Lämpölaajeneminen

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 10-1Ydintehtävä

   Omakotitalon räystäällä on $6{,}0\,\text{m}$ pitkä räystäskouru. Se on tehty pinnoitetusta teräksestä ($\alpha = 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$). Kesähelteellä aurinko lämmittää kourun aamun $15\,{}^\circ\text{C}$:sta iltapäivän $55\,{}^\circ\text{C}$:seen. Kuinka paljon kouru pitenee? Anna vastaus millimetreinä.

   mmTarkista
   Vastaus

   $\Delta L \approx 2{,}9\,\text{mm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   teräskouru, $L_0 = 6{,}0\,\text{m}$, $T_0 = 15\,{}^\circ\text{C}$, $T = 55\,{}^\circ\text{C}$, $\alpha = 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ (tehtävässä annettu)

   Kysytty

   kourun pituuden muutos $\Delta L$ millimetreinä

   Periaate

   Kiinteän aineen hiukkasten värähtely voimistuu lämmetessä, ja hiukkasten keskimääräinen etäisyys kasvaa. Kouru ei ole jumissa, eikä sen olomuoto muutu. Siksi pituuden muutos on verrannollinen alkupituuteen ja lämpötilan muutokseen.

   Kaava

   $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$, missä $\Delta T = T - T_0$. Kysytty $\Delta L$ on jo yksin vasemmalla puolella.

   Muunnokset

   Lämpötilan muutos on sama celsiusasteina ja kelvineinä:

   $\Delta T$$= 55\,{}^\circ\text{C} - 15\,{}^\circ\text{C}$

   $= 40\,\text{K}$

   Tulos tulee metreinä, ja $1\,\text{m} = 1000\,\text{mm}$.

   Sijoitus

   $\Delta L$$= 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 6{,}0\,\text{m} \cdot 40\,\text{K}$

   $= 0{,}00288\,\text{m}$

   $= 2{,}88\,\text{mm}$

   Vastaus

   $\Delta L \approx 2{,}9\,\text{mm}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittavat tiedot ovat pituus $6{,}0\,\text{m}$ ja kerroin $12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ (kummassakin kaksi numeroa). Lämpötilojen erotus $\Delta T = 40\,\text{K}$ on kokonaisasteiden erotuksena myös kahden numeron arvo, joten se ei rajoita enempää.

   Järkevyys

   Karkea arvio:

   $10^{-5}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 6\,\text{m} \cdot 40\,\text{K}$

   $\approx 2{,}4\,\text{mm}$

   joten tulos on oikeaa suuruusluokkaa. $\Delta L$ on positiivinen, koska kouru lämpenee. Muutos on vain $\alpha \Delta T = 0{,}048\,\%$ pituudesta. Kiinnikkeiden on silti päästettävä kouru liukumaan.

2. Tehtävä 10-2Ydintehtävä

   Kahden sähköpylvään välillä on alumiininen ilmajohto ($\alpha = 23 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$). Kesäiltana $18\,{}^\circ\text{C}$:ssa se on $50{,}0\,\text{m}$ pitkä. Pakkasyönä johdon lämpötila laskee $-27\,{}^\circ\text{C}$:seen. Laske johdon pituuden muutos $\Delta L$ etumerkkeineen. Anna vastaus millimetreinä.

   mmTarkista
   Vastaus

   $\Delta L \approx -52\,\text{mm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alumiinijohto, $L_0 = 50{,}0\,\text{m}$, $T_0 = 18\,{}^\circ\text{C}$, $T = -27\,{}^\circ\text{C}$, $\alpha = 23 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ (tehtävässä annettu)

   Kysytty

   pituuden muutos $\Delta L$ etumerkkeineen millimetreinä

   Periaate

   Jäähtyessä hiukkasten värähtely heikkenee ja niiden keskimääräinen etäisyys pienenee, joten johto lyhenee. Johdon olomuoto ei muutu. Siksi sama kaava $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$ kuvaa sekä lämpenemistä että jäähtymistä. Negatiivinen $\Delta T$ antaa negatiivisen $\Delta L$:n.

   Kaava

   $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$, missä $\Delta T = T - T_0$ (loppu miinus alku).

   Muunnokset

   Lämpötilan muutos on sama kelvineinä:

   $\Delta T$$= -27\,{}^\circ\text{C} - 18\,{}^\circ\text{C}$

   $= -45\,\text{K}$

   Tulos tulee metreinä, ja $1\,\text{m} = 1000\,\text{mm}$.

   Sijoitus

   $\Delta L$$= 23 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 50{,}0\,\text{m} \cdot (-45\,\text{K})$

   $= -0{,}05175\,\text{m}$

   $= -51{,}75\,\text{mm}$

   Vastaus

   $\Delta L \approx -52\,\text{mm}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittavat tiedot ovat $\alpha = 23 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ ja kokonaisasteiden erotus $\Delta T = -45\,\text{K}$ (kummassakin kaksi numeroa). Pituus $50{,}0\,\text{m}$ on kolmen numeron arvo, joten se ei rajoita tulosta.

   Järkevyys

   Karkea arvio:

   $2 \cdot 10^{-5}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 50\,\text{m} \cdot 45\,\text{K}$

   $\approx 45\,\text{mm}$

   Etumerkki on oikea, koska lämpötila laskee. Johto lyhenee noin $0{,}10\,\%$. Siksi se on asennettava kesällä löysälle, ettei se kiristy talvella liikaa.

3. Tehtävä 10-3

   Fysiikan tunnilla kupariputki ($\alpha = 17 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$) jäähdytetään jäävedellä $0\,{}^\circ\text{C}$:seen. Sen pituudeksi mitataan $500{,}0\,\text{mm}$. Putken toinen pää on kiinni telineessä, ja toista päätä vasten on mittakello.

   Sitten putken läpi johdetaan kiehuvasta vedestä nousevaa höyryä. Putki lämpenee $100\,{}^\circ\text{C}$:seen.

   Kuinka paljon putki pitenee eli kuinka paljon mittakellon lukema muuttuu? Anna vastaus millimetreinä.

   mmTarkista
   Vastaus

   $\Delta L = 0{,}85\,\text{mm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kupariputki, $L_0 = 500{,}0\,\text{mm}$ lämpötilassa $T_0 = 0\,{}^\circ\text{C}$, $T = 100\,{}^\circ\text{C}$, $\alpha = 17 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ (tehtävässä annettu)

   Kysytty

   putken pituuden muutos $\Delta L$ millimetreinä eli mittakellon lukeman muutos

   Periaate

   Putken toinen pää on kiinni, joten koko pituuden muutos näkyy vapaassa päässä ja mittakellossa. Kupari lämpenee, eikä sen olomuoto muutu. Siksi pituuden muutos on verrannollinen alkupituuteen ja lämpötilan muutokseen.

   Kaava

   $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$, missä $\Delta T = T - T_0$. Uusi pituus on $L = L_0 + \Delta L$.

   Muunnokset

   $\Delta T$$= 100\,{}^\circ\text{C} - 0\,{}^\circ\text{C}$

   $= 100\,\text{K}$

   sama kelvineinä. Yksikkömuunnosta ei tarvita: $L_0$ on millimetreinä, joten myös $\Delta L$ tulee millimetreinä.

   Sijoitus

   $\Delta L$$= 17 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 500{,}0\,\text{mm} \cdot 100\,\text{K}$

   $= 0{,}85\,\text{mm}$

   ja

   $L$$= 500{,}0\,\text{mm} + 0{,}85\,\text{mm}$

   $= 500{,}85\,\text{mm}$

   Vastaus

   $\Delta L = 0{,}85\,\text{mm}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittava tieto on $\alpha = 17 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ (kaksi numeroa). Pituus $500{,}0\,\text{mm}$ ja kokonaisasteiden erotus $\Delta T = 100\,\text{K}$ ovat tarkempia.

   Järkevyys

   Suhteellinen muutos on

   $\alpha \Delta T$$= 17 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 100\,\text{K}$

   $= 0{,}17\,\%$

   ja $0{,}17\,\%$ luvusta $500\,\text{mm}$ on $0{,}85\,\text{mm}$. Putki pitenee, koska se lämpenee. Alle millimetrin muutos näkyy mittakellossa mutta ei viivaimella.

4. Tehtävä 10-4

   Kesämökin saunan katolla on musta $200{,}0\,\textsf{l}$:n säiliö, josta lasketaan suihkuvesi. Aamulla veden lämpötila on $12\,{}^\circ\text{C}$. Iltapäivällä aurinko on lämmittänyt sen $32\,{}^\circ\text{C}$:seen. Veden tilavuuden lämpötilakerroin on $\gamma = 0{,}21 \cdot 10^{-3}\,\tfrac{1}{\text{K}}$.

   Kuinka monta litraa veden tilavuus kasvaa?

   lTarkista
   Vastaus

   $\Delta V = 0{,}84\,\textsf{l}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vesi, $V_0 = 200{,}0\,\textsf{l}$, $T_0 = 12\,{}^\circ\text{C}$, $T = 32\,{}^\circ\text{C}$, $\gamma = 0{,}21 \cdot 10^{-3}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ (tehtävässä annettu)

   Kysytty

   veden tilavuuden kasvu $\Delta V$ litroina

   Periaate

   Neste laajenee kaikkiin suuntiin. Siksi sen tilavuuden muutos on verrannollinen alkutilavuuteen ja lämpötilan muutokseen. Vesi pysyy nesteenä alle $100\,{}^\circ\text{C}$:ssa, joten tilavuuden lämpötilakerroin $\gamma$ kuvaa tilannetta. Säiliö ei rajoita laajenemista, koska kysytään vain veden tilavuuden kasvua.

   Kaava

   $\Delta V = \gamma V_0 \Delta T$, missä $\Delta T = T - T_0$.

   Muunnokset

   $\Delta T$$= 32\,{}^\circ\text{C} - 12\,{}^\circ\text{C}$

   $= 20\,\text{K}$

   sama kelvineinä. Litroja ei tarvitse muuntaa, koska $V_0$ on litroina ja myös $\Delta V$ tulee litroina.

   Sijoitus

   $\Delta V$$= 0{,}21 \cdot 10^{-3}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 200{,}0\,\textsf{l} \cdot 20\,\text{K}$

   $= 0{,}84\,\textsf{l}$

   Vastaus

   $\Delta V = 0{,}84\,\textsf{l}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittava tieto on $\gamma = 0{,}21 \cdot 10^{-3}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ (kaksi numeroa). Tilavuus $200{,}0\,\textsf{l}$ on neljän numeron arvo ja kokonaisasteiden erotus $\Delta T = 20\,\text{K}$ kahden numeron arvo. Kumpikaan ei rajoita enempää.

   Järkevyys

   Suhteellinen kasvu on

   $\gamma \Delta T$$= 0{,}21 \cdot 10^{-3}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 20\,\text{K}$

   $= 0{,}42\,\%$

   ja $0{,}42\,\%$ luvusta $200{,}0\,\textsf{l}$ on $0{,}84\,\textsf{l}$. Kasvu on positiivinen, koska vesi lämpenee. Täyteen suljettuun säiliöön lähes litra lisää ei mahtuisi. Siksi säiliössä on ylivuoto tai ilmatilaa.

5. Tehtävä 10-5

   Olohuoneen ikkunassa on $1{,}5\,\text{m}$ leveä lasi. Se on tavallista lasia ($\alpha = 9{,}0 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$). Kesäpäivänä auringonpaiste lämmittää lasin $20\,{}^\circ\text{C}$:sta $45\,{}^\circ\text{C}$:seen. Kuinka paljon lasin leveys kasvaa? Anna vastaus millimetreinä.

   mmTarkista
   Vastaus

   $\Delta L \approx 0{,}34\,\text{mm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   tavallinen lasi, leveys $L_0 = 1{,}5\,\text{m}$, $T_0 = 20\,{}^\circ\text{C}$, $T = 45\,{}^\circ\text{C}$, $\alpha = 9{,}0 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ (tehtävässä annettu)

   Kysytty

   leveyden muutos $\Delta L$ millimetreinä

   Periaate

   Lasi on kiinteää ainetta, ja se laajenee lämmetessään kaikissa suunnissa samassa suhteessa. Lasi ei sula. Siksi leveyden muutos on verrannollinen alkuleveyteen ja lämpötilan muutokseen.

   Kaava

   $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$, missä $\Delta T = T - T_0$.

   Muunnokset

   $\Delta T$$= 45\,{}^\circ\text{C} - 20\,{}^\circ\text{C}$

   $= 25\,\text{K}$

   sama kelvineinä. Tulos tulee metreinä, ja $1\,\text{m} = 1000\,\text{mm}$.

   Sijoitus

   $\Delta L$$= 9{,}0 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 1{,}5\,\text{m} \cdot 25\,\text{K}$

   $= 0{,}0003375\,\text{m}$

   $= 0{,}3375\,\text{mm}$

   Vastaus

   $\Delta L \approx 0{,}34\,\text{mm}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittavia tietoja on kolme: $\alpha = 9{,}0 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$, leveys $1{,}5\,\text{m}$ ja kokonaisasteiden erotus $\Delta T = 25\,\text{K}$. Kaikissa on kaksi numeroa.

   Järkevyys

   Suhteellinen muutos on $9{,}0 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 25\,\text{K} = 0{,}0225\,\%$, ja $1500\,\text{mm} \cdot 0{,}000225 = 0{,}34\,\text{mm}$. Sama tilanne teräksellä ($\alpha = 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$) antaisi noin $0{,}45\,\text{mm}$. Lasi laajenee siis metallia vähemmän, kuten sen pienempi $\alpha$ lupaa.

6. Tehtävä 10-6

   Lasipurkin teräskansi on joskus tiukasti kiinni. Kansi irtoaa usein helpommin, kun sen päälle valutetaan hetki kuumaa vettä. Mikä on syy?

   Valitse vaihtoehto.

   • Kuuma vesi kutistaa metallikannen, koska metallin hiukkaset painuvat lämmetessään lähemmäs toisiaan.
   • Purkin suu pienenee, koska lasin hiukkaset kasvavat lämmetessään ja täyttävät raon.
   • Teräskansi laajenee lämmetessään enemmän kuin lasi, joten kansi löystyy purkin suun ympärillä.
   • Lasi ja teräs laajenevat yhtä paljon, mutta kuuma vesi tekee kannen reunasta liukkaan.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Teräskansi laajenee lämmetessään enemmän kuin lasi, joten kansi löystyy purkin suun ympärillä.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   miksi kuuma vesi auttaa irrottamaan tiukan teräskannen lasipurkista

   Periaate

   Kun kiinteä aine lämpenee, hiukkasten keskimääräinen etäisyys kasvaa. Siksi kappale laajenee. Laajeneminen riippuu lämpötilakertoimesta $\alpha$. Teräksen kerroin $12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ on suurempi kuin lasin $9 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$. Kuuma vesi valutetaan kannen päälle. Siksi kansi lämpenee ensin ja eniten.

   Mallivastaus

   Teräskansi laajenee lämmetessään enemmän kuin lasi. Siksi kansi löystyy purkin suun ympärillä ja irtoaa helpommin. Kansi ei kutistu, koska lämmetessä hiukkasten väliset etäisyydet kasvavat. Hiukkaset eivät myöskään kasva. Eri aineet laajenevat eri määrän, koska niiden lämpötilakertoimet ovat erilaiset.

7. Tehtävä 10-7

   Kolme samankokoista näytettä lämpenee $20\,{}^\circ\text{C}$:sta $30\,{}^\circ\text{C}$:seen. Näytteet ovat teräspala, lasillinen vettä ja ilmapallollinen ilmaa. Ilman paine pysyy samana. Mikä näyte laajenee suhteellisesti eniten, ja miksi?

   Valitse vaihtoehto.

   • Vesi, koska nesteen hiukkaset pääsevät liikkumaan paikasta toiseen vapaasti.
   • Kaikki yhtä paljon, koska lämpötilan muutos on kaikilla näytteillä sama.
   • Ilma, koska kaasun hiukkasia sitovat toisiinsa vain heikot vuorovaikutukset.
   • Teräs, koska kiinteän aineen hiukkaset värähtelevät lämmetessään kaikkein voimakkaimmin.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Ilma, koska kaasun hiukkasia sitovat toisiinsa vain heikot vuorovaikutukset.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mikä kolmesta näytteestä (teräs, vesi, ilma) laajenee suhteellisesti eniten, kun lämpötila nousee $10\,\text{K}$, ja miksi

   Periaate

   Suhteellinen tilavuuden kasvu on $\dfrac{\Delta V}{V_0} = \gamma \Delta T$. Kaikilla näytteillä $\Delta T$ on sama. Ero tulee siis lämpötilakertoimesta $\gamma$. Kerroin kertoo, kuinka tiukasti hiukkaset ovat sitoutuneet toisiinsa. Kiinteässä aineessa ne ovat sitoutuneet tiukimmin ja kaasussa löyhimmin.

   Mallivastaus

   Ilma laajenee eniten. Kaasun hiukkasia sitovat toisiinsa vain heikot vuorovaikutukset, joten hiukkasvälit kasvavat helposti. Taulukon mukaan ilman $\gamma = 3{,}4 \cdot 10^{-3}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ on noin 16 kertaa veden $0{,}21 \cdot 10^{-3}\,\tfrac{1}{\text{K}}$. Se on myös noin 90 kertaa teräksen $\gamma \approx 3\alpha = 36 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$. Sama lämpötilan muutos ei siis laajenna kaikkia yhtä paljon. Kiinteä aine laajenee vähiten.

8. Tehtävä 10-8

   Oppilas laski, kuinka paljon $2{,}0\,\text{m}$ pitkä alumiinitanko ($\alpha = 23 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$) pitenee. Tangon lämpötila nousee $15\,{}^\circ\text{C}$:sta $65\,{}^\circ\text{C}$:seen. Oppilas kirjoitti $\Delta L = 23 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 2{,}0\,\text{m} \cdot 65 = 3{,}0\,\text{mm}$ (yksiköt jätetty pois).

   Laskussa on virhe. Laske tangon pituuden muutos oikein. Anna vastaus millimetreinä.

   mmTarkista
   Vastaus

   $\Delta L = 2{,}3\,\text{mm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alumiinitanko, $L_0 = 2{,}0\,\text{m}$, $T_0 = 15\,{}^\circ\text{C}$, $T = 65\,{}^\circ\text{C}$, $\alpha = 23 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ (tehtävässä annettu)

   Kysytty

   tangon pituuden muutos $\Delta L$ millimetreinä (oppilaan laskun virhe)

   Periaate

   Pituuden muutos on verrannollinen alkupituuteen ja lämpötilan muutokseen. Se ei ole verrannollinen loppulämpötilaan. Oppilas sijoitti kaavaan loppulämpötilan $65$ lämpötilan muutoksen sijaan.

   Kaava

   $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$, missä $\Delta T = T - T_0$. Kysytty $\Delta L$ on jo yksin vasemmalla puolella.

   Muunnokset

   Lämpötilan muutos on sama celsiusasteina ja kelvineinä:

   $\Delta T$$= 65\,{}^\circ\text{C} - 15\,{}^\circ\text{C}$

   $= 50\,\text{K}$

   Pituus on metreinä, joten $\Delta L$ tulee metreinä. Lopuksi $1\,\text{m} = 1000\,\text{mm}$.

   Sijoitus

   $\Delta L$$= 23 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 2{,}0\,\text{m} \cdot 50\,\text{K}$

   $= 0{,}0023\,\text{m}$

   $= 2{,}3\,\text{mm}$

   Vastaus

   $\Delta L = 2{,}3\,\text{mm}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten annetuissa tiedoissa.

   Järkevyys

   Oppilaan tulos $3{,}0\,\text{mm}$ syntyi kertoimella $65$ eikä $50$. Se on siis $\tfrac{65}{50} = 1{,}3$-kertainen eli $30\,\%$ liian suuri. Jos tanko olisi lämmitetty $0\,{}^\circ\text{C}$:sta $65\,{}^\circ\text{C}$:seen, oppilaan luku olisi ollut oikein. Tangon suhteellinen pituuden muutos $\alpha \Delta T = 0{,}12\,\%$ on metallille tyypillinen.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 10-9Ydintehtävä

   Kaukolämpöputken suoran osuuden päähän asennetaan joustava paljeosa. Se voi ottaa vastaan enintään $50{,}0\,\text{mm}$:n pituuden muutoksen. Teräsputki ($\alpha = 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$) asennetaan $10\,{}^\circ\text{C}$:ssa. Käytössä sen lämpötila on $90\,{}^\circ\text{C}$.

   Kuinka pitkä putken suora osuus saa enintään olla? Anna vastaus metreinä.

   mTarkista
   Vastaus

   $L_0 \approx 52\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   teräsputki, paljeosan enimmäisvara $\Delta L = 50{,}0\,\text{mm}$, $T_0 = 10\,{}^\circ\text{C}$, $T = 90\,{}^\circ\text{C}$, $\alpha = 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ (tehtävässä annettu)

   Kysytty

   suoran osuuden suurin pituus $L_0$ metreinä

   Periaate

   Putken pituuden muutos on verrannollinen sen pituuteen ja lämpötilan muutokseen. Paljeosa ottaa vastaan enintään $50{,}0\,\text{mm}$. Teräs pysyy kiinteänä, joten sama laajenemiskaava pätee. Kaava ratkaistaan alkupituudelle, koska muutos tunnetaan ja pituus on kysytty.

   Kaava

   $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$, josta

   $L_0$$= \dfrac{\Delta L}{\alpha \Delta T}$

   Muunnokset

   $\Delta L$$= 50{,}0\,\text{mm}$

   $= 0{,}0500\,\text{m}$

   jotta tulos tulee metreinä.

   $\Delta T$$= 90\,{}^\circ\text{C} - 10\,{}^\circ\text{C}$

   $= 80\,\text{K}$

   sama kelvineinä.

   Sijoitus

   $L_0$$= \dfrac{0{,}0500\,\text{m}}{12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 80\,\text{K}}$

   $= \dfrac{0{,}0500\,\text{m}}{9{,}6 \cdot 10^{-4}}$

   $= 52{,}083\,\text{m}$

   Vastaus

   $L_0 \approx 52\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittavat tiedot ovat $\alpha = 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ ja kokonaisasteiden erotus $\Delta T = 80\,\text{K}$ (kummassakin kaksi numeroa). Sallittu muutos $50{,}0\,\text{mm}$ on kolmen numeron arvo, joten se ei rajoita tulosta.

   Järkevyys

   Tarkistus eteenpäin:

   $12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 52\,\text{m} \cdot 80\,\text{K}$

   $= 0{,}0499\,\text{m}$

   $\approx 50\,\text{mm}$

   Suurempi sallittu muutos tai pienempi lämpötilaero sallisi pidemmän putken, joten tulos kulkee oikeaan suuntaan. Jos millimetrejä ei muuntaisi metreiksi, tulos olisi tuhat kertaa liian suuri.

2. Tehtävä 10-10Ydintehtävä

   Teräksisen kahvakuulan tilavuus on $2{,}0\,\text{dm}^3$. Kuula on ollut pakkasyön autotallissa $-22\,{}^\circ\text{C}$:ssa. Se tuodaan sisälle, jossa se lämpenee $20\,{}^\circ\text{C}$:seen. Teräksen pituuden lämpötilakerroin on $\alpha = 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$.

   Kuinka monta kuutiosenttimetriä kahvakuulan tilavuus kasvaa? Vihje: kiinteällä aineella $\gamma \approx 3\alpha$.

   cm³Tarkista
   Vastaus

   $\Delta V \approx 3{,}0\,\text{cm}^3$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   teräksinen kahvakuula, $V_0 = 2{,}0\,\text{dm}^3$, $T_0 = -22\,{}^\circ\text{C}$, $T = 20\,{}^\circ\text{C}$, $\alpha = 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ (tehtävässä annettu)

   Kysytty

   tilavuuden kasvu $\Delta V$ kuutiosenttimetreinä

   Periaate

   Kuula laajenee kaikkiin kolmeen suuntaan samassa suhteessa. Siksi tilavuus kasvaa suhteellisesti noin kolme kertaa niin paljon kuin pituus: $\gamma \approx 3\alpha$. Tämä pätee kiinteälle aineelle, jonka olomuoto ei muutu. Tilavuuden muutos on verrannollinen alkutilavuuteen ja lämpötilan muutokseen.

   Kaava

   $\gamma \approx 3\alpha$ ja $\Delta V = \gamma V_0 \Delta T$, eli $\Delta V = 3\alpha V_0 \Delta T$.

   Muunnokset

   $V_0$$= 2{,}0\,\text{dm}^3$

   $= 2000\,\text{cm}^3$

   koska $1\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{cm}^3$.

   $\Delta T$$= 20\,{}^\circ\text{C} - (-22\,{}^\circ\text{C})$

   $= 42\,\text{K}$

   sama kelvineinä.

   Sijoitus

   $\gamma$$\approx 3 \cdot 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$

   $= 36 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$

   ja

   $\Delta V$$= 36 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 2000\,\text{cm}^3 \cdot 42\,\text{K}$

   $= 3{,}024\,\text{cm}^3$

   Vastaus

   $\Delta V \approx 3{,}0\,\text{cm}^3$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittavia tietoja on kolme: tilavuus $2{,}0\,\text{dm}^3$, kerroin $12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ ja kokonaisasteiden erotus $\Delta T = 42\,\text{K}$. Kaikissa on kaksi numeroa. Kerroin $3$ ($\gamma \approx 3\alpha$) on tarkka luku, joten se ei rajoita tulosta.

   Järkevyys

   Suhteellinen kasvu on $36 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 42\,\text{K} = 0{,}15\,\%$, ja $0{,}15\,\%$ luvusta $2000\,\text{cm}^3$ on $3{,}0\,\text{cm}^3$. Tilavuus kasvaa, koska kuula lämpenee. Muutos on niin pieni, ettei sitä huomaa kädellä.

3. Tehtävä 10-11

   Vanhanmallisella radalla teräksiset rautatiekiskot ($\alpha = 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$) ovat $25{,}0\,\text{m}$ pitkiä. Rata rakennetaan $12\,{}^\circ\text{C}$:ssa, ja kiskojen väliin jätetään $7{,}2\,\text{mm}$:n rako. Oleta, että rako sulkeutuu, kun kisko on pidentynyt raon leveyden verran.

   Missä lämpötilassa rako sulkeutuu?

   °CTarkista
   Vastaus

   $T = 36\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   teräskisko, $L_0 = 25{,}0\,\text{m}$, $T_0 = 12\,{}^\circ\text{C}$, rako $\Delta L = 7{,}2\,\text{mm}$, $\alpha = 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ (tehtävässä annettu)

   Kysytty

   lämpötila $T$, jossa rako sulkeutuu

   Periaate

   Kisko pitenee lämmetessään. Pidentyminen on verrannollinen pituuteen ja lämpötilan muutokseen. Tehtävän oletuksen mukaan rako sulkeutuu, kun kisko on pidentynyt raon leveyden verran. Siksi asetetaan $\Delta L$ yhtä suureksi kuin rako ja ratkaistaan tarvittava lämpötilan muutos.

   Kaava

   $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$, josta

   $\Delta T$$= \dfrac{\Delta L}{\alpha L_0}$

   ja lopuksi $T = T_0 + \Delta T$.

   Muunnokset

   $\Delta L$$= 7{,}2\,\text{mm}$

   $= 0{,}0072\,\text{m}$

   jotta pituudet ovat samassa yksikössä. Lämpötilan muutos $\Delta T$ saadaan kelvineinä. Se on sama kuin celsiusasteissa, joten se lisätään suoraan lämpötilaan $T_0$.

   Sijoitus

   $\Delta T$$= \dfrac{0{,}0072\,\text{m}}{12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 25{,}0\,\text{m}}$

   $= \dfrac{0{,}0072\,\text{m}}{3{,}0 \cdot 10^{-4}\,\text{m/K}}$

   $= 24\,\text{K}$

   ja

   $T$$= 12\,{}^\circ\text{C} + 24\,\text{K}$

   $= 36\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $T = 36\,{}^\circ\text{C}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Lämpötilan muutoksen $\Delta T = 24\,\text{K}$ numeroita rajoittavat rako $7{,}2\,\text{mm}$ ja kerroin $12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ (kummassakin kaksi numeroa). Pituudessa $25{,}0\,\text{m}$ on kolme numeroa. Summa $12\,{}^\circ\text{C} + 24\,\text{K}$ on kokonaisasteina, joten $36\,{}^\circ\text{C}$ säilyttää nuo kaksi numeroa.

   Järkevyys

   Tarkistus:

   $12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 25{,}0\,\text{m} \cdot 24\,\text{K}$

   $= 7{,}2\,\text{mm}$

   joten kisko täyttää raon. Lämpötila on yli alkulämpötilan, koska kisko pitenee vain lämmetessään. Tumma kisko kuumenee helteellä helposti yli $36\,{}^\circ\text{C}$:n. Myös naapurikisko pitenee, ja kumpikin kisko pitenee kumpaankin suuntaan. Raon kumpikin reuna liikkuu $\tfrac{1}{2}\Delta L$. Rakoa kohti tulee siis yhteensä yhden kiskon pidennys $\Delta L$, ja tehtävän oletus pätee.

4. Tehtävä 10-12

   Siltarakenteessa käytetään metallipalkkia. Sen pituus on $20\,{}^\circ\text{C}$:ssa $5{,}00\,\text{m}$. Palkkia lämmitetään ja sen pituuden muutosta mitataan. Kuvaajassa on pituuden muutos $\Delta L$ lämpötilan funktiona.

   Laske palkin aineen pituuden lämpötilakerroin $\alpha$ yksikössä $10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$. Päättele oppitunnin taulukosta, mistä metallista palkki on tehty (teräs 12, alumiini 23, kupari 17, kaikki yksikössä $10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$). Lue tarvittavat arvot kuvaajasta.

   10⁻⁶ 1/KTarkista
   Vastaus

   $\alpha = 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   metallipalkki, $L_0 = 5{,}00\,\text{m}$ lämpötilassa $20\,{}^\circ\text{C}$. Pituuden muutos lämpötilan funktiona on kuvaajassa. Taulukosta $\alpha_\text{teräs} = 12$, $\alpha_\text{alumiini} = 23$, $\alpha_\text{kupari} = 17$ (yksikössä $10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$)

   Kysytty

   pituuden lämpötilakerroin $\alpha$ yksikössä $10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ ja sen perusteella metalli

   Periaate

   Palkki pitenee lämmetessään verrannollisesti pituuteensa ja lämpötilan muutokseen. Kerroin $\alpha$ on aineelle ominainen vakio. Kuvaajan pisteistä saadaan lämpötilan muutos ja pituuden muutos. Niistä saadaan $\alpha$, jonka voi verrata taulukkoon.

   Kuvaajan lukeminen

   Suora alkaa ruudukon risteyksestä $(20\,{}^\circ\text{C}$; $0\,\text{mm})$. Se päättyy risteykseen $(70\,{}^\circ\text{C}$; $3{,}0\,\text{mm})$. Lämpötilan muutos on siis

   $\Delta T$$= 70\,{}^\circ\text{C} - 20\,{}^\circ\text{C}$

   $= 50\,\text{K}$

   Pituuden muutos on $\Delta L = 3{,}0\,\text{mm}$.

   Kaava

   $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$, josta

   $\alpha$$= \dfrac{\Delta L}{L_0 \Delta T}$

   Muunnokset

   $\Delta L$$= 3{,}0\,\text{mm}$

   $= 0{,}0030\,\text{m}$

   jotta yksiköt supistuvat. Lämpötilan muutos on sama celsiusasteina ja kelvineinä. Tulos ilmoitetaan yksikössä $10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$. Siksi kerroin $10^{-6}$ jätetään yksikköön.

   Sijoitus

   $\alpha$$= \dfrac{0{,}0030\,\text{m}}{5{,}00\,\text{m} \cdot 50\,\text{K}}$

   $= \dfrac{0{,}0030}{250}\,\tfrac{1}{\text{K}}$

   $= 0{,}000012\,\tfrac{1}{\text{K}}$

   $= 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$

   Vastaus

   $\alpha = 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$

   Joten palkki on terästä. Tuloksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska pituuden muutos $3{,}0\,\text{mm}$ on luettu kahdella numerolla. Arvot luetaan tarkasti ruudukosta, joten hyväksytään $11{,}6\ldots12{,}4$.

   Järkevyys

   Yksiköt:

   $\dfrac{\text{m}}{\text{m} \cdot \text{K}}$$= \tfrac{1}{\text{K}}$

   Vertailu taulukkoon: alumiinipalkki pitenisi

   $23 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 5{,}00\,\text{m} \cdot 50\,\text{K}$

   $= 5{,}75\,\text{mm}$

   Kuparipalkki pitenisi $4{,}25\,\text{mm}$. Vain teräs antaa luetun arvon $3{,}0\,\text{mm}$. Millimetrin murto-osa metrien pituudella on tyypillistä metalleille.

5. Tehtävä 10-13

   Esimerkkiaineisto: taulukossa on $1{,}000\,\text{kg}$ veden tilavuus eri lämpötiloissa. Tilavuus on annettu kuudella merkitsevällä numerolla, koska muutokset ovat pieniä.

   a) Missä taulukon lämpötilassa vesi vie vähiten tilaa? Mitä se kertoo veden tiheydestä siinä lämpötilassa?

   b) Laske veden tilavuuden lämpötilakerroin $\gamma$ lämpötilavälillä $4\,{}^\circ\text{C} \ldots 10\,{}^\circ\text{C}$ yksikössä $10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$. Käytä alkutilavuutena tilavuutta lämpötilassa $4\,{}^\circ\text{C}$.

   c) Vertaa tulosta arvoon $\gamma = 210 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$, joka pätee lämpötilassa $20\,{}^\circ\text{C}$. Selitä, miksi vesi poikkeaa muista nesteistä lämpötilavälillä $0\,{}^\circ\text{C} \ldots 4\,{}^\circ\text{C}$. Selitä myös, miksi syvän järven pohjalla veden lämpötila on talvella noin $4\,{}^\circ\text{C}$.

   Vastauskenttään tulee kohdan b) tulos.

   $1{,}000\,\text{kg}$ veden tilavuus (esimerkkiaineisto)

   $T\,({}^\circ\text{C})$	$V\,(\text{dm}^3)$
   0	1,00016
   2	1,00006
   4	1,00003
   6	1,00006
   8	1,00015
   10	1,00030

   10⁻⁶ 1/KTarkista
   Vastaus

   $\gamma \approx 45 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $1{,}000\,\text{kg}$ vettä: tilavuus lämpötilassa $4\,{}^\circ\text{C}$ on $V_4 = 1{,}00003\,\text{dm}^3$ ja lämpötilassa $10\,{}^\circ\text{C}$ $V_{10} = 1{,}00030\,\text{dm}^3$. Taulukon pienin tilavuus on $1{,}00003\,\text{dm}^3$.

   Kysytty

   a) lämpötila, jossa vesi vie vähiten tilaa, ja mitä se kertoo tiheydestä; b) $\gamma$ välillä $4\,{}^\circ\text{C} \ldots 10\,{}^\circ\text{C}$ yksikössä $10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$; c) vertailu arvoon $210 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ ja veden poikkeava käytös

   Periaate

   Aineen massa on vakio. Pienin tilavuus tarkoittaa siis suurinta tiheyttä $\rho = m/V$. Lämpötilakerroin saadaan tilavuuden muutoksesta: kun $\Delta V = \gamma V_0 \Delta T$ pätee, niin $\gamma = \dfrac{\Delta V}{V_0 \Delta T}$.

   Taulukon lukeminen

   Taulukossa tilavuus pienenee arvosta $1{,}00016\,\text{dm}^3$ lämpötilassa $0\,{}^\circ\text{C}$ arvoon $1{,}00003\,\text{dm}^3$ lämpötilassa $4\,{}^\circ\text{C}$. Sen jälkeen tilavuus kasvaa arvoon $1{,}00030\,\text{dm}^3$ lämpötilassa $10\,{}^\circ\text{C}$. Pienin tilavuus on siis lämpötilassa $4\,{}^\circ\text{C}$.

   Kaava

   $\Delta V = \gamma V_0 \Delta T$, josta

   $\gamma$$= \dfrac{\Delta V}{V_0 \Delta T}$

   $\Delta V = V_{10} - V_4$

   Muunnokset

   Tilavuudet ovat samassa yksikössä, joten $\Delta V$ ja $V_0$ supistuvat samassa yksikössä. Lämpötilan muutos on

   $\Delta T$$= 10\,{}^\circ\text{C} - 4\,{}^\circ\text{C}$

   $= 6\,\text{K}$

   sama kelvineinä. Tulos ilmoitetaan yksikössä $10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$.

   Sijoitus

   $\Delta V$$= 1{,}00030\,\text{dm}^3 - 1{,}00003\,\text{dm}^3$

   $= 0{,}00027\,\text{dm}^3$

   ja

   $\gamma$$= \dfrac{0{,}00027\,\text{dm}^3}{1{,}00003\,\text{dm}^3 \cdot 6\,\text{K}}$

   $= 0{,}000045\,\tfrac{1}{\text{K}}$

   $= 45 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$

   Vastaus

   b) $\gamma \approx 45 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$, kaksi merkitsevää numeroa, koska tilavuuden muutos $0{,}00027\,\text{dm}^3$ tunnetaan kahdella numerolla. Kohta a): pienin tilavuus on lämpötilassa $4\,{}^\circ\text{C}$, joten tiheys on siinä suurin. Mallivastaus c): veden $\gamma$ ei ole vakio. Se kasvaa lämpötilan mukana ja on lähellä $4\,{}^\circ\text{C}$:ta nolla. Siksi taulukon arvoa $210 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ ei voi käyttää tällä välillä. Toisin kuin useimmat nesteet, vesi kutistuu lämmetessään välillä $0\,{}^\circ\text{C} \ldots 4\,{}^\circ\text{C}$. Talvella järven pintavesi jäähtyy, tihenee ja vajoaa. Tämä jatkuu, kunnes koko vesi on noin $4\,{}^\circ\text{C}$:ssa. Sen jälkeen kylmempi vesi on kevyempää ja jää pintaan. Pohjan vesi pysyy noin $4\,{}^\circ\text{C}$:ssa, ja järvi jäätyy pinnalta.

   Järkevyys

   Kerroin $45 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ on selvästi pienempi kuin kohdan c) vertailuarvo. Se on noin viidesosa siitä, koska $\gamma$ kasvaa lämpötilan mukana. Välillä $0\,{}^\circ\text{C} \ldots 4\,{}^\circ\text{C}$ tilavuus pienenee, joten kerroin on siellä negatiivinen.

6. Tehtävä 10-14

   Esimerkkiaineisto: ryhmä mittasi mittakellolla $0{,}800\,\text{m}$ pitkän metallisauvan pituuden muutoksen $\Delta L$. Sauvaa lämmitettiin lämpötilasta $20\,{}^\circ\text{C}$. Mittakellon lukematarkkuus on $0{,}01\,\text{mm}$.

   a) Laske sauvan aineen pituuden lämpötilakerroin $\alpha$ yksikössä $10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$. Käytä taulukon ensimmäistä ja viimeistä pistettä.

   b) Päättele oppitunnin taulukosta (teräs 12, alumiini 23, kupari 17, kaikki yksikössä $10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$), mistä metallista sauva on tehty. Selitä myös, miksi mittauspisteet eivät yleensä ole täsmälleen samalla suoralla.

   Vastauskenttään tulee kohdan a) tulos.

   Metallisauvan pituuden muutos (esimerkkiaineisto)

   $T\,({}^\circ\text{C})$	$\Delta L\,(\text{mm})$
   20	0,00
   30	0,19
   40	0,38
   50	0,55
   60	0,75
   70	0,92
   80	1,10

   10⁻⁶ 1/KTarkista
   Vastaus

   $\alpha \approx 22{,}9 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   metallisauva, $L_0 = 0{,}800\,\text{m}$ lämpötilassa $20\,{}^\circ\text{C}$; ensimmäinen piste $(20\,{}^\circ\text{C}$; $0{,}00\,\text{mm})$ ja viimeinen piste $(80\,{}^\circ\text{C}$; $1{,}10\,\text{mm})$; taulukosta $\alpha_\text{teräs} = 12$, $\alpha_\text{alumiini} = 23$, $\alpha_\text{kupari} = 17$ (yksikössä $10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$)

   Kysytty

   a) $\alpha$ yksikössä $10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$; b) sauvan aine ja miksi pisteet eivät ole täsmälleen suoralla

   Periaate

   Sauva pitenee verrannollisesti lämpötilan muutokseen ja alkupituuteen. Kerroin $\alpha$ on aineelle ominainen. Pisteiden läpi kulkeva suora kertoo muutoksen jokaista kelviniä kohti. Sama ominaisuus antaa kertoimen.

   Taulukon lukeminen

   Ensimmäisestä pisteestä viimeiseen lämpötila muuttuu $\Delta T = 80\,{}^\circ\text{C} - 20\,{}^\circ\text{C} = 60\,\text{K}$. Pituus muuttuu $\Delta L = 1{,}10\,\text{mm}$.

   Kaava

   $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$, josta

   $\alpha$$= \dfrac{\Delta L}{L_0 \Delta T}$

   Muunnokset

   $\Delta L$$= 1{,}10\,\text{mm}$

   $= 0{,}00110\,\text{m}$

   jotta yksiköt supistuvat. Tulos ilmoitetaan yksikössä $10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$.

   Sijoitus

   $\alpha$$= \dfrac{0{,}00110\,\text{m}}{0{,}800\,\text{m} \cdot 60\,\text{K}}$

   $= \dfrac{0{,}00110}{48}\,\tfrac{1}{\text{K}}$

   $= 22{,}9 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$

   Vastaus

   a) $\alpha \approx 22{,}9 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$, kolme merkitsevää numeroa, koska pituuden muutos $1{,}10\,\text{mm}$ on annettu kolmella numerolla. Mallivastaus b): kerroin on lähimpänä alumiinin arvoa $23 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$, joten sauva on alumiinia. Teräksen arvo $12$ ja kuparin arvo $17$ ovat selvästi kauempana. Mittauspisteet eivät yleensä ole täsmälleen samalla suoralla mittausepävarmuuden vuoksi. Jokaisella lukemalla on epävarmuus, ja sauva ei lämpene täysin tasaisesti. Siksi askelten $0{,}17\ldots 0{,}20\,\text{mm}$ vaihtelu on odotettua. Kaikkien pisteiden kautta sovitettu suora antaa saman kulmakertoimen kuin päätepisteet, $\alpha \approx 22{,}9 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$.

   Järkevyys

   Alumiinisauvan odotettu pituuden muutos koko välillä on

   $23 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 0{,}800\,\text{m} \cdot 60\,\text{K}$

   $= 1{,}10\,\text{mm}$

   Se vastaa mitattua. Teräkselle tulisi $0{,}58\,\text{mm}$ ja kuparille $0{,}82\,\text{mm}$. Ne poikkeavat mitatusta selvästi enemmän kuin mittakellon tarkkuus $0{,}01\,\text{mm}$.

7. Tehtävä 10-15

   Ryhmä suunnittelee koetta. Siinä mitataan teräksen pituuden lämpötilakerroin ($\alpha = 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$) teräsputkesta. Putki on $20\,{}^\circ\text{C}$:ssa $1{,}00\,\text{m}$ pitkä. Sitä lämmitetään höyryllä $100\,{}^\circ\text{C}$:seen. Ryhmä aikoo mitata pituuden mittanauhalla. Mittanauhan lukematarkkuus on $0{,}5\,\text{mm}$.

   a) Laske, kuinka paljon putki pitenee.

   b) Selitä, miksi mittanauha ei sovi tähän mittaukseen. Ehdota väline, jolla pienen pituuden muutoksen voi mitata luotettavasti.

   c) Kuinka pitkä teräsputken pitäisi olla, jotta mittanauhan lukematarkkuus olisi enintään $5{,}0\,\%$ pituuden muutoksesta? Lämpötilan muutos on sama. Anna vastaus metreinä.

   Vastauskenttään tulee kohdan c) tulos.

   mTarkista
   Vastaus

   $L_0 \approx 10{,}4\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   teräsputki, $L_0 = 1{,}00\,\text{m}$, $T_0 = 20\,{}^\circ\text{C}$, $T = 100\,{}^\circ\text{C}$, $\alpha = 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ (tehtävässä annettu); mittanauhan lukematarkkuus $0{,}5\,\text{mm}$

   Kysytty

   a) pituuden muutos $\Delta L$; b) miksi mittanauha ei sovi ja mikä väline sopii; c) putken pituus $L_0$, kun lukematarkkuus on enintään $5{,}0\,\%$ muutoksesta

   Periaate

   Pituuden muutos on verrannollinen alkupituuteen ja lämpötilan muutokseen, $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$. Mittaus on luotettava vain, jos mitattava muutos on paljon suurempi kuin mittavälineen lukematarkkuus. Kohdassa c) ehto kirjoitetaan muutokselle. Sen avulla ratkaistaan pituus.

   Kaava

   a) $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$. c) Ehto $0{,}5\,\text{mm} \le 0{,}050 \cdot \Delta L$ antaa $\Delta L \ge 10\,\text{mm}$. Kaava $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$ antaa

   $L_0$$= \dfrac{\Delta L}{\alpha \Delta T}$

   Muunnokset

   $\Delta T$$= 100\,{}^\circ\text{C} - 20\,{}^\circ\text{C}$

   $= 80\,\text{K}$

   sama kelvineinä. Pituuden muutos $10\,\text{mm} = 0{,}010\,\text{m}$, jotta $L_0$ tulee metreinä.

   Sijoitus

   a)

   $\Delta L$$= 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 1{,}00\,\text{m} \cdot 80\,\text{K}$

   $= 0{,}00096\,\text{m}$

   $= 0{,}96\,\text{mm}$

   c) Vaadittu muutos on

   $\Delta L$$= \dfrac{0{,}5\,\text{mm}}{0{,}050}$

   $= 10\,\text{mm}$

   $= 0{,}010\,\text{m}$

   joten

   $L_0$$= \dfrac{0{,}010\,\text{m}}{12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 80\,\text{K}}$

   $= 10{,}4\,\text{m}$

   Vastaus

   c) $L_0 \approx 10{,}4\,\text{m}$, kolme merkitsevää numeroa laskettuna. Lukematarkkuus $0{,}5\,\text{mm}$ on yhden numeron arvo, joten käytännössä pituus on noin $10\,\text{m}$. Mallivastaus b): kohdan a) muutos $0{,}96\,\text{mm}$ on vain noin kaksi kertaa mittanauhan lukematarkkuus $0{,}5\,\text{mm}$. Mittausepävarmuus voisi olla yli puolet tuloksesta ($52\,\%$), eikä kerrointa $\alpha$ saataisi luotettavasti. Pieni muutos mitataan välineellä, joka lukee sadasosamillimetrin. Sellainen on mittakello, jonka mittatappi on putken päätä vasten. Myös pidempi putki tai suurempi lämpötilan muutos pienentäisi suhteellista epävarmuutta.

   Järkevyys

   Tarkistus:

   $12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 10{,}4\,\text{m} \cdot 80\,\text{K}$

   $= 10\,\text{mm}$

   ja siitä $5{,}0\,\%$ on $0{,}5\,\text{mm}$. Kymmenen metrin höyryputki on epäkäytännöllinen koulun laboratoriossa. Mittakello on siksi järkevämpi ratkaisu kuin pidempi putki. Mittakellon lukematarkkuus $0{,}01\,\text{mm}$ olisi vain $1\,\%$ muutoksesta $0{,}96\,\text{mm}$.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 10-16

   Maatilan konekorjaamossa teräksinen hammaspyörä asennetaan traktorin akselille kutistusliitoksella. Hammaspyörän keskireiän halkaisija on $20\,{}^\circ\text{C}$:ssa $75{,}000\,\text{mm}$. Akselin halkaisija on $75{,}090\,\text{mm}$. Teräksen $\alpha = 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$.

   Mihin lämpötilaan hammaspyörä on vähintään lämmitettävä, jotta se mahtuu akselille? Perustele myös kaksi asiaa. Miksi reikä suurenee eikä pienene, kun hammaspyörä lämpenee? Miksi pyörä on jäähdyttyään tiukasti kiinni?

   °CTarkista
   Vastaus

   $T = 120\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   teräksinen hammaspyörä, reiän halkaisija $d_0 = 75{,}000\,\text{mm}$ lämpötilassa $T_0 = 20\,{}^\circ\text{C}$, akselin halkaisija $d = 75{,}090\,\text{mm}$, $\alpha = 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ (tehtävässä annettu)

   Kysytty

   pienin lämpötila $T$, jossa reikä on vähintään akselin kokoinen

   Periaate

   Kappale laajenee kaikkiin suuntiin samassa suhteessa kuin valokuvaa suurennettaessa. Myös reikä laajenee. Reiän halkaisija on kappaleen oma mitta, joten sen muutos noudattaa samaa kaavaa kuin pituuden: $\Delta d = \alpha d_0 \Delta T$. Reikä ei siis pienene, vaikka sen ympärillä oleva aine laajenee. Jäähtyessään reikä pyrkii takaisin kokoon $75{,}000\,\text{mm}$. Akseli on kuitenkin tiellä, ja pyörä puristuu kiinni.

   Kaava

   $\Delta d = \alpha d_0 \Delta T$, josta

   $\Delta T$$= \dfrac{\Delta d}{\alpha d_0}$

   ja $T = T_0 + \Delta T$. Tässä $\Delta d = d - d_0$.

   Muunnokset

   Kaikki mitat ovat millimetreinä, joten $\Delta d$ ja $d_0$ supistuvat samassa yksikössä, eikä muunnosta tarvita. $\Delta T$ tulee kelvineinä ja on sama kuin celsiusasteina.

   Sijoitus

   $\Delta d$$= 75{,}090\,\text{mm} - 75{,}000\,\text{mm}$

   $= 0{,}090\,\text{mm}$

   ja

   $\Delta T$$= \dfrac{0{,}090\,\text{mm}}{12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 75{,}000\,\text{mm}}$

   $= \dfrac{0{,}090}{9{,}0 \cdot 10^{-4}}\,\text{K}$

   $= 100\,\text{K}$

   Siis

   $T$$= 20\,{}^\circ\text{C} + 100\,\text{K}$

   $= 120\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $T = 120\,{}^\circ\text{C}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Halkaisijoiden erotus $\Delta d = 0{,}090\,\text{mm}$ on kahden numeron arvo, koska mitat on annettu tuhannesosamillimetrin tarkkuudella ($75{,}000$ ja $75{,}090$). Myös kerroin $12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ on kahden numeron arvo. Ne rajoittavat tulosta $\Delta T = 100\,\text{K}$ ja siten lämpötilaa $120\,{}^\circ\text{C}$.

   Järkevyys

   Tarkistus:

   $75{,}000\,\text{mm} \cdot (1 + 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 100\,\text{K})$

   $= 75{,}090\,\text{mm}$

   Lämpötila on selvästi huoneenlämpöä korkeampi mutta alle teräksen sulamisen. Käytännössä pyörä lämmitetään hieman yli $120\,{}^\circ\text{C}$:n. Silloin reiän ja akselin väliin jää välys.

2. Tehtävä 10-17

   Saunan vanhanmallisen sähkökiukaan termostaatissa on kaksoismetalliliuska. Siinä $50{,}0\,\text{mm}$ pitkät kupari- ja teräsliuskat on liitetty toisiinsa (kupari $\alpha = 17{,}0 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$, teräs $\alpha = 12{,}0 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$).

   Saunan lämmetessä liuskan lämpötila nousee $20\,{}^\circ\text{C}$:sta $100\,{}^\circ\text{C}$:seen.

   Kuinka paljon enemmän kupariliuska pitenisi kuin teräsliuska, jos ne olisivat irti toisistaan? Anna vastaus mikrometreinä eli millimetrin tuhannesosina. Perustele, mihin suuntaan liitetty liuska taipuu.

   µmTarkista
   Vastaus

   $20\,\mu\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kupari- ja teräsliuska, $L_0 = 50{,}0\,\text{mm}$, $T_0 = 20\,{}^\circ\text{C}$, $T = 100\,{}^\circ\text{C}$, $\alpha_\text{Cu} = 17{,}0 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$, $\alpha_\text{Fe} = 12{,}0 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ (tehtävässä annettu)

   Kysytty

   pitenemisten erotus $\Delta L_\text{Cu} - \Delta L_\text{Fe}$ mikrometreinä ja liuskan taipumissuunta

   Periaate

   Kumpikin liuska on kiinteää ainetta ja pitenee kaavan $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$ mukaan. Liuskoilla on sama alkupituus ja sama lämpötilan muutos. Siksi pituuksien ero syntyy vain kertoimien erosta. Kupari pitenee enemmän, koska sen $\alpha$ on suurempi.

   Kaava

   $\Delta L_\text{Cu} - \Delta L_\text{Fe}$$= (\alpha_\text{Cu} - \alpha_\text{Fe}) L_0 \Delta T$

   missä $\Delta T = T - T_0$.

   Muunnokset

   $\Delta T$$= 100\,{}^\circ\text{C} - 20\,{}^\circ\text{C}$

   $= 80\,\text{K}$

   sama kelvineinä. $L_0$ on millimetreinä, joten erotus tulee millimetreinä, ja $1\,\text{mm} = 1000\,\mu\text{m}$.

   Sijoitus

   $\Delta L_\text{Cu}$$= 17{,}0 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 50{,}0\,\text{mm} \cdot 80\,\text{K}$

   $= 0{,}068\,\text{mm}$

   $\Delta L_\text{Fe}$$= 12{,}0 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 50{,}0\,\text{mm} \cdot 80\,\text{K}$

   $= 0{,}048\,\text{mm}$

   Erotus on

   $0{,}068\,\text{mm} - 0{,}048\,\text{mm}$

   $= 0{,}020\,\text{mm}$

   $= 20\,\mu\text{m}$

   Vastaus

   $20\,\mu\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittava tieto on kertoimien erotus $17{,}0 - 12{,}0 = 5{,}0$ (yksikössä $10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$). Siinä on kaksi numeroa, koska kertoimet on annettu kymmenesosan tarkkuudella. Myös $\Delta T = 80\,\text{K}$ on kahden numeron arvo. Jos kertoimet olisi annettu vain kokonaislukuina, erotus $17 - 12 = 5$ olisi yhden numeron arvo.

   Järkevyys

   Sama tulos yhdellä kertolaskulla:

   $(17{,}0 - 12{,}0) \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 50{,}0\,\text{mm} \cdot 80\,\text{K}$

   $= 0{,}020\,\text{mm}$

   Erotus on positiivinen, koska kupari pitenee enemmän. Liuskat ovat kiinni toisissaan, joten pidempi kupari jää kaaren ulkoreunalle. Liuska taipuu siis teräksen puolelle. Liuskan pää liikkuu paljon enemmän kuin $20\,\mu\text{m}$ ja avaa virtapiirin.

3. Tehtävä 10-18

   Mökkiveneen teräskanisteri on $20{,}0\,\textsf{l}$:n kokoinen. Se täytetään huoltoasemalla piripintaan $10\,{}^\circ\text{C}$:n bensiinillä ja suljetaan.

   Laiturilla aurinko lämmittää kanisterin ja bensiinin $35\,{}^\circ\text{C}$:seen. Bensiinin $\gamma = 0{,}95 \cdot 10^{-3}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ ja teräksen $\alpha = 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$. Kanisterin sisätilavuus kasvaa samoin kuin yhtä suuren teräskappaleen tilavuus.

   Kuinka monta kuutiosenttimetriä bensiiniä pyrkisi valumaan yli, jos korkki avataan? Perustele myös, miksi kanisteria ei täytetä piripintaan, vaikka myös kanisteri laajenee.

   cm³Tarkista
   Vastaus

   $\Delta V_\text{yli} \approx 460\,\text{cm}^3$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   bensiini $V_0 = 20{,}0\,\textsf{l}$, $T_0 = 10\,{}^\circ\text{C}$, $T = 35\,{}^\circ\text{C}$, $\gamma_\text{bensiini} = 0{,}95 \cdot 10^{-3}\,\tfrac{1}{\text{K}}$. Teräskanisteri $\alpha_\text{teräs} = 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ (tehtävässä annettu)

   Kysytty

   yli valuva bensiinin tilavuus $\Delta V_\text{yli}$ kuutiosenttimetreinä ja perustelu, miksi kanisteria ei täytetä piripintaan

   Periaate

   Sekä bensiini että kanisterin sisätila laajenevat. Kanisterin sisätilavuus kasvaa kuin yhtä suuri teräskappale ($\gamma \approx 3\alpha$). Kanisteri oli täynnä, joten yli valuu bensiinin ja sisätilavuuden kasvujen erotus. Kumpikin tilavuus lasketaan samalla kaavalla.

   Kaava

   $\Delta V = \gamma V_0 \Delta T$ kummallekin, $\gamma_\text{teräs} \approx 3\alpha_\text{teräs}$ ja $\Delta V_\text{yli} = \Delta V_\text{bensiini} - \Delta V_\text{kanisteri}$.

   Muunnokset

   $V_0$$= 20{,}0\,\textsf{l}$

   $= 20\,000\,\text{cm}^3$

   koska $1\,\textsf{l} = 1000\,\text{cm}^3$.

   $\Delta T$$= 35\,{}^\circ\text{C} - 10\,{}^\circ\text{C}$

   $= 25\,\text{K}$

   sama kelvineinä.

   Sijoitus

   $\Delta V_\text{bensiini}$

   $= 0{,}95 \cdot 10^{-3}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 20\,000\,\text{cm}^3 \cdot 25\,\text{K}$

   $= 475\,\text{cm}^3$

   $\Delta V_\text{kanisteri}$

   $= 3 \cdot 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 20\,000\,\text{cm}^3 \cdot 25\,\text{K}$

   $= 18\,\text{cm}^3$

   Siis

   $\Delta V_\text{yli}$$= 475\,\text{cm}^3 - 18\,\text{cm}^3$

   $= 457\,\text{cm}^3$

   Vastaus

   $\Delta V_\text{yli} \approx 460\,\text{cm}^3$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Bensiinin kasvua $475\,\text{cm}^3$ rajoittaa kerroin $\gamma = 0{,}95 \cdot 10^{-3}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ (kaksi numeroa). Siksi se tunnetaan vain kymmenien kuutiosenttimetrien tarkkuudella. Erotuksessa $475 - 18$ vähemmän tarkka luku määrää desimaalit, joten tulos pyöristetään kymmeniin: $460\,\text{cm}^3$. Teräksen $\alpha$ ja tilavuus $20{,}0\,\textsf{l}$ vaikuttavat vain pieneen $18\,\text{cm}^3$:n osaan.

   Järkevyys

   Bensiinin kasvu on $0{,}95 \cdot 10^{-3}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 25\,\text{K} = 2{,}4\,\%$ ja kanisterin vain $0{,}09\,\%$. Erotus on siis lähes koko bensiinin kasvu, noin $0{,}46\,\textsf{l}$. Kanisterin laajeneminen ei riitä kompensoimaan, koska bensiinin $\gamma$ on yli 25 kertaa teräksen $\gamma$. Siksi kanisteriin jätetään ilmatilaa.

4. Tehtävä 10-19

   Esimerkkiaineisto: radalle asennetaan teräskiskot ($\alpha = 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$). Kiskot ovat $25{,}0\,\text{m}$ pitkiä. Taulukossa on kiskon lämpötila asennushetkellä sekä vuoden pienin ja suurin lämpötila. Aurinko lämmittää kiskon ilmaa kuumemmaksi. Oletetaan kuten rautatiekiskoissa yleensä, että raon leveyden muutos on yhtä suuri kuin yhden kiskon pituuden muutos. Rako ei saa sulkeutua kesällä. Rako ei saa olla talvella yli $30\,\text{mm}$.

   a) Laske pienin asennusrako, jolla rako ei sulkeudu.

   b) Laske suurin asennusrako, jolla rako ei talvella ole yli $30\,\text{mm}$.

   c) Perustele laskulla, miksi asennusrako $15\,\text{mm}$ kelpaa asennettaessa taulukon lämpötilassa mutta ei asennettaessa talvipakkasella.

   Vastauskenttään tulee kohdan a) tulos millimetreinä.

   Kiskon lämpötilat (esimerkkiaineisto)

   Tilanne	$T\,({}^\circ\text{C})$
   talven alin	−32
   asennus	8
   kesän ylin	52

   mmTarkista
   Vastaus

   $g_\text{min} = 13{,}2\,\text{mm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   teräskiskot, $L_0 = 25{,}0\,\text{m}$, $\alpha = 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ (tehtävässä annettu); kiskon lämpötila talven alin $T_\text{min} = -32\,{}^\circ\text{C}$, asennus $T_\text{as} = 8\,{}^\circ\text{C}$, kesän ylin $T_\text{max} = 52\,{}^\circ\text{C}$ (esimerkkiaineisto); rako ei saa sulkeutua, eikä se saa olla talvella yli $30\,\text{mm}$

   Kysytty

   a) pienin asennusrako $g_\text{min}$; b) suurin asennusrako $g_\text{max}$; c) miksi rako $15\,\text{mm}$ kelpaa asennuslämpötilassa mutta ei talvipakkasella

   Periaate

   Raon leveyden muutos on yhtä suuri kuin yhden kiskon pituuden muutos, $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$. Kesällä kisko pitenee ja rako kapenee. Asennusraon on siis oltava vähintään tämä muutos. Talvella kisko lyhenee ja rako levenee. Asennusrako lisättynä talven muutoksella saa siis olla enintään $30\,\text{mm}$.

   Taulukon lukeminen

   Taulukosta luetaan lämpötilat. Lämpötilan muutos asennuksesta kesään on $\Delta T_\text{kesä} = 52\,{}^\circ\text{C} - 8\,{}^\circ\text{C} = 44\,\text{K}$. Muutos asennuksesta talveen on $\Delta T_\text{talvi} = 8\,{}^\circ\text{C} - (-32\,{}^\circ\text{C}) = 40\,\text{K}$.

   Kaava

   $g_\text{min} = \alpha L_0 \Delta T_\text{kesä}$ ja $g_\text{max} = g_\text{raja} - \alpha L_0 \Delta T_\text{talvi}$, missä $g_\text{raja}$ on talven suurin sallittu rako

   Muunnokset

   Lämpötilan muutos on sama celsiusasteina ja kelvineinä. Pituus on metreinä, joten muutokset tulevat metreinä. Lopuksi $1\,\text{m} = 1000\,\text{mm}$.

   Sijoitus

   a)

   $g_\text{min}$$= 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 25{,}0\,\text{m} \cdot 44\,\text{K}$

   $= 0{,}0132\,\text{m}$

   $= 13{,}2\,\text{mm}$

   b) Talven muutos on

   $12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 25{,}0\,\text{m} \cdot 40\,\text{K}$

   $= 0{,}0120\,\text{m}$

   $= 12{,}0\,\text{mm}$

   joten

   $g_\text{max}$$= 30\,\text{mm} - 12{,}0\,\text{mm}$

   $= 18\,\text{mm}$

   Vastaus

   a) $g_\text{min} = 13{,}2\,\text{mm}$, käytännössä $13\,\text{mm}$, ja b) $g_\text{max} = 18\,\text{mm}$. Kerroin $12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ on kahden numeron arvo, joten tulokset kelpaavat kahteen numeroon pyöristettyinä. Mallivastaus c): rako $15\,\text{mm}$ on välillä $13{,}2\,\text{mm} \ldots 18\,\text{mm}$, joten se kelpaa asennettaessa lämpötilassa $8\,{}^\circ\text{C}$. Kesällä rakoa jää $15\,\text{mm} - 13{,}2\,\text{mm} = 1{,}8\,\text{mm}$. Talvella rako on $15\,\text{mm} + 12{,}0\,\text{mm} = 27\,\text{mm} < 30\,\text{mm}$. Jos kiskot asennettaisiin pakkasella $-32\,{}^\circ\text{C}$ samalla raolla, kisko lämpenisi kesään $\Delta T = 84\,\text{K}$. Se pitenisi $12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 25{,}0\,\text{m} \cdot 84\,\text{K} = 25{,}2\,\text{mm}$. Se on enemmän kuin rako $15\,\text{mm}$. Rako sulkeutuisi, ja kiskot puristuisivat vastakkain. Asennusrako riippuu siis asennuslämpötilasta.

   Järkevyys

   Koko vuoden muutos on

   $12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 25{,}0\,\text{m} \cdot 84\,\text{K}$

   $= 25{,}2\,\text{mm}$

   Se on summa $13{,}2\,\text{mm} + 12{,}0\,\text{mm}$. Välin leveys

   $g_\text{max} - g_\text{min}$$= 18\,\text{mm} - 13{,}2\,\text{mm}$

   $= 4{,}8\,\text{mm}$

   $= 30\,\text{mm} - 25{,}2\,\text{mm}$

   täsmää. Käytännössä rako valitaan välin keskeltä, noin $15\,\text{mm}$. Pitkät kiskot hitsataan nykyään yhteen ilman rakoa.

5. Tehtävä 10-20

   Esimerkkiaineisto: nestelämpömittarin lasipallossa on etanolia. Etanolin tilavuus on $10\,{}^\circ\text{C}$:ssa $1{,}00\,\text{cm}^3$, ja se täyttää pallon täsmälleen. Etanoli nousee pallosta ohueen lasiputkeen eli kapillaariputkeen. Putken sisäsäde on $0{,}30\,\text{mm}$. Käytä etanolille $\gamma = 1{,}1 \cdot 10^{-3}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ ja lasille $\alpha = 9{,}0 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$. Oleta kertoimet vakioiksi lämpötilavälillä $10\,{}^\circ\text{C} \ldots 30\,{}^\circ\text{C}$. Pallon sisätilavuus kasvaa kuin yhtä suuri lasikappale. Kapillaarin poikkipinta-ala oletetaan vakioksi.

   a) Laske, kuinka monta millimetriä etanolipylväs nousee kapillaarissa, kun lämpötila nousee $10\,{}^\circ\text{C}$:sta $30\,{}^\circ\text{C}$:seen.

   b) Kuinka monta prosenttia suurempi nousu saataisiin, jos pallon laajeneminen jätettäisiin huomiotta?

   c) Laske, kuinka paljon vesi nousisi samassa laitteessa. Perustele laskulla, miksi vesi ei sovi nestelämpömittarin nesteeksi.

   Vastauskenttään tulee kohdan a) tulos millimetreinä.

   mmTarkista
   Vastaus

   $h \approx 75{,}9\,\text{mm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   etanoli $V_0 = 1{,}00\,\text{cm}^3$ lämpötilassa $10\,{}^\circ\text{C}$, $\gamma_\text{etanoli} = 1{,}1 \cdot 10^{-3}\,\tfrac{1}{\text{K}}$; lasipallo $\alpha_\text{lasi} = 9{,}0 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}}$; kapillaarin sisäsäde $r = 0{,}30\,\text{mm}$; lämpötila $10\,{}^\circ\text{C} \rightarrow 30\,{}^\circ\text{C}$ (esimerkkiaineisto)

   Kysytty

   a) pylvään nousu $h$ millimetreinä; b) kuinka paljon suurempi nousu olisi ilman pallon laajenemista; c) nousu vedellä ja perustelu, miksi vesi ei sovi

   Periaate

   Etanoli laajenee enemmän kuin sen sisältävä lasipallo. Etanolin tilavuuden kasvusta se osa, joka ei mahdu laajentuneeseen palloon, nousee kapillaariin. Lasipallon sisätilavuus kasvaa kuin yhtä suuri lasikappale, joten $\gamma_\text{lasi} \approx 3\alpha$. Putkeen siirtyvä tilavuus on sylinterin tilavuus $A h$, missä $A = \pi r^2$.

   Kaava

   $\Delta V_\text{etanoli} = \gamma V_0 \Delta T$, $\Delta V_\text{pallo} = 3\alpha V_0 \Delta T$ ja $A h = \Delta V_\text{etanoli} - \Delta V_\text{pallo}$, josta

   $h$$= \dfrac{\Delta V_\text{etanoli} - \Delta V_\text{pallo}}{\pi r^2}$

   Muunnokset

   $V_0$$= 1{,}00\,\text{cm}^3$

   $= 1000\,\text{mm}^3$

   jotta tilavuudet ja kapillaarin ala ovat samassa yksikössä. Lisäksi

   $\Delta T$$= 30\,{}^\circ\text{C} - 10\,{}^\circ\text{C}$

   $= 20\,\text{K}$

   Kapillaarin ala on

   $A$$= \pi \cdot (0{,}30\,\text{mm})^2$

   $= 0{,}283\,\text{mm}^2$

   Sijoitus

   $\Delta V_\text{etanoli}$$= 1{,}1 \cdot 10^{-3}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 1000\,\text{mm}^3 \cdot 20\,\text{K}$

   $= 22{,}0\,\text{mm}^3$

   $\Delta V_\text{pallo}$$= 3 \cdot 9{,}0 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 1000\,\text{mm}^3 \cdot 20\,\text{K}$

   $= 0{,}54\,\text{mm}^3$

   Siis

   $h$$= \dfrac{22{,}0\,\text{mm}^3 - 0{,}54\,\text{mm}^3}{0{,}283\,\text{mm}^2}$

   $= 75{,}9\,\text{mm}$

   Vastaus

   a) $h \approx 75{,}9\,\text{mm}$, kolme merkitsevää numeroa laskettuna. Kertoimet $1{,}1 \cdot 10^{-3}$ ja $9{,}0 \cdot 10^{-6}$ ovat 2–3 numeron arvoja, joten käytännössä nousu on noin $76\,\text{mm}$. Mallivastaus b): ilman pallon laajenemista nousu olisi $\dfrac{22{,}0\,\text{mm}^3}{0{,}283\,\text{mm}^2} = 77{,}8\,\text{mm}$. Se on $\dfrac{77{,}8\,\text{mm} - 75{,}9\,\text{mm}}{75{,}9\,\text{mm}} = 2{,}5\,\%$ suurempi. Pallon laajeneminen on siis pieni mutta ei mitätön korjaus. Mallivastaus c): vedellä $\gamma = 0{,}21 \cdot 10^{-3}\,\tfrac{1}{\text{K}}$ tilavuuden kasvu olisi $4{,}2\,\text{mm}^3$. Pallon osuus $0{,}54\,\text{mm}^3$ jättää siitä $3{,}66\,\text{mm}^3$, eli nousuksi tulisi vain $12{,}9\,\text{mm}$. Se on alle viidesosa etanolin noususta. Asteikko olisi tiheä ja lukemisen epätarkkuus suuri. Lisäksi vesi kutistuu välillä $0\,{}^\circ\text{C} \ldots 4\,{}^\circ\text{C}$ ja jäätyy, joten pylväs ei toimisi kylmässä oikein.

   Järkevyys

   Asteikon tiheys on

   $\dfrac{75{,}9\,\text{mm}}{20\,\text{K}}$$= 3{,}8\,\tfrac{\text{mm}}{\text{K}}$

   joten yhden asteen lukeminen onnistuu. Pylvään pituus $76\,\text{mm}$ mahtuu tavalliseen lämpömittariin. Etanolin suhteellinen tilavuuden kasvu on $1{,}1 \cdot 10^{-3}\,\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 20\,\text{K} = 2{,}2\,\%$ ja pallon vain $0{,}054\,\%$. Pallon vaikutus on siis pieni, kuten tulos osoittaa.