Homogeeninen sähkökenttä

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 11-1Ydintehtävä

   Pieneen palloon kohdistuu sähkökentässä voima $1{,}2 \cdot 10^{-4}\,\text{N}$. Pallon varaus on $3{,}0 \cdot 10^{-9}\,\text{C}$. Kuinka suuri on sähkökentän voimakkuus pallon kohdalla?

   N/CTarkista
   Vastaus

   $4{,}0 \cdot 10^{4}\,\text{N/C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pallon varaus $q = 3{,}0 \cdot 10^{-9}\,\text{C}$, sähköinen voima $F = 1{,}2 \cdot 10^{-4}\,\text{N}$

   Kysytty

   sähkökentän voimakkuus $E$ yksikössä $\text{N/C}$

   Periaate

   Sähkökentän voimakkuus on voima, joka kohdistuu kohtaan tuotuun varaukseen, jaettuna tällä varauksella. Pallo on pieni. Siksi oletetaan, että se mittaa kentän muuttamatta sitä.

   Kaava

   $F = qE$, josta $E = \dfrac{F}{q}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: voima on newtoneina ja varaus coulombeina.

   Sijoitus

   $E$$= \dfrac{1{,}2 \cdot 10^{-4}\,\text{N}}{3{,}0 \cdot 10^{-9}\,\text{C}}$

   $= 4{,}0 \cdot 10^{4}\,\text{N/C}$

   Vastaus

   $4{,}0 \cdot 10^{4}\,\text{N/C}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten voimassa ja varauksessa.

   Järkevyys

   Tarkistus kertomalla:

   $3{,}0 \cdot 10^{-9}\,\text{C} \cdot 4{,}0 \cdot 10^{4}\,\text{N/C}$

   $= 1{,}2 \cdot 10^{-4}\,\text{N}$

   joka on annettu voima. Kenttä on samaa suuruusluokkaa kuin muutaman kilovoltin jännite muutaman senttimetrin levyvälillä, mikä on tavallinen koulukokeen kenttä.

2. Tehtävä 11-2Ydintehtävä

   Homogeenisen sähkökentän voimakkuus on $2{,}0 \cdot 10^{4}\,\text{N/C}$. Kenttään tuodaan pieni pallo, jonka varaus on $5{,}0\,\text{nC}$. Kuinka suuri sähköinen voima palloon kohdistuu? Vastaa mikronewtoneina.

   µNTarkista
   Vastaus

   $1{,}0 \cdot 10^{2}\,\mu\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   sähkökentän voimakkuus $E = 2{,}0 \cdot 10^{4}\,\text{N/C}$, pallon varaus $q = 5{,}0\,\text{nC}$

   Kysytty

   palloon kohdistuva sähköinen voima $F$ mikronewtoneina

   Periaate

   Sähkökentän voimakkuus kertoo voiman yhtä coulombia kohti. Siksi varaukseen kohdistuva voima on varaus kertaa sähkökentän voimakkuus. Kenttä on homogeeninen eli sama joka kohdassa, joten voima on sama kaikkialla kentässä.

   Kaava

   $F = qE$

   Muunnokset

   $q$$= 5{,}0\,\text{nC}$

   $= 5{,}0 \cdot 10^{-9}\,\text{C}$

   lopuksi $1\,\text{N} = 10^{6}\,\mu\text{N}$.

   Sijoitus

   $F$$= 5{,}0 \cdot 10^{-9}\,\text{C} \cdot 2{,}0 \cdot 10^{4}\,\text{N/C}$

   $= 1{,}0 \cdot 10^{-4}\,\text{N}$

   $= 100\,\mu\text{N}$

   Vastaus

   $1{,}0 \cdot 10^{2}\,\mu\text{N}$

   Eli $100\,\mu\text{N}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

   Järkevyys

   Voima on noin $0{,}1\,\text{mN}$, joka vastaa noin $10\,\text{mg}$:n kappaleen painoa. Se on pieni, mutta kevyt pallo liikkuu sen vaikutuksesta selvästi, kuten sähköstaattisissa kokeissa nähdään.

3. Tehtävä 11-3

   Kahden yhdensuuntaisen metallilevyn välinen jännite on $600\,\text{V}$. Levyjen etäisyys on $0{,}040\,\text{m}$. Kuinka suuri on sähkökentän voimakkuus levyjen välissä?

   V/mTarkista
   Vastaus

   $1{,}5 \cdot 10^{4}\,\text{V/m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   levyjen välinen jännite $U = 600\,\text{V}$, levyjen etäisyys $d = 0{,}040\,\text{m}$

   Kysytty

   sähkökentän voimakkuus $E$ yksikössä $\text{V/m}$

   Periaate

   Yhdensuuntaisten levyjen välissä kenttä on homogeeninen. Kun varaus kulkee levyltä toiselle, kenttä tekee työn $qEd$. Jännitteen mukaan sama työ on $qU$. Siksi sähkökentän voimakkuus on jännite jaettuna levyjen etäisyydellä.

   Kaava

   $qEd = qU$, josta $E = \dfrac{U}{d}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: etäisyys on metreinä.

   Sijoitus

   $E$$= \dfrac{600\,\text{V}}{0{,}040\,\text{m}}$

   $= 15\,000\,\text{V/m}$

   Vastaus

   $1{,}5 \cdot 10^{4}\,\text{V/m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten etäisyydessä $0{,}040\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Jännite jakautuu tasaisesti levyvälille: jokaista senttimetriä kohti tulee $600\,\text{V} : 4 = 150\,\text{V}$, eli metriä kohti $15\,000\,\text{V}$. Yksikkö $\text{V/m}$ on sama kuin $\text{N/C}$.

4. Tehtävä 11-4

   Solukalvon sisä- ja ulkopinnalla on vastakkaismerkkiset varaukset. Kalvon sisällä on likimain homogeeninen sähkökenttä, jonka voimakkuus on $1{,}0 \cdot 10^{7}\,\text{V/m}$. Kalvon paksuus on $7{,}0 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$.

   Kuinka suuri jännite kalvon yli on? Vastaa millivoltteina.

   mVTarkista
   Vastaus

   $70\,\text{mV}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   sähkökentän voimakkuus $E = 1{,}0 \cdot 10^{7}\,\text{V/m}$, kalvon paksuus $d = 7{,}0 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$

   Kysytty

   kalvon yli oleva jännite $U$ millivoltteina

   Periaate

   Kalvon pinnoilla on vastakkaismerkkiset varaukset kuten levyillä, ja kalvon sisällä kenttä on likimain homogeeninen. Silloin pätee yhtälö $E = U : d$. Jännite saadaan ratkaisemalla se.

   Kaava

   $E = \dfrac{U}{d}$, josta $U = Ed$

   Muunnokset

   Lopuksi $1\,\text{V} = 1000\,\text{mV}$.

   Sijoitus

   $U$$= 1{,}0 \cdot 10^{7}\,\text{V/m} \cdot 7{,}0 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$

   $= 0{,}070\,\text{V}$

   $= 70\,\text{mV}$

   Vastaus

   $70\,\text{mV}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

   Järkevyys

   Jännite on pieni, koska kalvo on hyvin ohut, vaikka kenttä on voimakas: $10^{7}\,\text{V/m}$ tarkoittaa vain $0{,}01\,\text{V}$ nanometriä kohti. Hermosolun lepojännite on tosiaan noin $70\,\text{mV}$.

5. Tehtävä 11-5

   Pieni pallo pidetään aina samassa kohdassa kahden levyn välissä, ja sen varausta muutetaan. Kuvaajassa on palloon kohdistuva sähköinen voima varauksen funktiona. Pisteisiin on sovitettu suora.

   Kuinka suuri on sähkökentän voimakkuus pallon kohdalla? Määritä se kuvaajasta.

   N/CTarkista
   Vastaus

   $3{,}0 \cdot 10^{4}\,\text{N/C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuvaajan mittauspisteet ja niihin sovitettu origon kautta kulkeva suora; pallo on joka mittauksessa samassa kohdassa

   Kysytty

   sähkökentän voimakkuus $E$ yksikössä $\text{N/C}$

   Periaate

   Samassa kohdassa kenttä on sama. Siksi voima on verrannollinen varaukseen, $F = qE$. Verrannollinen tarkoittaa, että kaksinkertainen varaus antaa kaksinkertaisen voiman. $(q, F)$-kuvaaja on origon kautta kulkeva suora, jonka kulmakerroin on sähkökentän voimakkuus. Kulmakerroin luetaan sovitetulta suoralta, ei yksittäisestä mittauspisteestä.

   Kuvaajan lukeminen

   Suora kulkee origosta ruudukkoviivojen risteykseen $(4{,}0\,\text{nC}$; $120\,\mu\text{N})$. Varaus kasvaa siis $4{,}0\,\text{nC}$ ja voima $120\,\mu\text{N}$.

   Kaava

   $E = \dfrac{\Delta F}{\Delta q}$

   Muunnokset

   $120\,\mu\text{N} = 120 \cdot 10^{-6}\,\text{N}$ ja $4{,}0\,\text{nC} = 4{,}0 \cdot 10^{-9}\,\text{C}$.

   Sijoitus

   $E$$= \dfrac{120 \cdot 10^{-6}\,\text{N}}{4{,}0 \cdot 10^{-9}\,\text{C}}$

   $= 3{,}0 \cdot 10^{4}\,\text{N/C}$

   Vastaus

   $3{,}0 \cdot 10^{4}\,\text{N/C}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska kuvaajasta luetaan ruudukon risteys, jossa voima on $120\,\mu\text{N}$ kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

   Järkevyys

   Mittauspiste $(3{,}0\,\text{nC}$; $91\,\mu\text{N})$ antaa lähes saman arvon: $91\,\mu\text{N} : 3{,}0\,\text{nC} \approx 3{,}0 \cdot 10^{4}\,\text{N/C}$. Suora sovitettiin origon kautta. Mallin $F = qE$ mukaan varaukseton pallo ei tunne homogeenisessa kentässä sähköistä voimaa, vaikka kenttä on olemassa.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 11-6Ydintehtävä

   Kahden yhdensuuntaisen levyn välinen jännite on $4{,}5\,\text{kV}$. Levyjen etäisyys on $9{,}0\,\text{mm}$. Levyjen väliin tuodaan pieni pallo, jonka varaus on $4{,}0\,\text{nC}$.

   Kuinka suuri sähköinen voima palloon kohdistuu? Vastaa millinewtoneina.

   mNTarkista
   Vastaus

   $2{,}0\,\text{mN}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   levyjen välinen jännite $U = 4{,}5\,\text{kV}$, levyjen etäisyys $d = 9{,}0\,\text{mm}$, pallon varaus $q = 4{,}0\,\text{nC}$

   Kysytty

   palloon kohdistuva sähköinen voima $F$ millinewtoneina

   Periaate

   Levyjen välissä kenttä on homogeeninen, joten sen voimakkuus saadaan jännitteestä ja etäisyydestä. Varaukseen kohdistuva voima on varaus kertaa sähkökentän voimakkuus. Voima ei riipu siitä, missä kohdassa levyjen väliä pallo on.

   Kaava

   $E = \dfrac{U}{d}$ ja $F = qE$, joten $F = \dfrac{qU}{d}$

   Muunnokset

   $U$$= 4{,}5\,\text{kV}$

   $= 4{,}5 \cdot 1000\,\text{V}$

   $= 4500\,\text{V}$

   $d$$= 9{,}0\,\text{mm}$

   $= 9{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{m}$

   $q = 4{,}0 \cdot 10^{-9}\,\text{C}$; lopuksi $1\,\text{N} = 1000\,\text{mN}$.

   Sijoitus

   $E$$= \dfrac{4500\,\text{V}}{9{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{m}}$

   $= 5{,}0 \cdot 10^{5}\,\text{V/m}$

   $F$$= 4{,}0 \cdot 10^{-9}\,\text{C} \cdot 5{,}0 \cdot 10^{5}\,\text{V/m}$

   $= 2{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{N}$

   $= 2{,}0\,\text{mN}$

   Vastaus

   $2{,}0\,\text{mN}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

   Järkevyys

   Yksiköt:

   $\text{C} \cdot \text{V/m}$$= \text{J/m}$

   $= \text{N}$

   Kenttä $5 \cdot 10^{5}\,\text{V/m}$ on voimakas mutta selvästi pienempi kuin ilman läpilyöntiin tarvittava noin $3 \cdot 10^{6}\,\text{V/m}$, joten järjestely on mahdollinen.

2. Tehtävä 11-7Ydintehtävä

   Kahden yhdensuuntaisen levyn etäisyys on $5{,}0\,\text{cm}$. Levyjen välissä olevaan pieneen palloon kohdistuu sähköinen voima $2{,}4\,\text{mN}$. Pallon varaus on $8{,}0\,\text{nC}$. Kuinka suuri on levyjen välinen jännite? Vastaa kilovoltteina.

   kVTarkista
   Vastaus

   $15\,\text{kV}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   levyjen etäisyys $d = 5{,}0\,\text{cm}$, pallon varaus $q = 8{,}0\,\text{nC}$, sähköinen voima $F = 2{,}4\,\text{mN}$

   Kysytty

   levyjen välinen jännite $U$ kilovoltteina

   Periaate

   Voimasta ja varauksesta saadaan sähkökentän voimakkuus. Levyjen välisessä homogeenisessa kentässä jännite on sähkökentän voimakkuus kertaa levyjen etäisyys.

   Kaava

   $E = \dfrac{F}{q}$ ja $E = \dfrac{U}{d}$, joten $U = \dfrac{Fd}{q}$

   Muunnokset

   $F$$= 2{,}4\,\text{mN}$

   $= 2{,}4 \cdot 10^{-3}\,\text{N}$

   $d$$= 5{,}0\,\text{cm}$

   $= 0{,}050\,\text{m}$

   $q = 8{,}0 \cdot 10^{-9}\,\text{C}$; lopuksi $1\,\text{kV} = 1000\,\text{V}$.

   Sijoitus

   $E$$= \dfrac{2{,}4 \cdot 10^{-3}\,\text{N}}{8{,}0 \cdot 10^{-9}\,\text{C}}$

   $= 3{,}0 \cdot 10^{5}\,\text{N/C}$

   $U$$= Ed$

   $= 3{,}0 \cdot 10^{5}\,\text{N/C} \cdot 0{,}050\,\text{m}$

   $= 15\,000\,\text{V}$

   $= 15\,\text{kV}$

   Vastaus

   $15\,\text{kV}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

   Järkevyys

   Tarkistus kertomalla:

   $8{,}0 \cdot 10^{-9}\,\text{C} \cdot 15\,000\,\text{V} : 0{,}050\,\text{m}$

   $= 2{,}4 \cdot 10^{-3}\,\text{N}$

   joka on annettu voima. Yksiköt:

   $\text{N} \cdot \text{m} : \text{C}$$= \text{J/C}$

   $= \text{V}$
3. Tehtävä 11-8

   Ilmanpuhdistimen levyjen välinen jännite on $3{,}0\,\text{kV}$. Levyjen etäisyys on $6{,}0\,\text{mm}$. Levyjen väliin tulevan pölyhiukkasen varaus on $1{,}6 \cdot 10^{-17}\,\text{C}$ ja massa $4{,}0 \cdot 10^{-14}\,\text{kg}$.

   Kuinka monta kertaa suurempi hiukkaseen kohdistuva sähköinen voima on kuin hiukkasen paino?

   kertaaTarkista
   Vastaus

   $20$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jännite $U = 3{,}0\,\text{kV}$, levyjen etäisyys $d = 6{,}0\,\text{mm}$, hiukkasen varaus $q = 1{,}6 \cdot 10^{-17}\,\text{C}$ ja massa $m = 4{,}0 \cdot 10^{-14}\,\text{kg}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   sähköisen voiman ja painon suhde $F : G$

   Periaate

   Levyjen välissä kenttä on homogeeninen, $E = U : d$. Hiukkaseen kohdistuu sähköinen voima $qE$. Painovoima on $mg$. Suhde kertoo, kumpi voima määrää hiukkasen liikkeen.

   Kaava

   $\dfrac{F}{G}$$= \dfrac{qE}{mg}$

   $= \dfrac{qU}{mgd}$

   Muunnokset

   $U$$= 3{,}0 \cdot 1000\,\text{V}$

   $= 3000\,\text{V}$

   $d = 6{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{m}$.

   Sijoitus

   $F$$= \dfrac{1{,}6 \cdot 10^{-17}\,\text{C} \cdot 3000\,\text{V}}{6{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{m}}$

   $= 8{,}0 \cdot 10^{-12}\,\text{N}$

   $G$$= 4{,}0 \cdot 10^{-14}\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 3{,}924 \cdot 10^{-13}\,\text{N}$

   $\dfrac{F}{G}$$= \dfrac{8{,}0 \cdot 10^{-12}\,\text{N}}{3{,}924 \cdot 10^{-13}\,\text{N}}$

   $= 20{,}4$

   Vastaus

   noin $20$-kertainen, kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

   Järkevyys

   Suhteella ei ole yksikköä, koska molemmat ovat voimia. Sähköinen voima on paljon painoa suurempi, joten hiukkanen ajautuu levyä kohti eikä vain putoa, mikä on puhdistimen toiminnan edellytys.

4. Tehtävä 11-9

   Kahden levyn välissä olevaan varattuun palloon kohdistuu sähköinen voima $0{,}15\,\text{mN}$, kun levyjen etäisyys on $6{,}0\,\text{cm}$. Levyjä siirretään lähemmäs toisiaan niin, että etäisyys on $2{,}0\,\text{cm}$. Jännite pidetään samana. Pallo pysyy levyjen välissä kaukana levyjen päistä.

   Kuinka suuri voima palloon nyt kohdistuu? Vastaa millinewtoneina.

   mNTarkista
   Vastaus

   $0{,}45\,\text{mN}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alussa voima $F_1 = 0{,}15\,\text{mN}$ ja etäisyys $d_1 = 6{,}0\,\text{cm}$, lopussa etäisyys $d_2 = 2{,}0\,\text{cm}$; jännite ja pallon varaus pysyvät samoina

   Kysytty

   uusi voima $F_2$ millinewtoneina

   Periaate

   Pallo on kaukana levyjen päistä, joten kenttä on homogeeninen ja $E = U : d$. Voima on $F = qE = qU : d$. Kun $q$ ja $U$ pysyvät samoina, voima on kääntäen verrannollinen levyjen etäisyyteen. Se tarkoittaa, että kaksinkertainen etäisyys puolittaa voiman.

   Kaava

   $\dfrac{F_2}{F_1}$$= \dfrac{qU : d_2}{qU : d_1}$

   $= \dfrac{d_1}{d_2}$

   josta $F_2 = F_1 \cdot \dfrac{d_1}{d_2}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: etäisyydet ovat samassa yksikössä, joten yksikkö supistuu.

   Sijoitus

   $F_2$$= 0{,}15\,\text{mN} \cdot \dfrac{6{,}0\,\text{cm}}{2{,}0\,\text{cm}}$

   $= 0{,}15\,\text{mN} \cdot 3{,}0$

   $= 0{,}45\,\text{mN}$

   Vastaus

   $0{,}45\,\text{mN}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

   Järkevyys

   Kolmasosaan pienennetty etäisyys kolminkertaistaa kentän, koska sama jännite jakautuu kolmasosaan matkasta. Voima ei kasva yhdeksänkertaiseksi, kuten se kasvaisi Coulombin lain mukaan pistevarauksille, sillä levyjen kenttä ei riipu etäisyydestä levystä.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 11-10

   Negatiivinen öljypisara leijuu paikallaan kahden vaakasuoran levyn välissä. Levyjen välinen jännite on $450\,\text{V}$, ja positiivinen levy on ylempänä. Pisaran varaus on kolme alkeisvarausta.

   Pisara saa yhden ylimääräisen elektronin. Silloin sen varaus on neljä alkeisvarausta, mutta sen massa ei muutu.

   Kuinka suuri jännite tarvitaan, jotta pisara leijuu taas paikallaan?

   VTarkista
   Vastaus

   $3{,}4 \cdot 10^{2}\,\text{V}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alussa jännite $U_1 = 450\,\text{V}$ ja varaus $q_1 = 3e$, lopussa varaus $q_2 = 4e$; massa ja levyjen etäisyys pysyvät samoina

   Kysytty

   jännite $U_2$, jolla pisara leijuu

   Periaate

   Leijuva pisara on levossa. Siksi sähköinen voima ylöspäin ja paino alaspäin ovat yhtä suuret: $qE = mg$. Levyjen kenttä on homogeeninen, $E = U : d$. Kun $m$, $g$ ja $d$ pysyvät samoina, tulon $qU$ täytyy pysyä samana. Suurempi varaus tarvitsee siis pienemmän jännitteen.

   Kaava

   $\dfrac{q_1 U_1}{d}$$= mg$

   $= \dfrac{q_2 U_2}{d}$

   josta $U_2 = U_1 \cdot \dfrac{q_1}{q_2}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: alkeisvaraus $e$ supistuu.

   Sijoitus

   $U_2$$= 450\,\text{V} \cdot \dfrac{3e}{4e}$

   $= 450\,\text{V} \cdot 0{,}75$

   $= 337{,}5\,\text{V}$

   Vastaus

   $3{,}4 \cdot 10^{2}\,\text{V}$

   ($337{,}5\,\text{V}$), pyöristettynä kahteen merkitsevään numeroon jännitteen $450\,\text{V}$ tarkkuuden mukaan; alkeisvarausten lukumäärät ovat tarkkoja.

   Järkevyys

   Varaus kasvaa kolmanneksella, joten sama sähköinen voima saadaan heikommalla kentällä, ja jännite pienenee neljäsosalla. Jos jännite pidettäisiin $450\,\text{V}$:ssa, sähköinen voima olisi $\tfrac{4}{3}$ painosta, ja pisara lähtisi nousemaan kohti positiivista levyä.

2. Tehtävä 11-11

   Elektroni lähtee levosta negatiivisen levyn luota ja kiihtyy homogeenisessa kentässä positiiviselle levylle. Levyt ovat tyhjiössä.

   Levyjen välinen jännite on $50\,\text{V}$ ja levyjen etäisyys $1{,}0\,\text{cm}$. Elektronin massa on $9{,}109 \cdot 10^{-31}\,\text{kg}$ ja varauksen suuruus $1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$.

   Kuinka suuri on elektronin nopeus, kun se saapuu positiiviselle levylle? Vastaa kilometreinä sekunnissa.

   km/sTarkista
   Vastaus

   $4200\,\text{km/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jännite $U = 50\,\text{V}$, levyjen etäisyys $d = 1{,}0\,\text{cm}$, elektronin massa $m = 9{,}109 \cdot 10^{-31}\,\text{kg}$ ja varaus $e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$; alkunopeus $v_0 = 0$

   Kysytty

   elektronin nopeus $v$ positiivisella levyllä kilometreinä sekunnissa

   Periaate

   Homogeenisessa kentässä elektroniin kohdistuu vakiovoima $eE$ kohti positiivista levyä. Levyt ovat tyhjiössä, joten muita voimia ei ole (paino on häviävän pieni). Newtonin toisen lain mukaan kiihtyvyys $a = eE : m$ on vakio. Liike on siis tasaisesti kiihtyvää. Levosta lähteneelle kappaleelle, joka on kulkenut matkan $d$, pätee $v^2 = 2ad$.

   Kaava

   $a = \dfrac{eE}{m} = \dfrac{eU}{md}$ ja $v^2 = 2ad$, joten

   $v$$= \sqrt{2ad}$

   $= \sqrt{\dfrac{2eU}{m}}$

   Muunnokset

   $d$$= 1{,}0\,\text{cm}$

   $= 0{,}010\,\text{m}$

   lopuksi $1\,\text{km/s} = 1000\,\text{m/s}$.

   Sijoitus

   $E$$= \dfrac{50\,\text{V}}{0{,}010\,\text{m}}$

   $= 5000\,\text{V/m}$

   $a$$= \dfrac{1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 5000\,\text{V/m}}{9{,}109 \cdot 10^{-31}\,\text{kg}}$

   $= 8{,}794 \cdot 10^{14}\,\text{m/s}^2$

   $v$$= \sqrt{2 \cdot 8{,}794 \cdot 10^{14}\,\text{m/s}^2 \cdot 0{,}010\,\text{m}}$

   $= 4{,}19 \cdot 10^{6}\,\text{m/s}$

   Vastaus

   noin $4200\,\text{km/s}$ eli $4{,}2 \cdot 10^{6}\,\text{m/s}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten jännite ja etäisyys.

   Järkevyys

   Nopeus on noin $1{,}4\,\%$ valon nopeudesta, joten klassinen mekaniikka riittää. Lopputulos $\sqrt{2eU : m}$ ei riipu levyjen etäisyydestä: lyhyempi matka kompensoituu voimakkaammalla kentällä.

3. Tehtävä 11-12

   Pieni varattu muovipallo riippuu eristelangan varassa vaakasuuntaisessa homogeenisessa sähkökentässä. Pallon massa on $2{,}0\,\text{g}$, ja kentän voimakkuus on $1{,}5 \cdot 10^{5}\,\text{N/C}$. Pallo on levossa, ja lanka on kääntynyt $10^\circ$:n kulmaan pystysuorasta.

   Kuinka suuri on pallon varaus? Vastaa nanocoulombeina.

   nCTarkista
   Vastaus

   $23\,\text{nC}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pallon massa $m = 2{,}0\,\text{g}$, sähkökentän voimakkuus $E = 1{,}5 \cdot 10^{5}\,\text{N/C}$ vaakasuoraan, langan kulma pystysuorasta $\alpha = 10^\circ$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   pallon varaus $q$ nanocoulombeina

   Periaate

   Palloon vaikuttavat paino $mg$ alas, sähköinen voima $qE$ vaakasuoraan ja langan jännitysvoima langan suuntaan. Pallo on levossa, joten voimien summa on nolla. Pystysuunnassa jännitysvoiman pystykomponentti $T\cos\alpha$ kumoaa painon. Vaakasuunnassa jännitysvoiman vaakakomponentti $T\sin\alpha$ kumoaa sähköisen voiman.

   Kaava

   $T\sin\alpha = qE$ ja $T\cos\alpha = mg$; jakamalla $\tan\alpha = \dfrac{qE}{mg}$, josta $q = \dfrac{mg\tan\alpha}{E}$

   Muunnokset

   $m$$= 2{,}0\,\text{g}$

   $= 2{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{kg}$

   lopuksi $1\,\text{C} = 10^{9}\,\text{nC}$.

   Sijoitus

   $mg\tan\alpha$$= 2{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot \tan 10^\circ$

   $= 3{,}459 \cdot 10^{-3}\,\text{N}$

   $q$$= \dfrac{3{,}459 \cdot 10^{-3}\,\text{N}}{1{,}5 \cdot 10^{5}\,\text{N/C}}$

   $= 2{,}306 \cdot 10^{-8}\,\text{C}$

   $= 23\,\text{nC}$

   Vastaus

   $23\,\text{nC}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa ja sähkökentän voimakkuudessa.

   Järkevyys

   Sähköinen voima on

   $mg\tan 10^\circ$$\approx 0{,}18 \cdot 0{,}020\,\text{N}$

   $= 3{,}5\,\text{mN}$

   noin viidesosa painosta, mikä sopii pieneen poikkeamaan. Kymmenien nanocoulombien varaus on tavallinen hangatulle muovipallolle.