Soveltava tunti: lämpöilmiöt arjessa

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 16-1Ydintehtävä

   Saunan kiukaassa on $20\,\text{kg}$ kiviä. Kivien ominaislämpökapasiteetti on $800\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$. Kivet lämpenevät $20\,{}^\circ\text{C}$:sta $300\,{}^\circ\text{C}$:seen. Kuinka suuri lämpömäärä kiviin siirtyy? Anna vastaus megajouleina.

   MJTarkista
   Vastaus

   $4{,}5\,\text{MJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kivet $m = 20\,\text{kg}$, $T_\text{alku} = 20\,{}^\circ\text{C}$, $T_\text{loppu} = 300\,{}^\circ\text{C}$. Tehtävässä annettu $c = 800\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$.

   Kysytty

   kiviin siirtyvä lämpömäärä $Q$ megajouleina

   Periaate

   Kivet lämpenevät mutta pysyvät kiinteinä. Niiden olomuoto ei siis muutu, eikä sulamislämpöä tarvita. Silloin vastaanotettu lämpömäärä on verrannollinen massaan ja lämpötilan muutokseen. Kerroin on ominaislämpökapasiteetti $c$.

   Kaava

   $Q = c\,m\,\Delta T$, missä $\Delta T = T_\text{loppu} - T_\text{alku}$

   Muunnokset

   Lämpötilan muutos on sama celsiusasteina ja kelvineinä:

   $\Delta T$$= 300\,{}^\circ\text{C} - 20\,{}^\circ\text{C}$

   $= 280\,\text{K}$

   Lopuksi $1\,\text{MJ} = 10^6\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $Q$$= 800\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 20\,\text{kg} \cdot 280\,\text{K}$

   $= 4\,480\,000\,\text{J}$

   $= 4{,}48\,\text{MJ}$

   Vastaus

   $4{,}5\,\text{MJ}$

   Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla, koska massa $20\,\text{kg}$ tunnetaan kahden numeron tarkkuudella.

   Järkevyys

   Arvio: $800 \cdot 20 \cdot 300\,\text{J} \approx 4{,}8\,\text{MJ}$. Tulos on siis oikeaa kokoluokkaa. $Q$ on positiivinen, koska kivet lämpenevät. Saman massan veden lämmittäminen yhtä paljon vaatisi noin viisinkertaisen energian. Veden $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ on nimittäin noin viisi kertaa suurempi.

2. Tehtävä 16-2Ydintehtävä

   Kiuaskivien päälle heitetään $0{,}20\,\text{kg}$ vettä, joka on jo kiehumispisteessä $100\,{}^\circ\text{C}$. Vesi höyrystyy kokonaan. Kuinka suuri lämpömäärä kuluu höyrystymiseen? Anna vastaus kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $450\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vesi $m = 0{,}20\,\text{kg}$, jo kiehumispisteessä $100\,{}^\circ\text{C}$. Taulukosta $r = 2260\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$.

   Kysytty

   höyrystymiseen kuluva lämpömäärä $Q$ kilojouleina

   Periaate

   Vesi on jo $100\,{}^\circ\text{C}$:ssa ja höyrystyy. Sen lämpötila ei muutu. Kaikki energia kuluu olomuodon muutokseen eikä lämpötilan nostamiseen. Siksi käytetään ominaishöyrystymislämpöä $r$, ei $c\,\Delta T$:tä.

   Kaava

   $Q = r\,m$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Suure $r$ on kilojoulea kilogrammaa kohti ja massa on kilogrammoina. Tulo tulee siis suoraan kilojouleina.

   Sijoitus

   $Q$$= 2260\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} \cdot 0{,}20\,\text{kg}$

   $= 452\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $450\,\text{kJ}$

   Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla kuten massa $0{,}20\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Kilogramman höyrystäminen vaatii yli kaksi megajoulea. Viidennes kilogrammaa vaatii siis noin $0{,}2 \cdot 2300\,\text{kJ} \approx 460\,\text{kJ}$. Saman vesimäärän lämmittäminen $20\,{}^\circ\text{C}$:sta $100\,{}^\circ\text{C}$:seen vaatisi vain $4190 \cdot 0{,}20 \cdot 80\,\text{J} \approx 67\,\text{kJ}$. Höyrystyminen vaatii siis noin seitsemänkertaisen energian.

3. Tehtävä 16-3

   Kylmälaukun seinien yhteispinta-ala on $0{,}60\,\text{m}^2$ ja U-arvo $1{,}6\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$. Laukun sisällä on $2{,}0\,{}^\circ\text{C}$ ja ulkona $30\,{}^\circ\text{C}$. Kuinka suuri lämpöteho johtuu seinien läpi laukkuun? Anna vastaus watteina.

   WTarkista
   Vastaus

   $27\,\text{W}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $U = 1{,}6\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\text{K}}$, $A = 0{,}60\,\text{m}^2$, $T_\text{sisä} = 2{,}0\,{}^\circ\text{C}$, $T_\text{ulko} = 30\,{}^\circ\text{C}$

   Kysytty

   seinien läpi laukkuun johtuva teho $P$ watteina

   Periaate

   Lämpö johtuu seinän läpi lämpimästä kylmään. Kun lämpötilaero pysyy samana, teho pysyy vakiona. Teho on verrannollinen seinien pinta-alaan ja lämpötilaeroon. Kerroin on $U$-arvo.

   Kaava

   $P = U A\,\Delta T$, missä $\Delta T = T_\text{ulko} - T_\text{sisä}$

   Muunnokset

   Lämpötilaero on sama kelvineinä:

   $\Delta T$$= 30\,{}^\circ\text{C} - 2{,}0\,{}^\circ\text{C}$

   $= 28\,\text{K}$

   Muuta ei tarvita, koska

   $\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\text{K}} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{K}$$= \text{W}$

   Sijoitus

   $P$$= 1{,}6\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\text{K}} \cdot 0{,}60\,\text{m}^2 \cdot 28\,\text{K}$

   $= 26{,}88\,\text{W}$

   Vastaus

   $27\,\text{W}$

   Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla kuten arvot $1{,}6$ ja $0{,}60$ sekä erotus $28\,\text{K}$.

   Järkevyys

   Arvio: $1{,}6 \cdot 0{,}6 \approx 1\,\tfrac{\text{W}}{\text{K}}$, ja $28\,\text{K}$ antaa noin $28\,\text{W}$. Teho on positiivinen, koska lämpöä tulee ulkoa sisään. Teho on pieni, koska seinä eristää hyvin. Tunnissa energiaa tulee silti $27\,\text{W} \cdot 3600\,\text{s} \approx 97\,\text{kJ}$. Se riittäisi sulattamaan noin $0{,}3\,\text{kg}$ jäätä tunnissa.

4. Tehtävä 16-4

   Kylmälaukun $0{,}75\,\text{kg}$:n jääpussi on $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa ja sulaa kokonaan. Kuinka suuri lämpömäärä jäähän siirtyy? Anna vastaus kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $250\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jää $m = 0{,}75\,\text{kg}$, sulamispisteessä $0\,{}^\circ\text{C}$. Taulukosta $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$.

   Kysytty

   jään sulamiseen tarvittava lämpömäärä $Q$ kilojouleina

   Periaate

   Jää on jo sulamispisteessä. Sulaessaan se pysyy $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa. Energia ei siis nosta lämpötilaa vaan muuttaa hiukkasten keskinäisiä vuorovaikutuksia. Jään säännöllinen järjestys purkautuu, ja hiukkasten välinen vuorovaikutusenergia kasvaa. Siksi tarvitaan ominaissulamislämpö $s$ eikä $c\,\Delta T$:tä.

   Kaava

   $Q = s\,m$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Suure $s$ on kilojoulea kilogrammaa kohti ja massa on kilogrammoina.

   Sijoitus

   $Q$$= 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} \cdot 0{,}75\,\text{kg}$

   $= 250{,}5\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $250\,\text{kJ}$

   Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla kuten massa $0{,}75\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Arvio: kilogrammaa kohti tarvitaan kolmannes megajoulea. Kolme neljäsosaa kilogrammasta vaatii siis noin $250\,\text{kJ}$. Sulaminen vaatii saman energian kuin saman vesimäärän lämmittäminen noin 80 kelvinillä: $4190 \cdot 0{,}75 \cdot 80\,\text{J} \approx 251\,\text{kJ}$.

5. Tehtävä 16-5

   Auton jäähdytysnestettä ($c = 3500\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$) kiertää moottorissa $0{,}50\,\text{kg}$ joka sekunti. Neste lämpenee moottorissa $8{,}0\,\text{K}$. Kuinka suuri teho siirtyy moottorista nesteeseen? Anna vastaus kilowatteina.

   kWTarkista
   Vastaus

   $14\,\text{kW}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $c = 3500\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$, kiertävä massa $\tfrac{m}{t} = 0{,}50\,\tfrac{\text{kg}}{\text{s}}$, lämpötilan nousu $\Delta T = 8{,}0\,\text{K}$

   Kysytty

   moottorista nesteeseen siirtyvä teho $P$ kilowatteina

   Periaate

   Neste lämpenee eikä kiehu. Sen olomuoto ei siis muutu. Sekunnissa vastaanotettu lämpömäärä on $c\,m\,\Delta T$ sille massalle, joka kulkee moottorin läpi sekunnissa. Teho on energia aikayksikköä kohti, $P = \tfrac{Q}{t}$.

   Kaava

   $P$$= \dfrac{Q}{t}$

   $= \dfrac{c\,m\,\Delta T}{t}$

   $= c\,\dfrac{m}{t}\,\Delta T$

   Muunnokset

   Lämpötilan muutos on jo kelvineinä. Yksiköt:

   $\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot \tfrac{\text{kg}}{\text{s}} \cdot \text{K}$$= \tfrac{\text{J}}{\text{s}}$

   $= \text{W}$

   Lopuksi $1\,\text{kW} = 1000\,\text{W}$.

   Sijoitus

   $P$$= 3500\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}50\,\tfrac{\text{kg}}{\text{s}} \cdot 8{,}0\,\text{K}$

   $= 14\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{s}}$

   $= 14\,000\,\text{W}$

   $= 14\,\text{kW}$

   Vastaus

   $14\,\text{kW}$

   Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla kuten arvot $0{,}50\,\tfrac{\text{kg}}{\text{s}}$ ja $8{,}0\,\text{K}$.

   Järkevyys

   Joka sekunti nesteeseen siirtyy $14\,\text{kJ}$. Arvio: $3500 \cdot 0{,}5 \cdot 8 = 14\,000$. Henkilöauton jäähdytysneste kuljettaa tyypillisesti kymmeniä kilowatteja. Luku on siis oikeaa kokoluokkaa.

6. Tehtävä 16-6

   Huoneessa on pitkään ollut puinen ja metallinen ovenkahva. Molemmat ovat huoneen lämpötilassa. Metallinen kahva tuntuu silti kylmemmältä kuin puinen. Mikä seuraavista selittää tämän?

   Valitse vaihtoehto.

   • Metalli on huoneessa alemmassa lämpötilassa kuin puu, koska se ei pysty pitämään lämpöä sisällään.
   • Metalli tuottaa kylmyyttä, joka virtaa kahvasta käteen, kun kahvaa kosketetaan hetken aikaa.
   • Metallin sisäenergia on pienempi kuin puun, joten metalli on kylmempää kuin puu myös huoneessa.
   • Metalli johtaa lämpöä iholta pois nopeammin kuin puu, joten ihon lämpötila laskee enemmän.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Metalli johtaa lämpöä iholta pois nopeammin kuin puu, joten ihon lämpötila laskee enemmän.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   miksi metallikahva tuntuu kylmemmältä kuin puukahva, vaikka molemmat ovat huoneen lämpötilassa.

   Periaate

   Pitkään huoneessa olleet kappaleet ovat lämpötilatasapainossa ympäristönsä kanssa. Silloin kahvojen lämpötila on sama. Tuntuman ratkaisee, kuinka nopeasti energiaa siirtyy lämpimästä kädestä kahvaan. Lämpötilaeron vuoksi energiaa siirtyy kokonaisuutena kädestä kahvaan. Siirtymisen nopeus riippuu aineen lämmönjohtavuudesta. Lämmönjohtavuus kertoo, kuinka hyvin aine johtaa lämpöä.

   Mallivastaus

   Metalli johtaa lämpöä hyvin. Siksi käden iholta siirtyy metalliin nopeasti paljon energiaa, ja ihon lämpötila laskee nopeasti. Puu johtaa lämpöä huonosti. Siksi energiaa siirtyy hitaammin, ja ihon pinta pysyy lämpimämpänä. Me siis aistimme ihon lämpötilan ja energian siirtymisen nopeuden. Emme aisti kahvan lämpötilaa. Kylmyys ei virtaa kahvasta käteen. Kahvan sisäenergiakaan ei ratkaise asiaa, sillä molempien lämpötila on sama kuin huoneen.

7. Tehtävä 16-7

   Kylmälaukun seinän läpi johtuu ulkoa koko ajan lämpöä jääpussiin. Silti laukun sisälämpötila pysyy $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa, kunnes jää on sulanut. Mikä seuraavista selittää tämän?

   Valitse vaihtoehto.

   • Laukun seinät estävät lämmön johtumisen kokonaan, joten laukkuun ei tule energiaa ennen jään sulamista.
   • Jään ominaislämpökapasiteetti on niin suuri, että laukkuun tuleva energia ei nosta lämpötilaa lainkaan.
   • Laukkuun tuleva energia sulattaa jäätä eikä nosta lämpötilaa ennen kuin kaikki jää on sulanut.
   • Jää tuottaa kylmää, joka kumoaa laukkuun tulevan lämmön ja pitää lämpötilan muuttumattomana.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Laukkuun tuleva energia sulattaa jäätä eikä nosta lämpötilaa ennen kuin kaikki jää on sulanut.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   miksi laukun sisälämpötila pysyy $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa, vaikka seinän läpi tulee koko ajan energiaa.

   Periaate

   Seinän läpi laukkuun siirtyy teho $P = UA\Delta T$. Sen energia $P\,t$ menee jäähän. Jää on sulamispisteessä. Siksi energia ei nosta lämpötilaa vaan kuluu sulamiseen, $Q = s\,m$. Se kasvattaa hiukkasten välistä vuorovaikutusenergiaa. Lämpötila voi nousta vasta, kun kaikki jää on sulanut.

   Mallivastaus

   Laukkuun tuleva energia sulattaa jäätä, eikä lämpötila muutu sulamisen aikana. Siksi sisällä on $0\,{}^\circ\text{C}$ niin kauan kuin jäätä on jäljellä. Jää ei tuota kylmää. Se jäähdyttää ottamalla energiaa vastaan. Seinä myös vain hidastaa lämmön johtumista, se ei estä sitä. Juuri seinän läpi tuleva energia sulattaa jään. Kun jää on sulanut, tuleva energia lämmittää vettä ja lämpötila alkaa nousta.

8. Tehtävä 16-8

   Vedenkeittimen teho on $2{,}0\,\text{kW}$. Keittimessä on $1{,}5\,\text{kg}$ vettä, jonka lämpötila on $20\,{}^\circ\text{C}$ ja ominaislämpökapasiteetti $4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$. Oleta, että koko sähköteho menee veden lämmittämiseen. Oleta myös, että vesi ei vielä kiehu.

   Kuinka kauan kestää, ennen kuin vesi on lämmennyt $100\,{}^\circ\text{C}$:seen? Anna vastaus sekunteina.

   sTarkista
   Vastaus

   $250\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   teho $P = 2{,}0\,\text{kW}$, vesi $m = 1{,}5\,\text{kg}$, $T_\text{alku} = 20\,{}^\circ\text{C}$, $T_\text{loppu} = 100\,{}^\circ\text{C}$. Tehtävässä annettu $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$.

   Kysytty

   lämmitysaika $t$ sekunteina

   Periaate

   Oletuksen mukaan koko sähköenergia $P\,t$ menee veden lämmittämiseen. Vesi ei kiehu eikä höyrysty. Sen olomuoto ei siis muutu, ja riittää $Q = c\,m\,\Delta T$. Energiataseesta saadaan $P\,t = c\,m\,\Delta T$.

   Kaava

   $P\,t = c\,m\,\Delta T$, josta $t = \dfrac{c\,m\,\Delta T}{P}$

   Muunnokset

   Lämpötilan muutos on sama kelvineinä:

   $\Delta T$$= 100\,{}^\circ\text{C} - 20\,{}^\circ\text{C}$

   $= 80\,\text{K}$

   Teho on $P = 2{,}0\,\text{kW} = 2000\,\text{W}$. Silloin energia on jouleina ja aika sekunteina.

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 1{,}5\,\text{kg} \cdot 80\,\text{K}}{2000\,\text{W}}$

   $= \dfrac{502\,800\,\text{J}}{2000\,\text{W}}$

   $= 251{,}4\,\text{s}$

   Vastaus

   $250\,\text{s}$

   Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla, kuten massa $1{,}5\,\text{kg}$ ja teho $2{,}0\,\text{kW}$.

   Järkevyys

   Arvio: $4000 \cdot 1{,}5 \cdot 80\,\text{J} \approx 480\,\text{kJ}$, ja $480\,\text{kJ} : 2\,\text{kW} = 240\,\text{s}$. Se on noin neljä minuuttia, mikä on tavallisen keittimen kokoluokkaa. Energiataseen tarkistus: $2000\,\text{W} \cdot 251{,}4\,\text{s} \approx 503\,\text{kJ}$ on sama kuin veden saama $503\,\text{kJ}$. Todellinen aika olisi hieman pidempi, koska osa energiasta lämmittää keitintä ja ilmaa.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 16-9Ydintehtävä

   Kylmälaukun seinien yhteispinta-ala on $0{,}50\,\text{m}^2$ ja U-arvo $2{,}0\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$. Ulkona on $25\,{}^\circ\text{C}$. Jääpussin lämpötila pysyy $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa niin kauan kuin jäätä on.

   Kuinka suuri jääpussin massan pitää olla, jotta jäätä riittää 6,0 tunniksi? Oleta, että laukussa on vain jäätä.

   kgTarkista
   Vastaus

   $1{,}6\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $U = 2{,}0\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\text{K}}$, $A = 0{,}50\,\text{m}^2$, ulkona $25\,{}^\circ\text{C}$ ja sisällä $0\,{}^\circ\text{C}$ eli $\Delta T = 25\,\text{K}$, aika $t = 6{,}0\,\text{h}$. Taulukosta $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$.

   Kysytty

   jään massa $m$ kilogrammoina

   Periaate

   Niin kauan kuin jäätä on, sisällä pysyy $0\,{}^\circ\text{C}$. Lämpötilaero ja seinän läpi tuleva teho pysyvät siis vakioina. Laukussa on vain jäätä. Koko seinän läpi tullut energia $P\,t$ kuluu siis jään sulattamiseen: $P\,t = s\,m$.

   Kaava

   $U A\,\Delta T\,t = s\,m$, joten $m = \dfrac{U A\,\Delta T\,t}{s}$

   Muunnokset

   $t$$= 6{,}0\,\text{h}$

   $= 6{,}0 \cdot 3600\,\text{s}$

   $= 21\,600\,\text{s}$

   Lisäksi

   $s$$= 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$

   $= 334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$

   Silloin watti kertaa sekunti on joule.

   Sijoitus

   $P$$= 2{,}0 \cdot 0{,}50 \cdot 25\,\text{W}$

   $= 25\,\text{W}$

   $m$$= \dfrac{25\,\text{W} \cdot 21\,600\,\text{s}}{334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}}$

   $= \dfrac{540\,000\,\text{J}}{334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}}$

   $= 1{,}617\,\text{kg}$

   Vastaus

   $1{,}6\,\text{kg}$

   Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla, koska U-arvo $2{,}0$, pinta-ala $0{,}50\,\text{m}^2$, lämpötilaero $25\,\text{K}$ ja aika $6{,}0\,\text{h}$ ovat kaikki kahdella numerolla.

   Järkevyys

   Teho on $25\,\text{W}$. Kuudessa tunnissa laukkuun tulee siis $540\,\text{kJ}$. Palautus: $1{,}617\,\text{kg} \cdot 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}} = 540\,\text{kJ}$. Vähän yli puolentoista kilon jääpussi on tavallinen koko. Kaksinkertainen aika vaatisi kaksinkertaisen massan.

2. Tehtävä 16-10Ydintehtävä

   Löylyvedeksi heitetään kiville $0{,}25\,\text{kg}$ vettä, jonka lämpötila on $20\,{}^\circ\text{C}$. Vesi lämpenee $100\,{}^\circ\text{C}$:seen ja höyrystyy kokonaan. Kuinka suuri lämpömäärä kuluu yhteensä? Anna vastaus kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $650\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vesi $m = 0{,}25\,\text{kg}$, $T_\text{alku} = 20\,{}^\circ\text{C}$, $T_\text{loppu} = 100\,{}^\circ\text{C}$. Taulukosta $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ ja $r = 2260\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$.

   Kysytty

   kokonaislämpömäärä $Q$ kilojouleina

   Periaate

   Prosessissa on kaksi peräkkäistä vaihetta. Ensin vesi lämpenee $100\,{}^\circ\text{C}$:seen ($c\,m\,\Delta T$). Sitten se höyrystyy tässä lämpötilassa, joka ei muutu ($r\,m$). Höyrystyessä ei ole lämpötilan muutosta. Siksi vaiheiden energiat lasketaan eri kaavoilla ja lasketaan yhteen.

   Kaava

   $Q$$= Q_\text{lämpeneminen} + Q_\text{höyrystyminen}$

   $= c\,m\,\Delta T + r\,m$

   missä $\Delta T = T_\text{loppu} - T_\text{alku}$

   Muunnokset

   $\Delta T$$= 100\,{}^\circ\text{C} - 20\,{}^\circ\text{C}$

   $= 80\,\text{K}$

   sama kelvineinä. Lisäksi

   $r$$= 2260\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$

   $= 2\,260\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$

   Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $Q_\text{lämpeneminen}$

   $= 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}25\,\text{kg} \cdot 80\,\text{K}$

   $= 83\,800\,\text{J}$

   $Q_\text{höyrystyminen}$

   $= 2\,260\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}} \cdot 0{,}25\,\text{kg}$

   $= 565\,000\,\text{J}$

   joten

   $Q$$= 648\,800\,\text{J}$

   $= 648{,}8\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $650\,\text{kJ}$

   Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla kuten massa $0{,}25\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Höyrystyminen vie $\tfrac{565}{648{,}8} \approx 87\,\%$ kokonaisenergiasta, vaikka lämpötila ei muutu sen aikana. Arvio: $0{,}25\,\text{kg}$ vaatii kilogrammaa kohti noin $2{,}6\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$, siis noin $650\,\text{kJ}$. Jos höyrystyminen unohtuisi, tulokseksi tulisi vain $84\,\text{kJ}$.

3. Tehtävä 16-11

   Moottori siirtää jäähdytysnesteeseen ($c = 3500\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$) tehon $24\,\text{kW}$. Neste saa lämmetä moottorissa korkeintaan $8{,}0\,\text{K}$. Kuinka suuri massa nestettä täytyy kiertää moottorin läpi joka sekunti? Anna vastaus yksikössä kg/s.

   kg/sTarkista
   Vastaus

   $0{,}86\,\tfrac{\text{kg}}{\text{s}}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $P = 24\,\text{kW}$, $c = 3500\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$, suurin sallittu lämpötilan nousu $\Delta T = 8{,}0\,\text{K}$

   Kysytty

   sekunnissa kierrätettävä nestemassa $\tfrac{m}{t}$ yksikössä $\tfrac{\text{kg}}{\text{s}}$

   Periaate

   Moottorista siirtyvä teho menee kokonaan nesteen lämpenemiseen. Neste ei kiehu, joten olomuoto ei muutu. Sekunnissa kulkeva massa $\tfrac{m}{t}$ ottaa vastaan lämpömäärän $c\,\tfrac{m}{t}\,\Delta T$. Se on yhtä suuri kuin teho $P$.

   Kaava

   $P = c\,\dfrac{m}{t}\,\Delta T$, joten $\dfrac{m}{t} = \dfrac{P}{c\,\Delta T}$

   Muunnokset

   $24\,\text{kW}$$= 24\,000\,\text{W}$

   $= 24\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{s}}$

   Lämpötilan muutos on jo kelvineinä.

   Sijoitus

   $\dfrac{m}{t}$$= \dfrac{24\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{s}}}{3500\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 8{,}0\,\text{K}}$

   $= \dfrac{24\,000}{28\,000}\,\tfrac{\text{kg}}{\text{s}}$

   $= 0{,}857\,\tfrac{\text{kg}}{\text{s}}$

   Vastaus

   $0{,}86\,\tfrac{\text{kg}}{\text{s}}$

   Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla kuten arvot $24\,\text{kW}$ ja $8{,}0\,\text{K}$.

   Järkevyys

   Palautus: $3500 \cdot 0{,}857 \cdot 8{,}0\,\text{W} = 24\,\text{kW}$. Puhtaalla vedellä ($c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$) riittäisi noin $0{,}72\,\tfrac{\text{kg}}{\text{s}}$. Glykolia sisältävä neste, jonka $c$ on pienempi, vaatii siis noin viidenneksen suuremman massavirran. Suunta on oikea: mitä huonommin neste varastoi energiaa, sitä enemmän sitä pitää kiertää.

4. Tehtävä 16-12

   Kylmää juomaa varten lasiin kaadetaan $0{,}33\,\text{kg}$ limonadia. Sen lämpötila on $22\,{}^\circ\text{C}$, ja sen ominaislämpökapasiteetti on veden arvo. Lasiin lisätään jäätä, jota on riittävästi.

   Kuinka monta grammaa jäätä sulaa, kun limonadi jäähtyy $0\,{}^\circ\text{C}$:seen? Oleta, ettei lämpöä siirry ympäristöstä.

   gTarkista
   Vastaus

   $91\,\text{g}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   limonadi $m_\text{j} = 0{,}33\,\text{kg}$, $T_\text{alku} = 22\,{}^\circ\text{C}$, $T_\text{loppu} = 0\,{}^\circ\text{C}$, $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ (veden arvo). Taulukosta $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$.

   Kysytty

   sulaneen jään massa $m_\text{jää}$ grammoina

   Periaate

   Energia säilyy. Ympäristöstä ei tule lämpöä. Silloin limonadin jäähtyessä luovuttama energia kuluu kokonaan jään sulattamiseen. Jäätä on riittävästi, joten lämpötila asettuu $0\,{}^\circ\text{C}$:seen. Sulanut jää ei lämpene.

   Kaava

   $c\,m_\text{j}\,\Delta T = s\,m_\text{jää}$, joten

   $m_\text{jää}$$= \dfrac{c\,m_\text{j}\,\Delta T}{s}$

   Muunnokset

   $\Delta T$$= 22\,{}^\circ\text{C} - 0\,{}^\circ\text{C}$

   $= 22\,\text{K}$

   sama kelvineinä. Lisäksi $s = 334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$. Lopuksi $1\,\text{kg} = 1000\,\text{g}$.

   Sijoitus

   $m_\text{jää}$$= \dfrac{4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}33\,\text{kg} \cdot 22\,\text{K}}{334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}}$

   $= \dfrac{30\,419{,}4\,\text{J}}{334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}}$

   $= 0{,}0911\,\text{kg}$

   $= 91{,}1\,\text{g}$

   Vastaus

   $91\,\text{g}$

   Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla kuten arvot $0{,}33\,\text{kg}$ ja $22\,\text{K}$.

   Järkevyys

   Sulaneen jään massa on $\tfrac{91}{330} \approx 28\,\%$ limonadin massasta. Sulaminen vaatii nimittäin kiloa kohti saman energian kuin noin 80 kelvinin lämmitys: $\tfrac{22}{80} \approx 0{,}28$. Massa on positiivinen ja pienempi kuin limonadin massa, kuten pitää.

5. Tehtävä 16-13

   Kiukaan vastukset ovat päällä teholla $6{,}0\,\text{kW}$. Kiukaassa on $40\,\text{kg}$ kiviä ($c = 800\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$). Taulukossa on esimerkkiaineisto kivien lämpötilasta lämmityksen aikana. Lämmityksen hyötysuhde on kiviin siirtynyt energia jaettuna vastusten käyttämällä sähköenergialla.

   a) Laske hyötysuhde koko $30$ minuutin lämmitykselle prosentteina.

   b) Kivien lämpötila nousee jokaisen $10$ minuutin jakson aikana vähemmän kuin edellisen. Selitä syy.

   Anna vastauslaatikkoon kohdan a) tulos.

   Kiuaskivien lämpötila lämmityksen aikana (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{min})$	$T\,({}^\circ\text{C})$
   0	20
   10	112
   20	196
   30	275

   %Tarkista
   Vastaus

   $76\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   teho $P = 6{,}0\,\text{kW}$, kivet $m = 40\,\text{kg}$ ja $c = 800\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$. Taulukosta $T = 20\,{}^\circ\text{C}$ hetkellä $0\,\text{min}$ ja $T = 275\,{}^\circ\text{C}$ hetkellä $30\,\text{min}$ (väliarvot $112\,{}^\circ\text{C}$ ja $196\,{}^\circ\text{C}$).

   Kysytty

   lämmityksen hyötysuhde $\eta$ prosentteina

   Periaate

   Kivet pysyvät kiinteinä. Niihin siirtynyt energia on siis $Q = c\,m\,\Delta T$. Vastukset muuttavat sähköenergian lämmöksi teholla $P$, joten käytetty energia on $P\,t$. Hyötysuhde kertoo, kuinka suuri osa käytetystä energiasta päätyy hyödyksi.

   Kaava

   $\eta$$= \dfrac{Q}{P\,t}$

   $= \dfrac{c\,m\,\Delta T}{P\,t}$

   Muunnokset

   Lämpötilan muutos on sama kelvineinä:

   $\Delta T$$= 275\,{}^\circ\text{C} - 20\,{}^\circ\text{C}$

   $= 255\,\text{K}$

   Aika on $t = 30\,\text{min} = 1800\,\text{s}$ ja teho $P = 6{,}0\,\text{kW} = 6000\,\text{W}$.

   Sijoitus

   $\eta$$= \dfrac{800\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 40\,\text{kg} \cdot 255\,\text{K}}{6000\,\text{W} \cdot 1800\,\text{s}}$

   $= \dfrac{8{,}16 \cdot 10^{6}\,\text{J}}{10{,}8 \cdot 10^{6}\,\text{J}}$

   $= 0{,}756$

   $= 75{,}6\,\%$

   Vastaus

   $76\,\%$

   Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla, kuten teho $6{,}0\,\text{kW}$ ja massa $40\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Hyötysuhde on alle $100\,\%$, kuten pitääkin. Jos kaikki energia päätyisi kiviin, lämpötila nousisi

   $\dfrac{10{,}8 \cdot 10^{6}\,\text{J}}{800 \cdot 40\,\text{J/K}}$$\approx 340\,\text{K}$

   Mitattu nousu on $255\,\text{K}$, eli noin kolme neljännestä siitä. Jaksoittain energia $c\,m\,\Delta T$ on $2{,}94\,\text{MJ}$, $2{,}69\,\text{MJ}$ ja $2{,}53\,\text{MJ}$. Sähköenergiaa kuluu $3{,}6\,\text{MJ}$ jaksoa kohti. Jaksojen hyötysuhteet ovat siis noin $82\,\%$, $75\,\%$ ja $70\,\%$.

   Mallivastaus b)-kohtaan

   kivet luovuttavat ympäristöön lämpöä, ja häviöteho kasvaa lämpötilaeron kasvaessa. Kun kivet kuumenevat, suurempi osa vastusten tehosta $6{,}0\,\text{kW}$ karkaa ympäristöön. Pienempi osa lämmittää kiviä. Siksi lämpötilan nousu hidastuu jakso jaksolta ($92\,\text{K}$, $84\,\text{K}$, $79\,\text{K}$).

6. Tehtävä 16-14

   Taulukossa on esimerkkiaineisto omakotitalon lämmitysenergiasta $E$ kuukaudessa ja kuukauden keskilämpötilasta ulkona $T_\text{ulko}$. Oleta nämä asiat. Lämmitysenergia on yhtä suuri kuin rakenteiden läpi poistuva energia. Sisälämpötila on joka kuukausi sama. Kuukaudessa on $720\,\text{h}$.

   a) Piirrä pisteistä $(T_\text{ulko}, E)$ kuvaaja ja sovita siihen suora.

   b) Määritä suoran kulmakertoimesta talon lämpöhäviökerroin $UA$ yksikössä W/K, kun teho on $P = UA\Delta T$.

   c) Missä ulkolämpötilassa suora leikkaa vaaka-akselin, ja mitä se kertoo talosta?

   Anna vastauslaatikkoon kohdan b) tulos.

   Lämmitysenergia kuukaudessa (esimerkkiaineisto)

   $T_\text{ulko}\,({}^\circ\text{C})$	$E\,(\text{kWh})$
   8	1210
   2	1790
   −3	2340
   −8	2790

   W/KTarkista
   Vastaus

   $1{,}4 \cdot 10^{2}\,\dfrac{\text{W}}{\text{K}}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukosta pisteet $(T_\text{ulko}$; $E)$: $(8\,{}^\circ\text{C}$; $1210\,\text{kWh})$, $(2\,{}^\circ\text{C}$; $1790\,\text{kWh})$, $(-3\,{}^\circ\text{C}$; $2340\,\text{kWh})$, $(-8\,{}^\circ\text{C}$; $2790\,\text{kWh})$. Aika kuukaudessa on $t = 720\,\text{h}$.

   Kysytty

   talon lämpöhäviökerroin $UA$ yksikössä $\text{W/K}$

   Periaate

   Lämmitysenergia on yhtä suuri kuin rakenteiden läpi poistuva energia, $E = P\,t = UA\,\Delta T\,t$, ja $\Delta T = T_\text{sisä} - T_\text{ulko}$. Sisälämpötila ja $UA$ ovat vakioita. Silloin $E$ on ulkolämpötilan lineaarinen funktio, eli kuvaaja on suora. Suoran kulmakerroin on $-UA\,t$.

   Kuvaajan lukeminen

   Pisteet $(T_\text{ulko}, E)$ asettuvat likimain laskevalle suoralle. Ne eivät ole täsmälleen suoralla, koska mittauksissa on vaihtelua. Sovitettu suora kulkee pisteiden keskeltä. Kulmakerroin luetaan kahdesta suoran pisteestä: $(8\,{}^\circ\text{C}$; $1210\,\text{kWh})$ ja $(-8\,{}^\circ\text{C}$; $2810\,\text{kWh})$. Jälkimmäinen on suoran piste, ei mittauspiste. Taulukon arvo on $2790\,\text{kWh}$. Siis

   $k$$= \dfrac{2810\,\text{kWh} - 1210\,\text{kWh}}{-8\,\text{K} - 8\,\text{K}}$

   $= -100\,\dfrac{\text{kWh}}{\text{K}}$

   Kaava

   $k = -UA\,t$, josta $UA = \dfrac{-k}{t}$

   Muunnokset

   Kulmakertoimen suuruus on $100\,\dfrac{\text{kWh}}{\text{K}}$, ja

   $\dfrac{\text{kWh}}{\text{h}}$$= \text{kW}$

   Lopuksi $1\,\text{kW} = 1000\,\text{W}$.

   Sijoitus

   $UA$$= \dfrac{100\,\tfrac{\text{kWh}}{\text{K}}}{720\,\text{h}}$

   $= 0{,}1389\,\dfrac{\text{kW}}{\text{K}}$

   $= 139\,\dfrac{\text{W}}{\text{K}}$

   Vastaus

   $1{,}4 \cdot 10^{2}\,\dfrac{\text{W}}{\text{K}}$

   (laskettu arvo $139\,\dfrac{\text{W}}{\text{K}}$). Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla, koska suoran sovitus rajaa tarkkuutta.

   Järkevyys

   Tarkistus aineistosta: helmikuun kaltaisella kuukaudella $T_\text{ulko} = -8\,{}^\circ\text{C}$ ja $\Delta T \approx 28\,\text{K}$. Teho on $139 \cdot 28\,\text{W} \approx 3{,}9\,\text{kW}$ ja energia $3{,}9\,\text{kW} \cdot 720\,\text{h} \approx 2800\,\text{kWh}$. Se vastaa taulukon arvoa $2790\,\text{kWh}$.

   Mallivastaus c)-kohtaan

   suora leikkaa vaaka-akselin, kun $E = 0$, eli kun $\Delta T = 0$. Se tapahtuu noin $+20\,{}^\circ\text{C}$:ssa, joka on talon sisälämpötila. Sen yläpuolella ulkona lämmitystä ei tarvita. Suora siis kertoo sisälämpötilan, ei sattumanvaraista lukua. Todellisessa talossa ihmiset, laitteet ja aurinko tuottavat ilmaista lämpöä. Siksi leikkauspiste on tyypillisesti sisälämpötilaa alempana.

7. Tehtävä 16-15

   Oppilas laskee, kuinka kauan $0{,}80\,\text{kg}$ jäätä riittää kylmälaukussa. Laukun seinien yhteispinta-ala on $0{,}70\,\text{m}^2$ ja U-arvo $1{,}4\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$. Jää on $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa ja ulkona on $26\,{}^\circ\text{C}$. Laukussa on vain jäätä. Jään sulamislämpö on $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$. Oppilaan ratkaisu on tämä:

   ”Lämpötilat pitää muuttaa kelvineiksi, joten $\Delta T = 26 + 273 = 299\,\text{K}$. Teho on $P = UA\Delta T = 0{,}98 \cdot 299\,\text{W} \approx 293\,\text{W}$ ja aika $t = \dfrac{s\,m}{P} \approx 910\,\text{s} \approx 0{,}25\,\text{h}$.”

   a) Mikä oppilaan ratkaisussa on virheellistä?

   b) Laske jään kestoaika oikein tunteina.

   Anna vastauslaatikkoon kohdan b) tulos.

   hTarkista
   Vastaus

   $2{,}9\,\text{h}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jää $m = 0{,}80\,\text{kg}$, $T_\text{jää} = 0\,{}^\circ\text{C}$, ulkona $26\,{}^\circ\text{C}$, $A = 0{,}70\,\text{m}^2$, $U = 1{,}4\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$. Tehtävässä annettu $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$.

   Kysytty

   jään kestoaika $t$ tunteina. Lisäksi missä oppilaan virhe on.

   Periaate

   Oppilaan virhe on, että hän käytti lämpötilaeroksi ulkolämpötilaa kelvineinä, $26 + 273 = 299\,\text{K}$. Kaavaan $P = UA\Delta T$ tulee kahden lämpötilan erotus. Erotus on sama celsiusasteina ja kelvineinä, koska asteikoilla on sama aste: $26\,{}^\circ\text{C} - 0\,{}^\circ\text{C} = 26\,\text{K}$ eli $299\,\text{K} - 273\,\text{K}$. Oppilas jätti sisälämpötilan huomiotta. Kun jäätä on, sisällä on $0\,{}^\circ\text{C}$. Seinän läpi tuleva energia sulattaa jään, $UA\Delta T\,t = s\,m$.

   Kaava

   $UA\Delta T\,t = s\,m$, josta $t = \dfrac{s\,m}{UA\Delta T}$

   Muunnokset

   Lämpötiloja ei tarvitse muuntaa: $\Delta T = 26\,\text{K}$. Sulamislämpö on

   $s$$= 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$

   $= 334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$

   Lopuksi $1\,\text{h} = 3600\,\text{s}$.

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}} \cdot 0{,}80\,\text{kg}}{1{,}4\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}} \cdot 0{,}70\,\text{m}^2 \cdot 26\,\text{K}}$

   $= \dfrac{267\,200\,\text{J}}{25{,}48\,\text{W}}$

   $= 10\,487\,\text{s}$

   $= 2{,}913\,\text{h}$

   Vastaus

   $2{,}9\,\text{h}$

   Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla, kuten arvot $0{,}80\,\text{kg}$, $0{,}70\,\text{m}^2$ ja $1{,}4\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$.

   Järkevyys

   Oppilaan tulos $0{,}25\,\text{h}$ eli noin $15$ minuuttia olisi liian lyhyt. Teho $25\,\text{W}$ sulattaa kilogramman jäätä vasta tunneissa. Virheellisen ja oikean tuloksen suhde

   $\dfrac{2{,}913}{0{,}253}$$\approx 11{,}5$

   on sama kuin lämpötilaerojen suhde $\dfrac{299}{26} \approx 11{,}5$. Koko ero tulee siis väärästä $\Delta T$:stä. Tulos on saman kokoluokan kuin kappaleen esimerkissä: noin kolme tuntia.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 16-16

   Kiukaassa on $25\,\text{kg}$ kiviä ($c = 800\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$). Kiville heitetään $0{,}20\,\text{kg}$ 20-asteista vettä, joka lämpenee $100\,{}^\circ\text{C}$:seen ja höyrystyy kokonaan. Oletetaan, että kaikki tarvittava energia otetaan kivistä. Höyryn lämpenemistä ei oteta huomioon.

   Kuinka monta kelviniä kivien lämpötila laskee?

   KTarkista
   Vastaus

   $26\,\text{K}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kivet $m_\text{k} = 25\,\text{kg}$, $c_\text{k} = 800\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$. Vesi $m_\text{v} = 0{,}20\,\text{kg}$, $T_\text{alku} = 20\,{}^\circ\text{C}$, lämpenee $100\,{}^\circ\text{C}$:seen ja höyrystyy. Taulukosta $c_\text{v} = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ ja $r = 2260\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$.

   Kysytty

   kivien lämpötilan lasku $\Delta T_\text{k}$ kelvineinä

   Periaate

   Energia säilyy. Kaikki energia otetaan kivistä. Kivien luovuttama energia on siis yhtä suuri kuin veden vastaanottama. Vesi vastaanottaa energiaa kahdessa vaiheessa: lämpeneminen ja höyrystyminen. Kivet vain jäähtyvät, eikä niiden olomuoto muutu. Höyryn lämpenemistä ja kiukaan lämmitystä ei oteta huomioon.

   Kaava

   $c_\text{k}\,m_\text{k}\,\Delta T_\text{k}$$= m_\text{v}(c_\text{v}\,\Delta T_\text{v} + r)$

   joten

   $\Delta T_\text{k}$$= \dfrac{m_\text{v}(c_\text{v}\,\Delta T_\text{v} + r)}{c_\text{k}\,m_\text{k}}$

   Muunnokset

   $\Delta T_\text{v}$$= 100\,{}^\circ\text{C} - 20\,{}^\circ\text{C}$

   $= 80\,\text{K}$

   sama kelvineinä. Lisäksi

   $r$$= 2260\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$

   $= 2\,260\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$

   Sijoitus

   $c_\text{v}\,\Delta T_\text{v}$$= 4190 \cdot 80\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$

   $= 335\,200\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$

   $Q_\text{v}$$= 0{,}20\,\text{kg} \cdot (335\,200 + 2\,260\,000)\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$

   $= 519\,040\,\text{J}$

   $\Delta T_\text{k}$$= \dfrac{519\,040\,\text{J}}{800\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 25\,\text{kg}}$

   $= 25{,}95\,\text{K}$

   Vastaus

   $26\,\text{K}$

   Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla kuten massat $0{,}20\,\text{kg}$ ja $25\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Höyrystyminen vie $452\,\text{kJ}$ eli $87\,\%$ energiasta. Pelkkä lämpeneminen laskisi kivien lämpötilaa vain noin $3{,}4\,\text{K}$. Kivien lasku on pieni verrattuna niiden $300\,{}^\circ\text{C}$:n lämpötilaan, koska kiviä on paljon. Höyryn lämpeneminen kasvattaisi laskua hieman. Kiuas lämmittää kiviä koko ajan, ja se pienentäisi laskua. Luku $26\,\text{K}$ on lasku ilman kiukaan lämmitystä.

2. Tehtävä 16-17

   Eristettyyn astiaan sekoitetaan $0{,}500\,\text{kg}$ jäätä, jonka lämpötila on $0\,{}^\circ\text{C}$, ja $2{,}00\,\text{kg}$ vettä, jonka lämpötila on $30{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Mikä on seoksen lämpötila, kun lämpötasapaino on saavutettu? Tarkista ensin, sulaako kaikki jää.

   °CTarkista
   Vastaus

   $8{,}1\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jää $m_\text{jää} = 0{,}500\,\text{kg}$, $0\,{}^\circ\text{C}$. Vesi $m_\text{v} = 2{,}00\,\text{kg}$, $T_\text{v} = 30{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Astia on eristetty. Taulukosta $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ ja $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$.

   Kysytty

   seoksen loppulämpötila $T$ celsiusasteina

   Periaate

   Energia säilyy, koska astia on eristetty. Veden luovuttama energia sulattaa jään ja lämmittää sulaneen veden loppulämpötilaan. Se onnistuu vain, jos kaikki jää sulaa. Tarkistetaan ensin tämä. Vesi voi luovuttaa jäähtyessään $0\,{}^\circ\text{C}$:seen enintään $c\,m_\text{v}\,T_\text{v} = 251\,400\,\text{J}$. Jään sulattamiseen riittää $s\,m_\text{jää} = 167\,000\,\text{J}$. Koska $251\,400\,\text{J} > 167\,000\,\text{J}$, kaikki jää sulaa. Loppulämpötila on silloin yli $0\,{}^\circ\text{C}$.

   Kaava

   $c\,m_\text{v}(T_\text{v} - T) = s\,m_\text{jää} + c\,m_\text{jää}\,T$, joten

   $T$$= \dfrac{c\,m_\text{v}\,T_\text{v} - s\,m_\text{jää}}{c\,(m_\text{v} + m_\text{jää})}$

   Muunnokset

   Jää on $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa. Sulaneen veden lämpötilan muutos on siis $T - 0\,{}^\circ\text{C} = T$, ja vesi jäähtyy $T_\text{v} - T$. Erot ovat samat kelvineinä, ja $T$ saadaan suoraan celsiusasteina. Lisäksi $s = 334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.

   Sijoitus

   Osoittaja on

   $4190 \cdot 2{,}00 \cdot 30{,}0\,\text{J} - 334\,000 \cdot 0{,}500\,\text{J}$

   $= 251\,400\,\text{J} - 167\,000\,\text{J}$

   $= 84\,400\,\text{J}$

   Nimittäjä on

   $4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 2{,}50\,\text{kg}$

   $= 10\,475\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}$

   Siis

   $$T = \dfrac{84\,400\,\text{J}}{10\,475\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}} = 8{,}057\,{}^\circ\text{C}$$

   Vastaus

   $8{,}1\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla. Lähtöarvot $0{,}500\,\text{kg}$, $2{,}00\,\text{kg}$ ja $30{,}0\,{}^\circ\text{C}$ ovat kolmella numerolla. Osoittajan vähennys $251\,400 - 167\,000 = 84\,400\,\text{J}$ kuitenkin menettää yhden numeron. Siksi tuloksesta jää kaksi numeroa.

   Järkevyys

   Tulos on välillä $0\,{}^\circ\text{C}$ ja $30\,{}^\circ\text{C}$. Se on lähempänä jään lämpötilaa, koska vettä jäähdyttää myös sulaminen. Energiatase: vesi luovuttaa $4190 \cdot 2{,}00 \cdot (30{,}0 - 8{,}057)\,\text{J} = 183\,880\,\text{J}$. Jää ottaa

   $167\,000\,\text{J} + 4190 \cdot 0{,}500 \cdot 8{,}057\,\text{J}$

   $= 183\,880\,\text{J}$

   Jos veden energia olisi jäänyt alle $167\,000\,\text{J}$:n, tulos olisi $0\,{}^\circ\text{C}$ ja jäätä jäisi.

3. Tehtävä 16-18

   Kylmälaukun seinien yhteispinta-ala on $0{,}50\,\text{m}^2$ ja U-arvo $1{,}5\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$.

   Laukkuun pakataan $0{,}50\,\text{kg}$ juomia. Juomien lämpötila on $24\,{}^\circ\text{C}$ ja ominaislämpökapasiteetti veden arvo $4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$. Laukkuun pakataan myös pakastimesta otettu jääpussi, jonka lämpötila on $-10\,{}^\circ\text{C}$ ($c_\text{jää} = 2100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$). Ulkona on $30\,{}^\circ\text{C}$.

   Jäätä pitää riittää 6,0 tunniksi.

   Tee kolme oletusta. Juomat jäähtyvät heti $0\,{}^\circ\text{C}$:seen. Jää lämpenee ensin $0\,{}^\circ\text{C}$:seen ja sulaa sitten. Seinän läpi tulee sama teho koko ajan, kuin sisällä olisi $0\,{}^\circ\text{C}$.

   Kuinka suuri jääpussin massan vähintään pitää olla? Anna vastaus kilogrammoina.

   kgTarkista
   Vastaus

   $1{,}5\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $U = 1{,}5\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\text{K}}$, $A = 0{,}50\,\text{m}^2$, ulkona $30\,{}^\circ\text{C}$ ja sisällä $0\,{}^\circ\text{C}$ eli $\Delta T = 30\,\text{K}$, $t = 6{,}0\,\text{h}$. Juomat $m_\text{j} = 0{,}50\,\text{kg}$, $\Delta T_\text{j} = 24\,\text{K}$, $c = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$. Jää $-10\,{}^\circ\text{C} \to 0\,{}^\circ\text{C}$, $c_\text{jää} = 2100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$. Taulukosta $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$.

   Kysytty

   jääpussin pienin massa $m$ kilogrammoina

   Periaate

   Energia säilyy. Jään täytyy 6,0 tunnin aikana ottaa vastaan kaksi energiaa: seinän läpi tuleva energia ja juomien luovuttama energia. Jää lämpenee ensin $-10\,{}^\circ\text{C}$:sta $0\,{}^\circ\text{C}$:seen ($c_\text{jää}\,\Delta T_\text{jää}$). Sitten se sulaa ($s$). Tehtävän oletuksen mukaan sisällä on $0\,{}^\circ\text{C}$, joten seinän teho pysyy vakiona.

   Kaava

   $m\,(c_\text{jää}\,\Delta T_\text{jää} + s)$

   $= U A\,\Delta T\,t + c\,m_\text{j}\,\Delta T_\text{j}$

   joten

   $m$$= \dfrac{U A\,\Delta T\,t + c\,m_\text{j}\,\Delta T_\text{j}}{c_\text{jää}\,\Delta T_\text{jää} + s}$

   Muunnokset

   $t$$= 6{,}0\,\text{h}$

   $= 21\,600\,\text{s}$

   $s = 334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$. Jään lämpötilan muutos on

   $\Delta T_\text{jää}$$= 0\,{}^\circ\text{C} - (-10\,{}^\circ\text{C})$

   $= 10\,\text{K}$

   sama kelvineinä.

   Sijoitus

   Seinän energia:

   $U A\,\Delta T\,t$$= 1{,}5 \cdot 0{,}50 \cdot 30 \cdot 21\,600\,\text{J}$

   $= 486\,000\,\text{J}$

   Juomien energia:

   $c\,m_\text{j}\,\Delta T_\text{j}$$= 4190 \cdot 0{,}50 \cdot 24\,\text{J}$

   $= 50\,280\,\text{J}$

   Jään energia kilogrammaa kohti:

   $c_\text{jää}\,\Delta T_\text{jää} + s$

   $= 21\,000 + 334\,000$

   $= 355\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$

   Pienin massa:

   $m$$= \dfrac{486\,000\,\text{J} + 50\,280\,\text{J}}{355\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}}$

   $= 1{,}511\,\text{kg}$

   Vastaus

   $1{,}5\,\text{kg}$

   Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla, koska U-arvo $1{,}5$, pinta-ala $0{,}50\,\text{m}^2$, juomien massa $0{,}50\,\text{kg}$ ja aika $6{,}0\,\text{h}$ ovat kaikki kahdella numerolla.

   Järkevyys

   Seinä tuo $486\,\text{kJ}$ ja juomat $50\,\text{kJ}$. Yhteensä energiaa on noin $536\,\text{kJ}$. Jos jää olisi jo $0\,{}^\circ\text{C}$:ssa, tarvittaisiin $\tfrac{536\,\text{kJ}}{334\,\text{kJ/kg}} \approx 1{,}6\,\text{kg}$. Pakastinjään lämmittäminen vie noin $\tfrac{21}{334} \approx 6\,\%$ enemmän energiaa kilogrammaa kohti. Tarvittava massa on siksi hieman pienempi, $1{,}51\,\text{kg}$. Kahdella numerolla pienin sopiva massa on $1{,}5\,\text{kg}$.

4. Tehtävä 16-19

   Mökin seinien, katon ja ikkunoiden keskimääräinen U-arvo on $0{,}50\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}$. Niiden pinta-ala on yhteensä $120\,\text{m}^2$. Sisälämpötila pidetään koko lämmityskauden ajan vakiona $18\,{}^\circ\text{C}$:ssa. Taulukossa on esimerkkiaineisto lämmityskauden kuukausien keskilämpötiloista ulkona. Kuukaudessa on $720\,\text{h}$. Oleta, että lämmitysenergia on yhtä suuri kuin rakenteiden läpi johtuva energia.

   Lämmitys hoidetaan jommallakummalla tavalla. Vaihtoehto (A) on sähköpatterit. Niiden hyötysuhde on käytännössä $100\,\%$ ja sähkön hinta $0{,}15\,\tfrac{\text{€}}{\text{kWh}}$. Vaihtoehto (B) on puulämmitteinen takka. Sen hyötysuhde on $70\,\%$, polttopuun lämpöarvo $15\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$ ja hinta $0{,}18\,\tfrac{\text{€}}{\text{kg}}$.

   a) Laske lämmitysenergian tarve koko lämmityskaudella kilowattitunteina.

   b) Laske kummankin ratkaisun kustannus lämmityskaudella.

   c) Kumpi ratkaisu on edullisempi, ja kuinka monta euroa se säästää? Perustele kirjallisesti, mitkä oletukset ja hinnat vaikuttavat johtopäätökseen.

   Anna vastauslaatikkoon kohdan c) euromäärä.

   Kuukauden keskilämpötila ulkona (esimerkkiaineisto)

   Kuukausi	$T_\text{ulko}\,({}^\circ\text{C})$
   Lokakuu	5
   Marraskuu	0
   Joulukuu	−4
   Tammikuu	−9
   Helmikuu	−7
   Maaliskuu	−3

   €Tarkista
   Vastaus

   $480\,\text{€}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   keskimääräinen $U = 0{,}50\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\text{K}}$, $A = 120\,\text{m}^2$, $T_\text{sisä} = 18\,{}^\circ\text{C}$, $t = 720\,\text{h}$ kuukaudessa. Ulkolämpötilat taulukosta: $5\,{}^\circ\text{C}$, $0\,{}^\circ\text{C}$, $-4\,{}^\circ\text{C}$, $-9\,{}^\circ\text{C}$, $-7\,{}^\circ\text{C}$, $-3\,{}^\circ\text{C}$. A: $\eta_\text{A} = 1{,}00$, $0{,}15\,\tfrac{\text{€}}{\text{kWh}}$. B: $\eta_\text{B} = 0{,}70$, lämpöarvo $H = 15\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$, $0{,}18\,\tfrac{\text{€}}{\text{kg}}$.

   Kysytty

   edullisemman ratkaisun säästö kustannuksissa lämmityskaudella euroina

   Periaate

   Lämmitysenergia on yhtä suuri kuin rakenteiden läpi johtuva energia. Jokaisen kuukauden teho on $P = UA\Delta T$ ja energia $P\,t$. Suureet $UA$, $t$ ja sisälämpötila ovat samat joka kuukausi. Siksi koko kauden energia on $UA\,t\,\Sigma\Delta T$. Polttoaineesta tarvitaan tämä energia jaettuna hyötysuhteella. Polttopuun massa saadaan lämpöarvosta.

   Kaava

   $E = UA\,t\,\Sigma\Delta T$, sähkön kustannus

   $C_\text{A}$$= \dfrac{E}{\eta_\text{A}}\,h_\text{A}$

   ja puun kustannus

   $C_\text{B}$$= \dfrac{E}{\eta_\text{B}\,H}\,h_\text{B}$

   Säästö on $C_\text{A} - C_\text{B}$.

   Muunnokset

   Lämpötilaerot $\Delta T = 18\,{}^\circ\text{C} - T_\text{ulko}$ ovat samat kelvineinä: $13$, $18$, $22$, $27$, $25$ ja $21\,\text{K}$. Lämpöhäviökerroin on

   $UA$$= 0{,}50 \cdot 120\,\tfrac{\text{W}}{\text{K}}$

   $= 60\,\tfrac{\text{W}}{\text{K}}$

   $= 0{,}060\,\tfrac{\text{kW}}{\text{K}}$

   Lämpöarvo $15\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$ muutetaan: $1\,\text{kWh} = 3{,}6\,\text{MJ}$, joten

   $H$$= \dfrac{15}{3{,}6}\,\tfrac{\text{kWh}}{\text{kg}}$

   $= 4{,}167\,\tfrac{\text{kWh}}{\text{kg}}$

   Sijoitus

   Lämpötilaerojen summa on $13 + 18 + 22 + 27 + 25 + 21 = 126\,\text{K}$, joten

   $E$$= 0{,}060\,\tfrac{\text{kW}}{\text{K}} \cdot 720\,\text{h} \cdot 126\,\text{K}$

   $= 5443\,\text{kWh}$

   Sähkö:

   $C_\text{A}$$= \dfrac{5443\,\text{kWh}}{1{,}00} \cdot 0{,}15\,\tfrac{\text{€}}{\text{kWh}}$

   $= 816{,}5\,\text{€}$

   Puu: massa $= \dfrac{5443\,\text{kWh}}{0{,}70 \cdot 4{,}167\,\tfrac{\text{kWh}}{\text{kg}}} = 1866\,\text{kg}$, joten

   $C_\text{B}$$= 1866\,\text{kg} \cdot 0{,}18\,\tfrac{\text{€}}{\text{kg}}$

   $= 335{,}9\,\text{€}$

   Säästö:

   $C_\text{A} - C_\text{B}$$= 816{,}5\,\text{€} - 335{,}9\,\text{€}$

   $= 480{,}6\,\text{€}$

   Vastaus

   noin $480\,\text{€}$ ($480{,}6\,\text{€}$). Tämän mallin mukaan puulämmitys on noin $480\,\text{€}$ edullisempi. Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla, koska $U = 0{,}50$ ja $A = 120\,\text{m}^2$ tunnetaan kahdella numerolla.

   Järkevyys

   Kauden energia $5443\,\text{kWh} \approx 19{,}6\,\text{GJ}$ ja puun energiasisältö

   $1866\,\text{kg} \cdot 15\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}} \cdot 0{,}70$

   $\approx 19{,}6\,\text{GJ}$

   täsmäävät. Yhden hyödyksi saadun kilowattitunnin hinta on sähköllä $0{,}15\,\tfrac{\text{€}}{\text{kWh}}$ ja puulla

   $\dfrac{0{,}18}{0{,}70 \cdot 4{,}167}\,\tfrac{\text{€}}{\text{kWh}}$

   $\approx 0{,}062\,\tfrac{\text{€}}{\text{kWh}}$

   Sähkö on siis noin $2{,}4$ kertaa kalliimpaa. Kustannussuhde $816{,}5 : 335{,}9 \approx 2{,}4$ on sama.

   Mallivastaus c)-kohtaan

   puulämmitys on edullisempi. Johtopäätös riippuu hinnoista ja hyötysuhteista. Jos puun hinta olisi yli noin $0{,}44\,\tfrac{\text{€}}{\text{kg}}$, sähkö olisi halvempaa. Malli olettaa, että sisälämpötila on vakio ja että kuukausien keskilämpötilat riittävät. Malli olettaa myös, että vain $UA$ kuvaa häviöt. Ilmanvaihto, takan käyttämisen vaiva ja puun varastointi eivät näy laskussa. Esimerkkiaineiston hinnat ja lämpötilat ovat keksittyjä.

5. Tehtävä 16-20

   Jäähallin jääkentän pituus on $60\,\text{m}$ ja leveys $30\,\text{m}$. Kenttä jäädytetään näin: betonilaatalle ruiskutetaan $0{,}030\,\text{m}$ paksu kerros vettä, jonka lämpötila on $12\,{}^\circ\text{C}$. Kerros jäädytetään kokonaan, ja valmiin jään lämpötila on $-5{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Veden tiheys on $1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$, veden ominaislämpökapasiteetti $4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$ ja jään ominaislämpökapasiteetti $2100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$. Jäähdytyskone poistaa energian tasaisella teholla $10$ tunnin aikana. Oleta, että koko teho kuluu kolmeen asiaan: veden jäähdyttämiseen, jäädyttämiseen ja jään jäähdyttämiseen.

   a) Laske jäädytettävän veden massa.

   b) Laske kolmen vaiheen energiat erikseen: veden jäähtyminen $0\,{}^\circ\text{C}$:seen, jäätyminen ja jään jäähtyminen $-5{,}0\,{}^\circ\text{C}$:seen.

   c) Laske jäähdytyskoneen tarvittava keskimääräinen teho kilowatteina.

   d) Mikä vaihe vaatii eniten energiaa, ja miksi todellinen tarvittava jäähdytysteho on laskettua suurempi?

   Anna vastauslaatikkoon kohdan c) tulos.

   kWTarkista
   Vastaus

   $590\,\text{kW}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pituus $60\,\text{m}$, leveys $30\,\text{m}$, vesikerroksen paksuus ennen jäätymistä $0{,}030\,\text{m}$, veden alkulämpötila $12\,{}^\circ\text{C}$, jään loppulämpötila $-5{,}0\,{}^\circ\text{C}$, $\rho = 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$, $c_\text{vesi} = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$, $c_\text{jää} = 2100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$, aika $t = 10\,\text{h}$. Taulukosta $s = 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$.

   Kysytty

   jäähdytyskoneen keskimääräinen teho $P$ kilowatteina

   Periaate

   Kone poistaa vedestä energian kolmessa vaiheessa, ja koko teho kuluu niihin: $P\,t = Q_1 + Q_2 + Q_3$. Vesi jäähtyy ensin $0\,{}^\circ\text{C}$:seen ($Q_1 = c_\text{vesi}\,m\,\Delta T_1$). Sitten se jäätyy vakiolämpötilassa ($Q_2 = s\,m$). Jäätyessä vapautuu sama energia kuin sulamiseen tarvitaan. Lopuksi jää jäähtyy $-5{,}0\,{}^\circ\text{C}$:seen ($Q_3 = c_\text{jää}\,m\,\Delta T_3$). Jäätymisen aikana lämpötila ei muutu, joten sille ei käytetä kaavaa $c\,\Delta T$.

   Kaava

   $m = \rho\,V$, $P\,t = c_\text{vesi}\,m\,\Delta T_1 + s\,m + c_\text{jää}\,m\,\Delta T_3$, josta

   $P$$= \dfrac{m\,(c_\text{vesi}\,\Delta T_1 + s + c_\text{jää}\,\Delta T_3)}{t}$

   Muunnokset

   Lämpötilan muutokset ovat samat kelvineinä: $\Delta T_1 = 12\,\text{K}$ ja $\Delta T_3 = 5{,}0\,\text{K}$. Lisäksi

   $s$$= 334\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$

   $= 334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$

   $t = 10\,\text{h} = 36\,000\,\text{s}$.

   Sijoitus

   Tilavuus on

   $V$$= 60\,\text{m} \cdot 30\,\text{m} \cdot 0{,}030\,\text{m}$

   $= 54\,\text{m}^3$

   ja massa

   $m$$= 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 54\,\text{m}^3$

   $= 54\,000\,\text{kg}$

   Veden jäähtyminen:

   $Q_1$$= 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 54\,000\,\text{kg} \cdot 12\,\text{K}$

   $= 2{,}715 \cdot 10^{9}\,\text{J}$

   Jäätyminen:

   $Q_2$$= 334\,000\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}} \cdot 54\,000\,\text{kg}$

   $= 18{,}04 \cdot 10^{9}\,\text{J}$

   Jään jäähtyminen:

   $Q_3$$= 2100\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 54\,000\,\text{kg} \cdot 5{,}0\,\text{K}$

   $= 0{,}567 \cdot 10^{9}\,\text{J}$

   Yhteensä $Q = 21{,}32 \cdot 10^{9}\,\text{J}$, ja teho

   $P$$= \dfrac{21{,}32 \cdot 10^{9}\,\text{J}}{36\,000\,\text{s}}$

   $= 592\,200\,\text{W}$

   $= 592\,\text{kW}$

   Vastaus

   $590\,\text{kW}$

   Vastaus on annettu kahdella merkitsevällä numerolla, koska vesikerroksen paksuus $0{,}030\,\text{m}$ ja jään lämpötila $-5{,}0\,{}^\circ\text{C}$ ovat kahdella numerolla.

   Järkevyys

   Arvio: kun $54\,000\,\text{kg}$ jäätyy, tarvitaan noin $0{,}33\,\text{MJ/kg} \cdot 54\,000\,\text{kg} \approx 18\,\text{GJ}$ ja kaikkiaan noin $21\,\text{GJ}$. Se on $21{,}3\,\text{GJ} : 3{,}6\,\text{GJ/MWh} \approx 5{,}9\,\text{MWh}$ eli noin $5900\,\text{kWh}$. Kymmenessä tunnissa teho on noin $590\,\text{kW}$.

   Mallivastaus d)-kohtaan

   jäätyminen vaatii eniten, noin $85\,\%$ koko energiasta. Jäätymislämpö $s = 334\,\text{kJ/kg}$ vastaa suunnilleen $80\,\text{K}$:n lämpötilan muutosta vedessä ($334 : 4{,}19 \approx 80$). Veden ja jään jäähtyminen on vain $12\,\text{K}$ ja $5{,}0\,\text{K}$. Todellinen tarvittava jäähdytysteho on laskettua suurempi, koska hallin ilmasta, valaistuksesta, katsojista, betonilaatasta ja maaperästä tulee lisää lämpöä. Malli antaa siis alarajan. Koneen sähköteho riippuu lisäksi sen kylmäkertoimesta.