Umpinaisen sylinterin hitausmomentti

Tutkimuskysymys: Kuinka suuri on umpinaisen sylinterin hitausmomentti, kun se määritetään kaltevaa tasoa alas vierivän sylinterin liikkeestä, ja vastaako tulos teoreettista mallia?

Pyörä, vauhtipyörä ja pyörivä taitoluistelija liikkuvat eri tavalla kuin suoraan liukuva kappale: pyörimisliikkeessä ei ratkaise pelkkä massa, vaan myös se, miten massa on jakautunut pyörimisakselin ympärille. Tätä kuvaa suure nimeltä hitausmomentti. Tässä tutkimuksessa selvität ensin, mitä hitausmomentti tarkoittaa, ja määrität sitten mittaamalla umpinaisen sylinterin hitausmomentin, kun sylinteri vierii kaltevaa tasoa alas. Pyörimisliikkeen energia ja hitausmomentti eivät kuulu lukion fysiikan moduuleihin, joten tarvittava teoria on tiivistetty tälle sivulle. Mittaa, analysoi ja päättele itse: tämä sivu kertoo, mitä tutkitaan, ja tukee sinua niin paljon kuin valitsemasi työtapa lupaa.

Tässä tutkimuksessa opit

kuvailemaan omin sanoin, mitä hitausmomentti tarkoittaa ja miten massan jakautuminen pyörimisakselin suhteen vaikuttaa siihen
määrittämään hitausmomentin energian säilymisen avulla mittaamistasi suureista
vertaamaan mittaustulosta teoreettiseen malliin epävarmuuksineen ja arvioimaan mallin oletusten pätevyyttä

Vaativuus

Mitä hitausmomentti tarkoittaa?: fysiikka F3 · koe E1
Umpinaisen sylinterin hitausmomentti: fysiikka F3 · koe E3
Pyörimismäärän säilyminen: fysiikka F3 · koe E1

F1–F3 kertoo, kuinka vaativaa fysiikkaa työ tarvitsee, E1–E3 kuinka vaativa mittaus ja analyysi on. Tuen määrän valitset itse alla.

Valitse työtapaOsittain ohjattu tutkimus Teet osan valinnoista itse ja perustelet ne.Itsenäinen tutkimus Suunnittelet ja perustelet itse, vihjeet piilossa.

Tässä työssä tarvitset näitä tietoja ja taitoja

Fysiikan tiedot

välttämätön Liike-energia, potentiaalienergia ja mekaaninen energia (FY4)Työssä tarvitaan liike-energiaa ja potentiaalienergiaa.
välttämätön Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate (FY4)Hitausmomentti määritetään energiaperiaatteen avulla.
välttämätön Kulmanopeus (FY5: Tasainen ympyräliike: kulmanopeus ja ratanopeus)Pyörimisliikettä kuvataan kulmanopeudella; lyhyt selitys on tällä sivulla kohdassa Teoriaa lyhyesti.
välttämätön Hitausmomentti ja pyörimisliikkeen energia (ei lukion fysiikan moduuleissa; lyhyt selitys on tällä sivulla)Työn keskeinen käsite. Selvität sen itse, ja sivun kohta Teoriaa lyhyesti tiivistää tarvittavan.
hyödyllinen Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike (FY4)Tasaisesti kiihtyvän liikkeen yhtälöt ja kuvaajat auttavat liikkeen analysoinnissa.
laajennukseen Pyörimismäärä ja sen säilyminen (ei lukion fysiikan moduuleissa; lyhyt selitys on tällä sivulla laajennuksen alussa)Laajennuksen käsite. Se muistuttaa liikemäärää, joka on tuttu moduulista FY4.
laajennukseen Momentti (FY5: Momentti ja vääntövaikutus)Laajennuksessa tarvitaan tietoa siitä, milloin ulkoinen momentti muuttaa pyörimistä.

Kokeelliset taidot

välttämätön Graafinen esitys ja suoran sovittaminen (FY1)Mittaustulosten graafinen esitys ja kuvaajan tulkinta.
välttämätön Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus (FY1)Toistomittausten keskiarvo, mittausepävarmuus ja tuloksen ilmoittaminen muodossa $\bar{x} \pm \Delta x$.
hyödyllinen Oma kokeellinen tutkimus: suunnittelu, toteutus ja raportointi (FY1)Oman tutkimuksen suunnittelu ja työselostuksen rakenne.

TVT-taidot

hyödyllinen Mittaustulosten käsittely ja kuvaajat ohjelmalla (Graphical Analysis Pro) (ohje: Mittauspisteiden kuvaaja, Taulukko ja lasketut sarakkeet)Ohjelma helpottaa laskuja ja kuvaajien piirtämistä.

Välineet

kalteva taso (lauta tai kouru) ja tuet
umpinainen, tasa-aineinen sylinteri
vertailukappale, jonka massa on jakautunut toisin, esimerkiksi putki
pehmeä pysäytin tason alapäähän
vaaka
työntömitta ja mittanauha
välineet liikkeen mittaamiseen, esimerkiksi ajanottoväline, liikeanturi tai puhelimen kamera
laajennukseen polkupyörän rengas akseleineen ja opettajan luvalla pyörivä jakkara

Turvallisuus

Tue kalteva taso tukevasti ja pysäytä sylinteri tason alapäässä pehmeällä pysäyttimellä, ettei raskas sylinteri vieri pöydältä jalkoihin.
Pidä kädet, hiukset, korut ja löysät vaatteet poissa polkupyörän renkaan pinnoista. Pysäytä rengas jarruttamalla varovasti rengasta, älä pinnoja.
Pyörivää jakkaraa saa käyttää vain opettajan luvalla. Pysy jakkaralla tukevasti, pidä ympärillä tilaa ja pyydä toista opiskelijaa varmistamaan vierestä.

Tutkimustehtävä

Selvitettävä: mitä hitausmomentti tarkoittaa ja mistä se riippuu, kuinka suuri umpinaisen sylinterin hitausmomentti on epävarmuuksineen, kun se määritetään vierimisliikkeestä energian säilymisen avulla, ja mahtuuko teoreettisen mallin antama arvo mittaustuloksen epävarmuusväliin.

Päätät itse (osittain ohjattu ja itsenäinen työtapa): tason kaltevuuden ja vierimismatkat, sen, miten mittaat sylinterin nopeuden, toistojen määrän, kuvaajan akselit tai laskutavan sekä tavan, jolla arvioit tuloksen epävarmuuden. Osittain ohjatussa työtavassa sivu ehdottaa näihin yhden toimivan tavan, jonka voit korvata perustellulla omallasi. Itsenäisessä työtavassa suunnittelet ja perustelet valintasi itse.

Itsenäinen työtapa. Laajennus, pyörimismäärän säilymisen demonstraatio polkupyörän renkaalla, kuuluu työhösi.

Osittain ohjattu työtapa. Laajennus, pyörimismäärän säilymisen demonstraatio polkupyörän renkaalla, on vapaaehtoinen. Opettaja kertoo, tehdäänkö se.

Ennusta

Kirjoita ennusteesi vihkoon tai työselostuksen hypoteesiksi ennen kuin luet eteenpäin ja ennen kuin mittaat:

Umpinainen sylinteri ja ontto putki päästetään levosta yhtä aikaa samalta korkeudelta vierimään kaltevaa tasoa alas. Kumpi ehtii alas ensin, vai tulevatko ne yhtä aikaa? Miksi?
Onko vierivän sylinterin nopeus tason alapäässä suurempi, yhtä suuri vai pienempi kuin sellaisen kappaleen nopeus, joka liukuu kitkatta alas samalta korkeudelta? Mihin sylinterin potentiaalienergia muuttuu?
Jos osa sylinterin energiasta muuttuu matkalla lämmöksi, esimerkiksi vierimisvastuksen takia, tuleeko mittaamastasi hitausmomentista liian suuri vai liian pieni?
Mikä mittauksessasi on todennäköisesti suurin epävarmuuden lähde?

Perustele ennusteesi fysiikan avulla. Palaat siihen johtopäätöksissä.

Selvitä: mitä hitausmomentti tarkoittaa?

Ennen mittausta ota selvää käsitteestä esimerkiksi oppikirjasta, luotettavista verkkolähteistä tai opettajalta, ja kirjoita omin sanoin:

Mistä kappaleen hitausmomentti riippuu?
Miten hitausmomentti liittyy kappaleen pyörimisliikkeeseen?
Miten massan jakautuminen pyörimisakselin suhteen vaikuttaa hitausmomenttiin?

Kokeile sitten: päästä umpinainen sylinteri ja vertailukappale, jonka massa on jakautunut toisin (esimerkiksi putki), levosta yhtä aikaa samalta korkeudelta vierimään tasoa alas. Kirjaa, kumpi ehti alas ensin, ja toista kokeilu muutaman kerran. Merkitse lähteesi muistiin.

Teoriaa lyhyesti

Tarkista tästä selvityksesi ja täydennä sitä.

Pyörimisliike. Kun kappale pyörii akselin ympäri, sen pyörimisen nopeutta kuvaa kulmanopeus $\omega$: kuinka suuren kulman kappale kiertyy aikayksikössä. Kun kulma mitataan radiaaneina, kulmanopeuden yksikkö on $\text{rad/s}$, ja akselista etäisyydellä $r$ oleva kappaleen kohta liikkuu ratanopeudella $v = r\omega$.

Hitausmomentti. Kuvitellaan kappale jaetuksi pieniin osiin. Jos osan massa on $m_i$ ja sen etäisyys pyörimisakselista $r_i$, kappaleen hitausmomentti akselin suhteen on

$$I = \sum m_i r_i^2$$

Hitausmomentin yksikkö on $\text{kg}\cdot\text{m}^2$. Hitausmomentti on pyörimisliikkeessä samassa asemassa kuin massa etenemisliikkeessä: mitä suurempi hitausmomentti, sitä vaikeampi kappaleen pyörimistä on saada alkuun, muuttaa tai pysäyttää. Hitausmomentti riippuu kappaleen massasta, massan jakautumisesta ja pyörimisakselin paikasta. Koska etäisyys on yhtälössä toisessa potenssissa, kaukana akselista oleva massa kasvattaa hitausmomenttia paljon enemmän kuin akselin lähellä oleva.

Umpinaisen ja tasa-aineisen sylinterin, jonka massa on $m$ ja säde $r$, hitausmomentti symmetria-akselinsa suhteen on teoreettisen mallin mukaan $I = \tfrac{1}{2}\, m r^2$. Ohutseinäisen putken massa on lähes kokonaan etäisyydellä $r$ akselista, joten sen hitausmomentti on likimain $m r^2$. Malli olettaa, että sylinterin tiheys on joka kohdassa sama ja että se pyörii symmetria-akselinsa ympäri.

Pyörimisliikkeen energia. Pyörivällä kappaleella on liike-energiaa, vaikka sen keskipiste pysyisi paikallaan. Kulmanopeudella $\omega$ pyörivän kappaleen pyörimisenergia on

$$E_\text{r} = \tfrac{1}{2}\, I \omega^2$$

Vierivä sylinteri sekä etenee että pyörii, joten sen liike-energia on etenemisen ja pyörimisen liike-energioiden summa $\tfrac{1}{2}\, m v^2 + \tfrac{1}{2}\, I \omega^2$, missä $v$ on sylinterin keskipisteen nopeus.

Vieriminen ilman liukumista. Kun sylinteri vierii liukumatta, sen keskipisteen nopeus ja kulmanopeus liittyvät toisiinsa yhtälöllä $v = r\omega$. Sylinterin ja tason kosketuskohta on silloin joka hetki levossa tason suhteen, joten lepokitka ei tee työtä eikä muuta mekaanista energiaa lämmöksi. Jos lisäksi vierimisvastus ja ilmanvastus ovat merkityksettömän pieniä, sylinterin mekaaninen energia säilyy: kun sylinterin keskipiste laskee korkeuden $h$, potentiaalienergiaa $mgh$ muuttuu etenemisen ja pyörimisen liike-energiaksi. Tarvitsetko apua? → Mekaanisen energian säilyminen

Hitausmomentista mitattaviksi suureiksi

Hitausmomenttia ei voi lukea mittarista. Kirjaa ennen kuin luet eteenpäin:

Kirjoita energian säilyminen sylinterille, joka lähtee levosta ja jonka keskipiste laskee korkeuden $h$.
Ratkaise yhtälöstä hitausmomentti $I$.
Mitkä suureet sinun on mitattava, ja miten saat sylinterin nopeuden tason alapäässä selville?

Tarkista kirjauksesi tästä. Energian säilymisestä ja ehdosta $\omega = \dfrac{v}{r}$ saadaan

$$mgh = \tfrac{1}{2}\, m v^2 + \tfrac{1}{2}\, I \cdot \frac{v^2}{r^2}$$

ja siitä ratkaistuna

$$I = m r^2 \left( \frac{2gh}{v^2} - 1 \right)$$

Tarvitset siis sylinterin massan $m$, säteen $r$, keskipisteen korkeuden muutoksen $h$ ja nopeuden $v$ tason alapäässä. Massan saat vaa'alla ja säteen halkaisijasta työntömitalla. Nopeutta on vaikea mitata suoraan, mutta sen voi päätellä matkasta ja ajasta: sylinteriin vaikuttavat voimat pysyvät liikkeen aikana samoina, joten sen kiihtyvyys on vakio. Kun sylinteri lähtee levosta ja vierii matkan $s$ ajassa $t$, sen keskinopeus on $\dfrac{s}{t}$ ja loppunopeus kaksinkertainen:

$$v = \frac{2s}{t}$$

Tarvitsetko apua? → Tasaisesti kiihtyvä liike

Suunnittele

Ennen mittaamista päätä ja kirjaa ylös, mitä muutat, mitä mittaat ja mitä pidät vakiona, ja miten varmistat, että sylinteri lähtee levosta ja vierii liukumatta. Kokeile vierimistä ensin muutaman kerran.

Osittain ohjattu. Pidä tason kaltevuus vakiona ja muuta vierimismatkaa $s$: päästä sylinteri levosta eri kohdista ja mittaa aika $t$, jonka se tarvitsee matkaan. Tee mittaukset ainakin viidellä eri matkalla ja jokaisella matkalla kolme toistoa. Laske jokaiselle matkalle keskipisteen korkeuden muutos $h$. Kun tason pinta on suora, $h$ on yhtä suuri kuin tason pinnan korkeuden muutos matkalla $s$: $h = s \cdot \dfrac{H}{L}$, missä $H$ on tason pinnan kahden pisteen korkeusero ja $L$ niiden välinen etäisyys tasoa pitkin. Kirjaa päätöksesi perusteluineen.

Mieti ainakin näitä:

Kuinka jyrkäksi taso kannattaa asettaa, jotta sylinteri vierii liukumatta mutta lähtee varmasti liikkeelle ja aika on riittävän pitkä mitattavaksi?
Miten päästät sylinterin liikkeelle levosta tönäisemättä, esimerkiksi viivaimen takaa, ja miten merkitset lähtö- ja loppukohdan?
Miten mittaat ajan niin tarkasti kuin mahdollista: käsin ajanottovälineellä, videolta vai liikeanturilla?
Pitääkö taso olla suorassa linjassa, ettei sylinteri ajaudu sivuun?
Jos käytät kourua, vierikö sylinteri koko ulkopinnallaan tasaisella pohjalla? V-urassa tai kahden kiskon varassa sylinteri koskettaa alustaa pienemmällä säteellä kuin $r$, jolloin yhtälö $v = r\omega$ ei päde ja hitausmomentista tulee liian suuri.

Mittaa

Kirjaa alkuperäiset mittaustulokset taulukkoon heti mittauksen aikana: toistot omiin sarakkeisiinsa ja niistä lasketut suureet niiden oikealle puolelle. Mittaa ja kirjaa myös sylinterin massa ja säde.

Voit käyttää esimerkiksi tällaisia taulukoita. Mittaa halkaisija työntömitalla useasta kohdasta:

$d_1\ (\text{m})$	$d_2\ (\text{m})$	$d_3\ (\text{m})$	$\bar{d}\ (\text{m})$	$r = \dfrac{\bar{d}}{2}\ (\text{m})$	$m\ (\text{kg})$

$s\ (\text{m})$	$t_1\ (\text{s})$	$t_2\ (\text{s})$	$t_3\ (\text{s})$	$\bar{t}\ (\text{s})$	$h\ (\text{m})$	$v = \dfrac{2s}{\bar{t}}\ (\text{m/s})$	$v^2\ (\text{m}^2/\text{s}^2)$

Kirjaa lisäksi tason mitat $H$ ja $L$.

Muista mittausepävarmuus: kirjaa jokaisen suureen kohdalla, kuinka tarkasti sen mittasit, ja miten arvioit tarkkuuden. Toistojen hajonta kertoo, kuinka paljon mittaamasi suure vaihtelee vierimisestä toiseen. Tarvitsetko apua? → Toistomittausten keskiarvo ja epävarmuus

Käsittele tulokset

Määritä mittaustuloksistasi sylinterin hitausmomentti energian säilymisen avulla ja perustele, miksi valitsit juuri tämän laskutavan tai nämä kuvaajan akselit. Laske lisäksi hitausmomentti teoreettisella mallilla $I = \tfrac{1}{2}\, m r^2$ mittaamistasi massasta ja säteestä. Tarvitsetko apua? → Graafinen esitys

Vastaa lisäksi:

Vertaa sylinterin nopeutta tason alapäässä nopeuteen, jonka kitkatta liukuva kappale saisi samalta korkeudelta. Miten selität eron?
Selitä hitausmomentin avulla, miksi umpinainen sylinteri ja vertailukappale tulivat alas siinä järjestyksessä kuin tulivat. Riippuuko järjestys mielestäsi kappaleiden massasta tai koosta vai vain siitä, miten massa on jakautunut? Perustele energian säilymisen avulla.

Kuvaajan avulla. Edellisen kohdan yhtälöstä saadaan nopeuden neliö korkeuden funktiona:

$$v^2 = \frac{2g}{1 + \dfrac{I}{m r^2}} \cdot h$$

Kun pystyakselille valitaan $v^2$ ja vaaka-akselille $h$, mallin mukainen kuvaaja on origon kautta kulkeva suora. Sovita mittauspisteisiin suora ja merkitse sen kulmakerrointa $a$. Silloin

$$I = m r^2 \left( \frac{2g}{a} - 1 \right)$$

Kuvaaja on yksittäisiä laskuja parempi, koska se näyttää, sopivatko kaikki mittaukset samaan malliin, ja suora tasoittaa satunnaisia virheitä. Katkoviivalla oleva suora on vertailun vuoksi kitkatta liukuvan kappaleen malli $v^2 = 2gh$.

Jos suora ei kulje origon kautta, mieti, onko matkojen tai korkeuksien nollakohdassa systemaattinen virhe. Matkaan verrannollinen energiahäviö, esimerkiksi tasainen vierimisvastus, ei näy vakioterminä, koska kaltevuus on vakio: se muuttaa vain kulmakerrointa.

Laskuihin ja kuvaajiin käytä Graphical Analysis Pro -ohjelmaa. Ruukkilabran ohjeet: Mittauspisteiden kuvaaja ja Taulukko ja lasketut sarakkeet.

Epävarmuus ja luotettavuus

Ilmoita mittaamasi hitausmomentti muodossa $I = (I \pm \Delta I)\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ ja perustele, miten arvioit epävarmuuden $\Delta I$. Ilmoita samoin mallin antama arvo epävarmuuksineen. Mahtuvatko arvot toistensa epävarmuusväleihin? Päällekkäiset välit tarkoittavat, että tulos on sopusoinnussa mallin kanssa, eivät sitä, että arvot on todistettu samoiksi.

Epävarmuuden arviointi. Määritä ensin kulmakertoimen epävarmuus $\Delta a$ sovitusohjelman keskivirheestä tai jyrkimmän ja loivimman suoran avulla: $\Delta a = \dfrac{a_\text{max} - a_\text{min}}{2}$. Etene sitten vaihe kerrallaan:

Suureen $\dfrac{2g}{a}$ suhteellinen epävarmuus on sama kuin kulmakertoimen, $\dfrac{\Delta a}{a}$.
Kun suureesta $\dfrac{2g}{a}$ vähennetään luku $1$, absoluuttinen epävarmuus pysyy samana, mutta erotus on pienempi kuin $\dfrac{2g}{a}$. Erotuksen suhteellinen epävarmuus on siksi selvästi suurempi kuin kulmakertoimen suhteellinen epävarmuus. Tämä on tämän menetelmän heikkous: pienikin virhe nopeudessa näkyy hitausmomentissa suurena.
Hitausmomentissa on lisäksi tekijä $m r^2$. Suhteelliset epävarmuudet lasketaan yhteen, ja koska säde on toisessa potenssissa, sen suhteellinen epävarmuus lasketaan kahdesti: $\dfrac{\Delta m}{m} + 2 \cdot \dfrac{\Delta r}{r}$.
Mallin arvon $\tfrac{1}{2}\, m r^2$ suhteellinen epävarmuus on $\dfrac{\Delta m}{m} + 2 \cdot \dfrac{\Delta r}{r}$.

Koska sekä mittaustuloksessa että mallissa on sama tekijä $m r^2$, voit lisäksi verrata suoraan lukua $\dfrac{I}{m r^2} = \dfrac{2g}{a} - 1$ mallin arvoon $\tfrac{1}{2}$. Pyöristä epävarmuus yhteen merkitsevään numeroon ja tulos samaan desimaaliin.

Laske myös mittaamasi suhde $\dfrac{I}{m r^2}$ ja vertaa sitä mallin arvoon $\tfrac{1}{2}$: onko se suurempi vai pienempi, ja sopiiko poikkeaman suunta ennusteeseesi 3?

Pohdi sitten luotettavuutta konkreettisesti: mitkä olivat suurimmat epävarmuuden lähteet, olivatko ne satunnaisia vai systemaattisia, ja mihin suuntaan ne olisivat muuttaneet hitausmomenttia? Pitivätkö mallin oletukset paikkansa: vierikö sylinteri liukumatta, olivatko energiahäviöt pieniä ja onko sylinterisi todella umpinainen ja tasa-aineinen? Miten parantaisit mittausta?

Johtopäätökset

Vastaa tutkimuskysymykseen mittaustesi perusteella. Vastaako mittaamasi hitausmomentti teoreettista mallia epävarmuuksien rajoissa? Jos ei, mikä mallin oletus tai mittauksen virhelähde selittää eron parhaiten? Viittaa kuvaajaan tai taulukkoon, esimerkiksi "kuvaajasta 1 nähdään, että …". Kirjoita lopuksi omin sanoin, mitä hitausmomentti tarkoittaa ja miten massan jakautuminen vaikuttaa siihen, ja vertaa tuloksiasi ennusteisiisi: mikä osui oikeaan ja mikä ei?

Raportoi

Kirjoita työstä työselostus FY10:n työselostuspohjalla ja käy läpi sen kaikki osat. Kuvaajien ja tulosten esittämisessä auttaa ohje Kuvaajat ja tulokset työselostukseen. Tässä tutkimuksessa erityisen tärkeitä ovat nämä:

Tausta ja teoria: hitausmomentin merkitys omin sanoin lähteineen, pyörimisenergia, vierimisen ehto ja energian säilymisen yhtälö, josta hitausmomentti ratkaistaan.
Koejärjestely ja menetelmä: mitä muutit, mitä mittasit ja mitä pidit vakiona, miten määritit nopeuden ja miten varmistit, että sylinteri lähti levosta.
Mittaustulokset: alkuperäiset mittaukset toistoineen omissa sarakkeissaan ja johdetut suureet niiden oikealla puolella.
Tulos: mitattu ja mallin antama hitausmomentti epävarmuuksineen oikein pyöristettyinä.
Luotettavuus: konkreettiset epävarmuuden lähteet, niiden vaikutuksen suunta ja mallin oletusten pätevyys.

Laajennus: pyörimismäärän säilyminen

Etenemisliikkeessä kappaleella on liikemäärä $\overline{p} = m\overline{v}$, ja eristetyn systeemin liikemäärä säilyy. Tarvitsetko apua? → Liikemäärän säilyminen Pyörimisliikkeessä vastaava suure on pyörimismäärä eli liikemäärän momentti. Kun kappale pyörii symmetria-akselinsa ympäri, sen pyörimismäärän suuruus on

$$L = I\omega$$

Pyörimismäärä $\overline{L}$ on vektori, joka osoittaa pyörimisakselin suuntaan: kun oikean käden sormet kiertyvät pyörimisen suuntaan, peukalo osoittaa pyörimismäärän suunnan. Pyörimismäärä säilyy sekä suuruudeltaan että suunnaltaan, jos systeemiin ei vaikuta ulkoista momenttia eli vääntövaikutusta. Pyörimismäärän komponentti jossakin suunnassa säilyy, kun ulkoisella momentilla ei ole komponenttia siinä suunnassa, vaikka pyörimismäärä muissa suunnissa muuttuisi.

Selvitä ensin lähteistä, millaisissa tilanteissa pyörimismäärä säilyy, ja kirjaa esimerkkejä arkielämästä. Suunnittele sitten polkupyörän renkaan avulla koe tai demonstraatio, jolla voit havaita pyörimismäärän säilymiseen liittyvän ilmiön. Kuvaile:

mitä teet
mitä havaitset
miten havaintosi voidaan selittää pyörimismäärän avulla.

Arvioi lopuksi, kuinka hyvin koe tai demonstraatio havainnollistaa pyörimismäärän säilymistä ja mitkä tekijät, esimerkiksi kitka, häiritsevät sitä.

Turvallisuus. Pidä kädet, hiukset, korut ja löysät vaatteet poissa renkaan pinnoista. Pyörivää jakkaraa saa käyttää vain opettajan luvalla: pysy jakkaralla tukevasti, pidä ympärillä tilaa ja pyydä toista opiskelijaa varmistamaan vierestä.

Ideoita. Valitse yksi ja suunnittele se loppuun itse:

Pidä rengasta akselin kahvoista ja pyöritä sitä. Yritä kääntää akselin suuntaa, ja vertaa tuntumaa siihen, kun rengas ei pyöri.
Opettajan luvalla: istu pyörivällä jakkaralla jalat irti lattiasta ja pidä pyörivää rengasta akseli pystyssä. Käännä renkaan akseli toisin päin ja havainnoi jakkaraa.
Ripusta pyörivä rengas narusta toisesta akselin päästä akseli vaakasuorassa ja havainnoi, mitä akseli tekee.

Mieti jokaisessa: mikä on systeemi, vaikuttaako siihen ulkoinen momentti ja minkä akselin suhteen, ja mikä pyörimismäärän osa säilyy?

Arvioi omaa työtäsi

Arvioi työtäsi työselostuspohjan muistilistalla ja vastaa lisäksi:

Pystyisikö toinen ryhmä toistamaan mittauksesi kuvauksesi perusteella?
Perustuuko johtopäätöksesi mittaustuloksiin ja niiden epävarmuuksiin vai siihen, mitä odotit?
Selitätkö hitausmomentin nyt omin sanoin paremmin kuin työn alussa?
Mitä tekisit toisin, jos aloittaisit alusta?

Opettajalle

Syventävä työ. Hitausmomentti, pyörimisliikkeen energia ja pyörimismäärä eivät kuulu LOPS 2019:n fysiikan moduuleihin: FY5 käsittelee pyörimisestä vain momentin ja tasapainon sekä ympyräliikkeen kulmanopeuden. Työ on siksi rikastava ja sopii opiskelijoille, jotka hallitsevat mekaanisen energian säilymisen (FY4) ja tasaisesti kiihtyvän liikkeen. Sivu selittää tarvittavan teorian lyhyesti, mutta kannattaa varata aikaa käsitteiden läpikäyntiin ennen mittausta.

Valmistelu. Kortissa ei ole välineluetteloa käsite- ja mittausosalle. Tarvitaan suora ja tukeva kalteva taso (lauta, profiili tai kouru), umpinainen ja tasa-aineinen sylinteri sekä vertailukappale, jonka massa on jakautunut toisin, esimerkiksi putki tai täysi ja tyhjä tölkki. Tarkista, että sylinteri on todella umpinainen: keskireikä, ontto sisus tai eri materiaaleista koottu rakenne muuttaa hitausmomenttia, eikä malli $\tfrac{1}{2}\, m r^2$ silloin päde. Jos käytät kourua, sylinterin on vierittävä koko ulkopinnallaan tasaisella pohjalla: V-urassa tai kiskojen varassa kosketussäde on pienempi kuin $r$, jolloin $v = r\omega$ ei päde ja hitausmomentista tulee systemaattisesti liian suuri. Kokeile kaltevuus etukäteen: sylinterin on vierittävä liukumatta, ja vierimisajan on oltava niin pitkä, että sen voi mitata valitulla välineellä. Varaa vaaka, työntömitta, mittanauha, pehmeä pysäytin tason alapäähän ja ajanottoon sopivat välineet (ajanotto, liikeanturi tai puhelimen video). Laajennukseen tarvitaan polkupyörän rengas, jonka akseliin on kiinnitetty kahvat, ja halutessasi pyörivä jakkara. Päätä etukäteen, sallitaanko pyörivän jakkaran käyttö.

Ajanotto. Käsin otettu aika on yleensä liian epätarkka, koska hitausmomentti lasketaan erotuksesta $\dfrac{2g}{a} - 1$ ja ajan pienikin suhteellinen virhe kasvaa siinä moninkertaiseksi; suosittele videota tai liikeanturia ja kokeile etukäteen, erottaako koulun välineellä saatu suhde $\dfrac{I}{m r^2}$ mallin arvon $\tfrac{1}{2}$ putken arvosta $1$.

Tavallisia virhekäsityksiä ja ongelmia.

Pyörimisenergia unohdetaan, jolloin koko potentiaalienergian oletetaan muuttuvan etenemisen liike-energiaksi.
Lepokitkan oletetaan kuluttavan energiaa. Puhtaassa vierimisessä kosketuskohta on levossa, joten lepokitka ei tee työtä; energiaa kuluu vain vierimisvastukseen, ilmanvastukseen ja mahdolliseen liukumiseen.
Korkeutena $h$ käytetään vierimismatkaa $s$ tai tason koko korkeutta eikä keskipisteen korkeuden muutosta mitatulla matkalla.
Loppunopeutena käytetään keskinopeutta $\dfrac{s}{t}$. Levosta tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä loppunopeus on kaksinkertainen keskinopeuteen verrattuna.
Säde ja halkaisija sekoittuvat, tai grammoja ja millimetrejä ei muunneta perusyksiköiksi.
Sylinteriä tönäistään lähdössä, tai ajanotto alkaa eri hetkellä kuin liike, mikä näkyy toistojen hajontana tai vakioterminä.
Epävarmuutta aliarvioidaan: hitausmomentti lasketaan erotuksesta, joten nopeuden pienikin suhteellinen virhe kasvaa hitausmomentissa moninkertaiseksi. Säde on lisäksi toisessa potenssissa.
Käsiteosassa vertailukokeen tulos selitetään massalla. Vierimisnopeus riippuu kappaleen massan jakautumisesta, eli suhteesta $\dfrac{I}{m r^2}$, ei massasta tai säteestä sinänsä.
Laajennuksessa pyörimismäärä ajatellaan pelkäksi suuruudeksi, vaikka useimmat renkaalla tehtävät ilmiöt liittyvät pyörimismäärän suuntaan.

Eriyttäminen. Työ sopii opintojakson loppupuolelle osittain ohjatuksi tai itsenäiseksi työksi, kuten esimerkkitöiden luettelossa. Ohjattua työtapaa ei tarjota, koska käsitteet ovat uusia ja käsiteosa edellyttää omaa tiedonhakua. Osittain ohjatussa työtavassa sivu antaa hitausmomentin lausekkeen, nopeuden määrittämistavan, mittaussuunnitelman, taulukot, kuvaajan akselit ja epävarmuuden käsittelyn vaihe vaiheelta sekä ideoita laajennukseen. Itsenäisessä työtavassa opiskelija johtaa lausekkeen itse, suunnittelee nopeuden mittaamisen ja tulosten käsittelyn ja perustelee epävarmuusarvionsa, ja laajennus kuuluu työhön. Käsiteosan voi tarvittaessa tehdä erillisenä lyhyenä tehtävänä, ja laajennuksen opettajan demonstraationa.

Turvallisuus. Kaltevan tason on oltava tukeva, ja raskas sylinteri pysäytetään tason alapäässä pehmeällä pysäyttimellä, ettei se vieri pöydältä jalkoihin. Polkupyörän renkaan pinnat voivat vahingoittaa sormia ja tarttua hiuksiin, koruihin ja löysiin vaatteisiin; rengas pysäytetään jarruttamalla varovasti rengasta, ei pinnoista. Opettaja päättää, saako pyörivää jakkaraa käyttää. Jos se sallitaan, jakkaralla pysytään tukevasti, sen ympärillä on vapaata tilaa, toinen opiskelija varmistaa vierestä eikä jakkaraa pyöritetä kovaa.