Pudotus- ja pomppukorkeus
Tutkimuskysymys: Miten pallon pomppukorkeus riippuu pudotuskorkeudesta, ja kuinka suuri osa pallon mekaanisesta energiasta säilyy pompussa?
Pudotettu pallo ei koskaan pomppaa takaisin samalle korkeudelle, josta se lähti. Tässä tutkimuksessa selvität mittaamalla, miten pomppukorkeus riippuu pudotuskorkeudesta, ja päättelet tuloksesta, kuinka suuri osa energiasta säilyy pompussa. Mittaa, piirrä ja päättele itse: tämä sivu kertoo, mitä tutkitaan, ja tukee sinua niin paljon kuin valitsemasi työtapa lupaa.
Tässä tutkimuksessa opit
- muuttamaan tutkimuskysymyksen mitattaviksi suureiksi ja valitsemaan, mitä muutat ja mitä pidät vakiona
- arvioimaan toistomittausten avulla, kuinka tarkasti suure saadaan mitattua
- tulkitsemaan kuvaajan kulmakertoimen fysikaalisesti
Vaativuus
- Pomppukorkeus pudotuskorkeuden funktiona: fysiikka F1 · koe E1
- Peräkkäiset pomput videolta: fysiikka F2 · koe E2
F1–F3 kertoo, kuinka vaativaa fysiikkaa työ tarvitsee, E1–E3 kuinka vaativa mittaus ja analyysi on. Tuen määrän valitset itse alla.
Tässä työssä tarvitset näitä tietoja ja taitoja
Fysiikan tiedot
- välttämätön Liike-energia, potentiaalienergia ja mekaaninen energia (FY4)Pallon potentiaalienergia $E_p = mgh$ ja liike-energia ovat tutkimuksen malli.
- välttämätön Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate (FY4)Putoamisen ja nousun aikana mekaaninen energia säilyy lähes muuttumattomana, mutta pompussa osa siitä muuttuu muiksi energiamuodoiksi.
- hyödyllinen Ilmanvastus ja putoaminen ilmassa (FY4)Kevyellä pallolla ilmanvastus voi pienentää pomppukorkeutta suurilla pudotuskorkeuksilla.
Kokeelliset taidot
- välttämätön Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus (FY1)Toistomittausten keskiarvo ja mittausepävarmuuden arvioiminen.
- välttämätön Graafinen esitys ja suoran sovittaminen (FY1)Kuvaajan laatiminen, suoran sovittaminen ja kulmakertoimen tulkinta.
- hyödyllinen Oma kokeellinen tutkimus: suunnittelu, toteutus ja raportointi (FY1)Oman tutkimuksen suunnittelu ja työselostuksen rakenne.
TVT-taidot
- välttämätön Mittauspisteiden kuvaaja ja suoran sovitus ohjelmalla (Graphical Analysis Pro) (ohje: Mittauspisteiden kuvaaja, Suoran sovittaminen mittauspisteisiin, Kulmakertoimen ja vakiotermin tulkinta, Kulmakertoimen epävarmuus)Kulmakerroin ja sen epävarmuus saadaan sovituksesta.
- hyödyllinen Hidastetun videon kuvaaminen ja kuva kuvalta katselu puhelimella (ohje: Videoanalyysi)Pompun lakikohta on helpompi lukea videolta kuin silmällä; laajennuksessa video on välttämätön.
Välineet
- pallo, esimerkiksi tennispallo tai pingispallo
- seinään kiinnitetty mittanauha tai pitkä mitta-asteikko
- kova ja tasainen lattia
- puhelin videon kuvaamiseen ja jalusta
- vakaa korokejakkara korkeita pudotuksia varten
Turvallisuus
- Seiso korkeita pudotuksia varten vakaalla korokkeella, älä pyörivällä tuolilla tai pöydällä.
- Varmista, ettei kukaan kompastu karkaavaan palloon.
Tutkimustehtävä
Selvitettävä: miten pomppukorkeus riippuu pudotuskorkeudesta ja kuinka suuri osa pallon mekaanisesta energiasta säilyy yhdessä pompussa, epävarmuuksineen.
Päätät itse: pallon ja alustan, pudotuskorkeudet ja niiden määrän, toistojen määrän, sen, mistä kohdasta palloa korkeudet mitataan ja miten luet pomppukorkeuden, kuvaajan akselit perusteluineen sekä tavan, jolla arvioit tuloksen epävarmuuden. Ohjatussa ja osittain ohjatussa työtavassa sivu antaa näihin tukea, itsenäisessä työtavassa perustelet valintasi itse.
Itsenäinen työtapa. Laajennus, peräkkäisten pomppujen mittaaminen videolta, kuuluu työhösi: vertaa sen tulosta päämittauksen tulokseen.
Ennusta
Kirjoita ennusteesi vihkoon tai työselostuksen hypoteesiksi ennen kuin luet eteenpäin ja ennen kuin mittaat:
- Jos pudotuskorkeus kaksinkertaistuu, mitä arvelet tapahtuvan pomppukorkeudelle?
- Kasvaako pomppukorkeus samassa suhteessa kuin pudotuskorkeus, vai jotenkin muuten? Mitä arvelet tapahtuvan aivan pienillä pudotuskorkeuksilla?
- Mihin pompussa menetetty energia joutuu?
- Mikä mittauksessa on todennäköisesti vaikeinta, ja miten voisit helpottaa sitä?
Perustele ennusteesi fysiikan avulla. Palaat siihen johtopäätöksissä.
Tutkimuskysymyksestä mitattaviksi suureiksi
Tutkimuskysymyksessä kysytään energiaa, mutta energiaa ei voi lukea mitta-asteikolta. Ennen kuin luet eteenpäin, kirjaa:
- Mitkä suureet mittaamalla saat selville, kuinka suuri osa pallon energiasta säilyy pompussa? Perustele energian avulla.
- Mitä muutat, mitä mittaat ja mitä pidät vakiona?
- Mistä kohdasta palloa korkeudet kannattaa mitata, ja miksi?
Teoriaa lyhyesti
Pallo pudotetaan levosta. Jos ilmanvastus on pieni, mekaaninen energia säilyy putoamisen ja nousun aikana: potentiaalienergia muuttuu liike-energiaksi ja takaisin. Pompussa pallo ja lattia muuttavat hetkeksi muotoaan, ja osa energiasta muuttuu sisäenergiaksi ja ääneksi.
Tarkista kirjauksesi tästä. Merkitään pudotuskorkeutta $h_0$ ja pomppukorkeutta $h_1$, ja mitataan molemmat lattiasta pallon alapintaan. Kun pallon alapinta on lattian tasolla, pallon potentiaalienergia on pienimmillään, joten lattia on luonteva nollataso. Jos mittaat korkeudet pallon yläpintaan, vähennä niistä pallon halkaisija.
Pudotuskohdassa pallolla on vain potentiaalienergiaa $mgh_0$, ja juuri ennen osumista lattiaan se on muuttunut liike-energiaksi. Lattiasta lähtiessään pallolla on vähemmän liike-energiaa kuin osuessaan, ja pompun lakikohdassa, jossa pallo on hetken levossa, sen potentiaalienergia on $mgh_1$. Pompussa säilyneen mekaanisen energian osuus on siis
$$\frac{E_1}{E_0} = \frac{mgh_1}{mgh_0} = \frac{h_1}{h_0}$$
missä $E_0$ on pallon mekaaninen energia ennen pomppua ja $E_1$ pompun jälkeen. Massa $m$ ja putoamiskiihtyvyys $g$ supistuvat pois, joten osuus saadaan pelkistä korkeuksista.
Yksinkertaisin malli on, että osuus ei riipu pudotuskorkeudesta. Silloin pomppukorkeus on suoraan verrannollinen pudotuskorkeuteen:
$$h_1 = a h_0$$
missä $a$ on pompussa säilyvän energian osuus, ja kuvaaja $h_1$ pudotuskorkeuden $h_0$ funktiona on origon kautta kulkeva suora, jonka kulmakerroin on $a$. Pätevätkö malli ja sen oletukset, selviää vasta mittaamalla: ilmanvastus tai suuri törmäysnopeus voi saada pisteet poikkeamaan suoralta.
Suunnittele
Ennen mittaamista päätä ja kirjaa ylös, mitä muutat, mitä mittaat ja mitä pidät vakiona.
Ohjattu. Muutat pudotuskorkeutta $h_0$ ja mittaat jokaisella pudotuskorkeudella pomppukorkeuden $h_1$. Vakiona pidät pallon, alustan ja tavan, jolla pudotat pallon. Käytä ainakin kuutta pudotuskorkeutta tasaisin välein, esimerkiksi välillä $0{,}30\ \text{m}$ – $1{,}80\ \text{m}$, ja pudota pallo jokaiselta korkeudelta ainakin kolme kertaa.
Osittain ohjattu. Muuttuja on pudotuskorkeus. Päätä itse, mitä korkeuksia käytät, montako toistoa teet kullakin korkeudella ja miten luet pomppukorkeuden. Kirjaa päätöksesi perusteluineen.
Mieti ainakin näitä:
- Mistä kohdasta palloa mittaat korkeudet? Miksi kohdan on oltava sama pudotuksessa ja pompussa, ja miksi alapinta on luontevin valinta?
- Miten varmistat, että pallo lähtee levosta eikä saa vauhtia kädestä?
- Miten luet pomppukorkeuden, kun pallo on lakikohdassa vain hetken? Voisiko hidastettu video auttaa?
Vihje lukemiseen. Lakikohdan lukeminen silmällä onnistuu parhaiten, kun silmä on suunnilleen lakikohdan korkeudella ja asteikko on aivan pallon takana. Videolta lukeminen on tarkempaa: kuvaa hidastettuna jalustalta ja etsi kuva, jossa pallo on ylimmillään. Jos kamera on kaukana asteikosta tai kuvaa vinosti, lukemassa on virhettä, joten pidä kamera kohtisuorassa seinään nähden.
Mittaa
Kirjaa alkuperäiset mittaustulokset taulukkoon heti mittauksen aikana: jokainen toisto omaan sarakkeeseensa ja niistä laskettu keskiarvo niiden oikealle puolelle.
Voit käyttää esimerkiksi tällaista taulukkoa:
| $h_0\ (\text{m})$ | $h_{1}\ (\text{m})$, 1. | $h_{1}\ (\text{m})$, 2. | $h_{1}\ (\text{m})$, 3. | $\bar{h}_1\ (\text{m})$ |
|---|---|---|---|---|
Tee pudotukset satunnaisessa järjestyksessä tai sekä nousevassa että laskevassa järjestyksessä. Silloin pallon tai lattian vähittäinen muutos ei näy kuvaajassa järjestelmällisenä vinoumana.
Muista mittausepävarmuus: arvioi, kuinka tarkasti luet pudotuskorkeuden ja pomppukorkeuden, ja kirjaa arviot ylös. Toistomittausten hajonta kertoo, kuinka paljon pomppukorkeus vaihtelee samalla pudotuskorkeudella. Tarvitsetko apua? → Toistomittausten keskiarvo ja epävarmuus
Käsittele tulokset
Piirrä mittaustuloksista kuvaaja, josta säilyvän energian osuus saadaan kulmakertoimena. Merkitse akseleille suureet ja yksiköt. Piirrä mittauspisteet, älä yhdistä niitä murtoviivalla, ja sovita pisteisiin suora. Tarvitsetko apua? → Suoran sovittaminen ja kulmakertoimen tulkinta
Valitse pystyakselille pomppukorkeuden keskiarvo $\bar{h}_1$ ja vaaka-akselille pudotuskorkeus $h_0$.
Kirjoita sovitetun suoran yhtälö ja vastaa:
- Ovatko pisteet suoralla? Jos eivät, millä pudotuskorkeuksilla ne poikkeavat, ja mihin suuntaan?
- Mikä on kulmakertoimen yksikkö, ja mitä kulmakerroin kertoo pompusta?
- Kulkeeko suora origon kautta? Jos ei, mistä vakiotermi voi johtua?
Miksi juuri nämä akselit? Malli $h_1 = a h_0$ on suoran yhtälö $y = ax$, kun pystyakselille valitaan pomppukorkeus ja vaaka-akselille pudotuskorkeus. Silloin kulmakerroin on suoraan säilyvän energian osuus, ja sen yksikkö on $\text{m/m}$ eli kulmakerroin on yksikötön luku. Jos akselit vaihdetaan keskenään, kulmakerroin on $\dfrac{1}{a}$. Suuri vakiotermi viittaa usein siihen, että korkeudet on mitattu pallon eri kohdista, esimerkiksi pudotus alapinnasta ja pomppu yläpinnasta. Jos molemmat mitataan yläpintaan, suoraan tulee pieni vakiotermi, koska pallon halkaisija sisältyy kumpaankin korkeuteen.
Kuvaajan sovitukseen käytä Graphical Analysis Pro -ohjelmaa. Ruukkilabran ohjeet: Suoran sovittaminen, Kulmakertoimen tulkinta ja Taulukko ja lasketut sarakkeet.
Epävarmuus ja luotettavuus
Ilmoita säilyvän energian osuus muodossa $a \pm \Delta a$ tai prosentteina ja perustele, miten arvioit epävarmuuden $\Delta a$.
Kulmakertoimen epävarmuuden voit arvioida jommallakummalla tavalla:
- Sovitusohjelman keskivirhe. Monet ohjelmat ilmoittavat kulmakertoimen keskivirheen. Käytä sitä epävarmuutena $\Delta a$.
- Jyrkin ja loivin suora. Piirrä jyrkin ja loivin suora, jotka vielä sopivat pisteisiin niiden epävarmuuksien rajoissa. Määritä niiden kulmakertoimet $a_\text{max}$ ja $a_\text{min}$ ja arvioi epävarmuus vaihteluvälin puolikkaana: $\Delta a = \dfrac{a_\text{max} - a_\text{min}}{2}$.
Pyöristä $\Delta a$ yhteen merkitsevään numeroon ja $a$ samaan desimaaliin.
Pohdi sitten luotettavuutta konkreettisesti: johtuiko toistojen hajonta lukemisesta vai siitä, että pallo todella pomppasi eri korkeuksille? Olivatko virheet satunnaisia vai systemaattisia, ja mihin suuntaan systemaattiset virheet olisivat muuttaneet tulosta? Miten parantaisit mittausta?
Johtopäätökset
Vastaa tutkimuskysymykseen mittaustesi perusteella. Onko pomppukorkeus suoraan verrannollinen pudotuskorkeuteen koko mittausalueella? Kuinka suuri osa mekaanisesta energiasta säilyy pompussa, ja mihin loppu energia muuttuu? Viittaa kuvaajaan, esimerkiksi "kuvaajasta 1 nähdään, että …". Vertaa tulosta ennusteeseesi: mikä osui oikeaan ja mikä ei?
Raportoi
Kirjoita työstä työselostus FY10:n työselostuspohjalla ja käy läpi sen kaikki osat. Kuvaajien ja tulosten esittämisessä auttaa ohje Kuvaajat ja tulokset työselostukseen. Tässä tutkimuksessa erityisen tärkeitä ovat nämä:
- Tutkimuskysymys ja tausta: miten tutkimuskysymys muuttui mitattaviksi suureiksi ja miksi korkeuksien suhde on energioiden suhde.
- Koejärjestely ja menetelmä: mitä muutit, mitä mittasit ja mitä pidit vakiona, mistä kohdasta palloa mittasit korkeudet ja miten luit pomppukorkeuden.
- Mittaustulokset: jokainen toisto omassa sarakkeessaan ja keskiarvo niiden oikealla puolella.
- Tulos: säilyvän energian osuus epävarmuuksineen oikein pyöristettynä.
- Luotettavuus: konkreettiset epävarmuuden lähteet ja niiden vaikutuksen suunta.
Laajennus: peräkkäiset pomput videolta
Pallo ei pysähdy ensimmäiseen pomppuun, vaan pomppii yhä matalammalle. Jos jokaisessa pompussa säilyy sama osuus $a$ energiasta, jokainen lakikorkeus on osuus $a$ edellisestä:
$$h_{n+1} = a h_n$$
missä $h_n$ on $n$:nnen pompun lakikorkeus ja $h_{n+1}$ seuraavan. Pomppujen korkeudet pienenevät siis joka pompussa samassa suhteessa.
Kuvaa yksi pudotus hidastettuna videona niin, että näet ainakin neljä peräkkäistä pomppua, ja lue jokaisen pompun lakikorkeus. Piirrä kuvaaja, jossa pystyakselilla on lakikorkeus $h_{n+1}$ ja vaaka-akselilla edellinen lakikorkeus $h_n$, ja määritä sen kulmakerroin. Vertaa tulosta päämittauksen kulmakertoimeen epävarmuuksineen: ovatko tulokset sopusoinnussa? Päällekkäiset epävarmuusvälit tarkoittavat, että tulokset ovat sopusoinnussa, eivät sitä, että ne on todistettu samoiksi. Kumpi menetelmä vaikutti luotettavammalta, ja miksi?
Vihjeitä. Pallo saattaa ajautua sivulle, joten pudota se aivan asteikon vierestä ja kuvaa kauempaa, jotta kaikki pomput näkyvät. Matalimmat pomput ovat lyhyitä, ja niiden lakikohta on vaikea erottaa: jätä mittauksesta pois pomput, joiden korkeutta et pysty lukemaan luotettavasti, ja kerro se raportissa.
Arvioi omaa työtäsi
Arvioi työtäsi työselostuspohjan muistilistalla ja vastaa lisäksi:
- Pystyisikö toinen ryhmä toistamaan mittauksesi kuvauksesi perusteella?
- Perustuuko johtopäätöksesi kuvaajaan ja mittaustuloksiin vai siihen, mitä odotit?
- Mitä tekisit toisin, jos aloittaisit alusta?
Opettajalle
Valmistelu. Kokeile pallo ja alusta etukäteen: pallon pitää pompata selvästi ja suoraan ylös. Tennispallo kovalla lattialla sopii hyvin. Kiinnitä mittanauha seinään pystysuoraan ja varmista, että lattia on sen kohdalla kova ja tasainen. Jos ryhmät kuvaavat videota, puhelimen kannattaa olla jalustalla noin pompun korkeudella ja kauempana seinästä, jolloin lukema on vähemmän vino.
Tavallisia virhekäsityksiä ja ongelmia.
- Pudotus- ja pomppukorkeus mitataan pallon eri kohdista, esimerkiksi pudotus alapinnasta ja pomppu yläpinnasta. Silloin suoraan tulee vakiotermi, joka ei johdu fysiikasta. Myös molempien korkeuksien mittaaminen pallon yläpintaan tuottaa pienen vakiotermin $(1 - a)d$, missä $d$ on pallon halkaisija, vaikka kulmakerroin pysyy samana; siksi sivu ohjaa mittaamaan alapintaan.
- Pallo heitetään eikä pudoteta levosta, jolloin pallolla on alussa myös liike-energiaa.
- Pomppukorkeus luetaan kerran silmämääräisesti, eikä toistoja tehdä. Lakikohta näkyy vain hetken, joten yksittäinen lukema on epätarkka.
- Kulmakerrointa pidetään nopeuksien suhteena eli restituutiokertoimena (iskulukuna). Korkeuksien suhde on energioiden suhde; restituutiokerroin on sen neliöjuuri, mutta sitä ei tarvita tässä työssä.
- Ajatellaan, että häviävä energia katoaa. Se muuttuu pallon ja lattian sisäenergiaksi ja ääneksi.
Eriyttäminen. Ohjattu työtapa sopii opintojakson ensimmäiseksi työksi: tutkimuskysymyksen muuttaminen mitattaviksi suureiksi on teeman 1 ydin. Osittain ohjatussa opiskelija päättää korkeudet ja toistojen määrän. Itsenäisessä työtavassa sivu antaa tutkimuskysymyksen, välineet ja lyhyen energiaperiaatteen: opiskelija muuttaa kysymyksen mitattaviksi suureiksi ja perustelee mallin itse, ja laajennus kuuluu työhön.
Turvallisuus. Riskit ovat pieniä: kiipeäminen korkeita pudotuksia varten ja lattialle karkaavat pallot.