Sähkövaraus ja Coulombin laki

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 10-1Ydintehtävä

   Hiuksiin hierotun kamman varaus on $-6{,}4\,\text{nC}$. Kuinka monta ylimääräistä elektronia kammassa on? Alkeisvaraus on $e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$.

   Tarkista
   Vastaus

   $4{,}0 \cdot 10^{10}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kamman varaus $Q = -6{,}4\,\text{nC}$, alkeisvaraus $e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$

   Kysytty

   ylimääräisten elektronien lukumäärä $n$

   Periaate

   Varaus koostuu aina kokonaisista alkeisvarauksista. Kampa on negatiivinen, koska siinä on elektroneja enemmän kuin protoneja, ja jokainen ylimääräinen elektroni tuo varauksen $-e$. Varauksen suuruus on siis ylimääräisten elektronien määrä kertaa alkeisvaraus.

   Kaava

   $Q = ne$, josta $n = \dfrac{Q}{e}$, kun $Q$ on varauksen suuruus

   Muunnokset

   $Q$$= 6{,}4\,\text{nC}$

   $= 6{,}4 \cdot 10^{-9}\,\text{C}$

   Sijoitus

   $n$$= \dfrac{6{,}4 \cdot 10^{-9}\,\text{C}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}}$

   $= 3{,}995 \cdot 10^{10}$

   Vastaus

   $4{,}0 \cdot 10^{10}$

   Elektronia, kaksi merkitsevää numeroa kuten varauksessa $6{,}4\,\text{nC}$.

   Järkevyys

   Yhteen coulombiin tarvitaan noin $6 \cdot 10^{18}$ alkeisvarausta, joten nanocoulombiin noin $6 \cdot 10^{9}$, ja $6{,}4\,\text{nC}$:iin noin kuusi kertaa enemmän, $4 \cdot 10^{10}$. Luku on valtava, mutta se on vain pieni osa kamman kaikista elektroneista.

2. Tehtävä 10-2Ydintehtävä

   Kahden pienen pallon varaukset ovat $+15\,\text{nC}$ ja $+25\,\text{nC}$, ja pallojen keskipisteiden etäisyys on $4{,}0\,\text{cm}$. Kuinka suuri on pallojen välinen sähköinen voima? Vastaa millinewtoneina.

   mNTarkista
   Vastaus

   $2{,}1\,\text{mN}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   varaukset $q_1 = +15\,\text{nC}$ ja $q_2 = +25\,\text{nC}$, etäisyys $r = 4{,}0\,\text{cm}$. Coulombin lain vakio $k = 8{,}988 \cdot 10^{9}\,\tfrac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{C}^2}$

   Kysytty

   pallojen välisen voiman suuruus $F$ millinewtoneina

   Periaate

   Pallot ovat pieniä verrattuna niiden etäisyyteen, joten niitä voi käsitellä pistevarauksina, ja voiman suuruus saadaan Coulombin laista. Varaukset ovat samanmerkkiset, joten pallot hylkivät toisiaan.

   Kaava

   $F$$= k\,\dfrac{\lvert q_1 q_2 \rvert}{r^2}$

   Muunnokset

   $q_1 = 15 \cdot 10^{-9}\,\text{C}$,

   $q_2$$= 25 \cdot 10^{-9}\,\text{C}$

   $r$$= 4{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}040\,\text{m}$

   Lopuksi $1\,\text{N} = 1000\,\text{mN}$.

   Sijoitus

   $F$$= 8{,}988 \cdot 10^{9}\,\tfrac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{C}^2} \cdot \dfrac{15 \cdot 10^{-9}\,\text{C} \cdot 25 \cdot 10^{-9}\,\text{C}}{(0{,}040\,\text{m})^2}$

   $= 2{,}107 \cdot 10^{-3}\,\text{N}$

   $= 2{,}107\,\text{mN}$

   Vastaus

   $2{,}1\,\text{mN}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten varauksissa ja etäisyydessä.

   Järkevyys

   Varausten tulo on $3{,}75 \cdot 10^{-16}\,\text{C}^2$ ja $r^2 = 1{,}6 \cdot 10^{-3}\,\text{m}^2$, joten arvio

   $9 \cdot 10^{9} \cdot 4 \cdot 10^{-16} : 1{,}6 \cdot 10^{-3}$

   $\approx 2 \cdot 10^{-3}\,\text{N}$

   on lähellä. Simulaatiossa kaksi $20\,\text{nC}$:n palloa $3{,}0\,\text{cm}$:n päässä toisistaan hylkivät voimalla $4{,}0\,\text{mN}$, joten muutaman millinewtonin voima on uskottava.

3. Tehtävä 10-3

   Salamassa siirtyy ukkospilven ja maan välillä varaus $5{,}0\,\text{C}$ ajassa $0{,}20\,\text{ms}$. Kuinka suuri on keskimääräinen sähkövirta? Vastaa kiloampeereina.

   kATarkista
   Vastaus

   $25\,\text{kA}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   salamassa siirtynyt varaus $Q = 5{,}0\,\text{C}$, aika $t = 0{,}20\,\text{ms}$

   Kysytty

   keskimääräinen sähkövirta $I$ kiloampeereina

   Periaate

   Sähkövirta on varauksen siirtymistä: virta kertoo, kuinka suuri varaus siirtyy aikayksikössä. Keskimääräinen virta on siksi siirtynyt varaus jaettuna ajalla, vaikka todellinen virta salamassa vaihtelee.

   Kaava

   $I = \dfrac{Q}{t}$

   Muunnokset

   $t$$= 0{,}20\,\text{ms}$

   $= 0{,}20 \cdot 0{,}001\,\text{s}$

   $= 2{,}0 \cdot 10^{-4}\,\text{s}$

   Lopuksi $1\,\text{kA} = 1000\,\text{A}$.

   Sijoitus

   $I$$= \dfrac{5{,}0\,\text{C}}{2{,}0 \cdot 10^{-4}\,\text{s}}$

   $= 25\,000\,\text{A}$

   $= 25\,\text{kA}$

   Vastaus

   $25\,\text{kA}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten varauksessa ja ajassa.

   Järkevyys

   Yksikkö on oikea, $1\,\text{C/s} = 1\,\text{A}$. Varaus $5\,\text{C}$ on pieni, mutta se siirtyy alle millisekunnissa, joten virta on kymmeniä tuhansia ampeereja. Salaman huippuvirrat ovat tyypillisesti juuri tätä suuruusluokkaa.

4. Tehtävä 10-4

   Kahden samanlaisen metallipallon varaukset ovat $+12\,\text{nC}$ ja $-4{,}0\,\text{nC}$. Pallot kosketetaan toisiinsa ja erotetaan. Kuinka suuri on kummankin pallon varaus kosketuksen jälkeen? Vastaa nanocoulombeina.

   nCTarkista
   Vastaus

   $+4{,}0\,\text{nC}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pallojen varaukset ennen kosketusta $Q_1 = +12\,\text{nC}$ ja $Q_2 = -4{,}0\,\text{nC}$. Pallot ovat samanlaiset

   Kysytty

   kummankin pallon varaus $Q$ kosketuksen jälkeen nanocoulombeina

   Periaate

   Varaus säilyy: kosketuksessa elektroneja vain siirtyy pallosta toiseen, joten pallojen yhteinen varaus on sama ennen ja jälkeen. Samanlaiset metallipallot jakavat yhteisen varauksensa tasan, joten kumpikin saa puolet.

   Kaava

   $Q_1 + Q_2 = 2Q$, josta $Q = \dfrac{Q_1 + Q_2}{2}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: kaikki varaukset ovat nanocoulombeina, ja vastaus kysytään samassa yksikössä.

   Sijoitus

   $Q$$= \dfrac{12\,\text{nC} + (-4{,}0\,\text{nC})}{2}$

   $= \dfrac{8{,}0\,\text{nC}}{2}$

   $= 4{,}0\,\text{nC}$

   Vastaus

   $+4{,}0\,\text{nC}$

   Kummallakin, kaksi merkitsevää numeroa kuten varauksessa $4{,}0\,\text{nC}$.

   Järkevyys

   Yhteinen varaus ennen on $+8{,}0\,\text{nC}$ ja jälkeen $2 \cdot 4{,}0\,\text{nC} = 8{,}0\,\text{nC}$, joten varaus säilyi. Negatiivinen pallo on menettänyt ylimääräiset elektroninsa ja enemmänkin, joten molemmista tuli positiivisia.

5. Tehtävä 10-5

   Kaksi pistevarausta, $+2{,}0\,\mu\text{C}$ ja $-4{,}0\,\mu\text{C}$, ovat $0{,}50\,\text{m}$:n etäisyydellä toisistaan. Kuinka suuri on niiden välinen sähköinen voima?

   NTarkista
   Vastaus

   $0{,}29\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   varaukset $q_1 = +2{,}0\,\mu\text{C}$ ja $q_2 = -4{,}0\,\mu\text{C}$, etäisyys $r = 0{,}50\,\text{m}$. Lisäksi $k = 8{,}988 \cdot 10^{9}\,\tfrac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{C}^2}$

   Kysytty

   varausten välisen voiman suuruus $F$ newtoneina

   Periaate

   Varaukset ovat pistevarauksia, joten Coulombin laki antaa voiman suuruuden. Merkki ei vaikuta suuruuteen, koska laissa on tulon itseisarvo. Erimerkkiset varaukset vetävät toisiaan puoleensa.

   Kaava

   $F$$= k\,\dfrac{\lvert q_1 q_2 \rvert}{r^2}$

   Muunnokset

   $\lvert q_1 \rvert$$= 2{,}0\,\mu\text{C}$

   $= 2{,}0 \cdot 10^{-6}\,\text{C}$

   $\lvert q_2 \rvert = 4{,}0 \cdot 10^{-6}\,\text{C}$. Etäisyys on jo metreinä.

   Sijoitus

   $F$$= 8{,}988 \cdot 10^{9}\,\tfrac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{C}^2} \cdot \dfrac{2{,}0 \cdot 10^{-6}\,\text{C} \cdot 4{,}0 \cdot 10^{-6}\,\text{C}}{(0{,}50\,\text{m})^2}$

   $= 0{,}2876\,\text{N}$

   Vastaus

   $0{,}29\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten varauksissa ja etäisyydessä. Varaukset vetävät toisiaan puoleensa.

   Järkevyys

   Arvio: $10^{10} \cdot 8 \cdot 10^{-12} : 0{,}25 \approx 0{,}3\,\text{N}$. Mikrocoulombit ovat tuhat kertaa suurempia kuin nanocoulombit, joten voima on paljon suurempi kuin kokeiden millinewtonit, vaikka etäisyys on pidempi.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 10-6Ydintehtävä

   Kaksi pientä palloa, joiden kummankin varaus on $+30\,\text{nC}$, hylkii toisiaan voimalla $2{,}0\,\text{mN}$. Kuinka kaukana pallojen keskipisteet ovat toisistaan? Vastaa senttimetreinä.

   cmTarkista
   Vastaus

   $6{,}4\,\text{cm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   varaukset $q_1 = q_2 = +30\,\text{nC}$, voima $F = 2{,}0\,\text{mN}$. Lisäksi $k = 8{,}988 \cdot 10^{9}\,\tfrac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{C}^2}$

   Kysytty

   pallojen keskipisteiden etäisyys $r$ senttimetreinä

   Periaate

   Pallot ovat pieniä, joten Coulombin laki pätee, kun etäisyys mitataan keskipisteiden välillä. Laista ratkaistaan etäisyys: voima on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön, joten etäisyys saadaan neliöjuurena eli lukuna, jonka neliö on $r^2$.

   Kaava

   $F$$= k\,\dfrac{\lvert q_1 q_2 \rvert}{r^2}$

   josta

   $r$$= \sqrt{\dfrac{k \lvert q_1 q_2 \rvert}{F}}$

   Muunnokset

   $q_1$$= q_2$

   $= 30 \cdot 10^{-9}\,\text{C}$

   $F$$= 2{,}0\,\text{mN}$

   $= 2{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{N}$

   Lopuksi $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$.

   Sijoitus

   $r^2$$= 8{,}988 \cdot 10^{9}\,\tfrac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{C}^2} \cdot \dfrac{(30 \cdot 10^{-9}\,\text{C})^2}{2{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{N}}$

   $= 4{,}045 \cdot 10^{-3}\,\text{m}^2$

   joten

   $r$$= \sqrt{4{,}045 \cdot 10^{-3}\,\text{m}^2}$

   $= 0{,}0636\,\text{m}$

   $= 6{,}36\,\text{cm}$

   Vastaus

   $6{,}4\,\text{cm}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten varauksissa ja voimassa.

   Järkevyys

   Sijoitetaan takaisin:

   $8{,}988 \cdot 10^{9} \cdot 9{,}0 \cdot 10^{-16} : 0{,}0636^2\,\text{N}$

   $= 2{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{N}$

   Lisäksi $20\,\text{nC}$:n pallot $6{,}0\,\text{cm}$:n päässä hylkivät voimalla $1{,}0\,\text{mN}$, joten suuremmilla varauksilla kaksinkertainen voima samalla etäisyydellä on uskottava.

2. Tehtävä 10-7Ydintehtävä

   Kahden varatun pallon keskipisteiden etäisyys on $4{,}0\,\text{cm}$, ja niiden välinen voima on $3{,}6\,\text{mN}$. Pallot siirretään $10\,\text{cm}$:n etäisyydelle toisistaan. Niiden varaukset pysyvät samoina.

   Kuinka suuri voima on nyt? Vastaa millinewtoneina.

   mNTarkista
   Vastaus

   $0{,}58\,\text{mN}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   voima $F_1 = 3{,}6\,\text{mN}$ etäisyydellä $r_1 = 4{,}0\,\text{cm}$, uusi etäisyys $r_2 = 10\,\text{cm}$. Varaukset pysyvät samoina

   Kysytty

   voima $F_2$ millinewtoneina

   Periaate

   Coulombin laissa varaukset ja $k$ pysyvät samoina, joten voima on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön. Kirjoita laki molemmille etäisyyksille ja jaa yhtälöt keskenään. Silloin tuntemattomat varaukset supistuvat eli jäävät pois.

   Kaava

   $\dfrac{F_2}{F_1}$$= \dfrac{r_1^2}{r_2^2}$

   josta

   $F_2$$= F_1 \left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^2$

   Muunnokset

   Ei tarvita: etäisyyksien suhteessa senttimetrit supistuvat, ja voima saadaan samassa yksikössä kuin $F_1$.

   Sijoitus

   $F_2$$= 3{,}6\,\text{mN} \cdot \left(\dfrac{4{,}0\,\text{cm}}{10\,\text{cm}}\right)^2$

   $= 3{,}6\,\text{mN} \cdot 0{,}16$

   $= 0{,}576\,\text{mN}$

   Vastaus

   $0{,}58\,\text{mN}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten voimassa ja etäisyydessä $4{,}0\,\text{cm}$.

   Järkevyys

   Etäisyys kasvaa $2{,}5$-kertaiseksi, joten voima pienenee $2{,}5^2 = 6{,}25$:nteen osaan: $3{,}6\,\text{mN} : 6{,}25 = 0{,}58\,\text{mN}$. Voima pieneni selvästi enemmän kuin etäisyys kasvoi, kuten etäisyyden neliöstä seuraa.

3. Tehtävä 10-8

   Kahden samanlaisen metallipallon varaukset ovat $+18\,\text{nC}$ ja $-6{,}0\,\text{nC}$. Pallot kosketetaan toisiinsa ja erotetaan niin, että niiden keskipisteiden etäisyys on $4{,}0\,\text{cm}$.

   Kuinka suuri on pallojen välinen voima nyt? Vastaa millinewtoneina.

   mNTarkista
   Vastaus

   $0{,}20\,\text{mN}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   varaukset ennen kosketusta $Q_1 = +18\,\text{nC}$ ja $Q_2 = -6{,}0\,\text{nC}$, etäisyys kosketuksen jälkeen $r = 4{,}0\,\text{cm}$. Lisäksi $k = 8{,}988 \cdot 10^{9}\,\tfrac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{C}^2}$

   Kysytty

   pallojen välisen voiman suuruus $F$ millinewtoneina

   Periaate

   Varaus säilyy, ja samanlaiset metallipallot jakavat kosketuksessa yhteisen varauksensa tasan, joten kummankin varaus on yhteisen varauksen puolikas. Sen jälkeen voima saadaan Coulombin laista. Samanmerkkiset pallot hylkivät toisiaan.

   Kaava

   $q = \dfrac{Q_1 + Q_2}{2}$ ja $F = k\,\dfrac{q^2}{r^2}$

   Muunnokset

   $r$$= 4{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}040\,\text{m}$

   $1\,\text{nC} = 10^{-9}\,\text{C}$ ja lopuksi $1\,\text{N} = 1000\,\text{mN}$.

   Sijoitus

   $q$$= \dfrac{18\,\text{nC} - 6{,}0\,\text{nC}}{2}$

   $= 6{,}0\,\text{nC}$

   $F$$= 8{,}988 \cdot 10^{9}\,\tfrac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{C}^2} \cdot \dfrac{(6{,}0 \cdot 10^{-9}\,\text{C})^2}{(0{,}040\,\text{m})^2}$

   $= 2{,}022 \cdot 10^{-4}\,\text{N}$

   $= 0{,}2022\,\text{mN}$

   Vastaus

   $0{,}20\,\text{mN}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten varauksessa $6{,}0\,\text{nC}$ ja etäisyydessä.

   Järkevyys

   Ennen kosketusta pallot vetivät toisiaan puoleensa voimalla

   $8{,}988 \cdot 10^{9} \cdot 18 \cdot 10^{-9} \cdot 6{,}0 \cdot 10^{-9} : 0{,}040^2\,\text{N}$

   $\approx 0{,}61\,\text{mN}$

   Kosketuksen jälkeen varaukset ovat pienemmät ja samanmerkkiset, joten voima on pienempi ja hylkivä.

4. Tehtävä 10-9

   Kahden samanlaisen pienen pallon massa on kummankin $0{,}50\,\text{g}$, ja niillä on yhtä suuret varaukset. Pallojen keskipisteiden etäisyys on $5{,}0\,\text{cm}$. Pallojen välinen sähköinen voima on yhtä suuri kuin pallon paino.

   Kuinka suuri varaus palloissa on? Vastaa nanocoulombeina.

   nCTarkista
   Vastaus

   $37\,\text{nC}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kummankin pallon massa $m = 0{,}50\,\text{g}$, etäisyys $r = 5{,}0\,\text{cm}$, varaukset yhtä suuret. Lisäksi $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ ja $k = 8{,}988 \cdot 10^{9}\,\tfrac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{C}^2}$

   Kysytty

   pallon varaus $q$ nanocoulombeina

   Periaate

   Sähköinen voima on yhtä suuri kuin pallon paino $G = mg$. Pallot ovat pieniä, joten voima saadaan Coulombin laista, ja yhtä suurilla varauksilla varausten tulo on $q^2$. Varaus ratkaistaan neliöjuurena.

   Kaava

   $k\,\dfrac{q^2}{r^2} = mg$, josta $q = r\sqrt{\dfrac{mg}{k}}$

   Muunnokset

   $m$$= 0{,}50\,\text{g}$

   $= 0{,}50 \cdot 0{,}001\,\text{kg}$

   $= 5{,}0 \cdot 10^{-4}\,\text{kg}$

   $r$$= 5{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}050\,\text{m}$

   Lopuksi $1\,\text{C} = 10^{9}\,\text{nC}$.

   Sijoitus

   $mg$$= 5{,}0 \cdot 10^{-4}\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 4{,}905 \cdot 10^{-3}\,\text{N}$

   $\dfrac{mg}{k}$$= \dfrac{4{,}905 \cdot 10^{-3}\,\text{N}}{8{,}988 \cdot 10^{9}\,\tfrac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{C}^2}}$

   $= 5{,}457 \cdot 10^{-13}\,\tfrac{\text{C}^2}{\text{m}^2}$

   $q$$= 0{,}050\,\text{m} \cdot \sqrt{5{,}457 \cdot 10^{-13}\,\tfrac{\text{C}^2}{\text{m}^2}}$

   $= 3{,}693 \cdot 10^{-8}\,\text{C}$

   $= 36{,}94\,\text{nC}$

   Vastaus

   $37\,\text{nC}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa ja etäisyydessä.

   Järkevyys

   Sijoitetaan takaisin:

   $8{,}988 \cdot 10^{9} \cdot (3{,}69 \cdot 10^{-8})^2 : 0{,}050^2\,\text{N}$

   $= 4{,}9\,\text{mN}$

   joka on pallon paino. Varaus on samaa suuruusluokkaa kuin hankaamalla varatun ilmapallon kymmenet nanocoulombit, joten sähköinen voima voi hyvin nostaa kevyen pallon.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 10-10

   Pistevaraus $q_1 = +20\,\text{nC}$ on kohdassa $x = 0$ ja pistevaraus $q_2 = -20\,\text{nC}$ kohdassa $x = 10\,\text{cm}$. Niiden puoliväliin, kohtaan $x = 5{,}0\,\text{cm}$, tuodaan pistevaraus $q_3 = +5{,}0\,\text{nC}$. Kuinka suuri on varaukseen $q_3$ vaikuttava kokonaisvoima? Vastaa millinewtoneina.

   mNTarkista
   Vastaus

   $0{,}72\,\text{mN}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $q_1 = +20\,\text{nC}$ kohdassa $x = 0$, $q_2 = -20\,\text{nC}$ kohdassa $x = 10\,\text{cm}$, $q_3 = +5{,}0\,\text{nC}$ kohdassa $x = 5{,}0\,\text{cm}$. Lisäksi $k = 8{,}988 \cdot 10^{9}\,\tfrac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{C}^2}$

   Kysytty

   varaukseen $q_3$ vaikuttavan kokonaisvoiman suuruus $F$ millinewtoneina

   Periaate

   Kummankin varauksen voima lasketaan Coulombin lailla erikseen, ja kokonaisvoima on niiden vektorisumma. Positiivinen $q_1$ hylkii positiivista $q_3$:a positiiviseen $x$-suuntaan, ja negatiivinen $q_2$ vetää $q_3$:a itseään kohti, myös positiiviseen $x$-suuntaan. Voimat ovat samansuuntaiset, joten niiden suuruudet lasketaan yhteen. Etäisyydet ja varausten suuruudet ovat samat. Siksi voimat ovat yhtä suuret.

   Kaava

   $F_1$$= k\,\dfrac{\lvert q_1 q_3 \rvert}{r^2}$

   $F_2$$= k\,\dfrac{\lvert q_2 q_3 \rvert}{r^2}$

   $F = F_1 + F_2$

   Muunnokset

   $r$$= 5{,}0\,\text{cm}$

   $= 0{,}050\,\text{m}$

   $1\,\text{nC} = 10^{-9}\,\text{C}$ ja lopuksi $1\,\text{N} = 1000\,\text{mN}$.

   Sijoitus

   $F_1$$= F_2$

   $= 8{,}988 \cdot 10^{9}\,\tfrac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{C}^2} \cdot \dfrac{20 \cdot 10^{-9}\,\text{C} \cdot 5{,}0 \cdot 10^{-9}\,\text{C}}{(0{,}050\,\text{m})^2}$

   $= 3{,}595 \cdot 10^{-4}\,\text{N}$

   $F$$= 2 \cdot 3{,}595 \cdot 10^{-4}\,\text{N}$

   $= 7{,}190 \cdot 10^{-4}\,\text{N}$

   $= 0{,}7190\,\text{mN}$

   Vastaus

   $0{,}72\,\text{mN}$

   Positiiviseen $x$-suuntaan eli varausta $q_2$ kohti, kaksi merkitsevää numeroa kuten varauksessa $5{,}0\,\text{nC}$ ja etäisyydessä.

   Järkevyys

   Jos $q_2$ olisi positiivinen, voimat olisivat vastakkaiset ja kumoaisivat toisensa. Erimerkkisten varausten välissä voimat vahvistavat toisiaan, joten kokonaisvoima on kaksinkertainen yhden varauksen voimaan verrattuna.

2. Tehtävä 10-11

   Vetyatomissa elektroni ja protoni vetävät toisiaan puoleensa sekä sähköisellä voimalla että gravitaatiovoimalla $F_\text{g} = G\,\tfrac{m_\text{e} m_\text{p}}{r^2}$, missä $G = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{kg}^2}$. Elektronin massa on $m_\text{e} = 9{,}109 \cdot 10^{-31}\,\text{kg}$ ja protonin massa on $m_\text{p} = 1{,}673 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$.

   Kuinka monta kertaa suurempi sähköinen voima on kuin gravitaatiovoima? Selitä myös, miksi vastaus ei riipu etäisyydestä.

   Tarkista
   Vastaus

   $2{,}27 \cdot 10^{39}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $G = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{kg}^2}$, $m_\text{e} = 9{,}109 \cdot 10^{-31}\,\text{kg}$, $m_\text{p} = 1{,}673 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$. Luvun arvot $e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$ ja $k = 8{,}988 \cdot 10^{9}\,\tfrac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{C}^2}$

   Kysytty

   voimien suhde $F_\text{e} : F_\text{g}$ ja miksi se ei riipu etäisyydestä

   Periaate

   Elektronin varaus on $-e$ ja protonin $+e$, joten sähköinen voima saadaan Coulombin laista. Kumpikin voima on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön, joten suhteessa $r^2$ supistuu, ja suhde on sama kaikilla etäisyyksillä.

   Kaava

   $F_\text{e}$$= k\,\dfrac{e^2}{r^2}$

   $F_\text{g}$$= G\,\dfrac{m_\text{e} m_\text{p}}{r^2}$

   joten

   $\dfrac{F_\text{e}}{F_\text{g}}$$= \dfrac{k e^2}{G m_\text{e} m_\text{p}}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: kaikki suureet ovat perusyksiköissä, ja yksiköt supistuvat, sillä

   $\tfrac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{C}^2} \cdot \text{C}^2$$= \tfrac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{kg}^2} \cdot \text{kg}^2$

   Sijoitus

   $k e^2$$= 8{,}988 \cdot 10^{9}\,\tfrac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{C}^2} \cdot (1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C})^2$

   $= 2{,}307 \cdot 10^{-28}\,\text{N} \cdot \text{m}^2$

   $G m_\text{e} m_\text{p}$$= 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{kg}^2} \cdot 9{,}109 \cdot 10^{-31}\,\text{kg} \cdot 1{,}673 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$

   $= 1{,}017 \cdot 10^{-67}\,\text{N} \cdot \text{m}^2$

   joten

   $\dfrac{F_\text{e}}{F_\text{g}}$$= \dfrac{2{,}307 \cdot 10^{-28}\,\text{N} \cdot \text{m}^2}{1{,}017 \cdot 10^{-67}\,\text{N} \cdot \text{m}^2}$

   $= 2{,}27 \cdot 10^{39}$

   Vastaus

   $2{,}27 \cdot 10^{39}$

   Kolme merkitsevää numeroa (valittu tarkkuus). Tarkista selityksesi: suhde ei riipu etäisyydestä, koska kummankin voiman lausekkeessa on sama $r^2$.

   Järkevyys

   Arvio: $10^{10} \cdot 2{,}6 \cdot 10^{-38} : 10^{-67} \approx 2{,}6 \cdot 10^{39}$. Gravitaatio on hiukkasten välillä mitättömän heikko. Arjessa se näkyy vain, koska maapallon massa on valtava ja sen varaus lähes nolla.

3. Tehtävä 10-12

   Pistevaraus $+4{,}0\,\text{nC}$ on kohdassa $x = 0$ ja pistevaraus $+1{,}0\,\text{nC}$ kohdassa $x = 12\,\text{cm}$. Niiden väliselle $x$-akselin kohdalle tuodaan kolmas pistevaraus. Missä kohdassa kolmanteen varaukseen kohdistuva kokonaisvoima on nolla? Vastaa senttimetreinä kohdasta $x = 0$.

   cmTarkista
   Vastaus

   $8{,}0\,\text{cm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $Q_1 = +4{,}0\,\text{nC}$ kohdassa $x = 0$, $Q_2 = +1{,}0\,\text{nC}$ kohdassa $d = 12\,\text{cm}$. Kolmas varaus näiden välissä

   Kysytty

   kohta $x$, jossa kolmanteen varaukseen kohdistuva kokonaisvoima on nolla, senttimetreinä

   Periaate

   Molemmat varaukset ovat positiivisia, joten niiden välissä ne työntävät kolmatta varausta vastakkaisiin suuntiin. Kokonaisvoima on nolla, kun voimat ovat yhtä suuret. Coulombin laissa kolmannen varauksen suuruus ja $k$ ovat kummassakin voimassa samat. Siksi ne supistuvat eli jäävät pois, eikä tulos riipu kolmannen varauksen suuruudesta tai merkistä.

   Kaava

   $k\,\dfrac{Q_1 q}{x^2}$$= k\,\dfrac{Q_2 q}{(d - x)^2}$

   josta

   $\dfrac{x}{d - x}$$= \sqrt{\dfrac{Q_1}{Q_2}}$

   $x$$= \dfrac{d \sqrt{Q_1 : Q_2}}{1 + \sqrt{Q_1 : Q_2}}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: varausten suhteessa nanocoulombit supistuvat, ja kohta saadaan senttimetreinä.

   Sijoitus

   $\sqrt{\dfrac{4{,}0\,\text{nC}}{1{,}0\,\text{nC}}}$$= 2$

   $x$$= \dfrac{12\,\text{cm} \cdot 2}{1 + 2}$

   $= 8{,}0\,\text{cm}$

   Vastaus

   $8{,}0\,\text{cm}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten varauksissa.

   Järkevyys

   Kohta on kaksi kertaa niin kaukana suuremmasta varauksesta ($8{,}0\,\text{cm}$) kuin pienemmästä ($4{,}0\,\text{cm}$). Nelinkertainen varaus ja kaksinkertainen etäisyys antavat saman voiman, koska $\tfrac{4}{2^2} = \tfrac{1}{1^2}$. Tasapainokohta on lähempänä pienempää varausta, kuten pitääkin.