Mihin tarvitset tätä

Tutkimuksessa Pallon muotokertoimen määrittäminen rajanopeus saadaan paikka–aika-kuvaajan kulmakertoimesta, tutkimuksessa Leikkiauton nopeus ja lähtökorkeus nopeus saadaan valoportin ajasta, ja tutkimuksessa Hissin kulkema matka kiihtyvyydestä matka lasketaan kiihtyvyysdatasta.

Työvaiheet

Laskut tehdään Graphical Analysis Prossa laskettuina sarakkeina (Taulukko ja lasketut sarakkeet). Lausekkeissa sarakkeiden nimet ovat lainausmerkeissä, ja tässä ohjeessa ne ovat t, x, v ja a. Kirjoita omaan lausekkeeseesi nimet täsmälleen sellaisina kuin taulukon otsikossa näkyy: anturin sarakkeet tulevat taulukkoon anturin antamilla nimillä, jotka voivat olla muita kuin nämä.

Paikasta nopeus

1. Ymmärrä keskinopeus. Kun kappaleen paikka $x$ on mitattu hetkillä $t$, keskinopeus kahden mittauksen välillä on

   $$v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$$

   missä $\Delta x$ on siirtymä eli paikan muutos ja $\Delta t$ siihen kulunut aika; tässä $\Delta$ tarkoittaa muutosta. Lyhyellä välillä tulos on lähellä hetkellistä nopeutta, mutta paikan pienetkin mittausvirheet näkyvät siinä voimakkaasti, koska ne jaetaan lyhyellä ajalla. Siksi nopeutta ei lasketa peräkkäisten rivien erotuksista.

2. Laske nopeus derivaattana. Tee laskettu sarake v, yksikkö $\text{m/s}$, lausekkeella firstDerivative("x","t",7). Ohjelma laskee jokaisen rivin nopeuden usean ympäröivän rivin avulla keskitetysti, jolloin mittausvirheet tasoittuvat. Viimeinen luku on käytettävien pisteiden määrä ($3$, $5$, $7$, …). Suurempi luku tasoittaa enemmän mutta pyöristää myös nopeita muutoksia. Lauseke on Pro-ominaisuus.

3. Määritä hetkellinen nopeus kuvaajasta. $(t, x)$-kuvaajassa hetkellinen nopeus on kuvaajan tangentin kulmakerroin kyseisellä hetkellä. Kytke kuvaajatyökalujen valikosta (kuvaajan vasemman alakulman kuvake) päälle Tangentti, niin ohjelma näyttää tangentin kulmakertoimen valitsemassasi kohdassa. Tasaisessa liikkeessä kuvaaja on suora, ja nopeus on sovitetun suoran kulmakerroin. Sovita suora vain siihen osaan, jossa liike on tasaista. Jos paikka pienenee ajan kuluessa, kulmakerroin on negatiivinen, ja vauhti on sen itseisarvo.

Valoportista nopeus

1. Jaa liuskan leveys katkoajalla. Kun kappaleen liuska, jonka leveys on $b$, katkaisee valoportin säteen ajaksi $\Delta t$, kappaleen keskinopeus portin kohdalla on $v = \tfrac{b}{\Delta t}$. Kapealla liuskalla se on lähellä hetkellistä nopeutta. Esimerkiksi $1{,}0\,\text{cm}$:n liuska ja katkoaika $0{,}020\,\text{s}$ antavat nopeuden $v = 0{,}010\,\text{m} : 0{,}020\,\text{s} = 0{,}50\,\text{m/s}$. Muunna leveys metreiksi ennen jakamista. Valoportin mittaustapa (englanninkielisessä versiossa Speed Through Gate) laskee saman (Anturit ja mittausohjelma), kun liuskan leveys on annettu oikein.

Nopeudesta matka

1. Ymmärrä pinta-ala suikaleina. Siirtymä on $(t, v)$-kuvaajan ja aika-akselin välinen pinta-ala. Kun nopeus muuttuu, ala jaetaan kapeisiin suikaleisiin. Suikaleen leveys on aikaväli $\Delta t$ ja korkeus likimain sen aikainen nopeus, joten sen ala on siirtymä $\Delta s \approx v \cdot \Delta t$. Kun suikaleiden alat lasketaan yhteen, saadaan koko siirtymä. Kun kappale liikkuu koko ajan samaan suuntaan, siirtymä on sama kuin kuljettu matka $s$.

2. Laske pinta-ala ohjelmalla. Kun tarvitset siirtymän tietyllä välillä, valitse väli vetämällä kuvaajan yli ja valitse avautuvasta valikosta Integraali. Kun tarvitset siirtymän jokaisella hetkellä, tee laskettu sarake s, yksikkö $\text{m}$, lausekkeella integral("v","t"). Se laskee suikaleiden alat yhteen ensimmäisestä rivistä nykyiseen riviin, joten siirtymä alkaa arvosta $s = 0$. Se on kuljettu matka vain, kun kappale liikkuu koko ajan samaan suuntaan.

Kiihtyvyydestä nopeus ja matka

1. Laske ensin nopeus, sitten matka. Nopeuden muutos on $(t, a)$-kuvaajan pinta-ala, joten nopeus lasketaan kiihtyvyydestä samalla tavalla: tee sarake v lausekkeella integral("a","t") ja siitä sarake s lausekkeella integral("v","t"). Lauseke integral("a","t") antaa nopeuden muutoksen alusta lähtien, koska lasketun nopeuden alkuarvo on nolla. Se on nopeus vain, kun kappale on alussa levossa. Samoin integral("v","t") antaa siirtymän, joka on matka vain, kun liike on koko ajan samaan suuntaan.

2. Varo nollakohdan virhettä. Jos jokaisessa kiihtyvyyslukemassa on sama pieni virhe $\delta a$, laskettuun nopeuteen kertyy virhettä $\delta a \cdot t$ ja matkaan $\tfrac{1}{2} \cdot \delta a \cdot t^2$. Virhe kasvaa siis ajan mukana, matkassa ajan neliönä. Määritä anturin nollakohta lepojakson lukemien keskiarvona valinnalla Tilastotiedot ja vähennä se lukemista lasketussa sarakkeessa ennen integrointia. Tarkista lopuksi, palaako laskettu nopeus nollaan, kun kappale on pysähtynyt.

Tavallisimmat virheet

• Nopeus on laskettu peräkkäisistä riveistä kohinaisesta datasta. Nopeus hyppii rivistä toiseen. Laske nopeus lausekkeella firstDerivative("x","t",7) tai sovita suora tasaisen liikkeen osaan.
• Suora on sovitettu koko kuvaajaan, vaikka liike on tasaista vain osan ajasta. Kulmakerroin on liian pieni. Rajaa sovitus tasaisen liikkeen osaan.
• Liuskan leveys on jätetty millimetreiksi. Nopeus on tuhatkertainen. Muunna leveys metreiksi.
• Siirtymä ja matka on sekoitettu. Kun kappale liikkuu välillä taaksepäin, nopeus ja pinta-ala ovat sillä välillä negatiivisia, eikä siirtymä ole kuljettu matka.
• Nollakohtaa ei korjattu. Laskettu nopeus ei palaa nollaan, vaikka kappale pysähtyi, ja matka kasvaa koko ajan. Korjaa nollakohta ennen integrointia.

Tarkista ennen kuin jatkat

• Tiedät, onko laskemasi nopeus keskinopeus vai hetkellinen nopeus.
• Pinta-alan yksikkö on oikea: $(t, v)$-kuvaajasta $\text{m}$, $(t, a)$-kuvaajasta $\text{m/s}$.
• Kiihtyvyysdatasta laskettu nopeus palaa nollaan, kun kappale pysähtyy.