Fissio, fuusio ja ydinvoima

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 11-1Ydintehtävä

   Fuusioreaktorissa tritiumia voidaan tuottaa litiumista. Reaktio on ${}^{6}_{3}\text{Li} + {}^{1}_{0}\text{n} \rightarrow {}^{4}_{2}\text{He} + {}^{3}_{1}\text{H}$. Atomimassat ovat: litium-6 $6{,}0151229\,\text{u}$, neutroni $1{,}0086649\,\text{u}$, helium-4 $4{,}0026033\,\text{u}$ ja tritium $3{,}0160493\,\text{u}$. Kuinka paljon energiaa reaktiossa vapautuu? Anna vastaus megaelektronivoltteina.

   MeVTarkista
   Vastaus

   $4{,}78\,\text{MeV}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   atomimassat $m_\text{Li} = 6{,}0151229\,\text{u}$, $m_\text{n} = 1{,}0086649\,\text{u}$, $m_\text{He} = 4{,}0026033\,\text{u}$ ja $m_\text{T} = 3{,}0160493\,\text{u}$

   Kysytty

   reaktioenergia $Q$ megaelektronivoltteina

   Periaate

   Reaktiossa vapautuu energiaa, joka vastaa lähtöaineiden ja tuotteiden massojen erotusta. Järjestyslukujen summa säilyy ($3 + 0 = 2 + 1$). Siksi atomimassojen elektronit kumoutuvat, ja atomimassoja voi käyttää suoraan.

   Kaava

   $Q = (m_\text{alku} - m_\text{loppu})\,c^2$, josta $Q = (m_\text{Li} + m_\text{n} - m_\text{He} - m_\text{T})\,c^2$

   Muunnokset

   $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$. Massaero atomimassayksikköinä kerrotaan luvulla $931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, ja $c^2$ supistuu.

   Sijoitus

   $Q$$= (7{,}0237878\,\text{u} - 7{,}0186526\,\text{u})\,c^2$

   $= 0{,}0051352\,\text{u} \cdot c^2$

   $= 0{,}0051352 \cdot 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2} \cdot c^2$

   $= 4{,}7834\,\text{MeV}$

   Vastaus

   $4{,}78\,\text{MeV}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa. Massaeron $0{,}0051352\,\text{u}$ tarkkuus riittäisi myös useampaan numeroon.

   Järkevyys

   Massaero on noin $0{,}005\,\text{u}$, ja $0{,}005 \cdot 900\,\text{MeV} = 4{,}5\,\text{MeV}$. Tulos on pienempi kuin deuteriumin ja tritiumin fuusiossa ($17{,}6\,\text{MeV}$), mutta se on selvästi positiivinen. Reaktio vapauttaa siis energiaa.

2. Tehtävä 11-2Ydintehtävä

   Erään uraani-235:n fissioreaktion tuotteiden yhteenlaskettu massa on $0{,}1915\,\text{u}$ pienempi kuin lähtöaineiden massa. Kuinka paljon energiaa reaktiossa vapautuu? Anna vastaus megaelektronivoltteina.

   MeVTarkista
   Vastaus

   $178\,\text{MeV}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massan pieneneminen $\Delta m = 0{,}1915\,\text{u}$

   Kysytty

   vapautuva energia $Q$ megaelektronivoltteina

   Periaate

   Massan ja energian ekvivalenssi: kun reaktion tuotteiden massa on pienempi kuin lähtöaineiden, massojen erotusta vastaava energia vapautuu. Se vapautuu tuotteiden liike-energiana ja säteilynä.

   Kaava

   $Q = (m_\text{alku} - m_\text{loppu})\,c^2$, josta $Q = \Delta m\,c^2$

   Muunnokset

   $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$. Kun massaero sijoitetaan tässä yksikössä, $c^2$ supistuu.

   Sijoitus

   $Q$$= 0{,}1915\,\text{u} \cdot c^2$

   $= 0{,}1915 \cdot 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2} \cdot c^2$

   $= 178{,}38\,\text{MeV}$

   Vastaus

   $178\,\text{MeV}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa. Massaero $0{,}1915\,\text{u}$ on annettu neljällä numerolla, mutta yksittäisen fissioenergian tarkempaa arvoa ei tarvita.

   Järkevyys

   Pyöreillä luvuilla $0{,}2 \cdot 900\,\text{MeV} = 180\,\text{MeV}$. Tulos on lähellä luvun esimerkin fissioenergiaa $173\,\text{MeV}$ ja keskimääräistä fissioenergiaa, joka on noin $200\,\text{MeV}$.

3. Tehtävä 11-3

   Ketjureaktion sukupolvessa $0$ on $1000$ neutronia, ja kasvukerroin on $k = 0{,}90$. Kuinka monta neutronia ketjussa on keskimäärin sukupolvessa $10$?

   Tarkista
   Vastaus

   $349$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   neutronien määrä alussa $N_0 = 1000$, kasvukerroin $k = 0{,}90$, sukupolvi $g = 10$

   Kysytty

   neutronien keskimääräinen määrä $N_{10}$ sukupolvessa $10$

   Periaate

   Jokainen neutroni tuottaa seuraavaan sukupolveen keskimäärin $k$ neutronia. Siksi määrä kerrotaan jokaisessa sukupolvessa luvulla $k$. Koska $k < 1$, ketju sammuu vähitellen.

   Kaava

   $N_g = N_0 k^g$

   Muunnokset

   Ei tarvita: neutronien määrä ja kasvukerroin ovat pelkkiä lukuja.

   Sijoitus

   $N_{10}$$= 1000 \cdot 0{,}90^{10}$

   $= 1000 \cdot 0{,}34868$

   $= 348{,}68$

   Vastaus

   $349$

   Neutronia. Määrä on keskiarvo, koska yksittäisen neutronin kohtalo on satunnainen.

   Järkevyys

   Joka sukupolvessa katoaa $10\,\%$ neutroneista. Jos vähennys olisi aina $100$ neutronia, määrä olisi nolla. Nämä $10\,\%$ lasketaan kuitenkin yhä pienemmästä määrästä, joten jäljellä on vielä noin kolmannes.

4. Tehtävä 11-4

   Kahden deuteriumytimen fuusiossa syntyy helium-3-ydin ja neutroni: ${}^{2}_{1}\text{H} + {}^{2}_{1}\text{H} \rightarrow {}^{3}_{2}\text{He} + {}^{1}_{0}\text{n}$. Atomimassat ovat: deuterium $2{,}0141018\,\text{u}$, helium-3 $3{,}0160293\,\text{u}$ ja neutroni $1{,}0086649\,\text{u}$. Kuinka paljon energiaa reaktiossa vapautuu? Anna vastaus megaelektronivoltteina.

   MeVTarkista
   Vastaus

   $3{,}27\,\text{MeV}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   atomimassat $m_\text{D} = 2{,}0141018\,\text{u}$, $m_\text{He} = 3{,}0160293\,\text{u}$ ja $m_\text{n} = 1{,}0086649\,\text{u}$

   Kysytty

   reaktioenergia $Q$ megaelektronivoltteina

   Periaate

   Reaktiossa vapautuu massojen erotusta vastaava energia. Järjestyslukujen summa säilyy ($1 + 1 = 2 + 0$), joten atomimassojen elektronit kumoutuvat. Lähtöaineina on kaksi deuteriumatomia.

   Kaava

   $Q = (m_\text{alku} - m_\text{loppu})\,c^2$, josta $Q = (2m_\text{D} - m_\text{He} - m_\text{n})\,c^2$

   Muunnokset

   $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$. Tekijä $c^2$ supistuu, ja energia saadaan megaelektronivoltteina.

   Sijoitus

   $Q$$= (4{,}0282036\,\text{u} - 4{,}0246942\,\text{u})\,c^2$

   $= 0{,}0035094\,\text{u} \cdot c^2$

   $= 0{,}0035094 \cdot 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2} \cdot c^2$

   $= 3{,}2690\,\text{MeV}$

   Vastaus

   $3{,}27\,\text{MeV}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa. Massaero $0{,}0035094\,\text{u}$ on laskettu riittävän tarkasti.

   Järkevyys

   Massaero on noin $0{,}0035\,\text{u}$, ja $0{,}0035 \cdot 1000\,\text{MeV} = 3{,}5\,\text{MeV}$. Tulos on noin viidesosa deuteriumin ja tritiumin fuusion energiasta. Tämä on yksi syy siihen, että voimaloihin suunnitellaan juuri tritiumia.

5. Tehtävä 11-5

   Neutronin massa on $1{,}0086649\,\text{u}$. Kuinka suurta energiaa neutronin massa vastaa? Anna vastaus megaelektronivoltteina.

   MeVTarkista
   Vastaus

   $939{,}6\,\text{MeV}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   neutronin massa $m_\text{n} = 1{,}0086649\,\text{u}$

   Kysytty

   massaa vastaava energia $E$ megaelektronivoltteina

   Periaate

   Massan ja energian ekvivalenssin mukaan jokaista massaa vastaa energia $E = mc^2$. Tämä pätee myös levossa olevaan hiukkaseen.

   Kaava

   $E = m_\text{n} c^2$

   Muunnokset

   $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$. Massa kerrotaan luvulla $931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, ja $c^2$ supistuu.

   Sijoitus

   $E$$= 1{,}0086649\,\text{u} \cdot c^2$

   $= 1{,}0086649 \cdot 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2} \cdot c^2$

   $= 939{,}57\,\text{MeV}$

   Vastaus

   $939{,}6\,\text{MeV}$

   Vastauksessa on neljä merkitsevää numeroa, kuten muuntokertoimessa $931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$.

   Järkevyys

   Neutronin massa on hieman yli $1\,\text{u}$, joten energian on oltava hieman yli $931{,}5\,\text{MeV}$. Se on noin viisi kertaa yhden fission energia. Fission noin $200\,\text{MeV}$ vastaa siis vain noin $0{,}2\,\text{u}$:n massan pienenemistä. Se on alle $0{,}1\,\%$ uraaniatomin massasta.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 11-6Ydintehtävä

   Olkiluoto 3:n reaktorin lämpöteho on $4300\,\text{MW}$. Reaktori vapauttaa energiaa, ja siksi sen polttoaineen massa pienenee.

   Kuinka paljon massa pienenee vuodessa ($365\,\text{d}$)? Oleta, että reaktori toimii koko vuoden täydellä teholla. Anna vastaus kilogrammoina.

   kgTarkista
   Vastaus

   $1{,}5\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   lämpöteho $P = 4300\,\text{MW}$, aika $t = 365\,\text{d}$, valon nopeus $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   Kysytty

   polttoaineen massan pieneneminen $\Delta m$ kilogrammoina

   Periaate

   Reaktorin vapauttama energia on peräisin ydinreaktioiden massan pienenemisestä. Massa pienenee energiaa $E$ vastaavan määrän $\Delta m = \tfrac{E}{c^2}$. Täydellä teholla energia on teho kertaa aika.

   Kaava

   $E = Pt$ ja $E = \Delta m\,c^2$, joten $\Delta m\,c^2 = Pt$ ja $\Delta m = \dfrac{Pt}{c^2}$

   Muunnokset

   $P$$= 4300\,\text{MW}$

   $= 4300 \cdot 10^{6}\,\text{W}$

   $t$$= 365 \cdot 24 \cdot 3600\,\text{s}$

   $= 31\,536\,000\,\text{s}$

   Sijoitus

   $\Delta m$$= \dfrac{4300 \cdot 10^{6}\,\text{W} \cdot 31\,536\,000\,\text{s}}{(2{,}998 \cdot 10^{8}\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}})^2}$

   $= \dfrac{1{,}3560 \cdot 10^{17}\,\text{J}}{8{,}9880 \cdot 10^{16}\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}$

   $= 1{,}5087\,\text{kg}$

   Vastaus

   $1{,}5\,\text{kg}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten tehossa $4300\,\text{MW}$.

   Järkevyys

   Arviolla

   $4 \cdot 10^{9}\,\text{W} \cdot 3 \cdot 10^{7}\,\text{s} : 9 \cdot 10^{16}\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$

   $\approx 1{,}3\,\text{kg}$

   Reaktorissa on yli sata tonnia uraania, joten massan muutos on pieni. Silti se vastaa valtavaa energiaa. Yksikkö: $\tfrac{\text{J}}{\text{m}^2/\text{s}^2} = \text{kg}$.

2. Tehtävä 11-7Ydintehtävä

   Deuteriumin ja tritiumin fuusiossa ${}^{2}_{1}\text{H} + {}^{3}_{1}\text{H} \rightarrow {}^{4}_{2}\text{He} + {}^{1}_{0}\text{n}$ atomimassat ovat: deuterium $2{,}0141018\,\text{u}$, tritium $3{,}0160493\,\text{u}$, helium-4 $4{,}0026033\,\text{u}$ ja neutroni $1{,}0086649\,\text{u}$.

   Kuinka paljon energiaa vapautuu, kun yksi kilogramma deuterium–tritium-seosta fuusioituu? Käytä $1\,\text{u} = 1{,}66054 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$. Anna vastaus yksikössä $10^{14}\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.

   10¹⁴ J/kgTarkista
   Vastaus

   $3{,}37 \cdot 10^{14}\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   atomimassat $m_\text{D} = 2{,}0141018\,\text{u}$, $m_\text{T} = 3{,}0160493\,\text{u}$, $m_\text{He} = 4{,}0026033\,\text{u}$ ja $m_\text{n} = 1{,}0086649\,\text{u}$; $1\,\text{u} = 1{,}66054 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$

   Kysytty

   vapautuva energia polttoainekilogrammaa kohti $\tfrac{E}{m}$ yksikössä $10^{14}\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$

   Periaate

   Yksi reaktio vapauttaa massaeroa vastaavan energian $Q$ ja kuluttaa yhden deuteriumatomin ja yhden tritiumatomin. Energia massayksikköä kohti on yhden reaktion energia jaettuna yhden reaktion polttoaineen massalla.

   Kaava

   $Q$$= (m_\text{D} + m_\text{T} - m_\text{He} - m_\text{n})\,c^2$

   $\dfrac{E}{m}$$= \dfrac{Q}{m_\text{D} + m_\text{T}}$

   Muunnokset

   $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$; $1\,\text{MeV} = 10^{6} \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$; polttoaineen massa

   $5{,}0301511\,\text{u}$$= 5{,}0301511 \cdot 1{,}66054 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$

   $= 8{,}3528 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$

   Sijoitus

   $Q$$= 0{,}0188829 \cdot 931{,}5\,\text{MeV}$

   $= 17{,}589\,\text{MeV}$

   $= 17{,}589 \cdot 10^{6} \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$

   $= 2{,}8178 \cdot 10^{-12}\,\text{J}$

   joten

   $\dfrac{E}{m}$$= \dfrac{2{,}8178 \cdot 10^{-12}\,\text{J}}{8{,}3528 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}}$

   $= 3{,}3735 \cdot 10^{14}\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$

   Vastaus

   $3{,}37 \cdot 10^{14}\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa. Atomimassat ovat hyvin tarkkoja, ja muuntokerroin $1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$ rajoittaa tarkkuuden neljään numeroon.

   Järkevyys

   Kivihiilen lämpöarvo on noin $2{,}4 \cdot 10^{7}\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$. Fuusiopolttoaine vapauttaa siis noin $10^{7}$-kertaisesti energiaa kilogrammaa kohti. Luvun mukaan fuusio tuottaa noin nelinkertaisesti energiaa fissioon verrattuna. Uraani-235:n fissio vapauttaa $8{,}2 \cdot 10^{13}\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$, ja kun se kerrotaan neljällä, saadaan noin $3 \cdot 10^{14}\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.

3. Tehtävä 11-8

   Uraani-235 voi jakautua myös reaktiossa ${}^{1}_{0}\text{n} + {}^{235}_{92}\text{U} \rightarrow {}^{140}_{54}\text{Xe} + {}^{94}_{38}\text{Sr} + x\,{}^{1}_{0}\text{n}$. Atomimassat ovat: uraani-235 $235{,}0439282\,\text{u}$, ksenon-140 $139{,}9216458\,\text{u}$, strontium-94 $93{,}9153556\,\text{u}$ ja neutroni $1{,}0086649\,\text{u}$. Päättele ensin neutronien määrä $x$. Laske sitten, kuinka paljon energiaa reaktiossa vapautuu. Anna vastaus megaelektronivoltteina.

   MeVTarkista
   Vastaus

   $185\,\text{MeV}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   reaktio ${}^{1}_{0}\text{n} + {}^{235}_{92}\text{U} \rightarrow {}^{140}_{54}\text{Xe} + {}^{94}_{38}\text{Sr} + x\,{}^{1}_{0}\text{n}$; atomimassat $m_\text{U} = 235{,}0439282\,\text{u}$, $m_\text{Xe} = 139{,}9216458\,\text{u}$, $m_\text{Sr} = 93{,}9153556\,\text{u}$ ja $m_\text{n} = 1{,}0086649\,\text{u}$

   Kysytty

   neutronien määrä $x$ ja reaktioenergia $Q$ megaelektronivoltteina

   Periaate

   Ydinreaktiossa massaluku säilyy, joten neutronien määrä saadaan massalukujen summista. Järjestysluvut täsmäävät jo ($92 = 54 + 38$), joten atomimassojen elektronit kumoutuvat. Energia vastaa massojen erotusta.

   Kaava

   $1 + 235 = 140 + 94 + x$, josta $x = 236 - 234 = 2$;

   $Q$$= (m_\text{n} + m_\text{U} - m_\text{Xe} - m_\text{Sr} - 2m_\text{n})\,c^2$

   Muunnokset

   $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, ja $c^2$ supistuu.

   Sijoitus

   $Q$$= (236{,}0525931\,\text{u} - 235{,}8543312\,\text{u})\,c^2$

   $= 0{,}1982619\,\text{u} \cdot c^2$

   $= 0{,}1982619 \cdot 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2} \cdot c^2$

   $= 184{,}68\,\text{MeV}$

   Vastaus

   $185\,\text{MeV}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten luvun esimerkissä. Reaktiossa vapautuu kaksi neutronia.

   Järkevyys

   Tulos on lähellä esimerkin reaktion energiaa ($173\,\text{MeV}$). Eri jakautumistavoissa vapautuu hieman eri energiat. Kun fissiotuotteiden hajoamiset lasketaan mukaan, keskimääräinen energia on noin $200\,\text{MeV}$ fissiota kohti.

4. Tehtävä 11-9

   Koejärjestelyssä ketjun neutronimäärä kasvaa $40$ sukupolvessa luvusta $1000$ lukuun $5000$. Kasvukerroin $k$ pysyy koko ajan samana. Kuinka monta prosenttia neutronien määrä kasvaa sukupolvesta seuraavaan?

   %Tarkista
   Vastaus

   $4{,}1\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   neutronien määrä alussa $N_0 = 1000$, sukupolvessa $40$ määrä $N_{40} = 5000$

   Kysytty

   neutronimäärän kasvu sukupolvesta seuraavaan prosentteina, eli $(k - 1) \cdot 100\,\%$

   Periaate

   Kun kasvukerroin pysyy samana, neutronien määrä kerrotaan jokaisessa sukupolvessa luvulla $k$. Siksi $40$ sukupolven jälkeen alkuperäinen määrä on kerrottu luvulla $k^{40}$.

   Kaava

   $N_g = N_0 k^g$, josta

   $k^{g}$$= \dfrac{N_g}{N_0}$

   $k$$= \left(\dfrac{N_g}{N_0}\right)^{1/g}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: neutronien määrät ovat pelkkiä lukuja. Lopuksi kasvu prosentteina on $(k - 1) \cdot 100\,\%$.

   Sijoitus

   $k$$= \left(\dfrac{5000}{1000}\right)^{1/40}$

   $= 5^{0{,}025}$

   $= 1{,}04106$

   joten kasvu on $(1{,}04106 - 1) \cdot 100\,\% = 4{,}106\,\%$

   Vastaus

   noin $4{,}1\,\%$ sukupolvessa. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa.

   Järkevyys

   Tarkistus: $1{,}041^{40} \approx 4{,}99$, eli määrä viisinkertaistuu. Jos kasvu olisi tasaisesti $100$ neutronia sukupolvessa, $40$ sukupolvessa tulisi $4000$ lisää. Se on $10\,\%$ alkumäärästä sukupolvea kohti. Kasvu kertautuu, joten tarvittava prosentti on pienempi.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 11-10

   Olkiluoto 3:n reaktorin lämpöteho on $4300\,\text{MW}$. Kussakin uraani-235:n fissiossa vapautuu keskimäärin $200\,\text{MeV}$. Uraani-235:n atomimassa on $235{,}0439282\,\text{u}$, ja $1\,\text{u} = 1{,}66054 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$. Oleta, että koko lämpöteho syntyy uraani-235:n fissioista.

   Kuinka monta kilogrammaa uraani-235:tä fissioituu reaktorissa vuorokaudessa?

   kgTarkista
   Vastaus

   $4{,}5\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   lämpöteho $P = 4300\,\text{MW}$, yhden fission energia $Q = 200\,\text{MeV}$, aika $t = 1\,\text{d}$, uraani-235:n atomimassa $235{,}0439282\,\text{u}$, $1\,\text{u} = 1{,}66054 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$

   Kysytty

   vuorokaudessa fissioituvan uraani-235:n massa $m$ kilogrammoina

   Periaate

   Tehtävän oletuksen mukaan koko lämpöteho syntyy uraani-235:n fissioista. Todellisessa reaktorissa osa tulee plutonium-239:n fissioista. Lämpöteho on fissioissa vapautuva energia aikayksikössä, joten fissioiden määrä on vapautunut energia jaettuna yhden fission energialla. Jokainen fissio kuluttaa yhden uraani-235-atomin, joten massa on fissioiden määrä kertaa atomin massa.

   Kaava

   $Pt = NQ$, josta

   $N$$= \dfrac{Pt}{Q}$

   $m$$= N m_\text{U}$

   $= \dfrac{Pt\,m_\text{U}}{Q}$

   Muunnokset

   $P = 4300 \cdot 10^{6}\,\text{W}$;

   $t$$= 24 \cdot 3600\,\text{s}$

   $= 86\,400\,\text{s}$

   $Q$$= 200 \cdot 10^{6} \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$

   $= 3{,}204 \cdot 10^{-11}\,\text{J}$

   $m_\text{U}$$= 235{,}0439282 \cdot 1{,}66054 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$

   $= 3{,}9030 \cdot 10^{-25}\,\text{kg}$

   Sijoitus

   $N$$= \dfrac{4300 \cdot 10^{6}\,\text{W} \cdot 86\,400\,\text{s}}{3{,}204 \cdot 10^{-11}\,\text{J}}$

   $= 1{,}1596 \cdot 10^{25}$

   joten

   $m$$= 1{,}1596 \cdot 10^{25} \cdot 3{,}9030 \cdot 10^{-25}\,\text{kg}$

   $= 4{,}5257\,\text{kg}$

   Vastaus

   $4{,}5\,\text{kg}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten tehossa $4300\,\text{MW}$.

   Järkevyys

   Luvun mukaan yksi gramma uraani-235:tä vapauttaa noin $82\,\text{GJ}$. Vuorokaudessa reaktori tuottaa

   $4{,}3 \cdot 10^{9}\,\text{W} \cdot 86\,400\,\text{s}$

   $\approx 3{,}7 \cdot 10^{14}\,\text{J}$

   Lisäksi

   $3{,}7 \cdot 10^{14}\,\text{J} : 8{,}2 \cdot 10^{10}\,\tfrac{\text{J}}{\text{g}}$

   $\approx 4500\,\text{g}$

   Tulos täsmää.

2. Tehtävä 11-11

   Auringon säteilyteho on $3{,}83 \cdot 10^{26}\,\text{W}$. Energia syntyy Auringon ytimessä fuusiossa. Kokonaisreaktiossa neljästä vetyytimestä syntyy yksi helium-4-ydin.

   Vapautuva energia saadaan neljän vetyatomin ja yhden heliumatomin massojen erotuksesta. Vetyatomin massa on $1{,}0078250\,\text{u}$ ja helium-4-atomin massa $4{,}0026033\,\text{u}$.

   Kuinka monta heliumydintä Auringossa syntyy sekunnissa? Oleta, että kaikki vapautuva energia päätyy säteilytehoksi. Anna vastaus yksikössä $10^{37}\,\tfrac{1}{\text{s}}$.

   10³⁷ 1/sTarkista
   Vastaus

   $8{,}94 \cdot 10^{37}\,\tfrac{1}{\text{s}}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   säteilyteho $P = 3{,}83 \cdot 10^{26}\,\text{W}$, vetyatomin massa $m_\text{H} = 1{,}0078250\,\text{u}$, helium-4-atomin massa $m_\text{He} = 4{,}0026033\,\text{u}$

   Kysytty

   heliumytimien syntymisnopeus $\tfrac{N}{t}$ yksikössä $10^{37}\,\tfrac{1}{\text{s}}$

   Periaate

   Jokaista syntyvää heliumydintä kohti vapautuu energia $Q$. Se vastaa neljän vetyatomin ja yhden heliumatomin massojen erotusta. Kaikki energia päätyy säteilyksi, joten säteilyteho on $Q$ kertaa heliumytimien syntymisnopeus.

   Kaava

   $Q = (4m_\text{H} - m_\text{He})\,c^2$ ja $P = \dfrac{N}{t}\,Q$, josta $\dfrac{N}{t} = \dfrac{P}{Q}$

   Muunnokset

   $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$ ja $1\,\text{MeV} = 10^{6} \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$

   Sijoitus

   $Q$$= (4{,}0313000\,\text{u} - 4{,}0026033\,\text{u})\,c^2$

   $= 0{,}0286967 \cdot 931{,}5\,\text{MeV}$

   $= 26{,}731\,\text{MeV}$

   $= 26{,}731 \cdot 10^{6} \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$

   $= 4{,}2823 \cdot 10^{-12}\,\text{J}$

   joten

   $\dfrac{N}{t}$$= \dfrac{3{,}83 \cdot 10^{26}\,\tfrac{\text{J}}{\text{s}}}{4{,}2823 \cdot 10^{-12}\,\text{J}}$

   $= 8{,}9438 \cdot 10^{37}\,\tfrac{1}{\text{s}}$

   Vastaus

   $8{,}94 \cdot 10^{37}\,\tfrac{1}{\text{s}}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten säteilytehossa $3{,}83 \cdot 10^{26}\,\text{W}$.

   Järkevyys

   Arviolla

   $4 \cdot 10^{26}\,\text{W} : 4 \cdot 10^{-12}\,\text{J}$

   $= 10^{38}\,\tfrac{1}{\text{s}}$

   Auringon massa pienenee nopeudella $\tfrac{P}{c^2} \approx 4 \cdot 10^{9}\,\tfrac{\text{kg}}{\text{s}}$. Se on Auringon massaan verrattuna mitätön.

3. Tehtävä 11-12

   Käytetyssä ydinpolttoaineessa on plutonium-239:ää, jonka puoliintumisaika on $24\,100\,\text{a}$. Kuinka kauan kestää, ennen kuin sen aktiivisuus on pienentynyt tuhannesosaan alkuperäisestä? Anna vastaus yksikössä $10^{5}\,\text{a}$.

   10⁵ aTarkista
   Vastaus

   $2{,}40 \cdot 10^{5}\,\text{a}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   plutonium-239:n puoliintumisaika $T_{1/2} = 24\,100\,\text{a}$, aktiivisuus pienenee tuhannesosaan: $\tfrac{A}{A_0} = \tfrac{1}{1000}$

   Kysytty

   aika $t$ yksikössä $10^{5}\,\text{a}$

   Periaate

   Aktiivisuus pienenee hajoamislain mukaan puoleen jokaisen puoliintumisajan aikana (luku Hajoamislaki ja puoliintumisaika). Kysytty aika on se määrä puoliintumisaikoja, jolla $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} = \tfrac{1}{1000}$.

   Kaava

   $\dfrac{A}{A_0}$$= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$

   josta $2^{t/T_{1/2}} = \dfrac{A_0}{A}$ ja $t = T_{1/2} \log_2 \dfrac{A_0}{A}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: aika saadaan vuosina, kuten puoliintumisaika.

   Sijoitus

   $t$$= 24\,100\,\text{a} \cdot \log_2 1000$

   $= 24\,100\,\text{a} \cdot 9{,}9658$

   $= 240\,175\,\text{a}$

   Vastaus

   $2{,}40 \cdot 10^{5}\,\text{a}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten puoliintumisajassa $24\,100\,\text{a}$.

   Järkevyys

   $2^{10} = 1024 \approx 1000$, joten aikaa kuluu noin kymmenen puoliintumisaikaa eli noin $241\,000\,\text{a}$. Siksi käytetty polttoaine on eristettävä satojatuhansia vuosia. Cesium-137 ($30{,}1\,\text{a}$) sen sijaan pienenee tuhannesosaan noin $300$ vuodessa.