Kaasun tekemä työ ja lämpövoimakone

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 13-1Ydintehtävä

   Museorautatien höyryveturin sylinteriin virtaa kattilasta höyryä. Höyry työntää mäntää. Männän liikkuessa höyryn paine pysyy $480{,}0\,\text{kPa}$:na. Höyryn tilavuus sylinterissä kasvaa $0{,}0250\,\text{m}^3$.

   Kuinka suuren työn höyry tekee männän liikkuessa? Anna vastaus kilojouleina.

   kJTarkista
   Vastaus

   $12{,}0\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   höyryn paine pysyy vakiona, $p = 480{,}0\,\text{kPa}$, tilavuuden muutos $\Delta V = 0{,}0250\,\text{m}^3$

   Kysytty

   höyryn mäntään tekemä työ $W_\text{k}$ kilojouleina

   Periaate

   Paine pysyy vakiona. Siksi höyryn mäntään kohdistama voima $F = pA$ on koko liikkeen ajan sama. Työ on voima kertaa matka. Tilavuuden muutos on männän pinta-ala kertaa matka, $\Delta V = A s$. Siksi työ on paine kertaa tilavuuden muutos.

   Kaava

   $W_\text{k} = F s = pA s$, joten $W_\text{k} = p\,\Delta V$

   Muunnokset

   $480{,}0\,\text{kPa} = 480\,000\,\text{Pa}$. Tilavuus on jo kuutiometreinä. Siksi $\text{Pa} \cdot \text{m}^3 = \text{J}$ ilman lisämuunnosta. Lopuksi $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $W_\text{k}$$= 480\,000\,\text{Pa} \cdot 0{,}0250\,\text{m}^3$

   $= 12\,000\,\text{J}$

   $= 12{,}0\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $12{,}0\,\text{kJ}$

   Kolme merkitsevää numeroa. Paine $480{,}0\,\text{kPa}$ ja tilavuuden muutos $0{,}0250\,\text{m}^3$ on molemmat annettu vähintään kolmella numerolla.

   Järkevyys

   Yksikkö on oikea:

   $\text{Pa} \cdot \text{m}^3$$= \tfrac{\text{N}}{\text{m}^2} \cdot \text{m}^3$

   $= \text{N} \cdot \text{m}$

   $= \text{J}$

   Arvio: $500\,\text{kPa} \cdot 0{,}025\,\text{m}^3 \approx 12\,\text{kJ}$. Työ on positiivinen, koska höyry laajenee ja työntää mäntää. Työ riittäisi nostamaan noin 1,2 tonnin kuorman metrin korkeudelle. Veturin männät tekevät tällaisen työn monta kertaa sekunnissa.

2. Tehtävä 13-2Ydintehtävä

   Saunan kiukaalle heitetään löylyvettä. Kun gramma vettä höyrystyy, syntyvä $100\,{}^\circ\text{C}$:n höyry vie $1{,}70\,\textsf{l}$ enemmän tilaa kuin vesi vei. Höyrystyminen tapahtuu ilmanpaineessa. Ilmanpaine on $101\,\text{kPa}$.

   Kuinka suuren työn höyry tekee, kun se työntää ympäröivää ilmaa tieltään?

   JTarkista
   Vastaus

   $172\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ilmanpaine $p = 101\,\text{kPa}$, höyryn viemä lisätilavuus $\Delta V = 1{,}70\,\textsf{l}$

   Kysytty

   höyryn ympäröivää ilmaa vasten tekemä työ $W_\text{k}$ jouleina

   Periaate

   Höyry työntää ilmaa tieltään. Ilmanpaine pysyy likimain vakiona koko höyrystymisen ajan. Vakiopaineessa kaasun tekemä työ on paine kertaa tilavuuden muutos.

   Kaava

   $W_\text{k} = p\,\Delta V$

   Muunnokset

   $101\,\text{kPa} = 101\,000\,\text{Pa}$ ja $1\,\textsf{l} = 10^{-3}\,\text{m}^3$, joten $1{,}70\,\textsf{l} = 0{,}00170\,\text{m}^3$. Silloin $\text{Pa} \cdot \text{m}^3 = \text{J}$.

   Sijoitus

   $W_\text{k}$$= 101\,000\,\text{Pa} \cdot 0{,}00170\,\text{m}^3$

   $= 171{,}7\,\text{J}$

   $\approx 172\,\text{J}$

   Vastaus

   $172\,\text{J}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten tiedoissa $101\,\text{kPa}$ ja $1{,}70\,\textsf{l}$.

   Järkevyys

   Arvio: $100\,\text{kPa} \cdot 0{,}0017\,\text{m}^3 = 170\,\text{J}$. Gramman höyrystämiseen tarvitaan lämpöä noin $2{,}3\,\text{kJ}$. Työn osuus on siis $\tfrac{172\,\text{J}}{2300\,\text{J}} \approx 7{,}5\,\%$ eli alle kymmenesosa. Loput lämmöstä jää höyryn sisäenergiaksi. Löylyn pöllähdys on juuri tätä laajenemista.

3. Tehtävä 13-3

   Olkiluodon kolmannen ydinvoimalaitosyksikön reaktori tuottaa höyryä lämpöteholla $4{,}30 \cdot 10^{3}\,\text{MW}$. Yksikön sähköteho on $1{,}60 \cdot 10^{3}\,\text{MW}$. Mikä on yksikön hyötysuhde? Anna vastaus prosentteina.

   %Tarkista
   Vastaus

   $37{,}2\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   reaktorin lämpöteho $P_\text{lämpö} = 4{,}30 \cdot 10^3\,\text{MW}$, sähköteho $P_\text{sähkö} = 1{,}60 \cdot 10^3\,\text{MW}$

   Kysytty

   hyötysuhde $\eta$ prosentteina

   Periaate

   Lämpövoimakone muuttaa osan saamastaan lämmöstä työksi eli sähköksi. Hyötysuhde on hyödyksi saatu osuus syötetystä energiasta. Sen voi laskea myös tehoista, koska molemmat tehot ovat energiaa samassa ajassa.

   Kaava

   $\eta$$= \dfrac{P_\text{sähkö}}{P_\text{lämpö}}$

   Muunnokset

   Molemmat tehot ovat megawatteina. Yksikkö supistuu, joten muunnosta ei tarvita. Desimaaliluku muutetaan prosenteiksi kertomalla sadalla.

   Sijoitus

   $\eta$$= \dfrac{1{,}60 \cdot 10^3\,\text{MW}}{4{,}30 \cdot 10^3\,\text{MW}}$

   $= 0{,}3721$

   $= 37{,}21\,\%$

   Vastaus

   $37{,}2\,\%$

   Kolme merkitsevää numeroa. Molemmat tehot ($1{,}60 \cdot 10^3\,\text{MW}$ ja $4{,}30 \cdot 10^3\,\text{MW}$) on annettu kolmella numerolla.

   Järkevyys

   Hyötysuhde on alle $100\,\%$, kuten lämpövoimakoneella pitääkin. Osa lämmöstä on nimittäin luovutettava kylmempään. Ydinvoimalaitoksen tyypillinen arvo on noin $35\,\%$. Energiatase: merivesi vie lauhduttimesta $4300\,\text{MW} - 1600\,\text{MW} = 2700\,\text{MW}$. Se on enemmän kuin yksikkö tuottaa sähköä. Arvio:

   $\tfrac{1600}{4300}$$\approx \tfrac{1}{2{,}7}$

   $\approx 0{,}37$
4. Tehtävä 13-4

   Pienen kaasumoottorin sylinterissä on kaasua. Kaasua lämmitetään, ja kaasu työntää mäntää eteenpäin. Kuvaajassa on kaasun paine $p$ tilavuuden $V$ funktiona laajenemisen aikana.

   Kuinka suuren työn kaasu tekee laajetessaan? Lue tarvittavat arvot kuvaajasta. Anna vastaus jouleina.

   JTarkista
   Vastaus

   $W_\text{k} = 750\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuvaajasta luettuna paine pysyy vakiona $p = 250\,\text{kPa}$. Tilavuus kasvaa arvosta $V_1 = 1{,}0\,\textsf{l}$ arvoon $V_2 = 4{,}0\,\textsf{l}$

   Kysytty

   kaasun tekemä työ $W_\text{k}$ jouleina

   Periaate

   Paine on koko laajenemisen ajan sama. Siksi kaasun työ on paineen ja tilavuuden muutoksen tulo. Työ on positiivinen, koska kaasu laajenee ja työntää mäntää.

   Kuvaajan lukeminen

   Jana on vaakasuora ja kulkee ruudukon viivalla $p = 250\,\text{kPa}$. Sen päät ovat ruudukon risteyksissä $V_1 = 1{,}0\,\textsf{l}$ ja $V_2 = 4{,}0\,\textsf{l}$. Siksi

   $\Delta V$$= V_2 - V_1$

   $= 3{,}0\,\textsf{l}$

   Kaava

   $W_\text{k} = p\,\Delta V$

   Muunnokset

   $p$$= 250\,\text{kPa}$

   $= 250\,000\,\text{Pa}$

   $\Delta V$$= 3{,}0\,\textsf{l}$

   $= 0{,}0030\,\text{m}^3$

   koska $1\,\textsf{l} = 10^{-3}\,\text{m}^3$.

   Sijoitus

   $W_\text{k}$$= 250\,000\,\text{Pa} \cdot 0{,}0030\,\text{m}^3$

   $= 750\,\text{J}$

   Vastaus

   $W_\text{k} = 750\,\text{J}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Tilavuudet $1{,}0\,\textsf{l}$ ja $4{,}0\,\textsf{l}$ luetaan kahden numeron tarkkuudella. Arvot luetaan ruudukon viivoilta, joten hyväksytty väli on $735$–$765\,\text{J}$.

   Järkevyys

   Yksiköt täsmäävät: $1\,\text{Pa} \cdot 1\,\text{m}^3 = 1\,\text{J}$. Tulos on sama kuin suorakulmion pinta-ala kuvaajassa. Korkeus $250\,\text{kPa}$ ja leveys $3{,}0\,\textsf{l}$ antavat $250 \cdot 3{,}0 = 750\,\text{kPa}\cdot\textsf{l}$, ja $1\,\text{kPa}\cdot\textsf{l} = 1\,\text{J}$. Työ on positiivinen laajenemisessa, kuten pitääkin.

5. Tehtävä 13-5

   Mökin aggregaatti tuottaa illan aikana $2{,}60\,\text{kWh}$ sähköä. Samana aikana aggregaatin moottorissa palaneen bensiinin energia on $12{,}0\,\text{kWh}$. Mikä on aggregaatin hyötysuhde? Anna vastaus prosentteina.

   %Tarkista
   Vastaus

   $21{,}7\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   sähköenergia $W = 2{,}60\,\text{kWh}$, bensiinin energia $Q_1 = 12{,}0\,\text{kWh}$

   Kysytty

   hyötysuhde $\eta$ prosentteina

   Periaate

   Aggregaatti on lämpövoimakone. Bensiinin energiasta vain osa muuttuu sähköksi, ja hyötysuhde kertoo tämän osuuden. Molemmat energiat on annettu samassa yksikössä.

   Kaava

   $\eta = \dfrac{W}{Q_1}$

   Muunnokset

   Kummatkin energiat ovat kilowattitunteina. Yksikkö supistuu, joten jouleiksi ei tarvitse muuntaa. Desimaaliluku muutetaan prosenteiksi kertomalla sadalla.

   Sijoitus

   $\eta$$= \dfrac{2{,}60\,\text{kWh}}{12{,}0\,\text{kWh}}$

   $= 0{,}2167$

   $= 21{,}67\,\%$

   Vastaus

   $21{,}7\,\%$

   Kolme merkitsevää numeroa. Molemmat energiat ($2{,}60\,\text{kWh}$ ja $12{,}0\,\text{kWh}$) on annettu kolmella numerolla.

   Järkevyys

   Hyötysuhde on alle $100\,\%$, kuten lämpövoimakoneella pitääkin. Pieni moottori jää alle automoottorin noin $30\,\%$:n. Energiatase: loput $12{,}0\,\text{kWh} - 2{,}60\,\text{kWh} = 9{,}4\,\text{kWh}$ siirtyy lämpönä ympäristöön. Osuus $\tfrac{9{,}4}{12{,}0} \approx 78\,\%$ täydentää hyötysuhteen sataan prosenttiin.

6. Tehtävä 13-6

   Kaasu laajenee sylinterissä vakiopaineessa. $(V, p)$-koordinaatistossa laajeneminen näkyy vaakasuorana janana. Mikä seuraavista kertoo oikein, miten kaasun tekemä työ nähdään koordinaatistosta?

   Valitse vaihtoehto.

   • Työ on janan korkeus, koska suurempi paine tekee aina suuremman työn riippumatta tilavuuden muutoksesta.
   • Työ on janan ja tilavuusakselin väliin jäävän suorakulmion ala, koska korkeus on paine ja leveys tilavuuden muutos.
   • Työ on nolla, koska paine ei muutu laajenemisen aikana, eikä muuttumaton suure tee työtä.
   • Työ on janan pituus, koska työ riippuu vain tilavuuden muutoksesta eikä paineella ole merkitystä.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Työ on janan ja tilavuusakselin väliin jäävän suorakulmion ala, koska korkeus on paine ja leveys tilavuuden muutos.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   miten vakiopaineessa laajenevan kaasun tekemä työ nähdään $(V, p)$-koordinaatistosta.

   Periaate

   Vakiopaineessa kaasun tekemä työ on $W_\text{k} = p\,\Delta V$. Koordinaatistossa paine on vaakasuoran janan korkeus. Tilavuuden muutos $\Delta V$ on janan pituus eli leveys. Siksi tulo on janan ja tilavuusakselin väliin jäävän suorakulmion pinta-ala.

   Mallivastaus

   Työ on janan alle jäävän suorakulmion pinta-ala. Sen korkeus on paine ja leveys on tilavuuden muutos. Pelkkä korkeus tai pelkkä pituus ei ole työ. Työhön tarvitaan sekä paine että tilavuuden muutos. Työ ei myöskään ole nolla, vaikka paine ei muutu. Kun tilavuus kasvaa, mäntä siirtyy ja voima tekee työtä. Yksikkö $\text{Pa} \cdot \text{m}^3$ on joule.

7. Tehtävä 13-7

   Lämpöpumppu luovuttaa sisälle enemmän lämpöä kuin se käyttää sähköenergiaa. Miksi tämä ei ole ristiriidassa energian säilymisen kanssa?

   Valitse vaihtoehto.

   • Pumppu muuttaa sähköenergian monikertaiseksi lämmöksi, koska lämpökerroin kertoo, kuinka paljon uutta energiaa se tuottaa.
   • Sähköenergia ja lämpö ovat eri asioita, joten niiden suuruuksia ei voi verrata keskenään energian säilymisen kannalta.
   • Pumppu siirtää lämpöä ulkoilmasta sisälle, joten sisälle luovutettu energia on ulkoa otetun lämmön ja sähkön summa.
   • Lämpöpumpun hyötysuhde on yli $100\,\%$, koska se on tehokkaampi kone kuin mikään lämpövoimakone.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Pumppu siirtää lämpöä ulkoilmasta sisälle, joten sisälle luovutettu energia on ulkoa otetun lämmön ja sähkön summa.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   miksi lämpöpumpun sisälle luovuttama lämpö voi olla suurempi kuin sen käyttämä sähköenergia ilman, että energian säilyminen rikkoutuu.

   Periaate

   Lämpöpumppu siirtää sähkön avulla lämpöä kylmästä ulkoilmasta lämpimään sisäilmaan. Energia säilyy. Siksi sisälle luovutettu lämpö on ulkoa otetun lämmön ja pumpun käyttämän sähköenergian summa: $Q_\text{sisälle} = Q_\text{ulko} + E_\text{s}$.

   Mallivastaus

   Osa sisälle luovutetusta lämmöstä on otettu ulkoilmasta. Siksi sisälle menevä energia on ulkoilman lämmön ja sähköenergian summa. Pumppu ei tuota energiaa vaan siirtää sitä. Ulkoilma jäähtyy hieman. Lämpökerroin $\varepsilon = Q_\text{sisälle}/E_\text{s}$ voi siksi olla yli 1. Hyötysuhde ei voi ylittää $100\,\%$:a. Sähkö ja lämpö ovat molemmat energiaa, joten ne voi verrata keskenään.

8. Tehtävä 13-8

   Ilma-vesilämpöpumppu käyttää sähkötehoa $1{,}20\,\text{kW}$. Se luovuttaa lämmityspiiriin lämpötehon $3{,}90\,\text{kW}$. Mikä on pumpun lämpökerroin? Lämpökerroin kertoo, kuinka moninkertaisen lämmön pumppu luovuttaa sisälle verrattuna sähköön.

   Tarkista
   Vastaus

   $\varepsilon = 3{,}25$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pumpun sähköteho $P_\text{s} = 1{,}20\,\text{kW}$, lämmityspiiriin luovutettu lämpöteho $P_\text{sisälle} = 3{,}90\,\text{kW}$

   Kysytty

   lämpökerroin $\varepsilon$

   Periaate

   Lämpökerroin kertoo, kuinka moninkertaisen lämmön pumppu luovuttaa sisälle verrattuna käyttämäänsä sähköenergiaan. Sen voi laskea myös tehoista, koska molemmat tehot ovat energiaa samassa ajassa.

   Kaava

   $\varepsilon$$= \dfrac{Q_\text{sisälle}}{E_\text{s}}$

   $= \dfrac{P_\text{sisälle}}{P_\text{s}}$

   Muunnokset

   Molemmat tehot ovat kilowatteina. Yksikkö supistuu, joten muunnosta ei tarvita. Lämpökertoimella ei ole yksikköä.

   Sijoitus

   $\varepsilon$$= \dfrac{3{,}90\,\text{kW}}{1{,}20\,\text{kW}}$

   $= 3{,}25$

   Vastaus

   $\varepsilon = 3{,}25$

   Kolme merkitsevää numeroa, koska molemmat tehot on annettu kolmella numerolla.

   Järkevyys

   Lämpökerroin on yli 1, kuten lämpöpumpulla voi ollakin. Ulkoilmasta otettu teho on $3{,}90\,\text{kW} - 1{,}20\,\text{kW} = 2{,}70\,\text{kW}$, eli $2{,}25$ kertaa sähköteho. Arvio:

   $\tfrac{3{,}9}{1{,}2}$$\approx \tfrac{4}{1{,}2}$

   $\approx 3{,}3$

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 13-9Ydintehtävä

   Lauhdevoimalaitos polttaa puuhaketta ja turvetta. Laitos tuottaa vuorokauden aikana sähköä $3\,830\,\text{MWh}$. Samana aikana kattilassa palaneen polttoaineen energia on $33{,}6\,\text{TJ}$ ($1\,\text{TJ} = 10^{12}\,\text{J}$). Mikä on laitoksen hyötysuhde? Anna vastaus prosentteina.

   %Tarkista
   Vastaus

   $41{,}0\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   sähköenergia $W = 3830\,\text{MWh}$, polttoaineen energia $Q_1 = 33{,}6\,\text{TJ} = 33{,}6 \cdot 10^{12}\,\text{J}$, vuorokaudessa

   Kysytty

   hyötysuhde $\eta$ prosentteina

   Periaate

   Lauhdevoimalaitos on lämpövoimakone. Sen hyötysuhde on sähköksi muuttuneen energian osuus polttoaineen energiasta. Osuuden laskemiseksi molemmat energiat on ilmaistava samassa yksikössä.

   Kaava

   $\eta = \dfrac{W}{Q_1}$

   Muunnokset

   $1\,\text{MWh}$$= 10^6\,\text{W} \cdot 3600\,\text{s}$

   $= 3{,}6 \cdot 10^9\,\text{J}$

   joten

   $W$$= 3830 \cdot 3{,}6 \cdot 10^9\,\text{J}$

   $= 1{,}3788 \cdot 10^{13}\,\text{J}$

   Lisäksi $33{,}6\,\text{TJ} = 3{,}36 \cdot 10^{13}\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $\eta$$= \dfrac{1{,}3788 \cdot 10^{13}\,\text{J}}{3{,}36 \cdot 10^{13}\,\text{J}}$

   $= 0{,}4104$

   $= 41{,}04\,\%$

   Vastaus

   $41{,}0\,\%$

   Kolme merkitsevää numeroa. Molemmat tiedot ($3830\,\text{MWh}$ ja $33{,}6\,\text{TJ}$) on annettu vähintään kolmella numerolla. Tuloon $3{,}6 \cdot 10^9\,\text{J/MWh}$ ei liity epätarkkuutta, koska se on määritelmä.

   Järkevyys

   Lauhdevoimalaitoksen hyötysuhde on tyypillisesti noin $40\,\%$. Tulos on siis uskottava. Arvio:

   $\tfrac{3{,}8 \cdot 3{,}6}{33{,}6}$$\approx \tfrac{13{,}7}{33{,}6}$

   $\approx 0{,}41$

   Keskimääräinen sähköteho on

   $\dfrac{3830\,\text{MWh}}{24\,\text{h}}$$\approx 160\,\text{MW}$

   Polttoaineteho on $\tfrac{160}{0{,}41} \approx 390\,\text{MW}$.

2. Tehtävä 13-10Ydintehtävä

   Saimaalla liikennöivän vanhan höyrylaivan kattilassa poltetaan tunnissa $120\,\text{kg}$ koivuhalkoja. Ilmakuivan (ilmassa kuivuneen) koivupuun lämpöarvo on $15\,\text{MJ/kg}$. Kun kilogramma puuta palaa, vapautuu energiaa $15\,\text{MJ}$. Laivan höyrykone tekee työtä keskimäärin $45\,\text{kW}$:n teholla.

   Mikä on kattilan ja höyrykoneen yhteinen hyötysuhde? Anna vastaus prosentteina.

   %Tarkista
   Vastaus

   $9{,}0\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   polttopuun massa $m = 120\,\text{kg}$ tunnissa, lämpöarvo $H = 15\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$, höyrykoneen teho $P = 45\,\text{kW}$, aika $t = 1\,\text{h}$

   Kysytty

   kattilan ja höyrykoneen yhteinen hyötysuhde $\eta$ prosentteina

   Periaate

   Koko laitos on lämpövoimakone. Polttopuun palamisessa vapautuu lämpö $Q_1$, ja kone tekee työn $W$. Hyötysuhde on työn osuus tästä lämmöstä. Molemmat lasketaan samalta tunnilta.

   Kaava

   $Q_1 = mH$ ja $W = Pt$, joten

   $\eta$$= \dfrac{W}{Q_1}$

   $= \dfrac{Pt}{mH}$

   Muunnokset

   $45\,\text{kW} = 45\,000\,\text{W}$,

   $1\,\text{h}$$= 3600\,\text{s}$

   $15\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$$= 15 \cdot 10^6\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$

   jotta kumpikin energia tulee jouleina.

   Sijoitus

   $\eta$$= \dfrac{45\,000\,\text{W} \cdot 3600\,\text{s}}{120\,\text{kg} \cdot 15 \cdot 10^6\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}}$

   $= \dfrac{1{,}62 \cdot 10^8\,\text{J}}{1{,}8 \cdot 10^9\,\text{J}}$

   $= 0{,}090$

   $= 9{,}0\,\%$

   Vastaus

   $9{,}0\,\%$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittavat tiedot ovat teho $45\,\text{kW}$ ja lämpöarvo $15\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$ (kumpikin kaksi numeroa). Massa $120\,\text{kg}$ on vähintään kahden numeron arvo eikä rajoita. Arvo $3600\,\text{s/h}$ on määritelmä.

   Järkevyys

   Vanhojen höyrykoneiden hyötysuhde on 5–$10\,\%$, joten tulos sopii. Polttoaineteho on $\tfrac{1{,}8 \cdot 10^9\,\text{J}}{3600\,\text{s}} = 500\,\text{kW}$. Siitä vain $45\,\text{kW}$ tulee työksi. Loput $455\,\text{kW}$ poistuu savupiipusta ja poistohöyryn mukana. Siksi höyrylaivat korvattiin dieselmoottoreilla.

3. Tehtävä 13-11

   Fysiikan tunnilla sylinterissä on ilmaa. Kevyesti liikkuva mäntä sulkee sylinterin. Ilmaa lämmitetään, ja siihen siirtyy lämpömäärä $700{,}0\,\text{J}$. Ilma laajenee niin, että sen paine pysyy $125\,\text{kPa}$:na ja tilavuus kasvaa $1{,}60\,\textsf{l}$.

   Kuinka paljon ilman sisäenergia muuttuu? Käytä ensimmäistä pääsääntöä $\Delta U = Q - W_\text{k}$. Siinä $W_\text{k}$ on ilman tekemä työ. Anna vastaus etumerkkeineen.

   JTarkista
   Vastaus

   $+500\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ilmaan siirtyvä lämpö $Q = 700{,}0\,\text{J}$, paine pysyy $p = 125\,\text{kPa}$, tilavuuden kasvu $\Delta V = 1{,}60\,\textsf{l}$

   Kysytty

   sisäenergian muutos $\Delta U$ jouleina etumerkkeineen

   Periaate

   Energia säilyy. Ilmaan tuleva lämpö jakautuu sisäenergian muutokseksi ja ilman tekemäksi työksi: ensimmäinen pääsääntö $\Delta U = Q - W_\text{k}$. Mäntä liikkuu kevyesti, joten paine pysyy vakiona. Silloin työ on $p\,\Delta V$.

   Kaava

   $W_\text{k} = p\,\Delta V$, joten

   $\Delta U$$= Q - W_\text{k}$

   $= Q - p\,\Delta V$

   Muunnokset

   $125\,\text{kPa} = 125\,000\,\text{Pa}$ ja $1{,}60\,\textsf{l} = 0{,}00160\,\text{m}^3$, jolloin $\text{Pa} \cdot \text{m}^3 = \text{J}$.

   Sijoitus

   $\Delta U$$= 700{,}0\,\text{J} - 125\,000\,\text{Pa} \cdot 0{,}00160\,\text{m}^3$

   $= 700{,}0\,\text{J} - 200\,\text{J}$

   $= 500\,\text{J}$

   Vastaus

   $+500\,\text{J}$

   Eli sisäenergia kasvaa, kolme merkitsevää numeroa. Rajoittava tieto on työ $W_\text{k} = 200\,\text{J}$. Sillä on kolme numeroa ja joulen tarkkuus, koska paine $125\,\text{kPa}$ ja tilavuuden muutos $1{,}60\,\textsf{l}$ on annettu kolmella numerolla. Erotuksessa $700{,}0 - 200$ desimaalit määrää epätarkempi luku. Tulos tunnetaan siis joulen tarkkuudella.

   Järkevyys

   Lämmöstä $200\,\text{J}$ kuluu männän työntämiseen. Loput $500\,\text{J}$ nostavat ilman lämpötilaa. Siksi $\Delta U > 0$ ja $\Delta U < Q$. Jos työ lisättäisiin lämpöön, tulokseksi tulisi $900\,\text{J}$. Se on enemmän kuin ilmaan tuli lämpöä, vaikka ilma luovuttaa energiaa työntäessään mäntää. Siksi etumerkki on oikein.

4. Tehtävä 13-12

   Saaristolautan dieselmoottori pyörittää potkuria $480\,\text{kW}$:n mekaanisella teholla. Moottorin hyötysuhde on $40{,}0\,\%$. Kuinka suuri lämpöteho siirtyy pakokaasujen ja jäähdytysveden mukana ympäristöön?

   kWTarkista
   Vastaus

   $720\,\text{kW}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   mekaaninen teho $P_\text{mek} = 480\,\text{kW}$, hyötysuhde $\eta = 40{,}0\,\% = 0{,}400$

   Kysytty

   hukkalämmön teho $P_\text{hukka}$ kilowatteina

   Periaate

   Moottori on lämpövoimakone. Energia säilyy: polttoaineen teho jakautuu mekaaniseksi tehoksi ja hukkalämmöksi. Hyötysuhde yhdistää mekaanisen tehon polttoaineen tehoon. Siksi polttoaineteho lasketaan ensin.

   Kaava

   $\eta$$= \dfrac{P_\text{mek}}{P_\text{in}}$

   joten

   $P_\text{in}$$= \dfrac{P_\text{mek}}{\eta}$

   $P_\text{hukka} = P_\text{in} - P_\text{mek}$

   Muunnokset

   Hyötysuhde

   $40{,}0\,\%$$= \tfrac{40{,}0}{100}$

   $= 0{,}400$

   Tehot ovat jo kilowatteina. Muuta muunnosta ei tarvita.

   Sijoitus

   $P_\text{in}$$= \dfrac{480\,\text{kW}}{0{,}400}$

   $= 1200\,\text{kW}$

   joten

   $P_\text{hukka}$$= 1200\,\text{kW} - 480\,\text{kW}$

   $= 720\,\text{kW}$

   Vastaus

   $720\,\text{kW}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittava tieto on mekaaninen teho $480\,\text{kW}$. Sen kaksi ensimmäistä numeroa ovat varmoja. Hyötysuhde $40{,}0\,\%$ on kolmen numeron arvo eikä rajoita.

   Järkevyys

   Hukkaan menee $60\,\%$ ja hyödyksi $40\,\%$. Hukkalämpöä on siis $\tfrac{60}{40} = 1{,}5$ kertaa niin paljon kuin mekaanista tehoa: $1{,}5 \cdot 480\,\text{kW} = 720\,\text{kW}$. Polttoaineteho on suurempi kuin mekaaninen teho, kuten pitääkin. Osa hukkalämmöstä voidaan käyttää matkustamon lämmittämiseen.

5. Tehtävä 13-13

   Esimerkkiaineisto: dieselgeneraattorin koeajossa mitattiin neljällä eri kuormalla moottorin mekaaninen teho $P$. Mitattiin myös polttoaineen kulutus $q_m$ kilogrammaa tunnissa. Dieselpolttoaineen lämpöarvo on $43\,\text{MJ/kg}$.

   Millä kuormalla moottorin hyötysuhde on suurin? Hyötysuhde kertoo, kuinka suuri osa polttoaineen energiasta muuttuu hyödylliseksi työksi. Anna vastaukseksi tämä suurin hyötysuhde prosentteina.

   Dieselmoottorin teho ja polttoaineen kulutus (esimerkkiaineisto)

   $P\,(\text{kW})$	$q_m\,(\text{kg/h})$
   20,0	7,9
   40,0	11,6
   60,0	16,0
   80,0	22,5

   %Tarkista
   Vastaus

   $31{,}4\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   polttoaineen lämpöarvo $H = 43\,\text{MJ/kg}$. Teho ja kulutus: $20{,}0\,\text{kW}$ ja $7{,}9\,\text{kg/h}$; $40{,}0\,\text{kW}$ ja $11{,}6\,\text{kg/h}$; $60{,}0\,\text{kW}$ ja $16{,}0\,\text{kg/h}$; $80{,}0\,\text{kW}$ ja $22{,}5\,\text{kg/h}$

   Kysytty

   moottorin suurin hyötysuhde $\eta$ prosentteina

   Periaate

   Moottori on lämpövoimakone. Sen hyötysuhde kertoo, kuinka suuri osa polttoaineen palamisessa vapautuvasta tehosta muuttuu mekaaniseksi tehoksi. Polttoaineteho on kulutus kertaa lämpöarvo. Hyötysuhde lasketaan jokaiselle kuormalle erikseen. Sitten valitaan suurin.

   Kaava

   $P_1$$= q_m H$

   $\eta$$= \dfrac{P}{P_1}$

   $= \dfrac{P}{q_m H}$

   Muunnokset

   $43\,\text{MJ/kg} = 43 \cdot 10^6\,\text{J/kg}$ ja $1\,\text{h} = 3600\,\text{s}$. Esimerkiksi

   $16{,}0\,\text{kg/h}$$= \tfrac{16{,}0}{3600}\,\text{kg/s}$

   $= 4{,}444 \cdot 10^{-3}\,\text{kg/s}$

   Teho $60{,}0\,\text{kW} = 60\,000\,\text{W}$.

   Sijoitus

   Kuormalla $60{,}0\,\text{kW}$:

   $$\begin{aligned} P_1 &= 4{,}444 \cdot 10^{-3}\,\tfrac{\text{kg}}{\text{s}} \cdot 43 \cdot 10^6\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}} \\ &= 191\,100\,\text{W} \\ \eta &= \frac{60\,000\,\text{W}}{191\,100\,\text{W}} \\ &= 0{,}314 \end{aligned}$$

   Muilla kuormilla lasketaan samalla tavalla: $20{,}0\,\text{kW}$ antaa $21{,}2\,\%$, $40{,}0\,\text{kW}$ antaa $28{,}9\,\%$ ja $80{,}0\,\text{kW}$ antaa $29{,}8\,\%$.

   Vastaus

   Suurin hyötysuhde on $31{,}4\,\%$ kuormalla $60{,}0\,\text{kW}$, kolme merkitsevää numeroa. Lämpöarvo $43\,\text{MJ/kg}$ on annettu kahdella numerolla. Siksi tulos tunnetaan oikeasti kahden numeron tarkkuudella ($31\,\%$). Kolmas numero annetaan, jotta kuormat voi vertailla keskenään ja pyöristys ei vie vastausta ulos hyväksytystä välistä.

   Järkevyys

   Hyötysuhde on alle $100\,\%$ ja dieselmoottoreille tyypillisellä alueella $20$–$40\,\%$. Se kasvaa kuorman mukana ja pienenee taas suurimmalla kuormalla. Siksi maksimi on keskellä. Arvio:

   $\tfrac{60}{16 \cdot 43 / 3{,}6}$$= \tfrac{60}{191}$

   $\approx 0{,}31$
6. Tehtävä 13-14

   Oppilas väittää: ”Kun lämpövoimakoneen kitka ja muut häviöt saadaan poistettua, kone voi muuttaa kaiken saamansa lämmön työksi, koska energia säilyy.” Mikä väitteessä on virheellistä?

   Valitse vaihtoehto.

   • Väite on oikein, jos kone on riittävän suuri, koska suuressa koneessa kitkan osuus jää mitättömäksi.
   • Kone toistaa työnsä vain jäähdyttämällä kaasun, joten osa lämmöstä on aina luovutettava kylmempään ympäristöön.
   • Energia ei säily lämpövoimakoneessa, joten osa lämmöstä katoaa tyhjiin eikä sitä voi hyödyntää työnä.
   • Väite on oikein, jos polttoaineen lämpöarvo on riittävän suuri, koska silloin lämpöä on aina yli tarpeen.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Kone toistaa työnsä vain jäähdyttämällä kaasun, joten osa lämmöstä on aina luovutettava kylmempään ympäristöön.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mikä oppilaan väitteessä lämpövoimakoneen hyötysuhteesta on virheellistä.

   Periaate

   Lämpövoimakone ottaa lämmön $Q_1$ kuumasta lähteestä. Se tekee työn $W$ ja luovuttaa lämmön $Q_2$ kylmempään ympäristöön: $W = Q_1 - Q_2$. Mäntäkone voi toistaa työnsä vain, jos kaasu jäähdytetään ennen kuin mäntä palautetaan. Jäähdytyksessä lämpöä siirtyy kylmempään. Siksi $Q_2 > 0$ ja $\eta = W/Q_1 < 100\,\%$.

   Mallivastaus

   Väite on virheellinen. Kone voi toistaa työnsä vain jäähdyttämällä kaasun. Siksi osa lämmöstä on aina luovutettava kylmempään ympäristöön. Energia kyllä säilyy, mutta se ei tarkoita, että kaikki lämpö voisi muuttua työksi. Osa lämmöstä siirtyy jäähdytyksessä ympäristöön. Kitkan poistaminen parantaa hyötysuhdetta, mutta raja ei poistu. Koneen koko tai polttoaineen lämpöarvo ei muuta tätä rajaa.

7. Tehtävä 13-15

   Esimerkkiaineisto: koulun ilmalämpöpumpun toimintaa seurattiin neljän vuorokauden ajan. Ilmalämpöpumppu ottaa lämpöä ulkoilmasta. Jokaisesta vuorokaudesta mitattiin pumpun käyttämä sähköenergia $E_\text{s}$ ja sisälle luovutettu lämpö $Q_\text{sisälle}$.

   Kuinka paljon lämpöä pumppu otti ulkoilmasta kaikkiaan näiden neljän vuorokauden aikana? Anna vastaus kilowattitunteina.

   Lämpöpumpun mittaukset (esimerkkiaineisto)

   Vuorokausi	$T_\text{ulko}\,({}^\circ\text{C})$	$E_\text{s}\,(\text{kWh})$	$Q_\text{sisälle}\,(\text{kWh})$
   1	2,0	2,1	6,4
   2	−3,0	3,0	8,1
   3	−9,0	4,2	10,0
   4	−5,0	3,6	9,3

   kWhTarkista
   Vastaus

   $20{,}9\,\text{kWh}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taulukon neljän vuorokauden sähköenergiat $E_\text{s}$: $2{,}1$, $3{,}0$, $4{,}2$ ja $3{,}6\,\text{kWh}$, sekä sisälle luovutetut lämmöt $Q_\text{sisälle}$: $6{,}4$, $8{,}1$, $10{,}0$ ja $9{,}3\,\text{kWh}$

   Kysytty

   ulkoilmasta otettu lämpö $Q_\text{ulko}$ yhteensä neljässä vuorokaudessa

   Periaate

   Lämpöpumppu ei tuota energiaa. Sisälle luovutettu lämpö on ulkoilmasta otetun lämmön ja pumpun käyttämän sähköenergian summa. Tämä pätee myös usean vuorokauden summille.

   Kaava

   $Q_\text{ulko} = Q_\text{sisälle} - E_\text{s}$

   Muunnokset

   Kaikki energiat on annettu kilowattitunteina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   Summat ovat

   $E_\text{s}$$= 2{,}1 + 3{,}0 + 4{,}2 + 3{,}6$

   $= 12{,}9\,\text{kWh}$

   $Q_\text{sisälle}$$= 6{,}4 + 8{,}1 + 10{,}0 + 9{,}3$

   $= 33{,}8\,\text{kWh}$

   Siis

   $$\begin{aligned} Q_\text{ulko} &= 33{,}8\,\text{kWh} - 12{,}9\,\text{kWh} \\ &= 20{,}9\,\text{kWh} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $20{,}9\,\text{kWh}$

   Kolme merkitsevää numeroa, koska energiat on annettu kymmenesosan tarkkuudella. Erotus tunnetaan samalla tarkkuudella.

   Järkevyys

   Ulkoa otettu lämpö on pienempi kuin sisälle luovutettu lämpö, kuten pitääkin. Energiatase: $20{,}9\,\text{kWh} + 12{,}9\,\text{kWh} = 33{,}8\,\text{kWh}$. Ulkolämpötilat $T_\text{ulko}$ eivät kuulu laskuun, koska energiatase ei tarvitse niitä. Jokaisen vuorokauden lämpökerroin $Q_\text{sisälle}/E_\text{s}$ on yli 1 ($3{,}05$; $2{,}70$; $2{,}38$; $2{,}58$). Se pienenee pakkasen kiristyessä. Se sopii siihen, että kylmästä ilmasta on vaikeampi siirtää lämpöä.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 13-16

   Kaupungin yhteistuotantovoimalaitos polttaa puuhaketta $320\,\text{MW}$:n teholla. Samalla se tuottaa $96\,\text{MW}$ sähköä ja $180\,\text{MW}$ kaukolämpöä.

   Kuvittele, että laitosta ei olisi. Silloin sama sähköteho tuotettaisiin lauhdevoimalaitoksessa, jonka hyötysuhde on $40{,}0\,\%$. Sama kaukolämpö tuotettaisiin lämpökeskuksessa, jonka kattila lämmittää kaukolämpöverkon vettä $90{,}0\,\%$:n hyötysuhteella.

   Kuinka paljon suuremman polttoainetehon tällainen erillinen tuotanto tarvitsisi? Perustele, miksi lämpökeskus pääsee paljon suurempaan hyötysuhteeseen kuin lauhdevoimalaitos.

   MWTarkista
   Vastaus

   $120\,\text{MW}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   yhteistuotannossa polttoaineteho $P_\text{pa} = 320\,\text{MW}$, sähköteho $P_\text{s} = 96\,\text{MW}$, kaukolämpöteho $P_\text{kl} = 180\,\text{MW}$; erillistuotannossa lauhdevoimalan hyötysuhde $\eta_\text{lauh} = 0{,}400$ ja lämpökeskuksen $\eta_\text{k} = 0{,}900$

   Kysytty

   erillistuotannon polttoaineen lisätarve $\Delta P$ megawatteina sekä perustelu hyötysuhteiden erolle

   Periaate

   Samat sähkö- ja lämpötehot tuotetaan kahdessa erillisessä laitoksessa. Kummankin polttoaineteho saadaan hyötysuhteesta: $P_\text{in} = P_\text{hyöty}/\eta$. Vertailu on oikeudenmukainen, koska hyödyksi tulevat tehot ovat molemmissa tapauksissa samat.

   Kaava

   $P_\text{lauh}$$= \dfrac{P_\text{s}}{\eta_\text{lauh}}$

   $P_\text{lk}$$= \dfrac{P_\text{kl}}{\eta_\text{k}}$

   joten

   $\Delta P$$= \dfrac{P_\text{s}}{\eta_\text{lauh}} + \dfrac{P_\text{kl}}{\eta_\text{k}} - P_\text{pa}$

   Muunnokset

   Hyötysuhteet $40{,}0\,\% = 0{,}400$ ja $90{,}0\,\% = 0{,}900$. Kaikki tehot ovat megawatteina. Muuta muunnosta ei tarvita.

   Sijoitus

   $\Delta P$$= \dfrac{96\,\text{MW}}{0{,}400} + \dfrac{180\,\text{MW}}{0{,}900} - 320\,\text{MW}$

   $= 240\,\text{MW} + 200\,\text{MW} - 320\,\text{MW}$

   $= 120\,\text{MW}$

   Vastaus

   $120\,\text{MW}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittava tieto on sähköteho $96\,\text{MW}$ (kaksi numeroa). Se määrää lauhdevoimalan polttoatehon $240\,\text{MW}$ kymmenien megawattien tarkkuudelle. Erotus $440\,\text{MW} - 320\,\text{MW}$ säilyttää tämän tarkkuuden. Hyötysuhteet $40{,}0\,\%$ ja $90{,}0\,\%$ ovat kolmen numeron arvoja eivätkä rajoita.

   Järkevyys

   Kokonaishyötysuhde on yhteistuotannossa $\dfrac{96 + 180}{320} \approx 86\,\%$ ja erillistuotannossa $\dfrac{276}{440} \approx 63\,\%$. Erillinen tuotanto tarvitsee siis enemmän polttoainetta. Lämpökeskus ei muuta lämpöä työksi, joten sen häviöt ovat vain savukaasuissa. Lauhdevoimalaitos muuttaa lämpöä työksi. Silloin osa lämmöstä on aina luovutettava kylmempään ympäristöön, tavallisesti mereen.

2. Tehtävä 13-17

   Omakotitalon lämmittämiseen kuluu vuodessa $16{,}0\,\text{MWh}$ lämpöä. Talossa on nyt suora sähkölämmitys. Siinä sähkövastukset muuttavat käytännössä kaiken sähköenergian sisäenergiaksi. Sisäenergia siirtyy lämpönä huoneeseen.

   Omistaja harkitsee lämpöpumppua. Pumppu ottaisi lämpöä ulkoilmasta ja hoitaisi koko lämmityksen. Pumpun lämpökerroin on vuoden keskiarvona 2,50.

   Kuinka monta megawattituntia sähköä pumppu säästäisi vuodessa? Kuinka paljon lämpöä se ottaisi vuoden aikana ulkoilmasta? Perustele energian säilymisen avulla, miksi pumppu ei ole ikiliikkuja. Pumppu luovuttaa taloon enemmän lämpöä kuin käyttää sähköä.

   MWhTarkista
   Vastaus

   $9{,}60\,\text{MWh}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   vuotuinen lämmöntarve $Q = 16{,}0\,\text{MWh}$, lämpöpumpun lämpökerroin $\varepsilon = 2{,}50$, nykyinen lämmitys suora sähkölämmitys

   Kysytty

   säästetty sähköenergia $\Delta E$ ja ulkoilmasta otettu lämpö $Q_\text{ulko}$ megawattitunteina sekä perustelu, miksi pumppu ei ole ikiliikkuja

   Periaate

   Lämpökerroin kertoo, kuinka monta kertaa niin paljon lämpöä pumppu luovuttaa kuin se käyttää sähköä. Suorassa sähkölämmityksessä vastukset muuttavat käytännössä kaiken sähköenergian sisäenergiaksi. Sisäenergia siirtyy lämpönä huoneeseen. Siksi se tarvitsee sähköä saman verran kuin lämpöä. Energia säilyy: taloon tuleva lämpö on pumpun sähkö ja ulkoilmasta otettu lämpö yhteensä.

   Kaava

   $\varepsilon = \dfrac{Q}{E_\text{s}}$, joten $E_\text{s} = \dfrac{Q}{\varepsilon}$. Säästö on $\Delta E = Q - E_\text{s}$ ja energian säilymisestä $Q_\text{ulko} = Q - E_\text{s}$, eli

   $\Delta E$$= Q_\text{ulko}$

   $= Q - \dfrac{Q}{\varepsilon}$

   Muunnokset

   Kaikki energiat ovat megawattitunteina, ja lämpökerroin on yksikötön. Muunnoksia ei siis tarvita.

   Sijoitus

   $E_\text{s}$$= \dfrac{16{,}0\,\text{MWh}}{2{,}50}$

   $= 6{,}40\,\text{MWh}$

   joten

   $\Delta E$$= Q_\text{ulko}$

   $= 16{,}0\,\text{MWh} - 6{,}40\,\text{MWh}$

   $= 9{,}60\,\text{MWh}$

   eli suoraan

   $\Delta E$$= Q\left(1 - \dfrac{1}{\varepsilon}\right)$

   $= 16{,}0\,\text{MWh} \cdot 0{,}600$

   $= 9{,}60\,\text{MWh}$

   Vastaus

   $9{,}60\,\text{MWh}$

   Sekä säästettyä sähköä että ulkoilmasta otettua lämpöä, kolme merkitsevää numeroa. Pumpun sähkö $6{,}40\,\text{MWh}$ on laskettu lämmöntarpeesta $16{,}0\,\text{MWh}$. Se ei ole erillinen mittaus, joten erotussääntöä ei käytetä. Tulos on tulo $Q\left(1 - \tfrac{1}{\varepsilon}\right)$. Sen numerot rajoittavat lämmöntarve $16{,}0\,\text{MWh}$ ja lämpökerroin $2{,}50$ (kumpikin kolme numeroa).

   Järkevyys

   Säästetty sähkö on täsmälleen ulkoilmasta tuotu lämpö. Pumppu käyttää vain $\tfrac{1}{2{,}50} = 40\,\%$ sähköstä. Taseen tarkistus: taloon tulee $9{,}60\,\text{MWh} + 6{,}40\,\text{MWh} = 16{,}0\,\text{MWh}$. Pumppu ei ole ikiliikkuja. Se ei luo energiaa vaan siirtää lämpöä sähkön avulla kylmästä lämpimään.

3. Tehtävä 13-18

   Bensiiniauto kuluttaa $6{,}00\,\textsf{l}$ bensiiniä $100\,\text{km}$:n matkalla. Auto ajaa maantiellä tasaisella $80{,}0\,\text{km/h}$:n nopeudella. Bensiinin tiheys on $0{,}750\,\text{kg/l}$ ja lämpöarvo $43{,}0\,\text{MJ/kg}$. Moottorin hyötysuhde on $28{,}0\,\%$.

   Kuinka suuri on moottorin keskimääräinen mekaaninen teho? Anna vastaus kilowatteina. Minne loput polttoaineen energiasta menee? Miksi sähköauto tarvitsee samaan matkaan paljon vähemmän energiaa? Sähköauton moottorin hyötysuhde on noin $90\,\%$.

   kWTarkista
   Vastaus

   $12{,}0\,\text{kW}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   polttoaineen tilavuus $V = 6{,}00\,\textsf{l}$ matkalla $s = 100\,\text{km}$ (kulutuksen vertailumatka), nopeus $v = 80{,}0\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$; bensiinin tiheys $\rho = 0{,}750\,\tfrac{\text{kg}}{\textsf{l}}$ ja lämpöarvo $H = 43{,}0\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$; hyötysuhde $\eta = 28{,}0\,\% = 0{,}280$

   Kysytty

   moottorin keskimääräinen mekaaninen teho $P$ kilowatteina sekä perustelut energian kulkeutumiselle ja sähköauton pienemmälle tarpeelle

   Periaate

   Moottori on lämpövoimakone. Bensiinin palaessa vapautuva energia $Q_1$ jakautuu työksi $W = \eta Q_1$ ja hukkalämmöksi. Teho on työ jaettuna matkaan kuluneella ajalla. Nopeus on tasainen, joten teho on vakio.

   Kaava

   $Q_1 = \rho V H$ ja $t = \dfrac{s}{v}$, joten

   $P$$= \dfrac{W}{t}$

   $= \dfrac{\eta \rho V H}{t}$

   Muunnokset

   $t$$= \dfrac{100\,\text{km}}{80{,}0\,\text{km/h}}$

   $= 1{,}25\,\text{h}$

   $= 4500\,\text{s}$

   $43{,}0\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$$= 43{,}0 \cdot 10^6\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$

   Lopuksi $1\,\text{kW} = 1000\,\text{W}$.

   Sijoitus

   Polttoaineen energiasta saatava työ on

   $W$$= 0{,}280 \cdot 0{,}750\,\tfrac{\text{kg}}{\textsf{l}} \cdot 6{,}00\,\textsf{l} \cdot 43{,}0 \cdot 10^6\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$

   $= 5{,}418 \cdot 10^7\,\text{J}$

   joten

   $$\begin{aligned} P &= \dfrac{5{,}418 \cdot 10^7\,\text{J}}{4500\,\text{s}} \\ &= 12\,040\,\text{W} \\ &= 12{,}04\,\text{kW} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $12{,}0\,\text{kW}$

   Kolme merkitsevää numeroa. Kaikki tiedot ($6{,}00\,\textsf{l}$, $0{,}750\,\text{kg/l}$, $43{,}0\,\text{MJ/kg}$, $28{,}0\,\%$ ja $80{,}0\,\text{km/h}$) on annettu kolmella numerolla. Matka $100\,\text{km}$ on kulutuksen vertailumatka eikä rajoita.

   Järkevyys

   Polttoaineteho on $\tfrac{1{,}935 \cdot 10^8\,\text{J}}{4500\,\text{s}} = 43\,\text{kW}$. Siitä $31\,\text{kW}$ poistuu hukkalämpönä pakokaasujen ja jäähdyttimen kautta. Bensiiniä kuluu $54\,\text{kWh}$, ja työ on siitä $28\,\%$ eli $15\,\text{kWh}$. Sähköauto tarvitsee saman työn tekemiseen noin $\tfrac{15\,\text{kWh}}{0{,}90} \approx 17\,\text{kWh}$ akusta. Sen moottori muuttaa sähköä työksi $90\,\%$:n hyötysuhteella, eikä lämpöä tarvitse muuttaa työksi.

4. Tehtävä 13-19

   Esimerkkiaineisto: omakotitalon lämmitystä suunnitellaan lämpöpumpulla. Taulukossa on talon kuukausittainen lämmöntarve $Q$ talvikaudella. Siinä on myös pumpun lämpökerroin $\varepsilon$ kunkin kuukauden keskimääräisessä ulkolämpötilassa. Lämpökerroin kertoo, kuinka moninkertaisen lämmön pumppu luovuttaa sähköön verrattuna. Lämmöntarve katetaan kokonaan pumpulla.

   a) Laske sähköenergia $E_\text{s}$, jonka pumppu käyttää kunkin kuukauden aikana, ja kaikkien kuukausien yhteenlaskettu sähköenergia.

   b) Laske kauden keskimääräinen lämpökerroin $\varepsilon_\text{kausi}$. Se kertoo koko kauden luovutetun lämmön suhteen koko kauden sähköenergiaan.

   c) Selitä, miksi kauden lämpökerrointa ei saa laskea kuukausien lämpökertoimien tavallisena keskiarvona. Laske myös, kuinka paljon sähköä pumppu säästää verrattuna suoraan sähkölämmitykseen, jossa kaikki lämpö tulee sähköstä.

   Kirjoita vastauslaatikkoon kohdan b) tulos.

   Talon lämmöntarve ja lämpöpumpun lämpökerroin (esimerkkiaineisto)

   Kuukausi	$T_\text{ulko}\,({}^\circ\text{C})$	$Q\,(\text{MWh})$	$\varepsilon$
   marraskuu	1,0	1,8	3,4
   joulukuu	−4,0	2,6	2,9
   tammikuu	−12,0	4,0	2,4
   helmikuu	−7,0	3,1	2,6
   maaliskuu	−1,0	2,2	3,1

   Tarkista
   Vastaus

   $\varepsilon_\text{kausi} = 2{,}74$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuukausittaiset lämmöntarpeet $Q$ ja lämpökertoimet $\varepsilon$ taulukosta: marraskuu $1{,}8\,\text{MWh}$ ja $3{,}4$; joulukuu $2{,}6\,\text{MWh}$ ja $2{,}9$; tammikuu $4{,}0\,\text{MWh}$ ja $2{,}4$; helmikuu $3{,}1\,\text{MWh}$ ja $2{,}6$; maaliskuu $2{,}2\,\text{MWh}$ ja $3{,}1$

   Kysytty

   a) kuukausittaiset sähköenergiat ja niiden summa, b) kauden lämpökerroin $\varepsilon_\text{kausi}$ (vastauslaatikkoon), c) miksi keskiarvoa ei käytetä, ja sähkön säästö suoraan sähkölämmitykseen verrattuna

   Periaate

   Lämpökerroin on $\varepsilon = Q_\text{sisälle}/E_\text{s}$. Siksi kunkin kuukauden sähköenergia on $E_\text{s} = Q/\varepsilon$. Koko kauden lämpökerroin lasketaan samalla tavalla koko kauden energioista: kauden luovutettu lämpö jaettuna kauden sähköenergialla. Suoran sähkölämmityksen sähkönkulutus on yhtä suuri kuin lämmöntarve.

   Kaava

   $E_\text{s}$$= \dfrac{Q}{\varepsilon}$

   $\varepsilon_\text{kausi}$$= \dfrac{\sum Q}{\sum E_\text{s}}$

   Muunnokset

   Kaikki energiat ovat megawattitunteina, joten muunnoksia ei tarvita. Lämpökertoimella ei ole yksikköä.

   Sijoitus

   a) Kuukausittain:

   $$\begin{aligned} E_\text{s,marras} &= \frac{1{,}8\,\text{MWh}}{3{,}4} = 0{,}529\,\text{MWh} \\ E_\text{s,joulu} &= \frac{2{,}6\,\text{MWh}}{2{,}9} = 0{,}897\,\text{MWh} \\ E_\text{s,tammi} &= \frac{4{,}0\,\text{MWh}}{2{,}4} = 1{,}667\,\text{MWh} \\ E_\text{s,helmi} &= \frac{3{,}1\,\text{MWh}}{2{,}6} = 1{,}192\,\text{MWh} \\ E_\text{s,maalis} &= \frac{2{,}2\,\text{MWh}}{3{,}1} = 0{,}710\,\text{MWh} \end{aligned}$$

   Sähköenergioiden summa on $4{,}995\,\text{MWh}$ ja lämmöntarpeiden summa $1{,}8 + 2{,}6 + 4{,}0 + 3{,}1 + 2{,}2 = 13{,}7\,\text{MWh}$.

   b) Kauden lämpökerroin:

   $$\begin{aligned} \varepsilon_\text{kausi} &= \frac{13{,}7\,\text{MWh}}{4{,}995\,\text{MWh}} \\ &= 2{,}74 \end{aligned}$$

   c) Suora sähkölämmitys kuluttaa $13{,}7\,\text{MWh}$ sähköä, joten säästö on $13{,}7\,\text{MWh} - 4{,}995\,\text{MWh} = 8{,}7\,\text{MWh}$.

   Vastaus

   b) $\varepsilon_\text{kausi} = 2{,}74$, kolme merkitsevää numeroa. Lähtötiedot on annettu kahdella numerolla. Siksi tulos tunnetaan oikeasti kahden numeron tarkkuudella ($2{,}7$). Kolmas numero annetaan, jotta pyöristys ei siirrä vastausta ulos hyväksytystä välistä. Vastauslaatikkoon tulee tämä luku.

   Järkevyys

   Kauden lämpökerroin $2{,}74$ on kuukausien pienimmän ($2{,}4$) ja suurimman ($3{,}4$) lämpökertoimen välissä. Kuukausien lämpökertoimien tavallinen keskiarvo olisi: lämpökertoimien summa on $14{,}4$, joten keskiarvo on $\tfrac{14{,}4}{5} = 2{,}88$. Se on noin $5\,\%$ liian suuri. Perustelu: keskiarvo antaisi jokaiselle kuukaudelle saman painon. Kylmimpänä kuukautena lämpöä tarvitaan kuitenkin eniten ja lämpökerroin on pienin. Silloin sähköä kuluu eniten pienellä lämpökertoimella. Siksi koko kauden lämpökertoimen on oltava keskiarvoa pienempi. Energiatase: $4{,}995\,\text{MWh} + 8{,}7\,\text{MWh} = 13{,}7\,\text{MWh}$. Ulkoilmasta otettu lämpö kattaa siis noin $64\,\%$ lämmöntarpeesta. Lämpökerroin on pienin kylmimpänä kuukautena. Kun lämpötilaero kasvaa, lämpöä on vaikeampi siirtää kylmästä ulkoilmasta lämpimään sisälle.

5. Tehtävä 13-20

   Esimerkkiaineisto: pystysuorassa sylinterissä on ilmaa. Kevyesti liikkuva mäntä sulkee sylinterin. Sylinterin poikkipinta-ala on $A = 200\,\text{cm}^2$. Mittausten mukaan ilman paine pysyy vakiona, $p = 125\,\text{kPa}$. Ilmaa lämmitetään sähkövastuksella, jonka teho on $260\,\text{W}$. Oletetaan, että kaikki vastuksen luovuttama energia siirtyy ilmaan lämpönä. Taulukossa on männän korkeus $h$ sylinterin pohjasta mitattuna lämmityksen aikana.

   a) Laske ilmaan neljässä sekunnissa siirtynyt lämpö $Q$ ja ilman tekemä työ $W_\text{k}$. Käytä taulukon alku- ja loppuarvoa.

   b) Laske ilman sisäenergian muutos $\Delta U$.

   c) Laske, kuinka suuri osa lämmöstä muuttui työksi. Perustele, miksi tällainen yksittäinen laajeneminen ei vielä ole lämpövoimakone.

   Kirjoita vastauslaatikkoon kohdan b) tulos kilojouleina.

   Männän korkeus lämmityksen aikana (esimerkkiaineisto)

   $t\,(\text{s})$	$h\,(\text{cm})$
   0,0	10,0
   1,0	13,1
   2,0	16,0
   3,0	19,2
   4,0	22,0

   kJTarkista
   Vastaus

   $\Delta U = 0{,}74\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   poikkipinta-ala $A = 200\,\text{cm}^2$, paine $p = 125\,\text{kPa}$ vakiona, vastuksen teho $P = 260\,\text{W}$, aika $t = 4{,}0\,\text{s}$, männän korkeus $h_1 = 10{,}0\,\text{cm}$ alussa ja $h_2 = 22{,}0\,\text{cm}$ lopussa

   Kysytty

   a) lämpö $Q$ ja kaasun työ $W_\text{k}$, b) sisäenergian muutos $\Delta U$ kilojouleina (vastauslaatikkoon), c) työksi muuttunut osuus ja perustelu, miksi yksittäinen laajeneminen ei ole lämpövoimakone

   Periaate

   Vastuksen energia siirtyy ilmaan lämpönä, $Q = Pt$. Paine on vakio, joten ilman tekemä työ on $W_\text{k} = p\,\Delta V$. Tilavuuden muutos saadaan männän siirtymästä: $\Delta V = A\,\Delta h$. Energia säilyy, joten ensimmäinen pääsääntö on $\Delta U = Q - W_\text{k}$.

   Kuvaajan lukeminen

   Taulukosta männän korkeus kasvaa arvosta $h_1 = 10{,}0\,\text{cm}$ arvoon $h_2 = 22{,}0\,\text{cm}$. Siis $\Delta h = 12{,}0\,\text{cm}$. Korkeus kasvaa joka sekunti likimain saman verran ($3{,}0\,\text{cm/s}$). Paine on annettu vakioksi, ja tasainen nousu sopii vakiotehoiseen lämmitykseen.

   Kaava

   $Q = Pt$, $\Delta V = A\,\Delta h$, $W_\text{k} = p\,\Delta V$ ja $\Delta U = Q - W_\text{k}$

   Muunnokset

   $A$$= 200\,\text{cm}^2$

   $= 200 \cdot 10^{-4}\,\text{m}^2$

   $= 0{,}0200\,\text{m}^2$

   $\Delta h$$= 12{,}0\,\text{cm}$

   $= 0{,}120\,\text{m}$

   $p$$= 125\,\text{kPa}$

   $= 125\,000\,\text{Pa}$

   Sijoitus

   a)

   $$\begin{aligned} Q &= 260\,\text{W} \cdot 4{,}0\,\text{s} \\ &= 1040\,\text{J} \\ \Delta V &= 0{,}0200\,\text{m}^2 \cdot 0{,}120\,\text{m} \\ &= 2{,}40 \cdot 10^{-3}\,\text{m}^3 \\ W_\text{k} &= 125\,000\,\text{Pa} \cdot 2{,}40 \cdot 10^{-3}\,\text{m}^3 \\ &= 300\,\text{J} \end{aligned}$$

   b)

   $$\begin{aligned} \Delta U &= 1040\,\text{J} - 300\,\text{J} \\ &= 740\,\text{J} \\ &= 0{,}74\,\text{kJ} \end{aligned}$$

   c) Työksi muuttui osuus

   $\tfrac{W_\text{k}}{Q}$$= \tfrac{300\,\text{J}}{1040\,\text{J}}$

   $= 0{,}288$

   $\approx 29\,\%$

   Vastaus

   b) $\Delta U = 0{,}74\,\text{kJ}$, kaksi merkitsevää numeroa, koska teho $260\,\text{W}$ ja aika $4{,}0\,\text{s}$ on annettu kahdella numerolla. Vastauslaatikkoon tulee tämä luku.

   Perustelu c)

   Noin $29\,\%$ lämmöstä muuttui työksi. Loput noin $71\,\%$ jäi ilman sisäenergiaksi, joten ilma lämpeni. Tämä sopii ilmaan: kaksiatomisella kaasulla vakiopaineessa työn osuus on noin $\tfrac{2}{7} \approx 29\,\%$ saadusta lämmöstä. Yksittäinen laajeneminen ei ole lämpövoimakone, koska kone toistaa työnsä kierros kerrallaan. Jotta mäntä saadaan takaisin alkuun, ilma on jäähdytettävä ja puristettava. Jäähdytyksessä lämpöä siirtyy kylmempään ympäristöön. Yhden laajenemisen työn osuus $29\,\%$ ei siis ole kierroksen hyötysuhde. Kierroksen hyötysuhde on $\eta = W/Q_1$, ja siinä työ on $W = Q_1 - Q_2$.

   Järkevyys

   Sisäenergian muutos on positiivinen ja pienempi kuin lämpö, $0 < 740\,\text{J} < 1040\,\text{J}$, kuten pitääkin, kun kaasu laajenee ja saa lämpöä. Energiatase: $740\,\text{J} + 300\,\text{J} = 1040\,\text{J}$. Männän nopeus $3{,}0\,\text{cm/s}$ on hidas, joten kevyen männän liike on rauhallista.