Ohuen kalvon interferenssi
Miksi saippuakuplan pinnassa näkyy kirkkaita väriraitoja, vaikka saippuavesi on väritöntä?
Pohjatiedot
- Kaksi samassa vaiheessa lähtenyttä aaltoa vahvistaa toisiaan, kun niiden matkaero on $k\lambda$, ja heikentää, kun se on $(k + \tfrac{1}{2})\lambda$luku Valon interferenssi ja diffraktio
- Aineessa valo etenee nopeudella $v = c : n$luku Valon heijastuminen ja taittuminen
- Köyden pulssi kääntyy heijastuessaan kiinteästä päästäluku Aaltojen heijastuminen ja diffraktio
Ydinpolku: tee vaiheet järjestyksessä. Valinnainen-tehtävät ovat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä on 4.
Luvun tärkeät käsitteet Vapaaehtoinen
Tutustu luvun tärkeisiin käsitteisiin. Voit kirjoittaa niiden merkitykset sinulle vahvimmalla kielellä tai useammalla kielellä.
- Ohut kalvo
- Läpinäkyvä kerros, jonka paksuus on valon aallonpituuden luokkaa, kuten saippuakuplan seinämä. Kalvon kahdesta pinnasta heijastuneet aallot interferoivat.
- Matkaero
- Kahden aallon kulkemien matkojen ero. Kun valo tulee kohtisuoraan kalvoon, pinnoista heijastuneiden aaltojen matkaero on $2nd$, kun aallonpituus mitataan ilmassa.
- Vahvistava interferenssi
- Aallot vahvistavat toisiaan, koska ne ovat samassa vaiheessa. Saippuakalvossa ilmassa näin käy, kun $2nd = (k + \tfrac{1}{2})\lambda$, koska vain yläpinnan heijastus kääntää aallon.
- Heikentävä interferenssi
- Aallot heikentävät toisiaan, koska ne ovat vastakkaisessa vaiheessa. Saippuakalvossa ilmassa näin käy, kun $2nd = k\lambda$, joten hyvin ohut kalvo näyttää mustalta.
- Heijastuksenestopinnoite
- Lasin pinnan ohut kalvo, jonka pinnoista heijastuneet aallot heikentävät toisiaan. Ohuimman pinnoitteen paksuus on $d = \lambda : (4n)$, kun sen taitekerroin on ilman ja lasin välissä.
Pohdinta
Saippuavesi on väritöntä, ja ohuen saippuakalvon läpi näkee kuin ikkunasta. Kun kalvo heijastaa auringonvaloa, siinä näkyy kuitenkin kirkkaita väriraitoja: punaista, vihreää, sinistä ja purppuraa. Raidat liikkuvat ja vaihtavat väriään, kun kalvo valuu. Samanlaisia värejä näkyy vesilätäkön pinnalla olevassa öljykalvossa ja kameran objektiivin linssissä.
Mistä värit tulevat, kun kalvon aine itse on väritöntä, ja miksi ne vaihtuvat kohdasta toiseen?
Valinnainen Kertaa: interferenssi
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: hyvin ohut kalvo
Ennuste 2: kerros lasin pinnalla
Tutki
Valo tulee ilmasta kohtisuoraan ohueen kalvoon. Muuta kalvon paksuutta ja aallonpituutta ja seuraa kahden heijastuneen aallon summaa.
Simulaatio
Käyttöohje
Valitse tilanne: saippuakalvo ilmassa tai $\text{MgF}_2$-pinnoite lasilla. Säädä kalvon paksuutta $d$ ja aallonpituutta $\lambda$. Vasemmalla kalvo on poikkileikkauksena. Säteet on piirretty vinoon, jotta ne erottuvat, mutta malli laskee kohtisuoran tulon. Merkintä näyttää, kumpi heijastus kääntää aallon. Oikealla ovat heijastuneet aallot 1 ja 2 sekä niiden summa valitulla aallonpituudella. Kuvaaja näyttää heijastuvan osuuden $R$ koko näkyvän valon alueella. Laatikossa on heijastuneen valkoisen valon väri. Lukemista näet interferenssin tilan, matkaeron $2nd$ ja suhteen $2nd : \lambda$. Näet myös kääntävien heijastusten määrän ja heijastuvan osuuden $R$.
Mallin oletukset
Valo tulee ilmasta kohtisuoraan kalvoon. Saippuakalvon taitekerroin on $1{,}33$, ja sen molemmin puolin on ilmaa. Pinnoitteen taitekerroin on $1{,}38$. Sen alla on paksu lasi, jonka taitekerroin on $1{,}52$. Lasin takapinnan heijastusta ei lasketa. Taitekertoimet eivät riipu aallonpituudesta, eikä kalvo ime valoa. Kalvon paksuus on kuvassa suurennettu. Värilaatikon kirkkaus on skaalattu: saippuakalvon voimakkain heijastus ja paljaan lasin heijastus näkyvät valkoisena. Lukemat ovat mallin laskemia arvoja, eivät mittauksia.
Laskennan selitys
Aallon 2 matkaero aaltoon 1 nähden on $2nd$. Heijastus aineeseen, jolla on suurempi taitekerroin, kääntää aallon. Kummankin rajapinnan heijastuneen aallon suuruus (amplitudi) lasketaan kohtisuoran tulon kaavasta $r = (n_a - n_b) : (n_a + n_b)$. Negatiivinen $r$ tarkoittaa, että aalto kääntyy. Heijastuva osuus $R$ lasketaan yhden kerroksen tarkasta kaavasta. Se ottaa huomioon myös heikot aallot, jotka heijastuvat kalvossa moneen kertaan. Paljas lasi heijastaa $R = \left(\tfrac{1{,}52 - 1{,}00}{1{,}52 + 1{,}00}\right)^2 \approx 4{,}26\,\%$. Väri saadaan näin: lasketaan $R$ jokaisella aallonpituudella $400$–$700\,\text{nm}$ ja yhdistetään tulokset silmän herkkyyskäyrillä (CIE 1931) näytön väriksi.
Koe 1: saippuakalvon paksuus
Testaa ennuste 1. Tilanne on saippuakalvo ilmassa ja aallonpituus $550\,\text{nm}$; muuta vain kalvon paksuutta $d$. Kirjaa ainakin paksuudet $0$, $20$, $50$, $103$, $150$ ja $207\,\text{nm}$. Missä kohdissa aallot vahvistavat toisiaan ja missä heikentävät?
Alkutila: tilanne: saippuakalvo ilmassa, kalvon paksuus $d$ = $0\,\text{nm}$, aallonpituus $\lambda$ = $550\,\text{nm}$. Vakiona: tilanne, aallonpituus $\lambda$. Muutetaan: kalvon paksuus $d$.
| kalvon paksuus $d$ | $2nd : \lambda$ | $R$ $(\%)$ |
|---|
Millä paksuudella välillä $0$–$200\,\text{nm}$ saippuakalvo heijastaa $550\,\text{nm}$:n valoa voimakkaimmin? Vastaa nanometreinä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Etsi taulukosta ja liukusäätimellä se paksuus, jolla $R$ on suurimmillaan.
Vihje 2: mikä yhteys
Katso samalla suhdetta $2nd : \lambda$. Mikä sen arvo on voimakkaimman heijastuksen kohdalla?
Vihje 3: välivaihe
Saippuakalvossa on yksi kääntävä heijastus, joten voimakkain heijastus on, kun $2nd = \tfrac{1}{2}\lambda$.
Näytä ratkaisu
Annettu
saippuakalvon taitekerroin $n = 1{,}33$, ilmaa molemmin puolin, aallonpituus $\lambda = 550\,\text{nm}$; simulaation lukemat: $d = 50\,\text{nm}$: $R = 3{,}81\,\%$, $d = 103\,\text{nm}$: $R = 7{,}71\,\%$, $d = 150\,\text{nm}$: $R = 4{,}60\,\%$
Kysytty
kalvon paksuus $d$ nanometreinä, jolla heijastus on voimakkain
Periaate
Yläpinnan heijastus ilmasta kalvoon kääntää aallon. Alapinnan heijastus kalvosta ilmaan ei käännä aaltoa. Yhden kääntymisen vuoksi aallot vahvistavat toisiaan, kun matkaero on puoliluku aallonpituuksia, ja ohuin tällainen kalvo on se, jolla $2nd = \tfrac{1}{2}\lambda$. Simulaatiossa $R$ on suurimmillaan juuri siellä, missä $2nd : \lambda = 0{,}5$.
Kaava
$2nd = \tfrac{1}{2}\lambda$, josta $d = \dfrac{\lambda}{4n}$
Muunnokset
Niitä ei tarvita. Aallonpituus ja paksuus ovat kumpikin nanometreinä, ja taitekerroin on yksikötön.
Sijoitus
Vastaus
$103\,\text{nm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taitekerroin $1{,}33$ ja aallonpituus $550\,\text{nm}$.
Järkevyys
Simulaation suurin lukema $R = 7{,}71\,\%$ on paksuudella $103\,\text{nm}$, ja sen molemmin puolin $R$ pienenee. Paksuus on noin viidesosa aallonpituudesta, kuten ohuelle kalvolle sopii. Tarkistus:
Koe 2: pinnoite lasilla
Testaa ennuste 2. Tilanne on $\text{MgF}_2$-pinnoite lasilla ja aallonpituus $550\,\text{nm}$; muuta vain pinnoitteen paksuutta $d$. Kirjaa ainakin paksuudet $0$ (paljas lasi), $50$, $100$, $150$ ja $199\,\text{nm}$. Vertaa heijastusta paljaaseen lasiin.
Alkutila: tilanne: pinnoite lasilla, pinnoitteen paksuus $d$ = $0\,\text{nm}$, aallonpituus $\lambda$ = $550\,\text{nm}$. Vakiona: tilanne, aallonpituus $\lambda$. Muutetaan: pinnoitteen paksuus $d$.
| pinnoitteen paksuus $d$ | $2nd : \lambda$ | $R$ $(\%)$ |
|---|
Koe 3: kalvon väri
Tilanne on saippuakalvo ilmassa, ja kalvon paksuus on $200\,\text{nm}$; muuta vain aallonpituutta $\lambda$. Kirjaa ainakin aallonpituudet $400$, $450$, $500$, $532$, $600$, $650$ ja $700\,\text{nm}$. Mitkä värit heijastuvat ja mikä puuttuu? Katso myös värilaatikkoa.
Alkutila: tilanne: saippuakalvo ilmassa, kalvon paksuus $d$ = $200\,\text{nm}$, aallonpituus $\lambda$ = $400\,\text{nm}$. Vakiona: tilanne, kalvon paksuus $d$. Muutetaan: aallonpituus $\lambda$.
| aallonpituus $\lambda$ | $2nd : \lambda$ | $R$ $(\%)$ |
|---|
Johtopäätös: kalvon paksuus ja väri
Kirjoita taulukoidesi perusteella: millä paksuuksilla saippuakalvo heijastaa $550\,\text{nm}$:n valoa voimakkaimmin ja millä heikoimmin? Miksi pinnoite toimii toisin? Mistä $200\,\text{nm}$:n saippuakalvon väri syntyy?
Mallivastaus
Saippuakalvo ei heijastanut lainkaan, kun $d = 0$, ja paksuudella $207\,\text{nm}$ heijastus oli taas lähes nolla. Voimakkain heijastus, $R = 7{,}71\,\%$, oli paksuudella $103\,\text{nm}$, jolla $2nd : \lambda = 0{,}50$. Saippuakalvossa vain yläpinnan heijastus kääntää aallon, joten matkaero $\tfrac{1}{2}\lambda$ on vahvistava ja $\lambda$ heikentävä. Pinnoitteessa molemmat heijastukset kääntävät aallon: paljas lasi heijasti $4{,}26\,\%$, $100\,\text{nm}$:n pinnoite vain $1{,}26\,\%$ ja $199\,\text{nm}$:n pinnoite taas $4{,}26\,\%$. Sama ehto $2nd = \tfrac{1}{2}\lambda$ on siis pinnoitteessa heikentävä. $200\,\text{nm}$:n saippuakalvossa matkaero on $532\,\text{nm}$, joten $532\,\text{nm}$:n vihreä valo kumoutui kokonaan ($R = 0\,\%$), mutta violettia heijastui $5{,}83\,\%$ ja punaista $3{,}77\,\%$. Kalvo näyttää purppuralta, koska vihreä puuttuu. Arvot ovat mallin laskemia.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Kaksi heijastusta
Luvussa Valon interferenssi ja diffraktio nähtiin, että valo on aaltoliikettä. Kaksi valoaaltoa voi vahvistaa tai heikentää toisiaan. Tätä sanotaan interferenssiksi. Ohut kalvo on läpinäkyvä kerros, joka on yhtä ohut kuin valon aallonpituus, noin $100$–$1000\,\text{nm}$. Esimerkkejä ovat saippuakuplan seinämä, öljykalvo vedessä ja linssin pinnoite. Kun valo osuu kalvoon, pieni osa heijastuu kalvon yläpinnasta. Toinen pieni osa menee kalvon sisään ja heijastuu alapinnasta. Nämä kaksi heijastunutta aaltoa etenevät samaan suuntaan ja interferoivat. Tässä luvussa valo tulee kalvoon aina kohtisuoraan.
Matkaero kalvossa
Alapinnasta heijastunut aalto 2 kulkee kalvon läpi alas ja takaisin ylös. Se kulkee siksi lisämatkan $2d$, kun $d$ on kalvon paksuus. Kalvossa valo etenee hitaammin, nopeudella $c : n$. Valon taajuus ei kuitenkaan muutu. Siksi aallonpituus on kalvossa $n$ kertaa lyhyempi kuin ilmassa. Esimerkiksi saippuakalvossa ($n = 1{,}33$) aallonpituus $550\,\text{nm}$ lyhenee arvoon $413{,}5\,\text{nm}$, koska $550\,\text{nm} : 1{,}33 = 413{,}5\,\text{nm}$. Lisämatkaan $2d$ mahtuu siksi yhtä monta aallonpituutta kuin ilmassa matkaan $2nd$. Aaltojen 1 ja 2 matkaero on siis $2nd$, kun aallonpituus mitataan ilmassa.
Puolen aallonpituuden siirtymä heijastuksessa
Matkaero ei yksin ratkaise interferenssiä. Luvussa Aaltojen heijastuminen ja diffraktio köyden pulssi kääntyi heijastuessaan kiinteästä päästä, mutta ei vapaasta päästä. Valolle on vastaava sääntö: kun valo heijastuu rajapinnasta, jonka takana on aine, jolla on suurempi taitekerroin, heijastunut aalto kääntyy. Silloin harja palaa pohjana. Kääntyminen vastaa puolen aallonpituuden siirtymää. Jos takana on aine, jolla on pienempi taitekerroin, aalto ei käänny. Saippuakalvossa yläpinnan heijastus tapahtuu ilmasta kalvoon ($1{,}00 \to 1{,}33$), joten aalto 1 kääntyy. Alapinnan heijastus tapahtuu kalvosta ilmaan ($1{,}33 \to 1{,}00$), joten aalto 2 ei käänny.
Hyvin ohut kalvo on musta
Oletetaan, että saippuakalvo on paljon ohuempi kuin aallonpituus. Silloin matkaero on lähes nolla. Aalto 1 on kuitenkin kääntynyt ja aalto 2 ei. Aallot ovat siksi vastakkaisessa vaiheessa ja kumoavat toisensa. Hyvin ohut kalvo ei heijasta valoa, joten se näyttää mustalta. Siksi saippuakuplan yläosaan ilmestyy musta laikku juuri ennen puhkeamista. Kun kalvo on niin paksu, että $2nd = \tfrac{1}{2}\lambda$, aalto 2 jää puoli aallonpituutta jälkeen. Se vastaa kääntymistä. Silloin aallot ovat samassa vaiheessa ja vahvistavat toisiaan.
Miksi kalvo on värikäs
Auringonvalo on valkoista valoa. Siinä on kaikkia näkyvän valon aallonpituuksia, noin $400$–$700\,\text{nm}$. Samanpaksuisessa kalvossa matkaero $2nd$ vahvistaa joitakin aallonpituuksia ja heikentää toisia. Heijastuneesta valosta puuttuu silloin osa väreistä, ja kalvo näyttää värikkäältä. Esimerkiksi $200\,\text{nm}$:n paksuisessa saippuakalvossa matkaero on $532\,\text{nm}$. Vihreä valo, jonka aallonpituus on $532\,\text{nm}$, kumoutuu. Punaista ja violettia valoa kuitenkin heijastuu, joten kalvo näyttää purppuralta.
Saippuakupla ei ole joka kohdasta yhtä paksu. Painovoima valuttaa saippuavettä alaspäin, joten kalvo ohenee ylhäältä ja paksunee alhaalla. Jokainen väriraita on kohta, jossa kalvo on yhtä paksu. Raidat liikkuvat, kun kalvo valuu ja haihtuu.
Veden pinnalla olevassa öljykalvossa ($n \approx 1{,}5$) on samat ehdot kuin saippuakalvossa. Yläpinnan heijastus tapahtuu ilmasta öljyyn, ja se kääntää aallon. Alapinnan heijastus tapahtuu öljystä veteen ($n = 1{,}33$), ja se ei käännä aaltoa.
Paksussa kalvossa, kuten ikkunalasissa, värejä ei näy. Jo $5\,\mu\text{m}$:n saippuakalvossa näkyvän valon alueella on $14$ aallonpituutta, jotka vahvistuvat. Niiden väliin jää lähes yhtä monta aallonpituutta, jotka heikentyvät. Värit sekoittuvat siksi valkoiseksi.
Ohuen kalvon interferenssi
Kun valo tulee kohtisuoraan kalvoon, kalvon kahdesta pinnasta heijastuneiden aaltojen matkaero on
$$\Delta s = 2nd$$
missä $n$ on kalvon taitekerroin, $d$ kalvon paksuus ja $\lambda$ valon aallonpituus ilmassa (lähes sama kuin tyhjiössä). Ehdot riippuvat siitä, kuinka moni heijastus kääntää aallon. Tarkastellaan ensin saippuakalvoa ilmassa. Sen molemmin puolin on aine, jolla on pienempi taitekerroin. Silloin vain yläpinnan heijastus kääntää aallon, ja
$$\begin{aligned} &\text{vahvistava:} \\ &2nd = (k + \tfrac{1}{2})\lambda \\[6pt] &\text{heikentävä:} \\ &2nd = k\lambda \end{aligned}$$
missä $k = 0, 1, 2, \ldots$
Toinen tapaus on linssin pinnoite. Sen taitekerroin on ilman ja lasin välissä, joten kumpikin heijastus kääntää aallon. Käännökset kumoavat toisensa. Silloin ehdot vaihtavat paikkaa: $2nd = k\lambda$ on vahvistava ja $2nd = (k + \tfrac{1}{2})\lambda$ on heikentävä. Sama pätee, kun kumpikaan heijastus ei käännä aaltoa.
Heijastuksenestopinnoite
Tavallinen lasi ($n = 1{,}52$) heijastaa kummastakin pinnastaan noin $4\,\%$ kohtisuoraan tulevasta valosta. Kameran objektiivissa on monta linssiä. Heijastukset heikentävät kuvaa ja tekevät siihen haamukuvia. Silmälaseissa heijastus näkyy kiiltona.
Heijastuksenestopinnoite on ohut kalvo, joka höyrystetään lasin pinnalle. Se voi olla esimerkiksi magnesiumfluoridia $\text{MgF}_2$. Sen taitekerroin on $1{,}38$ aallonpituudella $550\,\text{nm}$ (Dodge, Applied Optics, 1984). Pinnoitteen kumpikin heijastus tapahtuu aineeseen, jolla on suurempi taitekerroin ($1{,}00 \to 1{,}38 \to 1{,}52$). Siksi heikentävä ehto on $2nd = (k + \tfrac{1}{2})\lambda$. Ohuimmalla pinnoitteella $k = 0$. Silloin pinnoitteen paksuus on neljäsosa aallonpituudesta pinnoitteessa:
$$d = \frac{\lambda}{4n}$$
Pinnoite mitoitetaan yleensä näkyvän valon keskelle, koska silmä on herkin sille. Kun $\lambda = 550\,\text{nm}$, paksuus on $99{,}6\,\text{nm}$. Heijastus pienenee silloin pinnasta noin $4{,}3\,\%$:sta noin $1{,}3\,\%$:iin.
Täydellinen kumoutuminen vaatisi, että kaksi heijastunutta aaltoa olisivat yhtä voimakkaat. Kohtisuorassa tulossa näin käy, kun pinnoitteen taitekerroin on $\sqrt{n_\text{lasi}}$. Lasille se on $\sqrt{1{,}52} \approx 1{,}23$. Näin pientä taitekerrointa ei ole kestävillä pinnoiteaineilla, ja $\text{MgF}_2$ on lähimpiä. Pinnoite ei myöskään kumoa kaikkia aallonpituuksia yhtä hyvin. Violettia ja punaista heijastuu enemmän kuin vihreää, joten pinnoitettu linssi kiiltää purppuraisena. Valo ei katoa: mitä vähemmän valoa heijastuu, sitä enemmän sitä pääsee lasin läpi. Nykyaikaisissa objektiiveissa on usein monta kerrosta päällekkäin.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että saippuakuplan värit syntyvät samalla tavalla kuin prisman tai sateenkaaren värit, kun valo taittuu eri suuntiin. Kuplan värit syntyvät kuitenkin interferenssistä. Samanpaksuinen kalvo vahvistaa joitakin aallonpituuksia ja heikentää toisia. Väri riippuu siis kalvon paksuudesta.
Toinen virhe on unohtaa heijastuksen puolen aallonpituuden siirtymä. Silloin päätellään, että hyvin ohut kalvo heijastaa voimakkaasti, koska matkaero on nolla.
Kolmas virhe on luulla, että heijastuksenestopinnoite imee heijastuvan valon itseensä. Pinnoite on läpinäkyvä. Heikentävässä interferenssissä valoa heijastuu vähemmän, ja sitä pääsee enemmän lasin läpi.
Tiivistelmä
- Ohuen kalvon kahdesta pinnasta heijastuneet aallot interferoivat. Kun valo tulee kohtisuoraan, niiden matkaero on $2nd$, koska aallonpituus kalvossa on $\lambda : n$.
- Heijastunut aalto kääntyy eli saa puolen aallonpituuden siirtymän, kun valo heijastuu aineeseen, jolla on suurempi taitekerroin.
- Saippuakalvossa ilmassa on yksi siirtymä. Vahvistava ehto on $2nd = (k + \tfrac{1}{2})\lambda$ ja heikentävä $2nd = k\lambda$. Hyvin ohut kalvo on siksi musta.
- Valkoisessa valossa kalvo näyttää värikkäältä, koska osa aallonpituuksista kumoutuu. Väri vaihtuu kalvon paksuuden mukana.
- Heijastuksenestopinnoitteessa on kaksi siirtymää. Ohuin heikentävä pinnoite on $d = \lambda : (4n)$. Esimerkiksi $\text{MgF}_2$:lla se on $99{,}6\,\text{nm}$ aallonpituudelle $550\,\text{nm}$.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi teoriaan ja kokeiden mallin arvoihin. Palaa sitten alun kysymykseen: mistä saippuakalvon värit tulevat, ja miksi ne vaihtuvat kohdasta toiseen?
Haluaisitko muuttaa ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Saippuakuplan seinämän paksuus on eräässä kohdassa $380\,\text{nm}$, ja saippuaveden taitekerroin on $1{,}33$. Valkoinen valo tulee kohtisuoraan kalvoon. Mitkä näkyvän valon ($400$–$700\,\text{nm}$) aallonpituudet heijastuvat voimakkaimmin?
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Kalvon paksuus on $d = 380\,\text{nm}$ ja taitekerroin $n = 1{,}33$. Kalvon molemmin puolin on ilmaa. Kysytään ne aallonpituudet $\lambda$ välillä $400$–$700\,\text{nm}$, joilla interferenssi on vahvistava.
Vaihe 2/7
Periaate. Yläpinnan heijastus ilmasta kalvoon kääntää aallon. Alapinnan heijastus kalvosta ilmaan ei käännä. Heijastuksissa on siis yksi puolen aallonpituuden siirtymä. Siksi vahvistavan interferenssin ehto on $2nd = (k + \tfrac{1}{2})\lambda$. Lasketaan aallonpituus eri $k$:n arvoilla ja valitaan ne, jotka ovat näkyvän valon alueella.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. $$\begin{aligned} 2nd &= (k + \tfrac{1}{2})\lambda \\[6pt] \lambda &= \frac{2nd}{k + \frac{1}{2}} \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Niitä ei tarvita. Paksuus ja aallonpituus ovat kumpikin nanometreinä, ja taitekerroin on yksikötön.
Vaihe 5/7
Sijoitus. $$\begin{aligned} \lambda &= \frac{2nd}{k + \frac{1}{2}} \\[6pt] k &= 1:\ \lambda = \frac{2 \cdot 1{,}33 \cdot 380\,\text{nm}}{1{,}5} \\ &= 673{,}9\,\text{nm} \\[6pt] k &= 2:\ \lambda = \frac{2 \cdot 1{,}33 \cdot 380\,\text{nm}}{2{,}5} \\ &= 404{,}3\,\text{nm} \end{aligned}$$
Matkaero on $2nd = 1010{,}8\,\text{nm}$. Arvolla $k = 0$ saadaan $2021{,}6\,\text{nm}$ (infrapunaa). Arvolla $k = 3$ saadaan $288{,}8\,\text{nm}$ (ultraviolettia). Ne eivät ole näkyvää valoa.
Vaihe 6/7
Tulos. Voimakkaimmin heijastuvat punainen valo, jonka aallonpituus on $674\,\text{nm}$, ja violetti valo, jonka aallonpituus on $404\,\text{nm}$. Vastaukset on annettu kolmella merkitsevällä numerolla, koska taitekerroin ja paksuus on annettu niin. Näiden välissä heikentävä ehto $2nd = 2\lambda$ kumoaa vihreänsinisen valon, $1010{,}8\,\text{nm} : 2 = 505\,\text{nm}$. Kalvo näyttää tässä kohdassa punertavan purppuralta.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Tarkistus: $(1 + \tfrac{1}{2}) \cdot 673{,}9\,\text{nm} = 1010{,}8\,\text{nm}$ ja $(2 + \tfrac{1}{2}) \cdot 404{,}3\,\text{nm} = 1010{,}8\,\text{nm}$. Kaksi vahvistuvaa aallonpituutta ovat peräkkäiset kertaluvut. Niiden välissä on siksi täsmälleen yksi heikentyvä aallonpituus, kuten pitääkin. Ohuemmassa kalvossa vahvistuvia aallonpituuksia olisi näkyvällä alueella vähemmän ja paksummassa enemmän.
Valinnainen Etsi virhe
Sovella uuteen tilanteeseen: öljykalvo lätäkössä
Vesilätäkön ($n = 1{,}33$) pinnalla on ohut öljykalvo, jonka taitekerroin on $1{,}47$. Valo tulee kohtisuoraan kalvoon. Eräässä kohdassa heijastuneesta valkoisesta valosta puuttuu oranssi valo, jonka aallonpituus on $600\,\text{nm}$. Kalvo on ohuin mahdollinen kalvo, joka ei ole lähes nollapaksuinen.
Kuinka paksu kalvo on tässä kohdassa? Vastaa nanometreinä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Kumpi heijastus kääntää aallon: ilmasta öljyyn ($1{,}00 \to 1{,}47$) vai öljystä veteen ($1{,}47 \to 1{,}33$)?
Vihje 2: mikä yhteys
Yksi kääntävä heijastus kuten saippuakalvossa, joten heikentävä ehto on $2nd = k\lambda$. Lähes nollapaksuinen kalvo on $k = 0$, joten nyt $k = 1$.
Vihje 3: välivaihe
$2nd = \lambda$, josta
Näytä ratkaisu
Annettu
öljyn taitekerroin $n = 1{,}47$, veden taitekerroin $1{,}33$, ilman taitekerroin $1{,}00$, puuttuva aallonpituus $\lambda = 600\,\text{nm}$, kohtisuora tulo
Kysytty
öljykalvon paksuus $d$ nanometreinä
Periaate
Yläpinnan heijastus ilmasta öljyyn ($1{,}00 \to 1{,}47$) kääntää aallon, mutta alapinnan heijastus öljystä veteen ($1{,}47 \to 1{,}33$) ei. Yhden käännöksen vuoksi aallot heikentävät toisiaan, kun matkaero on kokonainen määrä aallonpituuksia, $2nd = k\lambda$. Arvo $k = 0$ on lähes nollapaksuinen kalvo, joten ohuin muu kalvo saadaan arvolla $k = 1$.
Kaava
$2nd = k\lambda$ ja $k = 1$, josta $d = \dfrac{\lambda}{2n}$
Muunnokset
Niitä ei tarvita. Aallonpituus ja paksuus ovat kumpikin nanometreinä, ja taitekerroin on yksikötön.
Sijoitus
Vastaus
$204\,\text{nm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taitekerroin $1{,}47$ ja aallonpituus $600\,\text{nm}$.
Järkevyys
Tarkistus:
Paksuus on samaa suuruusluokkaa kuin valon aallonpituus, kuten ohuessa kalvossa pitää. Kalvo on vähän ohuempi kuin saman värin kumoava saippuakalvo, $600\,\text{nm} : (2 \cdot 1{,}33) = 226\,\text{nm}$, koska öljyn taitekerroin on suurempi.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse. Avaa vastaus vasta sitten.
- Miksi saippuakuplan yläosaan ilmestyy musta laikku juuri ennen kuin kupla puhkeaa?
Vastaus
Kalvo on ohentunut yläosassa paljon ohuemmaksi kuin valon aallonpituus, joten matkaero $2nd$ on lähes nolla. Yläpinnasta heijastunut aalto on kuitenkin kääntynyt ja alapinnasta heijastunut ei, joten aallot ovat vastakkaisessa vaiheessa ja kumoavat toisensa kaikilla aallonpituuksilla. Kalvo ei heijasta valoa ja näyttää mustalta.
- Miksi ikkunalasissa ei näy saippuakalvon kaltaisia värejä, vaikka valo heijastuu senkin kahdesta pinnasta?
Vastaus
Ikkunalasi on millimetrien paksuinen eli tuhansia kertoja aallonpituutta paksumpi. Silloin näkyvän valon alueella on hyvin monta aallonpituutta, jotka vahvistuvat, ja niiden välissä yhtä monta, jotka heikkenevät. Värit sekoittuvat, ja heijastunut valo näyttää valkoiselta.
1. Käsite: kääntävät heijastukset
2. Laske: kalvon väri
Saippuakalvon ($n = 1{,}33$) paksuus on eräässä kohdassa $250\,\text{nm}$, ja sen molemmin puolin on ilmaa. Valkoinen valo tulee kohtisuoraan kalvoon. Mikä näkyvän valon ($400$–$700\,\text{nm}$) aallonpituus heijastuu voimakkaimmin? Vastaa nanometreinä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Montako heijastuksista kääntää aallon? Mikä on silloin vahvistavan interferenssin ehto?
Vihje 2: mikä yhteys
Vahvistava ehto on $2nd = (k + \tfrac{1}{2})\lambda$, josta $\lambda = 2nd : (k + \tfrac{1}{2})$.
Vihje 3: välivaihe
$2nd = 665\,\text{nm}$. Kokeile arvoja $k = 0, 1, 2$ ja valitse se, joka on välillä $400$–$700\,\text{nm}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
kalvon paksuus $d = 250\,\text{nm}$, taitekerroin $n = 1{,}33$, ilmaa molemmin puolin, näkyvä valo $400$–$700\,\text{nm}$
Kysytty
voimakkaimmin heijastuva aallonpituus $\lambda$ nanometreinä
Periaate
Yläpinnan heijastus ilmasta kalvoon kääntää aallon. Alapinnan heijastus kalvosta ilmaan ei käännä aaltoa. Yhden käännöksen vuoksi aallot vahvistavat toisiaan, kun $2nd = (k + \tfrac{1}{2})\lambda$. Lasketaan $\lambda$ arvoilla $k = 0, 1, 2$ ja valitaan näkyvän valon alueella oleva.
Kaava
$2nd = (k + \tfrac{1}{2})\lambda$, josta
Muunnokset
Niitä ei tarvita. Paksuus ja aallonpituus ovat kumpikin nanometreinä, ja taitekerroin on yksikötön.
Sijoitus
$k = 1$:
arvolla $k = 0$ saadaan $1330\,\text{nm}$ (infrapunaa) ja arvolla $k = 2$ saadaan $266\,\text{nm}$ (ultraviolettia).
Vastaus
$443\,\text{nm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taitekerroin $1{,}33$ ja paksuus $250\,\text{nm}$.
Järkevyys
Tarkistus:
Aallonpituus on sinivioletin valon alueella, ja ainoa näkyvä kumoutuva aallonpituus on $665\,\text{nm}$ eli punainen, joten kalvo näyttää tässä kohdassa sinertävältä.
Ehdotus: yksi vastaus ei kerro kaikkea osaamisestasi. Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
Valinnainen 3. Selitä: heijastusta vähentävä pinnoite
Selitä, miten silmälasin linssin heijastuksenestopinnoite vähentää heijastusta. Mihin heijastumatta jäävä valo joutuu, ja miksi pinnoitettu linssi kiiltää heikosti purppuraisena?
Mallivastaus
Pinnoite on ohut läpinäkyvä kalvo, jonka taitekerroin on ilman ja lasin välissä. Valo heijastuu sekä pinnoitteen yläpinnasta että pinnoitteen ja lasin rajapinnasta, ja kumpikin heijastus kääntää aallon, joten käännökset kumoavat toisensa. Kun pinnoitteen paksuus on $d = \lambda : (4n)$, matkaero on $2nd = \tfrac{1}{2}\lambda$, ja heijastuneet aallot ovat vastakkaisessa vaiheessa ja heikentävät toisiaan. Pinnoite ei ime valoa, vaan heijastumatta jäävä valo kulkee linssin läpi silmään. Pinnoite mitoitetaan näkyvän valon keskelle, vihreälle valolle. Violetille ja punaiselle valolle matkaero ei ole puoli aallonpituutta, joten niitä heijastuu enemmän, ja heikko heijastus näyttää purppuralta.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 14-1Ydintehtävä
Saippuakalvon taitekerroin on $1{,}33$, ja sen paksuus on eräässä kohdassa $420\,\text{nm}$. Valo tulee kohtisuoraan kalvoon. Kuinka suuri on kalvon kahdesta pinnasta heijastuneiden aaltojen matkaero? Anna vastaus nanometreinä.
Vastaus
$1120\,\text{nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
saippuakalvon taitekerroin $n = 1{,}33$, kalvon paksuus $d = 420\,\text{nm}$, kohtisuora tulo
Kysytty
kahdesta pinnasta heijastuneiden aaltojen matkaero $\Delta s$ nanometreinä
Periaate
Alapinnasta heijastunut aalto kulkee kalvon läpi alas ja takaisin ylös eli lisämatkan $2d$. Kalvossa aallonpituus on $n$ kertaa lyhyempi kuin ilmassa, joten lisämatkaan mahtuu yhtä monta aallonpituutta kuin ilmassa matkaan $2nd$. Kohtisuorassa tulossa matkaero on siksi $2nd$.
Kaava
$\Delta s = 2nd$
Muunnokset
Niitä ei tarvita. Paksuus on nanometreinä, ja taitekerroin on yksikötön.
Sijoitus
$\Delta s$$= 2 \cdot 1{,}33 \cdot 420\,\text{nm}$$= 1117{,}2\,\text{nm}$Vastaus
$1120\,\text{nm}$
Eli $1{,}12\,\mu\text{m}$, kolme merkitsevää numeroa kuten taitekerroin $1{,}33$ ja paksuus $420\,\text{nm}$.
Järkevyys
Matkaero on yli kaksi kertaa kalvon paksuus, koska valo kulkee kalvon edestakaisin ja kalvossa aallonpituus on lyhyempi. Ilman taitekerrointa matkaero olisi $840\,\text{nm}$; kerroin $1{,}33$ suurentaa sitä noin kolmanneksella, kuten tuloksessa.
- Tehtävä 14-2Ydintehtävä
Punaisen laservalon aallonpituus ilmassa on $633\,\text{nm}$. Kuinka suuri on valon aallonpituus magnesiumfluoridissa, jonka taitekerroin on $1{,}38$?
Vastaus
$459\,\text{nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
aallonpituus ilmassa $\lambda = 633\,\text{nm}$, magnesiumfluoridin taitekerroin $n = 1{,}38$
Kysytty
aallonpituus magnesiumfluoridissa $\lambda_n$ nanometreinä
Periaate
Aineessa valo etenee nopeudella $v = c : n$, mutta sen taajuus $f$ ei muutu rajapinnassa. Koska $\lambda = v : f$, aallonpituus lyhenee samassa suhteessa kuin nopeus eli $n$-kertaisesti.
Kaava
$\lambda_n$$= \dfrac{v}{f}$$= \dfrac{c}{nf}$josta $\lambda_n = \dfrac{\lambda}{n}$
Muunnokset
Niitä ei tarvita. Aallonpituus on nanometreinä, ja taitekerroin on yksikötön.
Sijoitus
$\lambda_n$$= \dfrac{633\,\text{nm}}{1{,}38}$$= 458{,}70\,\text{nm}$Vastaus
$459\,\text{nm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten aallonpituus $633\,\text{nm}$ ja taitekerroin $1{,}38$.
Järkevyys
Aallonpituus aineessa on lyhyempi kuin ilmassa, koska taitekerroin on suurempi kuin yksi. Valon väri ei silti muutu, koska taajuus pysyy samana. Tarkistus: $1{,}38 \cdot 458{,}70\,\text{nm} = 633\,\text{nm}$.
- Tehtävä 14-3
Kameran linssin lasin pinnalle höyrystetään $\text{MgF}_2$-pinnoite ($n = 1{,}38$), jotta aallonpituuden $500\,\text{nm}$ valo heijastuisi mahdollisimman vähän. Lasin taitekerroin on $1{,}52$, ja valo tulee kohtisuoraan. Kuinka paksu on ohuin tällainen pinnoite?
Vastaus
$90{,}6\,\text{nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
pinnoitteen taitekerroin $n = 1{,}38$, lasin taitekerroin $1{,}52$, aallonpituus $\lambda = 500\,\text{nm}$, kohtisuora tulo
Kysytty
ohuimman heijastusta heikentävän pinnoitteen paksuus $d$ nanometreinä
Periaate
Kumpikin heijastus tapahtuu aineeseen, jolla on suurempi taitekerroin ($1{,}00 \to 1{,}38 \to 1{,}52$), joten kumpikin aalto kääntyy, ja käännökset kumoavat toisensa. Silloin aallot heikentävät toisiaan, kun $2nd = (k + \tfrac{1}{2})\lambda$, ja ohuin pinnoite saadaan arvolla $k = 0$.
Kaava
$2nd = \tfrac{1}{2}\lambda$, josta $d = \dfrac{\lambda}{4n}$
Muunnokset
Niitä ei tarvita. Aallonpituus ja paksuus ovat kumpikin nanometreinä.
Sijoitus
$d$$= \dfrac{500\,\text{nm}}{4 \cdot 1{,}38}$$= 90{,}580\,\text{nm}$Vastaus
$90{,}6\,\text{nm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taitekerroin $1{,}38$ ja aallonpituus $500\,\text{nm}$.
Järkevyys
Pinnoitteen paksuus on neljäsosa aallonpituudesta pinnoitteessa, $500\,\text{nm} : 1{,}38 = 362\,\text{nm}$, ja $362\,\text{nm} : 4 \approx 91\,\text{nm}$. Tulos on vähän pienempi kuin luvun $99{,}6\,\text{nm}$:n pinnoite aallonpituudelle $550\,\text{nm}$, koska aallonpituus on lyhyempi.
- Tehtävä 14-4
Saippuakalvon taitekerroin on $1{,}33$, ja sen molemmin puolin on ilmaa. Valo tulee kohtisuoraan kalvoon. Kuinka paksu on ohuin kalvo, joka heijastaa aallonpituuden $600\,\text{nm}$ valoa voimakkaimmin?
Vastaus
$113\,\text{nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
saippuakalvon taitekerroin $n = 1{,}33$, ilmaa molemmin puolin, aallonpituus $\lambda = 600\,\text{nm}$, kohtisuora tulo
Kysytty
ohuimman voimakkaasti heijastavan kalvon paksuus $d$ nanometreinä
Periaate
Yläpinnan heijastus ilmasta kalvoon kääntää aallon. Alapinnan heijastus kalvosta ilmaan ei käännä aaltoa. Yhden käännöksen vuoksi aallot vahvistavat toisiaan, kun $2nd = (k + \tfrac{1}{2})\lambda$, ja ohuin tällainen kalvo saadaan arvolla $k = 0$.
Kaava
$2nd = \tfrac{1}{2}\lambda$, josta $d = \dfrac{\lambda}{4n}$
Muunnokset
Niitä ei tarvita. Aallonpituus ja paksuus ovat kumpikin nanometreinä.
Sijoitus
$d$$= \dfrac{600\,\text{nm}}{4 \cdot 1{,}33}$$= 112{,}78\,\text{nm}$Vastaus
$113\,\text{nm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taitekerroin $1{,}33$ ja aallonpituus $600\,\text{nm}$.
Järkevyys
Sama kaava $d = \lambda : (4n)$ antaa saippuakalvossa voimakkaimman heijastuksen mutta pinnoitteessa heikoimman, koska kääntäviä heijastuksia on eri määrä: saippuakalvossa yksi ja pinnoitteessa kaksi. Paksuus on suurempi kuin simulaation $103\,\text{nm}$ aallonpituudelle $550\,\text{nm}$, kuten pidemmälle aallonpituudelle pitää.
- Tehtävä 14-5
Silmälasin linssin muovin taitekerroin on $1{,}60$. Kohtisuorassa tulossa yksikerroksinen heijastuksenestopinnoite kumoaisi heijastuksen täydellisesti, jos sen kahdesta pinnasta heijastuneet aallot olisivat yhtä voimakkaat.
Kuinka suuri pinnoitteen taitekertoimen pitäisi silloin olla?
Vastaus
$1{,}26$
Näytä ratkaisu
Annettu
linssin muovin taitekerroin $n_\text{muovi} = 1{,}60$, kohtisuora tulo
Kysytty
ihanteellisen pinnoitteen taitekerroin $n_\text{p}$
Periaate
Heijastunut aalto on sitä voimakkaampi, mitä enemmän rajapinnan taitekertoimet eroavat. Kun pinnoitteen yläpinnasta ja alapinnasta heijastuneet aallot ovat yhtä voimakkaat, ne voivat kumota toisensa täysin. Kohtisuorassa tulossa näin käy, kun pinnoitteen taitekerroin on linssin aineen taitekertoimen neliöjuuri, kuten luvussa todettiin: silloin $1{,}00 : n_\text{p} = n_\text{p} : n_\text{muovi}$.
Kaava
$n_\text{p} = \sqrt{n_\text{muovi}}$
Muunnokset
Niitä ei tarvita. Taitekertoimet ovat yksiköttömiä.
Sijoitus
$n_\text{p} = \sqrt{1{,}60} = 1{,}2649$
Vastaus
$1{,}26$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taitekerroin $1{,}60$.
Järkevyys
Pinnoitteen taitekerroin on ilman $1{,}00$ ja muovin $1{,}60$ välissä, joten kumpikin heijastus kääntää aallon. Tulos on vähän suurempi kuin tavalliselle lasille laskettu $1{,}23$, koska muovin taitekerroin on suurempi. Tarkistus: $1{,}2649 \cdot 1{,}2649 = 1{,}60$.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 14-6Ydintehtävä
Saippuakalvon ($n = 1{,}33$) paksuus on eräässä kohdassa $240\,\text{nm}$, ja sen molemmin puolin on ilmaa. Valkoinen valo tulee kohtisuoraan kalvoon. Mikä näkyvän valon ($400$–$700\,\text{nm}$) aallonpituus puuttuu heijastuneesta valosta?
Vastaus
$638\,\text{nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
saippuakalvon taitekerroin $n = 1{,}33$, paksuus $d = 240\,\text{nm}$, ilmaa molemmin puolin, näkyvä valo $400$–$700\,\text{nm}$
Kysytty
heijastuneesta valosta puuttuva aallonpituus $\lambda$ nanometreinä
Periaate
Yläpinnan heijastus ilmasta kalvoon kääntää aallon. Alapinnan heijastus kalvosta ilmaan ei käännä aaltoa. Yhden käännöksen vuoksi aallot heikentävät toisiaan, kun matkaero on kokonainen määrä aallonpituuksia, $2nd = k\lambda$. Lasketaan $\lambda$ arvoilla $k = 1, 2$ ja valitaan näkyvä.
Kaava
$2nd = k\lambda$, josta $\lambda = \dfrac{2nd}{k}$
Muunnokset
Niitä ei tarvita. Paksuus ja aallonpituus ovat kumpikin nanometreinä.
Sijoitus
$k = 1$:
$\lambda$$= \dfrac{2 \cdot 1{,}33 \cdot 240\,\text{nm}}{1}$$= 638{,}4\,\text{nm}$arvolla $k = 2$ saadaan $319{,}2\,\text{nm}$, joka on ultraviolettia.
Vastaus
$638\,\text{nm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taitekerroin $1{,}33$ ja paksuus $240\,\text{nm}$.
Järkevyys
Puuttuva valo on punaista, joten kalvo näyttää tässä kohdassa sinivihreältä. Tulos on lähellä luvun $200\,\text{nm}$:n kalvon puuttuvaa $532\,\text{nm}$:ä ja sitä suurempi, kuten paksummalle kalvolle pitää: puuttuva aallonpituus kasvaa samassa suhteessa kuin paksuus. Paksuus on $1{,}2$-kertainen, ja $1{,}2 \cdot 532\,\text{nm}$ on $638{,}4\,\text{nm}$.
- Tehtävä 14-7Ydintehtävä
Lasilinssin ($n = 1{,}52$) pinnalla on $110\,\text{nm}$:n paksuinen $\text{MgF}_2$-pinnoite ($n = 1{,}38$). Valo tulee kohtisuoraan pinnoitteeseen. Minkä näkyvän valon ($400$–$700\,\text{nm}$) aallonpituuden pinnoite heijastaa heikoimmin?
Vastaus
$607\,\text{nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
pinnoitteen taitekerroin $n = 1{,}38$, paksuus $d = 110\,\text{nm}$, lasin taitekerroin $1{,}52$, näkyvä valo $400$–$700\,\text{nm}$
Kysytty
heikoimmin heijastuva aallonpituus $\lambda$ nanometreinä
Periaate
Kumpikin heijastus tapahtuu aineeseen, jolla on suurempi taitekerroin ($1{,}00 \to 1{,}38 \to 1{,}52$), joten käännökset kumoavat toisensa. Aallot heikentävät toisiaan, kun $2nd = (k + \tfrac{1}{2})\lambda$. Lasketaan $\lambda$ arvoilla $k = 0, 1$ ja valitaan näkyvä.
Kaava
$2nd = (k + \tfrac{1}{2})\lambda$, josta
$\lambda$$= \dfrac{2nd}{k + \frac{1}{2}}$Muunnokset
Niitä ei tarvita. Paksuus ja aallonpituus ovat kumpikin nanometreinä.
Sijoitus
$k = 0$:
$\lambda$$= \dfrac{2 \cdot 1{,}38 \cdot 110\,\text{nm}}{0{,}5}$$= \dfrac{303{,}6\,\text{nm}}{0{,}5}$$= 607{,}2\,\text{nm}$arvolla $k = 1$ saadaan $303{,}6\,\text{nm} : 1{,}5 = 202{,}4\,\text{nm}$, joka on ultraviolettia.
Vastaus
$607\,\text{nm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten paksuus $110\,\text{nm}$ ja taitekerroin $1{,}38$.
Järkevyys
Arvolla $k = 0$ pinnoitteen paksuus on neljäsosa aallonpituudesta pinnoitteessa: $4 \cdot 1{,}38 \cdot 110\,\text{nm} = 607{,}2\,\text{nm}$. Pinnoite on paksumpi kuin $550\,\text{nm}$:lle mitoitettu $99{,}6\,\text{nm}$, joten se kumoaa pidemmän, oranssin aallonpituuden.
- Tehtävä 14-8
Lasin ($n = 1{,}52$) pinnalle tehdään $\text{MgF}_2$-pinnoite ($n = 1{,}38$), jonka pitää heijastaa aallonpituuden $520\,\text{nm}$ valoa mahdollisimman vähän, kun valo tulee kohtisuoraan. Valmistaja haluaa kerroksen, joka on paksumpi kuin ohuin mahdollinen.
Kuinka paksu on toiseksi ohuin pinnoite, joka heijastaa tätä aallonpituutta heikoimmin?
Vastaus
$283\,\text{nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
pinnoitteen taitekerroin $n = 1{,}38$, lasin taitekerroin $1{,}52$, aallonpituus $\lambda = 520\,\text{nm}$, kohtisuora tulo
Kysytty
toiseksi ohuimman heikentävän pinnoitteen paksuus $d$ nanometreinä
Periaate
Kumpikin heijastus kääntää aallon ($1{,}00 \to 1{,}38 \to 1{,}52$), joten käännökset kumoavat toisensa, ja aallot heikentävät toisiaan, kun $2nd = (k + \tfrac{1}{2})\lambda$. Ohuin pinnoite on $k = 0$, joten toiseksi ohuin saadaan arvolla $k = 1$.
Kaava
$2nd = (1 + \tfrac{1}{2})\lambda$, josta $d = \dfrac{3\lambda}{4n}$
Muunnokset
Niitä ei tarvita. Aallonpituus ja paksuus ovat kumpikin nanometreinä.
Sijoitus
$d$$= \dfrac{3 \cdot 520\,\text{nm}}{4 \cdot 1{,}38}$$= \dfrac{1560\,\text{nm}}{5{,}52}$$= 282{,}61\,\text{nm}$Vastaus
$283\,\text{nm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taitekerroin $1{,}38$ ja aallonpituus $520\,\text{nm}$.
Järkevyys
Ohuin pinnoite olisi $520\,\text{nm} : (4 \cdot 1{,}38) = 94{,}2\,\text{nm}$, ja toiseksi ohuin on sen kolminkertainen, koska matkaero kasvaa yhdellä aallonpituudella eli kaksi kertaa puoli aallonpituutta lisää. Tarkistus:
$2 \cdot 1{,}38 \cdot 282{,}61\,\text{nm}$$= 780\,\text{nm}$$= 1{,}5 \cdot 520\,\text{nm}$ - Tehtävä 14-9
Säteenjakajassa lasin ($n = 1{,}52$) pinnalle tehdään ohut titaanidioksidikerros, jonka pitää heijastaa aallonpituuden $550\,\text{nm}$ valoa mahdollisimman paljon. Oletetaan, että kerroksen taitekerroin on $2{,}30$ ja että valo tulee ilmasta kohtisuoraan kerrokseen.
Kuinka paksu on ohuin tällainen kerros?
Vastaus
$59{,}8\,\text{nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kerroksen taitekerroin $n = 2{,}30$, lasin taitekerroin $1{,}52$, aallonpituus $\lambda = 550\,\text{nm}$, valo ilmasta kohtisuoraan
Kysytty
ohuimman voimakkaasti heijastavan kerroksen paksuus $d$ nanometreinä
Periaate
Yläpinnan heijastus ilmasta kerrokseen ($1{,}00 \to 2{,}30$) kääntää aallon. Alapinnassa valo heijastuu kerroksesta lasiin ($2{,}30 \to 1{,}52$) eli aineeseen, jolla on pienempi taitekerroin, joten aalto ei käänny. Yhden käännöksen vuoksi ehdot ovat samat kuin saippuakalvossa: aallot vahvistavat toisiaan, kun $2nd = (k + \tfrac{1}{2})\lambda$, ja ohuin kerros saadaan arvolla $k = 0$.
Kaava
$2nd = \tfrac{1}{2}\lambda$, josta $d = \dfrac{\lambda}{4n}$
Muunnokset
Niitä ei tarvita. Aallonpituus ja paksuus ovat kumpikin nanometreinä.
Sijoitus
$d$$= \dfrac{550\,\text{nm}}{4 \cdot 2{,}30}$$= 59{,}783\,\text{nm}$Vastaus
$59{,}8\,\text{nm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taitekerroin $2{,}30$ ja aallonpituus $550\,\text{nm}$.
Järkevyys
Kerros on ohuempi kuin saman aallonpituuden $\text{MgF}_2$-pinnoite $99{,}6\,\text{nm}$, koska taitekerroin on suurempi ja aallonpituus kerroksessa siksi lyhyempi. Ratkaisevaa on, että alapinnassa takana on pienempi taitekerroin: siksi sama neljäsosa-aallon paksuus vahvistaa heijastusta eikä heikennä sitä.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.
- Tehtävä 14-10
Pystysuoraan rautalankakehykseen tehty saippuakalvo ($n = 1{,}33$) valaistaan natriumlampun keltaisella valolla, jonka aallonpituus on $589\,\text{nm}$ ja joka tulee kohtisuoraan kalvoon.
Painovoima ohentaa kalvoa ylhäältä, ja kalvon ylin osa näyttää mustalta. Sen alapuolella vuorottelevat kirkkaat ja tummat vaakasuorat raidat, ja kalvo paksunee alaspäin.
Kuinka paksu kalvo on toisen tumman raidan kohdalla, kun ylintä mustaa aluetta ei lasketa raidaksi?
Vastaus
$443\,\text{nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
saippuakalvon taitekerroin $n = 1{,}33$, ilmaa molemmin puolin, aallonpituus $\lambda = 589\,\text{nm}$, kohtisuora tulo; kalvo paksunee ylhäältä alaspäin, ylin osa on musta
Kysytty
kalvon paksuus $d$ nanometreinä toisen tumman raidan kohdalla
Periaate
Yläpinnan heijastus kääntää aallon, mutta alapinnan ei käännä sitä, joten aallot heikentävät toisiaan, kun $2nd = k\lambda$. Musta yläosa on arvo $k = 0$, jossa kalvo on paljon ohuempi kuin aallonpituus. Kalvo paksunee alaspäin, joten seuraavat tummat raidat ovat järjestyksessä $k = 1$ ja $k = 2$; toisen tumman raidan kohdalla $k = 2$. Kirkkaat raidat ovat tummien välissä.
Kaava
$2nd = 2\lambda$, josta $d = \dfrac{\lambda}{n}$
Muunnokset
Niitä ei tarvita. Aallonpituus ja paksuus ovat kumpikin nanometreinä.
Sijoitus
$d$$= \dfrac{589\,\text{nm}}{1{,}33}$$= 442{,}86\,\text{nm}$Vastaus
$443\,\text{nm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taitekerroin $1{,}33$ ja aallonpituus $589\,\text{nm}$.
Järkevyys
Ensimmäinen tumma raita on paksuudella $589\,\text{nm} : (2 \cdot 1{,}33) = 221\,\text{nm}$, ja toinen on sen kaksinkertainen, koska peräkkäisten tummien raitojen välillä paksuus kasvaa aina saman verran, $\lambda : (2n)$. Paksuus on alle mikrometrin, kuten ohuelle kalvolle sopii.
- Tehtävä 14-11
Kameran objektiivissa on neljä erillistä lasilinssiä eli kahdeksan pintaa, joissa valo tulee ilmasta lasiin tai lasista ilmaan. Jokainen pinta on pinnoitettu niin, että se heijastaa $1{,}3\,\%$ siihen kohtisuoraan tulevasta valosta.
Oletetaan, että lasi ei ime valoa ja että kerran heijastunut valo ei enää pääse kennolle.
Kuinka monta prosenttia objektiiviin tulevasta valosta pääsee sen läpi?
Vastaus
$90\,\%$
Näytä ratkaisu
Annettu
kahdeksan pintaa, joista kukin heijastaa $1{,}3\,\%$ siihen tulevasta valosta; lasi ei ime valoa, eikä heijastunut valo palaa kennolle
Kysytty
objektiivin läpi pääsevän valon osuus prosentteina
Periaate
Valo ei katoa pinnoitteessa: se, mikä ei heijastu, menee pinnan läpi. Jokaisen pinnan läpi pääsee siksi $98{,}7\,\%$ siihen tulevasta valosta, sillä $100\,\% - 1{,}3\,\% = 98{,}7\,\%$. Seuraavaan pintaan tulee vain edellisen läpäissyt valo, joten osuudet kerrotaan keskenään kahdeksan kertaa.
Kaava
$\dfrac{I_\text{läpi}}{I_0}$$= (1 - R)^8$Muunnokset
$R = 1{,}3\,\% = 0{,}013$. Lopuksi osuus kerrotaan sadalla prosenteiksi.
Sijoitus
$\dfrac{I_\text{läpi}}{I_0}$$= (1 - 0{,}013)^8$$= 0{,}987^8$$= 0{,}9006$$= 90{,}06\,\%$Vastaus
$90\,\%$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten heijastuva osuus $1{,}3\,\%$.
Järkevyys
Arvio: kahdeksan pintaa heijastaa yhteensä noin $8 \cdot 1{,}3\,\% \approx 10\,\%$, joten läpi pääsee noin $90\,\%$. Ilman pinnoitteita jokainen pinta heijastaisi noin $4{,}26\,\%$, ja läpi pääsisi vain $(1 - 0{,}0426)^8 \approx 70{,}6\,\%$. Pinnoitteet lisäävät siis kennolle pääsevää valoa noin $19$ prosenttiyksikköä eli runsaan neljänneksen ($90{,}06 : 70{,}6 \approx 1{,}28$) ja vähentävät haamukuvia.
- Tehtävä 14-12
Saippuakalvo ($n = 1{,}33$) on ilmassa, ja valkoinen valo tulee kohtisuoraan kalvoon. Kalvo heijastaa näkyvän valon alueella voimakkaimmin aallonpituuksia $630\,\text{nm}$ ja $450\,\text{nm}$, eikä niiden välissä ole muita voimakkaasti heijastuvia aallonpituuksia.
Kuinka paksu kalvo on?
Vastaus
$592\,\text{nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
saippuakalvon taitekerroin $n = 1{,}33$, ilmaa molemmin puolin, voimakkaimmin heijastuvat aallonpituudet $\lambda_1 = 630\,\text{nm}$ ja $\lambda_2 = 450\,\text{nm}$, ei muita niiden välissä
Kysytty
kalvon paksuus $d$ nanometreinä
Periaate
Yksi kääntävä heijastus, joten aallot vahvistavat toisiaan, kun $2nd = (k + \tfrac{1}{2})\lambda$. Sama paksuus vahvistaa kumpaakin aallonpituutta. Lyhyempi aallonpituus mahtuu matkaeroon useamman kerran, ja koska välissä ei ole muita, sen kertaluku on yhtä suurempi: $(k + \tfrac{1}{2})\lambda_1 = (k + \tfrac{3}{2})\lambda_2$. Tästä ratkaistaan ensin $k$ ja sitten $d$.
Kaava
$(k + \tfrac{1}{2})\lambda_1 = (k + \tfrac{3}{2})\lambda_2$, josta
$k$$= \dfrac{\tfrac{3}{2}\lambda_2 - \tfrac{1}{2}\lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2}$paksuus
$d$$= \dfrac{(k + \frac{1}{2})\lambda_1}{2n}$Muunnokset
Niitä ei tarvita. Aallonpituudet ja paksuus ovat kumpikin nanometreinä.
Sijoitus
$k$$= \dfrac{1{,}5 \cdot 450\,\text{nm} - 0{,}5 \cdot 630\,\text{nm}}{630\,\text{nm} - 450\,\text{nm}}$$= \dfrac{360\,\text{nm}}{180\,\text{nm}}$$= 2$joten
$d$$= \dfrac{2{,}5 \cdot 630\,\text{nm}}{2 \cdot 1{,}33}$$= \dfrac{1575\,\text{nm}}{2{,}66}$$= 592{,}11\,\text{nm}$Vastaus
$592\,\text{nm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taitekerroin $1{,}33$ ja aallonpituudet.
Järkevyys
Tarkistus: $3{,}5 \cdot 450\,\text{nm} = 1575\,\text{nm}$ ja $2{,}5 \cdot 630\,\text{nm} = 1575\,\text{nm}$, joten sama matkaero vahvistaa kumpaakin. Muut kertaluvut antavat $1575\,\text{nm} : 1{,}5 = 1050\,\text{nm}$ (infrapunaa) ja $1575\,\text{nm} : 4{,}5 = 350\,\text{nm}$ (ultraviolettia), joten näkyvällä alueella on todella vain nämä kaksi.
Valokuvat
- Reflection in a soap bubble edit. Brocken Inaglory, edited by Alvesgaspar. lähde, CC BY-SA 3.0
- Thin Film Interference Soap Bubble. Pksois23. lähde, CC BY-SA 4.0
