Aineen lämpeneminen ja jäähtyminen: $Q = cm\Delta T$

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 7-1Ydintehtävä

   Kahvinkeittimen säiliöön kaadetaan $1{,}8\,\text{kg}$ vettä, jonka lämpötila on $12\,{}^\circ\text{C}$. Keitin lämmittää veden $96\,{}^\circ\text{C}$:seen. Kuinka suuri lämpömäärä veteen siirtyy? Anna vastaus megajouleina.

   MJTarkista
   Vastaus

   $0{,}63\,\text{MJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vesi, $m = 1{,}8\,\text{kg}$, $T_\text{alku} = 12\,{}^\circ\text{C}$, $T_\text{loppu} = 96\,{}^\circ\text{C}$; taulukosta $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$

   Kysytty

   veteen siirtyvä lämpömäärä $Q$ megajouleina

   Periaate

   Vesi lämpenee eikä sen olomuoto muutu, joten siihen siirtyvä lämpömäärä on verrannollinen massaan ja lämpötilan muutokseen.

   Kaava

   $Q = c m \Delta T$, missä $\Delta T = T_\text{loppu} - T_\text{alku}$

   Muunnokset

   Lämpötilan muutos on sama celsiusasteina ja kelvineinä, joten

   $\Delta T$$= 96\,{}^\circ\text{C} - 12\,{}^\circ\text{C}$

   $= 84\,\text{K}$

   Lopuksi $1\,\text{MJ} = 10^6\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $Q$$= 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 1{,}8\,\text{kg} \cdot 84\,\text{K}$

   $= 633\,528\,\text{J}$

   $= 0{,}633\,528\,\text{MJ}$

   Vastaus

   $0{,}63\,\text{MJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $1{,}8\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Yhden kilogramman lämmittäminen yhdellä kelvinillä vaatii noin $4\,\text{kJ}$, joten lähes kahden kilon lämmittäminen noin $80\,\text{K}$ vaatii noin $4\,\text{kJ} \cdot 2 \cdot 80 \approx 0{,}6\,\text{MJ}$. $Q$ on positiivinen, koska vesi lämpenee.

2. Tehtävä 7-2Ydintehtävä

   Valurautainen paistinpannu, jonka massa on $2{,}4\,\text{kg}$, nostetaan liedeltä mökin pöydälle. Pannun lämpötila laskee $220\,{}^\circ\text{C}$:sta $25\,{}^\circ\text{C}$:seen. Kuinka suuren lämpömäärän pannu luovuttaa ympäristöön? Anna vastaus kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $210\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   rauta, $m = 2{,}4\,\text{kg}$, $T_\text{alku} = 220\,{}^\circ\text{C}$, $T_\text{loppu} = 25\,{}^\circ\text{C}$; taulukosta $c = 450\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$

   Kysytty

   pannun luovuttama lämpömäärä kilojouleina

   Periaate

   Pannu jäähtyy, eikä sen olomuoto muutu. Pannun luovuttama lämpömäärä on verrannollinen massaan ja lämpötilan laskuun. Luovutettu lämpömäärä ilmoitetaan positiivisena.

   Kaava

   Luovutettu lämpömäärä $Q_\text{luov} = c m (T_\text{alku} - T_\text{loppu})$

   Muunnokset

   Lämpötilan lasku on $220\,{}^\circ\text{C} - 25\,{}^\circ\text{C} = 195\,\text{K}$, sama kelvineinä. Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $Q_\text{luov}$$= 450\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 2{,}4\,\text{kg} \cdot 195\,\text{K}$

   $= 210\,600\,\text{J}$

   $= 210{,}6\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $210\,\text{kJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $2{,}4\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Raudan $c$ on pieni. Siksi raskas pannu luovuttaa suuresta jäähtymisestä huolimatta vain noin kolmasosan siitä energiasta, joka tarvitaan kahvinkeittimen $1{,}8\,\text{kg}$:n vesimäärän lämmittämiseen ($0{,}63\,\text{MJ}$).

3. Tehtävä 7-3

   Lasten hiekkalaatikossa on $50\,\text{kg}$ hiekkaa. Aurinko lämmittää hiekan aamupäivän aikana $14\,{}^\circ\text{C}$:sta $32\,{}^\circ\text{C}$:seen. Kuinka suuri lämpömäärä hiekkaan siirtyy? Anna vastaus kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $720\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   hiekka, $m = 50\,\text{kg}$, $T_\text{alku} = 14\,{}^\circ\text{C}$, $T_\text{loppu} = 32\,{}^\circ\text{C}$; taulukosta $c = 800\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$

   Kysytty

   hiekkaan siirtyvä lämpömäärä $Q$ kilojouleina

   Periaate

   Hiekka lämpenee eikä sen olomuoto muutu, joten siihen siirtyvä lämpömäärä on verrannollinen massaan ja lämpötilan muutokseen.

   Kaava

   $Q = c m \Delta T$, missä $\Delta T = T_\text{loppu} - T_\text{alku}$

   Muunnokset

   $\Delta T$$= 32\,{}^\circ\text{C} - 14\,{}^\circ\text{C}$

   $= 18\,\text{K}$

   sama kelvineinä. Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $Q$$= 800\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 50\,\text{kg} \cdot 18\,\text{K}$

   $= 720\,000\,\text{J}$

   $= 720\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $720\,\text{kJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $50\,\text{kg}$ ja muutoksessa $18\,\text{K}$.

   Järkevyys

   Sama lämpömäärä nostaisi $50\,\text{kg}$:n vesimäärän lämpötilaa vain noin $3{,}4\,\text{K}$, koska veden $c$ on viisinkertainen. Siksi hiekka kuumenee rannalla vettä nopeammin.

4. Tehtävä 7-4

   Mökin paljussa on $1200\,\text{kg}$ vettä. Yön aikana vesi jäähtyy $38{,}0\,{}^\circ\text{C}$:sta $31{,}0\,{}^\circ\text{C}$:seen. Kuinka suuri on veteen siirtyvä lämpömäärä $Q$? Anna vastaus etumerkkeineen megajouleina (negatiivinen $Q$ tarkoittaa, että vesi luovuttaa lämpöä).

   MJTarkista
   Vastaus

   $-35\,\text{MJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vesi, $m = 1200\,\text{kg}$, $T_\text{alku} = 38{,}0\,{}^\circ\text{C}$, $T_\text{loppu} = 31{,}0\,{}^\circ\text{C}$; taulukosta $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$

   Kysytty

   veteen siirtyvä lämpömäärä $Q$ etumerkkeineen megajouleina

   Periaate

   Vesi jäähtyy, eikä sen olomuoto muutu. Lasketaan $\Delta T$ näin: loppu miinus alku. Silloin kaava antaa jäähtymiselle negatiivisen $Q$:n. Se tarkoittaa, että vesi luovuttaa lämpöä.

   Kaava

   $Q = c m \Delta T$, missä $\Delta T = T_\text{loppu} - T_\text{alku}$

   Muunnokset

   $\Delta T$$= 31{,}0\,{}^\circ\text{C} - 38{,}0\,{}^\circ\text{C}$

   $= -7{,}0\,\text{K}$

   sama kelvineinä. Lopuksi $1\,\text{MJ} = 10^6\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $Q$$= 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 1200\,\text{kg} \cdot (-7{,}0\,\text{K})$

   $= -35\,196\,000\,\text{J}$

   $\approx -35{,}2\,\text{MJ}$

   Vastaus

   $-35\,\text{MJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Lämpötilan muutos $7{,}0\,\text{K}$ tunnetaan nimittäin kahden numeron tarkkuudella.

   Järkevyys

   $Q$ on negatiivinen, koska vesi jäähtyy. Paljussa on paljon vettä. Siksi jo muutaman kelvinin jäähtyminen vapauttaa kymmeniä megajouleja:

   $4\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 1200\,\text{kg} \cdot 7\,\text{K}$

   $\approx 34\,\text{MJ}$
5. Tehtävä 7-5

   Kylmälaukkuun laitetaan pakastimesta $0{,}50\,\text{kg}$:n jääpussi. Jään lämpötila nousee $-22\,{}^\circ\text{C}$:sta $-4{,}0\,{}^\circ\text{C}$:seen, eikä jää vielä sula. Kuinka suuri lämpömäärä jäähän siirtyy? Anna vastaus kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $19\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jää, $m = 0{,}50\,\text{kg}$, $T_\text{alku} = -22\,{}^\circ\text{C}$, $T_\text{loppu} = -4{,}0\,{}^\circ\text{C}$; taulukosta $c = 2100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$

   Kysytty

   jäähän siirtyvä lämpömäärä $Q$ kilojouleina

   Periaate

   Jää lämpenee mutta ei sula, koska loppulämpötila on alle $0\,{}^\circ\text{C}$. Siksi riittää $Q = c m \Delta T$ jään ominaislämpökapasiteetilla. Sulamislämpöä ei tarvita.

   Kaava

   $Q = c m \Delta T$, missä $\Delta T = T_\text{loppu} - T_\text{alku}$

   Muunnokset

   $\Delta T$$= -4{,}0\,{}^\circ\text{C} - (-22\,{}^\circ\text{C})$

   $= 18\,\text{K}$

   sama kelvineinä. Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $Q$$= 2100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}50\,\text{kg} \cdot 18\,\text{K}$

   $= 18\,900\,\text{J}$

   $= 18{,}9\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $19\,\text{kJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}50\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Lämpötila nousee, joten $Q$ on positiivinen. Ole tarkka, kun vähennät miinusmerkkisiä lukemia: muutos on $18\,\text{K}$, ei $26\,\text{K}$. Jään $c$ on noin puolet veden arvosta. Siksi sama lämpötilan muutos vaatisi $0{,}50\,\text{kg}$:lle nestemäistä vettä noin kaksinkertaisen lämpömäärän.

6. Tehtävä 7-6

   Rannalla auringonvalo antaa $1{,}0\,\text{kg}$:lle vettä ja $1{,}0\,\text{kg}$:lle kuivaa hiekkaa saman lämpömäärän. Hiekka lämpenee selvästi enemmän kuin vesi. Mikä tämän selittää?

   Valitse vaihtoehto.

   • Vesi heijastaa auringonvalon takaisin, joten siihen siirtyy vähemmän lämpöä kuin hiekkaan.
   • Veden ominaislämpökapasiteetti on suurempi, joten sama lämpömäärä nostaa sen lämpötilaa vähemmän.
   • Lämpötilan muutos riippuu vain massasta ja lämpömäärästä, joten aine ei vaikuta siihen.
   • Hiekka on tiheämpää kuin vesi, joten sama lämpömäärä nostaa sen lämpötilaa enemmän.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Veden ominaislämpökapasiteetti on suurempi, joten sama lämpömäärä nostaa sen lämpötilaa vähemmän.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   miksi hiekka lämpenee enemmän kuin vesi, kun massat ja lämpömäärät ovat samat

   Periaate

   Kun olomuoto ei muutu, lämpötilan muutos on $\Delta T = \dfrac{Q}{c m}$. Samalla $Q$:lla ja $m$:llä $\Delta T$ riippuu vain ominaislämpökapasiteetista $c$. Ominaislämpökapasiteetti kertoo, kuinka paljon lämpöä yksi kilogramma ainetta tarvitsee, jotta sen lämpötila nousee yhden kelvinin. Mitä suurempi $c$ on, sitä pienempi $\Delta T$ on.

   Mallivastaus

   Veden ominaislämpökapasiteetti $4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ on suurempi kuin hiekan $800\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$. Siksi sama lämpömäärä nostaa veden lämpötilaa vähemmän kuin hiekan. Selitys ei ole tiheys. Massat ovat samat, eikä tiheys ole kaavassa. Heijastuminen ei myöskään selitä eroa, koska molemmat saavat tehtävässä saman lämpömäärän. Aine vaikuttaa, sillä $c$ on mukana kaavassa $Q = c m \Delta T$.

7. Tehtävä 7-7

   Kuparisen kahvipannun massa on $0{,}50\,\text{kg}$. Pannu saa liedeltä lämpömäärän $15\,\text{kJ}$. Pannusta ei siirry lämpöä ympäristöön. Kuinka monta kelviniä pannun lämpötila nousee?

   KTarkista
   Vastaus

   $78\,\text{K}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kupari, $m = 0{,}50\,\text{kg}$, $Q = 15\,\text{kJ}$; taulukosta $c = 385\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$

   Kysytty

   lämpötilan nousu $\Delta T$ kelvineinä

   Periaate

   Pannu lämpenee, eikä sen olomuoto muutu. Lämpöä ei myöskään siirry ympäristöön. Siksi koko lämpömäärä $Q$ nostaa pannun lämpötilaa. Kaavassa $Q = c m \Delta T$ tuntematon on $\Delta T$.

   Kaava

   $Q = c m \Delta T$, joten $\Delta T = \dfrac{Q}{c m}$

   Muunnokset

   $15\,\text{kJ}$$= 15 \cdot 1000\,\text{J}$

   $= 15\,000\,\text{J}$

   Sijoitus

   $\Delta T$$= \dfrac{15\,000\,\text{J}}{385\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}50\,\text{kg}}$

   $= 77{,}9\,\text{K}$

   Vastaus

   $78\,\text{K}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}50\,\text{kg}$ ja lämpömäärässä $15\,\text{kJ}$.

   Järkevyys

   Tarkista laskemalla takaisin:

   $385\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}50\,\text{kg} \cdot 77{,}9\,\text{K}$

   $\approx 15\,000\,\text{J}$

   kuten annettu lämpömäärä. Kuparin $c$ on pieni. Siksi puolen kilon pannu lämpenee kymmeniä kelvinejä jo $15\,\text{kJ}$:lla.

8. Tehtävä 7-8

   Alumiinisen keittokattilan massa on $0{,}60\,\text{kg}$.

   a) Laske kattilan lämpökapasiteetti $C$.

   b) Kuinka suuri lämpömäärä tarvitaan kattilan lämmittämiseen $18\,{}^\circ\text{C}$:sta $78\,{}^\circ\text{C}$:seen? Anna b)-kohdan tulos kilojouleina vastauslaatikkoon.

   kJTarkista
   Vastaus

   $32\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alumiini, $m = 0{,}60\,\text{kg}$, $T_\text{alku} = 18\,{}^\circ\text{C}$, $T_\text{loppu} = 78\,{}^\circ\text{C}$; taulukosta $c = 900\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$

   Kysytty

   a) lämpökapasiteetti $C$; b) lämmittämiseen tarvittava lämpömäärä $Q$ kilojouleina

   Periaate

   Lämpökapasiteetti $C = c m$ kertoo, kuinka paljon energiaa koko kattilan lämmittäminen yhdellä kelvinillä vaatii. Kattila lämpenee, eikä sen olomuoto muutu. Siksi $Q = C \Delta T$.

   Kaava

   $C = c m$ ja $Q = C \Delta T$, missä $\Delta T = T_\text{loppu} - T_\text{alku}$

   Muunnokset

   $\Delta T$$= 78\,{}^\circ\text{C} - 18\,{}^\circ\text{C}$

   $= 60\,\text{K}$

   sama kelvineinä. Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $C$$= 900\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}60\,\text{kg}$

   $= 540\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}$

   $Q$$= 540\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}} \cdot 60\,\text{K}$

   $= 32\,400\,\text{J}$

   $= 32{,}4\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $32\,\text{kJ}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}60\,\text{kg}$. Lämpökapasiteetti on $540\,\text{J/K}$.

   Järkevyys

   Saman lämpötilan muutoksen tekeminen $0{,}60\,\text{kg}$:lle vettä vaatisi

   $4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}60\,\text{kg} \cdot 60\,\text{K}$

   $= 150{,}8\,\text{kJ}$

   Se on noin $4{,}7$-kertainen lämpömäärä, koska veden $c$ on noin $4{,}7$-kertainen alumiiniin verrattuna.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 7-9Ydintehtävä

   Teemukiin kaadetaan $160\,\text{g}$ vettä, jonka lämpötila on $95\,{}^\circ\text{C}$. Tee on liian kuumaa juotavaksi. Siksi joukkoon lisätään $40\,\text{g}$ kylmää vettä, jonka lämpötila on $8{,}0\,{}^\circ\text{C}$.

   Mikä on veden lämpötila sekoittamisen jälkeen? Oleta, ettei lämpöä siirry mukiin eikä ilmaan.

   °CTarkista
   Vastaus

   $78\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuuma vesi $m_1 = 160\,\text{g}$, $T_1 = 95\,{}^\circ\text{C}$; kylmä vesi $m_2 = 40\,\text{g}$, $T_2 = 8{,}0\,{}^\circ\text{C}$; molemmat vettä, ei lämpöhäviöitä

   Kysytty

   tasapainolämpötila $T$

   Periaate

   Energia säilyy. Lämpöä ei siirry mukiin eikä ilmaan. Silloin kuuman veden luovuttama lämpömäärä on yhtä suuri kuin kylmän veden vastaanottama. Lopussa molemmilla on sama lämpötila $T$.

   Kaava

   $c m_1 (T_1 - T) = c m_2 (T - T_2)$. Sama $c$ supistuu pois. Sitten $T$ ratkeaa:

   $T$$= \dfrac{m_1 T_1 + m_2 T_2}{m_1 + m_2}$

   Muunnokset

   Grammoja ei tarvitse muuntaa kilogrammoiksi. Massa on sekä osoittajassa että nimittäjässä, joten yksikkö supistuu. Lämpötilat voi sijoittaa celsiusasteina. Tasapainoyhtälössä on vain lämpötilaeroja. Ratkaistussa kaavassa painojen summa on nimittäjässä. Siksi asteikon siirto siirtää myös tulosta saman verran.

   Sijoitus

   $T$$= \dfrac{160\,\text{g} \cdot 95\,{}^\circ\text{C} + 40\,\text{g} \cdot 8{,}0\,{}^\circ\text{C}}{160\,\text{g} + 40\,\text{g}}$

   $= \dfrac{15\,200 + 320}{200}\,{}^\circ\text{C}$

   $= 77{,}6\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $78\,{}^\circ\text{C}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lämpötilassa $95\,{}^\circ\text{C}$ ja massassa $40\,\text{g}$.

   Järkevyys

   Tulos on alkulämpötilojen välissä ja lähellä $95\,{}^\circ\text{C}$:ta. Kuumaa vettä on nimittäin neljä kertaa enemmän. Energiatase toteutuu: $160\,\text{g} \cdot 17{,}4\,\text{K} = 40\,\text{g} \cdot 69{,}6\,\text{K}$.

2. Tehtävä 7-10Ydintehtävä

   Sähkölämmitin lämmittää $0{,}50\,\text{kg}$:n metallikappaletta. Lämmittimen teho on koko ajan sama, $100\,\text{W}$. Kuvaajassa on kappaleen lämpötila ajan funktiona.

   Mikä on metallin ominaislämpökapasiteetti? Lue tarvittavat arvot kuvaajasta. Oleta, että kaikki lämmittimen energia siirtyy kappaleeseen.

   J/(kg·K)Tarkista
   Vastaus

   $900\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   teho $P = 100\,\text{W}$, kappaleen massa $m = 0{,}50\,\text{kg}$, lämpötila ajan funktiona kuvaajassa; kaikki lämmittimen energia siirtyy kappaleeseen

   Kysytty

   metallin ominaislämpökapasiteetti $c$

   Periaate

   Energia säilyy. Kaikki lämmittimen energia siirtyy kappaleeseen. Silloin lämmittimen ajassa $t$ antama energia $Pt$ on yhtä suuri kuin kappaleen lämmittämiseen tarvittava lämpömäärä $cm\Delta T$. Kuvaajasta saadaan aika ja lämpötilan muutos.

   Kuvaajan lukeminen

   Suora alkaa ruudukon risteyksestä $(0\,\text{s}$; $20\,{}^\circ\text{C})$. Se päättyy risteykseen $(180\,\text{s}$; $60\,{}^\circ\text{C})$. Lämmitysaika on siis

   $t$$= 180\,\text{s} - 0\,\text{s}$

   $= 180\,\text{s}$

   Lämpötilan muutos on

   $\Delta T$$= 60\,{}^\circ\text{C} - 20\,{}^\circ\text{C}$

   $= 40\,\text{K}$

   Kaava

   $Pt = cm\Delta T$, josta $c = \dfrac{Pt}{m\Delta T}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: $1\,\text{W} \cdot 1\,\text{s} = 1\,\text{J}$. Lämpötilojen erotus on sama celsiusasteina ja kelvineinä.

   Sijoitus

   $c$$= \dfrac{100\,\text{W} \cdot 180\,\text{s}}{0{,}50\,\text{kg} \cdot 40\,\text{K}}$

   $= \dfrac{18\,000\,\text{J}}{20\,\text{kg}\cdot\text{K}}$

   $= 900\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$

   Vastaus

   $900\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}50\,\text{kg}$. Kuvaajan arvot luetaan tarkasti ruudukosta. Siksi hyväksytään $870\ldots930\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$.

   Järkevyys

   Arvo on sama kuin alumiinin ominaislämpökapasiteetti taulukossa, joten kappale voi olla alumiinia. Arvo on selvästi pienempi kuin veden $4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$. Se sopii siihen, että metalli lämpenee nopeasti. Yksiköt: $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$.

3. Tehtävä 7-11

   Mökin lämminvesivaraajassa on $80\,\text{kg}$ vettä, jonka lämpötila on $9{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Varaajan sähkövastus luovuttaa veteen lämpömäärän $15\,\text{MJ}$. Mikä on veden loppulämpötila? Lämpöhäviöitä ei oteta huomioon.

   °CTarkista
   Vastaus

   $54\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vesi $m = 80\,\text{kg}$, $T_\text{alku} = 9{,}0\,{}^\circ\text{C}$, $Q = 15\,\text{MJ}$; taulukosta $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$; ei lämpöhäviöitä

   Kysytty

   loppulämpötila $T_\text{loppu}$

   Periaate

   Kaikki vastuksen luovuttama lämpö siirtyy veteen ja kasvattaa sen sisäenergiaa. Vesi lämpenee kiehumatta, joten $Q = c m \Delta T$. Ensin ratkaistaan lämpötilan muutos. Sitten se lisätään alkulämpötilaan.

   Kaava

   $\Delta T = \dfrac{Q}{c m}$, joten

   $T_\text{loppu}$$= T_\text{alku} + \dfrac{Q}{c m}$

   Muunnokset

   $Q$$= 15\,\text{MJ}$

   $= 15 \cdot 10^6\,\text{J}$

   $= 15\,000\,000\,\text{J}$

   Kelvineinä saatu muutos lisätään suoraan celsiuslukemaan. Asteikkojen askel on nimittäin sama.

   Sijoitus

   $\Delta T$$= \dfrac{15\,000\,000\,\text{J}}{4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 80\,\text{kg}}$

   $= 44{,}75\,\text{K}$

   joten

   $T_\text{loppu}$$= 9{,}0\,{}^\circ\text{C} + 44{,}75\,{}^\circ\text{C}$

   $= 53{,}75\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $54\,{}^\circ\text{C}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lämpömäärässä $15\,\text{MJ}$ ja massassa $80\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Lämpötilan muutos lisätään alkulämpötilaan. Siksi vastaukseksi ei kelpaa pelkkä $45\,\text{K}$. Noin $54\,{}^\circ\text{C}$ on tavallinen lämminvesivaraajan lämpötila, ja vesi pysyy nesteenä.

4. Tehtävä 7-12

   Saunan lauteilla on lämmennyt alumiininen kauha. Kauhan massa on $0{,}25\,\text{kg}$ ja lämpötila $95\,{}^\circ\text{C}$. Kauha pudotetaan kiuluun, jossa on $0{,}40\,\text{kg}$ vettä, jonka lämpötila on $18\,{}^\circ\text{C}$.

   Mikä on veden ja kauhan yhteinen loppulämpötila? Oleta, ettei lämpöä siirry kiuluun eikä ilmaan.

   °CTarkista
   Vastaus

   $27\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alumiini $m_1 = 0{,}25\,\text{kg}$, $T_1 = 95\,{}^\circ\text{C}$; vesi $m_2 = 0{,}40\,\text{kg}$, $T_2 = 18\,{}^\circ\text{C}$; taulukosta $c_1 = 900\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$, $c_2 = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$; ei lämpöhäviöitä

   Kysytty

   yhteinen loppulämpötila $T$

   Periaate

   Energia säilyy. Kauhan luovuttama lämpömäärä on yhtä suuri kuin veden vastaanottama. Lopussa molemmilla on sama lämpötila. Aineet ovat eri, joten ominaislämpökapasiteetit eivät supistu.

   Kaava

   $c_1 m_1 (T_1 - T) = c_2 m_2 (T - T_2)$, josta

   $T$$= \dfrac{c_1 m_1 T_1 + c_2 m_2 T_2}{c_1 m_1 + c_2 m_2}$

   Muunnokset

   Massat ovat jo kilogrammoina. Lämpötilat voi sijoittaa celsiusasteina. Tasapainoyhtälössä on vain lämpötilaeroja. Ratkaistussa kaavassa painojen summa on nimittäjässä. Siksi asteikon siirto siirtää myös tulosta saman verran.

   Sijoitus

   $c_1 m_1$$= 900\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}25\,\text{kg}$

   $= 225\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}$

   $c_2 m_2$$= 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}40\,\text{kg}$

   $= 1676\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}$

   joten

   $T$$= \dfrac{225\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}} \cdot 95\,{}^\circ\text{C} + 1676\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}} \cdot 18\,{}^\circ\text{C}}{1901\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}}$

   $= 27{,}11\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $27\,{}^\circ\text{C}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massoissa.

   Järkevyys

   Veden lämpökapasiteetti on noin 7,5-kertainen kauhan lämpökapasiteettiin verrattuna. Siksi kauha jäähtyy noin $68\,\text{K}$, mutta vesi lämpenee vain noin $9\,\text{K}$. Lämpötilojen keskiarvo $56{,}5\,{}^\circ\text{C}$ olisi väärin.

5. Tehtävä 7-13

   Kalorimetrissä lämmitetään sähkövastuksella $0{,}50\,\text{kg}$ tuntematonta nestettä. Teho on koko ajan sama, $100\,\text{W}$. Kalorimetri on eristetty astia, jossa lämmitetään nestettä. Lämpötila mitataan minuutin välein. Tulokset ovat taulukossa (esimerkkiaineisto). Oleta, että kaikki vastuksen energia siirtyy nesteeseen.

   a) Vedä lämpötila-aikakuvaajaan suora pisteiden lomaan. Se kulkee likimain pisteiden $(0\,\text{s};\ 20{,}0\,{}^\circ\text{C})$ ja $(300\,\text{s};\ 34{,}5\,{}^\circ\text{C})$ kautta. Laske suoran kulmakertoimen avulla nesteen ominaislämpökapasiteetti.

   b) Mikä neste on kyseessä? Perustele taulukon $c$-arvoilla.

   c) Nimeä yksi tapa pienentää lämpöhäviöitä tällaisessa kokeessa. Perustele, miksi se parantaa tulosta.

   Anna a)-kohdan tulos vastauslaatikkoon.

   Nesteen lämpötila lämmityksen aikana (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{s})$	$T\,({}^\circ\text{C})$
   0	20,0
   60	22,8
   120	25,8
   180	28,9
   240	31,6
   300	34,5

   J/(kg·K)Tarkista
   Vastaus

   $4100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 0{,}50\,\text{kg}$, $P = 100\,\text{W}$; suoran päät $(0\,\text{s}$; $20{,}0\,{}^\circ\text{C})$ ja $(300\,\text{s}$; $34{,}5\,{}^\circ\text{C})$; kaikki vastuksen energia siirtyy nesteeseen

   Kysytty

   nesteen ominaislämpökapasiteetti $c$ yksikössä $\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$

   Periaate

   Kun teho on vakio, nesteeseen siirtyvä lämpömäärä on $Q = P t$. Kun olomuoto ei muutu, $Q = c m \Delta T$. Siksi $P t = c m \Delta T$.

   Kuvaajan lukeminen

   Pisteet ovat lähellä suoraa. Suora antaa ajalla $120\,\text{s}$ arvon $25{,}8\,{}^\circ\text{C}$ ja ajalla $240\,\text{s}$ arvon $31{,}6\,{}^\circ\text{C}$, kuten taulukossa. Suoran päistä saadaan lämpötilan muutos

   $\Delta T$$= 34{,}5\,{}^\circ\text{C} - 20{,}0\,{}^\circ\text{C}$

   $= 14{,}5\,\text{K}$

   ajassa $\Delta t = 300\,\text{s}$. Kulmakerroin on siis

   $\dfrac{\Delta T}{\Delta t}$$= \dfrac{14{,}5\,\text{K}}{300\,\text{s}}$

   $= 0{,}0483\,\tfrac{\text{K}}{\text{s}}$

   Kaava

   $P t = c m \Delta T$, joten

   $c$$= \dfrac{P}{m} \cdot \dfrac{\Delta t}{\Delta T}$

   Muunnokset

   Teho $100\,\text{W} = 100\,\tfrac{\text{J}}{\text{s}}$ ja aika sekunteina ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita. Lämpötilan muutos on sama celsiusasteina ja kelvineinä.

   Sijoitus

   $c$$= \dfrac{100\,\tfrac{\text{J}}{\text{s}}}{0{,}50\,\text{kg} \cdot 0{,}0483\,\tfrac{\text{K}}{\text{s}}}$

   $= 4138\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$

   Vastaus

   $4100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}50\,\text{kg}$. b) Neste on vettä. Taulukon arvo $4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ poikkeaa tuloksesta vain noin $1\,\%$. Muiden taulukon aineiden arvo ($2100$ tai pienempi) ei ole lähelläkään. c) Lämpöhäviöitä voi pienentää kalorimetrin eristyksellä ja kannella. Silloin lämpöä ei karkaa ympäristöön eikä nestettä haihdu. Suurempi osa vastuksen energiasta nostaa nesteen lämpötilaa, joten $c$ ei tule laskettua liian suureksi.

   Järkevyys

   Energiatase: vastus antaa $100\,\text{W} \cdot 300\,\text{s} = 30\,000\,\text{J}$. Neste vastaanottaa

   $4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}50\,\text{kg} \cdot 14{,}5\,\text{K}$

   $= 30\,378\,\text{J}$

   Luvut eroavat noin $1\,\%$. Se on mittausten epätarkkuuden suuruinen, joten häviöt ovat tällä välillä pienet.

6. Tehtävä 7-14

   Kahta nestettä, A ja B, lämmitetään kahdessa samanlaisessa kalorimetrissä. Sähkövastuksen teho on kummassakin sama. Kummassakin on $0{,}40\,\text{kg}$ nestettä. Toinen neste on vettä ja toinen öljyä. Lämpötilat mitataan puolen minuutin välein (esimerkkiaineisto). Oleta, että kaikki vastuksen energia siirtyy nesteeseen.

   a) Kumpi neste on vettä? Perustele.

   b) Laske öljyn ominaislämpökapasiteetti käyttämällä veden taulukkoarvoa. Vertaa nesteiden lämpötilan nousua ajassa $120\,\text{s}$.

   Anna b)-kohdan tulos vastauslaatikkoon.

   Nesteiden lämpötilat lämmityksen aikana (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{s})$	$T_\text{A}\,({}^\circ\text{C})$	$T_\text{B}\,({}^\circ\text{C})$
   0	20,0	20,0
   30	24,6	22,4
   60	29,0	24,4
   90	33,6	26,9
   120	38,1	29,0

   J/(kg·K)Tarkista
   Vastaus

   $2100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kummassakin $m = 0{,}40\,\text{kg}$, sama teho $P$ ja sama aika; ajassa $120\,\text{s}$ nesteen A lämpötila nousee $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$:sta $38{,}1\,{}^\circ\text{C}$:seen ja nesteen B $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$:sta $29{,}0\,{}^\circ\text{C}$:seen; taulukosta veden $c_\text{v} = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$

   Kysytty

   a) kumpi neste on vettä; b) öljyn ominaislämpökapasiteetti $c_\text{ö}$

   Periaate

   Sama teho samassa ajassa antaa kummallekin nesteelle saman lämpömäärän $Q$. Massat ovat samat. Koska $Q = c m \Delta T$, tulo $c\,\Delta T$ on kummallakin sama. Siksi suuremman $c$:n neste lämpenee vähemmän.

   Kuvaajan lukeminen

   Taulukon lämpötilat nousevat tasaisesti. Neste A lämpenee noin $4{,}5\,\text{K}$ ja neste B noin $2{,}3\,\text{K}$ jokaisessa $30\,\text{s}$:n välissä. Siksi koko ajan $120\,\text{s}$ muutokset ovat

   $\Delta T_\text{A}$$= 38{,}1\,{}^\circ\text{C} - 20{,}0\,{}^\circ\text{C}$

   $= 18{,}1\,\text{K}$

   $\Delta T_\text{B}$$= 29{,}0\,{}^\circ\text{C} - 20{,}0\,{}^\circ\text{C}$

   $= 9{,}0\,\text{K}$

   Neste B lämpenee hitaammin. Siksi B on vettä ja A öljyä.

   Kaava

   $c_\text{ö}\, m\, \Delta T_\text{A} = c_\text{v}\, m\, \Delta T_\text{B}$, joten

   $c_\text{ö}$$= c_\text{v} \cdot \dfrac{\Delta T_\text{B}}{\Delta T_\text{A}}$

   Muunnokset

   Massa $m$ ja lämpömäärä $Q$ supistuvat pois, joten muunnoksia ei tarvita. Lämpötilan muutos on sama celsiusasteina ja kelvineinä.

   Sijoitus

   $c_\text{ö}$$= 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot \dfrac{9{,}0\,\text{K}}{18{,}1\,\text{K}}$

   $= 2083\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$

   Vastaus

   $2100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}40\,\text{kg}$ ja muutoksessa $9{,}0\,\text{K}$.

   Järkevyys

   Öljy lämpenee noin $2{,}0$-kertaisesti veteen verrattuna ($18{,}1\,\text{K} : 9{,}0\,\text{K} \approx 2{,}0$). Siksi sen $c$ on noin puolet veden arvosta: $4190 : 2 \approx 2100$. Tulos on uskottava, koska vedellä on tavallisista nesteistä suurin ominaislämpökapasiteetti.

7. Tehtävä 7-15

   Eristettyyn astiaan, jossa on $0{,}50\,\text{kg}$ vettä lämpötilassa $20\,{}^\circ\text{C}$, pudotetaan $0{,}20\,\text{kg}$:n kuparikappale. Kappaleen lämpötila on $100\,{}^\circ\text{C}$. Astian oma lämpökapasiteetti ja lämpöhäviöt jätetään huomiotta.

   Oppilaan ratkaisu: ”Lämpötilat tasoittuvat, joten loppulämpötila on alkulämpötilojen keskiarvo: $(100 + 20) : 2 = 60\,{}^\circ\text{C}$.”

   a) Selitä, miksi oppilaan ratkaisu on väärä.

   b) Laske oikea loppulämpötila.

   Anna b)-kohdan tulos vastauslaatikkoon.

   °CTarkista
   Vastaus

   $23\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vesi $m_\text{v} = 0{,}50\,\text{kg}$, $T_\text{v} = 20\,{}^\circ\text{C}$; kupari $m_\text{k} = 0{,}20\,\text{kg}$, $T_\text{k} = 100\,{}^\circ\text{C}$; taulukosta $c_\text{v} = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ ja $c_\text{k} = 385\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$; ei lämpöhäviöitä

   Kysytty

   a) oppilaan virhe; b) tasapainolämpötila $T$

   Periaate

   Eristetyssä astiassa kuparin luovuttama lämpömäärä on yhtä suuri kuin veden vastaanottama. Oppilaan keskiarvo olisi oikein vain, jos kappaleiden lämpökapasiteetit $c m$ olisivat yhtä suuret. Nyt veden lämpökapasiteetti on moninkertainen kuparin kapasiteettiin verrattuna. Siksi tasapainolämpötila on lähellä veden alkulämpötilaa, ei puolivälissä.

   Kaava

   $c_\text{k} m_\text{k} (T_\text{k} - T)$$= c_\text{v} m_\text{v} (T - T_\text{v})$

   joten

   $T$$= \dfrac{c_\text{k} m_\text{k} T_\text{k} + c_\text{v} m_\text{v} T_\text{v}}{c_\text{k} m_\text{k} + c_\text{v} m_\text{v}}$

   Muunnokset

   Lämpökapasiteetit ovat

   $c_\text{k} m_\text{k}$$= 385\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}20\,\text{kg}$

   $= 77\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}$

   $c_\text{v} m_\text{v}$$= 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}50\,\text{kg}$

   $= 2095\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}$

   Lämpötilat voi sijoittaa celsiusasteina, koska tulos on keskiarvo, jossa suuremman lämpökapasiteetin kappaleen lämpötila painaa enemmän.

   Sijoitus

   Osoittaja on

   $77\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}} \cdot 100\,{}^\circ\text{C} + 2095\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}} \cdot 20\,{}^\circ\text{C}$

   $= 49\,600\,\text{J}$

   ja nimittäjä

   $77\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}} + 2095\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}$$= 2172\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}$

   joten

   $T$$= \dfrac{49\,600\,\text{J}}{2172\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}}$

   $= 22{,}84\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $23\,{}^\circ\text{C}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}20\,\text{kg}$ ja lämpötilassa $20\,{}^\circ\text{C}$.

   Järkevyys

   Tulos on alkulämpötilojen välissä ja vain noin $2{,}8\,\text{K}$ veden alkulämpötilan yläpuolella. Energiatase: kupari luovuttaa

   $77\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}} \cdot 77{,}2\,\text{K}$$\approx 5{,}9\,\text{kJ}$

   ja vesi vastaanottaa

   $2095\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}} \cdot 2{,}84\,\text{K}$

   $\approx 5{,}9\,\text{kJ}$

   Oppilaan $60\,{}^\circ\text{C}$ vaatisi veden vastaanottavan $2095\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}} \cdot 40\,\text{K} = 84\,\text{kJ}$. Kupari voi kuitenkin luovuttaa enintään $77\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}} \cdot 80\,\text{K} \approx 6\,\text{kJ}$.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 7-16

   Ennen vanhaan savusaunan pesuvesi lämmitettiin pudottamalla kiukaan kuumia kiviä puusaaviin.

   Saavissa on $20\,\text{kg}$ järvivettä, jonka lämpötila on $10\,{}^\circ\text{C}$. Kiuas on kuumentanut kivet $300\,{}^\circ\text{C}$:een.

   Kuinka monta kilogrammaa kiviä saaviin on pudotettava, jotta veden lämpötila nousee $40\,{}^\circ\text{C}$:seen? Kivien ominaislämpökapasiteetti on $800\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$. Oleta, ettei lämpöä siirry saaviin eikä ilmaan. Oleta myös, ettei vettä höyrysty. Perustele, mikä on kivien loppulämpötila.

   kgTarkista
   Vastaus

   $12\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vesi $m_\text{v} = 20\,\text{kg}$, $T_\text{v} = 10\,{}^\circ\text{C}$, tavoite $T = 40\,{}^\circ\text{C}$, $c_\text{v} = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$; kivet $T_\text{k} = 300\,{}^\circ\text{C}$, $c_\text{k} = 800\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$; ei häviöitä eikä höyrystymistä

   Kysytty

   kivien massa $m_\text{k}$

   Periaate

   Energia säilyy. Kivien luovuttama lämpömäärä on yhtä suuri kuin veden vastaanottama. Tasapainossa kivet ja vesi ovat samassa lämpötilassa. Siksi kivet jäähtyvät $40\,{}^\circ\text{C}$:seen asti, eivät $0\,{}^\circ\text{C}$:seen.

   Kaava

   $c_\text{k} m_\text{k} (T_\text{k} - T)$$= c_\text{v} m_\text{v} (T - T_\text{v})$

   josta

   $m_\text{k}$$= \dfrac{c_\text{v} m_\text{v} (T - T_\text{v})}{c_\text{k} (T_\text{k} - T)}$

   Muunnokset

   Lämpötilaerot ovat samat kelvineinä: $T - T_\text{v} = 30\,\text{K}$ ja $T_\text{k} - T = 260\,\text{K}$. Muut suureet ovat SI-yksiköissä.

   Sijoitus

   $m_\text{k}$$= \dfrac{4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 20\,\text{kg} \cdot 30\,\text{K}}{800\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 260\,\text{K}}$

   $= \dfrac{2\,514\,000\,\text{J}}{208\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}}$

   $= 12{,}09\,\text{kg}$

   Vastaus

   $12\,\text{kg}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $20\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Kivien lämpötila muuttuu 8,7 kertaa enemmän kuin veden. Se pienentää tarvittavaa massaa. Kivien 5,2 kertaa pienempi $c$ suurentaa sitä. Yhdessä nämä antavat

   $\dfrac{m_\text{k}}{m_\text{v}}$$= \dfrac{5{,}2}{8{,}7}$

   $\approx 0{,}60$

   ja $0{,}60 \cdot 20\,\text{kg} = 12\,\text{kg}$.

2. Tehtävä 7-17

   Mökin rannassa on matala lahdelma. Sen pinta-ala on $2000\,\text{m}^2$ ja keskisyvyys $1{,}2\,\text{m}$.

   Aurinkoisena kesäpäivänä lahden vesi saa auringosta energiaa $18\,\text{MJ}$ jokaista pinnan neliömetriä kohti. Kuutiometrissä vettä on $1000\,\text{kg}$. Oleta, että energia jää veteen ja vesi sekoittuu tasaisesti.

   Kuinka monta kelviniä lahden veden lämpötila nousee päivän aikana? Perustele myös, miksi tulos ei riipu lahden pinta-alasta.

   KTarkista
   Vastaus

   $3{,}6\,\text{K}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $A = 2000\,\text{m}^2$, $h = 1{,}2\,\text{m}$, energia $18\,\text{MJ}$ jokaista neliömetriä kohti, $1000\,\text{kg}$ vettä kuutiometrissä; taulukosta $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$

   Kysytty

   lämpötilan nousu $\Delta T$

   Periaate

   Energia jää veteen, ja vesi sekoittuu tasaisesti, joten $Q = c m \Delta T$. Riittää tarkastella yhden neliömetrin alla olevaa vesipatsasta, koska energia on annettu neliömetriä kohti.

   Kaava

   $\Delta T = \dfrac{Q}{c m}$, missä yhden neliömetrin vesipatsaan massa on $m = \rho\, h \cdot 1\,\text{m}^2$

   Muunnokset

   $Q$$= 18\,\text{MJ}$

   $= 18\,000\,000\,\text{J}$

   Neliömetrin alla on $1{,}2\,\text{m} \cdot 1\,\text{m}^2 = 1{,}2\,\text{m}^3$ vettä, eli

   $m$$= 1{,}2\,\text{m}^3 \cdot 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$

   $= 1200\,\text{kg}$

   Sijoitus

   $\Delta T$$= \dfrac{18\,000\,000\,\text{J}}{4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 1200\,\text{kg}}$

   $= 3{,}58\,\text{K}$

   Vastaus

   $3{,}6\,\text{K}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten energiassa $18\,\text{MJ}$ ja syvyydessä $1{,}2\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Koko lahdella sekä energia että massa ovat 2000-kertaiset, joten pinta-ala supistuu pois. Muutaman kelvinin nousu päivässä sopii kokemukseen matalasta lahdesta. Tulos on yläraja. Todellinen nousu on pienempi, koska osa energiasta kuluu haihtumiseen ja säteilee yöllä pois.

3. Tehtävä 7-18

   Mökille suunnitellaan lämpövarastoa, johon kesän aurinkolämpöä talletetaan.

   Vaihtoehtoja on kaksi. Ensimmäinen on $1{,}0\,\text{m}^3$ vettä, jonka massa on $1000\,\text{kg}$. Toinen on kuiva hiekka, jota on $1600\,\text{kg}$ kuutiometrissä. Kummankin varaston lämpötila vaihtelee $20\,{}^\circ\text{C}$:n ja $70\,{}^\circ\text{C}$:n välillä.

   Kuinka monta kuutiometriä hiekkaa tarvitaan, jotta siihen varastoituu yhtä paljon energiaa kuin vesivarastoon? Perustele, miksi tilavuuksien suhde on pienempi kuin ominaislämpökapasiteettien suhde.

   m³Tarkista
   Vastaus

   $3{,}3\,\text{m}^3$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vesi $V_\text{v} = 1{,}0\,\text{m}^3$, $m_\text{v} = 1000\,\text{kg}$, $c_\text{v} = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$; hiekka $1600\,\text{kg}$ kuutiometrissä, $c_\text{h} = 800\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$; kummallakin $20\,{}^\circ\text{C}$–$70\,{}^\circ\text{C}$

   Kysytty

   hiekan tilavuus $V_\text{h}$, johon varastoituu yhtä paljon energiaa kuin vesivarastoon

   Periaate

   Kun varastoon siirtyy lämpömäärä $Q = c m \Delta T$, sen sisäenergia kasvaa saman verran. Jäähtyessään se luovuttaa saman energian. Kun $Q$ ja $\Delta T$ ovat samat, myös lämpökapasiteetit $c m$ ovat samat. Tilavuus saadaan massasta tiheyden avulla.

   Kaava

   $c_\text{h} m_\text{h} = c_\text{v} m_\text{v}$, joten

   $m_\text{h}$$= \dfrac{c_\text{v} m_\text{v}}{c_\text{h}}$

   $V_\text{h}$$= \dfrac{m_\text{h}}{\rho_\text{h}}$

   Muunnokset

   Hiekan tiheys on $\rho_\text{h} = 1600\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$. Lämpötila-alue $\Delta T = 50\,\text{K}$ supistuu pois, joten sitä ei tarvita.

   Sijoitus

   $m_\text{h}$$= \dfrac{4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 1000\,\text{kg}}{800\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}}$

   $= 5237{,}5\,\text{kg}$

   joten

   $V_\text{h}$$= \dfrac{5237{,}5\,\text{kg}}{1600\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}}$

   $= 3{,}27\,\text{m}^3$

   Vastaus

   $3{,}3\,\text{m}^3$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten tilavuudessa $1{,}0\,\text{m}^3$.

   Järkevyys

   Kilogrammaa kohti vesi varastoi noin 5,2 kertaa enemmän kuin hiekka. Hiekka on kuitenkin tiheämpää, joten kuutiometriin mahtuu 1,6 kertaa enemmän massaa. Siksi tilavuuksien suhde on $\dfrac{5{,}2}{1{,}6} \approx 3{,}3$ eikä 5,2.

4. Tehtävä 7-19

   Kalorimetrissä lämmitetään sähkövastuksella $0{,}50\,\text{kg}$ vettä. Teho on koko ajan sama, $200\,\text{W}$. Veden lämpötila mitataan minuutin välein (esimerkkiaineisto). Huoneen lämpötila on $20\,{}^\circ\text{C}$. Astian oma lämpökapasiteetti jätetään huomiotta.

   a) Laske veden ominaislämpökapasiteetti ensimmäisen minuutin mittauksesta. Oleta, että lämpöhäviöt ovat vielä mitättömiä. Vertaa tulosta taulukkoarvoon.

   b) Selitä, miksi kuvaaja kaartuu, vaikka teho on vakio. Perustele, miksi ominaislämpökapasiteetti kannattaa sovittaa kuvaajan alkuosaan.

   c) Käytä veden taulukkoarvoa ja laske, kuinka suuri keskimääräinen lämpöhäviön teho on välillä $480\text{–}600\,\text{s}$. Anna c)-kohdan tulos watteina vastauslaatikkoon.

   Veden lämpötila lämmityksen aikana (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{s})$	$T\,({}^\circ\text{C})$
   0	20,0
   60	25,6
   120	30,8
   180	35,9
   240	40,4
   300	44,9
   360	49,2
   420	53,0
   480	56,8
   540	60,2
   600	63,6

   WTarkista
   Vastaus

   $81\,\text{W}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vesi $m = 0{,}50\,\text{kg}$, $P = 200\,\text{W}$; taulukosta lämpötilat $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$ ($0\,\text{s}$), $25{,}6\,{}^\circ\text{C}$ ($60\,\text{s}$), $56{,}8\,{}^\circ\text{C}$ ($480\,\text{s}$) ja $63{,}6\,{}^\circ\text{C}$ ($600\,\text{s}$); taulukosta $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$

   Kysytty

   a) $c$ ensimmäisestä minuutista; b) kuvaajan kaartumisen syy; c) keskimääräinen lämpöhäviön teho $P_\text{häviö}$ välillä $480\text{–}600\,\text{s}$ watteina

   Periaate

   Vastuksen antama energia on $P t$. Se jakautuu kahtia: veden lämpenemiseen $c m \Delta T$ ja lämpöhäviöön ympäristöön. Siksi $P t = c m \Delta T + P_\text{häviö} t$. Kun häviöt ovat mitättömiä, koko energia lämmittää vettä.

   Kuvaajan lukeminen

   Ensimmäisessä minuutissa lämpötila nousee $25{,}6\,{}^\circ\text{C} - 20{,}0\,{}^\circ\text{C} = 5{,}6\,\text{K}$. Välillä $480\text{–}600\,\text{s}$ nousu on $63{,}6\,{}^\circ\text{C} - 56{,}8\,{}^\circ\text{C} = 6{,}8\,\text{K}$ ajassa $120\,\text{s}$.

   Kaava

   a) $c = \dfrac{P t}{m \Delta T}$; c)

   $P_\text{häviö}$$= P - \dfrac{c m \Delta T}{t}$

   Muunnokset

   Ajat ovat sekunteina ja lämpötilan muutokset kelvineinä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $$\begin{aligned} c &= \dfrac{200\,\text{W} \cdot 60\,\text{s}}{0{,}50\,\text{kg} \cdot 5{,}6\,\text{K}} \\ &= 4286\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \\ Q_\text{vesi} &= 4190 \cdot 0{,}50 \cdot 6{,}8\,\text{J} \\ &= 14\,246\,\text{J} \\ P_\text{häviö} &= 200\,\text{W} - \dfrac{14\,246\,\text{J}}{120\,\text{s}} \\ &= 81{,}3\,\text{W} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $81\,\text{W}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}50\,\text{kg}$. a) Ensimmäisestä minuutista saadaan $c \approx 4300\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$. Se on vain noin $2\,\%$ taulukkoarvoa suurempi. b) Teho on vakio, mutta lämpötilan nousu pienenee $5{,}6\,\text{K}$:sta $3{,}4\,\text{K}$:iin minuutissa. Lämmin vesi ja astia luovuttavat nimittäin ympäristöön yhä enemmän lämpöä. Alussa häviöt ovat pienet. Siksi $c$ kannattaa sovittaa kuvaajan alkuosaan, jossa vastuksen energia lämmittää lähes kokonaan vettä.

   Järkevyys

   Häviöteho on noin $41\,\%$ vastuksen $200\,\text{W}$:n tehosta. Loppua kohti kaartuva käyrä sopii tähän. Lämpötilaero huoneeseen on välillä keskimäärin $60{,}2\,{}^\circ\text{C} - 20{,}0\,{}^\circ\text{C} \approx 40\,\text{K}$. Häviö on siis noin $81\,\text{W} : 40\,\text{K} \approx 2\,\text{W/K}$, mikä on tavallisen avoimen astian suuruusluokkaa. Alussa häviö on vain noin $2\,\tfrac{\text{W}}{\text{K}} \cdot 3\,\text{K} \approx 6\,\text{W}$ eli noin $3\,\%$ tehosta. Siksi a)-kohdan $c$ on vain muutaman prosentin liian suuri.

5. Tehtävä 7-20

   Eristämättömässä mukissa on $0{,}300\,\text{kg}$ kuumaa vettä. Huoneen lämpötila on $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Veden lämpötila mitataan kymmenen minuutin välein (esimerkkiaineisto). Mukin lämpökapasiteetti ja haihtuminen jätetään huomiotta. Ehdotetun mallin mukaan veden luovuttama lämpöteho on suoraan verrannollinen veden ja huoneen lämpötilaeroon: $P = k\,(T_\text{ka} - T_\text{huone})$. Tässä $T_\text{ka}$ on veden lämpötilan keskiarvo tarkasteltavalla välillä.

   a) Laske veden luovuttama lämpömäärä ja keskimääräinen lämpöteho jokaisella kymmenen minuutin välillä.

   b) Laske jokaiselle välille kerroin $k$. Anna ensimmäisen välin $k$ vastauslaatikkoon.

   c) Arvioi $k$-arvojen perusteella, sopiiko malli mittauksiin. Perustele, miksi veden jäähtyminen hidastuu.

   Veden lämpötila jäähtymisen aikana (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{min})$	$T\,({}^\circ\text{C})$
   0	90,0
   10	72,5
   20	59,6
   30	49,5
   40	42,3
   50	36,6
   60	32,5

   W/KTarkista
   Vastaus

   $0{,}60\,\tfrac{\text{W}}{\text{K}}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vesi $m = 0{,}300\,\text{kg}$, $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ taulukosta, huoneen lämpötila $T_\text{huone} = 20{,}0\,{}^\circ\text{C}$, välin pituus $10\,\text{min}$; lämpötilat $90{,}0$, $72{,}5$, $59{,}6$, $49{,}5$, $42{,}3$, $36{,}6$ ja $32{,}5\,{}^\circ\text{C}$ kymmenen minuutin välein

   Kysytty

   a) lämpömäärä $Q$ ja teho $P$ jokaisella välillä; b) kerroin $k$ jokaisella välillä, ensimmäisen välin arvo $\tfrac{\text{W}}{\text{K}}$; c) mallin arviointi

   Periaate

   Vesi jäähtyy, eikä sen olomuoto muutu. Välillä luovutettu lämpömäärä on siis $Q = c m \,|\Delta T|$ ja keskimääräinen teho $P = \dfrac{Q}{t}$. Jos malli $P = k\,(T_\text{ka} - T_\text{huone})$ pätee, osamäärä $k = \dfrac{P}{T_\text{ka} - T_\text{huone}}$ on kaikilla väleillä sama.

   Kaava

   $Q = c m \,|\Delta T|$,

   $P$$= \dfrac{Q}{t}$

   $k$$= \dfrac{P}{T_\text{ka} - T_\text{huone}}$

   missä $T_\text{ka}$ on välin alku- ja loppulämpötilan keskiarvo

   Muunnokset

   $t$$= 10\,\text{min}$

   $= 10 \cdot 60\,\text{s}$

   $= 600\,\text{s}$

   Lämpötilaerot ovat samoja celsiusasteina ja kelvineinä.

   Sijoitus

   Ensimmäisellä välillä

   $|\Delta T|$$= 90{,}0\,{}^\circ\text{C} - 72{,}5\,{}^\circ\text{C}$

   $= 17{,}5\,\text{K}$

   $T_\text{ka} = 81{,}25\,{}^\circ\text{C}$, joten

   $$\begin{aligned} Q &= 4190 \cdot 0{,}300 \cdot 17{,}5\,\text{J} \\ &= 21\,998\,\text{J} \\ P &= \dfrac{21\,998\,\text{J}}{600\,\text{s}} \\ &= 36{,}66\,\text{W} \\ k &= \dfrac{36{,}66\,\text{W}}{(81{,}25 - 20{,}0)\,\text{K}} \\ &= 0{,}599\,\tfrac{\text{W}}{\text{K}} \end{aligned}$$

   Samoin muille väleille: lämpömäärät ovat $16{,}2$, $12{,}7$, $9{,}05$, $7{,}16$ ja $5{,}15\,\text{kJ}$, tehot $27{,}0$, $21{,}2$, $15{,}1$, $11{,}9$ ja $8{,}59\,\text{W}$ ja kertoimet $0{,}587$, $0{,}612$, $0{,}582$, $0{,}614$ ja $0{,}590\,\tfrac{\text{W}}{\text{K}}$.

   Vastaus

   $0{,}60\,\tfrac{\text{W}}{\text{K}}$

   Lämpötiloissa ja massassa on kolme merkitsevää numeroa, mutta $k$ vaihtelee väleittäin noin $\pm 3\,\%$. Siksi toinen numero on viimeinen merkityksellinen. c) Kaikki kuusi $k$:ta ovat välillä $0{,}58\ldots 0{,}61\,\tfrac{\text{W}}{\text{K}}$. Ne ovat alle $3\,\%$:n päässä keskiarvostaan, vaikka teho pienenee $36{,}7\,\text{W}$:sta $8{,}59\,\text{W}$:iin. Malli sopii mittauksiin hyvin. Pienet erot johtuvat lämpötilalukemien $0{,}1\,{}^\circ\text{C}$:n tarkkuudesta. Jäähtyminen hidastuu, koska luovutettu teho on verrannollinen lämpötilaeroon huoneeseen. Kun veden lämpötila laskee, ero pienenee ja teho pienenee samassa suhteessa.

   Järkevyys

   Ensimmäisen ja viimeisen välin tehojen suhde on $\dfrac{36{,}66}{8{,}59} \approx 4{,}3$ ja lämpötilaerojen suhde

   $\dfrac{61{,}25}{14{,}55}$$\approx 4{,}2$

   Teho siis todella seuraa lämpötilaeroa.