysyvät samoina. Boylen lain mukaan $pV$ on siis vakio. Silloin $p = pV \cdot \dfrac{1}{V}$ on verrannollisuus. Kuvaaja $(1/V,\,p)$ on origon kautta kulkeva suora, jonka kulmakerroin on $pV$.

   Kuvaajan lukeminen

   Lasketaan sarake $1/V$ (katso Muunnokset) ja piirretään pisteet $(1/V,\,p)$. Origon kautta kulkevan suoran kulmakerroin on $p/(1/V) = pV$. Jokainen piste antaa siis oman arvonsa: $pV = 2030$; $1988$; $2010$; $1980$; $2025$; $1980\,\text{kPa}\cdot\text{ml}$. Suora asetetaan niin, että pisteitä jää tasaisesti sen kummallekin puolelle. Sen kulmakerroin on likimain näiden arvojen keskiarvo

   $\dfrac{12\,013}{6}\,\text{kPa}\cdot\text{ml}$$\approx 2000\,\text{kPa}\cdot\text{ml}$

   Kuvaajalta tarkistetaan: suora kulkee pisteen $(0{,}100\,\tfrac{1}{\text{ml}}$; $200\,\text{kPa})$ kautta. Mittauspiste $(0{,}100$; $203)$ on hieman sen yläpuolella. Kulmakerroin luetaan suoralta eikä yksittäisestä mittauspisteestä, koska jokaisessa mittauksessa on virhettä.

   Kaava

   $k$$= \dfrac{\Delta p}{\Delta(1/V)}$

   $= \dfrac{p}{1/V}$

   $= pV$

   joten $pV = \dfrac{p}{1/V}$

   Muunnokset

   $1/V = 0{,}100$; $0{,}0800$; $0{,}0667$; $0{,}0500$; $0{,}0400$; $0{,}0333\,\tfrac{1}{\text{ml}}$. Yksikkö:

   $1\,\text{kPa} \cdot 1\,\text{ml}$$= 1000\,\text{Pa} \cdot 10^{-6}\,\text{m}^3$

   $= 0{,}001\,\text{J}$

   Sijoitus

   Suoralta luettu piste:

   $pV$$= \dfrac{200\,\text{kPa}}{0{,}100\,\tfrac{1}{\text{ml}}}$

   $= 2000\,\text{kPa}\cdot\text{ml}$

   $= 2000 \cdot 0{,}001\,\text{J}$

   $= 2{,}00\,\text{J}$

   Vastaus

   $pV \approx 2{,}0\,\text{J}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittavat tiedot ovat taulukon paineet $99\,\text{kPa}$, $81\,\text{kPa}$ ja $66\,\text{kPa}$. Ne on annettu kahdella numerolla. Tilavuudet on annettu kolmella numerolla. Kolmen numeron paineet $203$, $159$ ja $134\,\text{kPa}$ eivät rajoita tulosta.

   Järkevyys

   Tulon $pV$ arvot ovat $1980$–$2030\,\text{kPa}\cdot\text{ml}$. Ne poikkeavat keskiarvosta alle $2\,\%$. Suoran kulmakerroin on siis lähes sama kuin jokaisen pisteen $pV$. Boylen laki pätee mittaustarkkuuden rajoissa. Jos laki ei pätisi, pisteet eivät asettuisi suoralle.

4. Tehtävä 11-12

   Kuumailmapallon kuoren tilavuus on $2800\,\text{m}^3$. Kuoren alaosassa on aukko. Kuori on täynnä $10\,{}^\circ\text{C}$:n ilmaa. Poltin lämmittää ilman $100\,{}^\circ\text{C}$:seen. Paine kuoren sisällä pysyy ulkoilman paineena.

   Alun perin kuoressa ollut ilma lämpenee kokonaan $100\,{}^\circ\text{C}$:seen.

   Kuinka monta kuutiometriä tästä $100\,{}^\circ\text{C}$:n ilmasta ei mahdu kuoreen? Se on työntynyt ulos aukosta.

   m³Tarkista
   Vastaus

   $\Delta V \approx 890\,\text{m}^3$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $V_1 = 2800\,\text{m}^3$, $\theta_1 = 10\,{}^\circ\text{C}$, $\theta_2 = 100\,{}^\circ\text{C}$, paine vakio

   Kysytty

   alkuperäisen ilman tilavuus $V_2$ lämpötilassa $100\,{}^\circ\text{C}$ ja kuoresta ulos työntyvä tilavuus $\Delta V$ kuutiometreinä

   Periaate

   Kuoren alaosa on auki. Paine pysyy siis ulkoilman paineena. Sama ilmamäärä lämpenee vakiopaineessa. Silloin tilavuus on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan. Kuoren tilavuus on vakio $V_1$. Ylimääräinen ilma työntyy siksi aukosta ulos.

   Kaava

   $\dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2}$, josta $V_2 = \dfrac{V_1 T_2}{T_1}$ ja ulos työntyvä tilavuus $\Delta V = V_2 - V_1$

   Muunnokset

   Lämpötilat kelvineinä:

   $T_1$$= (10 + 273{,}15)\,\text{K}$

   $= 283{,}15\,\text{K}$

   $T_2$$= (100 + 273{,}15)\,\text{K}$

   $= 373{,}15\,\text{K}$

   Sijoitus

   $V_2$$= \dfrac{2800\,\text{m}^3 \cdot 373{,}15\,\text{K}}{283{,}15\,\text{K}}$

   $= 3690{,}0\,\text{m}^3$

   joten

   $\Delta V$$= 3690{,}0\,\text{m}^3 - 2800\,\text{m}^3$

   $= 890{,}0\,\text{m}^3$

   Vastaus

   $\Delta V \approx 890\,\text{m}^3$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittava tieto on lämpötilaero $\Delta T = 100\,{}^\circ\text{C} - 10\,{}^\circ\text{C} = 90\,\text{K}$. Kokonaisasteiden erotuksena se on kahden numeron arvo. Tilavuus $2800\,\text{m}^3$ on vähintään kahden numeron arvo, eikä se rajoita tulosta. Lasketaan $\Delta V = V_1 (T_2 - T_1)/T_1$ suoraan erotuksesta. Silloin kelvinlämpötila $T_1 = 283\,\text{K}$ on kolmen numeron arvo, ja tulos on $890\,\text{m}^3$.

   Järkevyys

   Kelvinlämpötila kasvaa $373/283 \approx 1{,}32$-kertaiseksi. Tilavuus kasvaa siis noin $32\,\%$: $2800\,\text{m}^3 \cdot 0{,}32 \approx 890\,\text{m}^3$. Noin neljäsosa lämpimästä ilmasta ($890/3690 \approx 24\,\%$) ei mahdu kuoreen. Kuoreen jää vähemmän ilmaa kuin kylmänä, joten pallo kevenee. Celsiusasteilla laskettu kymmenkertainen tilavuus olisi järjetön.

5. Tehtävä 11-13

   Kaksi suljettua ilmamäärää lämmitetään vesihauteessa. Astiassa A mitataan ilman paine $p$. Astiassa B mitataan ilman tilavuus $V$. Kummankin astian ilma on vesihauteen lämpötilassa $\theta$ (taulukko, esimerkkiaineisto).

   a) Laske astian A jokaiselle riville suhteet $p/\theta$ ja $p/T$. Laske astian B jokaiselle riville suhde $V/T$. Tässä $T$ on kelvinlämpötila. Päättele laskujesi avulla, kumpi astia esittää isokoorista ja kumpi isobaarista tilanmuutosta. Isokoorisessa muutoksessa tilavuus pysyy samana. Isobaarisessa muutoksessa paine pysyy samana. Perustele, miksi lämpötilan on oltava kelvineinä.

   b) Ennusta astian A paine, kun vesihaude kiehuu. Silloin sen lämpötila on $100\,{}^\circ\text{C}$.

   Kirjoita vastauslaatikkoon kohdan b) tulos.

   Ilman paine astiassa A ja tilavuus astiassa B (esimerkkiaineisto)

   $\theta\,({}^\circ\text{C})$	$p_\text{A}\,(\text{kPa})$	$V_\text{B}\,(\text{ml})$
   20,0	99,8	14,7
   40,0	106,4	15,7
   60,0	113,4	16,6
   80,0	119,8	17,6

   kPaTarkista
   Vastaus

   $p \approx 127\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukosta lämpötilat $\theta = 20{,}0$; $40{,}0$; $60{,}0$; $80{,}0\,{}^\circ\text{C}$, astian A paineet $p_\text{A} = 99{,}8$; $106{,}4$; $113{,}4$; $119{,}8\,\text{kPa}$ ja astian B tilavuudet $V_\text{B} = 14{,}7$; $15{,}7$; $16{,}6$; $17{,}6\,\text{ml}$

   Kysytty

   a) tilanmuutokset ja suhteiden vertailu; b) astian A paine $p$ lämpötilassa $100\,{}^\circ\text{C}$ kilopascaleina

   Periaate

   Jos astian A paine on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan, suhde $p/T$ on vakio. Silloin muutos on isokoorinen: tilavuus ja ilman määrä pysyvät samoina. Astiassa B tilavuus muuttuu. Jos suhde $V/T$ on vakio, paine on vakio. Silloin muutos on isobaarinen: paine pysyy samana. Verrannollisuus pätee vain kelvinlämpötilalle.

   Kuvaajan lukeminen

   Tehtävä ei vaadi piirtämistä. Jos suhteet ovat vakioita, pisteet $(T,\,p)$ ja $(T,\,V)$ olisivat origon kautta kulkevilla suorilla. Siksi suhteet lasketaan suoraan taulukon riveiltä ja niitä verrataan. Kelvinlämpötilat ovat $T = 293{,}15$; $313{,}15$; $333{,}15$; $353{,}15\,\text{K}$.

   Mallivastaus a)

   Astiassa A suhde $p/T$ on $0{,}3404$; $0{,}3398$; $0{,}3404$; $0{,}3392\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{K}}$. Se on vakio noin $0{,}3\,\%$:n tarkkuudella. Astiassa B suhde $V/T$ on $0{,}0501$; $0{,}0501$; $0{,}0498$; $0{,}0498\,\tfrac{\text{ml}}{\text{K}}$. Sekin on vakio mittausepävarmuuden rajoissa. Astia A esittää siis isokoorista ja astia B isobaarista tilanmuutosta. Pieni vaihtelu johtuu mittausten satunnaisesta vaihtelusta.
   Celsiusasteilla astian A suhde on $p/\theta = 4{,}99$; $2{,}66$; $1{,}89$; $1{,}50\,\tfrac{\text{kPa}}{{}^\circ\text{C}}$. Luvut pienenevät rajusti. Paine ei siis ole verrannollinen celsiuslämpötilaan vaan kelvinlämpötilaan.

   Kaava

   $\dfrac{p}{T} = k$, joten $p = kT$

   Muunnokset

   $T = \theta + 273{,}15\,\text{K}$, joten

   $T_{100}$$= (100 + 273{,}15)\,\text{K}$

   $= 373{,}15\,\text{K}$

   Kerroin $k$ on astian A neljän suhteen keskiarvo.

   Sijoitus

   Suhteiden summa on $1{,}3598\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{K}}$, joten $k = 0{,}33995\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{K}}$.

   $$\begin{aligned} p &= kT \\ &= 0{,}33995\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{K}} \cdot 373{,}15\,\text{K} \\ &= 126{,}9\,\text{kPa} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $p \approx 127\,\text{kPa}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten taulukon paineissa.

   Järkevyys

   Kelvinlämpötila kasvaa lämpötilasta $80\,{}^\circ\text{C}$ lämpötilaan $100\,{}^\circ\text{C}$ suhteessa $373{,}15 : 353{,}15 \approx 1{,}057$. Lasku $119{,}8\,\text{kPa} \cdot 1{,}057 \approx 126{,}6\,\text{kPa}$ antaa lähes saman tuloksen. Sama lasku alkutilasta:

   $99{,}8\,\text{kPa} \cdot \dfrac{373{,}15}{293{,}15}$

   $\approx 127{,}0\,\text{kPa}$

   Tulos on suurempi kuin viimeinen mitattu arvo $119{,}8\,\text{kPa}$. Niin pitääkin olla, kun lämpötila nousee.

6. Tehtävä 11-14

   Oppilas tarkistaa Boylen lakia. Hän liittää kertakäyttöruiskun ohuella letkulla painemittariin. Hän liikuttaa mäntää hitaasti, jotta lämpötila pysyy samana. Hän lukee ilman tilavuuden $V$ ruiskun asteikolta ja paineen $p$ mittarista (taulukko, esimerkkiaineisto). Oppilas laskee tulon $pV$ jokaiselle riville. Hän huomaa, ettei tulo ole vakio, vaikka lämpötila pysyi samana. Letkussa ja mittarissa on kuitenkin myös ilmaa. Sen tilavuus $V_\text{h}$ on sama kaikissa mittauksissa. Oppilas ei ottanut sitä huomioon.

   a) Laske tulo $pV$ jokaiselle riville. Selitä, miksi tulo kasvaa tilavuuden mukana. Onko kyse satunnaisesta vai systemaattisesta virheestä? Perustele.

   b) Suljettua ilmaa on yhteensä tilavuus $V + V_\text{h}$, ja sille pätee Boylen laki. Määritä letkun ja mittarin ilman tilavuus $V_\text{h}$ taulukon ensimmäisen ja viimeisen rivin avulla.

   Kirjoita vastauslaatikkoon kohdan b) tulos.

   Ilman paine ruiskun tilavuuden funktiona (esimerkkiaineisto)

   $V\,(\text{ml})$	$p\,(\text{kPa})$
   10,0	200
   20,0	109
   30,0	75,0
   40,0	57,1

   mlTarkista
   Vastaus

   $V_\text{h} \approx 2{,}0\,\text{ml}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukosta $V = 10{,}0$; $20{,}0$; $30{,}0$; $40{,}0\,\text{ml}$ ja $p = 200$; $109$; $75{,}0$; $57{,}1\,\text{kPa}$, lämpötila vakio; letkun ja mittarin ilman tilavuus $V_\text{h}$ on vakio mutta tuntematon

   Kysytty

   a) tulon $pV$ käyttäytyminen ja virheen laji; b) tilavuus $V_\text{h}$ millilitroina

   Periaate

   Ruiskussa ja letkussa on suljettua ilmaa yhteensä tilavuus $V + V_\text{h}$. Lämpötila ja ilman määrä pysyvät samoina. Siksi Boylen laki pätee koko ilmalle: $p\,(V + V_\text{h})$ on vakio. Oppilas laski tulon vain ruiskun tilavuudella.

   Kuvaajan lukeminen

   Taulukosta lasketaan jokaisen rivin tulo $pV$. Kohtaan b) valitaan ensimmäinen rivi $(10{,}0\,\text{ml}$; $200\,\text{kPa})$ ja viimeinen rivi $(40{,}0\,\text{ml}$; $57{,}1\,\text{kPa})$.

   Mallivastaus a)

   Tulot ovat $pV = 2000$; $2180$; $2250$; $2284\,\text{kPa}\cdot\text{ml}$. Ne kasvavat tilavuuden mukana. Ilmaa on nimittäin aina $V_\text{h}$ enemmän kuin asteikolta luetaan. Kun $V$ on pieni, tämä lisätilavuus on suuri osa kokonaistilavuudesta. Silloin tulo $pV$ jää todellista pienemmäksi. Kun $V$ on suuri, osuus on pienempi ja tulo on lähempänä todellista arvoa. Virhe on systemaattinen. Se on joka mittauksessa samaan suuntaan ja yhtä suuri, joten se ei vaihtele satunnaisesti. Mittausten toistaminen ei poistaisi sitä. Virhe korjataan ottamalla letkun tilavuus huomioon.

   Kaava

   $p_1 (V_1 + V_\text{h}) = p_4 (V_4 + V_\text{h})$, josta

   $V_\text{h}$$= \dfrac{p_4 V_4 - p_1 V_1}{p_1 - p_4}$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Kilopascalit ja millilitrat ovat samoja yhtälön molemmilla puolilla. Tulos tulee millilitroina.

   Sijoitus

   Tulot ovat

   $p_4 V_4$$= 57{,}1\,\text{kPa} \cdot 40{,}0\,\text{ml}$

   $= 2284\,\text{kPa}\cdot\text{ml}$

   $p_1 V_1$$= 200\,\text{kPa} \cdot 10{,}0\,\text{ml}$

   $= 2000\,\text{kPa}\cdot\text{ml}$

   Paine-ero on $p_1 - p_4 = 142{,}9\,\text{kPa}$.

   $$\begin{aligned} V_\text{h} &= \dfrac{284\,\text{kPa}\cdot\text{ml}}{142{,}9\,\text{kPa}} \\ &= 1{,}99\,\text{ml} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $V_\text{h} \approx 2{,}0\,\text{ml}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Tulo-ero $284\,\text{kPa}\cdot\text{ml}$ on pieni verrattuna tuloihin. Tulos on siksi herkkä lukemille, eikä sitä voi antaa tarkemmin.

   Järkevyys

   Tulot $p\,(V + V_\text{h})$ arvolla $V_\text{h} = 2{,}0\,\text{ml}$ ovat $200 \cdot 12{,}0 = 2400$; $109 \cdot 22{,}0 = 2398$; $75{,}0 \cdot 32{,}0 = 2400$ ja $57{,}1 \cdot 42{,}0 = 2398\,\text{kPa}\cdot\text{ml}$. Ne ovat vakioita alle $0{,}1\,\%$:n tarkkuudella. Korjattu Boylen laki sopii siis kaikkiin neljään riviin. Kahden millilitran letkutilavuus on järkevä. Ohut letku ja mittarin sisus mahtuvat pieneen tilaan.

7. Tehtävä 11-15

   Absoluuttinen nollapiste määritetään näin: tiivis jäykkä pullo, jossa on ilmaa, lämmitetään vesihauteessa. Ilman paine $p$ mitataan lämpötilan $\theta$ funktiona (taulukko, esimerkkiaineisto). Pullon tilavuus ja ilman määrä pysyvät samoina.

   a) Piirrä pisteet $(\theta,\,p)$-koordinaatistoon ja sovita niihin suora. Jatka suoraa (ekstrapoloi) paineeseen $p = 0$ asti. Mikä lämpötila celsiusasteina saadaan absoluuttiselle nollapisteelle?

   b) Vertaa tulosta tunnettuun arvoon $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$. Selitä, miksi todellinen kaasu ei kuitenkaan saavuta tätä pistettä, vaikka suoran jatke kulkee sen kautta.

   Kirjoita vastauslaatikkoon kohdan a) tulos.

   Ilman paine jäykässä pullossa (esimerkkiaineisto)

   $\theta\,({}^\circ\text{C})$	$p\,(\text{kPa})$
   0,0	100,1
   20,0	107,3
   40,0	114,9
   60,0	121,8
   80,0	129,1

   °CTarkista
   Vastaus

   $\theta_0 \approx -276\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukosta $\theta = 0{,}0$; $20{,}0$; $40{,}0$; $60{,}0$; $80{,}0\,{}^\circ\text{C}$ ja $p = 100{,}1$; $107{,}3$; $114{,}9$; $121{,}8$; $129{,}1\,\text{kPa}$, tilavuus ja ilman määrä vakioita

   Kysytty

   a) absoluuttinen nollapiste $\theta_0$ celsiusasteina suoran jatkeesta; b) vertailu tunnettuun arvoon ja kaasun käyttäytyminen

   Periaate

   Tilavuus ja ilman määrä ovat vakioita. Siksi paine on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan, $p = kT$. Pisteisiin $(\theta,\,p)$ sovitettu suora saavuttaa paineen $p = 0$ lämpötilassa $T = 0\,\text{K}$. Se on absoluuttinen nollapiste.

   Kuvaajan lukeminen

   Pisteisiin sovitetaan suora niin, että pisteitä jää tasaisesti sen molemmille puolille. Suoralta luetaan kaksi pistettä, jotka ovat kaukana toisistaan. Sovitettu suora kulkee alle $0{,}04\,\text{kPa}$:n päässä mittapisteistä $(0{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $100{,}1\,\text{kPa})$ ja $(80{,}0\,{}^\circ\text{C}$; $129{,}1\,\text{kPa})$. Ne kelpaavat siis suoran pisteiksi. Suoran jatke kuvaajan vasemmalle puolelle leikkaa $\theta$-akselin kohdassa $p = 0$.

   Mallivastaus b)

   Tulos poikkeaa tunnetusta arvosta $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$ noin $3\,\text{K}$ eli noin $1\,\%$. Se on mittausepävarmuuden rajoissa, kun pisteet ovat alle $0{,}3\,\text{kPa}$:n päässä suorasta. Jatke ulottuu noin $276\,\text{K}$ mitatun alueen alapuolelle, vaikka mittausväli on vain $80\,\text{K}$. Siksi pienikin virhe kulmakertoimessa muuttaa tulosta paljon. Jatke on mallin ennuste. Todellinen kaasu tiivistyy nesteeksi jo paljon korkeammassa lämpötilassa. Silloin paine ei enää ole verrannollinen kelvinlämpötilaan, eikä suoran jatke pidä paikkaansa.

   Kaava

   Suoran kulmakerroin on

   $k$$= \dfrac{p_2 - p_1}{\theta_2 - \theta_1}$

   ja suora on $p = p_1 + k(\theta - \theta_1)$. Ehdosta $p = 0$ saadaan $\theta_0 = \theta_1 - \dfrac{p_1}{k}$.

   Muunnokset

   Ei tarvita. Lämpötilaero on sama celsiusasteina ja kelvineinä, ja tulos halutaan celsiusasteina.

   Sijoitus

   Kulmakerroin

   $$\begin{aligned} k &= \dfrac{129{,}1\,\text{kPa} - 100{,}1\,\text{kPa}}{80{,}0\,{}^\circ\text{C} - 0{,}0\,{}^\circ\text{C}} \\ &= 0{,}3625\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{K}} \end{aligned}$$

   ja absoluuttinen nollapiste

   $$\begin{aligned} \theta_0 &= 0{,}0\,{}^\circ\text{C} - \dfrac{100{,}1\,\text{kPa}}{0{,}3625\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{K}}} \\ &= -276{,}1\,{}^\circ\text{C} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $\theta_0 \approx -276\,{}^\circ\text{C}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten paineissa. Kuvaajalta lukeminen ja jatkaminen ovat arvioita, joten hyväksytään $\pm 3\,\%$.

   Järkevyys

   Kun $\theta = -276\,{}^\circ\text{C}$, paine on

   $100{,}1\,\text{kPa} + 0{,}3625\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{K}} \cdot (-276{,}1\,\text{K})$

   $\approx 0\,\text{kPa}$

   Tulos on lähellä tunnettua arvoa $-273{,}15\,{}^\circ\text{C}$. Jos tulokseksi tulisi esimerkiksi $-100\,{}^\circ\text{C}$ tai $-500\,{}^\circ\text{C}$, kulmakerroin olisi luettu väärin.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 11-16

   Sukeltaja on järvessä $20{,}0\,\text{m}$:n syvyydessä. Hän puhaltaa ilmakuplan, jonka tilavuus on $2{,}0\,\text{cm}^3$. Kupla nousee pintaan.

   Ilmanpaine on $101\,\text{kPa}$ ja veden tiheys $1000\,\text{kg/m}^3$. Oleta, että veden lämpötila on sama koko matkalla. Oleta myös, että kuplan ilma ei liukene veteen.

   Mikä on kuplan tilavuus pinnalla? Perustele tuloksen avulla, miksi paineilmalla sukeltava ei saa pidättää hengitystään noustessaan pintaan.

   cm³Tarkista
   Vastaus

   $V_2 \approx 5{,}9\,\text{cm}^3$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $h = 20{,}0\,\text{m}$, $V_1 = 2{,}0\,\text{cm}^3$, $p_0 = 101\,\text{kPa}$, $\rho = 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$, $g = 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$, lämpötila vakio, ilma ei liukene veteen

   Kysytty

   kuplan tilavuus $V_2$ pinnalla kuutiosenttimetreinä

   Periaate

   Syvällä kuplaan kohdistuu ilmanpaineen lisäksi veden hydrostaattinen paine. Nouseva kupla on tasapainossa ympäröivän veden kanssa. Sen paine on siis aina ympäristön paine. Lämpötila ja ilman määrä pysyvät samoina, joten Boylen laki pätee.

   Kaava

   $p_1 = p_0 + \rho g h$ ja $p_1 V_1 = p_0 V_2$, josta

   $V_2$$= \dfrac{p_1 V_1}{p_0}$

   $= \dfrac{(p_0 + \rho g h) V_1}{p_0}$

   Muunnokset

   Hydrostaattinen paine pascaleina:

   $\rho g h$$= 196\,200\,\text{Pa}$

   $= 196{,}2\,\text{kPa}$

   koska $1\,\text{kPa} = 1000\,\text{Pa}$. Tilavuudet ovat samassa yksikössä, joten niitä ei tarvitse muuntaa.

   Sijoitus

   $p_1$$= 101\,\text{kPa} + 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 20{,}0\,\text{m}$

   $= 101\,\text{kPa} + 196{,}2\,\text{kPa}$

   $= 297{,}2\,\text{kPa}$

   $V_2$$= \dfrac{297{,}2\,\text{kPa} \cdot 2{,}0\,\text{cm}^3}{101\,\text{kPa}}$

   $= 5{,}885\,\text{cm}^3$

   Vastaus

   $V_2 \approx 5{,}9\,\text{cm}^3$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittava tieto on kuplan tilavuus $2{,}0\,\text{cm}^3$ (kaksi numeroa). Syvyys $20{,}0\,\text{m}$ ja ilmanpaine $101\,\text{kPa}$ ovat kolmen numeron arvoja. Veden tiheys $1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$ on tunnettu taulukkoarvo, eikä se rajoita tulosta.

   Järkevyys

   Joka kymmenes vesimetri lisää noin ilmanpaineen verran. Syvyydessä $20\,\text{m}$ paine on siis noin $3 p_0$. Tilavuus pinnalla on noin kolminkertainen: $3 \cdot 2{,}0\,\text{cm}^3 \approx 6\,\text{cm}^3$. Sama koskee keuhkoja. Jos paineilmalla sukeltava pidättäisi hengitystään noustessaan, keuhkojen ilma pyrkisi laajenemaan lähes kolminkertaiseksi. Keuhkot eivät veny niin paljon. Keuhkokudos voi vaurioitua jo paljon pienemmästä laajenemisesta. Noustessa ei saa koskaan pidättää hengitystä. Hengitetään normaalisti koko nousun ajan. Silloin laajeneva ilma pääsee ulos keuhkoista.

2. Tehtävä 11-17

   Auton renkaat täytetään $20\,{}^\circ\text{C}$:n tallissa, ja rengaspainemittari näyttää $250{,}0\,\text{kPa}$. Mittari näyttää ylipainetta. Ylipaine kertoo, kuinka paljon renkaan ilman paine on ilmanpainetta suurempi. Ilmanpaine on $101\,\text{kPa}$.

   Yöllä auto seisoo pihalla, ja renkaan ilma jäähtyy $-20\,{}^\circ\text{C}$:seen. Renkaan tilavuus pysyy käytännössä samana, eikä ilmaa pääse ulos.

   Mitä mittari näyttää pakkasaamuna? Perustele, miksi mittarin lukemaa ei voi sijoittaa suoraan kaavaan $p_1/T_1 = p_2/T_2$.

   kPaTarkista
   Vastaus

   $\Delta p_2 \approx 202\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ylipaine $\Delta p_1 = 250{,}0\,\text{kPa}$, $p_0 = 101\,\text{kPa}$, $\theta_1 = 20\,{}^\circ\text{C}$, $\theta_2 = -20\,{}^\circ\text{C}$, tilavuus vakio, ilmaa ei pääse ulos

   Kysytty

   mittarin lukema eli ylipaine $\Delta p_2$ pakkasaamuna kilopascaleina

   Periaate

   Renkaan tilavuus ja ilman määrä pysyvät samoina. Paine on siis suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan. Verrannollisuus koskee kokonaispainetta, ei mittarin ylipainetta. Ylipaine on kokonaispaine miinus ilmanpaine. Renkaassa on ilmaa vielä silloinkin, kun mittari näyttää nollaa.

   Kaava

   $p = \Delta p + p_0$ ja $\dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2}$, josta $p_2 = \dfrac{p_1 T_2}{T_1}$ ja $\Delta p_2 = p_2 - p_0$

   Muunnokset

   Kokonaispaine

   $p_1$$= 250{,}0\,\text{kPa} + 101\,\text{kPa}$

   $= 351\,\text{kPa}$

   Summan tarkkuus on yksiköt, koska $101\,\text{kPa}$ on annettu yksiköiden tarkkuudella. Lämpötilat kelvineinä:

   $T_1$$= (20 + 273{,}15)\,\text{K}$

   $= 293{,}15\,\text{K}$

   $T_2$$= (-20 + 273{,}15)\,\text{K}$

   $= 253{,}15\,\text{K}$

   Sijoitus

   $p_2$$= \dfrac{351\,\text{kPa} \cdot 253{,}15\,\text{K}}{293{,}15\,\text{K}}$

   $= 303{,}11\,\text{kPa}$

   joten

   $\Delta p_2$$= 303{,}11\,\text{kPa} - 101\,\text{kPa}$

   $= 202{,}11\,\text{kPa}$

   Vastaus

   $\Delta p_2 \approx 202\,\text{kPa}$

   Kolme merkitsevää numeroa. Ilmanpaine $101\,\text{kPa}$ on annettu yksiköiden tarkkuudella. Siksi sekä kokonaispaine $351\,\text{kPa}$ että $p_2 = 303\,\text{kPa}$ tunnetaan yksiköiden tarkkuudella (kolme numeroa). Myös $T_1 = 293\,\text{K}$ ja $T_2 = 253\,\text{K}$ ovat kolmen numeron arvoja. Erotus $303 - 101$ säilyttää yksiköt, joten $202\,\text{kPa}$ on kolmen numeron arvo.

   Järkevyys

   Kokonaispaine pienenee noin $14\,\%$ ($253/293 \approx 0{,}86$): $351\,\text{kPa} \cdot 0{,}86 \approx 303\,\text{kPa}$. Jos lukema sijoitettaisiin suoraan kaavaan, tulos olisi $250\,\text{kPa} \cdot 0{,}86 \approx 216\,\text{kPa}$. Se on väärin, koska ylipaine ei ole verrannollinen lämpötilaan. Lukema laskee $250\,\text{kPa}$:sta $202\,\text{kPa}$:iin eli lähes viidenneksen. Renkaat kannattaa siis tarkistaa pakkasella.

3. Tehtävä 11-18

   Polkupyörän pumpun sylinteri on $40{,}0\,\text{cm}$ pitkä ja yhtä paksu koko matkalta. Kun mäntä on vedetty ylös, sylinteri on täynnä ulkoilmaa, jonka paine on $101\,\text{kPa}$. Renkaan ylipaine on $300{,}0\,\text{kPa}$.

   Pumpun venttiili päästää ilmaa renkaaseen vasta, kun sylinterin ilman paine on yhtä suuri kuin renkaan ilman paine.

   Kuinka pitkän matkan mäntää on painettava, ennen kuin ilmaa alkaa virrata renkaaseen? Oleta, että lämpötila pysyy samana. Oleta myös, että letkun tilavuus on mitätön. Perustele, miksi kovan renkaan pumppaaminen tuntuu tehottomalta.

   cmTarkista
   Vastaus

   $s \approx 29{,}9\,\text{cm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   sylinterin pituus $L_1 = 40{,}0\,\text{cm}$, alkupaine $p_1 = p_0 = 101\,\text{kPa}$, renkaan ylipaine $\Delta p = 300{,}0\,\text{kPa}$, poikkipinta-ala vakio, lämpötila vakio

   Kysytty

   männän liikkuma matka $s$ senttimetreinä, ennen kuin venttiili aukeaa

   Periaate

   Venttiili on kiinni. Sylinterin ilma on siis suljettu, ja sen lämpötila pysyy samana. Boylen laki pätee. Venttiili aukeaa vasta, kun sylinterin paine on yhtä suuri kuin renkaan kokonaispaine $p_0 + \Delta p$. Sylinterin poikkipinta-ala on vakio. Siksi tilavuus on verrannollinen ilmapatsaan pituuteen.

   Kaava

   $p_2 = p_0 + \Delta p$ ja $p_1 A L_1 = p_2 A L_2$, josta $L_2 = \dfrac{p_1 L_1}{p_2}$ ja matka $s = L_1 - L_2$

   Muunnokset

   Renkaan kokonaispaine saadaan lisäämällä ilmanpaine ylipaineeseen:

   $p_2$$= 300{,}0\,\text{kPa} + 101\,\text{kPa}$

   $= 401\,\text{kPa}$

   Muita muunnoksia ei tarvita. Suure $A$ ja kilopascalit supistuvat, ja pituudet ovat senttimetreinä.

   Sijoitus

   $L_2$$= \dfrac{101\,\text{kPa} \cdot 40{,}0\,\text{cm}}{401\,\text{kPa}}$

   $= 10{,}075\,\text{cm}$

   joten

   $s$$= 40{,}0\,\text{cm} - 10{,}075\,\text{cm}$

   $= 29{,}925\,\text{cm}$

   Vastaus

   $s \approx 29{,}9\,\text{cm}$

   Kolme merkitsevää numeroa. Erotuksessa $40{,}0\,\text{cm} - 10{,}1\,\text{cm}$ desimaalit määrää pituus $40{,}0\,\text{cm}$ (kymmenesosasenttimetri). Tulos $29{,}9\,\text{cm}$ on siis kolmen numeron arvo. Paineet $101\,\text{kPa}$ ja $401\,\text{kPa}$ ovat myös kolmen numeron arvoja.

   Järkevyys

   Painesuhde on $401/101 \approx 4$. Ilmapatsas puristuu siis noin neljäsosaan: $40{,}0\,\text{cm} / 4 \approx 10\,\text{cm}$. Noin kolme neljäsosaa liikkeestä kuluu ilman puristamiseen. Vain viimeisellä $10\,\text{cm}$:llä ilmaa virtaa renkaaseen. Mitä kovempi rengas, sitä pienempi osa liikkeestä täyttää sitä. Siksi pumppaaminen tuntuu tehottomalta.

4. Tehtävä 11-19

   Oppilas tutkii kertakäyttöruiskuun suljettua ilmaa. Aluksi ilmaa on $40{,}0\,\text{ml}$, paine on $101\,\text{kPa}$ ja lämpötila on $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Hän puristaa ilman kokoon kahdella tavalla. Hitaassa puristuksessa lämpötila pysyy samana. Nopeassa puristuksessa mäntä painetaan kasaan sekunnin murto-osassa. Paine luetaan heti, kun mäntä on pysähtynyt. Ilma on silloin ehtinyt luovuttaa ympäristöön vain osan energiasta (taulukko, esimerkkiaineisto).

   a) Laske tulo $pV$ jokaiselle riville kummassakin sarjassa. Päättele, kummassa puristuksessa Boylen laki pätee.

   b) Selitä, miksi nopeassa puristuksessa paine on suurempi kuin Boylen laki ennustaa. Mitä paineelle tapahtuu, kun mäntä pidetään paikallaan ja ilma jäähtyy takaisin lämpötilaan $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$?

   c) Ajattele nopea puristus kahtena vaiheena. Ensin on isoterminen puristus tilavuuteen $10{,}0\,\text{ml}$. Sitten ilma lämpenee vakiotilavuudessa taulukon paineeseen. Laske tämän avulla ilman lämpötila celsiusasteina heti nopean puristuksen jälkeen, kun tilavuus on $10{,}0\,\text{ml}$.

   Kirjoita vastauslaatikkoon kohdan c) tulos.

   Ilman paine hitaassa ja nopeassa puristuksessa (esimerkkiaineisto)

   $V\,(\text{ml})$	$p_\text{hidas}\,(\text{kPa})$	$p_\text{nopea}\,(\text{kPa})$
   40,0	101	101
   30,0	135	141
   20,0	203	226
   10,0	403	481

   °CTarkista
   Vastaus

   $\theta_2 \approx 76\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alkutila $V_1 = 40{,}0\,\text{ml}$, $p_1 = 101\,\text{kPa}$, $\theta_1 = 20{,}0\,{}^\circ\text{C}$; taulukosta paineet hitaassa ja nopeassa puristuksessa tilavuuksilla $40{,}0$; $30{,}0$; $20{,}0$ ja $10{,}0\,\text{ml}$; nopean puristuksen lopputilavuus $V_2 = 10{,}0\,\text{ml}$ ja paine $p_2 = 481\,\text{kPa}$

   Kysytty

   a) kummassa puristuksessa Boylen laki pätee; b) miksi nopeassa puristuksessa paine on suurempi ja mitä tapahtuu jäähtyessä; c) ilman lämpötila $\theta_2$ celsiusasteina heti nopean puristuksen jälkeen

   Periaate

   Boylen laki pätee, kun suljetun kaasun lämpötila pysyy vakiona. Nopeassa puristuksessa mäntä tekee työtä kaasuun. Energia ei ehdi kokonaan siirtyä ympäristöön. Osa työstä jää kaasuun, ja kaasun sisäenergia ja lämpötila kasvavat. Ilman määrä on sama, joten lämpötila saadaan kahdesta tilanmuutoksesta. Ensin on isoterminen puristus (Boylen laki). Sitten ilma lämpenee vakiotilavuudessa ($p/T$ on vakio).

   Kuvaajan lukeminen

   Taulukon riviltä $V = 10{,}0\,\text{ml}$ luetaan nopean puristuksen paine $481\,\text{kPa}$. Vertailupaine isotermiselle puristukselle lasketaan alkutilasta, koska siinä ei ole lukemisvirhettä.

   Mallivastaus a)

   Hitaassa puristuksessa tulot ovat $pV = 4040$; $4050$; $4060$ ja $4030\,\text{kPa}\cdot\text{ml}$. Ne ovat vakioita noin $1\,\%$:n tarkkuudella, joten Boylen laki pätee. Nopeassa puristuksessa tulot ovat $4040$; $4230$; $4520$ ja $4810\,\text{kPa}\cdot\text{ml}$. Ne kasvavat jopa noin $19\,\%$ alkuarvosta, joten Boylen laki ei päde.

   Mallivastaus b)

   Nopeassa puristuksessa kaasun lämpötila nousee, koska osa työstä jää kaasun energiaksi. Hiukkasten keskimääräinen liike-energia kasvaa. Lämpimämmän kaasun hiukkaset törmäävät seinämiin tiheämmin ja voimakkaammin. Siksi paine on suurempi kuin vakiolämpötilassa. Boylen laki vaatii vakiolämpötilan, joten se ei kuvaa tätä tilannetta. Kun mäntä pidetään paikallaan, tilavuus on vakio. Ilma luovuttaa energiaa ympäristöön, kunnes lämpötila on taas $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Paine laskee silloin takaisin arvoon, jonka Boylen laki antaa. Se on noin $404\,\text{kPa}$.

   Kaava

   Vaihe 1 (isoterminen): $p_1 V_1 = p' V_2$, josta $p' = \dfrac{p_1 V_1}{V_2}$. Vaihe 2 (isokoorinen): $\dfrac{p'}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2}$, josta $T_2 = \dfrac{T_1 p_2}{p'}$. Celsiusasteina $\theta_2 = T_2 - 273{,}15\,\text{K}$.

   Muunnokset

   $T_1$$= (20{,}0 + 273{,}15)\,\text{K}$

   $= 293{,}15\,\text{K}$

   Lopuksi kelvinit muutetaan takaisin celsiusasteiksi vähentämällä $273{,}15$. Paineita ja tilavuuksia ei tarvitse muuntaa, koska ne supistuvat.

   Sijoitus

   Isoterminen puristus antaa paineen

   $$\begin{aligned} p' &= \dfrac{101\,\text{kPa} \cdot 40{,}0\,\text{ml}}{10{,}0\,\text{ml}} \\ &= 404\,\text{kPa} \end{aligned}$$

   ja lämpeneminen vakiotilavuudessa lämpötilan

   $$\begin{aligned} T_2 &= \dfrac{293{,}15\,\text{K} \cdot 481\,\text{kPa}}{404\,\text{kPa}} \\ &= 349{,}0\,\text{K} \end{aligned}$$

   joten

   $\theta_2$$= (349{,}0 - 273{,}15)\,{}^\circ\text{C}$

   $= 75{,}9\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $\theta_2 \approx 76\,{}^\circ\text{C}$

   Kokonaisina celsiusasteina. Paine $481\,\text{kPa}$ on kolmen numeron arvo. Alkulämpötila $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$ rajoittaa tuloksen kokonaisiin asteisiin.

   Järkevyys

   Lämpötila nousee noin $56\,\text{K}$, kun puristus on nopea ja tilavuus pienenee neljäsosaan. Pyöräpumppu lämpenee pumpatessa, joten suuruusluokka on järkevä. Tarkistus: kun kaasu jäähtyy takaisin lämpötilaan $293{,}15\,\text{K}$ vakiotilavuudessa, paine on

   $481\,\text{kPa} \cdot \dfrac{293{,}15}{349{,}0}$

   $\approx 404\,\text{kPa}$

   Se on sama kuin Boylen lain antama paine. Paineiden suhde $481 : 404 \approx 1{,}19$ on sama kuin kelvinlämpötilojen suhde $349{,}0 : 293{,}15 \approx 1{,}19$.

5. Tehtävä 11-20

   Vapaasukeltaja täyttää keuhkonsa pinnalla ja sukeltaa järveen pidättäen hengitystään. Keuhkojen ilman tilavuus $V$ mitattiin eri syvyyksillä $h$ (taulukko, esimerkkiaineisto). Ilmanpaine on $101\,\text{kPa}$, veden tiheys on $1000\,\text{kg/m}^3$ ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Oleta, että ilman lämpötila ja määrä pysyvät samoina. Oleta myös, että keuhkojen ilman paine on koko ajan sama kuin ympäröivän veden paine.

   a) Laske ympäröivä kokonaispaine $p$ jokaisessa syvyydessä ja tulo $pV$. Päättele laskujesi perusteella, noudattaako keuhkojen ilma Boylen lakia.

   b) Oleta mallina, että keuhkot eivät voi puristua pienemmäksi kuin $1{,}5\,\textsf{l}$. Missä syvyydessä keuhkojen ilman tilavuus saavuttaisi tämän rajan?

   c) Mikä on paineen suhde kohdan b) syvyydessä ja pinnalla? Mikä on keuhkojen tilavuuksien suhde pinnalla ja tässä syvyydessä? Vertaa suhteita.

   Kirjoita vastauslaatikkoon kohdan b) tulos.

   Vapaasukeltajan keuhkojen ilman tilavuus (esimerkkiaineisto)

   $h\,(\text{m})$	$V\,(\textsf{l})$
   0,0	6,0
   5,0	4,0
   10,0	3,0
   20,0	2,0

   mTarkista
   Vastaus

   $h \approx 30\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukosta syvyydet $h = 0{,}0$; $5{,}0$; $10{,}0$; $20{,}0\,\text{m}$ ja tilavuudet $V = 6{,}0$; $4{,}0$; $3{,}0$; $2{,}0\,\textsf{l}$; $p_0 = 101\,\text{kPa}$, $\rho = 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$, $g = 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$, raja $V_\text{raja} = 1{,}5\,\textsf{l}$; lämpötila ja ilman määrä vakioita

   Kysytty

   a) noudattaako keuhkojen ilma Boylen lakia; b) syvyys $h$ metreinä, jossa $V = 1{,}5\,\textsf{l}$; c) paineen kasvu pintaan verrattuna

   Periaate

   Syvyydessä $h$ keuhkoihin kohdistuu ilmanpaineen lisäksi veden hydrostaattinen paine, $p = p_0 + \rho g h$. Hydrostaattinen paine on veden painon aiheuttama paine. Keuhkojen paine on sama kuin ympäristön paine. Ilman lämpötila ja määrä pysyvät samoina. Boylen laki pätee, jos tulo $pV$ on vakio.

   Kuvaajan lukeminen

   Jokaisen taulukon syvyyden paine lasketaan kaavalla $p = p_0 + \rho g h$ ja kerrotaan tilavuudella. Tulojen keskiarvo $pV$ kertoo Boylen lain vakion. Sillä lasketaan paine, jolla $V = 1{,}5\,\textsf{l}$.

   Mallivastaus a)

   Paineet ovat $101$; $150$; $199$ ja $297\,\text{kPa}$. Tulot ovat $pV = 606$; $600$; $597$ ja $594\,\text{kPa}\cdot\textsf{l}$. Tulot pienenevät tasaisesti, mutta ne poikkeavat toisistaan alle $2\,\%$. Se on mittausepävarmuuden rajoissa, joten keuhkojen ilma noudattaa Boylen lakia.

   Kaava

   $p = p_0 + \rho g h$ ja $p V = \text{vakio}$. Rajalla

   $p_\text{raja}$$= \dfrac{pV}{V_\text{raja}}$

   ja syvyys on

   $h$$= \dfrac{p_\text{raja} - p_0}{\rho g}$

   Muunnokset

   $\rho g$$= 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$

   $= 9810\,\tfrac{\text{Pa}}{\text{m}}$

   $= 9{,}81\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{m}}$

   Tulot $pV$ lasketaan yksikössä $\text{kPa}\cdot\textsf{l}$. Siksi $V_\text{raja}$ jää litroiksi ja tulos tulee kilopascaleina.

   Sijoitus

   Tulojen summa on $2397\,\text{kPa}\cdot\textsf{l}$, joten $pV = 599{,}25\,\text{kPa}\cdot\textsf{l}$.

   $$\begin{aligned} p_\text{raja} &= \dfrac{599{,}25\,\text{kPa}\cdot\textsf{l}}{1{,}5\,\textsf{l}} \\ &= 399{,}5\,\text{kPa} \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} h &= \dfrac{399{,}5\,\text{kPa} - 101\,\text{kPa}}{9{,}81\,\tfrac{\text{kPa}}{\text{m}}} \\ &= 30{,}43\,\text{m} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $h \approx 30\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten rajatilavuudessa $1{,}5\,\textsf{l}$. Jos käytetään pintaa vastaavaa tuloa $101\,\text{kPa} \cdot 6{,}0\,\textsf{l} = 606\,\text{kPa}\cdot\textsf{l}$, tulos on $31\,\text{m}$. Se on saman suuruinen.

   Mallivastaus c)

   Paineen suhde on $399{,}5 : 101 \approx 4{,}0$. Paine on siis nelinkertainen pintaan verrattuna. Kolmenkymmenen metrin vesipatsas lisää painetta noin $3 \cdot 101\,\text{kPa}$. Siihen lisätään vielä ilmanpaine. Tilavuuksien suhde on $6{,}0\,\textsf{l} : 1{,}5\,\textsf{l} = 4{,}0$, eli tilavuus on neljäsosa. Suhteet ovat käänteiset, kuten Boylen laki vaatii.

   Järkevyys

   Taulukon rivi $h = 20{,}0\,\text{m}$ antaa paineen $297\,\text{kPa}$. Se on noin kolminkertainen ilmanpaine, ja tilavuus $2{,}0\,\textsf{l}$ on kolmasosa. Jokainen lisätty $10\,\text{m}$ lisää painetta noin $98\,\text{kPa}$ eli noin ilmanpaineen verran. Syvyydessä $30\,\text{m}$ paine on siis noin $4$-kertainen ja tilavuus neljäsosa, $6{,}0\,\textsf{l} : 4 = 1{,}5\,\textsf{l}$. Syvyys $30\,\text{m}$ on taulukon syvimmän rivin $20\,\text{m}$ alapuolella. Kyseessä on siis jatkaminen mitatun alueen ulkopuolelle. Sen luotettavuus perustuu oletukseen vakiolämpötilasta ja vakioilmamäärästä.