RuukkilabraLukion fysiikka

Taitekertoimen määrittäminen

Tutkimuskysymys: Miten valon taitekulma riippuu tulokulmasta, kun valo tulee läpinäkyvästä kappaleesta ilmaan, ja kuinka suuri on kappaleen aineen taitekerroin?

Lasissa oleva lusikka näyttää katkenneen veden pinnan kohdalta, ja uima-altaan pohja näyttää todellista matalammalta. Molemmat johtuvat siitä, että valo muuttaa suuntaansa siirtyessään aineesta toiseen. Tässä tutkimuksessa mittaat laserin säteen avulla, miten valon suunta muuttuu, kun se tulee läpinäkyvästä kappaleesta ilmaan, ja määrität kappaleen aineelle luvun, joka kuvaa tätä ilmiötä. Mittaa, piirrä ja päättele itse: tämä sivu kertoo, mitä tutkitaan, ja tukee sinua niin paljon kuin valitsemasi työtapa lupaa.

Tässä tutkimuksessa opit

  • valitsemaan kuvaajan akselit mallin perusteella niin, että riippuvuudesta tulee suora, ja perustelemaan valinnan
  • määrittämään aineen taitekertoimen kuvaajan kulmakertoimesta
  • ilmoittamaan tuloksen epävarmuuksineen ja arvioimaan, miten koejärjestelyn kohdistus vaikuttaa sen luotettavuuteen

Vaativuus

  • Taitekerroin tulo- ja taitekulmista: fysiikka F2 · koe E1
  • Rajakulma ja menetelmien vertailu: fysiikka F2 · koe E2

F1–F3 kertoo, kuinka vaativaa fysiikkaa työ tarvitsee, E1–E3 kuinka vaativa mittaus ja analyysi on. Tuen määrän valitset itse alla.

Valitse työtapa

Tässä työssä tarvitset näitä tietoja ja taitoja

Fysiikan tiedot

  • välttämätön Valon taittuminen, taitekerroin ja taittumislaki (FY7: Valon heijastuminen ja taittuminen)Taittumislaki on malli, jota mittauksilla testataan; lyhyt selitys on tällä sivulla kohdassa Teoriaa lyhyesti.
  • laajennukseen Kokonaisheijastus ja rajakulma (FY7: Kokonaisheijastuminen ja valokuitu)Laajennuksessa tarvittava selitys on laajennuksen alussa.

Kokeelliset taidot

TVT-taidot

Välineet

  • puoliympyrän muotoinen läpinäkyvä kappale, esimerkiksi akryyliä tai lasia
  • opettajan antama laser (luokka 1 tai 2)
  • pyörivä alusta, jossa on kulma-asteikko
  • laskin tai tietokone

Turvallisuus

  • Käytä vain opettajan antamaa luokan 1 tai 2 laseria. Älä koskaan katso säteeseen tai sen heijastuksiin.
  • Pidä säde vaakasuorassa pöydän tasolla, älä suuntaa sitä itseäsi tai muita kohti ja huomioi kappaleesta ja kiiltävistä pinnoista heijastuvat säteet. Lue kulmat katsomalla asteikkoa ylhäältä, ei säteen suuntaisesti.
  • Sammuta laser, kun et mittaa. Käsittele lasista kappaletta varovasti: lohjennut reuna voi viiltää.

Tutkimustehtävä

Selvitettävä: miten taitekulma riippuu tulokulmasta, kun valo tulee kappaleesta ilmaan, ja kuinka suuri kappaleen aineen taitekerroin on epävarmuuksineen.

Päätät itse (osittain ohjattu ja itsenäinen työtapa): käytettävät tulokulmat ja niiden määrän, toistomittaukset, sen, miten varmistat kappaleen ja asteikon asennon, kuvaajan akselit perusteluineen sekä tavan, jolla arvioit tuloksen epävarmuuden. Ohjatussa työtavassa sivu kiinnittää nämä valinnat puolestasi, osittain ohjatussa se antaa niihin tukea, ja itsenäisessä työtavassa perustelet valintasi itse.

Itsenäinen työtapa. Laajennus, taitekertoimen määrittäminen rajakulmasta, kuuluu työhösi: vertaa lopuksi kahdella menetelmällä saatuja tuloksia.

Ennusta

Kirjoita ennusteesi vihkoon tai työselostuksen hypoteesiksi ennen kuin luet eteenpäin ja ennen kuin mittaat:

  1. Kun säde tulee kappaleesta ilmaan vinosti, kääntyykö se kohti pinnan normaalia vai siitä poispäin? Onko taitekulma siis tulokulmaa suurempi vai pienempi?
  2. Onko taitekulma suoraan verrannollinen tulokulmaan: kaksinkertaistuuko taitekulma, kun tulokulma kaksinkertaistuu?
  3. Mitä arvelet tapahtuvan taittuneelle säteelle, kun tulokulmaa kasvatetaan yhä suuremmaksi?
  4. Mikä mittauksessa on todennäköisesti suurin epävarmuuden lähde?

Perustele ennusteesi fysiikan avulla. Palaat siihen johtopäätöksissä.

Teoriaa lyhyesti

Kirjaa ennusteesi ennen kuin luet tätä osaa. Valon taittumista käsitellään tarkemmin moduulissa FY7. Tässä on se, mitä tarvitset tähän työhön.

Valo etenee eri aineissa eri nopeuksilla. Aineen taitekerroin $n$ kertoo, kuinka monta kertaa suurempi valon nopeus $c$ tyhjiössä on kuin valon nopeus $v$ aineessa: $n = \dfrac{c}{v}$. Taitekerroin on yksikötön luku. Ilman taitekerroin on niin lähellä yhtä, noin $1{,}0003$, että tässä työssä sen voi merkitä ykköseksi.

Kun valo osuu vinosti kahden aineen rajapintaan, se muuttaa rajapinnassa suuntaansa eli taittuu. Kulmat mitataan aina rajapinnan normaalista eli rajapintaa vastaan kohtisuorasta suorasta, ei pinnasta. Tulokulma $\alpha$ on tulevan säteen ja normaalin välinen kulma, ja taitekulma $\beta$ on taittuneen säteen ja normaalin välinen kulma. Osa valosta myös heijastuu rajapinnasta, ja heijastuneen säteen kulma normaaliin on yhtä suuri kuin tulokulma.

Kulmat liittyvät toisiinsa taittumislain eli Snellin lain mukaan:

$$n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta$$

missä $n_1$ on sen aineen taitekerroin, josta valo tulee, ja $n_2$ sen aineen, johon valo taittuu. Kun valo tulee kappaleesta ilmaan, $n_1$ on kappaleen aineen taitekerroin $n$ ja $n_2 = 1$. Taitekerroin riippuu hieman valon väristä, joten mittaamasi taitekerroin koskee laserin valon väriä.

Tässä työssä säde suunnataan puoliympyrän muotoisen kappaleen kaarevan pinnan läpi tasaisen pinnan keskipisteeseen. Tällöin säde kulkee kaarevan pinnan läpi ympyrän säteen suuntaisesti eli kohtisuoraan pintaa vastaan, joten se ei taitu siinä. Säde taittuu vain kerran, tasaisessa pinnassa, kun se tulee kappaleesta ilmaan. Malli edellyttää siis, että säde osuu tasaisen pinnan keskipisteeseen ja että kulmat luetaan tasaisen pinnan normaalista.

$\alpha$
$\beta$
$\text{kappale}$
$\text{ilma}$
$\text{normaali}$
$\text{laser}$

Vihje akseleihin. Taittumislaki ei sano, että kulmat itse olisivat suoraan verrannollisia. Mitkä suureet laki sanoo suoraan verrannollisiksi, kun valo tulee kappaleesta ilmaan? Valitse niiden perusteella kuvaajan akselit niin, että kulmakerroin on taitekerroin, ja kirjaa perustelusi.

Mallista suoraksi. Kun valo tulee kappaleesta ilmaan, taittumislaki on muotoa

$$\sin\beta = n \cdot \sin\alpha$$

Kun pystyakselille valitaan taitekulman sini $\sin\beta$ ja vaaka-akselille tulokulman sini $\sin\alpha$, mallin kuvaaja on origon kautta kulkeva suora, jonka kulmakerroin on taitekerroin $n$. Sini ei voi olla suurempi kuin yksi, joten suora päättyy, kun $\sin\beta = 1$.

$1$
$0$
$\sin\alpha$
$\sin\beta$
$\Delta(\sin\alpha)$
$\Delta(\sin\beta)$
$n = \dfrac{\Delta(\sin\beta)}{\Delta(\sin\alpha)}$

Suunnittele

Ennen mittaamista päätä ja kirjaa ylös, mitä muutat, mitä mittaat ja mitä pidät vakiona.

Ohjattu. Muutat tulokulmaa $\alpha$ kääntämällä alustaa ja mittaat jokaisella tulokulmalla taitekulman $\beta$. Vakiona pidät kappaleen paikan alustalla ja laserin paikan pöydällä. Aloita tulokulmasta $5^\circ$ ja kasvata sitä $5^\circ$ kerrallaan, kunnes taittunut säde katoaa. Mittaa jokainen tulokulma normaalin kummallakin puolella, eli käännä alustaa ensin yhteen ja sitten toiseen suuntaan.

Osittain ohjattu. Muuttuja on tulokulma. Päätä itse, mitä tulokulmia käytät, montako mittausta teet ja miten varmistat, että kulmat luetaan oikein normaalista. Kirjaa päätöksesi perusteluineen.

Mieti ainakin näitä:

  • Miten asetat kappaleen alustalle niin, että tasaisen pinnan keskipiste on asteikon keskipisteessä ja asteikon nollasuunta on tasaisen pinnan normaali? Mitä säteelle pitäisi tapahtua, kun tulokulma on nolla?
  • Miten voit käyttää tasaisesta pinnasta heijastuvaa heikkoa sädettä kohdistuksen tarkistamiseen?
  • Miksi kannattaa mitata samat tulokulmat normaalin kummallakin puolella?
  • Ulottuvatko tulokulmasi koko alueelle, jolla taittunut säde näkyy, myös suurimpiin kulmiin?
  • Mistä kohdasta asteikkoa luet kulman, kun säde on muutaman millimetrin levyinen?

Mittaa

Kirjaa alkuperäiset lukemat taulukkoon heti mittauksen aikana. Laskemasi suureet saavat omat sarakkeensa mitattujen oikealle puolelle. Kirjaa myös, mitä havaitset taittuneesta ja heijastuneesta säteestä, kun tulokulma kasvaa suureksi.

Voit käyttää esimerkiksi tällaista taulukkoa. Kirjaa kulmat suuruuksina, ilman etumerkkiä.

$\alpha\ (^\circ)$ $\beta_1\ (^\circ)$ $\beta_2\ (^\circ)$ $\bar{\beta}\ (^\circ)$ $\sin\alpha$ $\sin\bar{\beta}$

Tässä $\beta_1$ ja $\beta_2$ ovat taitekulmat normaalin eri puolilla ja $\bar{\beta}$ niiden keskiarvo. Lue kulma säteen keskeltä ja katso asteikkoa suoraan ylhäältä. Tarkista ennen sarjaa, että tulokulmalla nolla säde kulkee kappaleen läpi suoraan ja heijastunut säde palaa laseria kohti. Laske sinit laskimella, joka on asteissa, tai ohjelmalla, jolle annat kulmat oikeassa yksikössä.

Muista mittausepävarmuus: kirjaa, kuinka tarkasti voit lukea kulmat asteikolta, ja merkitse se taulukkoon. Tarvitsetko apua? → Mittausepävarmuuden arvioiminen

Käsittele tulokset

Piirrä ensin taitekulma tulokulman funktiona. Piirrä sitten mittaustuloksista kuvaaja, josta taitekerroin saadaan kulmakertoimena. Merkitse akseleille suureet ja yksiköt, piirrä mittauspisteet, älä yhdistä niitä murtoviivalla, ja sovita pisteisiin suora. Tarvitsetko apua? → Suoran sovittaminen ja kulmakertoimen tulkinta

Valitse toisen kuvaajan pystyakselille $\sin\bar{\beta}$ ja vaaka-akselille $\sin\alpha$. Sinit ovat yksiköttömiä.

Arvioi kysymyksessä 1 verrannollisuutta koko mittausalueella, myös suurimmilla tulokulmilla, äläkä vain pienten kulmien pisteiden perusteella.

Kirjoita sovitetun suoran yhtälö ja vastaa:

  1. Onko taitekulma suoraan verrannollinen tulokulmaan? Perustele ensimmäisen kuvaajan avulla.
  2. Perustele taittumislain avulla, miksi toisen kuvaajan akseleiksi sopivat juuri nämä suureet.
  3. Ovatko pisteet suoralla? Kulkeeko suora origon kautta? Jos ei, mistä poikkeama voi johtua?
  4. Mikä suure on kulmakerroin, ja mikä on sen yksikkö?

Kuvaajan sovitukseen käytä Graphical Analysis Pro -ohjelmaa. Ruukkilabran ohjeet: Suoran sovittaminen, Kulmakertoimen tulkinta ja Taulukko ja lasketut sarakkeet.

Epävarmuus ja luotettavuus

Ilmoita taitekerroin muodossa $n \pm \Delta n$ ja perustele, miten arvioit epävarmuuden $\Delta n$.

Sinien epävarmuus. Kummallakin sinillä, $\sin\alpha$ ja $\sin\beta$, on epävarmuus, koska kumpikin kulma luetaan asteikolta. Jos kulman $\beta$ epävarmuus on $\Delta\beta$, laske $\sin(\beta + \Delta\beta)$ ja $\sin(\beta - \Delta\beta)$; jos $\beta + \Delta\beta$ on yli $90^\circ$, käytä ylärajana arvoa $\sin 90^\circ = 1$. Sinin epävarmuus on niiden erotuksen puolikas. Laske tulokulman sinin epävarmuus samalla tavalla kulman $\alpha$ epävarmuudesta $\Delta\alpha$. Huomaa, että sama kulman epävarmuus vaikuttaa siniin eri kulmilla eri verran.

Kulmakertoimen epävarmuus jommallakummalla tavalla:

  • Sovitusohjelman keskivirhe. Monet ohjelmat ilmoittavat kulmakertoimen keskivirheen. Käytä sitä epävarmuutena $\Delta n$.
  • Jyrkin ja loivin suora. Piirrä jyrkin ja loivin suora, jotka vielä sopivat pisteisiin niiden epävarmuuksien rajoissa. Määritä niiden kulmakertoimet $n_\text{max}$ ja $n_\text{min}$ ja arvioi epävarmuus vaihteluvälin puolikkaana: $\Delta n = \dfrac{n_\text{max} - n_\text{min}}{2}$.

Pyöristä $\Delta n$ yhteen merkitsevään numeroon ja $n$ samaan desimaaliin.

Pohdi sitten luotettavuutta konkreettisesti: mitkä olivat suurimmat epävarmuuden lähteet, olivatko ne satunnaisia vai systemaattisia, ja mihin suuntaan ne olisivat muuttaneet tulosta? Miten tulokseen vaikuttaisi, jos säde ei osuisi tarkasti tasaisen pinnan keskipisteeseen tai jos asteikon nollasuunta ei olisi tasaisen pinnan normaalin suuntainen? Millä tulokulmilla kulmat oli vaikein lukea? Miten parantaisit mittausta?

Johtopäätökset

Vastaa tutkimuskysymykseen mittaustesi perusteella. Mitä tapahtui, kun tulokulma kasvoi suureksi? Viittaa kuvaajiin, esimerkiksi "kuvaajasta 2 nähdään, että …". Vertaa tulosta ennusteeseesi: mikä osui oikeaan ja mikä ei? Jos opettaja kertoo, mitä ainetta kappale on, vertaa tulostasi myös aineen taulukkoarvoon epävarmuuksineen.

Raportoi

Kirjoita työstä työselostus FY10:n työselostuspohjalla ja käy läpi sen kaikki osat. Kuvaajien ja tulosten esittämisessä auttaa ohje Kuvaajat ja tulokset työselostukseen. Tässä tutkimuksessa erityisen tärkeitä ovat nämä:

  • Tausta ja teoria: taittumislaki, mistä kulmat mitataan ja miksi säde suunnattiin tasaisen pinnan keskipisteeseen.
  • Koejärjestely ja menetelmä: mitä muutit, mitä mittasit ja mitä pidit vakiona, myös miten tarkistit kappaleen ja asteikon asennon.
  • Mittaustulokset: alkuperäiset kulmalukemat omissa sarakkeissaan ja sinit niiden oikealla puolella, sekä havaintosi suurilla tulokulmilla.
  • Tulos: taitekerroin muodossa $n \pm \Delta n$ oikein pyöristettynä ja perustelu kuvaajan akseleille.
  • Luotettavuus: konkreettiset epävarmuuden lähteet ja niiden vaikutuksen suunta.

Laajennus: taitekerroin rajakulmasta

Kun valo tulee aineesta, jonka taitekerroin on suurempi, aineeseen, jonka taitekerroin on pienempi, taitekulma on tulokulmaa suurempi. Kun tulokulmaa kasvatetaan, taitekulma kasvaa lopulta $90^\circ$:een, jolloin taittunut säde kulkee pintaa pitkin. Tätä tulokulmaa kutsutaan rajakulmaksi $\alpha_\text{r}$. Kun tulokulma on rajakulmaa suurempi, taittunutta sädettä ei synny, vaan kaikki valo heijastuu takaisin kappaleeseen. Ilmiö on kokonaisheijastus, ja sitä käsitellään tarkemmin moduulissa FY7. Kun taittumislakiin sijoitetaan $\beta = 90^\circ$ ja $\sin 90^\circ = 1$, saadaan

$$n \sin\alpha_\text{r} = 1 \quad\Rightarrow\quad n = \frac{1}{\sin\alpha_\text{r}}$$

Määritä kappaleen rajakulma mittaamalla ja laske siitä taitekerroin epävarmuuksineen. Vertaa kahdella menetelmällä saatuja taitekertoimia: mahtuvatko ne toistensa epävarmuusväleihin? Päällekkäiset välit tarkoittavat, että tulokset ovat sopusoinnussa, eivät sitä, että ne on todistettu samoiksi. Kumpi menetelmä vaikutti luotettavammalta, ja miksi?

Vihjeitä. Taittunut säde himmenee vähitellen, kun tulokulma lähestyy rajakulmaa, ja heijastunut säde kirkastuu. Etsi rajakulma lähestymällä sitä hitaasti kummastakin suunnasta ja normaalin kummallakin puolella. Epävarmuuden voit arvioida laskemalla taitekertoimen kulmilla $\alpha_\text{r} - \Delta\alpha_\text{r}$ ja $\alpha_\text{r} + \Delta\alpha_\text{r}$: epävarmuus on tulosten erotuksen puolikas.

Arvioi omaa työtäsi

Arvioi työtäsi työselostuspohjan muistilistalla ja vastaa lisäksi:

  • Pystyisikö toinen ryhmä toistamaan mittauksesi kuvauksesi perusteella?
  • Perustuuko johtopäätöksesi kuvaajaan ja mittaustuloksiin vai siihen, mitä odotit?
  • Mitä tekisit toisin, jos aloittaisit alusta?
Opettajalle

Valmistelu. Tarkista laserin luokka sen tyyppikilvestä: opiskelijoille annetaan vain luokan 1 tai 2 laser. Varaa jokaiselle ryhmälle pyörivä kulma-asteikko ja puoliympyrän muotoinen kappale, ja kerro opiskelijoille, mitä ainetta kappale on, jos haluat heidän vertaavan tulosta taulukkoarvoon. Kokeile kohdistus etukäteen: tasaisen pinnan keskipisteen on oltava asteikon keskipisteessä ja nollasuunnan tasaisen pinnan normaalin suuntainen. Järjestä pöydät niin, ettei mikään säde suuntaudu luokassa toista ryhmää kohti, ja poista pöydiltä kiiltävät esineet. Himmennetty valaistus helpottaa säteiden näkemistä, mutta huolehdi, että luokassa voi liikkua turvallisesti.

Tavallisia virhekäsityksiä ja ongelmia.

  • Kulmat mitataan pinnasta eikä normaalista, jolloin taittumislaki näyttää pätevän väärin.
  • Säde ei osu tasaisen pinnan keskipisteeseen, jolloin se taittuu myös kaarevassa pinnassa ja luettu taitekulma on systemaattisesti väärä. Kohdistusta voi tarkistaa tulokulmalla nolla: säteen pitää kulkea suoraan läpi ja heikon heijastuneen säteen palata laseria kohti.
  • Asteikon nollasuunta on vinossa normaaliin nähden. Mittaus normaalin kummallakin puolella paljastaa tämän ja keskiarvo pienentää sen vaikutusta.
  • Taitekerroin yritetään lukea taitekulma–tulokulma-kuvaajan kulmakertoimesta, vaikka taittumislaki koskee kulmien sinejä. Pienellä kulma-alueella pisteet voivat näyttää osuvan suoralle, mikä johtaa harhaan.
  • Akselit vaihtuvat päittäin, jolloin kulmakerroin on taitekertoimen käänteisluku. Tulo- ja taitekulma sekoittuvat, koska valo tulee tässä työssä kappaleesta ilmaan eikä ilmasta kappaleeseen.
  • Laskin on radiaaneissa, kun kulmat syötetään asteina.
  • Rajakulman lähellä taittunut säde on himmeä ja leviää, joten suurimpien tulokulmien taitekulmat ovat epävarmimpia. Pienillä kulmilla taas sinien suhteellinen epävarmuus on suuri.
  • Taitekerroin lasketaan jokaisesta pisteestä erikseen ja tuloksista otetaan keskiarvo kuvaajan sijaan.

Eriyttäminen. Ohjattu työtapa sopii opiskelijalle, joka tekee ensimmäistä optiikan mittaustaan: sivu kiinnittää kulmat, toistot ja akselit. Osittain ohjatussa opiskelija päättää kulmat ja toistot ja perustelee kohdistuksen tarkistuksen itse. Itsenäisessä työtavassa annetaan vain tutkimuskysymys, välineet ja taittumislaki: opiskelija keksii linearisoinnin ja kohdistuksen tarkistuksen itse, ja laajennus kuuluu työhön. FY10-suunnitelmassa työ on yksi itsenäisen tutkimuksen vaihtoehdoista. Moduuli FY7 ei ole vielä Ruukkilabrassa, joten sivun lyhyt teoriaosuus korvaa sen tässä työssä.

Turvallisuus. Laser on työn ainoa merkittävä riski. Vain opettajan antama luokan 1 tai 2 laser; säteeseen tai sen heijastuksiin ei katsota koskaan. Kappaleen tasainen pinta heijastaa osan valosta takaisin, ja suurilla tulokulmilla heijastus on voimakas: pidä säde vaakasuorassa pöydän tasolla ja ohjaa opiskelijat lukemaan kulmat asteikkoa ylhäältä katsoen, ei kumartumalla säteen tasolle. Laser sammutetaan, kun ei mitata. Lasisen kappaleen lohjenneet reunat voivat viiltää.